Microsoft Word - 11z.doc

Size: px

Start display at page:

Download "Microsoft Word - 11z.doc"

翔韩
5 years ago
Views:

1 材料力学 * 第章能量法超静定能量法是在总体上从功与能的角度来研究在外力作用下变形体系统 ( 杆件或杆件结构系统 ) 的内力应力变形及位移的一种方法它是进一步学习其它工程技术课程的基础, 也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础在材料力学中, 弹性体在外力作用下发生变形, 其体内积蓄的能量, 称为弹性变形能, 亦称应变能, 在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功.. 外力功由.7 节 3.8 节和 7.7 节的可知, 在线弹性下, 单个外力杆件轴向拉压圆轴扭转和梁平面弯曲时, 或外力偶所作的功分别为 W = FN Δ W = T Δφ W = M Δθ (a) 而在多个外力或外力偶作用下, 其外力总功分别应为 n W = FN Δ = n W = T Δφ = n W = M Δθ (b) = 若将 Δ Δ φ Δ θ 统一用 Δ 表示为广义的位移, 将 F N T M 统一用 P 表示为广义的力, 则以上式 (a) 式(b) 两组功的表达式可得统一形式 W = P Δ W n = PΔ (.) = 式中,P 故称为广义力, 拉压时代表轴向外力引起的轴力 F N ; 扭转时代表扭转外力偶引起的扭矩 T; 弯曲时代表弯曲外力偶引起的弯矩 M 而将与广义力 P 对应的位移 Δ 称为广义位移, 拉伸时是指与轴向外力对应的线位移 Δ; 扭转时是指与扭转外力偶对应的角位移 Δφ ; 弯曲时是指与弯曲外力偶矩对应的截面角位移 Δθ.. 变形能 ( 应变能 ) 由.7 节中式 (.38) 知, 轴向拉压杆件内部单位体积储存的应变能 ( 应变比能 ) 和整个杆件的应变能 ( 或变形能 ) 分别为 du ε u = = σ d ε dv U = udv (c) 由前面章节知, 构件产生各种基本变形的变形能分别为 34 V

2 * 第章能量法超静定拉压时扭转时 U = U = FN ( x) d x EA T ( x) GI p 弯曲时 U = M ( x) 对于构件产生拉压扭转弯曲的组合变形时的变形能应为 FN ( x) T ( x)d x M ( x) U = + + EA GI p z (.) z..3 功能原理由.7 节知, 如果略去变形过程中的动能及其它能量的变化与损失, 由能量守恒原理, 杆件的变形能 U 在数值上应等于外力做的功 W, 即有 U = W 由式 (.) 和式 (.) 可得 F ( x) T ( x)d x M ( x) EA GI n N PΔ = + + = p (.3) 这是一个对变形体都适用的普遍原理, 称为功能原理, 弹性固体变形是可逆的, 即当外力解除后, 弹性体将恢复其原来形状, 释放出变形能而做功例. 如图. 所示桁架各杆件的抗拉刚度均为 EA, 求结点的竖向位移 δ y U 解 :() 由结构平衡可得各杆内力 F P F P NAD = ND = FN BD P FN B () 各杆的变形能为 P a P a = U D = U B = EA EA AD P a (3) 结构总变形能 U = U = ( + ) EA (4)P 的功 W = Pδ y = = Pa (5) 由功能原理 U = W 得 δ y = ( + ) EA U BD ( ) ( ) = = EA EA P a P a 例. 求如图. 所示结构中 A 点的竖向位移 δ Ay 解 :() 设 A 点的竖向位移为 δ Ay z 图. 桁架位移图. 梁与拉杆的组合结构 35

3 材料力学则 P 的功为 W = Pδ Ay () 变形能计算 L L M ( Px ) 梁的变形能, 由结构和载荷的对称性知 : U = = ( P ) a P a 拉杆的变形能 U = = EA 8EA 则结构总的变形能为 3 P L P a U = EA (3) 利用功能原理 U = W, 可求得结构中 A 点的竖向位移为 3 PL Pa δ Ay = EA 3 P L = 通过研究发现, 线弹性杆件或结构的变形能 U 对于作用在该杆件或杆系上的某一载荷 P 的变化率等于该载荷 P 作用处产生的沿 P 方向的位移 δ, 即 U = P δ (.4) 这就是卡氏第二定理式 (.4) 中 P 为广义力,δ 为与之对应的广义位移当 P 为集中力时,δ 为 P 作用点产生的沿 P 方向的线位移 ; 当 P 为集中力偶时,δ 为 P 作用截面的角位移若由式 (.4) 求得的 δ 值为正号时, 表示广义位移的方向 ( 或转向 ) 与广义力 P 为方向 ( 或转向 ) 相同 ; 若 δ 值为负号, 则与之相反下面以梁结构来证明 ( 图.3(a)), 在外力 P, P,..., P,... 作用下, 其相应的位移为 δ, δ,,δ, 结构的变形能是 P, P,..., P,... 的函数, 即 U = f( P, P,..., P,...) (.5) 设只有 P 有一个增量 Δ P, 其余不变, 则相应产生位移增量 Δ δ, 此时功的增量, 亦即变形能增量为 ( 略去高阶小量 ) U U = U + dp (.6) P 改变加载次序首先在梁上加 dp, 然后再作用 P, P,..., P n, 如图.3(b) 若材料服从胡克定律, 且变形很小, 各外力引起的变形是独立的互不影响, 在首先加 dp 时, dp 引起其作用点沿着与其同方向的位移 dδ, 此时梁内的变形能应为 d P d δ 而后在作用载荷 P, P,..., P n 过程中, 由于 P 在 dp 的方向上 (P 与 dp 具有相同的方向和作用点 ) 引起了位移 δ, 因此 dp 又继续完成大小为 dp dδ 的功, 而由载荷 P, P,..., P n 引起的变形能仍为式 (.5) 于是在上述改变次序的加载全部完成后, 梁内储存的变形能为 U = d P d δ + d P δ + U (.7)

4 * 第章能量法超静定图.3 梁结构因为弹性体内的变形能只取决于载荷与变形的最终值, 而与加载次序无关, 所以由式 (.6) 和式 (.7) 表示的两种不同加载次序引起的弹性体的变形能应该相等即 U = U, 忽略式中的二阶微量有 U U + dp = dp dδ + dp δ + U (.8) P U 整理式 (.8) 即可得 P = δ, 卡氏第二定理表达式 (.4) 得证上面的证明虽然是以梁为例给出的但其中并没有涉及弯曲变形的特点, 因此卡氏第二定理同样适合于发生其他变形的杆件结构卡氏第二定理也可通过前面章节中的例题来简单地验证 M e U M e 如在例 7.8 中, 已求得 U =, 则 θb = = ; M Fab 如在例 7.9 中, 已求得 U =, 则 w 6 几种杆系结构的卡氏第二定理具体表达式为 : e U Fa b = = F 3. 桁架对于桁架结构, 各杆的变形均是单向拉伸或压缩若整个桁架由 m 根杆件组成, 那么整个结构的变形能可用拉压杆计算按照卡氏第二定理得其先偏导后求和的应用表示式 : U F F δ = = P EA P m N N (.9). 横力弯曲梁对于平台弯曲的梁, 其变形能只计弯短的影响, 而不计剪力的影响, 利用卡氏第二定理得其先偏导后积分的应用表达式 : U M( x) M( x) δ = = d x P (.) P 3. 组合变形杆系结构 ( 或刚架 ) 对于承受拉伸 ( 或压缩 ) 弯曲和扭转联合作用的杆件变形能可以由式(.) 写出由卡氏第二定理, 得其先编导后积分的应用表示式 : δ U F ( x) F ( x) M( x) M( x) T( x) T( x) x N N = = + d + P EA P P GIp P (.) 37

5 材料力学例.3 如图.4 外伸梁抗弯刚度为试求外伸端的挠度 w 和左端截面的转角 θ A 图.4 外伸梁解 : 外伸端作用有集中力 P, 截面 A 作用有集中力偶矩 m, 根据卡氏第二定理有 w U M( x) M( x) = = d x P P U M( x) M( x) θ A = = d x m m 弯矩应分段表达 m Pa AB 段 : M ( x) = x m 有 M( x ) a = x P B 段 : M ( x) = Px M( x) x = m 有 M( x ) = x P M( x ) = m U m Pa a Px P a 则 w = = x m x d x + ( x ) Pa ma Pa = U m Pa x Px θ A = = x m x + x m m Pa = a d ()d 这里 w 与 θ A 皆为正号, 表示它们的方向分别与 P 和 m 作用方向或转向相同, 而如果是负号, 则表示与之方向或转向相反用卡氏定理求结构某处的位移时, 该处需要有与所求位移相应的载荷, 如果计算某处位

6 * 第章能量法超静定移, 而该处没有与此位移相应的载荷, 则可采用附加力法, 下例说明例.4 试求图.5(a) 所示的刚架 B 点的水平位移和点的转角解 : 计算 B 截面的水平位移时, 因 B 点无水平集中力作用, 无法直接应用卡氏定理, 为此设想在 B 截面附加一水平力 F B ( 图.5(b)), 然后求出刚架在原有外力与 F B 共同作用下的弯矩及其对 F B 的偏导数分别为 M( x ) AB 段 M ( x) = ( Pa+ FB x) = x F M( x ) B 段 M ( x) = Px = F 应用卡氏定理计算刚架在图.5(b) 情况下,B 截面的水平位移为 M( x) M( x) a δ B = d x = ( Pa + F x )( x ) + Px F Pa F = + 3 B 3 B B B B 这里求出的 B 截面的水平位移是在原有载荷与 F B 共同作用的结果, 无论 F B 为何值, 都是正确的因为在实际的刚架中并没有 F B 这个力, 所以只要令上式中的 F B = 即可求得刚架在原有载荷作用下 B 截面的水平位移为 Pa δ B = 为了使计算简便, 上面的解题过程也可在求偏导数之后, 积分以前就令 F B = 这样所得的结果仍相同 δ B 为正值, 说明其方向与 F B 相同在计算截面的转角时, 可在处附加一个集中力偶矩 m ( 图.5(c)), 然后求出刚架在原有载荷与 m 共同作用下的弯矩及其对 m 的偏导数分别为 M( x ) AB 段 : M ( x ) = ( Pa+ m ) = F M( x ) B 段 : M ( x) = ( m + Px) = F B B 图.5 [ 例.4] 图 39

7 材料力学应用卡氏定理计算刚架在图.5(c) 情况, 积分前就可令 m =, 求得截面的转角为 θ M( x) M( x) a Pa a = d x = ( Pa)( )d x + Px ( ) = + θ 这里求出的截面 θ 为正值说明其转向与附加力偶 m 相同例.5 试求图.6 所示正三角形桁架 A 点的垂直位移 δ Ay, 各杆 EA 均为同一常数图.6 正三角形桁架解 : 根据卡氏定理, 桁架在任一外力 P 作用点的相应位移为 δ Ay U F F = = P EA P m N N 列表计算如下 : 表. 计算结果杆号 F N FN P F FN P N P a Pa -P a - Pa 3 P/ a / Pa/4 9Pa/4 故 A 点的垂直位移为 : δ F F 9Pa EA P 4EA m N N Ay = = 结果为正, 表示 A 点的垂直位移与 P 力方向一致前一节介绍的卡二定理解决了没有外力处位移的计算, 但用它来处理此类问题较为繁琐且易出错下面介绍更为方便实用的一种方法单位载荷法它是根据虚功原理计算结构位移的一种方法在介绍单位载荷法之前, 先引进几个重要概念 4

8 * 第章能量法超静定和. 实功, 所谓实功即是力在自身引起的位移上所作的功如图.7 所示 P 在 Δ 上的功 P 在 Δ 上的功都是实功图.7 不同加载力作功情况. 虚功, 所谓虚功即是力在其它原因产生的位移上作的功如图.7 所示 P 在 Δ 上的功即为虚功, Δ 为虚位移 3. 虚功原理 : 如果给在载荷系作用下处于平衡的可变形结构以微小虚位移, 则外力系在虚位移上所做的虚功等于内力在相应虚变形上所做的虚功, 即 We = W (.) 式中 : W e 为外力虚功 ; W 为内力虚功下面以图.8 刚架为例介绍单位载荷法假设需求图.8(a) 刚架 A 点沿 α 方向的位移 Δ= AA ( 广义位移 ), 则先将单位力 F = ( 广义力 ) 沿 α 方向作用于同一结构上 A 点 ( 图.8(b)), 这时结构变形完成并平衡, 如图.8(b) 中的虚线然后再将图.8(a) 的外力 q P M 加到图.8(c) 虚线上, 变形完成后, 如图.8(c) 中的细实线, 即 A 点沿 α 方向产生位移 Δ= AA, 如图.8(a) 图.8(c) 中的细实线所示图.8 刚架 4

9 材料力学设微段产生变形位移为 dδ dθ dλ, 如图.8(d), 那么单位力 F 在 Δ 位移上作外力虚功为 We = F Δ 4 而单位力在刚架 x 截面产生的内力 FN ( x ) M ( x ) FS( x ) 在位移 dδ dθ dλ 作的内力虚功并为整个刚架所有内力作的虚功为 δw = F x Δ + M x θ + F x λ N( )d ( )d S( )d W = F x Δ + M x + F x N()d ()d θ S()d 则应用虚功原理式 (.8), W e = W Δ = F N( x) d( Δ ) + M( x) dθ + F s( x) dλ (.3) 为了描述方便, 原系统 ( 图.8(a)) 称为位移状态 ; 单位力系统 ( 图.8(b)) 称为单位力状态对于线弹性体, 根据前面的章节分析知, 各基本变形中的微段变形为 F ()d N x x kfs d( Δ ) = d ()d x x M ()d x x λ = dθ = EA GA 式中, 剪力项取平均切应力,k 为大于的因数, 与截面形状有关, 如矩形截面 k = 6/9 圆截面 k = /9 则式(.9) 变为 F N() x FN()d x x M() x M()d x x kfs() x Fs()d x x (.4) Δ = + + EA GA 一般情况下, 剪力项引起的位移远远小于另外两项的位移, 所以计算时一般忽略不计对于拉压杆件, 则只保留 (.4) 式的第一项对于由 n 根杆组成的桁架, 则有 Δ F () x F () x n N N = (.5) = EA 对于以弯曲为主的梁或刚架, 则可忽略轴力与剪力的影响, 有 MxMx () () Δ = d x (.6) 以上诸式中, 如果求出的 Δ 结果为正, 则表示原结构位移与所加单位力方向一致式 (.4) 式(.5) 和式 (.6) 统称单位载荷法公式, 也称莫尔定理, 式中积分称为莫尔积分显然单位载荷法公式只适用于线弹性结构下面用例题说明单位载荷法的应用例.6 利用单位载荷法求例.4 刚架 B 点的水平位移和点的转角 ( 不考虑轴力 ) 解 :() 由图.9(a), 分段写出刚架在实际载荷作用下的弯矩方程 λ

10 * 第章能量法超静定 AB 段 : M ( x ) = Pa B 段 : M ( x) = Px () 欲求 B 点的水平位移, 则在 B 点水平方向加一单位力 ( F = ), 其单位载荷图如图.9(b) 所示, 并分段写出刚架在单位力作用下的的弯矩方程 AB 段 : M ( x) = x B 段 : Mx ( ) = 由单位载荷法式 (.6) 有 ( ) ( ) a ( ) ( ) M x M x M x M x Δ Bx = + ( x) ( Pa) a. ( Px) Pa = + = (3) 欲求点的转角, 则在点加一单位力偶 ( M = ), 其单位载荷图见图.9(c), 并分段写出刚架在单位力作用下的弯矩方程 AB 段 : Mx ( ) = B 段 : Mx ( ) = 由单位载荷法式 (.6) 有 ( ) ( ) a ( ) ( ) M x M x M x M x θ = + a ( Px ) x x ( Pa) Pa Pa = d + d = + Δ Bx 为正值, 说明其方向与单位力 ( F = ) 的方向相同 ( ); θ 为负值, 说明其转向与单位力偶 ( M = ) 的转向相反 (Π) 讨论 : 用单位载荷法还可求相对位移 ( 相对线位移或相对角位移 ) 比如: 本例中求点和 D 点的相对线位移 Δ D, 此时, 需在该两点处加上一对等值反向共线的单位力 ( F = ), 单位载荷图见图.9(d), 并分段写出刚架在单位力作用下的弯矩方程 M ( x ) M ( x ) M ( x 3 ), 再由单位载荷法式 (.6) 求解, 其格式为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3) ( 3) M x M x M x M x a M x M x / Δ D = 本例中求 B 截面与截面的相对角位移 θ B 此时, 需在这两个截面处加上一对等值反向的单位力偶 ( M = ), 单位载荷图见图.9(e), 并分段写出刚架在单位力作用下的弯矩方程 M ( x ) M ( x ), 再由单位载荷法式 (.6) 求解, 其格式为建议读者完成上述计算 ( ) ( ) a ( ) ( ) M x M x M x M x θ B = + 43

11 材料力学图.9 例.6 图由前面的讨论已经知道, 对于线弹性体结构, 积蓄在弹性体内的弹性变形能只取决于作用在弹性体上的载荷的最终值, 与加载的先后顺序无关对于线弹性结构, 还可利用变形能的概念得到功的互等定理和位移互等定理, 统称为互等定理, 这在结构分析中有重要应用对于线弹性体 ( 此物体可以代表梁, 桁架, 框架或其它类型结构 ), 第一组力在第二组力引起的位移上所做的功, 等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功, 这就是功互等定理下面以一处于线弹性阶段的简支梁为例进行说明图.(a) 图.(b) 代表梁的两种受力状态, 截面为其上任意两截面如图.(a) 所示,P 使梁在截面, 上产生的位移分别为 Δ 和 Δ ; 在图.(b) 中, 当 P 作用时, 在截面, 上的产生的位移则分别为 Δ 和 Δ 在位移符号的角标中, 第一个表示截面位置, 第二个是指由哪个力引起的 44 图. 两种方法在梁上加载

12 * 第章能量法超静定用两种办法在梁上加载来计算 P,P 共同作用时外力的功先施加 P 再施加 P, 如图.(a), 外力的功 W = PΔ + PΔ + PΔ (.7) 而当先施加 P 再施加 P 时, 如图.(b), 外力的功 W = PΔ + PΔ + PΔ (.8) 由于杆件的变形能等于外力的功, 与加载次序无关, 即 U = W = W, 所以有 PΔ = PΔ (.9) 这表明, 第一个力在第二个力引起的位移上所做的功, 等于第二个力在第一个力引起的位移上所做的功这就是功的互等定理当 P =P 时, 由式 (.9) 可推出一个重要的推论, 即 Δ = Δ (.) 这表明, 作用在方位上的载荷使杆件在方位上产生的位移 Δ, 等于将此载荷作用在方位上而在方位上产生的位移 Δ 这就是位移互等定理若令 P = P = ( 即为单位力 ), 且此时用 δ 表示位移, 则有 δ = δ (.) 由于, 两截面是任意的, 故上述关系可写为以下一般形式 δ = δ (.) j 即 j 处作用的单位力在处产生的位移, 等于处作用的单位力在 j 处产生的位移这是位移互等定理的特殊表达形式, 在结构分析中十分有用以上分析对弹性体上作用的集中力偶显然也是适用的, 不过相应的位移是角位移, 所以上述互等定理中的力和位移泛指广义力和广义位移例.7 如图.(a) 所示简支梁,P 作用在梁中点处时,B 截面的转角 θ =. rad 试求如图.(b) 所示在 B 截面作用力偶矩 M 时, 点的挠度 w B j 图. 简支梁解 : 根据功的互等定理, 有 Pw = Mθ B 45

13 材料力学即力 P 在力偶 M 所产生的位移上所做的功等于力偶 M 在力 P 所产生的位移 ( 角位移 ) 上所做的功解得 w M =. ( ) P 在轴向拉压对称弯曲的有关章节中, 曾介绍用变形比较法求解简单超静定问题但是, 对于稍为复杂一些的超静定问题, 例如超静定刚架超静定曲杆内力超静定问题等 ( 图.), 仅靠前面介绍的方法是不易求解的由此, 本节将介绍用能量法求解载荷作用下的超静定问题的方法 46 图. 超静定实例能量法求解超静定问题的步骤 : () 确定超静定次数 ( 或多余约束数 ); () 以多余约束力代替多余约束, 将原结构变成基本静定系 ( 即形式上的静定结构 ); (3) 用能量法中的任一种方法求解多余约束处的位移 ; (4) 通过与原结构在多余约束处位移相一致的协调条件, 建立补充方程 ; (5) 解补充方程, 求出多余约束力 ; (6) 利用平衡方程求解其余的未知数, 再进行强度刚度稳定性等计算例.8 悬臂梁 B 受均布载荷 q = kn/m 作用, 梁支承如图.3(a) 所示已知 D 6 4 杆的截面积 A = mm, E = 7 GPa, 长度 a = 7.5 m,b 梁的截面惯性矩 I = mm, E = GPa, = 3m, 求 B 杆所受轴力解 :() 这是一次超静定问题解除处的约束, 用未知约束力 F 定系如图.3(b) 所示 () 比较原结构可知, 处位移的协调条件为 Δ = B 代替基本静 (3) 用卡氏第二定理求多余约束处的位移 FN 先计算载荷轴力弯矩及其对 F B 的导数, 杆 B 的轴力为 FN B = FB, 则 B = ; 梁 F B

14 * 第章能量法超静定 Mx () AB 的弯矩为 M () x = FB x qx, 则有 = x F B 由卡氏第二定理式 (.), 有图.3 悬臂超静定梁 U a FN () x FN () x M() x M() x B B Δ = = + P E A F B FB F x qx = + = + (4) 并令 Δ =, 得补充方程将具体数值代入上式, 解得 3 4 a F B B FBa FB q x EA EA FBa FB q + = EA 3 8 F = 9.5 kn ( 拉力 ) B 上述例题也可用其他能量方法 ( 如单位载荷法等 ) 求解, 读者可自行练习思. 不论是用外力功, 还是用内力功来计算变形能时, 都有 / 的系数, 这是为什么? 虚功原理式或单位载荷法的公式中为什么没有 / 的系数? 思. 用卡氏第二定理求结构的变形有什么局限性? 该定理成立的条件是什么? 由该定理能否导出单位载荷法的公式? 思.3 单位载荷法的应用条件是什么? 47

15 材料力学思.4 对弹性比能进行体积积分所求得的变形能与通过功能关系所得的结果是否相同? 举例说明思.5 虚功原理对什么样的材料适用? 思.6 用卡氏第二定理时, 虚加的广义力起什么作用? 在对它求偏导数后又令其为零, 为什么还要把它加上去? 思.7 若材料服从胡克定律, 且物体的变形满足小变形条件, 则该物体的哪些物理量与载荷之间呈非线性关系思.8 一梁在集中力 F 作用下, 其应变能为 U, 若将力 F 改为 F, 其它条件不变, 则其应变能为多少? M( x) M( x) 思.9 用莫尔积分 δ = d x 求得的位移 δ 是何处何方向的位移? 思. 应用莫尔定理计算梁的挠度时, 若结果为正, 其意义是什么? 思. 用莫尔积分法计算梁的位移时, 需先建立载荷和单位力引起的弯矩方程 M ( x ) 和 ( ) M x, 此时对坐标 x 的选取和梁段的划分有何要求? U M( x) M( x) 思. 卡氏定理有两个表达式 (a) δ = ;(b) δ = d x F, 其相应 F 的适用范围是什么? n 思.3 设一梁在 n 个广义力 P P P 3 P n 共同作用下的外力功 W = P Δ, 则式中 Δ 为何意义? 思.4 结构的静不定次数如何确定? 思.5 求解静不定结构时, 若取不同的静定基, 则补充方程和解答结果是否相同? 思.6 图示等直梁在截面承受力偶 M e 作用, 在截面的转角和挠度有何特点? 思.7 图示等直梁承受均布载荷 q 作用, 在铰处其内力有何特点? = 思.6 图思.7 图思.8 用单位力法求解静不定结构的位移时, 单位力是否只能加在基本静定系上?. 类计算题 ( 求杆件和结构的应变能 ) 题.. 试求如图所示各杆的应变能各杆均由同一种材料制成, 弹性模量为 E 题.. 试求如图所示受扭圆轴内的应变能, 设 d =.5d,G 为常量且相同题..3 试计算如图所示梁或结构内的应变能为已知, 略去剪切的影响, 对于只受拉压杆件, 考虑拉压时的应变能 48

16 * 第章能量法超静定题.. 图题.. 图题..3 图. 类计算题 ( 能量法求变形或位移 ) 题.. 试用卡二定理或单位载荷法求图示梁中央截面的挠度和 A 端转角 [ 或 : ] 题.. 图题.. 试用单位载荷法或卡二定理求图示各梁在载荷作用下截面 A 处的挠度和截面 A 的转角 [ 或 : ] 为巳知, 略去剪力对位移的影响题.. 图 49

17 材料力学题..3 如图所示刚架各段的抗弯刚度均为不计轴力和剪力的影响试用单位载荷法或卡二定理求 B 截面的转角 [ 或 : ] 题..4 杆系如图所示, 在 B 端受到集中力 P 作用已知杆 AB 的抗弯刚度为, 杆 D 的抗拉刚度为 EA 略去剪切的影响, 试用卡二定理求 B 端的铅垂位移 [ 或 : ] 题..3 图题..4 图题..5 如图所示结构中, 直角折杆 ABF 的截面抗弯刚度为, 对于此杆可略去剪力和轴力对变形的影响 D 杆抗拉刚度为 EA 试用卡二定理或单位载荷法求 F 点的水平位移 [ 或 : ] 题..6 如图所示刚架,AB 段与 B 段的抗弯刚度均为, 用卡二定理或单位载荷法求 A 点的水平位移和垂直位移题..5 图题..6 图题..7 如图所示梁在 F 单独作用下 B 截面的挠度 w B = mm, 证明梁在 F 单独作用下截面的挠度 w = 4mm ( 假设不是常量 ) 题..7 图题..8 如图所示外伸梁, 在点的力 F 单独作用下截面 A 的转角为 θ A = Fa 6 用互等定理求梁仅在 A 处的力偶矩 M 作用下的挠度 e 题..9 试用能量法求图示桁架 A 点的垂直位移设抗拉刚度 EA 已知 5

18 * 第章能量法超静定题..8 图题..9 图.3 类计算题 ( 能量法求相对位移 ) 题.3. 刚架各段杆的相同, 受力如图所示 () 用能量法计算 A E 两点 [ 或 : ] 的相对位移 Δ AE () 欲使 A E 间无相对线位移, 试求 F 与 F 的比值题.3. 如图所示桁架各个杆的抗拉压刚度 EA 相等, 在外力 F 的作用下, 试用能量法求节点 A E 间 [ 或 : ] 的相对位移题.3. 图题.3. 图题.3.3 等截面刚架 ABDE 的抗变刚度为, 受力如图所示试求 E 点的水平位移 Δ Ex 及 B E 两截面的相对转角 θ BE 题.3.3 图.4 类计算题 ( 能量法解超静定梁 ) 题.4. 如图所示木梁 AB 两端铰支, 中点处为弹簧支承若弹簧常量 k = 5 kn/m, 且已知 = 4m, b = 6 mm, h = 8 mm [ 或 : ], E = GPa, 均布载荷 q = kn/m, 试求弹簧的约束反力题.4. 求图示抗弯刚度为的对称超静定梁的两端反力 ( 设固定端沿梁轴线的反力可省略 ) 5

材料力学题.4. 图题.4.3 求图示抗弯刚度为的对称静不定梁的支座反力和最大弯矩题.4. 图题.4.3 图题.

承受均布载荷 q 后, 梁发生弯曲变形并与支座 B 接触若要使 3 个支座的约束反力均相等 [ 或 : ], 则间隙

5 如图所示悬臂梁 AD 和 BE 的抗弯刚度皆为 = 4 N m, 连接杆 D 4 的截面面积 A = 3 m,d

19 材料力学题.4. 图题.4.3 求图示抗弯刚度为的对称静不定梁的支座反力和最大弯矩题.4. 图题.4.3 图题.4.4 如图所示, 抗弯刚度为的直梁 AB 在承受载荷前安装在支座 A 上, 梁与支座 B 间有一间隙 Δ 承受均布载荷 q 后, 梁发生弯曲变形并与支座 B 接触若要使 3 个支座的约束反力均相等 [ 或 : ], 则间隙 Δ 应为多大? 6 题.4.5 如图所示悬臂梁 AD 和 BE 的抗弯刚度皆为 = 4 N m, 连接杆 D 4 的截面面积 A = 3 m,d 杆的 = 5m[ 或 : ], 材料弹性模量 E = GPa ; 若外力 F = 5 kn, 试求悬臂梁 AD 在 D 点的挠度题.4.4 图题.4.5 图.5 类计算题 ( 能量法解超静定刚架 ) 题.5. 已知各杆的 EA 相同, 如图所示试用单位载荷法或卡氏第二定理求解图示超静定结构, 并画出图示刚架的弯矩图题.5. 如图所示若刚架各部分的抗弯刚度均为常量, M = Fa, 试作刚架的弯矩图题.5. 图题.5. 图 5

20 * 第章能量法超静定题.5.3 刚架结构受力如图所示, 已知刚架各个部分的抗弯刚度均为, 试作刚架的弯矩图 ( 不计剪力和轴力的影响 ) 题.5.4 求图示刚架及 A 处的约束力已知各杆弯曲刚度相同 ( 不计剪力和轴力的影响 ).6 类计算题 ( 能量法解超静定桁架桁梁结构 ) 题.6. 如图所示杆件结构, 各杆的抗拉刚度均为 EA 试用求各杆的内力题.5.3 图题.5.4 图题.6. 图题.6. 如图所示结构, 试求 :() 杆 B 的轴力 ;() 节点 B 的铅垂位移题.6.3 结构及其受力如图所示已知 EA, 且 I = Aa, 用卡氏第二定理求两杆的内力题.6. 图题.6.3 图.7 类计算题 ( 能量法求解超静定连续梁 ) 题.7. 作出图所示梁的剪力图和弯矩图 F = qa, 设为常量题.7. 图 53

Microsoft PowerPoint - 13-能量法c-6.7

Microsoft PowerPoint - 13-能量法c-6.7 材料力学刘鸿文主编 ( 第 5 版高等教育出版社教师 : 朱林利, 副教授, zhu@zju.edu.cn 航空航天学院应用力学研究所助教 : 李桂平, 7668@qq.com 刘兰, 95467@qq.com 作业课件等相关信息网址 : http://mypge.zju.edu.cn/mmzhu/ 目录第二十一次作业 :..5.9..6 知识要点回顾变形能的应用互等理论功的互等定理