9 浙江专升本考试群 6869 浙江省 5 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试 高等数学 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上 注意事项 : 选择题部分. 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定 的位置上. 每小题选出答案后 用 B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮 擦干净后 再选涂其他答案标号不能答在试题卷上 一 选择题 ( 本大题共 5 小题 每小题 分 共 分在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求 ). 当 时 f ( ) 是 g( ) 的高阶无穷小 则当 时 f ( ) g( ) 是 g( ) 的 ( ) (A) 等价无穷小 (B) 同阶无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小 思路点拨 无穷小的比较问题 通过无穷小比较的定义直接转化为极限的计算 答案 (B) f ( ) 解析 当 时 f ( ) 是 g( ) 的高阶无穷小 可得 lim 要比较 f ( ) g( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) 与 g( ) 的阶数 即需计算 lim lim lim g( ) g( ) g( ) 故为同阶无穷小. 设 f ( ) 在 a 处可导 则 lim f ( a ) f ( a ) ( ). (A) f ( a) (B) f ( a) (C) (D) f ( a) 答案 (B) 解析 根据题意已知 f ( a) 存在 f ( a ) f ( a ) f ( a ) f ( a) f ( a) f ( a ) lim lim +lim f ( a ) f ( a) f ( a) lim f ( a) f ( a) f ( a) 故选择 (B). 设可导函数 F( ) 满足 F( ) f ( ) 且 C 为任意常数 则 ( ).
9 浙江专升本考试群 6869 (A) F( )d f ( ) C (B) f ( )d F( ) C (C) F( )d F( ) C (D) f ( )d F( ) C 思路点拨 不定积分是原函数构成的集合 而原函数与原函数之间只差别一个常数 答案 (B) 解析 由 F( ) f ( ) 可知 f ( ) 的一个原函数为 F( ) 故 f ( )d F( ) C 故 选择 (B) y 5 z. 设直线 L : (A) 6 (B) z L : 则 L 与 L 的夹角是 ( ) y z 与 (C) (D) 思路点拨 空间直线的夹角 cos m m ( m 分别为直线的方向向量 ) 答案 (C) y 5 z z 解析 由 L : 可知 其方向向量 m 为 ( ) 由 L : y z i j k 可求得其方向向量 = i j k 即为 ( ) m = m = 6 m = 6 故其夹角 cos 故其夹角为 选 (C) m 6 6 5. 在下列级数中 发散的是 ( ). (A) ( ) (B) l( ) (C) ( ) (D) 思路点拨 常数项级数收敛性的判别可采取级数收敛的必要条件和各类比较判别法或者莱 布尼茨判别法 答案 (D) 解析 ( A ) 级数 ( ) l( ) 为交错项级数 易知 l( ) 单调递减且
9 浙江专升本考试群 6869 lim 由莱布尼茨判别法可知该级数收敛 ; l( ) (B) 为正项级数 可直接使用比值判别法 lim 可知级数收敛 ; (C) ( ) 为交错项级数 易知单调递减且 lim 由莱布尼茨判别法可 知该级数收敛 ; (D) 其一般项的极限 lim 不满足级数收敛的必要条件 故级 数比发散 故选 (D) 注意事项 : 非选择题部分. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上 不能答在试题卷上. 在答题纸上作图 可先使用 B 铅笔 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑 二. 填空题 ( 本大题共 小题 每小题 分 共 分 ) 6. 数列极限 lim [l( ) l ] 答案 解析 lim [l( ) l ] lim l lim 7. 若 lim a b 则 a 和 b 的值为 思路点拨 检验极限的类型或者进行极限的计算时 经常需要运用四则运算法则 答案 a b 解析 lim a b lim a b a( ) lim b lim a b ( a) 要使极限存在 则 a 当 a 时 极限可化为
9 浙江专升本考试群 6869 lim b b 故 b 8. 函数 F( ) d t( ) 的单调减区间是 t 答案 () 解析 根据变限积分函数求导公式可知 F( ) ( ) 令 F( ) 易知 当 () F( ) F( ) 单调递减 当 (+ ) F( ) F( ) 单调 递增 故其单调递减区间为 () 9. 设函数 f ( ) a 在 处连续 则必有 a 思路点拨 已知函数连续求解参数 直接运用连续的定义转化成极限的计算 答案 解析 函数在 处连续 lim f ( )= lim f ( ) f () 即只需要计算 lim f ( ) lim ( )( ) lim ( ) lim ( ) 故 f () a. 设 y l( ) 则 dy 答案 l d 解析 根据公式 d y f ( )d 可知 求微分 dy 只需要求解 f ( ) l f ( ) l 故 d y f ( )d d
9 浙江专升本考试群 6869. 若 f ( ) 且 f ( ) 则 f ( ) 思路点拨 分段函数的积分要注意其连续性 答案 f ( ) 解析 由题可知 f ( ) 当 时 d C 当 时 d C 故 C f ( ) 又 f ( ) 得 C = 并且 f ( ) 在 C 处连续 即 lim f ( ) lim f ( ) 可得 C = 即. d e 思路点拨 指数型分式转化为有理分式进行积分 f ( ) 答案 l e C e 解析 e d d de e e ( e ) e ( e ) 为 t e dt dt l C l C t( t) t t t e. 已知级数 则级数 的和为 6 ( ) l e C 则不定积分可转化 e 思路点拨 已知 S S S 中的任意两个量 可通过 S S S 这个关系式求第三个量 答案 8
9 浙江专升本考试群 6869 解析 ( ) 6 而 + 故 ( ) ( ) ( ) 6 8. 函数 y l 在 处的幂级数展开式为 思路点拨 幂级数展开题型需将被展开函数凑成常见的麦克劳林级数 再进行展开 展开 式需要写出收敛域 ( ) 答案 ( ) (] 解析 使用麦克劳林级数 y l l( ) y 5. 直线 z ( ) ( ) (] 与平面 y z 5 的交点坐标是 思路点拨 空间直线与空间曲面的交点或者空间曲面与空间曲面的交点可联立方程组求 解 答案 () y z z 解析 可转化为 即 y z 可求得 y 故其交点为 y z 5 y z 5 z () 三 计算题 ( 本题共有 8 小题 其中 6~9 小题每小题 7 分 ~ 小题每小 题 8 分 共 6 分计算题必须写出必要的计算过程 只写答案的不给分 ) 6. 设 f ( ) 求 f ( ) 思路点拨 已知复合函数的表达式求函数 可将复合部分整体代换 答案 f ( ) ( ] [ ) 解析 可将 f ( ) 转化为
9 浙江专升本考试群 6869 f ( ) ( ) 令 t 则 f ( t) t 又 时 t 同理 时 t 故 f ( ) ( ] [ ) 7. 求极限 lim cos 答案 解析 lim cos lim d y 8. 设 y cos[ f ( )] 其中 f 具有二阶导数 求 d 答案 cos[ f ( )] [ f ( ) ] si[ f ( )] f ( ) si[ f ( )] f ( ) 解析 先求一阶导数 dy d si[ f ( )] f ( ) 再求 d y d cos[ f ( )] [ f ( ) ] si[ f ( )] f ( ) si[ f ( )] f ( ) 9. 已知曲线 y a b 与 y y 在点 ( ) 处有公切线 求 a b 的值 思路点拨 两条曲线具有公切线有两个条件 经过同一个切点 在该切点的斜率一样 答案 a b 解析 先求 y y 曲线在 ( ) 出的斜率 y y y y 可解得 y 而 y a b 与与 y y a b 公切线 故 y() y() 即有 即 a b a. 讨论方程 l a( a ) 有几个实根 思路点拨 讨论方程的根的个数问题需要结合函数单调性 零点定理 在点 ( ) 处有 答案 当 a e 该方程有两个实根 a 时 该方程有一个实根 当 a 时 该 e e 方程有一个实根 解析 设函数 f ( ) l a( ) f ( ) a( ) 当 时 a f a
9 浙江专升本考试群 6869 f ( ) 在 a 上递增 在 a 上递减 a 时取最大值 又 lim f ( ) lim f ( ) 当 f l a 时 即 a 该方程有两 a e 个根 f l a 时 a 时 该方程有一个根 当 a e a 时 该方程有一个根 e. 求 d 思路点拨 有理分式的积分常使用拆分的方式处理 答案 l arcta C f l a a 解析 d + d d l arcta. 计算 si cos d 思路点拨 分段函数的积分采取积分区间可加性进行处理 答案 解析 si cos d (cos si )d (si cos )d C (si cos ) ( cos si ). 求曲线 ( b) y a ( b a ) 所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的 体积 答案 a b 解析 a π( ) d a π( ) d a π d a a a b a y y b a y y b a y y 令 y a si t π π a π d ππ cos d( si )= ππ cos d a b a y y ba t a t ba t t a b
9 浙江专升本考试群 6869 四 综合题 ( 本大题共 小题 每小题 分 共 分 ). 已知函数 y ( ) 求 : () 函数的单调区间及极值 ; () 函数图形的凹凸区间及拐点 ; () 函数图形的渐近线 答案 () f ( ) 的单调递增区间为 ( ) [ ) f ( ) 的单调递减区间为 () 其中 处 函数取极小值 7 f () ; () f ( ) 的凹区间为 [) ( ) f ( ) 的凸区间为 ( ) 其中 () 为函数拐点 ; () 为其垂直渐近线 y 为其斜渐近线 ( ) ( ) ( ) 解析 () 先对 f ( ) 求导 f ( ) ( ) ( ) 令 f ( ) 可得 划分区间可得 ( )[) 上 f ( ) 在 () 上 f ( ) 在 [ ) f ( ) 综上 f ( ) 的单调递增区间为 ( ) [ ) f ( ) 的单调递减区 间为 () 其中 处 函数取极小值 7 f () 6 () 由 () 可求 f ( ) 显然 ( ) 上 f ( ) 在 [) ( ) 上 ( ) f ( ) 综上 f ( ) 的凹区间为 [) ( ) f ( ) 的凸区间为 ( ) 其中 () 为函数拐点 () 先求垂直渐近线 lim ( ) 故 为其垂直渐近线 ; 水平渐近线 lim ( ) 故无水平渐近线 ; f ( ) 再求其斜渐近线 k lim lim ( )
9 浙江专升本考试群 6869 b lim f ( ) lim lim 故其斜渐近线为 y ( ) ( ) 5. 已知 f ( ) 计算 : () S f ( )e d ; () S f ( )e d () 答案 () e e ;() e e e 解析 被积函数为分段函数 根据积分区域可加性可拆分 S f ( )e d e d ( )e d e e () 同 () S f ( )e d ( )e d [ ( )]e d () e e e 6. 设 f ( ) si ( t) f ( t)dt 为连续函数 试求 f ( ) 思路点拨 积分方程可通过求导转化为微分方程求解 注意其初始条件 答案 f ( ) si cos 解析 先可将 f ( ) si ( t) f ( t)dt 化简为 f ( ) si f ( t) dt tf ( t)dt 将 代入得 f ()= 两边同时对 求导可得 即 f ( ) cos f ( t)d t f ( ) f ( ) f ( ) cos f ( t)dt 将 代入得 f ()= 两边同时 求导可得 f ( ) si f ( ) 即 y y si 设其齐次的通解为 C cos C si 设 y ( a cos b si ) 代入该微分方程可得 a b 故其通解为
9 浙江专升本考试群 6869 f ( ) C cos C si cos 又 f ()= f ()= 可求得 C C 故 f ( ) si cos