三角函數與複數一有向角及其角度每一個角是由共有一端點的兩條射線所構成, 此兩射線稱為此角的兩邊, 而它們共有之端點稱為此角的頂點一個有向角 A 的兩邊中, 有一邊稱為始邊, 另一邊稱為終邊若由 A 的始邊繞頂點旋轉至終邊的方向是逆時針方向, 則稱 A 為正角, 若為順時針方向, 則稱 A 為

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弗陈吉
5 years ago
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1 三角函數與複數一有向角及其角度每一個角是由共有一端點的兩條射線所構成, 此兩射線稱為此角的兩邊, 而它們共有之端點稱為此角的頂點一個有向角 A 的兩邊中, 有一邊稱為始邊, 另一邊稱為終邊若由 A 的始邊繞頂點旋轉至終邊的方向是逆時針方向, 則稱 A 為正角, 若為順時針方向, 則稱 A 為負角習慣上, 若無特別指明, 我們將以直角座標平面的原點為任一有向角的頂點, 且以 x 軸的正向為任一有向角的始邊正角的角度為正數, 負角的角度為負數例如, 在 x 軸正向任選一點 X, 自 OX 逆時針方向繞原點旋轉一周回到 OX, 則得一個角度為 360 的正角, 若旋轉兩周, 則角度為 70 若旋轉方向為順時針方向, 則旋轉一周時角度為 360, 旋轉兩周時角度為 70 以此類推, 對於每一個實數 r, 均可找到一個有向角使其角度為 r 角的測量單位, 除了度之外, 尚有弧度單位, 也稱為弳度單位在直角座標平面上, 以原點為圓心, 做一個半徑為 1 的圓, 稱為單位圓若一有向角的終邊與 OX 在單位圓上所夾的弧長為 1, 則稱此角為 1 弧度或 1 弳度設一有向角的角度為 α 且為 θ 弧度, 因其終邊與 OX α 在單位圓上所夾之弧長為 π = π α, 則 θ = πα 180, 即 θ π = 常見的一些特別角的角度如下 : 度 α 180 π π π π π 3π 弧度當討論三角函數時, 角度的單位並無直接關係, 但習慣上, 若無特別指明, 均以弧度為角度單 5π 6 π 位因此使用時, 並不寫明角度單位例如, A = 30 是指 A 為 30 弧度, 並非 30 由以上的討論, 很容易得 : [ 定理 1.1 ] 若一扇形的半徑為 r, 中心角為 θ, 則此扇形的面積為 1 r θ, 且中心角所對之弧長為 rθ 1

2 二三角函數的定義與圖形在這一節, 將定義任一有向角 θ 的三角函數值設 θ 之終邊與單位圓的交點座標為 (a, b), 則定義 cos θ = a 且 sin θ = b 由此定義直接得 : cos θ 1, sin θ 1 且 cos θ + sin θ = 1 例 θ 0 π cos θ sin θ 0 1 π π π π π 5π π 始邊與終邊均重疊的任意兩個有向角稱為同界角若 θ 為一個有向角, 則其所有同界角為 θ + nπ, 其中 n 是整數, 且由定義得 cos(θ + nπ) = cos θ 且 sin(θ + nπ) = sin θ. 定義 : 設 f 為一函數, 若存在實數 p 0 使得 f(x + p) = f(x) 對任意 x 均成立, 則稱 f 為一個週期函數, 而 p 稱為 f 的一個週期若 p 0 是 f 之所有週期中的最小正數, 則稱 p 0 是 f 的主週期例 : 正弦和餘弦函數均為週期函數, 主週期均為 π [ 定理.1 ] cos( θ) = cos θ, sin( θ) = sin θ 證明 : 設 θ 的終邊交單位圓於點 P, 且 θ 的終邊交單位圓於點 P 因為 P 與 P 對稱於 x 軸, 則 cos( θ) = cos θ 且 sin( θ) = sin θ [ 定理. ] cos(θ + π) = cos(θ π) = cos θ, sin(θ + π) = sin(θ π) = sin θ 證明 : cos(θ + π) = cos(θ π + π) = cos(θ π), 同理 sin(θ + π) = sin(θ π) 設 θ 之終邊交單位圓於點 P, 而 θ + π 之終邊交單位圓於點 P 因為原點是 P 與 P 的中點, 所以 cos(θ + π) = cos θ, sin(θ + π) = sin θ [ 定理.3 ] cos( π θ) = sin θ, cos( π +θ) = sin θ, sin( π θ) = cos θ, sin( π +θ) = cos θ

3 證明 : 由 sin 與 cos 的週期性, 只需考慮 0 θ < π 的情形首先設 0 θ < π, 當 θ = 0 時, 顯然成立當 0 < θ < π 時, 點 (cos( π θ), sin( π θ)) 與點 (cos θ, sin θ) 對稱於直線 y = x, 所以 cos( π θ) = sin θ, sin( π θ) = cos θ, 且 cos( π + θ) = cos(π π + θ) = cos(θ π ) = cos(π θ) = sin θ sin( π + θ) = sin(π π + θ) = sin(θ π ) = sin(π θ) = cos θ 當 π θ < π 時, 令 α = θ π 則 0 α π 且 cos( π θ) = cos(π α π) = cos(π + α) = sin α = sin(θ π) = sin θ sin( π θ) = sin(π α π) = sin(α + π ) = cos α = cos θ 仿 0 θ < π 之討論可得,cos( π + θ) = sin θ 且 sin( π + θ) = cos θ 現在定義其它四個三角函數如下 : tan θ = sin θ cos θ cot θ = cos θ sin θ sec θ = 1 cos θ csc θ = 1 sin θ 當 cos θ 0, 即當 θ nπ + π, 當 sin θ 0, 即當當 θ nπ + π, 當 θ nπ, 其中 n 是任意整數由定理.1, 定理. 及定理.3 得 : θ nπ, [ 定理.4 ] (1) tan( θ) = tan θ, cot( θ) = cot θ, sec( θ) = sec θ, csc( θ) = csc θ () tan(θ+nπ) = tan θ, cot(θ+nπ) = cot θ, sec(θ+nπ) = sec θ, csc(θ+nπ) = csc θ, 即正切和餘切是主週期為 π 的週期函數, 而正割和餘割是主週期為 π 的週期函數 (3) tan( π θ) = cot θ, cot( π θ) = tan θ, sec( π θ) = csc θ, csc( π θ) = sec θ 3

4 當設 θ 為一有向角, 若其終邊位於第 k 象限 (k = 1,, 3 或 4), 則稱 θ 為第 k 象限角下表說明三角函數在各象限角之函數值的性質符號 θ sin θ cos θ tan θ cot θ sec θ csc θ 第一象限第二象限 + + 第三象限 + + 第四象限 + + 三角函數之圖形 : 4

5 練習題 1. 將下列角度轉換成弧度角 : (a) θ = 150 (b) θ = 45 (c) θ = 300 (d) θ = 7 (d) θ = 144 (f) θ = 將下列弧度角轉換成角度 : (a) 5π 1 (b) 7π 1 (c) 3π 8 (d) 3π (e) π 3 (f) 3π 4 3. 假設一圓其半徑為 3, 其中有一弧其所對應的圓周角為 75, 求其弧長 4. 求下列三角函數的週期 : (a) cos(3θ + π) 4 (b) sin( θ + π) (c) cos( θ) sin( θ ) 3 (d) tan(θ + π) (e) cot( 3θ π) 4 (f) tan θ cot θ (g) sec( 3θ) (h) csc(6θ) (i) sec 5θ csc 4θ 5. 求下列三角函數的值 : (a) cos 3π (b) sin 5π (c) tan 3π (d) cot 5 11 π (e) sec π (f) csc 5π 求 tan θ, cot θ, sec θ 和 csc θ 的值 : (a) θ = 6π (b) θ = 30 (c) θ = 150 (d) θ = 40 (e) θ = 3 π (f) θ = 8 3 π 7. 判斷下列三角函數值的正負 : (a) cos 1110 (b) sin 1110 (c) tan 1110 (d) cot 1110 (e) sec 1110 (f) csc 畫下列三角函數的圖 : (a) y = 3 sin θ 3 (b) y = 3 sin(θ 1) (c) y = sin( θ + 1) 9. 畫下列三角函數的圖 : (a) y = tan θ (b) y = 3 sec θ 3 (c) y = csc 6θ 5

6 三三角恆等式這節是討論一些有關三角函數的恆等式, 這些恆等式是處理三角函數的基本工具 [ 定理 3.1 ] ( 平方關係 ) sin θ + cos θ = 1 tan θ + 1 = sec θ cot θ + 1 = csc θ [ 定理 3. ] ( 複角公式 ) cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β 證明 : 可設 0 α β < π, 其它的情形可利用定理. 與此處之證明討論之當 α β = 0 時, 顯然成立, 因此設 α β > 0 考慮單位圓上四點 P 1 (cos α, sin α), P (cos β, sin β), P (cos(α β), sin(α β)) 與 A(1, 0) 因為 AP = P 1 P, 所以 (cos α cos β) + (sin α sin β) = (1 cos(α β)) + sin (α β) (cos α cos β + sin α sin β) = cos(α β) cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β [ 定理 3.3 ] ( 複角公式 ) cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β 證明 : cos(α + β) = cos(α ( β)) = cos α cos( β) + sin α sin( β) = cos α cos β sin α sin β sin(α + β) = = cos( π (α + β)) = cos((π α) β) cos( π α) cos β + sin(π α) sin β = sin α cos β + cos α sin β sin(α β) = sin(α + ( β)) = sin α cos( β) + cos α sin( β) = sin α cos β cos α sin β 6

7 [ 例 ]: 求 sin π 5π, sin 1 1 解 : sin π 1 = sin(π 4 π 6 ) = sin π 4 cos π 6 sin π 6 cos π 4 sin 5π 1 = = 6 = sin( π 4 + π 6 ) = sin π 4 cos π 6 + sin π 6 cos π 4 = [ 定理 3.4 ] (1) ( 倍角公式 ) sin θ = sin θ cos θ, () ( 半角公式 ) sin ( θ) = 1 cos θ, cos ( θ) = 1+cos θ [ 例 ]: 求 sin π 8 與 cos π 8 cos θ = cos θ sin θ = cos θ 1 = 1 sin θ 解 : sin ( π 8 ) = 1 cos π 4 cos ( π 8 ) = 1 + cos π 4 = 1 = + 4 = 4 sin π 8 > 0 且 cos π 8 > 0 sin π 8 = 且 cos π 8 = + [ 例 ]: 設 a, b 是實數, 則 a cos θ + b sin θ 之最大值為 a + b, 而最小值為 a + b 解 : 若 a = b = 0, 則 a cos θ + b sin θ 之最大最小值均為 0 若 a + b > 0, 則 ( 為單位圓上一個點, 因此是某個有向角 α 之終邊與單位圓的交點, 即 cos α = a a + b 且 sin α = b a + b a cos θ + b sin θ = a + b (cos α cos θ + sin α sin θ) = a + b cos(θ α) 1 cos(θ α) 1 a + b a cos θ + b sin θ a + b a a, b +b a ) +b 當 θ = α 時,a cos θ + b sin θ = a + b, 而當 θ = α + π 時,a cos θ + b sin θ = a + b 所以 a cos θ + b sin θ 之最大值為 a + b, 最小值為 a + b 7

8 [ 定理 3.5 ] ( 積化和差 ) sin α cos β = 1 {sin(α β) + sin(α + β)} cos α cos β = 1 {cos(α β) + cos(α + β)} sin α sin β = 1 {cos(α β) cos(α + β)} [ 定理 3.6 ] ( 和差化積 ) sin α + sin β = sin α + β sin α sin β = sin α β cos α + cos β = cos α + β cos α cos β = sin α β cos α β cos α + β cos α β sin α + β 證明 : 令 θ = α+β, ϕ = α β, 則 θ + ϕ = α 且 θ ϕ = β, 利用複角公式可證得上列和差化積公式 8

9 1. 求下列各值 : (a) cos 100 cos 35 + sin 100 sin 35 (b) sin 77 cos 43 + sin 43 cos 77 (c) tan 177 tan tan 177 tan 4 練習題. 設 ABC 中, A = 36, B = C, 且 BC = 1 利用此三角形求 sin 18 與 cos 試證 (a) sin(θ 60 ) + cos(θ 30 ) = sin θ tan θ (b) = sin θ 1+tan θ (c) 1 tan θ = cos θ 1+tan θ 1 cos θ (d) 1+cos θ tan θ (e) tan θ + cot θ = csc θ (f) cos θ csc θ = cot θ (g) cos θ sin θ = cos θ (h) 1 cos θ = sin θ sin θ 1+cos θ (i) cos 4 θ sin 4 θ = cos θ sin sin θ θ (j) + 1+cos θ = csc θ 1+cos θ sin θ (k) (sin 6 θ + cos 6 θ) 3(sin 4 θ + cos 4 θ) = 1 (l) cos 0 0 cos 40 0 cos 80 0 = 試將 cos 4θ, cos 5θ, cos 6θ 表成 cos θ 的多項式 5. 設 f(x) = cos x 3 sin x 證明 f 是一個週期函數, 並求其主週期 6. 求 4 cos θ + 6 cos θ sin θ + 1 sin θ 的最大值與最小值 7. 試證 sin θ sin θ n = n Π n k=1 cos θ k 8. 證明 :cos(n + )θ = cos θ cos(n + 1)θ cos nθ, 其中 n 是任一實數 9. 試解下列方程式 (a) sin 4x + sin x = 0 (b) sin x + sin x = 0 (c) sec x + 1 = 0 (d) sin x + 3 sin x = 0 (e) sin x cos x + 4 = 證明 : sin θ θ 9

10 四三角形與三角函數由國中所學得的幾何不難得知, 下列任一條件均唯一決定一個三角形 : (a) 已知三邊長 (SSS) (b) 已知兩邊長及此兩邊的夾角 (SAS) (c) 已知兩內角及此兩內角的夾邊長 (ASA) (d) 已知兩內角及此兩內角中任一角的對邊長 (AAS) 在這節將討論如何利用三角函數求得上列四條件所決定的三角形處理此問題, 我將需要兩個主要定理, 即餘弦定理與正弦定理 [ 定理 4.1 ] ( 餘弦定理 ) 設 ABC 中,AB = c, BC = a, CA = b, A = α, B = β, C = γ, 則 a = b + c bc cos α b = a + c ac cos β c = a + b ab cos γ 證明 : 此處將證明 a = b + c bc cos α, 其它兩等式之同理可證得將 ABC 置於直角座標平面上, 使頂點 A 為原點,AB 在 x 軸正向上, 且 AC 在 x 軸上方, 如右圖, 則 B 之座標為 (c, 0),C 之座標為 (b cos α, b sin α), 且 C(b cos α,b sin α) a = BC = (c b cos α) + b sin α α = c bc cos α + b cos α + b sin α A(0,0) B(C,0) = b + c bc cos α [ 定理 4. ] ( 正弦定理 ) 設 ABC 之三邊長與三內角如定理 4.1 所述, 則 sin α a = sin β b = sin γ c = 1 R 其中 R 是 ABC 外接圓的半徑 A A A B O C B O C B C D A 為銳角 A 為直角 A 為鈍角 10

11 證明 : 令 O 為 ABC 之外心若 A 為直角, 則 a = R 且 sin α = 1 = a, 若 A 不是直 R 角, 取 ABC 之外接圓上過 B 之直徑的另一端點 D, 則 BCD 是直角當 A 為銳角時, BDC = α 且 sin α = a R 當 A 為鈍角時, BDC = π α 且 1 同理可證 = sin β R b = sin γ c a R = sin(π α) = sin α 例 : 設 ABC 中, A = 5π 1, AC =, AB = 3, 求 BC, B, C 解 : BC = ( ) + ( 3) 3 cos 5π 1 = (1 4 3) = = ( 6 + ) BC = 6 + 令 B = β, 則 cos β = ( 6 + ) + ( 3) ( ) ( 6 + ) 3 = 1 B = π 4, 且 C = π 3 例 : 設 ABC 中, A = π 6, B = π 4, 且 AB = 1, 求 AC, BC 解 : C = 7π 1, 且 sin π 6 BC = sin π 4 AC = sin 7π 1 1 = BC = AC = 48 ( 6 + ) = 6( 6 ) 48 = 1( 3 1) ( 6 + ) 11

12 練習題在下列問題中, 固定以 α, β, γ 表示 ABC 之三內角, 且以 a, b, c 表示 ABC 之三邊長, 如定理 4.1 所示 1. 證明 :a = b cos γ + c cos β, b = a cos γ + c cos α, c = a cos β + b cos α ( 投影定理 ). 設 b = c 且 α = π 1, 求 a : b : c 3. 設 b = 5, c = 8, α = π 6, 求 a 及 ABC 外接圓周長 4. 設 a = 3, β = γ = π 6, 求 b, c 與 ABC 外接圓半徑 1 5. 證明 ABC 的面積為 ab sin γ = 1bc sin α = 1 abc ca sin β = 4R 接圓半徑 6. 令 S = 1 (a + b + c), 證明 cos α = S(S a) bc, sin α = (S b)(s c) bc 7. 證明 ABC 之面積為 S(S a)(s b)(s c), 其中 S = 1 (a + b + c) 8. 設 a = 5, b = 6, c = 7, 求 ABC 之面積, 並求 ABC 之內切圓半徑 9. 設 M 為 BC 中點, 證明 4AM = b + c + bc cos α 10. 設 A 之平分線與 BC 相交於 I, 證明 :AI = bc b+c cos α, 其中 R 是 ABC 的外 11. 你能否找到 ABC 使得 a = 4, b = 15, 且 β = 5π 1? 請說明理由, 並說明你能找到幾個這樣的 ABC 1

13 五複數解一元二次方程式時, 可利用配方法將給定的方程式改寫為 (x a) = b (1) 其中 a, b 是實數當 b 0 時,(1) 式有實數解, 而當 b < 0 時,(1) 式無實數解在這節中, 將引進複數, 使得當 b < 0 時 (1) 式仍有解, 當然此時的解不是實數事實上, 解方程式 (1), 只需考慮 b 的平方根當 b < 0 時, b > 0 且 b = ( b)( 1) 我們定義 i 為 1 的一個平方根, 記為 i = 1, 即 i = 1 因此,b 的平方根為 ( b)i 與 ( b)i, 而方程式 (1) 的解為 a + bi 與 a bi 凡是可以寫成 x + iy 的數即稱為複數, 其中 x, y 是實數, 而 x 稱為 x + iy 的實部, 記為 x = Re(x + iy),y 稱為 x + iy 的虛部, 記為 y = Im(x + iy) 每一個實數均視為虛部為 0 的複數令 R 表示所有實數所構成的集合, 而 C 表示所有複數所構成的集合, 則 R C, 且任意實係數一元二次方程式在 C 中均有解如同 R 與實數線的對應關係,C 將與平面對應如下設 P 為平面上任一點, 若 P 在直角座標平面的座標為 (x, y), 則稱 P 對應複數 x + iy, 且稱 x + iy 是 P 的複數座標當一平面上每一點均賦予複數座標時, 此平面稱為複數平面或高斯平面複數平面上座標為 0 的點, 仍稱為原點 R 在複數平面上所對應的點集合稱為複數平面的實軸, 是原直角座標平面上的 x 軸而所有 iy 在複數平面上所對應的點集合稱為虛軸, 是原直角座標平面上的 y 軸在實數線上, 任一實數 r 的絕對值表示 r 到原點的距離沿用此觀念, 在複數平面上, 任一複數的絕對值, 記為, 仍表示到原點的距離因此, 若 = x + iy, x, y R, 則 = x + y 由絕對值之定義可得, 若 1 = x 1 + iy 1, = x + iy, x 1, y 1, x, y R, 則 1 與間的距離為 1 = (x 1 x ) + (y 1 y ) [ 定理 5.1 ] 設 1, 為兩複數, 則 1 = Re 1 = Re 且 Im 1 = Im 證明 : 1 = 1 = 0 例 : 複數平面上, 以 a C 為圓心,r > 0 為半徑的圓之方程式為 a = r 接著介紹複數的四則運算令 1 = x 1 + iy 1, = x + iy, x 1, x, y 1, y R, 定義 1, 間的運算如下 13

14 (1) 和 : 1 + = (x 1 + x ) + i(y 1 + y ), 由此定義得知 0 為加法單位元素, 且 + ( ) = 0, 其中 C () 積 : 1 = (x 1 + iy 1 )(x + iy ) = (x 1 x y 1 y ) + i(x 1 y + x y 1 ), 由此定義得知 1 為乘法單位元素若 = x + iy, = (x + iy)(x iy) x, y R, 則我們稱 x iy 為 = x + iy 的共軛複數, 記為 = x iy, 則 = 從幾何的觀點來看,, 對稱於實軸 (3) 商 : 設 = x+iy, x, y R 且 x +y 1 > 0, 則 = = x +i y, 又若 x +y x +y 0, 則 1 = 1 1 [ 定理 5. ] 設 1,, 3 C, 且 r R, 則 (1) 1 + = + 1, ( 1 + ) + 3 = 1 + ( + 3 ) () 1 = 1, ( 1 ) 3 = 1 ( 3 ) (3) 1 ( + 3 ) = (4) r 1 = (rre 1 ) + i(rim 1 ) [ 定理 5.3 ] 設 C, 則 Re = 1( + ) 且 Im = 1 i ( ) = ( ) 因此, R 的充 i 要條件為 = [ 定理 5.4 ] 設 1, C, 則 (1) 1 + = 1 +, () 1 = 1, (3)( 1 ) = 1 當 0 複數的表示法, 除了利用實部與虛部表示外, 尚有所謂的極式設 0 是一個複數, 令 θ 為以 o 為終邊的一個有向角, 則 = cos θ + i sin θ = (cos θ + i sin θ) = e iθ () 其中 e iθ = cos θ + i sin θ 稱為尤拉公式由定義 e iθ = 1 在 () 式中,θ 稱為的一個幅角 (argument), 記為 θ = arg 由幅角之定義得知, 若 θ 是的一個幅角, 則 θ + nπ 亦為的幅角, 其中 n 是整數, 又 arg = arg 14

15 利用三角函數的複角公式可證, 若 θ 1, θ R, 則 e iθ 1 e iθ = (cos θ 1 + i sin θ 1 )(cos θ + i sin θ ) = cos(θ 1 + θ ) + i sin(θ 1 + θ ) = e i(θ 1+θ ) 因此, 利用數學歸納法得下列隸美弗公式 : (cos θ + i sin θ) n = (e iθ ) n = e inθ = cos nθ + i sin nθ 其中 n 是任一整數 [ 定理 5.5 ] 設 1, C, 則 (1) 1 = 1, () 1 = 1 當 0 證明 : 當 1 = 0 或 = 0 時, 上列等式顯然成立設 1 0, 且令 θ 1, θ 分別為 1, 的一個幅角, 則 1 = 1 e iθ 1 e iθ = 1 e i(θ 1+θ ) 1 = 1 e iθ1 e = 1 iθ ei(θ 1 θ ) 例 : 求 i 的 5 次方根解 : i = 3( 1 3 i) = 3ei 5π 3 設 5 = i, 且設 = re iθ, 其中 r =, 且 θ R r 5 = 3 = r = e i5θ = e i 5π 3 = 5θ = 5π 3 + nπ = θ = π 3 + nπ 5, (n 是整數 ) 令 α = π 5, 則 i 的 5 次方根為 e i π 3, e i( π 3 +α), e i( π 3 +α), e i( π 3 +3α), e i( π 3 +4α) 15

16 練習題 1. 計算 (a) ( 3i) + (7 4i) (b) 3(4 + i) 5( 3 + 6i) (c) (1 + i)(1 i) (d) ( 3i)(7 + 4i). 將下列複數轉換成極座標表示式 : (a) 5i (b) 5 + 5i (c) 3i (d) 3 3i (e) + 3i (f) i (g) 1 3i (h) 4 3 4i 3. 將下列極座標表示式轉寫成直角座標表示式 : (a) e 3πi (b) e 7πi (c) 1 e 3 4 πi (d) 1 e 3 4 πi (e) 6e 1 6 πi (f) 4e 5 6 πi (g) 4e 5 πi (h) e i 4. 求下列複數之共軛複數與絕對值 : (a) 3 4i (b) 4 + 6i (c) 3 + 8i (d) 3i (e) 6e 1 4 πi (f) e i (g) 3e 1 3 πi (h) 10e 1 πi 5. 在複數平面上畫出集合 S = { C 0 a} 的圖形, 其中 0 C, 且 a > 0 6. 利用棣美佛公式並且直接展開 (cos θ + i sin θ) 4, 求 cos 4θ 和 sin 4θ 的公式 7. 利用歸納法證明棣美佛定理 8. 解方程式 7 14(1 + i) i = 0 9. 設 P (x) 是一個實係數多項式, 且其次數 > 0, 證明 : 若 α 是方程式 P (x) = 0 的一根, 則 α 亦為 P (x) = 0 的一根 10. 設 n > 1 是整數, 且 θ R (a) 求 cos θ n + cos θ n (b) 證明 :cos π n +cos 4π n (n 1)θ + + cos 與 sin θ θ (n 1)θ + sin + + sin n n n + +cos (n )π n = 1, sin π n +sin 4π n n + +sin (n )π n = 證明 : 若, w C, 則 + w + w 並問何時等號成立, 請說明理由 1. 設 1,, n C, 滿足 k < 1, k = 1,, n, 且設非負實數 λ 1,, λ n 滿足 nk=1 λ k = 1 證明 : n k=1 λ k k < 1 並請利用幾何的方法說明之 16

17 六複數與幾何這節的目的, 在說明如何利用複數座標處理平面幾何問題首先, 討論有關直線的問題設 a, b, c R 且 a + b > 0, 則方程式 ax + by + c = 0 表示直角座標平面上的一直線 L 令 = x + iy, 則 ax + by + c = a ( + ) + b ( ) + c = α + α + β i 其中 α = a+bi, 且 β = c 因此,L 的複數座標方程式為 α + α + β = 0 設 1, 為 L 上相異兩點, 則 α 1 + α 1 + β = 0 = α + α + β = α( 1 ) + α( 1 ) = 0 若複數平面上一點在 L 上, 則 α( 1 ) + α( 1 ) = 0 且即 1 1 是實數反之, 若 1 1 因此, 在 L 上 1 = α( 1) 1 α( 1 ) = α( 1) α( 1 ) = ( 1 ) 1 = r R, 則 = 1 + r( 1 ), 且 α + α + β = (α 1 + α 1 + β) + r{α( 1 ) + α( 1 )} = 0 [ 定理 6.1 ] 設 1,, 3 為複數平面上相異三點, 則 1,, 3 共線是實數沿用上列符號, 並設不在 L 上由定理 6.1 得知 Im 令 θ 為 1 1 的一個幅角滿足 0 < θ < π,( 見右圖 ) 令為對於 L 的對稱點, 則 θ 為 1 1 的一個幅角因為所以 1 1 = 1 1 = 1 1 = 1 1 若令 d 為到 L 的距離, 則 1 1 = 1 1 e iθ = ( 1 1 ) d = 1 sin θ = 1 Im( 1 1 ) 1 1 = 1 Im( 1 1 ) L L 1 θ θ or θ θ * 1 * 17

18 [ 定理 6. ] 設 1, 為複數平面上相異兩點, 且 L 為通過 1 與的直線 (1) 複數平面上兩點, w 對稱於 L 的充要條件為 w 1 1 = ( 1 1 ) () 設複數平面上一點不在 L 上, 則到 L 的距離為 1 Im( 1 1 ) (3) 設 L 的方向是由向量 1 所定義, 且不在 L 上, 則位於 L 的左邊 Im( 1 1 ) > 0, 而位於 L 的右邊 Im( 1 1 ) < 0 接著, 談一談關於圓的問題類似於三點是否共線之問題的討論, 我們想了解何時複數平面上相異四點共圓設 1,, 3, 4 為複數平面上相異四點, 且設這四點中, 任意三點不共線令 C 表示通過, 3, 4 的圓, 且設在 C 上, 由經 3 到達 4 的方向為逆時針方向令 θ 為 4 3 的一個幅角滿足 0 < θ < π, 則 4 4 π θ 1 1 θ θ θ 3 3 令稱為 1,, 3, 4 的交比 (Cross ratio) 在 C 上 θ 或 π θ 為的幅角 R = : 3 4 = ( 1,, 3, 4 ) [ 定理 6.3 ] 設 1,, 3, 4 為複數平面上相異四點, 則 1,, 3, 4 共圓 ( 1,, 3, 4 ) R 沿用上列符號, 並設 1 不在 C 上令 α 為 ( 1,, 3, 4 ) = e i(θ+α) 18 的一個幅角滿足 0 < α < π, 則

19 若 1 位於 C 的內部, 則 π θ < α π 或 π α < θ 因此 π < α + θ < π 或 0 > α + θ > α π, 且 Im( 1,, 3, 4 ) < α 1 1 θ α θ π θ θ 3 3 若 1 位於 C 的外部, 則 0 α < π θ 或 θ < α 0, 因此 0 < α+θ < π 且 Im( 1,, 3, 4 ) > α 4 θ θ π θ θ α [ 定理 6.4 ] 設 1,, 3 為不共線的三點, 且 C 為此三點所決定的圓並設在 C 上, 由 1 經到達 3 的方向是逆時針方向複數平面上一點不在 C 上則位於 C 之內部 Im(, 1,, 3 ) < 0, 位於 C 之外部 Im(, 1,, 3 ) > 0 19

20 練習題 1. 求下列方程式的軌跡 (a) i +i = 3 i (b) arg( ) = π +i. 設 α, β 是兩相異複數, 且 r > 0, θ 是實數, 求下列方程式的軌跡 (a) α = r β (b) arg( α β ) = θ 3. 証明 1 = i, = 1 + 3i, 3 = 4 + 9i 三點共線 4. 証明 1 = 3 + i, = + i, 3 = 1 + i, 4 = 四點共圓, 並求其半徑 r 與圓心 5. 求圓方程滿足圓心在 3 i, 半徑為 4 6. 設 Γ 表示複數平面上的一個圓, 則 Γ 的方程式可寫為 + α + α + β = 0, 其中 α 是複數, 且 β 是實數請問 α, β 必須滿足什麼條件? 說明之 7. 假設 1,, 3, 4 為共圓四點, 其圖形如下求証 = 設 Γ 表示複數平面上的一個圓, 且設 1,, 3 是 Γ 上相異三點我們稱複數平面上兩點, w 對稱於 Γ, 若 (w, 1,, 3 ) = (, 1,, 3 ) (a) 設 Γ 的圓心為 a C, 且半徑為 r > 0 證明 : 複數平面上點對於 Γ 之對稱點為 r a + a (b) 設 L 為一直線正交於 Γ, 即若 0 是 L 與 Γ 之一交點, 則在 0 與 Γ 相切之直線垂直於 L 證明 : 若是 L 上一點, 則對於 Γ 之對稱點也在 L 上 (c) 設 C 為一圓正交於 Γ, 即若 0 是 C 與 Γ 之一交點, 則在 0 與 C, Γ 相切之兩直線互相垂直證明 :r + t = a b 並證明 : 若是 C 上一點, 則對於 Γ 之對稱點也在 C 上 0

第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒一有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負角度與弧度 : 1() 1() 弧度弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角

第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒一有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負角度與弧度 : 1() 1() 弧度弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角一有向角及其度量. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 8. 角度與弧度 : () () 弧度 57.957 弧度 = 8 只有代表弧度時為 8, 其餘皆為.4 ( D ). 角為 (A) 直角 (B) 鈍角 (C) 平角 (D) 銳角. 5 等於 5 8 弧度角度弧度 6 45 4 6 9 5 5 6 8 7 6 看到角度弧度, 8 擺分母 ; 看到弧度角度, 擺分母. 扇形的弧長與面積