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劝廉
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1 因數與倍數因數倍數與質數 : () 因數與倍數 : 若 c=a b, 且 a b c 是非零整數, 則 a b 是 c 的因數,c 是 a b 的倍數 () 質數 : 一個大於的整數, 如果只有和本身兩個正因數, 就再也沒有其他正因數, 則稱這個數為質數 () 質因數 : 如果一個整數的因數且此因數也是質數, 則稱此因數為這個整數的質因數範例 : 是的因數, 同時也是質數, 所以是的質因數 () 標準分解式 :. 質因數分解 : 將一個大的數分解成其質因數的連乘積. 標準分解式 : 將整數分解成其質因數的連乘積時, 以指數的記法來表示並規定按照質因數的大小, 由小到大排列最大公因數 : () 公因數與最大公因數 : 如果一個整數 a 同時為某幾個整數的因數時, 則稱 a 為這幾個整數的公因數公因數找出公因數中最大的數, 稱為這幾個數的最大公因數 (Greatest Common Divisor), 簡稱 g.c.d., 可用 (a,b)=d 來表示範例 : 求 (6,)=? 及 (6,,0)=? 解 : 6 的因數 : 6 ; 0 的因數 : 0; 的因數 : 6 ; 故 (6,)= 6; (6,,0)= () 互質 : 設 a b 為兩個正整數, 如果 a b 兩數的最大公因數為的時候, 我們稱 a b 這兩數互質, 記做 (a,b)= 範例 :8 與 9 兩數互質嗎? 解 :8 的因數有 8 ; 9 的因數有 9 因此,(8,9)=, 所以 8 與 9 互質

2 () 最大公因數的求法 :. 羅列法 : 將幾個整數的全部因數都寫出來, 有相同者即為公因數, 再找公因數中的最大者, 就是最大公因數範例 : 的因數有 : 6 8. 質因數分解法 : 8 的因數有所以與 8 的公因數有 : 6, 其中最大的數是 6; 所以 (,8)=6 將每一個自然數做質因數分解, 如果它們有共同的質因數時, 則在共同的質因數中, 取次方較低者相乘就可得出它們的最大公因數範例 : 求 6 90 和 9 的最大公因數 =? 解 : 先將 6 90 和 9 質因數分解, 6= 7= 7,90= = 7,9= 7 7= 7 以上三個數中, 的最低次方為次的最低次方為 0 次 7 的最低次方為次, 所以 (6,90,9)= 0 7 =. 短除法 : 是質因數分解的簡要紀錄範例 : 求 8 7 和 08 的最大公因數 =? 解 : 由質因數分解可得 :8=,7= 6,08= 9 將其寫成如下的形式, 8, 7,08, 6,, 8, 7, 6, 9. 輾轉相除法 : 利用輾轉相除法得到最大公因數注意 : 此法適用於當兩數的值都很大時範例 :(7,89)=? 解 : 最大公因數 (g.c.d) 停止所以 (8,7,0)= = 所以得到 (7,89)=9

3 () 最大公因數的應用 : 範例 : 求 ( 7, 7, 解 : ( 7, 7, ) ) 且次數最低的質因數相乘, 即可得 : ( 7, 7, 所以即為所求 ) =? 並將答案寫成標準分解式, 將個標準分解式中都有出現 = 範例 : 將 6 個橘子 8 個芒果 60 個蘋果分裝在幾個禮盒裏, 使同一種水果在每解 : 三最小公倍數 : () 公倍數 : 一盒裏有一樣多個, 問最多可裝幾盒? 其中橘子幾個? 芒果幾個? 蘋果幾個? 6 = 盒子數橘子個數 8 = 盒子數芒果個數 60 = 盒子數蘋果個數若要裝最多, 盒子數要取最大的數, 因此必須求的最大公因數 : 所以 ( 6,8,60 ) = 芒果個, 蘋果個 =, 表示可分成盒其中橘子個, 答 : 最多盒, 每個盒裏有橘子個, 芒果個, 蘋果個如果一個整數 a 同時為某些整數的倍數時, 則稱 a 為這些整數的公倍數公倍數找出公倍數中最小的數, 稱為這幾個數的最小公倍數 (Least Common Multiple), 簡稱 l.c.m., 可用 [a,b]=d 來表示範例 : 求 [8,,] =? 解 : 8 和大於 0 的公倍數有 : 等等, 其中最小是 0, 稱為 8 和的最小公倍數 ; 用 [8,,] 表示 8 和的最小公倍數, 記為 8,,]=0 6, 8, 60 8,, 0 9,,,,

4 () 最小公倍數的求法 :. 羅列法 : 將幾個整數大於 0 的倍數分別寫出, 直到有相同的數字出現, 這些相同的數就是公倍數, 而其中最小者就是最小公倍數範例 : 求 [,6]=?( 羅列法 ) 解 : 分別列出及 6 的倍數, 如下表 : 的倍數的倍數由上表, 可以清楚地看到, 和 6 大於 0 的公倍數為 :8 96 等, 其中最小是 8, 所以 [,6]=8. 質因數分解法 : 將每一個自然數做質因數分解, 然後在共同的質因數中, 取次方數較高者, 不同的質因數就以原來的次方相乘相乘, 就可得出它們的最小公倍數範例 : 求 600 和 60 的最小公倍數解 : 先將 600 和 60 質因數分解 = 7= 7 600= = 60= 7= 7 以上三個數中, 的最高次方為次的最高次方為次的最高次方為次 7 的最高次方為次所以 (,600,60)= 7=600. 短除法 : 求最小公倍數的步驟如下 : (i) 逐次以這幾個數共同的質因數或部分自然數共同的質因數去除, 直到每兩個都互質為止 (ii) 最小公倍數就是共同的質因數與最後兩兩互質的這些數之乘積範例 : 求 [60,90,0]=?( 短除法 ) 解 : 60, 90,0, 8,, 6, 7,, 7 所以 [60,90,0]= 7=60

5 () 最小公倍數的應用 : 範例 : 甲數用 8 去除餘 6, 用去除餘 9, 用去除餘, 問甲數至少是多少? 解 : 甲數 =8 商 +6; 甲數 = 商 +9; 甲數 = 商 +; 所以甲數用 8 去除餘 6, 用去除餘 9 及用去除餘, 表示都不足 ; 甲數 =8 商 -; 甲數 = 商 -; 甲數 = 商 -; 因此甲數 + 為 8 的公倍數, 問甲數至少是多少, 則甲數 + 為 8 的最小公倍數 :[8,,]=8 =0 因為甲數 +=0, 所以甲數 =0-=8 答 : 甲數為 8 範例 : 求 [ 7,8, ] =? 並將答案寫成標準分解式 : 解 :8 寫成標準分解式為 ; 所以整個式子可寫成 : [ 7,, ], 將個標準分解式中所有已列出且最高次數的質因數相乘, 即可得 : [ 7,, ] = 7 所以 [ 7,8, ] = 7 注意 : 分數除法的另一種表示如下 : A A C = B A D =, 此分數表示為繁分數 B D C B C D 範例範例 : 求 =? + + 解 : = = = = 答 : =

6 . 計算 ( ) ( ) + ( ) 之值為何? 9 年第一次基測 (A) (B) (C) (D) 重點 : 分數的次方與四則運算 6 = = + 9 = = 6 ( ) ( ) + ( ) ( 8) ( ) + 9. 若 a b c 為三個相異的正整數, 則下列四個選項中的式子, 哪一個是正確的? (A) a ( b c ) = a a (B) a ( b c ) = a + a b c b (C) a ( b c ) = a (D) a ( b c ) = a b + c b c 重點 : 分數的改寫法 9 年第一次基測 a a ( b c ) = b c 答案選 (D) = a b c = a ( ) ( ) ( ) ( b c ) = a c b c. 大小相同的正方形紙牌若干張, 可以緊密地排出不同形狀的長方形若拿 6 張, 可排出兩種形狀, 如圖 ( 十二 ); 若拿張, 可排出三種形狀, 如圖 ( 十三 ) 如果拿 6 張紙牌, 最多可以排出幾種不同形狀的長方形? 9 年第一次基測 (A) (B) (C) 6 (D) 9 重點 : 因數與倍數 6 = 6 = = = 6 = 6 = 6 = 8 = = 9 = 6 6 ( 共五種 ) 第一種第二種 ( 以上兩種情形視為同一種 ) 圖 ( 十二 ) 第一種第二種第三種圖 ( 十三 ) 6

7 . 求 ( + ) ( ) 之值為何? 9 年第一次基測 8 (A) (B) (C) 8 重點 : 分數的四則運算 (D) 原式 = ( ) = ( ) = 8 8 答案選 (A) 6. 已知甲 = 乙 = 丙 = +, 比較甲乙丙三數的大小, 下列敘述何者正確? (A) 甲 = 乙 (B) 甲 = 丙 (C) 甲 < 乙 (D) 甲 < 丙 9 年第一次基測重點 : 分數比大小甲 = = + = 丙 > 乙 = 求 ( ) ( (A) 8 (B) 8 (C) 重點 : 分數的四則運算 8 求值式 = ( ) ( ) = 答案選 (A) ) 之值為何? 9 年第一次基測 88 (D) 下列四個數中, 哪一個與互質? 9 年第一次基測 (A) (B) 0 (C) (D) 77 重點 : 互質的意義 = (A) = 7 (B) 0 = (C) = 7 (D) 77 = 7 答案選 (A) 7

8 8. 計算 ( 9) 8 ( ) 之值為何? 9 年第一次基測 9 (A) (B) (C) 0 (D) 0 重點 : 分數的四則運算原式 = 7 8 = 7 8 ( ) = 7 + = 可表示成下列哪一個式子? 9 年第一次基測 (A) 7 (B) ( 7+ ) ( + ) (C) 7+ + (D) ( 7 ) ( ) 重點 : 分數的換算 Q 7 = 7 +, = + 原式 = ( 7 + ) (+ ) 7 0. 計算 0.6 ( ) + (. ) 之值為何? 模擬 9 年第一次基測 8 6 (A). (B). 6 (C). (D). 7 重點 : 分數的四則運算 6 7 原式 = ( ) + ( ) 7 0 ( 7 7 = + ) = + = = 0. + =.6. 設 a b 代表大於 a 且小於 b 所有質數的個數例如 : 大於 0 且小於的質數有兩個質數, 所以 0 = 若 0 c =, 則 c 可能為下列哪一個數? (A) 8 (B) (C) 6 (D) 0 9 年第一次基測重點 : 質數的個數找法 Q 大於 0 的兩個質數為 7 c = 8 答案選 (A) 8

9 a. 將 9 做質因數解後可得 c 9 (A)0 (B) (C)6 (D)0 重點 : 質因數分解 9 = a + c = + = 6 答案選 (C) 9, 求 a + c =? 9 年第一次基測. 下列哪一個式子是錯誤的? 9 年第一次基測 (A) (C) + + = + + (B) = (D) 重點 : 分數四則運算 (A) (B) (C) 式子皆對而 (D) a b b a ( 除法計算應由左至右計算 ) = = = 是錯誤的分數的除法轉變為乘法需要分子分母上下互換, 故在除號後面的分數不可隨意變換位置其應該改為 = 答案選 (D) 0. 化簡 ( x y ) ( x y ) 之後, 可得下列哪一個結果? 9 年第一次基測 6 6 (A) x y (B) 60x 9y (C) 70x y (D) x y 重點 : 分數加減運算 ( x y ) ( x y ) = x x y + y = x y + y = x y = x y 答案選 (A) 9

10 . 有甲乙兩種長方形紙板各若干張, 其中甲的長為 8 公分, 寬為 0 公分 ; 乙的長為 8 公分, 寬為 0 公分, 如圖 ( 十一 ) 所示今依同種紙板不相鄰的規則, 將所有紙板由左至右緊密排成圖 ( 十二 ) 的長方形 ABCD, 則下列哪一個選項可能是 AD 的長度? 0 0 A 9 年第一次基測 D 8 甲 8 乙... 圖 ( 十一 ) B 圖 ( 十二 ) C (A)770 公分 (B)800 公分 (C)80 公分 (D)980 公分重點 : 分數除法與數的推理 = 70, AD 長度為 70 n + 0, n 為正整數 (A) 不能整除 (B) = (C) (D) 70 不能整除不能整除 6. 小娟想用 60 塊邊長為的正方形紙板, 緊密地拼湊成面積為 60 的長方形, 則此長方形的周長最小可為多少? (A) 0 (B) (C) (D) 60 重點 : 因數的基本分解 60 = 60 (+ 60) = = 0 ( + 0) = 6 = 0 ( + 0) = 6 = ( + ) = 8 = ( + ) = = 6 0 ( 6 + 0) = L 周長最小 9 年第二次基測 ( 此題可推得長方形的圖形若越接近正方形的圖形, 則長方形的周長會越長 ) 0

11 7 7. 計算 6 ( +) 的過程, 下列哪一個是正確的? 8 9 年第二次基測 (A) ( +) = + (B) ( ) = 7 9 (C) ( +) = + (D) ( ) = 因數與倍數重點 : 分數的四則運算觀念 : ( ) a = a ( b + c ) a + a ( ) a b c = a a ( b c ) b + c b c b c 一個式子裡, 若有加減乘除法而無任何括號, 則必須先乘除後加減, 但是若只有乘法與除法, 則式子由左至右依序運算 8 6 例如 : = = ( 正確 ) = ( ) = = = ( 錯誤 ) 原式 = ( ) = 答案選 (D) 有紅色和白色兩種卡片共 8 張, 甲乙兩人各拿張若甲所拿的卡片中, 有紅色的 ; 乙拿的紅色卡片是甲拿到紅色卡片的 (A) 0 (B) (C) (D) 9 年第二次基測重點 : 正分數的四則運算 7 是, 則此 8 張卡片中有幾張是紅色的? 甲 : = 8 紅, 乙 : 8 = 紅 + 8 = 0 ( 張 ) 7 答案選 (A) 9. 化簡 ( ) ( ) + ( ) 之後, 可得下列哪一個結果? 90 年第二次基測 (A) (B) (C) (D) 重點 : 分數的四則運算乘方 8 7 原式 = ( ) ( ) + ( 6) = + ( 6) = 7 6 = 7 8 答案選 (C)

12 0. 將 8 個面積為的正方形, 分別緊密地拼成面積為 8 與 98 的兩長方形 ABCD 與 EFGH 若 AB = EF 且 EF >0, 則 AB =? 9 年第一次基測 (A) (B) (C) 7 (D) 重點 : 數字的分析與公因數 8 = AB n, 98 = EF m, AB = EF 為 8 與 98 的公因數, 此需大於 0 ( 8, 98) = ( 的因數有 7 ). 如右圖, 每個小三角形的面積都相等, 已知陰影部分的面積為平方公分, 求空白部分的面積是多少平方公分?(6 分 ) 重點 : 分數的四則運算 9 中山國中 7 9 = = 8 =0 答 :0 平方公分. 下列哪一個多項式是 6x 7x 與 x x + 9 的公因式? 9 年第二次基測 (A) x x + (B) 重點 : 因式分解與公因式 6x + 7x = ( x )(x + ) x x + 9 = ( x ) (x ) (C) x (D) x + 6x + 7x 與 x x + 9 的公因式為 x. 已知甲乙兩正數均不等於, 下列有關甲與乙關係的敘述中, 哪一個與其他三個不同? (A) 甲 = 乙 (B) 甲乙 = 9 年第二次基測 (C) 甲是乙的倍 (D) 乙是甲的倍重點 : 倍數關係 (B) 甲乙 = (C) 甲 = 乙 (D) 甲 = 乙 (A) 與其他三個不同答案選 (A)

13 . 小琪將 a b 兩個正整數作質因數分解, 完整的作法如右已知 a>b,e 是質數, 且 a b 的最大公因數是, 最小公倍數是 98, 則下列哪一個關係是正確的? (A) d > e (B) e > f (C) e > g (D) f > d 9 年第二次基測重點 : 質因數分解 a b 的最大公因數為 e = e = 7 a b 的最小公倍數為 98 e f g = 98 f g = 7 且 f g 互質, a > b f = 7 g = 98 答案選 (D) a b e c d f g. 某生將一正整數 a 分解成質因數相乘, 計算過程如右則下列哪一個選項是正確的? (A) b = 7 (B) c = 7 (C) e = 7 (D) f = 7 90 年第二次基測重點 : 正整數分解成質因數相乘 (A) b = 7 正確答案 (B) c = 7 應改為 c = 7 (C) e = 7 應改為 e = 7 (D) f = 7 應改為 f = 7 a b c d e f g 7 答案選 (A) 6. 若可分解為 a b, 其中 a b 均為正整數, 則下列哪一個不可能是 a + b 的值? (A) 6 (B) (C) 8 (D) 9 年第二次基測重點 : 合成數的分解 = a + b = 6 = a + b = 8 = 9 a + b = 7. 以下何者是 7 和的最大公因數? 9 中山國中 (A) (B) (C) 7 (D) 7 重點 : 最大公因數的應用在 7 和中, 的最低次方為次的最低次方為次所以 ( 7, )=

14 8. 計算 (- ) (- ) (- ) (- ) 之值 =? 9 中山國中重點 : 分數的四則運算 (- ) (- ) (- ) (- )= = = 答 : 9. 小華利用自己的生日設計一個四位數的密碼, 方法是 : 分別將月分與日期寫成兩個質數的和, 再將此四個質數相乘, 所得數字即為密碼 ( 例如 : 生日若為 8 月日, 將 8 寫成和的和, 寫成與的和, 再將相乘得密碼為 ) 已知小華的密碼為 00, 求小華出生在幾月分? 9 年第二次基測 (A) (B) 7 (C) 9 (D) 重點 : 質因數分解 Q 00 = 7 9 四個質數為 7 9, 又月分不大於, 日數不大於 + 9 =, + 7 = 答案選 (D) 0. 某客運公司每天早上 :0 發第一班車, 已知早上 7:00~9:00 時段每分鐘發一班車, 其他時段每分鐘發一班車請問早上 7:~9: 該公司共發了幾班車? (A) 6 (B) 8 (C) 0 (D) 9 年第一次基測重點 : 數形規則 ( 時間 ) 7:~9:00 共發出 ( ) + = 8( 班 ), 9:00~9: 有 9: 與 9:0, 共班 8+ = 0( 班 ) 答案選 (C)

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範本檔中正國民中學數學科 2-2 題庫試卷 7 年班座號 : 姓名 : 一單一選擇題 ( )01.0 已知 360=2 a 3 b 5 c, 則 a b c 三數的最小公倍數是多少? (A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 24 ( )02.0 下列哪一組的最大公因數與其他各組不同? (A) 60 84 (B) 90 126 (C) 24 36 (D) 48 60 ( )03.0 有一個 A