2009 科學班甄選數學科試題

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杆娇吴
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1 國立成功大學 / 台南第一高級中學高中科學班 98 學年度第一階段測驗數學科試題卷說明 : 本試題共分為填充題和計算與證明題二部分第一部分為填充題, 每題答對得 6 分, 共 36 分各題只需寫出答案即可, 不必寫出過程全對才給分第二部分為計算與證明題, 共有六大題, 每題配分皆標示於題後, 共 64 分各題皆須寫出計算過程, 才予以計分採部分給分方式, 請儘量作答第一部分填充題 1 填填看: 填入 1 到 9 的正整數 ( 可重複使用 ) 到下列 4 4 的空格當中, 使得每一列, 每一行和每一對角線的和等於各個括號中的數字 (14) 5 (16) 8 (6) 3 (30) (16) (1) (5) (13) (7) (0) 已知一個梯形的四條邊的長分別為 1,,3 和 4 試求此梯形的面積? 3 已知 a,b,c 皆為正整數, 將 (a,b,c) a b c 的值以四捨五入法取到小數點以下第二位的近似值為 1.35, 試求數對圓內有二條弦和, 相交於點, 並且互相垂直如圖 (1) 所示若 3, 1 和 4, 試求此圓的面積圖 (1) 表格 () 5 在 k k 的正方形格子中, 將自然數依序從左上角按順時針方向, 由外而內排成螺旋狀, 如表格 () 中所示, 為 k 5 的情形試求 : 當 k 13時, 從左上角至右下角之對角線上所有數字之和? 以表格 () 為例, 從左上角至右下角之對角線上所有數字之和某項工作, 甲獨力完成所需的天數為乙丙合作完成所需的天數的 m 倍, 乙獨力完成所需的天數為甲丙合作完成所需的天數的 n 倍, 丙獨力完成所需的天數為乙甲合作完成所需的天數的 k 倍, 試求 m n k 的值 m 1 n 1 k 1 請翻至第頁試題, 繼續作答 - 1 -

2 二計算與證明題 1 x y 為實數且 008 x + y 1, 求 009 x y 的最大值, 並求此時的 x y (10 分 ) 如圖(3) 所示, 中,,, 若 7, 9, 3, 則?(10 分 ) 圖 (3) 圖 (4) 3 給定三角形內部一點, 連接, 和, 並延長, 和使得分別與對邊相交, 將三角形分割成六個小三角形, 如圖 (4) 所示若這六個小三角形中, 有四個面積相等, 則點是否必為三角形的重心? 如果是, 請說明原因 ; 如果不是, 請舉例說明 (1 分 ) 4 數列 < a n > 是由整數構成的等差數列, 已知 a10 11, S n 表示前 n 項的和, 即 Sn a1 a a3 an且 S6 0, S 7 0, S, S, S,..., S,... 中, 哪一項的值最大? 其值為何?(10 分 ) 則 1 3 n 5 如圖(5) 所示, 設為之上的中線, 作一線分別交於, 若 8, 3,, 7, 求?(10 分 ) 圖 (5) 6 ( 1) 如圖 (6) 所示, 和 R 為三射線 ; 點在上, 點 G 在上, 點在 R 上且 //, // G, 5, 3, G 7, 試求?(4 分 ) () 如圖 (7), 已知三角形及邊上一點, 試求邊上一點 N, 使 N 點到點的距離為 N 點到邊的距離的兩倍 ( 注意! 本題需寫出作圖過程, 並加以證明 )(8 分 ) G R 圖 (7) 圖 (6) 試題結束 - -

3 參考解答一填充題 : (14) (16) (6) (30) (16) (1) (5) (13) (7) (0) 經過嘗試, 得知以 1 和 4 的長度為上下底, 才能構成梯形, 如右圖過點作平行, 則 3, 所以, 三角形為等腰三角點到的距離 3 1, 三角形的面積 1 3 1, 4 得 3 梯形的面積 1 (1 4) a b c , a 1b 10c 81.3,a,b,c 為正整數所以 15a 1b 10c 81,15a 1b為 3 的倍數, 則 c 3 或 6, 若 c 3,15a 1b 51,5a 4b 17, 則 a 1, b 3 若 c 6,15a 1b 1,5 a 4b 7,a,b, 無解所以 a 1, b 3, c 3 4 由圓冪定理,, 得 9 過圓心 O 向兩弦做垂線, 設垂足分別為和, 15 9 則 O 為一矩形, 且 O O O, 所以, 圓的面積將對角線的 13 個數字由小而大排列可得 O 1,(1+1 ),(1+1 4),( ),( ),( ), 所總和設甲乙丙完成的天數分別為 a,b,c m n k a, b, c b c a c b a a a b b c c 則 m, n, k, m n k ac ab bc ba ca cb b c a c b a m 1 n 1 k 1 ab bc ca ab bc ca ab bc ca - 3 -

4 二計算與證明題 : x y 009 x y x (1 008 x) 當 x008 時,009 x y (008 1)(008 1) 有最大值 009, 此時 x008 y ~ ~ 009 ; ; x 008x 1 ( x 008) 由, ( ) ( ) 7 9 ( 3) 13 3 設, 和分別交, 和於, 和因為有四個小三角形的面積相等, 不失一般性, 可以假設其中有二個以為相鄰邊並且四個小三角形共有四種相對位置, 底下將分別討論 : (i) 如圖 (1) 所示, 因為的面積的面積, 所以,, 為的中點同理, 的面積的面積, 所以, 為的中點因此, 為中線和的交點, 所以是重心 (ii) 如圖 () 所示, 因為的面積的面積, 所以,, 為的中點可得的面積的面積, 則的面積的面積, 所以的面積的面積, 得為的中點因此, 為中線和的交點, 所以是重心 (iii) 如圖 (3) 所示, 因為的面積的面積, 所以,, 為的中點可得的面積的面積, 則的面積的面積, 所以的面積的面積, 得為的中點因此, 為中線和的交點, 所以是重心 (iv) 如圖 (4) 所示, 因為的面積的面積, 所以,, 為的中點可得的面積的面積, 則的面積的面積設 : a : b, 且圖 (1) 圖 () 圖 (3) 令的面積的面積的面積的面積 x, 的面積的面積 y 則的面積 : 的面積 y:xa:b, 的面積 : 的面積 x+y:3xa:b, y x y 則, 得 xy 所以的面積的面積, 得為的中點 x 3x 因此, 為中線和的交點, 所以是重心圖 (4) 6(a1 5 d) 7(a1 6 d) 4 a10 a1 9d 11, S6 0, S7 0, a 5d 0, a 6d 0, 將 a1 11 9d 代入得 1 1 7d 0, 8d 0 11 < d<, d 3, a 當 an 38+( n 1)( 3)>0 且 a n 1 38+( n)( 3)<0 時 S n 有最大值,n13,S

5 5 過分別作之平行線, 交於 8, 11 9, (1) //, 所以 ; // 5 35 G () 作法 : G G, 所以, 故得 G, 即 G, 所以 1. 作射線. 在線段上任取一點並自點作線段的垂線交邊上於 O 點 3. 以 O 點為圓心, O 線段長為半徑, 交線段於點 4. 連接 O 5. 過作 N 使 N //O, 並交邊上於 N, 即為所求證明 : R O N NR 中 O // RN N 中 O // N O O RN N O O N N O O O RN 1 得證 RN N O N - 5 -

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ok313 正餘弦定理 1 主題一三角形面積公式若 a b 和 c 分別表 BC 三內角表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題

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