DAG DCG, AG=CG; 在 DMG 与 FNG 中, DGM= FGN,FG=DG, MDG= NFG, DMG FNG, MG=NG; 在矩形 AENM 中,AM=EN, 在 AMG 与 ENG 中, AM=EN, AMG= ENG,MG=NG, AMG ENG, AG=EG, EG=CG

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卜宓安
7 years ago
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1 中考几何变换专题复习 ( 针对几何大题的讲解 ) 几何图形问题的解决, 主要借助于基本图形的性质 ( 定义定理等 ) 和图形之间的关系 ( 平行全等相似等 ). 基本图形的许多性质都源于这个图形本身的变换特征, 最为重要和最为常用的图形关系全等三角形极多的情况也同样具有变换形式的联系. 本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样, 和相互间的位置没有直接关系, 但是, 在同一个问题中涉及到的两个全等三角形, 大多数都有一定的位置关系 ( 或成轴对称关系, 或成平移的关系, 或成旋转的关系 ( 包括中心对称 ). 这样, 在解决具体的几何图形问题时, 如果我们有意识地从图形的性质或关系中所显示或暗示的变换特征出发, 来识别构造基本图形或图形关系, 那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用. 下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究. 解决图形问题的能力, 核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本的图形关系, 而变换视角正好能提高我们这种识别和构造的能力. 1. 已知正方形 ABCD 中,E 为对角线 BD 上一点, 过 E 点作 EF BD 交 BC 于 F, 连接 DF,G 为 DF 中点, 连接 EG,CG. (1) 求证 :EG=CG; (2) 将图 1 中 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45, 如图 2 所示, 取 DF 中点 G, 连接 EG,CG. 问 (1) 中的结论是否仍然成立? 若成立, 请给出证明 ; 若不成立, 请说明理由 ; (3) 将图 1 中 BEF 绕 B 点旋转任意角度, 如图 3 所示, 再连接相应的线段, 问 (1) 中的结论是否仍然成立? 通过观察你还能得出什么结论 ( 均不要求证明 ). 考点 : 旋转的性质 ; 全等三角形的判定与性质 ; 直角三角形斜边上的中线 ; 正方形的性质专题 : 压轴题分析 :(1) 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 可证出 CG=EG. (2) 结论仍然成立, 连接 AG, 过 G 点作 MN AD 于 M, 与 EF 的延长线交于 N 点 ; 再证明 DAG DCG, 得出 AG=CG; 再证出 DMG FNG, 得到 MG=NG; 再证明 AMG ENG, 得出 AG=EG; 最后证出 CG=EG. (3) 结论依然成立. 还知道 EG CG. 解答 :(1) 证明 : 在 Rt FCD 中, G 为 DF 的中点, CG= FD, 同理, 在 Rt DEF 中, EG= FD, CG=EG. (2) 解 :(1) 中结论仍然成立, 即 EG=CG. 证法一 : 连接 AG, 过 G 点作 MN AD 于 M, 与 EF 的延长线交于 N 点. 在 DAG 与 DCG 中, AD=CD, ADG= CDG,DG=DG,

2 DAG DCG, AG=CG; 在 DMG 与 FNG 中, DGM= FGN,FG=DG, MDG= NFG, DMG FNG, MG=NG; 在矩形 AENM 中,AM=EN, 在 AMG 与 ENG 中, AM=EN, AMG= ENG,MG=NG, AMG ENG, AG=EG, EG=CG. 证法二 : 延长 CG 至 M, 使 MG=CG, 连接 MF,ME,EC, 在 DCG 与 FMG 中, FG=DG, MGF= CGD,MG=CG, DCG FMG. MF=CD, FMG= DCG, MF CD AB, EF MF. 在 Rt MFE 与 Rt CBE 中, MF=CB,EF=BE, MFE CBE MEF= CEB. MEC= MEF+ FEC= CEB+ CEF=90, MEC 为直角三角形. MG=CG, EG= MC, EG=CG. (3) 解 :(1) 中的结论仍然成立. 即 EG=CG. 其他的结论还有 :EG CG.

3 点评 : 本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质全等三角形的判定和性质. 2.(1) 如图 1, 已知矩形 ABCD 中, 点 E 是 BC 上的一动点, 过点 E 作 EF BD 于点 F,EG AC 于点 G,CH BD 于点 H, 试证明 CH=EF+EG; (2) 若点 E 在 BC 的延长线上, 如图 2, 过点 E 作 EF BD 于点 F,EG AC 的延长线于点 G,CH BD 于点 H, 则 EF EG CH 三者之间具有怎样的数量关系, 直接写出你的猜想 ; (3) 如图 3,BD 是正方形 ABCD 的对角线,L 在 BD 上, 且 BL=BC, 连接 CL, 点 E 是 CL 上任一点,EF BD 于点 F,EG BC 于点 G, 猜想 EF EG BD 之间具有怎样的数量关系, 直接写出你的猜想 ; (4) 观察图 1 图 2 图 3 的特性, 请你根据这一特性构造一个图形, 使它仍然具有 EF EG CH 这样的线段, 并满足 (1) 或 (2) 的结论, 写出相关题设的条件和结论. 考点 : 矩形的性质 ; 全等三角形的判定与性质 ; 等腰三角形的性质 ; 正方形的性质专题 : 几何综合题分析 :(1) 要证明 CH=EF+EG, 首先要想到能否把线段 CH 分成两条线段而加以证明, 就自然的想到添加辅助线, 若作 CE NH 于 N, 可得矩形 EFHN, 很明显只需证明 EG=CN, 最后根据 AAS 可求证 EGC CNE 得出结论. (2) 过 C 点作 CO EF 于 O, 可得矩形 HCOF, 因为 HC=DO, 所以只需证明 EO=EG, 最后根据 AAS 可求证 COE CGE 得出猜想. (3) 连接 AC, 过 E 作 EG 作 EH AC 于 H, 交 BD 于 O, 可得矩形 FOHE, 很明显只需证明 EG=CH, 最后根据 AAS 可求证 CHE EGC 得出猜想. (4) 点 P 是等腰三角形底边所在直线上的任意一点, 点 P 到两腰的距离的和 ( 或差 ) 等于这个等腰三角形腰上的高, 很显然过 C 作 CE PF 于 E, 可得矩形 GCEF, 而且 AAS 可求证 CEP CNP, 故 CG=PF PN. 解答 :(1) 证明 : 过 E 点作 EN GH 于 N(1 分 ) EF BD,CH BD, 四边形 EFHN 是矩形. EF=NH,FH EN. DBC= NEC. 四边形 ABCD 是矩形, AC=BD, 且互相平分 DBC= ACB NEC= ACB EG AC,EN CH, EGC= CNE=90,

4 又 EC=EC, EGC CNE.(3 分 ) EG=CN CH=CN+NH=EG+EF(4 分 ) (2) 解 : 猜想 CH=EF EG(5 分 ) (3) 解 :EF+EG= BD(6 分 ) (4) 解 : 点 P 是等腰三角形底边所在直线上的任意一点, 点 P 到两腰的距离的和 ( 或差 ) 等于这个等腰三角形腰上的高. 如图 1, 有 CG=PF PN. 注 : 图 (1 分 )( 画一个图即可 ), 题设的条件和结论 (1 分 ) 点评 : 此题主要考查矩形的性质和判定, 解答此题的关键是作出辅助线, 构造矩形和三角形全等来进行证明. 3. 如图 1, 点 P 是线段 MN 的中点. (1) 请你利用该图 1 画一对以点 P 为对称中心的全等三角形 ; (2) 请你参考这个作全等三角形的方法, 解答下列问题 : 如图 2, 在 Rt ABC 中, BAC=90,AB>AC, 点 D 是 BC 边中点, 过 D 作射线交 AB 于 E, 交 CA 延长线于 F, 请猜想 F 等于多少度时,BE=CF( 直接写出结果, 不必证明 ); 如图 3, 在 ABC 中, 如果 BAC 不是直角, 而 (1) 中的其他条件不变, 若 BE=CF 的结论仍然成立, 请写出 AEF 必须满足的条件, 并加以证明.

5 考点 : 作图复杂作图 ; 全等三角形的判定 ; 等腰三角形的判定专题 : 证明题 ; 开放型分析 :(1) 以 P 点为中心, 依次做两条相互交叉但长度相等的线段, 可得两个全等三角形 ; (2) 当 BE=CF 时, F 的结论成立 ; 第 2 小题需要用到辅助线的帮助. 延长 FD 到点 G, 使得 FD=GD, 连接 BG, 证明 DCF DBG 后推出 F= G,CF=BG, 从而证明 BE=CF. 解答 : 解 :(1) 如图 : 画图正确 (2 分 ) (2)1 F=45 时,BE=CF.(2 分 ) 答 : 若 BE=CF 的结论仍然成立, 则 AE=AF, AEF 是等腰三角形.(1 分 ) 证明 : 延长 FD 到点 G, 使得 FD=GD, 连接 BG. 点 D 是 BC 边中点, DC=DB 在 DCF 和 DBG 中 DCF DBG.(2 分 ) F= G,CF=BG(1 分 ) 当 AEF 是等腰三角形,AE=AF 时, F= 2, 1= 2, 1= G. BE=BG. BE=CF.(2 分 ) 点评 : 本题涉及全等三角形, 等腰梯形的相关性质和判定, 并考查学生的作图能力, 为综合题型, 难度中上. 4. 如图 1,OP 是 AOB 的平分线, 请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形. 请你参考这个作全等三角形的方法, 解答下列问题 : (1) 如图 2, 在 ABC 中, ACB 是直角, B=60,AD CE 分别是 BAC BCA 的平分线,AD CE 相交于点 F. 请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系 ;

6 (2) 如图 3, 在 ABC 中, 如果 ACB 不是直角, 而 (1) 中的其它条件不变, 请问, 你在 (1) 中所得结论是否仍然成立? 若成立, 请证明 ; 若不成立, 请说明理由. 考点 : 全等三角形的判定与性质专题 : 探究型分析 : 根据要求作图, 此处我们可以分别做两边的垂线, 这样就可以利用 AAS 来判定其全等了. 先利用 SAS 来判定 AEF AGF. 得出 AFE= AFG,FE=FG. 再利用 ASA 来判定 CFG CFD 得到 FG=FD 所以 FE=FD. 解答 : 解 : 在 OP 上任找一点 E, 过 E 分别做 CE OA 于 C,ED OB 于 D. 如图 1, (1) 结论为 EF=FD. 如图 2, 在 AC 上截取 AG=AE, 连接 FG. AD 是 BAC 的平分线, 1= 2, 在 AEF 与 AGF 中,, AEF AGF(SAS). AFE= AFG,FE=FG. 由 B=60,AD,CE 分别是 BAC, BCA 的平分线, B=180, 2+ 3=60. 又 AFE 为 AFC 的外角, AFE= CFD= AFG= 2+ 3=60. CFG=60. 即 GFC= DFC, 在 CFG 与 CFD 中,, CFG CFD(ASA). FG=FD. FE=FD. (2)EF=FD 仍然成立. 如图 3, 过点 F 分别作 FG AB 于点 G,FH BC 于点 H. FGE= FHD=90, B=60, 且 AD,CE 分别是 BAC, BCA 的平分线, 2+ 3=60,F 是 ABC 的内心 GEF= BAC+ 3=60 + 1, F 是 ABC 的内心, 即 F 在 ABC 的角平分线上,

7 FG=FH( 角平分线上的点到角的两边相等 ). 又 HDF= B+ 1( 外角的性质 ), GEF= HDF. 在 EGF 与 DHF 中,, EGF DHF(AAS), FE=FD. 点评 : 此题考查全等三角形的判定方法, 常用的方法有 SSS,SAS,AAS,HL 等. 5. 如图, 已知矩形 ABCD,AB=,BC=3, 在 BC 上取两点 E F(E 在 F 左边 ), 以 EF 为边作等边三角形 PEF, 使顶点 P 在 AD 上,PE PF 分别交 AC 于点 G H. (1) 求 PEF 的边长 ; (2) 若 PEF 的边 EF 在线段 BC 上移动. 试猜想 :PH 与 BE 有什么数量关系? 并证明你猜想的结论. 考点 : 矩形的性质 ; 等边三角形的性质专题 : 探究型分析 :(1) 要求 PEF 的边长, 需构造直角三角形, 那么就过 P 作 PQ BC 于 Q. 利用 PFQ 的正弦值可求出 PF, 即 PEF 的边长 ; (2) 猜想 :PH BE=1. 利用 ACB 的正切值可求出 ACB 的度数, 再由 PFE=60, 可得出 HFC 是等腰三角形, 因此就有 BE+EF+CF=BE+PH+2FH=3. 再把其中 FH 用 PH 表示, 化简即可. 解答 : 解 :(1) 过 P 作 PQ BC 于 Q. 矩形 ABCD

8 B=90, 即 AB BC, 又 AD BC, PQ=AB= (1 分 ) PEF 是等边三角形, PFQ=60. 在 Rt PQF 中,PF=2. (3 分 ) PEF 的边长为 2. PH 与 BE 的数量关系是 :PH BE=1. (4 分 ) (2) 在 Rt ABC 中,AB=,BC=3, 1=30.(5 分 ) PEF 是等边三角形, 2=60,PF=EF=2. (6 分 ) 2= 1+ 3, 3=30, 1= 3. FC=FH. (7 分 ) PH+FH=2,BE+EF+FC=3, PH BE=1. (8 分 ) 注 : 每题只给了一种解法, 其他解法按本评标相应给分. 点评 : 本题利用了矩形平行线等边等腰三角形的性质, 还有正切函数等知识, 运用的综合知识很多. 6.(2007 牡丹江 ) 已知四边形 ABCD 中,AB=BC, ABC=120, MBN=60, MBN 绕 B 点旋转, 它的两边分别交 AD,DC( 或它们的延长线 ) 于 E,F. 当 MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时 ( 如图 1), 易证 AE+CF=EF; 当 MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时, 在图 2 和图 3 这两种情况下, 上述结论是否成立? 若成立, 请给予证明 ; 若不成立, 线段 AE,CF,EF 又有怎样的数量关系? 请写出你的猜想, 不需证明. 考点 : 全等三角形的判定与性质专题 : 几何综合题分析 : 根据已知可以利用 SAS 证明 ABE CBF, 从而得出对应角相等, 对应边相等, 从而得出 ABE= CBF=30, BEF 为等边三角形, 利用等边三角形的性质及边与边之间的关系, 即可推出 AE+CF=EF. 同理图 2 可证明是成立的, 图 3 不成立. 解答 : 解 : AB AD,BC CD,AB=BC,AE=CF, ABE CBF(SAS); ABE= CBF,BE=BF;

9 ABC=120, MBN=60, ABE= CBF=30, BEF 为等边三角形 ; AE= BE,CF= BF; AE+CF= BE+ BF=BE=EF; 图 2 成立, 图 3 不成立. 证明图 2. 延长 DC 至点 K, 使 CK=AE, 连接 BK, 则 BAE BCK, BE=BK, ABE= KBC, FBE=60, ABC=120, FBC+ ABE=60, FBC+ KBC=60, KBF= FBE=60, KBF EBF, KF=EF, KC+CF=EF, 即 AE+CF=EF. 图 3 不成立, AE CF EF 的关系是 AE CF=EF. 点评 : 本题主要考查全等三角形的判定方法, 常用的方法有 SSS,SAS,AAS 等, 这些方法要求学生能够掌握并灵活运用. 7. 用两个全等的等边 ABC 和 ADC, 在平面上拼成菱形 ABCD, 把一个含 60 角的三角尺与这个菱形重合, 使三角尺有两边分别在 AB AC 上, 将三角尺绕点 A 按逆时针方向旋转 (1) 如图 1, 当三角尺的两边与 BC CD 分别相交于点 E F 时, 观察或测量 BE,CF 的长度, 你能得出什么结论? 证明你的结论. (2) 如图 2, 当三角尺的两边与 BC CD 的延长线分别交于 E F 时, 你在 (1) 中的结论还成立吗? 请说明理由. 考点 : 全等三角形的判定与性质 ; 等边三角形的性质专题 : 证明题

10 分析 :(1) 连接 AC, 根据等边三角形性质推出 AD=AC, D= ACB=60, DAC=60, 求出 CAE= DAF, 证 ACE ADF 即可 ; (2) 连接 AC, 求出 ADF= ACE=120, 证 ACE ADF, 推出 DF=CE, 根据 BC=CD 即可推出答案. 解答 :(1)BE=CF, 证明 : 连接 AC, ADC ABC 是等边三角形, AD=AC, D= ACB=60, DAC=60, FAE=60, CAE= DAF, 在 ACE 和 ADF 中, ACE ADF, CE=DF, 四边形 ABCD 是菱形, BC=CD, BE=CF. (2) 解 : 结论 BE=CF 仍成立, 理由是 : 连接 AC, 由 (1) 知 :AD=AC, FAD= CAE, 等边三角形 ABC 和等边三角形 ACD, ADC= ACB=60, ADF= ACE=120, 在 ACE 和 ADF 中, ACE ADF, DF=CE, CD=BC, BE=CF, 即结论 BE=CF 仍成立. 点评 : 本题考查了等边三角形的性质, 全等三角形的性质和判定的应用, 主要考查学生熟练地运用性质进行推理的能力, 题目比较典型, 但有一定的难度. 8. 如图, 在四边形 ABCD 中,AB=AD,BC=CD, ABC= ADC=90, MAN= BAD.

11 (1) 如图 1, 将 MAN 绕着 A 点旋转, 它的两边分别交边 BC CD 于 M N, 试判断这一过程中线段 BM DN 和 MN 之间有怎样的数量关系? 直接写出结论, 不用证明 ; (2) 如图 2, 将 MAN 绕着 A 点旋转, 它的两边分别交边 BC CD 的延长线于 M N, 试判断这一过程中线段 BM DN 和 MN 之间有怎样的数量关系? 并证明你的结论 ; (3) 如图 3, 将 MAN 绕着 A 点旋转, 它的两边分别交边 BC CD 的反向延长线于 M N, 试判断这一过程中线段 BM DN 和 MN 之间有怎样的数量关系? 直接写出结论, 不用证明. 考点 : 全等三角形的判定与性质 ; 旋转的性质分析 :(1) 可通过构建全等三角形来实现线段间的转换. 延长 MB 到 G, 使 BG=DN, 连接 AG. 目的就是要证明三角形 AGM 和三角形 ANM 全等将 MN 转换成 MG, 那么这样 MN=BM+DN 了, 于是证明两组三角形全等就是解题的关键. 三角形 AMG 和 AMN 中, 只有一条公共边 AM, 我们就要通过其他的全等三角形来实现, 在三角形 ABG 和 AND 中, 已知了一组直角,BG=DN,AB=AD, 因此两三角形全等, 那么 AG=AN, 1= 2, 那么 1+ 3= 2+ 3= MAN= BAD. 由此就构成了三角形 ABE 和 AEF 全等的所有条件 (SAS), 那么就能得出 MN=GM 了. (2) 按照 (1) 的思路, 我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换. 就应该在 BM 上截取 BG, 使 BG=DN, 连接 AG. 根据 (1) 的证法, 我们可得出 DN=BG,GM=MN, 那么 MN=GM=BM BG=BE DN. (3) 按照 (1) 的思路, 我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换. 就应该在 DN 上截取 DF, 使 DF=BM, 连接 AG. 根据 (1) 的证法, 我们可得出 DAF= BAM,AF=AM, 那么 MN=NF=DN DF=BN BM. 解答 : 解 :(1) 证明 : 延长 MB 到 G, 使 BG=DN, 连接 AG. ABG= ABC= ADC=90,AB=AD, ABG ADN. AG=AN,BG=DN, 1= = 4+ 2= MAN= BAD. GAM= MAN. 又 AM=AM, AMG AMN. MG=MN. MG=BM+BG. MN=BM+DN. (2)MN=BM DN. 证明 : 在 BM 上截取 BG, 使 BG=DN, 连接 AG. ABC= ADC=90,AD=AB, ADN ABG, AN=AG, NAD= GAB,

12 MAN= MAD+ MAG= DAB, MAG= BAD, MAN= MAG, MAN MAG, MN=MG, MN=BM DN. (3)MN=DN BM. 点评 : 本题考查了三角形全等的判定和性质 ; 本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键, 没有明确的全等三角形时, 要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形. 9.(2010 义乌市 ) 如图 1, 已知 ABC=90, ABE 是等边三角形, 点 P 为射线 BC 上任意一点 ( 点 P 与点 B 不重合 ), 连接 AP, 将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60 得到线段 AQ, 连接 QE 并延长交射线 BC 于点 F. (1) 如图 2, 当 BP=BA 时, EBF= 30, 猜想 QFC= 60 ; (2) 如图 1, 当点 P 为射线 BC 上任意一点时, 猜想 QFC 的度数, 并加以证明 ; (3) 已知线段 AB=2, 设 BP=x, 点 Q 到射线 BC 的距离为 y, 求 y 关于 x 的函数关系式. 考点 : 旋转的性质 ; 全等三角形的判定 ; 等边三角形的性质 ; 解直角三角形专题 : 探究型分析 :(1) EBF 与 ABE 互余, 而 ABE=60, 即可求得 EBF 的度数 ; 利用观察法, 或量角器测量的方法即可求得 QFC 的度数 ; (2) 根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和, 证明 BAP= EAQ, 进而得到 ABP AEQ, 证得 AEQ= ABP=90, 则 BEF=180 AEQ AEB= =30, QFC= EBF+ BEF; (3) 过点 F 作 FG BE 于点 G, 过点 Q 作 QH BC, 根据 ABP AEQ 得到 : 设 QE=BP=x, 则 QF=QE+EF=x+2. 点 Q 到射线 BC 的距离 y=qh=sin60 QF= (x+2), 即可求得函数关系式. 解答 : 解 :(1) EBF=30 ;(1 分 )

13 QFC=60 ;(2 分 ) (2) QFC=60. (1 分 ) 解法 1: 不妨设 BP> AB, 如图 1 所示. BAP= BAE EAP=60 EAP, EAQ= QAP EAP=60 EAP, BAP= EAQ. (2 分 ) 在 ABP 和 AEQ 中 AB=AE, BAP= EAQ,AP=AQ, ABP AEQ.(SAS) (3 分 ) AEQ= ABP=90. (4 分 ) BEF=180 AEQ AEB= =30. QFC= EBF+ BEF= =60. (5 分 ) ( 事实上当 BP AB 时, 如图 2 情形, 不失一般性结论仍然成立, 不分类讨论不扣分 ) 解法 2: 设 AP 交 QF 于 M QMP 为 AMQ 和 FMP 共同的外角 QMP= Q+ PAQ= APB+ QFC, 由 ABP AEQ 得 Q= APB, 由旋转知 PAQ=60, QFC= PAQ=60, (3) 在图 1 中, 过点 F 作 FG BE 于点 G. ABE 是等边三角形, BE=AB=2. 由 (1) 得 EBF=30. 在 Rt BGF 中,BG= =, BF= =2. EF=2. (1 分 ) ABP AEQ. QE=BP=x, QF=QE+EF=x+2. (2 分 ) 过点 Q 作 QH BC, 垂足为 H. 在 Rt QHF 中,y=QH=sin60 QF= (x+2).(x>0) 即 y 关于 x 的函数关系式是 :y= x+. (3 分 ) 点评 : 本题把图形的旋转, 与三角形的全等, 三角函数, 以及函数相结合, 是一个比较难的题目.

14 10.(2009 北京 ) 在平行四边形 ABCD 中, 过点 C 作 CE CD 交 AD 于点 E, 将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转 90 得到线段 EF( 如图 1) (1) 在图 1 中画图探究 : 当 P 为射线 CD 上任意一点 (P 1 不与 C 重合 ) 时, 连接 EP 1 ; 绕点 E 逆时针旋转 90 得到线段 EG 1. 判断直线 FG 1 与直线 CD 的位置关系, 并加以证明 ; 当 P 2 为线段 DC 的延长线上任意一点时, 连接 EP 2, 将线段 EP 2 绕点 E 逆时针旋转 90 得到线段 EC 2. 判断直线 C 1 C 2 与直线 CD 的位置关系, 画出图形并直接写出你的结论. (2) 若 AD=6,tanB=,AE=1, 在 1 的条件下, 设 CP 1 =x,s P1FG1 =y, 求 y 与 x 之间的函数关系式, 并写出自变量 x 的取值范围. 考点 : 二次函数综合题专题 : 探究型分析 :(1)1 说明 P 1 EC 按要求旋转后得到的 G 1 EF 全等, 再结合 P 1 CE= G 1 FE=90 去说明 ;2 按照要求画出图形, 由图形即可得出答案 ; (2)1 当点 P 1 在线段 CH 的延长线上时, 结合已知说明 CE=4, 且由四边形 FECH 是正方形, 得 CH=CE=4, 再根据题设可得 G 1 F=x.P 1 H=x 4, 进而可得 y 与 x 之间的函数关系式 ;2 当点 P 1 在线段 CH 上时, 同理可得 FG 1 =x,p 1 H=4 x, 进而可得 y 与 x 之间的函数关系式 ;3 当点 P 1 与点 H 重合时, 说明 P 1 FG 1 不存在, 再作综合说明即可. 本题第二问较难. 学生不明确点 P 1 的几种位置情况, 因而不能讨论. 本题考查图形变换和动点问题, 而且代数和几何结合, 有一定难度. 注意的问题 : 一是函数关系式不止一种, 二是自变量的取值范围要正确画出. (1) 观察图形可知重叠三角形 A B C 是边长为 2 的等边三角形, 则这个三角形底边上的高为, 所以重叠三角形 A B C 的面积 = ; (2) 由折叠的性质和已知可知 :A D=AD=m,B D=BD=8 m, 所以 A B =B C =8 2m,A B 边上的高 = (4 m), 所以重叠三角形 A B C 的面积 = (8 2m) (4 m)= (4 m) 2 ; 当 D 为 AB 边中点时重叠三角形不存在, 故 m<4. 而当 D 在 AB 的点处, 即 AD= 时, 点 B 和点 C 恰在矩形 DEFG 边上, 符合题意 ; 当 AD< 时, 点 B 和点 C 就在矩形 DEFG 外了, 这与已知不符, 故 m, 因此 m 的取值范围为 m<4. 解答 : 解 : (1)1 直线 FG 1 与直线 CD 的位置关系为互相垂直. 证明 : 如图 1, 设直线 FG 1 与直线 CD 的交点为 H. 线段 EC EP 1 分别绕点 E 逆时针旋转 90 依次得到线段 EF EG 1, P 1 EG 1 = CEF=90,EG 1 =EP 1,EF=EC. G 1 EF=90 P 1 EF, P 1 EC=90 P 1 EF, G 1 EF= P 1 EC. G 1 EF P 1 EC.

15 G 1 FE= P 1 CE. EC CD, P 1 CE=90, G 1 FE=90 度. EFH=90 度. FHC=90 度. FG 1 CD. 按题目要求所画图形见图 1, 直线 G 1 G 2 与直线 CD 的位置关系为互相垂直. (2) 四边形 ABCD 是平行四边形, B= ADC. AD=6,AE=1,tanB=, DE=5,tan EDC=tanB=. 可得 CE=4. 由 (1) 可得四边形 EFCH 为正方形. CH=CE=4. 如图 2, 当 P 1 点在线段 CH 的延长线上时, FG 1 =CP 1 =x,p 1 H=x 4, S P1FG1 = FG 1 P 1 H=. y= x 2 2x(x>4). 如图 3, 当 P 1 点在线段 CH 上 ( 不与 C H 两点重合 ) 时, FG 1 =CP 1 =x,p 1 H=4 x, S P1FG1 = FG 1 P 1 H=. y= x 2 +2x(0<x<4). 当 P 1 点与 H 点重合时, 即 x=4 时, P 1 FG 1 不存在. 综上所述,y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围是 y= x 2 2x(x>4) 或 y= x 2 +2x(0<x<4).

16 点评 : 本题着重考查了二次函数解图形旋转变换三角形全等探究垂直的构成情况等重要知识点, 综合性强, 能力要求较高. 考查学生分类讨论, 数形结合的数学思想方法. 11. 已知 : 如图 1. 四边形 ABCD 是菱形,AB=6, B= MAN=60. 绕顶点 A 逆时针旋转 MAN, 边 AM 与射线 BC 相交于点 E( 点 E 与点 B 不重合 ), 边 AN 与射线 CD 相交于点 F. (1) 当点 E 在线段 BC 上时, 求证 :BE=CF; (2) 设 BE=x, ADF 的面积为 y. 当点 E 在线段 BC 上时, 求 y 与 x 之间的函数关系式, 写出函数的定义域 ; (3) 连接 BD, 如果以 A B F D 为顶点的四边形是平行四边形, 求线段 BE 的长. 考点 : 菱形的性质 ; 全等三角形的判定与性质 ; 平行四边形的性质分析 :(1) 连接 AC, 通过证明 ABE ACF(ASA) 即可得出 BE=CF; (2) 过点 A 作 AH CD, 垂足为 H, 先根据勾股定理求出 AH 的长, 又 CF=BE=x,DF=6 x, 根据三角形的面积公式即可列出函数关系式 ;

17 (3) 根据题意画出图形, 并连接 BD, 先根据四边形 BDFA 是平行四边形, 证出 BAE 为直角, 在 Rt ABE 中, B=60, BEA=30,AB=6, 继而即可求出 BE 的长. 解答 : 解 :(1) 连接 AC( 如图 1). 由四边形 ABCD 是菱形, B=60, 易得 :BA=BC, BAC= DAC=60, ACB= ACD=60. ABC 是等边三角形. AB=AC. 又 BAE+ MAC=60, CAF+ MAC=60, BAE= CAF. 在 ABE 和 ACF 中, BAE= CAF,AB=AC, B= ACF, ABE ACF(ASA). BE=CF. (2) 过点 A 作 AH CD, 垂足为 H( 如图 2) 在 Rt ADH 中, D=60, DAH=90 60 =30,.. 又 CF=BE=x,DF=6 x, S ADF = DF AH,, 即 (0<x<6). (3) 如图 3, 连接 BD, 易得. 当四边形 BDFA 是平行四边形时,AF BD. FAD= ADB=30. DAE=60 30 =30, BAE= =90. 在 Rt ABE 中, B=60, BEA=30,AB=6. 易得 :BE=2AB=2 6=12.

18 点评 : 本题考查菱形的性质全等三角形的判定与性质及平行四边形的性质, 是一道综合题, 有一定难度, 关键是对这些知识的熟练掌握以便灵活运用.

已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 1. 已知 :=4,=2, 是中点, 是整数, 求 = = ==2 在中 -