Microsoft PowerPoint - ch2-d 静电场 [兼容模式]

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瑭晶孙
5 years ago
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1 .5 格林函数法 Metho of een Function

2 一分离变量法和镜像法能解的情况分离变量法能解的情况: 自由电荷全聚集在边界上, 也就是说 : 在要求解电场区域没有自由电荷泊松方程转变为拉普拉斯方程边界条件 ρ 镜像法能解的情况: 在求解区域内没有自由电荷, 或者只有有限几个点电荷, 并且区域边界或介质界面规则电场能用等效电荷代替边界条件

3 二 een 函数法能解的情况能用 een 定理求解静电边值问题的情况 : 给定区域内电荷分布 s ρ, 和区域的边界面 n 上各点的电势或电势法向导数第一类边值问题 : 给定上的电势莱边值问题 ; 第二类边值问题 : 给定上的边值问题 n s, 也称狄利克, 也称诺埃曼

4 下面将讨论这些边值问题是怎样借助于有关点电荷的较简单的边值问题而得到解决的三点电荷密度的函数表示 δ 因为点电荷分布的特点是在点电荷所在处的电荷密度变为无穷大, 而在其他地方电荷密度为零若在处有一点电荷 Q, 则电荷密度可写为 ρ Qδ 显然 ρ τ Q δ τ Q

5 对于单位点电荷而言,Q, 其密度为 ρ δ 四 een 函数方程为一个处在假设有一包含有如下边界条件点上的单位点电荷, 它所激发的电势 δ 点的某空间区域, 在的边界上 3 或者 4 n

6 则把满足边界条件 4 式的 3 式的解称为泊松方程在区域的第一类或第二类边值问题的 een 函数, een 函数一般用表示, 表示单位电荷所在的位置, 代表观察点, 在 3 式和 4 式中, 把换成, 即 een 函数所满足的方程和边界条件为 δ, 或 n 五 een 公式和边值问题的解 5

7 在这里, 将用 een 公式把一般 Poisson 方程的边值问题的解用 een 函数联系起来先看 een 公式的两种形式根据 auss 定理, 知道 a τ a s a s n 当 a ψ, ψ 和均为连续, 可微的标量点函数, 故 a ψ ψ ψ ψ ψ

8 又 Q 于是, 有 a n a nˆ ψ n ψ s n [ ] ψ ψ τ 6 式中为包围面所围的面积, 该式称为 een 第一公式到如果上式中的对调, 即 a ψ, 同理得和 ψ [ ] ψ ψ τ s 7 ψ n

9 将 6 式减去 7 式, 得 [ ψ ψ ] τ ψ s 8 该式称为 een 第二公式 n ψ n een 第一第二公式是等价的同时, 视方便而选取之 een 公式对解静电问题的意义是 : 在区 ψ 域内找一个待定函数为待求, 通过这个公式从已知确定未知边值问题的解给定一个区域, 其中给定了 ρ,, n

10 且待求的边值问题 : 且待求的边值问题 : ρ 相应的 een 函数问题是 : ρ 给定了 ρ 相应的 een 函数问题是 : δ 边界条件 : δ n 或现在, 取满足 ρ

11 取满足 δ ψ 取满足代入 een 第二公式, 有, δ ψ 代入 een 第二公式, 有 [ ],, τ [ ],, s n n 因为 een 公式中积分, 微分都是对变量进行的, 由于 een 函数关于源点和场点是对称的, 即由于 een 函数关于源点和场点是对称的, 即, 为方便起见, 把变量换为, 故有改为, 即得

12 δ, τ δ ρ s n n 该式左边第二项为得到 τ δ 得到 ρ τ s s n n

13 故得到故得到 τ ρ τ ρ s n n 这就是用 een 函数求解静电问题的一种形式解讨论几点 : 讨论几点 : 讨论几点 : 讨论几点 : a 在区域中, 任一点的势唯一地决定电荷 ρ a 在区域中, 任一点的势唯一地决定电荷分布及边界的值 ρ 或 n 或

14 b 如果所取的 een 函数属于第一类问题, 即这时则有 ρ τ s n 这实质上就是第一类边值问题的解 c 如果所取的 een 函数属于第二类问题, 即 n 在这里要说明一点的是 : 对第二类静电边值问题不能用第二类齐次边界的 een 函数, 即 n, 因

15 为 een 函数所代表的物理意义是在处存在一个单位电荷在空间所激发的电势因此 n 即代表单位电荷在边界上所激发的电场, 由 auss 定理知道 s 由此可见故 n s n n

16 从而,een 函数在边界上的最简单的形式是取从而,een 函数在边界上的最简单的形式是取这样且有第二类静电边值问题的 een 函数解的形式 : n 这样且有第二类静电边值问题的 een 函数解的形式 : s n τ ρ s s n τ ρ 式中为在边界面上的平均值 s

17 在实际问题中, 常遇到这类问题 : 在所考察的区在实际问题中, 常遇到这类问题 : 在所考察的区域包含有无穷大的边界面, 假如, 考察一导体球外的空间电势分布问题, 这时所考察的区域是球面和无穷空间电势分布问题, 这时所考察的区域是球面和无穷大曲面间包围的区域, 所以这时边界面故有 n 于是 n 于是 s 故得到 s τ ρ s n τ ρ

18 此式称为外问题的 een 函数解的形式六 een 函数的制作以上的讨论, 表面上似乎把静电边值问题的解找到了, 其实并非如此, 因为只有把问题的 een 函数找到了, 才能对表达式第一类边值问题的形式解和第二类边值问题的形式解作出具体的计算实际求 een 函数本身并不是件容易的事, 所以以上解的形式只具有形式解的意义当然, 它把唯一性定理更具体地表达出来了法在这里介绍几种不同区域的 een 函数的制作方

19 无界空间的 een 函数即在无穷大空间中放一个单位点电荷, 求空间某处的电势, 也就是 een 函数 4π 4π [ ] y y 其中, 代表单位电荷的所在位置源点坐标, 代表观察点坐标场点坐标证明上述 een 函数是否满足 een 函数所满足的微分方程证明 : 选电荷所在处为坐标原点, 即, 在球坐

20 标系中 4π 考虑球对称性, 得到而 4π 当时, 取一小球面包围着原点, 取积积分, 即对小球体

21 τ τ s 3 Ω s 4π 从函数性质可知, 保持小体积的面积为, 从而有 δ 4 τ π τ δ 故得到 4 πδ 4 πδ

22 与微分方程比较, 即有 δ 4π 这里把与互换, 不变, 即有这就说明 een 函数具有对称性上半空间的 een 函数即在接地导体平面的上半空间, 由于于第一类边值问题, 属

23 y o 根据镜象法得到 : [ ] 4 y y π [ ] y y

24 这也可看到 3 球外空间的 een 函数即在接地导体球外的空间, 由类边值问题 θ' o θ ' α ', 属于第一 y

25 其中 : y y 其中 : [ ] cos sin sin cos cos cos θ θ θ θ α y y [ ] [ ] 4 cos cos α α 根据镜象法得 [ ] cos α 4 π cos 4 α π cos α cos α

26 在制作 een 函数时, 必须注意 : 求 een 函数本身不是很容易的, 只有当区域具有简单几何形状时才能得出解析的解, 如果 ρ 时,een 函数法也可以用来解 Laplace equation 的边值问题七 een ee 函数法的应用举例 [ 例 ] 在无穷大导体平面上有半径为 a 的园, 园内和园外用极狭窄的绝缘环绝缘, 设园内电势为, 导体板其余部分电势为零, 求上半空间的电势

27 Pρ,φ, P'ρ',φ',' a y olution: 静电问题 : 求解

28 > a > a 此题 een 函数满足的形式为, δ, 相当于无穷大金属平板旁边放置单位电荷求电势问题

29 其 een 函数为其 een 函数为 4 π 其中 : 4 π 其中 : 换为柱坐标, 且有 y y 换为柱坐标, 且有 cos cos φ φ sin sin y y φ φ 故 een 函数为故 een 函数为

30 [ ] cos 4 φ φ π [ ] φ φ 又电荷密度, 还有故得到 [ ] cos φ φ ρ 又电荷密度, 还有故得到 ρ s n 因为积分面是的无穷大平面, 法线沿 - 方向,

31 n cos φ φ [ ] 3 由于上只有园内部分电势不为零, 因此式子 s n 中的积分只需对 a 积分, 即可 Q. s φ

32 故 s n [ ] 3 cos π φ φ φ π a [ ] 3 cos cos π φ φ φ φ φ π a 在很远处, >>a 的电势可以展开成幂级数, 积 φ π 在很远处, >>a 的电势可以展开成幂级数, 积分的被积函数分母展开 L α α α 8

33 其中 cos φ φ α 注意到 cosφ-φ' 对 φ' 一个或数个 π 周期的积分为零, 故 π cos φ φ π 3 a φ cos φ φ 4 cos φ φ 8 a a L

34 .6 6 电多极矩 Electic Multipole Moment

35 电多极矩电多极矩方法适应的范围 : 源点大小 v 于场点到源点的距离 v 远小 v v v >> v

36 电多极矩电势 : ρ v v v 4π v ρ v v v 4 π! i, j i j ρ [ i j L] 令电荷 Q ρ v

37 电多极矩 v v v 电偶极矩 P ρ v 电四极矩 D 3 ρ ij i j v D v v v 3 ρ 零级电势 : Q v 4 π v

38 电多极矩一级电势 : v P v P v 4 π 4 π Q l -Q v v v P

39 电多极矩 4π 二级电势 : Dij 6 i, j v i j D D D D i 3 D D D3 D3 D3 D33 D ij v 3 i ρ j

40 电多极矩 l Q Q v A P C θ v v θ Q D B Q Z D 33 6Q b 3 Qb 3 Qa 3 Qb 3 Qa a b a 6 pl

41 类似与电偶极矩可得 : 电多极矩 D33 v 4π 6 电四极矩几个分量的具体分布简化形式 : y y D D

42 电多极矩 y y D 33 D 3 y y 3 D D

43 电多极矩电四极矩张量只有五个独立量的证明电多极矩电四极矩张量只有五个独立量的证明 :, j i j i ij δ v j i δ j i ij δ 3 33 D D D ij v δ, j i j i

44 电多极矩例题 : 带电荷为 Q 的椭圆, 半长轴为 b, 半短轴为 a, 求它的电四极矩和远处的电势 y y b a y a

45 电多极矩 y 上图椭球方程为 : a b 椭球电荷密度为 : ρ 3Q πa 4 b 根据电四极矩公式 : D ij ρ 3 i j δ ij

46 电多极矩分别可得 : D D 3 D 3 D D D a b Q 5 33 a b Q 5 近似电四极矩项的远处电势为 : 由于电偶极矩为零 Q a b 3cos 3 4 π θ

47 多电多极矩电荷体系在外电场中的能量 : W e ρ 电荷分布于小区域内, 取区域内适当点为坐标原点, 把对原点展开为 : e v L v 3 3! e j i e i e e,! j i e j i j i i e i i e e

48 电多极矩展开式的第一项自由电荷在外场的能量 : W Q e 展开式的第二项电偶极矩在外场的能量 : v v v W P P e E e 展开式的第三项电四极矩在外场的能量 : W v D : 6 E e

49 电多极矩非均匀场中四极子的能量才不为零同时可根据电四极矩推出电荷的分布形状电偶极子在外电场的受力情况 : v F v v W P E v P v e E e 电偶极子在外电场的受力矩情况 : v L v P v E e

50 要点 : 情况 ; 理解能用 een 函数法求解的静电问题的了解点电荷的表示 ; 掌握 een 公式 ; 对于第一类和第二类边界条件都能用类边界条件都能用 een 公式求出势函数. 理解能用电多极矩法求解的静电问题的情况 ; 掌握电偶极矩电四极矩产生的电势计算 ; 掌握电偶极矩电四极矩产生的电势计算 ; 电四极矩只有五个独立量

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