ii 封底介绍本书采用了比较自然的逻辑体系和简单易记的符号系统, 全面系统地介绍了经典电动力学的内容和方法, 突出了理论物理教材简洁优美严谨的特色. 书中尽量完整地给出了公式的推导和结论的证明, 每章配有较丰富的例题与习题.

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佳岚盛
5 years ago
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1 电动力学概论李书民

2 ii 封底介绍本书采用了比较自然的逻辑体系和简单易记的符号系统, 全面系统地介绍了经典电动力学的内容和方法, 突出了理论物理教材简洁优美严谨的特色. 书中尽量完整地给出了公式的推导和结论的证明, 每章配有较丰富的例题与习题.

3 iii 内容简介本书根据作者在中国科技大学讲授电动力学的讲义整理而成. 通过比较自然的逻辑体系和简单易记的符号系统, 全面系统地介绍了经典电动力学的内容和方法, 突出了理论物理教材简洁优美严谨的特色. 全书共分 8 章 : 电磁现象的基本规律静电场静磁场似稳场电磁波的传播电磁波的辐射狭义相对论带电粒子与电磁场的相互作用. 本书尽量完整地给出了公式的推导和结论的证明, 每章配有较丰富的例题与习题, 适合综合性大学和师范院校物理类专业师生及有关专业研究人员与工程师阅读.

4 iv 前言电动力学属物理专业本科生基础理论课程之一. 这组课程包括理论力学 ( 经典力学 ) 电动力学热力学与统计物理和量子力学, 合称四大力学. 和普通物理相比, 这组课程更加系统抽象, 是普物力学课程的深化和提高. 重点在于培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力. 电动力学是电磁现象的经典动力学理论, 主要研究电磁场的运动规律及其与物质的相互作用. 电磁相互作用是自然界最重要相互作用之一, 物质结构生命现象与之密不可分. 电磁相互作用也是迄今为止人们了解最彻底最完备和最精确的相互作用之一, 是研究其他相互作用的模型和样板. 电磁场理论同时也是联系经典理论和量子理论的纽带, 是近代物理学发展的基础和阶梯. 电磁理论在几乎所有的科学技术领域都有着重要的应用. 本书是根据作者在中国科学技术大学讲授电动力学的讲义整理而成的. 在编写过程中, 力图按照理论本身的逻辑体系, 循序渐进地引入抽象简洁的描述. 第 1 章从基本实验事实出发, 概要归纳出电磁现象的基本规律 ( 麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式 ), 并引入电磁场的势表述. 阐明了电磁场的物质属性, 如能量动量角动量等. 建议读者在学习第 1 章时, 先复习一下附录 A 和 B 中关于矢量分析和 δ 函数的数学知识. 第 2 章将一般理论应用于介质和导体的静电现象. 在唯一性定理的基础上, 通过实例详细介绍静电边值问题的解法. 建议读者在学习本章时, 先复习一下附录 C 和 D 中关于球函数与柱函数的知识. 第 3 章将静电场方法推广到稳恒电流所激发的静磁场, 关于静磁场的许多结论与静电场是平行的. 第 4 章讨论随时间缓慢变化的似稳场. 第 5 章研究电磁波在绝缘介质导体和等离子体中的传播规律, 以及在介质 ( 导体 ) 界面上反射和折射性质. 作为应用, 讨论了电磁波在波导管和谐振腔中的传播. 第 6 章通过引入推迟势, 讨论电磁波的辐射和衍射. 第 7 章从电磁定律与经典伽利略相对性原理的矛盾出发, 引入狭义相对论原理和洛伦兹变换, 建立了四维闵可夫斯基时空和张量的概念, 给出力学电动力学乃至经典场理论的四维协变形式. 第 8 章讨论带电粒子与电磁场的相互作用, 在经典理论框架内, 帮助学生建立带电粒子与电磁场相互作用的物理概念, 为以后定量研究场与物质的相互作用打下基础. 为了加强学生在理论思维和技能方面的训练, 本书在注重物理直观和简洁性的同时, 尽量地给出结论的证明和公式的推导. 每章后面附有较丰富的习题, 以巩固正文中所学的内容. 带 * 号的章节相对独立, 略去不讲不会影响整体的系统性. 本书采用国际单位制, 国际制与高斯制的转换在附录 E 中给出. 物理常数的数值参见附录 F. 本书所采用的数学工具和单位制换算可参见附录. 公式符号繁多历来是电动力学著作所面临的一个问题. 本书为避免符号重复, 对个别物理量采用了不同于传统教科书的符号. 比如, 为了避免电导率符号 σ 与面电荷密度

5 v 符号 σ 重复, 我们用希腊字母 ξ 标记电导率 ( 该符号的形状像一根弯曲的导线, 使人自然联想到它反映了导电性能 ); 又如, 为了避免柱坐标矢径 ρ 与电荷密度符号 ρ 重复, 我们将柱坐标矢径记为 η( 可以把 η 想像成草写的 r, 只不过最后一笔向下拉得较长 ), 等等. 我们对物理量尽量不采用下标, 但对同一类型的物理量则采用共同的符号, 通过注以不同的下标以示区别. 比如, 对电磁场的能流密度动量流密度和角动量流密度分别采用符号 J w J g 和 J l. 为了区别矩阵与矢量 ( 张量 ) 符号, 将表示矩阵的字母冠以 ˆ 符号, 对矢量和张量则采用黑斜体字母. 本书取名为电动力学概论, 以区别于国内同类教材. 本书逻辑严谨, 论述清楚简练, 可作为物理系本科生电动力学课程的教材或教学参考书. 也可供其他专业的教师和研究生参考. 本书在编写过程中, 得到了中国科学技术大学出版社的大力支持. 同时受到国家自然科学基金和国家重点基础研究发展计划项目 2007CB 的资助. 中国科学技术大学季海波教授提供了本书最初的 CTEX 模版. 在年授课期间, 使用本书讲义的同学和作者进行了多次有益的讨论, 并提出了许多有价值的意见和建议. 作者在此一并向他们表示衷心的感谢! 由于作者水平有限, 书中定有不少错误, 恳请读者指正. 作者 2009 年 1 月于合肥

6 vi

7 第 1 章电磁现象的基本规律和定域分布的实体物质不同, 电磁场弥散于空间中, 是空间坐标和时间的函数. 为描写电磁场的运动, 麦克斯韦 (Maxwell) 花了约十年时间总结实验定律, 并将电磁现象与流体力学类比, 最终得到一组以他名字命名的微分方程. 本章将从电磁现象的实验定律出发, 建立麦克斯韦方程组, 阐述电磁场的运动规律及其与物质的相互作用. 1.1 麦克斯韦方程组电荷与电流很久以前, 人们就发现用毛皮摩擦过的琥珀玻璃橡胶等能够吸引像羽毛头发那样轻小的物体. 物体有了这种吸引轻小物体的性质, 我们就说它带了电, 或者说有了电荷. 自然界中只存在正负两种电荷. 物体所带电荷数量的多少称为电量. 在国际单位制 [ 参见附录 F] 中, 电量的单位是库仑. 近代物理表明, 物体所带的电量都是 1 个电荷单位即电子电量的整数倍. 电子电荷是 e 库仑 [ 参见附录 F]. 电荷的流动形成电流. 它可以用电流密度矢量 j 来描写. 电流密度的方向沿 ( 正 ) 电荷速度方向, 大小为单位时间内, 垂直通过单位面积的电量. 如图 1.1 所示, 考虑电流经过的一小面元 ds. 设电荷密度 ( 即单位体积内的电量 ) 为 ρ, 则 dt 时间内通过面积 ds 的电量为体积 ds vdt 内的电荷数, 即 vdt ds v dq = ρds vdt, (1.1.1) 图 1.1 流过面元的电流因此 j = ρv. (1.1.2) 其中 ρ 为电荷密度,v 为电荷速度. 将上式对任一截面积分, 可得通过该截面的电流强度 : I = j ds. (1.1.3) S 实验证明, 电荷是守恒的. 如果在空间任意取一封闭曲面 S, 则从 S 流出的电量应等于它所包围区域 V 内电量的减少, 即 j ds = S 1 V ρ dv. (1.1.4)

8 2 第 1 章电磁现象的基本规律应用高斯 (Gauss) 散度定理把左端的面积分转化为体积分, 可得 ( j + ρ ) dv = 0. (1.1.5) 式中 V = e x x + e y y + e z z i=x,y,z e i i r 为矢量微分算符 [ 参见附录 A]. 因为式 (1.1.5) 中的积分区域是任意的, 所以 j + ρ (1.1.6) = 0. (1.1.7) 上式称为连续性方程, 是电荷守恒定律的微分形式. 如果电流是稳恒的, 则电荷密度分布不随时间而变, 式 (1.1.7) 变为上式表明稳恒电流是无源的, 其流线为闭合曲线电荷的电场 O r 2 图 1.2 Q 2 F 21 r 1 r 21 F 12 Q 1 两个点电荷间的库仑力则 δ 的上限为库仑力满足牛顿 (Newton) 第三定律, 即 j = 0. (1.1.8) 1785 年, 库仑 (Coulomb) 通过实验发现了点电荷之间相互作用的定量规律. 如图 1.2 所示, 设两个点电荷的电量分别为 Q 1 和 Q 2, 位矢为 r 1 和 r 2, 则 Q 2 受到 Q 1 的作用力为 F 21 = 1 Q 2 Q 1 r 21. (1.1.9) 4πε 0 其中 r 21 = r 2 r 1,ε 0 = 库仑 2 牛顿 1 米 2 为真空介电常数 ( 真空电容率,[ 参见附录 F]. 式 (1.1.9) 称为库仑定律, 在电磁学发展史上占有重要地位. 库仑定律的发现使人们对电现象的探索从定性研究过渡到定量研究. 库仑力平方反比性质隐含着光子静质量为零这一深刻物理内 r 3 21 涵. 现代物理证明, 如果库仑力反比于电荷距离的 2+δ 次方, F 12 = F 21. (1.1.10) 近代物理认为, 电荷之间的相互作用是通过场来传递的. 电场的强弱可以用电场强度 ( 简称场强 ) 来描写. 它是单位检验电荷所受的力. 如果把 Q 2 作为检验电荷, 则点电荷 Q 1 在 r 2 点所激发的场强为 E = F 21 = 1 Q 1 r 21. (1.1.11) Q 2 4πε 0 r 3 21

9 1.1 麦克斯韦方程组 3 实验证明, 电场满足线性叠加原理. 设在空间中存在 N 个点电荷 Q 1, Q 2,, Q N, 分别位于 r 1, r 2,, r N, 则它们在 r 点所产生的电场强度为 E(r) = N i=1 1 4πε 0 Q i r r i 3 (r r i). (1.1.12) 如果电荷是连续地分布在一个空间区域 V 内, 电荷密度为 ρ(r ), 则场强 E(r) = 1 4πε 0 ρ(r )(r r ) r r 3 dv. (1.1.13) 为了导出电场满足的微分方程, 我们先对场强 (1.1.13) 求散度. 利用数学公式 [ 参见附录 A, 式 (A.57)] r r 3 = 2 1 r = 4πδ(r), (1.1.14) 可得即 E(r) = 1 4πε 0 ρ(r ) r r ρ(r r r 3 dv ) = δ(r r )dv, (1.1.15) ε 0 E(r) = ρ(r) ε 0. (1.1.16) 这就是微分形式的高斯定理, 相应的积分形式为 E ds = Q. (1.1.17) ε 0 其中 Q 为封闭曲面 S 所包围区域内的电量. 我们还可以求出场强的旋度 E(r) = S ρ(r ) 4πε 0 1 r r dv = 0. (1.1.18) 这里用到了数学公式 ( φ) = 0[ 参见附录 A, 式 (A.29)]. 注意, 上式是从静电场得到的. 当场随时间变化时, 我们需要对它进行修正电流的磁场 1820 年, 丹麦物理学家奥斯特 (Oersted) 首先发现了电流的磁效应. 之后, 毕奥 (Biot) 萨伐尔 (Savart) 和安培 (Ampere) 作了一系列实验, 找出了电流之间相互作用的定量关系. 设真空中存在两个稳恒电流元 j 1 dv 1 和 j 2 dv 2, 则电流元 j 2 dv 2 受到 j 1 dv 1 的作用力为 df 21 = μ 0 4π j 2 dv 2 (j 1 dv 1 r 21 ) r21 3. (1.1.19)

10 4 第 1 章电磁现象的基本规律其中 μ 0 = 亨利 / 米为真空磁导率 [ 参见附录 F]. 上式称为安培定律. 它表明电流元之间的相互作用也服从平方反比律, 但不满足牛顿第三定律,dF 12 = df 21. 类似于电场, 我们可以从安培定律引入磁场的概念. 我们可将式 (1.1.19) 改写成 df 21 = j 2 dv 2 B, (1.1.20) 其中 B = μ 0 j 1 dv 1 r 21 4π r21 3 (1.1.21) 为第一个电流元在第二个电流元处产生的磁感应强度 1. 磁感应强度也是可以线性叠加的. 如果电流 j 连续地分布于一个空间区域, 则它所产生的磁感应强度为上式称为毕奥 - 萨伐尔定律. B(r) = μ 0 4π j(r ) (r r ) r r 3 dv, (1.1.22) 我们现在来求 B(r) 的散度. 先将式 (1.1.22) 改写成 B(r) = μ 0 j(r ) 1 4π r r dv, (1.1.23) 注意到只对 r 起作用, 与 r 无关, 可得 B(r) = μ 0 4π j(r ) r r dv, (1.1.24) 由矢量分析公式 ( a) = 0[ 参见附录 A, 式 (A.30)], 可知 B(r) = 0. (1.1.25) 可见稳恒电流所激发的磁场是无源场, 磁感应线总是闭合曲线. 再来计算 B(r) 的旋度. 利用矢量分析公式 [ 参见附录 A, 式 (A.32)] ( a) = ( a) 2 a, (1.1.26) 可得 B(r) = μ 0 4π = μ 0 4π = μ 0 4π [ j(r ) { [ r r j(r ) r r ] dv ] 2 j(r ) r r j(r ) 1 r r dv μ 0 4π } dv j(r ) 2 1 r r dv. (1.1.27) 1 B 没有被称为磁场强度是由于历史的原因.

11 1.1 麦克斯韦方程组 5 利用和数学公式 (1.1.14), 可得 B(r) = μ 0 4π 对第一项进行分步积分得 B(r) = μ 0 4π 1 r r = 1 r r j(r ) 1 r r dv + μ 0 因电流是稳恒的, j(r ) = 0[ 参见方程 (1.1.8)], 所以 (1.1.28) j(r )δ(r r )dv. (1.1.29) 1 r r j(r )dv + μ 0 j(r). (1.1.30) B = μ 0 j. (1.1.31) 这就是安培环路定理的微分形式, 相应的积分形式为 B dl = μ 0 I. (1.1.32) I 为环路 L 所包围的电流. L 式 (1.1.31) 是从稳恒电流情形得到的. 对于一般的非稳恒电流, 该方程应该如何修改呢? 对式 (1.1.31) 两边取散度, 我们发现左端 ( B) = 0. 但根据连续性方程, 右 ρ 端 μ 0 j = μ 0 = 0, 矛盾. 为了消除这一矛盾, 麦克斯韦引入了位移电流的假设. 将高斯定理 (1.1.16) 代入连续性方程 (1.1.7) 可得 ( ) E j + ε 0 = 0. (1.1.33) 麦克斯韦把上式括号中的第二项叫做位移电流 : 我们将方程 (1.1.31) 中的 j 用 j + j D 取代, 便得到一般的关系 : j D = ε 0 E. (1.1.34) B = μ 0 j + μ 0 ε 0 E. (1.1.35) 例电流 I 均匀分布于半径为 R 的无限长直导线内, 求空间各点的磁感应强度, 并计算其旋度. 解取柱坐标系的 z 轴沿电流方向. 在与导线垂直的平面内作一半径为 η 的圆形环路, 圆心在导线轴上. 根据对称性, 在圆周各点的磁感应强度有相同的值, 方向沿圆周环绕方向. 当 η > R 时, 通过圆内的总电流为 I. 由安培环路定理得 B dl = 2πηB = μ 0 I, (1.1.36)

12 6 第 1 章电磁现象的基本规律所以 B = μ 0I 2πη, 写成矢量形式为式中 e φ 为圆周环绕方向的单位矢量. 当 η < R 时, 通过圆内的总电流为 B = μ 0I 2πη e φ (η > R). (1.1.37) 应用安培环路定理得 j πη 2 = I πr 2 πη2 = η2 I, (1.1.38) R2 B dl = 2πηB = μ 0 I η2 R 2, (1.1.39) 所以 B = μ 0Iη 2πR 2 e φ (η < R). (1.1.40) 利用柱坐标系下的旋度公式 [ 参见附录 A, 式 (A.74)] a = ( 1 a z η φ a ) ( φ aη e η + z z a ) [ z 1 (ηa φ ) e φ + 1 η η η η ] a η e z, (1.1.41) φ 可求出 B 的旋度 : 电磁感应 0 (η > R), B = μ 0 I πr 2 e z (η < R). (1.1.42) 图 1.3 B 电磁感应 L 自从发现了电流的磁效应后, 人们一直致力于寻找其逆效应, 即磁场能否产生电流, 但许多尝试都失败了. 直到 1831 年法拉第 (Faraday) 通过实验发现了变化磁场和电场之间的联系. 变化磁场在一个闭合回路中引起的电流叫做感应电流, 如图 1.3 所示. 与这种电流的相应的电动势称为感应电动势. 它可表示为电场强度沿回路的线积分 : Ξ = E dl. (1.1.43) L 实验表明, 感应电动势等于回路所围曲面中磁通量的变化率 : Ξ = d B ds. (1.1.44) dt S

13 1.1 麦克斯韦方程组 7 上式称为法拉第电磁感应定律. 如果回路在空间是固定的, 则式 (1.1.44) 可改写成 S L B E dl = ds. (1.1.45) S 应用斯托克斯 (Stokes) 定理, 将左端化为面积分, 可得 ( E + B ) ds = 0. (1.1.46) 由回路曲面的任意性可知 E = B. (1.1.47) 当 E 中包含静电场时, 上式仍然成立, 因为静电场对旋度没有贡献 [ 参见方程 (1.1.18)] 麦克斯韦方程组与洛伦兹力公式式 (1.1.16) (1.1.47) (1.1.25) 和 (1.1.35) 共同构成了麦克斯韦方程组 : E = ρ ε 0, (1.1.48) E = B, (1.1.49) B = 0, (1.1.50) E B = μ 0 j + μ 0 ε 0. (1.1.51) 这组方程反映了电磁场的运动规律. 它一共含有 8 个方程. 在给定场源和已知的初始条件与边界条件下, 可从这组方程解出 E 和 B 的 8 个分量. 我们已经知道静电场对静止电荷作用力的密度为 ρe, 静磁场对稳恒电流作用力的密度为 j B. 推广到一般情形, 可得电荷电流系统在电磁场中的受力密度 : f = ρe + j B. (1.1.52) 上式称为洛伦兹 (Lorenz) 力公式. 它反映了实体物质在电磁场中的运动规律. 麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式共同构成了经典电动力学的基础. CPT 定理是粒子物理和近代场论中的一个重要定理, 它反映了量子场 ( 基本粒子 ) 的运动规律在电荷共轭变换 ( 也叫 C 变换, 是改变电荷符号的变换 2 ) 空间反演 ( 也叫宇称变换或 P 变换 ) 和时间反演 ( 也叫 T 变换 ) 联合操作下的不变性. 下面我们考察麦克斯韦方程组在这些分立对称操作下的变换性质. 2 更准确地说,C 变换是将粒子变为反粒子的变换.

14 8 第 1 章电磁现象的基本规律 (1) 电荷共轭 : 此时, 电流密度 j = ρv = ρ dr dt [ 参见式 (1.1.2)] 改变符号 : ρ ρ, r r, t t. (1.1.53) j j. (1.1.54) 根据静电场和稳恒电流磁场的表达式 (1.1.13) 和 (1.1.22) 可推知, 电场强度和磁感应强度在 C 变换下亦变号 : E E, B B. (1.1.55) 利用式 (1.1.53) (1.1.55) 容易验证, 麦克斯韦方程组 (1.1.48) (1.1.51) 在 C 变换下保持不变. (2) 空间反演 : r r, ρ ρ, t t. (1.1.56) 可以验证电流密度电场强度和磁感应强度在 P 变换下按照下式进行变换 : 麦克斯韦方程组在 P 变换下亦保持不变. (3) 时间反演 : j j, E E, B B. (1.1.57) 电流密度电场和磁场在时间反演下的变换行为分别为 : 麦克斯韦方程组在 T 变换下仍保持不变. t t, ρ ρ, r r. (1.1.58) j j, E E, B B. (1.1.59) 综上, 麦克斯韦方程组在 C P 和 T 对称操作下均保持不变, 故在三者的联合变换下也保持不变, 这表明即电磁场 ( 麦克斯韦场 ) 满足 CPT 定理 3. 但洛伦兹力 (1.1.52) 在 CPT 联合变换下变号. 1.2 电磁场的能量动量与角动量电磁场是一种特殊的物质, 具有内在的运动规律. 像实体物质一样, 它也具有能量动量和角动量. 电磁场运动可以通过与实体物质的相互作用转化为实体物质的运动. 从麦克斯韦方程组 (1.1.48) (1.1.51) 和洛伦兹力公式 (1.1.52) 出发, 可以得到反映电磁场物质属性的这些量. 3 通过引入磁单极 ( 磁荷 ), 可使麦克斯韦方程组对于电和磁完全对称. 但此时若要保持 CPT 定理成立, 就必须赋予磁荷与电荷截然不同的变换性质 [ 参见蔡圣善, 朱耘, 徐建军 : 电动力学第二版 ( 高等教育出版社,2002)].

15 1.2 电磁场的能量动量与角动量电磁场的能量与能流洛伦兹力公式 (1.1.52) 是联系电磁场和场源载体运动的桥梁. 由它可得电磁场对带电体作功的功率密度 : f v = (ρe + j B) j ρ = j E. (1.2.1) 由麦克斯韦方程第四式, 可得 j = 1 μ 0 B ε 0 E. (1.2.2) 代入式 (1.2.1), 可得 f v = 1 ( B) E 1 μ 0 2 ε E 2 0. (1.2.3) 为了将上式写成关于 E, B 的对称形式, 用 B 点乘麦克斯韦方程第二式, 得 0 = 1 ( E + B ) B. (1.2.4) μ 0 将上式加到式 (1.2.3) 上, 给出 f v = 1 μ 0 [( B) E ( E) B] 利用矢量分析公式 [ 参见附录 A, 式 (A.36)] ( 1 2 ε E B 2 ). (1.2.5) 2μ 0 (a b) = ( a) b a ( b), (1.2.6) 可得 f v = 1 μ 0 (E B) ( 1 2 ε 0E ) B 2. (1.2.7) 2μ 0 定义电磁场的能量密度和能流密度矢量 [ 也叫坡印亭 (Poynting) 矢量 ] 则式 (1.2.7) 可写成 w = 1 2 ε 0E μ 0 B 2, (1.2.8) J w = 1 μ 0 E B, (1.2.9) J w + w = f v. (1.2.10)

16 10 第 1 章电磁现象的基本规律这正是电磁场和带电体系统能量守恒定律的微分表达式, 相应的积分形式为 J w ds + d w dv = f v dv. (1.2.11) S dt V V 洛伦兹力作功增加了体系的机械动能 W k. 单位时间内动能的增量等于洛伦兹力作功的功率 : dw k dt = V f v dv. (1.2.12) 于是 S J w ds + dw dt = dw k dt. (1.2.13) 其中 W = V w dv = V ( 1 2 ε 0E ) B 2 dv (1.2.14) 2μ 0 为区域 V 中电磁场的能量. 式 (1.2.13) 表明, 在一个空间区域内电磁能的增加率等于带电体动能的减少率, 总能量是守恒的. 如果把积分区域取为全空间, 则式 (1.2.13) 左端第一项的面积分为零, 于是即 d dt (W + W k) = 0, (1.2.15) W k + W = 常数. (1.2.16) 例证明在给定的初始条件和边界条件下, 麦克斯韦方程组的解是唯一的. 证用反证法. 假定存在两组不同的解 E, B 和 E, B, 均满足麦克斯韦方程组 (1.1.48) (1.1.51), 且具有相同的初始条件与边界条件. 即当 t = 0 时, E (r, 0) = E (r, 0), B (r, 0) = B (r, 0), (1.2.17) 且在边界上, E (r, t) S = E (r, t) S, B (r, t) S = B (r, t) S. (1.2.18) 令 E = E E, B = B B, (1.2.19)

17 1.2 电磁场的能量动量与角动量 11 则 E, B 满足齐次方程和齐次初始条件 E = 0, (1.2.20) E = B, (1.2.21) B = 0, (1.2.22) E B = μ 0 ε 0, (1.2.23) E(r, 0) = 0, B(r, 0) = 0, (1.2.24) 与齐次边界条件 S E(r, t) S = 0, B(r, t) S = 0. (1.2.25) 对于场 E, B, 能量守恒定律 (1.2.11) 可以写成 1 (E B) ds + d ( 1 μ 0 dt 2 ε 0E ) B 2 2μ 0 V dv = j E dv. (1.2.26) V 根据齐次边界条件 (1.2.25), 上式左端第一项为零. 又由方程 (1.2.23) 的齐次性可知, 在上式中 j = 0, 从而右端的项为零. 所以 ( 1 2 ε 0E ) B 2 = 常数. (1.2.27) 2μ 0 考虑到齐次初始条件 (1.2.24), 可知该常数为零. 又因上式被积函数的每一项都是正定的, 故从而与假设矛盾. 于是得证. 证毕电磁场的动量与动量流 E(r, t) 0, B(r, t) 0. (1.2.28) E (r, t) = E (r, t), B (r, t) = B (r, t). (1.2.29) 洛伦兹力给出了带电体动量的时间变化率. 这种动量变化是由电磁场的动量变化引起的. 由麦克斯韦方程组的第 1 式和第 4 式, 可将电荷密度和电流密度用场量表示为 ρ = ε 0 E, (1.2.30) j = 1 E B ε 0 μ 0. (1.2.31)

18 12 第 1 章电磁现象的基本规律代入洛伦兹力公式 (1.1.52), 得 f = ε 0 ( E)E + 1 μ 0 ( B) B ε 0 E B. (1.2.32) 为将 f 写成关于 E 和 B 的对称形式, 我们利用另外两个麦克斯韦方程构造恒等式 : 0 = 1 ( ( B)B + ε 0 E + B ) E. (1.2.33) μ 0 加到式 (1.2.32) 上, 得 f = ε 0 ( E)E + 1 μ 0 ( B) B ε 0 E B 利用矢量分析公式 [ 参见附录 A, 式 (A.44)] 可得于是 + 1 μ 0 ( B)B + ε 0 ( E) E + ε 0 B E. (1.2.34) ( a) b = (b )a ( a) b, (1.2.35) ( E) E = (E )E 1 2 E2. (1.2.36) 其中 1 为单位张量. 同理可得 ( E)E + ( E) E = ( E)E + (E )E 1 2 E2 = (EE) 1 ( 2 (E2 1) = EE 1 ) 2 E2 1. (1.2.37) ( B)B + ( B) B = 将式 (1.2.37) 和 (1.2.38) 代入式 (1.2.34), 可得 ( BB 1 ) 2 B2 1. (1.2.38) 其中, 矢量 J g + g = f. (1.2.39) g = ε 0 E B = ε 0 μ 0 J w (1.2.40) 称为电磁场的动量密度. 二阶对称张量 J g = 1 ) (ε 0 E 2 + 1μ0 B 2 1 ε 0 EE 1 BB (1.2.41) 2 μ 0

19 1.2 电磁场的能量动量与角动量 13 称为电磁场的动量流密度, 也叫做麦克斯韦应力张量或电磁应力张量. 式 (1.2.39) 就是电磁场与带电体系统动量守恒定律的微分形式. 相应的积分形式为 J g ds + d g dv = f dv. (1.2.42) S dt V V 即 S J g ds + dg dt = dg k dt. (1.2.43) 其中 G 和 G k 分别为区域 V 内电磁场的动量和带电体的机械动量. 式 (1.2.43) 表明, 一个空间区域内电磁场动量的增长率等于带电体机械动量的减少率. 如果把积分区域取为全空间, 则积分可知, 全空间的电磁场动量与机械动量之和守恒 : 电磁场的角动量与角动量流我们现在来讨论电磁场的角动量. 用位矢 r 叉乘式 (1.2.39) 得我们可引入电磁场的角动量密度和角动量流密度张量可以验证 4 d dt (G + G k) = 0, (1.2.44) G + G k = 常数. (1.2.45) r ( J g ) + r g = r f. (1.2.46) l = r g = ε 0 r (E B), (1.2.47) J l = J g r. (1.2.48) J l = r ( J g ). (1.2.49) 4 式 (1.2.49) 的证明 : 写成分量形式, 可得 5 注意到 J g 为一个二阶对称张量, 于是 k J l,kij = k (J g,ki x j J g,kj x i) = ( k J g,ki x j + J g,ki δ kj k J g,kj x i J g,kj δ ki ) k k k = k (x i k J g,kj + J g,ji x j k J g,ki J g,ij). 注意到 J g 为一个二阶对称张量 k J l,kij k = k (x i k J g,kj x j k J g,ki ). 故式 (1.2.49) 成立.

20 14 第 1 章电磁现象的基本规律于是式 (1.2.46) 可改写成 J l + l = r f. (1.2.50) 式 (1.2.50) 是电磁场和带电体系统角动量守恒定律的微分形式, 相应的积分形式为 ds J l + d l dv = r f dv, (1.2.51) S dt V V 即 S ds J l + dl dt = dl k dt. (1.2.52) 其中 L 和 L k 分别为区域 V 内的电磁场角动量和机械角动量. 如果把积分区域取为全空间, 则表明全空间角动量守恒. L + L k = 常数, (1.2.53) 1.3 介质的电磁性质上一节我们讨论了在真空背景下, 电磁场与电荷电流系统相互依存的基本规律. 本节研究介质中的情形. 介质是由分子组成的. 分子由原子组成, 原子内部有带正电的原子核和带负电的电子. 从电磁的观点来看, 介质是一个带电粒子系统, 其内部存在着不规则而迅速变化的电磁场. 在研究宏观电磁现象时, 我们所讨论的物理量是在一个宏观小微观大的体积内的平均值介质的极化介质可分为非极性分子和极性分子两大类 : 非极性分子的正负电荷中心重合, 没有电偶极矩. 极性分子正负电荷中心不重合, 具有分子电偶极矩. 但由于无规则的热运动, 使宏观体积内电偶极矩为零. 在外电场作用下, 前一类分子的正负电荷中心被拉开, 后一类电偶极矩在一定程度上沿电场取向排列. 从宏观上来看, 二者均呈现出电偶极矩分布. 我们把这种现象称为介质的极化. 在简化的模型中, 每个分子可看作由一对电荷 ±q 构成, 负电荷中心到正电荷中心的位移为 l. 每个分子的电偶极矩 p = ql. 极化现象可用电极化强度矢量来描写. 它定义为在一个宏观小微观大的体积 ΔV 内电偶极矩的平均值 : p P = = Np. (1.3.1) ΔV

21 1.3 介质的电磁性质 15 式中求和是对体积 ΔV 内所有分子进行的.N 为单位体积内的分子数. 在介质中取无穷小面元 ds, 则极化时通过 ds 的正电荷数等于体积 l ds 内的分子数,dQ = qnl ds = P ds, 如图?? 所示. 通过封闭曲面 S 跑出的总电荷为 Q = S P ds. (1.3.2) 由于介质是电中性的, 在 S 所包围的体积 V 内会出现等量的负电荷. 这种由于极化而出现的宏观电荷称为极化电荷或束缚电荷. 设极化电荷的密度为 ρ P, 则 ρ P dv = P ds. (1.3.3) V 将面积分化为体积分, 可得 ρ P = P. (1.3.4) 如果外电场是随时间变化的, 则极化电荷密度也会随时间变化而形成所谓的极化电流. 设极化电流密度为 j P, 依照连续性方程, S 将式 (1.3.4) 代入上式可得 j P = ρ P. (1.3.5) j P = P. (1.3.6) 介质的磁化介质分子中电子的运动形成微观环形电流, 每个环形电流相当于一个磁偶极子, 对应于一个小磁矩. 核子与电子的自旋也可以看作这种磁偶极子. 没有外磁场时, 这些磁偶极子的取向是随机的. 加上磁场后, 它们沿磁场方向排列, 呈现出宏观的效果, 这就是磁化现象. 磁化是由磁化强度描写的. 它定义为单位体积内磁偶极子的磁矩 : m M = = Nm. (1.3.7) ΔV 其中 N 为单位体积内的磁偶极子数.m 为每个磁偶极子的磁矩, 等于环形电流强度 i 乘以它所包围的面积 a: m = ia. (1.3.8) 磁化会导致宏观的电流分布 j M, 称为磁化电流. 我们现在来找出磁化电流密度 j M 与磁化强度 M 之间的关系.

22 16 第 1 章电磁现象的基本规律 l l L ds 图 1.4 通过面元的电荷图 1.5 磁化电流考虑一个有环形电流通过的任意曲面 S, 其边界为封闭曲线 L, 如图?? 所示. 从图上可以看出, 只有套在边界线 L 上的环形电流才对 j M 有贡献. 其他的电流要么根本不通过曲面, 要么通过两次, 互相抵消. 对于边界线元 dl 所穿过的环形电流, 其中心位于体积 a dl 内,dl 所穿过的分子电流为 Nia dl. 沿边界线 L 积分, 便可得到穿过曲面 S 的总磁化电流 : 即由曲面 S 的任意性, 可得 I M = S L Nia dl = j M ds = S L M dl. (1.3.9) M ds. (1.3.10) j M = M. (1.3.11) 对上式取散度, 得 j M = 0. 由连续性方程 (1.1.7) 可知, 磁化电流不引起电荷的积累介质中的麦克斯韦方程组当介质存在时, 空间总电荷密度 ρ T 由自由电荷 ρ 和极化电荷 ρ P 组成, 即总电流密度 j T 包括传导电流 j 极化电流 j P 和磁化电流 j M : ρ T = ρ + ρ P = ρ P. (1.3.12) j T = j + j P + j M = j + P + M. (1.3.13) 用 ρ T 和 j T 取代麦克斯韦方程组 (1.1.48) (1.1.51) 中的自由电荷密度 ρ 和传导电流密度 j, 我们就可以得到麦克斯韦方程在介质中的形式. 首先, 将麦克斯韦方程 (1.1.48) 和 (1.1.51) 分别改写成 : E = 1 (ρ P ), (1.3.14) ε 0 ( B = μ 0 j + P ) + M E + μ 0 ε 0. (1.3.15)

23 1.3 介质的电磁性质 17 为了只让自由电荷和传导电流出现在这组方程中, 引入辅助量 D = ε 0 E + P, (1.3.16) H = B μ 0 M, (1.3.17) 代入方程 (1.3.14) 和 (1.3.15) 中整理, 并计入另外两个麦克斯韦方程 (1.1.49) 和 (1.1.50), 便可得到介质中的麦克斯韦方程组 : D = ρ, (1.3.18) E = B, (1.3.19) B = 0, (1.3.20) H = j + D. (1.3.21) 辅助量 D 和 H 分别称为电位移矢量和磁场强度. 这组方程含有 8 个 ( 分量 ) 方程. 未知量为 E, B, D, H 的 12 个分量. 要对它们进行求解, 尚需要 6 个如下的函数关系 : D = D(E, B), (1.3.22) H = H(E, B). (1.3.23) 方程 (1.3.22) 和 (1.3.23) 称为介质电磁性质的本构关系或电磁性质方程, 这些关系一般由经验定律给出. 我们有在场不是很强的情况下, 大多数介质对场的响应是线性的. 尤其对于各向同性介质, P = χ e ε 0 E, (1.3.24) M = χ m H, (1.3.25) 式中 χ e 和 χ m 称为电极化率和磁化率. 将式 (1.3.24) 和 (1.3.25) 分别代入方程 (1.3.16) 和 (1.3.17) 中, 可得其中相对电容率 ) 和相对磁导率, D = εe, (1.3.26) B = μh. (1.3.27) ε = (1 + χ e )ε 0 = ε r ε 0, (1.3.28) μ = (1 + χ m )μ 0 = μ r μ 0 (1.3.29) 分别称为介电常数 ( 电容率 ) 和磁导率,ε r, μ r 称为相对介电常数 ( 相对电容率 ) 和相对磁导率. 在场迅变的情况下, 这些量均是频率的函数. 介电常数和磁导率随频率变化的现象称为色散.

24 18 第 1 章电磁现象的基本规律对于各向异性介质, 介电常数和磁导率均推广为对称张量, 式 (1.3.26) 和 (1.3.27) 变为 : 或写成分量形式 : 其中 D = ε E, (1.3.30) B = μ H, (1.3.31) D i = B i = 3 ε ij E j, (1.3.32) j=1 3 μ ij H j. (1.3.33) j=1 ε ij = ε ji, (1.3.34) μ ij = μ ji. (1.3.35) 对于铁电和铁磁物质,D, H 和 E, B 之间不存在齐次的线性关系. 或对于导电介质 ( 导体 ), 本构关系为欧姆 (Ohm) 定律 : 它也是一条经验定律 5. 标量 ξ 或张量 ξ 称为电导率. j = ξe (1.3.36) j = ξ E. (1.3.37) 如果介质是各向同性的, 且介电常数和磁导率均为常数, 则麦克斯韦方程组 (1.3.18) (1.3.21) 可改写成 : E = ρ ε, (1.3.38) E = B, (1.3.39) B = 0, (1.3.40) B = μj + με E. (1.3.41) 它们在形式上与真空中的麦克斯韦方程组完全相同, 只要用 ε, μ 取代 ε 0, μ 0 即可. 反过来, 真空也可以看作一种特殊的介质. 截至目前, 人们还没有在实验上观测到真空的色散. 5 按照牛顿定律, 场强 ( 单位电荷所受的力 ) 应当与电荷的加速度成正比, 而不是与速度成正比. 但电荷在导体中不断与离子发生碰撞, 获得一个平均速度. 该平均速度导致一个与场强成正比的宏观电流密度.

25 1.3 介质的电磁性质 19 n n 2 1 S 2 1 l 图 1.6 法向分量的边值关系图 1.7 切向分量的边值关系电磁场边值关系在不同介质的交界面上, 因介质的性质发生了跃变, 电磁场也发生跃变. 此时微分形式的麦克斯韦方程组失去意义, 但对应的积分形式仍然成立. 与式 (1.3.18) (1.3.21) 相应的积分形式的麦克斯韦方程组为 D ds = Q, (1.3.42) S E dl = d B ds, (1.3.43) L dt S B ds = 0, (1.3.44) S H dl = I + d D ds. (1.3.45) L dt S 利用这组方程, 可以导出电磁场在两种介质分界面上的边值关系. 我们先求关于场法向分量的边值关系. 设想在两种介质 1 和 2 的边界上, 取一底面积为 ΔS, 厚度趋于零的扁平的柱体, 如图 1.6 所示. 将式 (1.3.42) 应用于该柱体, 得 (D 2 D 1 ) nδs = σδs. (1.3.46) 其中 n 为界面法线方向的单位矢量, 从第一种介质指向第二种介质,σ 为界面上的 ( 自由 ) 面电荷密度. 约去 ΔS, 可得电位移矢量法向分量的边值关系 : D 2n D 1n = σ. (1.3.47) 同理, 由式 (1.3.44) 可得磁感应强度法向分量的边值关系 : B 2n B 1n = 0. (1.3.48) 再求切向分量跃变. 设介质表面存在面电流, 其线密度 ( 垂直于电流方向单位长度的电流 ) 为 α, 如图 1.7 所示. 在垂直于面电流方向, 取跨越界面并无限贴近界面的小长方形回路, 其边长为 Δl. 将

26 20 第 1 章电磁现象的基本规律积分方程 (1.3.45) 应用于该回路, 得 H 2τ Δl H 1τ Δl = α, (1.3.49) 故 H 2τ H 1τ = α. (1.3.50) 同理由式 (1.3.43), 可得电场切向分量的边值关系 : E 2τ E 1τ = 0. (1.3.51) 式为式 (1.3.47) (1.3.51) (1.3.48) 和 (1.3.50) 共同构成了电磁场的边值关系, 它们的矢量形 n (D 2 D 1 ) = σ, (1.3.52) n (E 2 E 1 ) = 0, (1.3.53) n (B 2 B 1 ) = 0, (1.3.54) n (H 2 H 1 ) = α. (1.3.55) 这组方程是麦克斯韦方程在介质分界上的等价表示. 例无穷大平行板电容器内有两层介质 ( 图 1.8), 极板上的面电荷密度为 ±σ, 求电场和束缚电荷分布. 2 1 图 1.8 无穷大平行板电容器解由对称性可知, 电场沿垂直于平板的方向. 将边值关系 (1.3.52) 应用于下板与介质 1 的界面上, 因导体内场强为零, 故得 D 1 = σ. (1.3.56) 同理, 在上板与介质 2 的界面上有 D 2 = σ. (1.3.57)

27 1.3 介质的电磁性质 21 由这两式可得 E 1 = σ ε 1, (1.3.58) E 2 = σ ε 2. (1.3.59) 度束缚电荷分布于介质表面上. 在两介质交界处, 自由电荷面密度为零, 束缚电荷面密 σ P = (P 2 P 1 ) = [(D 2 ε 0 E 2 ) (D 1 ε 0 E 1 )] [( ) ( )] σ σ = σ ε 0 σ ε 0 ε 2 ε 1 ( ε0 = ε ) 0 σ. (1.3.60) ε 2 ε 1 在介质 1 与下板分界处, σ P ( = P 1 = (D 1 ε 0 E 1 ) = = ( 1 ε 0 ε 1 σ ε 0 σ ε 1 ) ) σ. (1.3.61) 在介质 2 与上板分界处, σ P 介质中电磁场的能量动量和角动量 ( σ = P 2 = D 2 ε 0 E 2 = σ ε 0 = 1 ε ) 0 σ. (1.3.62) ε 2 ε 2 仿照真空中的情形, 我们可以讨论介质中电磁场的能量动量角动量及其守恒定律. 一般来说, 只有当介质为无色散无损耗的的线性均匀介质时, 才有能量和动量守恒 ; 只有当介质各向同性时, 才可以讨论角动量守恒. 首先考察能量. 在介质中, 电磁场不仅对传导电流作功, 还对极化电流和磁化电流作功. 场使介质极化磁化所作的功作为电磁能量储存起来, 可归并到电磁场能量的表达式中去. 我们仍从电磁场对自由电荷电流作功的功率密度出发 : f v = j E. (1.3.63) 根据介质中麦克斯韦方程的第四式, 电流密度可用场量表示为 : j = H D. (1.3.64)

28 22 第 1 章电磁现象的基本规律代入式 (1.3.63), 得 f v = ( H) E D E = ( H) E D E + ( E + B ) H. (1.3.65) 第二个等号用到了麦克斯韦方程第二式. 利用矢量分析公式 (1.2.6), 可将上式中两个叉乘项合并 ; 又考虑到对于线性介质 D = ε E = e i B = μ H = e i 3 ε ij E j, (1.3.66) j=1 3 μ ij H j. (1.3.67) 其中介电常数 ε 和电导率 μ 均为对称张量, 我们可将式 (1.3.65) 化为 f v = (E H) ( 1 2 D E + 1 ) B H. (1.3.68) 2 引入场的能量密度和能流密度 ( 坡印亭矢量 ) j=1 w = 1 2 D E + 1 B H (1.3.69) 2 J w = E H, (1.3.70) 则式 (1.2.7) 可写成这就是介质中的能量守恒定律. J w + w 我们再来考察动量守恒定律的形式. 将麦克斯韦方程第一式 = f v (1.3.71) 和式 (1.3.64) 代入自由电荷电流的洛伦兹力公式 (1.1.52), 可得 ρ = D, (1.3.72) f = ρe + j B ( = ( D)E + H D ) B ( = ( D)E + H D ) B ( +( B)H + E + B ) D. (1.3.73)

29 1.3 介质的电磁性质 23 右端最后两项是由麦克斯韦方程第三和第二式得到的零项. 利用数学公式 (1.2.35) 和介电常数 ε 与电导率 μ 的对称性, 上式可进一步化为 f = ( D)E + (B )H ( H) B D B +( B)H + (D )E ( E) D D B = (DE) + (BH) ( E) D ( H) B (D B) ( 1 = (DE + BH) 2 E D + 1 ) H B (D B). (1.3.74) 2 即其中 J g + g = f. (1.3.75) g = D B (1.3.76) 为电磁场的动量密度矢量, J g = 1 (D E + B H) 1 DE BH (1.3.77) 2 为场的动量流密度张量 ( 电磁应力张量 ). 方程 (1.3.75) 即为介质中自由带电系统的动量守恒定律. 最后讨论角动量. 用位矢 r 叉乘式 (1.3.75) 得我们可引入电磁场的角动量密度和角动量流密度张量 r ( J g ) + (r g). = r f. (1.3.78) l = r g = r (D B) (1.3.79) J l = J g r. (1.3.80) 只有当 J g 为对称张量时 [ 参见关于式 (1.2.49) 的脚注 ], 我们才可以得到 J l = r ( J g ), (1.3.81) 从而得到角动量守恒定律 J l + l = r f. (1.3.82)

30 24 第 1 章电磁现象的基本规律 J g 的对称性要求 D = εe, (1.3.83) B = μh, (1.3.84) 即介质是各向同性的. 所以, 只有在各向同性介质中, 角动量守恒定律 (1.3.82) 才成立. 以后除非特别说明, 我们均假定介质是均匀且各向同性的. 例如图 1.9 所示, 同轴传输线的内导线半径为 a, 外导线半径为 b, 两导线间为均匀绝缘介质. 内导线载有电流 I, 两导线间的电压为 U. I a b 图 1.9 同轴传输线 (1) 忽略导线的电阻, 计算介质中的能流密度 J w 和传输功率 ; (2) 计及导线的有限电导率, 计算通过内导线表面进入导线中的能流, 证明它等于导线的功率损耗. 解 (1) 以到对称轴的距离 η 为半径作一圆周 (a < η < b). 考虑到对称性, 由安培环路定理可得 2πηH φ = I, 即 H φ = I 2πη. (1.3.85) 导线表面一般带有电荷, 设内导线单位长度的电荷 ( 线电荷密度 ) 为 λ, 根据高斯定理, 可得 2πηE η = λ ε, 故于是, 能流密度式中 e z 为沿导线轴向的单位矢量. 两导线间的电压为 E η = J w = E H = E η H φ e z = U = b a E η dη = λ 2πεη. (1.3.86) Iλ 4π 2 εη 2 e z. (1.3.87) λ 2πε ln b a. (1.3.88)

31 1.4 矢势标势与电磁规范 25 从上式中解出线电荷密度 λ, 代入式 (1.3.87), 得 J w = IU 2π ln b a 1 η 2 e z. (1.3.89) 将 J w 对两导线间圆环状截面积分, 可得传输功率 b a J w 2πηdη = b a IU ln b a 1 dη = IU. (1.3.90) η 这正是在电路问题中, 传输功率的常用表达式, 但该功率是通过场传输的. (2) 设内导线的电导率为 ξ, 由欧姆定律可知, 在导线内部有电场 E = j ξ = I πa 2 ξ e z. (1.3.91) 因电场是连续的, 在紧贴内导线表面的介质内, 电场除有径向分量外, 还有切向分量 : E z η=a = 故除了沿 z 轴方向的能流 J w 外, 还有沿径向进入导线内的能流 : 进入长度为 Δl 的导线内部的功率为 I πa 2 ξ. (1.3.92) I2 J w = E zh φ η=a e η = 2π 2 a 3 ξ e η. (1.3.93) J w 2πaΔl = I 2 Δl πa 2 ξ = I2 Z. (1.3.94) 式中 Z 为该段导线的电阻,I 2 Z 正是该段导线内的功率损耗. 1.4 矢势标势与电磁规范电磁场除了可以用电场强度 E 和磁感应强度 B 描写以外, 还可以用另一组函数, 即矢势与标势来描写. 根据麦克斯韦方程的第三式 B = 0, 可将 B 写成某个矢量函数 A(r, t) 的旋度 : 代入麦克斯韦方程的第二式 E = B, 可得 B = A. (1.4.1) ( E + A ) = 0. (1.4.2)

32 26 第 1 章电磁现象的基本规律上式表明括号内的量一定可以写成某个标量函数 φ(r, t) 的梯度 : 所以, 电场可用这些函数表示为 E + A = φ. (1.4.3) E = φ A. (1.4.4) 这样引入的函数 A 和 φ 分别称为电磁场的矢势和标势. 它们共有 4 个分量. 虽然 E, B 和 A, φ 对于描写电磁场是等价的, 但不是一一对应的关系. 设 χ 为任意函数, 作变换 : 则 A A = A + χ, (1.4.5) φ φ = φ χ, (1.4.6) A = A = B, (1.4.7) φ A = φ A = E. (1.4.8) 表明 (A, φ ) 与 (A, φ) 描写的是同一电磁场. 变换式 (1.4.5) 和 (1.4.6) 称为规范变换, 每一组 (A, φ) 称为一种规范. 对势作规范变换后, 可观测量与物理规律均保持不变. 这种不变性称为规范不变性. 标量函数 χ 可以任意选择, 不同的选择对应于不同的规范, 这就是所谓的规范自由度. 为限制规范自由度, 可以引入适当的辅助条件, 即规范条件. 从计算方便考虑, 对于不同的问题, 可以采用不同的规范条件. 它们可以使基本方程得到简化, 并且使物理意义更明显. 将式 (1.4.4) 代入麦克斯韦方程第一式 D = ρ 中, 并考虑到本构关系 D = εe, 可得 2 φ + A = ρ ε. (1.4.9) 将式 (1.4.1) 和 (1.4.4) 代入麦克斯韦方程第四式 H = j + D, 并利用本构关系 B = μh 及矢量分析公式 (1.1.26), 可得 2 A με 2 2 A ( A + με φ ) = μj. (1.4.10) 方程 (1.4.9) 和 (1.4.10) 在形式上是不对称的, 均同时含有 A 和 φ, 不便于求解. 我们可通过采用适当的规范条件来简化这些方程. 应用最广的有以下两种规范 : (1) 库仑规范 : A = 0. (1.4.11)

Microsoft Word - chapter1-2 电流和磁场-1

Microsoft Word - chapter1-2 电流和磁场-1 上次课静电场可以用一个标量场的梯度负值表示 : E 1 E 从静电场的库仑定律出发, 向瞬变场推广得到的电动力学的基本方程之一 : E,t 1,t 纯电偶极子的电势表达式 : 1 p, 1 2 重要的数学公式之一 : 回忆 tokes 定理 : 2 1. A l A L 2 电流和磁场关于对磁现象的研究, 我们宋代的科学家沈括 11-195 是第一个观测到悬挂的磁针指向南北向, 并将它应用到航海的导航上