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承坂索
5 years ago
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2 摘要利用数学工具分析并提出证明唯一性定理的简单方法 ; 利用 Mathematic 实现描绘并确定点电荷组的电场线分布 ; 从电场线的分布中定性分析静电场的一些特性

3 问题的提出 :

4 场与唯一性证明方法应用 Laplace 方程和泊松方程泊松方程 :ΔU=-ρ/ε Laplace 方程 : 如果 ρ=0, 则 ΔU=0 用能量关系式稳定磁场的唯一性定理, 并推广到一般矢量场

5 思想 ---- 反证法! V 区域由导体表面 S 1,S 2 及外包面 S 0 为 V 的边界围成, 记 S V 内由于 ΔU 1 =0 和 ΔU 2 =0, 有 ΔU =0( 无电荷密度 ) 即. U =0 S 1 S 2 V S 0 图一

6 能量关系式 n 1 1 QU i i = ε 2 2 i= 1 V 2 0E dv 引理一 : 若导体的电势都为零, 即 U 1 =U 2 = =U n =0, 则整个电场空间电势处处为 0,U(x,y,z)=0. ur ur E = 0 U( x, y, z) = E dl = 0 引理二 : 若所有导体都不带电, 即 Q 1 =Q 2 = =Q n =0, 则整个电场空间电势处处为 0,U(x,y,z)=0. 引理三 : 若 k 个导体 Q 1 =Q 2 = =Q k =0,(n-k) 个导体 U k+1 =U k+2 = =U n, 处处为 0,U(x,y,z)=0. v ( xyz,, )

7 采取不同的建模方式若是连续带电体 : n n 2 QU i i = ρiuidv = ε0e dv i= 1 i= 1 V V i 推导过程与上相仿, 唯一性定理仍适用连续带电体的几何线度趋于零亦适用! r 点电荷组

8 几点说明静电场与稳定磁场唯一性定理的证明思路几近类同同样方法可以推广到对多边界面复连通区域矢量场唯一性定理矢量场的唯一性定理 ( 包括前述静电场和稳定磁场, 本文为说明证明方法而将情况简化 ) 的表述涉及求解区域的拓扑性质, 相当复杂

9 静电场的描绘

10 使用工具 Mathematic 用欧拉折线法给点电荷组定位建立坐标系求出 (x 0,y 0,z 0 ) 点的电势 U 沿着这一方向走一小段 ( 如 0.01) E=- U 新点 (x 1,y 1,z 1 ) 作指针变换重复上述操作将所有点连成曲线

11 一个点电荷 Mathematic 程序如下 : pic={line[{{-5,0},{5,0}}],line[{{0,- 5},{0,5}}]}; d=0.05; Do[x0=0.05*Cos[k];y0=0.05*Sin[k]; lin1={{0,0},{x0,y0}};lin2={{0,0},{-x0,y0}}; While[x0>-5 && x0< && Abs[y0]<5.15, r=sqrt[x0^2+y0^2]; x1=x0+d*x0/r;y1=y0+d*y0/r; AppendTo[lin1,{x1,y1}];AppendTo[lin2,{- x1,y1}];x0=x1;y0=y1]; AppendTo[pic,Line[lin1]];AppendTo[pic,Line[lin 2]], {k,0,2pi,pi/21}]; pic4=show[graphics[pic],aspectratio Automatic]

12 这是大家所熟知的 :

13 两个等量点电荷 : 1) 异号电荷 2) 同号电荷

14 三个等量点电荷处于正三角形顶点 1) 同号电荷 2) 一个电荷异号

15 4 个同号点电荷处于正四面体顶点 :

16 八个同号点电荷处于正六面体顶点 :

17 正八面体, 六个顶点同号电荷 :

18 正八面体六个顶点中有一个是异号电荷 :

19 两个方向的投影图

20 正八面体一对相对顶点是正电荷, 其余四个是负电荷 :

21 投影图

22 正八面体相邻的一对顶点是正电荷, 其余四个是负电荷 :

23 + 一个解析函数, 对应一个场分布 dy 2xy dx = dy 2 0.8x dx = 2xy + 5Sin25x + e + 5 dy dx = 2x y x

24 若干讨论 --- 课本上对电场线的定义式基本性质 (3 条 ) E=0 点的场线如何描绘? E ΔN = Δ S

25 电场线起于正电荷 ( 或来自于无穷远处 ), 止于负电荷 ( 或伸向无穷远处 ), 但不会在没有电荷的地方中断若带电体系中正负电荷一样多, 则由正电荷发出的电场线都集中到负电荷上去在没有点电荷的空间里, 任何两条电场线不会相交在静电场中电场线不能形成闭合曲线电场线切线的方向就是此处场强的方向

26 哪个图更合理呢? E=0 孤立点?

27 问题一对孤立点 ΔN = = Δ 从理论上来说, 我们严格作图是非常困难的, 实际上是办不到的, 我们既不能触及该点, 也不能脱离该点! 借助数学分析里的 (ε,δ) 语言 : 做一个半径为 ε 的小球把此孤立点挖掉, ε->0, 此小球小到人的肉眼无法辨别, 这时其他空间中均有电场线! 既然那点无限小, 我们也不替自己找麻烦, 左图的画法也无可厚非! E S 0

28 问题二任何静电场都要满足高斯定理 : r 对中点取一高斯面, 对于右图不会出现什么问题! 但是我们发现对右图中点作一个不包含两点电荷的高斯面, 则有但此时对于左图, 从三维立体空间看, 其电通量不为 0, 有净出去的电场线, 其电通量似乎不为 0 S E ds = r S V ε 0 ρdv E ds = 0

29 左图和高斯定理如何统一? 再次想到了 (ε,δ) 语言 : E 是一个矢量, 它的大小在连线中点连续, 但其方向却在中点的四周发生的突变, 也就是其方向不连续, 其导数不存在, 在数学上, 连线中点是 E 的间断点, 而且是孤立间断点, 同样用一个半径为 ε 的小球包住连线中点,. 以此把那点挖掉, 这个球面连同原来作的曲面作为新的高斯面, 写出高斯定理, 显然此式为 0, 而对于挖掉的小球面, 其电通量当然趋于 0, 所以左图高斯定理亦成立!

30 实际上对我们所绘制的这些具有对称性的电场线图形都存在着这一问题比如前面画得图像中三个同号电荷置于正三角形的三个顶点上, 正三角形中心就是这样的点, 八个同号电荷置于正方体的八个顶点上, 其中心也是一个孤立间断点, 类似还有很多一般同号电荷置于正多边形或正多面体的顶点上时, 其中心均是间断点, 我们可以像分析一对同号电荷那样对其进行探讨! 我们默认课本定义式及各大定理的合理性得 --- E=0 处无电场线!

31 电场线与唯一性定理根据电场线的性质, 我们可得下面几个引理 : V 空间各导体电势均为 0, 则空间中场强处处为 0 空间中各导体电量为 0, 则空间中电场处处为 0 空间中部分导体电位为 0, 其余导体电量为 0, 则空间中场强处处为 0 用上面引理可以再次证明唯一性定理, 且不需要复杂的数学计算, 分三种情况 : 每个导体电势以给定每个导体电量以给定混合条件情况回归

32 参考书目 Mathematic 符号计算系统数学分析三电磁学赵凯华数学实验静电学典型问题的唯一性定理矢量场的唯一性

33 Happy New Year

34 思想 ---- 反证法! 若在 V 空间有两解 U 1 U 2, 令 U =U 1 -U 2 U U = U U + U U = U 对整个场区积分则, 并用高斯定理有 : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 V S 2 令 U dv = U U dv ( ) ( ) v v = U U ds + U U ds V S

35 S 为所有导体表面, 由于在导体表面上 U 1 =U 2, 所以 U =0, 右边第一项为 0; 导体外的空间是无限的, ρ=0,δu =0, 于是右边第二项也是 0, 则 U = V 即 U =0, ( ) 2 0 即得 U =U1-U2=const( 常量 )

36 若给定区域各导体电势, 由于导体表面上 U =0,const=0, 得 U 1 =U 2 从而证明了两个解相等,Laplace 方程解唯一 ; 若给定区域内各导体带电量,U =const, 这说明 U 1 和 U 2 可相差任一个常数, 此常数对导体表面的电荷无影响, 对电场也无影响, 所以这种情况仍说解是唯一的

37 实际上描绘静电场还能用其他更多的工具, 如 C++,BASIC 等两个例子 : 两个异号不等量电荷两个同号不等量电荷

38 考虑更复杂一些的静电场分布, 比如点电荷组电荷不等量或者若要考虑导体电荷的几何性质, 则还要涉及到计算各导体表面电荷分布问题

40 通电导线在环形电流产生的磁场中的运动通电螺线管反向环形电流

41 电场线形状的确定当然也可以通过解微分方程得到电场线形状解析表达式 : Ex,Ey,Ez 为场强在直角坐标系 X-Y-Z 上的三个分量, 场强的大小决定了电场线的舒密, 而电场线的切线方向为场强的方向, 于是如果电场线的解析式为 F(x,y,z), 写成参数式为 F=(X(t),Y(t),Z(t))

42 对 F 进行全微分后就是场强的方向, 于是可以得到电场线方程 dx dy dz = = E E E x y Z 在给定边界条件的情况下, 求解方程即可得出电场线方程对于 x y 平面 dy dx = f ( x, y)

43 电偶极子的力线方程 : 一对带电量为 q, 相距为 2a 的等量异号电荷, 以两电荷中心为坐标原点, 其连线为 X 轴方向, 则其电场场强方程为 E E 电力线方程 x y q x+ a x a = 4 πε 0 [ ( x+ a) + y ] [( x a) + y ] dy dx = 2 2 3/ /2 q y y = 4 πε 0 [ ( x+ a) + y ] [( x a) + y ] 2 2 3/ /2 E E y x

44 一般解这种偏微分方程比较困难, 我们可以用 Mathematic 软件进行计算, 得到电偶极子第一象限的电场线图为 :

45 论文外的工作 : 利用调和函数性质 u=0,u 是一调和函数, 而调和函数的最大最小值只能在区域的边界上达到, 而边上的 u 为一常数, 所以调和函数在区域中的最大最小值相等, 所以 u 在区域中为一常数所以 E=- u=0, 壳内电场处处为 0 构造寻找简单平行电场 -- 不同边界条件, 给定区域内场强分布可能不同

电动力学习题课 - 第一章

电动力学习题课 - 第一章电动力学习题课第一章 Cheng-Zong Ruan Department of Astronomy, BNU September 26, 2018 ElectroDynamics, exercise class chzruan 1/25 第一章作业从静电场麦克斯韦方程的积分形式 E = 0( 静电场无旋 ). L E dl = 0 推导微分形式从毕奥 - 萨法尔定律 (2.8) 式推导磁场旋度和散度公式