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1 第四章稳恒电流 Univity of Scinc and Tchnology of China

2 4- 稳恒条件 静电平衡 ( 电荷分布恒定 )-- 静电场 若电荷运动 一般情况 : 电荷分布随时间变化, 静电场不再适用 稳恒电流 : 导体内自由电荷分布不随时间变化, 仍然是静电场 Univity of Scinc and Tchnology of China

3 一 电流 电荷流动形成电流 在宏观范围内, 电流就是大量电荷的定向运动. 电流的形成 ) 存在载流子 ( 大量自由电荷 : 电子 正负离子等 ) ) 存在令载流子作定向运动的作用 ( 电场或非静电力 ). 电流方向 正电荷运动方向 Univity of Scinc and Tchnology of China

4 各种材料中的电流载体 金属 : 电子 电解质溶液 : 正 负离子 半导体 : 电离气体 : 真空 : 电子 空穴 电子 正负离子 热电子发射 场电子发射 隧道电流 Univity of Scinc and Tchnology of China

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8 二 电流强度和电流密度. 电流强度 定义 : 单位时间内通过导体任一截面的电量 dq I dt 单位 : 安培 (AC/) 太 粗糙 积分量 只能表示某一截面上的总电流大小, 无法描述电流沿截面的分布 标量 无法精确描述各点电流的方向 Univity of Scinc and Tchnology of China

9 . 电流密度 定义 :( 单位面积上的电流强度 ) 考虑导体内一点 P, 其电流方向的单位矢量, 取一与电流方向垂直的面元 ds^, 若通过面元 ds^ 的电流强度为 di, 则定义 P 点处电流密度为 : di ds ^ 电流场与电流线 n ds^ di n 电流密度反映了导体中电流的分布, 也称为电流场 与电场中的电场线类似, 可以引入电流线 : 切线方向为电流方向, 疏密程度反映 的大小 Univity of Scinc and Tchnology of China n

10 面电流密度 同样可以定义面电流密度 : i di dl ^ n dl^ n di 电流强度 通过导体任一有限截面 S 的电流强度为 : I ds S Univity of Scinc and Tchnology of China

11 三 电流的连续性方程 反映了电流分布与电荷分布的关系, 是电荷守恒定律的数学表示. 积分形式 ds - dq dt - d dt V dv. 微分形式 - t Univity of Scinc and Tchnology of China

12 3. 物理意义 电流线只能起止与电荷随时间变化的地方 对电荷密度不变的地方, 电流线不能中断 4. 稳恒条件 \ t 稳恒电流电荷分布不随时间变化, ds 即 : 电流线是闭合曲线 ( 稳恒电流的闭合性 ) Univity of Scinc and Tchnology of China

13 5. 稳恒电流的特性 稳恒电流的电流线或电流是闭合的, 电流线不可能有起点和终点 沿任一电流管的各截面电流强度都相等 稳恒电场与静电场有相同的性质, 服从相同的场方程式, 电势的概念对稳恒电场仍然有效 Univity of Scinc and Tchnology of China

14 4- 欧姆定律 电流连续性方程 ds 稳恒条件 - dq dt t t 这些方程无法唯一确定导体内电流分布 实验表明, 电流分布与电场分布相关 - Univity of Scinc and Tchnology of China

15 一 欧姆定律的两种表述 ~ 关系. 微分形式 : 电导率 /, : 电阻率 反映了 与 的点点对应关系 若导体是均匀的, 是常数 ; 若导体不均匀, 是位置的函数 更一般的情况, 还是电场强度 的函数 Univity of Scinc and Tchnology of China

16 . 一段电路欧姆定律 ( 积分形式 ) 取一段电流管 : DU dl 设 则 R U dl S IR 或 dl U I R Idl S S 积分形式适用于稳恒情况, 或变化不太快时 微分形式对非稳恒情况也适用, 更普遍 Univity of Scinc and Tchnology of China

17 3. 电阻率与温度的关系 材料的电阻率与温度有关 实验测量表明, 纯金属的电阻率随温度的变化较有规律, 当温度的变化范围不很大时, 电阻率与温度成线性关系 : + ( ) at a 称为电阻的温度系数, 大部分金属的电阻温度系数在.4% 左右 Univity of Scinc and Tchnology of China

18 近藤效应 某些掺有磁性杂质原子的 非磁性金属的电阻 - 温度 曲线在低温下出现一个极 小值 近藤效应起源于定域磁自旋 ( 磁杂质 ) 对电子的散射 声子对电子的散射概率随温度降低而降低 ; 而近藤效应的散射概率随温度降低呈对数增加 超低温下, 定域磁自旋与电子形成束缚态, 将磁自旋屏蔽, 近藤效应消失 临界温度 - 近藤温度 T K Univity of Scinc and Tchnology of China

19 4. 纳米材料的电阻 近藤效应 (Kondo ffct) 库仑阻塞 (Coulomb blockad) 单分子器件 Univity of Scinc and Tchnology of China

20 5. 电流的功和功率 电流通过导体时, 正电荷由高电势流向低电势, 电场对电荷做功 : 因此电流的功率为 : WQ UI t U P W/ tuii RU /R 这部分功以发热的形式释放出来 : 功率密度 : QUI t ( 焦耳定律 ) p P V IU Sl Univity of Scinc and Tchnology of China

21 二 欧姆及其定律欧姆 (Ohm)( ) 86 年发现欧姆定律背景 : Coulomb 定律问世约 4 年 Volta 电池诞生 多年 电流的磁效应和温差电现象已发现 Univity of Scinc and Tchnology of China

22 85.5, 发表电学论文 金属传导接触电所遵循的定律的暂时报告 介绍了载流导线产生的电磁力与导线长度的关系 85.7, 在实验上比较各种金属导线的电导率 将各种金属制成直径相同的导线, 实验时调节导线长度, 使其产生的电磁力相同, 比较此时各金属导线的长度 Univity of Scinc and Tchnology of China

23 86.4, 金属传导接触电所遵循的定律的测定, 以及关于伏打装置和施威格倍增器的理论提纲 (Volta 电池输出不稳定, 改用温差电偶作电源 ) 在该论文中 Ohm 给出电磁力 X 与导线长度 x 的关系 : X b a + x Ohm 改变温差电偶的温度, 发现 a 值取决于温差电偶的温度差, 而 b 值不变 因此 : X fi I a fi ε b fi x fi ( 闭合回路 Ohm 定律 ) R Univity of Scinc and Tchnology of China

24 86.4, 由伽伐尼电力产生的验电器现象的理论尝试 X ks a l X: 通过导线 l 的电流强度 ;S: 导线横截面 ;k: 电导率 ;a: 电势差 ( 电路中一段导体的 Ohm 定律 ) 87,Ohm 出版 用数学研究的伽伐尼电路 一书 书中假定了电路的三条基本原理, 由此建立起电路的运动学方程 Univity of Scinc and Tchnology of China

25 纵观 Ohm 的工作 : 多次测量获得准确的实验数据 ( 数据采集, 基础 )fi 反复揣摩 比较 计算 核对 ( 数据处理 )fi 经验公式 ( 关键 )fi 改变实验条件, 确定经验公式中各参数的含义 fi 物理意义十分明确的定律 欧姆的工作, 从提出问题 fi 设计实验 fi 准确测量 fi 寻找经验关系 fi 最终发现规律, 提供了通过直接实验测量寻找定量规律的典型模式, 这是物理学研究的一种基本方法, 具有普遍意义 Univity of Scinc and Tchnology of China

26 遗憾的是,Ohm 定律建立后, 不仅没有立刻获得承认, 反而遭到一些权势者的反对, 斥之为 纯粹不可置信的欺骗, 它唯一的目的是要亵渎自然的尊严 Ohm 失去了工作, 生活困难 但是,Ohm 的工作仍然得到 Lnz Wb Gau 等人赏识 直到 84 年, 英国皇家学会把 Coply 奖章授予 Ohm, 其学术地位和有关工作才得到公认 Univity of Scinc and Tchnology of China

27 三 欧姆定律的解释. 金属导电性的经典微观解释 将金属简单看成位于 晶格点阵 上的正离子与自由电子的集合 在没有外在因素时 ( 外场 温度梯度等 ), 电子的无规则热运动是各向同性的, 不会形成宏观电流 当存在外场 时, 电子受电场力而产生加速度 a : a m 此时电子具有宏观漂移速度 ( 定向速度 ) Univity of Scinc and Tchnology of China

28 但是电子会与正离子 晶格 发生碰撞而散射, 假设散射是各项同性的, 即碰撞后电子失去定向速度 因此 : t 碰撞前电子获定向速度 u at - m 碰撞后电子无定向速度 u 其中 t 是电子的平均自由飞行时间 ( 两次碰撞间的时间 ) 所以电子的平均漂移速度为 : t u ( u u ) + - m Univity of Scinc and Tchnology of China

29 电子平均自由程 l, 平均热运动速度 v, 一般情况 v >> u, 所以 : t \ \ l v -nu n l mv u n l mv - t m - 其中, l 与 T无关, v T, 与实验测量 l mv n: 电子数密度 T不同 T( mv ~ k B T) Univity of Scinc and Tchnology of China

30 . 量子解释 ) 费米 - 狄拉克分布 ) 波粒二相性 电子是费米子, 泡利不相容原理 费米面 (Cu: F 7.3V) 3 电子平均能量 : F 5 平均速度 : v 3 5 m 量子力学中 v F 与 T 无关,l /T n l \ mv T F F 3 v 5 F T F Univity of Scinc and Tchnology of China

31 四 欧姆定律的失效问题. 电场很强时 > 3-4 V/m 此时漂移速度 u很大, 可与热运动速度 v 相比, t l v, 它会受到 影响 : t t ( ), ( ) 与 的关系非线性 另外, 高能电子与正离子 晶格 碰撞会使正离子进一步电离, 此时自由电子数密度 n 将随 增大,nn(), 非线性程度加剧 Univity of Scinc and Tchnology of China

32 . 低气压下的电离气体平均自由程 l 很长, 因此 u l 导致 Ohm定律失效, 3. 晶体管 电子管中,I U 的关系非线性 4. 超导介质 各向异性介质 Univity of Scinc and Tchnology of China

33 4-3 电源及电动势 一 电源的定义. 稳恒电流必须有非静电力 稳恒电流必须是闭合的 静电场是非闭合的, 因此若只有静电场, 无法形成稳恒电流. 电源 提供非静电力的装置 正负极 Univity of Scinc and Tchnology of China

34 3. 电源作用 在外电路中产生静电场 在电源内部产生非静电力, 使电流由负极流向正极, 保证稳恒电流的闭合性 4. 非静电力存在时的欧姆定律 + K ( ) Univity of Scinc and Tchnology of China

35 二 电动势 定义 : 将单位正电荷由电源内部从负极移到正极时非静电力所做的功 + K - 电源内部 dl 闭合回路的电动势 : K dl Univity of Scinc and Tchnology of China

36 三 常见的几种稳恒电源. 化学电源 通过化学反应提供非静电力 ( 化学能 fi 电能 ) Cu + ficu 棒, 平衡时 Cu 棒与溶液电势差.337V; Zn 棒 fi Zn +, 平衡时溶液与 Zn 棒电势差.7663V; 溶液为等势体, 所以 Cu 棒与 Zn 棒间电势差.V 丹聂尔电池 Univity of Scinc and Tchnology of China

37 干电池 Univity of Scinc and Tchnology of China

38 化学电池的分类 一次电池二次电池储备电池燃料电池 放电过程中的化学反应不可逆, 放电后无法通过充电的方式使其复原再使用 放电过程中的化学反映可逆, 可多次充放电循环使用 正负极活性物质和电解液在储存期间不接触, 在使用前临时令电解液与电极接触 这类电池可把活性物质连续注入电池, 从而使电池能长期不断放电 锌锰干电池 锌汞电池 镉汞电池 锌银电池 锂亚硫酰电池 铅酸电池 镉镍电池 锌银电池 锌氧电池 氢镍电池 镁银电池 锌银电池 铅高氨酸电池 钙热电池 氢氧燃料电池 肼空燃料电池 Univity of Scinc and Tchnology of China

39 . 温差电源 利用温差电效应提供非静电力 ( 热能 fi 电能 ) 接触电势差 两种不同金属接触时, 两金属间会产生 电势差 (8, 塞贝克 )- 塞贝克效应 接触电势差与温度有关 A B A 温差电动势 在温差不大时 : T B a T - T + b T - T ( ) ( ) T Univity of Scinc and Tchnology of China

40 a: 塞贝克系数 金属 : 半导体 : -8mV/K 5-mV/K 温差电堆 由多个温差电池串连而成, 可获得实用的电动势 热电偶 温度测量 Univity of Scinc and Tchnology of China

41 3. 光电池 利用光电效应提供非静电力 ( 光能 fi 电能 ) 如 : 硅 硫化镉 锑化镉 砷化镓等太阳能电池 Univity of Scinc and Tchnology of China

42 4. 核能电池 利用核反应提供非静电力 ( 核能 fi 电能 ) a 粒子带 + 电量, 打到收集板 B 上使 B 带正电, 铅盒 A 带负电, 所能达到的电动势取决于 a 粒子的能量 a 如 : 放射源为 4 Am( 镅 ) 时, 其 a 粒子能量为 4.7MV, 则能获得的电动势为.35MV Univity of Scinc and Tchnology of China

43 四 全电路欧姆定律 非静电力存在时 : ( + K ) 对全电路积分 : ( + K ) dl dl + K dl dl 外 dl+ 内 dl I Ł 外 dl S + 内 dl S ł I ( R + ) \ ( R ) I + Univity of Scinc and Tchnology of China

44 五 稳恒电路的特点. 稳恒电路特点 对均匀导体, 为常数, \ ( ) 均匀导体内部无宏观电荷 ( ) 电荷分布在导体外表面和导体不均匀处 外电路中, 电流线和电力线方向一致, 并且必须平行于导体表面 在电源内部, 电流线由 和 K 共同决定 Univity of Scinc and Tchnology of China

45 . 稳恒电路中静电场的作用 调节电荷分布 在电流达到稳恒的过程中, 静电场担负着重要的调节作用 静电场起着能量中转的作用 在整个闭合电路中静电场做的总功为 在电源内部, 非静电力反抗静电场做功, 将非静电能转化为静电能 在外电路中, 静电场做功, 将静电能转化为其它形式的能量 Univity of Scinc and Tchnology of China

46 4-4 基尔霍夫定律 一 简单电路 ( 只有一个电源 ) 串联 R 并联 R i i R i Ri Univity of Scinc and Tchnology of China

47 二 复杂电路 ( 多电源多回路 ) 基尔霍夫定律. 基本概念 节点 : 三条或三条以上导线相交在一起的点 支路 : 两个相邻节点间, 由电源和电阻串联而成的不且含其它节点的通路 树支 : 不形成回路的支路 若节点数为 n, 则树枝数为 n- 连支 : 加一条连支就多一个回路, 连支数就是独立回路数 回路 : 起电和终点重合在一起的环路 独立回路 : 至少有一条支路是其它回路没有的 Univity of Scinc and Tchnology of China

48 若电路有 n 个节点,P 个支路, 则独立回路数为 : P-(n-)P-n+ Univity of Scinc and Tchnology of China

49 . 基尔霍夫定律 ) 基尔霍夫第一定律 ( 节点电流方程 ) 对节点 i 应用稳恒条件 : ( i ) ds I i I (i) : 一般取流出节点为 -; 流入为 + 本质上反映了电荷守恒, 即当节点处不出现电荷堆积时, 单位时间流入节点的电量应等于流出节点的电量 I (i) 第 i 个节点 Univity of Scinc and Tchnology of China

50 广义节点 基尔霍夫第一方程适用于电路的节点, 也可以把它推广到电路的任一个假想封闭面 若两个网络系统只有一条导线连接, 则根据基尔霍夫第一方程就有 :I Univity of Scinc and Tchnology of China

51 例题. 一立方体, 每边的电阻都为 R, 求对角线之间的电阻 Univity of Scinc and Tchnology of China

52 . 一个无限延展的矩形线圈平面网络, 求任意两点间的电阻 Univity of Scinc and Tchnology of China

53 思考 若把 AB 间的电阻 去掉, 则 AB 间的电阻为多少? 若把 AB 间的电阻换成 R, 则 AB 间的电阻为多少? Univity of Scinc and Tchnology of China

54 ) 基尔霍夫第二定律 ( 回路电压方程 ) 对回路 i 应用环路定理 : ( i ) dl U i 电源内部 : K \ dl dl 忽略内阻, 则 U 或 U 外部电路 : \ dl dl IR 回路 i U (i) (- fi + ) - ( + fi -) Univity of Scinc and Tchnology of China + - K dl I -

55 具体化 : 环绕方向 电流方向 ( 自定 ) 当环绕方向与电流方向相同时,+I 当环绕方向从电源 + fi -,+ Univity of Scinc and Tchnology of China

56 3) 基尔霍夫方程求解电路注意事项 电流方向 自己设定 若求得 I >, 实际方向与设定的相同 若求得 I <, 实际方向与设定的相反 独立节点方程数 节点数 n, 独立节点方程数 n- 独立电压方程数 节点数 n, 支路数 P, 则独立回路数 P-n+ Univity of Scinc and Tchnology of China

57 3. 叠加原理 在具有几个电动势的电路中, 几个电动势共同在某一支路引起的电流, 等于每个电动势单独存在时在该支路引起的电流之和 Univity of Scinc and Tchnology of China

58 三 基尔霍夫定律应用 ( 两种求解方法 ). 支路电流法 以各支路中的电流为求解对象 对每个支路设定电流方向, 对每个独立回路设定环绕方向, 应用基尔霍夫第一 第二方程组求解 Univity of Scinc and Tchnology of China

59 Univity of Scinc and Tchnology of China 例 : 解方程得 : R I R I R I R I I I I - R I R I R I

60 . 回路电流法 将每个独立回路中的电流作为求解对象, 每个回路的电流相同, 各支路的电流为回路电流的叠加 这种方法自然满足节点电流方程, 因此只用基尔霍夫第二定律即可求解 Univity of Scinc and Tchnology of China

61 Univity of Scinc and Tchnology of China 例 : 解得 : ( ) ( ) R I I R I R I I R I - - R I I I R I R I

62 Univity of Scinc and Tchnology of China 4-5 稳恒电流和静电场的综合求解导电介质中的电流场与静电场分布问题 一 基本方程 ( ) ( ) - - n n dl ds

63 二 基本方程的 闭合性 闭合 : 完全确定导体中静电场和稳恒电流场 基本方程是闭合的 ( 通过类比法 ) D ds Q dl D ds dl 因为静电场方程是 闭合 的, 所以综合求解问题的基本方程也是 闭合 的 Univity of Scinc and Tchnology of China

64 Univity of Scinc and Tchnology of China ( ) ( ) ( ) ( ) U d d D D U d d d d U d d U d d U d d d d U n n n n \ + + \ U d d 例 : 如图, 求 及两介质界面上的 解 :

65 例 : 如图, 求埋入大地的球形电极上的自由电荷量 Q 解 : S +DS Q Q DS ds S +DS ds D -I ds Q导线中 很小, DS也很小, 所以 \ Q I S 由欧姆定律 : S ds + \ S ds S DS ds ds I S ds + DS ds D \ ds DS, S D ds I Univity of Scinc and Tchnology of China + I DS S I DS D ds可忽略 ds

66 Univity of Scinc and Tchnology of China. 将综合求解问题与纯静电场问题类比 : 发现第一个方程在数学上不是完全类似 - 综合求解问题缺少 源 dl ds D dl Q ds D 三 类比法

67 . 三点假设 在综合求解问题中, 为实现稳恒电流, 需要在导电介质中插入一些电极, 然后通过绝缘引线与外部电源相连接 假设 : 电极和引线的电导率远大于导电介质的电导率, 因此可以当作理想导体,fi 电源通过引线给电极注入电流 I 设引线很细, 它所积累的电荷对导电介质中的电流和电场分布没有影响, 其作用仅仅在于给电极注入电流 I 因此可以将引线 去掉, 则电极可被视为电流的 源, 即 : ds I Univity of Scinc and Tchnology of China

68 3. 对应关系 D ds Q dl D ds I dl I ( 导电介质 ) 电极 : fi, D Q ( 电介质 ) 导体 : fi, Univity of Scinc and Tchnology of China

69 Univity of Scinc and Tchnology of China 变为介质界面与等势面重合的纯静电场问题 : U d d fi U d d ( ) U d d U d d U d d D U d d d d U d d D + + \ + + \ + + \ Q 例题重解 ()

70 Univity of Scinc and Tchnology of China 利用对应关系代回 : U d d U d d U d d ( ) ( ) ( ) U d d D D U d d n n n n

71 Univity of Scinc and Tchnology of China I DS S, fi Q I ds Q I I I Q Q D p p p p p \ 对应关系代回 : 例题重解 ()

72 例 : 如图, 由一根导线向地面下 d 处一点通入电流 I, 求 : 大地表面的自由电荷及极化电荷面密度 解 : 类比法空气中 : 大地中 : q I ε σ I d q ( q ) q Univity of Scinc and Tchnology of China

73 由电像法 (P63), ε ε q q q q ε + ε ε ( ) 所以大地表面处 : q d + q n 3 4πε ε πεε q d q n 4πε ε qd Univity of Scinc and Tchnology of China

74 类比法代回 : Id n 3 n πσ ε Id Dn ε n D 3 n πσ P P ε ε ( ) n n n εid σ D n Dn σ 3 πσ Univity of Scinc and Tchnology of China

75 小结 电流强度和电流密度 I ds S 电流的连续性方程 dq ds - - dt 稳恒条件 ds t Univity of Scinc and Tchnology of China

76 欧姆定律 ( + K ) 电流的功和功率 P UI 功率密度 p 电源 K dl 基尔霍夫定律 ( i) I U ( i ) Univity of Scinc and Tchnology of China

77 综合求解 基本方程 类比法 ds dl I ( 导电介质 ) 电极 : fi, D Q ( 电介质 ) 导体 : fi, Univity of Scinc and Tchnology of China

器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 3 电势与电势差 1 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 E p 与电荷量 q Ep 的比值叫做该点处的电势 表达式为 V 电场中两点之间的 q 电势之差叫做电势差 表达式为 UAB V A VB 2 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量

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