第一节 随机试验 一 概率论的诞生及应用二 随机现象三 随机试验四 小结
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1 概率论与数理统计 第一章概率论的基本概念 主讲教师 : 彭树宏 shuhong.peng@gmail.com 江西财经大学统计学院
2 第一节 随机试验 一 概率论的诞生及应用二 随机现象三 随机试验四 小结
3 一 概率论的诞生及应用. 概率论的诞生 654 年 一个名叫梅累的骑士就 两个赌徒约定赌若干局 且谁先赢 c 局便算赢家 若在一赌徒胜 a 局 a<c 另一赌徒胜 b 局 b<c 时便终止赌博 问应如何分赌本 为题求教于帕斯卡 帕斯卡与费马通信讨论这一问题 于 654 年共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望.
4 . 概率论的应用 概率论是数学的一个分支 它研究随机现象的数量规律 概率论的应用几乎遍及所有的科学领域 例如天气预报 地震预报 产品的抽样调查 金融等等. 4
5 二 随机现象 自然界所观察到的现象 : 确定性现象. 确定性现象 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象. 实例 太阳不会从西边升起 水从高处流向低处 同性电荷必然互斥 随机现象 5
6 函数在间断点处不存在导数 等. 确定性现象的特征 条件完全决定结果. 随机现象 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象. 实例 在相同条件下掷一枚均匀的硬币 观察正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面. 6
7 实例 用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发 观察弹落点的情况. 结果 : 弹落点会各不相同. 实例 察出现的点数. 抛掷一枚骰子 观 结果有可能为 : 4 5 或 6. 7
8 实例 4 从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品. 其结果可能为 : 正品 次品. 实例 5 过马路交叉口时 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯. 8
9 实例 6 出生的婴儿可 能是男 也可能是女. 实例 7 明天的天气可 能是晴 也可能是多云 或雨. 随机现象的特征 条件不能完全决定结果 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科. 9
10 说明. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 其数量关系无法用函数加以描述.. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性 但在大量试验或观察中 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题什么是随机试验? 0
11 三 随机试验 定义在概率论中 把具有以下三个特征的试验称为随机试验.. 可以在相同的条件下重复地进行 ;. 每次试验的可能结果不止一个 并且能事先明确试验的所有可能结果 ;. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
12 说明. 随机试验简称为试验 是一个广泛的术语. 它包括各种各样的科学实验 也包括对客观事物进行的 调查 观察 或 测量 等.. 随机试验通常用 E 来表示. 实例 抛掷一枚硬币 观察字面 花面出现的情况. 分析 试验可以在相同的条件下重复地进行 ;
13 试验的所有可能结果 : 字面 花面 ; 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 故为随机试验. 同理可知下列试验都为随机试验.. 抛掷一枚骰子 观察出现的点数.. 从一批产品中 依次任选三件 记录出现正品与次品的件数.
14 . 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人数. 4. 考察某地区 0 月 份的平均气温. 5. 从一批灯泡中任取 一只 测试其寿命. 4
15 四 小结. 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科. 随机现象的特征 : 条件不能完全决定结果.. 随机现象是通过随机试验来研究的. 随机试验 可以在相同的条件下重复地进行 ; 每次试验的可能结果不止一个 并且能事 先明确试验的所有可能结果 ; 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现. 5
16 第二节 样本空间 随机事件 一 样本空间样本点二 随机事件的概念三 随机事件间的关系及运算四 小结 6
17 一 样本空间 样本点 问题随机试验的结果? 定义随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间 记为 S. 样本空间的元素 即试验 E 的每一个结果 称为样本点. 实例 抛掷一枚硬币 观察字面 花面出现的情况. H 字面朝上 S { H T }. T 花面朝上 7
18 实例 抛掷一枚骰子 观察出现的点数. S { 4 5 6}. 实例 从一批产品中 依次任选三件 记录出 现正品与次品的情况. 记 N 正品 D 次品. 则 S { NNN NDD NND NDN DNN DDN DND DDD }. 8
19 实例 4 记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数. S4 {0 }. 实例 5 考察某地区 月份的平 均气温. S 5 T { t T t }. 其中 t 为平均温度. 9
20 实例 6 从一批灯泡中任取 一只 测试其寿命. S6 { t t 0}. 其中 t 为灯泡的寿命. 实例 7 记录某城市 0 急 救电话台一昼夜接 到的呼唤次数. S7 {0 }. 0
21 课堂练习 写出下列随机试验的样本空间.. 同时掷三颗骰子 记录三颗骰子之和.. 生产产品直到得到 0 件正品 记录生产产品的总件数. 答案. S { 4 5 8}.. S {0 }.
22 说明. 试验不同 对应的样本空间也不同.. 同一试验 若试验目的不同 则对应的样本空间也不同. 例如对于同一试验 : 将一枚硬币抛掷三次. 若观察正面 H 反面 T 出现的情况 则样本空间 为 S { HHH HHT HTH THH HTT TTH THT TTT }. 若观察出现正面的次数 则样本空间为 S {0 }.
23 说明 例如. 建立样本空间 事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题. 只包含两个样本点的样本空间 S { H T } 它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.
24 所以在具体问题的研究 中 描述随机现象的第一步 就是建立样本空间. 4
25 二 随机事件的概念. 基本概念 随机事件 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称 为 E 的随机事件 简称事件. 实例抛掷一枚骰子 观察出现的点数. 试验中 骰子 出现 点 出现 点 出现 6 点 点数不大于 4 点数为偶数 等都为随机事件. 5
26 基本事件由一个样本点组成的单点集. 实例 出现 点 出现 点 出现 6 点. 必然事件随机试验中必然会出现的结果. 实例上述试验中 点数不大于 6 就是必然事件. 不可能事件随机试验中不可能出现的结果. 实例上述试验中 点数大于 6 就是不可能事件. 必然事件的对立面是不可能事件 不可能事件的对立面是必然事件 它们互称为对立事件. 6
27 . 几点说明 随机事件可简称为事件 并以大写英文字母 C 来表示事件 例如抛掷一枚骰子 观察出现的点数. 可设 = 点数不大于 4 = 点数为奇数 等等. 7
28 机事件 随机试验 样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间 样 本空间的子集就是随机事件. 随机试验 样本空间 子集随机事件随 基本事件 复合事件 必然事件 互为对立事件 不可能事件 8
29 三 随机事件间的关系及运算 设试验 E 的样本空间为 S 而 k k 是 S 的子集.. 包含关系若事件 出现 必然导致 出现 则称事件 包含事件 记作 或. 实例 长度不合格 必然导致 产品不合格 所以 产品不合格 包含 长度不合格. 图示 包含. S 9
30 . 等于 若事件 包含事件 而且事件 包含事件 则称事件 与事件 相等 记作 =.. 事件 与 的并 和事件 事件 { x x 或 x } 称为事件 与事件 的和事件. 实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定 因此 产品不合格 是 长度 不合格 与 直径不合格 的并. 图示事件 与 的并. S 0
31 推广 称 n k k 为 n 个事件 n 的和事件 ; 称 k k 为可列个事件 的和事件. 4. 事件 与 的交 积事件 事件 { x x 且 x } 称为事件 与事件 的积事件. 积事件也可记作 或.
32 实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定 因此 产品合格 是 长度合格 与 直径合格 的交或积事件. 图示事件 与 的积事件. S
33 推广 称 n k 为 n个事件 k n 的积事件 ; 称 k k 为可列个事件 的积事件. 和事件与积事件的运算性质 S S S.
34 5. 事件 与 互不相容 互斥 若事件 的出现必然导致事件 不出现 出现也必然导致 不出现 则称事件 与 互不相容 即. 实例抛掷一枚硬币 出现花面 与 出现字面 是互不相容的两个事件. 4
35 实例抛掷一枚骰子 观察出现的点数. 骰子出现 点 互斥 骰子出现 点 图示 与 互斥. S 5
36 6. 事件 与 的差由事件 出现而事件 不出现所组成的事件称为事件 与 的差. 记作 -. 实例 长度合格但直径不合格 是 长度合格 与 直径合格 的差. 图示 与 的差. S S 6
37 7. 事件 的对立事件 设 表示 事件 出现 则 事件 不出现 称为事件 的对立事件或逆事件. 记作. 实例 骰子出现 点 对立 骰子不出现 点 图示 与 的对立. S 若 与 互逆 则有 S 且. 7
38 对立事件与互斥事件的区别 互斥 对立 S S S 且 互斥对立 8
39 9 事件间的运算规律. 交换律 C C 结合律 C C C C C 分配律. : 4 德 摩根律为事件则有设 C. C C. C C C C C
40 例 设 C 表示三个随机事件 试将下列事件用 C 表示出来. 出现 C 不出现 ; 都出现 C 不出现 ; 三个事件都出现 ; 4 三个事件至少有一个出现 ; 5 三个事件都不出现 ; 6 不多于一个事件出现 ; 40
41 7 不多于两个事件出现 ; 8 三个事件至少有两个出现 ; 9 至少有一个出现 C 不出现 ; 0 C 中恰好有两个出现. 解 C; C; C; 4 C; 5 C; 4
42 6 C C C C; 7 C C C C C C C 或 C; 8 C C C C; 9 C; 0 C C C. 4
43 例 设一个工人生产了四个零件 产的第 i 个零件是正品 i 4 试用 表示他生 示下列各事件 : 没有一个是次品 ; 至少有一个是次品 ; 只有一个是次品 ; 4 至少有三个不是次品 ; 5 恰好有三个是次品 ; 6 至多有一个是次品. i i 表 解 ; 4 4
44 ; 4 或 ; ;
45 45 ;
46 机事件四 小结. 随机试验 样本空间与随机事件的关系 随机试验 样本空间 子集随机事件随 基本事件 复合事件 必然事件 不可能事件 46
47 . 概率论与集合论之间的对应关系 记号概率论集合论 S 样本空间 必然事件空间 不可能事件 空集 e 基本事件 元素 随机事件子集 的对立事件 的补集 出现必然导致 出现 是 的子集 事件 与事件 相等集合 与集合 相等 47
48 事件 与事件 的和集合 与集合 的并集 事件 与事件 的积事件 事件 与事件 的差 与 两集合的差集 事件 与 互不相容 集合 与集合 的交集 与 两集合中没有相同的元素 48
49 第三节 频率与概率 一 频率的定义与性质 二 概率的定义与性质 三 小结 49
50 一 频率的定义与性质. 定义 在相同的条件下 进行了 n 次试验 在这 n 次试验中 事件 发生的次数 生的频数. 比值 成 f n. n n n 称为事件 发 称为事件 发生的频率 并记 50
51 . 性质 设 是随机试验 E 的任一事件 则 0 f n ; f S f 0; 若 f k k 是两两互不相容的事件 则 f n f n f n k. 5
52 实例 试验序号 将一枚硬币抛掷 5 次 50 次 500 次 各做 7 遍 观察正面出现的次数及频率. n H 5 4 n 5 f 在 n 50 n H 在 5 5 处波动较小 f 0.44 处波动较大 n 500 f n H 5 49 随 n 的增大 频率 f 呈现出稳定性 波动最小
53 从上述数据可得 频率有随机波动性 即对于同样的 n 所得的 f 不一定相同 ; 抛硬币次数 n 较小时 频率 f 的随机波动幅度较大 但随 n 的增大 频率 f 呈现出稳定性. 即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动 且逐渐稳定于
54 n 实验者 H f 德 摩根蒲丰 K 皮尔逊 K 皮尔逊 n f H n的增大. 54
55 我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验 试验模型如下所示 : 高尔顿 Galton 板试验. 自上端放入一小球 任其自由下落 在下落过程中当小球碰到钉子时 从左边落下与从右边落下的机会相等. 碰到下一排钉子时又是如此. 最后落入底板中的某一格子. 因此 任意放入一球 则此球落入哪一个格子 预先难以确定. 但是如果放入大量小球 则其最后所呈现的曲线 几乎总是一样的. 55
56 请看动画演示 单击图形播放 / 暂停 ESC 键退出 56
57 重要结论 频率当 n 较小时波动幅度比较大 当 n 逐渐增大时 频率趋于稳定值 这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小. 它就是事件的概率. 57
58 请同学们思考. 医生在检查完病人的时候摇摇头 : 你的病很重 在十个得这种病的人中只有一个能救活. 当病人被这个消息吓得够呛时 医生继续说 : 但你是幸运的. 因为你找到了我 我已经看过九个病人了 他们都死于此病. 医生的说法对吗? 58
59 二 概率的定义与性质 9 年 苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构 给出了概率的严格定义 使概率论有了迅速的发展. 柯尔莫哥洛夫资料 59
60 . 概率的定义设 E 是随机试验 S 是它的样本空间. 对于 E 的每一事件 赋予一个实数 记为 称为事 件 的概率 如果集合函数 满足下列条件 : 非负性 : 对于每一个事件 有 0; 规范性 : 对于必然事件 S 有 S ; 可列可加性 : 设 是两两互不相容的事件 即对于 i j i j 则有 i 概率的可列可加性 j 60
61 . 性质 0. 证明 n n 则 且 i j. n n 由概率的可列可加性得 n n n i j n n
62 若 n 是两两互不相容的事件 则有 概率的有限可加性证明令 n n i 由概率的可列可加性得 n n j i j i j. k k k 0 k n n n k.. k 6
63 设 为两个事件 且 则. 证明 因为 所以. 又 得. 于是. 又因 0 故. 6
64 4 对于任一事件. 证明 S S 故. 5 设 是 的对立事件 则. 证明 因为 S S 所以 S.. 64
65 6 加法公式 对于任意两事件 有. 证明 由图可得 且 故. 又由性质 得 因此得. 65
66 66 推广三个事件和的情况. n 个事件和的情况 n n j i j i n i i. n n n k j i k j i
67 例 设事件 三种情况下 与 互斥 ; 解 由图示得 故. 由图示得 的概率分别为 的值. ;. 6 和 求在下列 8. S S 67
68 68 由图示得 又 因而. 8 8 且 S
69 三 小结. 频率 波动 n 概率 稳定.. 概率的主要性质 0 S 0; ; ; 4 设 为两个事件 且 则. 69
70 柯尔莫哥洛夫资料 ndrey Nikolaevich Kolmogorov orn: 5 pr. 90 in Tambov Tambov provincerussia Died: 0 Oct. 987 in Moscow Russia 70
71 第四节等可能概型 古典概型 一 等可能概型二 典型例题三 几何概率四 小结 7
72 一 等可能概型 古典概型. 定义 试验的样本空间只包含有限个元素 ; 试验中每个基本事件发生的可能性相同. 具有以上两个特点的试验称为等可能概型或古典概型. 7
73 . 古典概型中事件概率的计算公式 设试验 E 的样本空间由 n 个样本点构成 为 E 的任意一个事件 且包含 m 个样本点 则事件 出现的概率记为 : m n 所包含样本点的个数样本点总数. 称此为概率的古典定义. 7
74 . 古典概型的基本模型 : 摸球模型 无放回地摸球 问题 设袋中有 4 只白球和 只黑球 现从袋中无 放回地依次摸出 只球 求这 只球都是白球的概率. 解设 { 摸得 只球都是白球 } 6 基本事件总数为 4 所包含基本事件的个数为 4 6 故. 5 74
75 有放回地摸球问题 设袋中有 4 只红球和 6 只黑球 现从袋中有放回地摸球 次 求前 次摸到黑球 第 次摸到红球的概率. 解 设 { 前 次摸到黑球 第 次摸到红球 } 第 次摸到红球 4 种 第 次摸到黑球 6 种 第 次摸球 0 种 75
76 基本事件总数为 所包含基本事件的个数为 故 课堂练习 o 电话号码问题在 7 位数的电话号码中 第一位不能为 0 求数字 0 出现 次的概率. 9 6 答案 : p 9 90 o 骰子问题掷 颗均匀骰子 求点数之和为 4 的概率. 答案 : p
77 4. 古典概型的基本模型 : 球放入杯子模型 杯子容量无限 问题 把 4 个球放到 个杯子中去 求第 个杯子中各有两个球的概率 其中假设每个杯子可放任意多个球. 4 4 个球放到 个杯子的所有放法 种 77
78 4 种 种 个 个 因此第 个杯子中各有两个球的概率为 p. 78
79 每个杯子只能放一个球 问题 把 4 个球放到 0 个杯子中去 每个杯子只能 放一个球 求第 至第 4 个杯子各放一个球的概率. 解 第 至第 4 个杯子各放一个球的概率为 p p p
80 课堂练习 o 分房问题将张三 李四 王五 人等可能地分配到 间房中去 试求每个房间恰有 人的概率. 答案 : 9 o 生日问题某班有 0 个学生都是同一年出生的 求有 0 个学生生日是 月 日 另外 0 个学生生日是 月 日的概率. 00 答案 : p
81 二 典型例题 例 将一枚硬币抛掷三次. 设事件 次出现正面 求次出现正面 求. 设事件. 为 恰有一 为 至少有一 解 设 H 为出现正面 T 为出现反面. 则 S { HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT}. 而 { HTT THT TTH }. 得 8. { HHH HHT HTH THH HTT THT TTH}. 因此
82 8 在 N 件产品中抽取 n 件 其中恰有 k 件次品的取法共有 种 k n D N k D 于是所求的概率为. n N k n D N k D p 解在 N 件产品中抽取 n 件的所有可能取法共有 种 n N? 件次品的概率是多少件问其中恰有件次品今从中任取件产品其中有设有 D k k n D N 例
83 例 在 ~000 的整数中随机地取一个数 问取到的整数既不能被 6 整除 又不能被 8 整除的概率是多少? 解 设 为事件 取到的数能被 6 整除 为事件 取到的数能被 8 整除 则所求概率为. { }. 因为 所以 000 8
84 由于 由于 故得 84 得 于是所求概率为 { }
85 例 4 将 5 名新生随机地平均分配到三个班级中 去 这 5 名新生中有 名是优秀生. 问 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解 5 名新生平均分配到三个班级中的分法总数 : !. 5! 5! 5! 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有!! 4! 4! 4! 种. 85
86 因此所求概率为!! 5! 5 p. 4! 4! 4! 5! 5! 5! 9 将 名优秀生分配在同一个班级的分法共有 种! 对于每一种分法 其余 名新生的分法有种.! 5! 5! 因此 名优秀生分配在同一个班级的分法共有!! 5! 5! 种 因此所求概率为! 5! 6 p.! 5! 5! 5! 5! 5! 9 86
87 例 5 某接待站在某一周曾接待过 次来访 已知所有这 次接待都是在周二和周四进行的 问是否可以推断接待时间是有规定的. 解假设接待站的接待时间没有规定 且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的 周一周二周三周四周五周六周日 故一周内接待 次来访共有 7 种. 87
88 4 周一周二周三周四周五周六周日 次接待都是在周二和周四进行的共有 种. 故 次接待都是在周二和周四进行的概率为 p 小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 从而可知接待时间是有规定的. 88
89 例 6 假设每人的生日在一年 65 天中的任一天是等可能的 即都等于 /65 求 64 个人中至少有 人生日相同的概率. 解 64 个人生日各不相同的概率为 p 故 64 个人中至少有 人生日相同的概率为 p
90 说明随机选取 n 65 个人 他们的生日各不相同的概率为 n p. n 65 而 n 个人中至少有两个人生日相同的概率为 p n n. 90
91 我们利用软件包进行数值计算. 人 数 至 少 有 两 人 生 日 相 同 的 概 率
92 三 几何概型 定义当随机试验的样本空间是某个区域 并且任意一点落在度量 长度 面积 体积 相同的子区域是等可能的 则事件 的概率可定义为 S. S 其中 S 是样本空间的度量 S 是构成事件 的子 区域的度量. 这样借助于几何上的度量来合理规定的概率称为几何概型. 说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时 就归结为几何概型. 9
93 会面问题 例 7 甲 乙两人相约在 0 到 T 这段时间内 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人 经过时间 t t<t 后离去. 设每人在 0 到 T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的 且两人到达的时刻互不牵连. 求甲 乙两人能会面的概率. 解设 x y 分别为甲 乙两人到达的时刻 那么 0 x T 0 y T. 两人会面的充要条件为 x y t 9
94 94 故所求的概率为正方形面积阴影部分面积 p T t T T. T t x o y t x y t y x 若以 x y 表示平面上点的坐标 则有 t T T
95 例 8 甲 乙两人约定在下午 时到 时之间到某 站乘公共汽车 又这段时间内有四班公共汽车 它们的开车时刻分别为 :5 :0 :45 :00. 如果甲 乙约定 见车就乘 ; 最多等一辆 车. 求甲 乙同乘一车的概率. 假定甲 乙两人到达车站的时 刻是互相不牵连的 且每人在 时到 时的任何时刻到达车 站是等可能的. 95
96 解 设 x y 分别为甲 乙两人到达的时刻 y :45 :0 则有 x y. :5 o : 5 : 0 : 45 x 见车就乘的概率为 阴影部分面积 4 4 p. 正方形面积 4 96
97 y :45 :0 :5 o : 5 : 0 : 45 x 最多等一辆车 甲 乙同乘一车的概率为 p
98 蒲丰投针试验 蒲丰资料 例 年 法国科学家蒲丰 uffon 提出了投针试验问题. 平面上画有等距离为 aa>0 的一些平行直线 现向此平面任意投掷一根长为 b b<a 的针 试求针与某一平行直线相交的概率. a 解以 x表示针投到平面上时 M x 针的中点 M到最近的一条平行直线的距离 表示针与该平行直线的夹角. 那么针落在平面上的位置可由 x 完全确定. 98
99 投针试验的所有可能结果与 a 矩形区域 M a x S { x 0 x 0 π} 中的所有点一一对应. 由投掷的任意性可知 这是一个几何概型问题. 所关心的事件 { 针与某一平行直线相交 } 发生的充分必要条件为 S 中的点满足 b 0 x sin 0 π. o 99
100 μ G μ S G的面积 S的面积 π b sind 0 a π b b. a aπ π o 00
101 蒲丰投针试验的应用及意义 作为 b aπ 根据频率的稳定性 测出针与平行直线相交的次数 m 的近似值代入上式 m b bn π. n aπ am 当投针试验次数 n很大时 那么 利用上式可计算圆周率 π 的近似值. 则频率值 m n 即可 0
102 历史上一些学者的计算结果 直线距离 a= 试验者 时间 针长 投掷次数 相交次数 π的近似值 Wolf Smith De Morgan Fox Lazzerini Reina
103 利用蒙特卡罗 Monte Carlo 法进行计算机模拟. 取 a b 单击图形播放 / 暂停 ESC 键退出 0
104 四 小结 最简单的随机现象 古典概型 试验结果连续无穷 几何概型 古典概率 m n 所包含样本点的个数样本点总数 04
105 蒲丰资料 Georges Louis Leclerc Comte de uffon orn: 7 Sept. 707 in Montbard Côte d'or France Died: 6 pr. 788 in aris France 05
106 第五节 条件概率 一 条件概率二 乘法定理三 全概率公式与贝叶斯公式四 小结 06
107 一 条件概率. 引例 将一枚硬币抛掷两次 观察其出现正反两面的情况 设事件 为 至少有一次为正面 事件 为 两次掷出同一面. 现在来求已知事件 已经发生的条件下事件 发生的概率. 分析设 HS 为正面 { HH HT T 为反面 TH TT. }. { HH HT TH } { HH TT}. 4 事件 已经发生的条件下事件 发生的概率 记为 4 则. 4 07
108 . 定义 设 是两个事件 且 0 称 为在事件 发生的条件下事件 发生的条件概率. 同理可得 为事件 发生的条件下事件 发生的条件概率. 08
109 . 性质 非负性 : 0; 规范性 : S 0; 4. 5 可列可加性 : 设 件 则有 i i i ; 是两两不相容的事 i. 09
110 二 乘法定理 设 0 则有. 设 C 为事件 且 0 则有 C C. 推广设 n 为 n 个事件 n 且 0 n n n n 则有 n n. 0
111 例 一盒子装有 4 只产品 其中有 只一等品 只二等品. 从中取产品两次 每次任取一只 作不放回抽样. 设事件 为 第一次取到的是一等品 事件 为 第二次取到的是一等品. 试求条件概率. 解 将产品编号 为一等品 ; 4 号为二等品. 以 i j 表示第一次 第二次分别取到第 j 号产品 则试验的样本空间为 i 号 第 S { }
112 { 4 4 4} { } 由条件概率的公式得 6. 9
113 例 某种动物由出生算起活 0 岁以上的概率为 0.8 活到 5 岁以上的概率为 0.4 如果现在有一个 0 岁的这种动物 问它能活到 5 岁以上的概率是多少? 解设 表示 能活 0 岁以上 的事件 表示 能活 5 岁以上 的事件 则有. 因为 所以
114 抓阄是否与次序有关? 例 五个阄 其中两个阄内写着 有 字 三个阄内不写字 五人依次抓取 问各人抓到 有 字阄的概率是否相同? 解 设 i 表示 第 i 人抓到有字阄 的事件 i 45. 则有 5 S 4
115 5 S
116 依此类推 故抓阄与次序无关.
117 摸球试验例 4 设袋中装有 r 只红球 t 只白球. 每次自袋中任取一只球 观察其颜色然后放回 并再放入 a只与所取出的那只球同色的球 若在袋中连续取球四次 试求第一 二次取到红球且第三 四次取到白球的概率. 解设 i i 4 为事件 第 i 次取到红球 则 4 为事件第三 四次取到白球. 7
118 8 因此所求概率为 4 4. t r r a t r a r a t r t a t r a t 此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
119 例 5 设某光学仪器厂制造的透镜 第一次落下时打破的概率为 / 若第一次落下未打破 第二次落下打破的概率为 7/0 若前两次落下未打破 第三次落下打破的概率为 9/0. 试求透镜落下三次而未打破的概率. 解 以 i i 表示事件 " 透镜第 i 次落下打破 " 以 表示事件 透镜落下三次而未打破. 因为 所以
120 三 全概率公式与贝叶斯公式. 样本空间的划分 定义设 S 为试验 E的样本空间 E 的一组事件 若 n 为 i i j i j i j n; 则称 ii n n S. 为样本空间 S 的一个划分. n n 0
121 . 全概率公式全概率公式 0 n n i n n i S E S E 则且的一个划分为的事件为的样本空间为设试验定理
122 证明 S n n. 由 i j i j n n n. 图示 n n 化整为零 各个击破
123 说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题 分解为若干个简单事件的概率计算问题 最后应用概率的可加性求出最终结果. n n
124 例 6 有一批同一型号的产品 已知其中由一厂生产的占 0% 二厂生产的占 50% 三厂生产的占 0% 又知这三个厂的产品次品率分别为 % %% 问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 解 设事件 为 任取一件为次品 事件 i 为 任取一件为 i 厂的产品 i. S i j i j. 4
125 0% % % % 0% 50% S 由全概率公式得 故
126 6 称此为贝叶斯公式 n i n i S E S E n j j j i i i i n 则且的一个划分为的事件为的样本空间为设试验定理. 贝叶斯公式贝叶斯资料
127 7 证明 i i n j j j i i. n i
128 例 7 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元 件制造厂提供的. 根据以往的记录有以下的数据 : 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的 且 无区别的标志. 在仓库中随机地取一只元件 求它是次品的 概率 ; 8
129 在仓库中随机地取一只元件 若已知取到的是 次品 为分析此次品出自何厂 需求出此次品由三 家工厂生产的概率分别是多少. 试求这些概率. 解设 表示 取到的是一只次品 i i 表示 所取到的产品是由第 i 家工厂提供的. 则 且 是样本空间 S 的一个划分
130 由全概率公式得 由贝叶斯公式得
131 故这只次品来自第 家工厂的可能性最大.
132 例 8 良好时 对以往数据分析结果表明 当机器调整得 种故障时 其合格率为 概率是多少 产品的合格率为? 98% 55%. 时 机器调整良好的概率为 早上第一件产品是合格品时 解设 为事件 产品合格 为事件 机器调整良好. 则有 每天早上机器开动 95%. 试求已知某日 而当机器发生某 机器调整得良好的
133 由贝叶斯公式得所求概率为 即当生产出第一件产品是合格品时 此时机器调整良好的概率为 0.97.
134 先验概率与后验概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的 叫做先验概率. 而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做后验概率. 4
135 例 9 根据以往的临床记录 某种诊断癌症的试验具有如下的效果 : 若以 表示事件 试验反应 为阳性 以 C 表示事件 被诊断者患有癌症 则 有 C 0.95 C 现在对自然人群进行普查 设被试验的人患有癌症的概率为 即 C 试求 C. 解因为 C 0.95 C C C C
136 由贝叶斯公式得所求概率为 C C C C C C C 即平均 000 个具有阳性反应的人中大约只有 87 人 患有癌症. 6
137 四 小结. 条件概率 乘法定理 全概率公式 n n 贝叶斯公式 i i i n i n j j j 7
138 8.. 大比一般来说中基本事件数中基本事件数中基本事件数中基本事件数则用古典概率公式发生的概率中表示在缩小的样本空间概率而发生的中表示在样本空间 S S S S.. 的区别与积事件概率条件概率
139 贝叶斯资料 Thomas ayes orn: 70 in London England Died: 7 pr. 76 in Tunbridge Wells Kent England 9
140 第六节 独立性 一 事件的相互独立性二 几个重要定理三 例题讲解四 小结 40
141 一 事件的相互独立性. 引例 盒中有 5个球 绿 红 每次取出一个 有放回地取两次. 记 第一次抽取 取到绿球 第二次抽取 取到绿球 则有 它表示 的发生并不影响 发生的可能性大小. 4
142 . 定义 设 是两事件 如果满足等式 则称事件 相互独立 简称 独立. 说明 事件 与事件 相互独立 是指事件 的 发生与事件 发生的概率无关. 4
143 请同学们思考 两事件相互独立与两事件互斥的关系. 两事件相互独立 两事件互斥 二者之间没有必然联系 例如 若 则. 由此可见两事件相互独立 但两事件不互斥. 4
144 若 则 0 4 故. 由此可见两事件互斥但不独立. 44
145 45. 三事件两两相互独立的概念. 两两相互独立则称事件是三个事件如果满足等式设定义 C C C C C C
146 46 注意三个事件相互独立三个事件两两相互独立 4. 三事件相互独立的概念. 相互独立则称事件是三个事件如果满足等式设定义 C C C C C C C C
147 47 k k i i i i i i. 为相互独立的事件则称 n n 个事件相互独立 n 个事件两两相互独立具有等式任意个事件如果对于任意是设 n i i i n k k n k n 推广
148 二 几个重要定理 定理一 设 是两事件 且 0. 若 相 互独立 则. 反之亦然. 证明. 48
149 49 证明. 独立与先证 且因为 所以. 即. 也相互独立与与与相互独立则下列各对事件若 定理二
150 又因为 相互独立 所以有 因而. 从而 与 相互独立. 50
151 5 两个结论.. 个事件也是相互独立其中任意则相互独立若事件 n k k n n.. 个事件仍相互独立立事件所得的中任意多个事件换成它们的对则将相互独立个事件若 n n n n n
152 三 例题讲解 射击问题 例 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是 0. 若 0 名机枪射击手同时向一架飞机射击 问击落飞机的概率是多少? 解 设事件 i 为 第 i 名射手击落飞机 i 事件 为 击落飞机 0. 则 0 5
153
154 例 甲 乙 丙三人同时对飞机进行射击 三人击中的概率分别为 飞机被一人击中而被击落的概率为 0. 被两人击中而被击落的概率为 0.6 若三人都击中飞机必定被击落 求飞机被击落的概率. 解设表示有 i 个人击中飞机 i C 分别表示甲 乙 丙击中飞机 则 C 0.7 由于 C C C 54
155 故得 C C C 因为 得 C C C C C C C C C
156 由 C 得 C C 因而 由全概率公式得飞机被击落的概率为
157 伯恩斯坦反例例 一个均匀的正四面体 其第一面染成红色 第二面染成白色 第三面染成黑色 而第四面同时染上红 白 黑三种颜色. 现以 C 分别记投一次四面体出现红 白 黑颜色朝下的事件 问 C 是否相互独立? 解由于在四面体中红 白 黑分别出现两面 因此 C 又由题意知 C C 4 57
158 58 故有因此 C 不相互独立 C C C C 则三事件 C 两两独立. 由于 4 C 8 C
159 例 4 同时抛掷一对骰子 共抛两次 求两次所得点数分别为 7 与 的概率. 解设事件 i 为 第 i 次得 7点 i. 设事件 i 为 第 i 次得 点 i. 事件 为两次所得点数分别为 7 与. 则有
160 例 5 一个元件 或系统 能正常工作的概率称为元件 或系统 的可靠性. 如图所示 设有 4 个独立工作的元件 4 按先串联再并联的方式联结 称为串并联系统 设第 i 个元件的可靠性为 i 4. 试求系统的可靠性. p i 解以 i 4 i 4 表示事件第 i 个元件正常工作 60
161 6 以 表示系统正常工作. 4. 则有 : 得系统的可靠性由事件的独立性 p p p p p p p p
162 例 6 要验收一批 00 件 乐器. 验收方案如下 : 自该批乐器中随机地取 件测试 设 件乐器的测试是相互独立的 如果 件中至少有一件在测试中被认为音色不纯 则这批乐器就被拒绝接收. 设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为 0.95; 而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为 0.0. 如果已知这 00 件乐器中恰有 4 件是音色不纯的. 试问这批乐器被接收的概率是多少? 解 设以 H i i 0 件 随机地取出 其中恰有 i 表示事 件乐器 件音色不纯 6
163 H0 H H H 是 S 的一个划分 以 表示事件 这批乐器被接收. 已知一件音色 纯的乐器 经测试被认为音色纯的概率为 0.99 而一件音色不纯的乐器 经测试被认为音色纯的 概率为 0.05 并且三件乐器的测试是相互独立的 于是有 H H H H
164 H H 0 i i i H H 故 H 而 H
165 例 7 概率为 有利 还是采用五局三胜制有利. 设各局胜负相 互独立. 甲 乙两人进行乒乓球比赛 每局甲胜的 p p 问对甲而言 解采用三局二胜制 甲最终获胜 胜局情况可能是 : 甲甲 乙甲甲 甲乙甲 ; 由于这三种情况互不相容 于是由独立性得甲最终获胜的概率为 : 采用三局二胜制 65
166 p p p p. 采用五局三胜制 甲最终获胜 至少需比赛 局 且最后一局必需是甲胜 例如 比赛四局 而前面甲需胜二局. 则甲的胜局情况可能是 : 甲乙甲甲 乙甲甲甲 甲甲乙甲 ; 由于这三种情况互不相容 于是由独立性得 : 在五局三胜制下 甲最终获胜的概率为 : 4 p p p p p p. 66
167 由于 p p p 6 p 5 p p p p p. 当 p 时 p p ; 当 p 时 p p. 故当 当 p p 相同的 都是 时 对甲来说采用五局三胜制有利 时 两种赛制甲最终获胜的概率是.. 67
168 68 四 小结. 两事件独立. C C C C C C C 三个事件相互独立.. 相互独立与与与相互独立重要结论
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排列 组合 集合论 随机事件 事件间的关系与运算 频率与概率 4 等可能概型 ( 古典概型 ) 等可能概型 ( 古典概型 ) 生活中有这样一类试验, 它们的共同特点是 : 样本空间的元素只有有限个 ; 每个基本事件发生的可能性相同 比如 : 足球比赛中扔硬币挑边, 围棋比赛中猜先 我们把这类实验称为等可能概型, 考虑到它在概 率论早期发展中的重要地位, 又把它叫做古典概型 设 S ={e 1, e,
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07/9/ 任课教师 : 王磊西电电院 600 班概率论讲义基于浙大版教材整理 第一节概率论的基本概念 一 概率论的诞生及应用二 随机现象三 随机试验四 小结 一 概率论的诞生及应用 概率论的诞生 65 年 一个名叫梅累的骑士就 两个赌徒约定赌若干局 且谁先赢 c 局便算赢家 若在一赌徒胜 a 局 a
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Uit 2: Coditioig ad idepedece 本单元内容对应课本 1.5, 1.6 基本要求 理解条件概率的概念, 掌握概率的乘法定理, 理解全概率公式和贝叶斯 (Bayes) 公式, 并学会运算和计算 理解事件独立性概念, 掌握伯努力 (Beroulli) 概型和二项概型计算方法 本章的学习重点与难点 难点 : 条件概率的计算与事件独立性的判别 作业 : P 26 : 24, 27,
概率论与数理统计
概率论与数理统计 主讲 : 杨明磊 Email: mlyag@xidia.edu.c 雷达信号处理国家重点实验室 课件网址 : http://web.xidia.edu.c/mlyag/teach.html ( 中文 ) http://jalo.uice.fr/cours/deeire/cours.deeire.200 8-09-03.4613 ( 法文 ) 课程安排 分两学期完成 前期中文课程 法文
§1.5 条件概率
概率论与数理统计 主讲教师 : 朱丽娜讲师研究方向 : 智能交通, 车联网与智能驾驶电子邮件 :lzhu@xidia.edu.c 个人主页 :http://web.xidia.edu.c/lzhu/ 第一章概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.2 样本空间 随机事件 1.3 频率与概率 1.4 等可能概型 ( 古典概型 ) 1.5 条件概率 1.6 独立性 2/21 1.5 条件概率 ( 二 )
纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式
第 1 章随机事件及其概率 纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式 1.2 随机事件的概率 概率的统计意义 频率 设 是随机试验 E 的一个事件, 在 次重复试验 即试验条件完全相同 中, 事件 发生的次数称为事件 在 次重复试验中发生的频数, 记为 r, 称比值 f = r / 为事件 在 次重复试验中发生的频率 显然有 0
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第 章随机事件和概率 事件和概率是概率论中的两个基本概念 在这部分内容中, 要熟记事件的关系和运算, 因为在今后的计算中, 经常将一些事件用另一些事件的运算来表示, 文氏图是帮助分析和理解事件运算的重要工具 ; 在计算事件的概率时, 要正确使用加法公式 减法公式 乘法公式 全概率公式和贝叶斯 (Bayes) 公式等, 在理解的基础上要记住这些公式并会分析实际问题 考试内容随机事件与样本空间 事件的关系与运算
7-2
第二节 偶然中的必然 概率 主要内容 : 一 概率的定义二 条件概率三 全概率公式和贝叶斯公式 一 概率的定义 1. 概率的统计定义 设 E 为随机试验,A 为随机事件, 对 E 在相同 条件下重复进行 次, 若 A 出现了 m 次, 则 比值 F (A). m 称为 A 在 次试验中出现的频率, 记为 随着 的变化而变化 F ( ) A 单独进行一次试验, 其结果难以预料, 但当 多次重复这个试验时,
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小结 基本概念 随机实验 随机事件 样本空间 事件的关系及运算 基本事件 复合事件必然事件 不可能事件 三个限定条件 样本点 所有基本事件构成的集合 四种关系和三种运算 概率 定义 性质 定义在样本空间上满足三条公理的集合函数 5 条 非负有界性规范性可列可加性 用概率的公理化定义, 从实验出发直接计算 A) 是困难的, 甚至是不可能的. 某些满足特定条件的实验可以直接计算. 基本事件的发生具有等可能性
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概率论与数理统计 B 2015-2016 第一学期 魏连鑫 理学院应用数学教研室 概率论与数理统计 研究随机现象统计规律的一门数学学科, 是一门基础课 生活中最重要的问题, 其中绝大多数在实质上只是概率问题 Laplace 世界上没有绝对的事情 2 前 言 起源概率论 : 十七世纪, 由赌博 测量误差 航海风险 人生寿命等研究的需要 古典概率论 1930s, 前苏联数学家科尔莫格罗夫借助测度论建立了严格的数学基础
¸ÅÂÊÂÛÓëÊýÀíͳ¼Æ µÚÒ»Õ Ëæ»úʼþÓë¸ÅÂÊ
概率论与数理统计 第一章随机事件与概率 黄正华 Email: huangzh@whu.edu.cn 武汉大学数学与统计学院 2012 年 9 月 3 日 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率 2012 年 9 月 3 日 1 / 95 目录 1 排列组合基本知识 2 随机试验 3 样本空间 随机事件 4 频率与概率 5 等可能概型 6 条件概率 7 独立性 黄正华 ( 武汉大学 ) 第一章随机事件与概率
Successful ways to cultivate high quality personnel for exhibition industry
第十一章概率 2012/10/31 1 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科 在现实世界中存在大量的机遇和风险, 概率统计可以为有效处理信息 正确作出决策 捕捉机遇 减少风险提供有力的工具 其应用极其广泛 : 数学的伟大使命是在混沌中发现有序 2012/10/31 2 概率论 : 概率论是一门研究客观世界随机现象数量规律的数学分支学科 从数学模型进行理论推导, 从同类现象中找出规律性
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
概率论与数理统计
概率论与数理统计 绪论 随机现象与必然现象 随机试验为对随机现象加以研究所进行的观察或实验 称为试验 若一个试验满足下列三个特点 : 在相同条件下可以重复进行 ; 每次试验的可能结果不止一个 并且事先可以知道试验的所有可能结果 ; 进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果 则称这一试验为随机试验 例如 : 抛掷一枚硬币 观察正面和反面出现的情况 掷一颗筛子 观察出现的点数 对某一目标发射一发炮弹 观察弹着点到目标的距离
概率统计
概率论 同济大学王勇智 概率论与数理统计 本学期我们开始概率统计这门课程的学习 概率论与数理统计是随机数学的两个分支, 它们在数学与社会生活的各个领域有着广泛的应用 尤其把它引入到管理 金融 政治等社会学科, 为人们的正确决策提供科学依据, 对社会生活产生深刻影响 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件 1.2 事件关系和运算 1.1 样本空间和随机事件 确定性现象 : 在确定的试验条件下必然会发生的现象
& 概率论与数理统计 例 1: 在 [0,1] [0,1] 正方形内随机投点 次, 统计落在 1/4 圆内的点所占的比例 k, 然后计算 4k, 根据结果你会想到什么? 为什么? F 研究对象 : 随机现象研究目的 : 揭示数量规律性 F 概率论 1~5 章数理统计
![& 概率论与数理统计 例 1: 在 [0,1] [0,1] 正方形内随机投点 次, 统计落在 1/4 圆内的点所占的比例 k, 然后计算 4k, 根据结果你会想到什么? 为什么? F 研究对象 : 随机现象研究目的 : 揭示数量规律性 F 概率论 1~5 章数理统计](/thumbs/97/133162016.jpg "& 概率论与数理统计 例 1: 在 [0,1] [0,1] 正方形内随机投点 次, 统计落在 1/4 圆内的点所占的比例 k, 然后计算 4k, 根据结果你会想到什么? 为什么? F 研究对象 : 随机现象研究目的 : 揭示数量规律性 F 概率论 1~5 章数理统计")
& 概率论与数理统计 例 : 在 [0,] [0,] 正方形内随机投点 0000 次, 统计落在 /4 圆内的点所占的比例 k, 然后计算 4k, 根据结果你会想到什么? 为什么? F 研究对象 : 随机现象研究目的 : 揭示数量规律性 F 概率论 ~5 章数理统计 6~9 章 2 第 章随机事件与概率. 随机事件 确定性现象 : 在相同条件下, 只能出现一个结果客观现象 随机现象 : 在相同条件下,
纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式
第 1 章随机事件及其概率 纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式 1.3 条件概率与事件的独立性 条件概率 定义 1.3.1 设 B 为任意两个随机事件, 且 P( > 0, 则称 P(B = P(B / P( 为在事件 发生的条件下, 事件 B 发生的条件概率 例 1: 考察有两个孩子的家庭, 假定男女出生率一样 两个孩子
<4D F736F F D20B8C5C2CAC2DBD3EBCAFDC0EDCDB3BCC62D2DCEC4C7B02E646F63>
普通高等教育 十二五 规划教材 概率论与数理统计 主编刘国祥王晓谦解锋昌副主编赵媛媛姚奕冯玉英杜秀丽 北 京 内容简介本书是专为理工经管等非数学与统计学专业编写的 全书共 9 章, 前 5 章属于概率部分, 内容包括事件与概率 随机变量及其分布 随机向量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律与中心极限定理, 后 4 章属于数理统计部分, 内容包括数理统计的基本概念 参数估计 假设检验 方差分析与回归分析初步
章节目录 1 随机现象与统计规律性 2 样本空间与事件 3 古典概型 4 几何概型 5 概率空间
概率论 第一章事件与概率 上海财经大学统计与管理学院 章节目录 1 随机现象与统计规律性 2 样本空间与事件 3 古典概型 4 几何概型 5 概率空间 随机现象与统计规律性 S1. 随机现象与统计规律性 一 随机现象 随机现象 太阳从东方升起 : 确定 ; 明天的最高温度 : 不确定 ; 上抛物体一定下落 : 确定 ; 新生婴儿的体重 : 不确定 ; 决定性现象 : 必然发生或必然不发生的现象随机现象
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概率论与数理统计 25/2/2013 1 主要教学参考书 教材 概率论与数理统计 陈希孺科大出版社 2009 年 2 习题册与资源 作业习题册 ( 教材科 ) 资源网站 课程主页 http://staff.ustc.edu.c/~zwp 答疑交流论坛 http://fisher.stat.ustc.edu.c 3 辅导书 龙永红 高教出版社 2008 年版 4 2012-2013 学年第 1 学期
课程介绍 掌握概率论和数理统计的基本数学知识 训练用概率论和数理统计方法对实际问题进行数学建模的能力 学会解决常见的统计分析问题 是应用型很强的学科 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 2 / 106
概率统计 B 第一章随机事件与概率 根据李东风老师课件修改 2018 春季学期 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018 春季学期 1 / 106 课程介绍 掌握概率论和数理统计的基本数学知识 训练用概率论和数理统计方法对实际问题进行数学建模的能力 学会解决常见的统计分析问题 是应用型很强的学科 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第一章随机事件与概率 2018
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n n 20n n n 20n n 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y =
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y = y x y 对于任意正整数 n, 记 n 的所有正约数组成的集合为 S n 证明 : S n 中至多有一半元素的个位数为
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
! " # " " $ % " " # # " $ " # " #! " $ "!" # "# # #! &$! ( % "!!! )$ % " (!!!! *$ ( % " (!!!! +$ % " #! $!, $ $ $ $ $ $ $, $ $ "--. %/ % $ %% " $ "--/
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第五章 数理统计中的统计量 及其分布
第五章 数理统计中的统计量 及其分布 随机样本 统计量 三大抽样分布 正态总体下常用统计量的一些重要结论 数理统计 以概率论为基础 主要研究如何收集 整理和分析实际问题的数据 有限的资源 以便对所研究的问题作出有效的 精确而可靠 推断 基础 概率论 功能 处理数据 目的 作出科学推断 就概率特征 总体与随机样本 总体 研究对象的某项数量指标值的全体 记作 Y 个体 总体中每个研究对象 元素.
第1章 Delphi简介
第 章随机事件及其概率. 随机事件 在自然界和人们的日常活动中经常会遇到许多现象, 这些现象大体可分为两类, 一类 叫必然现象, 另一类叫随机现象所谓必然现象, 是指在一定条件下一定会出现或一定不 会出现的现象例如, 在标准大气压下纯水加热到 00 就会沸腾, 近距离的异性电荷会 相互吸引, 像这样由条件可以确定结果的现象就是必然现象所谓随机现象, 是指在一 定条件下可能出现也可能不出现的现象例如,
内 容 简 介本书较系统地介绍了概率论与数理统计的基本内容 主要包括 随机事件及其概率 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 数理统计的基本知识 参数估计 假设检验 方差分析与回归分析 在统计分析中的应用 本书注重对学生基础知识的训练及知识应用能力的培养 部分小节精选了相当数量
普通高等教育 十二五 规划教材 概率论与数理统计 马 戈 主编梁 瑛 吴宏锷 牛玉俊 副主编 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 北 京 内 容 简 介本书较系统地介绍了概率论与数理统计的基本内容 主要包括 随机事件及其概率 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 数理统计的基本知识 参数估计 假设检验 方差分析与回归分析 在统计分析中的应用 本书注重对学生基础知识的训练及知识应用能力的培养
MBA 联考大纲基础词汇 (2100)
面授网址 www.szhzba.co 网络课堂 www.sigxue.co 等可能事件的概率 古典概率 知识要点. 基本事件及由基本事件组成的事件 一次试验连同其中可能出现的结果, 称为一个基本事件, 如 : 将一枚均匀硬币先后抛掷两次 的 试验中, 可能出现的结果是 ( 正, 正 ) ( 正, 反 ) ( 反, 正 ) ( 反, 反 ) 其中 将一枚均匀硬币先后抛掷两次, 两次均为正面向上, 将一枚均匀硬币先后抛掷两次,
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离散概率 1 回顾 集合计数 容斥原理 鸽笼原理 排列与组合 提要 3 概率论 贝叶斯定理 期望与方差 例 : 生日问题 4 有 k 个人, 设每个人的生日是 365 天的任何一天是等可能的, 求至少两人生日相同的概率 解 : 令 E = { 至少两人生日相同 }, 则 ഥE = k 个人生日均不同. 显然,Pr ഥE = 365 k 365 k. 故 Pr E = 1 Pr ഥE = 1 365
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随机过程 Stochasstic processes 西安电子科技大学数学系教师冯海林 1 引言 随机过程的研究对象随机过程是研究随机现象随时间变化过程中的规律性的一门数学学科. 是概率论的深入和发展. 引言 随机过程应用广泛 随机过程在自然科学 社会科学以及工程技术的各领域均有应用. 在我校的一些专业 : 雷达 通信 无线电技术 自动控制 生物工程 经济管理等领域有着极为广泛的应用. 3 引言 教材与参考教材
定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /
2016考研数学三线性代数题目及试题答案
6 考研数学三真题及答案解析 来源 : 文都教育 () 设函数 f ( ) 在 ( ) 内连续 ; 其导数如图所示 则 ( ) (A) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (B) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (C) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (D) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 解析 : 导函数图形如图极值的怀疑点为 : a b
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
4.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 14 分 05 秒处 )
[ 说明 ] 1. 以下所指教材是指朱杰老师的 管理类联考综合能力数学套路化攻略 2. 该文档中所标答案和参见的教材答案, 与视频有冲突的, 以视频答案为准! 基础篇 第 1 章 数 1.2.1 整数例题答案 : 1. A ( 详细解析见教材 P7 例 2) 2. D ( 详细解析见视频课程 数的性质 约 10 分 53 秒处 ) 3. C ( 详细解析见教材 P7 例 3) 4.E ( 详细解析见视频课程
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11.1 概率基础 随机试验 数学系统精讲 概率 MBA 大师 数学董璞 扔硬币掷骰子彩票开奖抽奖券 (1) 可重复性 试验在相同条件下可重复进行 ; (2) 可知性 每次试验的可能结果不止一个, 并且事先能明确试验所有可能的结果 ; (3) 不确定性 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现, 但必然会出现结果中的一个 11.1 概率基础 随机试验每一种可能的结果称为一个基本事件 ; 从数字 1,2,3,4
第一章 随机事件与概率 （考研）
概率统计冲刺 真题解析及重点题型 济大科大版说明 : 要求解析 9,,6,8 四年的概率真题四年的概率真题共 题左右, 全面性不够, 以这四年为主, 适当补充其他真题 通过真题解析达到三个目的 : 复习相应的知识点, 查遗补漏 ; 把握命题规律, 强化重点题型 ; 掌握应试技巧, 避免常见错误 冲刺阶段概率统计备考策略 理清结构, 突出重点 真题热身, 实战模拟 查遗补漏, 调整状态 冲刺阶段的复习
练习.. nn > 对夫妇任意围成一圆桌就坐, 求有夫妇不相邻的概率. 解 : 用 A 表示有夫妇不相邻, 则 A 表示所有夫妇全相邻. 取一椅子作为参考点, 称为 a 座, 记 B = {a 座与顺时针方向邻座为夫妇 } A, B = {a 座与逆时针方向邻座为夫妇 } A. 则 A = B B,
概率论习题解答 李勇 张余辉 March 7, 08 第二章概率空间.. 练习题 练习.. 在例.. 中定义 PΩ = PA =, PA = P = 0, 试证明 P 为概率. 证明 : 显然, 对任意 B F 有 PB 0 且 PΩ =. 下面验证可列可加性. 即对于两两互不相容 的 {B n } F, 要证明 P n= B n = PB n. 只有四种情形, a 全是 ; b 只有一个 A 且其余全是
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数
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.. 数学分析 (I) 短课程 [Part 2] 自然数 整数和有理数 孙伟 华东师范大学数学系算子代数中心 Week 2 to 18. Fall 2014 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014 1 / 78 3. 自然数理论初步 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014
2.2 离散型随机变量及其分布. 离散型随机变量的分布律 2. 两点分布 3. 二项分布 4. 泊松分布 2
第二章随机变量及其分布 2. 随机变量与分布函数 2.2 离散型随机变量及其分布 2.3 连续型随机变量及其分布 3.4 随机变量函数的分布 2.2 离散型随机变量及其分布. 离散型随机变量的分布律 2. 两点分布 3. 二项分布 4. 泊松分布 2 . 离散型随机变量的分布律 定义 2.2. 设离散型随机变量 的所有可能的不同取 的值为 x 而 取值,,2, x 的概率为 p, 即 x p,,2,
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概率随机变量练习 ( 廖老师出题 ). 设 X 是一个离散型随机变量, 其分布列为 : 则 q 等于 ( ) A. B. ± C. D. + C. 设随机变量 ξ 的概率分布列是 P( ξ = k) =, k =,,,,5, 6, 其中 C 为常数, 则 k P ( ξ ) 的值为 ( ) 6 6 6 A. B. C. D. 6 6. 一盒中有 个乒乓球, 其中 9 个新的, 个是旧的, 从盒中任取
器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 ３ 电势与电势差 １ 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 Ｅ ｐ 与电荷量 ｑ Ｅｐ 的比值叫做该点处的电势 表达式为 Ｖ 电场中两点之间的 ｑ 电势之差叫做电势差 表达式为 ＵＡＢ Ｖ Ａ ＶＢ ２ 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量
数字带通 带阻 高通滤波器的设计 把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化 直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计 先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器
数字带通 带阻 高通滤波器的设计 把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化 直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计 先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器 模拟原型方法 : 模拟低通 - 模拟带通 H ( j) H ( j) 3 3 3 模拟原型方法 : 模拟低通 - 模拟带通 H ( j) 模拟低通
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随机信号分析 随机模拟 蒙特卡罗方法 (Monte Carlo) 罗锴 Signal processing & Information Networking in Communications 蒙特卡罗方法 蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法 蒙特卡罗方法是一种计算方法, 但与一般数值计算方法有很大区别 它是以概率统计理论为基础的一种方法 由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程,
1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
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《概 率 论 与 数 理 统 计》
概率论与数理统计 课外自学指导 第一章事件与概率内容提要 基本内容 : 随机事件与样本空间 事件的关系与运算 概率的概念和基本性质 古典概率 几何概率 条件概率 与条件概率有关的三个公式 事件的独立性 贝努里试验 随机试验 样本空间与随机事件 随机试验 : 具有以下三个特点的试验称为随机试验 记为 E 试验可在相同的条件下重复进行 ; 每次试验的结果具有多种可能性 但试验之前可确知试验的所有可能结果
第三章 作业
- 在 题 图 - 中, 若 电 压 源 U V, 电 阻, 试 在 图 示 参 考 方 向 下 求 支 路 电 流 I Us I 题 图 - 以 电 压 源 为 参 考 方 向,I=-A - 求 图 - 各 支 路 中 未 知 量 的 值 4V V =? A U=? V A U=? A V a b c a =(-4)/=Ω b U=+ =4V c U=4V 题 图 - - 在 题 图 -a b 所
年第 期
年第 期 马 艳 劳动生产率 商品价值量 理论假定 新的释义 劳动生产率与单位商品价值量反向变动关系是经典马克思主义劳动价值理论的一个重要命题 我们将马克思经典 成反比 理论中关于劳动因素做了重新假定 即假定在科技进 步的条件下 伴随劳动客观因素的变化 劳动主观因素也发生同方面的变化 并假设劳动主观 条件的变化幅度大于劳动客观条件的变化幅度 那么 我们就可以获得劳动生产率与商品价值 量之间呈现正向变动趋势的结论
特 殊 古 典 几 何 定 义 频 率 定 义 公 理 化 定 义 输 光 得 分 问 题 随 机 试 验 所 有 可 能 结 果 为 有 限 个 等 可 能 的 情 形 ; 将 等 可 能 思 想 发 展 到 含 无 穷 多 个 元 素 的 样 本 空 间 克 服 等 可 能 观 点 不 易 解
概 率 的 定 义 及 其 确 定 方 法 研 究 随 机 现 象 不 仅 关 心 试 验 中 会 出 现 哪 些 事 件, 或 者 某 事 件 发 生 的 可 能 性 大 不 大, 即 只 有 一 个 定 性 的 描 述 是 不 够 的, 准 确 了 解 事 件 发 生 的 可 能 性 即 概 率 的 大 小, 对 人 们 的 生 活 有 重 要 意 义. 例 如, 了 解 发 生 意 外 人 身
标题
第 1 章 概率论的基本概念 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门基础学科, 它从数量角度给出随机现象的描述, 为人们认识和利用随机现象的规律提供了有力的工具. 因此概率论与数理统计这门学科应用相当广泛, 几乎渗透到所有科学领域, 工业 农业 国防与国民经济的各个部门都要用到它. 例如在工业中, 人们应用概率统计方法进行质量控制 工业试验设计 产品的抽样检查等. 另外, 概率统计的理论与方法正在向各个基础学科
概率论与数理统计
概率论与数理统计 010/4/7 1 概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科 第一章概率论的基本概念 1.1 随机试验 1. 样本空间 1.3 概率和频率 1.4 等可能概型 ( 古典概型 ) 1.5 条件概率 1.6 独立性 第二章随机变量及其分布.1 随机变量. 离散型随机变量及其分布.3 随机变量的分布函数.4 连续型随机变量及其概率密度.5 随机变量的函数的分布 第三章多维随机变量及其分布
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南京大学计算机科学与技术系 离散概率 离散数学课程组 南京大学计算机科学与技术系 提要 离散数学 : 离散概率 直觉概率分析 : 三门问题直觉的形式化 : 概率空间条件概率与贝叶斯定理随机变量及其期望与方差 三门问题 (Monty Hall Problem) 三门问题 (Monty Hall Problem) 假设你正在参加一个有奖游戏 你被要求在三扇门中选择一扇, 其中一扇后面有一辆车, 其余两扇后面则是山羊
类 似 地, 又 可 定 义 变 下 限 的 定 积 分 : ( ). 与 ψ 统 称 为 变 限 积 分. f ( ) d f ( t) dt,, 注 在 变 限 积 分 (1) 与 () 中, 不 可 再 把 积 分 变 量 写 成 的 形 式 ( 例 如 ) 以 免 与 积 分 上 下 限 的
5 ( 一 ) 微 积 分 学 基 本 定 理 当 函 数 的 可 积 性 问 题 告 一 段 落, 并 对 定 积 分 的 性 质 有 了 足 够 的 认 识 之 后, 接 着 要 来 解 决 一 个 以 前 多 次 提 到 过 的 问 题 在 定 积 分 形 式 下 证 明 连 续 函 数 必 定 存 在 原 函 数. 一 变 限 积 分 与 原 函 数 的 存 在 性 设 f 在 [,] 上
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
谷 德军 等 对 流边 界层 中 公 路 线 源 扩 散的 期 扩 散 的模 拟 式 大 气扩 散 的 方 法 是 把 污 染物 在 大 气 中 的 扩 散 看 成 标 记 粒 子 在 平 均 风 场 约束 下 的 随机 运 动 假 定 粒 子 的运 动 是 相 互独 立 的 向上 的 坐 标 为
谷 德军 等 对 流边 界层 中 公 路 线 源 扩 散的 期 扩 散 的模 拟 式 大 气扩 散 的 方 法 是 把 污 染物 在 大 气 中 的 扩 散 看 成 标 记 粒 子 在 平 均 风 场 约束 下 的 随机 运 动 假 定 粒 子 的运 动 是 相 互独 立 的 向上 的 坐 标 为 时间 步长 的 脉 动速 度 可 以 用 小 匡 每 个 粒 子 的运 动 为 小 分别 代表粒子 在
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
戲劇研究 創刊號 詞之雅化 實為 折子戲 源生之三個重要背景 歷代戲曲劇種如先秦至唐代之 戲曲小戲 宋金雜劇院本 北曲雜劇四折每折作獨立性演出 乃至明清民間 小戲與南雜劇之一折短劇 均實為折子戲之 先驅 則明正德至嘉靖間北劇南 戲選本之 摘套 與 散齣 迎神賽社禮節傳簿 中之 零折散齣 均可 視之為
戲 劇 研 究 200 年1月 創刊號 頁1 2 論說 折子戲 曾永義 世新大學講座教授 緒論 折子戲 這一戲曲名詞 大家耳熟能詳 但如果進一步思考 1. 折子戲 之名始於何時 2. 折子戲 之詞彙結構如何形成 3.如果把 折子戲 當作一生命體 那麼其源生 形成 成熟與衰老的不同 階段 各自如何 其源生 形成的背景如何 其成熟興盛和衰老頹廢的原因又是 如何 4.當折子戲成熟之時 折子戲本身具有何等樣的周延義涵
IDEO_HCD_0716
IDEO HCD Toolkit Tencent CDC ...? Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC
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第三篇 概率统计基础 第七章概率论基础 [189] 第八章数理统计初步 [245] 188 第三篇概率统计基础 第七章 概率论基础 学习本章后, 学生应能决如下实际问题 : 目 标 1. 计算产品的合格率 2. 预测某些简单经济现象及其组合发生的可能性 3. 用数值或字母表示经济现象变化的各种状况 4. 预测离散或连续变化的经济现象变化的状况及其发生的可能性 5. 预测离散或连续变化的经济现象的均值及风险
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概率论基础知识 提供终身财经教育 ( 补充读物 ) 第一章随机事件及其概率... 2 一随机事件... 2 二事件的概率... 3 三条件概率... 7 第二章随机变量及其分布函数... 9 一随机变量及其分布函数... 9 二离散型随机变量及其分布律... 12 三连续型随机变量及其概率密度... 14 四随机变量函数的分布... 20 第三章随机变量的数字特征... 22 一数学期望... 22
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机器学习 3. MLE&MAP 3. MLE & MAP 统计 / 概率基本概念与知识 贝叶斯准则 最大似然估计 (MLE) 最大后验估计 (MAP) MLE VS. MAP 高斯分布情形 3. MLE & MAP 统计 / 概率基本概念与知识 贝叶斯准则 最大似然估计 (MLE) 最大后验估计 (MAP) MLE VS. MAP 高斯分布情形 基本概念 概率 采样空间, 事件, 代数 概率公理,
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初二秋季第四讲课后作业答案 ( 尖端班 ) 几何变换 旋转 习题. 为等边 内一点, = 3, = 3, 求证 : 以 为边可以构成一个三角形, 并确定所构成的三角形的各内角的度数. 解析 绕点 旋转 到 ', 可得 ' 就是以 为边构成的三 角形, 则 ' = 3 60 = 63, ' = 3 60 = 53, ' = 80 63 53 = 64, 即三角形各个内角度数分别为 53 63 和 64
國立中山大學學位論文典藏.PDF
立 論 李 年 易 亂 領 不 數 量 更 更 易 了 靈 不 不 便 易 離 來 歷 烈 不 了 理 論 年 論 歷 說 論 度 離 度 歷 論 良 略 良 異 異 離 連 論 歷 不 不 異 論 行 行 度 切 履 來 行 論 更 論 論 離 異 度 歷 度 論 良 良 復 略 履 略 I 離 不 論 論 參 II 論 論 易 亂 領 不 數 量 更 更 易 了 靈 不 不 便 易 離 來 歷
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数 值 积 分 与 数 值 微 分 解 题 方 法 专 题 一 知 识 点 复 习 了 解 数 值 积 分 与 数 值 微 分 的 基 本 思 想 掌 握 代 数 精 确 度 的 概 念 和 插 值 型 求 积 公 式 如 梯 形 公 式 Spso 公 式 和 牛 顿 柯 斯 特 公 式 节 点 为 高 斯 点 的 高 斯 公 式 以 及 相 应 的 复 化 求 积 公 式 ; 掌 握 求 数 值
张 荣 芳 中 山 大 学 历 史 系 广 东 广 州 张 荣 芳 男 广 东 廉 江 人 中 山 大 学 历 史 系 教 授 博 士 生 导 师 我 们 要 打 破 以 前 学 术 界 上 的 一 切 偶 像 以 前 学 术 界 的 一 切 成 见 屏 除 我 们 要 实 地 搜 罗 材 料 到 民 众 中 寻 方 言 到 古 文 化 的 遗 址 去 发 掘 到 各 种 的 人 间 社 会 去
试卷
模 块 综 合 测 评 ( 总 分 :150 分 时 间 :120 分 钟 ) 一 选 择 题 ( 本 大 题 共 12 小 题, 每 小 题 5 分, 共 60 分. 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中, 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ) 1. 某 厂 共 有 64 名 员 工, 准 备 选 择 4 人 参 加 技 术 评 估, 现 将 这 64 名 员 工 编 号,
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离散数学 大连理工大学软件学院 陈志奎 博士 教授 博士生导师 办公室 : 综合楼 405,Tel: 62274392 实验室 : 综合楼一楼, 教学楼 A502/C109, Mobile: 13478461921 Email: zkchen@dlut.edu.cn zkchen00@hotmail.com QQ: 1062258606 2016/9/28 1/37 回顾 集合的定义 集合的描述 内涵与外延
骨头的故事
头 1 图 206 33 7 12 5 5 4 12 2 54 10 200-400 3 500 图 类 图 图 动 节 4 5 图 发 图 节 180 Youtube 180 [1] 7 2 7 6 9 270 6 图 树懒 块颈 13-25 14 17 25 7 图 扭头 头鹰 鹅 8 图 红 为 关节 绿 为 关节 9 图 类 10 图 类 11 图 盘 动 类 图 阴 犸 艺 你可能会以为图
重 要 声 明 长 城 证 券 股 份 有 限 公 司 编 制 本 报 告 的 内 容 及 信 息 来 源 于 陕 西 东 岭 工 贸 集 团 股 份 有 限 公 司 提 供 的 证 明 文 件 以 及 第 三 方 中 介 机 构 出 具 的 专 业 意 见 长 城 证 券 对 报 告 中 所 包
2015 年 陕 西 东 岭 工 贸 集 团 股 份 有 限 公 司 ( 宝 鸡 市 马 营 路 东 段 ) 公 司 债 券 受 托 管 理 事 务 报 告 (2015 年 度 ) 债 券 代 理 人 长 城 证 券 股 份 有 限 公 司 ( 深 圳 市 福 田 区 深 南 大 道 6008 号 特 区 报 业 大 厦 16-17 层 ) 2016 年 4 月 12 日 1 重 要 声 明 长 城
随机事件与概率
帮学堂配套电子讲义 概率论与数理统计 概率论与数理统计 强化讲义 ( 数一 ) 帮学堂配套电子讲义 概率论与数理统计 课程配套讲义是学习的必备资源, 帮帮为大家精心整理了高质量的配套讲义, 确保同学们学习的方便不高效 该讲义是帮帮结合大纲考点及考研辅导名师多年辅导经验的基础上科学整理的 内容涵盖考研的核心考点 复习重点 难点 结构明了 脉络清晰, 幵针对丌同考点 重点 难点做了丌同颜色及字体的标注,
概率论与数理统计
概率论与数理统计 浙大内部课件 ( 盛骤 ) 第一章 考研巴士 www.kaoyabus.com 友情提供概率论的基本概念. 随机试验. 样本空间.3 概率和频率.4 等可能概型 ( 古典概型 ).5 条件概率.6 独立性 第二章 第三章 随机变量及其分布. 随机变量. 离散型随机变量及其分布.3 随机变量的分布函数.4 连续型随机变量及其概率密度.5 随机变量的函数的分布 多维随机变量及其分布 3.
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第 3 讲集合的概念与运算 1. 集合的概念 2. 集合之间的关系 3. 集合的运算 4. 文氏图 容斥原理 2005-7-5 集合论与图论 第 3 讲 1 集合论 (set theory) 十九世纪数学最伟大成就之一 集合论体系 朴素 (naive) 集合论 公理 (axiomatic) 集合论 创始人康托 (Cantor) Georg Ferdinand Philip Cantor 1845 ~
长 安 侠 少 每 至 春 时 结 朋 联 党 各 置 矮 马 饰 以 锦 鞯 金 铃 并 辔 于 花 树 下 往 来 使 仆 人 执 酒 皿 而 随 之 遇 好 酒 则 驻 马 而 饮
李 白 咏 侠 诗 述 论 侯 长 生 唐 代 是 中 国 诗 歌 的 鼎 盛 时 期 诗 歌 的 思 想 内 容 得 到 了 极 大 的 丰 富 和 发 展 咏 侠 诗 在 唐 朝 也 成 为 众 多 诗 人 表 述 心 志 的 另 一 种 方 式 李 白 不 仅 有 任 侠 的 经 历 而 且 创 作 了 大 量 的 咏 侠 诗 通 过 对 这 些 诗 歌 的 分 析 对 于 理 解 李 白 的
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概 率 统 计 中 的 反 例 前 言 第 一 章 随 机 事 件 及 其 概 率. 同 一 问 题 的 概 型 未 必 唯 一. 事 件 间 的 关 系 由 A B C 推 不 出 A B C 由 A B C 推 不 出 A B C 3 A BC AU B C 3. 概 率 为 零 的 事 件 未 必 是 不 可 能 的 事 件 4. 由 概 率 关 系 推 不 出 事 件 间 关 系 5. 试
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统计与数据分析统计与数据分析 Statistics & Data Aalysis 2 概率理论基础 (Part I) Zhu Huaiqiu i @Pekig Uiversity 概率论是生活真正的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那么我们就寸步难行 无所作为 英国经济学家 W. S. Jevos 英国经济学家 W. S. Jevos (1835-1882) 概率 ( 机率 或然率 机会率机会率
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第 十 届 小 机 灵 杯 数 学 竞 赛 0 年 辅 导 资 料 五 年 级 综 合 练 习 ⑹ 第 题 在 一 位 正 整 数 中, 任 取 一 个 质 数 和 一 个 合 数 相 乘, 所 有 乘 积 的 总 和 是 在 一 位 正 整 数 中, 质 数 有 3 5, 合 数 有 4 6 8 9 ; 在 一 位 正 整 数 中, 任 取 一 个 质 数 和 一 个 合 数 相 乘, 所 有 乘
邱 江 吴玉亭 张庆林 西南师范大学心理学院 重庆 选取 个具体内容的条件命题作为实验材料 以小四 初一 高一 大三的学生为被试 探讨了命题内容对青少年条件推理的影响机制及其发展特点 结果表明 对同一年级而言 不同内容的条件命题的相同推理 之间表现出显著的差异 对不同年级而言 相同内容的条件命题的四种推理之间也存在显著的差异 青少年的条件推理过程似乎是一种基于对事件发生概率估计的直觉判断 这一判断过程主要取决于个体知识经验的增长和主体认知水平的提高
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华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 :00-8077-0 QQ:887 基 本 概 念 与 知 识 点 排 列 组 合 加 法 原 理 如 果 完 成 一 件 事 有 类 办 法, 只 要 选 择 其 中 一 类 办 法 中 的 任 何 一 种 方 法, 就 可 以 完 成 这 件 事 ; 若 第 一 类 办 法 中 有 种 不 同 的 方 法, 第 二 类 办 法
前 言 数理统计学是研究怎样用有效的方法去收集和使用具随机性影响的数据的科学 当今信息时代是充满数据的时代 数据是信息的载体 数理统计作为一门分析数据并从数据中寻找规律的学科 随着计算机的广泛使用 必然会发挥越来越重要的作用 本书的理论和方法为解决实际问题中的数据分析问题提供了有力的工具 数理统计
内容简介本书介绍了工科研究生 数理统计 课程的基本内容 包括 预备知识 抽样分析 参数估计 假设检验 方差分析 正交实验设计 回归分析和多元统计分析初步等 同时还介绍了 及其在统计分析中的应用 本书各章末均配有适量习题 书末附有部分习题参考答案 本书可作为工科各专业研究生的教学用书 也可作为具有一定数学基础的读者的自学用书 图书在版编目 数据 数理统计 凌能祥 李声闻 宁荣健编 合肥 中国科学技术大学出版社
标题
第 35 卷第 期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年 月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近 赵晓娣, 孙渭滨 宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik
2004.6 2004.8,..,. I know of scarcely anything so apt to impress the imagination as the wonderful form of cosmic order expressed by the normal curve. The law would have been personified by the Greeks and
第二讲 数列
Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer 高 考 中 不 等 式 问 题 的 解 决 方 法 通 润 达 久 王 力 前 言 : 近 年 来 不 等 式 问 题 正 越 来 越 多 的 出 现 在 调 研 题 和 高 考 试 题 中 而 且 大 多 出 现 在 江 苏 高 考 的 填 空 压 轴 题 中 是 高 考 考 察 的 重 点 和 难 点 由 于
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第 章 电 路 分 析 的 网 络 方 程 法 3 畅 1 引 言 用 等 效 变 换 法 和 电 路 定 理 对 电 路 进 行 分 析 是 将 电 路 简 化 为 最 简 形 式, 一 般 是 单 回 路 形 式, 再 求 出 待 求 的 支 路 电 压 或 电 流 这 种 方 法 对 分 析 简 单 电 路, 特 别 是 只 对 某 处 的 响 应 分 析 时, 是 行 之 有 效 的 对 于
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误差建模
机器学习 2. 统计基础 过拟合与正则化 n min f M阶多项式函数 i = 1 ( f ( x ) y ) i i 2 min f Φ L ( D, f ( w)) + p( w) 正则项 p ( w) = w 2 2 min f Φ L ( D, f ( w)) + p( w) min f Φ L ( D, f ( w)) + p( w) 学习机 误差项 正则项 3. MLE & MAP
在 企 业 生 产 过 程 中 (E 水 泥 ), 往 往 需 要 测 量 计 算 许 多 数 据, 而 在 测 量 计 算 过 程 中, 我 们 要 遵 循 那 些 法 则 和 计 算 方 法, 这 就 是 学 习 本 章 的 目 的 重 点 学 习 实 验 数 据 误 差 估 算 及 分 析,
工 程 实 验 数 据 处 理 方 法 在 企 业 生 产 过 程 中 (E 水 泥 ), 往 往 需 要 测 量 计 算 许 多 数 据, 而 在 测 量 计 算 过 程 中, 我 们 要 遵 循 那 些 法 则 和 计 算 方 法, 这 就 是 学 习 本 章 的 目 的 重 点 学 习 实 验 数 据 误 差 估 算 及 分 析, 回 归 分 析 方 法 ( 线 性, 非 线 性 ) 误 差
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2003 1 1812 ( 200433) :,,,,,, :1812 19 :, ;,,20, 1887 ;,1822 1887,,,1812 ( ) 9 :, ;,,;,,,,9,,,,,, :,1991,232 301 ::, :,1988 92 56,,,,, :,, 1953,, 1953,1953,,1953,,,,,,,,, () 1953 1 9518,30118, 34, 13313
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H H H 203% 38,600,000 36,100,000 65% 163 180 21894 21 80.31% 95.57% 92.74% 1 % % % 26.50 39.53 38.79 2.46 2.06 4.19 4.86 2.66 3.69 8.63 1.15 2.80 4.49 3.45 3.63 2 % % % 0.27 1.01 1.52 0.86 0.76 1.06 0.70
y B C O F. 设 f 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 的 函 数, 在 区 间, 上 f 5 9 其 中 ar, 若 f f, 则 5 y 4 0,. 已 知 实 数 y, 满 足 y 0, 3 y 3 0, f a 的 值 是. 则 y 的 取 值 范 围 是. a, 0,, 0,
参 考 公 式 : 样 本 数 据,,, n 棱 柱 的 体 积 V 爱 智 康 高 考 研 究 中 心 高 中 数 学 张 勇 凯 桑 和 瑞 何 军 凤 闫 泓 水 06 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 江 苏 卷 ) n i n i 的 方 差 s 数 学 Ⅰ n i n i, 其 中. Sh, 其 中 S 是 棱 柱 的 底 面 积, h 是 高. 棱 锥 的
山西医科大学 2016 级一系 学年第五学期周教学进度表 学院 系 ( 部 ): 第一临床医学院年级 / 专业 :2016 级一系班级 : (10) 人数 : 315 实习分组 : 序号 课程名称 总学时 理论课 实验
山西医科大学 2016 级一系 2018-2019 学年第五学期周教学进度表 学院 系 ( 部 ): 第一临床医学院年级 / 专业 :2016 级一系班级 :011601-011610(10) 人数 : 315 实习分组 : 序号 课程名称 总学时 理论课 实验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21-26 8.27 9.2 9.3
第一章 随机事件与概率 （考研）
考研数学强化班答案概率统计叶宏第 页共 页版权所有翻录必究 第一章随机事件及其概率题型一事件的关系和运算. ( D). ( D ) P( A B) P( AB) P( AB) 故 ( D ) 正确. 题型二古典概型中的概率计算. 解一般骰子掷两次 其基本事件总数为 6 方程有实根的充分必要条件是 B C 或 C B 方程有重根的充分必要条件是 B C 或 C B B 6 使 C B 的基本事件个数
《高等数学》 CAI课件
第四部分 : 定积分 一 重点 难点与例子 第五部分定积分 共 6 例 : 定积分的存在定理 定积分性质 3 用定积分的定义求极限 关于积分限为变元的函数 5 Newo Leibiz 公式的重要意义 6 计算定积分 N L 公式 7 定积分常用公式与例子 8 广义积分二 判断题 下列运算对吗? 共 6 个 三 练习题 共 个 练习题解答 一 重点 难点与例子 定积分的存在定理 若 在闭区间 [,b]
工 程 勘 察 资 质 标 准 根 据 建 设 工 程 勘 察 设 计 管 理 条 例 和 建 设 工 程 勘 察 设 计 资 质 管 理 规 定, 制 定 本 标 准 一 总 则 ( 一 ) 本 标 准 包 括 工 程 勘 察 相 应 专 业 类 型 主 要 专 业 技 术 人 员 配 备 技 术
住 房 和 城 乡 建 设 部 关 于 印 发 工 程 勘 察 资 质 标 准 的 通 知 建 市 [2013]9 号 各 省 自 治 区 住 房 和 城 乡 建 设 厅, 北 京 市 规 划 委, 天 津 上 海 市 建 设 交 通 委, 重 庆 市 城 乡 建 设 委, 新 疆 生 产 建 设 兵 团 建 设 局, 总 后 基 建 营 房 部 工 程 局, 国 务 院 有 关 部 门 建 设 司,
价样 品 川 振 荡汉 取 叮 盛极 曲 的 示差 溶 出脉 具 体 方 法 见 有 机质 含 量 用 丘 林 法 测 定 沉积 物 的 矿 物 组 成 由 本 所 地质 室 测 数 据 由厦 门 大 学 海 洋 系 洪 家 珍 同志 提 供 三 各站 位 于表 谱 分析仪 进行 微 米膜 滤 后 分 斯 其 酿 可溶 部 分 的 含 鼠 零 用 冲测定 卷 报 分析 三 定 学 洋 海 表示 结
许丽花 等 应用 ３ 种遗传分析方法分析养殖鲤与天然群体的遗传差异 第４期 图２ Ｆｉｇ ２ ３９７ 图中不同颜色表示不同的聚类 Ｋ 值 ６ 个鲤群体的贝叶斯遗传聚类分析图 Ｂａｙｅｓｉａｎ ｇｅｎｅｔｉｃ ｃｌｕｓｔｅｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔ ｈｅ ｓｉｘ ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｃｏｍ ｍｏｎ ｃａｒｐｓ 表 ２ 贝叶斯遗传聚类分析中每个群体分属 ４ 个聚类时的比例 Ｔ ａｂｌｅ ２
第一章 随机事件与概率 （考研）
考研数学强化班答案概率统计叶宏第 页共 页版权所有翻录必究 第一章随机事件及其概率题型一事件的关系和运算. P( A B) P( AB) P( AB), 故 ( D ) 正确. 题型二古典概型中的概率计算 m C C C. 第四次一种颜色, 前三次两种颜色, 由古典概型 P( A) 题型三几何概率的计算. 分析 : 根据题意可得两个随机变量服从区间, 上的均匀分布, 利用几何概型 计算较简便. 也可先写出两个随机变量的概率密度,
文 化 记 忆 传 统 创 新 与 节 日 遗 产 保 护 根 据 德 国 学 者 阿 斯 曼 的 文 化 记 忆 理 论 仪 式 与 文 本 是 承 载 文 化 记 忆 的 两 大 媒 体 在 各 种 仪 式 行 为 中 节 日 以 其 高 度 的 公 共 性 有 组 织 性 和 历 史 性 而 特 别 适 用 于 文 化 记 忆 的 储 存 和 交 流 节 日 的 文 化 功 能 不 仅 在 于
第一章 随机事件与概率 （考研）
考研数学强化班答案概率统计叶宏第 页共 页版权所有翻录必究 第一章随机事件及其概率题型一事件的关系和运算. ( D). ( D ) P( A B) P( AB) P( AB), 故 ( D ) 正确. 题型二古典概型中的概率计算 m C C C. 第四次一种颜色, 前三次两种颜色, 由古典概型 P( A) 题型三几何概率的计算. 分析 : 根据题意可得两个随机变量服从区间, 上的均匀分布, 利用几何概型