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勋贝
5 years ago
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1 概率论与数理统计 B 第一学期魏连鑫理学院应用数学教研室

2 概率论与数理统计研究随机现象统计规律的一门数学学科, 是一门基础课生活中最重要的问题, 其中绝大多数在实质上只是概率问题 Laplace 世界上没有绝对的事情 2

3 前言起源概率论 : 十七世纪, 由赌博测量误差航海风险人生寿命等研究的需要古典概率论 1930s, 前苏联数学家科尔莫格罗夫借助测度论建立了严格的数学基础概率论的公理化数理统计 :18 19 世纪出现统计推断思想的萌芽, 20 世纪初, 英国数学家费希尔为现代数理统计学奠基, 使之成为一门独立学科 3

4 目前, 数理统计在理论上突破不大, 主要是普及和广泛应用, 几乎渗透到一切学科之中, 有试验数据, 就有它, 没有它就无法应付大量的数据和信息, 已成为现代最基本的数学工具之一二者关系 : 概率论是数理统计的理论基础 ; 数理统计是概率论的应用二者是并列的两个数学分支 4

5 课程特点属于大学数学范畴高等数学 : 运算多线性代数 : 概念多, 关系复杂本课 : 概念运算比较简单, 重点是思想方法需要知识集合论概念运算简单的排列组合微积分二重积分课程要求课前预习, 上课认真听讲, 跟上思路课后复习, 完成书后习题作业考核方式期末闭卷考试 (70%), 平时作业, 出勤 (30%) 5

6 Ch1 随机事件与概率 1.1 随机事件 1.2 概率的定义与性质 1.3 条件概率 1.4 独立性

7 作业 P6 1,2,3 P15 1,2,3,6,7,8,9 P22 1,2,5,6,7 P27 1,2,3,4 7

8 一随机现象 1.1 随机事件概率论研究随机现象的统计规律性的数学分支客观现象确定性现象 ( 必然现象 ) 随机现象 ( 偶然现象 ) 在一定条件下, 必然会出现某种确定的结果在一定条件下, 可能会出现不同的结果 8

9 确定性现象的例子 : 水在标准大气压下加热到摄氏 100 必然会沸腾两个三角形边角边对应相等, 则第三边必相等 f(x) 在 x = a 处间断, 则在 x = a 处必不可导随机现象的例子 : 抛一枚硬币, 结果可能出现正面朝上, 也可能出现反面朝上, 事前不能肯定炮兵按同样射击条件 ( 使用同一门炮同一批炮弹同一角度同一炮位等 ) 进行多次射击, 其射程可能远些, 可能近些, 射击前不能肯定其射程多远 9

10 随机现象在大量重复试验或观察中呈现出来的规律性叫作随机现象的统计规律性如抛硬币试验, 次数增多时, 出现正面和反面的次数差不多 ; 又如多次炮击后, 可发现射程集中在某一常数 a 附近, 偏离 a 较远的现象极少 10

11 二随机试验在一定条件下, 对某种随机现象进行的观察测试实验等, 记作 E ( 简称试验 ) 比如 : E 1 : 掷一颗骰子, 观察得点数 ; E 2 : 掷一颗骰子, 观察得奇数点还是得偶数点 ; E 3 : 抛一枚硬币 2 次, 观察正面出现次数 ; E 4 : 抛一枚硬币 2 次, 观察各次正反面情况 ; E 5 : 从一批灯泡中随机抽取一个, 测其寿命 11

12 E 1 : 掷一颗骰子, 观察得点数 ; E 2 : 掷一颗骰子, 观察得奇数点还是得偶数点 ; E 3 : 抛一枚硬币 2 次, 观察正面出现次数 ; E 4 : 抛一枚硬币 2 次, 观察各次正反面情况 ; E 5 : 从一批灯泡中随机抽取一个, 测其寿命随机试验的特点 : (1) 可在相同条件下重复进行 ; (2) 每次试验可能结果不止一个, 但事先能明确所有可能结果 ; (3) 进行一次试验之前不能确定哪个结果会出现 12

13 三样本空间随机试验中所有可能结果组成的集合, 记作 Ω 样本点 Ω 的元素 (E 的每个结果 ) 试写出 E 1 至 E 5 的样本空间 E 6 : 盒中 100 个球,99 黑,1 白, 每次取一个, 若是黑色则放回, 直至取到白球为止, 记录取球次数说明 : 1. 样本空间的元素由试验目的决定 ; 2.Ω 有限样本空间无限样本空间可列不可列离散的连续的 13

14 四随机事件样本空间 Ω 的子集记作 B C, 简称事件如 E 1 ( 掷骰子, 观察得点数 ) Ω 1 ={1,2,3,4,5,6 } 设 i 得 i 点, i ={i} (i=1,2,3,4,5,6) 得奇数点, ={1,3,5} B 得点数大于 3, B={4,5,6} 事件发生当且仅当子集中的一个样本点出现 14

15 几类特殊事件不可能事件 : 不含样本点, 记为 Φ( 空集 ) 必然事件 : 包含所有样本点, 即 Ω( 全集 ) 基本事件 : 恰含一个样本点 ( 单点集 ) 15

16 五事件的关系和运算 ( 集合的关系及运算 ) 1. 包含关系 : B, 指发生则 B 必发生如 E 1 ( 掷骰子, 观察得点数 ) 中, i --- 得 i 点, i ={i} ; --- 得奇数点,={1,3,5}; B--- 得点数大于 3,B={4,5,6}, 则 5, 5 B B =, 指发生则 B 必发生, 反之亦然如 B 件中恰有 2 件次品 ; F 件中恰有 8 件正品 ; 则 B=F 16

17 2. 和事件 : B 指 B 中至少有一个发生如 E 1 中, B={1,3,5,4,6}, 指得点数为奇数或大于 3 的数 n k k 1 1 k k --- 1, 2,..., n 中至少有一个发生 --- 1, 2,..., k, 中至少有一个发生 17

18 3. 积事件 : B (B), 指与 B 同时发生如 E 1 中, B={5}, 指得点数为 5 n k 1 k --- 1, 2,..., n 同时发生 1 k k --- 1, 2,..., k, 同时发生 4. 差事件 :-B={x x 且 x B}, 指发生而 B 不发生如 E 1 中, -B={1,3}, 指得点数 1 或 3 18

19 5. 互斥事件 ( 互不相容事件 ):B= Φ, 指与 B 不能同时发生 6. 对立事件 ( 逆事件 ): 若 B= Φ, 且 B=Ω, 指每次试验中与 B 有且仅有一个发生 = B, B, 19

20 说明 : (1) 若 B=Φ, 常记 B=+B (2),, ( 或 ), (3) (4) B B B, : 发生, : 表示未发生 20

21 事件的运算律交换律 : B=B, B=B 结合律 : ( B) C= (B C) (B)C=(BC) 分配律 : ( B)C=(C) (BC) (B) C=( C)(B C) BC 21

22 德. 摩根律 : B B B B 22

23 例 1 E 4 ( 抛一枚硬币 2 次, 观察各次正反面情况 ) 中, 设为第一次出现正面 B 为两次出现同一面求 B, B, - B, B 例 2 向指定目标射 3 枪, i 为第 i 枪击中目标 i=1,2,3, 试用 1, 2, 3 表示下列事件 : 1. 只击中第 1 枪 2. 只击中 1 枪 3. 3 枪均为未击中 4. 至少击中 1 枪 23

24 例 3 设为信号灯亮, B i 为开关 i 闭合, 则 =B 1 (B 2 B 3 ) =(B 1 B 2 ) (B 1 B 3 ) 24

25 例 4 化简下列各式 : (1) (B B) (C C); (2) ( B)( B ) 运算顺序 : 逆交和差, 括号优先例 5 (1) 将 B C 表示成互不相容事件之和 ; (2) 将 -B 表示成两个事件的交 25

26 一定义 1.2 概率的定义与性质概率 ( 几率或然率 ): 事件发生可能性大小的度量 1. 古典定义具有以下两个特点的随机试验等可能概型 ( 古典概型 ) 1 样本空间只含有限个元素 ;( 有限性 ) 2 每个基本事件发生的可能性相同 ( 等可能性 ) 26

27 E 1 ( 掷骰子, 观察得点数 ) Ω 1 ={1,2,3,4,5,6 } E 2 ( 掷骰子, 观察得奇数点还是得偶数点 ) Ω 2 ={ 奇数点, 偶数点 } E 3 ( 抛一枚硬币 2 次, 观察正面出现次数 ) Ω 3 ={0,1,2 } E 4 ( 抛一枚硬币 2 次, 观察各次正反面情况 ) Ω 4 ={ HH,HT,TH,TT } E 5 ( 从一批灯泡中随机抽取一个, 测其寿命 ) Ω 5 ={T T 0} E 1,E 2,E 4 都是等可能概型 ( 骰子硬币质量均匀 ) 27

28 定义古典概型中, 样本空间含有 n 个样本点, 事件含有 k 个样本点, 则所含样本点数所含样本点总数 k n 称为事件发生的概率, 记为 P() 28

29 29 排列组合公式 1. 加法原理 2. 乘法原理 3. 公式 r n n r n r n r n r n C C r P r n r n C r n n n r n n P! )!!(! 1) ( 1) ( )! (!

30 例 1: 一枚均匀硬币连抛三次, 观察正反面情况计算以下事件的概率 : () 1 : 恰有一次出现正面 ; ( 2) B : 至少两次出现正面例 2:( 盒子模型 ) r个球, 随机投入 N( N 计算以下事件的概率 : () 1 : 某指定的 r个盒子中各有一只球 ; ( 2) B : 任意 r个盒子中各有一只球 ; ( 3) C : 某指定的一个盒子中恰有 k只球 ; ( 4) D : 至少有一个盒子中至少有两只球 r) 个盒子中 30

31 例 3:( 生日问题 ) 一年 365天, 随机选取 n 365人, 他们的生日各不相同的概率? 至少有两人生日 n 相同的概率 : p 例 4: N件产品中有 M件次品, 从中任取 n( n N) 件, 在放回抽样和不放回抽样两种情况下, 求 n件中含有 k( k M ) 件次品的概率例 5: 抽奖模型 ( 抽签原理 ) 盒中有 n个球, 其中 a个标有中奖, k 摸球, 求第 i个人中奖的概率 P i n个人依次 () 1 放回抽样 ;( 2) 不放回抽样 31

32 2. 几何概率定义向区域 Ω 中任投一点, 假设此点落在 Ω 中任一点位置等可能, Ω, 则定义此点恰落在内的概率 P( ) 的测度的测度测度体积面积长度等 S S 32

33 例 1 某人收听电台整点报时, 等待时间不超过 15 分钟的概率例 2 均匀陀螺的圆周上均匀地刻着区间 [0,3) 上的诸数字. 旋转它, 求陀螺停下时, 其圆周与桌面接触点刻度恰好位于 [1/2,2] 的概率. 解 : P= [1/2,2] 的长度 /[0,3) 的长度 =(3/2) /3=1/2 33

34 例 3 约会问题 :2 人约定在 8 点到 9 点内会面, 2 人在这段时间内哪一刻到等可能, 约定先到者等候 15 分钟, 求 2 人见到面的概率. y x y x

35 35 3. 概率的统计定义作 n 次重复试验, 其中事件发生 k 次, 称 k 为事件发生的频数, 称为事件发生的频率 n k f n ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,,, (3) 1 ) ( (2) 1 ) ( m n n n m n j i m n n f f f f j i f f ), 则两两互不相容 ( 若 () 性质 :

36 频率具有波动性, 如抛硬币试验, 将一枚硬币抛 n 次, 正面出现的频数 m, 频率 m/n: 实验序号 n=5 n=50 n=500 m m/n m m/n m m/n

37 频率的波动性随 n 增大而减小 : 实验者 n 频数 m 频率 m/n 德. 摩根蒲丰 K. 皮尔逊 K. 皮尔逊若 n 时,f n ()= m/n p( 稳定于 p), 则称 p 为事件的概率 37

38 定义如果事件发生的频率 f n () 随着试验次数的增加而在某个数 p 附近摆动, 并逐渐稳定于 p, 则称 p 为事件的概率, 记作 P()=p 38

39 4. 公理化定义设 Ω 为随机试验 E 的样本空间, 对任一随机事件赋予一个实数 P=P() 满足 : 1. 非负性对于每个事件, 有 P() 0; 2. 规范性对于必然事件 Ω, 有 P(Ω) =1; 3. 可列可加性若随机事件 1, 2,, k, 两两互不相容 ( i j =Φ,i j), 则有 P( 1 2 k )=P( 1 )+P( 2 )+ +P( k )+ 则称 P() 为事件的概率 39

40 二性质 1. P(Φ)=0; 2. 有限可加 : 若 1, 2,, n 两两互不相容, 则 P( 1 2 n )=P( 1 )+P( 2 )+ +P( n ); 3. 若 B, 则 P(B-)=P(B)-P() ; 若 B, 则 P() P(B) ( 单调性 ) 4.P() 1; 5.P( )=1-P(); 6. 加法公式 : P( B)=P()+P(B)-P(B) P( )=P( 1 )+P( 2 )+P( 3 ) -P( 1 2 )- P( 2 3 )- P( 1 3 )+ P( ) 40

41 例 1 某班有 40 名同学, 在一次期中考试中, 进行了甲乙两门课程的测试, 测试结果为 : 课程甲不及格率为 20%, 课程乙不及格率为 25%, 而该班恰有 28 位同学没有出现不及格现象. 求两门课程都不及格的人数. 41

42 例 2 已知 1 P ( ), 2 1 PB ( ). 在下列三种情况下, 3 分别计算 P( B ) (1) 与 B 为互不相容事件 ; (2) B ; 3 (3) P( B). 4 42

43 一条件概率 1.3 条件概率事件发生的条件下事件 B 发生记为 B 例 1 掷骰子, 观察所得点数, 设 : 出现偶数点 ; B: 点数大于 3; 求 : 在已经发生的条件下,B 发生的概率 43

44 1. 定义 : 设 B 是两个事件, 且 P()>0, 称 P(B )= P( B) P( ) 为事件发生的条件下事件 B 发生的条件概率说明 : (1) 条件概率的实质 : 样本空间的缩小 (2) 区别 :B: 与 B 同时发生 ; B : 发生的条件下,B 发生 44

45 2. 性质 : ( 1) 非负性 0 P( B ) 1, P( ) 0; ( 2) 规范性 P( ) 1; (3) 可列可加性 P( B 1 k1, B B ( 4) P( B ) 1 P( B ); k 2, 两两互不相容, 则 ) k1 PB ; ( B B ) PB PB P( B B ) ( ) P k 45

46 例 2 某元件能使用 2000 小时的概率为 0.95, 能使用 3000 小时的概率为 0.8, 现在已使用了 2000 小时, 问还能使用 1000 小时的概率? 例 3 甲乙两个长江下游的城市, 一年中雨天的比例是 : 甲 20%, 乙 18%, 两地同时下雨为 12%, 求 : (1) 甲下雨时, 乙下雨的概率 ; (2) 甲不下雨时, 乙下雨的概率 ; (3) 甲乙至少有一个下雨的概率 46

47 二乘法公式设 P()>0, 则有 P(B)=P()P(B ) 推广 : P(BC)=P()P(B )P(C B), 这里 P(B)>0. P( 1 2 n ) =P( 1 )P( 2 1 )P( ) P( n 1 2 n-1 ) P( 1 2 n-1 )>0 47

48 例 1 一盒子中有 b 个黑球和 w 个白球, 随机取一个, 记住颜色后放回, 同时再放入 x 个与之同色的球, 若连续取球 4 次, 求第一二次取到黑球且第三四次取到白球的概率例 2 甲盒 :a 个白球,b 个黑球, 乙盒 :c 个白球,d 个黑球, 从甲中任取一球放入乙中, 再从乙中取一球, 求 : 从乙中取到白球的概率 48

49 三全概率公式设 Ω 为试验 E 的样本空间, 1, 2,, n 为 Ω 的子集, 且满足 : (1) 1, 2,, n 两两互不相容 ; (2) 1 2 n = Ω, 则称 1, 2,, n 为 Ω 的一个划分 1 2 k B n 公式 : 设 Ω 为试验 E 的样本空间, 1, 2,, n 为 Ω 的一个划分, P( k )>0 (k=1,2,,n), B 为 E 的事件, 则 P(B)= P( 1 )P(B 1 ) + P( 2 )P(B 2 ) + +P ( n )P (B n ) 49

50 思想 : 将 B 分解成若干个互不相容的事件,B 1, B 2,, B n, 这些事件的概率是已知或易求的, 关键在找 Ω 的划分, 可理解为由不同原因推结果例 1 一批元件如表中所示, 从中任取 1 只, (1) 求它是次品的概率 ; 元件制造厂次品率提供元件份额 B

51 四贝叶斯公式 ( 后验概率公式 ) 例 1 ( 续 ) 一批元件如表中所示, 从中任取 1 只, (1) 求它是次品的概率 ; (2) 若已知取到的是次品, 分析此次品出自何厂可能性最大? 元件制造厂次品率提供元件份额 B

52 设 Ω 为试验 E 的样本空间, 1, 2,, n 为 Ω 的一个划分, B 为 E 的事件, P( i )>0 (i=1, 2,, n),p(b) >0, 则 P( i B) n k 1 P( i P( ) P( B k ) P( B i ) k ) 说明 : i=1, 2,, n 用于已知结果发生的情况下, 求导致结果的某种原因发生的可能性大小 P( i B) B 结果, i 原因 52

53 例 2 根据以往的临床记录, 某种诊断癌症的试验具有如下效果 : 若 : 被诊断者确实患有癌症, B: 试验反应为阳性, 则有 P(B )=0.95, P( B ) 0.95 假设自然人群中患有癌症的概率为 0.005, 即 P() =0.005 张三很不幸, 他在作该项检查时呈阳性, 试求他确实患有癌症的概率 53

54 例 3 ( 贝叶斯决策 ) 为判断某木材是桦木还是桉木, 先考察它们的某一特征 ( 例如平均亮度 ) X, 以 1, 2 分别表示该木是桦木还是桉木, 事先掌握了 P( 1 ),P( 2 ),P(X 1 ),P(X 2 ), 由贝叶斯公式得 P ( i X ) 2 k 1 P( i P( ) P( X k ) P( X i ) k ),i=1,2. 若 P( 1 X) >P( 2 X), 则认定该木是桦木 ; 反之, 则认为是桉木. 上述方法称为贝叶斯决策, 在模式识别等学科中这种方法有重要的应用, 并且这一理论也有很好的发展前景. 54

55 例 4( 敏感性问题调查 ) 球袋中有 10 球 =6 红 +4 白, 被调查者在没有旁人的情况下 : 摸到白球, 回答问题 1: 你的生日是否在 7 月 1 日之前? 摸到红球, 回答问题 2: 你考试是否作过弊? 设有 1521 人参加调查, 回答是的有 556 人, 求作弊率? 答卷是否 55

56 例 5 伊索寓言孩子与狼讲的是一个小孩每天到山上放羊, 山里有狼出没第一天, 他在山上喊 : 狼来了! 狼来了, 山下的村民闻声便去打狼, 可到山上, 发现狼没来 ; 第二天仍是如此 ; 第三天, 狼真的来了, 可无论小孩怎么喊叫, 也没有人来救他, 因为前二次他说了谎, 人们不再相信他了 56

57 设为小孩说谎,B 为小孩可信不妨设村民过去对这个小孩的印象为 P ( B) 0.8, P( B) 0.2 并设 P( B) 0.1, P( B) 0.5 P( B) P( B) P( B ) P( B) P( B) P( B) P( B) 第一次村民上当后, 对这个小孩的可信程度由 0.8 降为 P( B) 0.444, P( B) P( B ) 第二次村民上当后, 对这个小孩的可信程度下降到

58 1.4 独立性一事件的独立性例 1 同时掷两枚骰子, :1 号 6 点, B:2 号 6 点求 P(), P(B),P(B ),P(B) 58

59 定义若 P(B)= P() P(B), 则称事件与 B ( 相互 ) 独立. 定理 1 设 P() >0, 若事件,B 相互独立, 则 P(B )=P(B), 反之亦然推论若事件,B 相互独立, 则下列各对事件也相互独立 :, B;, B;, B. 59

60 例 2 甲乙独立地向同一敌机炮击, 已知甲击中的概率为 0.8, 乙击中的概率为 0.7, 求 (1) 敌机被击中的概率 ; (2) 两人都击中的概率 ; (3) 恰有一人命中的概率 ; (4) 已知敌机被击中, 求是甲击中的概率例 3 已知 P()=1/2,P(B)=1/3, 在下列两种情况下, 分别计算 P( B) (1) 与 B 互不相容 ;(2) 与 B 相互独立 60

61 多个事件的相互独立性 : 若 1, 2,, n (n 2) 中任意 k 个事件的积事件的概率, 都等于各事件概率之积, 则称事件 1, 2,, n 相互独立推论 : (1) 若事件 1, 2,, n 相互独立, 则其中任意 k(2 k n) 个事件也相互独立 (2) 若 1, 2,, n (n 2) 相互独立, 则将其中任意多个事件换成各自的对立事件, 所得 n 个事件仍相互独立 61

62 说明 : 在实际应用中, 一般不用定义判断, 而是根据实际经验去判断一般若实际情况,B 两事件之间没有关联或微弱关联, 则称,B 独立例 4 一赌徒认为掷一颗骰子 4 次至少出现一次 6 点与掷两颗骰子 24 次至少出现一次双 6 点的机会是相等的, 你认为如何? 62

63 例 5 步枪射击飞机命中的概率为 0.004, 现有 250 支同时各自向同一飞机射击一枪, 求飞机被击中的概率解 : : 飞机被击中, : 第 k支击中, P( ) P 250 k k1 250 k1 k 1 P 250 k k P 1 P 1 1 P k k 1 k k1 k 63

64 例 6 某彩票每周开奖一次, 每次提供十万分之一的中奖机会, 且各周开奖是相互独立的若你每周买一张彩票, 尽管你坚持十年 ( 每年 52 周 ) 之久, 你从未中奖的可能性是多少? 例 7 三个臭皮匠, 顶个诸葛亮设臭皮匠,B,C 独立解决问题的把握为 P( ) 0.45, P( B) 0.55, P( C) 0.60 则此问题能被三人共同解决的概率为 P( B C) P( ) P( B) P( C) P( ) P( B) P( ) P( C) P( B) P( C) P( ) P( B) P( C)

65 65 说明 :, 则独立与互不相容不能同时成立, 若, 互不相容, 独立 : 两两独立 ;,, 相互独立,, 与任何事件相互独立 ; 可以为, 即, 独立 ; 与, 与 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( : ) ( ) ( ) ( (4) (3) 0 ) ( ) ( (2) (1) B P P P B P B B P P B P B C B C B B P P P

66 二伯努利 (Bernoulli) 试验与二项概率公式 1. 伯努利试验随机试验的可能结果只有和 n 重伯努利试验两种在相同条件下将伯努利试验相互独立地重复进行 n 次说明 : 相互独立 : 各次试验结果互不影响 ; 重复 : 各次试验中 P() 保持不变 66

67 例 1 (1) 将一骰子掷 10 次, 观察出现 6 点的次数 ; (2) 在装有 8 个正品,2 个次品的箱子中, 有放回地取 5 次产品, 每次取一个, 观察取得次品的次数 ; (3) 向目标独立地射击 n 次, 每次击中目标的概率为 p, 观察击中目标的次数 n 重伯努利试验中, 设每次试验中事件出现的概率为 p(0<p<1), n 次试验中出现 k 次的概率为 P n (k) 67

68 2. 二项概率公式 P n k n k nk ( k) C p q, k 0,1,2,, n 例 2 在一个盒子里装有 3 红 7 白共 10 个小球, 从中随机地取出一只观察后放回, 试求这样重复抽取 10 次, 恰有 4 次取到红球的概率. 例 3 制药厂声称其产品对某疾病的治愈率为 80%, 有 10 名患者同时服用此药, 则至少有 6 人治愈的概率有多大? 若已知治愈人数不超过 5 人, 问其声称的治愈率是否可信. 68

69 实际推断原理小概率事件在一次试验中几乎是不发生的 ( 小概率事件原理 ) (1) 一次试验几乎不可能发生 ; (2) 不断试验, 则一定发生 69

70 Ch1 小结 1. 随机事件关系及运算 2. 概率定义性质 : 古典定义 ; 公理化定义加法公式 :P( B)=P()+P(B)-P(B); 有限可加性 :,B 互斥, P( B)=P()+P(B) 3. 条件概率 : 乘法公式全概率公式贝叶斯公式 4. 独立性 : P(B)=P()P(B) 5. 二项概率公式 : P n k k nk ( k) C p q, k 0,1,2,, n n 70

71 作业 P6 1,2,3 P15 1,2,3,6,7,8,9 P22 1,2,5,6,7 P27 1,2,3,4 71

72 作业 P6 1,2,3 P15 1,2,3,6,7,8,9 P22 1,2,5,6,7 P27 1,2,3,4 72

& 概率论与数理统计例 1: 在 [0,1] [0,1] 正方形内随机投点次, 统计落在 1/4 圆内的点所占的比例 k, 然后计算 4k, 根据结果你会想到什么? 为什么? F 研究对象 : 随机现象研究目的 : 揭示数量规律性 F 概率论 1~5 章数理统计

& 概率论与数理统计例 1: 在 [0,1] [0,1] 正方形内随机投点次, 统计落在 1/4 圆内的点所占的比例 k, 然后计算 4k, 根据结果你会想到什么? 为什么? F 研究对象 : 随机现象研究目的 : 揭示数量规律性 F 概率论 1~5 章数理统计 & 概率论与数理统计例 : 在 [0,] [0,] 正方形内随机投点 0000 次, 统计落在 /4 圆内的点所占的比例 k, 然后计算 4k, 根据结果你会想到什么? 为什么? F 研究对象 : 随机现象研究目的 : 揭示数量规律性 F 概率论 ~5 章数理统计 6~9 章 2 第章随机事件与概率. 随机事件确定性现象 : 在相同条件下, 只能出现一个结果客观现象随机现象 : 在相同条件下,