& 概率论与数理统计例 1: 在 [0,1] [0,1] 正方形内随机投点次, 统计落在 1/4 圆内的点所占的比例 k, 然后计算 4k, 根据结果你会想到什么? 为什么? F 研究对象 : 随机现象研究目的 : 揭示数量规律性 F 概率论 1~5 章数理统计

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耘汪
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1 & 概率论与数理统计例 : 在 [0,] [0,] 正方形内随机投点 0000 次, 统计落在 /4 圆内的点所占的比例 k, 然后计算 4k, 根据结果你会想到什么? 为什么? F 研究对象 : 随机现象研究目的 : 揭示数量规律性 F 概率论 ~5 章数理统计 6~9 章 2 第章随机事件与概率. 随机事件确定性现象 : 在相同条件下, 只能出现一个结果客观现象随机现象 : 在相同条件下, 可能出现不同结果确定性现象的例子 : 水在标准大气压下加热到摄氏 00 必然会沸腾两个三角形边角边对应相等, 则第三边必相等 f(x) 在 x=a 处间断, 则在 x=a 处必不可导随机现象的例子 : 抛一枚硬币, 结果可能出现正面朝上, 也可能出现反面朝上, 事先不能肯定炮兵按同样射击条件 ( 使用同一门炮同一批炮弹同一角度同一炮位等 ) 进行多次射击, 其射程可能远些, 可能近些, 射击前不能肯定其射程多远 4 随机试验在一定条件下, 对某种随机现象进行的观察测试实验等, 记作 E ( 简称试验 ) 比如 : E : 掷一颗骰子, 观察得点数 ; E 2 : 抛一枚硬币次, 观察正面出现次数 ; E : 抛一枚硬币次, 观察各次正反面情况 ; E 4 : 从一批灯泡中随机抽取一个, 测其寿命随机试验的特点 : 可重复性 : 可在相同条件下重复进行 ; 不确定性 : 试验的可能结果不止一个, 每次试验前不能确定哪个结果会出现 5 2 样本空间随机试验中所有可能结果组成的集合, 记作 Ω 样本点 : Ω 的元素试写出 E 至 E 4 的样本空间 E 5 : 生产产品直到有 0 件正品为止, 记录生产的产品总数 ; E 6 : 同时掷 2 枚骰子, 观察出现的点数. 6

随机事件样本空间 Ω 的子集, 记作 A B C, 简称事件如 E ( 掷骰子,

B--- 得点数大于, B={4,5,6} 事件 A 发生当且仅当试验的结果恰是 A

包含所有样本点, 即 Ω 基本事件 : 恰含一个样本点 4 事件的关系与运算 (

一批产品中有一二三等品, 从中任取一件, A--- 取到一等品,A={}; B---

反之亦然如 B--- 0 件中恰有 2 件次品 ; F--- 0 件中恰有 8 件正品 ;

k --- A,A 2,...,A n 中至少有一个发生 --- A,A 2,.

同时发生如 E 中, A B={5}, 指得点数为 5 n k A k A k k ---

..,A k, 同时发生 (4) 差事件 : A-B 指 A 发生而 B 不发生如 E 中,

不发生 (6) 互不相容 : AB= Φ 指 A B 不能同时发生事件的运算律交换律 :

2 随机事件样本空间 Ω 的子集, 记作 A B C, 简称事件如 E ( 掷骰子, 观察得点数 )--- Ω ={,2,,4,5,6 } 设 A--- 得奇数点, A={,,5} B--- 得点数大于, B={4,5,6} 事件 A 发生当且仅当试验的结果恰是 A 中的一个样本点几类特殊事件不可能事件 : 不含样本点, 记为 Φ 必然事件 : 包含所有样本点, 即 Ω 基本事件 : 恰含一个样本点 4 事件的关系与运算 ( 即集合的关系与运算 ) () 包含关系 : A B, 指 A 发生则 B 必发生如 : 一批产品中有一二三等品, 从中任取一件, A--- 取到一等品,A={}; B--- 取到的不是三等品,B={,2}; 则 A B B = A, 指 A 发生则 B 必发生, 反之亦然如 B--- 0 件中恰有 2 件次品 ; F--- 0 件中恰有 8 件正品 ; 则 B=F 8 (2) 和事件 : A B 指 A B 中至少有一个发生如 E ( 掷骰子, 观察得点数 ) 设 A--- 得奇数点,A={,,5} B--- 得点数大于, B={4,5,6} A B={,,5,4,6}, 指得点数不为 2 n A k k A k k --- A,A 2,...,A n 中至少有一个发生 --- A,A 2,...,A k, 中至少有一个发生 () 积事件 : A B (AB), 指 A 与 B 同时发生如 E 中, A B={5}, 指得点数为 5 n k A k A k k --- A,A 2,...,A n 同时发生 --- A,A 2,...,A k, 同时发生 (4) 差事件 : A-B 指 A 发生而 B 不发生如 E 中, A-B={,}, 指得点数或 9 0 (5) 逆事件 ( 对立事件 ): A A 指 A 不发生 (6) 互不相容 : AB= Φ 指 A B 不能同时发生事件的运算律交换律 : A B=B A, AB=BA 结合律 : (A B) C= A (B C) (AB)C=A(BC) 分配律 : (A B)C=(AC) (BC) (AB) C=(A C)(B C) ABC A B, B A 2 2

等可能概型 ) 5 6 E ( 掷骰子, 观察得点数 )---Ω ={,2,,4,5,6 } E 2 ( 抛一枚硬币次, 观察正面出现次数 )--- Ω 2 ={0,,2, } E ( 抛一枚硬币次, 观察各次正反面情况 )--- Ω ={

3 德. 摩根律 : A B A B AB A B 例 : 向指定目标射枪,A i 为第 i 枪击中目标 i=,2,, 试用 A,A 2,A 表示下列事件 : ) 只击中第枪 2) 只击中枪 ) 枪均为未击中 4) 至少击中枪 4.2 概率的定义与性质例 : 化简下列各式 : () A(B AB) (C AC); (2) ( AB)( A B ) 概率事件发生可能性大小的度量, 也叫几率一古典方法适用于 : 样本空间 Ω 为有限集 ; 2 每个基本事件发生的可能性相同具有以上两个特点的 E 古典概型 ( 等可能概型 ) 5 6 E ( 掷骰子, 观察得点数 )---Ω ={,2,,4,5,6 } E 2 ( 抛一枚硬币次, 观察正面出现次数 )--- Ω 2 ={0,,2, } E ( 抛一枚硬币次, 观察各次正反面情况 )--- Ω ={ HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT} E 4 ( 从一批灯泡中随机抽取一个, 测其寿命 )--- Ω 4 =[0,+ ) 古典概率 : 设 E 为古典概型, 其样本空间 Ω 共含有 n 个样本点, 其中 A 包含 k 个样本点, 则 A 的概率 k n A E,E 都是等可能概型 ( 骰子硬币质量均匀 ) 如抛一枚硬币, 正面朝上的概率为 /2 掷一枚骰子, 得 6 点的概率为 /6 8

4 例从一批件正品, 件次品组成的产品中 () 任取一件, 求取得正品的概率 ; (2) 接连抽取 2 件产品, 第一次取后不放回, 求第一次取到次品, 第二次取到正品的概率 ; () 任取 4 件, 求其中恰有 2 件次品的概率例 p9 设有 N 件产品, 其中有 M 件次品. 现从 N 件产品中任取 n (n<n) 件, 试在放回抽样和不放回抽样两种情况下, 求 n 件产品中含有 k 件 (km) 次品的概率例 p8 有 r 只小球, 有 N 个大盒子 (r N). 现将小球全都随机地投到 N 个盒子中. 试求下列事件的概率 : ()A: 某指定的 r 个盒子各有一只小球 ; (2)B: 有 r 个盒子各有一只小球 ; ()C: 某指定的一个盒子, 恰有 k 只小球 (k r) ; (4)D: 至少有一个盒子至少有两只小球. 类似 : ü 考虑一个班级 r(r65) 位同学的生日 ( 小球 ) 在一年 65 天 ( 盒子 ) 中的分布情况 ; ü 在一辆公共汽车中有 r 个乘客, 考虑他们在 N(rN) 个车站下车的情况 2 例 ( 生日问题 ) 假设每人的生日在一年 65 天中任一天是等可能的, 即都等于 /65, 那么随机抽取 n(n 65) 人, 设 A: 至少有 2 人生日相同, 求. 经计算可得下述结果 : n p 例 ( 摸奖问题 )n 个球, 其中 a 个球标有大奖, k ( k n ) 个人依次去摸球, () 放回抽样 (2) 不放回抽样求第 i 个人摸到大奖的概率 p i. F 七人轮流抓阄, 抓一张参观票, 问第二人抓到的概率? 例 ( 彩票问题 ) 一种福利彩票称为幸福 5 选, 即从 0,02,,5 中不重复开出个基本号码和一个特殊号码, 中各等奖的规则如右表, 试求各等奖的中奖概率中奖级别一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖表 : 幸福 5 选的中奖规则中奖规则个基本号码全中中 6 个基本号码及特殊号码中 6 个基本号码中 5 个基本号码及特殊号码中 5 个基本号码 F N 件产品 ( 其中有 k 件次品 ) 任取一件不放回, 求第 i ( N) 次取到次品的概率六等奖七等奖中 4 个基本号码及特殊号码中 4 个基本号码, 或中个基本号码及特殊号码

解 : 第一类号码 : 个基本号码第二类号码 : 个特殊号码第三类号码 :2 个无用号码 0 CC C2 p 0.490 C 624520 0 5 5 6 6 0 CC C2 p2.040 C 624520 0 5 6 6 CC C2 6 p 89 28.060 C 624520 4 0 CC C2 CC 20450 C2 p 0.

0485 624520 5 25 二几何方法向区域 Ω 中任投一点, 假设此点落在 Ω 中任一点位置等可能,A Ω, 则定义此点恰落在 A 内的概率的度量 P ( A Ω 的度量度量体积面积长度等 26 例均匀陀螺的圆周上均匀地刻着区间 [0,) 上的诸数字.

Ω 2 28 三频率方法 ( 统计方法 ) 对 E 作 n 次重复试验, 其中事件 A 出现 k 次, 称 k 为事件 A 发生的频数, 称 k f n ( n 为事件 A 发生的频率频率衡量事件发生的频繁程度 29 频率具有波动性, 如抛硬币试验, 将一枚硬币抛 n 次, 正面出现的频数 k, 频率 k/n: 实验序号 n=5

5 解 : 第一类号码 : 个基本号码第二类号码 : 个特殊号码第三类号码 :2 个无用号码 0 CC C2 p C CC C2 p2.040 C CC C2 6 p C CC C2 CC C2 p C CC C2 6 p C CC C2 p C CC C2 p C 记 A 为中奖, 则 p p2 p 二几何方法向区域 Ω 中任投一点, 假设此点落在 Ω 中任一点位置等可能,A Ω, 则定义此点恰落在 A 内的概率的度量 P ( A Ω 的度量度量体积面积长度等 26 例均匀陀螺的圆周上均匀地刻着区间 [0,) 上的诸数字. 旋转它, 求陀螺停下时, 其圆周与桌面接触点刻度恰好位于 [ /2,2] 的概率. 解 : p= [/2,2] 的长度 /[0,) 的长度 =(/2) /=/2 例约会问题 :2 人约定在时间 [0, T] 内会面, 2 人在这段时间内哪一刻到等可能, 约定先到者等候 T/4, 求 2 人见到面的概率. Ω 2 28 三频率方法 ( 统计方法 ) 对 E 作 n 次重复试验, 其中事件 A 出现 k 次, 称 k 为事件 A 发生的频数, 称 k f n ( n 为事件 A 发生的频率频率衡量事件发生的频繁程度 29 频率具有波动性, 如抛硬币试验, 将一枚硬币抛 n 次, 正面出现的频数 k, 频率 k/n: 实验序号 n=5 n=50 n= k k/n k k/n k k/n

频率的波动性随 n 增大而减小 : 实验者 n 频数 k 频率 k/n 德. 摩根 2048 06 0.58 蒲丰 4040 2048 0.5069 K. 皮尔逊 2000 609 0.500 K. 皮尔逊 24000 202 0.

k k2 ks 频率 n n2 ns 稳定在 p 附近当 n 时, f n (= k/n p( 稳定于 p), 则称 p 为事件 A 的概率 ( 统计概率 ) 2 频率又具有稳定性在实际中, 当某事件的概率不易求出时,

概率事件发生可能性大小的度量 9 年, 前苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出概率的公理化定义 4 四概率的公理化定义定义 : 设 Ω 为随机试验 E 的样本空间,A 为 Ω 的子集 ( 随机事件 ), 集合函数满足 : 非负性 : 对于每个事件 A,

6 频率的波动性随 n 增大而减小 : 实验者 n 频数 k 频率 k/n 德. 摩根蒲丰 K. 皮尔逊 K. 皮尔逊频率又具有稳定性考虑在相同条件下进行的 s 轮试验. 当各轮试验次数 n,n 2,,n s 充分大时, 在各轮试验中事件 A 出现的频率之间 ( 或者它们与某个平均值 ) 相差甚微. k k2 ks 频率 n n2 ns 稳定在 p 附近当 n 时, f n (= k/n p( 稳定于 p), 则称 p 为事件 A 的概率 ( 统计概率 ) 2 频率又具有稳定性在实际中, 当某事件的概率不易求出时, 人们常取实验次数很大时该事件的频率作为概率的估计值. 概率事件发生可能性大小的度量 9 年, 前苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出概率的公理化定义 4 四概率的公理化定义定义 : 设 Ω 为随机试验 E 的样本空间,A 为 Ω 的子集 ( 随机事件 ), 集合函数满足 : 非负性 : 对于每个事件 A, 有 0; 2 规范性 : 对于必然事件 Ω, 有 Ω ) =; 可列可加性 : 若事件 A,A 2,,A k, 互不相容 (A i A j =Φ, i j), 则有 A A 2 A k )=A )+A 2 )+ +A k )+ 则称为事件 A 的概率 5 概率的性质 :.Φ)=0; 2. 有限可加 : 若 A,A 2,,A n 互不相容, 则 A A 2 A n )=A )+A 2 )+ +A n );. 若 A B, 则 B-=B)- ; 若 A B, 则 B) ( 单调性 ) 4. ; 加法公式 : A B)=+B)-AB) 6 6

例 p5 某班有 40 名同学, 在一次期中考试中, 进行了甲乙两门课程的测试, 测试结果为 : 课程甲不及格率为 20%, 课程乙不及格率为 25%, 而该班恰有 28 位同学没有出现不及格现象.

条件概率一条件概率事件 A 发生的条件下事件 B 发生记为 B A 引例 p6 在掷骰子的试验中, 考虑两个事件 : A 为出现偶数点,B 为点数不小于 4. 求在 A 已经发生的条件下, B 发生的概率.

已知取到甲厂的产品下, 它是次品的概率产品正品次品总计厂甲 5 5 40 乙 50 0 60 总计 85 5 00 40 例某机器按设计要求使用寿命超过 0 年的概率为 0.8, 超过 40 年的概率为 0.

7 例 p5 某班有 40 名同学, 在一次期中考试中, 进行了甲乙两门课程的测试, 测试结果为 : 课程甲不及格率为 20%, 课程乙不及格率为 25%, 而该班恰有 28 位同学没有出现不及格现象. 求两门课程都不及格的概率. 例口袋中有编号为,2,,n 的 n 个球, 从中有放回地任取 m 次, 求取出的 m 个球的最大号码为 k 的概率. 课堂练习 ch002kl.ppt 8. 条件概率一条件概率事件 A 发生的条件下事件 B 发生记为 B A 引例 p6 在掷骰子的试验中, 考虑两个事件 : A 为出现偶数点,B 为点数不小于 4. 求在 A 已经发生的条件下, B 发生的概率. 定义 : 设 A B 是两个事件, 且 >0, 称 AB) B = 为 A 发生的条件下 B 发生的条件概率 9 例从一批产品中 ( 如表 ) 随机抽取件, 求 () 取到甲厂产品且为次品的概率 ; (2) 已知取到甲厂的产品下, 它是次品的概率产品正品次品总计厂甲乙总计例某机器按设计要求使用寿命超过 0 年的概率为 0.8, 超过 40 年的概率为 0.5, 已知该机器已使用了 0 年, 试求它将在 0 年内损坏的概率常用的还有 : (4) B = B ; (5) B B 2 = B + B 2 B B 2. 例已知 P ( 0., P ( B) 0.4, A B) 0.5, 试求 B A B), A B A B). 4 42

8 二乘法公式设 >0, 则有 AB)=B. 推广 : ABC)=B C AB), 这里 AB)>0. A A 2 A n ) =A )A 2 A )A A A 2 ) A n A A 2 A n- ) 这里 n, A A 2 A n- )>0 例设 00 件产品中有 0 件次品, 现从中作不放回抽样, 连取次, 每次取一件, 试求 () 第次才取到次品的概率 ; (2) 第次取到次品的概率 4 44 三全概率公式例 p8 在一个盒子里装有 b 个黑球和 w 个白球, 从中随机地抽取一个, 观察其颜色后放回并同时再加入 x 个与之同色的球 ; 再取第二次 ; 如此反复进行 4 次. 试求 : 第一二两次取得黑球且第三四两次取得白球的概率. 说明 : 该模型称为波利亚 (Polya) 模型, 当 x= - 时为不放回抽样 ; 当 x=0 时为放回抽样, 前面抽取的结果对后面的抽样没有影响 ; 当 x>0 时, 常用来解释传染病问题 : 每出现一例传染病, 后面会增加传染机会. 设 Ω 为试验 E 的样本空间,A,A 2,,A n 为 Ω 的子集, 且满足 : () A,A 2,,A n 两两互不相容 ; (2) A A 2 A n =Ω, 则称 A,A 2,,A n 为 Ω 的一个划分全概率公式 : 设 Ω 为试验 E 的样本空间, A,A 2,,A n 为 Ω 的一个划分, A i )>0 (i=,2,,n), B 为 E 的事件, 则 B)= A )B A ) + A 2 )B A 2 ) + +A n )B A n ) 例一袋中有 0 个球, 其中个黑球, 个白球, 从中先后随意各取一球 ( 不放回 ), 求第二次取到的是黑球的概率. 例某商店收进甲厂生产的产品 0 箱, 乙厂生产的同种产品 20 箱, 甲厂每箱装 00 个, 废品率为 0.06, 乙厂每箱装 20 个, 废品率为 0.05, 求 : () 任取一箱, 从中任取一个为废品的概率 ; (2) 若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率例 ( 三门问题 ) 参赛者面前有三扇关闭的门, 其中一扇后面藏有一辆汽车, 而另外两扇后面则各藏有一只山羊参赛者从三扇门中随机选取一扇, 若选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车当参赛者选定了一扇门, 但尚未开启它的时候, 节目主持人会从剩下两扇中打开一扇藏有山羊的门, 然后问参赛者要不要更换自己的选择, 选取另一扇仍然关闭的门这个游戏涉及到的问题是 : 参赛者更换自己的选择是否会增加赢得汽车的概率?

9 四贝叶斯公式设 Ω 为试验 E 的样本空间, A,A 2,,A n 为 Ω 的一个划分, B 为 E 的事件 A k )>0 (k=,2,,n), B) >0, 则 A B) k A ) B A ) n i k A ) B A ) i k i k=,2,,n 例一批元件如表中所示, 从中任取只, () 求它是次品的概率 ; (2) 若已知取到的是次品, 分析此次品出自何厂可能性最大? 元件制造厂次品率提供元件份额例 p2 根据以往的临床记录, 某种诊断癌症的试验具有如下效果 : 若以 A 表示事件被诊断者患有癌症, 以 B 表示事件试验反应为阳性, 则有 B =0.95, B 0.95, 假设作该项检查的人群中此种疾病的患病率为 0.5%, 即 A ) =0.005 张三很不幸, 他在作该项检查时呈阳性, 试求他确实患有癌症的概率 5 52 例 ( 敏感性问题调查 ) 球袋中有 0 球 =6 红 +4 白, 被调查者在没有旁人的情况下摸到白球, 回答问题 A: 你的生日是否在月日之前? 摸到红球, 回答问题 B: 你考试是否作过弊? 设有 52 人参加调查, 回答是的有 556 人, 求作弊率? 是答卷否例伊索寓言孩子与狼讲的是一个小孩每天到山上放羊, 山里有狼出没第一天, 他在山上喊 : 狼来了! 狼来了, 山下的村民闻声便去打狼, 可到山上, 发现狼没有来 ; 第二天仍是如此 ; 第三天, 狼真的来了, 可无论小孩怎么喊叫, 也没有人来救他, 因为前二次他说了谎, 人们不再相信他了

10 设 A 为小孩说谎,B 为小孩可信不妨设村民过去对这个小孩的印象为 B) 0.8, B) 0.2 并设 A B) 0., A B) 0.5 B) A B) B B) A B) B) A B) 第一次村民上当后, 小孩的可信程度由 0.8 降为事件的独立性一事件的独立性 A B) B 的发生促进了 A 的发生 A B) B 的发生阻碍了 A 的发生 F A B) B 的发生不影响 A 的发生 B) 0.444, B) B 第二次村民上当后, 小孩的可信程度下降到 0.8 若 A B)=, 则乘法公式变为 AB)=A B)B)=B) 定义 : 若 AB)= B), 则称事件 A B( 相互 ) 独立区别 : A B 独立与 A B 互不相容. 设 A B 为互不相容事件, 且 >0,B)>0, 下面四个结论中, 正确的是 : A. B >0 B. A B)= C. A B)=0 D. AB)=B) 2. 设 A B 为独立事件, 且 >0,B)>0, 下面四个结论中, 正确的是 : A. B >0 B. A B)= C. A B)=0 D. AB)=B) 定理一设 >0, 若事件 A,B 相互独立, 则 B =B), 反之亦然定理二若事件 A,B 相互独立, 则下列各对事件也相互独立 : A, B ; A, B; A, B. 注 : 任意事件 A 与 Ω 独立任意事件 A 与 Φ 独立 5 58 例从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记 A={ 抽到 K}, B={ 抽到的牌是黑色的 } 问事件 A B 是否独立? 解 : =4/52=/, B)=26/52=/2 AB)=2/52=/26 可见, AB)=B) 所以事件 A B 独立. 例袋中有 5 个白球, 个黑球, 随机取球两次, () 放回抽样 ;(2) 不放回抽样, 设 A 为第一次取到白球 ; B 为第 2 次取到白球 ; 问 A 与 B 是否独立?

11 例 p2 甲乙两人独立地对同一目标各射击一次, 已知甲乙的命中率分别为 0.8,0., 求 () 两人都命中目标的概率 ; (2) 至少有一人命中目标的概率 ; () 恰有一人命中目标的概率 ; (4) 若已知目标被击中, 求它是被甲击中的概率. 定义若 AB)=B), AC)= C), BC)= B)C), ABC)= B)C), 则称事件 A,B,C 相互独立. 相互独立两两独立 6 62 例 p25 设 ={, 2,, 4 }(i=,2,,4), 基本事件等可能, A ={, 2 },A 2 ={, },A ={, 4 }, 则显然有多个事件的相互独立性 : 若 A,A 2,,A n (n 2) 中任意 k 个事件的积事件的概率, 都等于各事件概率之积, 则称事件 A,A 2,,A n 相互独立推论 :() 若事件 A,A 2,,A n 相互独立, 则其中任意 k(2 k n) 个事件也相互独立 (2) 若 A,A 2,,A n (n 2) 相互独立, 则将其中任意多个事件换成各自的对立事件, 所得 n 个事件仍相互独立 6 64 例某彩票每周开奖一次, 每次提供十万分之一的中奖机会, 且各周开奖是相互独立的若你每周买一张彩票, 尽管你坚持十年 ( 每年 52 周 ) 之久, 你从未中奖的可能性是多少? 例刚参加军训的学生进行打靶练习, 每人命中率为 0., 则 0 人齐发命中的概率是多少? 65 例 p25 现有 4 个独立工作的元件,2,,4, 按如图所示的方式组成甲乙两个系统, 假设每个元件的可靠度均为 p(0<p<), 试比较甲乙两个系统的可靠度. 2 4 甲系统 2 4 乙系统 66

因为 (2 pp 2 ) 2 (2 p 2 p 4 )=2(pp 2 ) 2 >0, 即 B) >, 故系统乙的可靠度高于系统甲. 6 q 二伯努利试验与二项概率公式设随机试验的可能结果只有 2 种 :A 发生 A 不发生 ( 记为 A ), 则称该试验为伯努利 (Bernoulli) 试验. q 在相同条件下将伯努利试验独立地重复进行 n 次, 则称这一串重复的独立试验为 n 重伯努利试验.

12 2 4 甲系统 2 4 乙系统解设事件 A i 表示第 i 个元件正常工作, 事件 A,B 分别表示系统甲乙正常工作. 则 A=A A 2 A A 4,B= (A A )(A 2 A 4 ), 由事件的独立性, 得系统甲乙的可靠度分别为 =A A 2 A A 4 ) =A A 2 )+A A 4 ) A A 2 A A 4 )=2 p 2 p 4, B)=(A A )(A 2 A 4 ))=A A )A 2 A 4 ) =[A )+A ) A A )] 2 =(2 pp 2 ) 2. 因为 (2 pp 2 ) 2 (2 p 2 p 4 )=2(pp 2 ) 2 >0, 即 B) >, 故系统乙的可靠度高于系统甲. 6 q 二伯努利试验与二项概率公式设随机试验的可能结果只有 2 种 :A 发生 A 不发生 ( 记为 A ), 则称该试验为伯努利 (Bernoulli) 试验. q 在相同条件下将伯努利试验独立地重复进行 n 次, 则称这一串重复的独立试验为 n 重伯努利试验. 试验结果相互独立 ; q 2 每次试验只有两个可能结果 ; 同一结果在各次试验中发生的概率保持不变. 设 p, p (0 p ) n 重伯努利试验中, A 恰好发生 k 次的概率为 k k nk P ( k) C p ( p), k 0,, n n n, 68 小概率原理 : 小概率事件在一次试验中几乎不会发生课堂练习 Ch005kl.ppt 69 0 例 ( 素数的概率判别法 ) 给定整数 p>, 判别它是否是素数 : 随机选择一个小于 p 的正整数 a, 若 a,p 不互素, 则 p 为合数, 若互素, 进一步计算 a p- b(mod p), 若 b, 则 p 为合数否则,p 无法确定若 p 为合数, 则实验结果为 "p 无法确定 " 的概率不超过 50%. 假设 p 为合数, 重复 k 次实验, 试求 p 仍无法确定的概率不超过多少? 现重复 50 次实验,p 仍无法确定, 此种情况下可根据小概率原理, 拒绝假设, 即认为 p 为素数古典定义 :=k/n, 第章小结 n 为样本点总数,k 为属于 A 的样本点个数 ; 加法公式 : A B)=+B)-AB); 特别地,A,B 互不相容时 : A B)=+B) 乘法公式 : AB)=B, >0. 特别地,A,B 独立时 : AB)=B) 重要公式 : 全概率公式贝叶斯公式二项概率公式 2 2

13 第一章作业 : p6: 2 p6: 2,,5,6,9 p22:,,5, p2: 2,,4

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PowerPoint Presentation 概率论与数理统计 B 2015-2016 第一学期魏连鑫理学院应用数学教研室概率论与数理统计研究随机现象统计规律的一门数学学科, 是一门基础课生活中最重要的问题, 其中绝大多数在实质上只是概率问题 Laplace 世界上没有绝对的事情 2 前言起源概率论 : 十七世纪, 由赌博测量误差航海风险人生寿命等研究的需要古典概率论 1930s, 前苏联数学家科尔莫格罗夫借助测度论建立了严格的数学基础

& 概率论与数理统计 例 1: 在 [0,1] [0,1] 正方形内随机投点 次, 统计落在 1/4 圆内的点所占的比例 k, 然后计算 4k, 根据结果你会想到什么? 为什么? F 研究对象 : 随机现象研究目的 : 揭示数量规律性 F 概率论 1~5 章数理统计

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