纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式

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1 第 1 章随机事件及其概率

2 纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式

3 1.3 条件概率与事件的独立性

4 条件概率 定义 设 B 为任意两个随机事件, 且 P( > 0, 则称 P(B = P(B / P( 为在事件 发生的条件下, 事件 B 发生的条件概率

5 例 1: 考察有两个孩子的家庭, 假定男女出生率一样 两个孩子 ( 从大到小排列 的性别为 ( 男, 男, ( 男, 女, ( 女, 男, ( 女, 女 且可能性是一样的 设 为 该家庭有一男一女 ( 男, 女, ( 女, 男 P( = 1/2 设 B 为 该家庭至少有一个女孩 ( 男, 女, ( 女, 男, ( 女, 女 P(B = 3/4 若已知该家庭至少有一个女孩, 即 B 已发生, 此时该家庭至少有一男一女, 即 发生的概率?

6 例 1: 考察有两个孩子的家庭, 假定男女出生率一样 若已知该家庭至少有一个女孩, 即 B 已发生, 此时该家庭至少有一男一女, 即 发生的概率? 满足条件 B 发生的样本空间 : ( 男, 女, ( 女, 男, ( 女, 女 已知 B 发生的条件下 发生的情况 : ( 男, 女, ( 女, 男 已知 B 发生的条件下 发生的概率为 试验法 P( B = 2/3 公式法 P( B = P(B / P(B = P( / P(B = 2/3 吸收律

7 例 2( 例 1.3.2: 一批零件共 100 件, 其中正品 90 个, 次品 10 个, 从中连续抽取两次, 每次抽取一个, 作不放回抽样 已知第一次取到正品, 求第二次取到正品的概率 解 : 设 为 第一次取到正品,B 为 第二次取到正品 则本问题是求 P(B 由于事件 发生已知, 可知第二次抽取时共有 99 个零件, 其中有 89 个正品 P(B = 89/99 缩减样本空间法

8 思考 : 从一副扑克中 (52 张 依次随机抽取 3 张, 已知其中有一张, 求其中恰有 2 张 的概率

9 例 3( 例 1.3.6: 甲乙两个城市都位于长江下游, 根据 100 多年来的气象记录, 知道一年中的雨天的比例甲市占 20%, 乙市占 18%, 两地同时下雨占 12% 若以事件 记甲市出现雨天, 事件 B 记乙市出现雨天 求已知某市下雨, 另一城市下雨的概率和至少一个城市下雨的概率 解 : 根据已知条件, 有 P( = 0.2 P(B = 0.18 P(B = 0.12 已知甲市下雨时乙市下雨的概率 P(B = P(B / P( = 0.12/0.2 = 0.6 已知乙市下雨时甲市下雨的概率 P( B = P(B / P(B = 0.12/0.18 = 0.67 至少有一个城市下雨的概率 P( B = P( + P(B - P(B = = 0.26

10 条件概率的性质 ( 同概率 (1 非负性 : 对任一事件 B, 有 P(B 0 (2 正规性 : P(Ω = 1 (3 完全可加性 : 若 B 1, B 2, 是两两不相容 ( 互斥 的事件,P( > 0, 则有 (4 对任意事件 B 1, B 2 有 P( B B P( Bi P( Bi i1 i1 1 2 P B1 P B2 P B1 B2 ( ( (

11 条件概率的性质 ( 同概率 (5 P(Ø = 0 (6 互逆 P( B 1 P( B (7 包含 : 如果 B 1 B 2, 则 P(B 1 B 2 = P(B 2 - P(B 1

12 乘法公式 在 P( > 0 的条件下有 P(B = P(P(B 在 P(B > 0 的条件下有 P(B = P(BP( B 广义乘法公式 : 推广到 n( 有限多 个事件的交事件 n P( i P( 1 P( 2 1 P( P( n 1 2 n 1 i1

13 例 4( 例 : 一批零件 100 件, 其中有 5 个次品, 从中每次取出一个零件检测, 检测后不再放回, 连续检测两次 求 : (1 第一次检测是正品的概率 (2 第一次检测到正品后, 第二次检测是正品的概率 (3 两次检测全是正品的概率 (4 第二次检测是正品的概率 解 : 设 为 第一次检测是正品 ; 设 B 为 第二次检测是正品 (1 P( = (2 P(B = 95/100 = /99 = (3 P(B = P(P(B = = (4 P(B = 95/100 = 0.95

14 例 5( 例 1.3.5: 袋中装有同样大小的硬币 10 枚, 其中 7 个面值为 1 角,3 个面值为 5 角, 采用不放回式取样 ( 即每次取一枚, 取后不放回 求下列事件的概率 : (1 第三次才取到面值为 5 角的硬币 (2 前三次至少有一次取到面值为 5 角的硬币 解 : 共取 3 次, 可设 i 为 第 i 次取到面值为 5 角的硬币,i = 1, 2, 3 第三次才取到 5 角的硬币为 前三次中至少有一次取到面值为 5 角的硬币为 (1 根据乘法公式 P( P( 1 P( 2 1 P(

15 例 5( 例 1.3.5: 袋中装有同样大小的硬币 10 枚, 其中 7 个面值为 1 角,3 个面值为 5 角, 采用不放回式取样 ( 即每次取一枚, 取后不放回 求下列事件的概率 : (1 第三次才取到面值为 5 角的硬币 (2 前三次至少有一次取到面值为 5 角的硬币 解 : 共取 3 次, 可设 i 为 第 i 次取到面值为 5 角的硬币,i = 1, 2, 3 前三次中至少有一次取到面值为 5 角的硬币为 (2 根据对偶律 P( 3 1 P( P( 1 P( 2 1 P(

16 例 6( 例 1.3.7:( 鲍耶 (Pólya 模型 袋中盛有 a 只白球和 b 只黑球, 每次从中任取一只, 记下颜色后把原球放回并加入 c 只与刚取到的球同色的球 如此进行 n 次, 求前 m 次都取到黑球 后 n - m 次都取到白球的概率 (m < n 解 : 设 i 为 第 i 次取出黑球 (i = 1, 2,, n 所求事件为 n m m m ( n m m m P 根据广义乘法公式 ( ( ( ( m m P P P P ( ( m m m m m P P ( m n m n P b a b c b a c b c m b a c m b 1 ( 1 ( mc b a a c m b a c a ( 1 c n b a c m n a 1 ( 1 ( 注 : c = 0 即为有放回取球模型 ; c = -1 即为不放回取球模型

17 Pólya György ( George Pólya, 波利亚 ( merican Swiss Hungarian Professor Stanford University ETH Zürich

18 事件的独立性 定义 对事件 与事件 B, 若 P(B = P( P(B 则称 与 B 相互独立

19 事件的独立性 当 与 B 相互独立,P(B = P( P(B 若 P( > 0, 由条件概率可知 P(B = P( P(B 即 P(B = P(B 说明事件 的发生不影响事件 B 发生的概率

20 事件的独立性 定理 若事件 与事件 B 相互独立, 则下列三对事件, B, 分别也相互独立 四对中有一对相互独立, 则其余三对也相互独立 证明 : 只证 " 与 B相互独立 " P( B P( B P( B P( P( B P( P( P( B P( (1 P( B P( P( B 所以 与 B相互独立 实际问题中, 往往从事件的实际关系去分析独立性

21 例 7( 例 1.3.9: 甲 乙两人同时独立向同一目标射击, 已知甲乙击中目标的概率分别为 0.8 和 0.7 求目标被击中的概率 解 : 设 为 甲击中目标 B 为 乙击中目标 C 为 目标被击中 显然, 两人是否击中目标的概率不受对方影响 所以, 与 B 相互独立 解法一 : C = B P(C = P( B = P( + P(B - P(B = P( + P(B - P(P(B = = 0.94

22 例 7( 例 1.3.9: 甲 乙两人同时独立向同一目标射击, 已知甲乙击中目标的概率分别为 0.8 和 0.7 求目标被击中的概率 解 : 设 为 甲击中目标 B 为 乙击中目标 C 为 目标被击中 与 B 相互独立 C = B 解法二 : P( C 1 P( C 1 P( B 1 P( B 1 P( P( B = 1 (1-0.8(1-0.7 = 0.94

23 例 7( 例 1.3.9: 甲 乙两人同时独立向同一目标射击, 已知甲乙击中目标的概率分别为 0.8 和 0.7 求目标被击中的概率 解 : 设 为 甲击中目标 B 为 乙击中目标 C 为 目标被击中 与 B 相互独立 C = B 解法三 : P( C P( B B B P( B P( B P( B P( P( B P( P( B P( P( B = ( ( = 0.94

24 例 8( 例 : 已知 P( > 0, P(B > 0 (1 如果事件 与 B 是互不相容的, 那么它们是否相互独立?(2 反之, 如果事件 与 B 是相互独立的, 那么它们是否互不相容? 解 : (1 如果, B 互不相容, 则 P(B = 0 因 P( > 0, 所以 P(B = P(B / P( = 0 但 P(B > 0, 所以 P(B P(B 由此可见, 事件 与 B 不相互独立 (2 如果 与 B 相互独立, 则 P(B = P(P(B > 0 由此可见, 事件 与 B 不是互不相容的 一般来说, 互不相容与相互独立没有确定性的关系 不可能事件与任意事件相互独立并且互斥 必然事件与任意事件相互独立但不互斥

25 例 8( 例 : 已知 P( > 0, P(B > 0 (1 如果事件 与 B 是互不相容的, 那么它们是否相互独立?(2 反之, 如果事件 与 B 是相互独立的, 那么它们是否互不相容? 如果 P( > 0, P(B = 0 解 : (1 如果, B 互不相容, 则 P(B = 0 因 P( > 0, 所以 P(B = P(B / P( = 0 但 P(B = 0, 所以 P(B = P(B 由此可见, 事件 与 B 相互独立 (2 如果 与 B 相互独立, 则 P(B = P(P(B = 0 由此可见, 事件 与 B 是互不相容的

26 多个事件的独立性 定义 设 B C 为随机事件, 若 P(B=P(P(B P(C=P(P(C P(BC=P(BP(C 则称事件 B C 两两相互独立 定义 设 B C 为随机事件, 若 P(B=P(P(B P(C=P(P(C P(BC=P(BP(C P(BC=P(P(BP(C 则称事件 B C 相互独立

27 事件的独立性定义 设 1, 2,, n (n 2 为 n 个事件, 若 则称 1, 2,, n 相互独立 ( ( ( ( n n P P P P n k j i P P P P k j i k j i 1 ( ( ( ( n j i P P P j i j i 1 ( ( (

28 事件的独立性 定理 若事件 1, 2,, n (n 3 相互独立, 则 (1 它们之中任何 m(2 m n 个事件都相互独立 ; (2 把其中任意 k(1 k n 个事件换成各自的逆事件, 所得到的 n 个事件仍然相互独立 ; (3 n n P( 1 P i1 i i1 i

29 例 9( 例 袋内盛有红球 白球 黑球各一个和红 白 黑三色球一个 现从袋中任取一球, 用 B C 分别表示取到的球上有红色 白色和黑色 解 : P( = 1/2 P(B = 1/2 P(C = 1/2 P(B = 1/4 P(C = 1/4 P(BC = 1/4 P(BC = 1/4 P(B = P(P(B P(C = P(P(C P(BC=P(BP(C P(BC P(P(BP(C 事件 B C 两两独立, 但不相互独立

30 例 10( 例 已知某高射炮连有 6 门高射炮, 在对敌机的射击中每门炮的命中率均为 0.2 如果有一架敌机来犯, 该连 6 门炮同时独立向该敌机射击, 问该敌机被命中的概率是多少? 解 : 设 i 为 第 i 门炮命中敌机,i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 且 P( i = 0.2 根据题意, 1, 2, 3, 4, 5, 6 相互独立 6 6 P( 1 P i1 i i1 i 1 P( 1 P( 2 P( 3 P( 4 P( 5 P( 6 = 1 (0.8 6 = 0.738

31 独立试验及伯努利试验 独立试验 在 n 次试验中, 如果任何一次试验中事件发生的概率不受其他各次试验结果的影响, 则称这 n 次试验为相互独立试验, 简称独立试验. 例如 : 放回式取球 伯努利试验 当一个试验在给定的条件下独立重复 n 次, 且满足 : (1 每次试验只有两个可能的结果 和 (2 每次试验中事件 发生的概率相等,P( = p(0 < p <1 则称这样的试验为 n 重伯努利试验 例如 : 射击 ( 打靶

32 Nicolaus II Bernoulli( 伯努利 ( 瑞士数学家 画于 1723 Professor St. Petersburg cademy

33 n 重伯努利试验 事件 在一次试验中发生的概率为 p, 则 (1 事件 恰发生 k 次的概率为 n! Pn ( k Cn p q p q k!( n k! 其中 q = 1 p, k = 0, 1, 2,, n. k k n k k nk (2 事件 发生的次数介于 k 1 与 k 2 之间的概率为 P( k1 k k2 Pn ( k k 2 k k 1

34 n 重伯努利试验 ( 续 事件 在一次试验中发生的概率为 p, 则 (3 事件 至少发生 r 次的概率为 n r1 P( k r P ( k 1 Pn ( k n k r k 0 (4 特别地, 事件 至少发生一次的概率为 P( k 1 1 (1 p n

35 例 11 ( 例 随机地掷一个骰子, 连掷六次, 求 : (1 恰有一次出现 6 点 的概率 (2 恰有两次出现 6 点 的概率 (3 至少有一次出现 6 点 的概率 解 : 设 为 掷一次骰子出现 6 点, 则 P( = 1/6 连掷 6 次 : 独立重复, 每次出现 6 点或不出现 6 点, 可视为 6 重 Bernoulli 试验,p = 1/6 (1 P 6 (1 = (2 P 6 (2 = 1 5 C ( ( C6 ( ( = = (3 P 6 (k 1 = 1- (1 - p n =1- (1 1/6 6 = 0.665

36 例 12 如果某批产品有 a 件次品和 b 件正品, 采用有放回和不放回抽样方式从中抽 n 件产品, 问正好有 k 件是次品的概率是多少? 解 : 有放回时 从这批产品中有放回抽取 n 个产品的试验为 n 重 Bernoulli 试验 设 为 一次抽样中抽到次品 P( a a b p 在 n 次试验中, 事件 恰好发生 k 次的概率为 k k n k Cn p q a b Cn ( ( a b a b k k n k

37 例 12 如果某批产品有 a 件次品和 b 件正品, 采用有放回和不放回抽样方式从中抽 n 件产品, 问正好有 k 件是次品的概率是多少? 解 : 不放回时 从 a+b 个产品产品中抽取 n 个产品的可能组合为 n Ca b 其中 ( 即次品正好为 k 个 的可能组合为 k nk C a Cb 故所求概率为 C C k a C nk b n ab

38 例 13 一醉汉在漆黑的夜晚开门 共有 n 把钥匙, 其中只有一把能把门打开 醉汉每次随机地取一把钥匙, 即在每次试开时每一把钥匙都等可能地被使用 求醉汉在第 k 次才开门成功的概率 解 : 根据题意, 每次开门为 n 重 Bernoulli 试验 设 i 为 第 i 次开门成功 P( i 1 n p 设 B 为 第 k 次才开门成功, 则 B = 1 2 k1k P B P ( ( 1 2 k 1 k P( P( 2 P( k 1 P( 1 k (1 p k 1 p

39 例 14 在 Bernoulli 试验中, 成功的概率为 p, 求第 k 次试验恰好成功第 r 次的概率 解 : 根据题意, 第 k 次试验恰好成功第 r 次, 即 前 k - 1 次恰有 r - 1 次成功 其概率为 C r 1 r1 ( k 1 ( r1 k 1 p (1 p 前 k - 1 次成功多少次与第 k 次是否成功相互独立故第 k 次试验恰好成功第 r 次的概率为 r1 r1 ( k 1 ( r1 Ck 1 p (1 p p r1 r k r Ck 1 p (1 p

40 例 15( 练 抛一枚均匀骰子, 令 = 出现一点,B = 出现奇数点,C = 出现的点数不超过 4 求:(1 P( B, (2 P(B, (3 P(B C, (4 P( C, (5 P(C B. 解 : : Ω = {1} B: Ω B = {1, 3, 5} C: Ω C = {1, 2, 3, 4} (1 P( B = 1/3 (2 P(B = 1 (3 P(B C = 2/4 = 1/2 (4 P( C = 1/4 (5 P(C B = 2/3

41 例 16( 练 已知 P( = 0.4, P(B = 0.1 求 P(. 解 : P( B 1 - P(B = 1 - P(B/P( = / 0.4 = 3/4

42 例 17( 练 有四个翻译人员独立破译一个密码, 他们各自破译的概率分别为 0.2, 0.25, 0.25, 0.3 求该密码被破译的概率 解 : 设 为 甲翻译人员破译密码, 则 P( = 0.2 设 B 为 乙翻译人员破译密码, 则 P(B = 0.25 设 C 为 丙翻译人员破译密码, 则 P(C = 0.25 设 D 为 丁翻译人员破译密码, 则 P(D = 0.3 设 E 为 该密码被破译的概率 P( E 1 P( E 1 P( B C D 1 P( P( B P( C P( D = 1 (1 0.2 ( ( (1 0.3 = = = 0.685

43 例 18( 练 开始摸球时, 袋中有一个白球与一个黑球, 先从袋中摸一球, 若摸出的是黑球, 试验即中止 ; 如果摸出的是白球, 则除把摸出的白球放回外, 再加进一个白球, 然后再从中摸一球 如此下去, 直至最终摸出黑球时为止 (1 计算取了 n 次球都摸到白球的概率 (2 计算试验在第 n 次摸球后终止的概率 解 : 设 i 为 第 i 次摸到白球,i = 1, 2,, n (1 设 B 为 取了 n 次球都摸到白球的概率 P(B = P( 1 2 n = P( 1 P( 2 P( n n n n n 1 n 1

44 例 18( 练 开始摸球时, 袋中有一个白球与一个黑球, 先从袋中摸一球, 若摸出的是黑球, 试验即中止 ; 如果摸出的是白球, 则除把摸出的白球放回外, 再加进一个白球, 然后再从中摸一球 如此下去, 直至最终摸出黑球时为止 (1 计算取了 n 次球都摸到白球的概率 (2 计算试验在第 n 次摸球后终止的概率 解 : 设 i 为 第 i 次摸到白球,i = 1, 2,, n (2 设 C 为 试验在第 n 次摸球后终止的概率 根据题意 : 第 n 摸到黑球 前 n - 1 次没有终止, 即摸到白球 P( C P( n1 P( P( P(... P( P( n1 n n n 1 1 n n n n 1 n( n 1 n

纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式

纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式 第 1 章随机事件及其概率 纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式 1.2 随机事件的概率 概率的统计意义 频率 设 是随机试验 E 的一个事件, 在 次重复试验 即试验条件完全相同 中, 事件 发生的次数称为事件 在 次重复试验中发生的频数, 记为 r, 称比值 f = r / 为事件 在 次重复试验中发生的频率 显然有 0

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