排列组合

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1 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 基 本 概 念 与 知 识 点 排 列 组 合 加 法 原 理 如 果 完 成 一 件 事 有 类 办 法, 只 要 选 择 其 中 一 类 办 法 中 的 任 何 一 种 方 法, 就 可 以 完 成 这 件 事 ; 若 第 一 类 办 法 中 有 种 不 同 的 方 法, 第 二 类 办 法 中 有 种 不 同 的 方 法 第 类 办 法 中 有 种 不 同 的 办 法, 那 么 完 成 这 件 事 共 有 N 种 不 同 的 方 法 乘 法 原 理 如 果 完 成 一 件 事, 必 须 依 次 连 续 地 完 成 个 步 骤, 这 件 事 才 能 完 成 ; 若 完 成 第 一 个 步 骤 有 种 不 同 的 方 法, 完 成 第 二 个 步 骤 有 种 不 同 的 方 法 完 成 第 个 步 骤 有 种 不 同 的 方 法, 那 么 完 成 这 件 事 共 有 种 不 同 的 方 法 排 列 N () 排 列 的 定 义 : 从 个 不 同 元 素 中, 任 意 取 出 ( ) 个 元 素, 按 照 一 定 顺 序 排 成 一 列, 称 为 从 个 不 同 元 素 中 取 出 个 元 素 的 一 个 排 列 () 排 列 数 : 从 个 不 同 元 素 中 取 出 个 元 素 ( ) 的 所 有 排 列 的 种 数, 称 为 从 个 不 同 元 素 中 取 出 个 不 同 元 素 的 排 列 数, 记 作 P 当 时, 称 为 全 排 列 () 排 列 种 数 公 式 : 规 定 P 0! P ( )( ) ( + ) ( )! P ( )( )! k k P P P ( k ) 组 合 k () 组 合 的 定 义 : 从 个 不 同 元 素 中, 任 意 取 出 ( ) 个 元 素 并 为 一 组, 叫 做 从 个 不 同 元 素 中 取 出 个 元 素 的 一 个 组 合 () 组 合 数 : 从 个 不 同 元 素 中, 取 出 ( ) 个 元 素 的 所 有 组 合 的 个 数, 称 为 从 个 不 同 P

2 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 元 素 中, 取 出 个 不 同 元 素 的 一 个 组 合 数, 记 作 规 定 : 0 ( ) ( + ) ( )! P!( )!! 中 所 反 映 出 的 排 列 与 组 合 数 的 关 系, 也 可 以 表 示 为 P P () 组 合 数 的 性 质 : + + () 常 用 组 合 恒 等 式 : ( 为 偶 数 ) ( 为 奇 数 ) 由 两 恒 等 式 说 明, 式 中 奇 数 项 和 与 偶 数 项 和 的 值 相 等 均 为 ( ) 元 素 可 重 复 的 排 列 从 个 不 同 元 素 中, 每 次 取 出 个 元 素, 其 中 允 许 元 素 重 复 出 现, 再 按 照 一 定 的 顺 序 排 成 一 列, 那 么 第 一, 第 二, 第 位 上 选 取 的 方 法 都 是 个, 所 以 从 个 不 同 元 素 中, 每 次 取 出 个 可 重 复 元 素 的 排 列 种 数 是 个 P N 个 元 素 中 若 有 个 相 同 元 素, 则 这 个 元 素 的 全 排 列 的 种 数 是 P 总 结 与 归 纳 排 列 组 合 是 MB 数 学 的 重 点 和 难 点 之 一, 也 是 进 一 步 学 习 概 率 的 基 础, 事 实 上, 许 多 概 率 问 题 也 归 结 为 排 列 组 合 问 题, 这 一 类 问 题 不 仅 内 容 抽 象, 解 法 灵 活, 而 且 解 题 过 程 极 易 出 现 重 复 和 遗 漏 的 错 误, 这 些 错 误 甚 至 不 容 易 检 查 出 来, 所 以 解 题 时 要 注 意 不 断 积 累 经 验, 总 结 解 题 规 律, 掌 握 若 干 技 巧

3 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 解 答 排 列 组 合 的 问 题, 首 先 必 须 认 真 审 题, 明 确 是 属 于 排 列 问 题 还 是 组 合 问 题, 或 者 属 于 排 列 与 组 合 的 混 合 问 题 其 次, 要 抓 住 问 题 的 本 质 特 征, 灵 活 运 用 基 本 原 理 和 公 式 进 行 分 析 解 答, 同 时, 还 要 注 意 讲 究 一 些 基 本 策 略 和 方 法 和 技 巧, 使 一 些 看 似 复 杂 的 问 题 迎 刃 而 解, 下 面 介 绍 几 种 常 用 的 解 题 技 巧 一 特 殊 元 素 ( 位 置 ) 用 优 先 法 把 有 限 制 条 件 的 元 素 ( 位 置 ) 称 为 特 殊 元 素 ( 位 置 ), 对 于 这 类 问 题 一 般 采 取 特 殊 元 素 ( 位 置 ) 优 先 安 排 的 方 法 对 于 带 有 特 殊 元 素 的 排 列 组 合 问 题, 一 般 应 先 考 虑 元 素, 再 考 虑 其 他 元 素 例 人 站 成 一 横 排, 其 中 甲 不 站 左 端 也 不 站 右 端, 有 多 少 种 不 同 站 法? 分 析 : 解 有 限 制 条 件 的 元 素 ( 位 置 ) 这 类 问 题 常 采 取 特 殊 元 素 ( 位 置 ) 优 先 安 排 的 方 法 解 法 :( 元 素 分 析 法 ) 因 为 甲 不 能 站 左 右 两 端, 故 第 一 步 先 让 甲 排 在 左 右 两 端 之 间 的 任 一 位 置 上, 有 种 站 法 ; 第 二 步 再 让 其 余 的 人 站 在 其 他 个 位 置 上, 有 种 站 法, 故 站 法 共 有 : 80( 种 ) 解 法 :( 位 置 分 析 法 ) 因 为 左 右 两 端 不 站 甲, 故 第 一 步 先 从 甲 以 外 的 个 人 中 任 选 两 人 站 在 左 右 两 端, 有 种, 故 站 法 共 有 : ( 种 ) 种 ; 第 二 步 再 让 剩 余 的 个 人 ( 含 甲 ) 站 在 中 间 个 位 置, 有 80 例 用 0,,,, 这 五 个 数 字, 组 成 没 有 重 复 数 字 的 三 位 数, 其 中 偶 数 共 有 ( ) 个 B0 个 0 个 D0 个 分 析 : 由 于 该 三 位 数 为 偶 数, 故 末 尾 数 字 必 为 偶 数, 又 因 为 0 不 能 排 在 首 位, 故 0 就 是 其 中 的 特 殊 元 素, 应 优 先 安 排 按 0 排 在 末 尾 和 0 不 排 在 末 尾 分 为 两 类 :0 排 在 末 尾 时, 有 个, 0 不 排 在 末 尾 时, 则 有 + 0 个, 选 B 二 相 邻 问 题 用 捆 绑 法 个, 由 分 类 计 数 原 理, 共 有 偶 数 对 于 要 求 某 几 个 元 素 必 须 排 在 一 起 的 问 题, 可 用 捆 绑 法 : 即 将 这 几 个 元 素 看 作 一 个 整 体, 视 为 一 个 元 素, 与 其 他 元 素 进 行 排 列, 然 后 相 邻 元 素 内 部 再 进 行 排 列 例 个 男 生 和 个 女 生 排 成 一 排, 个 女 生 必 须 排 在 一 起, 有 多 少 种 不 同 排 法? 解 : 把 个 女 生 视 为 一 个 元 素, 与 个 男 生 进 行 排 列, 共 有 0 行 排 列, 有 种, 所 以 排 法 共 有 : ( 种 ) 种, 然 后 女 生 内 部 再 进 例 7 人 站 成 一 排 照 相, 要 求 甲, 乙, 丙 三 人 相 邻, 分 别 有 多 少 种 不 同 的 排 法? 分 析 : 把 甲, 乙, 丙 三 人 捆 绑 起 来 看 成 一 个 元 素, 与 其 他 的 人 共 个 元 素 作 全 排 列, 有 种 排 法, 而 甲, 乙, 丙 三 人 之 间 又 有 种 排 法, 根 据 分 步 计 数 原 理, 共 有

4 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ: 种 排 法 三 相 离 问 题 用 插 空 法 元 素 相 离 ( 即 不 相 邻 ) 问 题, 可 以 先 将 其 他 元 素 排 好, 然 后 再 将 不 相 邻 的 元 素 插 入 已 排 好 的 元 素 位 置 之 间 和 两 端 的 空 中 例 7 人 排 成 一 排, 甲 乙 丙 人 互 不 相 邻 有 多 少 种 排 法? 解 : 先 将 其 余 人 排 成 一 排, 有 种, 再 往 人 之 间 及 两 端 的 个 空 位 中 让 甲 乙 0 丙 插 入, 有 种, 所 以 排 法 共 有 : ( 种 ) 四 定 序 问 题 用 除 法 对 于 在 排 列 中, 当 某 些 元 素 次 序 一 定 时, 可 用 此 法 解 题 方 法 是 : 先 将 个 元 素 进 行 全 排 列 有 种, ( ) 个 元 素 的 全 排 列 有 种, 由 于 要 求 个 元 素 次 序 一 定, 因 此 只 能 取 其 中 的 某 一 种 排 法, 可 以 利 用 除 法 起 到 调 序 的 作 用, 即 若 个 元 素 排 成 一 列, 其 中 个 元 素 次 序 一 定, 则 有 种 排 列 方 法 例 由 数 字 0 组 成 没 有 重 复 数 字 的 六 位 数, 其 中 个 位 数 字 小 于 十 位 数 字 的 六 位 数 有 多 少 个? 解 : 不 考 虑 限 制 条 件, 组 成 的 六 位 数 有 以 所 求 的 六 位 数 有 : 00 ( 个 ) 五 分 排 问 题 用 直 排 法 种, 其 中 个 位 与 十 位 上 的 数 字 一 定, 所 对 于 把 几 个 元 素 分 成 若 干 排 的 排 列 问 题, 若 没 有 其 他 特 殊 要 求, 可 采 取 统 一 成 一 排 的 方 法 求 解 种? 例 7 9 个 人 坐 成 三 排, 第 一 排 人, 第 二 排 人, 第 三 排 人, 则 不 同 的 坐 法 共 有 多 少 解 :9 个 人 可 以 在 三 排 中 随 意 就 坐, 无 其 他 限 制 条 件, 所 以 三 排 可 以 看 作 一 排 来 处 理, 9 不 同 的 坐 标 共 有 9 种 六 复 杂 问 题 用 排 除 法 对 于 某 些 比 较 复 杂 的 或 抽 象 的 排 列 问 题, 可 以 采 用 转 化 思 想, 从 问 题 的 反 面 去 考 虑, 先 求 出 无 限 制 条 件 的 方 法 种 数, 然 后 去 掉 不 符 合 条 件 的 方 法 种 数 在 应 用 此 法 时 要 注 意 做 到 不

5 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 重 不 漏 例 8 四 面 体 的 顶 点 和 各 棱 中 点 共 有 0 个 点, 取 其 中 个 不 共 面 的 点, 则 不 同 的 取 法 共 有 ( ) 0 种 B 7 种 种 D 种 解 : 从 0 个 点 中 任 取 个 点 有 0 种 取 法, 其 中 点 共 面 的 情 况 有 三 类 图 () 图 () 图 () 第 一 类, 取 出 的 个 点 位 于 四 面 体 的 同 一 个 面 内, 有 0 种 ; 第 二 类, 取 任 一 条 棱 上 的 个 点 及 该 棱 对 棱 的 中 点, 这 点 共 面, 有 种 ; 第 三 类, 由 中 位 线 构 成 的 平 行 四 边 形 ( 其 两 组 对 边 分 别 平 行 于 四 面 体 相 对 的 两 条 棱 ), 它 的 个 点 共 面, 有 种 以 上 三 类 情 况 不 合 要 求 应 减 掉, 所 以 不 同 的 取 法 共 有 : ( 种 ) 例 9 马 路 上 有 只 路 灯, 为 节 约 用 电 又 不 影 响 正 常 的 照 明, 可 把 其 中 的 三 只 路 灯 关 掉, 但 不 能 同 时 关 掉 相 邻 的 两 只 或 三 只, 也 不 能 关 掉 两 端 的 路 灯, 那 么 满 足 条 件 的 关 灯 方 法 共 有 多 少 种? 分 析 : 关 第 一 只 灯 的 方 法 有 0 种, 关 第 二 只 第 三 只 灯 时 要 分 类 讨 论, 情 况 较 复 杂 若 换 一 个 角 度, 从 反 面 入 手 考 虑, 因 每 一 种 关 灯 的 方 法 对 应 着 一 种 满 足 题 设 条 件 亮 灯 与 暗 灯 的 排 列, 于 是 问 题 就 转 化 为 等 价 的 在 9 只 亮 灯 产 生 的 8 个 空 档 中 插 入 只 暗 灯 问 题, 故 所 求 方 法 种 数 为 8 七 多 元 问 题 用 分 类 法 按 题 目 条 件, 把 符 合 条 件 的 排 列 组 合 问 题 分 成 互 不 重 复 的 若 干 类, 分 别 计 算, 最 后 计 算 总 数 x + by + c 0 例 0 已 知 直 线 中 的,b,c 是 取 自 集 合 {-,-,-,0,,,} 中 的 个 不 同 的 元 素, 并 且 该 直 线 的 倾 斜 角 为 锐 角, 求 符 合 这 些 条 件 的 直 线 的 条 数 解 : 设 倾 斜 角 为 θ, 由 θ 为 锐 角, 得 tθ > 0, 即,b 异 号 b () 若 c0,,b 各 有 种 取 法, 排 除 个 重 复 ( x y 0, x y 0, x y 0 ), 故 有 : -7( 条 ) () 若, 有 种 取 法,b 有 种 取 法, 而 同 时 c 还 有 种 取 法, 且 其 中 任 意 两 c 0 条 直 线 均 不 相 同, 故 这 样 的 直 线 有 : ( 条 )

6 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 从 而 符 合 要 求 的 直 线 共 有 :7+( 条 ) 八 排 列 组 合 综 合 问 题 用 先 选 后 排 的 策 略 处 理 排 列 组 合 综 合 性 问 题 一 般 是 先 选 元 素, 后 排 列 例 将 名 教 师 分 派 到 所 中 学 任 教, 每 所 中 学 至 少 名 教 师, 则 不 同 的 分 派 方 案 共 有 多 少 种? 解 : 可 分 两 步 进 行 : 第 一 步 先 将 名 教 师 分 为 三 组 (,,),(,,),(,,), 共 有 : ( 种 ), 第 二 步 将 这 三 组 教 师 分 派 到 种 中 学 任 教 有 种 方 法 由 分 步 计 数 原 理 得 不 同 的 分 派 方 案 共 有 : ( 种 ) 因 此 共 有 种 方 案 少 种? 符 合 题 意, 因 此 把 这 种 排 法 除 去, 故 有 种 例 个 不 同 的 小 球 放 入 编 号 为,,, 的 四 个 盒 子, 恰 好 有 一 个 空 盒 的 放 法 有 多 分 析 : 因 有 一 个 空 盒, 故 必 有 一 个 盒 子 放 个 球, 第 一 步 先 选 : 从 个 小 球 中 选 出 个 小 球 的 方 法 有 种, 从 个 盒 子 中 选 个 盒 子 的 方 法 有 种, 第 二 步 排 列, 把 选 出 的 个 小 球 看 成 一 个 元 素 与 其 余 的 个 小 球 共 个 元 素, 对 选 出 的 个 盒 子 作 全 排 列 有 种 排 法, 故 所 求 的 放 法 共 有 九 隔 板 模 型 法 种 常 用 于 解 决 整 数 分 解 型 排 列 组 合 的 问 题 例 有 0 个 三 好 学 生 名 额, 分 配 到 个 班, 每 班 至 少 个 名 额, 共 有 多 少 种 不 同 的 分 配 方 案? 解 : 个 班, 可 用 个 隔 板, 将 0 个 名 额 并 排 成 一 排, 名 额 之 间 有 9 个 空, 将 个 隔 板 插 入 9 个 空, 每 一 种 插 法, 对 应 一 种 分 配 方 案, 故 方 案 有 : 9 ( 种 ) 例 方 程 +b+c+d 有 多 少 组 正 整 数 解? 分 析 : 建 立 隔 板 模 型 法 : 将 个 完 全 相 同 的 球 排 成 一 列, 在 它 们 之 间 形 成 的 个 间 隙 中 任 意 插 入 块 隔 板, 把 球 分 成 堆, 而 每 一 种 分 法 所 得 堆 球 的 各 堆 球 的 数 目, 即 为 的 一 组 正 整 数 解, 故 原 方 程 的 正 整 数 的 组 数 共 有 组 十 总 体 淘 汰 法 对 于 含 有 否 定 字 眼 的 问 题, 还 可 以 从 总 体 中 把 不 符 合 要 求 的 除 去, 此 时, 应 注 意 既 不 能 多 减 也 不 能 少 减 例 00 件 产 品 中 有 件 是 次 品, 从 中 任 取 三 件, 其 中 不 全 是 正 品 的 选 法 有 多 少 种? 分 析 : 从 00 件 产 品 中 选 件 产 品 的 选 法 有 00 种, 选 好 后 发 现 件 产 品 都 是 正 品 的 选 法 不

7 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 十 一 小 团 体 问 题 先 整 体 后 局 部 法 对 于 小 团 体 排 列 问 题, 与 相 邻 问 题 相 似, 可 先 将 小 团 体 看 作 一 个 元 素 与 其 它 元 素 排 列, 最 后 再 进 行 小 团 体 内 部 的 排 列 例 7 个 人 站 成 一 排 照 相, 要 求 甲 乙 之 间 恰 好 相 隔 人 的 站 法 有 多 少 种? 分 析 : 甲 乙 及 间 隔 的 人 组 成 一 个 小 团 体, 这 人 可 从 其 余 人 中 任 选 出 来, 有 同 选 法, 这 个 小 团 体 与 其 余 人 共 个 元 素 全 排 列 有 种 不 同 排 法, 中 间 的 人 也 有 90 种 十 二 合 理 分 类 与 准 确 分 布 法 种 方 法, 它 的 内 部 甲 乙 人 有 种 不 种 不 同 排 法, 因 而 符 合 要 求 的 不 同 站 法 共 有 解 含 有 约 束 条 件 的 排 列 组 合 问 题, 应 按 元 素 的 性 质 进 行 分 类, 按 事 件 发 生 的 连 续 过 程 分 步, 做 到 分 类 标 准 明 确, 分 步 层 次 清 晰, 不 重 不 漏 例 7 将 列 火 车 停 放 在 条 不 同 的 轨 道 上, 其 中 列 车 不 停 在 第 一 轨 道 上,b 不 停 在 第 二 条 轨 道 上, 那 么 不 同 的 停 放 方 法 有 多 少 种? 分 析 : 由 题 意, 可 先 安 排 列 车, 并 按 其 进 行 分 类 讨 论 :⑴ 若 列 车 在 第 二 轨 道 上, 则 剩 下 辆 列 车 可 自 由 停 放, 有 种 方 法,⑵ 若 列 车 停 第 三 或 第 四 或 第 五 轨 道 上, 则 根 据 分 布 计 数 原 理 有 种 停 法, 再 用 分 类 计 数 原 理, 不 同 的 停 放 方 法 共 有 + 78 种 例 8 某 帆 船 上 有 0 名 水 手, 他 们 分 别 在 船 左 右 两 侧, 每 侧 人, 其 中 有 名 水 手 只 会 划 左 侧 浆, 名 只 会 划 右 侧 浆, 问 这 些 水 手 不 同 的 安 排 方 法 共 有 的 种 数 为 多 少? 分 析 : 根 据 题 意, 可 根 据 选 的 水 手 中 含 有 这 三 名 特 殊 水 手 的 情 况 分 类 :⑴ 若 被 选 出 的 名 水 手 中 仅 有 名 只 会 右 手 侧 的 水 手, 有 7 右 手 侧 的 水 手 和 只 会 左 手 侧 的 水 手 各 名, 有 7 种 选 法 ;⑵ 若 被 选 出 的 名 水 手 中 有 只 会 种 选 法 ;⑶ 若 被 选 出 的 名 水 手 中 有 只 会 右 手 侧 的 水 手 名 和 只 会 左 手 侧 的 水 手 名, 有 7 种 选 法 ;⑷ 若 被 选 出 的 名 水 手 中 仅 有 只 会 左 手 侧 的 水 手 名, 有 7 种 选 法 ;⑸ 若 被 选 出 的 名 水 手 中 有 只 会 左 手 侧 的 水 手 名, 有 7 种 选 法, 根 据 分 类 计 数 原 理, 不 同 的 选 法 有 种 二 项 式 定 理 二 项 式 定 理 是 多 项 式 乘 幂 定 理 的 最 简 单 的 形 式, 主 要 研 究 ( + b) 的 各 元 素 b 与 其 展 开 式 中 各 项 系 数 指 数 之 间 的 关 系, 以 及 展 开 式 本 身 所 具 有 的 性 质, 我 们 可 以 用 排 列 与 组 合 的 方 法, 真 接 推 导 出 展 开 式 的 任 何 一 项 或 整 体

8 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 0 k k k ( + b) + b + + b + + b + b () k k k 其 中 第 k 项 T b 称 为 通 项 可 以 作 为 公 式 来 使 用 + k+ 式 () 是 一 个 恒 等 式, 即 对 任 何,b 的 取 值, 等 式 恒 成 立 在 式 () 中, 若 令 b 则 得 到 () 0 称 为 展 开 式 中 的 二 项 式 系 数, 式 () 是 个 重 要 公 式, 即 二 项 式 系 数 之 和 等 于 二 项 式 系 数 还 有 如 下 性 质 : () 距 首 末 等 距 离 的 两 项 的 二 项 式 系 数 相 等, 或 称 二 项 式 系 数 具 对 称 性 ; () 二 项 式 系 数 的 奇 数 项 和 等 于 偶 数 项 和 ; () 为 偶 数 时 中 项 值 最 大 ; 为 奇 数 时 双 中 项 等 值 且 最 大 x b 8 例 : ( ) 的 展 开 式 中 的 第 六 项 是 x x () ()- 解 : ( + b ) 故 T 选 D x ( )( ) x 展 开 式 中 等 x 内 容 要 点 : 一 条 件 概 率 的 概 念 k + 项 T k + 8 x k k b ± 概 率 学 初 步 在 解 决 许 多 概 率 问 题 时, 往 往 需 要 在 有 某 些 附 加 信 息 ( 条 件 ) 下 求 事 件 的 概 率 如 在 事 件 发 生 的 条 件 下, 求 事 件 B 发 生 的 条 件 概 率, 记 作 B ) 定 义 设, B 是 两 个 事 件, 且 ) > 0, 则 称 B) P ( B ) ) 为 在 事 件 发 生 的 条 件 下, 事 件 B 的 条 件 概 率 相 应 地, 把 B) 称 为 无 条 件 概 率 一 般 地, P ( B ) B) 注 : 用 维 恩 图 表 达 () 式 若 事 件 已 发 生, 则 为 使 B 也 发 生, 试 验 结 果 必 须 是 既 在 中 又 在 B 中 的 样 本 点, 即 此 点 必 属 于 B 因 已 知 已 发 生, 故 成 为 计 算 条 件 概 率 B ) 新 的 样 本 空 间 计 算 条 件 概 率 有 两 种 方 法 : ) 在 缩 减 的 样 本 空 间 中 求 事 件 B 的 概 率, 就 得 到 B ) ; b) 在 样 本 空 间 S 中, 先 求 事 件 P (B) 和 P (), 再 按 定 义 计 算 B ) () 二 乘 法 公 式 由 条 件 概 率 的 定 义 立 即 得 到 : B) ) B ) ( ) > 0) ()

9 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 注 意 到 B B, 及, B 的 对 称 性 可 得 到 : B) B) B) ( B) > 0) () () 和 () 式 都 称 为 乘 法 公 式, 利 用 它 们 可 计 算 两 个 事 件 同 时 发 生 的 概 率 三 全 概 率 公 式 全 概 率 公 式 是 概 率 论 中 的 一 个 基 本 公 式 它 使 一 个 复 杂 事 件 的 概 率 计 算 问 题, 可 化 为 在 不 同 情 况 或 不 同 原 因 或 不 同 途 径 下 发 生 的 简 单 事 件 的 概 率 的 求 和 问 题 定 理 设,,,, 是 一 个 完 备 事 件 组, 且 P ( ) > 0, i,,, 则 对 任 一 事 件 B, 有 P B) ) B ) + + ) B ) + i ( 注 : 全 概 率 公 式 可 用 于 计 算 较 复 杂 事 件 的 概 率, 公 式 指 出 : 在 复 杂 情 况 下 直 接 计 算 P (B) 不 易 时, 可 根 据 具 体 情 况 构 造 一 组 完 备 事 件 }, 使 事 件 B 发 生 的 概 率 是 各 事 件 { i i ( i,, ) 发 生 条 件 下 引 起 事 件 B 发 生 的 概 率 的 总 和 四 贝 叶 斯 公 式 利 用 全 概 率 公 式, 可 通 过 综 合 分 析 一 事 件 发 生 的 不 同 原 因 情 况 或 途 径 及 其 可 能 性 来 求 得 该 事 件 发 生 的 概 率 下 面 给 出 的 贝 叶 斯 公 式 则 考 虑 与 之 完 全 相 反 的 问 题, 即, 一 事 件 已 经 发 生, 要 考 察 该 事 件 发 生 的 各 种 原 因 情 况 或 途 径 的 可 能 性 例 如, 有 三 个 放 有 不 同 数 量 和 颜 色 的 球 的 箱 子, 现 从 任 一 箱 中 任 意 摸 出 一 球, 发 现 是 红 球, 求 该 球 是 取 自 号 箱 的 概 率 或 问 : 该 球 取 自 哪 号 箱 的 可 能 性 最 大? 定 理 设,,,, 是 一 完 备 事 件 组, 则 对 任 一 事 件 B, B) > 0, 有 i B) i ) B i ) i B), i,,, B) ) B ) j j j 贝 叶 斯 公 式 注 : 公 式 中, P ) 和 i B) 分 别 称 为 原 因 的 验 前 概 率 和 验 后 概 率 )( i,, ) 是 ( i 在 没 有 进 一 步 信 息 ( 不 知 道 事 件 B 是 否 发 生 ) 的 情 况 下 诸 事 件 发 生 的 概 率 当 获 得 新 的 信 息 ( 知 道 B 发 生 ), 人 们 对 诸 事 件 发 生 的 概 率 B) 有 了 新 的 估 计 贝 叶 斯 公 式 从 数 量 上 刻 划 了 这 种 变 化 特 别 地, 若 取, 并 记, 则, 于 是 公 式 成 为 i B) ) B ) B) B) ) B ) + ) B ) 例 : 从 原 点 出 发 的 质 点 向 x 轴 的 正 向 移 动 一 个 和 两 个 坐 标 单 位 的 概 率 分 别 是 点 移 动 个 坐 标 单 位 到 达 点 x 的 概 率 是 ( ) B D E 解 : 分 三 种 情 况 讨 论 i 和 则 该 质

10 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 () 每 次 移 动 一 个 单 位 共 三 次 到 达 点 x, 其 概 率 为 () 先 移 动 一 个 单 位, 后 移 动 二 个 点 位 到 达 点 x, 其 概 率 为 9 () 先 移 动 二 个 单 位, 后 移 动 一 个 点 位 到 达 点 x, 其 概 率 为 所 求 概 率 为 等 可 能 性 事 件 的 概 率 重 点 难 点 : 本 节 的 重 点 是 正 确 理 解 等 可 能 性 事 件 概 率 的 定 义, 能 比 较 正 确 地 计 算 等 可 能 性 事 件 的 概 率 ; 难 点 是 根 据 问 题 的 试 验 方 式 选 取 合 适 的 基 本 事 件 空 间 ; 解 题 的 关 键 是 确 定 基 本 事 件 出 现 的 等 可 能 性 及 相 关 随 机 事 件 包 含 的 基 本 事 件 个 数 等 可 能 性 事 件 的 概 率 : 在 概 率 论 中, 又 称 为 古 典 概 率 它 要 求 所 研 究 的 问 题 必 须 具 有 如 下 两 个 基 本 特 征 :() 随 机 试 验 下 基 本 事 件 空 间 的 元 素 只 有 有 限 个 ;() 每 次 试 验 中 各 个 基 本 事 件 出 现 的 可 能 性 相 同 宏 观 上 讲, 等 可 能 性 事 件 概 率 的 计 算 步 骤 为 : () 以 基 本 事 件 出 现 的 等 可 能 性 为 基 础 构 建 基 本 事 件 空 间 ; () 求 出 基 本 事 件 空 间 中 的 基 本 事 件 总 数 ; () 确 定 事 件 所 包 含 的 基 本 事 件 数 ; () 代 入 公 式 事 件 包 含 的 基 本 事 件 数 rd ( ) p ( ) 试 验 中 基 本 事 件 总 数 rd ( I ) 进 行 计 算 特 别 值 得 注 意 的 是 : 基 本 事 件 出 现 的 等 可 能 性 必 须 努 力 从 试 验 背 景 所 蕴 藏 的 均 匀 性 对 称 性 等 方 面 进 行 确 定, 它 是 解 题 正 确 性 的 重 要 保 证 等 可 能 性 事 件 概 率 的 计 算 方 法 : 一 是 直 接 确 定 基 本 事 件 空 间 的 基 本 事 件 总 数 和 事 件 包 含 的 基 本 事 件 数, 然 后 根 据 公 式 计 算 ; 二 是 斟 酌 题 设 情 形, 先 按 前 法 求 出 有 关 事 件 的 概 率, 然 后 运 用 概 率 的 基 本 性 质, 间 接 地 算 出 p() 通 常, 前 者 称 为 直 接 法, 后 者 则 称 为 间 接 法 无 论 是 直 接 法, 还 是 间 接 法, 解 题 的 关 键 都 在 于 确 定 和 的 数 值 一 般 来 说, 当 基 本 事 件 总 数 较 少 时, 可 用 直 接 法 将 基 本 事 件 空 间 和 事 件 包 含 的 基 本 事 件 一 一 列 举 出 来, 以 确 定 和 ; 当 基 本 事 件 总 数 较 多 或 难 于 直 接 列 举 时, 可 利 用 排 列 组 合 等 数 学 知 识, 通 过 相 应 地 计 算 以 确 定 和 思 路 方 法 : 例 一 袋 中 装 有 大 小 相 同 的 个 黑 球 和 b 个 白 球, 从 中 逐 一 将 它 们 取 出, 求 第 k 次 取 出 的 球 恰 为 黑 球 的 概 率 ( k +b) 解 題 分 析 : 本 题 旨 在 训 练 运 用 公 式 求 相 关 事 件 的 概 率 ; 难 点 在 于 构 建 与 第 k 次 取 出 的 球 恰 为 黑 球 这 一 事 件 相 对 应 的 基 本 事 件 与 基 本 事 件 空 间 ; 解 题 的 关 键 在 于 对 第 k 次 取 出 的 球 恰 为 黑 球 的 认 识 和 处 理 题 设 将 袋 中 球 逐 一 取 出, 应 理 解 为 依 次 取 出, 每 次 一 个, 全 部 取 完 为 止, 其 中 第 k 次 取 出 黑 球 仅 是 逐 一 取 球 中 的 某 一 次 因 此, 若 以 全 部 取 出 球 的 先 后 顺

11 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 序 为 基 础, 将 球 按 同 色 球 有 无 区 别 对 待, 构 建 基 本 事 件 空 间, 不 难 发 现 可 获 得 两 种 解 法 ; 而 从 前 k 次 取 球 为 独 立 的 一 段 及 每 次 取 球 对 球 的 机 会 均 等 性 两 方 面 考 虑 构 建 基 本 事 件 空 间, 则 又 可 获 得 两 种 解 法 解 法 一 : 设 事 件 第 k 次 取 出 的 球 恰 为 黑 球, 将 袋 中 每 个 球 均 视 为 有 区 别, 依 次 对 球 进 行 编 号, 不 妨 黑 球 为,,, 号 ; 白 球 为 +,+,,+b 号 以 全 部 取 得 球 确 定 的 编 号 顺 序 为 一 基 本 事 件, 则 其 基 本 事 件 总 数 相 当 于 +b 个 数 的 全 排 列 即 (+b)!; 而 事 件 包 含 的 基 本 事 件 数 为 (+b-)! 因 此 ( + b )! p ( ) ( + b )! + b 解 法 二 : 视 同 色 球 间 无 区 别, 则 此 时 相 当 于 将 +b 个 格 子 分 成 两 类 基 本 事 件 可 看 成 +b 个 格 子 中 有 个 为 黑 球 所 占 居, 其 中 个 位 置 是 任 意 的, 从 而 基 本 事 件 总 数 为 + b, 事 件 则 可 认 为 在 +b 个 格 子 中 除 第 k 个 位 置 必 放 一 个 黑 球 外, 其 余 在 余 下 的 +b- 个 格 子 中 有 任 意 的 - 个 位 置 放 黑 球, 因 此 事 件 包 含 的 基 本 事 件 数 为 + b 于 是 p ( ) + b + b + b 解 法 三 : 由 于 题 设 关 心 的 是 第 k 次 取 出 的 球 恰 为 黑 球, 因 此 只 需 考 虑 前 k 次 的 取 球, 而 无 需 考 虑 后 面 +b-k 次 的 取 球 对 于 前 k 次 又 可 将 依 次 从 +b 个 球 任 取 k 个 放 在 k 个 位 置 k k 作 为 一 基 本 事 件, 此 时 基 本 事 件 总 数 为 + b ; 而 事 件 包 含 的 基 本 事 件 数 则 为 + b 于 k + b 是 p ( ) k + b + b 解 法 四 : 由 于 每 一 个 球 都 有 同 样 的 可 能 性 被 第 k 次 取 到, 而 只 有 当 个 黑 球 之 一 出 现 时 才 有 事 件 发 生 因 此, 以 第 k 次 取 得 的 效 果 为 基 本 事 件, 此 时 基 本 事 件 总 数 为 +b, 而 事 件 包 含 的 基 本 事 件 数 为 于 是 p( ) + b 解 题 分 析 : 本 题 给 出 的 四 种 解 法, 分 别 来 自 于 基 本 事 件 及 基 本 事 件 空 间 的 不 同 构 建, 这 一 点 需 要 读 者 在 学 习 过 程 中 努 力 掌 握 构 建 了 恰 当 且 比 较 简 洁 的 基 本 事 件 空 间, 能 很 快 且 准 确 地 确 定 对 应 事 件 的 概 率 本 题 的 结 果 亦 表 明, 取 得 黑 球 的 概 率 与 取 球 的 先 后 顺 序 无 关, 这 个 结 论 与 我 们 日 常 生 活 中 的 经 验 是 一 致 的 例 如 : 体 育 比 赛 中 进 行 的 抽 签 对 各 队 的 机 会 均 等, 与 抽 签 的 先 后 次 序 无 关 例 从 双 不 同 尺 码 的 鞋 子 中 任 取 只, 求 只 鞋 子 中 至 少 有 只 配 成 一 双 的 概 率 分 析 : 本 题 旨 在 训 练 用 直 接 法 和 间 接 法 求 只 鞋 子 中 至 少 有 只 配 成 一 双 的 概 率 ; 难 点 在 于 配 成 一 双 的 认 识 和 处 理 ; 解 题 的 关 键 在 于 对 至 少 的 处 理 解 法 一 : 设 事 件 为 只 鞋 子 中 至 少 有 只 配 成 一 双 显 然, 基 本 事 件 总 数 为 从 0 只 鞋 子 中 任 取 只 的 组 合 数 即 0 0 将 事 件 理 解 为 恰 好 配 成 一 双 与 恰 好 配 成 二 双 的 和 事 件, 此 时 事 件 包 含 的 基 本 事 件 数 为 + 0 于 是

12 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 p ( ) 解 法 二 : 设 事 件 为 只 鞋 子 中 至 少 有 只 配 成 一 双, 则 其 对 立 事 件 子 中 没 有 只 配 成 一 双 显 然, 基 本 事 件 总 数 为 0 0 为 只 鞋 而 包 含 的 基 本 事 件 数 理 解 为 先 从 双 中 取 出 双, 然 后 在 每 一 双 中 取 出 一 只 构 成 的 组 合 数 即 所 以 p ( ) 0 于 是 p ( ) p ( ) 例 一 袋 中 装 有 大 小 相 同 的 个 白 球 和 b 个 黑 球, () 从 中 任 取 + 个 球 ( N,, b), 试 求 所 取 出 的 球 恰 有 个 白 球 和 个 黑 球 的 概 率 ; () 从 中 依 次 无 放 回 地 取 出 球, 求 球 依 次 为 黑 白 黑 的 概 率 ; () 从 中 依 次 无 放 回 地 将 球 取 出, 直 至 留 在 袋 中 的 球 均 为 同 一 种 颜 色 为 止, 求 最 后 留 在 袋 中 均 为 白 球 的 概 率 分 析 : 本 题 旨 在 针 对 不 同 的 取 球 方 式, 构 建 恰 当 的 基 本 事 件 空 间, 熟 练 地 计 算 和 相 关 事 件 的 概 率 ; 难 点 在 于 对 取 球 方 式 的 分 类 处 理, 明 确 其 对 应 的 基 本 事 件 ; 解 题 的 关 键 在 于 分 清 取 球 的 先 后 次 序, 合 理 运 用 排 列 组 合 方 法 确 定 对 应 事 件 包 含 的 基 本 事 件 数 解 :( ) 设 事 件 为 取 得 的 + 个 球 中 恰 有 个 白 球 和 个 黑 球 由 题 意, 取 出 的 + 个 球 的 一 个 组 合 为 一 个 基 本 事 件 此 时 基 本 事 件 总 数 为 + + b 事 件 包 含 的 基 本 事 件 数 则 相 当 于 从 个 白 球 中 取 出 个 白 球 与 b 个 黑 球 中 取 出 个 黑 球 的 组 合 数 即 b 是 p ( ) + + b b 于 () 设 事 件 B 为 取 出 的 球 依 次 为 黑 白 黑 则 以 取 出 的 球 的 一 个 排 列 为 基 本 事 件, 其 基 本 事 件 总 数 为 + b 二 位 置 为 白 球 的 排 列 数 即 b 于 是 ; 而 事 件 B 包 含 的 基 本 事 件 数 相 当 于 第 一 三 位 置 为 黑 球, 第 b p( B) b ( b ) ( + b)( + b )( + + b b ) () 设 事 件 为 袋 中 留 下 的 均 为 白 球 此 时 事 件 相 当 于 取 出 b 个 黑 球,i 个 白 球 (i0,,,,-) 的 和 事 件, 它 与 事 件 第 +b 次 取 出 白 球 为 等 价 事 件 于 是 由 例 可 得 p( ) + b 解 题 分 析 : 本 题 () 亦 可 用 下 节 的 互 斥 事 件 有 一 个 发 生 的 概 率 加 法 公 式 进 行 计 算, 此

13 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 处 就 避 而 不 谈 了 例 例 例 是 概 率 论 中 的 理 想 化 模 型, 只 需 将 球 鞋 子 换 为 产 品 中 的 正 ( 次 ) 品, 扑 克 牌 中 的 红 桃 黑 桃, 自 然 数 中 的 奇 数 与 偶 数 等 对 象, 就 可 于 获 得 许 多 不 同 形 式 的 问 题 因 此 次 类 问 题 在 概 率 论 中 也 常 称 为 摸 球 问 题 或 抽 签 问 题 下 面 略 举 几 例, 供 读 者 类 比 研 究 : () 一 批 灯 泡 00 只, 其 中 有 只 坏 的, 现 从 中 任 取 只 检 查 求 : 只 都 是 好 的 的 概 率 ; 只 中 有 只 坏 的 的 概 率 () 在 分 别 标 有,,,7, 的 张 相 同 卡 片 中, 任 意 取 出 张, 求 : 所 得 两 数 构 成 可 约 分 数 的 概 率 ; 所 得 两 数 之 和 为 偶 数 的 概 率 () 一 个 班 级 有 个 男 生 和 个 女 生, 将 全 班 学 生 任 意 分 成 人 数 相 等 的 两 组, 求 : 每 组 中 男 女 生 人 数 相 等 的 概 率 例 将 球 一 个 接 一 个 随 机 地 放 入 个 格 子 中, 并 指 定 其 中 一 个 格 子 ; 当 这 个 指 定 格 子 空 着 时, 放 球 就 继 续, 否 则 放 球 就 停 止, 求 在 第 k 次 球 放 到 此 格 子 里 的 概 率 解 題 分 析 : 本 题 旨 在 用 直 接 法 求 事 件 的 概 率 ; 难 点 是 前 k- 次 放 球 的 随 机 性 ; 解 题 的 关 键 在 于 第 k 次 后 放 球 停 止 即 只 放 了 k 个 球 解 : 因 为 每 个 球 随 机 地 放 入 每 一 个 格 子 且 只 放 了 k 个 球, 所 以 基 本 事 件 总 数 为 k 又 当 第 k 次 球 被 放 入 指 定 格 子 时, 前 k- 次 球 可 在 其 余 - 个 格 子 中 任 意 放 置, 因 此 事 件 第 k 次 把 球 放 入 指 定 格 子 中 所 包 含 的 基 本 事 件 数 为 (-) k- 于 是 p ( ) ( ) k k 解 题 分 析 : 本 题 只 注 重 于 放 球 与 不 放 球 这 一 行 为, 相 当 于 等 待 问 题, 无 须 考 虑 球 与 球 之 间 的 差 别 类 似 的 问 题 有 : 一 个 人 有 把 钥 匙, 其 中 只 有 一 把 能 打 开 某 扇 门 由 于 该 人 事 先 不 知 哪 一 把 能 打 开 门, 所 以 他 随 机 地 用 这 些 钥 匙 去 试 开, 试 完 后 又 放 回, 求 该 人 恰 好 第 k 次 把 门 打 开 的 概 率 例 现 有 个 球, 每 个 都 能 以 同 样 的 概 率 落 入 N 个 格 子 (N ) 的 每 一 个 格 子 中, N 试 求 下 列 事 件 的 概 率 : () 某 指 定 的 个 格 子 中 各 有 一 个 球 ; () B 恰 有 个 格 子, 其 中 各 有 一 球 ; () 某 指 定 格 子 中 恰 有 ( ) 个 球 分 析 : 本 题 旨 在 进 一 步 熟 练 用 直 接 法 求 事 件 的 概 率 ; 解 题 的 难 点 与 关 键 在 于 挖 掘 每 个 球 均 以 同 样 概 率 落 入 每 一 个 格 子 中 的 含 义 : 即 每 球 落 入 任 意 一 个 格 子 是 等 可 能 的, 此 时 每 球 有 N 种 不 同 的 去 向 N 解 : 因 为 个 球 中 的 每 一 个 球 均 以 同 样 的 概 率 落 入 每 一 个 格 子, 所 以 基 本 事 件 总 数 为 () 个 球 落 入 个 事 先 指 定 的 格 子 中, 相 当 于 个 球 的 全 排 列 即 事 件 包 含 的 基 本 事 件 数 为! 于 是 p ( ) N N () 对 于 事 件 B: 个 格 子 可 自 N 个 格 子 中 任 意 选 取, 有 N 种 选 法, 从 而 事 件 B 包 含 的 基 本 事 件 数 为 N!

14 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 N! N! 于 是 p ( B ) N N () 事 件 中 的 个 球, 可 从 个 球 中 任 意 选 取, 有 种 选 法, 其 余 的 - 个 球 可 以 任 意 落 入 另 外 N- 个 格 子 中 去, 有 ( N ) 种 去 向 因 此 事 件 包 含 的 基 本 事 件 数 为 ( N p ( ) ) ( N ) N 于 是 ( ) ( ) N 解 题 分 析 : 由 结 论 ( ) 可 知, 当 和 N 固 定 时,p() 随 的 变 化 而 变 化 若 记 p()p, 由 二 项 式 定 理 有 N 0 P 0 ( ) N ( ) N 此 等 式 的 概 率 意 义 是 显 二 易 见 的 : 因 为 对 于 某 个 指 定 格 子 而 言, 落 入 格 子 中 的 球 数 不 外 是 0,,,,, 但 这 + 种 情 形 的 和 事 件 应 为 必 然 事 件, 所 以 其 概 率 亦 为 N 个 球 落 入 N 个 格 子, 是 又 一 种 理 想 意 义 下 的 概 率 模 型, 常 常 称 为 入 格 问 题 ; 其 研 究 思 路 可 用 来 描 述 许 多 貌 异 质 同 的 问 题 如 : () 生 日 问 题 : 个 人 在 一 年 ( 或 一 周 或 一 月 ) 中 的 生 日 分 布 相 当 于 个 球 放 入 N( 或 N7 或 N) 个 格 子 的 不 同 排 列 ( 假 定 一 年 有 天 即 不 考 虑 闰 年 闰 月 的 情 形 ) () 性 别 问 题 : 个 人 的 性 别 分 布 相 当 于 将 个 球 放 入 N 个 格 子 中 () 掷 骰 子 问 题 : 抛 掷 颗 骰 子, 观 察 点 子 数 相 当 于 把 个 球 放 入 N 个 格 子 中 () 寄 信 问 题 : 将 封 信 投 入 N 只 邮 箱 相 当 于 个 球 放 入 N 个 格 子 中 () 旅 客 到 站 问 题 : 一 列 列 车 中 有 位 旅 客 在 N 个 站 下 车 是 等 可 能 的 情 形 相 当 于 个 球 放 入 N 个 格 子 中 () 住 房 分 配 问 题 : 个 人 进 入 N 个 房 间, 此 时 相 当 于 将 人 当 球 房 间 当 格 子 (7) 印 刷 错 误 问 题 : 个 印 刷 错 误 在 一 本 具 有 N 页 的 书 中 的 一 切 可 能 分 布, 相 当 于 个 球 放 入 N 个 格 子 中 的 一 切 可 能 分 布 ( 必 须 小 于 每 一 页 的 字 数 ) (8) 意 外 事 件 问 题 : 个 意 外 事 件 在 一 周 中 的 分 布, 相 当 于 将 个 球 放 入 N7 个 格 子 中 例 从 0 至 9 十 个 数 字 中 任 取 一 个, 假 定 每 个 数 字 都 以 同 样 的 概 率 被 取 中, 取 后 放 回 先 后 取 出 个 数 试 求 下 列 各 事 件 的 概 率 : () 个 数 字 全 不 相 同 ; ()B 不 含 0 和 ; () 0 恰 好 出 现 四 次 ; () D 取 到 的 最 大 数 恰 好 为 ; () E 0 至 少 出 现 两 次 分 析 : 本 题 旨 在 训 练 返 回 抽 样 中 概 率 的 计 算 ; 解 题 的 难 点 与 关 键 在 于 基 本 事 件 及 公 式 p ( ) 中 的 确 定 解 : 由 题 设 可 知, 每 一 个 事 件 均 具 有 相 同 的 基 本 事 件 空 间, 而 所 有 的 基 本 事 件 相 当 于 0 个 相 异 元 素 允 许 重 复 的 元 排 列, 故 基 本 事 件 总 数 为 0 () 对 于 事 件 : 由 取 出 数 字 的 互 不 相 同 性 和 先 后 次 序 可 知 它 相 当 于 0 个 相 异 元 素

15 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 中 每 次 取 个 相 异 元 素 的 排 列, 即 事 件 包 含 的 基 本 事 件 数 为 0 于 是 p ( ) () 对 于 事 件 B: 由 于 不 含 0 和, 所 以 它 相 当 于 从 余 下 的 8 个 相 异 元 素 中 允 许 重 复 地 取 出 个 数 的 排 列, 即 B 包 含 的 基 本 事 件 数 为 8 于 是 8 p ( B ) 0 0 法 为 () 对 于 事 件 : 由 于 0 恰 好 出 现 四 次, 因 此 次 取 数 中 有 任 意 次 取 到 0, 其 取 种, 而 余 下 的 次 为 每 次 在 剩 下 的 9 个 数 字 中 任 取 一 个, 共 有 9 种 取 法, 于 是 事 件 9 包 含 的 基 本 事 件 数 为 9 由 此 p( ) () 对 于 事 件 D: 取 到 的 最 大 数 恰 好 为, 可 有 下 列 两 种 思 路 确 定 其 解 题 途 径 : 思 路 一 : 将 事 件 D 看 成 取 到 最 大 数 恰 有 次 次 次 这 些 互 斥 事 件 的 和 事 件, 而 取 到 最 大 数 恰 有 k 次 包 含 的 基 本 事 件 数 为 k k k k k k k 为 因 此 p( D ) k, 于 是 事 件 D 包 含 的 基 本 事 件 数 思 路 二 : 将 事 件 D 看 成 最 大 数 不 大 于 的 重 复 排 列 中 剔 除 最 大 数 小 于 的 重 复 排 列, 此 时 事 件 D 包 含 的 基 本 事 件 数 为 - 于 是 p ( D ) () 事 件 E 可 看 成 事 件 0 至 多 出 现 一 次 的 对 立 事 件 因 此 9 + p ( E ) 解 题 分 析 : 例 是 一 种 比 较 典 型 的 返 回 抽 样 问 题, 在 概 率 论 中 常 称 为 随 机 取 数 问 题, 其 解 题 思 想 方 法, 对 于 同 类 问 题 具 有 指 导 作 用 不 过, 在 解 题 过 程 亦 不 能 把 它 作 为 现 成 模 式 套 用, 即 使 同 是 随 机 取 数 问 题, 也 须 斟 酌 题 意, 灵 活 处 理 例 如 下 列 几 个 问 题, 表 面 看 结 构 相 仿, 但 仔 细 分 析 后 可 知, 其 本 质 上 还 是 有 很 大 差 别 的 () 从 0 至 9 这 十 个 数 字 中, 不 放 回 地 任 取 个, 求 由 完 全 不 同 数 字 组 成 五 位 数 的 概 率 () 从 0 至 9 这 十 个 数 字 中, 有 放 回 地 任 取 个, 求 由 完 全 不 同 数 字 组 成 五 位 奇 数 的 概 率 () 某 城 市 电 话 号 码 都 是 7 位 数 码 ( 每 个 数 码 可 从 0 至 9 十 个 数 字 中 任 取 ), 如 果 从 这 个 城 市 的 电 话 号 码 簿 中 任 指 一 个 电 话 号 码, 求 开 始 两 位 都 不 超 过 且 第 三 位 为 的 概 率 例 7 甲 有 + 枚 硬 币, 乙 有 枚 硬 币, 双 方 抛 掷 之 后 进 行 比 较 求 甲 抛 出 的 正 面 比 乙 抛 出 正 面 多 的 概 率 分 析 : 本 题 旨 在 强 化 事 件 等 可 能 性 的 认 识, 非 公 式 的 直 接 运 用 ; 难 点 是 每 个 人 抛 出 的 正 面 与 抛 出 的 反 面 的 机 会 均 等 ; 解 题 的 关 键 是 理 清 事 件 间 的 关 系

16 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 解 : 设 事 件 为 甲 抛 出 的 正 面 比 乙 抛 出 的 正 面 多 显 然 事 件 B 为 甲 抛 出 的 反 面 比 乙 抛 出 的 反 面 多 B, 所 以 p ( ) p ( B ) 又 由 于 每 人 抛 出 正 面 与 抛 出 反 面 的 机 会 均 等, 因 此 p( ) 例 8 甲 乙 两 人 街 头 约 会, 约 定 谁 先 到 后 须 等 待 0 分 钟, 这 时 若 另 一 个 人 还 没 有 来 就 可 离 开 现 在 甲 是 点 半 到 达 的, 假 设 乙 在 点 至 点 內 到 达, 且 在 点 至 点 之 间 何 时 到 达 是 等 可 能 的, 求 甲 乙 能 见 面 的 概 率 分 析 : 本 题 旨 在 认 识 连 续 变 量 下 等 可 能 事 件 概 率 的 计 算 方 法 ; 难 点 在 于 等 待 0 分 钟 在 点 至 点 时 间 段 上 的 处 理, 即 如 何 将 连 续 变 量 下 的 概 率 转 化 为 非 连 续 变 量 下 概 率 的 计 算 ; 解 题 的 关 键 是 构 建 恰 当 的 基 本 事 件 及 判 定 其 等 可 能 性 解 : 设 事 件 为 乙 在 点 至 点 0 分 间 到 达 ; 事 件 B 为 乙 在 点 0 分 至 点 0 分 间 到 达 ; 事 件 为 乙 在 点 0 分 至 点 间 到 达 ; 由 题 设 知, 以 上 三 个 事 件 的 发 生 是 等 可 能 的 且 三 个 事 件 彼 此 之 间 是 互 斥 事 件 并 包 含 了 题 设 的 各 种 可 能 显 然, 发 生 时 甲 乙 不 能 见 面, 只 有 在 B 发 生 时 甲 乙 才 能 见 面 因 此, 甲 乙 见 面 的 概 率 为 解 题 分 析 : 本 题 中, 虽 然 乙 在 点 至 点 间 任 何 时 刻 到 达 的 可 能 性 相 同, 却 不 能 以 乙 到 达 的 可 能 时 刻 作 为 一 基 本 事 件 ; 由 于 那 样, 该 试 验 下 的 所 有 可 能 结 果 即 基 本 事 件 总 数 就 不 是 有 限 个 了, 同 样 甲 乙 两 人 能 见 面 所 包 含 的 基 本 事 件 数 也 不 是 有 限 的, 因 此 就 无 法 用 公 式 p ( ) 计 算 对 应 事 件 的 概 率 了 当 然, 如 本 题 的 解 法 那 样, 对 试 验 的 可 能 结 果 进 行 归 并 处 理, 从 而 构 建 等 价 的 基 本 事 件 即 设 法 转 化 为 古 典 概 型 问 题 还 是 可 解 的, 不 过 在 构 建 等 价 的 基 本 事 件 时 要 注 意 其 彼 此 间 的 互 斥 性 及 出 现 的 等 可 能 性 将 连 续 型 随 机 问 题 通 过 归 并 处 理 转 化 为 古 典 概 型 问 题 从 而 实 现 对 问 题 概 率 的 计 算 固 然 是 一 种 比 较 好 的 数 学 思 路, 但 由 于 在 实 践 中 很 难 做 到 这 一 点 因 此, 人 们 通 过 研 究 概 括 出 连 续 型 等 可 能 性 事 件 发 生 的 概 率 计 算 公 式 : p ( ) 的 测 度 I 的 测 度 其 中 :I 为 基 本 事 件 空 间, 测 度 通 常 指 线 段 的 长 度 平 面 图 形 的 面 积 立 体 图 形 的 体 积 等 读 者 可 从 下 述 问 题 的 解 法 中 了 解 到 上 述 公 式 的 应 用 : 甲 乙 两 人 街 头 约 会, 约 定 谁 先 到 后 等 待 0 分 钟, 这 时 若 另 一 人 还 没 有 来 就 可 离 开 ; 若 甲 乙 两 人 都 是 点 至 点 到 达 且 何 时 到 达 是 等 可 能 的, 求 甲 乙 能 见 面 的 概 率 解 : 设 x y 分 别 表 示 甲 乙 到 达 的 时 刻, 则 两 人 到 达 的 时 间 的 一 切 可 能 结 果 对 应 边 长 为 0 的 正 方 形 内 所 有 点 两 人 能 见 面 的 充 要 条 件 是 x-y 0 所 以 事 件 两 人 能 见 面 对 应 图 中 阴 影 部 分 里 的 一 切 点 因 此 由 上 述 公 式 可 得

17 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 的 面 积 0 0 p ( ) I 的 面 积 0 9 第 三 节 互 斥 事 件 有 一 个 发 生 的 概 率 重 点 难 点 : 本 节 的 重 点 是 进 一 步 理 清 互 斥 事 件 对 立 事 件 的 概 念, 能 比 较 熟 练 地 运 用 互 斥 事 件 有 一 个 发 生 的 概 率 公 式 ( 即 概 率 的 加 法 公 式 ) 计 算 有 关 事 件 的 概 率 ; 难 点 在 于 将 一 个 事 件 分 解 为 几 个 互 斥 事 件 的 和 或 积 ; 解 题 的 关 键 是 正 确 认 识 同 时 至 少 至 多 等 词 语 的 含 义, 熟 练 运 用 集 合 观 点 分 析 处 理 事 件 间 的 关 系 两 个 互 斥 事 件 B 中 至 少 有 一 个 发 生 的 概 率 公 式 : +B))+B) 此 公 式 揭 示 了 互 斥 事 件 的 和 事 件 的 概 率 等 于 各 自 概 率 的 和 这 一 性 质 ; 该 性 质 可 由 概 率 的 统 计 定 义 即 频 率 的 性 质 自 然 推 出 现 简 介 如 下 : 假 设 在 次 随 机 试 验 中 B +B 发 生 的 次 数 分 别 为 B +B, 由 于 与 B 互 斥, 所 以 +B + B ; 从 而 对 应 的 频 率 有 下 列 关 系 : + B + B B + 即 互 斥 事 件 和 事 件 发 生 的 频 率 等 于 互 斥 事 件 各 自 发 生 的 频 率 和 在 数 学 概 括 下 即 得 上 述 概 率 性 质 ; 互 斥 事 件 和 事 件 发 生 的 概 率 公 式 常 称 为 概 率 的 加 法 公 式 上 述 结 论 亦 可 推 广 到 有 限 多 个 互 斥 事 件 的 情 形, 即 若 彼 此 互 斥, 则 ) )+ )+ + ) 对 立 事 件 的 概 率 : 由 于 对 立 事 件 为 互 斥 事 件 的 极 端 情 形 即 + 为 必 然 事 件, 所 以 )+ )+ ) 或 ) ) 和 事 件 发 生 的 概 率 公 式 : 当 B 非 彼 此 互 斥 事 件 时, 其 和 事 件 发 生 的 概 率 亦 有 相 应 的 加 法 公 式 ; 现 列 举 如 下 : +B))+B)-B) 事 实 上, 此 公 式 由 集 合 的 文 氏 图 可 十 分 容 易 地 得 到 思 路 方 法 : 例 判 别 下 列 问 题 下 的 各 对 事 件 的 互 斥 性 与 对 立 性 : 从 000 只 灯 泡 中 任 取 只 检 验 ( 其 中 有 0 只 次 品, 其 余 为 正 品 ) 取 得 () 恰 有 只 次 品 和 恰 有 只 次 品 ; () 至 少 有 只 次 品 和 全 是 次 品 ; () 至 少 有 只 正 品 和 至 少 有 只 次 品 ; () 至 少 有 只 次 品 和 全 是 正 品 分 析 : 本 题 旨 在 强 化 对 互 斥 事 件 与 对 立 事 件 概 念 的 认 识 ; 解 题 的 难 点 与 关 键 是 理 清 问 题 中 相 关 词 语 的 含 义 与 事 件 间 的 相 互 关 系 解 :( ) 由 于 题 设 试 验 下 的 基 本 事 件 相 当 于 从 000 只 灯 泡 中 任 取 只 的 一 个 组 合, 它 可 能 全 是 正 品, 亦 可 能 是 其 它 情 形, 现 在 恰 有 只 次 品 和 恰 有 只 次 品 仅 是 其 中 的 两

18 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 种 情 形 且 在 一 次 试 验 下 是 不 可 能 同 时 出 现 的, 因 此 它 们 是 互 斥 事 件 但 非 对 立 事 件 () 由 () 知, 至 少 有 只 次 品 包 含 了 全 是 次 品 的 情 况, 在 一 次 试 验 中 是 可 以 同 时 发 生 的, 因 此 它 们 不 是 互 斥 事 件 更 不 是 对 立 事 件 () 由 () 知, 至 少 有 只 正 品 是 恰 有 只 正 品 恰 有 只 正 品 恰 有 只 正 品 的 和 事 件 ; 类 似 地, 至 少 有 只 次 品 是 恰 有 只 次 品 恰 有 只 次 品 恰 有 只 次 品 的 和 事 件 于 是, 它 们 在 同 一 次 试 验 中 是 可 以 同 时 发 生 的, 因 此 它 们 既 不 是 互 斥 事 件 也 不 是 对 立 事 件 () 由 () 知, 两 事 件 不 可 能 同 时 发 生 且 其 和 事 件 构 成 必 然 事 件 因 此 它 们 不 仅 是 互 斥 事 件 更 是 对 立 事 件 解 题 分 析 : 本 题 表 明, 在 明 确 的 基 本 事 件 空 间 下 正 确 运 用 集 合 观 念 能 很 好 地 处 理 各 事 件 间 的 关 系 例 从 0 至 9 十 个 数 字 中, 任 取 四 个 数 字 组 成 没 有 重 复 数 字 的 四 位 数 码, 求 组 成 的 四 位 数 码 为 大 于 8 的 四 位 数 的 概 率 分 析 : 本 题 旨 在 认 识 如 何 用 概 率 的 加 法 公 式 求 事 件 的 概 率 ; 解 题 的 难 点 与 关 键 是 认 识 大 于 一 词 的 含 义 并 由 此 将 题 设 事 件 分 成 若 干 互 斥 事 件 的 和 解 : 由 题 设 知, 其 基 本 事 件 相 当 于 从 0 个 不 同 元 素 中 取 个 不 同 元 素 的 排 列 且 每 一 基 本 事 件 的 出 现 是 等 可 能 的 因 此 对 应 的 基 本 事 件 总 数 为 0 设 事 件 为 组 成 的 四 位 数 大 于 8, 事 件 为 千 位 数 字 大 于 的 四 位 数, 事 件 为 千 位 为, 百 位 大 于 的 四 位 数, 事 件 为 千 位 为 百 位 为, 十 位 大 于 的 四 位 数, 事 件 为 千 位 为 百 位 为 十 位 为, 个 位 大 于 8 的 四 位 数 显 然 两 两 互 斥 且 由 于 9 ) 0 7 ) ) ) 所 以 ) ) )+ )+ )+ ) 解 题 分 析 : 该 题 以 四 位 数 的 千 百 十 个 位 为 切 入 点 将 一 个 复 杂 事 件 分 解 为 若 干 互 斥 事 件 的 和, 体 现 了 数 学 中 重 要 的 分 类 讨 论 与 化 难 为 易 的 思 想 切 入 点 与 基 本 事 件 出 现 的 等 可 能 性 的 确 定 是 解 决 此 类 问 题 的 关 键 若 将 题 中 四 位 数 码 改 成 四 位 数 是 否 可 同 法 解 之? 为 什 么? 例 向 假 设 的 三 个 相 邻 的 军 火 库 随 机 地 投 掷 一 枚 炸 弹, 炸 中 第 一 个 军 火 库 的 概 率 为 00, 炸 中 第 二 个 军 火 库 的 概 率 为 0, 炸 中 第 三 个 军 火 库 的 概 率 为 0, 求 炸 毁 军 火 库 的 概 率 分 析 : 本 题 旨 在 进 一 步 熟 悉 互 斥 事 件 下 概 率 加 法 公 式 的 运 用 ; 解 题 的 关 键 是 互 一 枚 炸 弹 最 多 只 能 炸 中 一 个 军 火 库

19 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 解 : 设 事 件 为 炸 毁 军 火 库, 事 件 i 为 炸 中 第 I 个 军 火 库 (i,,) 显 然 彼 此 互 斥 且 + + 由 于 )00 )0 )0 所 以 ) + + ) )+ )+ ) 即 炸 毁 军 火 库 的 概 率 为 0 概 率 例 若 x i (i,,,) 能 以 同 样 的 概 率 取 得 0 和 两 数, 求 事 件 x +x +x +x 的 分 析 : 本 题 旨 在 熟 练 概 率 加 法 公 式 的 运 用 ; 解 题 的 难 点 与 关 键 是 抓 住 将 题 设 事 件 分 解 为 若 干 互 斥 事 件 的 和 解 : 由 于 x i 可 随 机 地 取 得 0 和, 所 以 问 题 对 应 的 基 本 事 件 为 从 0 中 有 放 回 地 取 出 四 个 元 素 的 可 重 复 排 列 即 基 本 事 件 总 数 为 若 记 事 件 为 x +x +x +x, 事 件 为 x +x +x +x, 事 件 为 x +x +x +x, 事 件 为 x +x +x +x ; 则 彼 此 互 斥 且 + + 由 于 ) 8 ) ) 于 是 ) )+ )+ ) 解 题 分 析 : 本 题 还 可 从 事 件 的 对 立 角 度 分 析 确 定 其 解 题 途 径 现 简 解 如 下 : 事 件 B 为 x +x +x +x, 事 件 B 为 x +x +x +x 0, 则 B 与 B 互 斥 且 B + B 而 ) B ) + B ) + 于 是 ) ) 将 两 种 解 法 试 加 比 较 后 可 知, 运 用 对 立 事 件 的 概 率 公 式 有 时 可 简 化 概 率 的 计 算 另 外, 本 题 还 可 作 为 有 放 回 摸 球 同 时 抛 掷 几 枚 硬 币 骰 子 等 等 可 能 性 事 件 概 率 的 数 量 刻 划 读 者 可 自 行 设 计 一 些 问 题, 用 同 法 尝 试 解 之 例 现 有 某 电 子 元 件 0 个, 其 中 一 级 品 个, 二 级 品 个, 若 从 中 任 取 个, 求 至 少 有 一 个 二 级 品 的 概 率 分 析 : 本 题 中 的 基 本 事 件 相 当 于 从 0 不 同 元 素 中 取 个 不 同 元 素 的 组 合 ; 其 中 至 少 取 得 一 个 二 级 品 可 理 解 为 恰 有 一 个 二 级 品 恰 有 二 个 二 级 品 恰 有 三 个 二 级 品 中 之 一 发 生, 因 此 可 用 加 法 案 公 式 解 之 当 然 也 可 作 为 没 有 二 级 品 的 对 立 事 件, 利 用 对 立 事 件 的 概 率 公 式 求 解 ; 比 较 后 可 知, 后 者 较 简 单 解 : 设 事 件 为 至 少 取 得 一 个 二 级 品, 则 事 件 为 没 有 取 得 二 级 品

20 华 慧 教 育 : 让 天 下 没 有 难 学 的 学 问 电 话 : QQ:887 而 P ( ) 0 于 是 ) ) 07 0 例 袋 中 装 有 红 球 和 白 球 共 0 个, 从 中 任 取 个, 求 袋 中 有 几 个 红 球 时, 取 得 的 球 均 为 同 色 球 的 概 率 最 小 分 析 : 这 是 一 道 以 函 数 为 基 础 的 概 率 题 可 通 过 假 设 红 球 个 数, 确 定 出 球 为 同 色 球 的 概 率, 然 后 再 用 函 数 方 法 求 其 最 小 值 并 获 得 问 题 的 解 决 解 : 设 袋 中 装 有 x 个 红 球,(0-x) 个 白 球 ( 其 中 :x N) 且 事 件 为 取 得 的 球 为 同 色, 事 件 为 取 得 的 球 均 为 红 色, 事 件 为 取 得 的 球 均 为 白 色, 显 然 互 斥 且 +, 由 于 x ) 0 x( x )( x ) ) x 0 (0 x)(9 x)(8 x) 所 以 ) )+ ) x( x )( x ) + (0 x)(9 x)(8 x) ( x 0x) 0 + [( x ) ] 0 因 此, 当 x 时,) 最 小 且 P i () 98 解 题 分 析 : 此 题 表 明, 解 答 有 关 概 率 问 题 不 仅 需 要 坚 实 的 排 列 组 合 知 识, 而 且 还 需 具 备 函 数 等 其 它 数 学 知 识 ; 只 有 在 掌 握 了 正 确 的 思 维 方 法 之 后, 才 能 客 观 地 有 效 地 解 决 问 题