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辛奚
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1 概率统计中的反例前言第一章随机事件及其概率. 同一问题的概型未必唯一. 事件间的关系由 A B C 推不出 A B C 由 A B C 推不出 A B C 3 A BC AU B C 3. 概率为零的事件未必是不可能的事件 4. 由概率关系推不出事件间关系 5. 试验次数多概率就一定大吗? 6. 概率与抽样方式是否有关 7. 事件概率与试验的先后次序是否有关第二章随机变量极其分布. 离散型分布的最可能值是否唯一. 单调不降右连续是分布函数的必要而非充分条件 3. 既非离散型又非连续型的分布函数是否存在 4. 具有无记忆性的离散型分布是否存在 5. 不几乎相等的随机变量是否有相同的分布 6. 联合分布与其边缘分布未必是同类型分布 7. 边缘分布不能决定联合分布 8. 不同的联合分布可具有相同的边缘分布 9. 正态边缘分布可由非正态联合分布导出. 均匀分布不具有可加性. 分布函数之和不是分布函数第三章独立性与相关性相容性. 两两独立但不相互独立. PABCPAPBPC 成立但 ABC 不两两独立 3. 独立关系不具有传递性 4. 随机变量不独立但其函数可以独立 5. 与不独立但与独立 6. 与不独立但有相同分布 7. 既不相关也不独立的随机变量 8. 随机变量独立但它们的函数未必独立 9. 独立性与相容性. 独立同分布的随机变量是否必相等. 有函数关系的随机变量是否一定不独立

既非离散型又非连续型的分布函数是否存在 4. 具有无记忆性的离散型分布是否存在 5. 不几乎相等的随机变量是否有相同的分布 6. 联合分布与其边缘分布未必是同类型分布 7. 边缘分布不能决定联合分布 8.

2 第四章随机变量的数字特征. 随机变量的数学期望未必都存在. 随机变量的方差未必都存在 3. 数学期望存在但方差不存在 4. 的函数的期望是否等于的期望的函数 5. 的各阶矩都存在也不能确定的分布函数 6. 满足的未必独立第五章参数估计与假设检验. 矩估计是否有唯一性. 矩估计不具有不变性 3. 极大似然估计是否有唯一性 4. 似然方程的解未必是极大似然估计 5. 参数估计的无偏性与一致性有无关系 6. 无偏估计是否唯一 7. 零假设与备择假设是否处于对等的地位

满足的未必独立第五章参数估计与假设检验. 矩估计是否有唯一性. 矩估计不具有不变性 3.

3 前言数学是由两个大类证明和反例组成数学发现主要是提出证明和构造反例从科学性来讲反例就是推翻错误命题的有效手段从教学上而言反例能够加深对正确结论的全面理解美 B.R. 盖尔鲍姆曾说一个数学问题用一个反例予以解决给人的刺激犹如一出好的戏剧相信读了概率统计中的反例后我们大家都会有这一同感

4 第一章随机事件及其概率. 同一问题的概型未必唯一概型 Schema 是随机现象的数学形式它不是实际本身而是实际的数学抽象对于现实世界中的随机现象要想进入数学理论的研究首先必须确定其概型由于我们的认识水平以及现实问题的复杂性使得所选定的概型往往不是唯一的概率论中著名的个球在个盒子中的分布问题见王梓坤概率论基础及其应用 P-3 科学出版社就说明了这一情况这是一个典型概型的问题内容是 : 设有 r 个球每个都能以相同概率 / 落到个盒子 >r 的每一个盒子中求指定的某 r 个盒子中各有一个球的概率如果我们把 r 各球视作 r 个人而把个盒子视为一年的天数 :365. 这时上述问题就成为了概率论中一个颇为著名问题的概型此问题是求参加某次集会的几个人中没有个人生日相同的概率众所周知关于球彼此间可以认为是有区别也可以认为无区别 ; 一个盒子可以假定仅能容纳一个球也可以允许它能容纳许多球如此一来就可以分为以下几种概型 : 马克斯威尔 - 波尔茨曼认为球彼此之间有区别且对每盒中可容纳球数不加限制 ; 玻色 - 爱因斯坦认为球彼此不能区别且对每盒中可容纳球数不加限制 ; 3 费密 - 狄雷克认为球彼此无区别且限制每盒中不能同时容纳二个球后来为了统一以上三种情况又产生了第四种情况 4 布里龙认为球彼此可以区别且增加了一些其他条件限制见杨宗磐概率论入门 P.3 科学出版社以上四种情况形成了统计物理学中的四种统计 : 球可看作为质点盒子看作状态再看一例 : 个人围成一个圆周求其中甲乙两人之间恰有 r<- 个人的概率圆周排列时仅考虑从甲到乙的顺时针方向对此问题至少可找到三种概型来处理即可以构造如下的三种随机试验 : 个人的任意一种排列作为一个基本事件 ; 仅以甲乙两人在个人一行中的不同排法作为基本事件组 ; 3 可由甲与乙之间的间隔数来考虑不论取何种概型本题的求概率均为 /-.. 事件间的关系. 由 A B C 推不出 A B C 事实上令 A{34}B{35} 于是 CA-B{4} 而 B C { 345 } A 注 : 但 A B 时能由 A B C. 由 A B C 推不出 A B C A B C

概型往往不是唯一的概率论中著名的个球在个盒子中的分布问题见王梓坤概率论基础及其应用 P-3 科学出版社就说明了这一情况这是一个典型概型的问题内容是 : 设有 r 个球每个都能以相同概率 / 落到个盒子 >r 的每一个盒子中

5 令 A{35}B{}C{35} 则 A B C 但 A B { 35} C 注 : 当 B A C A 且 BC Φ 时可由 A B C AB C 3. 一般 A BC A B C 令 A{}B{3}C{} 则 A BC {3} {3} A B C 注 : 当 AC φ 时 3. 概率为零的事件未必是不可能事件 A BC A B C 不可能事件的概率必为零反之却未必成立当考虑的概型为古典概型时概型为零的事件一定是不可能事件当考虑的概型是几何概型时概型为零的事件未必是一个不可能事件例如 : 设试验为随机地向边长为的正方形内投点事件 A 为点投在正方形的一条对角线上见图 B O 此时 Ω { y < y< } A { y < y< } 线段 OB的面积尽管 P A 正方形的面积但 A 却可能发生另外对于连续性随机变量它在某固定点取值的概率为零但它不是不可能发生发生上述情形的原因在于概率是一个测度有测度为的不可数集存在并且对于连续函数来说在一点处的积分为零由对立事件知概率为的事件未必是必然事件 4. 由概率关系推不出事件间关系概率中有这样的性质 : 若事件 AB 有关系 P A P B 反之却不真例如 : A B 则其相应的概率关系是

验为随机地向边长为的正方形内投点事件 A 为点投在正方形的一条对角线上见图 B O 此时 Ω { y < y< } A { y < y< } 线段 OB的面积尽管 P A 正方形的面积但 A 却可能发生另外对于连续性随机变量它在某固定点取值的概率为零但

6 设 PA.PB. P A B. 此时 A B 不成立事实上由 P A B P A P B P AB 得出 PAB.. 于是 P AAB P A P AB 由问题 3 这意味着可有 5. 试验次数多概率就一定大吗 A AB φ 从而未必有 A B 在概率论的萌芽时期有一个著名的 Chevaler de Were 问题 : 一颗骰子掷 4 次至少得一个点与两颗骰子掷 4 次至少得两个点这两个事件究竟哪个概率大? 曾引起很多人的注意现在看来利用独立试验概型容易求出它们的概率次独立重复试验中事件 A 至少发生一次的概率为 p 其中 p PA lg 现考虑欲使 p 则此式给出了的下界使问题得 lg p 以解决以掷一颗骰子作试验要连续掷次使点至少出现一次的概率大于等于 / 则以掷两颗骰子作试验要连续掷次使两个点至少出现一次的概率大于等于 / 则由此得出一颗骰子掷 4 次至少有一个点的概率大于等于 / 而两颗骰子掷 4 次至少有一次得两个点的概率小于 /. 本例说明试验次数很多但概率不一定大 6. 概率与抽样方式是否有关一般所求事件的概率与抽样方式有关常见的有放回抽样与不放回抽样两种前者指同一个体可被重复抽取后者指已被抽取的个体不再参与下一此抽样每一个体至多被抽到一次例如有件产品其中有 m 件次品现随机抽取 l 件产品求其中恰有 k 件次品的概率在抽样方式未定的情况下此概率是不唯一的事实上 : k m k m lk 若取放回抽样所求概率 p Cl k lk CmCm 若取不放回抽样所求概率 p l C 显然 p p k Lm m l 分别称为二项分布与超几何分布当时即二项分布是超几何分布的极限分布由此得出如下结论 : 对于样本点个数较小的总体在放回抽样与不放回抽样的场合事件的概率会有较大的差别当总体中样本点个数很大样本容量不大时

曾引起很多人的注意现在看来利用独立试验概型容易求出它们的概率次独立重复试验中事件 A 至少发生一次的概率为 p 其中 p PA lg 现考虑欲使 p 则此式给出了的下界使问题得 lg p 以解决以掷一颗骰子作试验要连续掷次使点至

7 这两种抽样方式对所求事件的概率实际上影响不大 7. 事件概率与试验的先后次序是否有关设有一口袋内有 a 只黑球 b 只白球他们除颜色不同外没有其它不同之处现把球一只只地摸出求第 k 次摸出的是黑球的概率 k a b. 初看题目很可能会认为所求概率与摸球次序有关若那样的话体育比赛中先后抽签者中签的机会就不均等了这与我们日常生活中的经验不符通过具体计算亦可看出所求概率与摸球次序无关按自然顺序给球编号不妨先给黑球编号再给白球编号取样空间为第 k 次摸出的球的全部可能的结果则 Ω } ω 表示第 k 次摸出第 I 号球 ω ω L ω { a b L a b 于是要求的是事件 A ω ω L ω } 的概率由古典概率 { a a P A PA 显然与 k 有关 a b 本题可用多种方法求解这里介绍的是最简单的一种本题存在多种解法的原因在于一个随机现象有时可用不同的样本空间来描述所以称本解法是最简单的因为解法中的样本空间是最小的第二章随机变量及其分布. 离散型分布的最可能值是否唯一离散型分布的最可能值指的是该随机变量取值中那些使概率达到最大的值即若任意一个离散型分布 p p L L p L 若 p sup L L L k p p p 则称为此分布的最可能值 k. 一般离散型分布的最可能值不唯一比如 : 二项分布 Bp 中当 p 为. 非负整数时恰有两个最可能值 : p 与 p. 如二项分布 B8/3 其最可能值为 k 或 3. 可以证明任何离散型分布的最可能值一定存在而且至少有一个证明见王梓坤概率论基础及其应用科学出版社

白球编号取样空间为第 k 次摸出的球的全部可能的结果则 Ω } ω 表示第 k 次摸出第 I 号球 ω ω L ω { a b L a b 于是要求的是事件 A ω ω L ω } 的概率由古典概率 { a a P A PA 显然与 k 有关 a b 本题可用多种方法求解这里介绍

8 . 单调不降右连续是分布函数的必要条件分布函数一定是单调不降右连续的函数反之命题不成立例如取 < F < F 显然是调调不降函数且右连续可是 F 所以 F 不可能是某个随机变量的分布函数因为只有当一个函数满足单调不见非负有界 F F 且右连续或左连续时才能成为某个随机变量的分布函数 3. 既非离散型又非连续型的分布函数是否存在如果一个分布函数 F 是连续的并且其导函数几乎处处等于零关于勒贝格测度而言则称 F 为奇异型分布函数如果随机变量的分布函数是奇异型的则称为奇异型随机变量任何一个奇异型的分布函数都是一个既非离散型又非连续型的分布函数有没有非奇异型的分布函数属于既非离散型又非连续型的分布函数? < 有请看下例 : 设 F < 由分布函数的定义又知 F 是 ' 分布函数又 F 故 F 不是奇异型的分布函数与 F 对应的随机变量不是取有限个或可列多个值故 F 不是离散型的分布函数又 ' d F d 故 F 也不是连续的分布函数 4. 具有无记忆性的离散型分布是否存在 d 设随机变量服从某个分布若它满足 P > s t > s P > t 则称概分布具有无记忆性对于连续型分布来说指数分布是唯一的具有无记忆性的证明可见复旦大学概率论人们教育出版社 P.5-6 在可靠性问题中把理解为某元件的寿命则无记忆

既非离散型又非连续型的分布函数是否存在如果一个分布函数 F 是连续的并且其导函数几乎处处等于零关于勒贝格测度而言则称 F 为奇异型分布函数如果随机变量的分布函数是奇异型的则称为奇异型随机变量任何一个奇异型的分

9 性表示某元件的寿命如果已知大于 5 年则其寿命再延长七年的概率与年令无关具有无记忆性的离散型分布也是存在且唯一的那就是几何分布 P k p p k k L 几何分布是一种等待分布例如在事件 A 发生的概率为 p 的贝努里试验之中 A 首次出现时的等待次数的分布为几何分布 5. 不几乎相等的随机变量是否有相同的分布若两个随机变量满足 P 则称与几乎相等可以证明 : 几乎相等的随机变量具有相同的分布反之都不成立例如设与具有相同的分布并设与相互独立据此可算得 P 从而 P 即与不几乎相等所以不几乎相等得随机变量可以有相同的分布 6. 联合分布与其边缘分布未必是同类型分布我们知道二维正态分布的边缘分布仍为正态分布多项分布的边缘分布亦为多项分布那么联合分布与边缘分布是否都是为同类型分布呢? 答案是否定的例如二维均匀分布的边缘分布可以仍是均匀分布也可以不是均匀分布边与坐标轴平行的矩形域上的二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布而圆域上的二维均匀分布的边缘分布不再是均匀分布 7. 边缘分布不能决定联合分布一般边缘分布由联合分布所决定反之不真 µ µ ρ µ µ 例如 : ~ N ; ; 则有 ~ N ~ N µ µ 反之已知 ~ N ~ N 却得不出一定是二维 µ 正态分布的结论若添加与相互独立的条件则可得 ~ N ; ; 除连续型分布外还可举出离散型分布的例子 µ

不几乎相等的随机变量是否有相同的分布若两个随机变量满足 P 则称与几乎相等可以证明 : 几乎相等的随机变量具有相同的分布反之都不成立例如设与具有相同的分布并设与相互独立据此可算得 P 从而 P 即与不几乎相等所以不几

10 8. 不同的联合分布可具有相同的边缘分布如下二个相异的联合分布 :....5 它们的边缘分布完全相同 P.3.7 P.3.7 由此可见边缘分布由联合分布唯一决定反之不成立除离散型分布外还可举出连续型分布的例子 9. 正态边缘分布可由非正态联合分布导出正态分布具有许多好的性质其中之一是 : 二维正态分布的边缘分布仍是正态分布反之两边缘分布都是正态分布起联合分布未必是正态分布例如 : y 设 ~ y e ssy < y< π 则 y dy e < < π y y y d e < π y< 即 ~N. ~N. 显然并不服从联合正态分布. 均匀分布不具有可加性若独立同分布的两随机变量之和仍服从原分布则称该分布具有可加性可以证明二项分布泊松 Posso 分布正态分布均具有可加性而均匀分布不具有这个性质设相互独立且都服从 ab 上的均匀分布令 Z 则 Z 的密度函数为 :

正态边缘分布可由非正态联合分布导出正态分布具有许多好的性质其中之一是 : 二维正态分布的边缘分布仍是正态分布反之两边缘分布都是正态分布起联合分布未必是正态分布例如 : y

11 Z a Z ba bz ba Z < a Z b az < a b a bz < b 可见 Z 服从辛卜生 Smpso 分布不再是均匀分布. 分布函数之和不是分布函数设 FG 均为分布函数其和 H F G 显然不是分布函数因为此时 H F G 若令 J α F βg 当非负实数满足 α β 时 J 可作为某随机变量的分布函数证明见王梓坤概率论基础及其应用 P46 顺便指出 : 分布函数之积必是分布函数. 第三章独立性与相关性相容性. 两两独立但不相互独立例设有一个均匀的正四面体第一二三面分别涂上红黄兰一种颜色第四面涂上红黄兰三种颜色现以 ABC 分别记投一次四面体底面出现红黄兰颜色的事件则 P A P B P C P AB P AC P BC 4 所以 ABC 两两独立但 P ABC P A P B P C 4 8 因而 ABC 不相互独立例设有四张形状大小质量完全一样的卡片上面分别标有数字现从四张卡片中任抽一张以随机变量 Z 分别表示抽到卡片上的第一二三位数字则 P P P P Z P Z P Z 4 所以 Z 两两独立但 P Z P P P Z 8

12 因而 Z 不相互独立. PABCPAPBPC 成立但 ABC 不两两独立. 设有一均匀正八面体其第 34 面涂有红色第 35 面图黄色第 678 面涂兰色现以 ABC 分别表示投一次正八面体底面出现红黄兰颜色的事件则 P A P B P C P ABC 8 P A P B P C 3 但是 P AB P A P B 8 4 P AC P A P C 8 4 P BC P B P C 8 4 所以 ABC 不两两独立 3. 独立关系不具有传递性设三事件 ABC 若由 A 与 B 独立且 B 与 C 独立得到 A 与 C 独立我们就称 ABC 的独立关系具有传递性考虑有两个孩子和家庭全体假定生男生女是等可能的因而样本空间 Ω { b b b g g b g g} 其中 b 为男孩 g 为女孩每一对里的次序是指出生的次序. 现在从全体有两个孩子的家庭中随机地选择一个家庭并考虑下面三个事件 : A 为第一个孩子是男孩 B 为两个孩子不同性别 C 为第一个孩子是女孩则有 AB { b g} BC { g b} AC Φ P AB P A P B P BC P B P C 4 4 即 A 与 B 独立 B 与 C 独立但是 P AC P A P C 4 因此 A 与 C 不独立. 顺便指出不独立关系也不具有传递性即若 AB 不独立 BC 不独立则 AC 可以独立考察掷三枚均匀硬币的试验 A 为全正面或全反面 B 为至多两个正面 C 为至多一个正面试验的样本空间为

13 Ω { HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT} 其中 H 表示正面 T 表示反正容易算出 : 7 P A P B P C P AB P BC P AC 于是有 7 P AB P A P B P BC P B P C 6 P AC P A P C 8 可见 AB 不独立 BC 不独立 AC 却独立. 4. 随机变量不独立但其函数可以独立正态分布有个特性 : 任何 > 维正态随机变量可由坐标轴的旋转转变为一组几个独立的正态随机变量. 参见丁寿田译的前苏联概率论教程 P57 例如即使不独立当服从二维正态分布令 Z cos s W s cos 则 ZW 仍服从二维正态分布其联合密度函数为 : Z W e π ρ ρ 只要适当地选择 : tg AZ BZW CW ρ 则 B 此时 Z 与 W 独立 5. 与不独立但与独立若随机变量与独立则与必相互独立其逆不真例如 : 设的联合密度函数为 y y 4 < y < 其他 F P uy dy du 4 < <

随机变量不独立但其函数可以独立正态分布有个特性 : 任何 > 维正态随机变量可由坐标轴的旋转转变为一组几个独立的正态随机变量.

14 F F y y y y< y< y y y < 或 y< < y y< < y< y 对于一切 y 恒有 F y F F 所以与相互独立 y < 其他 y y < 其他显然 y y 所以与不独立. 6. 与不独立但有相同分布观察如下的的联合分布及其边缘分布的分布 /9 /6 /9 7/8 /6 /3 / /9 /9 的分布 7/8 / /9 由于 P PP j 3 j j 故与不独立但与的分布显然相同. 7. 既不相关也不独立的随机变量若随机变量相互独立则不相关反之不真这方面的反例很多离散型与连续型各举一例.

15 例. 设的分布为 : - - /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 容易验证 cov 不相关 P PP j 3 不独立. j j 例. 设服从单位圆域上的均匀分布但其密度函数 y π 容易验证 y y > cov 不相关 y y 不独立. 8. 随机变量独立但它们的函数未必独立设 Z W g. 为相互独立的随机变量 ZW 独立的例子设独立且有相同分布 N 取 Z W 则 ZW 的联合密度为 z z w e z π ω z z< 边缘密度为 Z z z e z z z< W w < w< π w 则 z w z w Z W

16 故 Z 与 W 独立 ZW 不独立的例子设不独立且都服从如下分布 / 6 / 6 3 / 6 4 / 6 5 / 6 6 / 6 取 Z W 此时 Z 与 W 或者同为奇数或者同为 9. 独立性与相容性偶数所以 Z 与 W 不独立. 独立性是问题间的概率属性相容性是事件间本身的关系由第一章 4 可知由概率关系推不出事件间关系所以由独立性推不出不相容性看如下一个命题 : 若 AB 为两个独立事件且 P A > P B > 且 AB 不能不相容用反证法证明此命题若 AB Φ 则 P AB 由 AB 独立且 P A > P B > 得 P AB P A P B > 矛盾因而 AB Φ 可见在题设条件下 A 与 B 独立同 A 与 B 互不相容不能同时成立但若 AB 中有一个概率为则 A 与 B 独立同 A 与 B 互不相容可同时成立. 独立同分布的随机变量是否必相等设互相独立且都服从两点分布则未必有 / / 事实上由的独立性有 P P P P P P P 4 4 显然不是必然事件.. 有函数关系的随机变量是否一定不独立考验如下三个随机变量和 Z: 假定与独立且都服从参数为 p 的 - 分布令 Z 为与的函数为偶数 Z 为奇数

题若 AB Φ 则 P AB 由 AB 独立且 P A > P B > 得 P AB P A P B > 矛盾因而 AB Φ 可见在题设条件下 A 与 B 独立同 A 与 B 互不相容不能同时成立但若 AB 中有一个概率为则 A 与 B 独立同 A 与 B 互不相容可同时成立.

17 由于独立可得的联合分布律 p p p Z 的概率分布为 : p p p p Z 的联合分布率为 p p Z Z 的分布 p p p p 的分布 p p p p p p p p 显然当 P/Z 与相互独立可见尽管 Z 与之间存在函数关系但它们可以相互独立. 第四章随机变量的数字特征. 随机变量的数学期望未必都存在在数学期望的定义中要求级数绝对收敛或积分绝对可积我们知道绝对收敛的级数一定收敛绝对可积的函数一定可积反之都不真故有数学期望不存在的随机变量存在离散的例子设随机变量取值 k L pk k 由于 p k k k k k k k k k L 相应的概率为所以的数学期望不存在 k k 然而 k pk L l k 3 4 k k

随机变量的数学期望未必都存在在数学期望的定义中要求级数绝对收敛或积分绝对可积我们知道绝对收敛的级数一定收敛绝对可积的函数一定

18 若把上式左边级数中的各项进行重排会收敛到不同的数 3 例如 : L l L l 一个随机变量的数学期望只能是一个数因此数学期望定义中要求的绝对收敛是必要的它们可以保证顺序的变化不影响数学期望中级数的收敛性连续的例子见教材 P.4 例 5 柯西 Cauchy 分布 k. 随机变量的方差未必都存在按定义 D 由于方差被定义为一种特殊形式即随机变量的函数的数学期望而随机变量及随机变量函数的数学期望都未必存在所以随机变量的方差也未必存在本章中所举两例中的随机变量的方差都不存在. 3. 数学期望存在但方差不存在参数为的 t 分布的密度函数是 Γ πγ 设随机变量 ~t 则其密度函数 < < 3 4 d 的数学期望不存在所以的方差不存在 r 关于 t 分布其矩有一个特点当 r< 时有矩但不存在而且当 > 时 D 故在时 D. 4. 的函数的期望是否等于的期望的函数一般 [ ] [ ] 例如 : 设服从如下分布 : / 4 / 4 / 4 / 4

随机变量的方差未必都存在按定义 D 由于方差被定义为一种特殊形式即随机变量的函数的数学期望而随机变量及随机变量函数的数学期望都未必存在所以随机变量的方差也未必存在本章中所举两例中的随机

19 3 再设 { } 于是随机变量函数 ~ 3/ 4 6 / 4 3 故得 [ ] 由于 / 可得 [ ] [ ] [ ] 3 3 所以 8 5. 的各阶矩都存在也不能确定的分布函数若已经属于某个分布且又知道其某些矩便可确定的分布函数比如知道一阶原点矩即数学期望就能确定 - 分布的泊松分布指数分布的分布函数若进一步还知道二阶中心矩便能确定二项分布均匀分布正态分布的分布函数由此是否能推断 : 知道的各阶矩就一定能确定的分布函数呢? 回答是否定的事实上存在着不同的分布函数其各阶矩都一样例如设随机变量与的密度函数分别是 ce a cosaπ > a c[ s cosaπ ] > 其中 <a</ c acosaπ Γ a a 显然从而与各自的分布函数 F F 但它们却有相同的各阶矩 : Γ a a cos L d aπ d Γ a 结论 : 由随机变量的分布函数可以确定随机变量的数字特征反之不然. 6. 满足的未必独立若随机变量独立且各自数学期望存在则反之不真例如 : 设随机变量 Z 服从 [ π ] 上的均匀分布 cosz cos Z π

定二项分布均匀分布正态分布的分布函数由此是否能推断 : 知道的各阶矩就一定能确定的分布函数呢?

20 π π π cos cos zdz z dz π π π π π cos cos cos z z dz π 于是即不相关而满足所以不独立. 第五章参数估计与假设检验. 矩估计是否有唯一性以样本矩阵作为相应的总体矩的估计量以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量这种估计的方法被称为矩估计法我们知道矩有原点矩与中心矩之分如果样本原点矩与样本中心矩都可作为相应总体矩的估计则显然矩估计不具有唯一性即使规定只用样本的 k 阶原点矩作为相应总体 k 阶矩的估计那么参数的矩估计也不是唯一的社例如设总体服从参数为 λ 的泊松 Posso 分布由于 λ D 估计法知 : ˆ λ ˆ λ 都为参数 λ 的矩估计量. 故由矩. 矩估计不具有不变性所谓极大似然估计具有不变性是指 : 若 ˆ 为的一个极大似然估计则当函数 g 具有单值反函数时 g ˆ 为 g 的一个极大的似然估计对矩估计而言不变性不成立例如 : 对反射正态分布 e π > > 用矩估计法分别对和作估计 d π

中心矩都可作为相应总体矩的估计则显然矩估计不具有唯一性即使规定只用样本的 k 阶原点矩作为相应总体 k 阶矩的估计那么参数的矩估计也不是唯一的社例如设总体服从参数为 λ 的泊松 Posso 分布由于 λ D

21 π dt e t d t 设 L 为取自反射正态总体的样本由矩阵令 π 得 : ˆ π 由此可见 ˆ π 所以矩估计不满足不变性. 3. 极大的似然估计是否有唯一性极大似然估计不具有唯一性例如设均匀分布的密度函数为待估参数其他 ; 似然函数 : 其他其他 - 其他 ; ; L L 显然区间 ] [ 中的每一点均为 L 的最大值点于是 ] [ ˆ t t 均为的极大似然估计量注 : 当时的极大似然估计唯一

22 当 > 时的极大似然估计不存在. 4. 似然方程的解未必是极大似然估计设 L 是取自柯西 Cauchy 分布的样本当时似然函数为 ; < < π[ ] L π[ ll lπ l[ ll 似然方程为 ˆ 是的极大似然估计量故 ] ] 当时似然函数为 L π[ ][ ] 要使 L 达到最大只要的分母最小令其分母的变量部分为 [ ][ 由 [ ] 得三个解 : 3 [ ± 4]/ 通过的正负可判得 : 当为的极大似然估计时 3 不是的极大似然估计 ; 反之当 3 为的极大似然估计时不是的极大似然估计而无论发生什么情况似然方程的三个解不全是的极大似然估计极大似然估计就是求似然函数的极大值点似然函数是样本的联合分布密度似然方程是似然函数的导函数为零的函数我们知道导函数为零的点是函数的驻点而驻点未必是函数的极大值点所以似然方程的解未必是极大似然估计. ]

23 5. 参数估计的无偏性与一致性有无关系两者间没有一定的关系下表中所列的四种情况均可以发生无偏性有偏性一致性非一致以均匀分布为例 L 为如下均为总体的一个样本 < 其他 ; ~ 由极大似然估计法可得 ˆ 的总体参数的一个极大似然估计且唯一的概率密度为 < 其他 d 可见不是的无偏估计是的无偏估计 D 由切贝雪夫不等式的推广 Beayme 不等式的特例 / ] [ D P 由切贝雪夫不等式 D P 由此知有偏估计和无偏估计都是的一致估计再引进的两个估计与 d 可见是的有偏估计是的无偏估计

24 对任意 > 有 d d P ; ] [ ; d d d P 由此得有偏估计和无偏估计都不是的一致估计. 6. 无偏估计是否唯一的仅由估计量的数学期望等于被估计的参数这一要求并不能保证估计量的唯一性例如 : 设 L 是来自参数为 λ 的泊松分布的总体的一个简单随即样本则 ˆ ˆ S λ λ 都是 λ 的无偏估计事实上由基本统计量的性质知 λ λ λ λ ˆ ˆ D S 又如设总体 ] ~ U 的一个简单随机样本为 L 则的估计量 } ma{ ˆ ˆ L 与均为的无偏估计事实上 ydy y ˆ ˆ 其中 } ma{ L 其密度函数为 < 其他 y y y 7. 零假设与备择假设是否处于对等的地位在假设检验中首先要针对具体问题提出零假设 H 和备择假设 H 由于零假设是作为检验的前提而提出来的因此零假设通常应受到保护没有充足的证据是不能备拒绝的而备择假设只有当零假设备被拒绝后才能被接受这就决定了零假设与备择假设不是处于对等的地位下面举例说明交换零假设与备择假设可能会得出截然相反的检验结论问题某厂方断言本产生产的小型电动机在正常负载条件下平均电流不会超过

25 .8A 随机抽取该型号电动机 6 台发现其平均电流为.9A 而由该样本求出的标准差是.3A 假定这种电动机的工作电流服从正态分布问根据这一抽样结果能否否定厂方断言? 取显著性水平 α. 5 解 : 本题假定 ~ N µ 未知以厂方断言作为零假设则得假设检验问题 : H µ.8 ; H : µ. 8 : > 此时 6.9 S.3 α. 5 由 t 检验法可知拒绝域为.3.3 >.8 t 由于.9<. 94 故不应该 6 6 拒绝零假设 H 即在所给数据和检验水平下没有充分理由否定厂方的断言现在若把厂方断言的对立面即 µ >. 8 作为零假设则得假设检验问题 : H : µ >.8 ; H : µ.8.3 由 t 检验法此时的拒绝域为.8 t 因为观测值 6.9>.66 所以应接受零假设即接受厂方断言的对立面由此可见随着问题提法的不同得出了截然相反的结论这一点会使初学者感到迷惑不解实际上这里有个着眼点不同的问题当把厂方断言正确作为零假设时我们根据该厂以往的表现和信誉对其断言已有了较大的信任只有很不利于它的观察结果才能改变我们的看法因而一般难以拒绝这个断言反之当把厂方断言不正确作为零假设时我们一开始就对该厂产品抱怀疑态度只有很有利于该厂的观察结果才能改变我们的看法因此在所得观察数据并非决定性地偏于一方时我们的着眼点即最初立场决定了所得的结论打一个通俗的比喻 : 某人是嫌疑犯有些不利于他的证据但并非是起决定性作用的若我们要求只有决定性的不利于他的证据才能判他有罪则他将被判为无罪反之若要只有决定性的有利于他的证据才能判他无罪则他将被判有罪在这里也是着眼点的不同决定了看法这类事件在日常生活中并不少见原本不足为奇.

导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数反函数隐函数以

导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数反函数隐函数以 2015 年考研数学二考试大纲考试科目 : 高等数学线性代数考试形式和试卷结构一试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟. 二答题方式答题方式为闭卷笔试. 三试卷内容结构高等教学约 78% 线性代数约 22% 四试卷