练习.. nn > 对夫妇任意围成一圆桌就坐, 求有夫妇不相邻的概率. 解 : 用 A 表示有夫妇不相邻, 则 A 表示所有夫妇全相邻. 取一椅子作为参考点, 称为 a 座, 记 B = {a 座与顺时针方向邻座为夫妇 } A, B = {a 座与逆时针方向邻座为夫妇 } A. 则 A = B B,

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熙张廖
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1 概率论习题解答李勇张余辉 March 7, 08 第二章概率空间.. 练习题练习.. 在例.. 中定义 PΩ = PA =, PA = P = 0, 试证明 P 为概率. 证明 : 显然, 对任意 B F 有 PB 0 且 PΩ =. 下面验证可列可加性. 即对于两两互不相容的 {B n } F, 要证明 P n= B n = PB n. 只有四种情形, a 全是 ; b 只有一个 A 且其余全是 ; c 只有一个 A 且其余全是 ; d 只有一个 A 和一个 A 且其余全是. 对于情形 a, 上式两边都为零 ; 对于 b, 上式两边都为 ; 对于 c, 上式两 n= 边都为 0; 对于 d, 上式两边都为. 故等号总成立. 因此, 满足可列可加性. P 为 F 上的概率. 练习.. 将一枚质地均匀的骰子掷 n 次, 求所得最大点数为的概率. 解 : 用 A 表示所得最大点数为, A k 表示最大点数不超过 k 点, 则 A A A, A A, 所以 PA = PA PA = n n 6 n. 练习.. 从一副扑克牌中有放回地任意抽取 n 张 n, 求这 n 张牌包含了全部种花色的概率. 解 : 用 E 表示这 n 张牌包含了全部种花色, A 表示这 n 张牌没有红桃, B 表示这 n 张牌没有黑桃, C 表示这 n 张牌没有方块, D 表示这 n 张牌没有梅花. 则 E = A B C D. 由加法公式, n n n PA B C D = PA PAB + PABC PABCD = 6 +. 所以, PE = PA B C D = n + 6 n n + n.

2 练习.. nn > 对夫妇任意围成一圆桌就坐, 求有夫妇不相邻的概率. 解 : 用 A 表示有夫妇不相邻, 则 A 表示所有夫妇全相邻. 取一椅子作为参考点, 称为 a 座, 记 B = {a 座与顺时针方向邻座为夫妇 } A, B = {a 座与逆时针方向邻座为夫妇 } A. 则 A = B B, B B =. 因此, PB i = n!n n! =, i =,, n!! PA = PB + PB = n!!, 从而 PA = PA = n!!. 练习..5 从 n 阶行列式的一般展开式中任意抽取一项, 问这项包含主对角线元素的概率是多少. 解 : 记 A = a ij n n, 则 A = i,i,,i n Ω τi,i,,i n a i a i a nin, 其中 Ω = {,,, n 的排列全体 }. 对 Ω 中的任何点, 该点被取到的概率为 n!. 记 B = {i, i,, i n : 存在 k n, 使得 i k = k}, B k = {i, i,, i n : i k = k}, k n. n 则 B = B k. 由加法定理得 PB = n k i < <i k n PB i B ik = n n n k! k = k n! n k k!. 练习..6 向画满间隔为 a 的平行直线的桌面上任投一三角形. 假设该三角形的三条边的边长 l, l 和 l 均小于 a, 求此三角形与某直线相交的概率. 解 : 用 A 表示此三角形与某直线相交, A i 表示此三角形的第 i 条边与某直线相交 i =,,. 显然, A = A A A A, A = A A A A, A = A A A A. 注意到 PA A A = 0. 由加法定理得 PA = PA A + PA A PA A A = PA A + PA A 和 PA = PA A + PA A, PA = PA A + PA A. 三个式子相加可得 PA + PA + PA = PA A + PA A + PA A.

3 再注意到 PA i = li aπ, 则有对 A = A A A A A A 利用加法定理得 PA A + PA A + PA A = l + l + l. aπ PA = PA A + PA A + PA A = l + l + l. aπ 练习..7 设 PA + PB =, 试证明 PAB = PA B. 证明 : 由 PA B = PA B = PA + PB PAB = PAB 知, 结论正确. 练习..8 试证明证明 : 注意到由概率的下连续性得注意到由概率的上连续性得或者, 由对偶法则可得 lim A n = P lim lim A n = P lim A n P lim P lim A n n= k=n A n lim A k, A n = lim P n= k=n A k, PA n, lim PA n. k=n A k k=n k=n+ A k, A k lim PA n. A k k=n k=n+ A k, = lim P A k lim PA n. k=n lim A n = lim A n, 所以, 即 P lim A n = P lim lim PA n P A n lim PA n = lim PA n lim A n.

4 练习..9 对于任意 n 个事件 A n, 试证明 n P A k 从而证明 : 由次可加性得 n P n P A k n PA k n +. n PA k = n n A k = P A k n PA k, n PA k n +. n i 练习..0 有编号为正整数的可数多个球和一个空箱子. 对于 n, 在点 58 + 分时往箱中放入编号为从 0n 9 号到 0n 号之间的球, 同时按如下的三种方式之一从箱中取出球 : a 取出第 0n 9 号球 ; b 取出第 n 号球 ; c 从箱中任取一球. 分别在上述三种情况下求事件 A = { 在点整箱子空 } 的概率. 解 : a 此时显然 A =, PA = 0; b 此时显然 A = Ω, PA = ; c 给定正整数 i, 用 F i 表示在点整第 i 号球在箱中. 则 A = F i. 由次可加性, i= PA PF i. i= 下面讨论 F i 发生的概率. 用 E n 表示经过 n 次取球后第 i 号球还在箱中, 则有 E n E n+. 由概率的上连续性得 PF i = P n=i+ E n = lim PE n, 当 i 0n 时有 [i/0] 9k + n +[i/0] 9k PE n = n 9k + = 因为 k=m log + 9k = +. 从而 n +[i/0] 0, 当 + /9k n PF i = lim PE n = 0, 进而 PA = 0, 立即有 PA = PA =. 练习.. 参加集会的 n 个人各自的帽子放在一起, 会后每人任取一顶戴上, 求恰有 k 人戴对自己帽子的概率.

5 5 解 : 用 A k 表示恰有 k 个人戴对自己帽子 k =,,, n, A 0 表示 n 个人无人戴对自己帽子, B i 表示第 i 个人戴对自己帽子 i =,,, n, 则根据加法定理得到 n PA 0 = PB i PB i B j + + n PB B n, i= i<j jn 而 nb i = n!, nb i B j = n!, nb i B j B k = n!,, nb Ḃ n = 0! =, nω = n!, 代入可得因此, PA 0 = n i= 下面求 PA k, k. n i<j jn nn + + n n! =!! + + n n!. PA 0 = n i i!. 一个解法如下. 用 C k 表示恰好某指定的 k 个人戴对自己帽子, 则 na k = n k nck. 注意到 : 恰好某指定的 k 个人戴对自己帽子也即是其余 n k 个人无人戴对自己帽子. 因此由上面 A 0 的结论有 : n k PC k = i i!, 而 PC k = nc k n k!, 由此可得最终得到此结果对于 k = 0,,, n 均成立. n k nc k = n k! i i!, PA k = n k nck n! = n k i k! i!, 另一解法. 用 A k 表示恰有 k 个人戴对自己帽子 k =,,, n, A 0 表示 n 个人无人戴对自己帽子, Ci,, i k 表示仅第 i i,, i k 人戴对自己帽子, 其中 i < < i k n. 显然诸 Ci,, i k 互不相容, 但有相同的概率, 且当 k 时有由概率的有限可加性得所以当 k n 时, A k = PA k = PA k = i < <i k n i < <i k n Ci,, i k, PCi,, i k, n PC,, k. k 为计算上式右边的概率, 用 B k 表示第 k 人戴对自己帽子. 则 k n k C,, k = B i B j = i= j=k+ i= n B i j=k+ B j B B k.

6 6 利用概率的可减性得由古典概率计算公式得 n PC,, k = PB B k P PB i B ik = j=k+ n k!. n! B j B B k. 再由概率的加法定理得 n P 因此, 由此得到其中 k n. j=k+ n k n k n k j! B j B B k = j. j n! j=0 j= n k n k n k j! PC,, k = j. j n! n k n n k n k j! PA k = j = n k j k j n! k! j!, j=0 j=0..5 练习题练习.. 试用全概率公式计算例.. 中事件 A 的概率. 解 : 记 A n 表示 n 根绳恰结成 n 个圈, B 表示第一次结成绳圈, 则 B 和 B 构成一个分割. 记 p n = PA n, 则 p =. 由全概率公式得由此递推得 p n = PA n = PBPA n B + PBPA n B = PA = p n = n k= k p = n p n + n n 0 = n p n, n k = n!!. 练习.. 盒中放有 0 个乒乓球, 其中 7 个是新的. 第一次比赛时从其中任取个来用, 比赛后仍放回盒中. 第二次比赛时再从盒中任取个, 求第二次取出的球都是新球的概率. 解 : 用 A 表示第二次取出的球都是新球, B i 表示第一次取出的有 i 个新球 i = 0,,,, 则 B 0, B, B, B 构成样本空间的一个分割, 从而则由全概率公式知, PA = PB i PA B i. 注意到 7 7 i PB i = i i 0, PA B i = 0, i = 0,,,.

7 7 可得 PA = 7 i i 0 7 i 0 = 练习.. 试卷中有一道单项选择题, 共有个选项. 任一学生如果会解这道题, 则一定能选出正确的答案 ; 如果他不会解这道题, 则他会任意选择一个答案. 设考生会解这道题的概率是 0.7, 求 : 考生能够选出正确答案的概率 ; 已知某考生所选择的答案是正确的, 他确实会解这道题的概率. 解 : 用 A 表示考生能够选出正确答案, B 表示考生会解这道题. 则 B 和 B 构成样本空间的一个分割. 由全概率公式知由 Bayes 公式知 PA = PBPA B + PBPA B = = 0.8. PB A = PBPA B PBPA B + PBPA B = 0.7 = λ k 练习.. 已知一只母鸡生 k 个蛋的概率为 k! exp λ λ > 0, 并且每一个鸡蛋能孵化成小鸡的概率为 p. 求一只母鸡恰好孵出 r 只小鸡的概率. 解 : 用 A 表示一只母鸡恰好孵出 r 只小鸡, B k 表示这只母鸡生 k 个蛋 k 0. 则 {B k } 构成样本空间的一个分割. 由全概率公式知, PA = PB k PA B k = PB k PA B k = k=0 = λpr r! e λ k=r k=r λ p k r k r! = λpr r! k=r λ k k! e λ k p r p k r r e λ e λ p = λpr e λp. r! 练习..5 接连投掷一枚质地均匀的硬币, 直至第一次连续出现两个正面为止. 求恰投掷 n 次的概率. 解 : 记 A n = { 恰在第 n 次抛出连续两个正面 }, B k = { 第 k 次抛出为正面 }, p n = PA n. 则 B, B B 和 B B 恰为概率空间的一个分割. 当 n 时, 由全概率公式知, p n = PB PA n B + PB B PA n B B + PB B PA n B B = p n p n = p n + p n. 为求解此差分方程, 可将其改写为如下便于递推的形式其中 a 和 b 是待定常数. 将上式代入差分方程有 p n ap n = bp n ap n, a + bp n abp n = p n + p n,

8 8 即 a + b =, ab =, 解之得 a = + 5, b = 5. 另一方面, 注意到 p =, p = 0, 通过递推得 p n ap n = b n p ap = bn, 即 p n = bn + ap n, n, 递推得 p n = n a k b n k + a n p = n a k a bn = b bn b n a. b k=0 k=0 将 a 和 b 的值代入整理得 p n = n 练习..6 在例..5 中, 在已知 A 发生的情况下, 哪一车间应该对这件次品负责? 解 : 记 B = { 取到第 i 车间产品 }, 则由 Bayes 公式 PB PA B PB A = PB PA B + PB PA B + PB PA B = = 0., PB PA B PB A = PB PA B + PB PA B + PB PA B = = 0., PB PA B PB A = PB PA B + PB PA B + PB PA B = = 0., 所以应该应该由第或第车间对这件次品负责. 练习..7 在信号传递中, 发送信号 0 或, 它们分别占和, 由于外界的随机干扰和信号传递系统内部的噪声, 接收到的信号可能出错的概率均为 0.05, 若已知接收到的信号为, 试问发送的信号也是的概率多大? 解 : 用 A 表示发送的信号是, B 表示接收到的信号为, 由 Bayes 公式 PAPB A PA B = PAPB A + PAPB A = = 练习题练习.. 如果三个事件 A, B, C 相互独立, 试证 A B, AB, AB 均与 C 独立.

9 9 证明 : 事实上, PA BC = PAC BC = PAC + PBC PABC = PAPC + PBPC PAPBPC = PA + PB PAPBPC = PA + PB PABPC 即 A B 与 C 相互独立. 注意到 = PA BPC, 得 AB 与 C 相互独立. 类似地, PABC = PAPBPC = PABPC, PABC = PAPBPC = PABPC, 即 AB 与 C 相互独立. 练习.. 试证明事件 A, A,, A n 相互独立的充要条件为 : 对每个事件 Â k = A k 或者 A k k =,,, n, 总有 PÂÂ Ân = PÂPÂ PÂn. 证明 : 对 n 用数学归纳法. 显然当 n = 时结论成立. 设在 n 时结论成立, 往证 n + 结论还成立. n + 时必要性的证明. 记 B i = A i i n, B n = A n A n+, 则对于 s n, i < < i s n, PB i B is B n = PB i PB is PA n PA n+ = PB i PB is PB n, 从而 PB i B is B is = PB i PB is PB is, i < < i s n. 即 B,, B n 相互独立. 由归纳假设 P ˆB ˆB ˆB n = P ˆB P ˆB P ˆB n. 再由 PB n = PA n PA n+, 得 PÂÂ Ân A n A n+ = PÂPÂ PÂn PA n PA n+. 类似地, 把 A n A n+, A n A n+ 或 A n A n+ 看成 B n 可得 PÂÂ Ân A n A n+ = PÂPÂ PÂn PA n PA n+, PÂÂ Ân A n A n+ = PÂPÂ PÂn PA n PA n+, PÂÂ Ân A n A n+ = PÂPÂ PÂn PA n PA n+. 因此, n + 时必要性成立.

10 0 n + 时充分性的证明. 为此仅需证明 PA i A ik = PA i PA ik, k n, i < < i k n +.. 事实上, 取 j {,,, n + } {i, i,, i k }, 有将两式相加有 PÂ Âj A j Â j+ Ân+ = PÂ PÂj PA j PÂj+ PÂn+, PÂ Âj A j Â j+ Ân+ = PÂ PÂj PA j PÂj+ PÂn+, PÂ Âj Âj+ Ân+ = PÂ PÂj PÂj+ PÂn+. 由归纳假设知, A,, A j, A j+,, A n+ 相互独立. 再注意到 {i,, i k } {,, j, j +,, n + }, 得.. 练习.. 设事件 A 与 B 独立, 仅 A 发生和仅 B 发生的概率分别是 8 和 8, 求 PA 和 PB. 所以进而解 : 由概率的有限可加性得 PA = PA B + PAB = 8 + PAPB, PB = PB A + PAB = 8 + PAPB, PA PB =, PB = PA ; 另外即 = PA PB = PA PA + = 5 8 PA PA, PA = 5 8 ± 8, PB = 8 ± 8. 因此, 得 : PA =, PB = ; 或者 PA =, PB =. 练习.. 若 A, A,, A m+n 相互独立, B σ{a,, A m }, C σ{a m+, A m+,, A m+n }, 试证明 B 与 C 相互独立. 约定证明 : 记 M = {,,, m} 和 { A = { } A : 存在 S M, 使得 A = A k k S k M S A k }, k A k = Ω, 则 A 中事件互不相容, 对于任何 A A, A, A m+,, A m+n 相互独立, 且 Ω = A F.. A A

11 记 F = {B : B 为 A 中事件之并 }. 若 A F, 则存在 B k A k =,, s, 使得 A = s A = Ω B k = A A {B,B,,B s } s B k, 从而 A F.. 若 A k F k, 注意到 A 中仅有有限多个互不相容的事件知 A k F.. 由.,. 和. 知 F = σ{a, A,, A n }. 对于任何事件 B F, 存在 B k A k =,, s, 使得 B = s B k. 注意到 B, B,, B s 互不相容, 并且 B k, A m+, A m+,, A m+n 相互独立, 可得 B, A m+, A m+,, A m+n 相互独立. 进而对于任何 C σ{a m+, A m+,, A m+n }, B 和 C 相互独立. 练习..5 有一个均匀正四面体, 其中的三个面分别只涂上红黄和蓝色, 在剩下的一个面上同时涂有红黄和蓝三色. 掷此四面体落地后, 事件 A 表示四面体的底面有红色, 事件 B 表示四面体的底面有黄色, 事件 C 表示四面体的底面有蓝色. 试证明 A, B 和 C 两两独立, 但不相互独立. 证明 : 显然, PA = PB = PC =, PAB = PAC = PBC =, PABC =, 所以 PAB = PAPB, PAC = PAPC, PBC = PBPC, PABC PAPBPC, 即 A, B 和 C 两两独立, 但不相互独立. 练习..6 现有如下系统, 其中元件 A, B, C 互相独立, 而且可靠性分别为 p, p, p, 求系统不正常工作的概率. 解 : 系统正常工作的概率为 PA BC = PA BC = PAPBC, 系统不能正常工作的概率为 PAPBC = PA PBC = p p p. 练习..7 设事件 A, B, C 两两独立, 且满足 ABC = 及 PA = PB = PC = x, 求 maxx. 解 : 因为 A B C = A AB AC, 所以 PA B C = PA PAB AC..5

12 注意到 A, B, C 两两独立得代入.5 有注意到概率取值于 [0, ] 得 PAB AC = PAB + PAC PABC = PAB + PAC = x, PA B C = x x. 而 fx x x 在 [0, ] 上的极大值点为 /, 并且 f0 = f = 0, 再注意到.6 得 0 x x..6 0 x. 例如, 有一个均匀正四面体, 其中的三个面分别涂上红黄红蓝和黄蓝色, 在剩下的一个面上涂有白色. 掷此四面体落地后, 事件 A 表示四面体的底面有红色, 事件 B 表示四面体的底面有黄色, 事件 C 表示四面体的底面有蓝色. 则 A, B 和 C 两两独立且 ABC =. PA = PB = PC =, 所以 x 的最大值为. 练习..8 已知事件 A 和 B 相互独立且互不相容, 求 min{pa, PB}. 解 : 由独立性由 A 与 B 互不相容得 PAB = PAPB. PAPB = P = 0, 所以 PA = 0 或 PB = 0, 故 min{pa, PB} = 0. 练习..9 假设事件 B 发生的概率为 PB 0,, 试证明事件 A 与 B 独立的充要条件为 PA B = PA B. 证明 : 必要性. 注意到 0 < PB <, 有 PA B = PA, PB > 0. 再注意到 A 和 B 也相互独立, 有 PA B = PA,

13 即得必要性. 导致充分性. 由于 PAB PB = PAB PB, PBPAB = PBPAB, 即 PBPAB = PBPA PAB, 整理得 PAB = PAPB. 即充分性成立. 练习..0 称事件 A 与 B 关于事件 C 条件独立, 如果事件 A, B, C 满足 PAB C = PA C PB C, 其中 PC > 0. 试证明 : 当 PBC > 0 时, 上述条件独立性的充要条件是 PA BC = PA C; 举例说明独立与条件独立两者没有蕴含关系. 证明 : 由 P BC > 0 知 : 即成立. PAB C = PA CPB C PABC PC PABC PBC = PACPBC PCPC = PAC PC PA BC = PA C, 反例 : 掷质地均匀硬币两次, 用 A 表示第一次得正面, B 表示第二次得正面, C 表示得正面和反面各一次. 则 A 与 B 相互独立. 但是即 A 与 B 不是关于 C 条件独立. PAB C = 0 = PA CPB C, 正例 : 掷一枚质地均匀硬币, 用 A 表示出现正面, B 表示出现反面, C = A. 则 A 与 B 不相互独立, 但是 PAB C = 0 = PA CPB C, 即 A 与 B 关于 C 条件独立. 练习.. 若对于 i =,, Ω i = {,, }, F i 由 Ω i 的所有子集构成, 试证明 C = {A A : A F, A F } 对于并运算不封闭. 证明 : 显然 {, } C, {, } C, 但是 {, } {, } = {,,, } / C.

概率论与数理统计教案1.doc

概率论与数理统计教案1.doc 概率论教案单位 : 忻州师范学院数学系教师姓名 : 兰旺森职称 : 教授授课方式理论课课时数授课时间授课单元要求与目的重点与难点主要内容第一章随机事件与概率. 理解随机事件及样本空间的概念, 掌握事件之间的关系及运算 ;.