第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s + t 註 : 利用三點共線 則任兩點之間所組成的向量互相平行證明 ( 充分性 : 因 P 共線 故存在 t R t 0 使得 P t 則 O + OP t( O + O OP ( t O + t O 令 s ( t 即得證 ( 必要性 : s + t O P s O + t O ( t O + t O OP O t( O O P t P 共線 ( 點 在直線 上的充要條件是 存在一實數 t 使得 O ( t O + t O 即存在一實數對 ( x y 使 O x O + y O 且 x + y 4. 分點公式 : 設 O 三點不共線 若點 P 在線段 上且 P : P m : n 時 n m 則 OP O + O m + n m + n 向量 P5
5. 平行四邊形定理 : 平行四邊形中兩對角線的平方和等於四邊的平方和 即平行四邊形 中 + + + + 註 : 若由 a 所展成的平行四邊形 即 a + + a ( a + 平行四邊形 中 a 由 + 且 + a a + 得 + + + 及 + 兩式相加得 + ( + 即 + + + + 6. 若 P 為 內一點 且 l P + m P + n P 0 則 P : P : P l : m : n 作 P' l P P' m P P' n P P' + P' + P' l P + m P + n P 0 P 為 ' ' ' 的重心 P ' ' P' ' P' P 又 P ' ': P' ': P' ( mn P : ( nl P : ( lm P 故 P : P : P l : m : n 7. 內積與餘弦定理之間的關係 : 於 中 試證 : + os + + + + os+ + os + 則 為直角 8. 於 中 試證 : 若 由 + + + 得 0 即 0 得 故 為直角 + 向量 P6
應用. 三角形的心 : ( 重心 : 三角形的三中線交於一點 此點稱為此三角形的重心 註 : 重心到任一點的距離等於該中線長的 在 中 設 是 中點 是 中點 是 中點 且兩中線 交於 G 點 則存在 實數 t 使 G t 因此 G t t( + t t t t t + + ( + t t G 三點共 線的充要條件為 + t 即 t 故 G 同理 若兩中線 交於 G' 點 則 G ' 於是 G ' G 故三中線交於一點 ( 內心 : 三角形三內角平分線交於一點 此點稱為此三角形的內心 ( 外心 : 三角形三中垂線交於一點 此點稱為此三角形的外心 (4 垂心 : 三角形的三高交於一點 此點稱為此三角形的垂心 設過 點的高與過 點的高交於 H 則 H 且 H 又 H ( H + ( H ( H 0 ( + H G H ( H 0 H 即 H 故三角形的三高交於一點 H 向量 P7
. 三角形的性質 : ( 重心 : 設 G 為 的重心 則 : (a G ( + ( G + G + G 0 ( P 為任意點 恆有 PG P + P + P (a 設 的中 點為 則 G : G : G ( + ( + ( + ( G ( + G ( + G ( + 所以 G + G + G 0 即 G + G + G 0 ( 由 ( 知 ( P PG + ( P PG + ( P PG 0 移項得 PG P + P + P ( 內心 : 設 I 為 的內心 且 a 則 (a I + a + + a + + ( PI a P + P + P a + + a + + a + + ( P 為任意點 a (a 設 I 交 於 由 : : + a 得 I : I : ( + : a + + + 故 I ( a + + + a + + + + a + + + a + + ( 由 ( a 得 P + PI ( P + P + ( P + P a + + a+ + PI ( + P + P + P a + + a + + a + + a + + a P + P + P a + + a + + a + + 向量 P8
( 外心 : 設 O 為 之外心 之對邊長分別為 a 則 O O 註 : 外心到三頂點等距離證 明 : O O os O 同理 O O os O (4 垂心 : 設 H 為 之垂心 則 H H H ( + H + H + 0 註 : 可用投影概念直接說明 (5 中 的內角平分線交 於 外角平分線交 於 則 (a 內分比性質 : : : ( 外分比性質 : : : (a ( : : ( 等高 又 : : ( 同底 得 : : : : ( 同底 又因 sin sin( π P sin( π sin : sin : sin : 得 : : P 向量 P9
. 點與線的關係 ( 孟氏定理 ( 梅內勞斯 (Menelaus 定理 :( 三點共線 在 中 若一直線與 的邊 分別交於 ( 在邊上或其延長線上 則 三點共線的充要條件為 ( 充分性 : 過三頂點 分別向直線 作投影點 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ( 必要性 : ` ` 由題設可令 點在 的延長線上 點 分別都在 上或 的延長線上 設直線 與直線 交於 ' 故 ' 點不在 上 ' 由充分性可得 又 ' ' 得 即點 與點 ' 重合 故 三點共線 ' ( 西瓦 (ea 定理 :( 三線共點 在 中 若 三點分別在 上 ( 或其延長線上 則 三線共點的充要條件為 ( 充分性 : 設 三線交於點 P P P P 則 P P P P : P Q : R : ( 必要性 : (a 因為三點 必有一點在三角形的邊上 可假設點 在 上 ( 設直線 與直線 的交點為 P 又設直線 P 和 的交點為 ' ' ' 由充分性得 又 故 ' ' ' ( 因為 與 ' 都在 邊上 且 即點 與點 ' 重合 ' 故 三線共點 Q ` R P R 向量 P0
問題. 設 G 為 之重心 且 G x + y 求 x y 之值. 設 I 為 之內心 且 4 I x + y 求 x y 之值解答 : I : I : : 4 5: 4 又 : : 5 5 5 故 I ( + + 9 9 5 5 9 9 得 x y 9 9. 設 O 為 之外心 且 6 7 4 O x + y 求 x y 之值 解答 : 由 O x + y 且 O x + y 得 x + y 且 x + y 則 8 6x + y 且 8 x + 6y 4 得 x y 9 6 4. 設 H 為 之垂心 且 6 7 4 H x + y 求 x y 之值 : 解答 由 H x + y 得 H x + y 且 H x + y 得 x + y 且 x + y 則 6x + y 且 x + 6y 得 x y 9 5. 的三邊 上分別取 三點使 4 G 為 的重心 G x + y 求 x y 的值 解答 : G + + 4 ( + + ( + ( 5 7 7 5 + 5 0 7 7 則 G + 45 0 7 7 故 x y 45 0 向量 P