投稿類別 : 數學類篇名點線在面上的交響曲淺談西瓦定理與孟式定理在證明共線共點問題的應用作者呂柏汎新北市立新莊高中高一科學班指導老師李明財老師 1

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仔磋季
7 years ago
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1 投稿類別 : 數學類篇名點線在面上的交響曲淺談西瓦定理與孟式定理在證明共線共點問題的應用作者呂柏汎新北市立新莊高中高一科學班指導老師李明財老師 1

2 壹前言一研究動機國中時期, 遇上三點共線, 三線共點問題時即十分頭痛, 於是詢問師長該如何面對三點共線與三線共點的問題, 老師當時告訴我三點共線大多用三點夾 180 度去處理, 三線共點則比較少遇到, 看了許多書籍, 充實些數學知識後, 發現不只有 180 度可使用, 而三線共點也有頗為精妙的用處, 於是我想要更深入的去了解它二研究目的本研究主要在探討如何去處理三線共點與三點共線的問題, 該在何時適當的畫出最重要的輔助線, 或在複雜的圖形中尋找出最重要且最需要被抓出來考慮的圖形三研究方法使用 GSP 幾何畫板, 由於它可將各種線段用不同的顏色代換掉, 使我們可以更清楚的去找尋要考慮的圖形, 而且也有隱藏功能可把一些認為不需要的點線給隱藏起來貳正文首先我們來探討孟氏 & 西瓦定理的逆定理, 這兩個定理是我最先接觸的處理共線共點的有力武器, 配合上三角函數求出各邊值, 或者代換掉個各邊值而證明出共線共點等性質一孟氏定理 : 若一直線截三邊或三邊的延長線於三點則 = 1 G ' 孟氏定理 : 原本的三角形為紅色為孟氏直線, 橘色為輔助線 ( 見註 ) 圖 1 證明 : 過作 G 交於 G = G, = G 2

3 逆定理證明 : = G G = 1 與交於則 = 1 又 = 1 所以跟重合若為三角形或三角形延長線上的點且 = 1, 則共線特別的, 孟氏定理在處理牛頓線的證明時大有用處註對任意三角形給定一條與三邊皆不平行的直線則該直線會與三角形的邊或其延長線交於三點, 則稱為孟氏三角形為對三角形的孟氏直線, 橘色僅是因證明需要而給繪出的輔助線二牛頓線 : 有一四邊形, 交於, 交於,M N O 分別為之中點, 求證 M N O 三點共線, 則此線稱為四邊形的牛頓線 ' ' O M N ' 證明 : 圖 2 分別作中點, 因為共線, 所以 = 1 所以 M M, O O, N N, = 1 所以 MNO 共線, 且直線 MNO 稱為的牛頓線 3

4 註 ( 一 ) 若存在內接圓則其圓心在牛頓線上 ( 二 ) 若存在一圓錐曲線與相切則其中心亦在牛頓線上說明 : 首先證明圓成立則對任意圓錐曲線亦成立 ( 因為線段中點經過射影之後亦為中點性質不變 ) 我們先證明一個引理, 敘述如下若現有任意兩線段, 若在平面上取一點 P 則滿足 P 面積 + P 面積之和的所有點 P 的集合為一直線 H3 H1 P1 P2 H2 H4 證明 : 圖 3 如圖 3, 假定 P 1 P 2 兩點滿足條件且 P 1 與 P 2 到的垂足分別為 H 1 H 2 H 3 H 4 假設 P 2 H 3 = P 1 H 1 + m,p 2 H 4 = P 1 H 2 k(m k R) 又 P 2 H 3 + P 2 H 4 = P 1 H 1 + P 1 H 2 ( 面積相等 ) 移項得 : P 2 H 3 P 1 H 1 = P 1 H 2 P 2 H 4 m 所以 k = P 2 H 3 P 1 H 1 = P 1 H 2 P 2 H 4 m 若有下一點則必滿足 =, k 由於已給定, 為定值所以, 滿足所有點 P 的集合為一直線回到原題目 ( 見圖 2) 由於為圓外切四邊形所以 +=+, 又由於 N M 為中點所以 M + M = = = N + N = 1 2 4

5 顯然圓心亦滿足條件所以圓心在牛頓線上, 故得證三西瓦定理 ( 見圖 4) 若.. 全平行 ( 圖 4) 或共點 ( 圖 5) 則有 = 1 ' 證明 : 若.. 全平行則原式為圖 4 =, = = 1 若不平行則原式 ( 見圖 5) P P P P P P = = P P sin P P P sin P P P sin P P P sin P P P sin P P P sin P P P sin P P P sin P P P sin P P P sin P P P sin P P P sin P = 1 P ' 圖 5 逆定理若為或其延長線上的點, 且 = 1 則平行或共點證明 : 因為 = 1, 若做交於若與交於點 P 連接 O 設與交於 5

6 所以 = 1 比較兩式得 = 故逆定理得證四西瓦定理在角度上的推廣 a1 a2 c b b1 b2 a c1 c2 = sin c sin c 1 sin c sin c 2 = sin a 1 sin a 2 sin b 1 sin b 2 sin c 1 sin c 2 = 1 圖 6 sin a sin a 1 sin a sin a 2 sin b sin b 1 sin b sin b 2 ( 正弦定理 ) 五應用西瓦定理證明三角形四心的特性先說明四心的特性四心 : 重心 : 任意三角形內三中線必交於一點垂心 : 任意三角形內三高必交於一點外心 : 任意三角形內三邊的中垂線必交於一點內心 : 任意三角形內三角平分線必交於一點由於各心都可以做出一個圓 ( 除垂心外, 但垂心可以製造出直角, 對於我們解題有著極大的幫助 ) 而且這些心垂足中點, 都各自有些著名的平面幾何定理以下由西瓦定理給出各心存在的證明對重心而言由西瓦定理顯見因為各段都為 1:1 對內心而言, 由在角度上推廣過後的西瓦有 sin a 1 sin a 2 sin b 1 sin b 2 sin c 1 sin c 2 = 1 對垂心而言 ( 見圖 7) 6

7 cos cos cos = cos cos cos = 1 H 圖 7 對外心而言只需縮小兩倍取小三角形垂心即可 ( 見下圖 8) 取中點連接, 因為為中點, 所以由前可知此三角形必存在外心又為中點所以三中垂線必相交於一點六尤拉線尤拉線 : 任意三角形內其重心垂心外心三點共線且外心到重心比重心到垂心距離比為 2:1 1 1 H G 1 H' 1 圖 8 證明 : 大三角形垂心為 H 大三角形垂心為 G 1 為大三角形的中點,H 為小三角形垂心, 小三角形垂心為 G G 1 1 G 1 1 G 1 1 共線 ( 對大小三角形各做一次西瓦 ) 所以兩三角形的重心為同一點 7

8 又因為小三角形繞 G 旋轉 180 度之後, 並放大兩倍為大三角形所以 HG 1 H 共線 ( 因為為 180 度 ), 且放大兩倍所以 2HG 1 =H G 1 又 H 為大三角形的外心, 所以外心重心垂心三點共線且外心到重心的距離為重心到垂心的距離的一半從這邊再延伸下去, 有一個有趣的定理, 九點圓七九點圓九點圓 : 三角形三高垂足, 三邊中點, 垂心和頂點連線中點此九點共圓 ( 此處各點定義與 ( 六 ) 相同, 有多的點會另行說明 ) 證明 : 首先找出小三角形外心 O 因為 2 HG 1 =G 1 H, 又 2 OG 1 =G 1 H( 大小三角形的尤拉線 ) 令 OG 1 =a 則 HG 1 =2a,OH =3a 所以 O 為外心和垂心連線的中點延伸 1 H 交 1 1 於, 延伸 O 交 1 於, 連 HO,OH 又因為方才經過旋轉所以大三角形的垂心會對到小三角形的垂心所以 H 1 =2H 因為 1 和皆垂直 1 1 所以 HO= O H ( 內錯角 ) 又 HO=H O, 且 HO= O H 所以 OH O H (SS) 所以為 H 1 的中點所以 O =O 又 11 1 '' 1 H G1 O H' ' 1 圖 9 所以三角形中 O=O= O 又 O 為外心所以以 O 為圓心的 O 為半徑的圓過 8

9 同理可證過以及和及又因為三點本即為小三角形的外接圓因此九點共圓所以一三角形中三垂足三邊中點以及垂心到頂點連線的中點九點共圓特別的由前面證出九點圓圓心與垂心外心三點共線所以九點圓圓心在尤拉線中點上八費瑪點與其推廣費瑪點 : 在三角形內部決定一點使得該點到三邊距離和為最小證明 :P 為三角形內部一點, 以 P 為一邊做正三角形 PR 再以為一邊做正三角形 Q, 連 QR 因為 Q= RP=60 度所以 QR= P, 又 Q=,R=P, 所以 QR P(SS) 所以 P+P+P=QR+RP+P 所以當 QRP 共線時最短, 且此時 P=180- RP=120 度由需要 120 度可知三邊上做正三角形其必共點若點在三角形內則 P 點即為費瑪點若在圓外, 表示有一內角大於 120 則該頂點即為費瑪點否則 QR+RP+P 繞遠路則有兩邊和大於第三邊, 不和 Q R P 圖 10 若將其推廣成相似的等腰三角形, 則此三線亦共點證明 : 假設 R=a =b 則 P=ka =kb( 相似 ) 又 P= R 所以 P = P P sin P = ka b sin P = kb a sin R = R 由西瓦定理得 = P P Q Q R R = P Q Q Q Q P = 1 9

10 特別的若向外做正三角形則為費瑪點若向外做無窮延伸的直線, 則連線即為垂線, 所以三線共點的點為垂心, 亦可用來證明三垂線共點 R P O 圖 11 九西姆松定理過三角形外接圓上任一點做三邊的垂線, 則三垂足共線紅線為垂線橘線為輔助線因為角 P= 角 P 所以 P 四點共圓同理可證 P 四點共圓所以 P+ P=180 又 P= P = P( 圓內接四邊形 P) 所以 P+ P=180 Q P 圖 12 10

11 参結論一證明孟氏西瓦定理, 及其逆定理, 並推廣之二由孟氏西瓦定理證明許多平面幾何著名定理三透過旋轉與縮放, 證明九點圓圓心為尤拉線中點和外心到重心比重心到垂心距離比為 2:1 四透過西瓦定理證明費馬點及其推廣五最後不僅只有用孟氏西瓦定理可證明三點共線, 三點間夾角 180 度一樣也可以證明三點共線, 也是國中時期在沒有接觸過孟氏西瓦定理時最常用的證明方法肆參考資料一黃家禮 (1997) 幾何明珠台北市:九章出版社二張海潮 (1994) 從旋轉與縮放看尤拉線與九點圓數學傳播,33(2), 三許瑋婷李兆甯李巧君黃偉庭 (2005) 總站該設在哪裡 -- 另類的費馬點研究第四十五屆中小學科學展覽會 11

遞迴數列

遞迴數列第三冊 - 向量 - 向量的基本應用應用. 在中分別是兩邊的中點試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與所決定的平面上的每個向量都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s

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