定理 3. 內接於同一圓的三角形序列 A B C, A 3 B 3 C 3,..., A n B n C n,..., 在 A n B n C n 中, 如下圖設 A n, B n, C n 的對邊為 a n, b n, c n, 且 A n θ, B n nθ 則 a n a n 1, b n

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芳归汲
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1 1 n 倍角整數邊三角形與圓內接四邊形之探討國立宜蘭高級中學郭家愷指導老師戴武郎 Abstract A triangle ABC is called a triangle with double angle, if B A. Similarly, a cyclic quadrilateral ABCD is called a cyclic quadrilateral with double angle if B A. In this research, we give an algorithm that generates triangles with double angles and cyclic quadrilateral with double angles whose sides are integers. Moreover, we generalize the algorithm to quadrilateral with n th Times Angles. 中文摘要在一般三角形中, 如果滿足其一角為另一角兩倍, 我們稱之為倍角三角形我們研究由此類型之三角形出發, 探討其整數邊長製造機與 Heron 製造機, 並以兩種方向發展 : 首先, 我們試以倍角三角形之幾何關係, 將倍角三角形結論推廣到 n 倍角三角形 ; 另外, 我們定義在圓內接四邊形中, 若相鄰的兩角, 其中一角為另一角兩倍, 則為倍角圓內接四邊形, 我們同樣探討其整數邊長製造機,Heron 製造機, 也將其結論推廣到 n 倍角圓內接四邊形而此篇文章目的在於推廣倍角三角形, 並在倍角圓內接四邊形中繼續延伸 1 簡介 1.1 研究動機直角三角形能藉由畢氏定理而得到整數邊的邊長製造機在倍角三角形中, 我們可以發現倍角三角形擁有與畢氏定理對應的倍角充要條件 a + ac b 然而對倍角三角形製造機已有完整的討論, 因此我們嘗試將倍角三角形推廣為倍角圓內接四邊形, 並發現 ab + b + cd d 類似的形式, 倍角圓內接四邊形得邊長製造機是否存在? 與倍角三角形之間的關係為何? 這引發我們的興趣, 於是進行此研究 1. 研究目的一研發倍角整數邊三角形製造機與倍角 Heron 三角形製造機二研發 n 倍角整數邊三角形製造機與 n 倍角 Heron 三角形製造機三研發倍角整數邊圓內接四邊形製造機與倍角 Heron 圓內接四邊形製造機四研發 n 倍角整數邊圓內接四邊形製造機與 n 倍角 Heron 圓內接四邊形製造機 1.3 研究結果以下為我們主要的研究結果 : 定理 1. 令 ABC 為一倍角三角形, 其中 B A 則充要條件為 a + ac b 定理. 令 ABC 為一倍角三角形, 其中 B A 則 a, b, c 為整數且 (a, b, c) 1, 充要條件為存在唯一 m, n N, n > m, (m, n) 1 使得 a n ; b mn + n ; c m + mn.

2 定理 3. 內接於同一圓的三角形序列 A B C, A 3 B 3 C 3,..., A n B n C n,..., 在 A n B n C n 中, 如下圖設 A n, B n, C n 的對邊為 a n, b n, c n, 且 A n θ, B n nθ 則 a n a n 1, b n c n 1, c n c n 1 a n 1 (n 3) 關係式恆成立 b n 1 定理 4. 令 ABCD 為一倍角圓內接四邊形, 其中 B A 則充分條件為 ab + b + cd d 定理 5. 令 ABCD 為一倍角圓內接四邊形, 其中 B A 則 a, b, c, d 為整數之充分條件為存在 p, q, m, n N, p < q, m > n 使得 a qn pm b pm c qm pn d qm. 定理 6. 如圖示, 若 ABC n A, A BC (n 1) A, 其中 n 3, 則 A D (AB AD + BC CD) + CD (AB BC + CD AD) + AD (BC AD ) 0 定理 7. 考慮內接於同一圓的四邊形形序列 A BCD, A 3 BCD,..., A n BCD,..., 在 A n BCD 中, 設 a n A n B, b BC, c CD, d n DA n, 且 A n θ, A n BC nθ 令 A n BCD 為上述內接於同一圓的四邊形形序列, 則 a n a n 1 (a n 1 c ) b (a n 1 b + cd n 1 ) a n 1 d n 1 + bc d n a n 1, n 3

3 3 研究內容.1 名詞定義 1. n 倍角三角形 : 滿足其中一內角為另一內角 n 倍之三角形. n 倍角整數邊三角形 : 三邊長皆為正整數之 n 倍角三角形 3. n 倍角 Heron 三角形 : 三邊長及面積皆為正整數之 n 倍角三角形 4. n 倍角圓內接四邊形 : 滿足其中兩相鄰內角, 一角為另一角 n 倍之圓內接四邊形 5. n 倍角整數邊圓內接四邊形 : 四邊長皆為正整數之 n 倍角圓內接四邊形 6. n 倍角 Heron 圓內接四邊形 : 四邊長及面積皆為正整數之 n 倍角圓內接四邊形. n 倍角整數邊三角形..1 倍角整數邊三角形在以下的討論, ABC 中 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c, 其外接圓半徑為 R 定理 1. 令 ABC 為一倍角三角形, 其中 B A 則充要條件為 a + ac b 證明. 先證明此為充分條件, 如圖示, 根據正弦定理可知 a R sin θ, 則 b R sin θ 4R sin θ cos θ, c R sin(180 3θ) R sin 3θ R (3 sin θ 4 sin 3 θ) b 4R sin θ cos θ cos θ a 4R sin θ a + c R sin θ + R (3 sin θ 4 sin 3 θ) 8R sin θ 8R sin3 θ b 8R sin θ cos θ 8R sin θ cos θ 8R sin θ(1 sin θ) cos θ 8R sin θ cos θ

4 4 所以 b a a + c b, 即 a + ac b 再證明此為必要條件, 由 a + ac b, 得 c b a 則 cos A b + c a a b + (b a ) a 4 bc ab(b a ) sin A cos A sin A sin B a b 4 a b ab(b a ) b a sin B sin A 所以 B A 利用定理 1, 我們得到以下倍角整數邊三角形製造機定理. 令 ABC 為一倍角三角形, 其中 B A 則 a, b, c 為整數且 (a, b, c) 1, 充要條件為存在唯一 m, n N, n > m, (m, n) 1 使得 a n b mn + n c m + mn 證明. 先證明此為充分條件, 由 a + ac b, 可得 ma + mb nc 0 則 { (m + n)a nb 0 c b + a b a m a n, 其中 (m, n) 1, a b c m n n 0 n m 0 m + n m m m + n n n mn + n m + mn 因為 (m, n) 1, 則 (n, mn + n, m + mn) 1 所以 a n, b mn + n, c m + mn 又因為必須滿足 cos θ b a n + mn < 1, 所以 m < n n 現在假設 a n n 1, b mn + n m 1 n 1 + n 1, c m + mn m 1 + m 1 n 1 則由 a 得知 n n 1, 代入 b 中, 得 m m 1 所以可知 a, b, c 與 m, n 之間一對一對應再證明此為必要條件, 若 a n, b mn + n, c m + mn, 其中 n > m, (m, n) 1 因為 a + b c (n ) + (mn + n ) (m + mn) n m mn (n m ) + (n mn) > 0 a + c b (n ) + (m + mn) (mn + n ) m + mn > 0 所以 a, b, c 為三角形三邊又 a + ac (n ) + (n )(m + mn) m n + mn 3 + n 4 (mn + n ) b, 故由定理 1 可知 B A 另一方面, 設存在一質數 p 使得 p a, p b, p c 由 p a n, 則 p n 另外由 p a 且 p b, 則 p m, 則 p m, 與 (m, n) 1 矛盾, 因此 (a, b, c) 1 此外我們可以發現, 如果將過程中比值取為 a b b a + c m n, 則 a m, b mn, c m n a b + a b a m c n, 則 a m, b mn m, c n mn 因此倍角整數邊三角形製造機並不唯一, 不過彼此能透過代數變換轉換

5 5.. 倍角 n 三角形製造機底下我們再來討論倍角三角形的面積 ABC 的面積 1 bc sin θ 1 bc 1 cos θ 1 bc 1 (mn + n )(m + mn) m(m + n)(m + n) m mn + 3n 4 1 ( m + n n ) 1 ( b a ) 因為 m mn + 3n (n) (m + n) 令 D F E, 其中 E m + n, F n, 則 D + E F 此外, 設不同時整除 D 與 E, 則 (D +E ) (mod 4) 1 or, 與 D +E F 4n 矛盾, 於是可知 D 與 E 同為偶數因此 ABC 的面積 m(m + n)(m + n) m mn + 3n 4 m(m + n) D E k, 其中 k N 4 推論 1. 當 D, E, F 為畢氏三元數時, 因為斜邊 F 為偶數, 則 E( m + n) 亦為偶數, 那麼由 (m, n) ( E F, F ) 代入製造機, 得到的三角形即為倍角 Heron 三角形...3 倍角三角形頂點的軌跡底下我們來討論倍角三角形頂點 C 的軌跡推論. 若 A(0, 0), B(c, 0), C(x, y) 為倍角三角形 ABC 的頂點, 則 3x cx y 0 即 C 點的軌跡為雙曲線證明. 由 a sqrt(x c) + y, b x + y, 代入 a + ac b 得 3x cx y 0, 則 3 (x c 3 ) y c 3 為一中心點為 ( c 3, 0) 之雙曲線. 底下, 我們對當 c 1 時,C(x, y) 所對應之倍角有理邊三角形進行討論推論 3. 若 ABC 的頂點座標為 A(0, 0), B(1, 0), C(x, y), 則 ABC 為有理邊倍角 m 有理邊三角形 ( B A) 的充要條件為 x 4m n, 其中 (m, n) 1

6 6 證明. 先證明其為充分條件, 如圖示, 不失一般性可設 C(x, y) 在第一象限內則 cos A x x + y x x + 3x x x AC cos A 4x x BC x 4x x 4 (x 1 4 ) (4x 1) 1 x 1 cos B x 1 cos A 1 (x x) x 1 x 1 x x 1 令 (4x 1) 1 k, 則 (4x 1) 1 4k, 得 x(4x ) k 又 AC, BC Q, 等價於 x, k Q, 等價於 (4x 1) 4k 1 上之有理點 x 因此令 k k 4x m 0 m n, (m, n) 1, nx mk 0 則 { 4mx nk m, x m n m n m 4m n 4m n 再證明其為必要條件, 若 x 則 cos A cos B m 4m n, x 4x x m mn m n 1 x (1 x) + 3x x 1 x x 1 m n 4m n / n 4m n m n 4m n / n 4m n m n n 1 因為 cos A cos A 1 m n cos B, 所以 B A n x 則 AC cos A mn 4m n, BC 1 x cos B n 4m n 因為 (m, n) 1, 所以 AC, BC Q, 因此 ABC 為有理倍角有理邊三角形..4 n 倍角整數邊三角形製造機現在考慮內接於同一圓的三角形序列 A B C,..., A n B n C n,..., 設 A n, B n, C n 的對邊分別為 a n, b n, c n, 且 A n θ, B n nθ, 如下圖 1 m 因為 x 4m n > 0, m n 所以 4m n / n 4m n m n 4m n / n 4m n

7 7 定理 3. 令 A n B n C n 為上述內接於同一圓的三角形序列, 則其三邊長符合下列遞迴關係, 對於所有 n 3 a n a n 1 ; b n c n 1 ; c n c n 1 a n 1. b n 1 證明. 根據正弦定理可知 a n 1 R sin θ, b n 1 R sin(n 1)θ, c n 1 R sin nθ, a n R sin θ, b n R sin nθ, c n R sin(n + 1)θ 所以 a n a n 1, b n c n 1 再由三角恆等式 sin(n 1)θ sin(n + 1)θ + sin θ sin nθ 得 b n 1 c n + a n b n, 即 c n c n 1 a n 1 b n 1 將遞迴關係式經變換後代入倍角三角形充要條件, 我們可以得到 ac (a + b)(a b), 但是此關係式是否為 3 倍角三角形充要條件, 底下是我們驗證過程 : 由 ac (a + b)(a b), 得 c (a + b)(a b) a ab + (a + b)(a b) a 3 cos A b + c a bc abc b(a + b)(a b) (a + b)(a b) abc ac ac cos A (a + b)(a b) 4a c cos A (a + b) (a b) 所以 B 3 A. a(b a ) + (a + b)(a b) abc 4a(a + b)(a b) cos A (a + b) (a b) 4a cos A (a + b) 4 sin A cos A sin A + sin B 3 sin A 4 sin 3 A sin 3A sin B. 同樣的, 我們將倍角三角形製造機代入遞迴關係式可以得到 3 倍角三角形製造機, a n 3, b mn(m + n), c (m + n)(m + mn n ),

8 8 但是此製造機是否含蓋全部的 3 倍角三角形, 底下是我們驗證過程 : 先證明此為充分條件 (a + b)(a b) (n 3 + mn(m + n))(n 3 mn(m + n)) n 3 (n + m + mn)(n m mn) n 3 (n + m) (m + mn n ) ac 再證明此為必要條件, 由 ac (a + b)(a b), 則 (a b) c a a + b n (m + n), 其中 (m, n) 1 b a n c m + n, a a + b n (m + n) (m + n)a (m + n)b + nc 0 m(m + n)a n b 0 (m + n) 則 a b c n n 0 n m + n 0 m(m + n) m + n (m + n) m(m + n) n n 3 mn(m + n) (m + n)(m + mn n ) 因為 (m, n) 1, 則 (n 3, mn(m + n), (m + n)(m + mn n )) 1 所以 a n 3, b mn(m + n), c (m + n)(m + mn n ) 由此可知由遞迴關係所產生之 3 倍角三角形製造機完全刻劃 3 倍角三角形 a n a n 1 b 推論 4. 由遞迴關係式 n c n 1, 我們得知當 n 1 倍角三角形的邊長為整數 c n c n 1 a n 1 b n 1 時, 遞迴所產生的 n 倍角三角形的邊長為有理數再經伸縮即為 n 倍角整數邊三角形..5 n 倍角 Heron 三角形製造機令 k 表 A k B k C k 面積, 則 n 1 1 4R a n 1b n 1 c n 1 n 1 4R a nb n c n 1 4R a n 1c n 1 c n 1 a n 1 b n 1 1 4R a n 1b n 1 c n 1 c n 1 a n 1 b n 1 c n 1 a n 1 b n 1 n 1 推論 5. 給定一個 (n 1) 倍角 Heron 三角形, 則經由結論產生的 n 倍角三角形, 再經伸縮後即為 n 倍角 Heron 三角形.3 n 倍角圓內接四邊形.3.1 倍角整數邊圓內接四邊形在以下的討論, 圓內接四邊形 ABCD 中, 令 AB a, BC b, CD c, DA d 定理 4. 令 ABCD 為一倍角圓內接四邊形, 其中 B A 則充分條件為 ab + b + cd d

9 9 證明. 先證明此為充分條件, 如圖示, 延長 AB 與 DC 相交於 P 則 BCP A θ, 所以 P ABC BCP θ 因此 ADP CBP 皆為等腰三角形在 ADP 中, cos θ AP AB + BC DA DA a + b d 在 CBP 中, cos θ CP 所以 a + b a BC DA CD BC d c b d c b, 則 (a + b)b a(d c), 即 ab + b + cd d 再證明此為必要條件, 由餘弦定理,a + d ad cos A b + c bc cos(π A) b + c + bc cos A 得 cos A a + d (b + c ) (ad + bc) 同理可得 cos B a + b (c + d ) (ab + cd) a c + ab + cd (ad + bc) a c (ab + cd) (ab + cd) a c + ab + cd (ab + cd) ad + bc sin B (ad + bc) sin A cos A 1 cos A ab + cd sin A (ab + cd) sin B 1 cos A sin B sin A 1 則 cos A sin B sin A cos B sin(b A) sin A 所以 B A, 得證底下我們給出倍角整數邊圓內接四邊形製造機定理 5. 令 ABCD 為一倍角圓內接四邊形, 其中 B A 則 a, b, c, d 為整數之充分條件為存在 p, q, m, n N, p < q, m > n 使得證明. 由 ab + b + cd d, 可得 qb pd 0 則 { pa + pb + qc qd 0 b d c 同理我們可得 a qn pm b pm c qm pn d qm b d d c a + b p q, 其中 (p, q) 1 可得式 (1),p a + (p q )b + pqc 0 d a + b m n, 其中 (m, n) 1 1

10 10 nb + mc md 0 則 { 可得式 (),m a + (m n )b mnc 0 ma + mb nd 0 聯立上式 (1) () 之結果我們可得 a b c p q pq pq p m n mn mn m p p q m m n p mn + q mn pqm + pqn pqm + p mn p m p n p m + q m (qn pm)(pn + qm) pm(pn + qm) (qm pn)(pn + qm) qn pm pm qm pn. 此外再加上 qb pd 0, 我們可得 a b c d qn pm pm qm pn pm q qn pm pm qm pn qm p 即 a qn pm b pm c qm pn d qm. q 另一方面, 由 p > m n, q p > n m, 可知 q > p 由 b + c + d > a pm + qm pn + qm > qn pm 經化簡可知 m > n a + b + c > d qn pm + pm + qm pn > qm 經化簡可知 q > p 如果令 g (qn pm, pm, qm pn, qm), 則 a i g (qn pm), b i g (pm), c i g (qm pn), d i g (qm), 其中 i N. 推論 6. 設 p, q, m, n N, p < q, m < n 則以 a qn pm, b pm, c qm pn, d qm 為四邊的圓內接四邊形, 必要條件為 B A 證明. 由定理 4, 因為 ab + b + cd (qn pm) (pm) + (pm) + (qm pn) (qm) (qn)(pm) (pm) + (pm) + (qm) (pn)(qm) (qm) d 所以 B A..3. 倍角 Heron 圓內接四邊形製造機接下來我們來探討倍角圓內接四邊形的面積 ABCD ADP CBP 1 qm qn 1 ( n m ) 1 pm pn 1 ( n m ) 1 mn(q p ) (n) 1 (m) 1 4 n(q p ) (m) (n) 令 D F E, 其中 E n, F m, 則 D + E F 此外, 設不同時整除 D 與 E, 則 D + E (mod 4) 1 or, 與 D + E F 4m 矛盾, 於是可知 D 與 E 同為偶數因此 ABCD 的面積 1 4 n(q p ) (m) (n) 1 4 (q p )D E k, 其中 k N. 推論 7. 當 D, E, F 為畢氏三元數時, 因為斜邊 F 為偶數, 則 E( n) 亦為偶數那麼由 (m, n) ( F, E) 代入製造機, 得到的四邊形即為倍角 Heron 圓內接四邊形

11 n 倍角整數邊圓內接四邊形定理 6. 如圖示, 若 ABC n A, A BC (n 1) A, 其中 n 3, 則 A D (AB AD + BC CD) + CD (AB BC + CD AD) + AD (BD AD ) 0 證明. 由 ABA ABC A BC nθ (n 1)θ A, 所以 A D 平行 AB, 連 AA, BD, 得等腰梯形 ABDA ABDA 中, 根據托勒密定理可得 A D AB + BD AD 且 BD (AB CD + AD BC) (AB BC + CD AD), AB AD + BC CD 代入上式中得 (AB CD + AD BC) (AB BC + CD AD) A D AB + AD AB AD + BC CD

12 1 經由化簡 A D AB + (AB CD + AD BC) (AB BC + CD AD) AD (AB AD + BC CD) AB AD + BC CD A D AB+ AB CD (AB BC + CD AD) + AD BC (AB BC + CD AD) AD (AB AD + BC CD) AB AD + BC CD A D AB + AB CD (AB BC + CD AD) + AB AD (BC AD ) AB AD + BC CD A D (AB AD + BC CD) + CD (AB BC + CD AD) + AD (BC AD ) 0 得 A D (AB AD + BC CD) + CD (AB BC + CD AD) AD (AD BC ) 現在考慮內接於同一圓的四邊形形序列 A BCD, A 3 BCD,..., A n BCD,..., 在 A n BCD 中, 設 a n A n B, b BC, c CD, d n DA n, 且 A n θ, A n BC nθ. 定理 7. 令 A n BCD 為上述內接於同一圓的四邊形形序列, 則證明. 如圖示, 作 DA n 1 平行 AB, a n a n 1 (a n 1 c ) b(a n 1 b + cd n 1 ), n 3 a n 1 d n 1 + bc d n a n 因為 A n 1 A n θ, 且 A n 1 BC A n BC A n BA n 1 nθ θ (n 1)θ 所以 A n 1 BCD 為 (n 1) 倍角圓內接四邊形又因為 A n 1 BC (n 1) A n 1, A n BC n A n 根據性質 5 A n BDA n 1 為等腰梯形, 則 d n a n 1, A D (AB AD + BC CD) + CD (AB BC + CD AD) AD (AD BC ) AB (A B A D + BC CD) A B (A B CD ) BC (A B BC + A D CD) 得 a n a n 1 (a n 1 c ) b(a n 1 b + cd n 1 ) a n 1 d n 1 + bc 將遞迴關係式經變換後代入倍角圓內接四邊形充要條件, 經化簡我們可以得到下式 (c d)(a + c)(ab + cd) (c d)(b + d)(b d)

13 13 並且, 如圖所示 c R sin x, d R sin(3θ x) 因為 θ > x, 3θ x > θ > x, 所以 c R sin x < R sin(3θ x) d. 因此我們可以將其簡化為 (a + c)(ab + cd) (b + d)(b d), 但是此關係式是否為 3 倍角圓內接四邊形充要條件, 底下是我們驗證過程 : 由 (a + c)(ab + cd) (b + d)(b d), 得 b d 由餘弦定理, 得 cos A a + d (b + c ) (ad + bc) 同理可得 cos B a + b (c + d ) (ab + cd) (a + c)(ab + cd). b d a c (b d ) (ad + bc) (a c )(b d) (a + c)(ab + cd) (ad + bc)(b d) (a + c) [(a c)(b d) (ab + cd)] (ad + bc)(b d) a + c [ad + bc] a + c (ad + bc)(d b) (d b). a c + (b d ) (ab + cd) (a c )(b d) + (a + c)(ab + cd) (ab + cd)(b d) (a + c) [(a c)(b d) + (ab + cd)] (ab + cd)(b d) (a + c) [(ab + cd) ad bc] (ab + cd)(b d) (a + c) ad + bc sin B [ + ] cos A ( + (d b) ab + cd sin A ). 則 sin A cos B sin A cos A + cos A + sin B; sin A cos A cos A sin B sin A cos B. 即 sin A sin(b A), 所以 B 3 A, 得證同樣的, 我們將倍角圓內接四邊形製造機代入遞迴關係式可以得到 3 倍角圓內接四邊形製造機, a q(n m ) pmn, b pm, c qm pmn, d qmn pm (a + c)(ab + cd) (q(n m ) pmn + qm pmn) [pm (q(n m ) pmn) + (qmn pm )(qm pmn)] (qn pmn) [pm (qn qm pmn) + (qmn pm )(qm pmn)] (qn pmn) [pqm n pm (qm + pmn) + qmn(qm pmn) pm (qm pmn)] (qn pmn) [qmn(qm ) pm (qm )] qmn(qmn pm )(qmn pm ) (b + d)(b d)

14 14 當 n 1 倍角圓內接四邊形的邊長為整數時, 遞迴所產生的 n 倍角圓內接四邊形的邊長為有理數再經伸縮後即為 n 倍角整數邊圓內接四邊形..3.4 n 倍角 Heron 圓內接四邊形如圖示, 延長 An B 與 Dn C 相交於 P n, 所以 BCP n A n θ, 且 P n P n, 所以 CBP n A n P n D n CP n 由 BP n BP n + a n CP n + c b d n CP n b BP n a n b, 得 d n b CP n + d n BP n bc 則 CP n a nb d n + bc b b(a nd n + bc) d n b d n b 令 i 表 A i BCD i 面積, 則 i A i D i P i CBP i 1 A id i A i P i sin θ 1 CB CP i sin θ 1 d i ( d i b a ibd i + b c d i ) sin θ 1 b b a ibd i + b c d i sin θ b 1 (d i b ) a id i + bc d i sin θ sin θ (a i d i + bc) b 所以 n 1 sin θ n sin θ sin θ sin θ sin θ (a n 1 d n 1 + bc) (a n d n + bc) sin θ a n 1 (a n 1 c ) b (a n 1 b + cd n 1 ) a n 1 + bc a n 1 d n 1 + bc a n 1 (a n 1 c ) a n 1 b(a n 1 b + cd n 1 ) + bc(a n 1 d n 1 + bc) a n 1 d n 1 + bc a n 1 (a n 1 c ) (a n 1 b) + (bc) a n 1 d n 1 + bc (a n 1 b ) (a n 1 c ) a n 1 d n 1 + bc (a n 1 c n 1 ) (a n 1 b n 1 ) (a n 1 d n 1 + b n 1 c n 1 ) n 1. 推論 8. 當給定一個 n 1 倍角 Heron 圓內接四邊形, 我們可經由邊長遞迴關係產生的 n 倍角圓內接四邊形, 再經伸縮後即為 n 倍角 Heron 圓內接四邊形.

15 15 3 未來展望一是否能寫出 n 倍角整數邊三角形與 n 倍角整數邊圓內接四邊形製造機的一般形式二文章中所給予的 n 倍角整數邊圓內接四邊形製造機並不唯一, 且不像 n 倍角三角形般可透過調整式中的比值獲得, 因此是否能找出不同形態的製造機所蘊含的意義三是否有辦法將倍角整數邊圓內接四邊形推廣到一般四邊形參考文獻 [1] 三角形趣談, 楊世明, 哈爾濱工業大學出版社,01 年 8 月 [] 從 3, 5, 7 出發擬畢氏三角形之研究陳學儀, 臺北市立第一女子高級中學 [3] 整體與倍角簡境良張緯鈞陳韋銓, 板橋高中

ok313 正餘弦定理

ok313 正餘弦定理 1 主題一三角形面積公式若 a b 和 c 分別表 BC 三內角表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題

定理 3. 內接於同一圓的三角形序列 A B C, A 3 B 3 C 3,..., A n B n C n,..., 在 A n B n C n 中, 如下圖 設 A n, B n, C n 的對邊為 a n, b n, c n, 且 A n θ, B n nθ 則 a n a n 1, b n

定理 3. 內接於同一圓的三角形序列 A B C, A 3 B 3 C 3,..., A n B n C n,..., 在 A n B n C n 中, 如下圖設 A n, B n, C n 的對邊為 a n, b n, c n, 且 A n θ, B n nθ 則 a n a n 1, b n