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赣宪僪
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1 個人賽參考解答寸絲方寸之地已知直線 L y= 4 x+4 分別交 x 軸 y 軸於 A B 兩點若 L x+by+c=0 為 BAO 的角平分線, 其中 O 為原點,b c 為整數, 則 b+c=? 答解易得 A(,0) B(0,4) AB=(,4), 因此角平分線方向為 AB+ AB AO=(,4)+(5,0)=(8,4), 又 L 過 AO A 點, 故 L 方程式為 x y+=0 b+c= 已知二次函數 f(x)=ax +bx+c 在 x= 時有最大值 4, 且 ax +bx+c=0 的兩根為 α β 滿足 α + β =, 則 a=? 答 4 解有最大值之條件得 f(x)=a(x ) +4 且 a<0 f(x)=0 之兩根為 ± 4 a 4 若兩根皆正, 則 α + β =α+β= 不合故兩根一正一負,= α + β = a a= 4 某一正整數的每一位數字都是, 若此數可被整除, 則此數至少是幾位數? 答 5 解 =,... 的個數為的倍數... 的個數為 5 的倍數因此至少是 5 位數個速食店的快樂兒童餐, 每份餐都附一份玩具, 共有四種不同的玩具, 現在有 7 個人, 每人都買了份快樂兒童餐假設每種玩具出現的機率皆相同, 試問每種玩具至少有一個的機率為何? 答解先對玩具數量分類, 依出現次數排序有三種可能 (4,,,) (,,,) (,,,) 因此所求機率 P= 4(C 4 7 7! 4!!!! +C4 7!!!!! +C4 7! 55!!!! )= 04 設 p 為滿足下列條件的質數 : 有一整係數多項式函數 f(x) 使得 f()=00,f(p)=897 試求出所有這種質數 p 的和答 4 解由 f()=00 f(x)=(x )q(x)+00, 又 f(p)=897 (p )q()= p =± ± p= 4 9, 其中僅為質數, 故所求 =+=4 如圖所示, ABC 的內切圓分別與 AB AC 相切於 D E 兩點,DE 的連線與邊 BC 的延長線交於點 F 已知 AB= 5,AC=4,BC=, 試求 CF 答解如圖 x y z 代表 B A C 到內切圓的切線段長, 因此有 x+z = z+y =4 (x,y,z)=(,,) y+x =5 作 DG//AC, 且 G 在 BC 上, 由 BDG BAC 可得 DG=AC x x+y = 8 5, 及 BG= 6 5 GC= 9 5 又 FEC FDG DG= GC+CF CE CF 8 5 = 9 5CF + CF=

設凸四邊形 ABCD 中, ABC 為邊長等於的正三角形,CD=8,DA=7 試求 BD 答 5 解 cos ACD= 8 + 7 8 = 6 sin ACD= 7 6, 又 BCD=60 + ACD cos BCD= 6 7 6 = 6 BCD 中, 由餘弦定理得 BD = +8 8 6 =5 設數列 { } 滿足 x =, 且對任意正整數 n, + + =0 均成立試求 00 0 00 x

2 設凸四邊形 ABCD 中, ABC 為邊長等於的正三角形,CD=8,DA=7 試求 BD 答 5 解 cos ACD= = 6 sin ACD= 7 6, 又 BCD=60 + ACD cos BCD= = 6 BCD 中, 由餘弦定理得 BD = =5 設數列 { } 滿足 x =, 且對任意正整數 n, + + =0 均成立試求 x k x k+ 之值答 k= 解 + + = 0 + = 0 + = + =,,5,7,9,... = n x kx k+ = (k )(k+) = ( k 00 ) k+ x k x k+ = ( 00 )= 0 0 k= 在坐標空間中, 求點 (5,6,) 對於平面 x+y+4z=7 的對稱點答 (,0, 6) 解 d= = 9 投影點 (5,6,) (,,4)=(,, ) 對稱點 (,, ) (,,4)= (,0, 6) 設 α 為方程式 log x= x+ 的實根,β 為 x = x+ 的實根試求 (log α)+ β 之值答解注意 log x 和 x 互為反函數, 其函數圖形對稱於 x=y, 而 y= x 亦對稱於 x=y 因此 (, ) 為 (α,log α) 和 (β, β ) 的中心點 (log α)+ β =α+β=6 若 (+x)(+x )(+x 9 )(+4x 7 )(+5x 8 ) 的展開式, 依升冪排列為 +b x a +b x a +b x a b x a, 其中 a n b n 是兩個正整數的數列, 且 =a <a <a <...<a, 則 a +a +a +...+a =? 答 96 解注意展開後 5 項, 彼此 x 的冪次方皆相異, 因此 x 在項中, 貢獻了 6 項, 如 x x 4 x 0... x x 9,x 7,x 8 亦然, 因此所求 =6 (++9+8)=96 B 如圖所示, 若在 ABC 中, ABM= CBN,BC= 5,M 和 N 是 AC 上的兩點使得 AM= 9,MN= 和 CN= 5, 則 AB=? 答 45 解利用面積 absinθ= 底高可得 BA BM 9 = BN BC 5 和 BA BN 9+ = BM BC +5 兩式相乘得 BA 80 = BC 80, 又 BC=5 BA= 45 A M N C

3 接力賽參考解答 x + y = 方程組 x+y + x y =5 的實數解有多少組? 答 8 組解 f(x,y)= x + y 和 g(x,y)= x+y + x y, 四象限對稱即 g(x,y)=g( x,y)=g(x, y)=g( x, y) f 亦然 x+y = x+y = 故僅須考慮第一象限中的 x,y, (x,y)=( 5, ) 或 (, 5 ) x+y+ x y =5 x y =± 四個象限對稱, 故有 8 組設 T= 前一位隊友傳來的答案若 ABCDEFGH 為正八邊形, 其中四邊形 ABCD 的面積為 T+0, 則此八邊形面積為何? 答 7 解若邊長 a, 則等腰梯 ABCD 的面積為 [a+(a+ a + a )] a = + a 而正八邊形 = ABCD+ EFGH+ ADEH= + a + + a +a (a+ a + a )=+ 其中 EFGH 和 ABCD 全等,ADEH 是矩形故 ABCDEFGH=4 ABCD=4 (0+8)= 7 設 T= 前一位隊友傳來的答案若設 x 為實數, 試求 (x +4x+)(x +4x+)+x +x+t 的最小值答 65 解令 t=x +4x, 原式 =(t+)(t+)+t+t=t +6t++T=(t+) +T 7 當 t=, 即 x +4x+=0 有二實根, 所求有最小值 T 7=7 7=65 設 L x y =0,L x+y =0,L ax y+=0 為相異三直線若此三直線不能圍成一個三角形, 則 a 所有可能值的和為多少? 答解有兩種可能 : L, L, L 三線共點有兩條平行若三線共點,L 交 L 於 (,) 代入 L 得 a= 若 L //L, 則 a=4; 若 L //L a= 故所求 =+4 = 設 T= 前一位隊友傳來的答案若擲一個骰子 T 次, 當點先於 5 及 6 點出現為勝利, 當 5 點或 6 點先於點出現為失敗, 其餘情況為平局若勝利的機率為 q p,p q 互質, 則 q=? 答解平局 =( )T, 在非平局的情況下, 5 6 皆有的機率是三者中最先出現者故勝利的機率 = [ ( )T ], 又 T= q p = 6 64 = 64 = 設 T= 前一位隊友傳來的答案如圖,OP 為圓的切線,C 為切點, POA=0,AB= T,OA=00, 試求 ABC 的面積答 577 = 55 解圓冪性質可得 OC = OB 上, 且 CD 垂直 OA OB = 0 T+00 取 D 在 OB 則 CD=OCsin0 =5 T+00 ABC= T 5 T+00= 5 = 55

4 團體賽參考解答設 P(,) Q(4, 6) R(6,) 分別為圓 C 的三條半徑之中點試求圓 C 的半徑長答 5 7 解令圓 C 為一圓, 與圓心有相同圓心, 但半徑為圓 C 之半, 則 P Q R 在圓 C 上注意 P Q R 為等腰三角形, 故圓心在底邊 QR 的高中垂上上, 由畢氏定理可得此高長 7 設圓心到 QR 的距離為 x 則 x + =7 x x= R=(7 x)= 7 三質點 A B C 在一圓周上, 同向作等速圓周運動, 質點 A 每分鐘繞一圈, 質點 B 每分鐘繞一圈, 質點 C 每 9 分鐘繞一圈在某一時刻三質點剛好會合在一起, 試問下一次三質剛好會合在一起, 需多少時間? 答 9 分鐘解設 x 分鐘後,A B 再一次合在一起, 則 x = x x= 0 同理可得 y= 9 8,A C 再次合在一起 9 因此由三質點合在一起時間算起, 每間隔 0 分鐘,A B 合在一起一次 ; 間隔 8 分鐘,A C 合在 9 一起一次因此所求即 8 和 0 的最小正整數倍之公倍數試求通分得 (x,y)=( 54 40, ), 其最小公倍數為 x+ x +0+ x+ x +=x 的所有實數解答解令 a= x+ x +0 b= x+ x +, 則 [ 4,9 5] 40 = = a+b =x a b= 4 a b x a=x+ x = a 0, 解得 =8 a=5 或 4 不合 x+ x +0=5 b= x+ x += 7 x= a+b = 5+ 7 設某六邊形的三組對邊互相平行, 且邊長依序為試求此六邊形的面積答 57 解如圖, 令 A 為原點 (0,0) B(0,0), 夾角 α β 如圖則 AB+ BC+ CD+ DE+ EF+ FA= 0 0+4cosα+6cosβ 8 6cosα 4cosβ =0 4sinα+6sinβ 6sinα 4sinβ =0 cosα cosβ = sinα sinβ =0 若 α=β, 則 BCD 共線, 不構成六邊形, 故 β=80 α α=60 β=0 連 CF, 將六邊形切成兩等腰梯形, 易得面積 =57 若正整數 n 的所有正因數之積等於 8 45, 則 n=? 答 97 解設 n= α β, 則 n 有 (α+)(β+) 的正因數其中依大小反序可兩兩配對得兩點相乘等於 =n 若 α(α+)(β+) =6 n=d,d 和 d 自己配對因此其正因數乘積 8 45 = n (α+)(β+) β(α+)(β+) =90 α β = 5 (α,β)=(,5) 代入得 α(α+)(β+)=6 且 β(α+)(β+)=90, 所以 n= 5 =97

5 若 m 是正整數, 且方程式 x +mx =0 的兩根都大於 9 5 而小於 7, 則 m=? 答 4 解令 f(x)=x +mx, 其函數圖形開口向上, 二根又在 ( 9 5, 7 ) f( 9 5 )>0 f( 7 )>0 解聯立不等式可得 7 (x+ ) 0, 故頂點 (, 0 ), 合 < m< 9 45, 僅唯一整數 m=4, 代入檢驗頂點處 :f(x)=x +4x = 設 S 表示在 xy 平面中, 滿足 x y x, 且 x 0 的格子點所形成的集合將集合 S 中元素按下述規則編號 : 格子點 (0,0),(, ),(,0),(,),(, 8),(, 7),..., 分別對應於編號,,,4,5,6,..., 即 x 坐標小者對應於較小的編號 ; 當 x 坐標相等時,y 坐標較小者對應於較小的編號試求集合 S 中格子點 (0,45) 的編號答 506 解注意 x=k 之行, 有 k + 個點在集合 S 裡 9 (k +)=0+( 9 0 ) =4060 k=0 所以 (9,9 ) 之編號為 4060 (0,0) 之編號為 =506 (0,45) 之編號為 = 506 設 T={ n n n 為正整數 n 00} 試問 T 中有多少個數是 7 的倍數? 答 575 解考慮 n 除以 7 的餘數,4,,,4,,... 個一循環考慮 n 除以 7 的餘數,4,,,4,,0,,4,... 7 個一循環因此 n n 除以 7 的餘數, 每個一循環 n n 由上表知個中, 有 6 個是 7 的倍數 00= 95+5, 而最後 5 個中亦有 6 個是 7 的倍數因此 n=,,,...00 中有 =576 個 n 使得 n n 是 7 的倍數注意題目問的不是 n 的個數, 是有多少個 n n, 因此相同的數必須扣除 n n =,0,,0,7,8,... n 5 後, 數列遞增, 不再重複, 僅有 = 4 4 =0 兩個重複數因此所求 =576 =575 若 ABC 的三中線長分別為的面積為何? 答 4 解如圖 D,E,F 為三邊中點,EG=EG 利用餘弦定理和 absinθ, 計算以三中線為邊長之三角形面積得 8 而 CGG =( ) 8=8 ABC= 6 8=4 另解由的中線長和平行四邊形定理可得三邊長若 a,b,c,d 為等差數列, 且實數 x,y,z,w 滿足 50 a+b+c+d =50 x+y+z+w =0, 則 aw+bz+cy+dx=? 答 x+by+cz+dw =00 解 a,b,c,d 等差且 a+b+c+d=50 a+d=b+c=5 (aw+bz+cy+dx)+(ax+by+cz+dw)=x(a+d)+y(b+c)+z(b+c)+(a+d)=5(x+y+z+w) 所以 aw+bz+cy+dx=5 0 00=50

ok313 正餘弦定理

ok313 正餘弦定理 1 主題一三角形面積公式若 a b 和 c 分別表 BC 三內角表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題