6.3 正定二次型

6.3 正定二次型

一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的

定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k y +k y + +k r y r 及 f = z + z + + r z r 则 k, k,, k r 中正数的个数与,,, r 中正数的个数相等 正惯性指数 : 二次型 f 的标准形中正系数的个数 ; 负惯性指数 : 二次型 f 的标准形中负系数的个数

定义设 n 元实二次型 f (x)= f (x, x,, x n )=x T Ax 如果对任意的 x O, 都有 f (x)>0, 则称 f 为正定二次型, 并称实对称矩阵 A 是正定矩阵, 记作 A>0; 如果对任意的 x O, 都有 f (x)<0, 则称 f 为负定二次型, 并称实对称矩阵 A 是负定矩阵, 记作 A<0.

定理实二次型 f =x T Ax 为正定的充分必要条件是它的标准形的 n 个系数全都大于零 证设可逆变换 x=cy, 使 f ( x ) = f ( Cy ) = k y + k y + L + k n y n 充分性设 k, k,, k n 全大于零, 则任给 x O, y=c x O, f = k y + k y + L + k n y n > 0 f 正定 必要性第 s 个假设 k s 0, 取 y=(0,,0,,0,,0) T, 则 s y s f = k = s k 0, 即存在 x=cy O, 使 f ( x ) 0, 与 f 正定矛盾, 故 > 0, i =,, L, n. k i

定理实二次型 f =x T Ax 为正定的充分必要条件是它的标准形的 n 个系数全都大于零 推论实二次型 f =x T Ax 为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零 推论实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是存在可逆矩阵 P, 使 P T AP=E

定义设 A=( ij ) n n 为 n 阶实对称矩阵, 则顺序取 A 的前 k 行与前 k 列构成的矩阵 L k L k A k =, k =,, L, n M M M k k L kk 称为 A 的 k 阶顺序主子阵, 它的行列式 A k 称为 A 的 k 阶顺序主子式 A 共有 n 个顺序主子阵, 它们仍然是实对称矩阵.

例如 = 3 3 A 阶顺序主子式为 ; 阶顺序主子式为 ; = 3 阶顺序主子式为 ; 6 = 4 阶顺序主子式为 4. 3 3 = = A

定理 ( 霍尔维兹 Hurwitz 定理 ) 实二次型 f =x T Ax 为正定的充分必要条件是 A 的各阶顺序主子式全大于零 ; 实二次型 f =x T Ax 为负定的充分必要条件为 A 的奇数阶顺序主子式全小于零, 而偶数阶顺序主子式全大于零

例判定矩阵 A = 3 0 3 0 0 0 解法一因为 =3>0, = 所以 A 为正定矩阵 3 3 0 3 的正定性 = 8 > 0, A = 3 0 = 6 > 0, 0 0

例判定矩阵 解法二 A = 3 0 3 0 0 0 A 的特征多项式为 的正定性 3 0 E A = 3 0 = ( ) ( 4 ) 0 0 故 A 的特征值为 =4, = 3 =, 均大于零, 所以 A 为正定矩阵

例判别二次型 f =5x +6x +4x 3 4x x 4x x 3 的正定性 解 f 对应的矩阵为 5 A = 0 因为 =5>0, = 5 6 5 0 4 = 6 A = 6 = 所以 A 为正定的, 0 0 4 6 > 0, 84 > 0, 从而 f 是正定二次型

例已知二次型 f =x +x +(k)x 3 +kx x +x x 3 其中 k 为参数, 求使 f 为正定的 k 的范围 解 f 对应的矩阵为 A = k k 0 0 k 因为 f 正定, 所以 A 为正定矩阵 又 A 为正定矩阵的充要条件为 A 的各阶顺序主子式全大于零, 于是有 =>0, = k k = k > 0,

例已知二次 f =x +x +(k)x A = 3 +kx x +x x 3 其中 k 为参数, 求使 f 为正定的 k 的范围 解 =>0, = k k k = k > A = k 0 = k ( k + )( k ) > 0 0 k 综上得 < k < 0, 此即为使 f 正定的 k 的范围 k 0 < k < k 0 0 k < k < 0

例如果 A 为 n 阶正定矩阵, 则 A 也是正定矩阵 证设,,, n 为 A 的特征值, 由于 A 为正定矩阵, 所以 i >0,i=,,, n, 且 A = n >0, 所以 A 可逆, 于是 A 的特征值为 从而 A 也是正定矩阵 i > 0, i =, L, n

例如果 A 为 n 阶正定矩阵, 证明 A+E > 证设,,, n 为 A 的特征值, 由于 A 为正定矩阵, 所以 i >0,i=,,, n, 于是 A+E 的特征值为 所以 + i >,i=,,, n, 故 n A+E = ( i + ) >. i =

例如果 A 为 n 阶正定矩阵, 证明存在 n 阶正定矩阵 B, 使 A=B 证设,,, n 为 A 的特征值, 由于 A 为正定矩阵, 所以 i >0,i=,,, n, 且存在正交矩阵 P, 使得 P T AP =Λ= n O 所以 A=PΛP T = T n P P O

例如果 A 为 n 阶正定矩阵, 证明存在 n 阶正定矩阵 B, 使 A=B 证 A=PΛP T = T n P P O = P n O n O T P

例如果 A 为 n 阶正定矩阵, 证明存在 n 阶正定矩阵 B, 使 A=B 证 A=PΛP T = = P n O n O T P P T P T n P P B = O 令的特征值为所以 B i, 0 > n i,, = L B 为正定矩阵, 且有 A=B.

例如果 A 为 n 阶实对称矩阵, 证明当 t 充分大时, A+tE 为正定矩阵 证设,,, n 为 A 的特征值, 由于 A 为实对称矩阵, 所以 i (i=,,, n) 为实数, 且 A+tE 也为 n 阶实对称矩阵, 其特征值为 i + t (i =,,, n), 于是当 t > mx(,,, n ) 时, i + t >0 (i =,,, n), 此时 A+tE 的所有特征值均大于零, 从而 A+tE 为正定矩阵.

例如果 A 为 n 阶实对称矩阵, 且 A 3 3A +5A3E=O, 证明 A 为正定矩阵 证设 为 A 的任一特征值, 由于 A 为实对称矩阵, 所以 为实数, 又因为 A 3 3A +5A3E=O, 所以 3 3 +53=0, 即 ()( +3)=0, 在 +3=0 中, 由于 = = 8 <0, 所以 +3> 0, 即只有 =0, 得 => 0, 于是 A 的任一特征值均大于零, 所以 A 为正定矩阵

本节小结 正定二次型的概念, 正定二次型与正定矩阵的区别与联系. 正定二次型 ( 正定矩阵 ) 的判别方法 : () 定义法 ; () 顺次主子式判别法 ; (3) 特征值判别法.

习题 判断下列二次型的正定性 : () f = x +x +6x 3 +x x +x x 3 +6x x 3 ; () f =x +4 x +5x 3 4x x 3. t t 取何值时, A = t 0 是正定的. 0 t 3 t 取何值时,f =x +t x +t x 3 +x x +4x x 3 是正定的.