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匡勺米
4 years ago
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1 第二节微积分的研究对象函数主要内容 : 函数基本初等函数与复合函数

2 一函数常量 : 保持不变的量. 如常数 1-50 e π 变量 : 可以取不同值的量. 如 sin 中的, sin ln(1+ ) 中的, ln(1+ )

3 定义 ( 传统定义 ) 如果在变化过程中有两个变量 y, 在某个变化范围 X 内的每一确定的值, 按照某个对应法则 f, y 都有唯一确定的值与它对应, 那么 y 就是的函数. 记作 y = f (), 称为自变量, X 是 f 的定义域, 全体函数值的集合称作函数的值域.

4 函数的定义表明了函数的结构. 函数是由定义域对应法则值域组成的. 函数的模型如同一部机器, 把 X 中任一原材料输入 f (), 就可产出实数 y = f ().

5 定义域 y=f() y f ( ), D ( D [ a, b ] ) 因变量自变量 0 y y M 0, y ) ( 0 定义域是自变量所能取的, 使算式有意义的一切实数值. a b O 0 对应规律的表示方法 : 解析法图像法列表法.

6 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相等的. 如 f ( ), g( ) 3 1. 如果两个函数定义域和对应法则二者有一个不同, 那么这两个函数是不同的. 如 f ( ) sin, g( ) 1 cos 实际上 g ( ) 1 cos sin.

7 1 例 1 设 f ( ), 求 f ( f ( ) 1) 解 f( ) f ( f ( ) 1)

8 例在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数, 它反映了一个国家的富裕程度, 也是国际通用的一项重要指标. 富裕程度绝对富裕比较富裕小康水平温饱贫困 O 在定义域的不同区间上由不同的代数式来表示的函数称为分段函数 (%)

9 函数的性质 : 单调性奇偶性周期性. 有界性 : 设 y f ( ) 的定义域是 ( a, b), M 0, 若对 ( a, b) 满足 f ( ) M, 称 f ( ) 是区间 ( ab, ) 内的有界函数. 如 : sin cos 在定义域内是有界函数 : sin 1, cos 在定义域内是无界函数, 而在 [-,] 内有界 : 3 3.

10 二反函数的定义设函数 y f ( ), D,Y 是值域. 如果对于 Y 内的任一 y, D 内都有唯一确定的与之对应, 使 f () = y, 则在 Y 上确定了一个函数, 这个函数称为函数 y = f ( ) 的反函数. 记作 = f -1 ( y ), y Y. 1 由 y f ( ) 确定的 y f ( ) 称为反函数. 原来的函数 y = f ( ) 称为直接函数.

11 y e y e 与 y ln 互为反函数. y ln

12 y 反函数 y ( ) Q( b, a) 直接函数 y f ( ) o P( a, b) 直接函数与反函数的图形关于直线 y = 对称. 反函数存在性定理 : 单调函数存在反函数, 且函数与其反函数的单调性相同.

13 例设 4 y 1, 求其反函数. 提示与分析 : 由反函数存在性定理, 当函数 y为单调函数时, 才有反函数, 所以 y 1 在 (-,+ ) 内不存在反函数. 需将 (-,+ ) 分成 0与 0两个区间, 再求 y的反函数. 解 0时, y单调递减 ; 0时, y单调递增, y在 (-,+ ) 内不存在反函数.

14 原函数在单调增区间 [ 0, ), 存在反函数 y 1, 定义域为 D [ 1, ). 在单调减区间 (,0], 存在反函数 y 1, 定义域为 D [ 1, ). f( ) o

15 三基本初等函数 1. 幂函数 y ( 是常数 ), 在 ( 0, ) 内总有定义 y y y y 1

16 . 指数函数 y a ( a 0, a 1) y e 是常用的指数函数 1 y ( ) a a y a( a 1) (0,1)

17 3. 对数函数 y log y ln a ( a 0, a 1) 是常用的对数函数 (1,0) y log a

18 4. 三角函数正弦函数 y sin y= sin,y =cos 的定义域是 (-,+ ), 值域是 [- 1,1], 以 π 为最小周期, 有界函数. 余弦函数 y cos

19 正切函数 y tan π π 定义域 : ( kπ, kπ ), k Z; 值域 (, ), π π 以 π 为周期, 在每个开区间 ( kπ, kπ ) 上递增.

20 余切函数 y cot 定义域 :( kπ,( k 1) π ), k Z; 值域 (, ), 以 π 为周期, 在每个开区间 (π k,( k 1) π) 上递减.

21 5. 反三角函数反正弦函数 y arcsin π π 定义域 [ 1,1], 值域 [, ] sin( arcsin ).

22 反余弦函数 y arccos 定义域 [ 1,1], 值域 [0, π] cos( arccos ).

23 反正切函数 y arctan π π 定义域 : (, ), 值域 (, ), 单增函数, tan( arctan ). 渐近线 y π y π 渐近线

24 把常数, 幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.

25 例 5 讨论 y 1 1 arcsin 的定义域. 5 5 提示与分析 : 所给函数是两个函数之和形式, 所以 f( ) 的定义域是使两个函数同时有意义的取值范围, 即应是两个函数定义域的交集.

26 解 , 5, 1 5且 5 4 6且 5 5, 于是, 定义域是 [, ) [ ) 两个函数和的定义域, 是这两个函数定义域的公共部分.

27 四复合函数设 y f ( u), uu; u ( ), X 由 y f ( Xu ) 确定的函数值称为 u ( ) 落在外层函数函数 y f ( u) 的定义域 U内, 则称 y f [ ( )] 为复合函数. 自变量中间变量如, y 1 是由 y u, u 1 复合而得的. 基本初等函数 u ( ) 称为里层函数

28 初等函数 : 由基本初等函数经过有限次四则运 u 由 y e, u v, v 1 算和复合运算构成的函复合而得的. 数并可用一个式子表示的函数. 幂函数 y cos 1 3 ln[1 arcsin( 表面形式复杂, 但依然是初等函数. 分段函数不是初等函数. 1 如, y e 是 1 )] 3 指数函数分解复合函数原则 : 观察各层函数是否为基本初等函数或多项式函数. 多项式函数

29 注意 : 1. 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的. 例如 u y arcsin u, ; y arcsin u的定义域是 [ 1,1], y 1, 不能复合成一个函数的. arcsin( ). 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 中间变量例如 y cot, y u, u cot v, v. 而 u 这两个函数是自变量把一个复合函数分成不同层次的函数中间变量, 叫做复合函数的分解.

30 综上所论 : 复合函数 y f ( u), u ( ) y f [ ( )] 由基本初等函数经有限次四则初等函数 : 运算和有限次复合运算构成指数函数 y a, y e 初等函数的对数函数 y loga, y ln 结构关系幂函数 y 三角函数 y= sin, y= cos, y tan, 基本初等函数 y cot, y sec, y csc 反三角函数 y arc sin, y arc cos, y arc tan, y arcco t 常数 y c 1 反函数 y f ( )

31 五应用例 6 用函数关系探测古墓的年代考古人员研究了长沙马王堆一号古墓, 发现了棺盖板是由杉木做成的, 并且盖板所含的 C 14 放射性物质和现代杉木的 C 14 的比值为 76.7%, 问此古墓是什么时候建的? 解已知放射性物质 C 14 的半衰期为 5570 年, 并且生物体死亡后 C 14 的含量 b 与原始含量 a 随时间 t 的变化满足下面的函数关系 : b t ct a, e c为常数, b 1 时,e, a ct 5570

32 ln 可得, c , b a t 即有 e, ln t 13( 年 ) 因此推算出古墓是在 13 年前建成的.

33 课后作业习题 1 (page 6-7),3(),4(6),5(3),8

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PowerPoint Presentation 第一章函数的极限与连续一函数及其性质二极限三函数的连续性分析基础函数极限连续研究对象研究方法研究桥梁第一节函数及其性质一函数的概念二函数的性质一函数的概念 ( 一 ) 区间与邻域 1. 区间研究函数时, 常常要用到区间的概念. 设 a, br 且 a b, 规定 : 开区间 ( a, b ) a b 闭区间 [ a, b ] a b 右半开区间左半开区间 [