5 注意如果定理的三个条件有一个不满足, 则定理的结论就不一定成立. 经济数学 ( 第三版 ).. 拉格朗日中值定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导, 则在 ( a, b ) 内至少存在一点 ξ, 使得 f (

Transcription

1 第 章中值定理与导数的应用 本章学习目标 了解中值定理的条件和结论, 特别是拉格朗日中值定理 理解洛必达法则及其应用条件, 会用洛必达法则求相应的极限 了解函数与曲线的对应关系, 掌握函数的增减区间与极值的求法 掌握曲线的凹凸区间与拐点的判别方法 会求曲线的渐近线, 知道描绘函数图形的基本步骤 知道导数在经济中的一些简单应用. 中值定理.. 罗尔定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导 ; () 在区间的两个端点处的函数值相等, 即 f ( a) = f ( b ), 则在 ( a, b ) 内至少 存在一点 ξ, 使得 f ( ξ ) =. 如图. 所示, 如果连续函数 y = f ( ) 的曲线弧 AB 上除端点外处处具有不垂直于 轴的切线, 且两端点 A B 处的纵坐标相等, 那么, 在弧 AB 上至少有一点 C( ξ, f ( ξ )), 使曲线在 C 点的切线平行于 轴. 证明略. 图.

2 5 注意如果定理的三个条件有一个不满足, 则定理的结论就不一定成立. 经济数学 ( 第三版 ).. 拉格朗日中值定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导, 则在 ( a, b ) 内至少存在一点 ξ, 使得 f ( b) f ( a ) f ( ξ ) = b a 或 f ( b) f ( a) = f ( ξ )( b a ). 此公式称为拉格朗日公式, 它对于 b < a 也同样成立. 如图. 所示, 设函数 f ( ) 在闭区间 [ a, b ] 上的图形是曲线弧 AB, 因为连接 f ( b) f ( a ) 曲线两端点的弦 AB 的斜率为, 因此定理的结论是说, 如果连续曲线 b a 弧 AB 上除端点外处处有不垂直于 轴的切线, 则在弧 AB 上至少有一点 ( ξ, f ( ξ )), 曲线在该点的切线平行于弦 AB. 证明略. 图. 拉格朗日公式建立了函数在区间上的改变量与导数之间的关系, 从而使我们 有可能用导数去研究函数在区间上的性态. 由拉格朗日中值定理可以得出下面两个重要的推论 : 推论 如果函数 f ( ) 在开区间 ( a, b ) 内任意一点的导数 f ( ) 都等于零, 那 么函数 f ( ) 在 ( a, b ) 内是一个常数. ( ) ( ) = ( ξ )( ) 可直接得出. 此结论由 f f f 推论 如果函数 f ( ) 与 g( ) 在开区间 ( a, b ) 内每一点的导数都相等, 即在 ( a, b ) 内恒有 f ( ) = g ( ), 则在 ( a, b ) 内, f ( ) 与 g( ) 最多差一个常数, 即 f ( ) = g( ) C (C 为任意常数 ). 这是由于 [ f ( ) g( )] =, 再由推论 即得. 例 试证明当 > 时, e > e.

3 证明设 f ( ) = e, 则对任意 >, f ( ) 在闭区间 [, ] 上满足拉格朗日中 值定理的条件, 且 f ( ) = e, 因此 由于 e 于是得 e ξ > e, 因此从上式可得 > e. =, 其中 < ξ <. ξ e e ( )e e e > ( )e = e e. 注意应用拉格朗日中值定理证明不等式, 应根据所给不等式的特点需先选定一个函数, 然后相应的确定一个区间. 选定的函数在所确定的区间上要满足拉格朗日中值定理的条件, 则有拉格朗日公式成立. 由 ξ 所在的区间范围, 即可导致 等号成为不等号... 柯西中值定理 设函数 f ( ) 与 g( ) 满足条件 : () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导, 且 g ( ), 则在 ( a, b ) 内至少存在一点 ξ, 使得 f ( b) f ( a) f ( ξ ) =. g( b) g( a) g ( ξ ) 证明略. 显然, 在柯西中值定理中, 如果 g( ) =, 则 g ( ) =, g( a) = a, g( b) = b, 于是柯西中值定理成为拉格朗日中值定理, 因此, 柯西中值定理又是拉格朗日中 值定理的推广. 以上三个中值定理中的条件都是充分但非必要的, 即定理的条件不具备时, 结论也有可能成立. 另外, 三个定理只肯定 ( a, b ) 内存在点 ξ, 至于这样的 ξ 有 几个, 位于何处, 以及如何求法都没有给出. 尽管如此, 并不妨碍定理的各种 应用. 习题.. 试验证函数 f ( ) = 在区间 [,] 上罗尔定理是否成立?. 函数 f ( ) = 在区间 [,] 上是否满足拉格朗日中值定理的条件? 如满足, 求出 定理中的 ξ. π. 证明在 [,] 上, arcsin arccos = 恒成立. 4. 试用拉格朗日中值定理证明 : arctan b arctan a b a. 第 章 中值定理与导数的应用 5

4 54 经济数学 ( 第三版 ). 洛必达法则 如果当 a ( 或 ) 时, 函数 f ( ) 与 g( ) 同时趋于零或同时趋于无穷 大, 那么极限 lim a ( ) f ( ) 可能存在, 也可能不存在, 通常把这种极限称为未定式的 g( ) 极限, 并简记为 和 ( 注意 : 只是记号 ), 称为零比零型和无穷比无穷型不定式. 这种极限不能直接用运算法则, 下面我们给出一个求 和 型未定式极限的法则 洛必达法则... 型未定式的极限 定理 设函数 f ( ) 与 g( ) 在 = a 的某空心邻域内有定义, 且满足如下条 件 : () lim f ( ) = lim g( ) = ; 则 a a () f ( ) 和 g ( ) 在该邻域内都存在, 且 g ( ) ; f ( ) () lim 存在 ( 或为 ), a g ( ) 此定理可用柯西定理证明. 例 f ( ) f ( ) lim = lim. a g( ) a g ( ) α ( ) 求 lim (α 为任意实数 ). α α 解 ( ) α ( ) lim = lim = α. 例 ln( ) 求 lim. 解 ln( ) lim = lim = lim =. ( ) f ( ) 如果 lim a g ( ) 还是 满足的条件, 则可继续使用洛必达法则. 即有 型未定式, 且 f ( ) 与 g ( ) 能满足定理中 f ( ) 与 g( ) 应

5 f ( ) f ( ) f ( ) lim = lim = lim. a g( ) a g ( ) a g ( ) 且可依此类推, 直到求出所要求的极限. e e 例 lim. e e e e e e 解 lim = lim = lim =. 此定理的结论对于 时 型未定式同样适用. π arctan 例 4 求 lim. π arctan 解 lim lim = = lim =. f ( ) f ( ) 如果反复使用洛必达法则也无法确定的极限, 或能断定无极限, g( ) g ( ) f ( ) 则洛必达法则失效, 此时需用别的办法判断未定式的极限. g( ) 例 5 sin 求 lim. sin 解这个问题属于 型未定式, 但分子分母分别求导后得 sin cos. cos 此式振荡无极限, 故洛必达法则失效, 不能使用. 但原极限是存在的, 可用下法 求得 sin sin lim = lim =. sin sin.. 型未定式的极限 定理 设函数 f ( ) 与 g( ) 在点 = a 的某空心邻域内有定义, 且满足如下 条件. 55 第 章 中值定理与导数的应用

6 56 经济数学 ( 第三版 ) 则 () lim f ( ) = lim g( ) = ; a a () f ( ) 与 g ( ) 在该邻域内都存在, 且 g ( ) ; f ( ) () lim = A ( 有限或 ), a g ( ) f ( ) f ( ) lim = lim. a g( ) a g ( ) 例 6 解 : tan 求 lim. π tan tan lim = lim sec π π tan sec π cos = lim cos π cos ( sin ) = lim cos ( sin ) sin 6 6 cos 6 = lim = lim =. sin cos π π 定理 的结论对于 时的 型未定式的极限问题同样适用. ln 例 7 求 lim. n ln 解 lim lim lim n n n = n = n =... 其他未定式的极限 未定式除 或 型外, 还有 型 型和 型等五种类型, 这些未定式都可化为 型或 型未定式, 然后再利用洛必达法则求其极限. 下面 我们通过例子简单说明这类问题的解法.. 型未定式设在自变量的某一变化过程中 f ( ), g( ), 则 f ( ) g( ) 可变形为 例 8 f ( ) g( ) 求 lim ln. 型 或 g( ) f ( ) 型.

7 4 ln 解 lim ln = lim = lim = lim = lim 4. 型未定式 例 9 求 lim ln.( 型 ) 解 lim ln = ln lim 型 ( ) ln ln ln = lim = lim ln ln = lim =..,, 型未定式 =. 型 ( ) 由于它们是来源于幂指函数 [ f ( )] g 的极限, 因此通常可用取对数的方法或 ( ) 利用 [ f ( )] g = 而 所以 例 ( ) ln ( ) e g f 求 lim 即可化为 型未定式, 再化为 型或 型求解..( 型 ) lim ln ln 解 例 lim = lim e = e. ln lim ln = lim = lim = lim ( ) =. lim = e =. 求 lim (cot ) sin sin 解设 y = (cot ),.( 型 ) 两边取对数 ln y = sin ln cot, 于是 而 sin ln cot y = e. lim ln y = lim sin ln cot ln cot = lim = lim cot sin cos sin sin 57 第 章 中值定理与导数的应用

8 58 经济数学 ( 第三版 ) 所以 即 所以 例 求 lim(ln ) e lim (cot ) ln lim sin =. cos = sin. ( 型 ) = lim ln y = lim e y ln 解设 y = (ln ), 则 ln y = ln(ln ). ln ln(ln ) ln y = e. ln(ln ) lim ln y = lim = lim ln e e ln e = lim =, e ln lim(ln ) e ln = e. = e =. 习题. 利用洛必达法则求极限. sin5 5 () lim ; () lim ; 4 5 m () lim a n a a m n e ; (4) lim e ; sin cos tan 6 (5) lim ; (6) lim ; sin π tan (7) lim ln ; (8) lim lnsin e ; (9) lim cot ; () lim ln ;. 函数的单调性与极值.. 函数的单调性及判别法 在第一章我们给出了函数在某个区间内单调增加和单调减少的定义, 但直接 用定义判断函数的单调性是不可能的. 现在介绍利用导数判定函数单调性的方法. 从几何上看, 在区间 ( a, b ) 内, 如果函数是单调增加的, 则曲线上每一点的切

9 线斜率都是非负的, 如图. 所示. 反之, 如果函数是单调减少的, 则曲线上每一点的切线斜率都是非正的, 如 图.4 所示. 图. 图.4 由导数的几何意义, 曲线 y = f ( ) 在某点 (, f ( ) ) 切线的斜率即是函数 y = f ( ) 在点 的导数值. 因此, 我们可以根据导数的符号判别函数的增减性. 定理 设函数 f ( ) 在 [ a, b ] 上连续, 在 ( a, b ) 内可导, 则 () 若在 ( a, b ) 内, f ( ) >, 则函数 f ( ) 在 [ a, b ] 上单调增加 ; () 若在 ( a, b ) 内, f ( ) <, 则函数 f ( ) 在 [ a, b ] 上单调减少. 证由于函数 f ( ) 满足拉格朗日中值定理的条件, 故在 [ a, b ] 上任取两点, <, 必有 ξ (, ), 使 f ( ) f ( ) = f ( ξ ) ( ). 且 () 若 ( a, b ) 时 f ( ) >, 则 f ( ξ ) >, 由上式可知 f ( ) > f ( ), 所以函数 f ( ) 在区间 ( a, b ) 内单调增加 ; () 若 ( a, b ) 时 f ( ) <, 则 f ( ξ ) <, 由上式可知 f ( ) < f ( ), 所以函数 f ( ) 在区间 ( a, b ) 内单调减少. 注意如果在区间 ( a, b ) 内 f ( ) ( 或 f ( ) ), 但等号只在个别点处成 立, 则函数 f ( ) 在 ( a, b ) 内仍是单调增加 ( 或单调减少 ) 的, 如图.4 中 c 点导数 值为零, 但不影响曲线在整个区间上的单调性. 如果把定理中的闭区间换成其他各种区间 ( 包括无穷区间 ), 那么结论也成立. 例 判定函数 y = sin 在区间 [ π, π] 上的单调性. 解因为所给函数在指定的区间上连续, 在 ( π, π) 内可导, y = cos, 且等号只在 = 处成立, 所以函数 y = sin 在区间 [ π, π] 上单调增加. 例 确定函数 f ( ) = 的单调区间. 解因 f ( ) = = ( )( ), 所以, 当 =, = 时, f ( ) =. 59 第 章 中值定理与导数的应用

10 6 经济数学 ( 第三版 ) 此两点把定义域 (, ) 分成三个区间, 列表如下, 表中 和 分别表示函 数单调增加和单调减少. (, ) (,) (, ) f ( ) f ( ) 所以, 函数 f ( ) 在区间 (, ) 和区间 (, ) 内单调增加, 在 (,) 内单调 减少, 如图.5 所示. 图.5 有些函数在其定义域内不是单调的, 但我们用导数为零的点来划分函数的定 义域, 就可以使函数在各个区间上单调. 这个结论对于在定义域内具有连续导数的函数是成立的. 另外, 导数不存在的点也可用来划分单调区间, 如 y =, 在 = 点不可导, 当 < 时函数单调减少, 当 > 时函数单调增加. 例 确定函数 y = 的单调区间. 解函数的定义域为 (, ), 且在定义域内连续. 其导数为 = 时, y 不存在, 且不存在使 y = 的点. 用 = 把 (, ) 分成两个区间 : (,) 和 (, ), 见下表. y =, 当 (,) (, ) f ( ) f ( ) 如果函数在定义域内连续, 除去有限个点外导数存在, 那么只要用使得 f ( ) = 的点及 f ( ) 不存在的点划分函数 f ( ) 的定义域, 就能保证 f ( ) 在每个部分区间上单调.

11 利用函数单调性的判别法, 可以证明某些不等式. 例 4 证明当 > 时, >. 证明设 ϕ ( ) =, 则 ϕ ( ) =. 由于 ϕ ( ) 在 [, ) 上连续, 且当 > 时, ϕ ( ) >, 因此在区间 [, ) 上, ϕ ( ) 单调增加. 由于 ϕ () =, 所以当 > 时, ϕ ( ) > ϕ () =. 即 >. 于是证得 >... 函数的极值 定义 设函数 f ( ) 在点 的某邻域内有定义, 若对此邻域内每一点 ( ), 恒有 f ( ) < f ( ), 则称 f ( ) 是函数 f ( ) 的一个极大值, 称为函数 f ( ) 的一个极大值点 ; 反之, 如果对此邻域内任一点 ( ), 恒有 f ( ) > f ( ), 则称 f ( ) 为函数 f ( ) 的一个极小值, 称为函数 f ( ) 的极小值点. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 极大值点与极小值点统称为极值点. 注意 () 极值是一个局部性的概念, 它只是与极值点邻近点的函数值相比 较而言, 并不意味着它在整个定义区间内最大或最小. () 一个定义在区间 [ a, b ] 上的函数, 它在 [ a, b ] 上可以不只有一个极大值和 极小值, 且其中的极大值并不一定都大于每一个极小值. 如图.6 所示, 函数在 5 取得的极大值 f ( 5 ) 比在 取得的极小值 f ( ) 要小. 第 章 图.6 中值定理与导数的应用 6

12 6 经济数学 ( 第三版 ) () 极值不能在端点取得. 定理 ( 极值存在的必要条件 ) 如果函数 f ( ) 在点 处有极值 f ( ), 且 f ( ) 存在, 则 f ( ) =. 证如果 f ( ) 为极大值, 则存在 的某邻域, 在此邻域内总有 f ( ) > f ( ). f ( ) f ( ) 于是, 当 < 时, >, f ( ) f ( ) 当 > 时, <. 根据定理假设 f ( ) 存在, 所以 f ( ) = f ( ) = f ( ) f ( ) lim, f ( ) f ( ) f ( ) = f ( ) = lim, 从而 f ( ) =. 同理可证极小值的情形. 注意 () 定理 表明若 f ( ) 存在, 则 f ( ) = 是点 为极值点的必要 条件, 但不是充分条件. 例如函数 f ( ) =, 当 = 时 f () =, 但在 = 处 并没有极值, 如图.7. 使 f ( ) = 的点称为函数的驻点. 驻点可能是函数的极 值点, 也可能不是函数的极值点. 图.7 () 定理 是对函数在点 处可导而言的. 在导数不存在的点, 函数也可能有极值. 例如 f ( ) =, f () 不存在, 但 f () = 为其极小值. 由 () () 可知, 函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点 ; 但是驻点或导数不存在的点不一定是函数的极值点. 定理 ( 极值的第一判别法 ) 设函数 f ( ) 在点 的某邻域内连续, 且在此邻域内 ( 可除外 ) 可导. () 如果当 < 时 f ( ) >, 而当 > 时 f ( ) <, 则 f ( ) 在点 取得 极大值, 如图.8(a) 所示.

13 () 如果当 < 时 f ( ) <, 而当 > 时 f ( ) >, 则 f ( ) 在点 取得极小值, 如图.8(b) 所示. () 如果在点 的两侧 f ( ) 的符号不变, 则点 不是 f ( ) 的极值点, 如图.8(c) 和图.8(d) 所示. (a) (b) 的点 ; (c) 图.8 (d) 根据上面两个定理, 我们可以按下列步骤来求 f ( ) 的极值点和极值 : () 求函数的定义域 ( 有时是给定的区间 ); () 求出 f ( ), 在定义域或给定区间内求出使 f ( ) = 的点及 f ( ) 不存在 () 用 () 中的点将定义域 ( 或给定区间 ) 分为若干个子区间, 讨论在每个区间内 f ( ) 的符号 ; (4) 利用定理, 判断 () 中的点是否为极值点, 如果是极值点, 进一步判 定是极大值点还是极小值点 ; (5) 求出各极值点处的函数值, 得函数的全部极值. 例 5 求函数 f ( ) = ( ) ( ) 的单调区间和极值. 解函数的定义域为 (, ), 第 章 中值定理与导数的应用 6

14 64 经济数学 ( 第三版 ) f ( ) = ( )( ) ( ) ( ) = ( )( ) (5 ), 令 f ( ) =, 得驻点 =, =, =. 5 这三个点将定义域 (, ) 分成四个部分区间, 列表如下. (, ), 5 5, 5 (, ) f ( ) - f ( ) 由上表可知, f ( ) 在区间, 5,(, ) 单调增加, 而在区间, 单调减 小. 在 = 处取得极大值 5 f 5 =, 在 = 处取得极小值 f () =. 如图.9 5 所示. 例 6 图.9 求函数 f ( ) = 的单调区间和极值. 解 f ( ) = =. 当 = 时, f ( ) =, 而当 = 时, f ( ) 不存在. 因此 = 和 = 将区间 (, ) 分成三部分, 列表如下 : (,) (,) (, ) f ( ) 不存在 - f ( )

15 由表中看出, 函数 f ( ) 在区间 (,] 和 [, ) 单调增加 ; 在区间 [,] 单调减 少. 在点 = 处有极大值 f () = ; 在点 = 处有极小值 所示. f () =, 如图. 图. 当函数在驻点处二阶导数存在时, 有如下判定定理. 定理 4( 极值的第二判别法 ) 设函数 f ( ) 在点 处具有二阶导数, 且 f ( ) =, f ( ). () 若 f ( ) >, 则点 是函数 f ( ) 的极小值点 ; () 若 f ( ) <, 则点 是函数 f ( ) 的极大值点. 证明略. 注意当 f ( ) = 时, 定理 4 失效, 此时, 函数 f ( ) 在点 可能有极大值, 也可能有极小值, 也可能没有极值, 尚待用其他方法进一步判定, 例如可使用第 一判别法进行判断. 如, 函数 f ( ) =, f ( ) = 4, f ( ) = 4, 它们在 = 点的一阶 二阶 导数均为零, 但 f ( ) f ( ) = 在 f ( ) 例 7 = 4 在 = 4 在 = 点处没有极值 ; = 点处取极小值 ; = 点处取极大值. 求函数 f ( ) = 的极值. 解函数的定义域为 (, ). 令 f ( ) =, 得 =, =. ( ) = = ( )( ), f f ( ) = 6. 由于 f ( ) = 6 <, f () = 6 >, 65 第 章 中值定理与导数的应用

16 66 所以 f ( ) = 为极大值, f () = 为极小值. 经济数学 ( 第三版 ).. 函数的最大值与最小值 函数在区间 [ a, b ] 上的最大值与最小值是全局性的概念, 是函数在所考察的区 间上全部函数值中最大者和最小者, 这与极值的概念是有区别的. 连续函数在区间 [ a, b ] 上的最大值与最小值可通过比较如下几类点的函数值得 到 : () 区间 [ a, b ] 端点处的函数值 f ( a ), f ( b ) ; () 区间 ( a, b ) 内使 f ( ) = 的点处的函数值 ; () 区间 ( a, b ) 内使 f ( ) 不存在的点处的函数值. 这些值中最大的就是函数在区间 [ a, b ] 上的最大值, 最小的就是函数在区间 [ a, b ] 上的最小值. 注意 () 如果函数 f ( ) 在区间 [ a, b ] 上单调增加 ( 或减少 ), 则最大值 最 小值必在端点处取得. () 如果连续函数 f ( ) 在区间 ( a, b ) 内有且仅有一个极大值, 而没有极小值, 则此极大值就是 f ( ) 在区间 [ a, b ] 上的最大值 ; 同样, 如果 f ( ) 在区间 ( a, b ) 内有 且仅有一个极小值, 而没有极大值, 则此极小值就是 f ( ) 在区间 [ a, b ] 上的最小 值. 很多实际应用问题, 就是属于此种类型. 在工农业生产 经济管理和经济核算中, 常常要解决在一定条件下, 怎样使 投入最小 产出最多 成本最低 效益最高 利润最大等问题. 这些问题反映在数学上就是求函数最大值和最小值的问题. 例 8 解 4 求函数 f ( ) = 5 在区间 [, ] 上的最大值和最小值. ( ) = 4 4 = 4 ( )( ), f 令 f ( ) =, 得驻点 =, =, =, 在驻点处的函数值分别为 f ( ) = 4, f () = 5, f () = 4, 在端点的函数值为 f ( ) = f () =. 因此, 比较上述 5 个点的函数值, 即可得在区间 [, ] 上的最大值为 最小值为 f ( ) = f () = 4. f ( ) = f () =, 习题.. 确定下列函数的增减区间 : () y = ; () y = ; () y = ; (4) y = sin.

17 . 试证明下列不等式 : () 当 > 时, < ln( ) <, π () 当 < < 时, sin π < <.. 求下列函数的极值 : () y = ; () y = ; 4 () y = ( 5) ( ) ; (4) y = ln ; (5) y = sin ; (6) e y = ; 4. 求下列函数在所给区间上的最大值和最小值 : 5 4 () y = 5 5,[,] ; () y =,[, 4] ; π π () y = sin,, ; (4) π y = tan tan,,. 5. 设有一块边长为 a 的正方形铁皮, 从四个角截去同样的小方块, 做成一个无盖的方 盒子, 问小方块的边长为多少才能使盒子容积最大?.4 函数图形的描绘.4. 曲线的凹凸性与拐点在研究函数曲线的变化时, 了解它的单调性当然是很重要的, 但是有时只考虑其单调性是不够的. 例如, 考察两个函数 f ( ) = 和 f ( ) =, 在 时, 二者都是单调增加的, 但它们的图形的差别还是比较大的, 如图. 所示. 第 章 图. 67 中值定理与导数的应用

18 68 经济数学 ( 第三版 ) 可见一个函数仅考虑它的单调性是不够的, 还要进一步讨论函数曲线的弯曲方向, 我们称为曲线的凹凸性. 定义 如果在某区间内, 曲线弧总是位于其切线的上方, 则称曲线在这个区间上为凹的, 如图. 所示. 所示. 图. 如果曲线弧总是位于切线的下方, 则称曲线在这个区间上为凸的, 如图. 图. 由图. 可看到, 当曲线为凹时, 曲线 f ( ) 的切线斜率 f ( ) = tan 随着 的增加而增加, 即 f ( ) 是增函数 ; 反之, 由图. 可看到, 当曲线为凸时, f ( ) = tan 随着 的增加而减少, 即 f ( ) 是减函数. 定理 设函数 f ( ) 在区间 ( a, b ) 内具有二阶导数. () 如果 ( a, b ) 时, 恒有 f ( ) >, 则曲线 f ( ) 在 ( a, b ) 内为凹的 ; () 如果 ( a, b ) 时, 恒有 f ( ) <, 则曲线 f ( ) 在 ( a, b ) 内为凸的. 定义 曲线上凹与凸的部分的分界点称为曲线的拐点. 拐点既然是凹与凸的分界点, 所以由定理 知, 在拐点左右邻近的 f ( ) 必然异号, 因而在拐点处 f ( ) = 或 f ( ) 不存在.

19 例 解 4 求曲线 y = 的凹凸区间与拐点. = 4 6, y 令 y =, 得 =, =. 列表如下 : = = ( ), y (,) (,) (, ) f ( ) - f ( ) (,) 拐点 (,) 拐点 可见, 曲线在区间 (,),(, ) 内为凹的 ; 在区间 (,) 内为凸的 ; 曲线的 拐点是 (,) 和 (,), 如图.4 所示. 图.4 如果函数 f ( ) 在点 的某邻域内连续, 当 f ( ) 在点 的二阶导数不存在时, 如果在点 的某空心邻域内二阶导数存在且在点 两侧符号相反, 则点 (, f ( )) 是拐点, 如果两侧二阶导数符号相同, 则不是拐点. 综上所述, 判定曲线 y = f ( ) 的凹凸与拐点的步骤可归纳如下 : () 求一阶及二阶导数 f ( ), f ( ) ; () 求出 f ( ) = 及 f ( ) 不存在的点 ; () 以 () 中找出的全部点, 把函数的定义域分成若干部分区间, 列表考察 f ( ) 在各区间的符号, 从而可判定曲线在各部分区间的凹凸与拐点. 例 求曲线 y = e 的凹凸区间与拐点. 解函数的定义域为 (, ), y = e, y = e ( ), 当 = ± 时, y =, 故以 =, = 将定义域分成三个区间, 列表 如下 : 第 章 中值定理与导数的应用 69

20 7 经济数学 ( 第三版 ) 所示.,, f ( ) - f ( ) 有拐点有拐点 在 = ± 处, 曲线上对应的点, e 与, e, 为拐点, 如图.5 图.5.4. 曲线的渐近线 有些函数的定义域或值域是无穷区间, 此时函数的图形向无限远处延伸, 如 双曲线 抛物线等. 有些向无穷远延伸的曲线, 越来越接近某一直线的趋势, 这 种直线就是曲线的渐近线. 定义 如果曲线上一点沿着曲线趋于无穷远时, 该点与某直线的距离趋于 零, 则称此直线为曲线的渐近线.. 水平渐近线 如果曲线 y = f ( ) 的定义域是无穷区间, 且有 lim f ( ) = b 或 lim f ( ) = b, 则直线 y = b 为曲线 y = f ( ) 的渐近线, 称为水平渐近线, 如图.6 和图.7 所示. 图.6 图.7

21 例 求曲线 y = 的水平渐近线. 解因为 lim =, 所以 y = 是曲线的一条水平渐近线, 如图.8 所示. 图.8 图.9. 铅直渐近线如果曲线 y = f ( ) 满足 lim f ( ) =, 或 lim f ( ) =, c 或 lim f ( ) =, c c 则称直线 = c 为曲线 y = f ( ) 的铅直渐近线 ( 或垂直渐近线 ), 如图.9 所示. 例 4 求曲线 y = 的铅直渐近线. 解因为 lim =, 所以 = 是曲线的一条铅直渐近线, 如图.8 所示. 习题.4. 求下列函数的凹凸区间及拐点 : () y = ; () y = ; () y = 5 ; (4) y = ln( ) ; (5) y = e.. 求下列曲线的渐近线 : () y = ; () y = ; 4 5 ( ) 第 章 中值定理与导数的应用 7