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1 國立新營高中 99 課綱數學科自我學習要點 習題手冊 範圍 : 數學第三冊三角學 直線與圓 平面向量 高 二 : 班 號 學 生 : 指導教師 : 鄭國順 老師 參考版本 : 南一, 翰林, 龍騰版 新營高中鄭國順編版本修訂 :01 年 7 月 3 日

2 目 次 1 三角 直角三角形的邊角關係 廣義角與極坐標 正弦 餘弦定理與面積公式 差角公式 三角測量 直線與圓 17.1 直線方程式及其圖形 線性規劃 圓與直線關係 平面向量 平面向量的運算 平面向量的內積 平面上的直線 面積與二階行列式 習題參考答案 第一章 第二章 第三章

3 1.1 直角三角形的邊角關係 第 1 章 三角 三角函數定義 : 直角三角形中 ; 對應角的對邊, 鄰邊, 斜邊的比值關係 A 的對應邊 a = BC, B 的對應邊 b = AC, C 的對應邊 c = AB B 正弦函數 : sinθ = a c = 對邊斜邊餘弦函數 : cosθ = b c = 鄰邊斜邊正切函數 : tanθ = a b = 對邊鄰邊 A ± Ãä ¾FÃä C ¹ïÃä 三角函數的幾何意義 : 單位圓 ( 半徑為 1) 中 P S sinθ = PQ OP = PQ cosθ = OQ OP = OQ tanθ = ST,secθ = OS 銳角特別角 三角函數的取值 : O Q T(1,0) θ sinθ 3 1 cosθ 3 tanθ sin cos tan 1 cot sec csc 圖 1-1: 三角函數的基本恆等關係圖 1 順伯的窩

4 1.1 直角三角形的邊角關係 三角函數基本關係平方關係 : sin θ+cos θ = 1,tan θ +1 = sec θ,1+cot θ = csc θ 倒數關係 : sinθcscθ = 1,tanθcotθ = 1,cosθsecθ = 1 商數關係 : 正六邊形任一頂點三角函數值為其相鄰兩頂點三角函數值乘積 tanθ = sinθ cosθ,cotθ =, tanθ = sinθsecθ, secθ = tanθcscθ cosθ sinθ sinθ cosθ tanθ 1 cotθ secθ cscθ 餘角關係 : A+ B = 90 則 sina = cosb,cosa = sinb,tana = cotb,seca = cscb 正弦 餘弦與正切的增減 : 銳角正弦函數遞增 餘弦函數遞減 正切函數遞增 sinθ cosθ tanθ ր ց ր 精選範例 例題 1 設 θ 為銳角, 且 sinθ = 3, 利用作圖法求 θ 的 cosθ,tanθ 三角函數值? 5 [Ans:cosθ = 3,tanθ = 5 5 ] 例題 ABC 中, C = 90, 且 AC = 15,tanA = 1 3, 求 BC 與 AB 長? [Ans:BC = 5,AB = 5 10] 例題 3 利用作圖法求 tan.5 =? [Ans: tan.5 = 1] 例題 4 設 θ 為銳角, 且 cosθ = k, 試利用作圖法, 以 k 表示 tanθ 的值? 1 k [Ans: tanθ = ] k 例題 5 設 θ 為銳角, 且 sinθ = k, 試利用恆等關係, 以 k 表示 cosθ 及 tanθ 的值? [Ans: cosθ = k 1 k ;tanθ = ] 1 k 順伯的窩

5 1.1 直角三角形的邊角關係 例題 6 設 θ 為銳角, 且 sinθ+cosθ = 4 3, 求 sinθcosθ =? 例題 7 設 θ 為銳角, 且 tanθ = 例題 8 化簡 [Ans: sinθ = 1 3,cosθ = sinθ 1+cosθ 1 cosθ sinθ 1. 求下列各式的值 : [Ans: 7 18 ], 利用三角函數基本關係求 sinθ,cosθ 的值? 6 3 ] =? [Ans:0] 習題 1-1 直角三角形的邊角關係 (a) (1+sin30 +sin45 )(1 cos45 +cos60 ) =? (b) tan30 tan60 tan45 cos60 =? (c) cos60 cos30 sin60 sin30 =? (d) sin 10 +sin 5 +sin 65 +sin 80 =?. 若 θ 為銳角, 且 sinθ = 5 13 求 cosθ 及 tanθ 的值? 3. 若 θ 為銳角, 且 cosθ = 3, 求 sinθ 及 tanθ 的值? 4. 三個大小相同的正方形並排如圖 : 求 tanθ 1 +tanθ +tanθ 3 的值? 5. 設銳角 ABC 的三頂點 A,B,C, 所對的邊長分別為 a,b,c,ah 為高, 則 θ 1 θ θ3 (a) AH 長為? (1) bsinb () csinc (3) bsinc (4) csinb (5) asina (b) ABC 的面積可表為 (1) 1 acsinb () 1 absinc (3) 1 c sinc (4) 1 acsinb (5) 1 abcsina 6. 設 0 < θ < 90 且 sinθ cosθ = 1 5, 試求下列各值? (1) sinθcosθ =? () cosθ+sinθ =? 7. 設 0 < θ < 90? ()cosθ sinθ =? 且 cosθ + sinθ = 6 5, 試求下列各值? (1)sinθcosθ = 8. 若 A, B 互餘, 且 cosa = 5 13, 求 cscb 之值? 3 順伯的窩

6 1. 廣義角與極坐標 9. 設 θ 為銳角, 且 tanθ = k, 試以 k 表示 sinθ 及 cosθ 的值? 10. 化簡求 (sin51 +sin39 ) +(sin51 sin39 ) 值? 11. 比較大小關係? (a) sin50 sin60 (b) cos50 sin60 (c) cos50 cos60 (d) cos30 sin30 (e) a = sin0,b = cos0,c = tan0 1. 設 θ 為銳角, 且方程式 5x 7x+k = 0 的兩根為 sinθ,cosθ, 求下列各值? (a) sinθ +cosθ (b) sinθcosθ (c) k (d) sin 3 θ+cos 3 θ 1. 廣義角與極坐標 廣義角 : 由起始邊依逆時針方向旋轉至終邊的角為正向角, 順時針方向旋轉出的角為負角 有正負方向, 不限 0 到 180 之間的有向角, 稱為廣義角 終邊始邊 正向角始邊 負向角 終邊 標準位置角 A 與參考角 θ : 廣義角的頂點在原點, 且始邊在 x 軸的正向, 稱為標準角 設 A 是標準位置角, 則 A 的終邊與 x 軸所夾的銳角 θ, 稱為 A 的參考角 1. 若 A 為第一象限角 ( 終邊在第一象限的標準角 ), 則參考角 θ = A. 若 A 為第二象限角 ( 終邊在第二象限的標準角 ), 則參考角 θ = 180 A 3. 若 A 為第三象限角 ( 終邊在第三象限的標準角 ), 則參考角 θ = A 若 A 為第四象限角 ( 終邊在第四象限的標準角 ), 則參考角 θ = 360 A y P(x,y) θ A O x 標準角 A 與參考角 θ 關係 4 順伯的窩

7 1. 廣義角與極坐標 同界角 ( 共同的始邊與終邊 ): 兩個標準位置角 θ 1 與 θ 具有相同的終邊 θ 1 與 θ 同界角 θ 1 = θ ±k 360,k Z 廣義角三角函數定義 : θ 終邊上, 任一點 P(x,y),r = OP = x +y 定義 : sinθ = y r,cosθ = x r,tanθ = y x,x 0 y y θ 1 O P(x,y) x 1 S (sin) A (all) T (tan) C (cos) x 1 三角函數與坐標關係 廣義三角函數值四個象限角的正負 : C-A-S-T 正值 三角函數值的正負號 : sinθ = y r cosθ = x r tanθ = x y 表 1-: 四個象限角下, 三角函數值的正負號第一象限第二象限第三象限第四象限 cotθ = y x secθ = r x cscθ = r y 特別角函數值 : θ sinθ cosθ tanθ 無意義 sinθ 1, cosθ 1,tanθ R,cotθ R, secθ 1, cscθ 1 secθ > tanθ > sinθ 5 順伯的窩

8 1. 廣義角與極坐標 三角函數的四個象限角函數值 : 1. sin(90 +θ) = cosθ, cos(90 +θ) = sinθ. sin(180 +θ) = sinθ, cos(180 +θ) = cosθ 3. sin(70 +θ) = cosθ, cos(70 +θ) = sinθ 三角函數化簡公式 旋轉木馬記憶法 : cos sec cos -sin sin -cot tan -csc csc -sin cos sin sin -cos -sec 圖 1-: 三角函數化簡公式 : 旋轉木馬記憶法 -cos 1. 由該函數位於哪一輪輻為起始點. 以 90 為單位旋轉一輪輻, 正向角為逆時針旋轉, 負向角為順時針旋轉 3. 最後旋轉終點位置即為該函數化簡值 三角函數的同值不同角度關係 : sinθ = sin(180 θ); cosθ = cos( θ) tanθ = tan(180 +θ); cotθ = cot(180 +θ) y P θ+90 ( y,x) P θ+180 ( x, y) θ O P(x,y) x P θ+70 (y, x) θ 角與 θ+90,θ+180,θ+70 坐標關係 三角函數值異號與角度關係 : sin( θ) = sinθ; cos(180 θ) = cosθ tan(180 θ) = tanθ; cot(180 θ) = cotθ sec(180 +θ) = secθ; csc(180 +θ) = cscθ 1. 餘角關係 A+ B = 90 : sina = cosb,sinb = cosa. 補角關係 A+ B = 180 : sina = sinb,cosa+cosb = 0 3. 周角關係 A+ B = 360 : sina+sinb = 0,cosA = cosb 4. 反向角關係 A = B : sina+sinb = 0,cosA+cosB = 0 ( 相反數關係 ) 6 順伯的窩

9 1. 廣義角與極坐標 已知 θ 角的一三角函數值求其他三角函數值方法 : 1. 作圖法. 坐標法 3. 基本關係法 4. 銳角化作圖修正法 極坐標 : [r,θ] (x,y) = (rcosθ,rsinθ) 若射線 OP 與極軸 ( 水平射線 ) 的夾角為 θ,op = r, 則 P 點的極坐標為 [r,θ], 而直角坐標為 (x,y) = (rcosθ,rsinθ), 其中 OP = x +y 90 P[r,θ] (x,y) = (rcosθ,rsinθ) r 180 θ O 0 70 極坐標與平面坐標 精選範例 例題 1 求下列廣義角的同界角 θ, 使 0 θ < 360,A = 1000,B = 00 [Ans:θ A = 80,θ B = 160 ] 例題 求下列三角函數 sin150,cos10,tan( 60 ) 的值? Ans: 1, 3, 3 例題 3 若 θ 為標準位置角, 其終邊上一點 P(, 1), 求 sinθ,cosθ,tanθ 的值? [A:sinθ = 5 5,cosθ =,tanθ = ] 例題 4 若 θ 是第二象限角, 且 sinθ = 3 5, 求 cosθ 與 tanθ 的值? [Ans: cosθ = 4 5,tanθ = 3 4 ] 例題 5 求 cos10 +cos0 +cos30 + +cos160 +cos170 =? [Ans:0] 例題 6 若 θ 是第三象限角, 且滿足 cosθ sinθ = 1 3, 求 sinθcosθ 與 sinθ+cosθ 的 值? [Ans: sinθcosθ = 4 9, sinθ +cosθ = 17 3 ] 例題 7 已知直角坐標為 P(, 3,O(3, 3 ), 求 P,Q 兩點的極坐標為何? [Ans:P[4,60 ], Q[6,315 ]] 習題 1- 廣義角與極坐標 1. 設 0 < θ 360, 若 6θ 和 θ 是同界角, 試求 θ 的值? 7 順伯的窩

10 1.3 正弦 餘弦定理與面積公式. 試以銳角的三角函數表示 tan( 190 ) =?, sin( 510 ) =? 3. 已知 cosθ = 3 5, 且 θ 為第二象限角, 求 sinθ,tanθ 三角函數值? 4. 已知 sinθ = 3 5, 且 θ 為第四象限角, 求 cosθ,sin(θ +180 ),tan( θ) 三角函 數值? 5. 已知 θ 為銳角且 tanθ =, 求 sin(180 θ) 的值? 6. 已知 θ 角的頂點為原點, 始邊落在 X 軸的正向上, 終邊通過點 P(, 3), 試求 sinθ,cosθ,tanθ 三角函數值? 7. 若 tanθ = 4 3 求 3sinθ +cosθ sinθ +3cosθ =? ( 用一一代入法嗎? 分子分母同除以 cosθ) 8. 化簡 sin(90 +θ)cos(90 +θ) sin(180 θ)cos(180 θ) =? 9. 設 cos( 100 ) = 1 a, 試求 tan80 =? ( 用 a 表示 ) 10. 設 ABC 為一直角三角形,BCDE 是以 BC 為一邊向外作出的正方形, 若 BC = 5,AC = 4,AB = 3 試求 cos ACD =?, ACD 面積為? 11. 化簡 180 x=1 cosx =?; 360 y=1 siny =? 1. 已知 P 點的極坐標為 [4,10 ], 求 P 點的直角坐標為何? 13. 已知 Q 點的直角坐標為 (, ), 求 Q 點的極坐標為何? 14. 設 θ 為第二象限角且 cosθ+sinθ = 1 5, 試求下列各值?(1)sinθcosθ=? ()cosθ sinθ =? 1.3 正弦 餘弦定理與面積公式 三角形面積 : a ABC = 1 absinc = 1 acsinb = 1 bcsina 正弦定理 : ABC 與 A BC 中, A = A,sinA = a R 三邊長比等於其三內角的正弦比, 且比值為其外接圓的直徑 a sina = b sinb = c sinc = R 餘弦定理 : a = BC = (b ccosa) +(0 csina) 第三邊平方 = 兩鄰邊平方和 鄰邊乘積 餘弦值 8 順伯的窩

11 1.3 正弦 餘弦定理與面積公式 1. a = b +c bccosa, 或 cosa = b +c a bc. b = a +c accosb, 或 cosb = a +c b ac 3. c = a +b abcosc, 或 cosc = a +b c ab B A R O a A' C ( c cosa,c sina) B c A a b C (b,0) 圖 1-3: 正餘弦公式的推導圖 由三角形邊長判別內角為銳角 直角或鈍角 : 餘弦定理的推廣 1. 若 A 為直角 (cosa = 0) a = b +c. 若 A 為銳角 (cosa > 0) a < b +c 3. 若 A 為直角 (cosa < 0) a > b +c 正餘弦定理求三角測量問題 : AAS,ASA,SSA 正弦定理求出其餘的邊長及角度 SAS,SSS,SSA 餘弦定理求出其餘的邊長及角度 ( 已知角的對邊當第三邊 ) SSA 型的三角形 ( 不一定會全等 ) 可能有兩種不同的三角形甚或無解 三角形面積公式 : a ABC = 1 底 高 = 1 absinc = 1 acsinb = 1 bcsina ( 海龍公式 ) = s(s a)(s b)(s c),s = 1 (a+b+c) a ABC = r 內 s = abc 4R 外 = 1 AB AC ( AB AC) 精選範例 9 順伯的窩

12 1.3 正弦 餘弦定理與面積公式 例題 1 ABC 中, 已知 AB = 4,AC = 6, A = 60 求 ABC 的面積? [Ans:6 3] 例題 ABC 中, A = 45, B = 30,AB = 6+, 求其他兩邊長與 ABC 的外接圓半徑?(ASA) [Ans:AC =,BC =,R = ] 例題 3 ABC 中, A = 45, B = 30,BC = 8, 求其他兩邊長及 ABC 的外接圓半徑?(AAS) [Ans:AC = 4,AB = 4+4 3,R = 4 ] 例題 4 ABC 中, A = 45,AB = 3,BC = 6, 求 B 及 C? (SSA)[Ans: B = 75, C = 60 或 B = 15, C = 10 ] 例題 5 ABC 中, 三對應邊分別為 a,b,c, 已知 a = 13,c = 15, A = 60, 求邊長 b =? [Ans:b = 7,8] 例題 6 ABC 中, 已知 AB = 7,AC = 3,BC = 5, 求 C 的角度?(SSS) [Ans: C = 10 ] 例題 7 ABC 中, 已知 AB = 5,AC = 8, A = 60, 求邊長 BC =?(SAS) [Ans:a = 7] 例題 8 已知 ABC 的三邊長, BC = a,ac = b,ab = c 且滿足 c = a +b +ab 求此 ABC 的最大角度數? [Ans: C = 10 ] 習題 1-3 正弦 餘弦定理與面積公式 1. ABC 中, A : B : C = 1 : 4 : 1, 求此對應邊的邊長比 a : b : c. ABC 中, a = 4, B = 75, C = 45, 求此 外接圓半徑 R 及 c 長? 3. ABC 中, A = 30, C = 45,BC =, 求 AC 及 ABC 的外接圓半徑? 4. ABC 中, AB = 4,AC = 5, A = 60, 求 BC =? 5. ABC 中, AC = 13,BC = 8, B = 10, 試求 AB =? 6. ABC 中, AB = 8,BC = 5, A = 30, 求 AC =? 7. ABC 中, AB = 15,BC = 13,AC = 7, 求 A? 8. 設 ABC 的三邊長比 a : b : c = : 3 : 4, 求 cosa,cosb,cosc 之值? 9. ABC 中, 設 A = 60, B = 45, 試求 AB : BC : AC =? 10. ABC 中, 已知 AB = 3,BD = 3,CD = 5, 如圖, 求 AD 的長? A B D C 10 順伯的窩

13 1.4 差角公式 11. ABC 中, 設 cosa = 1,AC = 10,AB = 6, 試求 ABC 的面積? 1. ABC 中, 設 AB = 10,BC = 9,CA = 17, 試求 ABC 的面積? 13. 圓內接四邊形 ABCD,AB = 3,BC =,CD = 3, ABC = 10, 試求 AD 之值? 14. 圓內接四邊形 ABCD,AB = 4,BC = 5,CD = 4,DA = 4, 試求對角線 AC 長度? 15. 平行四邊形 ABCD,AB = 5,AD = 4, A = 60, 求兩對角線 AC,BD 長? 16. 已知 ABC 的三邊長為 3,4,5, 求此 ABC 的內切圓半徑 r? 17. 試證 : ABC 中, sina+sinb > sinc [hint: 正弦定理 ] 1.4 差角公式 餘弦的差角公式 : ABC 中, 餘弦定理 a = BC = b +c bccos(θ θ 1 ) = B C 兩點距離公式 ( bcos,bsin ) C b A a c 1 B ( ccos 1,csin 1 ) 正餘弦的和角 差角公式 : 1. cos(a B) = cosacosb +sinasinb. cos(a+b) = cosacosb sinasinb 3. sin(a B) = sinacosb cosasinb 4. sin(a+b) = sinacosb +cosasinb 正切的和角 差角公式 : tana,tanb,tan(a±b) 均有意義時, 利用 tanθ = sinθ cosθ tan(a+b) = tana+tanb 1 tana tanb,tan(a B) = tana tanb 1+tanA tanb 若已知兩角度 α,β 的三角函數值, 則由 α,β 任意整數倍相加減的三角函數值可利用和差角公式求出其值 11 順伯的窩

14 1.4 差角公式 倍角 三倍角公式 : 半角公式 : 1. cosθ = cos(θ+θ) = cos θ sin θ = cos θ 1 = 1 sin θ. sinθ = sin(θ+θ) = sinθcosθ 3. cos3θ = 4cos 3 θ 3cosθ 4. sin3θ = 4sin 3 θ+3sinθ 5. tanθ = tanθ 1 tan θ cos θ 1+cosθ = ±, sin θ 1 cosθ = ± θ (± 號可由之象限角其三角函數值來判定 ) 1 同界角的 n 倍與倍 : θ θ+kπ,k Z n 與 θ 同界角之整數倍後仍為同界角 nθ nθ+kπ,k Z, 均為同界角 1 但其倍角, 有 n 個不同角度 θ n n = θ+kπ,k = 0,1,,(n 1), 有 n 個 n 非同界角的不同角度 三角函數求值問題 : 1. 同一 θ 角, 求其餘三角函數值 ( 在銳角下畢氏定理求出斜邊 鄰邊 對邊比 ; 再由 θ 象限角決定三角函數值正負 ) ( 坐標法 : (x,y) = (rcosθ,rsinθ),r = x +y,tanθ = y x ). 同一三角函數下, 求其倍角 半角 和角 差角的三角函數值 ( 利用倍角 半角 和角 差角公式代入 ) 3. 不同三角函數 不同角度下, 求三角函數值 ( 先化成同一函數或化成同角度 ; 再依上述 1, 項方法求值 ) 精選範例 例題 1 求 cos48 cos1 sin48 sin1 的值? [Ans: 1 ] 例題 設 α,β 分別為第二 三象限角且滿足 sinα = 3 5,cosβ = 5 求 sin(α+β) 與 13 cos(α+β) 值 ; 並藉此判斷出 α+β 是第幾象限角? [Ans:33/65,56/65,I] 例題 3 已知 tanθ 1 = 1 3,tanθ =, 且 0 < θ 1 < 90,90 < θ < 180 求 tan(θ 1 + θ ) 之值? 又 θ 1 +θ =? [Ans: 1, 3π 4 ] 1 順伯的窩

15 1.4 差角公式 例題 4 已知 θ 為第三象限角且 cosθ = 5 13, 求 cos(θ+ π 6 )=? [Ans: ] 6 例題 5 在 ABC 中, 已知 cosa = 3 1,cosB = 5 13, 求三角形的三邊長比 AB : BC : AC =? [Ans: 63 : 5 : 5] 例題 6 已知平面坐標上 O 為原點,B 點在第一象限且 A(3,1), AOB = 60,OB = 10 求點 B 坐標? [Ans:B(3 3,1+3 3)] 例題 7 已知 ABC 中,cosA = 3 5, tanb = 7, 求 sinc =? [Ans: ] 例題 8 求 sin.5,tan.5 的值? Ans: sin.5 =,tan.5 = 1 例題 9 若 θ 是第二象限角, 且 sinθ = 3 5, 求 sinθ 與 cosθ 的值? [Ans: sinθ = 4 5,cosθ = 7 5 ] 例題 10 已知 π < θ < 3π 且 cosθ = 3 5, 試求 sin θ [Ans:sin θ = 5 5 5,cosθ = 5 ] 例題 11 求函數 f(x) = cosx 8cosx 的最大值與最小值? 習題 1-4 差角公式 1. 求 sin17 cos47 cos17 sin47 =? 與 cos θ 值? [Ans:9,-7]. 設 α,β 均為銳角, 且 sinα = 4 5,cosβ = 5 13, 求 sin(α+β) =? 及 cos(α β) =? 3. 設 θ 為第二象限角且 sinθ = 4 5, 求 cos(θ+ π 3 ) 的值? 4. 已知 tanα = 1,tan(α β) =, 求 tanβ 值? 5. 設 α,β 均為銳角, 且 tanα = 3 3,tanβ = 3, 試求 tan(α β) =? 6. ABC 中, cosa = 4 1,cosB = 5 13, 試求 cosc 之值? 7. 設 90,θ < 180, 且 sinθ = 4 5, 求 sinθ,cosθ 及 tanθ 的值? 8. 利用倍角公式化簡求 sin0 sin40 sin80 值為何? 13 順伯的窩

16 1.5 三角測量 9. tanα = 3 4,70 < α < 360, 求 cos α,sinα =? 10. cosθ = 1 3,θ 為銳角, 求 sinθ,cosθ =? 11. 已知 sinθ cosθ = 1 5, 求 sinθ 的值? 1. 已知 sinα = 1 4, π 且 < α < π, 求 sin α =? π 13. 已知 4 < θ < π, 且 sinθ = 5 13, 試求 sinθ,cosθ =? 14. 試化簡 cosθ cos3θ sin3θ sinθ = tanα 則 α =? ( 用 θ 表示 ) 15. 設 f(x) = 3sin x +cosx 1,0 x < π, 試求 f(x) 的最大值與最小值? 及其相對應的 x 值? 1.5 三角測量 視線 : 觀測者眼睛與目標物的連線 仰角 : 往上仰看目標物的視線與水平線的夾角 俯角 : 往下俯看目標物的視線與水平線的夾角 三角函數值的查表 : 若無法直接查得則利用倒數關係 餘角關係 內插法求其三角函數值 表 1-5: 部分三角函數值表角度 sin cos tan 順伯的窩

17 1.5 三角測量 內差法求三角函數近似值 : 已知兩角度的三角函數值, 若欲求介於此兩角度之間的三角函數值, 則利用線性比 θ 例, 度數差的比值 = 函數值差的比值 即 θ = y y 例 : 查表已知 sin3 40 = ,sin3 50 = 則利用內插法求 sin3 46 θ 由 θ = y 可得 y = y = y y = 故 sin = 表 1-5: 三角函數內插法 θ sinθ x y x 3 46 sin3 46 y 三角測量幾何問題的一些步驟要領 : 1. 將測量的對象轉化為特定三角形的邊長 角度或相關量. 直角三角形的邊角關係 : 可利用畢氏定理 三角函數的基本關係運用 3. 幾何測量, 作圖利用正弦, 餘弦定理, 畢氏定理, 三角形面積公式, 配合三角函數及其性質解決問題 將包含已知邊長 ( 角度 ) 的三角形列出, 包含欲求邊長的三角形列出 ; 再仔細觀察這些三角形有何上列公式 ( 定理 ) 可運用 角平分線性質 : 的角平分線與底邊的交點到其底邊的兩頂點距離比等於其兩腰的邊長比 ( 內外角平分線皆然 ) ABC, 若 AD 平分 A 且交直線 BC 於 D 點, 則 BD : CD = AB : AC 圖 1-5: 角平分線性質 : mb = nc 中線定理 : 平行四邊形的對角線平方和 = ( 兩鄰邊平方和 ) ABC 中,M 為 BC 邊的中點, 則 AB +AC = (AM +BM ) 投影定理 : ABC 中, a = bcosc +ccosb 15 順伯的窩

18 1.5 三角測量 精選範例 例題 1 某人在操場 A 點測得旗桿桿頂 P 點的仰角為 30, 朝旗桿直線走 10 公尺至 B 點後, 再測得桿頂 P 的仰角為 45 試問他繼續再往旗桿直線走多遠後? 再測得桿頂 P 點的仰角為 60 [Ans: 10 3 公尺 ] 3 例題 在離地面 50 公尺高的燈塔塔頂測出遠方漁船的俯角為 30, 求觀測人員與漁船之間的距離? [Ans:100 公尺 ] 例題 3 某人在距離塔底的地面上 A 點, 測得與塔頂的仰角為 45, 由 A 點面對塔底直線後退 16 公尺 B 點, 測得與塔頂仰角為 30, 問此塔的高度為? 公尺 [Ans:8( 3+ 1)] 例題 4 一人自塔頂俯視塔正東方一點 A, 俯角為 45, 俯視塔北 60 東一點, 俯角為 30, 且 A,B 兩點相距 100 公尺, 求此塔高? [Ans:100 公尺 ] 例題 5 一測量員在一山的正南方山腳下 A 點, 測出山的仰角為 60, 若測量員向東方移動 300 公尺到達 B 點, 測得山頂的仰角為 30, 求此山的高度? [Ans: 75 6 公尺 ] 例題 6 一人於山麓測得山頂的仰角為 45, 由此山麓循 30 斜坡上行 00 公尺, 再測得 6 山頂的仰角為 75, 求此山的高度?(sin15 = ) [Ans:00 公尺 ] 4 習題 1-5 三角測量 1. 空警隊在直升機上發現 : 地面上正東方俯角 45 的 A 處有火警, 而其正南方俯角 30 的 B 處有消防隊 若此直升機的高度為 400 公尺, 試求地面 A,B 兩地的距離?. 小山丘上有建一寶塔, 此塔高 0 公尺, 若從地面上 A 點測得塔底的仰角為 45, 塔頂的仰角為 60, 問此山丘的高度為? 3. 一梯子靠在牆上, 梯長 6 公尺, 已知梯子與地面成 30 的傾斜角, 求牆腳到梯子上端的高度? 4. 有一人在塔的正東方 A 處, 測得塔頂的仰角 60, 他走到塔的正西方 B 處, 再測得塔頂仰角為 45, 若 A,B 兩地相距 00 公尺, 試求塔高? 5. 在平地地面上 A 測出山頂的仰角為 30, 再朝山的方向前進 500 公尺處 B, 測出山頂的仰角為 45, 求此山的高度? 6. 自塔的正西方一點 A, 測得塔頂仰角為 45, 在塔的南 60 西一點 B, 測得塔頂仰角為 30 若 A,B 兩點相距 40 公尺, 試求塔高? 7. 今有 A,B 兩點分別在大湖的兩岸, 某人在距湖的遠處一點, 測得 AC = 100 m,bc = 150 m, ACB = 60, 試求 AB 的長度? 8. 甲, 乙兩人相距 500 公尺, 同時測量一建築物高度, 甲在建物的正東方測出建物頂點仰角 45, 而乙在建物東偏南 30, 測出建物頂點仰角 30, 求建物的高度? 16 順伯的窩

19 9. 某人在一塔的正西方 A 點, 測得塔頂仰角為 60, 在 A 點正南方 B 點, 測得塔頂仰角為 30, 已知此塔高為 150 公尺, 求 A,B 兩點距離? 公尺 10. 一船以固定速率向東 37 南航行, 於上午 10 時, 測得燈塔方位為東 3 北, 至下午 時, 測得燈塔方位為北 3, 此時船與燈塔距離為 40 3 公里, 求此船的速率? 11. 已知 cosθ = , 利用查表及內插法求銳角 θ 度數的近似值? 1. 利用查表及內插法求 sin66 4 的近似值? 第 章 直線與圓.1 直線方程式及其圖形 直線的斜率 : 直線與 x 軸正向的夾角稱為斜角 θ, 則直線斜率 m = y x = y y 1 = tanθ x x 1 y y = ax+b y x x 直線斜率大小的比較 : 直線方程式 : 1. θ < 90 : 正斜率 ( 左下右上形的直線 ). θ > 90 : 負斜率 ( 左上右下形的直線 ) 3. θ = 0 : 水平線斜率為 0 4. θ = 90 : 鉛直線斜率為無窮大或負無窮大 ( 無斜率 ) 5. 直線往順時針旋轉斜率變小, 往逆時針旋轉變大 ( 未經過鉛直線時 ) 1. 一般式 :ax+by = c, 其斜率 m = a,(b 0) b. 點斜式 :y b = m(x a) 表直線經過點 (a,b), 及直線斜率為 m 3. 兩點式 : y y 1 = y y 1 表直線經過兩點 (x 1,y 1 ),(x,y ) x x 1 x x 1 4. 斜截式 :y = mx+k 表直線斜率為 m, 與 y 軸截距為 k 5. 截距式 : x a + y b = 1 表直線與 x 軸,y 軸的截距分別為 a,b { 6. 向量參數式 : x = x0 +bt y = y 0 at,t R 表直線方向 (b, a), 過點 (x 0,y 0 ) 7. 共交點的直線簇 : L 過 L 1,L 的交點, 則直線 L 方程式為 L : L 1 +kl = 0,k R 17 順伯的窩

20 直線方程式及其圖形 直線的平行與垂直 : 兩斜截式直線 L 1 : y 1 = m 1 x+k 1,L : y = m x+k 互相平行 : 則 m 1 = m,k 1 k 互相垂直 : m 1 m = 1 { 或直線一般式, 互相平行 : ax+by +c1 = 0 { ax+by +c = 0 互相垂直 : ax+by +c1 = 0 bx ay +c = 0 平面上 A,B,C 三點共線 : 1. 任兩點的斜率相等 :m AB = m AC. 任兩點的向量成比例 : AB = t AC 3. ABC 面積為 0 :a ABC = 0,( 代入面積公式, 其值為 0) 二元一次方程組的幾何意義 : 兩直線方程式 { L 1 : a 1 x+b 1 y +c 1 = 0,L : a x+b y +c = 0, 聯立方程組 a1 x+b 1 y +c 1 = 0 a x+b y +c = 0,b 1b 0 1. a 1 b a b 1 時, 方程組恰一解, 此時 L 1 與 L 相交一點 ( 相容方程組 ). a 1 b = a b 1,b 1 c b c 1 時, 方程組無解, 此時 L 1 與 L 互相平行 ( 矛盾方程組 ) 3. a 1 b = a b 1,b 1 c = b c 1 時, 方程組無窮多解, 此時 L 1 與 L 重合 ( 相依方程組 ) 點對稱 : 若 P,Q 兩點的中點為 M 點, 則稱 P,Q 兩點對稱於 M 點 線對稱 : 若 A,B 兩點對稱於直線 L, 則稱 L 為 A B 兩點的對稱軸 此時 L 為 AB 的中垂線 L 上一點到 A B 兩點 (L 同側 ) 的距離和, 當 B,B 對稱於 L 時, 使得 AP + BP = AB 為 min Q P L Q 點 M P B A A 精選範例 例題 1 如圖 : 若直線 AB,BC,CD,DE,EA 的斜率分別為 m 1,m,m 3,m 4,m 5, 比較其斜 P B B L 18 順伯的窩

21 直線方程式及其圖形 A( 3, ) y C(3, ) D( 3, ) E(3, ) x 率的大小? [Ans:m > m 3 > m 4 > m 5 > m 1 ] B(0, 5) 例題 求過點 P( 3,) 分別與直線 L : x y = 5 平行及垂直的直線方程式? [Ans: x y +7 = 0;x+y +4 = 0 ] 例題 3 坐標平面上,A(4, 3),B( 1,4),C(a,11) 三點共線, 求 a 值? [Ans: a = 6] 例題 4 設點 P(3,1), 直線 L : x+y = 0, 求過 P 點且與直線 L 平行的直線方程式 M? 及過 P 點且與直線 L 垂直的直線方程式 N? [Ans: M : x+y 5 = 0,N : x y 5 = 0 例題 5 若 A(4,),B(,6) 求 AB 的垂直平分線方程式? [Ans:3x y = 5] 例題 6 一直線過 P(5,) 及兩直線 L 1 : x+y 5 = 0,L : 3x+y 5 = 0 的交點 Q, 求 P Q 直線方程式? [Ans:y = ] 例題 7 求點 P(3,1) 關於直線 L : x+y = 0 的對稱點坐標? [Ans:A (1, 3)] 習題 -1 直線方程式及其圖形 y E D C x 1. 如圖 : 比較五邊形 ABCDE 的 5 個邊的斜率大小?. 求下列直線方程式 : (a) 過兩點 P( 4,3),Q(, 3) 的直線 (b) 過點 P(,3) 且斜率為 3 的直線? (c) 直線與 X 軸的截距為 -4, 與 Y 軸的截距為 - (d) 斜率為, 交 Y 軸於 (0,3) 的直線 3. 回答下列條件問題 : (a) 求斜率為 3 且 y 截距為 1 的直線方程式 x (b) 求直線 + y 3 = 1 的斜率? A 19 順伯的窩 B

22 直線方程式及其圖形 (c) 求直線 3x y 4 = 0 的斜率與 y 軸截距? (d) 斜率為, 交 Y 軸於 (0,6) 的直線與坐標軸圍成的三角形面積? 4. 設 A( 4,),B(7,6) 為平面坐標上的兩點, 且點 P 為直線 AB 上一點, 若 AP : BP = 3 :, 求點 P 坐標? 5. 如圖中, 直線 L 1,L,L 3,L 4 的斜率分別為 m 1,m,m 3,m 4 試將斜率按大小排序? L Y L L L X 6. 已知三點 A(3, ),B( 1, 5),C(a, a+1) 共線, 則 a =? 7. 求過點 (4,3) 且與直線 L : 3x y +6 = 0 平行, 的直線方程式? 8. 不論任何實數 m, 直線 L : mx y +4m = 0 恆過點 P, 則此點 P 坐標為? 又若 A(,8),B(6,5),L 與 AB 相交, 求 m 值範圍? 9. 設 ABC 為坐標平面上的正三角形, 其中 A(0,0),B( 1, 3), 試求 C 點坐標為? 10. 在平面上有三直線 L 1 : x+3y 1 = 0,L : x+ky+1 = 0,L 3 : x y+3 = 0 共交點, 則實數 k =? 11. 已知直線 L 過點 ( 1,6) 且 L 在兩軸上之截距乘積為 1, 求 L 之方程式? 1. 設直線通過點 (4,1) 且與兩坐標軸圍成的三角形面積為 1, 求 L 的直線方程式? 13. 兩直線 L 1 : ax 6y = 5a 3,L : x+(a+7)y = 9 7a,(1) 若 L 1 L 時,a 值 =? () 又若 L 1 //L 時,a 值 =? 14. 設點 P(4, ), 直線 L : x y + = 0, 求以 L 為對稱軸時, 點 P 的對稱坐標? 15. 已知一點 P(,1), 及直線 L : x+y 1 = 0, 試求點 P 到直線 L 的垂足點坐標? 16. 不論任何實數 m, 直線 L : mx y m+6 = 0 恆過點 P, 則此點 P 坐標為? 又若 A(0,),B(4,5),L 與 AB 相交, 求 m 值範圍? 17. 平面坐標上, 直線 L : y = 3x+k 與 A(0,),B(4,5) 為兩端點的線段 AB 相交, 求 k 值的範圍? 0 順伯的窩

23 線性規劃 18. 試判斷下列聯立方程式解的意義 : { (a) x+3y = 5 3x y = 5 { (b) x+3y = 4 4x 6y = { x+3y = 5 (c) x + y 3 = 5 { x+3y = 6 (d). 線性規劃 y = x 3 二元一次不等式的解區域 : + 1. 若 y > ax+b 則不等式包含直線 L : y = ax+b 的上方區域. 若 y < ax+b 則不等式包含直線 L : y = ax+b 的下方區域 3. 若 x > ay +b 則不等式包含直線 L : x = ay +b 的右方區域 4. 若 x < ay +b 則不等式包含直線 L : x = ay +b 的左方區域 y 線性規劃問題 : y x+1 x L : x+y = 1 y < x+1 y x L : x+y = 1 y L : x y = 4 y < x+4 x y L : x y = 4 y x+4 x 1. 決策變數 : 影響問題的變數稱為決策變數. 目標函數 : 求問題的方程關係式稱為目標函數 其值稱為目標函數值 3. 限制條件 : 決策變數受限的不等式組稱為限制條件 型如 : 求 Max(Min) Z = c 1 x 1 +c x + +c n x n 之最大值 ( 或最小值 ) a 11 x 1 +a 1 x + +a 1n x n b 1 a s.t.( 受制於 ) 1 x 1 +a x + +a n x n b. a m1 x 1 +a m x + +a mn x n b m 線性規劃問題的解法 : 1. 可行解 : 若數對 (a,b,c, ) 滿足所有限制條件, 則稱此問題的一個可行解. 可行解區域 F : 所有可行解的集合稱為可行解區域 F 1 順伯的窩

24 線性規劃 5 y 4 3 red: x y 6, green: x y 8 blue: y x 1, purple: y objective function: 3 x y x 圖 -: 線性規劃的可行解區域 F 3. 最佳解 (optimal solution): 若 (x 1,x, ) 滿足目標函數的最大值 ( 或最小值 ), 則稱為線性規劃的最佳解, 其值 Z 稱為最佳解值 二元線性規劃問題的圖解平行線法 : 欲求 max(min) Z = c 1 x + c y, 利用一組平行線 L k : c 1 x+c y = k 在解區域內平行移動, 找出 (x,y) 使 k 直為最大或最小值的方法 1. 畫出可行解區域 F ( 不等式組的圖形 ), 並標示出所有的頂點 若 F =, 則此問題無解. 若 (c 1,c ) = (0,0), 則 F 中任一點都是最佳解, 且最佳解值 Z = 0 3. 若 (c 1,c ) (0,0), 則將目標函數 max(min) c 1 x+c y = k 按其法向量方向 (c 1,c ) 或 ( c 1, c ) 平移 4. 將上述平移過程中與可行解區域相交的點均為可行解 ; 取最後 ( 最先 ) 的相交點, 即為最佳解 代入目標函數即為最佳解值 ( 最佳解可能是無解 單一解 或無限多組解 ) s.t. y x+y 4 x+y 30 x 0 y 0,Max Z = 3x+4y y O F (18,6) 最佳解 x L : x+y = 30 L : x+y = 4 L obj : 3x+4y = k (0, 15) (0,0) O F (18,6) 最佳解 x (4, 0) L : x+y = 30 L : x+y = 4 二元線性規劃問題的頂點法 : max(min) Z = c 1 x+c y 一次聯立不等式所決定的可行解區域為一凸多邊形區域 而目標函數的極值必發 順伯的窩

25 線性規劃 生在此凸多邊形區域的頂點上, 故可先把凸多邊形區域的頂點坐標值全部找出來, 再分別代入目標函數, 求出 max(min) Z = c 1 x+c y 之值 線性規劃基本原理 : 一個線性規劃問題, 若其可行解區域 F 且為有界, 則 F 的頂點中至少有一個會是最佳解 精選範例 例題 1 某公司生產產品, 存放在甲 乙兩倉庫, 分別有 40 單位與 50 單位, 現在 A 市場的需求量為 30 單位,B 市場需求量為 40 單位, 各倉庫運輸至各市場的單位運輸成本 ( 元 ) 如下表 : 滿足是常需求下, 應如何分配為最節省運輸成本? [A: 甲運送 30 單位至 A,10 單位至 B; 乙運送 30 單位至 B 成本為 8900] (0, 40) y x = 30 y = 40 (0, 0) F (30, 10) 市場 A B 甲 乙 (0, 0) (30, 0) x+y = 0 x x+y = 40 x+y 4 例題 設 x,y 滿足聯立不等式 3x+y 6 x 0 y 0 (1,3) 時, minz = x+y = 5 例題 3 滿足現制條件 : x+y 30 3x+y 30 x 0 y 0 (x,y) = (6t,15 3t),0 t 1 有 minw = 30, 求 x+y 的最小值? Ans: (x,y) = 求 x,y, 使得 w = x y 有最小值? Ans: red: x y 4, green: 3 x y 6 objective function: min z x y F red: x y 30, green: 3 x y 30 objective function: z x y 6 red: x y, green: 3 x y 18 4 objective function: min & max z x y red: 000 x 1500 y green: 500 x 600 y objective function: max z 1080 x 900 y F 0 10 F 順伯的窩

26 線性規劃 x y 例題 4 設 x,y 滿足聯立不等式 3x+y 18 x 0, 求 x + y 的最大值與最小值? y 0 Ans: (x,y) = (,6) 時, maxz = x + y = 14;(x,y) = (0,0) 時, minz = x+y = 0 例題 5 某化學工廠生產 A,B 兩種肥料, 每噸的利潤分別為 1080 元與 900 元, 生產過程中每噸所需的材料費與工本費如下表 : 在控制材料費不超過 元且工本費不 材料費 ( 元 ) 工本費 ( 元 ) A 肥料 B 肥料 超過 元的情況下, 這工廠應生產多少噸 A 肥料與 B 肥料, 才能獲得最大利潤? Ans: (A,B) = (4,30) 有最大利潤 590 元 習題 - 線性規劃 1. 已知兩點 A(1,),B(,1) 及直線 L 的斜率為 m,y 截距為 3, 若 A,B 兩點在 L 的異側, 則 m 最大的可能範圍為何? { x 6y 3. 圖解聯立不等式 x y x+y 5 3. 圖解聯立不等式 x,y 5,x+y +4 0 及 3x+y 作 3 x + y 6 之圖形, 並求其面積? 5. 如圖中陰影部份的區域是哪三個二元一次聯立不等式的解區域? y (0,4) F ( 3, ) (6, ) x 6. 設 A( 1,5),B(,3) 在 x 3y +k = 0 之反側, 求 k 的範圍? { 5x+3y 在條件 x+y 10 的限制下, 求 Z = 3x+y 的極大值與極小值? x 0,y 0 { 5x+3y 在條件 x+y 10 的限制下, 求 Z = 3x y 的極大值與極小值? x 0,y 0 4 順伯的窩

27 線性規劃 9. 欲將室內面積共 48 坪的空間, 分隔成兩大小型客房出租, 大客房每間 1 坪, 可收住宿費 4000 元 ; 小客房每間 8 坪, 可收住宿費 000 元 大客房裝修每間花費 9000 元, 小客房裝修每間花費 3000 元, 在裝修總費用不超過 7000 元的情形下, 應隔出大小客房各多少間, 方能獲得最多的租金? 10. 某一食品公司有兩家工廠, 第一廠有產品 40 單位, 第二家有產品 50 單位, 該公司自甲 乙兩商店接獲訂單, 甲店申購 30 單位, 乙店申購 40 單位, 已知自第一 二廠運至甲 乙兩商店, 每單位運費如下, 是否有最佳方法 ( 運費最低 ) 分配兩廠產品量運至甲 乙兩商店? 最低運費為? 第一廠 第二廠 甲商店 10 元 1 元 乙商店 14 元 15 元 11. 一農民有田 甲, 根據經驗 : 若種水稻, 則每甲田每期產量為 8000 公斤 ; 若種花生, 則每甲田每期產量為 000 公斤但水稻成本每甲每期需 4000 元, 而花生只要 8000 元 ; 且水稻每公斤可賣 6 元, 花生每公斤可賣 10 元 ; 現在他手頭只有 元資金, 試問此農民只種水稻及花生應種各若干甲, 才能使他獲得最大利潤? 1. 某家運算公司有載重 4 噸的小貨車 7 輛, 載重 5 噸的大貨車 4 輛及 9 名司機, 現在受委託每天至少要運送 30 噸的鐵, 試問這家公司有幾種調度車輛的辦法? 13. 某公司有兩家倉庫, 第一倉庫有產品 160 件, 第二倉庫有產品 00 件, 該公司自甲 乙兩商店接獲訂單, 甲店申購 10 件, 乙店申購 160 件, 已知自第一 二倉庫至甲 乙兩商店, 每單位運費如下, 是否有最佳方法 ( 運費最低 ) 分配兩廠產品量運至甲 乙兩商店? 最低運費為? 第一倉庫 第二倉庫 甲商店 50 元 300 元 乙商店 350 元 375 元 14. 某廠以 A B 兩種紙板來生產甲 乙兩種產品 A 規格每張可做甲產品 3 個和乙產品 5 個,B 規格每張可做甲產品 6 個和乙產品 3 個, 現今要製作假產品 45 個, 乙產品 40 個, 求兩種規格紙板各用多少張能達到需求且使用張數為最少? 15. 聯立不等式 x+6y 6 x+y x 0 y 0, 有多少格子點 ( 整數點 )? 16. 製作 A B 兩種手工香皂,A B 的材料費分別為 50 5 元, 工資分別為 元 ; 每種香皂皆可獲利 00 元 若在材料費不超過 175 元, 工資不超過 40 元的原則下, 應如何製作兩種香皂才會有最大利潤? 5 順伯的窩

28 圓與直線關係.3 圓與直線關係 圓定義 : 動點 P(x,y) 到一固定點 O(h,k), 距離為定值 r P(x,y) (x h) +(y k) = r, 圓心 O(h,k), 半徑為 r O 圓的標準式 : C : (x h) +(y k) = r, 圓心 O(h,k), 半徑為 r 圓的一般式 : ( 不共線三點恰可決定一圓 ) C : x + y + dx + ey + f = 0,( 無 xy 項 ),r = 1 4 (d +e 4f) 1. d +e 4f > 0, 為一圓, 且圓心為 ( d, e ) 的圓. d +e 4f = 0, 為一點 ( d, e ) 3. d +e 4f < 0, 圖形為 ( 虛圓 ) 空集合 圓的直徑式 : 以 P(x 1,y 1 ),Q(x,y ) 為直徑兩端點的圓 C : (x x 1 )(x x )+(y y 1 )(y y ) = 0 圓的參數式 : 圓 C : (x h) +(y k) = r 參數式為 { x = h+rcosθ y = k +rsinθ 圓簇 : 若圓 C 1,C,C 3 有共交點, 則圓方程式 C 3 : C 1 +kc = 0,k R 圓 C 與點 P(x 0,y 0 ) 的關係 : 1. P 點在圓外 : OP > r, 即 (x 0 h) +(y 0 k) > r, 且當兩點為與點 P 最近 OP r 與最遠 OP +r 的距離. P 點在圓上 : OP = r, 即 (x 0 h) +(y 0 k) = r 3. P 點在圓內 : OP < r, 即 (x 0 h) +(y 0 k) < r, 且當兩點為與點 P 最近 OP r 與最遠 OP +r 的距離,0 θ < π OP 交圓於 A,B OP 交圓於 A,B B O A P B P O A 6 順伯的窩

29 圓與直線關係 圓與直線 L 相交情形 : ( 交點個數 : 由代入消去法有幾組解決定 )( 或由圓心到直線的距離與半徑大小決定 ) 1. 不相交 ( 相離 ): d(o,l) > r ( 代入消去法成一元二次方程式, < 0 ). 相交一點 ( 切線 ): d(o,l) = r ( 代入消去法成一元二次方程式, = 0 ) 3. 相交兩點 ( 割線 ): d(o,l) < r ( 代入消去法成一元二次方程式, > 0 ) O O O L L L D(O,L)> r D(O,L)= r 圖 -3: 圓與直線相交情形 D(O,L)< r 圓上的點與直線 L 的最近最遠距離 : 過圓心 O 與直線 L 垂直之直線交圓 C 於 A,B 兩點時, 分別為最近點與最遠點 最近距離為 d(o,l) r, 利用內分點公式可求出其最近點坐標 最遠距離為 d(o,l)+r, 利用外分點公式可求出其最遠點坐標 圓的切線方程式 : 過切點 P 的切線恰一條 ( 可代入公式 ); 過圓外點 P 的切線有兩條 ( 設點斜式 ) 1. 利用 d(o,l) = r. 解直線 L 與圓 C 的聯立方程組, 恰有一交點 ( 代入消去法, 可得一元二次方程式恰一解 ; = 0 ) 過圓周上點 P(x 0,y 0 ) 的切線公式 : x x 0 x y y 0 y x x 0 +x y y 0 +y f f 代換圓 C 方程式, 可得其切線方程式 L O P(x 0,y 0 ) 過圓外一點 P(x 0,y 0 ): x x 0 x y y 0 y x x 0 +x y y 代換圓 C 方程式, 可得其極線方程式 ( 過 P 點的兩切線之切點 0 +y f f 7 順伯的窩

30 圓與直線關係 極線 的連線 ) 切線段長 : P(x 0,y 0 ) O 圓外一點 P(x 0,y 0 ), 切線段長 OP r = x 0 +y 0 +dx 0 +ey 0 +f 圓羃定理 : 若 PT 是切線段, 且過 P 點的割線交圓於 A,B 兩點, 則 PT = PA PB 過圓心的線 L, 若垂直弦 AB 必平分此弦 ( L AB = 0) 精選範例 例題 1 已知一圓弧的弦長為 14 公尺, 弦中點距圓弧垂直高為 4 公尺, 求此圓的半徑長? 公尺 [Ans: 33 8 ] 例題 求以 O(, 3) 為圓心, 且過點 P(5,1) 的圓方程式 並判別 Q(3,4) 在圓內 圓外還是圓上 [Ans:C : (x ) +(y +3) = 5,Q 在圓外部 ] 例題 3 求過三點 P(1,1),Q(1, 1),R(,1) 的圓方程式? [Ans:x +y +x 3 = 0] 例題 4 點 P 為圓 C : x +y = 4 上的任一點, 求 P 到 A(6,0) 的連線段 PA 中點 M 所形成圖形的方程式? [Ans:(x 3) +y = 1] 例題 5 若 P(a,b) 為圓 C : x +y 4x y +4 = 0 上的點, 求 a +(b 1) 的最大值? [Ans:9] 例題 6 求圓 C : x +y = 5 與直線 L : x y+1 = 0 的相交點? [Ans:(1,),(, 1)] 例題 7 就實數 k 的範圍 {, 討論直線 L : x y +k = 0 與圓 C : x +y = 的相交情 < k <, 相交兩點形? [Ans: k = ±, 相交一點 ] k >,k <, 不相交 例題 8 求過點 P( 1,) 且與圓 C : (x 3) +(y ) = 8 相切的直線方程式? [Ans: x y +3 = 0,x+y 1 = 0] 例題 9 求通過圓 C : x +y = 5 上一點 P(1,) 的切線方程式? [Ans:x+y = 5] 例題 10 過點 P(3, 1) 的直線且與圓 C : x +y = 5 相切, 求切點坐標? 並求其切線段長 l? [Ans:(,1),(1, );l = 5] 習題 -3 圓與直線關係 8 順伯的窩

31 圓與直線關係 1. 求圓方程式 x +y 3x+5y 14 = 0, 的圓心及半徑?. 求圓心在 (5, ) 且過 ( 1,5) 的圓方程式? 3. 求過三點 (5,3),(6,),(3, 1) 之圓方程式? 4. 已知平面上點 A(0,0),B(3,1),C( 3,3) 求三角形 ABC 的外接圓方程式? 5. 已知三角形由三直線 y = 0,3x y +3 = 0,x+y = 4 所圍成, 則其外接圓之直徑為? 6. 一圓方程式為 x +y 8x+4y 5 = 0, 考慮此圓任意兩條互相垂直的切線的交點, 所有這種交點所形成圓形的方程式為? 7. 設二元二次方程式 x +y +(m+1)x my +3m = 0 的圖形為一圓, 求 (1) 實數 m 的範圍? () 此圓的最大面積? 8. 就 k 值, 討論方程式 x +y +x 4y 3+k = 0 的圖形? { 9. 求參數式中 x = h+cosθ y = k +sinθ,0 θ π 所表示的弧長? 求在圓 x +y x 6 = 0 的內部及圓上共有幾個格子點 (x y 坐標均為整數的點 )? 11. 就直線 L : x y +k = 0 與圓 C : x +y = 1 相交情形, 求實數 k 的範圍? (a) 直線 L 與圓 C 相切 (b) 直線 L 與圓 C 相割 (c) 直線 L 與圓 C 不相交 1. 就實數 k 的範圍, 討論直線 L : y = mx+ 與圓 C : x +y = 1 相交情形? 13. 已知直線 L : kx y k 1 = 0, 圓 C : x +y 4x y+1 = 0, 問 k 為何值時, 使直線與圓交兩點, 相切, 不相交? 14. 求通過點 (1,) 且與 x 軸,y 軸均相切的圓方程式 ( 兩解 )? 15. 求過點 P(4,) 且與 (x 1) +(y +) = 5 相切的直線方程式? 16. 已知 x,y 均為實數, 且 x +y, 試求 x y 的最大值 M 與最小值 m? 17. 求過圓 x +y +x 4y+1 = 0 與直線 x y+4 = 0 的交點, 且切於 y 軸的圓方程式? 18. 求下列切線方程式 : (1) 圓 x +y = 34 在點 ( 3,5) 處的切線 () 圓 x +y +x y 17 = 0 在 (3, 1) 處的切線 (3) 過點 ( 4,4) 且與圓 x +y 6x 6y 7 = 0 相切 19. 圓 x +y = 9 與過點 (1,) 之直線相交於二點, 求其弦長之最大值與最小值? 9 順伯的窩

32 0. 求直線 L : 1x 5y +5 = 0 與圓 C : x +y 4x+4y 8 = 0 相交所截出的弦線段長? 1. 兩圓 C 1 : x +y +3x+4y +1 = 0,C : x +y +x 3y = 0 相交於 A,B 兩點, 則直線 AB 的方程式為何? 第 3 章 平面向量 3.1 平面向量的運算 向量 : 包含方向與大小兩種意義 ( 有方向的量 ) 由 A 點到 B 點的有向線段, 記為 AB, 其中 A 為起始點,B 為終點, 線段 AB 的 長度稱為有向線段 AB 的長度, 以 AB 表示 零向量 : 始點與終點重合的向量, 記為 0, 其大小為 0, 方向可視為任意方向 始點 A 終點 B 向量 單位向量 u u : 長度為 1 單位的向量 a ( 不同的向量雖然方向不同, 但長度為 1 單位 ) 向量坐標上表示法 : 坐標平面上任意一個向量 v, 將始點平移至原點, 終點坐標為 (a,b) 時, 則 v = (a,b) 若平面上 A,B 兩點坐標為 (a 1,a ),(b 1,b ) 則由起點 A 到終點 B 的方向與大小, 記為 AB = (b 1 a 1,b a ) AB 長度 = AB = (b 1 a 1 ) +(b a ) O ae ue 向量的加減法 : 可利用平行四邊形法或坐標法 C 向量坐標的加減法 : a ± b = (x 1 ±x,y 1 ±y ) D C A D B AD = BC A AB = DC D B C AB + AD = AC AB AD = AC = DB 30 順伯的窩

33 3.1 平面向量的運算 1. AB + AD= AB + BC= AC. AB AD= AB + DA= DA+ AB = DB = AB + AD = AB + BC = AC 向量的實係數積 : α AB = AB + AB + + AB 有 α 個 AB 的 α 倍 向量的係數積 : k a = k(x 1,y 1 ) = (kx 1,ky 1 ) 1. 向量加法交換律 : a + b = b + a AB 方向仍然與. 向量加法結合律 :( a + b )+ c = a +( b + c ) 3. r( a + b ) = r a +r b 4. (r+s) a = r a +s a 5. r(s a ) = (rs) a AB 相同, 長度是 a a a 3 a a 向量的線性組合 : 若 OA, OB 為平面上兩不平行的非零向量, 則平面上任一向量 OP 必能唯一表示 成 OP = x OA+y OB 其中 x,y 為實數, 稱為 OA, OB 的線性組合 平面直角坐標點 P(a,b) = a(1,0)+b(0,1) 是由 (1,0),(0,1) 兩向量組成 ( 平面上任一向量 OP = a e x + b e y 可表示成兩不平行向量的線性組合, 其係數 P 和未必為 1 若係數和為 1, 表示 P,A,B 共線 ) O 1. OA = OP + PA. OA = PA PO B A OP = x OA+y OB 31 順伯的窩

34 3.1 平面向量的運算 P P A O A O 內分點公式 : 若 P 是 AB 的內分點, 且 AP : BP = m : n, 則 O OP = n OA+m OB m+n = ( na 1 +mb 1 m+n, na +mb m+n ) 向量解題應用 : A P B 1. 平行向量 ( 與係數積有關 ): 若 a // b, 則 a = t b. 若 OP = OA+tOB,t R 則 P 點必位於過 A 點平行 OB 的直線上 3. 單位向量 : a e a = a = (cosθ,sinθ) = ( x y x +y, x +y ) 4. A,B,C 三點共線 (a) A,B,C 三點共線 AB = k AC,k R (b) A,B,C 三點共線 α,β R,α+β = 1, 使得 (c) A,B,C 坐標在同一直線方程式 y = ax+b 上 (d) 斜率 m AB = m AC (e) ABC 面積為 0 OC = α OA+β OB 5. 內分點公式 : 若 P 是 AB 的內分點, 且 AP : BP = m : n, 則 n OA+mOB m+n 6. 外分點公式 : 若 P 是 AB 的外分點, 且 AP : BP = m : n, 則 n OA m OB n m OP = OP = 7. 正 N 邊形的外接圓圓心 O, 則 O 到所有頂點向量和為 0, (z n = 1 的根之和為 0) 精選範例 3 順伯的窩

35 3.1 平面向量的運算 例題 1 在圓 O 的內接正六邊形 ABCDEF 中, 令 AB = a, BC = b, AF = c 如圖所示 : 問 AC =?, AD =?, AE =? [Ans: AC = a + b, AD = E D ( a + c ), AE = b a ] A B 例題 兩向量 AB, CD 之間的夾角為 10, 且長度分別為 1,8 求大小? [Ans: 4 7 ] F O C AB + CD 的長度 例題 3 已知 a 和 b 是兩個不平行的向量, 且 s( a + b )+t(3 a b ) = 7 a, 求實數 s,t 之值? Ans:s =,t = 1 例題 4 如圖所示 :D 在 ABC 之 BC 邊上, 且 CD = BD, G 為 AC 之中點, 若將 GD 向量寫為 GD = r AB + s AC, 其中 r 及 s 為實數, 則 r + s 之值等於? [Ans: 1 ] A A G B D C B C M D 例題 5 上圖中 ABCD 為正四面體,M 為 CD 中點, 試問下列哪些敘述是正確的? (A) 直線 CD 與平面 ABM 垂直 (B) 向量 AB 與向量 CD 垂直 (C) AMB > ADB (D) 平面 ACD 與平面 BCD 的二面角 ( 銳角 ) 大於 60 (E) AB = BM [Ans:ABCD] 例題 6 平行四邊形 ABCD 中, AE = 3 EC, F 為 BC 的中點, 設 AE = x AB + y AD ; EF = r AB + sad, 求實數 x,y,r,s 的值? [Ans:( 3 4,3 4 );( 1 4, 1 4 )] A D E B F C 例題 7 利用斜坐標系統, 在 ABC 中, AD : DB = : 3,AE : EC = 3 : 5 設 BE 與 CD 相交於 P 點, 且 AP = x AB+y AC, 求 x,y 值? Ans:[x = 5 17,y = 9 34 ] 33 順伯的窩

36 3.1 平面向量的運算 B D P A C E 例題 8 在坐標平面上 ABC 中, P 為 BC 邊的中點, Q 在 AC 邊上, 且 AQ = QC, 已知 PA = (4,3), PQ = (1,5) 則 BC = (, )? [Ans: ( 1,1)] 例題 9 設 A(,1),B(, 1),C(4,) 為平面坐標上的三點, 求 AB, BC =? 且問 A B C 三點是否共線? [Ans: AB = ( 4, ), BC = (6,3),yes] 例題 10 坐標平面上, 點 P 是 A(6, 3),B( 4,) 兩點連線段上的點, 且 PA : PB = : 3, 求 P 點坐標? [Ans:P(, 1)] 習題 3-1 平面向量的運算 1. 設 AB = (3, 5),A(1,3), 則 B 點坐標為?. 設 a = (x 1,3), b = (1 3x, 1), 若 a // b, 則 x =? 3. 已知 ABCD 為平行四邊形, 且坐標為 A(,1),B( 3,),C( 1,3), 求 D 點坐標? 4. 若 AB = (6,1), BC = (a,b), CD = (, 3), 且 BC// DA, 則 a,b 之關係式為? 5. 平面上三點 A(1,3),B(4,),C( 1,1) 求向量 AB 及 BC? 又若 ABCD 為一平行四邊形, 求 D 點坐標? 6. 設 G 是 ABC 的重心, 試證 AG = 1 3 ( AB + AC) 7. 平面上兩向量 a, b 滿足 a = 1, b =, a + b = 7, 則 a 與 b 之夾角 θ =? 8. 直線 AB 上有一點 P, 滿足 AP : BP = 8 : 3 試以 OA, OB 表示 OP 9. 設 A,B,O 不共線,P 在 AB 線段上,PA : PB = 3 : 4, 且 OP = x OA+y OB, 則 x =?,y =? 10. 設 ABCDE 為正五邊形, 問以 A B C D E 為始點與終點所決定之相異向量 ( 含零向量 ) 共有幾個? 11. u, v 為平面上兩非零向量, 若 u + v = u v 則 u, v 的夾角為何? 1. 設 a = (1,1), b = (7,1), 求平分 a b 夾角的單位向量? 13. 試證明 : 三角形兩腰中點的連線段必平行底邊且其長度為 1 底邊 34 順伯的窩

37 3. 平面向量的內積 14. 試證明 : 平面上 ABC 三點不共線, OC 必可表示為 s OA+t OB,s,t R 且這種表示法為唯一 15. 將 OP = (4,3) 表示成 OA = (1,) 和 OB = (, 1) 的線性組合? 16. 如下圖 : 若 O 為平行四邊形 ABCD 對角線交點,E 在 AB 上, 且 AE = EB, 設 a = AB, b = BC 若 OE = x a +y b 表示之則數對 (x,y) =? A D E O F B C B D P A E C 17. 如上圖 : 在 ABC 中,AD : BD = : 1,AE : EC = 3 :,BE 與 CD 交於 P 點, 若 AP = x AB +y AC 則數對 (x,y) =? 18. 設 A(1,),B( 3,4), P 在射線 AB 上, 若 AP : PB = 7 : 5, 求 P 點坐標? 19. 連接兩點 A(1,0),B( 1, ) 的線段, 被一直線 L : x+4y +4 = 0 分成兩段, 試求此兩線段長之比? 及此 AB 與直線 L 的交點坐標? 0. ABC 中, 設 AB = 6,BC = 13,AC = 8, O 為外心, 若 AO = x AB + y AC, 求 (x,y) =? 1. 設 OA = (,1), OB = (1,), 若 OP = x OA+y OB, 且 0 x 1,0 y 1, x,y 均為實數, 在平面上標示所有 P 點所形成的區域? 3. 平面向量的內積 向量內積定義 : a b = cosθ a b = (x1,y 1 ) (x,y ) = x 1 x +y 1 y 其中 θ 為兩向量的夾角 內積在物理上的意義為作功 U V = ( U V ) ( U V ) = U U V + V b 即 U V = 1 ( U + V U V ) 和餘弦定理有關 向量的內積基本性質 : θ a 1. 內積具有交換律 : a b = b a. 內積與係數乘法關係 : (α a ) b = a (α b ) = α( b c ) 35 順伯的窩

38 3. 平面向量的內積 3. 內積對加法的分配律 : a ( b + c ) = a b + a c 4. 自己內積值為其長度平方 : a a = a 注意 : 1. 向量內積未具有消去律 : a b = a c 未必 b = c ( 表示 b, c 在 a 上有相同的投影長 ). 向量零因子 : a b = 0 未必 a = 0 或 b = 0 ( 表示 a b ) 3. a b a b = 0 兩向量垂直則內積值為 0 4. a // b a = t b 兩向量平行則與係數積有關 柯西不等式 : a b a b (x 1 y 1 +x y + +x n y n ) (x 1+x + +x n)(y1 +y + +yn) 當 x 1 a = k b 時, 即 = x = = x n = k 時為等式 y 1 y y n 向量的正射影 ( 投影 ): a 在 b 上的投影 = ( a 在 a b a 在 b 的正射影 = ( b b 的投影長 ) ( b 的單位向量 ) b a b ) b = ( b ) b, 為一向量 a θ c b a 在 b 的投影長 = a b b, 為一正實數 a b a 在 b 的正射影 = ( b b ) b 若 a b = c b 表示 a 在 b 的正射影長與 c 在 b 的正射影長相等 精選範例例題 1 已知 ABC 是邊長為 10 的正三角形, 求 AB AC 與 AB BC 的值? [Ans:50;- 50] 例題 如圖,ABCDEF 為一正六邊形 那麼下列向量內積中何者最大?(A) AB (B) E D AB AC (C) AB AD (D) AB AE (E) AB AF Ans: B F A B C 36 順伯的窩

39 3. 平面向量的內積 例題 3 將向量 v = (7,4) 分解成與 a = (1,) 垂直及平行的兩分量和? Ans: v = y (3,6)+(4, ) a O b v x 例題 4 已知 a =, b = 3 且 a 與 b 的夾角為 60 求 ( a + b ) ( a b ) 之值? 與 3 a b 之值? [Ans:-5,6] 例題 5 設 ABCD 是一正四面體, 其每一面都是正三角形, 證明 AB 與 CD 互相垂直 例題 6 已知平行四邊形兩鄰邊邊長分別為 3,5 有一對角線長為 7, 求另一對角線長? [Ans: 19] 例題 7 已知 ABCD 為平行四邊形, 試證 : AC +BD = (AB +AD ) Ans: 利用向量 例題 8 設 a,b,x,y 都是實數且 a +b = 4,x +y = 9, 求 ax+by 的最大值與最小值? [Ans:6,-6] 例題 9 已知 a = (7,4), b = (1,), 求 a 在 b 上的正射影及正射影長? [Ans: (3,6),3 5] 例題 10 求兩直線 L 1 : 3x+y 3 = 0,L : x y+1 = 0 的交角? [Ans:45,135 ] 習題 3- 平面向量的內積 1. 設 A(,5),B(4,3),C(4, 5),D(3,),E(6,8),F( 1,9) 求 (1) AB CD =? () CB DF =? (3)( AB +3 CE) AF =?. 已知 a = (7,1), b = (3,4), 求 a b 的值及 a, b 的夾角? 3. 已知 a = 3, b = 4, 且 a, b 的夾角為 10, 求 ( a + b ) ( a b ) 的值及 3 a + b 的值? 4. ABC 中, A(1,1),B(4,5),C(8,) 試求 (1) AB AC =? () 內角 A =? 5. ABC 中, AB = 4,BC = 5,AC = 6, 求 AB AC =? 6. 邊長為 a 的正方形 ABCD, 若 BC 邊中點 M, 則 AM AC =? 7. 平行四邊形 ABCD, AB = 7,BC = 5, 則 DB AC =? 37 順伯的窩

40 3. 平面向量的內積 E D C 8. 設 ABCDE 是邊長為 的正五邊形, 問 AB AD =? 9. 設 ABCDEF 是邊長為 的正六邊形, 問 AB AD =? A B 10. 設 a =, b = 3, c = 5, 且 a + b + c = 0, 則 a b =? AB AH 與 11. ABC 的垂心為 H, 且 AB = 4,BC = 6,CA = 5 求之值? AC AH 1. 已知平行四邊形兩鄰邊邊長為 3,5 其中一對角線長為 19, 求另一對角線長? 13. 設 a = ( 3, 1), b = 4, 且 a, b 夾角為 60, 求 b =? 14. 設 x = 3, y =, 且 x + y = 19 則 x y =? 15. 已知 a = (1, 3), b = (, 1) 且 ( a +t b ) b, 求實數 t 的值? 16. 設 a = (,6), b = (1,1),k R, 當 k =? a + k b 為最小?( 幾何意義 : ( a +k b ) b 時, a +k b 為最小 ) 17. 設 AB = (,3), AC = (1,k), 求 k 值, 使 ABC 為一直角三角形? 18. 設 a = 7, b = 8, π a 與 b 的夾角為 3, 求 a + b, a b =? 19. 設 A( 3,1),B(,5),C(4, 6), 求 AB 在 AC 方向的投影長與正射影? 0. 已知向量 a = (4,7), b = (,1), 求 a 在 b 上的正射影長與正射影? 1. 將向量 v = ( 5,5) 分解成與 a = ( 1,) 垂直及平行的兩分量和?. 已知向量 a = (18, 1), v1 = (4, 3), v = (3,4), 若 e1, e 分別為 v1, v 的單位向量 ; 且 a = x e1 +y e 求實數對 (x,y) =? 3. 設 a,b R, 且 a+3b = 13, 求 a +b 之最小值, 並求此時 a,b 之值? 4. 設 x,y R, 且滿足 3x+y = 4, 求 9x +y 之最小值, 並求此時 x,y 之值? 5. 已知圓 C : x +y = 5 與直線 L : 3x+4y = k 有相交, 求實數 k 的範圍? 6. 就圓心到直線距離與半徑關係討論直線 L : x y+k = 0 與圓 C : x +y = 1 相交情形, 求實數 k 的範圍? (a) 直線 L 與圓 C 相切 (b) 直線 L 與圓 C 相割 (c) 直線 L 與圓 C 不相交 38 順伯的窩

41 3.3 平面上的直線 3.3 平面上的直線 直線的方向向量 : 若直線 L 上任意兩點 A,B 此時稱向向量 AB 或 BA 為直線 L 的一個方 直線向量參數式 : 由 PA = (x x 0,y y 0 )//(b, a) 化簡可得 x,y 的關係式為 ax+by +k = 0 L : ax+by +c = 0 v = (b, a) P(x,y) O t > 0 A(x,y 0 ) t = 0 t < 0 因此若點 (x 0,y 0 ) 在直線 L : ax+by + c = 0 上, 則直線上任一點可以表示成 OP= OA+t { v =(x 0,y 0 )+t(b, a) 即 x = x0 +bt y = y 0 at,t R, 稱為直線 L 的參數式 其中直線方向 L//(b, a) 直線方程式的方向向量與法向量 : 若直線方程式 L : ax+by +c = 0 則直線方向 L//(b, a), 法向量方向 n 為垂直 L 的向量, n //(a,b) 兩直線之交角 θ 或 π θ : L 1 : a 1 x+b 1 y = c 1, L : a x+b y = c 則直線法向量 n1 //(a 1,b 1 ), n //(a,b ) L1 L cosθ = L 1 n1 n = L n 1 a 1 a +b 1 b = n a 1 +b 1 a +b n1 θ n 或利用直線斜率 m 1 = a 1 b 1,m = a b 則 tanθ = m 1 m 1+m 1 m 點 P(x 0,y 0 ) 到線 L : ax+by +c = 0 的距離公式 : d(p,l) = P(x 0,y 0 ) ax 0 +by 0 +c a +b L L θ θ θ θ 1 H L : ax+by +c = 0 Q n d(p,l) = QP 在 QP n n 上的正射影長 = n = ax 0 +by 0 +c a +b 39 順伯的窩

42 3.3 平面上的直線 兩平行線的距離 : 兩平行線 L 1 : ax + by + c 1 = 0,L : ax + by + c = 0 的距離 d(l 1,L ) = c 1 c a +b 精選範例 { 例題 1 設 L 為通過 A(,1),B( 1,3) 兩點的直線, 求 L 的參數式? Ans: x = 3t y = 1+t, t R 例題 已知直線 { L : 3x y = 5 求直線 L 的參數式? [Ans: x = 1+t y = 1+3t, t R] 例題 3 設直線 { L 1,L,L 3,L 4 的參數式分別為 { L 1 : x = 1+t y = 4 3t, t R L : x = 3+t y = 1 3t, t R L 3 : { R L 4 : x = 1+4t y = 4 6t, t R 試比較這四條直線有何相關? [Ans:L 1 = L = L 4 //L 3 ] { x = +4t y = 8 6t, t 例題 4 在直線 L : x + y = 4 上找一點 P, 使點 P 到兩點 A(4,5),B(0,4) 等距離? [Ans:P(3, 1 )] 例題 5 求兩直線 L 1 : 3x+y 3 = 0,L : x y+1 = 0 的交角? [Ans:45,135 ] 例題 6 求點 P(, 6) 到直線 L : 4x+3y+1 = 0 的最短距離, 此時直線上的點坐標為何? [Ans:H(, 3),d= 5] 例題 7 在直線 L : x + y = 4 上找一點 P, 使點 P 到兩點 A(4,5),B(0,4) 距離和 PA+PB 最短? [Ans: P(0,),l min = 7 ] 習題 3-3 平面上的直線 1. 已知平面上點 A(, 3),B( 5,),O 為原點 (a) 若 OP = s OA+ OB, 1 s 1, 求點 P 的軌跡? (b) 若 OP = OA+t OB, 1 t 1, 求點 P 的軌跡? (c) 若 OP = s OA+t OB, 且 s+t = 1, 求點 P 的軌跡? (d) 若 OP = s OA+t OB, 1 s,t 1, 求點 P 的軌跡?. 已知直線 L : 3x y = 5, 求 L 的參數式? { 3. 設兩直線 L 1,L 的參數式分別為 L 1 : x = 5+t y = 1 t R, 則兩直線是否相交? 若相交, 求其交點坐標? 4. 兩直線 L 1,L 的參數式分別為 L 1 : R, 是否為同一直線?, t R; L : { x = 1+t y = 4 3t, t R; L : { x = 1+t y = 3 t, t { x = 3+4t y = 1 6t, t 40 順伯的窩

43 3.4 面積與二階行列式 5. 試求點 (,1) 到直線 4x 3y +5 = 0 的距離? 6. 已知一點 A( 7,5) 及一直線 L : 3x y +5 = 0, 試求 (1)A 到直線 L 的距離? ()A 在 L 上的正射影? (3)A 對於 L 的對稱點? 7. 直線過 A(,1),B(3,3) 兩點, 求直線上到點 P(6,4) 的最近點及其最短距離? 8. 已知點 P(6,4),A(,1),B(3,3) 求點 P 在直線 AB 上的投影點坐標? 及向量 AP 在 AB 的正射影? 9. 求兩平行線 L 1 : 3x 4y 10 = 0,L : 6x 8y +15 = 0, 的距離? 10. 已知兩直線方程式 L 1 : x+y 4 = 0,L : x y +3 = 0, 試求 L 1,L 的交角及角平分線方程式? 11. 求兩直線 L 1 : 3x+y 6 = 0,L : x+ 3y = 0 的交角? 1. 在直線 L : x+y = 4 上找一點 P, 使點 P 到兩點 A(4,5),B(0,4) 距離平方和 PA +PB 最小值, 求 P 點坐標並求其最小值? 3.4 面積與二階行列式 二階行列式定義 : a 1 b 1 a b = a1 b a b 1 平面上三角形面積公式 : = 1 AB AC sinθ = 1 AB AC 1 cos θ 故 ABC = 1 AB AC ( AB AC) 若 AB = (a,b), AC = (c,d) 則 ABC 面積 = 1 ad bc = 1 a b c d AC θ AB b θ a a b ( a b ) 平行四邊形的面積公式 : 以向量 a, b 張開的平行四邊形面積 A = = a 1 a b 1 b 以非零向量 a = (a1,a ), b = (b 1,b ) 所張開來的平行四邊形面積為 a 1 a b 1 b 向量在幾何上的應用 : 平行四邊形 ABCD 邊長定理 : 平行四邊形的對角線平方和 = ( 兩鄰邊平方和 ) ( AB + AD ) = AC + BD 41 順伯的窩

44 3.4 面積與二階行列式 利用內積求夾角 : cosθ = a b a b 對稱點坐標 : 點 P 在直線 L 上的對稱點 P { PP L P,P 中點在直線 L 上 ABC 中, AB AC = AB AC cosθ = AB +AC BC AC = AC AC = ( AB + BC) ( AB + BC) = AB + BC + AB BC 直線向量參數式 { : 若 L : ax+by +c = 0 上, 則直線上任一點可以表示成 x = x0 +bt y = y 0 at,t R 兩直線之交角 : L 1 : a 1 x + b 1 y = c 1, L : a x + b y = c 則直線法向量 n1 = (a 1,b 1 ), n = (a,b ) L1 L cosθ = L 1 n1 n = L n 1 a 1 a +b 1 b = n a 1 +b 1 a +b tanθ = m 1 m 1+m 1 m 點 P(x 0,y 0 ) 到線 ax+by +c = 0 的距離公式 : d(p,l) = 三角形面積向量公式 : = 1 a b ( a b ) 若 AB = (a,b), AC = (c,d) 則 ABC 面積 = 1 ad bc ax 0 +by 0 +c a +b 行列式的性質 : 橫為列, 直為行 行列式裡面的數稱為元素 a ij 表第 i 列第 j 行的元素 第 1 行第 行 第一列 a b 第二列 c d 1. 將行的元素與列的元素互換, 其值不變 a c d b = a b d c. 將某兩行 ( 列 ) 對調位置, 其值變號 a c d b = a c d b 3. 任一行 ( 列 ) 之數可提出公因數 kc a kd b = k a c d b 4. 若某行 ( 列 ) 之數均為 0, 則其行列式值為 0 a 0 0 b = 0 4 順伯的窩

45 3.4 面積與二階行列式 5. 任兩行 ( 列 ) 之數成比例, 其行列式值為 0 ak a bk b = 0 6. 將某行 ( 列 ) 的各數乘上一非 0 的數加至另一行 ( 列 ), 則其行列式值不變 a c d b = a+ck b+dk c d = a+bt c+dt d b 7. 行列式的加法性質 : 可依任一行 ( 列 ) 拆成兩個行列式 a±x c±y d b = a c d b ± x y d b a±x b±y, c d = a c d b ± x c d y 二元一次方程組的克拉瑪 { (Cramer s rule) 公式解 : a1 x+b 1 y = c 1 a x+b y = c, 其中 = a 1 b 1, a b x = c 1 b 1 c b, y = 1 1 a c 1. 若 0, 則方程組恰有一解, 其解為克拉瑪 (Cramer s rule) 公式解 x = x y = y. 若 = 0 時, (1) x = y = 0, 則方程組無限多組解 () x, y 中有一不為 0, 則方程組無解 二元一次方程組的代數解與幾何意義 : { a1 x+b 1 y = c 1 a x+b y = c 1. 0 時, 則方程組恰有一解 即 直線必相交一點 a 1 a b 1 b 表兩直線法向量不平行, 此時兩. = x = y = 0, 則方程組無限多組解 即 = b 1 = c 1 兩直線 a b c L 1 : a 1 x+b 1 y = c 1, L : a x+b y = c 關係為 L 1 = kl, 此時兩直線重合 a 1 3. = 0 但 x, y 中有一不為 0, 則方程組無解 即 = b 1 c 1 表兩直線 a b c c 1 b 1 法向量平行, 但 x = c b 0, 或 y = 重合, 此時兩直線平行不相交 精選範例 a 1 a 1 c 1 a c 0,L1 與 L 不 例題 1 坐標平面上 ABC 三頂點坐標 A(1, ),B( 1,5),C(4,3) 求此三角形面積? [Ans:31/] { 例題 利用克拉瑪公式解解方程組 3x = 11y = 15 4x+15y = 7 [Ans:x = 148,y = 39] 例題 3 計算行列式值 [Ans:-103] 43 順伯的窩

46 3.4 面積與二階行列式 表 3-4: 二元一次方程組的代數解與幾何意義 行列式, x, y 之值方程組的代數解幾何意義直線斜率 0 恰有一解 ( x, y ) = 0, 但 x, y 有不為 0 兩直線相交一點 斜率不相等 a 1 b 1 a b 無解 兩直線平行 斜率相等,y 截距不相等 a 1 a, c 1 c b 1 b b 1 b = x = y = 0 無限多組解 兩直線重合 斜率相等,y 截距相等 例題 4 若行列式 a b c d = 3, e b f d = 5, 求 a+3e b c+3f d a 1 b 1 = a b, c 1 b 1 = c b 的行列式值? [Ans:36] 例題 5 設三角形三頂點坐標為 A(3,1),B(,3),C( 3, 1), 求此三角形面積? [Ans:7] { 例題 6 利用克拉瑪公式解聯立方程式 : 5x+3y = 1 4x 7y = 9 Ans:(,3) 例題 7 已知一二次函數 f(x) = ax +bx+c 的函數圖形經過 (1,1),(,1),( 1, 9) 三點, 求出此二次函數? [Ans:x +5x 6] { 例題 8 就實數 k, 討論聯立方程組的解 : kx+4y = k + x+ky = k? [Ans:k, 恰一 k 解 ( k +,k+1 k + );k = 無解 ;k = 無限多解 ( t,t),t R] 1. 求行列式值 :. 設 a c d b = 3, 則 習題 3-4 面積與二階行列式 =? 3a 4b 5a+3b 3c 4d 5c+3d =? 3. 平面上三點 A(3,3),B( 1,1),C(k,k 1), 若三角形 ABC 面積為 3 時, 求 k 值? 又若 A B C 三點共線時, k 值為何? 4. 已知 ABC 三頂點坐標為 A(,1),B(,),C( 1, ), 求 ABC 的面積? 5. ABC 中, AB = AC = 1, AB AC = 1 3, 則 ABC 之面積為? 6. 求由向量 a = (,1), b = (4,5) 所張開的平行四邊形面積 A 為何? 又 a 與 a b 所張開的平行四邊形面積 A 又為何? 44 順伯的窩

47 3.4 面積與二階行列式 { 7. 解方程組 : 6x 8 = 7y 15x 0 = y { 8. 解方程組 : 47x+3y = 1 35x+17y = 9 { 9. 利用克拉瑪公式解聯立方程式 : 79x+80y = 77 81x+78y = 87 { 10. 就實數 k, 討論兩直線的幾何意義 : L1 : kx+y = 1 L : 9x+ky = 3? [Ans:k 3, 3 相 1 交一點 ( k +3, 3 k +3 );k = 3 平行不相交 ;k = 3, 時 L 1,L 重合 ] { 11. 若聯立方程式 : a1 x+b 1 y = c 1 a x+b y = c 的解為 x = 3,y =, 求聯立方程式 :{ a1 x+b 1 y = 3c 1 a x+b y = 3c 的解 45 順伯的窩

48 高中數學第三冊習題參考答案 : 4.1 第一章 習題 a. 4 1b. 1 1c. 0 1d , ; a. 3,4 5b. 1,,4 6. 1/5; 7/ /50,± 14/ /5 9. sinθ = a. < 11b. < 11c. > 11d. > 11e. a < b < c 1a. 7 5 第 4 章 k 1+k ;cosθ = 1 1+k 習題參考答案 1b c. k = 1 5 1d. 習題 ,144,16,88,360 度. tan10, sin30 3. sinθ = 4 5,tanθ = cosθ = 4 5,sin(θ ) = 3 5,tan( θ) = sinθ = 3 13,cosθ = 13,tanθ = a /5; ,0 1. P(, 3) 13. Q[,5 ] 46 順伯的窩

49 4.1 第一章 14. 1/5; 7/5 習題 : 3 : 1. R = 8 3,c = ,R = ±3 7. A = ,11 16, ( + 6) : 3 : a = AC = AC = 61,BD = r = 正弦定理 習題 /65; 63/ / ; 7 5 ; / 10,1/ /9, 7/9 11. sinθ = sinθ = ;cosθ = 14. α = θ x = cos 1 1/6,π cos 1 1/6 max = 5/1;x = π, min = 習題 公尺. 10( 3+1) 公尺 3. 3 公尺 ( 3 1) 公尺 5. 50( 3+1) m km/h 11. θ 順伯的窩

50 4. 第二章 4. 第二章 習題 m BC > m DE > m AB = 0 > m CD > m AE a. x+y +1 = 0 b. 3x y 3 = 0 c. x+y +4 = 0 d. y = x+3 3a. y = 3x+1 3b. 3 18a. 垂直交一點 18b. 平行不相交 18c. 相交一點 18d. 重合 習題 - 1. m > 1,m < 1. 1 red: x 6 y 3 green: x y blue: x y c. m = 3 ;k = 3d. A = 9 4. ( 13 5, 5 ),(9,14) 5. m 3 > m 1 > m 4 > m x y 6 = 0 8. ( 4, ); 7 10 m 5 9. (,0),(1, 3) x+y =,9x+y = 3 1. x y =,x 8y = /; 4, P (0,6) 15. H(1,0) 16. (1,6);m 1/3,m x red: x y 4 green: 3 x y 6 blue: y red: 3 x y 6 green: 3 x y 6 blue: y 3 x 6 purple: 3 x y { x+y 4 x y 4 y > 6. 7 < k < (6,0),Z = 18;(0,0),Z = 0, Area = 1 8. (0,5),minZ = 5;(6,0),maxZ = ( 大, 小 ) = (,3), max z = 元 48 順伯的窩

51 4.3 第三章 10. 第一廠運 30 單位至甲商店 10 單位至乙商店 ; 第二廠運 30 單位至乙商店 ; 運費最低 890 元 11. 水稻 1.5 甲, 花生 0.5 甲, 最大利潤 4000 元 第一倉庫運 10 件至甲商店 40 件至乙商店 ; 第二倉庫運 10 件至乙商店 ; 運費最低 8900 元 14. A:5 張,B:5 張 = ( 4 17, ) 附近的整數點 (3,1),(,) 有最大利潤 800 習題 O(3/, 5/),r = (x 5) +(y +) = (x 4) +(y 1) = 5 4. x +y x 7y = c. k <,k > 1. m > 3,m < 3 交兩點 ;m = ± 3 相切 ; 3 < m < 3 不相交 13. k > 0,k < 4/3 交兩點, k = 0, 4/3 時相切, 4/3 < k < 0 不相交 14. (x 1) +(y 1) = 1,(x 5) + (y 5) = x+4y = M = 10,m = x +y +6x 6y+9 = 0,x +y + 14x 10y +5 = (1)3x 5y+34 = 0, ()8x 3y 7 = 0, (3)4x+3y +4 = 0,3x 4y + 8 = , x+7y +1 = 第三章 習題 x = 4,y = 6. (x 4) +(y +) = < m < 3;4π 8. k < 4, 圓心 ( 1,) 半徑的圓 k = 4, 一點 ( 1,) k > 4, 9. 4π 個 11a. k = ± 11b. < k < 8 k. x = 7 3. Ans:D(4, ) 4. a+b = 0 5. AB = (3, 1), BC = ( 5, 1),D( 4,) 7. θ = OP = 3/11 OA+8/11 OB, 3/5OA+ 8/5 OB 9. 4/7,3/ 順伯的窩

52 4.3 第三章 e = ( 5 5, 13. 利用向量 5 5 ) 14. 略 15. OP = OA+ OB 16. ( 1 6, 1 ) 17. ( 4 9,1 3 ) 18. ( 4/3, 19/6),( 13, 9) : 1,(0, 1) 0. x = /9,y = 5/1 1. O 習題 3- y B A C x 1. (1) 16 ()56 (3)0. 5;θ = ;7 4. 5; / 6. 3a / = /,5/ (0, 4),( 3,) t = k = k = 11 3, 3, 3± , ,(1, 1 ) 0. (6,3); Ans: v = (, 1)+( 3,6). (15,10) 3. 13;a =,b = ;x = 4,y = k 5 6a. k = ± 6b. < k < 6c. k <,k > 習題 3-3 1a. ( 3, 1) 到 ( 7,5) 的線段 1b. ( 3, 1) 到 (7, 5) 的線段 1c. 直線 AB 1d. ( 3, 1),( 7,5),(3,1),(7, 5) 的為頂點的平行四邊形 {. L : x = 1+t y = 1+3t, t R 3. yes;(1,3) 4. yes 順伯的窩

53 4.3 第三章 6. 13,( 1,1),(5, 3) 7. H(4,5);d = 5 8. H(4,5);(,3) π/;3x+y 1 = 0,x 3y+7 = , P( 3 5, ),min = 習題 k =,8 ; 共線時 k = /3 6. A = 6;A = A = 1 7. (4/3,0) 8. (1/, 1/) 9. (3, ) 11. (3 3, 3 ) = (9,3) 51 順伯的窩