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1 高中數學講義 1 11 空間向量 11.1 空間概念 空間中點 線 面的公設 ( 空間中點線面之間存在直觀上的基本關係 ): 1. 相異兩點可以決定一直線 ; 一直線至少含有相異的兩點. 不共線的三點可以決定一平面 3. 若直線 L 有相異兩點落於平面 上, 則直線 L 在平面 上 4. 若相異兩平面相交, 則此兩平面相交於一直線 空間中決定平面的條件 : 1. 不共線的三點. 一線及線外一點 3. 相交於一點的兩直線 4. 兩平行線 空間中相異兩直線的關係 : 1. 兩直線相交一點 ( 此時兩直線必共平面 ). 兩直線平行 L//M ( 此時兩直線必共平面 ) 3. 歪斜不相交 ( 不相交又不平行 ), 此時兩直線 L,M 為歪斜線 ( 此時兩線不共平面 ) n L M L L M M L 線與平面的關係 : 1. 直線 L 與平面 平行不相交 順伯的窩 空間向量 [ 第 1 頁 / 共 3 頁 ]
2 高中數學講義空間概念. 直線 L 落於平面 上 ( 直線上的點均在平面上 ) 3. 直線 L 與平面 相交一點 P L n L P L 平面的垂線 : 若直線 L 和平面 相交於 P 點, 平面 上通過 P 點的任一直線都與 L 垂直, 則稱直線 L 和平面 垂直 記為 L 空間垂直線 L P 平面與平面的關係 : 1. 兩平面平行 ( 沒有交點 ). 兩平面相交一線 3. 兩平面重合 L 直線 平面間垂直與平行的關係 : 1. 與直線 L 垂直的直線有無限多個 ( 不同方向的直線 ). 與直線 L 垂直的平面有無限多個 ( 平面均為平行面 ) 3. 與直線 L 平行的直線有無限多個 ( 方向相同 ) 順伯的窩 空間向量 [ 第 頁 / 共 3 頁 ]
3 高中數學講義 3 4. 與直線 L 平行的平面有無限多個 ( 平面法向量方向不同 ) 1. 與平面 垂直的直線有無限多個 ( 均為平行線 ). 與平面 垂直的平面有無限多個 ( 法向量方向不同 ) 3. 與平面 平行的直線有無限多個 ( 不同方向的直線 ) 4. 與平面 平行的平面有無限多個 ( 相同法向量的平面 ) 三垂線定理 : 設直線 垂直於平面 於, 若,, 都在平面 上, 且 於, 則 利用 = = = 90, 直角三角形畢氏定理 : = + = ( )+( + ) = + = 90 = 0 向量觀點 : 已知 = = ( + ) = 0 0 L 意義 : 若 L 1 在 上, L 不在 上, 它們相交於一點, 則要判別 L 1,L 是否互相垂直時, 可將 L 在 上的正射影 L 3, 則只要判別 L 1,L 3 是否垂直即可 三垂線定理的逆定理 : 設直線, 則 垂直於平面 於, 若,, 都在平面 上, 且 於 平行關係的判定與性質 : 1. 平面 外的一直線 L 和平面上的一直線平行, 則直線 L//. 直線 L 和一平面 平行, 經過 L 的平面 交平面 於一線 L, 則 L//L 3. 平面 上的兩相交直線都平行於一平面, 則兩平面 // 4. 兩平行平面與第三個平面相交, 則其兩交線互為平行 垂直關係的判定與性質 : 1. 一直線 L 與一個平面上的兩相交直線都垂直, 則直線 L 垂直於此平面 順伯的窩 空間向量 [ 第 3 頁 / 共 3 頁 ]
4 4 高中數學講義 空間概念. 若兩直線同垂直於一平面, 則此兩直線互相平行 3. 若平面 包含另一平面 的垂線, 則兩平面 4. 若兩平面, 互相垂直, 且交線為 L, 若 L 在平面 上, 且 L L 則 L 5. 平面 上的一直線 L 與另一斜直線 L ( L ) 垂直的充要條件是 L 與 L 在平面 上的正射影垂直 三垂線逆定理 兩面角 : 若, 分別在兩平面 1, 上, 且均與兩平面相交的稜邊垂直, 則 為其兩面夾 1 θ 角 五個正多面體 : θ L L 1 正四面體正六面體正八面體正十二面體正二十面體 頂點個數 V 面個數 F 稜長個數 尤拉公式 V +F = 每面正 N 邊形 順伯的窩 空間向量 [ 第 4 頁 / 共 3 頁 ]
5 高中數學講義 5 h 正四面體 : 每一面均為稜長 a 的正三角形 1. 高 h = 6a 3. 表面積 = 3a 3. 體積 = 1 3 3a 4 h = 4. 外接球半徑 R = 3h 4 = 6a 4 5. 內切球半徑 r = 1h 4 = 6a 1 a 兩面夾角餘弦 cosθ = 外接球球心 O 到任兩頂點夾角 α, cosα = 1 3 正八面體 : 連接正四面體各稜長的中點, 為正八面體 正八面體體積 : 為同稜長正四面體體積的 4 倍 正立方體的八個頂點中, 任四頂點形成的正四面體有兩類 : 稜長為 a 及 a 兩種 正六面體 ( 正立方體 ): 每面均為稜長 a 的正方形 1. 斜對角線長 3a. 外接球半徑 R = 3a 3. 內切球半徑 r = 1a H F G O 四角錐體 : 底面為四邊形, 側面為三角形, 稜邊共同相交一點 順伯的窩 空間向量 [ 第 5 頁 / 共 3 頁 ]
6 6 高中數學講義空間概念 例題 範例 1: 一長方體如圖 : 若已知 = 4, = 1, = 3 F H G 1. 求長方體的稜邊中與 不共平面的邊長 ( 歪斜線 ) 有幾個?. 求 G 長? 3. 求 cos H =? 4. H 是否為直角三角形? yes 5. 求 H 面積? 6 17 演練 1a : 承例 1: 求長方體的稜邊中與 F 不共平面的邊長 ( 歪斜線 ) 有哪幾個? 6;H,HG,G,,,H 演練 1b : 承例 1: 比較下列三角形面積大小 : FH, G, HF, G? 演練 1c : 承例 1: 求 H,,F 長? 全等 13 演練 1d : 將相同的兩個長 寬 高分別為 5,4,3 單位長方體之全等的面重合組成一個大的長方體, 則 5 5 這個長方體的對角線最長為? 單位演練 1e : 選出下列正確選項? (1) 空間中兩相異平面可能恰相交一點 () 空間中一直線與平面可能恰相交一點 (3) 空間中若一直線與兩平行線都相交, 則這三直線共平面 (4) 空間中兩直線不相交, 則這兩直線互相平行 (5) 空間中兩相異平面,F 相交於一線 M, 若平面 上一直線 L 與平面 F 不相交, 則 L//M (6) 空間中若一直線過平面上一點與平面外一點, 則此直線與平面恰相交一點 (7) 直線 L,M 分別在兩平行面,F 上, 則 L//M (8) 將一張 4 的紙,3,5,6,8 上下對摺, 再上下對摺一次, 則這些摺痕線互為平行線演練 1f : 選出下列正確選項? (1) 空間中一直線與一平面平行, 則此直線與平面上的任一直線平行 () 空間中一直線與一平面垂直於點 P, 則此直線與平面上過 P 點的任一直線垂直 (3) 空間中一直線 L 與另一直線 M 平行, 則此直線 L 必平行於包含直線 M 的平面 (4) 一直線與兩相交的平面都平行, 則此直線與這兩平面的相交線亦平行 (5) 空間中一直線和平面上兩相,4,5 交直線都垂直, 則此直線必垂直於這平面範例 : 邊長為 1 的正四面體, 求此四面體任兩面的夾角為 θ, 則 cosθ =? 順伯的窩 空間向量 [ 第 6 頁 / 共 3 頁 ]
7 高中數學講義 7 h cosθ = 1 3 演練 a : 將長寬各為,1 的長方形 沿對角線 摺成兩互相垂直的平面, 求頂點 和 的 距離? 17 5 演練 b : 正四面體 的稜,,, 中點分別為 K,L,M,N 利用向量證明 : 1. hint: = a, = b, = c. KL// = NM KL = 1 ( b a ) = NM = 0 a 3 h 範例 3: 求稜邊邊長為 a 的正四面體的體積? 1 演練 3a : 稜邊邊長為 a 的正四面體, 求兩不相交的稜邊的距離? a F H 演練 3b : 設,,, 為空間中相異四點, 且直線 垂直平面, 已知 = = = 10, sin 為銳角, 則 =? 6 5 範例 4: 每個稜邊邊長均為 a 的正四角錐, 底面為正方形, 側面為正三角形, 設底面與側面的所夾的 cosθ = 1 兩面角為 θ, 求 cosθ =? 及錐頂點到底面的高 h =? 3 ;h = a 順伯的窩 空間向量 [ 第 7 頁 / 共 3 頁 ]
8 8 高中數學講義空間概念 O 演練 4a : 正八面體的每一面均為正三角形, 求稜邊邊長為 a 的正八面體體積? 3 a3 F 演練 4b : 平面 上有一直角三角形, 點 為斜邊 中點, 若空間中一線 垂直平面 於 點, 且已知 = 6, = 8, = 1, 求線段,, 長? = 6 5, = 4 13, = 三垂線定理應用 範例 5: 平面外一點 垂直平面 於 點, 平面上 垂直直線 於 點, 若 = 13 1, = 3, = 4, 求 長? 演練 5a : 平面外一點 垂直平面 於 點, 平面上 垂直直線 = 13, = 3, = 4, 求 及 M 長? 於 點, 中點 M 若 1; 157 演練 5b : 平面外一點 P 垂直平面上三角形 O 於 O 點, 已知 中點 且 = 0, OP = 5 6;90 60, OP = 45, OP = 30, 求 OP 長? 及 P =? P O 演練 5c : 平面外一點 向平面 引垂線段, 及斜線段,, 若已知 = 10, = 順伯的窩 空間向量 [ 第 8 頁 / 共 3 頁 ]
9 高中數學講義 9 = 60, = 90, 求 長? 0 演練 5d : 如圖 : 三角錐 P 中, P = P = = 90, 且 =, = 13,P = 9, 求 1. 證明 :P hint: 先說明 P, 再依三垂線定理. 側面 P 與底面 所成兩面角的大小? P 60 習題 11-1 空間概念 1. 如圖 : 邊長為 的正四面體, 從頂點 對底面 作垂線 H 交底面於 H 點, 求高 H 的長度為何? h. 一長方體的稜邊共有幾組歪斜線? 四面體的稜邊有幾組歪斜線? 3. 將長寬各為 4,3 的長方形 沿對角線 摺成兩互相垂直的平面, 求頂點 和 的距 離? 4. 下列有關空間敘述, 那些是正確? () 過已知直線外一點, 恰有一平面與此直線垂直 () 過已知直線外一點, 恰有一平面與此直 線平行 () 過已知平面外一點, 恰有一直線與此平面平行 () 過已知平面外一點, 恰有一平 面與此平面垂直 () 過已知平面外一點, 恰有一平面與此平面平行 5. 正四面體 中, 設兩平面, 與 的夾角為 θ, 求 cosθ 之值? 順伯的窩 空間向量 [ 第 9 頁 / 共 3 頁 ]
10 10 高中數學講義空間向量的坐標表示法 6. 請指出或說明下列敘述錯誤的地方? () 平行於同一平面的兩相異直線必平行 () 垂直於同一直線的兩線戶相平行 () 任意兩相異直線必有一公垂線 () 兩相異直線若不相交, 必平行 () 過平面外一點, 恰有一直線平行於此平面 (F) 兩相異平面可能只交於一點 7. 設直線 垂直於平面 於, 若,, 都在平面 上, 且 於, 且 =, = = 1, 則 =?, =? 習題 = 4,1 6 = /3 6. () 可能相交 () 三度空間不真 () 二度空間不真 () 可 為歪斜線 () 無限多條 (F) 交 一線或不相交 7. = 5, = 空間向量的坐標表示法 空間坐標系 : 在平面上建立一直角坐標系, 過原點 O 作一直線, 使它同時與 x,y 軸互相垂直, 此直線稱為 z 軸 依右手法則規定 z 軸正負方向, 就組成空間坐標系, 此三個軸稱為空間坐標軸 ; 由 x 軸與 y 軸所決定的平面稱為 xy 平面 ; 由 y 軸與 z 軸所決定的平面稱為 yz 平面 ; 由 x 軸與 z 軸所決定的平面稱為 xz 平面 ; 此三平面稱為坐標平面, 坐標平面將空間分割成八個部份, 稱為卦限, 三個坐 標軸正向所圍成的卦限稱為第一卦限 空間點 P(a,b,c) 對坐標軸與坐標平面的關係 : 如圖 : 空間向量 OP = (a,b,c) 與三坐標軸正向夾角 α,β,γ 關係 : a cosα = a +b +c,cosβ = b a +b +c,cosγ = c a +b +c cos α+cos β +cos γ = 1 空間兩點 P 1,P 距離 : 若 P 1 (a 1,b 1,c 1 ),P (a,b,c ), 則 P 1 P = (a 1 a ) +(b 1 b ) +(c 1 c ) 空間兩點 P 1,P 中點坐標 : P 1 (a 1,b 1,c 1 ),P (a,b,c ) 中點 M = ( a 1 +a, b 1 +b, c 1 +c ) 順伯的窩 空間向量 [ 第 10 頁 / 共 3 頁 ]
11 高中數學講義 11 z 垂足點對稱點 距離 (a,0,c) (0,0,c) (0,b,c) P(a,b,c) x 軸 (a,0,0) (a, b, c) y 軸 (0,b,0) ( a,b, c) z 軸 (0,0,c) ( a, b,c) b +c a +c a +b x (a,0,0) (0,b,0) (a,b,0) y xy 平面 (a,b,0) (a,b, c) c yz 平面 (0,b,c) ( a,b,c) a xz 平面 (a,0,c) (a, b,c) b 圖 1: 空間坐標點 P(a,b,c) 對坐標軸與坐標平面的關係 正四面體空間坐標 : 稜邊邊長為 單位的正四面體四個頂點坐標 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1) z h H x G F y 空間向量的坐標表示法 : 坐標空間中, 始點 (x 1,y 1,z 1 ), 終點 (x,y,z ) 的位置向量 其坐標 表示為 = (x x 1,y y 1,z z 1 ) 我們可將 平移, 使得它的始點落於原點 O 上, 使其位置向量 = OP 設 OP = (a,b,c),a,b,c z 分別為 OP 的 x 分量 y 分量 z 分量 空間中 P 點坐標 (a,b,c), 向量 量 零向量 O = (0,0,0) x O P y OP 亦表示為 (a,b,c) 依前後文敘述判別 (a,b,c) 為點坐標或向 向量相等 : 向量 a = (a1,a,a 3 ), b = (b 1,b,b 3 ) 若 a = b a1 = b 1,a = b,a 3 = b 3 空間向量的加減與係數乘法 : 設空間中兩向量 a = (x1,y 1,z 1 ), b = (x,y,z ),r 為實數加法 : a + b = (x 1 +x,y 1 +y,z 1 +z ) 減法 : a b = (x 1 x,y 1 y,z 1 z ) 係數積 : r a = (rx 1,ry 1,rz 1 ) 順伯的窩 空間向量 [ 第 11 頁 / 共 3 頁 ]
12 1 高中數學講義空間向量的坐標表示法 空間中內分點公式 : 若點 P 是空間中 的內分點, 且 P : P = m : n, O 則 OP = n O+m O m+n = ( nx 1 +mx m+n, ny 1 +my m+n, nz 1 +mz m+n ) P 向量的線性組合 : 若 O, O 為空間中兩不平行的非零向量, 若空間向量 中 x,y 為實數, 稱為 O, O 的線性組合 OP 能表示成 OP = x O+y O 其 若平面 通過 O,, 三點, 則平面 上任一點 P, 則由向量和的平行四邊形法可知 O, O 的線性組合 即 OP = xo+y O 其中 x,y 為實數 若 O,,,P 四點不共平面, 因 x O+y O 的終邊必在平面 上, 故 x O+y O 若 O = r O+s O +t O, 其中 r +s+t = 1, 則,,, 四點共平面 OP 為 OP 不可能表示成 1. 平面直角坐標點 P(a,b) = a(1,0)+b(0,1) 是由 (1,0),(0,1) 兩基底 ( 互相垂直 ) 向量組 成 ( 平面上任一向量 OP = a e x +b e y 可表示成兩不平行向量的線性組合, 其係數和未 必為 1 若係數和為 1, 表示 P,, 共線 ). 空間中直角坐標點 P(a,b,c) = a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) 是由 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) 三基底 ( 互相垂直 ) 向量的線性組成 w = a +t b u = 3 a + b O a v = s a +1 b b 例題 範例 1: 坐標空間中, 點 (1,,3) 對 z 軸的對稱點 的坐標為何? 又點 對 xy 平面的對稱點 z H R 坐標為何? x ( 1,,3),R(1,, 3) F G y 順伯的窩 空間向量 [ 第 1 頁 / 共 3 頁 ]
13 高中數學講義 13 演練 1a : 空間坐標中一點 P(3,4,1), 求 1. 求點 P 與原點的距離?. 點 P 對 Z 軸的垂足點 H 坐標? 及點 P 到 Z 軸的距離? 3. 點 P 對 xy 平面的垂足點 H 坐標? 及點 P 到 xy 平面的距離? 13 H(0,0,1);d = 5 H (3,4,0);d = 1 演練 1b : 空間坐標中原點 O(0,0,0) 及一點 P( 3,, 6), 分別求 OP 與三個坐標軸所夾的角之餘 3 7 弦值?,, 演練 1c : 求空間向量與 x y z 三坐標軸夾角均相等時, 求此方向夾角的餘弦值? 均為 1 3 範例 : 正四角錐體 ( 稜邊相等的金字塔形 ) 的底面四頂點的空間坐標分別為 (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0), 求此錐體的錐頂點坐標? O ±( 1, 1, ) H 演練 a : 空間座標軸上有一長方體 O FGH ( 如圖 ), 已知 O = 3,O = 4,OH = 5, P P(0,1,5) ;l = 35 為 GH 上一點, HP = 1, 求點 P 坐標? 及 P 長? 今有一螞蟻只能沿著此長方體表面爬行, 求螞蟻從 點爬行至 P 點的最短距離為何? 41 ; 沿著 -HO-G 展開平面直線前進 z H P G O x F y 演練 b : 一長方體的長寬高分別與坐標軸平行 ( 如圖 ), 若已知點坐標 (,, ),H( 3,,1), 求 其它頂點坐標?(hint: 觀察 H) (,, ),( 3,,1),( 3,, ),(,,1),F(,,1),G( 3,,1) 順伯的窩 空間向量 [ 第 13 頁 / 共 3 頁 ]
14 14 高中數學講義空間向量的坐標表示法 z H( 3,,1) G x F (,, ) y 範例 3: 坐標空間中, 平行四邊形 的三頂點坐標,(1,,5),(4, 4, 3),( 6,5,9), 求 ( 9, 11, 17) 頂點 的坐標? 演練 3a : 已知坐標空間中, 三點 (3,,6),(5, 1,0),( 3,4,3), 試證明 為等腰直角三 角形? 演練 3b : 空間中三點 (1,9,3),(3,6,4),(7,0,6), 求 線? (, 3,1)//(6, 9,3);yes 及 ; 並判斷 三點是否共 範例 4: 已知點 P 在線段 上的點, P : P = : 3, 若 (1, 1,8),(11, 6, ) 求 P 點 坐標? P(5, 3,4) 演練 4a : 空間坐標中已知點 P( 1,,3) 且 PQ = (5,4, 1), 求點 Q 坐標? (4,6,) 演練 4b : 求空間向量 v = (, 3, 6) 的長度及其單位向量? 範例 5: 坐標空間中, 已知 O = (1,,3), O = (0,1, 1) 1. 若 O = 1 O+ O, 試描述 點的位置? 3. 若 O = O+ O, 試描述 點的位置? 7; 1 7 (, 3, 6) O = ( 1, 5 3, 5 6 ) O = (1,4,1) 3. 若 OP = O+t 線段 M O,0 t 1, 試描述 P 點位置所形成的圖形? 4. 若 OP = s O + t O,0 s 1,0 t, 試描述 P 點位置所形成的圖形? 平行四邊形 ON 5. 若 OP = x O+y O, 0 < x,0 < y, 且 x + y > 1 ; 試描述 P 點位置可能位置? 在直線 的右半平面上 順伯的窩 空間向量 [ 第 14 頁 / 共 3 頁 ]
15 高中數學講義 15 O O O p = s a + b N p = 1 a + b 演練 5a : 空間坐標中, 已知 M OP = O+t O O, O, 選出下列正確選項?( 圖形僅供參考, 並不表示實際方向 大小 ) N O O O M (1) 若 OP = 1 O+ 4 O ; 則,,P 三點共線 3 3 () 若 OP = O+ O ; 則 P 點的位置落在線段 上 (3) 若 OP = O+y O, y R ; 則 P 點位置必落在直線 M 上 (4) 若 OP = x O+y O,0 < x < 1,0 < y < ; 則 P 點位置必落在平行四邊形 ON 內部 (5) 若 OP = x O+y O, 0 < x,0 < y, 且 x+y > 1 ; 則 P 點位置必落在直線 1,3,4,5 的右半平面上 習題 11- 空間向量的坐標表示法 1. 已知 P(,3,4) 為坐標空間中一點, 求下列各值? (a) P 點到原點的距離? (b) P 點到 yz 平面的距離? (c) P 點到 x 軸的距離? (d) P 點對 xy 平面的垂足點 P 坐標?. 在第一卦限內有一點 P 到 x 軸,y 軸,z 軸的距離分別為 15,13, 106, 求 P 點的坐標? 3. 設 (,1, ),(0,, 1),(1,1,0), 求一點 P 使 P +P +P 為最小, 並求其最 小值? 4. 坐標空間中, 的三頂點為 (,3, 1),(0,5,),(1,5, 4) 求, 邊上的中線 M 長? 5. 在坐標空間中, 在 x 軸上找一點 P, 使 P 點到 (1, 1,4),(,1,3) 兩點等距? 順伯的窩 空間向量 [ 第 15 頁 / 共 3 頁 ]
16 16 高中數學講義空間向量的內積 6. 已知 P(1,,),Q(, 3,5) 與 R(x,y,11) 為坐標空間中三點, 且 P,Q,R 三點共線, 求 x,y 之值? 7. 已知 (9,3,1),(6,4,3),(0,6,7) 為空間中三點, 判斷,, 三點是否共線? 並說明理由? 8. 設 (3, 1,),(4,1,0),(0, 1, ), 若 中 的內角平分線, 外角平分線交底 邊 於, 兩點, 求, 兩點坐標? 9. 空間三點 (1,a,1),(3, 5,5),( 1,1,b) 共線, 求 a,b 之值? 10. 設 (3, 1,),(0,3,),(3,7, 4), 求 之重心坐標? 的內角平分線交 於, 求 點坐標? 11. 若平行四邊形, 已知三頂點 (1,,3),(4,3,1),(, 3,5) 求 點坐標? 1. 坐標空間中, 已知 O = (1,,), O = ( 1,,3) 若 OP = s O+t O,s,t R (a) 若 s = 1,0 t 試描述 P 點位置所形成的圖形? (b) 若 OP = s O+ O,0 s 1 試描述 P 點位置所形成的圖形? (c) 若 1 s,0 t 3 試描述 P 點位置所形成的區域面積是 O, O 所張開平行四 邊形面積的幾倍? 習題 M = (,3,0);(1,13/3,0) 1a. 9 1b. 1c. 5 1d. P (,3,0). (5,9,1) 5. P( 3,0,0) 6. x = 4,y = = 3, 共線 11. ( 1, 4,7) 1a. 線段 : M 內 OP 終點 P 落於 1b. 平行四邊形 OM 中的 8. (5/,1/4, 3/4),(10,4,3) 線段 M 3. P(1,0, 1), 空間向量的內積 9. a =,b = 3 1c. 9 倍 空間的向量內積 : a b = a b cosθ = a 1 b 1 +a b +a 3 b 3 若 a = O = (a1,a,a 3 ), b = O = (b 1,b,b 3 ) 則由餘弦定理 : 順伯的窩 空間向量 [ 第 16 頁 / 共 3 頁 ]
17 高中數學講義 17 = O +O O Ocosθ 及內積的定義 O O = O O cosθ = O O O + O = 1 (O +O ) O O = 1 [(a 1 +a +a 3 )+(b 1 +b +b 3 ) ((a 1 b 1 ) +(a b ) +(a 3 b 3 ) )] = a 1 b 1 +a b +a 3 b 3 b z θ O a y 故 a b = a b cosθ = a1 b 1 +a b +a 3 b 3 x 空間向量內積的基本性質 : 空間中任意向量 a, b, c 1. 空間向量內積具有交換律 : a b = b a. 空間向量內積與係數乘法關係 : (α a ) b = a (α b ) = α( b c ) 3. 內空間向量積對加法的分配律 : a ( b + c ) = a b + a c 4. 空間向量自己內積值為其長度平方 : a a = a 空間中兩向量垂直的判定 : 設 a = (a1,a,a 3 ), b = (b 1,b,b 3 ) 若 a b a b = a1 b 1 +a b +a 3 b 3 = 0 空間向量的正射影 ( 投影 ): a 在 b 上的投影 = ( a 在 b 的投影長 ) ( b 的單位向量 ) a 在 b 的正射影 = ( a b ) b b b = ( a b b ) b, 為一向量 a θ c b a 在 b 的正射影 = ( a b b ) b b a 在 b 的投影長與 c 在 b 的投影長相等 b 在 a b b a 的正射影 = ( b a a ) a 其正射影長 = = c b b b a a, 為一正實數 柯西不等式 : a b = a b cosθ a b 且當 (a 1,a,a 3 ) = t(b 1,b,b 3 ) 時等式成立 一般形式 : 若 a i,b i R 則 (a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 ) (a 1 + a + a 3)(b 1 + b + b 3) 且當 順伯的窩 空間向量 [ 第 17 頁 / 共 3 頁 ]
18 18 高中數學講義空間向量的內積 例題 a // b ; a 1 = b a = 1 b a 3 時等式成立 b 3 即 a i b i ( a i b i ) 兩群變數平方和的乘積 變數兩兩乘積和的平方 範例 1: 圖中 為正四面體,M 為 中點, 試問下列哪些敘述是正確的? () 直線 與 平面 M 垂直 () 向量 與向量 垂直 () M > () 平面 與平面 的二面角 ( 銳角 ) 大於 60 () = M M 演練 1a : 四角錐體 P 中, 已知底面 為一個平行四邊形, = ( 1,,1), = (0,,3), 90 ; 94 P = (8,3,), 求 P 與底面 的夾角? 及稜邊 P 長? P 演練 1b : 四角體 P 中, 已知,,P 兩兩互相垂直, 且 = =, 為 中 點, 兩直線, 10 P 方向所夾的角 θ,cosθ = 求 P 長及此四角體 P 體積? 10 P P = 4; 8 3 演練 1c : 四面體 中, 已知 P,Q,M,N 分別為,,, 中點且 =, 求 PM, QN 夾角 θ?(hint: PM = PQ+ QM, QN = QM + 90 MN) N M Q P 順伯的窩 空間向量 [ 第 18 頁 / 共 3 頁 ]
19 高中數學講義 19 演練 1d : 正四面體 中, 設高 H 的中點為 M, 求 M, M 夾角? 90 M H 演練 1e : 長方體 FGH 中, = 9, = = 3 3, P 為 GH 上一點, HP = 3, 求 P 與底面 所夾的銳夾角 θ 大小? z θ = π 3 H P G x F y 演練 1f : 空間中, 以 為共同邊的兩正方形,F, 其邊長皆為 4, 已知內積 F = 11, 則 7 =? 演練 1g : 如圖 : 設 FGH 為空間中長 寬 高分別為,3,5 的長方體, 已知 =, = H G = 3, 且 H = 5, 則內積 H 之值為? 9 F 範例 : 已知空間向量 a = (,1,1), b = ( 1,,1) 兩向量, 若兩向量的夾角為 θ, 則 θ =? θ = π 3 演練 a : 空間中兩點 P(1,, 1),Q( 1,3,5) 證明 : OP 直線與 OQ 直線互相垂直 演練 b : 若空間向量 a = (3,1,1), b = (,5t,t ) 兩向量互相垂直, 求實數 t 值? OP OQ = 0 t =, 3 演練 c : 已知空間中三角柱體 的六頂點坐標, 分別為 (1,0,0),(0,3,0),(0,0,4), (5,0,1), (4,3,1), (4,0,5) 求線段 長? =. 驗證此三角柱的三側面均為平行四邊形? 三側面是否為矩形? 不是矩形 ( 0); 是矩形 ; 不是矩形 演練 d : 空間一向量 v 與三個坐標軸方向夾角分別為 π 3, π 3 及銳夾角 γ, 求 γ 角? π 4 順伯的窩 空間向量 [ 第 19 頁 / 共 3 頁 ]
20 0 高中數學講義空間向量的內積 演練 e : 已知空間向量的長 v = 10 且與三個坐標軸方向夾角分別為 π 3, π 3 及 3π 4, 求向量 v =? (5,5, 5 ) 範例 3: 空間中兩向量 u, v 滿足 u = 3, v = 且 u, v 的夾角為 10, 求 u v =? 5 演練 3a : 空間中已知向量 u = (1,,3), v = (,3,6), 若 k u + v 與 u 垂直, 求實係數 k 值? k = 1 演練 3b : 空間中三角形, 已知三頂點坐標 (1,,3),(,3,5), 及 (,0,), 求 =? 10 ; = 3 3 及 面積? 演練 3c : 空間中已知向量 a = (,6,3), b = 3, 求 1 a b 的最大值? 演練 3d : 設 u = (1,,), v = (6,3, 6), 若 w = 3 u +t v 平分 u, v 的夾角, 求 w 及實 w = (9, 3,0);t = 1 數 t 值? 範例 4: 已知向量 a = (4,5,), b = (1,,) 求 c = (,4,4), c = 6 a 在 b 上的正射影及正射影長? 演練 4a : 向量 a = (1,,3), b = (4,10,6) 求 1. 向量 b 在 a 上的正射影長?. 向量 b 在 a 上的正射影? c = (3,6,9) 3. 將向量 b 分解成與 a 平行與垂直的分量和, 則其垂直分量為何? (1,4, 3) 演練 4b : 已知空間中三點 (1,0,1),(4,0,1),(3,,3), 求 在 方向上的正射影及其長度? (1,1,1), 3;H(,1,) 並求點 在直線 上的投影點坐標? 演練 4c : 中,(1,1,1),(3,3,0),(,1,3) 求 =? 及此三角形面積? ; = 3 5 又此 三頂點,, 在 xy 平面上的投影點分別為,, 則 所在平面 與 xy 平面銳夾角的餘弦值為何? 又 =? 及 3 面積? 5 ;45 ; = 1 範例 5: 已知實數 x,y,z 滿足 x +4y +9z = 3, 當 x,y,z 分別為何值時, 會使得 x+y +3z (1, 1 為最大值多少?, 1);max=3 3 演練 5a : 已知實數 x,y,z, 且 3x y+6z = 14, 當 x,y,z 分別為何值時, 會使得 x +y +z 有 ( 6 7 最小值多少?, 4, 1);m = 演練 5b : 已知實數 x,y,z, 且 3x y + 6z = 4, 求 (x + 1) + (y ) + (z 3) 的最小值? m = 1 演練 5c : 空間中一平面 : x+y +z = 6, 若點 P(a,b,c) 在此平面上, 求 P 點與原點的最短距 離? 並求此 P 點坐標? (,, );d = 順伯的窩 空間向量 [ 第 0 頁 / 共 3 頁 ]
21 高中數學講義 1 1. 設 (8,4,3),(4,10, 9), 求 習題 11-3 空間向量的內積 與三坐標軸的方向餘弦?. 有一向量 a, 其長度為 10, 始點在點 (0,1, 1), 方向角為 π 3, π 4, π 3, 求 a 的終點坐標? 3. 空間中有,,, 四點, 已知 = 1, =, = 3, = = 10, 而, 夾角為 60, 則 之長? 4. 設 a = (,1, 3), b = (1,0,), c = a +t b, 則當 t =?, c 有最小值? 又 a c 時,t 之 值 =? 5. 一長方體的長 = 1, 寬 =, 高 H = 1 兩斜對角線 F,H 相交於點 P, 求 z PF 的餘弦值? H x G F y 6. 設 x,y,x R 且 (x 1) +4y +z = 9 求 x+4y +z 的最大值與最小值? 7. 已知空間中三點 (1,3,4),(1,, ),(,5,7) 求 在直線 上的投影點 H 坐標? 在 上的正射影長? 另求 點 8. 已知實數 x,y,z 滿足 x+4y +z = 9, 求 x +4y +z 的最小值? 並求此時 x,y,z 的值? 9. 已知正數 x,y,z 滿足 x+y +z = 6 求 習題 /7,3/7, 6/7. 5,1+5, 外積 體積與行列式 1 x + 4 y + 9 z 4. t = 4/5, c = 3 30/5;t = 7/ max = 11,min 7 的最小值? 及此時 x,y,z 的值? 7. 14;H( 1, 1, ) 8. min=9;x = 1,y = 1,z = 9. x = 1,y =,z = 3;min = 6 空間向量的外積 : 空間中兩不平行非零向量 a = (a1,a,a 3 ), b = (b 1,b,b 3 ), 夾角為 θ, 則兩向量所張開的平 順伯的窩 空間向量 [ 第 1 頁 / 共 3 頁 ]
22 高中數學講義外積 體積與行列式 行四邊形面積 S = a b sinθ = a b 1 cos θ = a b ( a b ) = (a 1 +a +a 3)(b 1 +b +b 3) (a 1 b 1 +a b +a 3 b 3 ) 等於向量 ( = (a b 3 a 3 b ) +(a 3 b 1 a 1 b 3 ) +(a 1 b a b 1 ) a = a 3 a + 3 a 1 a + 1 a b b 3 b 3 b 1 b 1 b a a 3 b b 3, a 3 a 1 b 3 b 1, a 1 a b 1 b ) 的長度 空間中向量 a = (a1,a,a 3 ), b = (b 1,b,b 3 ) 的外積定義 : a a 3 a b = ( b b 3, a 3 a 1 b 3 b 1, a 1 a b 1 b ) = (a b 3 a 3 b,a 3 b 1 a 1 b 3,a 1 b a b 1 ) a 1 a a 3 a 1 a a 3 向量外積的計算法 : b 1 b b 3 b 1 b b 外積 a b 為 a, b 的一公垂向量 即 ( a b ) a 且 ( a b ) b 兩向量 a, b 則其外積 a 1 x+a y +a 3 z = 0 c = (x,y,z), 為的解, 即 c = a b = b 1 x+b y +b 3 z = 0 a ( a 3 b b 3, a 3 a 1 b 3 b 1, a 1 a b 1 b ) = (a b 3 a 3 b,a 3 b 1 a 1 b 3,a 1 b a b 1 ) 外積的性質 : 空間向量 a, b, c 1. ( a b ) a = 0,( a b ) b = 0. a b = ( b a ) 3. a ( b + c ) = a b + a c 4. (α a ) b = a (α b ) = α( a b ) 順伯的窩 空間向量 [ 第 頁 / 共 3 頁 ]
23 高中數學講義 3 z z a b b x a b y a x b a y 向量外積大小的幾何意義 : 外積 a b 的大小 a b 表示 a, b 所展開的平行四邊形面積 a b = a b sinθ= a a 3 + a 3 a 1 + a 1 a b b 3 b 3 b 1 b 1 b 是以 a, b 為兩邊所張開的平行四邊形面積 內積值 a b 在物理上的意義為作功 y b θ b sinθ a b+d d c a+c (c,d) a a+c (a,b) (a+c,b+d) 如圖示 : 由兩向量所張開的平行四邊形面積 = 大長方形面積 兩個小長方形面積 4 個三 角形面積 即 = (a+c)(b+d) 1 ab 1 cd bc = ad bc 空間三角形面積 : a = 1 absin = 1acsin = 1 bcsin=1 x 三向量所張出的平行六面體體積 : 空間三向量 a, b, c 張開的平行六面體體積 V = a ( b c ) V = h = b c a cosφ = a b c cosφ = a ( b c ) 或 V = b ( a c ) = c ( a b ) b = a 1 b 3 c c 3 +a b 3 b 1 c 3 c 1 +a b 3 1 b c 1 c = a 1 b c 3 +a b 3 c 1 +a 3 b 1 c a 1 b 3 c a b 1 c 3 a 3 b c 1 b c a h φ c b 三階行列式的定義 : 餘因子降階展開法 n 列 ( 橫向 ) n 行 ( 直向 ) 排列的元素稱 n 階行列式 n, 若將其某行或某列的元素分別乘上其 順伯的窩 空間向量 [ 第 3 頁 / 共 3 頁 ]
24 4 高中數學講義外積 體積與行列式餘因子 ij 的和, 逐次降階展開稱為餘因子降階展開行列式值 其中元素 a ij 的餘因子 : ij = ( 1) i+j ( 去除第 i 列第 j 行元素後的行列式值 ) 3 = det 3 = a i1 i1 +a i i +a i3 i3 = a 1j 1j +a j j +a 3j 3j a 1 b 1 c 1 b 3 = a b c = a 1 c b a 3 b 3 c 3 3 c 3 b a 1 c a 3 c 3 +c a 1 b a 3 b 3,( 按第一列降階展開 ) b = a 1 c b 3 c 3 a b 1 c 1 b 3 c 3 +a b 3 1 c 1 b c,( 按第 1 行降階展開 ) b = a 1 b 3 c c 3 +a b 3 b 1 c 3 c 1 +a b 3 1 b c 1 c,( 二階行列式性質 : 行列對調值不變, 任兩行對調其值異號 ) = a 1 b c 3 +a b 3 c 1 +a 3 b 1 c a 1 b 3 c a b 1 c 3 a 3 b c 1,( 展開整理的行列式值 ) = (a 1,a,a 3 ) [(b 1,b,b 3 ) (c 1,c,c 3 )] = a ( b c ) a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 a b c a b a 3 b 3 c 3 a 3 b 由上可知 : 我們將選擇零元素最多的某行或某列降階展開比較容易計算 行列式的性質 : 1. 將行與列的所有元素互換, 其值不變 a 1 a a 3 a 1 b 1 c 1 b 1 b b 3 = a b c c 1 c c 3 a 3 b 3 c 3. 將某兩行 ( 列 ) 元素對調位置, 其值變號 a 1 a a 3 b 1 b b 3 a 1 a a 3 a a 1 a 3 b 1 b b 3 = a 1 a a 3, b 1 b b 3 = b b 1 b 3 c 1 c c 3 c 1 c c 3 c 1 c c 3 c c 1 c 3 3. 任一行 ( 列 ) 之數可提出公因數 a 1 ka a 3 a 1 a a 3 ka 1 ka ka 3 a 1 a a 3 b 1 kb b 3 = k b 1 b b 3, b 1 b b 3 = k b 1 b b 3 c 1 kc c 3 c 1 c c 3 c 1 c c 3 c 1 c c 3 4. 若某行 ( 列 ) 之數均為 0, 則其行列式值為 0 a 1 a a 3 b 1 b b 3 = 順伯的窩 空間向量 [ 第 4 頁 / 共 3 頁 ]
25 高中數學講義 5 5. 任兩行 ( 列 ) 之數成比例, 其行列式值為 0 a 1 a a 3 a 1 ka 1 a 3 b 1 b b 3 = 0, b 1 kb 1 b 3 = 0 kb 1 kb kb 3 c 1 kc 1 c 3 6. 將某行 ( 列 ) 的各數乘上一非零的數 k, 加至另一行 ( 列 ), 則其行列式值不變 a 1 +kb 1 a +kb a 3 +kb 3 a 1 a a 3 b 1 b b 3 = b 1 b b 3 c 1 c c 3 c 1 c c 3 7. 行列式的合併拆解 : 可依任一行 ( 列 ) 元素拆分, 將一個行列式拆成兩個行列式 a 1 +d 1 a +d a 3 +d 3 a 1 a a 3 d 1 d d 3 b 1 b b 3 = b 1 b b 3 + b 1 b b 3 ( 第一列的分解 合併 ) c 1 c c 3 c 1 c c 3 c 1 c c 3 a 1 a a 3 x 1 a a 3 a 1 +x 1 a a 3 b 1 b b 3 + y 1 b b 3 = b 1 +y 1 b b 3 ( 第一行元素的分解 合併 ) c 1 c c 3 z 1 c c 3 c 1 +z 1 c c 3 行列式的應用 : a 1 x+b 1 y = c 1 1. 平面上三直線共點 : 三相異不平行直線共同交一點 : a x+b y = c a 3 x+b 3 y = c 3 a 1 b 1 c 1 ( 將 L 1,L 克拉瑪公式解有相同解, 代入 L 3 ) a b c = 0 a 3 b 3 c 3. 空間三角形 面積 : 兩向量 = (a 1,a,a 3 ), = (b 1,b,b 3 ) 則 面積 = 1 = 1 a a 3 a + 3 a 1 a + 1 a b b 3 b 3 b 1 b 1 b 3. 平面上三角形 面積 : 平面上 (a 1,a ),(b 1,b ),(c 1,c ) 則 a = 1 ( ) = 1 b 1 a 1 b a c 1 a 1 c a a 1 a 1 = 1 b 1 a 1 b a 1 = 1 b 1 b 1 c 1 a 1 c a 1 c 1 c 1 4. 平面上 三點共線 : 平面上 (a 1,a ),(b 1,b ),(c 1,c ) 三點共線 a 1 a 1 則 a = 1 b 1 a 1 b a c 1 a 1 c a = 1 b 1 b 1 = 0 c 1 c 1 順伯的窩 空間向量 [ 第 5 頁 / 共 3 頁 ]
26 6 高中數學講義外積 體積與行列式 5. 平行六面體體積 : 向量 a, b, c 張開出的平行六面體體積 V = a ( b c ) = a 1 b c 3 + a b 3 c 1 + a 3 b 1 c a 1 b 3 c a b 1 c 3 a 3 b c 1 = a 1 a a 3 b 1 b b 3 c 1 c c 3 6. 空間中 四面體體積 :V = 1 3 ( = a, = b, = c 張開出的平 行六面體體積 ) ( 註 : 錐體體積 = 3 1 柱體體積 ) V = 1 3 ( ) a 1 a a 3 = 3 1 b 1 b b 3 c 1 c c 3 7. 空間中 四點共面 : 若 四點共面則其四面體體積為 0 若 = (a 1,a,a 3 ), = (b 1,b,b 3 ), = (c 1,c,c 3 ) a 1 a a 3 則 V = 1 3 b 1 b b 3 = 0,( 此亦表示三向量 共平面 ) c 1 c c 3 三角形 面積公式 : 例題 a = 1 absinθ = s(s a)(s b)(s c), s = 1 (a+b+c) = r 內 s = abc 4R 外 = 1 sinθ = 1 ( ), 平面或空間三角形均適用 = 1 a 1 a 1 b 1 b 1, 平面上點 (a 1,a ),(b 1,b ),(c 1,c ) c 1 c 1 = 1 b 1 a 1 b a c 1 a 1 c a, 平面上點 (a 1,a ),(b 1,b ),(c 1,c ) = 1, 空間三角形適用 範例 1: 已知坐標空間中,(1,,1),(0,6,4),(3,5,6) 三點, 求一單位向量 v, 使其同時垂直 順伯的窩 空間向量 [ 第 6 頁 / 共 3 頁 ]
27 高中數學講義 7,? 演練 1a : 求空間中與通過 (0,0,1),(1,0,1),( 1, 1, 1) 三點的平面垂直的向量? ± 3 3 (1,1,1) (0,, 1)t 演練 1b : 已知空間向量 a = (,3,5), b = (1,,3), 求 a b =? 及 a b =? ( 1, 1,1); 3 演練 1c : 若已知 u v = (, 3,6), 則 v u =? v u = (,3, 6);7 演練 1d : 已知空間向量 u = (, 3,1), v = ( 3,3,), 及 w = (1,1,3), 求 1. 求一向量, 使其同時垂直 u, v?. 求一向量, 使其同時垂直 u,(1,1,0)? 3. u v = 4. 3 u v = 5. u ( u v ) = 6. u ( v w) = 7. v ( u w) = (9,7,3)t,t R ( 1,1,5)t,t R ( 9, 7, 3) ( 7, 1, 9) 範例 : 坐標空間中 三頂點分別為 (1,,3),( 1,4,6),(5,7,3), 求此三角形的面積? 3 77 已知向量 a = (1,1,), b = (1,, 1) 求由 3 3 a, b 所張開出的平行四邊形面積? 演練 a : 坐標空間中 三頂點分別為 (1,0,0),(0,3,0),(0,0,4), 求此三角形的面積? 13 演練 b : 坐標空間中, 已知平行四邊形 頂點坐標分別為 (0,0,0),(3,,1),( 1,3, 1), 3 6 及 (,1,0), 求此平行四邊形面積? 5 演練 c : 平面上三角形 的三頂點坐標 (,3),(5,),(6,5), 求此三角形面積? 演練 d : 利用 3 階行列式值, 求平面上三角形 的三頂點坐標分別為 (,3),(5,),(6,5) 5 的面積? 範例 3: 設 a = (,1,3), b = (1,,1), c = ( 1,3,), 求由 a, b, c 所張開出的平行六面體 z c 體積? 14 a x b y 順伯的窩 空間向量 [ 第 7 頁 / 共 3 頁 ]
28 8 高中數學講義外積 體積與行列式 演練 3a : 平行六面體 ( 如圖 ) 已知 O = (1,,3), O = (,1,1), = (, 3, 1), 求此六面體 z 的體積? 14 O x y 演練 3b : 若 a = (3,,4), b = (,1, ), c = (3, 6, ), 求由 a, b, c 所張開出的平行 98 六面體體積? 演練 3c : 空間中四面體 O 頂點坐標分別為 O(0,0,0),(1,,3),(3,,1),(1,3,), 求此 四面體體積? 演練 3d : 考慮向量 u = (a,b,0), v = (c,d,1), 其中 a +b = c +d = 1, 請選出正確選項?(1) 向 量 v 與 z 軸正向的夾角恆為定值 ( 與 c,d 無關 ) () u v 的最大值為 (3) u 與 v 夾角的最大值為 (4) ad bc 的值可能為 4 (5) u 1,3,5 v 的最大值為 演練 3e : 給定向量 u = (,,1), 請選出正確選項 :(1) 可找到向量 v 使得 u v = () 可找到向量 v 使得 u v = (1,3,4) (3) 若非零向量 v 滿足 u v = v, 則 u v = 0 (4) 若非零向量 v 滿足 u v = 3 v, 則 u v = 0 (5) 若向量 v 滿足 u v = 0, 且 u v = 0, 則 1,4,5 v = 範例 4: 求行列式值 1 =? ; =? ; (a b)(b c)(c a) Vandermonde 行列式 a b c =? a b c + 演練 4a : 用,, 表示行列式值 3 5 =? b a a b 演練 4b : 已知行列式值 c d = 5, 10 求行列式值 3 4 =? 0 d c a b c a+b c b c 10 演練 4c : 已知行列式值 x y z = 5, 求行列式值 x+y z y z =? α β γ α+β γ β γ 順伯的窩 空間向量 [ 第 8 頁 / 共 3 頁 ]
29 高中數學講義 9 x y z 演練 4d : 已知行列式值 u v w = 4, 利用行列式性質求 u v w =? x y z x y z 3 4 = =? u v w x 3 y 6 z 9 =? u v w x+3 y +6 z u 1 3v 3w 3 =? 1 3 x 3 x = 0, 9 演練 4e : 若 1 x 0 = 7, 求 x 的解? 階行列式應用 : 平面上三直線共點或三直線存在平行關係 x y = 1 範例 5: 設實數 a > 0,x,y 的方程組 x y = a x ay = 1 有解, 則 a 值 =? a = 14 演練 5a : 平面上三相異直線 L 1 : x+(1 k)y = 3,L : x+y = 3 k,l 3 : ( k)x+y = 3, 共 k = 6,(k = 0 不合 ) 交點, 求實數 k 值? x+ay = 5 a = 1 演練 5b : 若聯立方程組 x+y = a+3 恰一解, 則實數 a 值為何? (a+)x y = 5 3 階行列式應用 : 空間中四點共平面 範例 6: 已知空間中四點 (a,1,1),(a + 1,1,0),(1,,1),( 1, 1,3) 共平面, 求 a 值? a = 1 演練 6a : 空間中四點 ( 1,,),(3,3,4),(,,10),(0,,) 是否共平面? 演練 6b : 已知空間中四點 (,a,1),( a,0,),(4,1,3),(6,4,5) 共平面, 求 a 值? V = 0,yes a = 1, 順伯的窩 空間向量 [ 第 9 頁 / 共 3 頁 ]
30 30 高中數學講義外積 體積與行列式範例 7: 已知空間中三向量 a, b, c 所張開的平行六面體體積為 5, 求 a 3 b,3 b +4 c, c 30 三向量所張開的平行六面體體積? 演練 7a : 四面體的稜邊 O,O,O 兩兩互相垂直, 若 O 面積為 a, O 面積為 b, O 面積為 c, 面積為 d, 說明 : d = a +b +c O ( 解 :)d = 1 ( ) ( ) 演練 7b : 四面體頂點座標分別為 (1,0,),(3, 1,4),(1,5,),P(4,4,4), 求頂點 P 到底面 的距離 ( 高 ) 為何? ;V = 1h 3 習題 11-4 外積 體積與行列式 1. 向量 n 同時垂直 a = (,,1), b = (1,0,1), 且 n = 3, 求 n =?. 空間坐標中 三頂點分別為 (0,0,0),(1,,3),(3,,1), 求此三角形的面積? 3. 已知空間中 三頂點分別為 ( 1,, 3),(5,,3),(1,0,k), 此三角形的面積 為 9, 求 k 值? 4. 坐標空間中, 已知平行四邊形 頂點坐標分別為 (1,1,),(1,,3),(,3,0), 及 (,4,1), 求此平行四邊形面積? 5. 已知空間中四點 ( 1,,1),(, 1,0),(1,,3),(0, 1,1) 求向量 的平行六面體體積? 四面體 的體積? 6. 已知空間中四點 (1,0,6),(,3, 8),(8, 5,6), 及原點 O(0,0,0) 求向量 所張開的平行六面體體積? a b 7. 設 c d = 3, 3a 4b 5a+3b 則 3c 4d 5c+3d =? 求行列式值 : =?,, 所張開 O, O, O 9. 設平面坐標上三點 ( 1,),(3, ),(a,a+), 若 面積為 10, 則 a 值為? 又當 三點共線時,a 值為? 順伯的窩 空間向量 [ 第 30 頁 / 共 3 頁 ]
31 高中數學講義 求行列式值 (1) =? () =? x 試解方程式 0 x 1 = x+6 a 1 a a 3 1. 行列式 b 1 b b 3 值, 與下列哪些行列式值相同? c 1 c c 3 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 () a b c () a b b c () a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 b 3 c 3 a b c a 1 a a 3 1 b 1 1 b 1 b 3 c 1 c c 求行列式值 (1) =? () cotθ cscθ cscθ cotθ =? 求行列式值 : 5 1 =?, =? 化簡行列式值 a b c =? a 3 b 3 c 化簡求值 a b c =? b+c a+c a+b a 1 b 1 b 1 c 1 () a b b c a 3 b 3 b 3 c 3 () 17. 試判別空間中四點 (,1,3),(3,5,4),(1,5,5),(0,,4) 是否共平面? 18. 設 a,b,c,x,y,z 均為實數, 且 a +b +c = 5,x +y +z = 16, 求行列式 的絕對值最大值為何? 1 a b c x y z 順伯的窩 空間向量 [ 第 31 頁 / 共 3 頁 ]
32 3 高中數學講義外積 體積與行列式 19. 已知空間中三向量 a, b, c 所張開的平行六面體體積為 5, 求 a + b, b + c, c 三 向量所張開的平行六面體體積? 習題 ±(, 1, ) k = 0, a =, 3;a = , ;0 15. (a b)(b c)(c a)(a+ b+c) x = 1,, no 5. V = 6;V = 1 6. V = ; 教用版附答案... 順伯的窩 - nd - [ 第 3 頁 / 共 3 頁 ]
數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc
98 向量 4- 向量的意義 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 () 反向量
遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
向量的意義 4 向量 向量的意義 : (1) 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段, 稱為向量 AB (2) 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ), 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同, 則稱此 (3) 向量的相等 : 若向量
98 4- 向量的意義 4 向量 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 零向量的長度為
ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積 體積與行列式 主題一 空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與 的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下
外積體積與行列式 陳清海 老師 ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積 體積與行列式 主題一 空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與 的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下圖所示. a a a a a a a a a a a a,,. 外積
遞迴數列
- 空間中的直線方程式 目標 i) 能以參數式或比例式表示出坐標空間中的直線 並能處理直線與直線 直線與平面的關係 ii) 除 i) 之教材外 再進一步能處理點到直線的距離 兩平行線之距離 以及兩歪斜線的距離 討論. 在坐標空間中 設 O 是原點 當 d m n) 是直線 的一個方向向量 且 A ) 是 上一個定點時 動點 P ) 在直線 上的充要條件是 AP d 其中 是一個實數 如圖所示 於是
ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
vector_R2.dvi
https://sites.google.com/site/hysh4math 高中數學講義 1 10 平面向量 10.1 平面向量的表示法 向量 : 包含方向與大小兩種意義 ( 有方向的量 ) 由 A 點到 B 點的有向線段, 記為 線段 AB 的長度, 以 AB 表示 AB, 其中 A 為起始點,B 為終點, 線段 AB 的長度稱為有向 終點 B 向量 零向量 : 始點與終點重合的向量, 記為
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試題 設 A(1,,), B(4,, 1), C(, 1,5),若 ABCD 連成一平行四邊形,則 D 之坐標為何? 編碼 14057 難易 易 出處 康熹自命題 解答 ( 1,,9) 設 D(x, y, z),則 AD BC (x 1, y, z ) ( 4, 1,5 (1)) x 1 x 1 y 4 y, D( 1,,9). z 6 z 9 設 A(4,,), B(, 1,4), C(1,4,0),若
<4D F736F F D20B2C43330B3E6A4B8A57EBF6EBB50A454B6A5A6E6A643A6A12E646F63>
( 甲 ) 空間向量的外積 第三十單元外積 體積與三階行列式 在物理學中, 設力 F 作用在位移 r 的終點上, 它的力矩定義為一個向量 M, 其大小 為 F r sinθ, 方向垂直 F 與 r, 且 M 與 r F 構成右手系, 符號寫成 : M r F 這樣的概念抽象化之後, 形成 外積 的定義 () 外積的定義 : F 設空間中兩向量 與 的外積為一個向量, 符號記為, 設空間中兩向量 與
(Microsoft Word \245|\255\261\305\351\275g.doc)
台北市立陽明高中高二自然組動手動腦 單元 :- 空間概念 ( 四面體篇 ) 班級 : 座號 : 姓名 :. 設正四面體 ABCD 其每一稜長均為 已知 AB 之中點為 M CD 之中點為 N 求()AB AN ;()MN 之長為. 6. 有一側稜長均為 8 的金字塔形其側面為四個等腰三角形底面是邊長為 6 的正方形若底面與側面之夾角為 α 則 cosα.. 三角錐 ( 四面體 )ABCD 頂點 A
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試題空間中四點 A(,,), B(,0,), C(,0, ), D(, k, ), () 過 A, B, C 三點的平面方程式為. () 若 A, B, C, D 四點共平面,則 k. 編碼 40747 難易 中 出處 康熹自命題 解答 ()4x 5y z 5 0;() () 設平面 ABC 的方程式為 ax by cz d 0, 過 A(,,), a b c d 0,過 B(,0,), a c d
H2 空間中的平面與直線 2-1 空間中的平面 1. 能了解空間中平面的法向量.當給定空間中一點及法向量時,能寫出通過此點的平面方程式. 2. 能利用法向量與平面外一點求平行平面的方程式. 3. 能利用外積求通過不共面三點的平面方程式. 4. 能利用法向量求兩平面的夾角. 5. 能計算空間中點到平面
高中數學第四冊 (99 課綱 ) H1 空間向量 H2 空間中的平面與直線 H3 矩陣 H1 空間向量 1-1 空間概念 1. 能了解直線與直線的關係,包含兩歪斜線. 2. 能了解直線與平面的關係,包含直線與平面垂直. 3. 能了解平面與平面的關係,包含兩平面的夾角. 4. 能了解三垂線定理及其基本應用 1-2 空間向量的坐標表示法 1. 能了解空間坐標系. 2. 能了解空間中兩點距離公式與中點公式.
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面
正餘弦定理 陳清海 老師 1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A 1 1 1 bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: 0 3 1 1 ABC 面積 AB AC sin A 10 8sin10 0 3. Show Axes
Microsoft Word - 2-2空間中直線方程式(2016).doc
空間中直線方程式 ( 甲 ) 空間中直線方程式 空間直線的參數式坐標平面上只要給定直線的方向向量與線上的一點, 就可以用參數式來表示直線上的點 當直線置於空間坐標中, 仍然可以利用參數式來表示直線 空間中, 直線 L 通過點 A(,, ) 且方向向量 v (a,b,c), 如何表示直線 L 呢? 設 P 點在直線 L 上, 且 P A, 由方向向量的意義, 可得 AP 平行 v 反過來說, 若 P
ok331 向量的幾何表示法
ok 平面向量的幾何表示法 ok 平面向量的幾何表示法 主題一 向量的幾何表示法. 將線段 AB 的 B 點處畫一箭號表示方向,像這種帶有箭頭 的線段,稱為從 A 點到 B 點的有向線段,記作 AB,其中 A 點稱為有向線段 AB 的始點, B 點稱為它的終點. AB 的 長度稱為有向線段 AB 的長度,以 AB 表示.. 我們用有向線段來代表向量,而且有向線段的方向 代表向量的方向;有向線段的長度代表向量的大小..
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練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
Microsoft Word - 第3章_99_.doc
- 平面向量的基本運算 第三章平面向量 第三章平面向量 0 甲 向量的表示法 乁重點整理乁 一 幾何表示法 有向線段 : 如圖 帶有箭頭的線段稱為從 A 點到 B 點的有向線段, 以 表示 A 稱為始點,B 稱為終點 為有向線段, 的長度以 表示, 即 AB= 向量的定義 : 具有大小和方向的量就稱為向量 我們以有向線段來表示向量, 其方向為向量之方向, 長度為向量之大小 向量 :A 為始點,B 為終點,
面積與二階行列式 陳清海 老師
面積與二階行列式 陳清海 老師 1 主題一 二階行列式 1. 二階行列式: 符號 即 d 稱為二階行列式,它所代表的數為 d d d.. 二階行列式具有下列性質: (1) 行列互換其值不變,如. d d () 兩行 ( 兩列 ) 對調,其值變號,如 ; d. d d d (3) 任一行 ( 列 ) 可以提出同一個數,如 k k k d d ; k. k kd d (4) 兩行 ( 兩列 ) 成比例,其值為
ok332 平面向量的座標表示法
1 ok33 平面向量的坐標表示法 主題一 向量的坐標表示法 1 對於任意一個向量 a,必有唯一的一點 A 使得 a OA 此時 A 點的坐標 xy, 就是向量 a 的坐標表示, 即 a x, y,其中 x 和 y 分別稱為向量 a 的 x 分量 與 y 分量且 a OA x y 設 r 為實數,向量 a x, y, b x, y 1 1 (1) a b x x, y y () r a rx, ry
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試題 下列敘述何者正確? (1) 線段的射影一定是線段 () 線段的射影長不可能比原線段長 () 兩歪斜線在一平面 上的投影不會相交 (4) 兩平行線在同一平面的投影,必為兩平行線. 編碼 140016 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) ; 可能是一點. () ; 最多與原線段等長. () ; 如圖, L 1 投影成 L, L 投影成 L 4, L 1, L 歪斜,但 L, L 4 有交點.
Microsoft Word - 向量_2015_.docx
向量 重點整理 一 向量的概念 : (1) 基本概念 : (a) 以 為始點, 為終點的有向線段, 稱為向量, 它的方向是由 指向, 大小為, 記為, 即 = 當 = 時, 為零向量, 記為 = 0 ; 注意 : 0 的大小為 0, 但方向為任意 (b) 兩個向量若大小相等, 方向相同, 則稱兩個向量相等 =, 方向相同且 = (c) 與 長度相等, 但方向相反, 記為 := 二 向量的運算 : (1)
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要
_題目卷
東大附中國三數學科 :- 練習卷 年 班座號 : 姓名 : 一 單一選擇題. ( ) 如圖, 中, 分別為 上的點, 則下列哪個條件無法推得 //? () : = : () : = : () : = : () : = : 7. ( ) 如圖, 為直角三角形, 且 分別為 的中點, 已知 =, =4, 則 的面積為多少平方單位? () ( ) 8 () 4 () 48. ( ) 如圖, 中, =, =,
Microsoft Word - 3-1動手動腦2.doc
台北市立陽明高中高二自然組動手動腦 單元 :- 圓的方程式 () 班級 : 座號 : 姓名 : 一 選擇題 ( 題每題 分共 分 ); 第 題為單選題 第 題為多重選擇題 ( ) x y 為實數且滿足 x y 求 x 的 最小值 ()0 () 0 ()7 () 7 有一圓通過點 P 且與 y 軸相切若此圓的半徑為 試求此圓的方程式為 ( 有兩解 ) ( ) 三直線 x y 9 0 x y 0 及 x
遞迴數列
- 三元一次方程組 目標 i 能利用加減消去法與代入消去法解三元一次方程組及三元一次方程組的應用 ii 除 i 之教材外 利用三階行列式解三元一次方程組或討論三平面的幾何關係 討論. 在三元一次方程式 4 6 中 由於 的係數不為 任意給 的值 都可求得 例如 5 令 時 4 6 4 5 4 5 得到方程式的一解 4 由此可知 4 6 有無限多解 一般而言 三元一次方程式 中 不皆為 假設 則 故任意給定
推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 四邊形四邊中點連線性質 : 例 ABCD E F G H AC 6 BD 8 EFGH AC BD 14 E A H B F C G D
40 3-1 推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 1 2 4 四邊形四邊中點連線性質 : 例 H 68 H 14 H 41 41 基礎題 1 ab a366b12 2 a 36 證明 10 分 10 分 P131 2 a366b12 2 1 a6b12 2 36 6b1266b126 6b186b6 36b3b1 b3b1
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試題 空間中決定一平面的條件有四種 :(1), (), (), (4). 編碼 140064 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) 不共線的相異三點 ;() 一線及不在此線上一點 ;() 二相交相異直線 ;(4) 二平行直線 空間中任意二直線的相互關係有四種 :(1), (), (), (4). 編碼 140065 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) 平行 ;() 重合 ;() 相交於一點
中正高工附設進修學校
1 數學 C 考前重點複習 ( 上 ) 重點 01 + m 設 A() B() 為數線上相異兩點, 若點 P() 在 AB 上且 AP : BP m :, 則 m+ 比例相加當分母, 交叉相乘再相加當分子! 重點 0 設 A() B() 為數線上相異兩點, 若點 M() 在 AB 上且 AP : BP 1:1 重點 03 +, 則 二 (-,+) 三 (-,-) 一 (+,+) 四 (+,-) 重點
. 雙曲線 y + y = 0 兩頂點的距離為何? 6 (E) 6. 若 log ( ) = + log, 則 =? 或 (E) +. 若 f ( ) =, 且 f ( a) = f ( b) =, 則 f ( a + b) =? 6 8 (E) =. 求 log ( + + )? (E) π 6.
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 (E) 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9 (E). 求 + + 9 =? 8 (E). 若 + = + A B + C + D +, 則 A
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一 二 1. 複習國中三角形相似的性質 1. 正弦 餘弦與 講義 習作 紙筆 生命教育 2. 由相似直角三角形邊長成比例, 引進 正弦 餘弦 正切的定義 測驗 正切 的概念 2. 正弦 餘弦與 3. 了解銳角的正弦與餘弦, 皆介於 0 與 1 之間 正切的關係 第一章三角. 給定銳角 θ, 由直角三角形的邊長, 求出 sinθ cosθ 3. 正弦 餘弦與 1-1 直角三角形的邊角關係 tanθ 正切的增減
標題
行列式與其應用 甲 二階行列式 引入二階行列式 : 解二元一次方程組 :, 其中, 是未知數, 我們使用代入消去法解之 當 時, 解得唯一解 : 為了簡化過程與符號, 定義二階行列式 定義 : 當,,,d 為 個數, d d 它是左上與右下的乘積減去右上與左下的乘積 引入二階行列式的符號之後, 重新考慮解 的過程, 可得, 其中,, 當 時, 方程組,, [ 此稱為克拉瑪公式 ] 當, 方程組有無限多解
ok321 直線方程式
主題一 直線的斜率 斜率的定義:設 Ax, y,, B x y 為直線 L 上相異兩點, y y () 若 L 非鉛直線 ( x x ),則 L 的斜率 m x x () 若 L 為鉛直線 ( x x ),則稱直線 L 無斜率 斜率的變化: () 直線由左下向右上傾斜時,斜率為正 () 直線由左上向右下傾斜時,斜率為負 () 直線為水平線時,斜率為 0 直線為鉛直線時沒有斜率 同時,直線的傾斜程度愈大,斜率的絕對值也愈大
新北市立江翠國中 103 學年度第二學期第二次定期考查八年級數學科試卷 P.1 測驗說明 : ( 一 ) 範圍 : 康軒版第四冊 2-3~3-3 ( 二 ) 本試卷含題目卷共 4 頁 ( 雙面列印 ) 及答案卷 1 張 ( 三 ) 題目卷包含 12 題單選題 6 題填充題 4 題綜合題, 請將正確答
新北市立江翠國中 103 學年度第二學期第二次定期考查八年級數學科試卷 P.1 測驗說明 : ( 一 ) 範圍 : 康軒版第四冊 2-3~3-3 ( 二 ) 本試卷含題目卷共 4 頁 ( 雙面列印 ) 及答案卷 1 張 ( 三 ) 題目卷包含 12 題單選題 6 題填充題 4 題綜合題, 請將正確答案寫在答案卷上 一 選擇題 ( 每題 5 分, 共 60 分 ) 1.( ) 以下何者不是兩個三角形的全等性質?()
Paperless Printer, Job 4
三角函數 (Trigonomtric function 包含以下六個 : 正弦函數 :sin 餘弦函數 :cosin 符號 :sin 符號 :cos 正切函數 :tangnt 餘切函數 :cotangnt 符號 :tan 符號 :cot 正割函數 :scant 餘割函數 :coscant 符號 :sc 符號 :csc 銳角三角函數 : 一直角三角形, 鄰邊為 X, 對邊為, 斜邊為 Z, 斜邊和鄰邊夾角為
. 雙曲線 y + y = 0 兩頂點的距離為何? 6 6. 若 log ( ) = + log, 則 =? 或 +. 若 f ( ) =, 且 f ( a) = f ( b) =, 則 f ( a + b) =? 6 8 =. 求 log ( + + )? π 6. 設 0 < θ <, 且 si
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9. 求 + + 9 =? 8. 若 + = + A B + C + D +, 則 A + B + C + D
B3C1
- B(. AB. A( ( 3. AA PP 0 a a a 4. ( 5. Ex. ABCDEF Ans8305 Ex. ABCDE Ans00. a+ b a+ b b. a+ b = b + a a b a ( a+ b + c = a+ ( b + c a+ 0= a = 0+a a + ( a = 0 = ( a + a b a b 3. a b = a+ ( b a 4.(P AB =
100 學年度四技新生基礎數學第一次測驗 已知 f (x) 為一實係數多項式, 且 f ( ) = 27, f ( ) = 8 若 f (x) (6x + x 15) 的餘式為 ax + b, 則 b a =? (A) 4 (B)8 (C)12 (D)16 (E) 20 3
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9. 求 + + 9 =? 8. 若 + = + A B + C + D +, 則 A + B + C + D
新北市立江翠國民中學 107 學年度第一學期第 1 次段考九年級數學科試題卷 P1. 測驗說明 : 1. 範圍 : 康軒版第五冊第 1 章第 1 節 ~ 第 1 章第 3 節 2. 本試卷共 5 頁 ( 題目卷 4 頁及答案卷 1 頁 ) 3. 全部試題共 24 題, 請將各題答案填入答案卷上, 否
新北市立江翠國民中學 107 學年度第一學期第 1 次段考九年級數學科試題卷 P1. 測驗說明 : 1. 範圍 : 康軒版第五冊第 1 章第 1 節 ~ 第 1 章第 3 節 2. 本試卷共 頁 ( 題目卷 4 頁及答案卷 1 頁 ) 3. 全部試題共 24 題, 請將各題答案填入答案卷上, 否則不予計分 一 選擇題 ( 每題 4 分, 共 40 分 ) 1. 下列各組圖形中, 哪一組圖形不一定相似?(
!!""# $ %#" & $$ % $()! *% $!*% +,-. / 0 %%"#" 0 $%1 0 * $! $#)2 "
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198 FG7. 199 HG8 E 圖中,DE 為一正方形, = 及 為一邊長 1 cm 的等邊三角形, 而 為此 = 90 若 DE 的面積為 10 cm, 三角形內的任意一點 ( 如圖所示 ) 若 至三邊 求 的面積 及 的垂直距離的總和為 x cm, 求 x 的值 In the figure shown, DE is a square and is an equilateral triangle
(Microsoft Word - \264X\246\363\276\307\301\277\270q.doc)
建國高中 95 課綱選修課程幾何學講義 臺北市立建國高中范文榮老師 ( 本講義內容若有疏漏不妥之處, 敬請各位先進惠賜寶貴意見 ) 全等形及其應用. 定義 : 給定兩個圖形, 把其中一個圖形經過運動 ( 旋轉 平移 對稱 ) 疊放到另一個圖形上面, 若能夠使他們完全重合, 就稱這兩個圖形為全等形 例如 : 兩個半徑相等的圓為全等形 ; 兩個邊長相等的正方形為全等形. 全等形具有下列性質 : () 反身性
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
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第 一 章 數 與 坐 標 系 大 學 聯 考 試 題 與 推 薦 甄 選 試 題 第 一 類 大 學 入 學 甄 試 試 題 評 量 1. 下 列 何 者 是 2 100 除 以 10 的 餘 數? (1) 0 (2) 2 (3) 4 (4) 6 (5) 8 88 年 2. 一 個 正 三 角 形 的 面 積 為 36, 今 截 去 三 個 角 ( 如 右 圖 ), 使 成 為 正 六 邊 形,
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In the figure, E is a diameter and E is a straight line. Find x. 圖中, E 是一直徑, E為一直線 求 x. 54. 70. 74. 9 E. 94 In the figure, O is the center of the circle. EO and E are straight lines. Find x. 圖中, O 為圓心,
2016 年第 12 屆 IMC 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IMC International Mathematics Contest (singapore), 2016 國中三年級決賽試題解答 第 1-16 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 題需在試題空白處寫出計
01 年第 1 屆 IM 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IM International Mathematics ontest (singapore), 01 國中三年級決賽試題解答 第 1-1 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 17-18 題需在試題空白處寫出計算過程, 否則不予計分! 選擇題 1 7 8 答案 填空題 9 10 11 1 1 1 1 1 答案 01 017 9
( ) Wuhan University
Email: huangzh@whueducn, 47 Wuhan Univesity i L A TEX,, : http://affwhueducn/huangzh/ 8 4 49 7 ii : : 4 ; 8 a b c ; a b c 4 4 8 a b c b c a ; c a b x y x + y y x + y x x + y x y 4 + + 8 8 4 4 + 8 + 6 4
Microsoft Word - 3-1平隢咂é⁄‘çı—醉箊(ä¿®æfl¹).docx
第三章平面向量 31 平面向量運算在第一章裡, 我們利用 相似三角形 的概念表達三角形邊與角的關係, 建立三角函數, 進而以 三角函數 為工具, 求 長度 角度 面積 等幾何量, 並證明 正弦定理, 餘弦定理以及海龍公式, 用以解決測量的問題 在第二章裡, 我們利用直角坐標系, 將幾何問題經代數運算求解, 再詮釋幾何意義, 如直線的傾斜程度 聯立方程式與直線交點, 以及圓與直線的關係, 進而研究它們的性質
第十一單元(圓方程式)
第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ
1. Ans: 4 a a 10 a 4c 2 0 b 12 a b c 4 2 5c b 0 c 2 2. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P123~P124 第一單元 1/2 L L L 三線共點, 交於 (3,2) k=-2 不能圍成 的情況有 (2)L
. Ans: a 5 a 0 a c 0 b a b c 5c b 0 c. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P~P 第一單元 / L L L 三線共點, 交於 (,) k=- 不能圍成 的情況有 ()L //L k / () L //L k /. Ans: () () (A)(B)(C)(E) () 如右圖, 虛線為符合題意的直線 斜率最小為 m () m m 0 0 a c a c. Ans:
數學
( ). 設 a, b 為平面上的二向量,若 a + b (,), a b (, 6),則 a b 的值 () () 一 單選題 () () (). a + b (,) LL a b (, 6) LL + ( a + 6 b ) + ( a 6 b ) (,) + (, 8) 7 a (7, ) a (, ) 代入 得 (, ) b (, 6) b (, ) (, 6) (6,) b (, ) a
目次 CONTENTS 1 數列與級數 幾何圖形 三角形的基本性質 平行與四邊形
給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列 本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1
我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形 梯形, 並將之前學過的 菱形 鳶形作個整理 平行四邊形 平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形 如下圖, 若 AB //CD 且 AD // BC, 則 ABCD 稱為平行四邊形, 以 ABCD 表示 A D B C
我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形 梯形, 並將之前學過的 菱形 鳶形作個整理 平行四邊形 平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形 如下圖, 若 // 且 //, 則 稱為平行四邊形, 以 表示 平行四邊形的性質 : 從平行四邊形的性質來看, 我們可以發現基本上都是由之前所學過的平行性質以及三角形的性質所構成, 以下列出 5 點性質, 我們將一一來證明
我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形 梯形, 並將之前學過的 菱形 鳶形作個整理 平行四邊形 平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形 如下圖, 若 AB //CD 且 AD // BC, 則 ABCD 稱為平行四邊形, 以 ABCD 表示 A D B C
我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形 梯形, 並將之前學過的 菱形 鳶形作個整理 平行四邊形 平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形 如下圖, 若 // 且 //, 則 稱為平行四邊形, 以 表示 平行四邊形的性質 : 從平行四邊形的性質來看, 我們可以發現基本上都是由之前所學過的平行性質以及三角形的性質所構成, 以下列出 5 點性質, 我們將一一來證明
專科警員班第 32 期正期組 甲組標準解答 國文標準答案物理標準答案化學標準答案數學標準答案英文標準答案 題號答案題號答案題號答案題號答案題號答案 1 C 1 B 1 C 1 B 1 D 2 D 2 A 2 D 2 D 2 B 3 A 3 B 3 C 3 C 3 A 4 B 4 C 4 B 4 A
專科警員班第 期正期組 甲組標準解答 國文標準答案物理標準答案化學標準答案數學標準答案英文標準答案 題號答案題號答案題號答案題號答案題號答案 C B C B D D A D D B A B C C A B C B A B C B A C A 6 B 6 B 6 D 6 A 6 C D B B A A 8 C 8 D 8 C 8 A 8 D 9 A 9 B 9 B 9 C 9 C 0 A 0 A 0
第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒 一 有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 角度與弧度 : 1() 1() 弧度 弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角
一 有向角及其度量. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 8. 角度與弧度 : () () 弧度 57.957 弧度 = 8 只有代表弧度時為 8, 其餘皆為.4 ( D ). 角為 (A) 直角 (B) 鈍角 (C) 平角 (D) 銳角. 5 等於 5 8 弧度 角度 弧度 6 45 4 6 9 5 5 6 8 7 6 看到角度 弧度, 8 擺分母 ; 看到弧度 角度, 擺分母. 扇形的弧長與面積
数 学 高 分 的 展 望 一 管 理 类 联 考 分 析 第 一 篇 大 纲 解 析 篇 编 写 : 孙 华 明 1 综 合 能 力 考 试 时 间 :014 年 1 月 4 日 上 午 8:30~11:30 分 值 分 配 : 数 学 :75 分 逻 辑 :60 分 作 文 :65 分 ; 总
目 录 数 学 高 分 的 展 望... 1 第 一 篇 大 纲 解 析 篇... 1 一 管 理 类 联 考 分 析... 1 二 最 新 大 纲 解 析... 1 三 考 前 复 习 资 料 及 方 法... 第 二 篇 总 结 篇... 4 1 应 用 题 考 点 总 结 与 技 巧 归 纳... 4 代 数 模 块 题 型 归 纳 及 考 点 总 结... 9 3 数 列 模 块 题 型 归
章節
試題 設有兩直線 L :7x y 與 L :x 9y 交於 P 點,求通過 P 點,且 x 軸截距為 之直線方程 式. 編碼 難易 中 出處 康熹自命題 解答 x y 設過 P 點的直線方程式為 (7x y ) k(x 9y ),則 (7 k)x ( 9k)y ( k) (7 k)x ( 9k)y ( k), ( k) 令 y 得 x 為 x 截距, 7 k ( k) ( k) (7 k) 8k 8
107 學年度複習講義 第三冊 班級 : 姓名 : 座號 : 進度規劃表 進度範圍完成 期備註 I 進度規劃表 進度範圍完成日期備註 目錄 進度規劃表 IV 9 圓與直線 1 9.1 斜率與直線方程式....................................... 1 9. ㆓元㆒次不等式........................................ 3 9.3 線性規劃............................................
數學
一 單選題 AB y ( ). 設 A, B, C 三點不共線,點 P 與 A, B, C 三點在同一平面上,且 AP= AB+,令 AP 與 BC 之 交點為 M,若 AM = x + AM// AP, x, y R,則 x = () 8 AM = t AP = t( AB+ ) = t AB+ t 又 M, B, C 三點共線 t+ t =, AM = AB+ 7 7 x =, y = 7 7
(Microsoft Word - 002_\303D\245\330\250\367.DOT)
2-2 二元一次方程式圖形一 單選題 ( )1. x y 是正整數時, 方程式 x+y=5 的圖形是 : (A) 二點 (B) 三點 (C) 四點 (D) 一直線答案 :C 班別 : 姓名 : 座號 y = 3x + 6 ( )2. 二元一次聯立方程式 的圖形在坐標平面上有幾個交點? y = 3x + 3 (A) 0 個 (B) 1 個 (C) 2 個 (D) 無限多個答案 :A ( )3. 下列方程式中,
第三單元 平面座標與直線的斜率
第二十一單元 三角函數公式 倍角公式 ( 甲 ) 倍角公式 () 二倍角公式 : 由和角公式 :sin(α +β)=sinα cosβ+cosα sinβ, 令 α=β=θ, 可得 (a)sinθ= sinθ cosθ 由和角公式 :cos(α +β)=cosα cosβ sinα sinβ, 令 α=β=θ, 可得 (b)cosθ=cos θ sin θ=cos θ = sin θ 由和角公式 :tan(α
幾 何
.. =,,, [ ] (1 1 1 = 1 = 1 > 1 ( (2 2 2 = 2 = 2 < 2 ( (1(2,,, 1 2 ~94~ (1 (2 (3 (a G (b (c G (d G O = 1 2 O O O [ ] O 1 = O 1 = 1 2 O= O = 1 O ~95~ 1. 2. = 3. M M M=M M,,,, 4. 5. ( (1 (Menelaus 98 >
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第三單元 平面座標與直線的斜率
第二十六單元 向量的應用 ( 甲 ) 分點公式與共線的條件 (1) 本節所要使用的基本知識 : (a) 向量的加減法 係數積 加減法 分解 ( 可用任意點作分解 ) =O+O ( 加法分解 ) =O O ( 減法分解 ) 係數積 平行與三點共線平行 :=r // (b) 向量的內積 : 夾角與內積 : a. b = a b cosθ 長度與內積 : a 2 = a. a 垂直與內積 : a b a.
Microsoft Word - 2012FIC展会总结.doc
2012 年 3 月 食 品 工 业 科 技 参 展 报 道 ( 之 三 ) 第 十 六 届 中 国 国 际 食 品 添 加 剂 和 配 料 展 览 会 暨 第 二 十 二 届 全 国 食 品 添 加 剂 生 产 应 用 技 术 展 示 会 ( 简 称 :FIC) 举 办 时 间 :2012 年 3 月 28-30 日 举 办 地 点 : 上 海 世 博 展 览 馆 主 办 单 位 : 中 国 食
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1 1 2 3 4 2 2004 20044 2005 2006 5 2007 5 20085 20094 2010 4.. 20112116. 3 4 1 14 14 15 15 16 17 16 18 18 19 19 20 21 17 20 22 21 23 5 15 1 2 15 6 1.. 2 2 1 y = cc y = x y = x y =. x. n n 1 C = 0 C ( x
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-1-3 無窮等比級數 061 無窮等比數列設 { } 為一無窮等比數列, 首項為, 公比為 r, 若 -1<r<1 時, 則 為收斂數列 06 無窮等比級數 : 設 為一無窮等比級數, 首項為, 公比為 r, 總和為 S, 若 -1<r<1 時, = 1 則 為收斂級數, 其和為 S= 1 r =
-1-1 等差數列與級數 055-1-0 數列與級數 數列 : 將一串數字排成一列, 形如 1,, 3, 4 k, 其中的 1 稱為第一項 或首項 稱為第二項 依此類推 k 稱為一般項或第 k 項, 通常以 { } 或 k 是表示第 k 項為 k 的數列 級數 : 將數列中的每一項用 + 連接起來, 讀作 前 項和, 記為 S = 1 + + 3 + + 056 級數連加性質 的性質 : (1) ()
2-1 2004 4.0 1.8 2.2 2001 2.83 0.86 1.97 % 41.3 109.3 11.7 2-2 2004 220 194 26 2001 81.3 70 11.3 % 170.6 177.1 130.0 2-3 2004 142 90 41 11 2001 104.5 70.9 26.1 7.5 % 35.9 26.9 57.5 45.3 2-5
<4D6963726F736F667420576F7264202D2032303135C4EAC8EBD1A74D4241C1AABFBCD7DBBACFB2CEBFBCB4F0B0B8BCB0CFEABDE22E646F6378>
05 年 入 学 MBA 联 考 综 合 试 卷 参 考 答 案 及 详 解 说 明 : 由 于 05 年 入 学 MBA 联 考 试 题 为 一 题 多 卷, 因 此 现 场 试 卷 中 的 选 择 题 顺 序 及 每 道 题 的 选 项 顺 序, 不 同 考 生 有 所 不 同 请 在 核 对 答 案 时 注 意 题 目 和 选 项 的 具 体 内 容 所 有 解 析 来 自 网 络, 仅 供
目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式
給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd
= 3 + 1 7 = 22 7 3.14 = 3 + 1 7 + 1 15 +1 = 355 3.1415929 113 221221221221 136136136136 221000000000 221000000 221000 221 = 136000000000 136000000 136000 221 1000000000 1000000 1000 1 = 136 1000000000
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. 80% E E E 0 0 E E 4 E E ω E E Ω E E Ω ={} E 0 0 =,, L, 0 E Ω= {,, L, 0} ω = ω = Ω= { ω, ω } E k k =,, L,, L E Ω= {,, L,, L} 4 E 4 t 0 t
76 數 學 傳 播 9 卷 1 期 民 94 年 月 H G O 共 線 例. 以 直 角 三 角 形 的 每 邊 為 邊 向 外 作 正 方 形, 則 連 結 直 角 邊 上 正 方 形 中 心 的 線 段 和 連 結 斜 邊 上 的 正 方 形 中 心 與 直 角 頂 點 的 線 段 互 相
用 解 析 法 解 決 平 面 幾 何 問 題 優 勢 多 多 胡 紹 宗 平 面 解 析 幾 何 是 中 學 數 學 課 程 的 重 要 組 成 部 分, 它 是 以 坐 標 系 為 工 具, 用 代 數 方 法 研 究 平 面 幾 何 圖 形, 它 不 僅 是 聯 繫 中 學 數 學 各 部 分 知 識 的 紐 帶, 也 是 進 一 步 學 習 高 等 數 學 和 力 學 等 不 可 缺 少 的
第五週 第六週 第七週 第八週 第九週 3/8-3/ 14 3/17-3 /21 3/24-3 /28 3/31-4 /4 4/7-4/ 11 第二章平面幾何圖形 2-1 平面圖形 (1) 第二章平面幾何圖形 2-2 垂直 平分與線對稱 (1) 第一次段考第二章平面幾何圖形 2-3 尺規作圖 (1)
高雄市立蚵寮國中 102 學年度第二學期八年級數學學習領域彈性課程教學計畫表 一 教材來源 : 選用 ( 南一版第四冊 ) 二 教學節數 : 每週 (1) 節, 學期共 (20) 節 三 各單元內涵分析 : 週次第一週 第二週 第三週 第四週 2/11-2 /14 2/17-2 /21 2/24-2 /28 3/3-3/ 7 教材準備週 第一章數列與等差級數 1-1 數列 (1) 第一章數列與等差級數
z 3 + 4i z 5 θ 2i z 3 4i 圖 : 平面上取了複數 z 3 + 4i 且 2i; z 3 4i 為 z 的共軛 iz 4 3i z 3 + 4i iz w) z w iz w) + w z w 圖 2: z iz w) + w ) d c 證 條件等價與 b ir rg d c
Bshing Geometry with Comple Numbers Evn Chen 陳誼廷 5 月 2 日 24 年 We show how comple numbers cn be used to solve geometry problems 複數的平面 令 C 和 R 分別為複數和實數的所形成的集合 每一個複數 z 可寫成 z + bi r cos θ + i sin θ) re iθ
1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1
1 20 1-2 二元一次聯立方程式 1 二元一次聯立方程式 2 代入消去法 3 加減消去法 主題 1 二元一次聯立方程式 列二元一次聯立方程式 6 x y 3 1 700 3xy700 5 2 1200 5x2y1200 { 3xy700 5x2y1200 二元一次聯立方程式 二元一次方程組 二元一次聯立方程式的 3xy700 5x2y1200 xy x y 共同 x200y100 3xy700
(Microsoft Word \252\275\250\244\247\244\274\320.doc)
觀念篇 平面上一個點的位置 直線上一個點的位置 -3-2 -1 1 2 3 4 0 ( 列 ) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 平面上一個點的位置 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ( 行 ) 平面上任何一個點的位置, 可藉由兩條數線 來協助標出 例題 棋盤上第 3 行第 5 列的位置在哪裡? 直角坐標平面 往右走 3 個巷口往上走 2 個巷口 直角坐標平面是由兩個互相垂直的
0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1
0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0
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用向量來看平面族定理 蘇俊鴻 / 北一女中 前言 在空間中的平面與直線的章節中, 我們經常使用 平面族定理 來解題, 這個定理在現行課程大綱的安排上並未納入 因此, 許多人對它只是知其然, 而不知其所以然 事實上, 透過向量觀點的切入, 可以為我們提供理解的途徑 本文的目的, 就是由此出發, 想把它說個清楚 最後, 也提供一些可用 平面族定理 處理的例子 平面族定理 的由來 在空間中的平面與直線的章節裡,
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臺灣大學開放式課程 微積分甲 - 朱樺教授 第 10 章 向量 目錄 10.1 向量積 柱面及二次曲面 柱面座標與球面座標
臺灣大學開放式課程 微積分甲 - 朱樺教授 第 10 章 向量 目錄 10.1 向量積.................................. 121 10.2 柱面及二次曲面.............................. 123 10.3 柱面座標與球面座標............................ 125 10.4 拓樸...................................
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更新日期 :07.7. 高中數學講義 數與式. 數與數線 整數 Z: 包含正整數 ( 可數數 Z + ) 0 負整數三類 ( 自然數 N :,,, 皮亞諾假設自然數定義 : 0,,,, ) 有理數 Q: 若 m,n 均為整數, 且 n 0, 凡可表示成 整數比 m n 的數, 稱為有理數 整數 有限小數 ( 最簡分數後, 分母只含 或 5 的質因數 ) 循環小數 ( 最簡分數後, 分母含有 或 5
山东2014第四季新教材《会计基础》冲刺卷第三套
2016 年 会 计 从 业 考 试 会 计 基 础 冲 刺 卷 3 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 在 下 列 每 小 题 的 备 选 项 中, 有 且 只 有 一 个 选 项 是 最 符 合 题 目 要 求 的, 请 将 正 确 答 案 前 的 英 文 字 母 填 入 题 后 的 括 号 内, 不 选 错 选 均 不 得 分 ) 1.
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() 0 4 5 (km).5 4 5.5 7 8.5 () 0 4 5 (km) 4 4.5 5 5.5 6 6.5 y5x. y0. 5x4 x y 9 5x y x y 9 5x y x x 6 x y. 55 y5x. y0. 5x4 x 0 x x y y y 5 x x x 4 y y y 5 () x y () y x x 4y 0 4x y x 0 0.4 y 0.5 0 5x y
類題四 平面上三點 A(, 4), B(, 0), C( x, y) 在第一象限, 若 ABC 答 C ( +, + ) 為正三角形, 求 C 之坐標 第 部分分點公式 點光源由 A 點射出, 經 x 軸上 P (5, 0) 反射後通過 B(,7), 若 BP : AP = :, 求 A 點坐標 答
94 學年高一上數學科進階課程 Ⅱ 課用講義 94 學年高中一年級上學期數學科進階課程 Ⅱ 課用講義 第二章數與坐標系第 節平面坐標系 第 部分坐標 () 正方形 ABCD 中, 已知 A(, 4), B(, 0), 求 C 與 D的坐標 () 已知正方形之對角線的二頂點坐標為 (, 4),(, 0), 求另二頂點之坐標 答 () C(7,), D(5,6) 或 C(, ), D(,) () (4,
週次 期間或備註四3/3 3/7 3/10 3/1 8-s-01 8-s-02 8-s-20 8-s-21 8-s-01 8-s-02 8-s-06 8-s-1 8-s-20 8-s 生活中的平面圖形 2-1 生活中的平面圖形 2-2 垂直 平分與線對稱圖形 1. 能了解生活中的平面圖
台南市私立瀛海中學 102 學年度第二學期二年級 數學 學習領域課程計畫 一 二年級下學期之學習目標 1. 認識等差數列與等差級數, 並能求出相關的值 2. 認識基本幾何圖形, 並熟練基本尺規作圖 3. 認識線對稱圖形 對稱點 對稱線 對稱角及對稱軸的意義. 認識生活中的立體圖形, 並計算簡單立體圖形體積與表面積 5. 了解三角形的基本性質 : 內角與外角 內角和與外角和 ( 推導至多邊形 ) 全等性質
2012年 MBA系统班数学应用题部分
202 年 管 理 类 研 究 生 考 试 系 统 班 数 学 应 用 题 部 分 编 写 孙 华 明 前 言 随 着 MBA,MPA,MPAcc 考 试 的 合 并, 考 查 高 等 数 学 的 时 代 已 经 过 去, 为 了 体 现 考 试 的 公 平 性, 目 前 我 们 的 联 考 只 涉 及 初 等 数 学 的 知 识 点, 而 联 考 目 的 是 选 拔 具 有 高 素 质 高 洞 察
( m+ n) a 6 4 4 4 4 7 4 4 4 48 m n m+ n a a = a 4 a 4 3 a a 4 a 4 3 a = a 4 a 4 4 a 4 == 3 = a ma na ( m+ n) a A 0 a m a n m n a m+n 0 B a m a n m n m>n a m-n C 0 (a m ) n m n a mn D (ab) n n a n b n (
2002 2005 11 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3 3!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6 4!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10 5!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10 6!!!!!!!!!!!!!!!!
就 构 成 了 盗 窃 罪 与 破 坏 交 通 设 施 罪 的 想 象 竞 合, 按 照 其 中 处 罚 较 重 的 犯 罪 处 罚 5. 答 案 :B 本 题 主 要 考 察 如 何 区 分 收 买 被 拐 卖 的 妇 女 儿 童 罪 与 拐 卖 妇 女 儿 童 罪 的 共 犯 问 题 ( 对 向
新 东 方 全 国 法 律 硕 士 ( 非 法 学 ) 联 考 模 拟 考 试 专 业 基 础 课 答 案 解 析 一 单 项 选 择 题 1. 答 案 D 本 题 主 要 考 查 刑 法 分 则 中 关 于 亲 告 罪 与 非 亲 告 罪 的 规 定 要 注 意 这 些 亲 告 罪 在 有 特 别 的 情 况 下, 是 公 诉 犯 罪 我 国 刑 法 共 规 定 了 5 种 告 诉 才 处 理 的
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95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 趨 勢 分 析 95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 解 析 大 公 開 4 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 趨 勢 分 析 1 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 解 析 大 公 開 13 發 行 人 : 李 枝 昌 執 行 編 輯 : 蔡 孟 秀 張 龍 慧 美 術 編 輯 : 蔡 雅 真 發 行 所 : 康 熹 文 化 事 業 股
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考 查 知 识 点 肝 气 疏 泄 调 畅 气 机 的 作 用, 主 要 表 现 在 以 下 几 个 方 面 :(1) 促 进 血 液 与 津 液 的 运 行 输 布 ;(2) 促 进 脾 胃 的 运 化 功 能 和 胆 汁 分 泌 排 泄 ;(3) 调 畅 情 志 ;(4) 促 进 男 子 排 精
2015 年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 中 医 综 合 科 目 试 题 解 析 一 A 型 题 :1~80 小 题, 每 小 题 1.5 分, 共 120 分 在 每 小 题 给 出 的 A B C D 四 个 选 项 中, 请 选 出 一 项 最 符 合 题 目 要 求 的 1. 提 出 阳 常 有 余, 阴 常 不 足 观 点 的 医 家 是 A 朱 丹 溪 B 刘 完
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Microsoft Word 寒假作業B3.doc
101-1 寒假高二學藝活動數學作業 作業時數 :10 小時 1. ABC 中, B = 10, BD 為 ABC 之平分線, AB = 6, BC =,又 ABE = 90 ( 如圖 ),則: (1) BD =. () AE =.. 設等腰 ABC 中, B = 90,若 D 是 BC 的中點,則 : (1)tan BAD =. ()tan CAD =. sinα + sin β = 1. 設,求
4 1 1 16 1 0 1 5 3 8 5 8 5 8 7 8 5 1 3 5 1 4 4 5 1 5 1 8 = 1 16 16 10000 16 1 1 5 + 3 8 + = ( = 3 5 3 5 15 1 1 7 4 3 = =. 4 7 4 7 8 4 x y z x + 1 = y + 1 = z + 1 x y z = 1 y z x zx = z-x xy = x-y y-z
5 09/26-09/30-2. 探索三角形 SSS SAS AAA ( 或 AA) 相似性質 9-s-03 C-C-0. 紙筆測驗 6 0/03-0/07-3 相似三角形的應用. 能利用相似性質進行簡易的測量 2. 兩個相似三角形, 其內部對應的線段比, 例如高 角平分線 中線, 都與原來三角形的
臺北市立百齡高中 ( 國中部 ) 05 學年度第 學期九年級數學學科 / 領域 ( 彈性學習 / 選修 ) 課程計畫 教科書 / 自選教材版本 : 康軒版 編撰教師姓名 : 國中部數學科團隊 本學期學習目標. 能知道相似多邊形的意義, 並理解兩個相似的圖形中, 對應邊的邊長成比例 對應角相等 2. 理解與證明三角形相似性質, 並應用於平行截線和實體測量 3. 探討點 直線與圓的關係與兩圓的位置關係.
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