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1 高中數學講義 8 三角 8. 直角三角形的邊角關係 銳角三角函數定義 : 直角三角形中 ; 對應角的對邊 鄰邊與斜邊邊長的比值關係 共有正弦 (sine) 餘 弦 (co-sine) 正切 (tangent) 餘切 (co-tangent) 正割 (secant) 與餘割 (co-secant) 六個比 例關係 若直角三角形 中, 的對應邊 a =, 的對應邊 b =, 直角 的對應邊 c = 正弦函數 : sinθ = a c = 對邊斜邊餘弦函數 : cosθ = b c = 鄰邊斜邊正切函數 : tanθ = a b = 對邊鄰邊 餘切函數 cotθ = b a = 鄰邊對邊 三角函數的幾何意義 : 單位圓 ( 半徑為 的圓 ) 中 θ 斜邊 c 鄰邊 b, 正割函數 secθ = c b = 斜邊鄰邊 對邊 a, 餘割函數 cscθ = c a = 斜邊對邊 sinθ = PQ P = PQ 半弦 cosθ = Q P = Q tanθ = ST T = ST 切線 secθ = S T = S 割線 θ S P x Q T(,0) 銳角特別角 0 60 三角函數的取值 : sinθ cosθ θ 0 60 sinθ cosθ tanθ tanθ cotθ secθ cscθ 圖 : 三角函數的基本恆等關係圖 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

2 高中數學講義直角三角形的邊角關係 三角函數基本關係 平方關係 : sin θ+cos θ =,tan θ+ = sec θ,+cot θ = csc θ 如圖 : ( 第 頁 ) 倒數關係 : sinθcscθ =,tanθcotθ =,cosθsecθ = 對角線關係 : 對角三角函數乘積為 ( 互為倒數關係 ) 如圖 :( 第 頁 ) 商數關係 : 正六邊形任一頂點三角函數值為其相鄰兩頂點三角函數值乘積 如圖 :( 第 頁 ) tanθ = cosθ sinθ,cotθ = cosθ, tanθ = sinθsecθ, secθ = tanθcscθ sinθ 餘角關係 : 為直角的 中, + = 90 則 的對邊恰為 的鄰邊, 的鄰邊 恰為 的對邊 其三角函數 sin = cos,cos = sin,tan = cot,sec = csc 的關係 正弦 餘弦與正切的增減 : 銳角正弦函數值為遞增 餘弦函數為遞減 正切函數為遞增 sinθ cosθ tanθ ր ց ր 求銳角 θ 的三角函數值 :. 直角三角形法 : 利用含 θ 角的直角三角形, 找出此三角形的三邊邊長再依三角函數定義求比值. 基本恆等式代換法 : 利用正六邊形三角函數基本恆等式代換 ( 儘量用 sinθ,cosθ 代換 ) 求值 例題 範例 : 直角三角形 中, = 90, =, =, =, 求 sin,cos,tan 及 sin,cos,tan 的值?,, ;,, 演練 a : 直角三角形 中, = 90, =, =, =, 求 sin,cos,tan 的 值? 演練 b : 直角三角形 中, = 90, : = :, 求 sin,cos,tan 的值? 範例 : 中 ( 非直角三角形 ), =, =, =, 求 sin 及 cos =? ( 解 :) D sin = ;cos = 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

3 高中數學講義 演練 a : 中, = 90, 且 =,tan =, 求 與 長? =, = 0 演練 b : 直角三角形 中, = 90, 若 tan =, = 6, 則 =? 並求 sin =? 0; 演練 c : 直角三角形 中, = 90, = 0, 若 sin =, 則 =? 並求 sin =? 6; 演練 d : 一長梯斜靠牆邊, 梯子與地面的夾角為 θ, 已知 cosθ = 8 7, 梯腳距牆角底邊 公尺, 求梯子 梯子 h 頂端的垂直高度 h? 演練 e : 中, = 7, =, = 6,( 非直角三角形 ) 求 cos 及 tan =? 90 7 ; 範例 : 利用作圖法求 tan. =? D 演練 a : 直角三角形 中, = 90, = 60, 求 sin,cos 值? 演練 b : 等腰直角三角形 中, = 90, 求 sin,cos,tan 值? 範例 : 設 θ 為銳角, 且 sinθ =, 利用作圖法求 cosθ,tanθ 三角函數值? 演練 a : 設 θ 為銳角, 且 cosθ =,, 利用作圖法求 sinθ,tanθ 三角函數值? 演練 b : 已知 θ 為銳角, 且 tanθ =, 利用作圖法求 sinθ,cosθ 的值? tan. = ; ; ; cosθ =,tanθ = ; sinθ =,cosθ = 範例 : 設 θ 為銳角, 且 tanθ = 演練 a : 求 sin 7 +cos 7 =, 利用三角函數基本關係求 sinθ,cosθ 的值? sinθ =,cosθ = 6 演練 b : 求 sin0 +cos +tan60 值? 演練 c : 求 sin 7 +sin = 演練 d : 已知 θ 為銳角, 且 sinθ =, 求 cosθ,tanθ 的值? ; 7 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

4 高中數學講義直角三角形的邊角關係 範例 6: 設 θ 為銳角, 且 sinθ = k, 試利用恆等關係, 以 k 表示 cosθ 及 tanθ 的值? cosθ = k ;tanθ = k k 演練 6a : 設 θ 為銳角, 且 cosθ = k, 試利用作圖法, 以 k 表示 tanθ 的值? 演練 6b : 設 θ 為銳角, 且 sinθ = k, 試求 sin(90 θ) 的值? 演練 6c : 設 θ 為銳角, 且 tanθ = k, 試求 sinθ 的值? 範例 7: 設 θ 為銳角, 且 sinθ+cosθ = 7, 求 sinθcosθ =? 演練 7a : 設 θ 為銳角, 且 sinθ cosθ =, 求 sinθcosθ =? 演練 7b : 設 θ 為銳角, 且 sinθcosθ = 7 8, 求 sinθ+cosθ 值? 演練 7c : 設 θ 為銳角, 且 sinθ cosθ =, 求 sinθ+cosθ =? 及 sinθ 值? 演練 7d : 已知 θ 為銳角, 且 sin θ cos θ = 7, 求 sinθ 及 cosθ 值? 範例 8: 化簡 演練 8a : 化簡 sinθ +cosθ cosθ =? sinθ cosθ sinθ +sinθ =? cosθ tanθ = k k k k +k 9 7 ;, 0 0 範例 9: 已知 < θ < 90, 試比較三角函數值 a = sinθ,b = cosθ,c = tanθ 的大小? c > a > b 演練 9a : 試比較三角函數值 a = sin0,b = cos0,c = tan0, = sin70, = cos70, = tan70 的大小? hint: 引進 sin60,tan0 比較 ( 解 :)a = < c < < < b = < < 演練 9b : 試比較三角函數值 sin,cos,tan 的大小? ( 解 :)sin < tan < cos 演練 9c : 試比較三角函數值 a = sin70,b = cos70,c = tan70 的大小? b < a < c 習題 8- 直角三角形的邊角關係. 求下列各式的值 : (a) (+sin0 +sin )( cos +cos60 ) =? (b) tan0 tan60 tan cos60 =? (c) cos60 cos0 sin60 sin0 =? 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

5 高中數學講義 (d) sin 0 +sin +sin 6 +sin 80 =?. 若 θ 為銳角, 且 sinθ = 求 cosθ 及 tanθ 的值?. 若 θ 為銳角, 且 cosθ =, 求 sinθ 及 tanθ 的值?. 三個大小相同的正方形並排如圖 : 求 tanθ +tanθ +tanθ 的值? θ θ θ. 設銳角 的三頂點,,, 所對的邊長分別為 a,b,c,h 為高, 則 (a) H 長為? () bsin () csin () bsin () csin () asin (b) 的面積可表為 () acsin () absin () c sin () acsin () abcsin 6. 設 0 < θ < 90 且 sinθ cosθ =, 試求下列各值? () sinθcosθ =? () cosθ +sinθ =? 7. 設 0 < θ < 90 且 cosθ +sinθ = 6, 試求下列各值? ()sinθcosθ =? ()cosθ sinθ =? 8. 若, 互餘, 且 cos =, 求 csc 之值? 9. 設 θ 為銳角, 且 tanθ = k, 試以 k 表示 sinθ 及 cosθ 的值? 0. 化簡求 (sin +sin9 ) +(sin sin9 ) 值?. 比較大小關係? (a) sin0 sin60 (b) cos0 sin60 (c) cos0 cos60 (d) cos0 sin0 (e) a = sin0,b = cos0,c = tan0,d = cos0,e = tan0 (f) a = sin70,b = cos70,c = tan70. 設 θ 為銳角, 且方程式 x 7x+k = 0 的兩根為 sinθ,cosθ, 求下列各值? (a) sinθ+cosθ (b) sinθcosθ (c) k (d) sin θ+cos θ 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

6 6 高中數學講義廣義角與極坐標 習題 8- b.,, c. > a. 7 b. c. 0 d..,. ; /; 7/ 7. /0,± / 8. / 9. sinθ = k +k ;cosθ = +k 0. a. < d. > e. a < c < e < d < b f. a < b < c a. 7 b. c. k = a., 8. 廣義角與極坐標 b. < d. 9 廣義角 : 由起始邊依逆時針方向旋轉至終邊的角為正向角, 順時針方向旋轉出的角為負角 有正負方向, 不限 0 到 80 之間的有向角, 稱為廣義角 終邊始邊負向角正向角始邊終邊 標準位置角 與參考角 θ : 廣義角的頂點在原點, 且始邊在 x 軸的正向, 稱為標準角 設 是標準位置角, 則 的終邊與 x 軸所夾的銳角 θ, 稱為 的參考角. 若 為第一象限角 ( 終邊在第一象限的標準角 ), 則參考角 θ =. 若 為第二象限角 ( 終邊在第二象限的標準角 ), 則參考角 θ = 80. 若 為第三象限角 ( 終邊在第三象限的標準角 ), 則參考角 θ = 80. 若 為第四象限角 ( 終邊在第四象限的標準角 ), 則參考角 θ = 60 P(x,) x P(x,) θ x θ x θ x 標準角 與參考角 θ 關係 P(x,) P(x,) 順伯的窩 三角學 I [ 第 6 頁 / 共 9 頁 ]

7 高中數學講義 7. 若 為第一象限角 ( 終邊在第一象限的標準角 ), 則 sin = sinθ,cos = cosθ,tan = tanθ. 若 為第二象限角 ( 終邊在第二象限的標準角 ), 則 sin = sinθ,cos = cosθ,tan = tanθ. 若 為第三象限角 ( 終邊在第三象限的標準角 ), 則 sin = sinθ,cos = cosθ,tan = tanθ. 若 為第四象限角 ( 終邊在第四象限的標準角 ), 則 sin = sinθ,cos = cosθ,tan = tanθ Note: sin,cos,tan 函數值分別與參考角 θ 的 sinθ,cosθ,tanθ 函數值只是正負符號差別而已 同界角 ( 共同的始邊與終邊 ): 兩個標準位置角 θ 與 θ 具有相同的終邊, 稱為同界角 兩同界角的差為 60 的整數倍 即 θ 與 θ 同界角 θ = θ ±k 60,k Z θ 正向角 θ = θ +60 θ = 0 x θ x θ = θ +60 同界角關係 : θ θ = 60 k 負向角 φ = 0 x 08 x 廣義角三角函數定義 : θ 角終邊上, 任一點 P(x,),r = P = x + 定義 : sinθ = r,cosθ = x r,tanθ = x,x 0 θ 三角函數與坐標關係 P(x,) x S (sin) (all) T (tan) (cos) 廣義三角函數值四個象限角的正負 : --S-T 正值 x 三角函數值的正負號 : 順伯的窩 三角學 I [ 第 7 頁 / 共 9 頁 ]

8 8 高中數學講義 廣義角與極坐標 表 : 四個象限角下, 三角函數值的正負號 第一象限第二象限第三象限第四象限 sinθ = r + + cosθ = x r + + tanθ = x + + cotθ = x + + secθ = r x + + cscθ = r + + 特別角函數值 : θ sinθ 0 0 cosθ 0 0 tanθ 0 未定義 0 未定義 三角函數值域 : sinθ, cosθ,tanθ R,cotθ R, secθ, cscθ 同角的弦 切 割函數大小關係 : secθ > tanθ > sinθ, cscθ > cotθ > cosθ 三角函數的四個象限角函數值 : 若以銳角 θ 為標準角, 則第二象限角可表為 90 +θ, 第三象限角可表為 80 +θ, 第四象限角可表為 70 +θ 任意廣義角三角函數值可表為銳角 θ 的三角函數. 第二象限角的正 餘弦函數值 : sin(90 +θ) = cosθ, cos(90 +θ) = sinθ. 第三象限角的正 餘弦函數值 : sin(80 +θ) = sinθ, cos(80 +θ) = cosθ. 第四象限角的正 餘弦函數值 : sin(70 +θ) = cosθ, cos(70 +θ) = sinθ 三角函數的奇偶性質 : sin( θ) = sinθ,cos( θ) = cosθ 奇函數 : 類似 x 的性質, 若變數互為相反數, 則其函數值亦互為相反數 即具有 f( x) = f(x) 性質的函數, 稱 f(x) 為奇函數 sinθ 具有奇函數性質 ( 函數圖形對稱於原點 ) 偶函數 : 類似 x 的性質, 若變數互為相反數, 其函數值相同不變 即具有 f( x) = f(x) 性質的 順伯的窩 三角學 I [ 第 8 頁 / 共 9 頁 ]

9 高中數學講義 9 函數, 稱 f(x) 為偶函數 cosθ 具有偶函數性質 ( 函數圖形對稱於 軸 ) 三角函數的同值不同角度關係 : 觀察標準角 θ 的坐標 (x,) 與 θ +90,θ +80,θ +70 坐標關係 由 sinθ = r,cosθ = x 可得知 r sinθ = sin(80 θ); cosθ = cos( θ) tanθ = tan(80 +θ); cotθ = cot(80 +θ) P θ+90 (,x) P θ (x,) θ x P θ+80 ( x, ) P θ+70 (, x) θ 角與 θ+90,θ+80,θ+70 坐標關係 (, x) x rθ+90 θ 90 θ x r (x,) x 三角函數的負角關係 餘角關係 補角關系 :. 餘角關係 + = 90 : sin = cos,sin = cos. 補角關係 + = 80 : sin = sin,cos+cos = 0. 周角關係 + = 60 : sin+sin = 0,cos = cos. 反向角關係 = 80 + : sin+sin = 0,cos+cos = 0 ( 相反數關係 ). 奇偶性 : sin( θ) = sinθ,cos( θ) = cosθ;tan( θ) = tanθ 6. 三角函數值相反數 :sin( θ) = sinθ; cos(80 θ) = cosθ tan(80 θ) = tanθ; cot(80 θ) = cotθ sec(80 +θ) = secθ; csc(80 +θ) = cscθ 三角函數基本關係 ( 廣義角 ) 平方關係 : sin θ+cos θ =,tan θ+ = sec θ,+cot θ = csc θ 如圖 : ( 第 頁 ) 倒數關係 : sinθcscθ =,tanθcotθ =,cosθsecθ = 對角線關係 : 對角三角函數乘積為 ( 互為倒數關係 ) 如圖 :( 第 頁 ) 商數關係 : 正六邊形任一頂點三角函數值為其相鄰兩頂點三角函數值乘積 如圖 :( 第 頁 ) tanθ = cosθ sinθ,cotθ = cosθ, tanθ = sinθsecθ, secθ = tanθcscθ sinθ 順伯的窩 三角學 I [ 第 9 頁 / 共 9 頁 ]

10 0 高中數學講義廣義角與極坐標 極坐標 : [r,θ] (x,) = (rcosθ,rsinθ) 若射線 P 與極軸 ( 水平射線 ) 的夾角為 θ,p = r, 則 P 點的極坐標為 [r,θ], 而直角坐標 為 (x,) = (rcosθ,rsinθ), 其中 P = x + 90 r P[r,θ] (x,) = (rcosθ,rsinθ) θ 80 極點 0 ( 極軸 ) 70 極坐標與平面坐標 弧度制的度數 θ : 弧度度量是一種用弧長比例關係來衡量夾角大小的度數單位 半徑為 r 的圓, 在圓周上取一段弧長 PQ= s = r, 則 PQ 所對應的圓心角 PQ 為 弧度 單位圓圓心角 90 π 所對的弧長是, 以弧長跟半徑的比值用來做為角度的一種度數單位 即弧度 π 80 ;π 60 弧度 80 π ; π 弧度 80 = l = π r = l = π r = l = π r Q s = rθ θ r = P 90 θ = θ = θ = 60 ( ( ), ), (0,) π ( ), ( (, ( ) π π π π,, π π (, 0) (, 0) π π ) ) x ( π 6 ) π π, ) π, ( (, ) (0, ) π π 6 7π ( (, (, ) ), ) 順伯的窩 三角學 I [ 第 0 頁 / 共 9 頁 ]

11 高中數學講義 已知一三角函數, 求一般角 θ 的其餘三角函數值方法 : 銳角修正法 : 先將 θ 當銳角, 找出含此銳角的直角三角形的三邊長, 依三角函數定義求比值再依 θ 象限角修正函數值的正負值 基本恆等式代換法 : 利用正六邊形三角函數基本恆等式 ( 平方關係 商數關係 倒數關係 ) 代換 ( 儘量用 sinθ,cosθ 代換 ) 求值 銳角參考角法 : 每一標準角 θ 終邊與 x 軸所夾之銳角參考角 α,θ 角的三角函數值絕對值與 α 的三角函數值相同, 再由 θ 象限角位置決定其三角函數值的正負 坐標法 : 利用 cosθ = x r,sinθ = r 餘三角函數值 找出 θ 終邊上的點 P(x,) 坐標, 再依三角函數定義求其 例題 範例 : 求下列廣義角的同界角 θ, 使 0 θ < 60, = 000, = 00? θ = 80,θ = 60 演練 a : 求下列各標準位置角, 分別為第幾象限角? 0, 0,0, 0,,, 演練 b : 求 的最大負同界角及 669 的最小正同界角? 演練 c : 若 θ 為 的同界角, 則 θ 可能為第幾象限角? 演練 d : 若 θ 為 60 的同界角, 則 θ 可能為第幾象限角? 範例 : 分別求 sinθ,cosθ,tanθ 的三角函數值? θ = 0, θ =, θ = 0 09 ;,, 象限 第 象限 (, ) 60 ( 解 :) 0 0 x x 0 x (, ) (, ) 演練 a : 求下列三角函數 sin0,cos0,tan( 60 ) 的值? 演練 b : 求下列圖形 θ 角之 sinθ,cosθ,tanθ 三角函數值? ; ; ; ; 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

12 高中數學講義廣義角與極坐標 θ x P(, ) 演練 c : 求下列三角函數 sin( 0 ),cos0,tan( 0 ) 的值? 演練 d : 求下列三角函數值? sin( ),cos,tan( )? 演練 e : 求下列三角函數值? sin80,cos80,tan80? ; ; ; ; ; ; 廣義角三角函數值 範例 : 若 θ 為標準位置角, 其終邊上一點坐標 P(, ), 求 sinθ,cosθ,tanθ 的值? sinθ =,cosθ =,tanθ = 演練 a : 設 P(t, t),t > 0 為標準位置角 θ 終邊上一點坐標, 求 sinθ,cosθ,tanθ 之值? 演練 b : 求下列三角函數值? sin0,cos0,tan80? 演練 c : 求下列三角函數值? sin( 90 ),cos(80 ),tan90? 範例 : 若已知 cosθ =, 求 sinθ 與 tanθ 的值? 0;0;0 ; ; ; ; 無意義 ( 未定義 ) ( 解 :) 若 θ 是第二象限角 :sinθ = ;tanθ =, 若 θ 是第三象限角 :sinθ = ;tanθ = (, ) θ x θ 0 x 0 (, ) 演練 a : 若 θ 是第二象限角, 且 sinθ =, 求 cosθ 與 tanθ 的值? cosθ = ;tanθ = 演練 b : 若已知 tanθ =, 且 θ 為銳角, 求 sinθ 及 sin(80 θ) 演練 c : 若已知 cosθ =, 則 sinθ 的值可能為何? 演練 d : 若 θ 是第二象限角, 且 sinθ =, 求 cosθ 0 ; 0 ± 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

13 高中數學講義 範例 : 若 θ 是第二象限角, 且 sinθ = ; ; 求 sin(θ + 90 ) cos(80 θ) 及 tan(90 + θ) 值? 演練 a : 若已知 cosθ =, 則 sin(70 θ) 及的值 sin(70 +θ) 可能為何? 演練 b : 若 sinθ =, 且 cosθ < 0, 求 tanθ 值? 演練 c : 若 tanθ =, 且 sinθ < 0, 求 cosθ 值? 演練 d : 若 sin6 = cosθ 且 0 θ < 60, 則 θ 可能值為何? 演練 e : 若 sin = sinθ 且 0 θ < 60, 則 θ 可能值為何? 範例 6: 求 cos0 +cos0 +cos0 + +cos60 +cos70 =? 演練 6a : 求 sin0 +sin0 +sin0 + +sin0 +sin0 +sin60 =? 演練 6b : 求 cos +cos +cos + +cos78 +cos79 +cos80 =? 演練 6c : 求 sin0 +sin0 +sin0 +sin0 值? 演練 6d : 求 sin0 +cos0 +cos0 +sin0 值? ; 8, 0, 範例 7: 若 θ 是第三象限角, 且滿足 cosθ sinθ =, 求 sinθcosθ 與 sinθ+cosθ 的值? ( 解 :)sinθcosθ = 9, sinθ+cosθ = 7 演練 7a : 若函數 f(θ) = sinθ,g(θ) = cosθ, 且 θ = 60 = π 求下列函數值? i. f(θ) ii. f( θ ) iii. [f( θ )] vii. g(θ) viii. g( θ ) ix. [g( θ )] iv. f(θ) v. f( θ) vi. f( θ ) 演練 7b : 化簡 sin xcos x+cos x 為何? 演練 7c : 化簡 cosx +sinx +tanx 為? x. g(θ) xi. g( θ) xii. g( θ ) cos x cosx 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

14 高中數學講義廣義角與極坐標 極坐標 範例 8: 已知直角坐標為 P(, ),(, ), 求 P,Q 兩點的極坐標為何? ( 解 :)P[,60 ],Q[6, ] 演練 8a : 將下列極坐標轉換成直角坐標系? [0, π ],P[6, ] (, ),P(, ) 演練 8b : 兩點的直角坐標為 P(,),Q(, ), 轉化為極坐標為何? P(, π π ),Q(, ) 6 弧度制範例 9: 求下列三角函數值? sin( π 6 ),cos π,tan π 演練 9a : 一點 P 在半徑為 的圓周上運動, 當 P 點在圓周上行經了角度為多少? π ; ; 單位, 則 P 點繞圓心轉動的 π 演練 9b : 將下列角度換算成弧度或將弧度換算成角度? 0,0,,π, π, π π, π 6, π ;0,, 90 π 演練 9c : 將弧度 6, 化為度? π 6 = 0, = 60 π.9 演練 9d : 化簡完成下列式子 : 例 sin(x+π) = sinx. sin( x) =. cos( x) =. sin(π x) =. cos(π x) = sinx cosx sinx cosx. sin(x+π) = 6. cos(x+π) = sinx cosx 7. sin(x+ π ) = cosx 8. cos(x+ π ) = sinx 習題 8- 廣義角與極坐標. 設 0 < θ 60, 若 6θ 和 θ 是同界角, 試求 θ 的值?. 若 θ 角為第二象限角, 則 θ 可能為第幾象限角?. 試以銳角的三角函數表示 tan( 90 ) =?, sin( 0 ) =?. 若 θ 為標準位置角, 其終邊上一點坐標 P(, ), 求 sinθ,cosθ,tanθ 的值? 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

15 高中數學講義. 利用坐標法求三角函數值 : 若直線 角函數 sinθ,cosθ,tanθ 值? (a) P(, ) (b) P(,) (c) P(, ) (d) θ = 先將 θ 化為較簡同界角後, 再求其三角函數值? P 與 x 軸正向夾角為 θ, 終邊上點 P 的坐標如下, 分別求三 (a) sin90 (b) cos0 (c) sin0 (d) cos0 (e) sin0 (f) tan0 (g) sin0 +sin0 +sin0 +sin0 =? 7. 正餘弦函數的奇偶性質 : (a) sin( 0 ) (b) cos( 0 ) (c) sin( 60 ) (d) cos( ) (e) sin( 0 ) (f) sin( 0 ) 8. 已知 θ 角中 sinθ,cosθ,tanθ 的一個三角函數值, 求其餘的三角函數值? (a) sinθ =,θ 為第二象限角? (b) cosθ =,θ 為第三象限角? (c) sinθ =,tanθ < 0? (d) cosθ =,80 < θ < 70? (e) tanθ =,sinθ > 0? 9. 已知 cosθ =, 且 θ 為第二象限角, 求 sinθ,tanθ 三角函數值? 0. 已知 sinθ =, 且 θ 為第四象限角, 求 cosθ,sin(θ +80 ),tan( θ) 三角函數值?. 已知 θ 為銳角且 tanθ =, 求 sin(80 θ) 的值?. 已知 θ 角的頂點為原點, 始邊落在 X 軸的正向上, 終邊通過點 P(, ), 試求 sinθ,cosθ,tanθ 三角函數值? 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

16 6 高中數學講義廣義角與極坐標. 若 tanθ = 求 sinθ+cosθ sinθ+cosθ =? ( 求出 sinθ,cosθ 代入嗎? 分子分母同除以 cosθ). 化簡 sin(90 +θ)cos(90 +θ) sin(80 θ)cos(80 θ) =?. 設 cos( 00 ) = a, 試求 tan80 =? ( 用 a 表示 ) 6. 設 為一直角三角形,DE 是以 為一邊向外作出的正方形, 若 =, =, = 試求 cos D =?, D 面積為? 7. 化簡 80 x= cosx =?; 60 = sin =? 8. 已知 P 點的極坐標為 [,0 ], 求 P 點的直角坐標為何? 9. 已知 Q 點的直角坐標為 (, ), 求 Q 點的極坐標為何? 0. 設 θ 為第二象限角且 cosθ+sinθ =, 試求下列各值? ()sinθcosθ=? ()cosθ sinθ =?. 求下列三角函數值? (a) sin π cosπ = (b) cos π sin( π ) = (c) tan π sin π = (d) tan π cos 8π = 習題 8-. 7,,6,88,60 度.,, 象限. tan0, sin0. ; ; ; a. sinθ =,cosθ =,tanθ = b. sinθ =,cosθ =,tanθ = c. sinθ =,tanθ =,cosθ = d. sinθ =,cosθ = 0,tanθ 無意義 6a. 6b. 6c. 6d. 6e. 6f. 6g. 0 7a. 7b. 7c. 7d. 7e. 7f. 8a. cosθ =,tanθ = 8b. sinθ =,tanθ = 8c. cosθ =,tanθ = 8d. sinθ =,tanθ = 8e. sinθ = 0 0,cosθ = sinθ =,tanθ = 0. cosθ =,sin(θ+80 ) =,tan( θ) =. 順伯的窩 三角學 I [ 第 6 頁 / 共 9 頁 ]

17 高中數學講義 7. sinθ =,cosθ =,tanθ = /;8 7.,0 8. P(, ) 9. Q[, ] a. b. c.. a 0. /; 7/ d. 8. 正弦 餘弦定理與面積公式 三角形面積 : a = bcsin = acsin = absin (bcos,bsin) b a h = bsin = asin c (c, 0) a 正弦定理 : sin = b sin = c sin = R, 三邊長比等於其三內角的正弦比, 且比值為其外接圓的直徑 作銳角 的外接圓, 則 與直角, = ( 對相同弧長, 為等圓周角 ), 因此 sin = sin = a R, 同理可推 sin = sin = b R,sin = sin = c R 故 R = a sin = b sin = c sin 鈍角 的外接圓, 則 與直角, + = 80 ( 兩對應弧長和, 恰 為一圓周 ) 則 sin = sin c R b a c b a c b a R 圖 : 正弦公式的推導圖 餘弦定理 : 第三邊平方 = 兩鄰邊平方和 鄰邊乘積 夾角餘弦值 將三角形平移旋轉如圖 : 中 a = = (b ccos) + (0 csin) = b + 順伯的窩 三角學 I [ 第 7 頁 / 共 9 頁 ]

18 8 高中數學講義正弦 餘弦定理與面積公式 c (sin + cos ) bccos = b + c bccos 若 = 90 則可證畢氏定理 : = 90,a = b +c. a = b +c bccos, 或 cos = b +c a bc. b = a +c accos, 或 cos = a +c b ac. c = a +b abcos, 或 cos = a +b c ab (ccos,csin) (ccos,csin) (ccos,csin) c a c a c a b (b, 0) b (b, 0) b (b, 0) 圖 : 餘弦公式的推導圖 由三角形邊長判別內角為銳角 直角或鈍角 : 餘弦定理的推廣. 若 為直角 (cos = 0) a = b +c. 若 為銳角 (cos > 0) a < b +c. 若 為直角 (cos < 0) a > b +c 正餘弦定理解三角形邊長 內角問題 : 若三角形的已知邊長記為 S, 已知內角記為, 因此三角形從已知條件可區分為以下類型 : S ase : S S ase : S S ase : SS S S ase : SS S S ase : SSS S S S S S ase : 兩 SS 對應的相異三角形 型 : 解 S,S,SS 型三角形邊長 內角 正弦定理求出其餘未知的邊長及角度 型 : 解 SS,SSS,SS 型三角形邊長 內角 餘弦定理求出其餘未知的邊長及角度 ( 已知角的對邊當第三邊 ) 順伯的窩 三角學 I [ 第 8 頁 / 共 9 頁 ]

19 高中數學講義 9 SS 型的三角形 ( 不一定會全等 ) 可能有兩種不同的三角形甚或無解 型的三角形為相似三角形無法確定三邊長 為銳角時 : a b h b c h a b a h a b c b a a < h: 無解 a = h: 恰一解 h < a < b: 兩組解 a b: 無解 為鈍角時 : a b b a a b: 無解 a > b: 恰一解 三角形面積公式 : a = 底 高 = absin = acsin = bcsin ( 海龍公式 ) = s(s a)(s b)(s c),s = (a+b+c) a = r 內 s = abc R 外 = ( ) b F r D E c a 例題 範例 : 中, 已知 =, = 6, = 60 求 的面積? 6 順伯的窩 三角學 I [ 第 9 頁 / 共 9 頁 ]

20 0 高中數學講義正弦 餘弦定理與面積公式 演練 a : 已知 中, =, =, = 0 求 的面積? 演練 b : 中, 已知 = 8, = 0, = 0 求 的面積? 演練 c : 已知四邊形 D 的對角線,D 的一個夾角為 θ, 證明 : 此四邊形面積為 0 D 正弦 餘弦定理 θ D 範例 : 已知 的三內角之角度比為 : :, 求其對應邊邊長比? ( 已知 sin = 6 : : 6+ ) es 演練 a : 已知 的三內角正弦比為 : :, 則此三角形是否為鈍角三角形? 範例 : 中, =, = 0, = 6+, 求其他兩邊長與 的外接圓半 徑?(S) =, =,R = 演練 a : 如圖 : 半徑為 的圓, 其中 為直徑, 且 為直角三角形, 且 D =, D i. 求 sin 值? ii. 求 長? iii. 求 D 長? 演練 b : 中, = 60, =, = 6+, 求 邊長, 及此三角形面積? ( 已知 6+ sin7 = ) =,=+ 演練 c : 中, = 60, = 7, = 8, 求 邊長, 及此三角形外接圓半徑? ( 已知 6+ 6;R = sin7 = ) 範例 : 中, =, = 0, = 8, 求其他兩邊長及 的外接圓半 徑?(S) =, = +,R = 順伯的窩 三角學 I [ 第 0 頁 / 共 9 頁 ]

21 高中數學講義 演練 a : 若 中, = 60, =, =, 求邊長 此 的面積及外 接圓半徑 R? = ; = + ;R = 演練 b : 若 中, =, = 0, =, 求 邊長? 範例 : 中, =, =, = 6, 求 及? (SS) = 7, = 60 或 =, = 0 6 演練 a : 若 中, = 0, = 8, =, 求 演練 b : 若 中, =, =, 且 = 0, 求邊長 =? 或 6 演練 c : 小文在求解三角形 的邊長, 模糊的印象中條件為 = 6, =, = π, 求 不存在此三角形長? 演練 d : 小文在求解三角形 的邊長, 模糊的印象中條件為 =, = 6, = π, 求 長? + 6 範例 6: 中, 三對應邊分別為 a,b,c, 已知 a =,c =, = 60, 求邊長 b =? (SS) b = 7,8 演練 6a : 若 中, = 8, = 7, 且 = 60, 求邊長 =? 演練 6b : 若 中, =, =, 且 = 0, 求邊長 =? or or 8 範例 7: 已知半徑為 和 的兩圓相交兩點, 若過其中一交點的兩圓切線夾角為 60 ( 如圖示 ), 求兩 60 9 圓的圓心距離為何?(SS) 演練 7a : 中, 已知 =, = 8, = 60, 求邊長 =?(SS) a = 7 7 演練 7b : 已知, =, =, = 0, 求邊長 = 7 演練 7c : 已知 對應邊長 a =,b =, 及 = 60 求 c 邊長? 範例 8: 中, 已知 = 7, =, =, 求 的角度?(SSS) 演練 8a : 已知 中, = 8, =, = 7, 求 i. sin : sin : sin ii. =? iii. 的外接圓半徑 R =? = 0 7 : : 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

22 高中數學講義正弦 餘弦定理與面積公式 iv. 的面積? 演練 8b : 已知 三邊長, = 7, = 8, =, 求 =? 6 0 演練 8c : 已知 三邊長, =, =, = 7, 求 的面積? 及此三角形內切圓 半徑 r? = 6;r = 6 正餘弦定理應用 範例 9: 如圖 : 已知 中, =, =, = 0, 若 D 為 的角平分線, 且交 = 7;x = 7 7 於 D, 求 D 及 D 長? hint: 等面積關係或角平分線性質 x D 演練 9a : 已知 中, = 7, = 6, =, 若 D 為底邊 的高, 求 D =? 並求 h = 6; = 6 6 出此三角形的面積為何? 演練 9b : 已知 中, = 7, = 6, =, 若 θ 為此三角形最大內角, 求 cosθ 值 三 cosθ = 角形外接圓半徑 R 及內切圓半徑 r 為何?,R = 6,r = 演練 9c : 已知 中, = 7, = 6, =, 若 D 交 於 D, 且 D : D = :, 求 D =? 演練 9d : 已知 中, = 7, = 6, =, 求此三角形的中線 D =? 演練 9e : 已知 中, = 7, = 6, =, 若內角平分線 D 交 於 D, 求角平分 線 D =? 範例 0: 已知 的三邊長, = a, = b, = c 且滿足 c = a + b + ab 求此 = 0 的最大角度數? 演練 0a : 已知 的三邊長, =, =, = 6 求 sin : sin : sin = 及 : : 6; : 9 : cos : cos : cos =? 演練 0b : 如圖 : 若已知 的三邊長為,,, D 在 上, 且 D =, 求 及 D 7 0 x 長? 0 ; D 8 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

23 高中數學講義 演練 0c : 如圖 : 若已知 的三邊長為 = 8, = 7, D 在 上, 且 D =,D =, 8 x 7 求 及 D 長? = 60 ;D = 7 D 演練 0d : 已知 的三邊長, =, =, = 6, 若 D 為 邊上的中線, 求 D 長? 演練 0e : 已知一平行四邊形的邊長為, 其中一對角線長為 6, 求另一對角線長? 習題 8- 正弦 餘弦定理與面積公式. 中, : : = : :, 求此對應邊的邊長比 a : b : c. 中, a =, = 7, =, 求此 外接圓半徑 R 及 c 長?. 中, = 0, =, =, 求 及 的外接圓半徑?. 中, =, =, = 60, 求 =?. 中, =, = 8, = 0, 試求 =? 6. 中, = 8, =, = 0, 求 =? 7. 中, =, =, = 7, 求? 8. 設 的三邊長比 a : b : c = : :, 求 cos,cos,cos 之值? 9. 中, 設 = 60, =, 試求 : : =? 0. 中, 已知 =,D =,D =, = 7, 如圖, 求 D 的長? 6 D. 中, 設 cos =, = 0, = 6, 試求 的面積?. 中, 設 = 0, = 9, = 7, 試求 的面積?. 圓內接四邊形 D, =, =,D =, = 0, 試求 D 之值?. 圓內接四邊形 D, =, =,D =,D =, 試求對角線 長度?. 平行四邊形 D, =,D =, = 60, 求兩對角線,D 長? 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

24 高中數學講義和角 差角公式 6. 已知 的三邊長為,,, 求此 的內切圓半徑 r? 7. 已知 三邊長,a =,b =,c = 求 的內切圓半徑 r? 8. 試證 : 中, sin+sin > sin [hint: 正弦定理 ] 習題 8-. : :. R = 8,c = = , 6, 9. ( + 6) : :. = 6. = 6,D =. +,R = r = a = ± 8. 和角 差角公式. 8. 正弦定理 餘弦的差角公式 : cos( ) = coscos +sinsin 兩點距離公式 a = = ( (bcosθ ccosθ ) 中 +(bsinθ csinθ ) ), 餘弦定理 a = b +c bccos(θ θ ) (bcosθ,bsinθ ) θ (ccosθ,csinθ ) θ 整理可得 cos(θ θ ) = cosθ cosθ +sinθ sinθ ( ) 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

25 高中數學講義 P R Q P + R + Q + 銳角時 : M N + 鈍角時 : M N sin (+) = MP P = MR+RP P = NQ Q Q P + RP PQ PQ P = NQ+RP P = sin cos + cos sin. = NQ P + RP P 同理可得 : cos (+) = M P = N MN P = = N Q Q P + RQ PQ PQ P N RQ P = cos cos sin sin. = N P RQ P 正餘弦的和角 差角公式 :. cos( ) = coscos +sinsin. cos(+) = coscos sinsin, 令 θ =, θ = 代入 式, 可得. sin( ) = sincos cossin 利用餘角關係 : sin( ) = cos[90 ( )] = cos[(90 )+] 代入餘弦和角 公式可得. sin(+) = sincos +cossin 正切的和角 差角公式 : tan,tan,tan(±) 均有意義時, 利用 tanθ = cosθ sinθ tan(+) = sin(+) sincos +cossin 約分 = = cos(+) coscos sinsin coscos tan( ) = sin( ) cos( ) = sincos cossin coscos +sinsin 約分 = coscos tan+tan tan tan, tan tan +tan tan 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

26 6 高中數學講義和角 差角公式 兩直線 L : = m x+b 和 L : = m x+b 的交角 θ tanθ = tanθ tanθ +tanθ tanθ = m m +m m = m x+b = m x+b (x, ) (x, ) (x, ) (x, ) (x, ) 若兩直線垂直相交則 m m = x 若已知兩角度 α,β 的三角函數值, 則由 α,β 任意整數倍相加減的三角函數值可利用和角 差角公式求出其值 三角函數化簡公式 旋轉木馬記憶法 : cosθ 比 θ 多 90 函數 逆時針轉一格 sinθ sinθ cotθ 比 θ 少 90 函數順時針轉一格 cosθ 比 θ 多 90 函數逆時針轉一格 tanθ 比 θ 少 90 函數順時針轉一格 cscθ secθ secθ 比 θ 多 90 函數逆時針轉一格 cscθ 比 θ 少 90 函數順時針轉一格. 由該函數位於哪一輪輻為起始點. 以 90 為單位旋轉一輪輻, 正向角為逆時針旋轉, 負向角為順時針旋轉. 最後旋轉終點位置即為該三角函數的化簡值 cosα sin(α+β) 比 α 多 β 角函數 sinβ β 逆時針同向函數乘積和 sinα cosβ sinα cosα sinα cosα cosα cosθ θ sinα sinθ sin(α θ) 比 α 少 θ 角函數順時針同向函數乘積和 倍角 三倍角公式 : 利用正餘弦的和角 差角公式, 可續推出三角函數 nθ 角的公式. cosθ = cos(θ +θ) = cos θ sin θ = cos θ = sin θ. sinθ = sin(θ+θ) = sinθcosθ. cosθ = cos θ cosθ. sinθ = sin θ+sinθ. tanθ = tanθ tan θ 順伯的窩 三角學 I [ 第 6 頁 / 共 9 頁 ]

27 高中數學講義 7 半角公式 : 三角函數的半角公式為倍角公式的逆過程 cos θ = ± +cosθ, sin θ = ± cosθ (± 號可由 θ 之象限角其三角函數值來判定 ) tan θ = sinθ +cosθ = cosθ cosθ = ± sinθ +cosθ 同界角的 n 倍與 n 倍 : θ θ+kπ,k Z 與 θ 同界角之整數倍後仍為同界角 nθ nθ +kπ,k Z, 均為同界角 但其 n 倍角, 有 n 個不同角度 θ n = θ +kπ n,k = 0,,,(n ), 有 n 個非同界角的不同角度 三角函數求值問題 : 銳角 θ: 任一銳角 θ 三角函數, 可做一包含 θ 角的三角形, 利用畢氏定理, 再找出其三邊邊長比例關係 鈍角 θ: 一般角三角函數值可先找出該函數對應的參考角 θ ref 三角函數變化關係 ( 依象限角決定正負變化關係 ) 同一 θ 角, 求其餘三角函數值 ( 在銳角下畢氏定理求出斜邊 鄰邊 對邊比 ; 再由 θ 象限角決定三角函數值正負 ) ( 坐標法 : (x,) = (rcosθ,rsinθ),r = x +,tanθ = ) x 同一三角函數下, 求其倍角 半角 和角 差角的三角函數值 ( 利用倍角 半角 和角 差角公式代入 ) 不同三角函數 不同角度下, 求三角函數值 ( 先化成同一函數或化成同角度 ; 再依上述, 項方法求值 ) 例題 和角 差角公式 D F 0 範例 : 求 cos8 cos sin8 sin 的值? E 順伯的窩 三角學 I [ 第 7 頁 / 共 9 頁 ]

28 8 高中數學講義和角 差角公式 演練 a : 求 cos7 的函數值? 6 6+ 演練 b : 求 cos π 的函數值? 演練 f : 求 sin π 演練 c : 求 sin 7π 6+ - 的函數值? tan0 演練 d : 求 +tan 值? 演練 g : 求 cos π tan tan0 演練 e : 求 sin80 cos0 cos80 sin0 的值? 7π cos cos π 7π sin π cos + sin π π sin 值? 值? 範例 : 已知 θ 為第三象限角且 cosθ =, 求 cos(θ+ π 6 )=? 及 sinθ =? 演練 a : 若 θ 為第二象限角且 sinθ =, 求 +; 6. cosθ 值?. cos(θ π ) 值? + 6. sin(θ + π 6 ) 值? + 6. tan(θ + π ) 值? 9 7 演練 b : 若 θ 為第四象限角且 cosθ =, 求. sinθ 值?. cos(θ+ π ) 值? + 8. sin(θ π 6 ) 值? 8. tan(θ π ) 值? + 演練 c : 已知 7π 6 < θ < π, 若 cos(θ+ π ) =, 求 cosθ =? 範例 : 設 α,β 分別為第二 三象限角且滿足 sinα =,cosβ = 值 ; 並藉此判斷出 α+β 是第幾象限角? 演練 a : 設 π < α < π,π < β < π i. cosα 值? ii. cosβ 值? 且已知 sinα =,sinβ = 0 求 sin(α+β) 與 cos(α+β) 求 iii. cos(α+β) 值? iv. sin(α+β) 值? /6,6/6,I 演練 b : 設 0 < α < π, π < β < 0 且已知 sinα =,cosβ = 求. sin(α+β) 值?. cos(α+β) 值?. sin(α β) 值?. tan(α β) 值? 順伯的窩 三角學 I [ 第 8 頁 / 共 9 頁 ]

29 高中數學講義 9 範例 : 已知 tanθ =,tanθ =, 且 0 < θ < 90,90 < θ < 80 求 tan(θ +θ ) 之值? 又 θ +θ =? 演練 a : 設 tanα,tanβ 為方程式 x +x = 0 的兩根, 求 tan(α+β) 的值? 演練 b : 設 π < α < π,0 < β < π 且已知 tanα =,cosβ = 求, π. sin(α+β) 值?. cos(α+β) 值? 0 0. sin(α β) 值?. tan(α β) 值? 演練 c : 設 π < α < π,π < β < π 且已知 sinα =,tanβ = 求. sin(α+β) 值?. cos(α+β) 值? sin(α β) 值?. tan(α β) 值? 倍半角關係 範例 : 利用 sin = ( 解 :)sin. = 求 sin.,tan. 的值?,tan. = 演練 a : 利用 sin0 =, 求 sin 值? 演練 b : 利用 tan0 =, 求 tan 值? 6 演練 c : 求 tan π 8 值? 演練 d : 選出正確選項 cos x () +cosx 演練 e : 選出正確選項 =? () sinx(tanx+ sinx ) () sinx cosx() (cos x sin x) sinx cosx =? () cosx () sinx () sinx+cosx () tanx 範例 6: 若 θ 是第二象限角, 且 sinθ =, 求 sinθ 與 cosθ 的值? sinθ =,cosθ = 7 演練 6a : 若 θ 是第二象限角, 且 tanθ =, 求 sinθ cosθ 與 tanθ 的值? θ 角可能為第幾 象限角? 演練 6b : 解 sinθcosθ = π,0 θ < π ; 7 ;, 7π 7 ; 第四象限 順伯的窩 三角學 I [ 第 9 頁 / 共 9 頁 ]

30 0 高中數學講義和角 差角公式 演練 6c : 若 sinθ +cosθ =, 求 sinθ 值? 8 9 範例 7: 已知 π < θ < π 且 cosθ =, 試求 sin θ sin θ =,cos θ = 與 cos θ 值? 演練 7a : 已知 0 < θ < π. sinθ =?. cosθ =? 且 sinθ =, 試求 7. sin θ =? 0. cos θ =? 0 演練 7b : 已知 tanθ = 且. sinθ =?. cosθ =? π < θ < π, 試求. sin θ 0 0 =?. cos θ =? 0+ 0 演練 7c : 已知 cosθ = 且 sinθ > 0, 試求. sinθ =?. cosθ =? sin θ =?. cos θ 6 =? 演練 7d : 設 π < α < π,π < β < π 且已知 sinα =,cosβ = 求. sin(α+ π ) 值?. sin(α+β) 值? 6 6. cos(α+β) 值? 6 6. sin(α β) 值? 6 6. tan(α+β) 值? sin(α) 值? 7. cos(β) 值? sin α 值? 0 9. cos β 值? 6 0. cos(α β) 值? 6 三角形的三角函數 範例 8: 在 中, 已知 cos =,cos =, 求三角形的三邊長比 : : =? 6 : : 範例 9: 已知 中,cos =, tan = 7, 求 sin =? 順伯的窩 三角學 I [ 第 0 頁 / 共 9 頁 ]

31 高中數學講義 演練 9a : 直角三角形 中, = 90, 若,, 的對應邊分別為 a,b,c, 下列哪些選項恆真? () sin = sin () cos+cos = 0 () sin = ab () (sin sin) + c (cos+cos) = ()cos = b a (6)sin+sin > sin (7)cos+cos > c,,,,,6,7,8 (8) sin +sin = sin 演練 9b : 三角形 中,,, 的對應邊分別為 a,b,c, 滿足下列條件的三角形為何種三角 形?. acos = bcos 值? a b. = cos cos a=b 等腰三角形 = c cos 正三角形. cos : cos = b : a = 或 + = 90 範例 0: 已知平面坐標上 為原點, 點在第一象限且 (,), = 60, = 0 求點 (,+ ) 坐標? 演練 0a : 已知平面坐標上 為原點, 點在第一象限且 (,), = 0, = 0 求點 坐 (, +) 標? 演練 0b : 平面坐標上 為原點, 正三角形,(,0),(, ), 若將此正三角形繞原點旋轉 θ 角後, 點 移到 (, ( 6, 6+ ) ), 點坐標移到, 求 坐標? 簡易三角函數問題 範例 : 若將函數 f(x) = cosx cosx 表示成 x 的三角函數為 f(x) = acos x+bcosx+c 求常係數 a,b,c 值? 並求出此函數的最大值與最小值? (,, );M=;m= 演練 a : 在圓心 的單位半圓中 ( 半徑為 ), 內接一矩形 PQRS, 如圖示 : 若 PQ = θ, i. 將此矩形面積 用 θ 表示之? (θ) = sinθcosθ = sinθ ii. 試說明 (θ) = sinθ? (θ) = x = sinθcosθ = sinθ iii. θ 為何? 此矩形有最大面積多少? θ = π, = R Q S θ P 演練 b : 函數 f(x) = cosx sinx 表示成 x 的三角函數為 f(x) = asin x+bsinx+c 求常係 數 a,b,c 值? 並求出此函數的最大值與最小值? (,,);M= ;m= 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

32 高中數學講義和角 差角公式 演練 c : 若已知 0 θ < π,sinθ+cosθ =, 求 θ 角? 演練 d : 若 0 θ < π, 解 sinθ cosθ =, 求 θ 角? 0, π 90,0 習題 8- 和角 差角公式. 化簡下列式子求值 : (a) sin7 cos7 cos7 sin7 =? (b) sin0 cos0 +cos0 sin0 =? (c) cos70 cos0 sin70 sin0 =? (d) sin0 sin0 cos0 cos0 =? (e) cos0 cos0 +sin0 sin0 =? tan0 +tan (f) tan0 tan =. 化簡 sin(α+β)sin(α β) =? ( 以 α,β 角表示 ). 化簡 cos(α+β)cos(α β) =? ( 以 α,β 角表示 ). 設 α,β 均為銳角, 且 sinα =,cosβ =, 求 sin(α+β) =? 及 cos(α β) =?. 設 θ 為第二象限角且 sinθ =, 求 cos(θ+ π ) 的值? 6. 已知 tanα =,tan(α β) =, 求 tanβ 值? 7. 設 α,β 均為銳角, 且 tanα =,tanβ =, 試求 tan(α β) =? 8. 中, cos =,cos =, 試求 cos 之值? 9. 設 90,θ < 80, 且 sinθ =, 求 sinθ,cosθ 及 tanθ 的值? 0. tanα =,70 < α < 60, 求 cos α,sin α =?. cosθ =,θ 為銳角, 求 sinθ,cosθ =?. 已知 sinθ cosθ =, 求 sinθ 的值?. 已知 sinα =, 且 π < α < π, 求 sin α =?. 已知 < θ < 90, 且 sinθ =, 試求 sinθ,cosθ =?. 若 sin x+c = cos(x), 求常數 c 值? 6. 試化簡 cosθ cosθ sinθ sinθ = tanα 則 α =? ( 用 θ 表示 ) 7. 設 0 < α < π,π < β < π 且已知 sinα =,sinβ = 求 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

33 高中數學講義 (a) sin(α+β) 值? (b) cos(α+β) 值? (e) sin(α) 值? (f) cos(β) 值? (c) sin(α β) 值? (d) tan(α+β) 值? (g) sin α (h) cos β 值? 值? 8. 設 f(x) = sin x+cosx,0 x < 60, 試求 f(x) 的最大值與最小值? 及其相對應的 x 值? 9. 設 90 θ 90, 求 sinθcosθ 的最大值與最小值? 及其相對應的 θ 值? 0. 若 0 θ < π, 解 sinθ cosθ =, 求 θ 角? 習題 8- a. b. c. 0 d. e. f.. sin α sin β. cos α sin β. 6/6; 6/ 三角測量 /6 9. ; 7 ; 7 0. / 0,/ 0. /9, 7/9. sinθ =. +. sinθ = 6 6 ;cosθ = α = θ 7a. 6 7b c d. 6 7e. 7f g h. 8. x = cos /6,π cos /6 max = /;x = π, min = 9. θ =,max=/;x =,min=-/ 0. 視線 : 觀測者眼睛與目標物的連線 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

34 高中數學講義三角測量 視線 θ ( 忽略眼睛高度 0 ) 空中物高 h 空中物水平線俯角 θ 視線仰角 θ 地面 空中物高 h 仰角 : 往上仰看目標物的視線與水平線的夾角 俯角 : 往下俯看目標物的視線與水平線的夾角 三角函數值的查表 : 若無法直接查得則利用倒數關係 餘角關係 內插法求其三角函數值 表 : 部分三角函數值表 角度 sin cos tan 內差法求三角函數近似值 : 已知兩角度的三角函數值, 若欲求介於此兩角度之間的三角函數值, 則利用線性比例, 度數差的 θ 比值 = 函數值差的比值 即 = θ 例 : 查表已知 sin 0 = 0.0,sin 0 = 0.0 則利用內插法求 sin 6 θ 由 = 可得 6 0 θ 0 0 = = = 故 sin = 0.00 三角測量幾何問題的一些步驟要領 :. 依問題的條件畫出正確的略圖. 將測量的對象轉化為特定三角形的邊長 角度或相關量 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

35 高中數學講義 表 : 三角函數內插法 θ sinθ x x 6 sin 直角三角形的邊角關係 : 可利用畢氏定理 三角函數的基本關係運用. 幾何測量, 作圖利用正弦, 餘弦定理, 畢氏定理, 三角形面積公式, 配合三角函數及其性質解決問題 將包含已知邊長 ( 角度 ) 的三角形列出, 包含欲求邊長的三角形列出 ; 再仔細觀察這些三角形有何上列公式 ( 定理 ) 可運用 H 觀測物北西北東北 H( 觀測物 東 0 ) 北 0 高 H 西東 H 鉛垂線 仰角 仰角地面西南 南 0 東南西 南 θ θ time θ θ θ w h h h θ α a β b c h θ 0 h 角平分線性質 : 的角平分線與底邊的交點到其底邊的兩頂點距離比等於其兩腰的邊長比 ( 內外角平分線皆然 ), 若 D 平分 且交直線 於 D 點, 則 D : D = : 中線定理 : 平行四邊形的對角線平方和 = ( 兩鄰邊平方和 ) 中,M 為 邊的中點, 則 + = (M +M ) 順伯的窩 三角學 I [ 第 頁 / 共 9 頁 ]

36 6 高中數學講義三角測量 c b m D n 圖 : 角平分線性質 : mb = nc 投影定理 : 中, a = bcos +ccos c b ccos D bcos 例題 數系 範例 : 已知 tanθ = 0.8, 利用查表求銳角 θ 度數的近似值? 0 演練 a : 已知 sin0. = 0.68,sin. = 0.66,sinθ = 0.68, 利用內插法求銳角 θ 度數的近似 0 值? 演練 b : 已知 sin0. = 0.68,sin. = 0.66,sinθ = 0.68, 利用內插法求角 θ 度數的近似 0 或 0 值? 範例 : 某人在操場 點測得旗桿 P 點的仰角為 0, 朝旗桿直線走 0 公尺至 點後, 再測 得旗桿 P 的仰角為 試問他繼續再往旗桿直線走多遠後? 再測得旗桿 P 點的仰角為 60 0 公尺 α walk β P 演練 a : 在離大樓基底 00 公尺的地面上, 測得樓頂的仰角為 0, 求此大樓的高度? h 00 公尺 演練 b : 在地面上一點仰望空中固定不動的熱氣球, 仰角為 60, 在此點正上方 0 公尺高, 再測得熱 汽球的仰角為, 求熱汽球的高度 h 及熱汽球距離觀測點的水平距離 S? h = 0(+ );S = 0(+ ) 順伯的窩 三角學 I [ 第 6 頁 / 共 9 頁 ]

37 高中數學講義 7 演練 c : 一照相機被安置於高 呎的腳架上, 照相機的鏡頭為水平上下 0 的景物可入鏡, 現有一人 高 6 呎, 位於鏡頭前方 0 呎, 問此人全身是否可入鏡頭內, 若否, 則此人至少須離相機多遠方 No; 約 呎遠可全身入鏡?(sin0 0.00,cos ,.77) tan0 範例 : 在離地面 0 公尺高的燈塔塔頂測出遠方漁船的俯角為 0, 求觀測人員與漁船之間的距 00 公尺離?( 參考 頁圖 ) 演練 a : 從海岸邊高 00 公尺的燈塔上, 在燈塔正東方和東 0 南方向的海面上兩條船, 測得俯角分 00 公尺別為 和 0, 求此兩船的距離? 演練 b : 從海岸邊高 00 公尺的燈塔上, 在燈塔正北方和正南方向的海面上兩條船, 測得俯角分別為 00(+ ) 公尺 和 0, 求此兩船的距離? 範例 : 一飛機於空中保持等高度定速筆直朝地面 點飛行, 當 第一次觀測飛機時仰角為 0, 經過 0 秒後在觀測此飛機仍在 點前方仰角 60 空中飛行, 若已知此架飛機的速度為 00 0 seconds pass h θ 公尺 / 秒, 求飛機的飛行高度多高? 000 公尺 θ 演練 a : 某人在距離塔底的地面上 點, 測得與塔頂的仰角為, 由 點面對塔底直線後退 6 公 8( +) 尺 點, 測得與塔頂仰角為 0, 問此塔的高度為? 公尺 範例 : 一人自塔頂俯視塔正東方一點, 俯角為, 俯視塔北 60 東一點, 俯角為 0, 且, 00 公尺兩點相距 00 公尺, 求此塔高? ( 參考 頁圖 ) 演練 a : 從塔正東方相距 00 公尺的兩點, 測得塔頂的仰角分別為 和 0, 求此塔的高度? 00(+ ) 公尺 演練 b : 地面直線上依序三點,, 同時仰望高空熱氣球的仰角分別為 60,,0, 且 = 0 0 公尺 = 00 公尺, 求此時熱汽球高度? 順伯的窩 三角學 I [ 第 7 頁 / 共 9 頁 ]

38 8 高中數學講義三角測量 H h α β γ 範例 6: 一測量員在一山的正南方山腳下 點, 測出山的仰角為 60, 若測量員向東方移動 00 公尺 7 6 公尺到達 點, 測得山頂的仰角為 0, 求此山的高度? 演練 6a : 一棵樹距離筆直的馬路 8 公尺, 在馬路上 點測得這棵樹頂的仰角為 0, 在馬路上走了 0 公尺 8 公尺到達 點, 再測得樹頂仰角亦為 0, 問此樹的高度? 範例 7: 一人於山麓測得山頂的仰角為, 由此山麓循 0 斜坡上行 00 公尺, 再測得山頂的仰角為 7, 求此山的高度?(sin = 6 00 公尺 ) 演練 7a : 一人於山麓測得山頂的仰角為, 由此山麓循 斜坡上行 00 公尺, 再測得山頂的仰角為 60, 求此山的高度?(sin = 6 00( 6+ ) 公尺 ) 演練 7b : 空中有一熱汽球, 地面上相距 00 7 公尺的 兩點, 同時觀測熱汽球在 點的正東方仰 00 公尺角 60 上空, 且在 點之北 0 東仰角 0 上空, 則此時熱汽球高度為多少? 習題 8- 三角測量. 空警隊在直升機上發現 : 地面上正東方俯角 的 處有火警, 而其正南方俯角 0 的 處 有消防隊 若此直升機的高度為 00 公尺, 試求地面, 兩地的距離?. 小山丘上有建一寶塔, 此塔高 0 公尺, 若從地面上 點測得塔底的仰角為, 塔頂的仰角為 60, 問此山丘的高度為?. 一梯子靠在牆上, 梯長 6 公尺, 已知梯子與地面成 0 的傾斜角, 求牆腳到梯子上端的高度?. 有一人在塔的正東方 處, 測得塔頂的仰角 60, 他走到塔的正西方 處, 再測得塔頂仰角為, 若, 兩地相距 00 公尺, 試求塔高?. 在平地地面上 測出山頂的仰角為 0, 再朝山的方向前進 00 公尺處, 測出山頂的仰角為, 求此山的高度? 順伯的窩 三角學 I [ 第 8 頁 / 共 9 頁 ]

39 高中數學講義 9 6. 自塔的正西方一點, 測得塔頂仰角為, 在塔的南 60 西一點, 測得塔頂仰角為 0 若, 兩點相距 0 公尺, 試求塔高? 7. 今有, 兩點分別在大湖的兩岸, 某人在距湖的遠處一點, 測得 = 00 m, = 0 m, = 60, 試求 的長度? 8. 甲, 乙兩人相距 00 公尺, 同時測量一建築物高度, 甲在建物的正東方測出建物頂點仰角, 而乙在建物東偏南 0, 測出建物頂點仰角 0, 求建物的高度? 9. 某人在一塔的正西方 點, 測得塔頂仰角為 60, 在 點正南方 點, 測得塔頂仰角為 0, 已知此塔高為 0 公尺, 求, 兩點距離? 公尺 0. 一船以固定速率向東 7 南航行, 於上午 0 時, 測得燈塔方位為東 北, 至下午 時, 測得燈塔方位為北 西, 此時船與燈塔距離為 0 公里, 求此船的速率?. 已知 cosθ = 0.96, 利用查表及內插法求銳角 θ 度數的近似值?. 利用查表及內插法求 sin66 的近似值? 習題 公尺. 0( +) 公尺. 公尺. 00 ( ) 公尺. 0( +) m km/h. θ 教用版附答案... 順伯的窩 - End - [ 第 9 頁 / 共 9 頁 ]