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獭巴
4 years ago
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1 T- T- 三角函數的定義主題一銳角三角函數的定義. 若直角三角形的一個銳角為, 則對邊, 鄰邊, 斜邊兩兩的比值都可由決定因為三角形共有三個邊長, 所以兩兩的比值共有六個 : () 對邊, 稱為的正弦, 以 in 表示, 即 in = y 斜邊 () 鄰邊, 稱為的餘弦, 以 co 表示, 即 co = x 斜邊 y () (4) 對邊, 稱為的正切, 以 tan 表示, 即 tan = y 鄰邊 x 鄰邊, 稱為的餘切, 以 cot 表示, 即 cot = x 對邊 y x (5) 斜邊, 稱為的正割, 以 ec 表示, 即 ec = 鄰邊 x (6) 斜邊, 稱為的餘割, 以 cc 表示, 即 cc = 對邊 y in co tan cot ec cc 例設為銳角,co =, 試求出 in tan 與 ec T- T--

2 . 銳角三角函數的倒數關係 : () in 與 cc 互為倒數, 即 :in.cc = () co 與 ec 互為倒數, 即 :co.ec = () tan 與 cot 互為倒數, 即 :tan.cot =. 平方關係 : () in + co =;() tan + =ec ;() cot + =cc 註我們以 in 與 co 分別表示 (in ) 與 (co ), 為了簡便,(in ) n 常以 in n 表示, 其他三角函數亦同 4. 商數關係 : in tan co ; cc cot ec 主題二有向角廣義角與同界角. 有向角 : () 在平面上將一射線繞端點, 沿著一個固定的方向旋轉到射線 B 上, 就形成一個有向角我們稱射線為始邊,B 為終邊, 而旋轉量就是此有向角的角度, 並規定逆時針方向旋轉的旋轉量是正的, 順時針方向旋轉的旋轉量是負的 () 旋轉量是正的角稱為正向角或簡稱為正角, 旋轉量是負的角稱為負向角或簡稱為負角, 正向角與負向角統稱為有向角 5-0 C B D. 廣義角 : 旋轉時可以是逆時針或順時針方向旋轉半圈, 一圈, 一圈半, 二圈, 等, 因此旋轉量可為 ±80,±60,±540,±70, T- T--

3 B 495 C D -5. 同界角 : 像這樣得出的有向角有正向角與負向角之分, 且度數也不限於 0 到 80 之間, 我們稱之為廣義角 () 在坐標平面上談有向角時, 通常以 x 軸的正方向為始邊設我們將兩個廣義角, 的頂點都放在坐標平面的原點上, 且將它們的始邊都放在 x 軸的正向上, 若它們的終邊重疊, 則這樣的兩個廣義角就叫做同界角 () 一般而言, 若一個有向角的角度為, 則所有角度為 +60 n 的有向角都是它的同界角, 其中 n 為整數換句話說, 同界角就是角度差為 60 的整數倍的角例下列角度皆是 0 的同界角 : 所有形如 n( 其中 n 為整數 ) 的角都是 0 的同界角, 所以 0 的同界角有無限多個主題三度度量與弧度度量. 弧度的定義 : 說明一個半徑為的輪子, 當轉動一圈時, 滾動的弧長 =, 即當轉動 5 圈時, 滾動的弧長 =5( ), 即 =5( ); 當轉動圈時, 滾動的弧長 = 7 7 ( ), 即 = 7 ( ) 一般而言, 轉動 x 圈時, =x ( ), = ; 由此可知, 與轉動的圈數成正比, 因此, 可用來表示旋轉量的大小 T- T--

4 定義當 = 時, 我們稱旋轉量為弧度, 當 = 時, 我們稱旋轉量為弧度也就是說, 我們可以將與半徑等長的圓弧所對的圓心角稱為弧度, 如此, 由於整個圓周長為, 所以整個圓周長所對的圓心角就是 ( 弧度 ) B 例當 =, 我們稱旋轉量為弧度 ; 當 = 7, 我們稱旋轉量為 7 弧度. 弧度與度 ( ) 的單位換算 : 當轉動一圈時, =, 所以轉一圈就是轉弧度, 度與弧度都是旋轉量的單位旋轉量以弧度為單位時, 也可以用正負符號表示旋轉的方向例旋轉 0 弧度就是逆時針旋轉, 而旋轉的弧長是半徑的 0 倍 ; 例旋轉 -0 弧度就是順時針旋轉, 而旋轉的弧長也是半徑的 0 倍因為 60 = 弧度 80 = 弧度所以, = 弧度弧度弧度弧度 =( 80 ) ( 80 ) x 結論設 x 為度度量, 為弧度度量, 則 x 與互換的方法為 60 o 度弧度 T- T--4

5 . 作一個單位圓, 此圓與 x 軸正向交於點 (,0), 在圓弧上由此點出發逆時針方向走單位長, 假設到達點, 此時旋轉的弧長恰等於半徑, y 因此由原點指向的射線, 即為弧度的終邊一般而言, 若是一個實數, 則由點 (,0) 出發, 在圓弧上繞行, >0 就逆時針轉, <0 就順時針轉, (,0) x 當繞行的弧長為時, 假設到達 P 點, 則射線 P 即為有向角 ( 弧度 ) 的終邊由此可知, 有向角的弧度可以是任意實數 4. 有向角為弧度的有向角 : 以弧度為單位時, 一整圈是, 因此, 若兩個有向角的弧度差的整數倍時, 就是同界角即, 有向角是的同界角的充要條件為 : = + n, 其中 n 為整數 5. 度 ( ) 與弧度都可以度量有向角的旋轉量, 也都可以度量無向角的大小, 若某無向角介於 0 與 80 之間, 換成弧度來看, 也就是介於 0( 弧度 ) 與 ( 弧度 ) 之間主題四廣義角三角函數的定義. 定義 : 當為任意廣義角時, 我們可以將其頂點放在坐標平面的原點, 始邊放在 x 軸的正向上, 其終邊可能落在四個象限或 x 軸,y 軸上我們定義其三角函數值如下 : () 當廣義角的終邊落在四個象限時, 在其終邊任取一點 P(x,y), 此處 x 0 且 y 0, 令表示 P 的長度, 我們規定 : in = y,co = x,tan = y x,cot = x y,ec = x,cc = y (0,) () 當廣義角的終邊落在 x 軸上或 y 軸上時, 設其終邊和以原點為圓心的單位圓相交於點 P(x,y), 則 : (,0) (-,0) T- T--5 (0,-)

6 (i) 當 P 落在 x 軸上時,y=0,x=, 所以 : in co tan cot ec cc 0 x 0 無意義 x 無意義 ( 當 P 在 x 軸正向時,x=, 當 P 在 x 軸負向時,x=-) (ii) 當 P 落在 y 軸上時,x=0,y=, 所以 : in co tan cot ec cc y 0 無意義 0 無意義 ( 當 P 在 y 軸正向時,y=, 當 P 在 y 軸負向時,y=-) y in co 0-0 tan 0 無意義 0 無意義 0 cot 無意義 0 無意義 0 無意義 ec 無意義 - 無意義 cc 無意義無意義 - 無意義例求設 in50 tan50 與 co50. 同界角有相同的三角函數值 : 任意有向角均可以找到唯一的同界角, 使得 0 <60 () in(60 n+ )=in ;() co(60 n+ )=co ; () tan(60 n+ )=tan ;(4) cot(60 n+ )=cot ; (5) ec(60 n+ )=ec ;(6) cc(60 n+ )=cc T- T--6

7 . 三角函數在四個象限的正負關係 : 一二三四 in,cc co,ec tan,cot 倒數關係, 商數關係, 平方關係對於任意廣義角均成立 T- T--7

第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒一有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負角度與弧度 : 1() 1() 弧度弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角

第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒一有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負角度與弧度 : 1() 1() 弧度弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角一有向角及其度量. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 8. 角度與弧度 : () () 弧度 57.957 弧度 = 8 只有代表弧度時為 8, 其餘皆為.4 ( D ). 角為 (A) 直角 (B) 鈍角 (C) 平角 (D) 銳角. 5 等於 5 8 弧度角度弧度 6 45 4 6 9 5 5 6 8 7 6 看到角度弧度, 8 擺分母 ; 看到弧度角度, 擺分母. 扇形的弧長與面積