设函数一复合函数的求导法则 = j( s, t) 与 y = y ( s, t) (1) 定义在 st 平面的区域 D 上, 函数 z = f (, y ) () 定义在 y 平面的区域 D 上. 若 { j y } (, y) = ( s, t), y = ( s, t), ( s, t) Î

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僻平
5 years ago
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1 复合函数微分法凡是学过一些微积分的人, 没有一个会对复合函数微分法的重要性产生怀疑. 可以毫不夸张地说, 谁不懂得复合微分法, 谁就会在计算导数或偏导数时寸步难行. 一复合函数的求导法则二复合函数的全微分返回

2 设函数一复合函数的求导法则 = j( s, t) 与 y = y ( s, t) (1) 定义在 st 平面的区域 D 上, 函数 z = f (, y ) () 定义在 y 平面的区域 D 上. 若 { j y } (, y) = ( s, t), y = ( s, t), ( s, t) Î D Ì D, 则可构成复合函数 :

3 z = F( s, t) = f ( j( s, t), y ( s, t) ), ( s, t) Î D. (3) 其中 (1) 为内函数, () 为外函数, (, y ) 为中间变量, ( s, t ) 为自变量. 下面将讨论复合函数 F 的可微性, 并导出 F 的偏导数与全微分的复合运算法则. 定理 17.5 若 = j( s, t), y = y ( s, t) 在点 ( s, t) Î D 可微, z = f (, y) 在点 (, y) = ( j( s, t), y ( s, t)) 可微, 则复合函数 z = f ( j( s, t), y ( s, t) ) 在点 ( s, t) 可微, 且关于 s 与 t 的偏导数分别为

4 z z z y = + s s y s ( s, t ) (, y) ( s, t ) (, y) ( s, t ) z z z y = + t t y t ( s, t ) (, y) ( s, t ) (, y) ( s, t ),. (4) 证由假设 = j( s, t), y = y ( s, t) 在点 ( s, t) 可微, 于是 D = D s + D t + a D s + b Dt s t y y D y = D s + D t + a D s + Dt s t 1 1, b, (5) (6)

5 其中 ( Ds, D t) (0,0) 时 ( a1, b1, a, b ) (0,0,0,0). 又由 z = f (, y ) 在点 (, y) 可微, 故有 z z D z = D + D y + a D + b D y, (7) y 其中 ( D, D y) (0,0) 时,( a, b ) (0,0), 并可补充定义 : 当 D = D y = 0 时, a = b = 0. 现把 (5), (6) 两式代入 (7) 式, 得到 æ z ö æ ö Dz = ç + a D s + D t + a1 D s + b1 D t + ç s t è ø è ø

6 æ z y y b ö æ s t a s b t ö + ç + D + D + D + D y ç s t è ø è ø. 整理后又得 æ z z y ö D z = ç + s s y s D è ø æ z z y ö + ç + D t + a D s + b Dt, t y t è ø 其中 z z y a = a + a + a + b + a a + b a y s s 1 1, (8) (9)

7 z z y b = b + b + a + b + a b + b b y t t 1 1. ( a, b, a, b ) (0,0,0,0). 1 1 (10) 由于 j( s, t), y ( s, t) 在点 ( s, t ) 可微, 因此它们在点 ( s, t ) 都连续, 即当 ( Ds, D t) (0,0) 时,( D, D y) (0,0), 从而也有 ( a, b ) (0,0), 以及于是在 (9), (10) 两式中, 当 ( Ds, D t ) (0,0) 时, 有 ( a, b ) (0,0). 故由 (8) 式推知复合函数 (3) 可微, 并求得 z 关于 s 和 t 的偏导数公式 (4).

8 公式 (4) 也称为链式法则. 注如果只是求复合函数 f ( j( s, t), y ( s, t) ) 关于 s 或 t 的偏导数, 则上述定理中 = j( s, t), y = y ( s, t) 只须具有关于 s 或 t 的偏导数就够了. 因为以 Ds 或 Dt 除 (7) 式两边, 然后让 D s 0 或 D t 0, 也能得到相应的结果. 但是对外函数 f 的可微性假设是不能轻易省略的, 否则上述复合求导公式就不一定成立. 例如

9 f (, y) ì ï = í ï î 由 1 习题 6 已知 f y + y, + y ¹ 0, 0, + y = 0. (0,0) = f (0,0) = 0, 但 f (, y) y 在点 (0,0) 不可微. 若以 f (, y ) 为外函数, = t, y = t 为内函数, 则得到以 t 为自变量的复合函数 t z = F( t) = f ( t, t) =, dz 1 有. (4), dt º 若形式地使用法则将得出错误结论 :

10 dz z d z dy = + dt dt y dt t = 0 (0,0) t = 0 (0,0) t = 0 = = 0. 这说明 : 在使用链式法则时, 必须注意外函数可微这个条件. 一般地, 若 f ( u,, u ) 在点 ( u,, u ) 可微, 函数组 1 则复合函数 1 m 1 u = g (,, ) ( k = 1,,, m) k k 1 n 在点 (,, ) 具有对于 ( i = 1,,, n) 的偏导数, n i m

11 求 f ( g (,, ), g (,, ),, g (,, )) 1 1 n 1 n m 1 n 关于自变量 ( i = 1,,, n) 的偏导数为 z z 与 y i m f f uk = å ( i = 1,,, n). u i k= 1 k i. + y 例 1 设 z = ln( u + v), 而 u = e, v = + y, 试解所讨论的复合函数以 (u, v) 为中间变量, (, y) 为自变量, 并满足定理 17.5 的条件. 故由

12 z u z 1 =, =, u u + v v u + v u e + y u, e + y v v = = y, =, = 1, y y 根据公式 (4) 得到 z z u z v = + u v u 1 + y = e + u + v u + v + y = ( ue + ), u + v

13 z z u z v = + y u y v y 1 + y = ( 4u ye + 1 ). u + v 例设 u = u(, y) 可微, 在极坐标变换 = r cos q, y = r sin q 之下, 证明 : æ u ö 1 æ u ö æ u ö æ u ö ç + = + r ç r q ç ç y è ø è ø è ø è ø 解把 u 看作 r, q 的复合函数 u = u( r cos q, r sin q ), 因此有.

14 u u u y u = + = cos q + u sin q, r r y r y u u u y u u = + = ( - r sin q ) + r cos q. q q y q y 于是 æ u ö 1 æ u ö æ u u ö ç + = cos q + sin q r ç r q ç y è ø è ø è ø 1 æ u u ö + r sin q r cos q ç - + r y è ø

15 æ u ö æ u ö = ç +. ç y è ø è ø t dz 例 3 设 z = uv + sin t, 其中 u = e, v = cos t, 求. dt 解复合后仅是自变量 t 的一元函数. 于是 dz z du z dv z dt = + + dt u dt v dt t dt t = ve + u( - sin t) + cos t t = e (cos t - sin t) + cos t.

16 dz 注上面第一个等式中, 左边的是作为一元函数 dt 的复合函数对 t 求导数 ( 这种导数又称为全导数 ); 右边的 z t 是外函数 ( 作为 u, v, t 的三元函数 ) 对 t 求偏导数. 二者所用的符号必须有所区别. 例 4 用多元复合微分法计算下列一元函数的导数 : (1 + )ln (1) y = ; () y =. sin + cos v 解 (1) 令 y = u, v = w, u =, w =, 从而有

17 dy y du y é v dw v = + + d u d v ê ë w d ù ú û v -1 v -1 = vu + u ln u [ w + w ln w ] -1-1 = + ln [ + ln ] é 1 ù = ê + ln + (ln ). ú ë û () 令 y = vw, u = sin + cos, v = 1 +, w = ln, u 则有

18 d y y du y dv y dw = + + d u d v d w d - v w w v 1 = ( cos - sin ) + + u u u 1 = é(sin - cos ) (1 + )ln (sin + cos ) ë (sin + cos )( ln + ) ù. û 由此可见, 以前用对数求导法求一元函数导数的问题, 如今可用多元复合函数的链式法则来计算. 例 5 设 f (, y) 为可微函数, f (1,1) = 1, f (1,1) = a,

19 f (1,1) = b, j ( ) = f (, f (, f (, ))), 试求 j j (1). y 解令 j ( ) = f (, y), y = f (, z), z = f (, u), u =, dy æ dz ö 则有 j ( ) = f + f y = f + f y f fz d ç + d è ø é æ du ö ù = f + f y ê f + fz ç f + fu. d ú ë è ø û 由于 du 1, f (1,1) a, f y(1,1) fz(1,1) fu(1,1) b, d = = = = =

20 因此 3 j (1) = a + b [ a + b( a + b)] = a + ab + ab + b. 说明上面的解法是通过引进中间变量 y, z, u 后, 借助链式法则而求得的 ; 上述过程还有一种比较简洁而实用的写法 ( 省去了引入中间变量 ): j ( ) = f + f [ f + f ( f + f 1) ], j (1) = f (1,1) + f (1,1) { f (1,1) f (1,1) [ f (1,1) + f (1,1) ] } 1 = a + b [ a + b( a + b) ].

21 例 6 设在 R 上的可微函数 f y f (, y) = f (, y). 满足方程 y 证明 : 在极坐标系里 f 只是 r 的函数. 证本题即是要证明 : 经极坐标变换后,f 满足 f = 0. q 为此设 u = f (, y), = r cos q, y = sin q, 则得 u u u y = + q q y q

22 u u = ( - r sin q ) + ( r cos q ) y u u = - y + y f f = - y + = 0. y 从而 f 在上的 R 上的极坐标系里与 q 无关, 于是 f 只是 r 的函数.

23 二复合函数的全微分若以, y 为自变量的函数 z = f (, y) 可微, 其全微分为 z z dz = d + d y. (11) y 如果, y 作为中间变量, 又是自变量 s, t 的可微函数 = j ( s, t), y = y ( s, t), 则由定理 17.5 知道, 复合函数 f ( j ( s, t), y ( s, t)) 是可微的, 其全微分为

24 z z dz = ds + dt s t æ z z y ö æ z z y ö = ç + ds + + dt s y s ç t y t è ø è ø z æ ö z æ y y ö = ds + dt + d s + d t. ç s t y ç s t è ø è ø (1) 由于, y 又是 ( s, t ) 的可微函数, 因此同时有 y y d = ds + d t, dy = ds + d t. s t s t (13)

25 将 (13) 式代入 (1) 式, 得到与 (11) 式完全相同的结果, 这就是多元函数的一阶 ( 全 ) 微分形式不变性. 必须指出, 在 (11) 式中当, y 作为自变量时,d 和 dy 各自独立取值 ; 当, y 作为中间变量时, d 和 dy 如 (13) 式所示, 它们的值由 s, t, d s, dt 所确定. 利用微分形式不变性, 能更有条理地计算复合函数的全微分. y 例 7 设 z = e sin( + y), 利用微分形式不变性计算 d z, 并由此导出

26 z z 与. y u 解令 z = e sin v, u = y, v = + y. 由于 u dz = z du + z dv = e sinv du + e cosv d v, u v du = y d + d y, dv = d + d y, 因此 u u dz = e sin v ( yd + d y) + e cos v (d + d y) y = e [ ysin( + y) + cos( + y)]d y + e [ sin( + y) + cos( + y)]d y, 并由此得到 u

27 z = y e [ ysin( + y) + cos( + y)], z = y e [ sin( + y) + cos( + y)]. y

28 复习思考题 1. 在一元函数章节里, 利用对数求导法曾得到过一个结果 : -1 ( ) = (1 + ln ) = + ln. 不难看出等式右边两项恰好是把分别看成幂函数与指数函数求导数而得到的. 有人认为这是偶然的巧合, 也有人认为这是必然的结果. 试问哪一种看法是正确的? 请说出依据.

29 . 设由可微的 u = u(, y, t), = ( s, t), y = y( s, t) 得到 u = u( ( s, t), y( s, t), t ), 它是一个以 s, t 为自变量的复合函数. 考察下面计算复合函数偏导数的一种写法 : u u u y u = + + t t y t t, 试问这个写法有何不妥? 怎样纠正?

30 作业 P13: 1(1)(3)(5);3

设函数 一 复合函数的求导法则 = j( s, t) 与 y = y ( s, t) (1) 定义在 st 平面的区域 D 上, 函数 z = f (, y ) () 定义在 y 平面的区域 D 上. 若 { j y } (, y) = ( s, t), y = ( s, t), ( s, t) Î

设函数一复合函数的求导法则 = j( s, t) 与 y = y ( s, t) (1) 定义在 st 平面的区域 D 上, 函数 z = f (, y ) () 定义在 y 平面的区域 D 上. 若 { j y } (, y) = ( s, t), y = ( s, t), ( s, t) Î