常微分方程的数值解法 - Numerical solution of ordinary differential equation
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1 常微分方程的数值解法 Numerical solution of ordinary differential equation 张晓平 2018 年 12 月 17 日 武汉大学数学与统计学院
2 Table of contents 1. 一般概念 2. 欧拉方法 3. 龙格 - 库塔方法 (Runge-Kutta method) 1
3 一般概念
4 一般概念 1. 常微分方程的求解问题在实践中经常遇到, 但我们只知道一些特殊类型的常微分方程的解析解 2. 在科学与工程问题中遇到的常微分方程往往很复杂, 许多情况下不可能求出解的表达式 3. 很多实际问题中, 并不需要方程解的表达式, 而仅仅需要获得解在若干点上的近似值即可 因此, 研究常微分方程的数值解法就很有必要 2
5 一般概念 我们将探讨一阶常微分方程初值问题 y = f(x, y), x > x 0 的数值解法 y(x 0 ) = y 0 (1) 3
6 一般概念 我们将探讨一阶常微分方程初值问题 y = f(x, y), x > x 0 的数值解法 理论上,f(x, y) 在区域 y(x 0 ) = y 0 (1) D 0 = {(x, y) x x 0, y < } 内连续, 且对变量 y 满足 Lipschitz 条件, 即存在常数 L, 对 D 0 内的任意两点 (x, y 1 ) 和 (x, y 2 ) 满足 则以上初值问题存在惟一解 f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) L y 1 y 2, 3
7 一般概念 所谓数值解法, 就是寻找 y(x) 在一系列离散节点 a x 0 < x 1 < < x n < b 上的近似值 y 0, y 1,, y n,, 其相邻两个节点的距离 h n = x n+1 x n 称为步长 我们总假定节点等距, 即 h n h, 此时 此时节点 x n 对应的函数值为 x n = x 0 + nh, n = 0, 1, 2, y(x n ) = y(x 0 + nh), n = 0, 1, 2, 4
8 一般概念 常微分方程 (1) 的数值格式可表示为 它是关于 y 0, y 1, 的差分方程 F(x n, y n, y n+1,, y n+k ) = 0, (2) 5
9 一般概念 常微分方程 (1) 的数值格式可表示为 它是关于 y 0, y 1, 的差分方程 F(x n, y n, y n+1,, y n+k ) = 0, (2) 数值解法的实质是用差分方程近似代替微分方程, 并且从 y 0, y 1,, y k 1 出发逐个求解出 y k, y k+1,. 5
10 一般概念 若 k = 1, 则 (2) 可简化为 F(x n, y n, y n+1 ) = 0, 称为单步法 若 k > 1, 则 (2) 称为多步法 6
11 一般概念 若 (2) 可表示为 y n+k = G(x n, y n, y n+1,, y n+k 1 ), (3) 则称之为显式方法 ; 否则称 (2) 为隐式方法 7
12 欧拉方法
13 欧拉方法 欧拉公式
14 欧拉公式 在方程 (1) 中, 用向前差商代替导数, 即 y (x n ) y(x n+1) y(x n ) h 有 y(x n+1 ) y(x n ) + hf(x n, y(x n )), 再用 y n 近似代替 y(x n ), 便导出 定义 : 显式欧拉公式 (Explicit Euler Formula) { yn+1 = y n + hf(x n, y n ), y 0 = y(x 0 ) n = 0, 1, 2,, (4) 8
15 欧拉公式 在方程 (1) 中, 用向后差商代替导数, 即 便可导出 y (x n+1 ) y(x n+1) y(x n ) h 定义 : 隐式欧拉公式 (Implicit Euler Formula) { yn+1 = y n + hf(x n+1, y n+1 ), y 0 = y(x 0 ) n = 0, 1, 2,, (5) 9
16 欧拉公式 在方程 (1) 中, 用向后差商代替导数, 即 便可导出 y (x n+1 ) y(x n+1) y(x n ) h 定义 : 隐式欧拉公式 (Implicit Euler Formula) { yn+1 = y n + hf(x n+1, y n+1 ), y 0 = y(x 0 ) n = 0, 1, 2,, (5) 这类隐式格式的计算远比显式格式困难! 9
17 欧拉公式 在方程 (1) 中, 用中心差商代替导数, 即 便可导出 y (x n ) y(x n+1) y(x n 1 ) 2h 定义 : 两点欧拉公式 (Two-points Euler Formula) y n+1 = y n 1 + 2hf(x n, y n ), n = 0, 1, 2,, (6) 10
18 欧拉公式 在方程 (1) 中, 用中心差商代替导数, 即 便可导出 y (x n ) y(x n+1) y(x n 1 ) 2h 定义 : 两点欧拉公式 (Two-points Euler Formula) y n+1 = y n 1 + 2hf(x n, y n ), n = 0, 1, 2,, (6) 在计算 y n+1 时, 需利用前两步的信息 y n, y n 1 10
19 欧拉方法 欧拉预估 - 校正方法
20 欧拉预估 - 校正方法 对方程 y = f(x, y) 的两端从 x n 到 x n+1 积分, 得 y(x n+1 ) = y(x n ) + 利用梯形公式计算积分得 xn+1 x n f(x, y(x)) dx. y(x n+1 ) y(x n ) + h 2 [f(x n, y(x n )) + f(x n+1, y(x n+1 ))] 再用 y n 代替 y(x n ) 的近似值, 便可导出定义 : 梯形公式 (Trapezoidal Formula) y n+1 = y n + h 2 [f(x n, y n ) + f(x n+1, y n+1 )], n = 0, 1,. 11
21 欧拉预估 - 校正方法 对方程 y = f(x, y) 的两端从 x n 到 x n+1 积分, 得 y(x n+1 ) = y(x n ) + 利用梯形公式计算积分得 xn+1 x n f(x, y(x)) dx. y(x n+1 ) y(x n ) + h 2 [f(x n, y(x n )) + f(x n+1, y(x n+1 ))] 再用 y n 代替 y(x n ) 的近似值, 便可导出定义 : 梯形公式 (Trapezoidal Formula) y n+1 = y n + h 2 [f(x n, y n ) + f(x n+1, y n+1 )], n = 0, 1,. 梯形公式可视为显示欧拉公式与隐式欧拉公式的算术平均, 它仍为隐式, 不便于直接计算 11
22 欧拉预估 - 校正方法 实际计算中, 可将欧拉公式与梯形公式相结合, 1. 先由显示欧拉求得一个初步的近似值, 记为 ȳ n+1, 称之为预报值 ; 2. 再将该值代入梯形公式算得 y n+1, 这一步称为校正 12
23 欧拉预估 - 校正方法 实际计算中, 可将欧拉公式与梯形公式相结合, 1. 先由显示欧拉求得一个初步的近似值, 记为 ȳ n+1, 称之为预报值 ; 2. 再将该值代入梯形公式算得 y n+1, 这一步称为校正 定义 : 预估 - 校正公式 (Prediction-Correction Formula) ȳ n+1 = y n + hf(x n, y n ), y n+1 = y n + h 2 [f(x n, y n ) + f(x n+1, ȳ n+1 )] n = 0, 1, 2, (7) 12
24 欧拉预估 - 校正方法 实际计算中, 可将欧拉公式与梯形公式相结合, 1. 先由显示欧拉求得一个初步的近似值, 记为 ȳ n+1, 称之为预报值 ; 2. 再将该值代入梯形公式算得 y n+1, 这一步称为校正 定义 : 预估 - 校正公式 (Prediction-Correction Formula) ȳ n+1 = y n + hf(x n, y n ), y n+1 = y n + h 2 [f(x n, y n ) + f(x n+1, ȳ n+1 )] n = 0, 1, 2, (7) 该公式也称改进的欧拉公式, 它是一种显示公式, 是对隐式梯形公式的改进, 可以直接计算 12
25 欧拉预估 - 校正方法 为便于上机编程, 可将上述步骤改为 y p = y n + hf(x n, y n ), y c = y n + hf(x n+1, y p ), y n+1 = 1 2 (y p + y c ) 13
26 欧拉预估 - 校正方法 例 利用欧拉公式和预估 - 校正公式求初值问题 y = y 2x y y(0) = 1 在 [0, 1] 上的数值解 ( 取 h = 0.1), 并与精确解 y = 2x + 1 进行比较 14
27 欧拉预估 - 校正方法 例 利用欧拉公式和预估 - 校正公式求初值问题 y = y 2x y y(0) = 1 在 [0, 1] 上的数值解 ( 取 h = 0.1), 并与精确解 y = 2x + 1 进行比较 解 欧拉公式 y n+1 = y n + h y 0 = 1, h = 0.1 ( y n 2x ) n y n n = 0, 1, 2,, 9 14
28 欧拉预估 - 校正方法 解 ( 续 ) : 预估 - 校正公式 ( ȳ n+1 = y n + h y n 2x ) n y n y n+1 = y n + h ( y n 2x n + ȳ n+1 2x ) n+1 2 y n y n+1 y 0 = 1, h = 0.1 n = 0, 1, 2,, 9 15
29 欧拉预估 - 校正方法 表 1: 计算结果 x n 欧拉公式 y n 预估 - 校正公式 y n 精确解 y(x n ) = 2x n
30 欧拉预估 - 校正方法 y 欧拉公式 精确解预估 - 校正公式 图 1: 计算结果 x 17
31 欧拉方法 欧拉方法的误差估计
32 定义 设 y n 为精确解, 即 y n = y(x n ), 在此前提下, 用某种数值方法计算 y n+1 的误差 R n = y(x n+1 ) y n+1 称为该数值方法计算 y n+1 的局部截断误差 18
33 定义 设 y n 为精确解, 即 y n = y(x n ), 在此前提下, 用某种数值方法计算 y n+1 的误差 R n = y(x n+1 ) y n+1 称为该数值方法计算 y n+1 的局部截断误差 定义 若某一数值方法的局部截断误差为 R n = O(h p+1 ),p 为正整数, 则称这种数值方法为 p 阶方法, 或者说该方法有 p 阶精度 18
34 定理 显式欧拉方法的局部截断误差为 O(h 2 ), 它为一阶方法 19
35 定理 显式欧拉方法的局部截断误差为 O(h 2 ), 它为一阶方法 证明 由泰勒公式可知 y(x n+1 ) = y(x n + h) = y(x n ) + hy (x n ) + h2 2! y (x n ) + O(h 3 ) = y(x n ) + hf(x n, y n ) + h2 2! y (x n ) + O(h 3 )
36 定理 显式欧拉方法的局部截断误差为 O(h 2 ), 它为一阶方法 证明 由泰勒公式可知 y(x n+1 ) = y(x n + h) = y(x n ) + hy (x n ) + h2 2! y (x n ) + O(h 3 ) 而对于显式欧拉公式, = y(x n ) + hf(x n, y n ) + h2 2! y (x n ) + O(h 3 ) y n+1 = y n + hf(x n, y n ) = y(x n ) + hf(x n, y n ),
37 定理 显式欧拉方法的局部截断误差为 O(h 2 ), 它为一阶方法 证明 由泰勒公式可知 y(x n+1 ) = y(x n + h) = y(x n ) + hy (x n ) + h2 2! y (x n ) + O(h 3 ) 而对于显式欧拉公式, = y(x n ) + hf(x n, y n ) + h2 2! y (x n ) + O(h 3 ) y n+1 = y n + hf(x n, y n ) = y(x n ) + hf(x n, y n ), 于是, 局部截断误差为 y(x n+1 ) y n+1 = h2 2! y (x n ) + O(h 3 ) = O(h 2 ) 19
38 定理 梯形公式为二阶方法 20
39 定理 梯形公式为二阶方法 证明 由梯形求积公式的误差知 R T (f) h3 12 max y (x) 再由 和 可知 y(x n+1 ) y(x n ) = xn+1 x n f(x, y) dx y n+1 y n = h 2 [f(x n, y n ) + f(x n+1, y n+1 )] y(x n+1 ) y n+1 = R T (f) = O(h 3 ), 从而梯形公式为二阶方法 20
40 定理 预估 - 校正公式为二阶方法 21
41 定理预估 - 校正公式为二阶方法 证明预估 - 校正公式可改写为 y n+1 = y n + h 2 (k 1 + k 2 ) { k1 = f(x n, y n ), k 2 = f(x n + h, y n + k 1 ).
42 定理预估 - 校正公式为二阶方法 证明预估 - 校正公式可改写为 y n+1 = y n + h 2 (k 1 + k 2 ) { k1 = f(x n, y n ), k 2 = f(x n + h, y n + k 1 ). 在 y n = y(x n ) 的前提下, k 1 = f(x n, y n ) = y (x n ), k 2 = f(x n + h, y(x n ) + k 1 ) = f(x n, y(x n )) + hf x (x n, y(x n )) + k 1 f y (x n, y(x n )) + O(h 2 ) = f(x n, y(x n )) + h[f x (x n, y(x n )) + f(x n, y(x n ))f y (x n, y(x n ))] + O(h 2 ) = y (x n ) + hy (x n ) + O(h 2 ) 21
43 证明 ( 续 ) : 将 k 1, k 2 代入原方程得, y n+1 = y n + hy (x n ) h2 y (x n ) + O(h 3 ) 与泰勒公式比较, 其截断误差为 y(x n+1 ) y n+1 = h3 3! y (x n ) + 22
44 龙格 - 库塔方法 (Runge-Kutta method)
45 龙格 - 库塔方法 (Runge-Kutta method) 龙格 - 库塔方法的基本思想
46 龙格 - 库塔方法的基本思想 考察差商 由方程 得 y(x n+1 ) y(x n ), 由微分中值定理, 存在 ξ, 使得 h y(x n+1 ) y(x n ) h = y (ξ), ξ (x n, x n+1 ). y = f(x, y(x)) y(x n+1 ) = y(x n ) + hf(ξ, y(ξ)), 称 k = f(ξ, y(ξ)) 为 [x n, x n+1 ] 的平均斜率 23
47 龙格 - 库塔方法的基本思想 只要对平均斜率提供一种近似算法, 便相应导出一种计算格式 24
48 龙格 - 库塔方法的基本思想 只要对平均斜率提供一种近似算法, 便相应导出一种计算格式 1 显式欧拉公式 以 k 1 = f(x n, y n ) 作为 k 的近似 24
49 龙格 - 库塔方法的基本思想 只要对平均斜率提供一种近似算法, 便相应导出一种计算格式 1 显式欧拉公式以 k 1 = f(x n, y n ) 作为 k 的近似 2 欧拉预估 - 校正公式以 x n 与 x n+1 两个点的斜率值 k 1 和 k 2 取算术平均作为 k 的近似 24
50 龙格 - 库塔方法的基本思想 龙格 - 库塔方法的基本思想 设法在 [x n, x n+1 ] 内多预报几个点的斜率值, 然后将它们加权平均作为 k 的近似, 则有可能构造出更高精度的计算格式 25
51 龙格 - 库塔方法 (Runge-Kutta method) 二阶龙格 - 库塔方法
52 二阶龙格 - 库塔方法 推广欧拉预估 - 校正方法, 考察 [x n, x n+1 ] 内任一点 x n+p = x n + ph, 0 < p 1 用 x n 与 x n+p 两个点的斜率值 k 1 和 k 2 加权平均得到平均斜率 k 即令 y n+1 = y n + h[(1 λ)k 1 + λk 2 ], λ 待定 26
53 二阶龙格 - 库塔方法 类似于欧拉预估 - 校正, 取 k 1 = f(x n, y n ), y n+p = y n + phk 1, k 2 = f(x n+p, y n+p ) 便得如下格式 y n+1 = y n + h[(1 λ)k 1 + λk 2 ], k 1 = f(x n, y n ), k 2 = f(x n + ph, y n + phk 1 ) (8) 27
54 二阶龙格 - 库塔方法 类似于欧拉预估 - 校正, 取 k 1 = f(x n, y n ), y n+p = y n + phk 1, k 2 = f(x n+p, y n+p ) 便得如下格式 y n+1 = y n + h[(1 λ)k 1 + λk 2 ], k 1 = f(x n, y n ), k 2 = f(x n + ph, y n + phk 1 ) (8) 希望适当选取 λ, p, 使上述格式具有更高精度 27
55 二阶龙格 - 库塔方法 设 y n = y(x n ), 分别将 k 1 和 k 2 泰勒展开, k 1 = f(x n, y n ) = hy (x n ), k 2 = f(x n + ph, y(x n ) + phk 1 ) = f(x n, y(x n )) + phf x (x n, y(x n )) + phk 1 f y (x n, y(x n )) + O(h 2 ) = f(x n, y(x n )) + ph[f x (x n, y(x n )) + f(x n, y(x n ))f y (x n, y(x n ))] + O(h 2 ) = y (x n ) + phy (x n ) + O(h 2 ) 代入计算格式 (8) 得 与泰勒公式 y n+1 = y(x n ) + hy (x n ) + λph 2 y (x n ) + O(h 3 ) y(x n+1 ) = y(x n ) + hy (x n ) + h2 2! y (x n ) + O(h 3 ) 要使计算格式具有二阶精度, 须使 λp =
56 二阶龙格 - 库塔方法 把满足 λp = 1 2 的公式 (8) 统称为二阶龙格 - 库塔公式 29
57 二阶龙格 - 库塔方法 把满足 λp = 1 2 的公式 (8) 统称为二阶龙格 - 库塔公式 1 当 p = 1, λ = 1 2 时,(8) 就是欧拉预估 - 校正公式 29
58 二阶龙格 - 库塔方法 把满足 λp = 1 2 的公式 (8) 统称为二阶龙格 - 库塔公式 1 当 p = 1, λ = 1 2 时,(8) 就是欧拉预估 - 校正公式 2 当 p = 1 2, λ = 1 时,(8) 称为中点公式, 即 y n+1 = y n + hk 2, k 1 = f(x n, y n ), k 2 = f(x n + h 2, y n + h 2 k 1). 该公式可看作是用中点斜率值 k 2 作为平均斜率 k 的近似, 具有二阶精度 29
59 二阶龙格 - 库塔方法 把满足 λp = 1 2 的公式 (8) 统称为二阶龙格 - 库塔公式 1 当 p = 1, λ = 1 2 时,(8) 就是欧拉预估 - 校正公式 2 当 p = 1 2, λ = 1 时,(8) 称为中点公式, 即 y n+1 = y n + hk 2, k 1 = f(x n, y n ), k 2 = f(x n + h 2, y n + h 2 k 1). 该公式可看作是用中点斜率值 k 2 作为平均斜率 k 的近似, 具有二阶精度 3 取 p = 3 4, λ = 2 3,(8) 称为休恩 (Heun) 公式, 即 y n+1 = y n + h 4 (k 1 + 3k 2 ), k 1 = f(x n, y n ), k 2 = f(x n h, y n hk 29 1).
60 龙格 - 库塔方法 (Runge-Kutta method) 高阶 R-K 公式
61 高阶 R-K 公式 一般地,N 阶显式 R-K 公式可表示为 k 1 = f(x n, y n ), N y n+1 = y n +h c i k i, i 1 i=1 k i = f(x n + a i h, y n + h b ij k j ), i = 2, 3,, N, 其中 a i 与 b ij 满足关系式 i 1 a i = b ij, i = 2, 3,, N. j=1 j=1 30
62 高阶 R-K 公式 仿照前述方法可推导出 : 三阶 R-K 方法的系数应该满足 c 1 + c 2 + c 3 = 1, c 2 a 2 + c 3 a 3 = 1 2, c 2 a c 3a 2 3 = 1 3, c 3 a 2 b 32 = 1 6, a 2 = b 21, a 3 = b 31 + b 32 31
63 高阶 R-K 公式 常用的三阶 R-K 公式为 Heun 三阶公式 y n+1 = y n + h 4 (k 1 + 3k 3 ), k 1 = f(x n, y n ), ( k 2 = f x n + h 3, y n + h ) 3 k 1, (9) k 3 = f(x n h, y n hk 2) Kutta 三阶公式 y n+1 = y n + h 6 (k 1 + 4k 2 + k 3 ), k 1 = f(x n, y n ), ( k 2 = f x n + h 2, y n + h ) 2 k 1, k 3 = f(x n + h, y n + h( k 1 + 2k 2 )) (10) 32
64 高阶 R-K 公式 经典的四阶 R-K 公式为 y n+1 = y n + h 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ), k 1 = f(x n, y n ), ( k 2 = f x n + h 2, y n + h ) 2 k 1, ( k 3 = f x n + h 2, y n + h ) 2 k 2, k 4 = f(x n + h, y n + hk 3 ) (11) 33
65 高阶 R-K 公式 例 用经典四阶 R-K 公式求解初值问题 y = y 2x y, y(0) = 1 在 [0, 1] 上的数值解 ( 取 h = 0.2) 34
66 高阶 R-K 公式 解 k 1 = y n 2x n y n, k 2 = y n + 0.1k 1 2(x n + 0.1) y n + 0.1k 1, k 3 = y n + 0.1k 2 2(x n + 0.1) y n + 0.1k 2, k 4 = y n + 0.2k 3 2(x n + 0.2) y n + 0.2k 3, y n+1 = y n (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ), 35
67 高阶 R-K 公式 表 2: 计算结果 x n y n y(x n )
68 高阶 R-K 公式 y x 图 2: Numerical Results
69 高阶 R-K 公式 y x 图 2: Numerical Results 37
第七章 数值计算方法 常微分方程的数值解法 张晓平 November 21, 2013 张晓平 () 数值计算方法 November 21, / 42
第七章 数值计算方法 常微分方程的数值解法 张晓平 November 21, 2013 张晓平 () 数值计算方法 November 21, 2013 1 / 42 目录 1 7.0 简介 2 7.1 欧拉方法 7.1 欧拉公式 7.1.2 欧拉预估 - 校正方法 7.1.3 欧拉方法的误差估计 3 7.2 龙格 - 库塔 (Runge-Kutta) 方法 7.2.1 龙格 - 库塔方法的基本思想
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第九章常微分方程数值解法 Euler 方法 Ruge-Kutta 法 3 单步法的绝对稳定性 4 线性多步法 5 一阶方程组与高阶方程的初值问题 -- 常微分方程数值解法 必要性在工程和科学技术的实际问题中, 常需要求解微分方程 只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解, 而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解 y xy 如微分方程初值问题 y(0 0, 其解析解 ( 精确解 为 : x t y(
ode45() 及其 参考文献
ode45() 及其 姚仰新, 王福昌, 罗家洪, 庄楚强 华南理工大学出版社出版 2016 年 10 月 20 日 ode45() 及其 1 2 3 4 5 6 参考文献 对于一阶常微分方程的初值问题 dy = f[x, y(x)], x [a, b], dx (10.1) y(a) = y 0 根据常微分方程理论可知, 当函数 f(x, y) C([a, b] R) 且满足经典 Lipschitz
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常微分方程 浙江大学控制学院 06/6/9 数值计算方法 本章内容 概述 初值问题的数值解法 欧拉 (Euler 法 龙格 - 库塔 (Runge-Kutta g 法 微分方程组和高阶微分方程 多步法 边值问题 打靶法 差分法 06/6/9 数值计算方法 边值问题与边值问题 降落伞问题 dv dt 初始条件 t=0,v=0 解析解 cv gm ( c/ m t g vt ( e m c 含有未知函数及其导数的方程
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08-09 年度第一学期 0050 00503 计算方法 (B) 童伟华管理科研楼 05 室 E-mal: tongw@ustc.edu.cn 中国科学技术大学数学科学学院 ttp://mat.ustc.edu.cn/ 第八章常微分方程数值解 微分方程数值解 在科学研究或工程领域中, 有许多数学模型都是通过微分方程来描述的, 求解微分方程是非常重要的 关键的问题 微分方程按自变量的个数可分为 : 常微分方程
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第十五章 常微分方程的解法 建立微分方程只是解决问题的第一步 通常需要求出方程的解来说明实际现象 并加以检验 如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的 但是我们知道 只有线性常系数微分方程 并且自由项是某些特殊类型的函数时 才可以肯定得到这样的解 而绝大多数变系数方程 非线性方程都是所谓 解不出来 的 即使看起来非常简单的 d 方程如 于是对于用微分方程解决实际问题来说 数值解法就是一个十 d
吉林大学学报 工学版 ２４４ 第 ４ 卷 复杂 鉴于本文篇幅所限 具体公式可详见参考文 献 ７ 每帧的动力学方程建立及其解算方法如图 ３ 所示 图４ 滚转角速度与输入量 η 随时间的变化波形 Ｆｉｇ ４ Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ｒａｔｅ ａｎｄ ｉｎｐｕｔ η ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ ｃｈａｎｇｉｎｇ 图５ Ｆｉｇ ５ 滚转角随时间的变化波形 Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ａｎｇｌｅ ｗｉｔｈ
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第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /
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7-8 年度第一学期 5 5 计算方法 (B) 童伟华管理科研楼 5 室 E-mil: togwh@ustc.edu.c 中国科学技术大学数学科学学院 http://mth.ustc.edu.c/ 第三章数值微分和数值积分 数值微分 函数 f( x) 未知或非常复杂的情形下, 如何求导数? 导数的逼近 : 差商 f '( x) lim h lim h lim h 截断误差 步长的选取 f( x+ h)
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
对两边积分, 得到原方程的解为 : 其中 c 为任意常数. dy dy = y dt y = dt, y(t) = c e t, 从例 8.1 看出, 仅根据常微分方程一般无法得到唯一的解. 要确定唯一解, 还需在一些 自变量点上给出未知函数的值, 称为边界条件. 一种边界条件设置方法是给出 t =
第八章常微分方程初值问题的解法 在科学与工程问题中, 常微分方程描述物理量的变化规律, 应用非常广泛. 本章介绍最基本的常微分方程初值问题的解法, 主要针对单个常微分方程, 也讨论常微分方程组的有关技术. 8.1 引言 行分析. 本节介绍常微分方程 以及初值问题的基本概念, 并对常微分方程初值问题的敏感性进 8.1.1 问题分类与可解性 很多科学与工程问题在数学上都用微分方程来描述, 比如, 天体运动的轨迹
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西华大学应用数学系朱雯 微分方程 习题课 解题方法流程图 求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程 齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量 通解为 Pd Pd y
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第十五章 常微分方程的解法 建立微分方程只是解决问题的第一步 通常需要求出方程的解来说明实际现象 并加以检验 如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的 但是我们知道 只有线性常系数微分方程 并且自由项是某些特殊类型的函数时 才可以得到这样的解 而绝大多数变系数方程 非线性方程都是所谓 解不出来 的 即使看起来非常简单的方程 d 如 于是对于用微分方程解决实际问题来说 数值解法就是一个十分重 d
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66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
高等数值算法与应用
- 常微分方程 (chap7) - 喻文健 ODE 初值问题 单步法 (Runger-Kutta 法 ) BS23 算法及实例 洛伦兹吸引子 刚性问题 事件 2 ODE 初值问题与解法 ( 电路仿真 ) 一阶常微分方程组 ( 二体问题 ) ODE 初值问题的稳定性分析 3 Initial Value Problem (IVP) 常微分方程需求解随时间变化的物理量, 即未知函数 y(t) 已知条件包括
绪论
第 7 章 常微分方程的数值解法 考虑常微分方程的初值问题 或与其等价的积分方程 ' f ( t,, ( a a a t t ( f( τ, ( τdτ t b (6- (6- 若 t [ a, b] f ( t, 满足 Lipscitz 条件, 即存在常数, 均有 f ( t, f ( t, L L, 对任意 则 (6- 的解存在且唯一 首先我们利用数值积分公式建立求解 (6- 或 (6- 的数值方法
第六章 一阶偏微分方程
第六章一阶偏微分方程 主讲人 : 刘兴波 6. 微分方程组的首次积分 对于非线性微分方程组 d d d d d d f (,,, f(,,,,, 6. f (,,, 它没有一般的求解方法. 本节介绍一种所谓的首次积分方法, 它不仅在某些情况下能有效地求解方程组 (6., 而且它与求 解一阶偏微分方程密切相关. 一 概念的引入 6. 求解方程组 d d dy d 解 : 将方程组中的两式相加得 d(
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数值微分和数值积分 浙江大学控制系 05/6/3 数值计算方法 微分和积分 (Differetiate ad Itegrate y x dy dx I f ( x x f ( x lim x 0 b a i f ( x dx x f ( x x f ( x i x i i 05/6/3 数值计算方法 微分和积分 Newto-Leibiz 公式 b a f ( x dx F( b F( a 05/6/3
河北工程大学教师授课教案 (1) 授课内容第一章绪论授课学时 2 学时 教学目的和要求 1. 掌握误差的来源及基本概念 ;2. 掌握有效数字的概念 ; 3. 掌握分析误差传播的方法 ; 4. 了解数值计算的原则 1. 误差的来源与分类 ;2. 误差的概念 ;3. 有效数字的概念 舍入误差和有效数字的
数值分析 教案 数理科学与工程学院 应用数学系 1 河北工程大学教师授课教案 (1) 授课内容第一章绪论授课学时 2 学时 教学目的和要求 1. 掌握误差的来源及基本概念 ;2. 掌握有效数字的概念 ; 3. 掌握分析误差传播的方法 ; 4. 了解数值计算的原则 1. 误差的来源与分类 ;2. 误差的概念 ;3. 有效数字的概念 舍入误差和有效数字的概念 讲授法 讨论法 练习法 1 导入部分(10
特 别 提 示 一 依 据 中 华 人 们 共 和 国 证 券 法 ( 以 下 简 称 证 券 法 ) 上 市 公 司 收 购 管 理 办 法 ( 以 下 简 称 收 购 办 法 ) 公 开 发 行 证 券 的 公 司 信 息 披 露 内 容 与 格 式 准 则 第 15 号 权 益 变 动 报 告
股 票 代 码 :600221 900945 证 券 简 称 : 海 南 航 空 海 航 B 股 编 号 :2015-086 海 南 航 空 股 份 有 限 公 司 简 式 权 益 变 动 报 告 书 上 市 公 司 : 海 南 航 空 股 份 有 限 公 司 上 市 地 点 : 上 海 证 券 交 易 所 股 票 简 称 : 海 南 航 空 海 航 B 股 股 票 代 码 :600221 900945
HK 08/ HK 09/ HK 03/ HK 01/ HK 05/ HK 05/ HK 05/
5000556662HK 01/2018 5000696111HK 05/2018 5001108967HK 08/2018 5001127963HK 04/2018 5001354824HK 04/2018 5001368747HK 05/2018 5001473096HK 05/2018 5001479618HK 03/2018 5001537321HK 09/2018 5001665260HK
HK 05/ HK 08/ HK 11/ HK 03/ HK 09/ HK 03/ HK 09/
1000309838HK 10/2018 1000797215HK 03/2018 1000805752HK 08/2018 1000961690HK 09/2018 1000987997HK 08/2018 1001274947HK 04/2018 1001556893HK 08/2018 1001716184HK 09/2018 1001840861HK 06/2018 1001901465HK
HK 11/ HK 01/ HK 07/ HK 07/ HK 08/ HK 03/ HK 11/
6000116829HK 04/2018 6000135299HK 11/2018 6000170250HK 03/2018 6000342410HK 09/2018 6000404030HK 04/2018 6000601173HK 10/2018 6001130359HK 01/2018 6001233777HK 07/2018 6001354952HK 10/2018 6001396936HK
第一章 前言
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 1 2 3 110 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 111 1 2 3 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 () () 124 125 126
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对于函数 f ( x) 在区间 [, b] 上的定积分 b I( f ) f ( x) dx (4-) 若能求得 f ( x) 的原函数 F( x), 即 F( x) f ( x) 则由 Newto - Leibitz 公式 b I( f ) F( x) F( b) F( ) 但由于实际情况中, f( x) 的原函数很难求出, 因此, 只能计算定积分的近似值. 数值积分 考虑用函数 f( x) 在一些数据点处的值的适当组合,
授 课 主 要 内 容 回 顾 与 说 明 1 文 案 调 查 的 题 方 法 2 文 案 调 查 体 系 的 建 立 第 二 单 元 授 课 内 容 与 方 法 授 课 方 法 与 时 间 分 配 说 明 3 分 钟 第 三 章 市 场 调 查 方 法 选 择 第 二 节 实 地 调 查 法 学
第 二 单 元 授 课 计 划 章 节 教 学 目 的 要 求 第 三 章 市 场 调 查 方 法 选 择 第 二 节 实 地 调 查 法 掌 握 访 问 询 问 的 几 种 方 法, 观 察 法 的 技 术 和 实 验 法 调 查 方 案 的 设 计 教 学 重 点 难 点 教 学 重 点 : 1 访 问 询 问 的 几 种 方 法 2 观 察 法 的 特 点 和 主 要 内 容 3 实 验 法
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1.?,,,,,,,,,,,,,,,, ;,,,,,, 1 , ( ),, :,,,,,,,,,,, 2.?, 2 ,,,,,, (),, ;,,,,,,,, (1) : ; ; ; ;, (2) ( ),,, ( ),,, 3 , : 3.? (1),,,,,,, (2),, ;, ;,, (3),,, (4),, (5),,,,, 4 4.?,, (1),,,,,,, (2),,,,,,,,,,,,,,,
2005-11
2005-11 看 不 见 的 星 球 告 诉 我 一 些 迷 人 的 星 球 吧, 我 不 喜 欢 残 酷 和 恶 心 的 场 面 你 说 好 吧, 我 笑 着 点 点 头, 当 然, 没 问 题 希 希 拉 加 希 希 拉 加 是 一 个 迷 人 的 星 球, 鲜 花 和 湖 泊 让 所 有 旅 人 过 目 不 忘 在 希 希 拉 加, 你 见 不 到 一 寸 裸 露 的 土 壤, 每 一 块
1984 1295 43 500 700 2 3 65 50 10 1 3 5 5 10 1757 150 100 1950 100 60 1953 1968 118 05 142 45 1976 601 2 523 8 1968 4 20 1983 513 6 56 96 36
16 11 6 9 1920 900 31 350 60 3 5 36 150 50 60 2000 1000 1974 8200 1978 25000 1983 2097 7 35 1984 1295 43 500 700 2 3 65 50 10 1 3 5 5 10 1757 150 100 1950 100 60 1953 1968 118 05 142 45 1976 601 2 523
除外責任修正條文對照.doc
宏 泰 人 壽 住 院 醫 療 保 險 附 約 除 外 責 任 本 次 送 審 條 文 前 次 送 審 條 文 說 明 第 十 一 條 : 被 保 險 人 因 下 列 原 因 所 致 之 疾 病 或 傷 害 而 住 院 診 療 者, 本 公 司 不 負 給 付 該 被 保 險 人 各 項 保 險 金 的 責 任 一 被 保 險 人 之 故 意 行 為 ( 包 括 自 殺 及 自 殺 未 遂 ) 二
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卫生监督信息2(12).FIT)
目 录 惠 州 监 督 信 息 匀 哉 陨 在 匀 韵 哉 陨 晕 云 韵 砸 酝 粤 栽 陨 韵 晕 韵 云 匀 耘 粤 蕴 栽 匀 陨 晕 杂 孕 耘 悦 栽 陨 晕 本 刊 专 稿 我 所 召 开 野 三 打 冶 工 作 推 进 会 专 题 专 栏 渊 1 冤 圆 园 员 2 年 第 2 期 渊 总 第 猿 7 期 冤 三 打 两 建 惠 州 卫 监 人 在 行 动 渊 2 冤 野 三 德 冶
Microsoft Word - P085003
1 編 P08500 文 85.0. 字 8501695 文 台 政 華 月 日 85 字 8501695 主 旨 圖 事 項 詳 圖 長 扁 2 書 台 書 壹 詳 圖 貳 令 依 據 台 條 條 詳 細 緣 起 速 推 展 落 私 投 資 事 業 依 台 並 考 慮 台 行 政 轄 展 時 先 後 衰 敗 程 研 針 對 萬 華 同 正 研 並 將 申 擬 自 受 述 行 政 限 併 檢 討 就
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
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06 2014 年 总 第 143 期 上 海 市 孙 中 山 宋 庆 龄 文 物 管 理 委 员 会 上 海 宋 庆 龄 研 究 会 主 办 图 片 新 闻 11 月 12 日, 上 海 各 界 人 士 纪 念 孙 中 山 诞 辰 148 周 年 活 动 在 孙 中 山 故 居 举 行 ( 摄 影 : 王 云 华 ) 11 月 11 日, 上 海 孙 中 山 故 居 纪 念 馆 举 办 的 故 居
上图专刊2006-3AAA.doc
特 讯 目 录 CONTENTS 2 蒋 以 任 赴 上 海 图 书 馆 作 专 题 报 告 ( 刊 文 汇 报 2006 年 2 月 25 日 记 者 陈 毅 然 ) 2 讲 座 文 化 : 城 市 新 磁 场 ( 刊 人 民 日 报 2006 年 2 月 14 日 记 者 叶 薇 ) 4 春 天, 你 好 2006 年 春 海 上 心 声 诗 歌 朗 诵 会 在 上 图 举 行 ( 金 谷 )
衡山靈學創始人 超越時代的靈學明師 許衡山 老師 許衡山老師 出生於西元 1942 年 於 1980 年代啟發先天眼竅 自證其道 了悟真理 許 老師首先發現 人人皆可開發出第三眼能力與靈性能量 並藉由系統化的研究 將種種 生命現象與宇宙真理做深入淺出的剖析 並為生命的最終意義指出一條明路 現代文明昌
如果你是個 追尋者 看完這本靈學寶典之後 相信你一定有一種感受 一種 來自內在深處的玄妙悸動 原來 原來就是這本書 原來這就是你窮極一生不斷 在追尋的靈性寶典 我是誰?我來自何方?為何我會在這裡?存在是什麼?我的生命又有何意義?這 是自古以來所有的哲學家都問過的問題 也是願意走向內在探索的所有人 都曾 經問過的問題 若你也曾有這樣的追尋與慨歎 恭喜你 你不但是個靈性的追尋者 還有著大多 數人所沒有的一顆柔軟心
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[ 目 录 ] CONTENTS 2013 年 12 月 聚 焦 十 八 届 三 中 全 会 学 习 园 地 重 要 文 件 中 国 共 产 党 第 十 八 届 中 央 委 员 会 第 三 次 全 体 会 议 公 报 1 中 共 中 央 关 于 全 面 深 化 改 革 若 干 重 大 问 题 的 决 定 5 关 于 中 共 中 央 关 于 全 面 深 化 改 革 若 干 重 大 问 题 的 决 定
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礼 山 大 兴 慢 城 讲 故 事 CONTENTS 01 礼 山 大 兴 慢 城 慢 手 织 就 的 日 常 幸 福 1 02 兄 弟 情 公 园 与 情 深 义 重 两 兄 弟 的 仿 建 故 居 走 进 情 深 义 重 两 兄 弟 的 故 事 2 03 兄 弟 情 集 市 与 传 统 大 兴 5 日 集 人 情 味 十 足 的 乡 村 集 市 3 04 碑 石 街 通 过 碑 石 展 开 的
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Contents 2 3 01 6 7 8 9 02 10 11 03 12 13 04 14 15 05 16 17 06 18 19 07 20 21 08 22 23 09 24 25 10 26 27 28 29 11 30 31 32 12 33 12 34 13 35 36 37 14 38 39 40 41 15 42 43 16 44 45 17 46 47 18 48 49 19
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数值微分和数值积分 徐祖华 浙江大学控制学院 6/6/3 数值计算方法 微分和积分 y i i dy i i lim d 6/6/3 数值计算方法 微分和积分 I b d Newto-Leibiz 公式 b d F b F 6/6/3 数值计算方法 3 微分和积分 数值微分和数值积分的必要性 的结构复杂, 求导和积分非常困难 ; 的精确表达式不知道, 只有一张由实验提 供的函数表 ; 对于这些情况,
lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x),
2016 11 14 1 15 lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x), 0 0. 2 15 1 f(x) g(x) (1). lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0; (2). a g (x) f (x) (3). lim ( ). x a g (x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). 3 15
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中值定理题型 题型一 : 中值定理中关于 θ 的问题 例题 设 rt C[ ] θ 求 limθ 解答 由 θ 得 rt rt θ 解得 θ rt rt rt lim θ lim lim lim rt 于是 lim θ 例题 设 二阶连续可导 且 又 h θh h < θ < 证明 : lim θ h 解答 由泰勒公式得 h h h! 其中 位于 与 h 之间 于是 θh h h h! 或 θh θh
第四章 １０２ 图 ４唱１６ 基于图像渲染的理论基础 三张拍摄图像以及它们投影到球面上生成的球面图像 拼图的圆心是相同的 而拼图是由球面图像上的弧线图像组成的 因此我 们称之为同心球拼图 如图 ４唱１８ 所示 这些拼图中半径最大的是圆 Ｃｋ 最小的是圆 Ｃ０ 设圆 Ｃｋ 的半径为 ｒ 虚拟相机水平视域为 θ 有 ｒ Ｒ ｓｉｎ θ ２ ４畅１１ 由此可见 构造同心球拼图的过程实际上就是对投影图像中的弧线图像
2006..,1..,2.,.,2..,3..,3 22..,4..,4 :..,5..,5 :..,5..,6..,6..,8..,10 :..,12..,1..,6..,6..,2 1907..,5,:..,1 :..,1 :..,1 :..,2..,2..,3 :..,1 :..,1..,1.
2006 2005..,5..,2 20 20..,2..,3..,3..,3..,3..,3..,5..,5 :..,8 1861 :..,11..,12 2005..,2..,1..,2..,1..,4..,6..,6 :..,10..,4..,4..,5..,1 :..,4..,6..,3..,4 1910..,5 :1930..,1..,4..,2 :..,2..,2..,1 19.., 1..,1..,1..,3..,3
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控制系统仿真 连续系统的离散化 主要内容 引言 数值分析方法 常用的数值分析方法 离散相似法离散连续系统 9/3/ 控制系统仿真 主要内容 引言 解析解与数值解常微分方程初值问题和边值问题线性常微分方程组的稳定性病态微分方程组数值解的稳定性数值计算中误差的来源 数值分析方法 常用的数值分析方法 离散相似法离散连续系统 9/3/ 控制系统仿真 3 解析解与数值解 最常见的一类描述系统模型的方法是微分方程,
作者 : 闫浩 (4 年 月 ) 将这个解代入原方程得到于是原方程的通解为 A 9 a ( c cos a c sin a) c 9 a ) c cos c sin 4) 求 '' ' 的通解 解 : 二阶线性变系数齐次 观察出 u '' u' 设 u( ) 代入方程 得 u' 二阶可降阶 解出 通
作者 : 闫浩 (4 年 月 ) 微积分 B() 第七次习题课答案 ( 第十六周 ). 求下列方程的通解 : ) 求微分方程 cos 的通解. 解题思路 : 在用比较系数法求该方程的特解时 注意此方程右端是两个函数 和 cos 之和 所以需要分别求出方程 程的一个特解. 的特解 和 解 : 首先求出对应的齐次方程的通解 : 然后用比较系数法求非齐次方程 程具有形如 cos 的特解. 然后得到原方 c
2003 3,,, (1932 ; ) 20 30,,,,,,,,, ( ),,,,,,,,,,,,,, 52
Ξ,,, :, (1928 1931) (1931 1937) (1937 1945),,,,,,,,,,,,,,,, Ξ:(1931 1945) (01JA770055) 51 2003 3,,, 1927 4 (1932 ;1937 11 1946 5 ) 20 30,,,,,,,,, (1931 1945),,,,,,,,,,,,,, 52 , ( : ),,, 1927 4,,, (1928
110 微分方程的数值解法与程序实现 双曲型偏微分方程是对波动和振动现象进行描述的一种微分方程, 常常涉及到更为复杂的情况, 如激波 粘性等, 它在海洋 气象等许多流体力学的实际问题中都有重要应用. 由于双曲型方程本身描述的是一种波动或振动现象, 需要体现波的传播性质, 而且方程的解对于初值具有局部
微分方程的数值解法与程序实现 双曲型偏微分方程是对波动和振动现象进行描述的一种微分方程, 常常涉及到更为复杂的情况, 如激波 粘性等, 它在海洋 气象等许多流体力学的实际问题中都有重要应用. 由于双曲型方程本身描述的是一种波动或振动现象, 需要体现波的传播性质, 而且方程的解对于初值具有局部依赖性, 这些特征都是抛物型方程所没有的. 本章仅对较为简单的双曲型方程进行讨论, 让读者对这一类方程的特性有所了解,
《分析化学辞典》_数据处理条目_1.DOC
3 4 5 6 7 χ χ m.303 B = f log f log C = m f = = m = f m C = + 3( m ) f = f f = m = f f = n n m B χ α χ α,( m ) H µ σ H 0 µ = µ H σ = 0 σ H µ µ H σ σ α H0 H α 0 H0 H0 H H 0 H 0 8 = σ σ σ = ( n ) σ n σ /
Remark：随机变量不只离散和连续两种类型
Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a :
第 卷第 期 年 月 杭州师范大学学报 自然科学版!"# "$%% &'" $((& ) 31-,- 方程的多辛 " &&!! 格式 王俊杰 王连堂 杨宽德 普洱学院数学系 云南普洱 西北大学数学系 陕西西安 摘 要?4 3!3 方程作为一类重要的非线性方程有着许多广泛的应用前景 基于 :#"$7&
第 卷第 期 年 月 杭州师范大学学报 自然科学版!"#"$%% &" $& 3-- 方程的多辛 "&&!! 格式 王俊杰 王连堂 杨宽德 普洱学院数学系 云南普洱 西北大学数学系 陕西西安 摘 要 43!3 方程作为一类重要的非线性方程有着许多广泛的应用前景 基于 :#"$& 空间体系的多辛理论研究了 43!3 方程的数值解法 讨论了利用 $"#&& 方法构造离散多辛格式的途径 并构造了一种典型的半隐式的多辛格式
矩阵论 第三章：矩阵分析
矩阵论 第三章 : 矩阵分析 马锦华 数据科学与计算机学院 中山大学 第三章 : 矩阵分析 3.1 矩阵序列 3.2 矩阵级数 3.3 矩阵函数 3.4 矩阵的微分与积分 3.5 矩阵分析应用举例 2 矩阵序列 定义 3.1: 设有中的矩阵序列 其中 若 m n C lim a a i 1, 2,, m; j 1, 2,, n, ij ij, 收敛于 记为 或 a ij mn 不收敛的矩阵序列称为发散.,
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1 2 3 4 5 6 7 08 11 19 26 31 35 38 47 52 59 64 67 73 10 18 29 76 77 78 79 81 84 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
1.
1. 1. 2. 1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Excel Excel chance chance 1. 1. 2. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 6824 7709 3937 3289 9545
8.7 MATLAB 中的常用积分命令 MATLAB 中的常用积分命令 8 参考文献
高等工程数学 ( 第三版 ) 姚仰新, 王福昌, 罗家洪, 庄楚强华南理工大学出版社出版 2016 年 6 月 20 日 8.7 MATLAB 中的常用积分命令 8.7 MATLAB 中的常用积分命令 1 2 3 4 5 6 7 8.7 MATLAB 中的常用积分命令 8 参考文献 对于积分 I = b 然有 Newton-Leibniz 公式 a f(x)dx, 若 f(x) C[a, b], 原函数为
标题
第 37 卷第 期西南大学学报 自然科学版 ) 205 年 月 Vol 37 No JouralofSouthwestUiversity NaturalScieceEditio) Ja 205 DOI:0 378/j cki xdzk 205 0 02 更一般的常系数线性差分微分方程的解 贾秀梅, 李永军 2, 杨继超 河西学院数学与统计学院, 甘肃张掖 734000;2 兰州城市学院数学学院, 兰州
5 551 [3-].. [5]. [6]. [7].. API API. 1 [8-9]. [1]. W = W 1) y). x [11-12] D 2 2πR = 2z E + 2R arcsin D δ R z E = πr 1 + πr ) 2 arcsin
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38 5 216 1 1),2) 163318) 163318). API. TE256 A doi 1.652/1-879-15-298 MODE OF CASING EXTERNA EXTRUSION BASED ON THE PRINCIPE OF VIRTUA WORK 1) ZHAO Wanchun,2) ZENG Jia WANG Tingting FENG Xiaohan School
3 35. f (x), x dy y, lim dx x (fluxion).,, dy dx (differential quotient), (differential coefficient)., dérivée. y = f(x), y/ x (x, y) (x + x, y + y),
2 3 x y = f(x). x, x y, y, x x = x, y x = y y x x y x x. y y = y. x, x, y lim x 0 x, y = f(x) x, dy dx., x, y. h x, dy dx = lim h 0 f(x + h) f(x). h, y = f(x) x. f(x) x, f(x)., dy dx x, f(x), f (x). dy
第五章 导数和微分
第五章导数和微分 一 学习要求 : 正确理解微商的概念 ; 知道微商的几何意义与物理意义 ; 3 掌握可导与连续的关系 ; 4 牢固掌握求导的四则运算公式 复合函数求导的法则和反函数求导的法则, 能迅速正确地求初等函数的导数 ; 5 熟悉基本初等函数的求导公式 ; 6 掌握隐函数的求导法, 对数求导法, 由参数方程确定的函数的求导法 ; 7 正确理解微分概念 ; 8 了解可微与可导的关系, 知道导数与微分的区别与联系
f()d p()d, 其中多项式函数的积分很容易通过牛顿 - 莱布尼兹公式求出. 假设使用拉格朗日插值法构造 p(), 区间 [, ] 内的插值节点为,,,, 则 p() = L () = f( k )l k (), l k () 为拉格朗日插值基函数. 由此得到求积公式为 : I (f) = f(
![f()d p()d, 其中多项式函数的积分很容易通过牛顿 - 莱布尼兹公式求出. 假设使用拉格朗日插值法构造 p(), 区间 [, ] 内的插值节点为,,,, 则 p() = L () = f( k )l k (), l k () 为拉格朗日插值基函数. 由此得到求积公式为 : I (f) = f(](/thumbs/91/105953692.jpg "f()d p()d, 其中多项式函数的积分很容易通过牛顿 - 莱布尼兹公式求出. 假设使用拉格朗日插值法构造 p(), 区间 [, ] 内的插值节点为,,,, 则 p() = L () = f( k )l k (), l k () 为拉格朗日插值基函数. 由此得到求积公式为 : I (f) = f(")
第七章数值积分与数值微分 积分问题最早来自于几何形体的面积 体积计算, 也是经典力学中的重要问题 ( 例如计算物体的重心位置 ). 在现实应用中, 很多积分的结果并不能写成解析表达式, 因此需要通过数值方法来计算. 数值微分是利用一些离散点上的函数值近似计算某一点处的函数导数, 它针对表达式未知的函数. 本章介绍一元函数积分 ( 一重积分 ) 和微分的各种数值算法, 它们也是数值求解积分方程 微分方程的基础.
微 分 方 程 是 经 典 数 学 的 一 个 重 要 分 支, 常 用 来 描 述 随 时 间 变 化 的 动 态 系 统, 被 广 泛 应 用 于 物 理 学 工 程 数 学 和 经 济 学 等 领 域. 实 际 上, 系 统 在 随 时 间 的 变 化 过 程 中, 经 常 会 受 到 一 些
不 确 定 微 分 方 程 研 究 综 述 李 圣 国, 彭 锦 华 中 师 范 大 学 数 统 学 院, 湖 北 4379 黄 冈 师 范 学 院 不 确 定 系 统 研 究 所, 湖 北 438 pengjin1@tsinghua.org.cn 摘 要 : 不 确 定 微 分 方 程 是 关 于 不 确 定 过 程 的 一 类 微 分 方 程, 其 解 也 是 不 确 定 过 程. 本 文 主
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矩阵论 主讲教师 : 徐乐 204 年 2 月 0 日星期三 上讲回顾 第 9 讲矩阵函数的求解 矩阵函数的计算 利用 Jordan 标准形求矩阵函数 矩阵论 2 矩阵函数的计算 Hamilton-Cayley 定理 n 阶矩阵 A 是其特征多项式的零点 即令 则有 零化多项式 n ( ) det( I A) c c c n n 对于多项式 f (z), 若 f (A)=0 则称 f (z) 为 A
常微分方程
第四章常系数线性微分方程 Constant Coefficients Linear ODE 4. 常系数齐次线性微分方程的解法 4.2 常系数非齐次线性微分方程的算子解法 4.3 常系数线性微分方程的其他解法 4.4 Jordan 标准形法与 Sylvester 法 习题 第十一讲 : 4. 常系数齐次线性微分方程的解法 本讲要求. 掌握 Euler 指数函数法 2. 深刻理解齐次方程组对应于不同的特征值
蒙特卡罗方法 (Monte Carlo simulation)
Monte Carlo 模拟 1. 引言 (introduction) 2. 均匀随机数的产生 (Random number generation) 3. 任意分布的随机变量的抽样 4. Monte Carlo 积分法 5. 常用 Monte Carlo 模拟软件的使用 1 Monte Carlo 模拟 第一章引言 (Introduction) 1. Monte Carlo 方法 2. Monte
微积分 授课讲义
2018 10 aiwanjun@sjtu.edu.cn 1201 / 18:00-20:20 213 14:00-17:00 I II Taylor : , n R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) R; x, x y ; δ( ) ; ; ; ; ; ( ) ; ( / ) ; ; Ů(P 1,δ) P 1 U(P 0,δ) P 0 Ω P 1: 1.1 ( ). Ω
koji-13.dvi
26 13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 1 18 1. xy D D = {(x, y) y 2 x 4 y 2,y } x + y2 dxdy D 2 y O 4 x 2. xyz D D = {(x, y, z) x 1, y x 2, z 1, y+ z x} D 3. [, 1] [, 1] (, ) 2 f (1)
世界经典科幻小说全集（第十一卷）
II I... 1... 7...20...36...54...61...66...66...70...73...77...77...80...83...86...94... 119...133...151...159...167...178...191...191...193...194 II...196...197...200...202...202...205...208... 211...214...217...220...228...238...238...241...245...251...254...256...259...261...265...269...271
作者 : 闫浩 4 年 月 / 9 d d. 由结果 可知 积分 d d 与路径无关 从而 d d d d 是某函数的全微分 由此得 a a 由 在 R 上且只有惟一零点 O a a a 考虑到 a d d 利用第 问的结论 可以直接取 : a 代入积分并利用格林公式 注意到椭圆 / / a 的面积
作者 : 闫浩 4 年 月 微积分 B 第六次习题课答案 第十四周. 以下哪些命题要求单连通域?. Pd Qd Q P d 是 的正向边界 B. Pd Qd 为 内任一闭曲线 在 内 Pd Qd 与路径 l 无关. Pd Qd 在 内与路径 l 无关 在 内有 Pd Qd d l 是某个二元函数. Pd Qd d 在 内成立 Q P 在 内成立 向量场 F X i Y j 在域 内有连续的偏导数 是
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! # ! # 第 吕玉 琦 等 人 体 心 脏 的 三 维 超 声 成 像 期 左 心 室边界 轮廓 的 校 正 由于 采 集 幅 图 象时 探 头 位 置 及 角度 稍 有变 化 就 会 导 致 幅 图象 的 心 尖 位置 及 左 心 室 长 轴 位置 在 图象 中 不 重合 因 此 必 须 进 行轮 廓 校 正 校 正 以 第 幅 二 维超 声 心 动 图 为 标 准 对 后 续的 幅 图 象
从定义可以看出它们具有很好的相似性, 就像两个双胞胎来自同一个地方 区别仅在于 : 是用单位圆定义的, 自变量是角度 θ ; 双曲函数是用单位双曲线定义的, 自变量是面积 a 公式定义 : ) 定义 : 正弦 :sin θ = eiθ e iθ i 余弦 :cos θ = eiθ +e iθ 正切
论与双曲函数 信院 3 系解鑫 PB0355 摘要 : 与双曲函数无论从形式上, 还是各种公式上都有极大的相似性 应用时也都 相伴出现 细细对比会发现, 由欧拉公式必然会得出与双曲函数的诸多对应关系 关键字 : 双曲函数 相似性 欧拉公式 正文 :. 定义 : 几何定义 : ) 的定义 : 双曲函数的对比 可以依据直角坐标单位圆来定义, 给定一个角度 θ, 与单位圆交于 (,y) 点, 如右图所示
1. PDE u(x, y, ) PDE F (x, y,, u, u x, u y,, u xx, u xy, ) = 0 (1) F x, y,,uu (solution) u (1) u(x, y, )(1)x, y, Ω (1) x, y, u (1) u Ω x, y, Ωx, y, (P
2008.9-2008.12 Laplace Li-Yau s Harnack inequality Cauchy Cauchy-Kowalevski H. Lewy Open problems F. John, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1982. 2002 2008 1 1. PDE u(x, y, ) PDE F (x,
一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法
Pure Matematics 理论数学,,, 8- ttp://dx.doi.org/.677/pm..6 Publised Olie Jauary (ttp://www.aspub.org/joural/pm) Implicit-Explicit Multistep Fiite Elemet Metods for Some Noliear Reactio-Diffusio Euatios * Haimig
Microsoft PowerPoint - C3_LECTURE_NOTE_04
常微分方程式系統之模擬方法與工具 ( 一 ) 63 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 04- 壹 微分方程式系統之類型貳 解起始值問題之單一步驟法參 解起始值問題之預測 - 修正法肆 數值解法之應有考量伍 高階模擬語言 63 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 04-3 壹 微分方程式系統之類型 一 起始值問題 (Initial-value problem) 起始值問題的一般要求為給予一起始條件
f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是
![f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是](/thumbs/93/111302294.jpg "f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是")
高等数学 第五章 - 定积分 练习题 (A) 一 判断正误题 :( 判断下列各题是否正确, 正确的划, 错误的划 ) n () + + + d n + = n n n () f ( d ) = f( udu ) () 若函数 f ( ) 在区间 (, + ) 上连续, c,, 为任意三个常数, 则 c f ( d ) = ( ) f d+ c f( d ) (5). () (6) sin d (7)
Fe O + 3CO = 2Fe + 3CO 2 3 2 160 256 1500 x 160 1500 = 2 56 x 2 = 56 1500 x 160 = 1050 x x 100 12 38 12 100 38 316 = = =. x x 1000 37 2 137 2 37 2 1000 137 2 271 = = =.... 36 100 40 100 40 36
三 判断题 ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ;. 四 计算题 : 解 : 函数的定义域 (-,+) y ( )( ) ( y ) 令 y 得 =, = -
微分中值定理与导数的应用答案 一 选择题 :.B;.C;.B;.D; 5.C; 6.A; 7.C; 8.B; 9.B;.C;.C;.D;.C;.D; 5.C; 6.B; 7.D; 8.D; 9.B;.D;.D;.C; 5.B; 6.C; 9.C;.B;.C;.B;.D; 6.D; 7.D; 8.B; 9.B;.C;.D;.B; 7.B; 8.D;.C; 5.C;.B;.C. 二 填空题 ; (, )
没有幻灯片标题
数值分析 韩超 Email: kdhc@63.com 参考书目 (Referece) 数值分析, 李庆扬编, 清华大学出版社 计算方法典型题分析解集, 封建湖编, 西北工业大学出版社 数值分析学习辅导习题解析, 李红编, 华中科技大学出版社 Numerical Aalysis (Third Editio) David Kicaid & Ward Cheey 数值分析 ( 第三版 ), 王国荣译, 机械工业出版社
Vol. 36 ( 2016 ) No. 6 J. of Math. (PRC) HS, (, ) :. HS,. HS. : ; HS ; ; Nesterov MR(2010) : 90C05; 65K05 : O221.1 : A : (2016)
Vol. 36 ( 6 ) No. 6 J. of Math. (PRC) HS, (, 454) :. HS,. HS. : ; HS ; ; Nesterov MR() : 9C5; 65K5 : O. : A : 55-7797(6)6-9-8 ū R n, A R m n (m n), b R m, b = Aū. ū,,., ( ), l ū min u s.t. Au = b, (.)
1 471 1989 15 1983 623 627 10 1980 198 1992 416 423 424 [ ]C 1987 25 26 [ ]C 1987 25 26 1983 27 A O 139 114 37 37 38 A O 237 1959 9 8 189 1979 7 46 86 ÿ é
02 Μ Μ Μ Μ Μ x ( j j = 1, 2Λ Λ n ) n aijxi bi ( bi ; = bi ) j= 1 ( i = 1, 2, Λ m) x j 0( j = 1, 2, Λ n) n c jxj j= 1 S = a, b, c ( i = 1, 2, Λ m, j = 1, 2, Λ n) ij i y n
计算气动声学 四. 空间离散格式
计算气动声学四. 空间离散格式 黄迅特聘研究员 力学与空天技术系工学院北京大学 www.coe.pku.edu.cn/faculty/huangxun 感谢张欣教授提供原始素材, 钟思阳帮助准备材料初稿, 保留一切版权 huangxun@pku.edu.cn ( 黄迅 ) 计算气动声学 Oct 2010 1 / 35 Introduction Introduction 计算声学 (CAA) 和计算流体力学
标题
第 33 卷第 2 期徐州工程学院学报 ( 自然科学版 ) 2018 年 6 月 Vol.33No.2 Jouralof XuzhouIstitute of Techology (NaturalScieces Editio) Ju 2018 一类微分方程两点边值问题的神经网络方法应用研究 杨云磊 1, 张天乐 1, 侯木舟 1, 罗建书 2 (1. 中南大学数学与统计学院, 湖南长沙 410083;2.
Μ Μ Μ Μ Μ x ( j j = 1, 2Λ Λ n ) n aijxi bi ( bi ; = bi ) j= 1 ( i = 1, 2, Λ m) x j 0( j = 1, 2, Λ n) n c jxj j= 1 S = a, b, c ( i = 1, 2, Λ m, j = 1, 2, Λ n) ij i y n = i= 1 n i=
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f
![一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f](/thumbs/91/105953711.jpg "一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f")
含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式. 一 含参量正常积分的定义二 含参量正常积分的连续性三 含参量正常积分的可微性四 含参量正常积分的可积性五 例题 返回 一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [
! " # " " $ % " " # # " $ " # " #! " $ "!" # "# # #! &$! ( % "!!! )$ % " (!!!! *$ ( % " (!!!! +$ % " #! $!, $ $ $ $ $ $ $, $ $ "--. %/ % $ %% " $ "--/
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