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1 i 概 率 统 计 讲 义 原 著 : 何 书 元 课 件 制 作 : 李 东 风 2015 年 秋 季 学 期

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3 目 录 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 试 验 与 事 件 古 典 概 型 与 几 何 概 型 古 典 概 型 几 何 概 型 概 率 的 公 理 化 和 加 法 公 式 概 率 的 公 理 化 概 率 的 加 法 公 式 概 率 的 连 续 性 条 件 概 率 和 乘 法 公 式 事 件 的 独 立 性 全 概 率 公 式 与 Bayes 公 式 全 概 率 公 式 Bayes 公 式 概 率 与 频 率 第 二 章 随 机 变 量 和 概 率 分 布 随 机 变 量 离 散 型 随 机 变 量 连 续 型 随 机 变 量 概 率 分 布 函 数 概 率 分 布 函 数 常 见 分 布 的 分 布 函 数 随 机 变 量 函 数 的 分 布 第 三 章 随 机 向 量 及 其 分 布 随 机 向 量 及 其 联 合 分 布 离 散 型 随 机 向 量 及 其 分 布 iii

4 iv 目 录 3.3 连 续 型 随 机 向 量 及 其 分 布 随 机 向 量 函 数 的 分 布 极 大 极 小 值 的 分 布 条 件 分 布 和 条 件 密 度 第 四 章 数 学 期 望 和 方 差 数 学 期 望 数 学 期 望 概 念 常 见 分 布 数 学 期 望 数 学 期 望 的 性 质 随 机 向 量 函 数 的 数 学 期 望 数 学 期 望 的 性 质 随 机 变 量 的 方 差 协 方 差 和 相 关 系 数 第 五 章 多 元 正 态 分 布 和 极 限 定 理 多 元 正 态 分 布 大 数 律 中 心 极 限 定 理 第 六 章 描 述 性 统 计 总 体 和 参 数 抽 样 调 查 方 法 用 样 本 估 计 总 体 分 布 众 数 和 中 位 数 随 机 对 照 试 验 第 七 章 参 数 估 计 点 估 计 和 矩 估 计 最 大 似 然 估 计 离 散 型 随 机 变 量 的 情 况 连 续 型 随 机 变 量 的 情 况 抽 样 分 布 及 其 上 α 分 位 数 抽 样 分 布 抽 样 分 布 的 上 α 分 位 数 正 态 总 体 的 区 间 估 计 已 知 σ 时, µ 的 置 信 区 间 未 知 σ 时 µ 的 置 信 区 间

5 目 录 v 方 差 σ 2 的 置 信 区 间 均 值 差 µ 1 µ 2 的 置 信 区 间 方 差 比 σ1/σ 的 置 信 区 间 单 侧 置 信 区 间 非 正 态 总 体 和 比 例 p 的 置 信 区 间 正 态 逼 近 法 比 例 p 的 置 信 区 间 第 八 章 假 设 检 验 假 设 检 验 的 概 念 正 态 均 值 的 假 设 检 验 已 知 σ 时, µ 的 正 态 检 验 法 p 值 检 验 法 未 知 σ 时, 均 值 µ 的 t 检 验 法 未 知 σ 时, µ 的 单 边 检 验 法 正 态 近 似 法 样 本 量 的 选 择 均 值 比 较 的 检 验 已 知 σ1 2, σ2 2 时, µ 1, µ 2 的 检 验 未 知 σ1, 2 σ2, 2 但 已 知 σ1 2 = σ2 2 时, µ 1 µ 2 的 检 验 成 对 数 据 的 假 设 检 验 未 知 σ1, 2 σ2 2 时, µ 1, µ 2 的 检 验 方 差 的 假 设 检 验 比 例 的 假 设 检 验 小 样 本 情 况 下 的 假 设 检 验 大 样 本 情 况 下 单 个 比 例 的 假 设 检 验 大 样 本 情 况 下 两 个 总 体 比 例 的 比 较 总 体 分 布 的 假 设 检 验 第 九 章 线 性 回 归 分 析 数 据 的 相 关 性 样 本 相 关 系 数 相 关 性 检 验 回 归 直 线 一 元 线 性 回 归 最 大 似 然 估 计 和 最 小 二 乘 估 计 平 方 和 分 解 公 式

6 vi 目 录 斜 率 b 的 检 验 预 测 的 置 信 区 间 多 元 线 性 回 归

7 目 录 1 课 程 介 绍 介 绍 掌 握 概 率 论 和 数 理 统 计 的 基 本 数 学 知 识 训 练 用 概 率 论 和 数 理 统 计 方 法 对 实 际 问 题 进 行 数 学 建 模 的 能 力 学 会 解 决 常 见 的 统 计 分 析 问 题 是 应 用 型 很 强 的 学 科 参 考 书 教 材 : 何 书 元 : 概 率 论 与 数 理 统 计, 高 等 教 育 出 版 社,2006. 陈 家 鼎 刘 婉 如 汪 仁 官 : 概 率 统 计 讲 义 ( 第 三 版 ), 高 等 教 育 出 版 社,2004. 何 书 元 概 率 论, 北 京 大 学 出 版 社,2005. 李 贤 平, 概 率 论 基 础 第 三 版, 高 等 教 育 出 版 社, 2010; 李 贤 平, 陈 子 毅, 概 率 论 基 础 学 习 指 导 书, 高 等 教 育 出 版 社,2011 Sheldon M. Ross, 概 率 论 基 础 教 程 (A First Course in Probability), 人 民 邮 电 出 版 社,2006, 郑 忠 国 詹 从 赞 翻 译 陈 家 鼎, 郑 忠 国, 概 率 与 统 计, 北 京 大 学 出 版 社,2007 程 士 宏, 测 度 论 与 概 率 论 基 础, 北 京 大 学 出 版 社,2004 Sheldon M. Ross, 应 用 随 机 过 程 概 率 模 型 导 论 (Introduction to Probability Models), 人 民 邮 电 出 版 社,2011, 龚 光 鲁 翻 译 陈 家 鼎 孙 山 泽 李 东 风 刘 力 平, 数 理 统 计 学 讲 义, 高 等 教 育 出 版 社,2006 年 Robert V. Hogg and Allen T. Craig, Introduction to Mathematical Statistics(5th ed.), Prentice Hall, 1995.

8 2 目 录 概 率 论 的 内 容 随 机 事 件 与 概 率 ; 随 机 变 量 及 其 概 率 分 布 ; 多 维 随 机 变 量 及 其 概 率 分 布 ; 随 机 变 量 的 数 字 特 征 ; 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 数 理 统 计 的 内 容 描 述 统 计 ; 参 数 估 计 ; 假 设 检 验 ; 回 归 分 析. 课 程 安 排 时 间 地 点 : 周 二 ( 双 周 )1-2, 周 四 3-4, 二 教 102 答 疑 : 周 二 上 午 10:00 11:30, 理 科 1 号 楼 1425E 教 材 : 何 书 元 : 概 率 论 与 数 理 统 计, 高 等 教 育 出 版 社,2006. 成 绩 评 定 ( 暂 定 ): 期 末 60 + 作 业 20 + 期 中 20. 作 业 : 每 周 四 交 作 业, 发 上 周 作 业 教 学 要 求 认 真 预 习 ; 完 成 作 业 ; 自 己 学 习 一 种 统 计 数 据 分 析 软 件, 建 议 学 习 R, 见 李 东 风 主 页

9 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 1.1 试 验 与 事 件 第 一 章 介 绍 在 考 虑 一 个 ( 未 来 ) 事 件 是 否 会 发 生 的 时 候, 人 们 常 关 心 该 事 件 发 生 的 可 能 性 的 大 小. 就 像 用 尺 子 测 量 物 体 的 长 度 我 们 用 概 率 测 量 一 个 未 来 事 件 发 生 的 可 能 性 大 小. 将 概 率 作 用 于 被 测 事 件 就 得 到 该 事 件 发 生 的 可 能 性 大 小 的 测 量 值. 为 了 介 绍 概 率, 需 要 先 介 绍 试 验 和 事 件. 试 验 我 们 把 按 照 一 定 的 想 法 去 作 的 事 情 称 为 随 机 试 验. 随 机 试 验 的 简 称 是 试 验 (experiment). 下 面 都 是 试 验 的 例 子. 掷 一 个 硬 币, 观 察 是 否 正 面 朝 上, 掷 两 枚 骰 子, 观 察 掷 出 的 点 数 之 和, 在 一 副 扑 克 牌 中 随 机 抽 取 两 张, 观 察 是 否 得 到 数 字 相 同 的 一 对, 有 7 个 运 动 员 参 加 100 米 短 跑 比 赛, 观 测 比 赛 结 果 的 名 次 排 列, 乘 电 梯 从 一 楼 上 到 9 楼, 观 测 电 梯 一 共 停 了 几 次 ; 观 测 放 学 回 家 的 路 上 所 用 的 时 间 ; 观 测 航 天 器 发 射 的 成 功 与 否 ; 3

10 4 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 观 察 明 天 的 最 高 气 温 ; 考 察 某 商 场 在 一 天 内 来 到 的 顾 客 数 量 ; 观 测 下 次 概 率 统 计 课 有 多 少 同 学 迟 到. 观 察 2003 年 爆 发 的 非 典 型 肺 炎 案 例 首 次 下 降 到 零 的 日 期. 在 概 率 论 的 语 言 中, 试 验 还 是 指 对 试 验 的 一 次 观 测 或 试 验 结 果 的 测 量 过 程. 样 本 空 间 投 掷 一 枚 硬 币, 用 ω + 表 示 硬 币 正 面 朝 上, 用 ω 表 示 硬 币 反 面 朝 上, 则 试 验 有 两 个 可 能 的 结 果 :ω + 和 ω. 我 们 称 ω + 和 ω 是 样 本 点, 称 样 本 点 的 集 合 Ω = {ω +, ω } 为 试 验 的 样 本 空 间. 投 掷 一 枚 骰 子, 用 1 表 示 掷 出 点 数 1, 用 2 表 示 掷 出 点 数 2,, 用 6 表 示 掷 出 点 数 6. 试 验 的 可 能 结 果 是 1, 2, 3, 4, 5, 6. 我 们 称 这 6 个 数 是 试 验 的 样 本 点. 称 样 本 点 的 集 合 Ω = {ω ω = 1, 2,, 6} 是 试 验 的 样 本 空 间. 为 了 叙 述 的 方 便 和 明 确, 下 面 把 一 个 特 定 的 试 验 称 为 试 验 S. 样 本 点 (sample point): 称 试 验 S 的 可 能 结 果 为 样 本 点, 用 ω 表 示. 样 本 空 间 (sample space): 称 试 验 S 的 样 本 点 构 成 的 集 合 为 样 本 空 间, 用 Ω 表 示. 于 是 Ω = {ω ω 是 试 验 S 的 样 本 点 }. 事 件 投 掷 一 枚 骰 子 的 样 本 空 间 是 Ω = {ω ω = 1, 2,, 6}. 用 集 合 A = {3} 表 示 掷 出 3 点, 则 A 是 Ω 的 子 集. 我 们 称 A 是 事 件. 掷 出 3 点, 就 称 事 件 A 发 生, 否 则 称 事 件 A 不 发 生.

11 1.1 试 验 与 事 件 5 用 集 合 B = {2, 4, 6} 表 示 掷 出 偶 数 点, B 是 Ω 的 子 集, 我 们 也 称 B 是 事 件. 当 掷 出 偶 数 点, 称 事 件 B 发 生, 否 则 称 事 件 B 不 发 生. 事 件 B 发 生 和 掷 出 偶 数 点 是 等 价 的. 事 件 (event): 设 Ω 是 试 验 S 的 样 本 空 间. 当 Ω 中 只 有 有 限 个 样 本 点 时, 称 Ω 的 子 集 为 事 件. 当 试 验 的 样 本 点 ( 试 验 结 果 ) ω 落 在 A 中, 称 事 件 A 发 生, 否 则 称 A 不 发 生. 按 照 上 述 约 定, 子 集 符 号 A Ω 表 示 A 是 事 件. 通 常 用 大 写 字 母 A, B, C, D 或 A 1, A 2,, B 1, B 2, 等 表 示 事 件. 用 A = Ω A 表 示 集 合 A 的 余 集. 则 事 件 A 发 生 和 样 本 点 ω A 是 等 价 的, 事 件 A 不 发 生 和 样 本 点 ω A 是 等 价 的. 空 集 ϕ 是 Ω 的 子 集. 由 于 ϕ 中 没 有 样 本 点, 永 远 不 会 发 生, 所 以 称 ϕ 是 不 可 能 事 件. Ω 也 是 样 本 空 间 Ω 的 子 集, 包 含 了 所 有 的 样 本 点, 因 而 总 会 发 生. 我 们 称 Ω 是 必 然 事 件. 例 1.1: 投 掷 两 枚 硬 币 投 掷 两 枚 硬 币, 写 出 试 验 的 样 本 点 和 样 本 空 间. 解 用 H(head) 表 示 硬 币 正 面 朝 上, 用 T(tail) 表 示 硬 币 反 面 朝 上, 试 验 一 共 有 4 个 样 本 点, 他 们 是 HH HT TH TT 样 本 空 间 是 Ω = {HH, HT, TH, TT}. 注 意, HT 和 TH 是 不 同 的 样 本 点. 例 1.2: 播 音 员 选 择 例 1.2 某 电 视 台 要 招 聘 播 音 员, 现 在 有 三 位 符 合 条 件 的 女 士 和 两 位 符 合 条 件 的 男 士 前 来 应 聘. (1) 写 出 招 聘 男 女 播 音 员 各 一 名 的 样 本 空 间 和 样 本 点,

12 6 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 (2) 写 出 招 聘 两 名 播 音 员 的 样 本 空 间 Ω 和 事 件 A= 招 聘 到 两 名 女 士. 解 本 试 验 是 招 聘 播 音 员. 用 W 1, W 2, W 3 分 别 表 示 第 1,2,3 位 女 士, 用 M 1,M 2 分 别 表 示 第 1,2 位 男 士. 用 W 1 M 1 表 示 招 聘 到 第 1 位 女 士 和 第 1 位 男 士, 用 W 1 M 2 表 示 招 聘 到 第 1 位 女 士 和 第 2 位 男 士,. (1) 招 聘 男 女 播 音 员 各 一 名 时, 样 本 空 间 是 Ω = { W 1 M 1, W 1 M 2, W 2 M 1, W 2 M 2, W 3 M 1, W 3 M 2 }. Ω 中 的 元 素 是 样 本 点. (2) 招 聘 两 名 播 音 员 时, 样 本 空 间 是 Ω = { W 1 W 2, W 1 W 3, W 2 W 3, W 1 M 1, W 1 M 2, W 2 M 1, W 2 M 2, W 3 M 1, W 3 M 2, M 1 M 2 }. 招 聘 到 两 名 女 士 的 事 件 A = { W 1 W 2, W 1 W 3, W 2 W 3 }. 事 件 与 集 合 当 A, B 都 是 事 件, 则 A B, A B, A B = A B 都 是 事 件. 也 就 是 说 事 件 经 过 集 合 运 算 得 到 的 结 果 还 是 事 件.( 图 示 ) 我 们 也 用 AB 表 示 A B. 当 AB = ϕ 时, 也 用 A + B 表 示 A B. 当 事 件 AB = ϕ, 称 事 件 A, B 不 相 容. 特 别 称 A 为 A 的 对 立 事 件 或 逆 事 件. 如 果 多 个 事 件 A 1, A 2,... 两 两 不 相 容 : A i A j = ϕ, i j, 就 称 他 们 互 不 相 容. 注 意, 互 不 相 容 与 后 面 要 讲 到 的 独 立 是 完 全 不 同 的 概 念 从 以 上 的 叙 述 看 出, 从 集 合 角 度 看, 样 本 空 间 Ω 是 由 试 验 S 的 可 能 结 果 构 成 的 全 集, 样 本 点 ω 就 是 Ω 的 元 素, 事 件 A 就 是 Ω 的 子 集. 事 件 的 运 算 符 号 和 集 合 的 运 算 符 号 也 是 相 同 的, 例 如 :

13 1.2 古 典 概 型 与 几 何 概 型 7 (1) A = B 表 示 事 件 A, B 相 等, (2) A B 发 生 等 价 于 至 少 A, B 之 一 发 生, (3) A B ( 或 AB) 发 生 等 价 于 A 和 B 都 发 生, (4) n j=1a j 发 生 表 示 至 少 有 一 个 A j (1 j n) 发 生, j=1a j 发 生 表 示 至 少 有 一 个 A j (j = 1, 2, ) 发 生, (5) n j=1a j 发 生 表 示 所 有 的 A j (1 j n) 都 发 生. j=1a j 发 生 表 示 所 有 的 A j (j = 1, 2, ) 都 发 生. 事 件 的 运 算 事 件 的 运 算 公 式 就 是 集 合 的 运 算 公 式, 例 如 1 : 1. A B = B A, A B = B A, 2. A (B C) = A B C, A (B C) = A B C, 3. A(B C) = (AB) (AC), A (B C) = (A B) (A C), 4. A B = A + AB, A = AB + AB, 5. 对 偶 公 式 : A B = Ā B, A B = Ā B, 进 而 有 j=1 A = j j=1 A j. 其 中 的 公 式 4 和 5 是 值 得 牢 记 的. j=1 A j = j=1 A j, 古 典 概 型 古 典 概 率 模 型 1.2 古 典 概 型 与 几 何 概 型 设 Ω 是 试 验 S 的 样 本 空 间. 对 于 Ω 的 事 件 A, 我 们 用 P (A) 表 示 A 发 生 的 可 能 性 的 大 小, 称 P (A) 是 事 件 A 发 生 的 概 率, 简 称 为 A 的 概 率. 概 率 是 介 于 0 和 1 之 间 的 数, 描 述 事 件 发 生 的 可 能 性 的 大 小. 按 照 以 上 原 则, 如 果 事 件 A, B 发 生 的 可 能 性 相 同, 则 有 P (A) = P (B). 如 果 事 件 A 发 生 的 可 能 性 比 B 发 生 的 可 能 性 大 2 倍, 则 有 P (A) = 2P (B). 1 图 示 讲 解

14 8 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 用 # A, # Ω 分 别 表 示 事 件 A 和 样 本 空 间 Ω 中 样 本 点 的 个 数. 定 义 2.1 设 试 验 S 的 样 本 空 间 Ω 是 有 限 集 合, A Ω. 如 果 Ω 的 每 个 样 本 点 发 生 的 可 能 性 相 同, 则 称 P (A) = # A # Ω (2.1) 为 试 验 S 下 A 发 生 的 概 率, 简 称 为 事 件 A 的 概 率. 能 够 用 定 义 2.1 描 述 的 模 型 称 为 古 典 概 率 模 型, 简 称 为 古 典 概 型. 概 率 的 性 质 因 为 # A 0, 当 AB = ϕ 时, # (A + B) = # A + # B, 所 以 从 定 义 (2.1) 可 以 得 到 概 率 P 的 以 下 性 质 : (1) P (A) 0, (2) P (Ω) = 1, (3) 如 果 A, B 不 相 容, 则 P (A + B) = P (A) + P (B). 从 以 上 的 性 质 再 得 到 (4) 如 果 A 1, A 2,, A n 互 不 相 容, 则 P (A 1 + A A n ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + + P (A n ), (5) P (ϕ) = 0, P (A) + P (A) = 1, P (A) = P (AB) + P (AB). 实 际 上, 我 们 由 (3) 得 到 P (ϕ) + P (Ω) = P (Ω), 于 是 P (ϕ) = 0, 由 A + A = Ω 和 (3) 得 到 P (A) + P (A) = 1, 由 AB + AB = A 和 (3) 得 到 P (A) = P (AB) + P (AB). 利 用 古 典 概 型 计 算 概 率 列 出 样 本 空 间 所 有 样 本 点, 一 定 注 意 这 些 样 本 点 应 该 是 可 能 性 完 全 相 同 的 ; 计 算 样 本 空 间 样 本 点 个 数 ; 计 算 事 件 A 样 本 点 个 数 ; 用 公 式 (2.1) 计 算 P (A)

15 1.2 古 典 概 型 与 几 何 概 型 9 例 2.1 以 下 的 例 子 中 任 取 随 机 抽 取 都 是 指 等 可 能 的 抽 取 假 设 硬 币 骰 子 等 是 均 匀 的 掷 一 个 均 匀 的 硬 币, 用 A 表 示 正 面 朝 上. # Ω =2 # A =1 P (A) =1/2 例 2.2 掷 一 个 均 匀 的 骰 子, 用 A 表 示 掷 出 奇 数, B 表 示 掷 出 5. # Ω = 6, # A = 3, # B = 1 P (A) = 3 6, P (B) = 1 6. 古 典 概 型 中 的 常 用 计 数 加 法 原 理 如 果 一 个 问 题 的 做 法 分 为 两 类, 第 一 类 有 n 种 方 法, 第 二 类 有 m 种 方 法, 这 两 类 没 有 重 叠 而 且 仅 有 此 两 类, 则 问 题 的 做 法 共 有 n + m 种 多 类 的 情 况 类 似 例 选 班 长 时, 可 以 从 15 个 男 生 中 选 一 个, 也 可 以 从 10 个 女 生 中 选 一 个, 那 么 一 共 有 = 25 种 选 法 古 典 概 型 中 的 常 用 计 数 乘 法 原 理 如 果 一 个 问 题 要 两 步 完 成, 第 一 步 有 n 种 做 法, 第 二 步 有 m 种 做 法, 则 问 题 有 nm 种 做 法 多 步 的 情 况 类 似 例 要 选 一 个 男 生 班 长 和 一 个 女 生 班 长 组 成 领 导 核 心, 男 生 15 人, 女 生 10 人, 则 问 题 的 做 法 有 = 150 种 做 法

16 10 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 古 典 概 型 中 常 用 计 数 有 重 复 的 排 列 数 从 n 个 不 同 元 素 中 有 放 回 地 每 次 随 机 抽 取 一 个, 共 抽 取 m 次, 有 序 地 记 录 结 果, 共 有 n m 种 等 可 能 的 不 同 结 果 例 掷 骰 子 3 次, 记 录 每 次 结 果, 结 果 一 共 有 = 6 3 种 例 从 52 张 扑 克 牌 中 随 机 有 放 回 地 抽 取 并 记 录 3 次, 结 果 共 有 52 3 种 古 典 概 型 中 常 用 计 数 排 列 数 从 n 个 不 同 元 素 中 无 放 回 地 每 次 随 机 抽 取 一 个, 共 抽 取 m 次 (m n), 有 序 地 记 录 结 果, 共 有 种 等 可 能 的 不 同 结 果 A m n = n(n 1)... (n m + 1) = n! (n m)! A m n 在 有 的 教 材 中 记 为 P m n 例 从 52 张 扑 克 牌 中 随 机 无 放 回 地 抽 取 3 张, 记 录 每 次 结 果, 结 果 有 = A 3 52 种 古 典 概 型 中 常 用 计 数 组 合 数 从 n 个 不 同 元 素 中 无 放 回 地 每 次 抽 取 一 个, 共 抽 取 m 次 (m n), 不 计 次 序 地 记 录 结 果 ( 只 要 元 素 相 同, 不 管 次 序 是 否 相 同 都 算 是 相 同 结 果 ), 共 有 C m n = n(n 1)... (n m + 1) m! = n! m!(n m)! 种 等 可 能 的 不 同 结 果 例 从 一 副 扑 克 牌 的 4 张 A 中 随 机 无 放 回 抽 取 2 张 组 成 一 手 牌, 不 计 次 序 有 C 2 4 = 4 3/2 = 6 种 结 果 分 别 为

17 1.2 古 典 概 型 与 几 何 概 型 11 古 典 概 型 中 常 用 计 数 分 组 方 式 数 将 n 个 不 同 元 素 分 成 有 序 号 的 k 组, 要 求 第 i 组 恰 好 有 n i 个 元 素 (i = 1, 2,..., k), 分 组 结 果 中 同 组 的 元 素 不 考 虑 次 序 则 这 样 分 组 的 所 有 不 同 分 法 个 数 为 ( ) n = n 1, n 2,..., n k 当 随 机 分 组 时, 这 些 分 法 是 等 可 能 的 n! n 1!n 2!... n k!. 随 机 分 组 的 方 法 是 n 个 元 素 随 机 排 列 (n! 种 排 法 ), 然 后 前 n 1 个 不 计 次 序 地 归 入 i = 1 组, 后 续 n 2 个 不 计 次 序 地 归 入 i = 2 组, 以 此 类 推 例 10 个 学 生 分 成 A, B, C 三 个 组, 分 别 有 人, 组 内 不 计 次 序 分 组 方 式 个 数 为 10! 3!3!4! ( ) 10 = 3, 3, 4 古 典 概 型 中 常 用 计 数 可 重 复 分 组 数 从 n 个 不 同 的 球 中 有 放 回 地 每 次 抽 取 一 个, 共 抽 取 m 次, 结 果 不 计 次 序 共 有 C m n+m 1 种 不 同 的 组 合 参 考 : 何 书 元 概 率 论 1.2 用 0 和 1 组 成 的 序 列 表 示 一 个 结 果 用 n 1 个 1 分 隔 出 n 个 组,1 表 示 组 边 界 这 n 个 组 是 结 果 排 序 后 球 号 1, 2,..., n 的 组 每 组 内 有 若 干 个 0 表 示 该 组 个 数, 如 果 出 现 11 则 该 组 没 有 球, 把 m 个 0 分 配 到 各 个 组 中 这 样, 用 长 度 为 n + m 1 的 0-1 向 量 表 示 一 个 结 果, 结 果 个 数 为 C n 1 n+m 1( 从 n + m 1 个 二 进 制 位 中 选 择 1 的 位 置, 即 边 界 的 位 置 ) 可 重 复 分 组 数 在 随 机 分 组 时 一 般 不 是 等 可 能 的 例 如, 从 红 白 两 个 球 中 有 放 回 地 抽 取 2 次, 计 数 这 2 次 红 球 白 球 个 数

18 12 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 共 有 ( 红 0, 白 2), ( 红 1, 白 1), ( 红 2, 白 0) 三 种 结 果, 即 C = 3 中 结 果 随 机 抽 取 时 ( 红 1, 白 1) 概 率 为 1 2, ( 红 0, 白 2) 和 ( 红 2, 白 0) 的 概 率 都 是 1 4 例 2.3 例 2.3 掷 两 个 骰 子, 用 A 表 示 点 数 之 和 为 7. 计 算 P (A). 解 用 (i, j) 表 示 第 一 个 骰 子 的 点 数 是 i, 第 二 个 骰 子 的 点 数 是 j. 则 Ω = {(i, j) i, j = 1, 2,, 6}, A = {(i, j) i + j = 7, i, j = 1, 2,, 6}. Ω 中 的 样 本 点 具 有 等 可 能 性. 由 # Ω = 6 2, # A = 6 知 道 P (A) = 6/36 = 1/6. 注 意 : 这 个 概 率 空 间 是 有 次 序 的, 如 果 取 无 次 序 的 概 率 空 间 ( 比 如 (1,2) 和 (2,1) 看 成 同 一 样 本 点 ) 则 概 率 空 间 中 的 样 本 点 不 是 等 可 能 的 例 2.4 例 2.4 在 4 个 白 球, 6 个 红 球 中 任 取 4 个, 求 取 到 2 个 白 球 和 2 个 红 球 的 概 率. 解 任 取 指 无 放 回 等 可 能 随 机 抽 取 用 A 表 示 取 到 2 个 白 球 和 2 个 红 球. 由 # Ω = C10, 4 # A = C4C 得 到 P (A) = C2 4C 2 6 C 4 10 = 例 2.5 例 2.5 将 52 张 扑 克 ( 去 掉 两 张 王 牌 ) 随 机 地 分 给 4 家, 求 每 家 都 是 同 花 色 的 概 率. 解 认 为 52 张 牌 被 等 可 能 地 分 为 4 组, 求 每 组 13 张 牌 同 花 色 的 概 率. 这 时 # Ω = 52!/(13!) 4, # A = 4!, 故 P (A) = # A # Ω = 4!(13!)4 52! = 这 样 的 小 概 率 事 件 你 和 你 周 围 的 人 是 不 会 遇 到 的.

19 1.2 古 典 概 型 与 几 何 概 型 13 例 2.6 例 2.6 N 件 产 品 中 有 N i 件 i(1 i k) 等 品, 从 中 任 取 n 件. 求 n 件 中 恰 有 n i 件 i (1 i k) 等 品 的 概 率. 解 从 题 意 知 N 1 + N N k = N, n 1 + n n k = n. 用 Ω 则 表 示 试 验 的 样 本 空 间, 用 A 表 示 取 出 的 n 件 中 恰 有 n i 件 i 等 品, # Ω = C n N, # A = C n 1 N 1 C n 2 N 2 C n k N k 于 是 P (A) = Cn1 N 1 C n2 N 2 C n k N k. C n N 例 2.7( 生 日 问 题 ) 例 2.7 ( 生 日 问 题 ) 求 n 个 人 中 至 少 有 两 个 人 同 生 日 的 概 率. 解 认 为 每 个 人 的 生 日 等 可 能 地 出 现 在 365 天 中 的 任 一 天, 则 样 本 空 间 Ω 的 元 素 数 为 # Ω = 365 n. 用 A 表 示 n 个 人 的 生 日 各 不 相 同, 则 做 为 Ω 的 子 集 # A = A n 365. 要 求 的 概 率 p n = P (A) = 1 P (A) = 1 A n 365/365 n. 这 里 和 以 后 规 定 对 k > n, A k n = Cn k = 0. 可 以 计 算 出 以 下 结 果 : n p n 图 是 p n 和 n 的 关 系 图. 横 坐 标 是 n, 纵 坐 标 是 p n. 可 以 看 出, 当 n 增 加 时, p n 增 加 得 很 快. 例 2.8 例 2.8 设 样 本 空 间 Ω 有 n 个 样 本 点, 在 古 典 概 率 模 型 下 证 明 (1) 如 果 A 1, A 2,, 是 事 件, 则 j=1 A j 是 事 件, 证 明 : j=1 A j Ω, 所 以 (1) 成 立.

20 14 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 (2) 对 于 互 不 相 容 的 事 件 A 1, A 2,, 证 明 (2) P ( j=1 A j) = P (A j ). j=1 因 为 # Ω = n, 所 以 只 有 有 限 个 A j 非 空. 设 前 m 个 A j 可 能 非 空, 其 余 是 空 集. 则 j=1 A j = m j=1 A j. 对 j > m, P (A j ) = 0. 于 是 用 性 质 (4) 得 到 几 何 概 型 欧 式 空 间 中 的 体 积 P ( A ) ( m j = P A ) m j = P (A j ) = j=1 j=1 用 R r 表 示 r 维 欧 式 空 间 j=1 P (A j ). j=1 R r = {(x 1, x 2,..., x r ) x i (, ), i = 1, 2,..., r}. 对 于 R r 的 子 集 A, 用 m(a) = A dx 1 dx 2... dx r 表 示 A 的 体 积 ( 更 一 般 地,m(A) 表 示 可 测 集 A 的 测 度, 参 见 实 变 函 数 ) 几 何 概 率 用 Ω 表 示 试 验 S 的 样 本 空 间, 当 Ω R r 时, 称 Ω 的 子 集 是 事 件 定 义 设 样 本 空 间 Ω 的 体 积 m(ω) 是 正 数, 样 本 点 等 可 能 地 落 在 Ω 中 ( 指 Ω 的 体 积 相 同 的 长 方 体 事 件 发 生 的 可 能 性 相 同 ), 对 于 A Ω, 称 P (A) = m(a) m(ω) 为 事 件 A 发 生 的 概 率, 简 称 为 A 的 概 率 这 样 的 定 义 也 满 足 1.2 中 的 非 负 性 全 空 间 概 率 等 于 1 可 加 性 三 个 性 质, 从 而 性 质 (4) 和 (5) 也 成 立

21 1.3 概 率 的 公 理 化 和 加 法 公 式 15 例 ( 同 心 圆 ) 两 个 同 心 圆, 大 圆 圆 面 为 Ω: 半 径 1m; 内 部 小 圆 圆 面 为 A: 半 径 0.5m 落 入 A 概 率 落 入 A 外 的 大 圆 的 概 率 P (A) = m(a) m(ω) = π(0.5)2 π1 2 = 0.25 P (Ā) = 1 P (A) = 0.75 例 ( 会 面 概 率 ) 两 人 1:00 2:00 间 独 立 地 随 机 到 达 某 地 会 面, 先 到 者 仅 等 待 20 分 钟 求 会 面 概 率 用 x, y 表 示 两 人 分 别 的 到 达 时 间, 则 Ω = {(x, y) : 0 x, y 60}, 样 本 点 (x, y) 等 可 能 地 落 在 空 间 Ω 内 A 表 示 两 人 相 遇, 则 A = {(x, y) x y 20, (x, y) Ω} m(ω) = m(a) 用 图 示,A 的 两 条 斜 边 为 y = x ± 20, 面 积 等 于 60 2 减 去 两 个 三 角 形 面 积 即 , 所 以 m(a) = 概 率 概 率 的 公 理 化 概 率 空 间 P (A) = = 概 率 的 公 理 化 和 加 法 公 式

22 16 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 古 典 概 型 只 对 样 本 空 间 Ω 含 有 限 个 样 本 点, 且 每 个 样 本 点 发 生 的 可 能 性 相 同 的 情 况 定 义 了 概 率. 下 面 将 概 率 的 定 义 进 行 推 广. 设 Ω 是 试 验 S 的 样 本 空 间, 在 实 际 问 题 中 往 往 并 不 需 要 关 心 Ω 的 所 有 子 集, 只 要 把 关 心 的 子 集 称 为 事 件 就 够 了. 但 是 事 件 必 须 是 Ω 的 子 集, 并 且 满 足 以 下 三 个 条 件 : (a) Ω 是 事 件, (b) A, B 是 事 件, 则 A B, A B, A B, A 都 是 事 件, (c) 当 A j 是 事 件, 则 j=1 A j 是 事 件. 以 后 总 假 设 上 面 的 条 件 (a), (b), (c) 成 立. 由 (b) 知 道 有 限 个 事 件 经 过 有 限 次 运 算 后 得 到 的 结 果 仍 然 是 事 件. 满 足 条 件 (a), (b), (c) 的 事 件 的 集 合 F 叫 做 σ 域 或 σ 代 数 对 于 试 验 S 的 事 件 A, 我 们 用 0,1 之 间 的 数 P (A) 表 示 事 件 A 发 生 的 可 能 性 的 大 小. 对 于 每 个 事 件 A F, P (A) 是 一 个 实 数. P (A) 是 事 件 A 的 函 数. 概 率 及 公 理 化 定 义 3.1 如 果 事 件 的 函 数 P 满 足 条 件 (a) 非 负 性 : 对 于 任 何 事 件 A, P (A) 0, (b) 完 全 性 : P (Ω) = 1, (c) 可 列 可 加 性 : 对 于 互 不 相 容 的 事 件 A 1, A 2,..., 有 ( ) P A j = P (A j ). j=1 j=1 就 称 P 是 试 验 S 的 概 率, 简 称 为 概 率, 称 P (A) 是 A 的 概 率 (probability). 我 们 称 定 义 3.1 中 的 (a), (b), (c) 为 概 率 的 公 理 化 条 件. 不 满 足 公 理 化 条 件 的 P 不 是 概 率. 条 件 (c) 中 的 可 列, 指 集 合 的 个 数 或 运 算 的 次 数 可 以 依 次 排 列 起 来. 从 例 2.8 知 道, 古 典 概 率 模 型 中 的 P 是 概 率.

23 1.3 概 率 的 公 理 化 和 加 法 公 式 17 概 率 的 性 质 概 率 的 公 理 化 条 件 并 不 直 接 告 诉 我 们 在 实 际 问 题 中 如 何 计 算 P (A). P (A) 的 计 算 要 根 据 问 题 的 条 件 和 背 景 得 到. 设 P 是 试 验 S 的 概 率, 则 有 以 下 的 结 果. (1) 不 可 能 事 件 的 概 率 是 0: P (ϕ) = 0, (2) 有 限 可 加 性 : 如 果 A 1, A 2,, A n 是 互 不 相 容, 则 P ( n n A j) = P (A j ), j=1 (3) 单 调 性 : B A, 则 P (A) P (B) = P (A B) 0. ( 证 明 手 写 ) j= 概 率 的 加 法 公 式 概 率 的 加 法 公 式 概 率 的 有 限 可 加 性 和 可 列 可 加 性 是 概 率 P 的 最 基 本 性 质, 由 此 推 出 概 率 的 加 法 公 式. (4) P (A B) = P (A) + P (B) P (AB), (5) 如 果 B A, 则 P (A B) = P (A) P (B), P (A) P (B), (6) Jordan 公 式 : 设 A 1, A 2,, A n 是 事 件, 记 p k = P (A j1 A j2 A jk ) 1 j 1<j 2< <j k n 时, 有 P ( n A i) = i=1 例 3.1 n ( 1) k 1 p k. (3.2) 例 3.1 全 班 有 26 个 人 会 打 网 球, 有 28 个 人 会 打 羽 毛 球, 他 们 中 有 20 个 人 同 时 会 打 网 球 和 羽 毛 球. 从 全 班 的 40 名 同 学 中 任 选 一 名, 计 算 他 会 打 网 球 或 会 打 羽 毛 球 的 概 率. k=1

24 18 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 解 对 任 选 出 的 同 学, 用 A 表 示 他 会 打 网 球, 用 B 表 示 他 会 打 羽 毛 球, 则 A B 表 示 他 会 打 网 球 或 会 打 羽 毛 球. 利 用 P (A) = 26/40, P (B) = 28/40, P (AB) = 20/40 得 到 P (A B) = P (A) + P (B) P (AB) = 概 率 的 连 续 性 概 率 的 连 续 性 = 如 果 A 1 A 2, 就 称 事 件 序 列 {A j } {A j j = 1, 2, } 是 单 调 增 的. 如 果 A 1 A 2, 就 称 事 件 序 列 {A j } 是 单 调 减 的. 我 们 把 单 调 增 序 列 和 单 调 减 序 列 统 称 为 单 调 序 列. 定 理 3.1 设 {A j } 和 {B j } 是 事 件 列. (1) 如 果 {A j } 是 单 调 增 序 列, 则 P ( (2) 如 果 {B j } 是 单 调 减 序 列, 则 P ( j=1 A j) = lim n P (A n). j=1 B j) = lim n P (B n). 通 常 称 j=1 A j 为 单 调 增 序 列 {A j } 的 极 限, 称 j=1 B j 为 单 调 减 序 列 {B j } 的 极 限. 定 理 3.1 说 明, A j 的 概 率 收 敛 到 它 的 极 限 j=1 A j 的 概 率, B j 的 概 率 收 敛 到 它 的 极 限 j=1 B j 的 概 率. 所 以 称 概 率 具 有 连 续 性. 1.4 条 件 概 率 和 乘 法 公 式 例 4.1: 掷 骰 子 的 条 件 概 率 例 4.1 掷 一 个 骰 子, 已 知 掷 出 了 偶 数 点, 求 掷 出 的 是 2 的 概 率. 用 A 表 示 掷 出 偶 数 点, B 表 示 掷 出 2.

25 1.4 条 件 概 率 和 乘 法 公 式 19 已 知 A 发 生 后 试 验 的 条 件 已 经 改 变. 在 新 的 试 验 条 件 下 A 成 为 样 本 空 间, A 的 样 本 点 具 有 等 可 能 性, B 是 A 的 子 集, # A = 3, # B = 1. 所 以, 用 P (B A) 表 示 要 求 的 概 率 时, P (B A) = # B # A = 1 3. 我 们 称 P (B A) 是 已 知 A 发 生 的 条 件 下, B 发 生 的 概 率. 例 4.2: 扑 克 牌 的 条 件 概 率 例 4.2 在 52 张 扑 克 中 任 取 一 张, 已 知 抽 到 草 花 的 条 件 下, 求 抽 到 的 是 草 花 5 的 概 率. 解 设 A= 抽 到 草 花, B= 抽 到 草 花 5. 按 例 4.1 的 方 法 有 P (B A) = # B/ # A = 1/13. 条 件 概 率 设 A, B 是 事 件, 以 后 总 用 P (B A) 表 示 已 知 A 发 生 的 条 件 下, B 发 生 的 条 件 概 率, 简 称 为 条 件 概 率 (conditional probability). 下 面 是 条 件 概 率 的 计 算 公 式. 条 件 概 率 公 式 : 如 果 P (A) > 0, 则 P (B A) = P (AB) P (A). (4.1) 可 以 对 古 典 概 型 给 出 (4.1) 的 证 明 : 设 试 验 S 的 样 本 空 间 是 Ω, A, B 是 事 件, P (A) > 0. 已 知 A 发 生 后 试 验 的 条 件 已 经 改 变. 在 新 的 试 验 条 件 下 A 成 为 样 本 空 间, A 的 样 本 点 具 有 等 可 能 性. 已 知 A 发 生 后, AB 是 A 的 子 集. 利 用 古 典 概 型 的 定 义 知 道 P (B A) = P (AB A) = # (AB) # A = # (AB)/ # Ω # A/ # Ω = P (AB) P (A). 例 4.3: 扑 克 牌 问 题 在 计 算 条 件 概 率 时, 公 式 (4.1) 有 时 会 带 来 许 多 的 方 便. 但 有 时 根 据 问 题 的 特 点 可 以 直 接 得 到 结 果. 例 4.3 将 一 副 扑 克 牌 的 52 张 随 机 均 分 给 四 家, 设 A= 东 家 得 到 6 张 草 花, B= 西 家 得 到 3 张 草 花, 求 P (B A).

26 20 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 解 四 家 各 有 13 张 牌, 可 以 认 为 东 家 先 取 13 张 后 西 家 再 取 13 张 在 A 发 生 的 条 件 下, 西 家 的 总 可 能 取 法 为 C 13 39,B 发 生 要 求 西 家 取 法 为 C 3 7C 10 32, 用 古 典 概 型. P (B A) = C3 7C C 例 4.4: 条 件 概 率 是 公 理 化 概 率 例 4.4 设 P (A) > 0, 对 于 任 何 事 件 B, 定 义 P A (B) = P (B A). 则 (1) P A 是 概 率, (2) 对 于 事 件 B, C, 当 P (AB) > 0 时, P A (C B) = P (C AB). (4.2) ( 证 明 略 ) 乘 法 公 式 乘 法 公 式 : 设 A, B, A 1, A 2,..., A n 是 事 件, 则 (1) P (AB) = P (A)P (B A), (2) 当 P (A 1 A 2... A n 1 ) 0, 有 P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )... P (A n A 1 A 2... A n 1 ). (4.3) 证 明 将 条 件 概 率 公 式 (4.1) 用 于 等 式 右 边 的 条 件 概 率 就 得 到 证 明. ( 手 写 ) 例 4.5: 官 员 受 贿 问 题 例 4.5 ( 官 员 受 贿 问 题 ) 某 官 员 第 1 次 受 贿 没 被 查 处 的 概 率 是 q 1 = 98/100 = 第 1 次 没 被 查 处 后, 第 2 次 受 贿 没 被 查 处 的 概 率 是 q 2 = 96/98 = ,. 前 j 1 次 没 被 查 处 后, 第 j 次 受 贿 不 被 查 处 的 概 率 是 q j = (100 2j)/(100 2(j 1)),. 求 他 受 贿 n 次 还 不 被 查 处 的 概 率 p n. 解 用 A j 表 示 该 官 员 第 j 次 受 贿 没 被 查 处, 则 A 1 A 2 A n 表 示 受 贿 n 次 还 不 被 查 处.

27 1.5 事 件 的 独 立 性 21 容 易 计 算 p n =P (A 1 A 2... A n ) =P (A 1 )P (A 2 A 1 )... P (A n A 1 A 2... A n 1 ) =q 1 q 2 q n = (n 1) 100 2n (n 2) 100 2(n 1) 100 2n = 100 =1 n 50. p 10 = 0.8, p 20 = 0.6, p 30 = 0.4 p 40 = 0.2, p 50 = 0. ( 如 果 假 设 q 1 = q 2 = = 0.98, 有 p n = 0.98 n, 于 是 得 到 p 10 = 0.817, p 20 = 0.668, p 30 = 0.545, p 40 = 0.446, p 50 = 0.364, p 60 = ) 1.5 事 件 的 独 立 性 两 个 事 件 独 立 设 A 是 试 验 S 1 下 的 事 件, B 是 试 验 S 2 下 的 事 件, 且 A 的 发 生 与 否 不 影 响 B 的 发 生. 用 公 式 表 述 出 来 就 是 P (B A) = P (B). ( 设 P (A) > 0) 再 用 乘 法 公 式 得 到 P (AB) = P (A)P (B A) = P (A)P (B). 此 式 表 示 事 件 A, B 相 互 独 立, 不 要 求 P (A) > 0. 定 义 5.1 如 果 事 件 A, B 满 足 P (AB) = P (A)P (B), 就 称 A, B 相 互 独 立, 简 称 为 A, B 独 立 (independent). 不 可 能 事 件, 必 然 事 件 与 任 何 事 件 独 立. 这 是 因 为 P (ϕa) = P (ϕ)p (A) = 0, P (ΩA) = P (Ω)P (A) = P (A) 总 成 立. 当 P (A) > 0 时, A, B 独 立 当 且 仅 当 P (B A) = P (B). 例 5.1: 独 立 的 试 验 例 5.1 用 Ω 1 表 示 试 验 S 1 的 样 本 空 间, 用 Ω 2 表 示 S 2 的 样 本 空 间. 如 果 试 验 S 1 和 S 2 是 独 立 进 行 的, 可 以 证 明 试 验 S 1 的 事 件 和 试 验 S 2 的 事 件 是 相 互 独 立 的.

28 22 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 例 5.2: 长 方 形 等 分 例 5.2 两 线 段 将 长 方 形 Ω 四 等 分, 得 到 E 1, E 2, E 3, E 4. E 1 E 2 E 3 E 4 设 A = E 1 E 2, B = E 1 E 3, C = E 1 E 4. 在 Ω 中 任 取 一 点, 则 P (AB) = P (A)P (B) = 1/4, P (AC) = P (A)P (C) = 1/4, P (BC) = P (B)P (C) = 1/4. 于 是 A, B, C 两 两 独 立. 定 理 5.1 定 理 5.1 A, B 独 立 当 且 仅 当 A, B 独 立. 证 明 只 需 由 A, B 独 立 证 明 A, B 独 立. 当 A, B 独 立, 有 P (AB) = P (B) P (AB) = P (B) P (A)P (B) = P (A)P (B). 于 是 A, B 独 立. 多 个 事 件 的 相 互 独 立 定 义 5.2 (1) 称 事 件 A 1, A 2,, A n 相 互 独 立, 如 果 对 任 何 1 j 1 < j 2 < < j k n, P (A j1 A j2 A jk ) = P (A j1 )P (A j2 )... P (A jk ) (2) 称 事 件 A 1, A 2, 相 互 独 立, 如 果 对 任 何 n 2, 事 件 A 1, A 2,, A n 相 互 独 立. (3) 称 {A n } 是 独 立 事 件 列, 如 果 A 1, A 2, 相 互 独 立. 例 5.3: 三 个 事 件 相 互 独 立 例 5.3 事 件 A,B, C 相 互 独 立 当 且 仅 当 他 们 两 两 独 立, 并 且 P (ABC) = P (A)P (B)P (C).

29 1.5 事 件 的 独 立 性 23 例 5.4: 性 质 例 5.4 设 A 1, A 2,, A n 相 互 独 立, 则 有 如 下 的 结 果. (1) 对 1 j 1 < j 2 < < j k n, A j1, A j2,, A jk 相 互 独 立, (2) 用 B i 表 示 A i 或 A i, 则 B 1, B 2,, B n 相 互 独 立, (3) (A 1 A 2 ), A 3,, A n 相 互 独 立 ; (4) (A 1 A 2 ), A 3,, A n 相 互 独 立. 事 实 上, 把 A 1, A 2,..., A n 分 为 k 个 组, 每 个 组 内 的 事 件 作 并 交 差 运 算 后 得 到 的 事 件 B 1, B 2,..., B k 仍 是 相 互 独 立 的 例 5.5 例 5.5 例 5.2 中 的 A,B,C 两 两 独 立 但 非 相 互 独 立 因 为 P (ABC) = 1/4, P (A)P (B)P (C) = 1/8. 例 5.6: 高 炮 例 5.6 每 门 高 炮 击 中 飞 机 的 概 率 是 0.3, 要 以 99% 的 把 握 击 中 飞 机, 需 要 几 门 高 炮. 解 用 A i 表 示 第 i 门 高 炮 击 中 目 标. 设 需 要 n 门 高 炮, 则 要 求 n 满 足 P ( n A j) = 1 P ( n A j) = 1 (0.7) n j=1 j=1 由 n ln 0.7 ln(1 0.99) 解 出 n 于 是 取 n = 13. 例 5.7: 明 青 花 例 5.7 明 青 花 ( 瓷 ) 享 有 盛 誉. 设 一 只 青 花 盘 在 一 年 中 被 失 手 打 破 的 概 率 是 (1) 计 算 一 只 弘 治 ( ) 时 期 的 青 花 麒 麟 ( 图 案 ) 盘 保 留 到 现 在 ( 约 500 年 ) 的 概 率, (2) 如 果 弘 治 年 间 生 产 了 1 万 件 青 花 麒 麟 盘, 计 算 这 1 万 件 至 今 都 已 经 被 失 手 打 破 的 概 率.

30 24 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 解 (1) 用 A i 表 示 该 盘 在 第 i 年 没 被 打 破, 则 至 今 没 被 打 破 的 概 率 是 p =P (A 1 A 2 A 500 ) =P (A 1 )P (A 2 A 1 ) P (A 500 A 1 A 2 A 499 ) =(1 0.03) 500 = , 被 失 手 打 破 的 概 率 是 q = 1 p = (2) 用 B j 表 示 第 j 件 至 今 已 被 打 破, m = 10000, 则 B 1, B 2,, B m 相 互 独 立. 这 1 万 件 至 今 都 已 经 被 失 手 打 破 的 概 率 是 q 1 =P ( m m B j) = P (B j ) = q m = j=1 j=1 有 这 类 青 花 麒 麟 盘 流 传 至 今 的 概 率 是 p 1 = 1 q 1 = 如 果 当 时 生 产 了 五 十 万 件, 则 有 这 类 青 花 麒 麟 盘 流 传 至 今 的 概 率 是 p 50 = 如 果 当 时 生 产 了 五 百 万 件, 则 有 这 类 青 花 麒 麟 盘 流 传 至 今 的 概 率 是 p 500 = 当 然, 这 个 模 型 里 每 年 失 手 打 破 的 概 率 都 是 0.03 的 假 设 过 于 粗 糙, 实 际 上 随 着 现 存 总 数 的 减 少 保 护 必 然 加 强, 打 破 概 率 变 得 很 小 全 概 率 公 式 全 概 率 公 式 1.6 全 概 率 公 式 与 Bayes 公 式 定 理 6.1( 全 概 率 公 式 ) 如 果 事 件 A 1, A 2,, A n 互 不 相 容, B n j=1 A j, 则 n P (B) = P (A j )P (B A j ). (6.1) j=1

31 1.6 全 概 率 公 式 与 BAYES 公 式 25 证 明 : 因 为 B = B( n j=1 A j) = n j=1 (BA j), 用 概 率 的 有 限 可 加 性 和 乘 法 公 式 得 到 P (B) =P (B( n j=1 A j)) =P ( n (BA j)) j=1 n = P (BA j ) = j=1 n P (A j )P (B A j ). j=1 全 概 率 公 式 完 备 事 件 组 全 概 率 公 式 容 易 推 广 到 可 列 个 事 件 的 情 况 ( 见 习 题 1.14)). 如 果 事 件 A 1, A 2,, A n 互 不 相 容, n j=1 A j = Ω, 则 称 A 1, A 2,, A n 是 完 备 事 件 组, 这 时 (6.1) 对 任 何 事 件 B 成 立. A 和 A 总 构 成 完 备 事 件 组, 所 以 总 有 P (B) = P (A)P (B A) + P (A)P (B A). (6.2) 例 6.1( 抽 签 问 题 ) 例 6.1 ( 抽 签 问 题 ) n 个 签 中 有 m 个 标 有 中, 证 明 无 放 回 依 次 随 机 抽 签 时, 第 j 次 抽 中 的 概 率 是 m/n. 解 用 归 纳 法. 用 A j 表 示 第 j 次 抽 中, 则 对 一 切 m, n, 当 m n 时, 有 P (A 1 ) = m/n. 设 对 一 切 m, n, 当 m n 时, 有 P (A j 1 ) = m/n, 则 有 于 是 有 P (A j A 1 ) = m 1 n 1, P (A j A 1 ) = m n 1. P (A j ) =P (A 1 )P (A j A 1 ) + P (A 1 )P (A j A 1 ) = m n m 1 n 1 + n m n = m n, 1 j n. m n 1

32 26 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 例 6.2( 敏 感 问 题 调 查 ) 例 6.2 ( 敏 感 问 题 调 查 ) 在 调 查 家 庭 暴 力 ( 或 婚 外 恋 服 用 兴 奋 剂 吸 毒 等 敏 感 问 题 ) 所 占 家 庭 的 比 例 p 时, 被 调 查 者 往 往 不 愿 回 答 真 相, 这 使 得 调 查 数 据 失 真. 为 得 到 实 际 的 p 同 时 又 不 侵 犯 个 人 隐 私, 调 查 人 员 将 袋 中 放 入 比 例 是 p 0 的 红 球 和 比 例 是 q 0 = 1 p 0 的 白 球. 被 调 查 者 在 袋 中 任 取 一 球 窥 视 后 放 回, 并 承 诺 取 得 红 球 就 讲 真 话, 取 到 白 球 就 讲 假 话. 被 调 查 者 只 需 在 匿 名 调 查 表 中 选 是 ( 有 家 庭 暴 力 ) 或 否, 然 后 将 表 放 入 投 票 箱. 没 人 能 知 道 被 调 查 者 是 否 讲 真 话 和 回 答 的 是 什 么. 如 果 声 称 有 家 庭 暴 力 的 家 庭 比 例 是 p 1, 求 真 正 有 家 庭 暴 力 的 比 例 p. 解 对 任 选 的 一 个 家 庭, 用 B 表 示 回 答 是, 用 A 表 示 实 际 是. 利 用 全 概 率 公 式 得 到 p 1 =P (B) ( 回 答 是 ) =P (B A)P (A) + P (B A)P (A) =p 0 P (A) + q 0 (1 P (A)) ( P (B A) 即 讲 真 话 概 率, P (B A) 等 于 讲 假 话 概 率 ) =pp 0 + q 0 (1 p) = q 0 + (p 0 q 0 )p. 于 是 只 要 p 0 q 0, 则 p = P (A) = p 1 q 0 p 0 q 0. 实 际 问 题 中, p 1 是 未 知 的, 需 要 经 过 调 查 得 到. 假 定 调 查 了 n 个 家 庭, 其 中 有 k 个 家 庭 回 答 是, 则 可 以 用 ˆp 1 = k/n 估 计 p 1, 于 是 可 以 用 估 计 p. ˆp = ˆp 1 q 0 p 0 q 0

33 1.6 全 概 率 公 式 与 BAYES 公 式 27 如 果 袋 中 装 有 30 个 红 球,50 个 白 球, 调 查 了 320 个 家 庭, 其 中 有 195 个 家 庭 回 答 是, 则 p 0 = 3/8, q 0 = 5/8, ˆp 1 = 195/320, ˆp = 195/320 5/8 3/8 5/8 = 6.25%. 可 以 证 明 p 0 q 0 越 大, 得 到 的 结 论 越 可 靠. 但 是 p 0 q 0 太 大 时, 调 查 方 案 不 易 让 被 调 查 者 接 受. 例 6.3( 赌 徒 破 产 模 型 ) 例 6.3 ( 赌 徒 破 产 模 型 ) 甲 有 本 金 a 元, 决 心 再 赢 b 元 停 止 赌 博. 设 甲 每 局 赢 的 概 率 是 p = 1/2, 每 局 输 赢 都 是 一 元 钱, 甲 输 光 后 停 止 赌 博, 求 甲 输 光 的 概 率 q(a). 解 用 A 表 示 甲 第 一 局 赢, 用 B k 表 示 甲 有 本 金 k 元 时 最 后 输 光. 由 题 意, q(0) = 1, q(a + b) = 0, 并 且 q(k) =P (B k ) =P (A)P (B k A) + P (A)P (B k A) = 1 2 P (B k+1) P (B k 1) = 1 2 q(k + 1) + 1 q(k 1). 2 于 是 有 2q(k) = q(k + 1) + q(k 1). 从 而 得 到 q(k + 1) q(k) = q(k) q(k 1) = = q(1) q(0) = q(1) 1. 上 式 两 边 对 k = n 1, n 2,, 0 求 和 后 得 到, q(n) 1 = n(q(1) 1). (6.3) 取 n = a + b, 得 到 0 1 = (a + b)(q(1) 1), q(1) 1 = 1/(a + b).

34 28 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 最 后 由 (6.3) 得 到 : q(a) = 1 + a(q(1) 1) = 1 a a + b = b b + a. (6.4) (6.4) 说 明, 当 甲 的 本 金 a 有 限, 则 贪 心 b 越 大, 输 光 的 概 率 越 大, 如 果 一 直 赌 下 去 (b ), 必 定 输 光 Bayes 公 式 Bayes 公 式 定 理 6.2(Bayes 公 式 ) 如 果 事 件 A 1, A 2,, A n 互 不 相 容, B n j=1 A j, 则 P (B) > 0 时, 有 P (A j B) = P (A j )P (B A j ) n i=1 P (A, 1 j n. (6.5) i)p (B A i ) 证 明 由 条 件 概 率 公 式 和 全 概 率 公 式 得 到 P (A j B) = P (A jb) P (B) = P (A j )P (B A j ) n i=1 P (A i)p (B A i ), 1 j n. 值 得 指 出 的 是, 分 子 总 是 分 母 中 的 一 项. 当 A 1, A 2,, A n 是 完 备 事 件 组, P (B) > 0 时, (6.5) 成 立. Bayes 公 式 也 可 以 推 广 到 可 列 个 事 件 的 情 况 ( 见 习 题 1.21). 最 常 用 到 的 Bayes 公 式 是 当 P (B) > 0, 例 6.4( 疾 病 普 查 问 题 ) P (A B) = 例 6.4 ( 疾 病 普 查 问 题 ) P (A)P (B A) P (A)P (B A) + P (A)P (B A). (6.6) 一 种 新 方 法 对 某 种 特 定 疾 病 的 诊 断 准 确 率 是 90%( 有 病 被 正 确 诊 断 和 没 病 被 正 确 诊 断 的 概 率 都 是 90%). 如 果 群 体 中 这 种 病 的 发 病 率 是 0.1%, 甲 在 身 体 普 查 中 被 诊 断 患 病, 问 甲 的 确 患 病 的 概 率 是 多 少? 解 设 A= 甲 患 病, B = 甲 被 诊 断 有 病. 根 据 题 意, P (A) = 0.001, P (B A) = 0.9, P (B A) = 0.1,

35 1.6 全 概 率 公 式 与 BAYES 公 式 29 于 是, 用 公 式 (6.6) 得 到 P (A)P (B A) P (A B) = P (A)P (B A) + P (A)P (B A) = = 9 = < 1% 没 有 病 的 概 率 P (A B) = > 99%. 造 成 这 个 结 果 的 原 因 是 发 病 率 较 低 和 诊 断 的 准 确 性 不 够 高. 如 果 甲 复 查 时 又 被 诊 断 有 病, 则 他 的 确 有 病 的 概 率 将 增 加 到 7.5%. 如 果 人 群 的 发 病 率 不 变, 诊 断 的 准 确 率 提 高 到 99%, 可 以 计 算 出 P (A B) = 9.02%. 例 6.5( 吸 烟 与 肺 癌 问 题 ) 例 6.5 ( 吸 烟 与 肺 癌 问 题 ) 1950 年 某 地 区 曾 对 岁 的 男 性 公 民 进 行 调 查. 肺 癌 病 人 中 吸 烟 的 比 例 是 99.7%, 无 肺 癌 人 中 吸 烟 的 比 例 是 95.8%. 如 果 整 个 人 群 的 发 病 率 是 p = 10 4, 求 吸 烟 人 群 中 的 肺 癌 发 病 率 和 不 吸 烟 人 群 中 的 肺 癌 发 病 率. 解 引 入 A = 有 肺 癌, B = 吸 烟, 则 P (A) =10 4, P (B A) =99.7%, P (B A) =95.8%. 利 用 公 式 (6.6) 得 到 : P (A)P (B A) P (A B) = P (A)P (B A) + P (A)P (B A) % = % + ( ) 95.8% = P (A)P (B A) P (A B) = P (A)P (B A) + P (A)P (B A) 10 4 (1 99.7%) = 10 4 (1 99.7%) + ( ) (1 95.8%) =

36 30 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 于 是, 吸 烟 人 群 的 发 病 率 = P (A B) 不 吸 烟 人 群 的 发 病 率 P (A B) = 结 论 : 吸 烟 人 群 的 肺 癌 发 病 率 是 不 吸 烟 人 群 的 肺 癌 发 病 率 的 倍. 例 6.6( 肇 事 车 判 定 ) 例 6.6 某 城 市 夏 利 牌 出 租 车 占 85%, 富 康 牌 出 租 车 占 15%. 这 两 种 出 租 车 都 是 红 色, 富 康 出 租 车 略 大 一 些, 每 辆 车 肇 事 的 概 率 相 同. 在 一 次 出 租 车 的 交 通 肇 事 逃 逸 案 件 中, 有 证 人 指 证 富 康 车 肇 事. 为 了 确 定 是 否 富 康 车 肇 事, 在 肇 事 地 点 和 相 似 的 能 见 度 下 警 方 对 证 人 辨 别 出 租 车 的 能 力 进 行 了 测 验, 发 现 证 人 正 确 识 别 富 康 车 的 概 率 是 90%, 正 确 识 别 夏 利 车 的 概 率 是 80%. 如 果 证 人 没 有 撒 谎, 求 富 康 车 肇 事 的 概 率. 解 : 用 A 表 示 证 人 看 见 富 康 车 肇 事, 用 B 表 示 富 康 车 肇 事, 则 B 表 示 夏 利 车 肇 事, 并 且 P (B) = 0.15, P (A B) = 0.9, P (A B) = 要 求 的 概 率 是 P (B A). 用 Bayes 公 式 得 到 P (A B)P (B) P (B A) = P (A B)P (B) + P (A B)P (B) = (1 0.8) 0.85 =44.26%. 这 个 概 率 看 起 来 很 小, 但 是 在 没 有 证 人 的 情 况 下, 富 康 车 肇 事 的 概 率 更 小, 是 15%. 1.7 概 率 与 频 率 概 率 与 频 率 古 典 概 型 只 对 等 可 能 的 情 况 定 义 了 概 率, 为 了 能 够 描 述 更 复 杂 的 试 验, 很 多 学 者 使 用 概 率 的 频 率 定 义.

37 1.7 概 率 与 频 率 31 设 A 是 试 验 S 的 事 件. 在 相 同 的 条 件 下 将 试 验 S 独 立 地 重 复 N 次, 我 们 称 f N = N 次 试 验 中 A 发 生 的 次 数 N 是 N 次 独 立 重 复 试 验 中, 事 件 A 发 生 的 频 率 (frequency). 理 论 和 试 验 都 证 明, 当 N, f N 会 收 敛 到 一 个 数 P (A). 我 们 称 P (A) 为 事 件 A 在 试 验 S 下 发 生 的 概 率, 简 称 为 A 的 概 率. (Flash 演 示 )

38 32 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间

39 第 二 章 随 机 变 量 和 概 率 分 布 2.1 随 机 变 量 随 机 变 量 引 入 事 件 是 用 来 描 述 随 机 试 验 的 某 些 现 象 是 否 出 现 的, 要 说 明 比 较 复 杂 的 试 验 结 果, 就 需 要 定 义 许 多 事 件. 为 了 更 深 入 地 研 究 随 机 现 象, 就 要 建 立 数 学 模 型, 随 机 变 量 是 随 机 现 象 的 最 基 本 的 数 学 模 型, 我 们 用 随 机 变 量 的 值 表 示 随 机 试 验 的 结 果 如 果 用 X 表 示 明 天 的 最 高 气 温, {X 30} 就 表 示 明 天 的 最 高 气 温 不 超 过 30 o C, 由 于 X 的 取 值 在 今 天 无 法 确 定, 所 以 称 X 是 随 机 变 量 (random variable). 例 1.1: 骰 子 点 数 例 1.1 掷 一 个 骰 子, 样 本 空 间 是 Ω = { ω ω = 1, 2,, 6 }. 用 X 表 示 掷 出 的 点 数, 称 X 是 随 机 变 量. {X 3} 表 示 掷 出 的 点 数 不 超 过 3, 并 且 {X 3} = { ω ω = 1, 2, 3} 是 事 件 将 X 视 为 Ω 上 的 函 数, X(ω) = ω, ω Ω, 则 {X j} = {ω ω = 1, 2,, j}. 是 事 件 33

40 34 第 二 章 随 机 变 量 和 概 率 分 布 例 1.2: 扑 克 牌 点 数 例 1.2 张 扑 克. 在 一 副 扑 克 的 52 张 中 任 取 一 张, 样 本 空 间 的 每 个 点 表 示 一 用 X 表 示 所 取 扑 克 的 大 小, 则 X = 3 表 示 所 取 到 的 扑 克 是 3. 将 X 视 为 样 本 空 间 上 的 函 数, 则 {X = 3} { ω X(ω) = 3 } = { 草 花 3, 黑 桃 3, 红 桃 3, 方 块 3 }. 是 事 件 我 们 称 X 是 随 机 变 量. 随 机 变 量 定 义 定 义 ( 随 机 变 量 ) X 是 定 义 在 样 本 空 间 Ω 上 的 实 值 函 数 : 对 每 一 个 样 本 点 ω, X(ω) 是 一 个 实 数. ( 更 严 格 的 数 学 定 义 还 要 求 关 于 X 落 入 区 间 是 事 件 ) 通 常 将 随 机 变 量 X(ω) 简 记 为 X. 在 概 率 论 和 数 理 统 计 学 中, 人 们 习 惯 用 大 写 的 X, Y, Z, ξ, η 等 表 示 随 机 变 量. 不 够 时 还 可 以 用 X 1, X 2, 等 表 示. 随 机 变 量 的 事 件 我 们 用 {X x}, 或 更 简 单 地 用 X x 表 示 事 件 { ω X(ω) x}. 对 于 实 数 的 集 合 A, 我 们 用 {X A}, 或 更 简 单 地 用 X A 表 示 事 件 {ω X(ω) A}. 于 是 {X A} ={ω X(ω) A}, {a < X b} ={ω a < X(ω) b}. 注 : 这 里 和 以 后 所 述 的 数 集 都 是 高 等 数 学 中 的 实 数 的 ( 可 测 ) 集 合, 并 且 对 数 集 A, 承 认 {X A} 是 事 件.

41 2.2 离 散 型 随 机 变 量 35 例 1.3,1.4: 随 机 变 量 的 函 数 例 1.3 掷 一 个 骰 子, 用 X 表 示 掷 出 的 点 数, 则 X, X 2, X + X 都 是 样 本 空 间 上 的 函 数, 因 而 都 是 随 机 变 量. 例 1.4 掷 n 个 骰 子, 用 Y 表 示 掷 出 的 点 数 之 和, 则 Y 是 随 机 变 量. 对 函 数 g(x), X = g(y ) 也 是 随 机 变 量, 因 为 X(ω) = g(y (ω)) 也 是 样 本 空 间 Ω 上 的 函 数. 例 1.5: 随 机 变 量 与 概 率 例 1.5 率. 在 52 张 扑 克 中 任 取 13 张, 求 这 13 张 牌 中 恰 有 5 张 草 花 的 概 解 易 得 到 注 : 用 X 表 示 这 13 张 牌 中 草 花 的 张 数, 则 X = 5 是 关 心 的 事 件, 容 P (X = 5) = C5 13 C 8 39 C = 在 许 多 实 际 问 题 中, 一 个 随 机 变 量 X 的 含 义 是 十 分 清 楚 的, 所 以 一 般 不 再 关 心 随 机 变 量 X 在 样 本 空 间 Ω 上 是 如 何 定 义 的. 可 以 认 为 X 的 所 有 取 值 就 是 我 们 的 样 本 空 间 只 是 在 必 要 的 时 候 才 将 自 变 元 ω 写 出 来. 2.2 离 散 型 随 机 变 量 离 散 型 随 机 变 量 有 些 变 量 只 能 取 有 限 个 或 可 列 个 值, 比 如, 被 访 问 者 的 性 别 年 龄 职 业, 一 批 产 品 中 次 品 个 数, 一 个 医 学 试 样 中 白 细 胞 个 数, 掷 两 个 骰 子 第 一 次 得 到 12 点 的 时 间, 等 等 另 外 的 变 量 可 以 取 到 区 间 内 任 何 值, 比 如 温 度 气 压 长 度 时 间 等 测 量 值 定 义 2.1 如 果 随 机 变 量 X 只 取 有 限 个 值 x 1, x 2,, x n, 或 可 列 个 值 x 1, x 2,, 就 称 X 是 离 散 型 随 机 变 量, 简 称 为 离 散 随 机 变 量 (discrete random variable). 以 下 就 X 取 可 列 个 值 的 情 况 加 以 表 述, 对 于 X 取 有 限 个 值 的 情 况 可 类 似 的 表 述.

42 36 第 二 章 随 机 变 量 和 概 率 分 布 定 义 2.2 设 X 是 离 散 随 机 变 量, 称 P (X = x k ) = p k, k 1, (2.1) 为 X 的 概 率 分 布 (probability distribution). 称 {p k } 是 概 率 分 布 列, 简 称 为 分 布 列. (distribution sequence). 分 布 列 当 分 布 列 {p k } 的 规 律 性 不 够 明 显 时, 也 常 常 用 如 下 的 方 式 表 达 概 率 分 布, X x 1 x 2 x 3 P p 1 p 2 p 3 (2.2) 分 布 列 {p k } 有 如 下 的 性 质 : (a) p k 0, (b) j=1 p j = 1. 由 于 p k 是 概 率, 所 以 是 非 负 的. 下 面 证 明 (b). 对 k j, {X = x j } 发 生, {X = x k } 就 不 能 发 生, 所 以 两 点 分 布 {X = x j }, j = 1, 2,, 互 不 相 容. 利 用 Ω = {X = x j }. 和 概 率 的 可 列 可 加 性 得 到 1 = P (Ω) = j=1 P (X = x j ) = j=1 p j. 两 点 分 布 (Bernoulli 分 布 ) B(1, p): 如 果 X 只 取 值 0 或 1, 概 率 分 布 是 j=1 P (X = 1) = p, P (X = 0) = q, p + q = 1, (2.3) 就 称 X 服 从 两 点 分 布, 记 做 X B(1, p) 或 X b(1, p) 任 何 试 验, 当 只 考 虑 成 功 与 否 时, 就 可 以 用 两 点 分 布 的 随 机 变 量 描 述 : 1, 试 验 成 功, X = 0, 试 验 不 成 功.

43 2.2 离 散 型 随 机 变 量 37 二 项 分 布 二 项 分 布 (Binomial 分 布 )B(n, p): 如 果 随 机 变 量 有 如 下 的 概 率 分 布 : P (X = k) =Cnp k k q n k, k = 0, 1,, n, (2.4) ( 其 中 pq > 0, p + q = 1) 就 称 X 服 从 二 项 分 布, 记 做 X B(n, p). 称 为 二 项 分 布 的 原 因 是 Cnp k k q n k 为 二 项 展 开 式 : (p + q) n = 的 第 k + 1 项. B 表 示 Binomial. n Cnp k k q n k k=0 二 项 分 布 的 折 线 图 二 项 分 布 的 背 景 二 项 分 布 的 背 景 设 试 验 S 成 功 的 概 率 为 p, 将 试 验 S 重 复 n 次, 用 X 表 示 成 功 的 次 数, 则 X B(n, p). 解 释 : 用 A j 表 示 第 j 次 试 验 成 功, 则 A 1, A 2,, A n 相 互 独 立, 且 P (A j ) = p.

44 38 第 二 章 随 机 变 量 和 概 率 分 布 从 n 次 试 验 中 选 定 k 次 试 验 的 方 法 共 有 C k n 种. 对 第 j 种 选 法 为 {j 1, j 2,, j k } 成 功, 其 余 失 败, 用 B j = A j1 A j2 A jk A jk+1 A jk+2 A jn 表 示, 则 {B j } 互 不 相 容, 并 且 {X = k} = C k n j=1 B j, P (B j ) = p k q n k. 用 概 率 的 有 限 可 加 性 得 到 C k n P (X = k) = P (B j ) = Cnp k k q n k. j=1 泊 松 分 布 (Poisson 分 布 ) Poisson(λ): 概 率 分 布 : 如 果 随 机 变 量 X 有 如 下 的 P (X = k) = λk k! e λ, k = 0, 1,, (2.5) 就 称 X 服 从 参 数 是 λ 的 Poisson 分 布, 简 记 为 X Poisson (λ). 这 里 λ 是 正 常 数. Poisson 分 布 的 例 子 : 单 位 时 间 放 射 性 粒 子 个 数 ; 某 段 高 速 公 路 上 一 年 的 事 故 数 ; 某 商 场 一 天 中 顾 客 到 来 个 数 ; 一 段 时 间 内 接 到 的 电 话 个 数 ; 等 等 泊 松 分 布 的 折 线 图

45 2.2 离 散 型 随 机 变 量 39 例 2.1 放 射 性 粒 子 数 例 年, 著 名 科 学 家 Rutherford( 罗 瑟 福 ) 和 Geiger( 盖 克 ) 观 察 了 放 射 性 物 质 钋 ( 读 po1)(polonium) 放 射 α 粒 子 的 情 况. 他 们 进 行 了 N = 2608 次 观 测, 每 次 观 测 7.5 秒, 一 共 观 测 到 个 α 粒 子 放 出, 下 面 的 表 是 观 测 记 录. 其 中 的 Y 是 服 从 Poisson(3.87) 分 布 的 随 机 变 量, 3.87 = 10094/2608 是 7.5 秒 中 放 射 出 α 粒 子 的 平 均 数. 用 Y 表 示 这 块 放 射 性 钋 在 7.5 秒 内 放 射 出 的 α 粒 子 数, 表 的 最 后 两 列 表 明 事 件 {Y = k} 在 N = 2608 次 重 复 观 测 中 发 生 的 频 率 和 P (Y = k) 基 本 相 同.

46 40 第 二 章 随 机 变 量 和 概 率 分 布 观 测 到 的 观 测 到 k 个 粒 子 发 生 的 P (Y = k) α 粒 子 数 k 的 次 数 m k 频 率 m k /N Y Poisson(3.87) 总 计 放 射 粒 子 数 的 观 测 频 率 与 泊 松 概 率 对 比 图 例 2.2 战 争 数 例 2.2 自 1500 至 1931 年 的 N = 432 年 间, 比 较 重 要 的 战 争 在 全 世 界 共 发 生 了 299 次. 以 每 年 为 一 个 时 间 段 的 记 录 见 下 面

47 2.2 离 散 型 随 机 变 量 41 爆 发 的 战 争 数 k 爆 发 k 次 战 争 的 年 数 m k 频 率 m k /N P (Y = k) 总 计 平 均 每 年 发 生 战 争 次 数 λ = 299/ 上 面, Y Poisson(0.69). 一 年 中 发 生 战 争 次 数 的 频 率 与 泊 松 概 率 对 比 图 例 2.3 出 租 车 遇 红 灯 数 例 2.3 设 一 辆 出 租 车 一 天 内 穿 过 的 路 口 数 Y 服 从 泊 松 分 布 Poisson(λ), 设 各 个 路 口 的 红 绿 灯 是 独 立 工 作 的, 在 每 个 路 口 遇 到 红 灯 的 概 率 是 p(> 0). (1) 已 知 一 辆 出 租 车 一 天 内 路 过 了 k 个 路 口, 求 遇 到 的 红 灯 数 的 分 布 ; (2) 求 一 辆 出 租 车 一 天 内 遇 到 的 红 灯 数 的 分 布. 解 设 这 辆 出 租 车 路 过 的 路 口 数 是 Y, 遇 到 的 红 灯 数 是 X. 每 到 一 个 路 口 相 当 于 作 一 次 试 验, 遇 到 红 灯 是 试 验 成 功.

48 42 第 二 章 随 机 变 量 和 概 率 分 布 (1) P (X = m Y = k) = C m k p m q k m, m = 0, 1,..., k, q = 1 p, (2) {Y = j}; j = 0, 1, 2,..., 构 成 完 备 事 件 组. 利 用 全 概 率 公 式 得 到 P (X = m) = = = P (Y = k)p (X = m Y = k) k=m k=m k=m = (λp)m e λ m! λ k k! e λ C m k p m q k m (λq) k m m!(k m)! e λ (λp) m j=0 = (λp)m e λ e λq m! 说 明 X 服 从 泊 松 分 布 Poisson(pλ). (λq) j j! = (λp)m e λp, m = 0, 1,. m! 超 几 何 分 布 H(n, M, N) 如 果 X 的 概 率 分 布 是 P (X = m) = Cm M Cn m N M, m = 0, 1,..., M, (2.8) C n N 就 称 X 服 从 超 几 何 分 布, 记 作 H(n, M, N). 注 意 对 k < 0 或 k > n, 约 定 C k n = 0. 名 称 超 几 何 分 布 来 自 超 几 何 函 数, 类 似 于 二 项 分 布 来 自 二 项 展 开 式. 例 2.4 N 件 产 品 中 恰 有 M 件 次 品, 从 中 任 取 n 件, 用 X 表 示 这 n 件 中 的 次 品 数, 则 X 服 从 超 几 何 分 布 (2.8). 如 果 这 批 产 品 充 分 多, 无 放 回 的 抽 取 和 有 放 回 的 抽 取 就 没 有 本 质 的 差 异 : P (X = m) = Cm M Cn m N M C n N C m n p m (1 p) n m, (p = M N )

49 2.3 连 续 型 随 机 变 量 43 几 何 分 布 如 果 随 机 变 量 X 有 如 下 的 分 布 P (X = k) = q k 1 p, k = 1, 2,, pq > 0, p + q = 1, (2.10) 就 称 X 服 从 参 数 是 p 的 几 何 分 布. 设 某 试 验 成 功 概 率 为 p, 独 立 地 重 复 此 试 验 直 到 第 一 次 成 功, 则 第 一 次 成 功 需 要 的 试 验 次 数 分 布 为 参 数 p 的 几 何 分 布 例 2.5 甲 向 一 个 目 标 射 击, 直 到 击 中 为 止. 用 X 表 示 首 次 击 中 目 标 时 的 射 击 次 数. 如 果 甲 每 次 击 中 目 标 的 概 率 是 p, 则 X 服 从 几 何 分 布 (2.10). 解 用 A j 表 示 甲 第 j 次 没 击 中 目 标, 由 {A j } 的 独 立 性 得 到 P (X = k) =P (A 1 A 2 A k 1 A k ) =q k 1 p, k = 1, 2,. (2.11) 2.3 连 续 型 随 机 变 量 连 续 型 随 机 变 量 定 义 在 线 段 上 随 机 投 点 的 位 置, 温 度 气 压 电 压 电 流 等 物 理 量 等 等, 理 论 上 可 以 在 取 到 某 个 区 间 任 何 实 数 值 这 样 取 值 的 随 机 变 量 称 为 连 续 型 随 机 变 量 定 义 3.1 设 X 是 随 机 变 量, 如 果 存 在 非 负 函 数 f(x) 使 得 对 任 何 满 足 a < b 的 a, b, 有 P (a < X b) = b a f(x) dx, (3.1) 就 称 X 是 连 续 型 随 机 变 量, 称 f(x) 是 X 的 概 率 密 度 函 数, 简 称 为 概 率 密 度 (probability density) 或 密 度. 分 布 密 度 性 质 设 f(x) 是 X 的 概 率 密 度, 则 f(x) 有 如 下 的 基 本 性 质. (a) f(x) dx = 1,

50 44 第 二 章 随 机 变 量 和 概 率 分 布 (b) P (X = a) = 0. 于 是 P (a < X b) = P (a X b), (c) 对 数 集 A( 严 格 意 义 下 要 求 可 测 性 ), P (X A) = f(x) dx. (3.2) 证 明 : (a) 由 可 得 (b) f(x)dx = P ( < X ) = 1, Pr(X = a) Pr(X (a ε, a]) = (c) 不 证 A a a ε f(x) dx 0, ε 0. 概 率 密 度 的 意 义 概 率 密 度 与 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 有 很 大 差 别, 分 布 列 p k = Pr(X = x k ) 本 身 就 是 X 取 x k 的 概 率 ; 连 续 型 随 机 变 量 取 任 何 一 个 特 定 值 的 概 率 都 等 于 零 ; f(x) 是 一 个 相 对 均 匀 分 布 的 概 念, 如 果 f(x 2 ) = 2f(x 1 ), 可 以 认 为 X 在 x 2 附 近 取 值 的 概 率 比 X 在 x 1 附 近 取 值 的 概 率 大 一 倍, 严 格 讲, 假 设 f(x) 在 x 1 和 x 2 处 连 续, Pr(x 2 ε < X x 2 + ε) Pr(x 1 ε < X x 1 + ε) = x2+ε x 2 ε x1 +ε f(x) dx f(x) dx f(x 2) f(x 1 ) = 2 x 1 ε 均 匀 分 布 (Uniform 分 布 ) U(a, b): 对 a < b, 如 果 X 的 密 度 是 1 f(x) =, x (a, b), b a (3.3) 0, x (a, b). 就 称 X 服 从 区 间 (a, b) 上 的 均 匀 分 布, 记 做 X U(a, b). 这 里 U 是 Uniform 的 缩 写. 明 显, 表 达 式 (3.3) 中 的 区 间 (a, b) 也 可 以 写 成 (a, b], [a, b) 或 [a, b].

51 2.3 连 续 型 随 机 变 量 45 采 用 (a, b) 的 示 性 函 数 (indicator function) 1, x (a, b), I (a,b) = 0, x / (a, b), 还 可 以 将 (3.3) 中 的 密 度 f(x) 写 成 f(x) = 1 b a I (a,b). 例 3.1 等 车 例 3.1 每 天 的 整 点 ( 如 9 点, 10 点, 11 点 等 ) 甲 站 都 有 列 车 发 往 乙 站. 一 位 要 去 乙 站 的 乘 客 在 9 点 至 10 点 之 间 随 机 到 达 甲 站. 用 Y 表 示 他 的 等 车 时 间, 计 算 他 候 车 时 间 小 于 30 分 钟 的 概 率. 解 题 目 中 随 机 到 达 的 含 义 指 在 等 长 的 时 间 段 中 到 达 的 可 能 性 相 同. 用 X 表 示 他 的 到 达 时 刻, X 在 0 至 60 分 钟 内 均 匀 分 布, 有 密 度 函 数 f(x) = 1 60 I (0,60). {Y < 30 分 钟 } 表 示 该 乘 客 在 9 : 30 至 10 : 00 之 间 到 达, 这 是 和 {30 < X 60} 等 价 的, 于 是 P (Y < 30 分 钟 ) = P (30 < X 60) = f(x)dx = 1 2. 指 数 分 布 (Exponential 分 布 ) E(λ): 对 正 常 数 λ, 如 果 X 的 密 度 是 λe λx, x 0, f(x) = (3.4) 0, x < 0, 就 称 X 服 从 参 数 λ 的 指 数 分 布, 记 做 X E(λ). 这 里 E 是 Exponential 的 缩 写. 通 常 还 把 (3.4) 简 记 为 f(x) = λe λx, x 0, 或 f(x) = λe λx I [0, ).

52 46 第 二 章 随 机 变 量 和 概 率 分 布 指 数 分 布 的 密 度 图 示 例 指 数 分 布 的 无 后 效 性 指 数 分 布 经 常 用 来 表 示 电 子 元 件 寿 命 事 件 到 来 间 隔 时 间 等 这 样 的 量 经 常 具 有 无 后 效 性, 即 已 经 存 活 ( 等 待 ) 了 多 长 时 间 对 还 会 再 存 活 ( 等 待 ) 多 长 时 间 没 有 影 响 非 负 随 机 变 量 : 若 随 机 变 量 X 满 足 Pr(X < 0) = 0 则 称 X 为 非 负 随 机 变 量 定 理 3.1 设 X 是 连 续 型 非 负 随 机 变 量, 则 X 服 从 指 数 分 布 的 充 分 必 要 条 件 是 对 任 何 s, t 0, 有 P (X > s + t X > s) = P (X > t). (3.5) 性 质 (3.5) 称 为 无 后 效 性. 无 后 效 性 是 指 数 分 布 的 特 征. 如 果 X 表 示 某 仪 器 的 工 作 寿 命, 无 后 效 性 (3.5) 的 解 释 是 : 当 仪 器 工 作 了 s 小 时 后 再 能 继 续 工 作 t 小 时 的 概 率 等 于 该 仪 器 刚 开 始 就 能 工 作 t 小 时 的 概 率. 说 明 该 仪 器 的 使 用 寿 命 不 随 使 用 时 间 的 增 加 发 生 变 化, 或 说 仪 器 是 永 葆 青 春 的. 一 般 来 说, 电 子 元 件 和 计 算 机 软 件 等 具 备 这 种 性 质, 它 们 本 身 的 老 化 是 可 以 忽 略 不 计 的, 造 成 损 坏 的 原 因 是 意 外 的 高 电 压, 计 算 机 病 毒 等 等. 青 花 盘 的 使 用 寿 命 也 可 被 认 为 有 无 后 效 性.

53 2.3 连 续 型 随 机 变 量 47 例 3.2 粒 子 到 来 间 隔 时 间 设 时 间 (0, t] 内 有 N(t) 个 粒 子 放 射 出 来 N(t) Poisson(µt) 设 X 为 第 一 个 粒 子 发 射 出 来 的 时 刻, 则 {X > t} = {N(t) = 0} µt (µt)0 Pr(X > t) = Pr(N(t) = 0) = e 0! = e µt 对 任 何 0 a < b 有 P (a < X 1 b) = P (X 1 > a) P (X 1 > b) =e µa e µb = b a µe µx dx. 即 X 的 概 率 密 度 为 f(x) = µe µx I [0, ) (x). 正 态 分 布 正 态 分 布 (Normal 分 布 ) N(µ, σ 2 ): 设 µ 是 常 数, σ 是 正 常 数. 如 果 X 的 密 度 是 f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2, x R, (3.8) 2πσ 2 2σ 2 就 称 X 服 从 参 数 为 (µ, σ 2 ) 的 正 态 分 布, 记 做 X N(µ, σ 2 ). 这 里 N 是 Normal 的 缩 写. 特 别, 当 X N(0, 1) 时, 称 X 服 从 标 准 正 态 分 布 (standard normal distribution). 标 准 正 态 分 布 的 密 度 函 数 有 特 殊 的 地 位, 所 以 用 一 个 特 定 的 符 号 φ 表 示 : φ(x) = 1 ) exp ( x2, x R. (3.9) 2π 2 正 态 分 布 的 密 度 图 示 例

54 48 第 二 章 随 机 变 量 和 概 率 分 布 正 态 分 布 密 度 特 点 参 数 µ 是 密 度 的 中 心 和 最 大 值 点, 密 度 在 µ 两 侧 对 称 ; 参 数 σ 代 表 了 密 度 的 宽 度,σ 越 大 密 度 越 宽 ( 见 演 示 ) 正 态 分 布 的 随 机 变 量 X 具 有 大 部 分 值 靠 近 µ 的 特 点 ( 经 验 规 则 ): Pr( X µ σ) =68.27% Pr( X µ 2σ) =95.45% Pr( X µ 3σ) =99.73% Pr( X µ > 6σ) = 出 现 在 µ ± kσ(k=2,3,6 等 ) 外 的 点 认 为 是 比 较 值 得 注 意 的 点 记 Φ(x) = x φ(t) dt, Φ(x) 有 表 格 另 外 Φ( x) = 1 Φ(x) 对 X N(µ, σ 2 ), 正 态 分 布 的 历 史 Pr(X (a, b]) = Φ( b µ σ ) Φ(a µ σ ) 正 态 分 布 最 早 由 Gauss 在 研 究 测 量 误 差 时 得 到, 所 以 正 态 分 布 又 被 称 为 Gauss 分 布.

55 2.3 连 续 型 随 机 变 量 49 在 布 朗 运 动 的 研 究 中, 人 们 也 得 到 了 正 态 分 布. 正 态 分 布 在 概 率 论 和 数 理 统 计 中 有 特 殊 的 重 要 地 位. 事 实 表 明, 产 品 的 许 多 质 量 指 标, 生 物 和 动 物 的 许 多 生 理 指 标 等 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布. 大 量 相 互 独 立 且 有 相 同 分 布 的 随 机 变 量 的 累 积 也 近 似 服 从 正 态 分 布 ( 参 考 二 项 分 布 当 n 较 大 时 的 概 率 分 布 图 形 ). 例 3.3 零 件 长 度 例 3.3 一 台 机 床 加 工 的 部 件 长 度 服 从 正 态 分 布 N(10, ). 当 部 件 的 长 度 在 10 ± 0.01 内 为 合 格 品, 求 一 部 件 是 合 格 品 的 概 率. 解 件 用 X 表 示 生 产 的 一 个 部 件 的 长 度, 则 X N(10, ). 事 { 0.01 X } 表 示 这 个 部 件 是 合 格 品. P ( 0.01 X ) =P ( 0.01 X ) 3 =Φ(1.67) Φ( 1.67) = 2Φ(1.67) 1 = = 这 个 概 率 令 人 太 不 满 意 了, 说 明 这 台 机 床 的 质 量 有 问 题. 以 后 会 知 道 质 量 问 题 可 以 由 参 数 σ 2 体 现 出 来 ( 参 考 习 题 2.17). Gamma 分 布 Gamma 分 布 Γ(α, λ): 设 α, λ 是 正 常 数, Γ(α) 由 积 分 Γ(α) = 0 x α 1 e x dx (3.14) 定 义. 如 果 X 的 密 度 是 λ α Γ(α) f(x) = xα 1 e λx, x 0, (3.15) 0, x < 0. 就 称 X 服 从 参 数 (α, λ) 的 Gamma 分 布, 记 做 X Γ(α, λ). 这 里 Γ 是 Gamma 的 简 写.

56 50 第 二 章 随 机 变 量 和 概 率 分 布 注 意 α = 1 时 Γ(1, λ) 即 E(λ) 伽 马 分 布 的 密 度 图 示 例 Gamma 分 布 的 历 史 英 国 著 名 统 计 学 家 Pearson 在 研 究 物 理, 生 物 及 经 济 中 的 随 机 变 量 时, 发 现 很 多 连 续 型 随 机 变 量 的 分 布 都 不 是 正 态 分 布. 这 些 随 机 变 量 的 特 点 是 只 取 非 负 值, 于 是 他 致 力 于 这 类 随 机 变 量 的 研 究. 从 1895 年 至 1916 年 间, Pearson 连 续 发 表 了 一 系 列 的 连 续 分 布 密 度 曲 线, 认 为 这 些 曲 线 可 以 包 括 常 见 的 单 峰 分 布, 其 中 就 有 Gamma 分 布. 在 气 象 学 中, 干 旱 地 区 的 年 季 或 月 降 水 量 被 认 为 服 从 Γ 分 布, 指 定 时 间 段 内 的 最 大 风 速 等 也 被 认 为 服 从 Γ 分 布. 例 3.4: 指 数 分 布 随 机 变 量 的 和 例 3.4 在 Poisson 分 布 的 例 子 中, 用 S k 表 示 从 开 始 到 观 测 到 第 k 个 α 粒 子 的 时 间, 可 以 证 明 S k 服 从 Γ(k, λ) 分 布.

57 2.4 概 率 分 布 函 数 概 率 分 布 函 数 概 率 分 布 函 数 概 率 分 布 函 数 为 了 计 算 事 件 {X (a, b]} 的 概 率, 如 果 X 是 离 散 型 随 机 变 量, 则 Pr(X (a, b]) = 如 果 X 是 连 续 型 随 机 变 量, 则 Pr(X (a, b]) = x k (a,b] b a p k f(x) dx 事 实 上, 如 果 我 们 定 义 F (x) = Pr(X x), 则 Pr(X (a, b]) = F (b) F (a) 这 样 的 F (x) 可 以 帮 助 我 们 计 算 {X (a, b]} 的 概 率 概 率 分 布 函 数 定 义 定 义 4.1 对 随 机 变 量 X, 称 x 的 函 数 F (x) = P (X x), x, (4.1) 为 X 的 概 率 分 布 函 数, 简 称 为 分 布 函 数 (distribution function), 也 称 为 累 积 (cumulative) 分 布 函 数 例 4.1 Φ(x) = x φ(t) dt 是 标 准 正 态 分 布 的 分 布 函 数. 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数 从 定 义 看 出, 如 果 X 是 离 散 型 随 机 变 量, 有 概 率 分 布 p k = P (X = x k ), k = 1, 2,, (4.2) 则 X 的 分 布 函 数 F (x) = P (X x) = P ( {X = x j }) = p j (4.3) j: x j x j: x j x 是 单 调 不 减 的 阶 梯 函 数.

58 52 第 二 章 随 机 变 量 和 概 率 分 布 它 在 每 个 x j 有 跳 跃 p j. 这 时, 我 们 也 称 F (x) 是 分 布 列 {p j } 的 分 布 函 数. 见 二 项 分 布 B(10, 0.6) 的 分 布 函 数 图, 横 坐 标 是 x, 纵 坐 标 是 F (x). 从 图 形 可 以 看 出, F (x) 是 单 调 不 减 右 连 续 函 数. B(10,0.6) 的 分 布 函 数 图 连 续 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数 如 果 X 是 连 续 型 随 机 变 量, 有 概 率 密 度 f(x), 则 F (x) = x f(t) dt (4.4) 是 连 续 函 数, 并 且 在 f(x) 的 连 续 点 x 有 f(x) = F (x). 我 们 也 称 F (x) 是 f(x) 分 布 函 数. 见 图 形 N(0,1), E(1.2), E(0.6), E(0.3) 分 布 函 数 图

59 2.4 概 率 分 布 函 数 53 分 布 函 数 性 质 分 布 函 数 F (x) 的 常 用 性 质 : (1) F 单 调 不 减 右 连 续, (2) F ( ) = 1, F ( ) = 0. 证 明 (1) 对 x < y, 单 调 不 减 性 由 {x < X y} = {X y} {X x} 和 P (x < X y) = P (X y) P (X x) = F (y) F (x) 0 得 到. 由 于 n 越 大, 集 合 {X 1/n} 越 小, 所 以 用 F 的 单 调 性 和 概 率 P 的 连 续 性 得 到 lim F (x + δ) = lim F (x + 1/n) δ 0 n = lim P (X x + 1/n) n =P ( n=1{x x + 1/n}) =P (X x) = F (x). (2) 由 F ( ) = P (X ) = P (Ω) = 1 和 F ( ) = P (X ) = P ( ) = 0 得 到 (2).

60 54 第 二 章 随 机 变 量 和 概 率 分 布 密 度 与 分 布 函 数 对 于 连 续 型 的 随 机 变 量, 密 度 函 数 通 过 (4.4) 唯 一 决 定 分 布 函 数. 定 理 4.1 设 X 的 分 布 函 数 F 连 续, 数 集 A 中 任 何 两 点 之 间 的 距 离 大 于 正 数 δ. 如 果 在 A 外 导 数 F (x) 存 在 且 连 续, 则 F (x), 当 x A, f(x) = (4.5) 0, 当 x A 是 X 的 密 度 函 数. 连 续 型 分 布 的 分 布 函 数 一 定 是 连 续 的, 分 布 函 数 如 果 不 连 续 就 不 是 连 续 型 分 布 除 了 连 续 型 分 布 和 离 散 型 分 布 以 外 还 存 在 其 它 类 型 的 分 布 如 : 零 过 多 数 据 的 分 布 常 见 分 布 的 分 布 函 数 均 匀 分 布 的 分 布 函 数 若 X U(0, 1), 则 其 分 布 密 度 为 f(x) = 1, x (0, 1) 其 分 布 函 数 为 0 x 0 F (x) = x 1 dt = x, x (0, 1) 0 1 x 1 若 X U(a, b), 则 其 分 布 密 度 为 f(x) = 1, x (a, b) b a 其 分 布 函 数 为 0 x a F (x) = x 1 x a dt =, x (a, b) a b a b a 1 x b

61 2.4 概 率 分 布 函 数 55 正 态 分 布 的 分 布 函 数 设 X N(0, 1), 则 X 的 分 布 函 数 为 Φ(x) = x φ(t) dt 其 中 φ(x) = 1 e x2 2 2π 设 X N(µ, σ 2 ), 下 一 节 将 证 明 其 分 布 函 数 为 F (x) = Φ( x µ σ ) 指 数 分 布 的 分 布 函 数 若 X E(λ), 则 其 分 布 密 度 为 f(x) = λe λx, x 0 其 分 布 函 数 为 F (x) = x 0 λe λt dt = 1 e λx, x 0 Gamma 分 布 的 分 布 函 数 若 X Γ(α, λ), 则 其 分 布 密 度 为 f(x) = λα Γ(α) xα 1 e λx, x 0 当 λ = 1 时 其 分 布 函 数 为 I α (x) = 1 Γ(α) x 0 t α 1 e t dt, t 0 称 为 不 完 全 Gamma 函 数, 是 没 有 解 析 表 达 式 的 对 一 般 Γ(α, λ) 其 分 布 函 数 为 F (x) = I α (λx), x 0

62 56 第 二 章 随 机 变 量 和 概 率 分 布 2.5 随 机 变 量 函 数 的 分 布 随 机 变 量 函 数 分 布 例 5.1 例 5.1 设 X 有 如 下 的 概 率 分 布 X P 求 Y = X 2 的 分 布. 解 Y 的 取 值 是 0, 1, 4, 9, 而 且 P (Y = 0) = P (X = 0) = 0.3; P (Y = 1) = P ( X = 1) = = 0.4; P (Y = 4) = P ( X = 2) = P (X = 2) = 0.1; P (Y = 9) = P (X = 3) = 0.2. 于 是 Y 有 分 布 Y P 例 5.2 均 匀 分 布 的 反 函 数 例 5.2 设 X U(0, 1), Φ 1 (p)(p (0, 1)) 是 Φ(x) 的 反 函 数, 求 Y = Φ 1 (X) 的 分 布. 解 F Y (y) = P (Φ 1 (X) y) = P (X Φ(y)) = Φ(y), x R, 所 以 Y N(0, 1). 例 5.3: 正 态 分 布 例 5.3 解 设 X N(µ, σ 2 ), 则 Y = (X µ)/σ 服 从 标 准 正 态 分 布 N(0, 1), 且 X 的 分 布 函 数 为 Φ( x µ σ ). 先 求 Y 的 分 布 函 数 F Y (y). 设 F X (x) 是 X 的 分 布 函 数, 则 F X 连 续 可 导, 并 且 有 F X(x) = 1 ( exp (x ) µ)2. 2πσ 2 2σ 2

63 2.5 随 机 变 量 函 数 的 分 布 57 于 是, 关 于 y 连 续 可 导, 对 y 求 导 数 得 到 概 率 密 度 F Y (y) =P (Y y) = P ((X µ)/σ y) =P (X yσ + µ) = F X (yσ + µ) f Y (y) =F Y (y) = F X(yσ + µ)σ = σ ( ) (yσ + µ µ) 2 exp 2πσ 2 2σ 2 = 1 2π e y2 /2 = φ(y). 定 理 说 明 Y N(0, 1). 因 为 F Y (y) = F X (µ + σy) 所 以 F X (x) = F Y ( x µ σ x µ ) = Φ( ). σ 定 理 5.1 设 X 有 密 度 函 数 f(x), D R, Y = g(x), P (Y D) = 1. 如 果 存 在 函 数 h i (y) 使 得 (1) 对 y D, {Y = y} = n i=1 {X = h i(y)}, (2) 每 个 h i (y) 是 D 到 其 值 域 D i 的 可 逆 映 射, 有 连 续 的 导 数, (3) 值 域 D 1, D 2,, D n 互 不 相 交, 则 Y 有 密 度 函 数 n i=1 f Y (y) = f(h i(y)) h i(y), y D, 0, y D. (5.1) 证 明 见 附 录 A3. 注 : 定 理 5.1 中 的 n 也 可 以 是. 计 算 随 机 变 量 的 函 数 的 概 率 密 度 的 更 直 接 方 法 请 参 考 附 录 D. 为 了 方 便 记 忆, 可 以 把 (5.1) 写 成 f Y (y) = n df X(h i (y)), y D. (5.2) dy i=1

64 58 第 二 章 随 机 变 量 和 概 率 分 布 推 论 推 论 : 设 随 机 变 量 X 取 值 于 C R, Y = g(x), g(x) 是 C 到 D R 的 一 一 变 换,x = h(y) = g 1 (y) 是 g(x) 的 反 函 数, 设 h(y) 有 连 续 的 导 数 则 f Y (y) = f(h(y)) h (y), y D. 例 5.4: 正 态 分 布 的 线 性 变 换 例 5.4 设 常 数 a 0, X N(µ, σ 2 ), 则 Y = ax + b 服 从 正 态 分 布 N(aµ + b, a 2 σ 2 ). 特 别 地, Y = X µ σ N(0, 1) 解 X 有 密 度 函 数 f X (x) = 1 ( exp (x ) µ)2. 2πσ 2 2σ 2 设 D = (, ), 则 P (Y D) = 1, {Y = y} = {ax + b = y} = {X = (y b)/a}. h(y) = (y b)/a 满 足 定 理 5.1( 或 推 论 ) 的 条 件, 有 导 数 h (y) = 1/a. 利 用 定 理 5.1 得 到 Y 的 概 率 密 度 f Y (y) =f X (h(y)) h (y) = 1 ( exp 2πσ 1 ( = exp 2πσ a [(y b)/a µ]2 2σ 2 ) 1 a (y b ) aµ)2 2a 2 σ 2 再 由 正 态 分 布 的 定 义 知 道 Y N(aµ + b, a 2 σ 2 ). 例 5.5: 正 态 分 布 的 平 方 设 X N(0, 1), 求 Y = X 2 的 分 布. 解 设 D = (0, ), 则 P (Y D) = P ( X > 0) = 1. {Y = y} = {X = y} + {X = y}, y D. h 1 (y) = y, h 2 (y) = y 满 足 定 理 5.1 的 条 件.

65 2.5 随 机 变 量 函 数 的 分 布 59 由 定 理 5.1 得 到 Y 的 密 度 f Y (y) =f X (h 1 (y)) h 1(y) + f X (h 2 (y)) h 2(y) = 1 ( exp 1 ) 1 2π 2 h2 1(y) + 1 ( exp 1 2π 2 h2 2(y) = 1 2πy e y/2, y (0, ). 2 y ) 1 2 y 例 5.6 设 r 是 正 数, X U(0, 2π), 求 Y = r cos X 的 密 度. 解 设 D = ( r, r), 则 P (Y D) = 1. 对 于 y D, 有 {Y = y} = {cos X = y/r} ={cos X = y/r, X (0, π)} {cos X = y/r, X (π, 2π)} ={cos X = y/r, X (0, π)} {cos(2π X) = y/r, X (π, 2π)} ={X = arccos(y/r)} {X = 2π arccos(y/r)}, h 1 (y) = arccos(y/r), h 2 (y) = 2π arccos(y/r) 满 足 定 理 5.1 的 条 件, 在 D 中 有 导 数 h 1 1(y) = r2 y, 1 2 h 2(y) = r2 y. 2 因 为 X 有 分 布 函 数 于 是 Y 有 密 度 函 数 F X (x) = x, x (0, 2π), 2π f Y (y) =f X (h 1 (y)) h 1(y) + f X (h 2 (y)) h 2(y) 1 = π r 2 y, 2 y ( r, r).

證 明 : 令 φ(x f(x, ydy, 則 φ(x + x φ(x x f x (ξ, ydy f x (ξ, y f x (x, y dy f x (x, ydy f(x + x, y f(x, y d dy f x (x, ydy x f x (x, ydy, ξ ξ(y 介 於 x, x

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