Chapter3

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慨夷范
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1 第讲线性空间与线性相关性线性空间定义与性质元素组的线性相关性 3 元素组间的线性表示 6:3 共 7 页线性空间及其基本性质定义设 V是一个非空集合, K是一个数域, 若 ( ) 存在 V中任意两个元素到 V中某个元素的对应, 即对 V中任意两元素, 在 V 中都有唯一的元素 γ 与它们对应一般称该对应为加法 ( 运算 ), γ 称为与的和, 记做 γ = + 要求此加法满足 ( ) + = + ( )( + ) + γ = + ( + γ ) (3) V中存在一个元素 θ, 使得对任意 V θ + = ( 4) 对 V中任意元素, 存在一个元素 V, 使得 + = θ () 存在 V中任一元素与 K中任一元素到 V中某个元素的对应, 即对 V中任一元素与 K中任一数 k都有 6:3 共 7 页

2 V 中唯一元素 δ 与它们对应一般称此对应为数乘 ( 运算 ), δ称为 k 与的数量乘积, 记做 δ = k 要求数乘运算满足 ( ) = ( )( kl ) = k( l ) (3) 加法与数乘混合运算满足 ( 3)( k + l) = k + l (3) k ( + ) = k + k 此时, 称 V是数域 K上的线性空间若 K 为实 ( 复 ) 数域, 简称 V 为实 ( 复 ) 线性空间注记 ( ) 通常称 (3) 中的元素 θ为零 ( 元素 ) ( ) 通常称 (4) 中的元素为的负元素 ( 3) 加法与数乘的定义蕴含了加法与数乘的封闭性 (4) 在线性空间定义中并没有明确加法与数乘的运算法则因此线性空间的形式多样在具体检验时要先确定这两运算的法则 6:3 共 7 页 3 例数域 K上所有维向量构成的集合, 记做 K, 按向量的加法与数乘为数域 K上的线性空间例数域 K 上所有型矩阵的集合 K 按通常的矩阵加法与数乘构成线性空间例 3 数域 K 上多项式全体 K[ x] 或次数小于的多项式全体与构成的集合 K [ x], 按多项式的加法与数乘都构成线性空间例 4 区间 [ a, b] 上全体实值连续函数构成的集合, 按函数的加法与数乘构成实线性空间, 通常记做 C[ a, b] 以上例子中的加法与数乘都是所熟知的, 具体的验证也比较简单, 请同学自行完成例 5 全体正实数的集合记做 R +, 在其上定义加法及数乘运算分别如下 6:3 共 7 页 4

3 k + a b = ab, k a = a ( k R, a, b R ) + 则在给定加法与数乘运算下 R 为实线性空间证明显然对任意 a, b R + 及 k R, + a b R 以及 k a R + 因此只需要验证定义中相关运算性质成立 () a b = ab = ba = b a () a ( b c) = a bc = abc = ab c = ( a b) c + ( 3) 取 θ =, 则对 a R, θ a = a = a ( 4) +, = a 对 a R a a a =, a 为 a的负元素 () a = a kl l k l ( )( kl) a = a = ( a ) = k a = k ( l a) k+ l k l ( 3)( k + l) a = a = a a = ( k a) ( l a) k k k ( 3) k ( a b) = ( ab) = a b = ( k a) ( k b) + 所以 R 对于所定义的运算是实线性空间 6:3 共 7 页 5 性质设 V 是数域 K上的线性空间, V, 那么 ( ) V 中零元素 θ唯一 ; ( ) 的负元素唯一, 记做 ; ( 3) = θ, kθ = θ,( ) = ; ( 4) k = θ则 k = 或 = θ 证明 ( ) 设 θ, θ 是 V的两个零元素, 则 θ = θ + θ = θ + θ = θ ( ) 设, γ是的两个负元素, 则 = θ + = ( γ + ) + = γ + ( + ) = γ + θ = γ (3) = θ + = ( + ( + ) + ) = + = θ ( ) = θ + ( ) = + ( + ( ) ) = k θ = k( + ) = k (( ) ) + ) k+ k = k + k = ( k + k) = = θ ( 4) 若 k, 则 = = ( k k) = k ( k ) = k θ = θ 6:3 共 7 页 6 3

4 例 6 数域 K上维向量的集合, 按通常向量的加法以及如下定义的数乘 : k ( a, a, a) = ( a, a, a) 不构成线性空间因为 ( a, a, a ) = ( a, a, a ) θ 注记与说明通常人们也称线性空间的元素为向量自然地, 线性空间有时也称为向量空间显然此向量 / 向量空间与此前所学向量 / 向量空间无论形式与内涵都有较大的扩展与延伸, 为免初学时混淆, 本课程不用这些术语此后, 若线性空间未明确, 以小写希腊字母, 等表示其元素, 其中 θ 表示零元素对数域中的数常以小写字母 a, b等表示简称由有限个元素构成的集合为元素组 6:3 共 7 页 7 线性相关性定义设 V是数域 K上的线性空间,,, 为 V中一组元素, 若 K中存在一组数 k, k, k, 使得元素满足 = k + k k 则称能被或称, 线性表出 ( 线性表示 ), 为 k, k, k 称为该线, 的一个线性组合, 性组合的系数若 K 中存在不全为零的数 k,, k 使得 k + k k = θ 则称,, 线性相关, 否则称线性无关注记 ( ),, 中任一元素 j都可用该元素组线性表示 (),, 线性无关 k = = k = 时才有 k k = + k θ 6:3 共 7 页 8 4

5 (3) 任一元素组, 要不线性无关要不线性相关, 且线性相关与否与元素组中元素次序无关 (4) 零元素 θ 可表示成任意元素组的线性组合 ; 任何含零元素的元素组线性相关 ; 单个元素线性相关 = θ 例 7 在线性空间 K 中, 元素组 I, = I, = I, = I = 线性无关 K 中元素都可由该元素组线性表示 a a = a + a a a + a + a 但元素组,,, 线性相关 6:3 共 7 页 9 例 8 K [x] 中元素组, x,, x 线性无关, 因为 k k x k x = k = k = = k + = 例 9 + 验证例 5线性空间 R 中任意两元素必线性相关事实上对任意, R +, k, k R 由 k k = ( k ) ( k ) = θ = 可得若 =, 可取 k =, k =, 若, 可取 k = l /l, k = 使上式成立从而, 线性相关性得到验证需要提醒的是线性相关性与数域有关比如在实数域 R和复数域 C下都容易验证复数集 C按通常数的加法与乘法是线性空间但元素, i 在实数域下线性无关, 而在复数域下线性相关无特别说明, 此后我们总约定在数域 K 下讨论 6:3 共 7 页 5

6 定理元素组,,,( ), 线性相关的充要条件是,, 中至少有一个元素可由其它个元素线性表示由一个元素组中的一部分元素构成的元素组称为原元素组的部分组命题若元素组存在线性相关的部分组, 那么元素组本身线性相关反之若元素组线性无关, 则其任意部分组也线性无关定理若元素组,, 线性无关, 而元素组,, 线性相关, 则元素必能被, 线性表示且表示式是唯一的证明由,, 线性相关可知, 存在不全为零常数 k, k 以及, 使得 k k + l = l θ 6:3 共 7 页若 l =, 则 k k = θ 且 k,, k k不全为与,,, 线性无关矛盾因此 l 此时 k k k l l l = 因此能被,, 线性表示下证表示的唯一性若可表示成 = c + c c 以及 = d + d d 那么 θ = ( c d) + ( c d ) ( c d ) 由,, 线性无关可知 c = d, c = d, c = d 因此由, 线性表示的方法唯一 6:3 共 7 页 6

7 3 元素组间的线性表示定义 3 设有两个元素组 ( I ) :,,, 及 ( II ) :,, 若 ( II ) 中的每个元素都能由元素组 ( I ) 线性表示, 则称元素组 ( II ) 能被元素组 ( I ) 线性表示若元素组 ( I ),( II ) 能相互线性表示, 则称这两个元素组等价例在线性空间 K 4[ x] 中, 元素组 ( I ) : 3 + x, x + x, x, x 3 能被元素组 ( II ) :, x, x, x 线性表示反之不真? 例在线性空间 K 中, 以下两组元素等价 I =, I, = I, = I = G =, G, = G, 3 = G 4 = 6:3 共 7 页 3 为了便于表示元素的线性组合与元素组之间的线性表示, 我们先引入一些形式记法若元素可表示 = a + a a 那么我们可以形式地记成 a a =,, ) ( a 注记这种记法只是形式的, 因为对线性空间的元素组,,, 一般而言, 符号 (,, ) 未必是矩阵, 但记法上把它看作 ( 分块 ) 行矩阵, 并借用矩阵乘法表示 = a + a a 类似, 对多个元素 = a + a a = a + a a 6:3 共 7 页 4 7

8 我们可以形式地记成,,, ) =,, ) ( ( a a a a a a a a a = ( a,, )( ij ) 此时称矩阵 A = ( a ij ) 为此线性表示的系数矩阵性质对此形式记法, 下面的运算规律成立 ( 其中 A, B 为矩阵且满足相应运算条件 ) ( )(,,, ) A + (,, ) B = (,, )( A + B) ( )[(,,, ) A] B = (,, )( AB) ( 3)(,,, ) A+ (,, ) A = ( +, +, + ) A ( 4) 若,, 线性无关, 那么 (,, ) A = (,, ) B A = B 性质的检验留作练习请同学自己完成 6:3 共 7 页 5 推论若 A 可逆则由 (,,, ) A = ( 可得 (,,, ) = (,,, ) A,, ) 从而若元素组,,, 能被元素组,, 线性表示且该表示的系数矩阵可逆, 那么这两组元素等价进一步由性质可得元素组之间的等价满足 ( ) 反身性 ( ) 对称性 (3) 传递性定理 3 若元素组, 线性无关, A 为方阵且 (,,, ) A = (,, ) 那么若 A可逆当且仅当, 线性无关证明记 x = ( x, x ) 由,, 线性无关可知 (, ) Ax = θ Ax = 再由 x + + x = (, ) x = (, ) Ax 可得 θ = x x Ax = 因此,, 线性无关 Ax 只有零解 A 可逆 = 6:3 共 7 页 6 8

9 课后练习对所给运算以下集合是否为相应数域上线性空间? a) 数域 K上阶对称 ( 反对称 ) 矩阵的集合, 对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法 ; b) 数域 K上二维向量的集合, 加法与数乘运算定义为 ( a, b) ( c, d) = ( a + c, b + d + ac) k ( k) k ( a, b) = ( ka, kb + a ) 证明在 b ) 线性空间中, 向量 (,),(,) 线性无关 3 判断线性空间 K 4[ x] 中多项式 3 3 f ( x) = x + 6x +, f ( x) = x x +, f3 ( x) = x x +, f4( x) = x + 的线性相关性 4 证明性质 6:3 共 7 页 7 9

10 第讲极大无关组与线性空间的基极大无关组与秩线性空间的基与维数 3 线性空间元素坐标 6:4 共 6 页极大无关组与秩定义非零元素组的一个部分组称为该元素组的极大无关组, 如果此部分组线性无关且从原元素组的剩余元素 ( 如果还有 ) 中任取一个添进去后所得部分组总线性相关显然线性无关元素组的极大无关组就是其本身由定理及定义容易证明定理假定元素组 ( I ) : i, ( II ) :, i r 是元素组线性无关部分组那么元素组 ( I ) 是元素组 ( II ) 极大无关组的充要条件是元素组 (II ) 中每个元素都能被元素组 ( I ) 线性表出注记定理表明元素组与其极大无关组等价同一元素组的任意两个极大无关组必等价 6:4 共 6 页

11 例在 K[x] 中, 取元素组 =, = x, 3 = + x, 4 = x 3 则部分组, 线性无关且 3 = + 4 = 3 因此, 是元素组,, 3, 4的极大无关组同样可验证元素组, 3, 元素组, 3等也是极大无关组定理非零元素组的任一线性无关部分组都可扩充为该元素组的极大无关组证明设线性无关部分组为, t 重排该非零元素组元素次序后记其为,, t,, 其中 t 令 =, 对 k > 可依次如下定义 k k = i{ i : i > k 且,, i线性无关 } k 6:4 共 6 页 3 直至某个 r 使得 { i : i > r 且,, 线性无关 } = () r i 注意到 k < k + 以及有限, r必然存在且 r 由 k定义表达式以及,, t线性无关性可知 =, =, t = t 因此 r t, 且,,,,, 确由 t 扩充所得 r 再由 r 定义表达式可知,,, 线性无关 r 此时在, 除去, 后剩下的元素中任 r 取一个 k, 则存在 t i r使得 i < k < i + ( 其中 r + 规定为 ) 由 i+ 的定义或 () 式可知进而,,,,,, r k线性相关 k 线性相关 i 即,, r 为极大无关组 6:4 共 6 页 4

12 注记定理表明任意非零元素组一定有极大无关组, 且可按证明方法找到一组极大无关组定义称非零元素组的任一极大无关组中元素个数为该元素组的秩零元素组的秩规定为定理 3 设元素组,, 线性无关且能由元素组,, t 线性表示, 即存在 k ij, i =, t, j =, j = k j + k j ktjt () 记 A = ( k ), 那么 r( A) = t ij t 证明由 ( ) 得 x j j = xjkiji = ( kijx j ) i j= t j= i = 因此若方程组 k x =, i =,, t, ij j= (,, ) 非零解 x x, 那么 j t i= j= 即 Ax = 有 6:4 共 6 页 5 x + x x = θ 这与, 线性无关矛盾因此 A t x = 只有零解所以 = r( A) t 由定理 3 及极大无关组间的等价性可知任意元素组,, 的秩唯一, 记做 r(, ) 推论设元素组, 能由元素组, 线性表示, 则 r(, ) r(, ) 推论等价的元素组有相同的秩推论 3 元素组,, 线性相关 r(, ) < 推论 4 设元素组, 能由元素组, 线性表示, 且 <, 那么, 线性相关推论 5 若两个元素组的秩相同且其中一个元素组能被另一个元素组线性表示, 则此两元素组等价 6:4 共 6 页 6

13 线性空间的基与维数定义 3 设 V 是数域 K上的线性空间, 如果 V中存在个线性无关元素,,, 且 V中任一元素都可由这个元素线性表示, 那么称 V为维线性空间, 称为 V 的维数, 称为空间 V的一组基如果对任意正整数 N, V 中都能找到 N个线性无关元素, 则称 V为无穷维线性空间如果 V中无线性无关元素, 则称 V为维线性空间注记 ( )维线性空间 V 没有基且 V = { θ } ( ) 统称维数有限的线性空间为有限维线性空间由定义 3可知, 有限维空间 V的基必线性无关且相相互等价因此由定理 3, V的任一组基中所含元素个数相同, 从而 V 的维数唯一, 记其为 div 6:4 共 6 页 7 例数域 K上的维向量空间 K 为维线性空间例 3 由例 7, 元素组 I, = I, = I, = I = 为 K 的一个线性无关组, 且 K 中任意元素都可由这 4 个元素线性表示, 因此 di K = 4, 且元素组 I, I, I, I为 K 一组基一般地, 可验证 K 为维线性空间, 元素组 Iij, i =,,,, j =,, 为 K 的一组基, 其中 I ij 表示 ( i, j) 位置元素为其它元素为的矩阵例 4 由例 8元素组, x,, x 为 K [x] 的线性无关组而且 [ x] 中任意多项式 f ( x) 总可表示成 K 6:4 共 6 页 8

14 f ( x) = a + ax a x 因此 di K[ x] = 且, x, x 为 K[ x] 一组基例 5 对任意给定的正整数 N, 在线性空间 K[ x] 中能找到 N个线性无关元素 :, x, x, x N 因此 K[x] 是无穷维线性空间例 6C [ a, b] 为无穷维线性空间, 因为 R[ x] C[ a, b] 注记 () 存在无穷维线性空间是线性空间较以前向量量空间复杂的一个体现由于对无穷维线性空间研究涉及更深的分析知识, 本课程主要研究有限维情形 ( ) 线性空间维数与数域有关如复数集 C看作实数 R 下的线性空间是维空间, 但看作复数 C下的线性空间是维空间按此前约定, 无特别说明, 讨论在数域 K下进行 6:4 共 6 页 9 性质维线性空间中任意 + 个元素必线性相关证明设, 为空间一组基,, + 为任取的 + 个元素则元素组,, + 能被, 线性表示由定理 3 的推论 3可知 r(,, + ) 因此元素组, + 线性相关定义 4 设,, 为线性空间 V中的一组元素 S = { x = k + k k k, k, k K} 容易验证 S为 K上线性空间称其为,, 张成的线性空间, 记做 L{, } 性质 ()dil{, } = r(, ) ( ) 若, 能被, t线性表示, 则 L{, } L{, t } 证明留作练习请大家自行完成 6:4 共 6 页

15 命题若,, 为线性空间 V的一组基, 那么对任意 V 存在唯一线性表示 = k + k k, k, k, k K 进而 V = L{, } 证明已知,, 为空间 V的一组基, 因此, 线性无关, 但对任意 V, 元素,, 线性相关由定理知, 可由, 线性表示唯一即存在唯一一组数 k, k,, k K 使得 = k + k k 由此可得 V { k k k, k K} 显然, 反向包含由加法与数乘运算封闭性可得所以 V = k k k, k } = L, } { K { 6:4 共 6 页定理 4 维线性空间 V的任一线性无关组,, 都能扩充为空间一组基, 证明当 = 时任取 V, 由性质,,, 线性相关由定理, 总能被,, 线性表示此时, 就是 V的一组基当 < 时, 若 V = L{, }, 那么 div = <, 矛盾! 于是存在 + V \ L{, } 此时 + 不能被, 线性表示但, 线性无关, 由定理,,, 可得 +,, + 必线性无关如此继续, 使得, 线性无关由 = 时的论证可知此即为空间 V 的一组基推论维线性空间中任意个线性无关元素都是该空间的一组基 6:4 共 6 页

16 例 7 取 K 4[ x] 中,, 3, 4及,, 3, 4如下 : 3 3 = x + x x = x + x + 3 = x x + x + 3 = x 3 + x = x + x x + 3 = x + x + x = x x + 4 = x 3 + 3x + x + 证明,, 3, 4与,, 3, 4均为 K 4[ x] 的基 3 证明选 K 4[ x] 中一组基, x, x, x 3 (,,, ) = (, x, x, ) 3 4 x 直接验证可知 A = 可逆, 由定理 3可知,, 3, 4线性无关, 从而为 K4[ x] 的一组基同样可验证,, 3, 4也是 K 4[ x] 的一组基 6:4 共 6 页 3 3 线性空间元素坐标定义 4设,, 为线性空间 V的一组基, 对对任意 V 都可唯一地表示为 = k + k k, k, k, k K 称数组 k, k,, k 为元素在基,, 下的坐标, 记做 ( k, k, k ) 例 7 由例 3,, x, x 为线性空间 K [ x] 的一组基, 在该组基下, K [ x] 中多项式 f ( x) = a + ax + a x a x 的坐标为 ( a, a, a ) 特别 K 4 [ x] 中多项式 3 f ( x) = 4 + 3x + x + x 3 在基, x, x, x 下的坐标为 (4,3,,) 6:4 共 6 页 4

17 例 8在 K 中, 矩阵 A = 4 3 在基 I, I, I, I 下的坐标为 ( 4,3,,) 同时容易验证 G =, G, = G, 3 = G = 4 也是 K 的一组基, 在该组基下仍有 A = kg + kg + k3g3 + k4g4 即 k + k + k3 + k4 = 4 k + k3 + k4 = 3 k3 + k4 = k 4 = 解得 k = k = k3 = k4 = A 在基 G, G, G G 下的坐标为 (,,,) 即 3, 4 6:4 共 6 页 5 课后练习设 V为数域 K上线性空间, i, j V, i, j =,, 且 = + = = + = + + 证明 r(,, ) = r(, ) 求数域 K 上三阶反对称矩阵按通常矩阵加法与数乘所构成线性空间的基与维数 3 证明, x,( x )( x ) 为 K 3[ x ] 的一组基并求多项式在该组基下的坐标 4 证明性质 6:4 共 6 页 6

18 第讲坐标变换与空间同构线性空间坐标变换线性空间与向量空间 3 线性空间同构 6:6 共 7 页坐标变换公式设, 与,,,, 为线性空间 V的两组基, 因而等价存在数 c ij, i, j =,, 使得 = c + c c = c + c c () = c + c c 即 c c c ( c c c c c (),, )= (,, ) c 定义称矩阵 C = ( c ij ) 为由基,, 到基,, 的过渡矩阵称 ( ) 或 () 为基变换公式 6:6 共 7 页

19 定理假设维线性空间 V中基 ( I ) :,, 到基 ( II ) :, 的过渡矩阵为 C = ( c ij ) 设 V 在基 x = ( x, x ), 在基,,,, 下坐标为下坐标为 y = ( y, y, y ) 那么 C可逆且 x = Cy 或 y = C x (3) 式 ( 3) 统称为坐标变换公式, 其中前一个称为基 (II ) 到基 ( I ) 的坐标变换公式, 后一个称为基 ( I ) 到基 ( II ) 的坐标变换公式证明若 C不可逆, 则齐次方程组 Cx = 有非零解, 即存在 x = ( x, x,, x ), 使得 Cx = 于是 x + x x = (,, ) x = (,, ) Cx = θ 与,, 为基从而线性无关矛盾因此 C 可逆 6:6 共 7 页 3 又因为 = y + y + + y = (,, ) y = (,, ) Cy, 而且 = x + x + + x = (,, ) x 因为,,, 为基从而线性无关, 所以 x = Cy或 y = C x 例求例 7中基,, 3, 4到基,, 3, 4的过渡矩阵解由,, 3, 4,,, 3, 4的表示可知 3 (,, 3, 4 ) = (, x, x, x ) A 3 (,, 3, 4 ) = (, x, x, x ) B 其中 A = B =, 3 A, B均可逆 6:6 共 7 页 4

20 因此 (,, 3, 4) = (,, 3, 4) A 3 = (,, 3, 4),, 3, 4到,, 3, 4的过渡矩阵为例 9 在 K 中取两组基 (I ) G =, G, = G, 3 = G = 4 (II ) B, = B, = B, 3 = B = 4 求 ( ) 基 ( II ) 到基 ( I ) 的坐标变换 ( ) 在两个基下坐标都相同的所有矩阵 6:6 共 7 页 5 解取 K 的基 I, I, I, I 存在矩阵 = G = B 使得 ( G, G, G3, G4) = ( I, I, I, I) G ( B, B, B3, B4 ) = ( I, I, I, I) B 因此基 ( I ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵为 C = G B = 从基 ( II ) 到基 ( I ) 的坐标变换为 x = Cy, 即 x y x y = x3 x y3 y4 4 6:6 共 7 页 6 3

21 ( ) 设 A K 在基 ( I ), 基 ( II ) 下的坐标都是 x = ( x, x, x3, x4 ) 由基坐标公式 x = Cx 即 ( I C ) x = 对矩阵 ( I C ) 做初等行变换得 = I C 方程通解为 x = x = x4 =, x3 = k K 因此在两组基下有相同坐标的矩阵为 A = G + G + kg3 + G4 =, k K k k 6:6 共 7 页 7 线性空间与向量空间设 V是数域 K上线性空间,,, 为空间一组基, 利用坐标概念, 我们可以把 V中任一向量与其坐标 ( x, x,, x ) 在如下意义下建立起一对一的对应 x + x x ( x, x, x ) (4) 在此对应下容易验证 : 若 ( x, x, x ), ( y, y, y ), 则 + ( x + y, x + y, x + y ), k ( kx, kx, kx ) 定理设维线性空间 V的元素组,, 在基,,, 下的坐标分别为 b = ( b, b, b ), b = ( b, b, b ),, b = ( b, b, b ), 那么元素组,, 线性相关当且仅当向量组 b, b, b 线性相关 6:6 共 7 页 8 4

22 证明由假设 i = b i + bi + + bi, i =,, 因此 x + + x = (, ) x = (, ) Bx, 其中 B = ( bij ), x = ( x, x ) 由,, 线性无关可知 (, ) Bx = θ Bx = 因此 θ = x x Bx = 故而, 线性相关 Bx = 有非零解 r ( B) < 向量组 b,, b b线性相关注记定理表明, 以坐标为中介, 线性空间元素组与坐标构成的向量组有相同的线性结构因此直观地说, 在考察有限维线性空间的线性结构时可以用与它相同维的向量空间在坐标对应意义下代替 6:6 共 7 页 9 例 3 求 K 中矩阵组 A = 3, A, 3 = 3 A 3 =, A = 3 4 的秩和一组极大无关组, 并 3 将非极大无关组元素用极大无关组线性表示解取 K 中一组基, I, I, I, 矩阵 A, A, A3, A 在这组基下坐标依次为 a = (,,,3), a = (,, 3,3), a 3 = (,,,), a4 = (3,,,3) 对矩阵 a, a, a, ) 做初等行变换得 ( 3 a4 ( a, a, a3, a4 ) I 4 因此该元素组秩为, 部分组 A, A为极大无关组, A = A A A = A 3 ; 4 A 6:6 共 7 页 5

23 3 线性空间的同构先回忆一些映射的基本概念定义设 M, M' 是两个非空集合, 所谓集合 M到 M' 的一个映射是指一个对应法则, 按照这个法则, M中每个元素都有 M ' 中一个确定的元素与它对应如果映射使 M中元素与 M' 中元素相对应, 则称是在映射下的象, 称为的原象, 记做 = ( ) 称所有象构成的集合为的值域, 记做 R( ), 即 R( ) = { = ( ), M } M 称为的原象集 ( 定义域 ) 若, S都是 M到 M 的映射且对任意 M, ( ) = S( ), 称和 S相等, 记做 = S 注记对任意从 M 到 M' 映射, M中每个元素都有且只有一个象 M'; 但 M' 中元素未必都有原象, 即使有, 原象也未必唯一此外, 从 M到 M的映射也称为变换 6:6 共 7 页定义 3 设是 M到 M' 的映射 () 如果 M' 中每个元素都有原象, 即存在 M使得 ( ) =, 则称为满射 ( ) 若 M中不同元素对应不同的象, 即 ( ) = ( ) =, 则称为单射 ( 一一的 ) ( 3) 若既是单射又是满射则称为一一映射 ( 一一对应, 双射 ) (4) 如果是从 M到 M的映射, 且将 M中任意元素都对应到自身, 即对任意 M, ( ) =, 则称为恒等映射 ( 单位映射 ), 记做 I M 或简记为 I 定义 4 设, S分别是 M到 M', M' 到 M'' 的映射, 定义 M到 M' ' 的一个映射使得 M的象为 S( ( )), 称此映射为 S与的乘积 ( 复合 ), 记做 S, 即 S ( ) = S( ( )) 6:6 共 7 页 6

24 定义 5 设是 M到 M' 的映射, 如果存在一个 M' 到 M 的映射 S 使得 S = I M ' 且 S = I M 则称是可逆映射并称 S 是的逆映射, 记做可逆当且仅当是一一映射此时 ( ) = 定义 6 设 V及 V ' 均为数域 K上的线性空间, 如果存在 V 到 V ' 的一一映射使得对任意, V, k K, ( + ) = ( ) + ( ), ( k ) = k( ) (7) 则称为同构映射, 而称线性空间 V, V ' 同构注记注意区分 ( 7) 中等号两边的加法与数乘运算定理 3 任意维线性空间 V都与向量空间 K 同构证明任意取定 V的一组基,, 按对应关系 (4) 建立 V到 K 的映射显然是双射, 由对应式 (5) 与 (6) 得为同构映射, 因此 V与 K 同构 6:6 共 7 页 3 性质设是从线性空间 V到 V ' 的同构映射, 那么 ( ) ( ) = θ = θ; ( θ 为 V ' 中零元素 ) ( ) + ( ) = θ = ; ( ) ) = k ( ) k ( ) = k ( k ( 3),, 线性相关 ( ),, ( ) 线性相关证明注意为单射, ( ) = ( ) = ( ) θ = ( ) = ( ) = ( θ ) 可知 ( ) = θ = θ; θ = ( ) + ( ) = ( + ) + = θ = ( ) ( ) = k ( ) k( ) = ( k k ) = k k ( 3) θ = k k ( θ ) = ( k k ) θ = k ( ) k ( ) 因此,, 线性相关 ( ),, ( ) 线性相关 6:6 共 7 页 4 7

25 注记 () 同构线性空间中的元素有相同的线性关系 () 同构的有限维线性空间有相同的维数, 因为维数只是线性空间中线性无关元素的最大个数性质同构映射的逆映射还是同构映射证明显然同构映射的逆映射是 V ' 到 V的双射对任意, V, k K, 由 ( ( + )) = + ( )) ( ( ( = ) + (( )) 可知 ( + ) = ( ) + ( ) 再由 ( ( )) = ( ( )) = k k k = ( ( k )) 可知 ( k ) = ( k ) 因此为同构映射此外容易证明 ( 请同学自己完成 ) 性质 3 若, S分别是 V到 V, V 到 V 的同构映射, 那么乘积 S 是 V到 V 的同构映射推论线性空间的同构满足反身性, 对称性与传递性 6:6 共 7 页 5 结合定理 3 可得定理 4 数域 K 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数注记直观而言, 同构空间有相同线性结构, 定理 4 说明, 空间线性结构的本质特征是空间维数 ; 同维线性空间, 尽管构造不同, 若仅考虑线性结构, 本质相同例 4 R 按数的加法和乘法为实线性空间, 令 V = R, + V = R 为例 5中实线性空间, 验证 V 与 V 同构 + a 解 : 建立 R R 的映射 : a e, a 即 ( a) = e, a R a b 为双射 : 若 a b, ( a) = e e = ( b), 若 c R +, 令 d = lc R, 则 ( d) = e d = c a+ b a b 此外, ( a + b) = e = e e = ( a) ( b); ka a k ( ka) = e = ( e ) = k ( a) 因此 V 与 V 同构 6:6 共 7 页 6 8

26 课后练习若, S分别是集合 M到 M, M 到 M 的一一映射证明 S 是 M到 M 的一一映射 3 已知 K 4[ x] 上的一组基 (I) :, x, x, x, 证明元素组 3 (II) :, + x,(+ x),(+ x) 也是 K 4[ x] 的一组基, 并求出基 (II) 到基 ( I) 的过渡矩阵以及 3 f ( x) = + 3x + 5x + 7x 在基 ( II) 下的坐标求矩阵组 A = = = = 4, B 9, C 6 5, D 7 5 的秩以及一个极大无关组, 并将非极大无关组的元素用该极大无关组线性表示 4 设 V, V是数域 K上两个维线性空间,, 为 V 线性无关组,, 为 V线性无关组证明存在 V到 V 同构映射 σ 使得 σ ( ) =, i =,, i i 6:6 共 7 页 7 9

27 第 3 讲子空间及其交与和线性子空间子空间的交 3 子空间的和 4 子空间的直和 6:7 共 8 页线性子空间定义 3设 V 是数域 K上的线性空间, W是 V的一个非空子集合, 若 W按照 V中定义的加法与数乘运算封闭, 即对任意, W及 k K, + W且 k W, 则称 W 为 V 的线性子空间, 简称为子空间注记直接验证可知 W上按 V定义的加法与数乘满足满足线性空间定义中的 8条运算规律, 因而 W按这些运算规律构成线性空间例 3 对任意线性空间 V, 其自身以及集合 { θ } 及都是 V 的子空间称这两个子空间为 V 的平凡子空间, 其他可能的子空间称为非平凡子空间或真子空间例 3 任取 V中非零元素,, L{, } 为 V 的子空间, 若, 不是 V的一组基, 则 L{, } 为 V 的真子空间 6:7 共 8 页

28 例 33 设 K A, 方程 Ax = 的解空间 { x Ax = } 为 K 的子空间, 通常记作 N(A), 称为 A的核或零空间 A的列向量,, 所张成的空间 L{, } 为是 K 的子空间, 称为 A的列空间或值域, 记作 R(A) R(A) = { = x + x x x, x, x R} = { = Ax x R } 由 A 的列向量, 即 A行向量 ( 转置 ) 所张成的空间为的子空间, 称为 A 的行空间, 记作 R( A ) 方程 A x = 的解空间 { y A y = } = { y y A = } 为 K 的子空间称为 A 的左零空间, 记做 N( A ) 由性质可知 di( R ( A)) = r( A), di( R( A )) = r( A ) = r( A) 因此由齐次线性方程组的维数定理可得 di( N ( A)) + di( R( A)) = = di( N ( A)) + di( R( A )) K 6:7 共 8 页 3 例 34 线性空间 K [ x] 是线性空间 K[ x] 的子空间例 35 线性空间 K 的子集 SK = { A A = A, A K } 为 K 的子空间容易验证矩阵组 F ij = Iij + I ji, i < j, F ii = I ii, i = j 为 SK 的一组基, 从而 di SK = ( + )/ 由定理 4 易得定理 3 有限维线性空间任何非零子空间的一组基都可扩充为该线性空间的一组基即若 V 为有限维线性空间,, 为其子空间 V的一组基, 那么一定能在 V中找在另外的元素,, r使得,,,, r 为 V 的一组基 6:7 共 8 页 4

29 子空间的交定义 3 若 V, V为线性空间 V的子空间, 那么称集合 V V为子空间 V, V的交性质 3 若 V, V为 V的向量子空间, 那么 V V仍为 V 的线性子空间证明由 θ V, θ V可知 θ V V, 从而 V V非空任取, V V以及 k K, 由 V,V 均为子空间可知 + V, k V以及 + V, k V 从而 + V V, k V V 即 V V关于加法与数乘封闭, 为线性子空间 ) 例 36 设 = (,,), = (,,), 3 = (,, 令 V = L{, }, V = L{, 3}, 则 V V = L{ } 3 V, V以及 V V均是 K 的子空间 6:7 共 8 页 5 例 37 取 K 中矩阵 A A 3 = 3, A, 3 = A = 3 = 3, 4 3 令 V = L( A, A ), V = L( A3, A4 ), 求 V V 解对任意矩阵 A V V必存在常数 x, x, x3, x4 A = xa + x A = x3 A3 + x4 A4 解方程 x A + x A = x3 A3 + x4 A4 即 x + x = x3 + 3x4 x + x x3 3x4 = x + x = x4 x + x x4 = x 3x = x3 + x 4 x + 3x + x3 + x4 = 3x + 3x = 3x4 3x + 3x 3x4 = 得, 对任意 k, k K x = k + k, x = k k, x3 = k, x4 = k 因此 V V = A = k A + k A k, k } = V { 3 4 K 6:7 共 8 页 6

30 性质 3 设 V, V为 V的子空间,, ;, r分别为 V, V的一组基若元素组,,, r 线性无关, 则 V V = { θ } 证明设 V V, 由 V 知, 存在 k,, k K使得 = k k, 再由 V知存在 l, lr K使得 = l l r r 因此 k + + k l l r r = θ 由,,, r 线性无关可知 k = = k = l = = lr = 因此 = θ 从而 V V = { } θ 6:7 共 8 页 7 定理 3 若 V, V为有限维线性空间 V的线性子空间, V V { θ } 且 V V V, V V V 那么对 V V 的任意一组基,,, 存在, r, γ, γ l, 使得 ( I ),,, r 为 V的一组基 ; ( II ),, γ, γ l 为 V的一组基 ; ( III ),,, r, γ, γ l线性无关证明 ( I )( II ) 是定理 3的直接应用 (III ) 设存在常数 c, c, d, dr, k, kl使得 θ = c c + d drr+ kγ k l γ l 令 = c + d dr r, 则 = ( kγ k l γ l ) 由 ( I )( II ) 可知 V 且 V, 即 V V 因此有常数 k,,k = k + +, 使得 k 6:7 共 8 页 8

31 这进一步表明 θ = ( c ) ( c ) + d dr r, 由,,, r 为一组基可知 c =, c =, d = d = = dr = 因此 = c + + c = ( kγ k l γ l ) 由此可得 c + + c + k γ k l γ l = 又由于,, γ, γ l 也为一组基 c = c = = c = k = k = = kl = 所以,,, r, γ, γ l线性无关注记 ( ) 若 V V = V( 或 V ) 则找不到元素, r ( 相应地 γ, γ l ), 即此时 r = ( l = ) ( ) 若 V V = { θ }, 则由 ( III ) 证明可知 V的任一组基与 V 的任意一组基 γ,, r γ l构成的元素组线性无关即在有限维前提下性质 3 逆命题成立 6:7 共 8 页 9 3 子空间的和定义 33 若 V, V为线性空间 V的子空间, 那么称集合 V + V = { + : V, V} 为子空间 V, V的和, 记作 V + V 性质 33 若 V, V为 V的线性子空间, 那么 V + V仍为 V 的线性子空间命题 3 设 V, V 都是 V的子空间且 V = L{, }, V = L{, }, 则 V + V = L{,,, t } 证明对 γ V + V总有 V, V使得 γ = + 而对 V, 存在 k, k使得 = k k 对 V, 存在 l,, l 使得 = l l t t t 因此 γ L{,,, t } 于是 V + V L{,,, t } 反向包含显然成立命题得证 6:7 共 8 页

32 例 38 求例 37中子空间 V 与 V的和 V + V 解 V + V = L{ A, A, A3, A4 } 由例 3 知矩阵组 A, A为 A, A, A3, A4的极大无关组因此 V + V = L A, A } = { V 性质 34 若 V, V为有限维线性空间 V的子空间, V V { θ } 且 V V V, V V V 那么,,, r, γ, γ l 为 V + V 的基, 其中 i, j, γ k为定理 3 中元素组注记 ( ) 若 V V = V( 或 V ), 则 V + V = V( 或 V) ( ) 若 V V = { θ }, 则 V + V = L{, r, γ, γ l }, 其中,,, γ, γ l 是 V的一组基 r 为 V一组基 6:7 共 8 页定理 33 若 V, V为有限维线性空间 V的子空间, 则 di( V + V ) = div + div div V (*) 证明若 V V = V ( V ), 由上述注记 () 可得若 V V = { θ }, 由定理 3后的注记 () 以及上述注记 () 可知结论成立对其他情形, 由性质 34及定理 3 可得 di( V + V ) = + r + l = ( + r) + ( + l) = div + div div V 注记 (*) 式常被称为维数公式该式表明子空间和的维数一般地小于空间维数的和需要指出的是和空间 V + V 中元素总能分解成 = + ( V, V ) 但分解方式一般不唯一 6:7 共 8 页

33 4 子空间的直和定义 34 设 V, V为线性空间 V的子空间, 若 V与 V的公共元素为零, 即 V V = { θ }, 则称其和空间 V + V为 V, V的直和, 记作 V V 定理 34 ( 直和判定定理 ) 设 U和 W是线性空间 V的两个子空间, 则下列命题等价 : ( )di( U + W ) = diu + diw ; ( ) U + W是直和 ; ( 3) 任取 U + W, 存在唯一 u U, w W使得 = u + w; ( 4) 零向量分解式唯一, 即若 θ = u + w, 其中 u U, w W, 则 u = w = θ ( 5) 存在 U 中一组基,,, W 中一组基,, t, 使得,,,, 线性无关, t 6:7 共 8 页 3 证明 ( ) () 由维数公式可知 di( U W ) = 因此 U W = {θ } 即 U + W 是直和 ; ( ) (3) 设 U + W可分解成 = u + w = u + w 其中 u, u U, w, w W 由 U, W均为线性空间, 得 u u = w w W U 因 U + W 为直和, W U = {θ } 因此 u = u, w = w ( 3) (4) 显然成立 ( 4) (5) 取, ;, t分别为 U, V中的一组基令 k k + r rt t = θ 由 k k U, r rt t V及 θ分解唯一 k + + k = θ, r r t t = θ 由于, 线性无关,, t也线性无关 k = = k = r = = rt = 所以,,, t线性无关 6:7 共 8 页 4

34 ( 5) () 由 (5) 可知 di( U + V ) + t = diu + div 但由维数定理 di( U + V) diu + div 因此 ( ) 成立例 39 设 V = R 3 3, W = {( x, y, y) R x, y R}, 3 U = {(,, z) R z R}, 证明 V = W U 证明容易验证 (,,), (,, ) = = 为 W的一组基, 3 = (,,) 为 U的一组基显然,, 3线性无关因此 W + U 为直和此时由性质 34可得 3 W U = L{,, 3} = R = V 性质 35 设 U为有限维线性空间 V的子空间, 则一定存在子空间 W 使得 V = U W 证明若 U = V, 则令 W = { θ } 显然此时, V = U W 若 U V, 则由定理 3可知, U的任意一组基 ζ, ζ, ζ, r 6:7 共 8 页 5 可以扩充为 V 的一组基 ζ, ζ,, ζ r, ζ r+, ζ 此时, 令 W = L{ ζ r +, ζ } 由性质 3 可知 U W = {θ } 以及由命题 3 得 V = U + W 因此 V = U W 定义 35 设 U为线性空间 V的子空间, 称 W为 U( 关于 V ) 的补空间, 若 V = U W ( U, W ) 又称为空间 V的一对直和分解注记补空间可以不唯一例如 : U = L{(,,) 取 V = R 3,,(,,) }, 令 W = L{(,,) }, W = L{(,,) }, 则 W, W均为 U的补空间线性子空间的交与和, 直和等概念可以推广到多个子空间情形 ( 参见习题 6) 需要指出的是将空间做恰当直和分解是一种简化问题常用方法与技巧 6:7 共 8 页 6

35 课后练习 K 的下列子集是否构成子空间? 说明理由 ( ) W = c b b, c K ( ) W = a + = b a b 设 U, V, V均是线性空间 V的子空间证明 U V + U V U ( V + V ), 并举例说明 U V + U V U ( V + V ) 3 证明性质 33, 求 K 的子空间 W = {( x, x, x3, x4) x x + x3 x4 = } 以及 W = {( x, x, x3, x4) x + x + x3 + x4 = } 的交与和的基与维数 5 证明 K 可分解为阶对称矩阵集合构成的子空间与阶反对称矩阵集合构成的子空间的直和 6:7 共 8 页 7 6* 设 V, V, V为线性空间 V的子空间, 试验证 W = { x V x = + +, i Vi, i =,, } 为线性空间称为 V,, V的和空间, 记做 V + +V 若在和空间 V + +V 中零元素只能有唯一分解, 即 θ =, i Vi i = θ 则称 V + + V为直和空间, 记做 V V 试证明 V V为直和空间下列条件中一条成立 ( ) V + +V 中任意元素都只有唯一分解 ; ( ) 任取 Vi, i =,, 中一个元素 i, 则,, 中非零元素部分组必线性无关 ( 3) 若 ε i,, ε ik 为 V i 的任一组基, i =,,, 则 i ε, ε k, ε, ε k, ε, ε k 为 V + +V的一组基 6:7 共 8 页 8

1 线性空间基维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

1 线性空间基维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP:// 线性空间与线性映射知识回顾 1 线性空间基维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,