() 如果级数 收敛, 其和为 ks. ( ) 若级数 ( v ) 收敛于. 收敛, 其和为 S, k 为常数, 则级数 与级数 v k 也 分别收敛于 与, 则级数 (3) 添加 去掉或改变级数的有限项, 级数的敛散性不变. (4) 两边夹定理 : v w 而 也收敛. 与 w 都收敛, 则级数

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1 08 上半年全国教师资格笔试重要分析 ( 高中数学 ) 考点 级数的敛散性. 定义 若数项级数 的部分和数列 { S } 的极限存在, 即 lm S S, 则称级数 收敛, 否则就称级数 发散. 当级数 收敛时, 称极限值 lm S S 为此级数和, 称 r S S 为级 数的余项或余和.. 几个重要级数 () 几何级数 ( 等比级数 ) q 当 0 () p 级数 0 q 时收敛, 当 q 时发散. p 当 p 时收敛, 当 p 时发散. 3. 数项级数的基本性质

2 () 如果级数 收敛, 其和为 ks. ( ) 若级数 ( v ) 收敛于. 收敛, 其和为 S, k 为常数, 则级数 与级数 v k 也 分别收敛于 与, 则级数 (3) 添加 去掉或改变级数的有限项, 级数的敛散性不变. (4) 两边夹定理 : v w 而 也收敛. 与 w 都收敛, 则级数 (5) 级数收敛的必要条件 : 若级数 v 收敛, 则 lm v 柯西收敛原理 级数 v 收敛的充分必要条件为 : 对于任意给定的正数, 总存 在正整数 N, 使得当 N 时, 对于任意的正整数 p, 都有 成立. p 5. 正项级数收敛判定 设级数, 若 0(,, ), 则称 为正项级数. 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和所成的数列有界. () 比较法

3 设 和 v 均为正项级数, 且 v (,, ), 如果级数 v 收敛, 则级数 则级数 v 也发散. () 比值法 也收敛 ; 如果级数 发散, 设 是一个正项级数, 如果 lm, 则 当 时, 级数收敛 ; 当 或 lm 时, 级数发散 ; 当 时, 级数可能收敛, 也可能发散 ( 不用此法判断 ). (3) 根值法 如果 lm p, 则 收敛, p, 发散, p, 不确定, p. 6. 交错级数收敛判别 莱布尼茨定理 : 如果交错级数 ( ) 满足条件 :() 3

4 ;(), 则级数收敛, 且其和 s, 其余项 r 的绝对值 r. 7. 绝对收敛与条件收敛 定理 : 如果级数 定义 : 如果级数 收敛, 则级数 也收敛. 收敛, 则级数 也收敛, 此时称 绝对收敛 ; 如果 发散, 而级数 收敛, 此时称 条件收 敛. 考点 矩阵的特征值和特征向量. 定义 () 设 A 为数域 F 上的 阶方阵, 如果存在数域 F 上的数 0 和 非零向量, 使得 Aξ 0ξ, 则称 0 为 A 的一个特征值 ( 特征根 ), 而 ξ 称为 A 的属于特征值 的一个特征向量. () 设 aj A 为 阶方阵, 则矩阵 E - A 称为 A 的特征矩阵, 4

5 其行列式称为 A 的特征多项式, 记为 f, 即, 称 f E - A 0 为 A 的特征方程.. 性质 () 若 是 A 的任一特征值, 非零向量 ξ 为 A 的属于特征值 的 特征向量, 即满足 Aξ 整数 ). ξ, 则必有 k 一定是 k A 的特征值 ( k 为正 () 若 是 A 的任一特征值, 非零向量 ξ 为 A 的属于特征值 的 特征向量, 若 f x a0 x ax a 为任一多项式, 则有 是 f A 的特征值. f (3) 若 是 A 的任一特征值, 非零向量 ξ 为 A 的属于特征值 的特征向量, 则 A f ( A) T A A A * P AP 5

6 f ( ) A (4) 如果 ξ 是 A 的属于特征值 的一个特征向量, 那么 ξ 的任 何一个非零倍数 k 也是 A 的属于特征值 的特征向量. 即特征向量不 是被特征值所唯一决定的. 相反, 特征值确实被特征向量所唯一决定 的. 一个特征向量只能属于一个特征值. 注 : 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 3. 矩阵特征值和特征向量的求法 () 根据定义, 构造 Aξ 0ξ, 求得 A 的特征值 0, 及 A 属于 特征值 的一个特征向量 ξ. A 为 阶方阵, 则由 E - A 0 可以求出矩阵 A () 设 aj 的全部特征值, 再根据齐次线性方程组 E AX 0 求出 A 属于 的特征向量. 其中, 基础解系即为 A 属于 的线性无关特征向量, 通解即为 A 属于 的全体特征向量 ( 不包含 0 向量 ). 考点 线性空间. 线性空间的定义与简单性质. () 线性空间的定义 6

7 设 V 是一个非空集合, P 是一个数域, 在集合 V 的元素,, 之间的加法, 在数域 P 中任意数, 与集合 V 的元素之间的数量乘法, 如果满足下述规则, 那么 V 称为数域 P 上的线性空间. + = = =. 4 =. 5 =. 6 =. 7 + = = +. () 线性空间的性质 零元素是唯一的. 负元素是唯一的. 30 = ; = ; =. 4 如果 =, 那么 = 0 或 =.. 维数 基与坐标 () 线性组合 设 V 是数域 P 上的一个线性空间,,,, 是 V 中 的一组向量,,,, 是数域 P 中的数, 那么向量 = 称为向量组,,, 的一个线性组合. 有时我们也说向量 可以用向量组,,, 线性表示. 7

8 () 线性相 ( 无 ) 关 线性空间 V 中的向量,,, 称为线性相关, 如果 在数域 P 中的有个不全为零的数,,,, 使 =. 当且仅当 = = = = 0 时, = 成立, 则,,, 称为线性无关. (3) 维数 如果在线性空间 V 中有 个线性无关的向量, 但是没有更多数目的 线性无关的向量, 那么 V 就称为 维空间 ; 如果在线性空间 V 中可以找 到任意多个线性无关的向量, 那么 V 就称为无限维. (4) 基与坐标 在 维线性空间 V 中, 个线性无关的向量 ε, ε,, ε 称为一组 基. 设是 V 中任一向量, 于是,,, 以被基,,... 线性表示 : = + + +, 线性相关, 因此可 其中系数,,, 是被向量和基,,, 唯一确定 的, 这组数就称为在基,,, 下的坐标, 记为,,,. 3. 基变换和坐标变换的关系 设,,, 与,,, 是 维线性空间 V 中两组基, 它们的关系是 8

9 = = = (). 设向量在这两组基下的坐标分别为,, 与,,,, 即 向量 = = (). ( ) 式可写成,,, =,,, (3). 矩阵 = 称为由基,,, 到基,,, 的过渡矩阵. 它是可逆矩阵. () 式写成 =,,, (3) 式代入得 =,,,. 将 9

10 ,,, =,,,. 由基向量的无关性得 =, 或 =. 4. 线性子空间及其判定. () 线性子空间数域 P 上线性空间 V 的一个非空子集合 W, 如果 W 对于 V 的两种运算也构成数域 P 上的线性空间. 那么非空子集合 W 称为 V 的一个线性子空间 ( 简称子空间 ). () 线性子空间的判定如果线性空间 V 的非空子集合 W 满足下面两个条件, 那么 W 就是一个子空间. 对于 W 中的任一向量, 数域 P 中的与的数量乘积也在 W 中. 0

11 对于 W 中的向量与, 向量与的和 + 也在 W 中. 考点 向量组的极大线性无关组及矩阵的秩. 基本概念 () 极大线性无关组 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组, 如果这个部分组 本身是线性无关的, 并且从这向量组中任意添一个向量 ( 如果还有的话 ), 所得的部分向量组都线性相关. 注 : 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价. () 向量组的秩 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 注 : 考虑到线性无关的向量组就是它自身的极大线性无关组, 因此 一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同. (3) 矩阵的秩 矩阵的行向量组的秩与列向量组的秩相等, 称为矩阵的秩.. 基本性质 () 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价. () 等价的向量组必有相同的秩.( 秩相同的向量组未必等价 ) (3) 矩阵 A 的秩是 r 的充分必要条件为 A 中有一个 r 阶子式不为 零, 同时所有 r + 阶子式全为零. 考点 线面位置关系. 两个平面间的关系

12 : A x B y C z D 0, : A x B y C z D 0, 则 A B C D A B C D ; A A B B CC 0 ; 的 夹角 ( 法向量间的夹角, 不大于 90 度 ) 满足 A A B B CC cos. A B C A B C. 两条直线间的关系 设 : x x y L y z z, : x x y y z L z, 则 l m l m L L l m, 且 l m L L ll mm 0 ; ( x, y, z ) 不满足 L 的方程 ; L 的 L 夹角 ( 方向向量间的夹角, 不大于 90 度 ) 满足 cos l l m m l m l m. 3. 直线与平面的位置关系

13 直线和它在平面投影直线所夹锐角 称为直线与平面的夹角. 当直 线与平面垂直时, 规定夹角为 L : x x y y z z, : Ax By Cz D 0, l m s { l, m, }, { A, B, C}, 则 L s, 即 Al Bm C 0 且 Ax0 By0 Cz0 D 0; L s, 即 L 与 的夹角 s, A B C ; l m, s Al Bm C A B C l m. 考点 正态分布. 定义 若随机变量 X 的概率密度函数为 3 x f x e x R,

14 其中参数 R, 0, 则称 X 服从正态分布, 记为 X ~N(, ). 特 别地, 将 N 0, 称为标准正态分布, 其概率密度和分布函数分别记作 ( x) e x t x 与 ( x) e dt.. 常用性质 X () X ~N(, ), 则 ~N(0,). 该公式揭示了求解 正态分布问题的一个重要思路 : 标准化. x () 正态分布 N, 具有对称性, 也即其概率密度是关于直线 对称的. 特别地, 标准正态分布的概率密度是偶函数 ; 该性质也 可以概括成等式 : x x. 4

15 考点 教学设计 课题名称一 教学目标知识与技能 : 过程与方法 : 情感 态度与价值观 : 二 教学重难点重点 : 难点 : 三 教学准备 ( 教具 学具 教法 学法 )( 可选 ) 四 教学过程. 创设情境, 导入新课. 师生互动, 探索新知 3. 知识剖析, 深化理解 4. 生生合作, 巩固提高 5. 课堂小结, 布置作业五 板书设计. 根据新课改的要求, 教学目标要从知识与技能 过程与方法 情感态度和价值观三个维度进行书写. () 知识与技能目标知识与技能目标 = 行为主体 + 行为动词 + 行为条件 ( 可选 )+ 表现程度 ( 可选 )+ 学生行为所对应的内容. () 过程与方法目标 5

16 所谓过程, 其本质是以学生认知为基础的知 情 意 行的培养和发展过程, 是以智育为基础的德 智 体全面培养和发展的过程, 是学生的兴趣 能力 性格 气质等个性品质全面培养和发展的过程. 所谓方法, 是指学生在学习过程中采用并学会的方法 或问题探究的方法 或问题的观察方法 或思维发散的方法 或合作交流的方法 或解决问题的方法等. (3) 情感 态度与价值观目标情感是指人的社会性需要是否得到满足时所产生的态度体验 ; 态度这里不仅指学习态度和对学习的责任, 它还包括乐观的生活态度, 求实的科学态度, 宽容的人生态度等. 价值观本指对问题的价值取向的认识, 这里也可指学生对教学中问题的价值取向或看法.. 教学重 难点的确定 () 重点 : 课题分析法 ; 例题分析法 ;3 地位作用分析法. () 难点 : 知识远离学生生活实际, 学生缺乏相应的感性知识 ; 知识较为抽象, 学生难以理解. 3. 常见的课堂导入方法 () 直接导入法 () 复习导入法 (3) 事例导入法 (4) 类比导入法 (5) 情境导入法 4. 新课讲授 : 新授环节分为 生成新知 深化新知 应用新知 新课程倡导独立探索 合作交流 动手实践等学习方式, 既要求教 6

17 师的 讲授, 也要求师生的 对话 生生的 合作. 探究环节的处理方法可以百花齐放, 不拘一格, 但其教学的核心是 探究 而非 接受. 5. 课堂提问的原则 () 目的性原则 () 启发性原则 (3) 适度性原则 (4) 兴趣性原则 (5) 循序渐进性原则 (6) 全面性原则 (7) 充分思考性原则 (8) 及时评价性原则 6. 巩固强化练习是数学课堂教学的一个重要组成部分, 它不仅有助于学生对知识的理解, 巩固形成熟练的技能 技巧, 而且对学生智力发展和能力提高起着重要作用. 巩固练习要遵循以下几点 () 练习要有目的性, 要围绕教学目标进行. () 练习要及时, 使学生对当堂所获得信息反复循环, 实现记忆层次的转化 ( 瞬时记忆 短时记忆 长时记忆 ). (3) 练习要有层次性. (4) 练习要多样化, 为巩固概念, 选编基础变式题 ; 为纠正差错选编判断 选择题 ; 为拓宽思路, 选编多变 多解题等等. (5) 练习中要有反馈. 7. 小结作业 7

18 () 小结一般是回顾教学内容, 紧扣教学重点. () 作业要满足不同学生, 分层次留作业. 8

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