1 线性空间 1.1 线性空间的定义及例子概念的源起 向量在加法运算 数乘运算所满足的运算规律, 例如 加法交换律 : x + y = y + x, 加法结合律 : (x + y) + z = x + (y + z), 数乘分配律 : (λ + µ)x = λx + µx; 矩阵 多项式 连续函数等

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1 Chapter 2 线性代数基础 Matrix Theory November 27, 2014 黄正华, 数学与统计学院, 武汉大学 2.1 Contents 1 线性空间 线性空间的定义及例子 子空间的概念 基底和维数 和空间与直和空间概念的推广 内积空间 内积空间的定义及例子 由内积诱导出的几何概念 标准正交基底与 Gram-Schmidt 过程 线性变换 映射和线性变换 线性变换的运算 与线性变换有关的子空间 线性变换的矩阵表示和空间的同构 线性变换的矩阵表示 线性空间的同构 线性变换的最简矩阵表示 线性变换的特征值与特征向量 线性变换的零化多项式及最小多项式 不可对角化线性变换的最简矩阵表示

2 1 线性空间 1.1 线性空间的定义及例子概念的源起 向量在加法运算 数乘运算所满足的运算规律, 例如 加法交换律 : x + y = y + x, 加法结合律 : (x + y) + z = x + (y + z), 数乘分配律 : (λ + µ)x = λx + µx; 矩阵 多项式 连续函数等, 也都满足完全相同的运算规律. 研究不同对象在线性运算方面的所表现的共性, 导致线性空间的公理化定义. 方法 : 代数与几何的结合 个组成部分线性空间 ( 亦称向量空间 ), 有 4 个组成部分 : 两个集合 V 和 F, 两个运算 一个称为向量加法, 一个称为数量乘法. V : 一些被称为向量的对象的集合. 比如 n 维向量, 矩阵. F : 一个数域 实数域 R 或者复数域 C. 向量加法 ( 记为 x + y): 集合 V 中两个元素之间的一种运算. 运算要满足封闭性 : x + y V, x, y V. 数量乘法 ( 记为 αx): 集合 F 和 V 中元素之间的一种运算. 运算要满足封闭性 : αx V, α F, x V. 2.4 线性空间的定义 Definition 1 ( 线性空间 ). 设 V 是一个非空集合, F 是一个数域. 在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算, 叫做加法 ; 这就是说给出了一 个法则, 对于 V 中任意两个元素 x 与 y, 在 V 中都有唯一的一个元素 z 与 它们对应, 称为 x 与 y 的和, 记为 z = x + y. 在数域 F 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算, 叫做 数量乘法 ; 这就是 说, 对于数域 F 中任一个数 λ 与 V 中任一个元素 x, 在 V 中都有唯一的一 个元素 y 与它们对应, 称为 λ 与 x 的数量乘积, 记为 y = λx. 如果加法与数量乘法满足下述 8 条规则, 那么 V 称为数域 F 上的线性空间. 加法满足下面四条规则 : (1) x + y = y + x; (2) (x + y) + z = x + (y + z); (3) 在 V 中有一个元素 θ, x V, 都有 x + θ = x ( 具有这个性质的元素 θ 称为 V 的零元素, 记为 0); 2

3 是一个线性空间. 记为 C n R. 2.6 (4) x V, y V, 使得 x + y = 0 (y 称为 x 的负元素, 记为 x). 数量乘法满足下面两条规则 : (5) 1x = x; (6) λ(µx) = (λµ)x; 数量乘法与加法满足下面两条规则 : (7) (λ + µ)x = λx + µx; (8) λ(x + y) = λx + λy; 在以上规则中, λ, µ 等表示数域 F 中任意数 ; x, y, z 等表示集合 V 中任意元素. 借助几何语言, 把线性空间中的元素称为向量, 线性空间又可称为向量 空间. F 中的数称为数或标量. V 称为线性空间的基集. 注意 : 第 (7) 条 (λ + µ)x = λx + µx, 左侧 + 号是普通数的加法, 而右侧 + 号是向量的加法. 这 两个加法的含义是不同的. 2.5 线性空间的实例 Example 2 (n 维向量空间 ). R n : n 元实坐标向量空间. 运算 : (1) 向量的加法, (2) 数与向量的数量乘法. V = { x x = (ξ 1, ξ 2,, ξ n ) T, ξ i R, i = 1, 2,, n }, F = R. C n : n 元复坐标向量空间. 运算 : (1) 向量的加法, (2) 数与向量的数量乘法. V = { x x = (ξ 1, ξ 2,, ξ n ) T, ξ i C, i = 1, 2,, n }, F = C. 注意 若 V = { x x = (ξ 1, ξ 2,, ξ n ) T, ξ i R, i = 1, 2,, n }, 而 F = C, 则 V 不 是线性空间. 因为此时数量乘法不满足封闭性. V = { x x = (ξ 1, ξ 2,, ξ n ) T, ξ i C, i = 1, 2,, n }, F = R, 此时 V 任 Example 3. 元素属于数域 F 的 m n 矩阵, 按 (1) 矩阵的加法, (2) 数与矩阵的 数量乘法, 构成数域 F 上的一个线性空间, 用 F m n 表示. R m n : m n 阶实矩阵空间. C m n : m n 阶复矩阵空间. 所有系数在数域 F 中的一元多项式的全体, 称为数域 F 上的一元多项式环, 记为 F [x]. F 称为 F [x] 的系数域. 2.7 Example 4. 数域 F 上一元多项式环 F [x], 按 (1) 通常的多项式加法, (2) 数与多项式的乘法, 构成一个数域 F 上的线性空间. 如果只考虑其中次数不 超 过 n 的多项式, 再添上零多项式, 也构成数域 F 上的一个线性空间, 用 F [x] n 表示. 3

4 1. R[x] n : 实数域 R 上的次数不 超 过 n 的多项式空间, R[x] n = { p(x) p(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0, α i R }. 2. C[x] n : 复数域 C 上的次数不 超 过 n 的多项式空间, C[x] n = { p(x) p(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0, α i C }. Example 5. 全体实函数, 按 (1) 函数加法, (2) 数与函数的数量乘法, 构成一个实 数域上的线性空间. 2.8 Example 6. 记 C[a, b] 为区间 [a, b] 上所有连 续 函 数的集合. 则 C[a, b] 按 (1) 函数加法, (2) 数与函数的数量乘法, 构成一个实数域上的线性空间. Example 7. 数域 F 按照本身的加法与乘法, 即构成一个自 身 上 的线性空间. Example 8 ( 重要概念 ). 设 A F m n, 齐次线性方程组 Ax = 0 的解集合 2.9 V = {x Ax = 0}, 又取 F = C, 并规定 V 中的向量加法和数乘运算与 C m 中相应的运算相同, 则 V 是 C 上的线性空间, 并称 V 为齐次线性方程组 Ax = 0 的解空间 ; 也称为矩阵 A 的零空间 (nullspace) 或核空间 (kernel), 记作 N(A) 或 ker(a). Example 9 ( 重要概念 ). 给定矩阵 A C m n, 设 2.10 V = {y C m y = Ax, x C n }, 又取 F = C, 并规定 V 中的向量加法和数乘运算与 C m 中相应的运算相同, 则 V 是 C 上的线性空间, 并称 V 为矩阵 A 的列空间, 或值域, 或值空间, 并记为 R(A) 注意 对同样的基集 V 和数域 F, 对它们规定不同的加法和数乘, 若构成线性空间, 则得到不同的线性空间. 线性空间的零向量, 也与该空间中向量加法和数量乘法的规定方法有关. 比如下面例题中的零元素是常数 1. Exercise 10 (P.35 习题二 3, 经典例题 ). 设 V 是正实数集, R 为实数域. 定义加法 和数乘 : α β = αβ, ( 即 α 与 β 的积 ) k α = α k, ( 即 α 的 k 次幂 ) 其中 α, β V, k R. 问 : V 对于加法 和数乘 是否构成 R 上的线性空间? 解 : 加法 封闭 : α, β V = R +, α β = αβ V. 且满足 : 2.12 (1) α β = αβ = βα = β α; 4

5 (2) (α β) γ = (αβ)γ = α(βγ) = α (β γ); (3) 零元为常数 1: 1 α = α; (4) α V 的负元为 1 α : 1 α α = 1; 数乘 封闭 : α V = R +, k R, k α = α k V = R +. 且满足 : (5) 1 α = α 1 = α; (6) (k 1 k 2 ) α = α k 1k 2 = (α k 2 ) k 1 = k 1 (α k 2 ) = k 1 (k 2 α); (7) (k 1 + k 2 ) α = α k 1+k 2 = α k 1 α k 2 = α k 1 α k 2 = k 1 α k 2 α; (8) k (α β) = k (αβ) = (αβ) k = α k β k = α k β k = (k α) (k β). 所以 V 对于加法 和数乘 构成 R 上的线性空间. 这是一个经典的例子. 从中我们可以看到, 线性空间中加法 数量乘法的含义 已经拓展了. 此例中的 加法 其实是普通的乘法, 数量乘法是幂运算. 另外, 还 要注意到第 7 条中等式两边的加法是不同的 我们再次强调, 零向量不一定是形如 0, (0, 0,, 0) T, [ ] 之类的对象, 而必须是符合零向量的定义的那个元素 Example 11. 集合 C = {(x 1, x 2 ) x 1, x 2 C}, 向量加法 : (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (x 1 + y 1 + 1, x 2 + y 2 + 1), 数量乘法 : α(x 1, x 2 ) = (αx 1 + α 1, αx 2 + α 1). 容易证明该集合是数域 C 上的线性空间. 问题 : 零向量是什么? (x 1, x 2 ) 的负向量呢? 零向量 : 0 = ( 1, 1). 因为 u + 0 = (x 1, x 2 ) + ( 1, 1) = ( x 1 + ( 1) + 1, x 2 + ( 1) + 1 ) = (x 1, x 2 ) = u. 负向量 : (x 1, x 2 ) = ( x 1 2, x 2 2). 事实上 (x 1, x 2 )+( x 1 2, x 2 2) = ( x 1 +( x 1 2)+1, x 2 +(x 2 2)+1 ) = ( 1, 1) = Example 12. 设集合 Z = {z}. 向量加法 : z + z = z. 数量乘法 : λz = z, λ F. 可以证明 : 集合 Z 是数域 F 上的线性空间. 这个线性空间的零元素是什么? 显然, 只能是 z. 但有趣的是, 我们并没有指明 z 的具体内容. 事实上, z 可以是任何一个向量 矩阵 函数等等 小结 线性空间是 n 维向量空间的抽象和推广. 为了几何直观, 线性空间也叫做向量空间. 但这里的向量不一定是有序数组, 而是广义的向量, 例如函数 矩阵等. 加法 数量乘法 零元的含义都得到了拓展

6 线性空间的简单性质 1. 零元素是唯一的. 2. 负元素是唯一的. 3. 0x = 0; k 0 = 0; ( 1)x = x. 4. 如果 kx = 0, 那么 k = 0 或者 x = 发展历程 The idea of defining a vector space by using a set of abstract axioms was contained in a general theory published in 1844 by Hermann Grassmann ( ), a theologian and philosopher from Stettin, Poland, who was a self-taught mathematician. The Italian mathematician Giuseppe Peano ( ) was one of the few people who noticed Grassmann s work, and in 1888 Peano published a condensed interpretation of it. The current definition is derived from the 1918 work of the German mathematician Hermann Weyl ( ). Weyl s success with the idea was due in part to the fact that he thought of vector spaces in terms of geometry, whereas Grassmann and Peano treated them as abstract algebraic structures 课后作业 P. 34 习题 3( 完成例 12 的验证工作 ), 子空间的概念平面 R 2 是 R 3 的子集, 而 R 2 也构成线性空间, 称 R 2 是 R 3 的线性子空间. 过原点的一条直线或一个平面都是 R 3 的子集, 而且它们关于向量加法和数乘分别构成一个一维和二维的线性空间. 考虑一般的情形 : 线性空间的子集, 关于原线性空间的加法和数乘, 是否构成一个线性空间? 2.21 子空间 Definition 13. 数域 F 上的线性空间 V 的一个非空子集合 S 称为 V 的一个线 性子空间 ( 或简称子空间, subspace), 如果 S 对于 V 的两种运算也构成数域 F 上的线性空间. Theorem 14. 如果线性空间 V 的一个非空集合 S 对于 V 的两种运算是封闭 的, 即 1. x, y S, 都有 x + y S; 2. x S, λ F, 都有 λx S. 那么 S 就是一个子空间. 6

7 若 x S, 则 x = ( 1)x S; 且 x + ( x) = 0 S. 又 S 中的元素也是 V 的元素, 故满足 V 中的结合律 交换律 分配律等 Theorem 15. 数域 F 上的线性空间 V 的一个非空子集合 S 为 V 的一个线性子空间 x, y S, λ F, 都有 λx + y S. 证 : (1) 充分性. x, y S, λ F, 因 x + y = 1x + y S, λx = λx + 0 S, 故 S 对于 V 的两种运算是封闭的. 即 S 为 V 的一个线性子空间. (2) 必要性. x, y S, λ F, 由数乘封闭性, 有 λx S, 又由加法封闭性, 有 λx + y S. Example 16. 在线性空间中, 由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间, 它叫做零子空间. Example 17. 线性空间 V 本身也是 V 的一个子空间 每个线性空间至少有两个子空间 : 零子空间和线性空间本身. 这两个子空间 通常叫做 V 的平凡子空间 (trivial subspace), 而其它的子空间叫做非平凡子空间. Example 18. 在全体实函数组成的空间中, 所有的实系数多项式组成一个子空间. Example 19. F [x] n 是线性空间 F [x] 的子空间. Example 20. 设 A F m n, 则齐次线性方程组 Ax = 0 的解集合 2.24 S = {x Ax = 0} 是 F n 的一个子空间. 但是, 非 齐 次线性方程组 Ax = b 的解集合 W 不 是 F n 的子空间. 事实上, 若 Ax = b 无解, 则 W 是空集, 当然 W 不是线性空间. 当 W 非空, 由于 b 0, 则 0 / W, 因此 W 不是线性空间 Example 21. 设 R 3 的子集合 V 1 = {(x, 0, 0) x R}, V 2 = {(1, 0, z) z R}, 则 V 1 是 R 3 的子空间 ; 而 V 2 不是 R 3 的子空间. V 1 是 x 轴上的全体向量 ; V 2 是过点 (1, 0, 0) 与 z 轴平行的直线上的全体向量. 显然 V 2 关于加法和数乘不封闭

8 线性组合, 线性表示 Definition 22. 设 V 为数域 F 上的线性空间, x 1, x 2,, x k 为 V 中的向量, α 1, α 2,, α k 为 F 中的数, 令 y = α 1 x 1 + α 2 x α k x k, 则称 y 为 x 1, x 2,, x k 的线性组合 (linear combination), α 1, α 2,, α k 为该 线性组合的组合系数, 而称和式 α 1 x 1 + α 2 x α k x k 为 y 的线性表示或线性表出. Example 23. 设 V 为数域 F 上的线性空间, x 1, x 2,, x k 为 V 中 k 个固定向量, 作 V 的子集 S 如下 : 2.27 则 S 是 V 的子空间. S = { y y = α 1 x 1 + α 2 x α k x k, α i F }. 证 : 设 y = α 1 x 1 + α 2 x α k x k S, z = β 1 x 1 + β 2 x β k x k S. 因 y + z = k (α i + β i )x i S, 故对加法封闭. i=1 λ F, λy = k (λα i )x i S, 故对数乘封闭. i=1 得证 S 是 V 的子空间 Definition 24. 设 V 为数域 F 上的线性空间, x 1, x 2,, x k 为 V 中 k 个固定 向量, 作 V 的子集 S 如下 : S = { y y = α 1 x 1 + α 2 x α k x k, α i F }. 则 S 称为由 V 中向量 x 1, x 2,, x k 张 成的线性子空间, 简称为 x 1, x 2,, x k 的张空间, 并记为 S = span[x 1, x 2,, x k ]. For example, if u 0 is a vector in R 3, then span[u] is the straight line passing through the origin and u. If S = span[u, v], where u and v are two nonzero vectors in R 3 not lying on the same line, then S = span[u, v] is the plane passing through the origin and the points u and v {[ ] [ ]} 1 2 Example 25., spans the line y = x in R The unit vectors e 1 = 0, e 2 = 1, e 3 = 0 spans R

9 The unit vectors {e 1, e 2,, e n } in R n form a spanning set for R n. The finite set {1, x, x 2,, x n 1 } spans the space of all polynomials such that deg p(x) n 1, and the infinite set {1, x, x 2, } spans the space of all polynomials Example 26. 设 A C m n, 证明 R(A) = {y C m y = Ax, x C n } 是 A 的所有列向量张成的 C m 的子空间. 证 : 首先, R(A) 是 C m 的子集, 且按 C m 的向量加法和数量乘法构成线性空间, 故 R(A) 是 C m 的子空间. 其次, 记 A = [a 1, a 2,, a n ], x = (ξ 1, ξ 2,, ξ n ) T, 则 R(A) = {y C m y = Ax, x C n } = {y C m y = ξ 1 a 1 + ξ 2 a ξ n a n, x = (ξ 1, ξ 2,, ξ n ) T C n }, 即 R(A) 中任一向量都是 A 的列向量 a 1, a 2,, a n 的线性组合, 因此是它们的张空间 结论对于一个给定的矩阵 A C m n, 若 A 的列向量记为 a 1, a 2,, a n, 即 A = [a 1, a 2,, a n ], 则 A 的列空间可以表示为 R(A) = span[a 1, a 2,, a n ] Theorem 27. 如果 V 1, V 2 是线性空间 V 的两个子空间, 那么它们的交 V 1 V 2 也是 V 的子空间. 由集合的交的定义有, 子空间的交适合下列运算规律 : V 1 V 2 = V 2 V 1, ( 交换律 ) (V 1 V 2 ) V 3 = V 1 (V 2 V 3 ). ( 结合律 ) 由结合律, 可以定义多个子空间的交 : s V 1 V 2 V s = V i, i=1 它也是子空间 Definition 28 ( 子空间的和 ). 设 V 1, V 2 是线性空间 V 的子空间, 所谓 V 1 与 V 2 的和, 是指由所有能表示成 α 1 + α 2, 而 α 1 V 1, α 2 V 2 的向量组成的子集合, 记作 V 1 + V 2. 9

10 Theorem 29. 如果 V 1, V 2 是线性空间 V 的子空间, 那么它们的和 V 1 + V 2 也是 V 的子空间. 由定义有, 子空间的和适合下列运算规律 : 2.34 V 1 + V 2 = V 2 + V 1, ( 交换律 ) (V 1 + V 2 ) + V 3 = V 1 + (V 2 + V 3 ). ( 结合律 ) 由结合律, 可以定义多个子空间的和 它是由所有表示成 V 1 + V V s = s V i. i=1 α 1 + α α s, α i V i (i = 1, 2,, s) 的向量组成的子空间 直和, direct sum Definition 30 ( 直和 ). 设 V 为数域 F 上的线性空间, S 1, S 2 为 V 的两个子空间, 如果有 S = S 1 + S 2, 且 S 1 S 2 = {0}, 则称 S 为 S 1, S 2 的直和空间, 并记为 S = S 1 S 2, 或 S = S 1 S 2. 此时又称 S 有直和分解 S 1 S 2. 更进一步, 如果 V = S 1 S 2, 则称 S 1 为 S 2 的 ( 代数 ) 补空间, 也称 S 2 为 S 1 的 ( 代数 ) 补空间. 或简单地称 S 1 与 S 2 为 V 的互补子空间, 并以 S C 表示 V 的 任一子空间 S 的代数补空间. Example 31. 在三维几何空间 R 3 中, 用 V 1 表示过坐标原点的直线, V 2 表示一个通过坐标原点而且与 V 1 垂直的平面, 那么 2.36 V 1 V 2 = {0}, V 1 + V 2 = R 3. 故 R 3 = V 1 V 2, 且 V 1 与 V 2 为互补子空间. 即 V C 1 = V 2, V C 2 = V 1. 显然, R 3 的直和分解是不唯一的. 等价地, 一个真子空间的补空间是不唯一 的. 比如上例中的 V 1 与 V 2 相互垂直的条件, 减弱为不 共 面, 它们仍然是互补的. 注意 子空间的交 与 集合的交 的概念是一致的, 但是 子空间的和 与 集合的 并 的概念是不一致的. 上例中, V 1 + V 2 = R 3, 而 V 1 V 2 = { 过原点的直线与垂直平面上的点 }. V 1 V 2 一般不构成子空间. 可以证明 : V 1 V 2 是 V 的子空间 V 1 V 2, 或 V 2 V

11 Exercise 32 (P.39, 习题 ( 一 ) 3). 设 S 1, S 2 是线性空间 V 的子空间, 则 S 1 + S 2 是直和的充 要 条 件是 S 1 + S 2 中每个向量 x 的分解式 x = x 1 + x 2 (x 1 S 1, x 2 S 2 ) 是唯一的. 证 : 充分性. 已知 S 1 + S 2 是直和, 则 S 1 S 2 = {0}. x S 1 + S 2, 设它有两个分解式 x = x 1 + x 2 = y 1 + y 2 (x 1, y 1 S 1, x 2, y 2 S 2 ) 则 x 1 y 1 = y 2 x 2, 而 x 1 y 1 S 1, y 2 x 2 S 2, 故 x 1 y 1 = y 2 x 2 S 1 S 2 = {0}. 得 x 1 = y 1, y 2 = x 2. 故 x 的表示法是唯一的 必要性. 任取向量 x S 1 S 2, 于是零向量可以表示为 0 = x + ( x) (x S 1, x S 2 ). 而 0 = 0 + 0, 由表示法唯一, 得 x = x = 0, 得证 S 1 S 2 = {0}. 即 S 1 + S 2 是直和 课后作业 P.41, 习题 8 设 S 1 与 S 2 分别是齐次线性方程组 x 1 + x x n = 0 和 x 1 = x 2 = = x n 的解空间, 证明 : R n = S 1 S 2. 证 : 第一步, 证明 R n = S 1 + S 2. 任取 x = (a 1, a 2,, a n ) T R n, 设 2.41 x = x 1 + x 2, x 1 S 1, x 2 S 2. 11

12 由 S 2 的定义, 可设 x 2 = (b, b,, b) T, 则 x 1 = x x 2 = (a 1 b, a 2 b,, a n b) T. 由 S 1 的定义, 有 (a 1 b) + (a 2 b) + + (a n b) = 0, 故 b = 1 n (a 1 + a a n ). 上述讨论表明, 对任意 x = (a 1, a 2,, a n ) T R n, 总有 x 1 = (a 1 b, a 2 b,, a n b) T S 1, x 2 = (b, b,, b) T S 2, 其中 b = 1 n (a 1 + a a n ), 使得 x = x 1 + x 2. 故 R n = S 1 + S 第二步, 证明 S 1 + S 2 是直和. 下证 S 1 S 2 = {0}. 任取 x = (b 1, b 2,, b n ) T S 1 S 2, 则 x S 1 且 x S 2. 由 S 1 和 S 2 的定义有 b 1 + b b n = 0, 且 故 b 1 = b 2 = = b n. b 1 = b 2 = = b n = 0, 即 x = 0. 从而 S 1 S 2 = {0}. 综上得证 R n = S 1 S 另证 : 方程 x 1 + x x n = 0 的基础解系为 α 1 = ( 1, 1, 0,, 0) T, α 2 = ( 1, 0, 1, 0,, 0) T,, α n 1 = ( 1, 0,, 0, 1) T, 方程 x 1 = x 2 = = x n 的基础解系为 β = (1, 1,, 1) T. 因为 α 1, α 2,, α n 1, β = = ( 1) n+1 n 0, 故 α 1, α 2,, α n 1, β 线性无关, 从而为 R n 的一组基. 由教材 P.48 推论 , 知 R n = S 1 S

13 1.3 基底和维数线性无关 (Linear independence) Definition 33 ( 线性无关 ). 设 V 为数域 F 上的线性空间, x 1, x 2,, x k 为 V 中的一组向量. 若存在 F 中的一组不 全 为 零的数 α 1, α 2,, α k 使得 α 1 x 1 + α 2 x α k x k = 0, (1) 则称向量组 x 1, x 2,, x k 线性相关 (linearly dependent), 否则称为线性无关 (linearly independent). 换句话说, 向量组 x 1, x 2,, x k 称为线性无关, 如果等式 (1) 只有在 α 1 = α 2 = = α k = 0 时才成立 Example 34. 讨论 R 2 2 的矩阵组 [ ] [ ] [ ] [ ] a 1 1 a A 1 =, A 2 =, A 3 =, A 4 =, a 1 1 a 的线性相关性. 解 : 设 k 1 A 1 + k 2 A 2 + k 3 A 3 + k 4 A 4 = O, 即 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] a 1 1 a k 1 + k 2 + k 3 + k 4 = a 1 1 a 0 0 故 系数行列式为 ak 1 + k 2 + k 3 + k 4 = 0, k 1 + ak 2 + k 3 + k 4 = 0, k 1 + k 2 + ak 3 + k 4 = 0, k 1 + k 2 + k 3 + ak 4 = 0, a a 1 1 = (a 1) 3 (a + 3), 1 1 a a 2.46 当 a 1 且 a 3 时, 方程组只有零解, 从而 A 1, A 2, A 3, A 4 线性无关 ; 当 a = 1 或 a = 3 时, 方程组有非零解, 从而 A 1, A 2, A 3, A 4 线性相 关

14 常用结论 1. 单个向量 x 线性相关的充要条件是 x = 0. 两个以上的向量 x 1, x 2,, x r 线性相关的充要条件是 : 其中有一个向量是其余向量的线性组合. 2. 如果向量组 x 1, x 2,, x r 线性无关, 而且可以被 y 1, y 2,, y s 线性表出, 那么 r s. 由此推出, 两个等价的线性无关的向量组, 必含有相同个数的向量. 3. 如果向量组 x 1, x 2,, x r 线性无关, 但 x 1, x 2,, x r, y 线性相关, 那么 y 可以被 x 1, x 2,, x r 线性表出, 而且表示法是唯一的 Definition 35 ( 维数, dimension). 如果在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量, 但是没有更多数目的线性无关的向量, 那么就称 V 为 n 维的 ; 记为 dim V = n. 如果在 V 中可以找到任意多个线性无关的向量, 那么就称 V 为无限维的. 单个的零向量总是线性相关的. 事实上 λ 0, 都有 λ0 = 0. 故零子空间 {0} 中不存在线性无关的向量, 即 dim{0} = Definition 36. 在 n 维线性空间 V 中, n 个线性无关的向量 ε 1, ε 2,, ε n 称为 V 的一组基 (basis). 记为 B V = {ε 1, ε 2,, ε n }. 设 x 是 V 中任一向量, 于是 ε 1, ε 2,, ε n, x 线性相关, 因此 x 可以被基 ε 1, ε 2,, ε n 线性表出 : x = a 1 ε 1 + a 2 ε a n ε n 其中系数 a 1, a 2,, a n 是被向量 x 和基 ε 1, ε 2,, ε n 唯一确定的, 这组数就称 为 x 在基 ε 1, ε 2,, ε n 下的坐标, 记为 (a 1, a 2,, a n ) T. Example 37. 在线性空间 R[x] n 中, , x, x 2,, x n 1, x n 是 n + 1 个线性无关的向量, 而且每一个次数不超过 n 的数域 R 上的多项式都可以被它们线性表出, 所以 R[x] n 是 n + 1 维的, 而 1, x, x 2,, x n 1, x n 就是它的一组基. 在这组基下, 多项式 f(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n 的坐标就是其系数 (a 0, a 1,, a n ) T. 14

15 如果取 R[x] n 中的另外一组基 1, (x a),, (x a) n 1, (x a) n, 按泰勒展开公式 f(x) = f(a) + f (a)(x a) + + f (n) (a) n! (x a) n, 则 f(x) 在此组基下的坐标是 ( f(a), f (a),, f (n) (a) ) T. n! 2.51 Example 38. 考虑 m n 矩阵 E ij = i j 即矩阵 E ij 的元素在第 i 行第 j 列位置上为 1, 其他位置皆为 0. 称 E 11, E 12,, E 1n, E 21, E 22,, E 2n,, E m1, E m2,, E mn 为空间 C m n 的标准基. 显然 dim C m n = mn [ ] [ ] [ ] [ ] Example 39. 已知 E 11 =, E 12 =, E 21 =, E 22 = 是 R 2 2 的标准基, 求矩阵 [ ] 2 3 A = 4 5 在该组基底下的坐标. 解 : 由 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A = = = 2E E 12 4E E 22, 故矩阵 A 在该组基底下的坐标为 [ ] (2, 3, 4, 5) T. a11 a 12 一般地, 矩阵 A = 在标准基 E 11, E 12, E 21, E 22 下的坐标为 a 21 a 22 ( ) T. a11, a 12, a 21, a

16 Example 40. 如果把复数域 C 看作是自身上的线性空间, 那么它是一维的, 数 1 就是一组基. 如果把复数域 C 看作是实数域 R 上的线性空间, 那么就是二维的, 数 1 与 i 就是一组基. 维数与所考虑的数域有关 Theorem 41. 设 V 是数域 F 上的线性空间, x 1, x 2,, x k 为 V 中的向量组, 则它为线性相关向量组的充要条件是, 其中必有 ( 至少有一个 ) 向量能由其余的向量线性表出. Theorem 42. 向量组 x 1, x 2,, x k 线性无关的充要条件是, 其中任一向量均 不能由其余向量线性表出 Theorem 43. 设 V 是数域 F 上的线性空间, {x 1, x 2,, x n } = B V 基, y 1, y 2,, y k 为 V 的线性无关的向量组, 则在 B V 量, 不妨设为 x 1, 使得向量组 x 1, y 2,, y k 仍然线性无关. 是 V 的 中至少可以找到一个向 证 : 反证法. 假设对任意的 x i (i = 1, 2,, n), 都有 x i, y 2,, y k 线性相关. 已知 y 1, y 2,, y k 线性无关, 故 y 2, y 3,, y k 也线性无关. 从而 x i 可以由 y 2, y 3,, y k 线性表示. 则向量组 x 1, x 2,, x n 可以由向量组 y 2, y 3,, y k 线性表示. 而 y 1 可以由基 x 1, x 2,, x n 线性表示, 导致 y 1 可以由向量组 y 2, y 3,, y k 线性表示. 与题设 y 1, y 2,, y k 线性无关 矛盾. 假设不成立. 得证 Theorem 44. 线性空间 V 的任意两组基 所含向量个数相等. B (1) V = {x 1, x 2,, x k }, B (2) V = {y 1, y 2,, y n }, Corollary 45. n 维线性空间 V 中任意 n 个线性无关的向量 y 1, y 2,, y n 均可以作为 V 的基 Corollary 46. 设 V 是 n 维向量空间, 则 V 中任意 k (k < n) 个线性无关的向量 x 1, x 2,, x k 必可以扩充成 V 的一组基. 证 : 由 k < n, 知向量组 x 1,, x k 不是 V 的基, 故 V 中必有一个向量 β 1 不能由 x 1,, x k 线性表出, 从而向量组 x 1,, x k, β 1 16

17 线性无关. 若 k + 1 = n, 则向量组 x 1, x 2,, x k, β 1 为 V 的一组基. 若 k + 1 < n, 则 V 中必有一个向量 β 2 不能由 x 1,, x k, β 1 线性表出, 从而 x 1,, x k, β 1, β 2 线性无关. 依次下去, 可得到线性无关的向量组 x 1,, x k, β 1, β 2,, β s, 其中 r + s = n, 从而把 x 1,, x k 扩充成了 V 的一组基 基变换和坐标变换 设 V 是数域 F 上的线性空间, 给定 V 的两组基底 : B (1) V = {x 1, x 2,, x n }, B (2) V = {y 1, y 2,, y n }, 设向量 α V 在两组基底下的坐标分别为 x = (a 1, a 2,, a n ) T 和 y = (b 1, b 2,, b n ) T. 试问 : x 与 y 有什么关系? 2.59 (1) 两组基底之间的关系. 由于 x 1, x 2,, x n 是 V 的一组基底, 故有 y 1 = p 11 x 1 + p 21 x p n1 x n, y 2 = p 12 x 1 + p 22 x p n2 x n,. y n = p 1n x 1 + p 2n x p nn x n. (2) 引进如下形式的写法 : a 2 a 1 x 1 + a 2 x a n x n [x 1, x 2,, x n ],. 则 (2) 式可以写成 p 11 p 12 p 1n p 21 p 22 p 2n [y 1, y 2,, y n ] = [x 1, x 2,, x n ].... p n1 p n2 p nn a 1 a n 2.60 记 p 11 p 12 p 1n p 21 p 22 p 2n P =,... p n1 p n2 p nn 17

18 即 [y 1, y 2,, y n ] = [x 1, x 2,, x n ]P, 则称矩阵 P 为由基底 x 1,, x n 到基底 y 1,, y n 的过渡矩阵 Theorem 47. 设 x 1, x 2,, x n 是 V 的一组基底, 且向量组 y 1, y 2,, y n 满足 [y 1, y 2,, y n ] = [x 1, x 2,, x n ]P, (3) 则向量组 y 1, y 2,, y n 是 V 的一组基底当且仅当 P 是可逆矩阵. 证 : y 1, y 2,, y n 是 V 的一组基底 y 1, y 2,, y n 线性无关 从 k 1 y 1 + k 2 y k n y n = 0 可推出 k 1 = k 2 = = k n = 0 k 1 k 2 从 [y 1, y 2,, y n ] = 0 可推出 k 1 = k 2 = = k n = 0. k n k 1 k 2 从 [x 1, x 2,, x n ]P = 0 可推出 k. 1 = k 2 = = k n = 0 k 1 k n k 2 从 P = 0 可推出 k. 1 = k 2 = = k n = 0 k n 齐次线性方程组 P x = 0 只有零解 P 是可逆矩阵. 在上述证明过程中, 倒数第 3 个 用到了 x 1, x 2,, x n 线性无关的条 2.62 件 (2) 坐标转换 Theorem 48. 设向量 α V 在两组基底 B (1) V = {x 1, x 2,, x n } 和 B (2) V = {y 1, y 2,, y n } 下的坐标分别为 x = (a 1, a 2,, a n ) T 和 y = (b 1, b 2,, b n ) T. 基 B (1) V 到 B (2) V 的过渡矩阵为 P, 则 P y = x 或 y = P 1 x

19 证 : a 1 a 2 b 2 α = [x 1, x 2,, x n ] = [y. 1, y 2,, y n ]. a n b 1 b 2 b 2 = [x 1, x 2,, x n ]P = [x 1, x 2,, x n ] P.. b 1 b n b n b n b 1 由于 α 在基底 {x 1, x 2,, x n } 下的坐标是唯一的, 故 P y = x 或 y = P 1 x. [ ] [ ] [ ] [ ] Example 49. 证明 G 1 =, G 2 =, G 3 =, G 4 = [ ] 0 1 R 2 2 的一组基, 并求 A = 在此基下的坐标. 3 3 证 : 矩阵 G 1, G 2, G 3, G 4 在标准基 E 11, E 12, E 21, E 22 下的坐标分别为 x 1 =, x 2 =, x 3 =, x 4 =, 记 P = [ ] x 1, x 2, x 3, x 4, 则 是 [ G1, G 2, G 3, G 4 ] = [ E11, E 12, E 21, E 22 ] P. 而 det P = 2 0, 即矩阵 P 可逆, 因此向量组 G 1, G 2, G 3, G 4 也是 R 2 2 的一组基 [ ] 0 1 矩阵 A = 在标准基 E 11, E 12, E 21, E 22 下的坐标为 3 3 x = (0, 1, 3, 3) T. 设矩阵 A 在基 G 1, G 2, G 3, G 4 下的坐标为 y, 则 y = P 1 x = (0, 1, 2, 3) T

20 维数定理 Theorem 50. 设 S 1 和 S 2 均为数域 F 上的线性空间 V 的子空间, 则有 dim(s 1 + S 2 ) = dim S 1 + dim S 2 dim(s 1 S 2 ). 或记为 dim S 1 + dim S 2 = dim(s 1 + S 2 ) + dim(s 1 S 2 ). 和的维数往往比维数的和来得小. 例如在 R 3 空间中, 两张通过原点的不同 的平面之和是整个 R 3 空间, 而其维数之和为 证 : 设 dim S 1 = n 1, dim S 2 = n 2, dim(s 1 S 2 ) = m. 取 S 1 S 2 的一组基 α 1, α 2,, α m. 它可以扩充成 S 1 的一组基 α 1, α 2,, α m, β 1,, β n1 m. 也可以扩充成 S 2 的一组基 α 1, α 2,, α m, γ 1,, γ n2 m. 下面来证明, 向量组 α 1, α 2,, α m, β 1,, β n1 m,γ 1,, γ n2 m 是 S 1 + S 2 的一组基, 这样 dim(s 1 + S 2 ) = n 1 + n 2 m, 因而维数公式成立 现在来证明向量组是线性无关的. 假设有等式 k 1 α 1 + k 2 α k m α m + p 1 β p n1 mβ n1 m +q 1 γ q n2 mγ n2 m = 0. 令 α = k 1 α 1 + k 2 α k m α m + p 1 β p n1 mβ n1 m (4) = q 1 γ 1 q n2 mγ n2 m. (5) 由等式 (4), 有 α S 1 ; 而由等式 (5), 有 α S 2. 于是 α S 1 S 2, 则 α 可以 由 α 1, α 2,, α m 线性表示. 令 α = l 1 α 1 + l 2 α l m α m, 则 l 1 α 1 + l 2 α l m α m + q 1 γ q n2 mγ n2 m = 0. 由于 α 1, α 2,, α m, γ 1,, γ n2 m 线性无关, 得 l 1 = l 2 = = l m = q 1 = = q n2 m = 0, 20

21 因而 α = 从而有 k 1 α 1 + k 2 α k m α m + p 1 β p n1 mβ n1 m = 0. 由于 α 1, α 2,, α m, β 1,, β n1 m 线性无关, 故 k 1 = k 2 = = k m = p 1 = = p n1 m = 0. 从而 α 1, α 2,, α m, β 1,, β n1 m, γ 1,, γ n2 m 线性无关. 另一方面, S 1 + S 2 中任一向量都可以由上述向量组线性表示. 事实上, 设 x S 1 + S 2, 令 x = x 1 + x 2, x 1 S 1, x 2 S 2. 则 x 1 可以用 α 1, α 2,, α m, β 1,, β n1 m, 线性表示 ; 且 x 2 可以用 α 1, α 2,, α m, γ 1,, γ n2 m 线性表示. 故 x 可以用 α 1, α 2,, α m, β 1,, β n1 m, γ 1,, γ n2 m 线性表示. 因而向量组 α 1, α 2,, α m, β 1,, β n1 m, γ 1,, γ n2 m 是 S 1 + S 2 的一组基. 故维数公式成立 Corollary 51. 设 S 1, S 2 是线性空间 V 的子空间, 则下列叙述是等价的 : 1. V = S 1 S dim(s 1 + S 2 ) = dim S 1 + dim S S 1 的基底 B S1 = {x 1, x 2,, x k } 和 S 2 的基底 B S2 = {y 1, y 2,, y l } 组成的集合 {x 1, x 2,, x k, y 1, y 2,, y l } 是和空间 S 1 + S 2 的基底. 4. 任意 x V 有唯一的分解式 : x = x 1 + x 2, x 1 S 1, x 2 S 零向量 0 的分解式是唯一的. Corollary 52. 设 S 为 n 维线性空间 V 的一个真子空间, 则 V 中必有真子空间 M 成为 S 的代数补空间. Theorem 53. 两个向量组 {x 1, x 2,, x s } 及 {y 1, y 2,, y t } 张成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价, 即两个向量组可以相互线性表示 Theorem 54. 设向量组 {x 1, x 2,, x s } 的秩为 r, 则 dim span[x 1, x 2,, x s ] = r Exercise 55 (P.50 习题 ( 一 ) 7). 设 V 1, V 2 都是线性空间 V 的子空间, 若 dim V 1 = dim V 2, 且 V 1 V 2, 试证 V 1 = V 2. 21

22 证 : 设 dim V 1 = r. 若 r = 0, 则 V 1, V 2 都是零子空间 {0}, 故 V 1 = V 2. 当 r 0 时, 任取 V 1 的一组基底 x 1, x 2,, x r. 由于 V 1 V 2, 则 x 1, x 2,, x r 也是 V 2 中的一组线性无关向量. 又 dim V 2 = r, 故 x 1, x 2,, x r 是 V 2 的一组基底. 故 V 2 = span[x 1, x 2,, x r ] = V Exercise 56 (P.50 习题 ( 一 ) 8). 给定矩阵 A = , 试求 dim R(A), dim N(A). 解 : dim R(A) = rank A, dim N(A) = n rank A, 其中 n 为矩阵 A 的列数. 对矩阵 A 进行列变换, 易知 rank A = 3, 故 dim R(A) = 3, dim N(A) = 1. dim R(A) + dim N(A) = n Exercise 57 (P.50 习题 ( 一 ) 9). 试证多项式组 1, (x 1), (x 1) 2,, (x 1) n 也是线性空间 R[x] n 的一个基底, 并求由基底 {1, x, x 2,, x n } 过渡到基底 { 1, (x 1), (x 1) 2,, (x 1) n} 的过渡矩阵. 解 : k {0, 1, 2,, n}, 有 (x 1) k = ( 1) k + C 1 k ( 1)k 1 x + C 2 k ( 1)k 2 x C k 1 k ( 1)x k 1 + x k ( 1) k C 1 k ( 1)k 1 C 2 k ( 1)k 2 = (1, x, x 2,, x k, x k+1,, x n ) 则 ( 1, (x 1), (x 1) 2,, (x 1) n) = (1, x, x 2,, x n )P, 2.79 其中 P = ( 1) n C 1 n( 1) n C 2 n( 1) n (n+1) (n+1) 22

23 由于 det P = 1 0, 所以 1, (x 1), (x 1) 2,, (x 1) n 也是线性空间 R[x] n 的一个基底, 且所求过渡矩阵为 P Exercise 58 (P.51 习题 ( 二 ) 7). 设 V 为数域 F 上的 n 维线性空间, 向量 u 1, u 2,, u l V 线性无关, A Fr l m, 而 [v 1, v 2,, v m ] = [u 1, u 2,, u l ]A, 试证 dim span[v 1, v 2,, v m ] = rank A = r. 证 : 记 A = [a 1, a 2,, a m ], 已知 rank A = r, 不妨设 A 的列向量的极大无关 组为 a 1, a 2,, a r, 下证 v 1, v 2,, v r 线性无关. 0 = k 1 v 1 + k 2 v k r v r 因 u 1, u 2,, u l 线性无关, 故 = k 1 [u 1, u 2,, u l ]a k r [u 1, u 2,, u l ]a r = [u 1, u 2,, u l ](k 1 a k r a r ), k 1 a k r a r = 0. 又 a 1, a 2,, a r 线性无关, 所以 k 1 = k 2 = = k r = 0, 得 v 1, v 2,, v r 线性 无关 再证任取 v i 均可以由 v 1, v 2,, v r 线性表示. 设 a i = λ 1 a λ r a r, 则 v i = [u 1, u 2,, u l ]a i = [u 1, u 2,, u l ](λ 1 a λ r a r ) = λ 1 [u 1, u 2,, u l ]a λ r [u 1, u 2,, u l ]a r = λ 1 v λ r v r. 从而 v 1, v 2,, v r 为 v 1, v 2,, v m 的一个极大线性无关组. 故 dim span[v 1, v 2,, v m ] = dim[v 1, v 2,, v m ] = r = rank A. Exercise 59 (P.51 习题 ( 二 ) 9). 设 S 1 和 S 2 均为 n 维线性空间 V 的真子空间, 则 V 中至少有一个向量 u 既不属于 S 1, 也不属于 S 2. 证 : 因 S 1 是真子空间, 故存在 u / S 1. 若 u / S 2, 则结论已成立. 若 u S 2, 因 S 2 是真子空间, 故存在 v / S 2. 若 v / S 1, 则结论已成立. 若 v S 1, 则便有 u / S 1, v S 1, u S 2, v / S 于是存在 w = u + v / S 1, w / S

24 1.4 和空间与直和空间概念的推广 Definition 60. 设 S 1, S 2,, S n 是线性空间 V 的一组子空间, 且满足 : 1. S = S 1 + S S n = n S i ; i=1 ( n ) 2. S j S i = {0}, 1 j n, 则称 S 是 S 1, S 2,, S n 的直和, 记为 i=1 i j 特别地, 当 S = S 1 S 2 S n. V = S 1 S 2 S n 时, 称 S 1 S 2 S n 为 V 的一个直和分解. 定义中的条件 2 不能简单地换为条件 S i S j = {0}, i j Theorem 61. 设 S 1, S 2,, S n 是线性空间 V 的一组子空间, S = n S i. 则 下列命题互相等价 : 1. S = S 1 S 2 S n ; 2. 对任意 x S, 它有唯一的分解式 : x = n x i, x i S i, i = 1, 2,, n. i=1 3. S = n S i 中零向量有唯一的分解式. i=1 4. dim S = n dim S i. i=1 5. 取每个 S i 的基底, 其全体构成 S 的一个基底. ( j 1 ) 6. S i S j = {0}, 2 j n. i=1 i=1 Example 62. 考虑空间 C 3 的自然基底 {e 1, e 2, e 3 }, 令 2.85 S 1 = span[e 1 ], S 2 = span[e 1 +e 2 ], S 3 = span[e 2 ], 则 S 1, S 2, S 3 都是 C 3 的一维子空间. 作和 S = S 1 + S 2 + S 3, 则有 S = span[e 1, e 1 + e 2, e 2 ]. S 不是 S 1, S 2, S 3 的直和, 因为 2 = dim S dim S 1 + dim S 2 + dim S 3 = 3. 但满足 S i S j = {0}, i j. 这说明定义 60 中的条件 2 不能简单地换为条件 S i S j = {0}, i j

25 2 内积空间 2.1 内积空间的定义及例子 问题 : 向量的长度 夹角在线性空间中如何定义? 积 ) 为 在解析几何中, 设 α = (x 1, y 1, z 1 ), β = (x 2, y 2, z 2 ), 它们的数量积 ( 又称内 其中 θ 是 α 与 β 的夹角. (α, β) = α β = α β cos θ = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2, 有了数量积 ( 内积 ) 的概念, 向量的长度和夹角就可以表示为 α = (α, α), θ = arccos (α, β) α β. 数量积 ( 内积 ) 的概念蕴含着长度和夹角的概念. 为了给抽象的线性空间引进 长度 夹角等度量, 我们先以数量积所具备的 4 条代数性质为依据, 在抽象的线 性空间引入与数量积相类似的功能, 这就是内积的概念, 并把定义了内积的线性 空间叫做内积空间 内积概念的公理化 Definition 63. 设 V 是实数域 R 上的线性空间. x, y V, 如能给定某 种 规 则 使 x 与 y 对应于一个实 数, 记为 (x, y), 且满足下列条件 : 1. (x, y) = (y, x); 2. (λx, y) = λ(x, y); 3. (x + y, z) = (x, z) + (y, z); 4. (x, x) 0, 当且仅当 x = 0 时, (x, x) = 0. 则该实数 (x, y) 称为向量 x 与 y 的内积. 其中 x, y, z V, λ R. 定义了内积的实线性空间 V 叫做欧几里德空间, 简称欧氏空间或实内积空间. 欧氏空间与实线性空间的差别, 在于欧氏空间比实线性空间多定义了内积. 或者说, 欧氏空间是一个特殊的实线性空间 Example 64. 在 n 维向量空间 R n 中, 对于 x = (a 1, a 2,, a n ) T, y = (b 1, b 2,, b n ) T, 我们规定 n (x, y) = a 1 b 1 + a 2 b a n b n = a k b k. (6) 不难验证, 这样确定的实数满足内积的 4 个条件, 所以 (6) 是 R n 中的内积, 从而 R n 关于上述内积构成 n 维欧氏空间. k=1 上述内积 (6) 称为 R n 上的标准内积 在同一个实线性空间中, 定义不同的内积, 将构成不同的欧氏空间. 25

26 Example 65. 在空间 R n 中, 规定 n (x, y) = a 1 b 1 + 2a 2 b na n b n = ka k b k. 这样确定的实数也满足内积的 4 个条件, 从而 R n 关于上述内积也构成欧氏空间. Example 66. 在线性空间 R 2 中, 对于向量对于 x = (a 1, a 2 ) T, y = (b 1, b 2 ) T, 我们规定 (x, y) = a 1 b 1 a 2 b 1 a 1 b 2 + 4a 2 b 2, (7) k= 这样确定的实数满足内积的 4 个条件, 所以 (7) 是 R 2 中的内积. 故 R 2 在上述内 积定义下构成一个新的欧氏空间. 问 : (x, y) = a 1 + a 2 + b 1 + b 2 是否构成内积? 不是内积, 非负性不满足 Exercise 67 (P.56 习题 ( 一 ) 7). 考虑线性空间 C[a, b], 任取 f(x), g(x) C[a, b], 定义函数 (f, g) = b a f(x)g(x) dx, 试证明函数为 C[a, b] 上的内积. b 解 : 对于连续函数 f(x), g(x), 积分 a f(x)g(x) dx 是唯一确定的实数. 并满足 : 1. (f, g) = b a f(x)g(x) dx = b a g(x)f(x) dx = (g, f); 2. (λf, g) = b a λf(x)g(x) dx = λ b a f(x)g(x) dx = λ(f, g); 3. (f + g, h) = b ( ) b a f(x) + g(x) h(x) dx = a f(x)h(x) dx + b a g(x)h(x) dx = (f, h) + (g, h); 4. (f, f) = b [ ] 2 a f(x) dx 0, 且 (f, f) = 0 当且仅当 f(x) 0. 得证函数 (f, g) = b a f(x)g(x) dx 为 C[a, b] 上的内积 2.92 复向量的内积 为 对于 n 维实向量 x = (a 1, a 2,, a n ) T, y = (b 1, b 2,, b n ) T, x 与 y 的内积 (x, y) = n a k b k. k=1 直接以上式作为复向量的内积将导致不合理的结果. 例如复向量 x = (3, 4, 5i) T, (x, x) = (5i) 2 = 0. 而对实向量, 当且仅当 x = 0 时, (x, x) = Definition 68. 设 x = (a 1, a 2,, a n ) T C n, y = (b 1, b 2,, b n ) T C n, 令 称 (x, y) 为向量 x 与 y 的内积. (x, y) = a 1 b 1 + a 2 b a n b n n = a k b k = y H x, k=1 该内积称为复线性空间 C n 的标准内积. 26

27 比如 x = (3, 4, 5i) T, y = (4i, 3, 1 + 2i) T, (x, x) = (5i) ( 5i) = 50. (x, y) = 3 ( 4i) + 4 ( 3) + (5i) (1 2i) = 2 7i. (y, x) = 4i 3 + ( 3) 4 + (1 + 2i) ( 5i) = 2 + 7i. (x, y) (y, x) 复向量的内积具有以下性质 : Theorem 69. 设 x, y, z C n, λ C, 则 1. (x, y) = (y, x); 2. (λx, y) = λ(x, y), (x, λy) = λ(x, y); 3. (x + y, z) = (x, z) + (y, z); 4. (x, x) 0, 当且仅当 x = 0 时, (x, x) = 0. 例如 : (x, λy) = (λy) H x = λy H x = λ(x, y). Definition 70. 设 V 是复数域 C 上的线性空间. x, y V, 若能给定某 种 规 则 使 x 与 y 对应于一个复 数 (x, y), 它满足下列条件 : 1. (x, y) = (y, x); 2. (λx, y) = λ(x, y); 3. (x + y, z) = (x, z) + (y, z); 4. (x, x) 0, 当且仅当 x = 0 时, (x, x) = 则该复数 (x, y) 称为向量 x 与 y 的内积. 其中 x, y, z V, λ C. 定义了内积的复线性空间 V 叫做酉空间 ( 或 空间, 或复内积空间 ). U 2.96 内积的一般化定义 Definition 71. 设 V 是数域 F 上的线性空间. 所谓 V 上的一个内积, 是定义在 V 上并取值在 F 上的二元函数 (x y), 其中 x 和 y 为 V 中的任意向量, 且对一切 x, y, z V 及一切 λ F 满足 1. 正定性 : (x x) 0, 当且仅当 x = 0 时, (x x) = 共轭对称性 : (x y) = (y x), 其中 (y x) 表示 (x y) 的共轭复数. 3. 关于第一变元的线性性 : (λx + y z) = λ(x z) + (y z) 注 1. 对 (λx + y z) = λ(x z) + (y z), 27

28 1. λ = 1 时, 得 (x + y z) = (x z) + (y z). 2. 上式中 y = 0 时, 得 (x z) = (x + 0 z) = (x z) + (0 z). 故 进而 (0 z) = 0. (z 0) = (0 z) = 0 = (λx z) = (λx + 0 z) = λ(x z) + (0 z) = λ(x z). 4. (x µy) = (µy x) = µ(y x) = µ (y x) = µ (x y) 内积的性质 1. ( n λ i x i y ) = n ( λ i xi y ). i=1 2. ( x i=1 m ) m ( ) µ j y j = µ j x yj. j=1 3. ( n λ i x i i=1 j=1 m ) n µ j y j = j=1 4. (x 0) = (0 x) = 0. n i=1 j=m λ i µ j ( xi y j ). Definition 72 ( 内积空间 ). 数域 F 上线性空间 V 如果定义了内积 ( ), 则称 ( ) 之为内积空间, 记为 V, ( ), 也简记为 V Exercise 73 (P.55, 习题 ( 一 ) 4). 给定某 n 阶正 定 矩 阵 A = [a ij ], a ij R, 而 α = (α 1, α 2,, α n ) T R n, β = (β 1, β 2,, β n ) T R n, 定义函数 (α β) = β T Aα, 证明此函数是 R n 上的一个内积. 对称矩阵 A 为正定的 二次型 f(x) = x T Ax 为正定的 A 的特征值全为正 A 的各阶主子式都为正. Proof. (1) 正定性. 当 α = (α 1, α 2,, α n ) T 0 时, 有 (α α) = α T Aα = f(α 1, α 2,, α n ), 因 A 为正定矩阵, 故二次型 f(α 1, α 2,, α n ) 为正定的. 由于 α 0, 即 α 1, α 2,, α n 是不全为零的实数, 故 (α α) = f(α 1, α 2,, α n ) > 0. 当且仅当 α = 0 时, 有 (α α) = f(α 1, α 2,, α n ) = 0. (2) 对称性. 正定矩阵 A 是对称的, 又注意到 β T Aα 为实数. 故 (α β) = β T Aα = ( β T Aα ) T = α T A T β = α T Aβ = (β α). 28

29 (3) 关于第一变元的线性性. (λα + β γ) = γ T A(λα + β) = λγ T Aα + γ T Aβ = λ(α γ) + (β γ). 得证函数 (α β) = β T Aα 是 R n 上的一个内积 Exercise 74 (P.56 习题 ( 一 ) 10). 给定 C[ π, π] 中的函数 sin x, 并取第 7 题中 ( ) 所定义的内积, 试求一 C[ π, π] 中的函数 f(x), 使其满足 sin x f(x) = 0. 解 : 因 ( ) π sin x f(x) = sin xf(x) dx = 0, 故可以取 f(x) 为定义在 [ π, π] 上的任意偶函数. 以下函数 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,, cos nx, sin nx, π 在 C[ π, π] 内是两两正交的 Exercise 75 (P.56, 习题 ( 二 ) 2). 设 V 是一个内积空间, 若对一切 x V 都有 (x u) = (x v), 试证 u = v. Proof. 即对一切 x V 都有 (u x) = (v x), 故 (u v x) = (u x) + ( v x) = (u x) (v x) = 0. 取 x = u v, 得 (u v u v) = 0. 故 u v = 0, 从而 u = v Exercise 76 (P.56, 习题 ( 二 ) 4). 已知 E 是欧氏空间, dim E = n. 设 x 1, x 2,, x k, y E, 且 y 可用 x 1, x 2,, x k 线性表示. 试证 : 当且仅当 y = 0 时有 (x i y) = 0 成立, i = 1, 2,, k. Proof. (1) 若 (x i y) = 0. 设 y = λ 1 x 1 + λ 2 x λ k x k, 则 (y y) = ( k λ i x i y ) = i=1 k ( λ i xi y ) = 0. i=1 (2) 当 y = 0 时, 显然有 (x i y) = 0 成立

30 本节内容强调 内积的公理化定义是抽象于经典内积的性质 ; 一个线性空间可以定义多种内积 ; 同一个线性空间定义不同的内积, 将得到不同的内积空间 由内积诱导出的几何概念 ( ) Definition 77. 设 V, ( ) 为内积空间, x V, 则称 x = (x x) 为 x 的由内积 ( ) 诱导的范数 (norm). 又若 x, y V, 则称 x y 为向量 x 与 y 的距离. ( ) Theorem 78. 设 V, ( ) 为内积空间, F 为 V 的标量域, 则对任意 x, y V 和任意 λ F 有 : 1. λx = λ x ; 2. (x y) x y (Cauchy Bunyakovskii Schwarz 不等式 ); 3. x + y x + y ( 三角不等式 ) Definition 79. 设 V 为 n 维欧 氏 空 间, x, y 为 V 中的非零向量, 则称实数 为向量 x 与 y 的交角. θ = arccos (x y) x y 上式只能定义欧氏空间的向量交角, 而对一般的酉空间, 上式无意义 Definition 80. 设 x, y 为内积空间 V 中的向量, 若 (x y) = 0, 则称向量 x 与 y 正 交 (orthogonal). 记为 x y. For R n with the standard inner product, x y x T y = 0. For C n with the standard inner product, x y y H x = Example 81. 设 V = C[ 1, 1], 计算交角 1, x 2. ( 内积按通常的定义 : f(x), g(x) C[a, b], ( f(x) g(x) ) = b a f(x)g(x) dx. ) 30

31 解 : 由 cos 1, x 2 = (1 x2 ) 1 x 2. 其中 (1 x 2 ) = = (1 1) = x 2 dx = 2 3, 1 x 2 2 = (x 2 x 2 ) = 1 1 dx = 2, 1 x 4 dx = 2 5. 故 1, x 2 = arccos (1 x2 ) 5 1 x 2 = arccos 3. 试指出一个与 x 2 正交的向量? Definition 82. 若内积空间 V 中的不含零向量的向量组 x 1, x 2,, x k 两两互 相正交, 则称之为一个正交向量组. Theorem 83. 设 x 1, x 2,, x k 为内积空间 V 的一组正交向量, 且 x = k x i, 则 x 2 = 特别地, 若有 y z, 则 k x i 2. i=1 i=1 y + z 2 = y 2 + z Exercise 84 (P.64 习题 ( 一 ) 6). 在欧氏空间 E n 中, 试证 : x y 的充分必要条件为 x + y 2 = x 2 + y 2 ; 而在酉空间中, 由 x y 可以推得 x + y 2 = x 2 + y 2, 但反过来却未必成立, 请举一反例. 证 : 因为 x + y 2 = (x + y x + y) = (x x) + (x y) + (y x) + (y y) = x 2 + y 2 + (x y) + (y x), (1) 在欧氏空间中, (x y) = (y x), 故 x + y 2 = x 2 + y 2 + 2(x y). 从而 x y (x y) = 0 x + y 2 = x 2 + y 2. (2) 在酉空间中, (x y) = (y x), 故 x + y 2 = x 2 + y 2 + 2Re(x y). 从而 x y (x y) = 0 Re(x y) = 0 x + y 2 = x 2 + y 2. 其中 Re(x y) = 0 不能推得 (x y) = 0, 因为 (x y) 还 可 能是纯虚数. 例如 x = (0, i) T, y = (0, 1) T. 因 (x y) = i 0, 故两者不正交, 且满足 x + y 2 = x 2 + y

32 2.3 标准正交基底与 Gram-Schmidt 过程 Theorem 85. 内积空间 V 中任意正交向量组 x 1, x 2,, x k (k dim V ) 都是 V 中线性无关的向量组. Proof. 设 λ 1 x 1 + λ 2 x λ k x k = 0, 则 0 = (0 x i ) = (λ 1 x 1 + λ 2 x λ k x k x i ) = λ 1 (x 1 x i ) + + λ i (x i x i ) + + λ k (x k x i ) = λ i x i 2, 得 λ i = 0, i = 1, 2,, k. 故 x 1, x 2,, x k 线性无关 Definition 86. 设有 n 维内积空间 V 的 k 个向量 x 1, x 2,, x k. 若 (x i x j ) = δ ij, i, j = 1, 2,, k, 其中 1, 若 i = j, δ ij = 0, 若 i j. 则称 x 1, x 2,, x k 为标准正交向量组. 交基底. 显然, 当 k = n 时, 向量组 x 1, x 2,, x n 成为 V 的一个基底, 称为标准正 δ ij 称为克罗内克符号 (Kronecker Delta) ), 德国数学家. 这是个常用的符号, 例如单位矩阵可以表示为 I = [ ] δ ij. 克罗内克 (Leopold Kronecker, Gram-Schmidt 正交化过程 Theorem 87. 每个 n 维内积空间 V 一定存在标准正交基底. 证 : 设向量组 x 1, x 2,, x n 是 V 的一个基底, 下面逐个求出标准正交向量 y 1, y 2,, y n, 并满足 : span[x 1, x 2,, x i ] = span[y 1, y 2,, y i ], i = 1, 2,, n. 首先, 可取 y 1 = 1 x 1 x 1. 一般地, 假定已经求出 y 1, y 2,, y m, 它们是单位正交的, 具有性质 span[x 1, x 2,, x i ] = span[y 1, y 2,, y i ], i = 1, 2,, m. 下求 y m 因为 span[x 1, x 2,, x i ] = span[y 1, y 2,, y i ], 所以 x m+1 不能被 y 1, y 2,, y m 线性表示, 作向量 u m+1 = x m+1 ( ) λ 1 y 1 + λ 2 y λ m y m 0, (8) 32

33 这里 λ 1, λ 2,, λ m 是待定的系数, 用 y i 与 u m+1 作内积得 (u m+1 y i ) = (x m+1 y i ) λ i (y i y i ), 取 λ i = (x m+1 y i ), (9) 有 (u m+1 y i ) = 0. 令 y 1, y 2,, y m, y m+1 就是一个标准正交向量组, 同时 y m+1 = u m+1 u m+1, (10) span[x 1, x 2,, x m+1 ] = span[y 1, y 2,, y m+1 ]. 由归纳法原理, 定理得证 Gram-Schmidt 正交化过程的步骤 1. u 1 = x 1, y 1 = 1 u 1 u 1; 2. u m+1 = x m+1 (x m+1 y 1 )y 1 (x m+1 y 2 )y 2 (x m+1 y m )y m, y m+1 = 1 u m+1 u m+1. 上述从线性无关向量组 x 1, x 2,, x n 导出标准正交向量组 y 1, y 2,, y n 的过程, 称为 Gram-Schmidt 正交化过程 (Gram Schmidt Orthogonalization Procedure) Jørgen P. Gram Jørgen P. Gram ( ) was a Danish actuary who implicitly presented the essence of orthogonalization procedure in Gram was apparently unaware that Pierre-Simon Laplace ( ) had earlier used the method. Today, Gram is remembered primarily for his development of this process, but in earlier times his name was also associated with the matrix product A H A that historically was referred to as the Gram matrix of A. Figure 1: Jørgen P. Gram

34 Erhard Schmidt Erhard Schmidt ( ) was a student of Hermann Schwarz and the great German mathematician David Hilbert. Schmidt explicitly employed the orthogonalization process in 1907 in his study of integral equations, which in turn led to the development of what are now called Hilbert spaces. Schmidt made significant use of the orthogonalization process to develop the geometry of Hilbert Spaces, and thus it came to bear Schmidt s name. Figure 2: Erhard Schmidt Example 88. 在具有标准内积的空间 C 3 中, 设 x 1 = (1, i, 0) T, x 2 = (1, 0, i) T, x 3 = (0, 0, 1) T, 试用 Gram-Schmidt 正交化方法把这组向量单位正交化. 解 : u 1 = x 1 = (1, i, 0) T, y 1 = 1 u 1 u 1 = 1 2 (1, i, 0) T. u 2 = x 2 (x 2 y 1 )y 1 = (1, 0, i) T 1 1 (1, i, 0) 2 0 y 1 = ( 1 2, i 2, i)t. i y 2 = 1 u 2 u 2 = 1 6 (1, i, 2i) T. u 3 = x 3 (x 3 y 1 )y 1 (x 3 y 2 )y 2 = x 3 0y 1 + 2i 6 y 2 = 1 3 (i, 1, 1)T y 3 = 1 u 3 u 3 = 1 3 (i, 1, 1) T. 向量 y 1, y 2, y 3 即为所求 Gram 矩阵 ( ) Definition 89. 设 V, ( ) 为内积空间, x 1, x 2,, x k (0 < k dim V ) 为 V 中一组向量, 则称矩阵 (x 1 x 1 ) (x 1 x 2 ) (x 1 x k ) (x 2 x 1 ) (x 2 x 2 ) (x 2 x k ) G(x 1, x 2,, x k ) =... (x k x 1 ) (x k x 2 ) (x k x k ) 为向量组 x 1, x 2,, x k 的格拉姆矩阵 (Gram Matrix), 而 g(x 1, x 2,, x k ) = det G(x 1, x 2,, x k ) 34

35 称为格拉姆行列式. 格拉姆矩阵为 Hermite 矩阵, 即 G H (x 1, x 2,, x k ) = G(x 1, x 2,, x k ). 格拉姆矩阵可以方便地表达两个向量的内积 ( ) 设 V, ( ) 为内积空间, x 1, x 2,, x n 为 V 的一组基底. 设向量 x, y 在该组基底下的坐标分别为 u = (ξ 1, ξ 2,, ξ n ) T, v = (η 1, η 2,, η n ) T. 即 x = ξ 1 x 1 + ξ 2 x ξ n x n, y = η 1 x 1 + η 2 x η n x n. 则 (x y) = ( n n ) n n ( ) ξ i x i η j x j = ξ i η j xi x j i=1 j=1 i=1 j=1 (x 1 x 1 ) (x 1 x 2 ) (x 1 x k ) η 1 (x 2 x 1 ) (x 2 x 2 ) (x 2 x k ) η 2 = (ξ 1, ξ 2,, ξ n ).... (x k x 1 ) (x k x 2 ) (x k x k ) = u T G(x 1, x 2,, x n )v = v H G T (x 1, x 2,, x n )u. η n 即 (x y) = v H G T (x 1, x 2,, x n )u 上式表明, 向量 x 与 y 的内积可以由 x, y 在某组基底下的坐标和 Gram 矩阵来 表示. 因而 Gram 矩阵完全确定了内积. 若 V 为实内积空间, 则 (x y) = v T G(x 1, x 2,, x n )u. 特别地, 当 x 1, x 2,, x n 为标准正交基时, G(x 1, x 2,, x n ) = I n, 从而 (x y) = v H u = n ξ i η i. i=1 即当取内积空间的标准正交基底时, 向量 x 与 y 的内积等于它们的坐标向量 u, v 的标 准 内 积 (x y) = v H u. ( ) Exercise 90 (P.65 习题 ( 二 ) 1). 设 V, ( ) 为实 内 积 空 间, 若 x 1, x 2,, x n 为 V 的基底, 则 G(x 1, x 2,, x k ) 为正定矩阵

36 Proof. 设向量 α 在该组基底下的坐标为 x = (a 1, a 2,, a n ) T, 则 (α α) = x T Gx, 对任意向量 α 0, 有 (α α) > 0. 从而有 x 0, 即 x (0, 0,, 0) T, 且二次 型 x T Gx > 0. 故矩阵 G(x 1, x 2,, x k ) 为正定矩阵 子空间的正交关系 Definition 91. 设 V 是一个内积空间, W 是 V 中向量集合. 给定 x V, 若 y W, 都有 (x y) = 0, 则称 x 与 W 是正交的, 记为 x W, 或 W x. 设 W 1 也是 V 中向量集合, 若 y W, y 1 W 1, 都有 (y y 1 ) = 0, 则称 W 1 与 W 是正交的, 记为 W 1 W, 或 W W 1. 特别地, 若 W, W 1 是 V 中的子 空 间, 则上述转化为向量与子空间正交和子 空间与子空间正交的定义. ( ) Theorem 92. 设 V, ( ) 为内积空间, W 为 V 的任一子 集, 则集合 S = {y y W, y V } 为 V 的子空间. Proof. 验证集合 S 中加法和数乘满足封闭性即可. 记 V 的标量域为 F, λ F, x 1, x 2 S, 有 x 1 W, x 2 W, 则 z W, 有 (x 1 z) = 0, (x 2 z) = 0. 故 (λx 1 z) = λ(x 1 z) = 0, (x 1 + x 2 z) = (x 1 z) + (x 2 z) = 0. 即 λx 1 S, x 1 + x 2 S. 得证 S 为 V 的子空间. ( ) Corollary 93. 设 V, ( ) 为内积空间, W 为 V 的任一子 空 间, 则集合 S = {y y W, y V } 为 V 的子空间, 并且 dim S = dim V dim W. 36

37 ( ) Definition 94. 设 V, ( ) 为内积空间, W 为 V 的任一子 空 间, 则集合 为子空间 W 的正交补空间, 记为 W. S = {y y W, y V } ( ) Corollary 95. 设 V, ( ) 为内积空间, W 为 V 的任一子 空 间, 则 W 在 V 中一定有正交补空间 W 使 V = W W. (11) 式 (11) 右端的表达式 W W 称为空间 V 的正交直和分解式 ( ) Example 96. 设 W 为内积空间 V, ( ) 的子空间, x V, 试证 :!g W,!h W, 使得 x = g + h. Proof. 由前述推论知 V 有正交直和分解 V = W W, 因此, x V,!g W,!h W, 使得 x = g + h. 称 g 为 x 的沿 W 向 W 的正交投影, h 为点 x 到子空间 W 的距离. 称 h 为 x 的沿 W 向 W 的正交投影, g 为点 x 到子空间 W 的距离. W h x 0 g W ( ) Exercise 97 (P.66 习题 ( 二 ) 9). 设 V, ( ) 为内积空间, {y 1, y 2,, y n } 为 V 的任一基底. 试证 {y 1, y 2,, y n } 为 V 的标准正交基底的充分必要条件为 : 对 V 中任意两个向量 x = n ξ i y i 和 y = n η i y i 都有 (x y) = n ξ i η i. i=1 i=1 i= 证 : 充分性. 设对任意 x, y V, 有 (x y) = ξ 1 η 1 + ξ 2 η ξ n η n, 因为 故 y i = 0y y i + + 0y n, 1, 若 i = j, (y i y j ) = 0, 若 i j. 故 {y 1, y 2,, y n } 为 V 的标准正交基底. 必要性是显然的 ( 或见 P.61 例 5)

38 3 线性变换 3.1 映射和线性变换 Definition 98. 设有映射 T : X Y, x y. 若任意 y Y 都有原像 x X, 则称 T 为从 X 到 Y 的满映射 (onto mapping, surjection), 简称满射. 若对 X 中任意两个不同的元素 x 1, x 2, 都有 T x 1 T x 2, 则称 T 为一对一 的映射 (one-to-one mapping), 或单射 (injection). 若 T 既是满射, 又是一对一的映射, 则称 T 是一一到上的映射, 或双射 (bijection) 线性变换的定义 Definition 99. 设 X 和 Y 均为数域 F 上的线性空间, 映射 T : X Y, x y 满足 : 1. T (x 1 + x 2 ) = T (x 1 ) + T (x 2 ), x 1, x 2 X; 2. T (λx) = λt (x), x X, λ F, 则称 T 为从 X 到 Y 的线性映射. 线性映射常称为线性变换 (linear transformation) 或线性算子 (linear operator). 上述两个条件或者等价地表示为 T (λx 1 + x 2 ) = λt (x 1 ) + T (x 2 ), x 1, x 2 X, λ F. 两个向量的和变换得到的向量是这两个向量变换得到的向量的和, 数 λ 与向量的数乘变换得到的向量是 λ 与该向量变换得到的向量的数乘. 像这样向量之间加法与数乘关系都不受影响的变换, 它与线性空间的运算相适应, 能够反映线性空间中向量的内在联系, 是线性空间的重要变换 Example 100. 设 A C m n, x C n, 求证 T (x) = Ax 是从空间 C n 到空间 C m 的线性变换. Proof. x C n, T (x) = Ax C m, 故 T : x Ax 是从 C n 到 C m 的一个映射. x 1, x 2 C n, λ C, T (λx 1 + x 2 ) = A(λx 1 + x 2 ) = λax 1 + Ax 2 = λt (x 1 ) + T (x 2 ), 得证 T : x Ax 是从空间 C n 到空间 C m 的线性变换 Example 101. 积分运算是线性变换. 设 J: C[a, b] C[a, b], 且 J 定义为 因 f(x), g(x) C[a, b], λ R, J ( λf(x) + g(x) ) = x J ( f(x) ) = x a f(t) dt, ( ) x λf(t) + g(t) dt = λ f(t) dt + a a 38 x a g(t) dt

39 = λj ( f(x) ) + J ( g(x) ). 故 J 是 C[a, b] 上的线性变换. Example 102. 微分运算是线性变换. 记 C 1 [a, b] 表示在区间 [a, b] 上可微函数所 构成的线性空间. 设 D: C 1 [a, b] C[a, b], 且 D 定义为 因 f(x), g(x) C 1 [a, b], λ R, D ( f(x) ) = f (x). D ( λf(x) + g(x) ) = λf (x) + g (x) = λd ( f(x) ) + D ( g(x) ), 故 D 是 C 1 [a, b] 到 C[a, b] 的线性变换 非线性变换的例子 Example 103. 设 T 定义为 : T (A) = det A, A R n n. 则 T 是由 R n n 到 R 的一个映射, 但不是线性变换. 因为一般情况下, det(a + B) det A + det B. Example 104. 共轭转置运算不是线性变换. 设 T : C m n C n m, 且 T 定义为 T (A) = A H, A C m n. 取 λ = i, 因 T (ia) = (ia) H = i(a) H it (A) Definition 105. 设 T 为从空间 X 到空间 X 的线性变换, 则称 T 为 性变换. X 上的线 Definition 106. 设 X 和 Y 均为数域 F 上的线性空间, 称映射 T : X Y, x 0 为零变换 (zero transformation), 记为 0. 即 x X, 有 0 (x) = Definition 107. 设 X 为数域 F 上的线性空间, 称映射 T : X X, x x 为 X 上的恒等变换或单位变换 (identity operator), 记为 E. 即 x X, 恒有 E(x) = x. Definition 108. 设 X 为数域 F 上的线性空间, α F 为固定的数, 且 α 0. 称 映射 T : X X, x αx 为 X 上的相似映射或数乘变换, 记为 α. 即 x X, 恒有 α (x) = αx. 39

40 当 α = 1 时, 便得恒等变换. 当 α = 0 时, 便得零变换. 恒等变换 E, 零变换 0 和相似变换 α 都是线性变换 Theorem 109. 设 T 为从 X 到 Y 的线性变换, 则 1. T (0) = 0, 其中等式左边的 0 X, 右边的 0 Y. 2. 若 x = k α i x i X, 则 T (x) = k α i T (x i ). i=1 i=1 3. 若 x 1, x 2,, x k 为 X 中线性相关的向量组, 则 T (x 1 ), T (x 2 ),, T (x k ) 为 Y 中线性相关的向量组. 4. 若 T (x 1 ), T (x 2 ),, T (x k ) 为 Y 中线性无关的向量组, 则 x 1, x 2,, x k 为 X 中线性无关的向量组. Proof. (1) T (0) = T (0x) = 0T (x) = 0. 即, 若 0 是 X 的零元素, 则 T (0) 是 Y 的零元素. (2) 归纳法可得. (3) 设存在不全为零的 λ 1, λ 2,, λ k 使得 λ 1 x 1 + λ 2 x λ k x k = 0, 由结论 (1), (2), 则 λ 1 T (x 1 ) + λ 2 T (x 2 ) + + λ k T (x k ) = 0. 则 T (x 1 ), T (x 2 ),, T (x k ) 线性相关. (4) 此命题为 (3) 的逆否命题. 但要注意, (3) 的逆命题是不对的, 线性变换可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组. 比如零变换 线性变换保持线性组合与线性关系式不变 (1) 如果 x 是 x 1, x 2,, x k 的线性组合 : x = λ 1 x 1 + λ 2 x λ k x k, 那么经过线性变换 T 之后, T (x) 是 T (x 1 ), T (x 2 ),, T (x k ) 同样的线性组合 : T (x) = λ 1 T (x 1 ) + λ 2 T (x 2 ) + + λ k T (x k ). 这表明 : 只要知道了 X 的一组基底 x 1, x 2,, x n 在 T 下的像, 那么 X 中任一向量在 T 下的像就确定了. 即, n 维线性空间 X 到线性空间 Y 的线性变换, 完全被它在 X 的一组基底上的作用所决定 (2) 如果 x 1, x 2,, x k 之间有一线性关系式 λ 1 x 1 + λ 2 x λ k x k = 0, 那么它们的像之间也有同样的关系 λ 1 T (x 1 ) + λ 2 T (x 2 ) + + λ k T (x k ) = 0. 这里 0, 0 分别是线性空间 X 和 Y 的零向量

41 Exercise 110 (P.68 习题 ( 一 ) 1). 判定下列映射哪些是线性变换? (1) 设 x 0 为空间 X 中的一个固定向量, 映射 T : X X, x x + x 0. 解 : 当 x 0 = 0 时, T x = x + x 0 = x 显然是 X 上的线性变换. 当 x 0 0 时, T (x 1 + x 2 ) = x 1 + x 2 + x 0, T (x 1 ) + T (x 2 ) = x 1 + x 2 + 2x 0. 则 T (x 1 + x 2 ) T (x 1 ) + T (x 2 ), 即此时 T 不是 X 上的线性变换. (2) T : C C, ξ ξ. 解 : T 不是线性变换. 因为取 λ = i, ξ = 1 时, 有 T (λξ) = λξ = i, λt (ξ) = λξ = i. 故 T (λξ) λt (ξ) (3) 把复数域 C 看作实数域 R 上的线性空间, 记为 C R. 映射 T : C R C R, ξ i Reξ. 解 : ξ, η C R, λ R, 有 T (λξ + η) = i Re(λξ + η) = i Re(λξ) + i Reη = λ(i Reξ) + i Reη = λt (ξ) + T (η). 故 T 是线性变换 (4) 映射 T : C R C, ξ ξ. 解 : T 是线性变换. ξ, η C R, λ R, 有 T (λξ + η) = λξ + η = λξ + η = λt (ξ) + T (η) (5) T : R 3 R 3, (x 1, x 2, x 3 ) T (2x 1 x 2, x 2 + x 3, x 1 ) T. 解 : T 是线性变换. x = (x 1, x 2, x 3 ) T, y = (y 1, y 2, y 3 ) T R 3, λ R, 有 T (x) + T (y) = T ( (x 1, x 2, x 3 ) T) + T ( (y 1, y 2, y 3 ) T) = (2x 1 x 2, x 2 + x 3, x 1 ) T + (2y 1 y 2, y 2 + y 3, y 1 ) T = ( 2(x 1 + y 1 ) (x 2 + y 2 ), (x 2 + y 2 ) + (x 3 + y 3 ), (x 1 + y 1 ) ) T = T ( ) x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 = T (x + y). T (λx) = T ( (λx 1, λx 2, λx 3 ) T) 41

42 = (2λx 1 λx 2, λx 2 + λx 3, λx 1 ) T = λ(2x 1 x 2, x 2 + x 3, x 1 ) T = λt (x) (6) T : R n n C n n, Z BZC, 其中 B, C 是 C n n 中固定的矩阵. 解 : Z 1, Z 2 R n n, λ R, 有 T (λz 1 + Z 2 ) = B(λZ 1 + Z 2 )C = λbz 1 C + BZ 2 C = λt (Z 1 ) + T (Z 2 ). 故 T 是线性变换 (7) T : R[x] n R[x] n, p(x) p(x + 1). 解 : T 是线性变换. 设 p(x), q(x) R[x] n, λ R, 并令 r(x) p(x) + q(x), s(x) λp(x). 则 r(x + 1) = p(x + 1) + q(x + 1), s(x + 1) = λp(x + 1). 故 T ( p(x) + q(x) ) = T ( r(x) ) = r(x + 1) = p(x + 1) + q(x + 1) = T ( p(x) ) + T ( q(x) ), T ( λp(x) ) = T ( s(x) ) = s(x + 1) = λp(x + 1) = λt ( p(x) ) 线性变换的运算 Definition 111. 设空间 X 和空间 Y 为数域 F 上的线性空间. T 1, T 2 都是从 X 到 Y 的映 射, λ F, 若 1. 对任意 x X 均有 T 1 (x) = T 2 (x), 则称 T 1 与 T 2 相等, 记为 T 1 = T 对任意 x X 均有 T 1 (x) + T 2 (x) = T (x), 则称为与的和, 记为 T = T 1 + T 对任意 x X 均有 T (x) = λ ( T 1 (x) ), 则称 T = λt 1. T T 1 T 2 T 为 T 1 与 λ 的标量乘 积, 记为 若 T 1 与 T 2 为线 性 变 换, 则 T 1 + T 2 及 λt 1 仍是线 性 变 换 Theorem 112. 设 L(X, Y ) 为从 X 到 Y 的所有线性变换所构成的集合, 则 L(X, Y ) 按照定义 111 中的加法与标量乘法构成数域 F 上的一个线性空间, 称 为 X, Y 所诱导的变换空间

43 Definition 113. 设 T L(X, Y ), S L(Y, Z), 若线性变换 G L(X, Z) 对任 意 x X 都满足 G(x) = S ( T (x) ), 则称 G 为 T 与 S 的积, 并记为 ST, 即 G = ST. 线性变换的乘积一般是不可交换的. 即 T S = ST 一般不成立. 例如下面的习 题 Exercise 114 (P.71 习题 ( 一 ) 4). 设 T, S 为线性空间 R[x] 的如下的两个线性 变换 : T p(x) = p (x), Sp(x) = xp(x). 试问等式 T S = ST 是否成立? 并证明 T S ST = E. 解 : (1) 因为 (T S)p(x) = T ( Sp(x) ) = T ( xp(x) ) = p(x) + xp (x), (ST )p(x) = S ( T p(x) ) = S ( p (x) ) = xp (x), 可见 p(x) 0 时, (T S)p(x) (ST )p(x), 故 T S ST. (2) 由上述讨论知, 对任意 p(x) R[x], 有 (T S)p(x) = p(x) + (ST )p(x), 即 (T S ST )p(x) = p(x), 故 T S ST = E Definition 115. 设 T L(X, X), 则称 T T 为 般地, 以下述递推式来表示 T 的 k 次 方 (k 0): T 的平 方, 并记为 T 2 = T T. 一 T 0 = E, (12) T k = T (T k 1 ), k = 1, 2, 若 T 是可逆变换, 则上式中的 k 可以取任何整数. 可逆变换 : 设 T, S 为空间 X 上的变换, 若 T S = ST = E, 则称 S 为 T 的逆变换, 记为 T 1. 比如取 k = 2, 则 T 2 = T (T 3 )

44 Definition 116. 设 X 为数域 F 上的线性空间, T L(X, X), 又设 g(λ) 为关于 λ 的多项式, 其系数属于 F, 即 g(λ) = α 0 + α 1 λ + + α m λ m, 则表达式 g(t ) = α 0 E + α 1 T + + α m T m, 称为线性变换 的多项式. T Exercise 117 (P.71 习题 ( 一 ) 6). 设 T, S L(X, X), 并且 T S ST = E, 试证 T m S ST m = mt m 1, m = 1, 2,. Proof. 对 m 用数学归纳法. 当 m = 1 时, 即 T S ST = T 0 = E, 由题设成立. 假定等式对 m 成立, 即有 T m S ST m = mt m 1. 下面证明等式对 m + 1 也成立. T m+1 S ST m+1 = T m (T S) ST m+1 = T m (E + ST ) ST m+1 = T m + T m ST ST m+1 = T m + (T m S ST m )T = T m + (mt m 1 )T = (m + 1)T m, 即等式对 m + 1 也成立. 从而对任意正整数都成立 与线性变换有关的子空间线性变换的值域与核 Definition 118. 给定线性变换 T : X Y, 记 R(T ) = {y Y y = T (x), x X}, N(T ) = {x X T (x) = 0}, 则 R(T ) 称为 T 的值空间 ( 或值域 ) ; N(T ) 称为 T 的零空间 ( 或核 ). 另见教材 P.33: 矩阵 A 的值空间 R(A) 和零空间 N(A) X T : X Y Y N(T ) Example 119. 证明 : R(T ) 是 Y 的一个子空间, N(T ) 是 X 的一个子空间. 44

45 证 : (1) R(T ) 是 Y 的非空子集. 下证 R(T ) 对加法和数乘是封闭的. y 1 = T (x 1 ), y 2 = T (x 2 ) R(T ), k F, 有 y 1 + y 2 = T (x 1 ) + T (x 2 ) = T (x 1 + x 2 ) R(T ), ky 1 = kt (x 1 ) = T (kx 1 ) R(T ). 故 R(T ) 是 Y 的一个子空间. (2) N(T ) 是 X 的非空子集. 下证 N(T ) 对加法和数乘是封闭的. x 1, x 2 N(T ), 有 T (x 1 ) = 0, T (x 2 ) = 0, 则 T (x 1 + x 2 ) = T (x 1 ) + T (x 2 ) = = 0. 得 x 1 + x 2 N(T ). 又 λ F, 有 T (λx 1 ) = λt (x 1 ) = 0, 得 λx 1 N(T ). 故 N(T ) 是 X 的一个子空间 Example 120. 在线性空间 R[x] n 中, 令 T ( p(x) ) = p (x). 则 T 的值域就是 R[x] n 1, T 的核就是子空间 R Theorem 121. 设 X 和 Y 均为数域 F 上线性空间, dim X = n, dim Y = m, 又设 T L(X, Y ), 则有 dim R(T ) + dim N(T ) = dim X. 证 : 记 dim N(T ) = k, 设 N(T ) 的基底为 {x 1, x 2,, x k }. 则 T (x 1 ) = = T (x k ) = 0. 将其扩充为 X 的基底 {x 1,, x k, x k+1,, x n }. y R(T ), x X, 满足 y = T (x). 设 x = n α i x i, 则 i=1 y = T (x) = T ( ) α 1 x α k x k + α k+1 x k α n x n = α k+1 T (x k+1 ) + + α n T (x n ), 由 y 的任意性, 下证 T (x k+1 ),, T (x n ) 线性无关, 从而是 R(T ) 的一组基底, 则 dim R(T ) = n k, 得到 dim R(T ) + dim N(T ) = dim X 设有 ξ k+1 T (x k+1 ) + + ξ n T (x n ) = 0, 即 T (ξ k+1 x k ξ n x n ) = 0, 从而 ξ k+1 x k ξ n x n N(T ). 故可设 ξ k+1 x k ξ n x n = λ 1 x λ k x k, 45

46 即 λ 1 x 1 λ k x k + ξ k+1 x k ξ n x n = 0. 而 x 1,, x k, x k+1,, x n 为 X 的基底, 故 λ 1 = = λ k = ξ k+1 = = ξ n = 0. 故 T (x k+1 ),, T (x n ) 线性无关 n 元齐次线性方程组的解空间的维数公式, 本质上是线性变换的核与值域的维数公式. 工科线性代数的核心理论是 n r 问题, 即 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解空间的维数为 n rank(a). 换言之, A 的核空间的维数为 dim N(A) = n rank(a). 又 dim R(A) = rank(a), 上式即 对矩阵 A C m n, x C n, dim N(A) + dim R(A) = n A : x Ax 是从空间 C n 到空间 C m 的线性变换. 有 dim R(A) + dim N(A) = dim C n Example 122. 给定矩阵 A = , 将 A 看作线性变换 A : C 3 C 4. 求 R(A) 和 N(A) 的维数. 解 : 由 = = 7 0, 知 rank(a) = 3. 故 dim R(A) = rank(a) = 3, dim N(A) = dim C 3 rank(a) =

47 Definition 123. 给定线性变换 T : X Y, 则称 R(T ) 的维数为 rank(t ). 又称 N(T ) 的维数为的零度, 记为 null(t ). 前述定理的结论也可以表达为 T rank(t ) + null(t ) = dim X. T 的 秩, 记为 不变子空间 Definition 124. 设 W 为空间 X 的子空间, T 为 X 上的线性变换. 如果对任意 w W 均有 T (w) W, 则称 W 为 T 的不变子空间 (invariant subspace), 记为 T W W X. Example 125. 整个空间 X 和零子空间 {0}, 对于每个线性变换 T 来说, 都是 T 的不变子空间 Example 126. 线性变换 T : X X 的值域 R(T ) 和核 N(T ), 都是 T 的不变子空间. 事实上, 对线性变换 T : X X, 因 R(T ) = {y X y = T (x), x X}, N(T ) = {x X T (x) = 0}, 值域 R(T ) 是 X 中向量在 T 下的像的集合, 它当然也包含 R(T ) 中向量的像. 所以 R(T ) 是 T 的不变子空间. 核 N(T ) 是被 T 变成零的向量的集合, 核中向量的像是零, 自然在核中, 因此核 N(T ) 是 T 的不变子空间 Exercise 127 (P.74 习题 ( 一 ) 4). 设 T, S L(X, X), 且 T S = ST, 试证 R(T ) 与 N(T ) 都是 S 的不变子空间. Proof. ξ N(T ), T ( S(ξ) ) = T S(ξ) = S ( T (ξ) ) = S(0) = 0. 即 S(ξ) N(T ). 故 N(T ) 是 S 的不变子空间. 在 T 的值域 R(T ) 中任取一向量 T (η), 则 S ( T (η) ) = T ( S(η) ) R(T ), 因此 R(T ) 也是 S 的不变子空间. 若线性变换 T 与 S 是可交换的, 则 T 的值域与核都是 S 的不变子空间 Definition 128. 设 T 为空间 X 上的线性变换, 且 T W W X, 则 T 可以看 作 W 上的线性变换, 此变换称为 X 上的扩 张. T 在 W 上的限 47 制, 记为 T W. 又称 T 为 T W 在

48 In such a situation, T can be considered as a linear operator on W by forgetting about everything else in X and restricting T to act only on vectors from W. Hereafter, this restricted operator will be denoted by T W Exercise 129 (P.74 习题 ( 一 ) 8). 设 W = span[u 1, u 2,, u m ], 则 W 为 T 的不变子空间的充分必要条件是 T (u 1 ), T (u 2 ),, T (u m ) 全属于 W. Proof. 必要性是显然的. 现在来证充分性. 如果 T (u 1 ), T (u 2 ),, T (u m ) 全属于 W, 由于 W 中每个向量 ξ 都可以被 u 1, u 2,, u m 线性表示, 即有 ξ = k 1 u 1 + k 2 u k m u m, 所以 T (ξ) = k 1 T (u 1 ) + k 2 T (u 2 ) + + k m T (u m ) W. 故 W 为 T 的不变子空间 线性变换的矩阵表示和空间的同构 4.1 线性变换的矩阵表示设 X 和 Y 均为数域 F 上的线性空间, dim X = n, dim Y = m. 又设 T : X Y 为给定的从 X 到 Y 的线性变换. 任取 X 和 Y 的基底分别为 B X = {x 1, x 2,, x n }, B Y = {y 1, y 2,, y m }. 则基底 B X 的像 T (x 1 ), T (x 2 ),, T (x n ) 可以由基底 B Y 线性表示 : T (x 1 ) = a 11 y 1 + a 21 y a m1 y m, T (x 2 ) = a 12 y 1 + a 22 y a m2 y m,. T (x n ) = a 1n y 1 + a 2n y a mn y m, 即 a 11 a 12 a 1n [ T (x1 ), T (x 2 ),, T (x n ) ] a 21 a 22 a 2n = [y 1, y 2,, y m ].... a m1 a m2 a mn 记 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n P = F m n,... a m1 a m2 a mn

49 则 [ T (x1 ), T (x 2 ),, T (x n ) ] = [y 1, y 2,, y m ]P. (13) 若记 T [ x 1, x 2,, x n ] [ T (x1 ), T (x 2 ),, T (x n ) ], 则式 (13) 还可以表达为 T [ x 1, x 2,, x n ] = [y1, y 2,, y m ]P, 或者 T B X = B Y P. (14) Definition 130. 表达式 T B X = B Y P 中的矩阵 P 称为线性变换 T 的关于基 底 B X 和基底 B Y 的矩阵表示, 记为 m BX,B Y (T ). 利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量的像 Theorem 131. 设线性变换 T : X Y 的关于基底 B X 和基底 B Y 的矩阵表示为 P, 向量 x 在基底 B X 下的坐标为 ξ = (a 1, a 2,, a n ) T, 且 y = T (x) 在基底 B Y 下的坐标 η = (b 1, b 2,, b m ) T. 则 η = P ξ. 证 : 记 B X = {x 1, x 2,, x n }, B Y = {y 1, y 2,, y m }. 由假设 x = a 1 x 1 + a 2 x a n x n, 于是 T (x) = a 1 T (x 1 ) + a 2 T (x 2 ) + + a n T (x n ) a 1 = [ T (x 1 ), T (x 2 ),, T (x n ) ] a 2 a 2 = [y. 1, y 2,, y m ]P.. 另一方面, 由假设 a 1 a n a n b 1 b 2 T (x) = [y 1, y 2,, y m ],. b m 因为向量 y 1, y 2,, y m 线性无关, 所以 b 1 a 1 b 2 a 2 = P, 即 η = P ξ... b m a n 49

50 线性空间中的向量可以用坐标来表示, 抽象的线性变换也能同具体的数发生联系 : 用矩阵来表示 线性变换的矩阵是与空间中的一组基底联系在一起的. 一般说来, 随着基底的改变, 同一个线性变换就有不同的矩阵. 为了利用矩阵来研究线性变换, 我们有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基底的改变而改变的. 线性变换在不同基底下的矩阵之间的关系 Theorem 132. 设 X 和 Y 为数域 F 上的线性空间, 对给定的线性变换 T : X Y, 设其关于 X 和 Y 的两组不同基底 B X, B Y 和 B (1) X, B(1) Y 的矩阵表示 分别为 P 和 P 1, 即 T B X = B Y P, T B (1) X = B(1) Y P 1. 又设有过渡矩阵 A, B 使得 B X = B (1) X A, B Y = B (1) Y B. 则 证 : P 1 = BP A 1. T B X = B Y P T B (1) X A = B(1) Y BP, B (1) Y P 1A = B (1) Y BP, P 1 A = BP, 即 P 1 = BP A 即线性变换在不同基底下的矩阵是相 抵的. Corollary 133. 设 T 是线性空间 X 上的线性变换, 即 T : X X. 若 T 在 X 的两组基底 B 和 B (1) 下的矩阵表示分别为 P 和 P 1, 且从基 B 到基 B (1) 的 过渡矩阵为 A, 则 P 1 = A 1 P A. 即 : 同一线性变换在线性空间 X 的不同基底下的矩阵表示是相 似的. 这就是线性代数教材用相当多的篇幅讨论 n 阶矩阵的相似关系的主要原因 Exercise 134 (P.82 习题 ( 一 ) 2). 已知 R 3 中线性变换 T 在基底 B = {η 1, η 2, η 3 } 下的矩阵表示为 P = 其中 η 1 = ( 1, 1, 1) T, η 2 = (1, 0, 1) T, η 3 = (0, 1, 1) T. 求 T 在自然基底 {e 1, e 2, e 3 } 下的矩阵表示. 50