第四章 光的衍射

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1 第四章光的衍射 4.1 惠更斯 菲涅耳原理 4. 夫琅和费单缝和衍射 4.3 夫琅和费圆孔衍射分辨本领 4.4 衍射光栅 4.5 X 射线的衍射 ( diffrction of X-rys ) 教学要求 教学重点 教学难点

2 教学要求 : 1 了解光的衍射现象 ; 深刻理解惠更斯 菲涅耳原理, 并了解菲涅耳积分表达式 ; 3 掌握应用半波法分析菲涅耳衍射 ; 4 了解菲涅耳圆孔衍射和波带片的特点 5 掌握夫琅和费单缝衍射的现象和光强公式 衍射的特点 ; 6 掌握光栅衍射的现象和光强公式 衍射特点 ; 着重阐明光栅方程的导出及意义 ; 7 了解夫琅和费圆孔衍射的现象及光强公式 ; 8 掌握典型光学仪器的分辨本领的表达和计算 ; 9 了解晶体光栅衍射现象

3 教学重点 : 1 用半波带法分析菲涅耳圆孔和圆屏 夫琅和费单缝衍射和光栅衍射的光强分布公式的推导及衍射图样的分析 3 光栅方程的导出和物理意义 教学难点 : 1 半波带法分析菲涅耳衍射 衍射强度分布 光栅方程的物理意义

4 4.1 惠更斯 菲涅耳原理 1.1 光的衍射现象 第四章光的衍射 当波遇到障碍物时, 它将偏离直线传播, 在几何阴区附近出现干涉条纹的现象叫做光的衍射 衍射屏 观察屏 S * 衍射条纹

5 衍射屏 观察屏 L L S * 衍射条纹 衍射的条件 : 一般地说来, 上面装置中波长 ~1-3 或更大时, 就能用肉眼观察到明显的衍射条纹 透过手指缝看灯, 也能看到衍射条纹

6 衍射分类 : 一类是光源和接收屏幕距离衍射屏有限远 ( 图 ), 这类衍射叫做菲涅耳衍射 ; 另一类是光源和接收屏幕都距离衍射屏无穷远 ( 图 b), 这类衍射叫做夫琅和费衍射 衍射屏 光源 接收屏 图 图 b

7 (1) 菲涅耳衍射 (Fresnel diffrction) 光源和观察屏 ( 或二者之一 ) 离衍射屏的距离有限时的衍射 它也称近场衍射, 其衍射图形会随观察屏到衍射屏的距离而变, 情况较复杂 () 夫琅禾费衍射 (Frunhofer diffrction) 光源和观察屏都离衍射屏无限远时的衍射 它也称远场衍射, 这种衍射实际上是菲涅耳衍射的极限情形

8 1. 惠更斯 菲涅耳原理 惠更斯 菲涅耳原理 (fresnel,1818 年 ) 是研究衍射现象的理论基础 表述如下 : 波前 Σ 上每个面元 dσ 都可以看成是新的振动中心, 它们发出次波 在空间某一点 P 的振动是所有这些次波在该点的相干迭加 既然是相干迭加, 即可利用复振幅的概念, 设 du(p) 是波前 Σ 上的面元 dσ 发出的次波在场点 P 产生的复振幅, 则在 P 点的总扰动应为 U du ( ) ( ) ( P) P (.1) 这就是惠更斯 菲涅耳原理的数学表达式 dσ Σ r ϖ n ϖ P

9 我们假设 : du ( P) d (.) U e r F ( Q) ikr ( θ,θ ) (.3) (.4) (.5) 式 (.) 中 dσ 是面元的面积, 式 (.3) 中 U (Q) 是面元 ( 次波源 ) 上 Q 点的复振幅 式 (.4) 中 r 是面元 dσ 到场点 P 的距离, 式 (.5) 中的 θ 和 θ 分别是源 S 和场点 P 相对次波面元 dσ 的方位角 F(θ,θ) 是 θ 和 θ 的某个函数, 它称为倾斜因子 ( ) ( cosθ + cosθ ) F θ, θ 它表明由面元发射的次波是不同方向的 根据以上各条假设, 式 (.1) 可写成 :

10 U 第四章光的衍射 ikr e KU (Q) F( θ, )( ) dσ r ( P ) θ (.6) 式中 K 是个比例常数, 式 (.6) 称为菲涅耳衍射积分公式 基尔霍夫还导出了比例常数 K 的表达式 i K iπ e (.7) 式中 是波长, 式 (.7) 中的因子 e 表明, 我们必须假设 : 等效次波源 ku ( θ) 的位相并非波前上该点扰动 U ( θ) 的位相, 而是比它超前 π 这一点不是只凭直觉所能想 象得出来的, 不过以后我们将看到, 为了保证菲涅耳衍射公式 (.6) 在波的自由传播情形下不给出矛盾的结果, 这一位相差是十分必要的 iπ

11 1.3 巴俾涅原理 考虑一对衍射屏 b, 其一的透光部分正是另一的遮光部分, 反之亦然, 即光屏是互补的 于是 U ( p ) + U ( p ) U ( p ) b 它表明, 互补屏造成的衍射场中复振幅之和等于自由波场的复振幅 这个结论称为巴俾涅原理 (Bbinet,1937 年 ) 巴俾涅原理对下列一类衍射装置特别有意义, 即衍射屏由点光源形成的衍射图样 这时所谓自由光场, 就是服从几何光学规律传播的光场, 它在象平面上除象点外 U ( p ) 皆等于 O, 从而除几何象点外, 处处有

12 第四章光的衍射 U ( p) U b ( p) 巴俾涅原理录像 取它们与各自复数共轭的乘积, 则得 I ( p) I b ( p) 亦即除几何象点的地方之外, 两个互补屏分别在象平面产生的衍射图样完全一样

13 1.4 菲涅耳圆孔衍射和圆屏衍射 1. 半波带法半波带法是处理次波相干迭加的一种简化方法 菲涅耳的衍射公式要求对波前作无限分割, 半波带法则用较粗糙的分割来代替, 把积分化为有限项求和 如图, 取波前 Σ 为以点源为中心的球面 ( 等相面 ), 设其半径为 R, 其顶点 O 与场点 P 的距离为 b, 以 P 为中心, 分别以 b+/,b+,b+3/,b+, 为半径作球面, 将波前分割为一系列环形带 由于这些环形带的边缘点 O,M 1,M,M 3,M 4, 到 P 的光程逐个相差半个波长, 故称之为半波带 用 ΔU 1 (P ),ΔU (P ), 代表各半波带发出的次波在 P 点产生的复振幅, 由于相邻半波带贡献的复振幅中位相差 π, 即图 b 所示的球帽, 其面积为 :

14 R M n S b P 图 半波带法 x α ρ M i h o r b p 图 b 半波带面积的计算

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17 r 第四章光的衍射 Σ πr (1 cos α ) (.8) 因为 dσ πr αdα (.9) 则 dσ πrdr (.1) r R + b 因 <<r k, 可把上式中的微分 dr 看成相邻半波带间 的差值, d 看作半波带的面积 Δ k 于是得 -4 ΔΣ k πr r k R + b (.11) ΔΣ k 可见, 作为 的最低级近似 r 与 k 无关, 从一 k 个半波带到下个半波带, θ k 之值变化甚微, 从而 Fθ ( k ) 和 A 随 k的增加而缓慢地减小, k

18 ( ) ( ) k k P k A A A A A A A A A A A ( ) k k A A A A A A A A 式 (.1) 中各项加减速交替, 合成振幅为 [ ] k k A ) ( A ) A(p (.1) ρ ) 1 1 ( b R k + 其中

19 最后一个半波带上 F(θ n ) 从而 A n, 于是 1 A(p ) A(p) 自由传播时整个波前在 P 产生的振幅是第一个半波带的效果之半 则 最后我们看圆屏衍射 设圆屏遮住前个 K 半波带, + 1 A(p ) A (p ) A (p ) + Κ + ( 1) A( P ) 1 A k+ 1 (p k+ 1 ) k+ 可见, 无论 k 是奇是偶, 中心总是亮的 1 1 ρ ( + ) k R b 其中

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21 . 菲涅耳波带片 b + k 令图 b 中的 r, ρ ρ, 在忽略 项 k 的情况下, 可以导出 其中 ρ 1 是第一个半波带的半径 : 如果用平行光照明圆孔, 则 ρ 1 RbK ρ k R + b Rb R K 1 ρ 1 1 ( K 1, Λ, (.13) 1 + b (.14) 我们可做一块透明板, 在其上按照式 (.13) 给出的比例画出各半波带, 并将偶数或奇数的半波带涂黑, 这就构成一块波带片, 称为菲涅耳波带片, 它可使轴上一定距离的场点光强增加很多倍 )

22 奇数带为开带 偶数带为开带

23 条形波带片 方形波带片

24 从菲涅耳波带片的原理分析可知, 波带片能使点光源成一实象, 故波带片有类似于透镜成像的功用 1 R + 1 b 1 ρ k ( ) k 从上式可以看出其物距和像距所遵从的关系和透镜的物象 公式相仿, 因而 ρ k k 可以看作波带片的焦距, 与透镜不 ρ ' 1 同的是, 波带片具有多焦距 将 f 看作主焦距, k ' ' ' 则波带片还存在 f / 3 f / 5 f / 7 等焦距 主焦距对 应于用单色平面光垂直入射时, 对称光轴上波带片相邻到

25 / 某点距离相差的那个点, 而等焦距则分别对应于用单色平面光垂直入射时, 对称光轴上 波带片相邻到某点距离相差 ' ' f / 3 f / 5 f 3 / 5 / 7 / / 7 的那些点 波带片的多焦距, 使得对于给定的物点, 对应于不同的焦距, 波带片可以给出多个像点 菲涅耳波带片与普通透镜相比存在众多优点 :1 不具有普通透镜的球差和慧差等像差 ; 长焦距的波带片容易制作, 而长焦距的普通透镜的设计 加工都相当麻烦 ; 3 波带片面积大 轻便 可折叠, 特别适用于远程光通讯 测距以及宇航技术之中 ;4 可制作用于微波 红外 x 射线等波段的波带片, 为不可见光的成像提供了新的途径 此外, 波带片的焦距随波长的增加而缩短, 正好与玻璃透镜的焦距色差相反, 两者配合使用有利于消除光学系统的色差 '

26 波带片虽象普通透镜一样可以成像, 但两者的成像原理却是不同的, 其主要区别如下 : 波带片 1 利用光的衍射原理成像 从物点向个方向发出的光波在像点同位相相干叠加 3 除零级衍射光外, 还同时生成一系列实像和虚像 4 焦距与入射光波长成反比 普通透镜 1 利用光的折射原理成像 从物点到像点的各光线之光程差相等 3 物点和像点一一对应, 不可能同时生成实像和虚像 4 焦距约随入射光波长平方而变

27 菲涅耳直边衍射的矢量分析 : 菲涅耳衍射录像 上一页 下一页 返回第四章

28 4. 夫琅和费单缝衍射 The Frunhfor diffrction of slitting perture 1. 实验装置和现象. 光强公式 3. 光强分布特征 (1) 中央衍射极大 () 各级衍射极小 (3) 各级衍射次极大 (4) 中央明条纹的角宽度 4. 干涉与衍射的关系

29 1. 实验装置和现象 ( The experiment of equipment nd phenomenon) 单缝衍射屏 S F 1 x x Δ xθ θ Δ θ dx r θ f r P 屏幕

30 衍射屏狭缝缝宽为, 沿 x 方向. 夫琅和费单缝衍射 缝长为 b, 沿 y 方向. b >>. 现象 : 看演示实验, 并得到实验结论. 光强公式 (The The intensity formul) 把单缝处的波面分割成许多小窄条, 面积 ds bdx, 它们是振幅相等, 初相位相等的子波源, 向各个方向 (π( 立体角 ) 发出次级子波. 来自不同面元, 具有相同衍射角 θ 的光波, 会聚在屏幕上同一点 P.

31 在 θ 衍射方向上, 单缝边缘光束的光程差 (the the opticl pth difference) 为 Δ θ, 设 ds 为距中心为 x 的面元, 到 P 点的光程为 r, 中心处的面元到 P 点的光程为 r, 则这两光程之差为 Δr r r xθ, 由惠更斯 - 菲涅耳原理,P, 点光振动的复振幅 (complex mplitude) 为 ~ E( P) C ~ 1 E F( θ) e r ikr ds

32 C 夫琅和费衍射中 ~ 1 E F ( θ ) e r ikr bdx 1+ cosθ 1+ cos F( θ ) 1 r 1 1 r + Δr r. 1. e ikr e ik ( r +Δ ikr ikδr r) e e. Δr xθ.

33 dx e C P E r ik + Δ ~ ) ( ~ 将积分号中常数提到积分号外, 将积分号中常数提到积分号外, dx e C x ik + θ ~ + θ θ ~ ik e C x i k

34 kθ ~ C θ k π θ 令 u, ~ C π π θ θ. 其物理意义为狭缝两边缘光束在 θ 衍射方向上相位差 (the the opticl phse difference) 之半.

35 ~ 因此 E ( P) C. 或写为 ~ E( P) ~ ~ C P 点的光强 (Intensity) 为 u u cu. Above method is Fresnel diffrction integrl. Also method re Fourier trnsformtion nd Collins mtrix diffrction integrl. I P ~ E( P) E( P) 式中 : ~. I P I I c, u. u π θ u.

36 3. 光强分布特征 The distributing chrcteristic of intensity (1) 中央衍射极大 当 θ 时, u u lim θ u 为不定式 求极值 1. u I I. θ 在屏幕中央, 各光束同相位, 相干叠加后产生极大光强.

37 () 各级衍射极小 当 u kπ 时, I I π θ 时, ( k ± 1, ±, Λ ) ( k π 即当 kπ, k ) π θ k 时,. 为衍射极小. 衍射极小对应的衍射角为 1 1 θ ( ± ), ( ± ), Λ

38 夫琅和费衍射中, 衍射角很小, 因此个衍射极小对应的衍射角也可表示为 : θ ±, ± 各极小近似等间距,, Λ (3) 各级衍射次极大 di 对光强求极值, 令, du 得 tgu u. 为超越方程

39 作图求解

40 cler u-3*pi:.1*pi:3*pi; y1u; plot(u,y1,'b') hold on y; plot(u,y) hold on u-pi/.5:.1*pi:pi/.5; ytn(u); plot(u,y,'r') hold on u-3*pi/.5:.1*pi:-pi/1.95; ytn(u); plot(u,y,'r') hold on u-5*pi/.:.1*pi:-3*pi/1.95; ytn(u); plot(u,y,'r') hold on upi/1.95:.1*pi:3*pi/.5; ytn(u); plot(u,y,'r') hold on u3*pi/1.95:.1*pi:5*pi/.; ytn(u); plot(u,y,'r') xlbel('u') ylbel('y') yyinline('tn(u)-u','u'); [u,fovl,exitflg,output]fzero(yy,-5*pi/) %[u,fovl,exitflg,output]fzero(yy,-pi/) grid on

41 解得 ±1.43 π, u :.46 π, I : 4.7%), ( ± ± 3.47 π, Λ I 1.7%)I, ( (.8%) I, Λ 各次极大能量很小, 且越往外越小. 绝大部分 (85% 以上 ) 能量集中在中央衍射极大中. 近似取 : 1 θ k + (4) 中央明条纹的角宽度 两第一衍射极小之间的角距离就是中央极大的角宽度 : 1 Δθ θ 1.

42 中央明条纹的角宽度为其它明条纹角宽度的两倍. Δ θ 此外 : k () 当 >> 时, 1, 各极大挤在屏幕中心, 形成一亮点, 为几何光学的焦点, 衍射消失. (b) 当 时, 衍射中央极大遍布缝后空间, 此时衍射最剧烈. (c) 当 < 时, 发生散射. 理论模拟结果如何? 返回首页

43 当单缝衍射的光强 I I 时 θ 半? 由 I I u u 作图法解这超越方程 得 u π θ θ 半 半,, π, θ y u u 为中央极大半强点对应的衍射角. 半 ( ). π,

44 实验器材 : 可调单缝 激光器 单丝 1 单缝不变: 激光束垂直入射和斜入射情况激光束对称入射和非对称入射情况 单缝改变, 激光束不变情况 3 单丝情况( 头发 )

45 观察现象记录 : 1 单缝不变: 垂直入射有明暗现象, 中央最亮, 边缘迅速变暗, 亮纹的宽度不相等, 中央近似为边缘的两倍, 条纹对称分布 不垂直入射, 其他差不多, 条纹不对称分布 ( 为什么?) 单缝改变 : 垂直入射, 当缝增大时, 条纹向中间收缩, 条纹变密, 对称分布 大到一定时候, 看不到条纹 ( 是真的没条纹吗? 为什么?) 垂直入射, 当缝减小时, 条纹向由心向外扩张, 条纹变疏, 对称分布 小到一定时候, 看不到条纹 ( 为什么?) 3 单丝情况 : 条纹分布相似, 为什么? 单丝直径增加如何? 返回

46 cler u(-1*pi:pi/1:1*pi)'; E(u)./u; clf,plot(u,e,'b'),xis([-3,3,-.4,1.5]),hold on; plot(u,zeros(size(u)),'k'); % 画 y 的基准线 xlbel('u');ylbel('e/i'); IE.^; plot(u,i,'r'); hold off;

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48 cler wc.5481;.1; thet-pi/:.1*pi:pi/; uu*pi*(thet)/wc; uuu+(uu)*eps; %u(-1*pi:pi/1:1*pi)'; E(u)./u; clf,plot(thet,e,'b'),hold on; plot(thet,zeros(size(u)),'k'); % 画 y 的基准线 xlbel('\thet');ylbel('e/i'); IE.^; plot(thet,i,'r'); hold off;

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53 三维处理振幅因子分布的参考程序如下 : cler x-3*pi:.*pi:3*pi; yx; [X,Y]meshgrid(x,y); Rsqrt(X.^+Y.^)+eps; z(r)./r; Zz.^; clf,surfc(x,y,z); xlbel('x') ylbel('y') zlbel('mplitude') %zlbel('intensity')

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55 三维处理强度因子分布的参考程序如下 : cler x-3*pi:.1*pi:3*pi; yx; [X,Y]meshgrid(x,y); Rsqrt(X.^+Y.^)+eps; z(r)./r; Zz.^; clf,surfc(x,y,z);colormp([,,]) xlbel('x') ylbel('y') %zlbel('mplitude') zlbel('intensity')

56

57 返回

58 cler u-pi:.1*pi:pi; y1u.^; y*(u).^; plot(u,y1,'b') hold on plot(u,y,'r') xlbel('u') ylbel('y') yyinline('*(u).^-u.^','u'); [u,fovl,exitflg,output]fzero(y y,pi/) %[u,fovl,exitflg,output]fzero (yy,-pi/) 返回

59 4. 干涉与衍射的关系 (1). 波长对条纹宽度的影响由于 Δx, 所以波长越长, 条纹宽度越宽 当白光入射时, 除中央明纹中心外, 其余各级明纹将形成彩带, 且不同级亮纹间有重叠 (). 缝宽变化对条纹的影响由 知 : 缝宽越小, 条纹宽度越宽 Δ x f 当时, 光强曲线变为水平直线, 屏幕是一片亮 I θ 当 时, Δx, 各级明纹向中央靠拢, 密集得无法分辨, 只显出单一的明条纹, 这就是单缝的几何光学像 此时光线遵从直线传播规律 几何光学是波动光学在 / 时的极限情形

60 (3) 干涉和衍射的联系与区别 从本质上讲, 干涉和衍射都是波的相干叠加 只是干涉指的是有限多个分立光束的相干叠加, 衍射指的是无限多个子波的相干叠加, 而二者又常常同时出现在同一现象中 夫琅和费衍射录像

61 例题 1: 波长为 546 A的平行光垂直照射在.437mm 的单缝上, 缝后有焦距为 4cm 的凸透镜, 求透镜焦平面上出现的衍射中央明纹的宽度 解 : ϕ L θ ϕ x D D ϕ tg ϕ D m ϕ D

62 例题 : 已知.6mm, f 4cm, 平行光垂直照射单缝, cm op 1.4mm处为黄色条纹, 见图 : 求 :() 1 狭缝处的波阵面可分为几个半波带? ( ) P处的亮纹的级数? 解 : ( 1)P 处为亮纹 按明纹公式 θ (k + 1) 上一页 下一页 返回第四章

63 ) ( tn cm cm cm cm k f op k k op θ θ 半波带数下一页返回第四章上一页 () k 亮纹级数

64 4.3 夫琅和费圆孔衍射分辨本领一 夫琅和费圆孔衍射在正入射时, 圆孔的夫琅和费衍射复振幅分布为 J 1(m) U ( θ ) m πα θ m 是圆孔的半径,θ 是衍射角,J 1 (m) 是一价贝塞耳函数 ( 一种特殊函数 ), 强度分布公式为 (.18) I( θ ) I J 1 ( m) m 夫琅和费圆孔衍射 S 光源 L 1 R 障碍物 L E 接收屏 f

65 圆孔衍射在屏上任一点的光强,R 为圆孔半径 R m k m k A I k k k π θ } ] 1)! ( [ 1 1) {( 为一阶贝塞耳函数符号 ) ( ) ( ) ( ) ( J m m J I m m J A R R J A I θ π θ π 用一阶贝塞耳函数符号表示, 则

66 Λ Λ 位置, 对应于位置, 对应于位置, 对应于光强为次最大值, 对应位置于光强为最小值位置, 对应于光强为最大值 R I R I R I R R R I I θ θ θ θ θ θ θ 由上式 (.18) 可得光强各极值对应位置 :

67 I/I R R R R R R θ

68 与单缝情形类似, 圆孔衍射场中的绝大部分能量也集中在零级衍射斑内 圆孔的零级衍射斑内 圆孔的零级衍射斑称为爱里斑, 其中心是几何光学象点 衍射光角分布的弥散程度可用爱里斑的大小, 即第一暗环的角半径 Δθ 来衡量 Δθ Δθ α D 其中 D 是圆孔直径, 以上便是圆孔衍射的反比关系

69 衍射屏 L 中央亮斑 ( 爱里斑 ) I/I 1. d θ θ 爱里斑 圆孔孔径为 d f

70 1) 衍射花样是一组同心的明暗圆环 ) 爱里斑 (S.G.Airy,181~189): 中央亮斑称为爱里斑, 它的光强是整个入射光束光强的 84%, 它的半角宽度为 ( 等于第一级最小值的角位置 ) 衍射屏 L θ 1 观察屏 中央亮斑 ( 爱里斑 ) 圆孔孔径为 D f Δθ 1 θ R D

71 爱里斑线半径 衍射屏 L θ 1 观察屏 中央亮斑 ( 爱里斑 ) 圆孔孔径为 D f Δ l f tgθ 1. 1 D f

72

73 二 分辨本领 1. 透镜的分辩本领光的衍射限制了透镜的分辨能力 几何光学 : ( 经透镜 ) 物点 象点物 ( 物点集合 ) 象 ( 象点集合 ) 波动光学 : ( 经透镜 ) 物点 象斑物 ( 物点集合 ) 象 ( 象斑集合 ) 距离近的象斑有可能重叠, 从而分辨不清

74 光学仪器的分辨率

75 刚可分辨 不可分辨 非相干叠加. 瑞利判据 (Ryleigh criterion):

76 瑞利判据 : 两物点的衍射光斑, 若其中一个的中央极大, 恰与另一个的第一极小相重, 则认为这两物点恰可分辨. A B 这种情况下, 两衍射图样的中心的光强度约为中央极大的 8% 以上, 这可由两个衍射图样的光强曲线简单相加得到. 大多数人的视觉可以分辨出.

77 应用瑞利判据的条件 : (1) 系统的像差得到充分校正, 达到了许可范围. ( 像差较大的爱里斑, 外围次极大的光强远远超过了 16%, 它们大大影响分辨本领 ) () 被成像的两光源点须是不相干的. (3) 两光源的频率, 强度相差不大.

78 S1 * * S D I δθθ 1 时, 刚刚能分辨 S 1 和 S 最小分辨角 (ngle of minimum resolution): δθ θ 1. 1 分辨本领 (resolving power): D 1 D R δθ 1. 下一页 上一页 返回第四章

79 D R 望远镜 : 不可选择, 可 直径 3.5m 的射电望远镜 显微镜 :D 不会很大, 可 D R R 电子 :.1Å 1 Å, 电子显微镜分辨本领很高, 可观察物质结构 人眼对 55Å 的光, δθ 1, 在约 9m 远处可分辨相距约 mm 的两个点 夜间观看汽车灯, 远看是一个亮点, 逐渐移近才看出是两个灯

80 3 眼睛的分辨本领 n 1 n1.336 δy δθ 5cm D H H δθ δy d.cm

81 对于眼睛来说是圆孔衍射, 故对人眼的最小分辨角 : 在人眼内部 δθ R D nd 在人眼外部, 由折射定律 n δθ δθ δθ 得 δθ nδθ 是两个象点对入射光瞳中心的张角 δθ 1. D n nδθ 1 δθ δθ 是两个物点对入射光瞳中心的张角

82 人眼瞳孔的直径 D.5mm, 入射光的波长假设为 55Å, 则人眼的最小分辨角为 rd nd rd D δθ δθ 人眼在明视距离处观察, 能分辨的两物点的最小间距为 mm y δ 实验表明, 人眼实际的最小分辨角约为 mm y rd δ δθ

83 若物体距离人眼太远, 或物体太小, 则对人眼的张角小于 1 角分, 以至于眼睛不能分辨. 解决前一种情况用望远镜, 解决后一种情况用显微镜. 望远镜和显微镜的作用, 是把被自己分辨的物体再放大, 使其对眼睛的张角大于 1.

84 4 显微镜的分辨本领 显微镜的分辨本领是以物镜的分辨本领来表示的 ( 因物镜是孔径光阑 ), 目镜是用来保证物镜分辨本领的充分利用, 而不进一步提高整个光学系统的分辨本领 物镜的分辨本领是以它能分辨的最小间距来表示 D n n δy A -u u B B θ -δy s A

85 不考虑象差, 物镜可看作是圆孔, 象点可看作是物点的圆孔衍射的爱里斑, 其第一暗环半径 δ y D s δy 1. s D tn u 1. u 由拉 -- 亥不变式 u.61 u 由图知 R s tn u u n δy u n y u δ

86 n u.61 δ y δy n u n u ---- 显微镜的分辨极限 NAN.A.n u 称作显微镜的数值孔径 (1) 提高显微镜的分辨本领的措施 提高数值孔径 NA, 即提高物体所在介质的折射率 n 油浸法 ( 油浸显微镜 ) 减少观察光的波长 紫外 x 电子显微镜 () 显微镜的正常放大本领

87 人眼能分辨的最小两物点的间距一般是 δy mm 则明视距离处 Mδy 因此显微镜的放大本领 目镜的放大本领为 M δy e 为 M δy δy δy δy

88 设显微镜的数值孔径为 nu1.4 光照波长 (Å) δy (mm) M M e * * * *1 6.18*1 6 5 望远镜的分辨本领 望远镜的分辨本领是以望远镜物镜的分辨本领来表示, 物镜的分辨极限以物镜焦平面上刚能分辨的两个象点的直线距离来表示

89 D θ δy δ y f θ ' f 1. D f 照相机的分辨本领 δy D ' f 是望远镜的相对孔径 1. D f '

90 目镜对分辨本领不起作用, 只是保证物镜分辨的充分利用 ( 因孔径光阑是物镜 ) 望远镜目镜的放大本领 M e δy *6 棱镜的分辨本领 D dθ d 1 n A是棱镜的顶角 θ是棱镜的偏向角 n是棱镜的折射率 ( A/ ) ( A/ ) dn d 分辨本率录像

91 例题 在通常亮度下, 人眼的瞳孔直径为 3mm, 问 : 人眼最小分辨角为多大?(55A) 如果窗纱上两根细丝之间的距离为.mm, 问 : 人在多远恰能分辨 解 : δθ 1. d δθ 1. l s l. 1 s 9. 1m 4 δθ s 上一页 4 rd(1 ) 下一页 返回第四章

92 4.4 衍射光栅 4.1. 衍射对双缝干涉的影响 不考虑衍射时, 双缝干涉的光强分布图 : I 4I cos δ I I

93 设双缝的每个缝宽均为, 如图下示 在夫琅禾费衍射下, 每个缝的衍射图样位置是相重叠的 透镜 d θ θ θ 衍射光相干叠加 I f

94 衍射的影响 : 两束衍射光相干叠加的结果, 双缝干涉条纹各级主极大的强度不再相等, 而是受到了衍射的调制 不过主极大的位置仍由双缝缝间距 d 决定, 而没有变化 d 时, 双缝干涉光强受衍射调制的情况如下图 : I d -1 级 级 1 级 单缝衍射光强 -3 级 缺 - 级 缺 级 3 级

95 d 的大小决定了衍射中央明纹范围内干涉条纹分析 : d 1 的多少 当 d >> 且 很小时, 衍射中央明纹范围宽, 其间干涉条纹数多, 相邻明纹强度最大值变化不大, 这就过渡到了不考虑衍射时的双缝干涉情形 出现了明纹缺级现象 干涉明纹位置 : d θ ± k, k,1,, Λ 衍射暗纹位置 θ ± k, k 1,,3, Λ 当 d k 时 θ θ, 出现缺级 k d 干涉明纹缺级级次 k k 例如 d 时, 缺 ±,±4,±6Λ 级 干涉明纹中心强度称为干涉 主极大 在双缝干涉的主极大两侧附近, 光强变化较缓慢, 因而主极大的位置很难测准 为使光强更集中在主极大处, 可考虑多缝干涉, 这就涉及到了光栅

96 4 Á½ ì ÉÉæ 15 Èý ì ÉÉæ Îå ì ÉÉ æ 15 Ê ì ÉÉæ

97 4. 光栅衍射图样 1. 光栅 大量等宽等间距的平行狭缝 ( 或反射面 ) 构成的光学元件 从广义上理解, 任何具有空间周期性的衍射屏都可叫作光栅. 种类 : 可分透射 反射两大类 透射光栅 反射光栅 d d

98 广义地说, 具有周期性空间结构和光学性能 ( 透射率, 反射率和折射率等 ) 的衍射屏, 统称为光栅. 种类 : 透射光栅, 反射光栅 平面光栅, 凹面光栅 振幅型, 相位型 黑白光栅, 正弦光栅 一维光栅, 二维光栅, 三维光栅 光栅的主要用途是作分光元件, 此外, 也可作长度测量和角度测量.( 计量光栅 )

99 3. 光栅常数 若透光 ( 或反光 ) 部分的宽度 用表示, 不透光 ( 或不反光 ) 部分的宽度 b 用表示, 则 光栅常数 d + b, 它是光栅的重要参数 普通光栅刻线为数十条 /mm 数千条 /mm, 用电子束刻制可达数万 /mm(d 1 1 μ m ) 光栅衍射 光栅衍射的强度分布

100 第四章光的衍射 -8 光栅衍射实验装置 s +b P 1 P 透射光栅的实验装置

101 4 光栅衍射的积分法 设单缝宽度为, 缝间距为 b,p 点是 θ 方向的观察点, A 是每一次波的振幅 每一单缝平面所有各点发出的次波到达 P 点的合振动是 : dx x θ x P U 1 du 1 A e iω t e ikx θ dx A e iω t e ikx θ dx

102 ( ) ) ( 1 ) ( 1 1 t i i t i ik t i ikx t i e A k e e A e ik e A dx e e A U ω θ π θ π ω θ ω θ ω θ π θ π π θ π θ π θ

103 所有单缝在 P 点处的合振动是 : A iωt ikx θ U [ d + nd + ikx θ d e e e dx + Λ dx + + nd d + e d e ikx θ ikx θ dx] dx + 则其中某一项的积分结果是 :

104 θ π θ π θ π θ π θ π θ θ π θ π θ π 1 nd i i i nd i nd nd x i nd nd ikx e e A e e i A dx e A dx e A + +

105 则合振动经化简得 : [ ] t N i d N i d i d i d i i t i e d d N A e e e e e e A U ω θ θ π θ π θ π θ π θ π ω θ π θ π θ π θ π θ π θ π 1) ( 1) ( / ) ]( [ 中括号内为等比级数 Λ

106 因此 P 点的合振幅是 : θ π β θ π β β θ π θ π θ π θ π ) ( d u N u u A d d N A A p

107 u 的物理意义是 : 单缝两端 θ 方向两束光对应的位相差的一半 β 的物理意义是 : 相邻两单缝对应点 θ 方向两束光对应的位相差的一半 P 点的光强分布 : I p A I p A u ( ) u u u Nβ ( ) β Nβ β

108 I 单 I 单 I N I 单 N 4 d 4 光栅衍射光强曲线 单缝衍射轮廓线 θ ( /) -8-4 θ 4 8 ( /d )

109 4 x 1-1 ¹âÕ ÑÜÉä--- ìêýîª ¹âÕ ³ Êý/ ì í

110 4.3 光栅衍射图样的特点光栅衍射图样是多缝干涉的光强分布受单缝衍射光强分布调 制的结果 在光栅衍射图样中, 主极强亮纹的位置 (N 条狭缝之间 发生相长干涉的位置 ) 取决于 Nβ β 当 β k π( 或 Δϕ kπ ) 时 Nβ 和 β 则由洛必达法则得 : N β ( ) β d θ k,( k, ± 1, ±,...) 由此得 : 光栅方程 (grting eqution) 可以看出, 主极强的光强是单缝在该方向光强的 N 倍 因此, 在单缝一定的情况下, 光栅的缝数越多, 主极强的光强越强 在实际测量中, 人们关注的主要是主极强亮纹的位置, 以及相邻主极强亮纹间的角距离 由光栅方程, 对于一定波长的入射光, 光栅常量 d 越小, 主极强亮纹的分布就越稀疏, 反之越密 N

111 1. 主极强的半角宽度 在光栅衍射图样中, 暗纹的位置取决于 m, m β π d θ, ( m, ± N, ± N, Κ ) N Nβ 等于 π 的整数倍, 而 β 却不是 π 的整数倍 则, Nβ,β 根据光强分布公式, 这时 N 条狭缝之间发生相消干涉 由于 m 是满足上式条件的整数, 因此在相邻的主极强之间有 N-1 条暗纹 ; 又由于相邻两暗纹之间有一个次极强, 故在相邻的主极之间共有 N- 个次极强 主极强中心到相邻暗纹之间的角距离为主极强的半角宽度 Δθ k : m 由式 d θ k 和式 θ θ m m k k θ + Δθ kn +1 k N d m N Nβ k m kn k + N N N

112 Δθ k Ndcosθ k Nd Δθ 显然, 缝数越多, 主极强的半角宽度 Δθ k 越小, 主极强亮纹越细锐. 缺级 (misg order) 由于单缝衍射因子的作用, 各级主极强的光强是不同的 特别是刚好遇到单缝衍射因子零点的那几级主极强消失了, 这种现象叫做缺级. 光栅主极大 d θ k, 单缝最小 θ j, d d k j ( j ± 1, ±, ± 3 ) k j

113 谱线的缺级 I 级 d -1 级 1 级 单缝衍射光强 缺 - 级 -3 级 缺 级 3 级 4 d 3 d d d d d 3 d 4 d θ

114 3 d 对条纹的影响 不变 单缝衍射的轮廓线不变 ; d 减小 主极大间距变稀, 单缝中央亮纹范围内的主极大个数减少, 缺级的级次变低. d 不变 各主极大位置不变 ; 减小 单缝衍射的轮廓线变宽, 单缝中央明纹范围内的主极大个数增加, 缺级的级次变高 极端情形 : 当 时单缝衍射的轮廓线变为水平直线, 第一暗纹在 ± 处, 各主极大光强相同, 此时 : 多缝衍射图样 多光束干涉图样

115 I 单 I 单 单缝衍射光强曲线 θ (/) Nβ/ β 多光束干涉光强曲线 N θ I (/d) 光栅衍射光强曲线 N I 单 单缝衍射轮廓线 θ (/d)

116 4.4 光栅光谱仪 1. 光栅的分光原理 由光栅方程 dθ k 可知, 当光栅常量 d 一定时, 同一级谱线对应的衍射角 θ 随着波长 的增长而增大 如果入射光里包含几种不同波长,+Δ, 的光, 则经光栅衍射后除零级外各级主极强位置都不同, 彼此分开, 这就是所谓的色散现象 在用缝光源照明时, 我们所看到的衍射图样中将有几套不同颜色的亮线, 它们各自对应一定的波长 各种波长的同级谱线集合构成了光源的一套光谱 不同波长谱线间的距离, 随着光谱线数的增高而增大 如果光源发出的是白光, 则光栅光谱中除零级仍近似为一条白色亮线外, 其它级各色主极强亮线都排列成连续的光谱带

117 -3 级 ( 白 ) 3 级 - 级 -1 级 级 1 级 级. 光栅光谱仪 1) 角色散本领光栅的角色散本领 (ngulr dispersion power)d 定义为 : 在同级光谱中, 单位波长间隔的两条谱线散开的角度大小 光栅的角色散本领是光栅性能的标志之一, 它表征对于一定波长差 δ 的两条谱线, 所对应的衍射角的差别有多大 为了得到它的具体表达式, 只需对光栅方程求微分, 即得 D δθ δ d θ k dcosθ k k

118 第四章光的衍射由此可见, 光栅的角色散本领 D 与光栅常量 d 成反比 光栅常量 d 越小, 即单位长度内的狭缝数越多 光栅的角色散本领 D 就越大, 谱线散得越开 同时, 光栅的角色散本领 D 还与光谱级数 k 成正比, 即级次高的光谱有较大的角色散本领 D ) 色分辨本领角色散本领 D 只反映谱线 ( 主极强 ) 中心分离的程度, 它不能说明两条谱线是否重叠或能分辨 显然, 为了能够分辨波长很接近的谱线, 应该要求每条谱线都很细, 即谱线的半角宽度必须很小 为了表征光栅分辨相邻两条谱线的能力, 作为光栅性能的另一个标志, 我们定义光栅的角分辨本领 (chromtic resoving power)r 为恰能分辨的两条谱线的平均波长 与它们的波长差 δ 之比, 即 R δ 根据瑞利判据, 要使波长为 的第 k 级谱线, 能够与其相邻的波长为 +δ 的第 k 级谱线分辨清楚的极限是 :

119 第四章光的衍射波长为 的第 k 级主极强外侧第一条暗线, 刚好与波长为 +δ 的第 k 级主极强中心重合, 即相应于波长差 δ 的谱线的衍射角之差 δθ 等于第 K 级主极强的半角宽度 Δθ δθ R D D δ δ δθ δθ Δθ k ( ) Ndcosθ k kn dcosθ k 即光栅的色分辨本领 R 与光栅的狭缝总数 N 以及光谱级次 k 成正比, 而与光栅常量 d 无关 N 越大,k 越高, 光栅能分辨的 δ 就越小

120 的 k 级主极大 +δ 的 k 级主极大 由图 得 k Nk 1 ( + δ ) 对应的的暗纹, k d ( + δ ) k θ Nd Nk 1 ( + δ) Nd Nk Nk ( δ R 1, k )

121

122

123 例 1 如对 N 双线 : A 589 R 98Nk δ δ 5896 A 都可分辨开 N 双线 若 k 若 k 3 则 则 N 491 N 37

124 例题 波长为 5A 和 5A 的两种单色光同时垂直入射在光栅常数为.cm 的光栅上, 紧靠光栅后用焦距为 米的透镜把光线聚焦在屏幕上 求这两束光的第三级谱线之间的距离 解 : θ x d θ ( + b) θ b 1 θ 3 + b 1 f tgθ 1 x f tgθ k θ 1 θ tgθ f x x 1 Δx f 3 31 ( tgθ tgθ1) f ( ) + b + b.6 m

125 例题 3 用每毫米 5 条栅纹的光栅, 观察钠光谱线 (59A) 问 :(1) 光线垂直入射 ;() 光线以入射角 3 入射时, 最多能看到几级条纹? 解 : (1) d θ ( + b) θ k + b k θ θ 1 ( θ 9 ) + b m k 最大 + b k 取 k 3

126 () ( + b)(θ + ϕ ) k ( + b)(θ + ϕ ) k θ ϕ k k ϕ 1 ( ϕ 9 ) 6 1 ( 3 + 1) ( + b)(θ ϕ ) 1.69 取 k 1 k 最大 5 θ ϕ

127 例题 4 用波长为 6A 的单色光垂直照射光栅, 观察到第二级 第三级明纹分别出现在 θ. 和 θ.3 处, 第四级缺级 计算 (1) 光栅常数 ;() 狭缝的最小宽度 ;(3) 列出全部条纹的级数 解 (1) d θ ( + b) θ ± k k ( + b) m θ. () (3) k ( + b) m 6 + b k θ , ± 1, ±, ± 3, ± 5, ± 6, ± 7, ± 9 上一页 下一页 返回第四章

128 例 5. 已知 : 钠黄光 5893A, 垂直照射光栅每毫米有 5条刻痕 求 :() 1 第一级和第二级明纹衍射角各是多少? ( ) 屏幕上能看到几条明纹? 解 :(1) 由光栅方程 d θ ± k d m 1 m 5 k 1, θ 1 ± ±.947 d θ ± K 3, θ 3 ± 6 θ ± d ±.884 上一页 下一页 返回第四章

129 菲涅耳衍射过渡到夫琅和费衍射录像,,, 明纹级数则明纹总数取整数屏幕上最大的衍射角 , K , 9 () 1 6 ± ± ± + ± ± k k k d k k d k k θ θ

130 4.5 X 射线的衍射 ( diffrction of X-rys ) 一. X 射线的产生 1895 年伦琴 (R ntgen, , 德国人,191 年获诺贝尔物理奖 ) 发现了高速电子撞击固体可产生一种能使胶片感光 空气电离 荧光质发光 Λ 的中性射线 X 射线 1 X 射线 :1 ~ 1 A X 射线管 - K A + X 射线

131 K 阴极,A 阳极 ( 钼 钨 铜等金属 ), A K 间加几万伏高压, 以加速阴极发射的热电子 劳厄 (Lue) 实验 (191): 晶体相当于 准直缝 晶体 X 射线 劳厄斑 三维光栅, 衍射图样 ( 劳厄斑 ) 证实了 X 射线的波动性

132 二. X 射线在晶体上的衍射 1 晶面 d Φ C A B Φ d dφ d

133 Φ : 掠射角,d: 晶面间距 ( 晶格常数 ), 对 NCl, d.8o A 1. 衍射中心 : X 射线照射晶体时, 每个原子 ( 表层 内层 ) 都是散射子波的子波源 ( 相当于一维光栅的 缝 ). 点间散射光的干涉 : 同一层晶面上各原子散射的光相干涉, 反射光的方向即散射光干涉后零级主极大的方向 ( 相邻两束光的光程差为零 ) Φ Φ

134 3. 面间散射光的干涉 : 不同晶面沿反射方向的散射光还要干涉, 相邻晶面散射光 1 和 的光程差 : ΔL AC + CB d Φ 散射光干涉加强条件 : d Φ k 乌利夫 布喇格公式 k 1,,3 三. 应用 (1) 已知 Φ 可测 d X 射线晶体结构分析 () 已知 Φ d 可测 X 射线光谱分析 四. 实际观察 X 射线衍射的作法

135 同时限定 Φ 和 要满足布喇格公式较困难, 实际观察 X 射线衍射的作法如下 : 1. 劳厄法 : 使用 连续的 X 射线照射晶体, 得到所有晶面族反射的主极大 每个主极大对应一个亮斑 ( 劳厄斑 ) 此法可定晶轴方向 劳厄相 德拜相

136 . 粉末法 : 用确定 的 X 射线入射到多晶粉末上 大量无规的晶面取向, 总可使布喇格条件满足 这样得到的衍射图叫德拜 (Dedye) 相 此法可定晶格常数 X 射线衍射与普通光栅衍射的区别 : 1. 晶体内有许多晶面族, 入射方向和 一定时, 对第 i 个晶面族有 : di Φi ki, i 1,,3 Λ X 射线衍射有一系列的布喇格条件 而一维光栅只有一个干涉加强条件 光栅方程. 晶体在 d i Φ i 都确定时, 不一定能满足的关系 d i Φi ki 而一维光栅在 和入射方向确定后, 总能有衍射角满足光栅方程 d (θ i) ± k

137 第四章光的衍射 -14 习 4.1 平行光以 θ 角斜入射在宽度为 的单缝上, 试证明 : ) 夫琅和费衍射的强度公式基本不变 ( 忽略倾 α 斜因子 ) 即 I I (I 为零级中心强度 ) α π α ( θ θ ) α b) 零级中心的位置在几何光学象点处, c) 零级斑半角宽度为 Δθ cosθ 4. 试用巴俾原理证明 : 互补的衍射屏产生的夫琅和费衍射图样相同 题

138 4.3 衍射细丝测径仪就是把单缝夫琅和费衍射装置中的单缝用细丝代替 今测得零级衍射斑的宽度 ( 两个一级暗纹间的距离 ) 为 1cm, 求细丝的直径 已知光波波长.63um, 透镜焦距 5cm 4.4 在菲涅耳圆孔衍射实验中, 圆孔半径.mm, 光源离圆孔.m, 波长.5μm, 当接收屏幕由很远的地方向圆孔靠近时, 求 (1) 前三次出现中心亮斑 ( 强度极大 ) 的位置 ; () 前三次出现中心暗斑 ( 强度极小 ) 的位置 4.5 若一个菲涅耳波带片只将前五个偶数半波带遮挡, 其余地方都开放, 求衍射场中心强度与自由传播时之比

139 4.6 一菲涅耳波带片对 9Å 的红外光主焦距为 3cm, 若用 638Å 的氦氖激光照明, 主距变为多少? 4.7 用水银灯光发出的波长为 546nm 的绿色平行光垂直入射到一单缝上, 置于缝后的透镜的焦距为 4cm, 测得第二极小至衍射图样中心的线距离为.3cm 当我们用波长未知的光作实验时, 测得第三极小至中心的线距离为.4cm, 试求未知波长 4.8 用氢氖激光器光发出的 63.8nm 的红光, 垂直入射到一平面透射光栅上, 测得第一级极大出现在 38 的方向上, 试求这一平面透射光栅的光栅常量 d, 这意味着该光栅在 1cm 内有多少条狭缝? 第二级谱线衍射角是多大?

140 第四章光的衍射 4.9 用 589.3nm 的钠黄光垂直入射到一平面透射光栅上, 测得第三级谱线的衍射角为 1 11, 而用未知波长的单色光垂直射时, 测得第二级谱线的衍射角为 6 1, 试求此未知波长 4.1 波长为 6nm 的单色光垂直入射到一光栅上, 第二和第三级谱线分别出现在衍射角 θ 满足关系式 θ. 和 θ 3.3 处, 第四级缺级 试求该光栅的光栅常量 d 以及光栅狭缝的最小可能宽度 然后, 按此 d 和 的值, 列出屏幕上可能呈现的谱线有全部级数 -15 上一页 返回第四章

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