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令亮通
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1 09 考研考点预测白皮书管理类联考数学中公考研

2 目录题型整数... 题型比和比例... 题型 3 整式运算... 题型 4 分式运算... 题型 5 函数( 一元二次函数 )... 题型 6 一元二次方程... 3 题型 7 不等式... 4 题型 8 绝对值... 4 题型 9 等差数列与等比数列... 5 题型 0 列方程问题... 5 题型行程问题... 6 题型工程问题... 6 题型 3 浓度问题... 6 题型 4 增长率问题... 6 题型 5 分段函数应用问题... 6 题型 6 计数问题... 7 题型 7 古典概型... 7 题型 8 独立事件概率计算... 7 题型 9 伯努利概型... 8 题型 0 平均数及方差... 8 题型三角形... 8 题型四边形... 0 题型 3 圆... 0 题型 4 空间几何体... 题型 5 点线圆... I

3 题型整数. 整除的特征 : 末一位数能被 ( 或 5 ) 整除的整数能被 ( 或 5 ) 整除各位数的数字之和能被 3 ( 或 9 ) 整除的整数能被 3 ( 或 9 ) 整除 k. 奇偶数 : 加减运算 : 同偶异奇 ; 乘法运算 : 遇偶则偶 ;3 若,, Z( Z, k 0 ), 则其奇偶性与相同 3. 质合数 : 熟记较小的质数 :, 3, 5, 7,,3,7,9, 3, 9,; k 质因数分解 : 设且为整数, 则 k k 必可写成 p s p p s, 其中 p, p,, p s 为质数, k, k,, k s 为正整数, 若 p p ps, 则的这种表达形式是唯一的 4. 整系数不定方程二元一次整系数不定方程 ax by c : 整除法尾数法奇偶法试数法二元二次整系数不定方程 xy ax by c : 补项因式分解法 ( ( xb)( ya) c ab) 题型比和比例. 比例的基本性质 : 比的基本性质 : a ka ( k 0 ); 比例的基本性质 : b kb a c a a a a a a ai ad bc ; 3 ( i,,, 且 b d b b b b b b b i b b b 0 ). 见比设 k : 已知 a: b: c ::3, 则设 a k, b k, c 3k 3. 比例统一 : 找公共量的最小公倍数 ; 找不变量的最小公倍数 ( 内部调整问题和外部调整问题 ) 题型 3 整式运算. 因式分解一般因式分解步骤 :I. 分组 ;II. 提取 ;III. 用公式 ; 十字相乘 ;3 双十字相乘. 常用乘法公式 : 平方差公式 : ( ab)( ab) a b ; 完全平方公式 : ( a b) a ab b ; 3 完全平方公式变式 : a b c abbcca ( ) ( ) ( ) ab bc ca ;4 立方和公式 : a 3 b 3 ( ab)( a ab b );5 立方差公式 : a 3 b 3 ( ab)( a ab b ) 3. 因式定理用 x a 去除 f( x ) 可得 f( x) ( xa) h( x) r( x), 当 rx ( ) 0时, 可得 f( a) 0, 故 x a是方程 f( x) 0的一个根题型 4 分式运算

ABC A BC AB AC BC AB C ; III. AB C 仅一层相交仅两层相交仅三层相交 ;IV.

4 . 分式运算 : 通分约分合并同类项. 分式裂项 : xx ( ) x x ; xx ( k) k x xk 版权所有翻版必究 3. 正负幂次对称分式 : x x ; 3 x x x x 3 x x x x x x 题型 5 函数( 一元二次函数 ). 集合 : 元素特征 : 确定性互异性无序性 ; 运算 :I. AB A B A B;II. ABC A BC AB AC BC AB C ; III. AB C 仅一层相交仅两层相交仅三层相交 ;IV. AB C ABC仅两层相交仅三层相交一元二次函数函数形式 yax bx c( a 0 ) a a 0 a 0 定义域 (, ) 图像对称轴顶点坐标最值值域 b 当 x 时, y a 4ac b 4a mi x b a b 4, ac b a 4a 4ac b b 当 x 时, y 4a a, max 4ac b, 4a 奇偶性 b 0 时, 偶函数 ; b 0 时, 非奇非偶函数 4ac b 4a b b 单调性在区间, 单调递增在区间, a 单调递减 a

5 3. 指数函数与对数函数 b b 在区间, a 单调递减在区间, a 单调递增类型指数函数对数函数形式 y x a ( 0 a 且 a ) y log a x( a 0 且 a ) 图像定义域 R (0, ) 值域 (0, ) 定点 (0,) (, 0) 单调性当 a 时, 在区间 (, ) 上单调递增当 0a 时, 在区间 (, ) 上单调递 R 当 a 时, 在区间 (0, ) 上单调递增当 0a 时, 在区间 (0, ) 上单调递减减题型 6 一元二次方程 e. 求解方法 : 十字相乘 : 当 ax bx c ( dx e)( fx g) 0时, 方程的解为 x, d g x b b 4ac ; 求根公式 : x f, ( b 4ac 0) a. 根的判定 : 当 0 时, 方程无实根 ; 当 0 时, 方程有两个相等的实根 ;3 当 0 时, 方程有两个不相等的实根 b 3. 韦达定理 : 根与系数的关系 : x x a, xx c a II. x x x x x x ;III. ( x x ) 4x x ;V. ; 常考形式 :I. x x x x ;IV. x x x x x x x x x x x x ; 3 3 x x ( x x)( x xx x ) ( x x) ( x x) 3xx 0 b 4. 根的分布 : 若 x x0 x, 则 af ( x0 ) 0; 若两实根且均大于 x 0, 则 x0 ; a af ( x0 ) 0 3

6 0 0 b b 若两实根且均小于 x 0, 则 x0 ;3 若两根均在区间 (, ) 内, 则 a ; a af ( ) 0 af ( x0 ) 0 af ( ) 0 af ( ) 0 4 若两根均在区间 (, ) 外且 x x, 则 ;5 若一根在 (, ), 另一根 af ( ) 0 af ( ) 0 af ( ) 0 在 (, ), 且, 则 af ( ) 0 af ( ) 0 题型 7 不等式. 性质 : abab 0 或 ba 0 ; 传递性 : a b ac ;3 可加性 : b c abacb c ;4 同向可加性 : a b acbd c d ;5 可乘性 : c0, acbc ab0 ab ;6 同向可乘性 : ac bd c 0, ac bc c d 0. 求解 : 一元一次不等式 : 移项, 合并同类项, 系数化 ; 一元二次不等式 : 二次项系数为正时, 大于号取两端, 小于号取中间 ;3 分式不等式 : 移项, 通分, 合并同类项, 验证增根 ;4 绝对值不等式 : 去绝对值, 移项, 合并同类项 ;5 无理不等式 : 去根号, 移项, 合并同类项, 验证增根 ;6 不等式组 : 不等式组的解集为几个不等式解集的公共部分 3. 均值不等式 a b 设 a b 为正实数, 则 ab, 当且仅当 a b时, 等号成立两类常考形式为 : a b ab ab ; ab 题型 8 绝对值 a, a 0 a a a 0. 定义 : 设 a 为实数, 则称 a 0, a 0 为 a 的绝对值, 由定义可知 a 0 a 0 a, a 0 a a a 0. 性质 : 非负性 : a 0; 对称性 : a a ;3 等价性 : a a ( 或 a a ); 4 乘法原则 : ab a b ;5 基本不等式 : a a a ;6 三角不等式 : 4

7 a b ab a b 3. 解法 : 若根据题意能够确定绝对值内表达式的符号, 则可去掉绝对值后直接求解 ; 若根据题意不能确定绝对值内表达式符号, 则可通过分段讨论去掉绝对值后再求解 4. 图像 y xa x b a b a b 形状 : 凹槽型最大值 : 无最小值 : a-b y xa xb a b a b 形状 : Z 字形最大值 : a- b 最小值 :- a- b 题型 9 等差数列与等比数列等差数列等比数列定义 a a a d q ( q 0 ) a 基本公式通项公式 a a ( ) d a a q 求和公式 a ( a) ( ) S a d a,( q ) S a aq a ( q ),( q ) q q 基本性质设 { a } 为等差数列, 公差为 d, m k l 为正整数设 { a } 为等比数列, 公比为 q, m k l 为正整数性质一 m k l a am ak al m k l aam akal 性质二 a a k a k 是公差为 kd 的等差数列 a a k a k k 是公比为 q 的等比数列题型 0 列方程问题. 根据题意设未知数 5

8 . 寻找等量关系 3. 列方程或方程组求解题型行程问题. 基本公式 : 路程速度时间. 相遇问题 : 直线相遇问题 : ( v v ) t ( ) s; 环形相遇问题 : ( v v ) t s 3. 追及问题 : 直线追及问题 : s( v v ) t ; 环形追及问题 :( v v ) t s ( v v ) 4. 行船问题 : 顺流速度静水船速水流速度 ; 逆流速度静水船度水流速度题型工程问题. 基本公式 : 工程量工效时间工程总量通常设为, 此时工效和时间互为倒数. 合作完工 : 合作时的工作效率 = 各个工作效率之和 3. 交替完工 : 工程总量 = 各个完成的工程量之和题型 3 浓度问题溶质量溶质量. 基本公式 : 溶液量溶质量 + 溶剂量 ; 浓度 = 溶液量溶质量溶剂量. 平均量混合问题特征 : 一个整体, 两个部分, 三个平均量模型 : 某溶液是由浓度为 a, 溶液量为 A 的甲溶液和浓度为 b( a b), 溶液量为 B 的乙溶液混合而成, 混合后的平均浓度为 i, 则根据混合前后溶质量相等得 Aa Bb ( A B) i 甲溶质量十字交叉法 : 甲溶液 : a, 乙溶液 : b A 乙溶质量 B 题型 4 增长率问题 b a b. 基本公式 : 某变量从 a 值增长到 b 值, 则其增长率为, 可变形为 a a ba( ) 若 a b, 则为负值称为下降率或负增长率. 连续增长 : 变量在 a 值基础上连续增长了次, 其各次增长率分别为,,,, 则其终值 ba( )( ) ( ) 3. 平均增长率 : 某变量在 a 值基础上连续增长了次, 其各次增长率不变为, 其终值 ba( ), 则称为平均增长率平均增长率 ( )( ) ( ), ( )( ) ( ) 的几何平均值 ) 或 b a 是题型 5 分段函数应用问题 6

9 . 确定每个分界点的值, 锁定所给的数值落在哪个范围 ;. 对应选取正确的表达式, 按照所给的表达式进行计算题型 6 计数问题. 公式 () 排列数的计算公式 : A m ( ) ( m ) () 组合数的计算公式 : C m m A ( ) ( m) m A m( m) 3 m ; C m m C (3) 排列与组合的关系有序用排列, 无序用组合, 排列数与组合数之间的关系为 A. 常用方法常见问题对象较少规律性较强元素允许重复限定位置相邻不相邻分组 ( 相同元素 ) 不均匀分组 ( 不同元素 ) 方法穷举法归纳法 m 优先法捆绑法插空法隔板法逐组挑选法 C A m m m m 均匀分组 ( 不同元素 ) 逐组挑选法, 除以 k! 错排熟记错排数 (-,3-,4-9) 涂色数字几何题型 7 古典概型计数原理计数原理画图 + 计数原理. 定义 : 若随机试验具备以下两个特征 : 每次试验的基本事件数是有限的 ; 每个基本事件的发生是等可能的, 则称该试验为古典概型. 公式 : 古典概率的计算问题可以转化为计数问题若样本空间中基本事件 ( 样本点 ) m 总数为, 事件 A 包含的基本事件数为 m, 则 PA ( ) 题型 8 独立事件概率计算. 若事件 A 和事件 B 相互独立, 有 PAB ( ) PAPB ( ) ( ) 7

10 . 独立事件 A 和事件 B 至少有一个发生的概率为 PA ( B) PAPB ( ) ( ) 题型 9 伯努利概型. 定义版权所有翻版必究若随机试验具备以下三个特征 : 各次试验相互独立, 即某一次的试验结果对其他次均无影响 ; 试验在相同条件下重复进行次 ;3 每次试验结果具有可预测性且仅有两个, 即 A 和 A, 则称该试验为伯努利试验. 公式若在一次试验中事件 A 发生的概率为 p, 不发生的概率为 q p, 则在次伯努利试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率为 k k k k P C p ( p), k 0,, 题型 0 平均数及方差 x x x. 公式 : 平方数 x ; 方差 S [( x x ) ( x x ) ( x x ) ] ; 标准差 S [( x x ) ( x x ) ( x x ) ]. 性质 : 若 x x x 的平均数是 x, 方差为 S, 标准差为 S, 则 ax ax b ax b 的平均数是 ax b, 方差为 as, 标准差为 as ; 连续个整数的方差相同, 注意前连续还是后连续 3. 意义 : 方差和标准差均能反映一组数据偏离平均值的程度, 是反映一组数据整体波动大小的特征量方差和标准差越大, 数据波动越大, 越不稳定 ; 方差和标准差越小, 数据波动越小, 越稳定题型三角形. 性质性质内容图形性质一性质二三角形中大边对大角小边对小角等边对等角三角形中两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边, 即图中 a b c c b a a c b b c a b c a a c b. 五线四心五线四心性质及结论图形 b 8

中线及重心角平分线及内心重心分三条中线为长度 : 的两段, 即图中 AO : OM BO : ON CO : OP : 若 AD 为 BAC 的角平分线, 则 AD 上点 P 到 AB AC 的垂线段长相等, 即图中 PM PN 三角形内角平分线把对边分成两部分, 其长度之比等于另外两边长度之比, 即图中 BD : CD AB : AC 中垂线及外心若 PD 为线段 BC 的垂直平分线, 则

11 中线及重心角平分线及内心重心分三条中线为长度 : 的两段, 即图中 AO : OM BO : ON CO : OP : 若 AD 为 BAC 的角平分线, 则 AD 上点 P 到 AB AC 的垂线段长相等, 即图中 PM PN 三角形内角平分线把对边分成两部分, 其长度之比等于另外两边长度之比, 即图中 BD : CD AB : AC 中垂线及外心若 PD 为线段 BC 的垂直平分线, 则 PD 上的点 P 到 B C 的距离相等, 即图中 PB PC 中位线三角形的中位线平行且等于第三边的一半, 即图中 DE BC 3. 面积计算 S ah absi C, 式中 h 是边 a 上的高, C 是边 a 和 b 的夹角 4. 等积模型性质内容图形性质一两个三角形高相等, 面积之比等于底边之比 S : S a: b 性质二两个三角形底边相等, 面积之比等于高之比 S : S h : h 5. 特殊三角形类型性质图形直角三角形面积 : S ab 勾股定理 : c a b 常用的勾股数 : (3,4,5), (6,8,0), (5,,3) 直角三角形中斜边上中线的长度等于斜边长的一半 9

30 角直角三角形等腰直角三角形等边三角形 3 3 3 面积 : S a b c 6 8 三边之比 : a: b: c : 3: 面积 : S a c 4 三边之比 : a: b: c :: 面积 : S 等边三角形中垂心重心内心外心重合 ( 四心合一 ) 3 4 a 6.

12 30 角直角三角形等腰直角三角形等边三角形面积 : S a b c 6 8 三边之比 : a: b: c : 3: 面积 : S a c 4 三边之比 : a: b: c :: 面积 : S 等边三角形中垂心重心内心外心重合 ( 四心合一 ) 3 4 a 6. 三角形相似性质内容图形性质一性质二两个相似三角形内对应线段的长度成比例, 其值等于相似比, 即图中 a: ab: bc: c p: q 两个相似三角形的面积之比等于相似比的平方, 即图中 S : S p : q ABC ABC 题型四边形. 性质任意四边形各边中点依次连接所得四边形为平行四边形, 其面积为原四边形的. 面积计算公式类型平行四边形矩形正方形菱形梯形图形公式 S ah S ab S a 3. 蝴蝶定理在梯形中的应用若 AD : BC a : b, 则 S: S3 : S : S4 a : b : ab: ab 题型 3 圆. 圆的性质 S ab ( a b) h S 0

13 性质内容图形三点定圆同一平面内不共线的三点确定一个圆垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧 ( AD DC, AB BC ) 圆周角定理同弧或等弧所对应的圆周角是圆心角的一半 ( ) 直径所对的圆周角为直角 ( DFE 90). 圆与扇形的计算公式类型周长 ( 弧长 ) 面积圆 l r S r r 扇形 l r S r 题型 4 空间几何体. 公式类型公式图形长方体正方体圆柱体球长方体的体对角线 : l a b c 长方体的表面积 : S ( abbc ac) 3 长方体的体积 :V abc 正方体的体对角线 : d 3a 正方体的表面积 : S 6a 3 3 正方体的体积 : V a 圆柱体的侧面积 : S rh 圆柱体的全面积 : S rh r 3 圆柱体的体积 : V r h 球的表面积 : S 4 r 4 3 球的体积 : V r 3. 体体关系

类型长方体体对角线内切球图形外接球图形 l a b c 无无 R a b c 正方体 l 3a R a R 3a

两点间的公式 : 两点间的距离公式为 AB ( x x ) ( y y ) ; 中点坐标为 x x, y y ;3 AB

直线方程 : 点斜式 y y0 k( x x0) ; 斜截式 y kx b;3 两点式 y y x x x ( x y

By0 C 3. 点到直线的距离公式 : d A B x x y y A B C 0 4.

14 类型长方体体对角线内切球图形外接球图形 l a b c 无无 R a b c 正方体 l 3a R a R 3a 圆柱体 l ( r) h 当轴截面是正方形时才存在 r hr R ( r) h 题型 5 点线圆. 两点间的公式 : 两点间的距离公式为 AB ( x x ) ( y y ) ; 中点坐标为 x x, y y ;3 AB y 所在直线斜率为 k x y x y y xx. 直线方程 : 点斜式 y y0 k( x x0) ; 斜截式 y kx b;3 两点式 y y x x x ( x y x, y y );4 截距式 ( ab, 0 );5 一般式 Ax By C 0 a b ( A B 0 ) Ax0 By0 C 3. 点到直线的距离公式 : d A B x x y y A B C 0 4. 两点关于直线对称 : y y A x x B 5. 两直线的关系 : 两直线的位置关系 : k AB AB 0 A, 斜率 k B A B, 则 :I. 当时, 两直线平行 ;II. 当 AA BB 0 时, 两直线垂直 ; 平行线间的距

15 C C 离公式 : d A B ;3 两直线关于某直线对称 : 直线 ax by c 0 关于直线 ax by c aa bb Ax By C 0 对称的直线方程为 : Ax By C A B 6. 圆的方程 : 标准方程 : ( xx0) ( y y0) r, 圆心 O 为 ( x0, y 0), 半径为 r D E 圆的一般方程 : x y DxEyF 0( D E 4F 0), 圆心为,, 半 D E 4F 径为 7. 点与圆的位置关系点 Pab (, ) 为平面内任意一点, 则 : 标准式 ( a x0) ( b y0) r P在圆内 ( a x0) ( b y0) r P在圆上 ( a x0) ( b y0) r P在圆外一般式 a b DaEbF 0 P在圆内 a b DaEbF 0 P在圆上 a b DaEbF 0 P在圆外 8. 直线与圆的位置关系设直线 l 为 Ax By C 0, 圆为 ( xx ) ( y y ) r, 圆心 ( x0, y 0) 到直线 l 的距 0 0 d r时, 直线与圆相交 Ax0 By0 C 离 d, 则 d r 时, 直线与圆相切 A B d r时, 直线与圆相离圆的切线 I. 过圆上点的切线 : 当 ( xx ) ( y y ) r 时, 直线 l 过圆上一点 ( ab, ) 的切线方程为 : 0 0 ( a x )( x x ) ( b y )( y y ) r II. 过圆外点的切线 : 设点 P( ab, ) 为圆 ( xx0) ( y y0) r 外一点, 切线斜率为 k, 则切线方程为 ybk( x a), 转化成一般式 kx y ka b 0, 然后利用圆心到直线的距离等于半径, 解得 k, 最终求出切线方程 9 圆与圆的位置关系圆 C :( xx) ( y y) r, 圆 C :( x x) ( y y) r, 两圆的圆心距为 d, 则 : 外离外切相交内切内含 d r r d r r rr drr d r r 0 d r r 3

16 0. 数形结合明确不等式表示的区域, 然后在平面直角坐标系中作图, 结合图形进行求解, 其步骤如下 :. 画图 ( 趋势交点位置关系 );. 通过代入 (0,0) 点确定表示曲线的哪一侧区域, 代入成立时表示的为点 (0,0) 所在的一侧区域, 否则为对侧区域 4

4.C ( 详细解析见视频课程绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程绝对值 02 约 14 分 05 秒处 )

4.C ( 详细解析见视频课程绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程绝对值 02 约 14 分 05 秒处 ) [ 说明 ] 1. 以下所指教材是指朱杰老师的管理类联考综合能力数学套路化攻略 2. 该文档中所标答案和参见的教材答案, 与视频有冲突的, 以视频答案为准! 基础篇第 1 章数 1.2.1 整数例题答案 : 1. A ( 详细解析见教材 P7 例 2) 2. D ( 详细解析见视频课程数的性质约 10 分 53 秒处 ) 3. C ( 详细解析见教材 P7 例 3) 4.E ( 详细解析见视频课程