https://sites.google.com/site/hshmath 高中數學講義 1 1 二次曲線 1.1 拋物線 錐面與圓錐曲線 : 空間中取兩不垂直之相交直線, 固定其中一直線為軸, 另一直線 ( 母線 ) 與此軸保持固定交角 Ω, 繞此軸旋轉 360, 所掃出的曲面為圓錐曲面 1. 圓 : 將一平面與此圓錐之對稱軸垂直所截交的軌跡 ( 軸與平面夾角 = 0 )( 平面過錐頂點則退化成一點 ). 橢圓 : 將一平面稍微傾斜與此圓錐之對稱軸非垂直所截交的軌跡 ( Ω < 夾角 < 0 ) ( 平面過錐頂點則退化情形為一點 ) 3. 拋物線 : 平面不通過頂點, 但與錐面上通過頂點的一直線平行, 則此截交出有開口的拋物線 ( 平面與對稱軸夾角為 Ω ) ( 平面過錐頂點則退化情形為一直線 ). 雙曲線 : 將平面與上下兩錐面都有相交時, 則截交成雙曲線 ( 0 夾角 < Ω ) ( 平面過錐頂點則退化情形為兩相交的直線 ) 圖 1: 錐面與圓錐曲線 二元二次方程式圖形的判別方法 : 先配成 的完全平方式, 再配成 的完全平方式 或採取雙十字交叉相乘法因式分解 如表列所示 拋物線的定義 : 動點 P 到一直線 L 及線外一定點 F 等距之點所成的圖形為拋物線 即 d(p,l) = PF, 其中直線 L : ab c = 0 稱準線, 點 F( 0, 0 ) 為拋物線的焦點 順伯的窩 二次曲線 [ 第 1 頁 / 共 7 頁 ]
高中數學講義拋物線 表 1: 二元二次方程式圖形的判別方法 二次曲線橢圓類 拋物線類 雙曲線類 圓錐曲線橢圓 拋物線 雙曲線 (ab c) (a c ) = 正常數 (abc) = pq 或 pq (a 1 b 1 c 1 )(a b c ) = 定常數,m 1 m 退化錐線 (abc) (a c ) = 0 為一點 (ab c 1 )(a b c ) = 0 兩平行線 (a 1 b 1 c 1 )(a b c ) = 0,m 1 m 為兩相交直線 (ab c) (a c ) = 負常數, 為 (ab c) = 0 為兩重合直線 (ab c) = 負常數, 為 ø 拋物線的數學式 : ( 0 ) ( 0 ) ab c =, ( 一般式的求法 ) a b P(,) 對稱軸拋物線 = c F(0,c) 焦點 V 頂點準線 L : = c 準線 L : = c 拋物線 = c P(,) 焦點 F(c,0) V 頂點對稱軸 拋物線的各要素 : 過焦點 F 與準線 L 垂直的直線 VF 稱為此拋物線的對稱軸 此直線 VF 與拋物線的交點 V 稱為頂點 頂點與焦點的距離 VF 稱為焦距 拋物線的標準式 : 上下開口型 : 以 = c 為準線,(0,p) 為焦點的拋物線方程式 ( c) 兩邊取平方 = c = c ;c > 0 開口向上,c < 0 開口向下 展開, 整理左右開口型 : 以 = c 為準線,(p,0) 為焦點的拋物線方程式 ( c) 兩邊取平方 = c = c ;c > 0 開口向右,c < 0 開口向左 展開, 整理 順伯的窩 二次曲線 [ 第 頁 / 共 7 頁 ]
https://sites.google.com/site/hshmath 高中數學講義 3 (0, p) 0 =_p 0 (0, p) =_p =_p ( p, 0) 0 ( p, 0) 0 =_p (a) =p, p>0 (b) =p, p<0 (c) =p, p>0 (d) =p, p<0 圖形的平移 : 曲線 Γ 沿向量 v = (h,k) 平移, 就是曲線 Γ 上的每一個點都沿著 v 方向移動 v 距離 P(,) v P (,) Γ Γ V v = (h,k) v O V 拋物線標準式 : 將拋物線上的點平移 (h,k) 單位後, 可得拋物線方程式 Γ : = c (h,k) Γ : ( h) = c( k); 一般式 : = a bc 平移 Γ : = c (h,k) Γ : ( k) = c( h) ; 一般式 : = a b c 平移 表 : 拋物線的幾何性質 拋物線方程式左右型 : ( k) = c( h) 上下型 : ( h) = c( k) 開口方向 c > 0 開口向右 c > 0 開口向上 c < 0 開口向左 c < 0 開口向下 頂點 (h,k) (h,k) 焦點 (hc,k) (h,k c) 準線 h = c k = c 對稱軸 k = 0 h = 0 正焦弦長 ( 最短焦弦 ) c c h = 參數式 t h = t c k = t k = t c 拋物線的開口大小與焦距的關係 :( 共同頂點之拋物線伸縮 ) ( h) = c( k) = a bd a = c 1 即 a 大 焦距 c 小開口愈小 順伯的窩 二次曲線 [ 第 3 頁 / 共 7 頁 ]
高中數學講義拋物線 Γ 3 Γ 1 Γ P(,) Γ P P 1 P 3 準線 L 1 O V 準線 L 3 準線 L 準線 L d(f,l) = c, 準線與對稱軸互相垂直 點在拋物線曲線開口內部或外部的判別 : 0 1. 拋物線 Γ : = c 若 c < 0 則點 ( 0, 0 ) 在 Γ 曲線的右方 { c > 0, 開口向右, 即點 ( 0, 0 ) 在開口內部且當 c < 0, 開口向左, 即點 ( 0, 0 ) 在開口外部 0. 拋物線 Γ : = c 若 c > 0 則點 ( 0, 0 ) 在 Γ 曲線的左方 { c > 0, 開口向右, 即點 ( 且當 0, 0 ) 在開口外部 c < 0, 開口向左, 即點 ( 0, 0 ) 在開口內部 0 3. 拋物線 Γ : = c 若 c < 0 則點 ( 0, 0 ) 在 Γ 曲線的上方 { c > 0, 開口向上, 即點 ( 且當 0, 0 ) 在開口內部 c < 0, 開口向下, 即點 ( 0, 0 ) 在開口外部 0. 拋物線 Γ : = c 若 c > 0 則點 ( 0, 0 ) 在 Γ 曲線的下方 { c > 0, 開口向上, 即點 ( 且當 0, 0 ) 在開口外部 c < 0, 開口向下, 即點 ( 0, 0 ) 在開口內部 拋物線與直線的關係 : ( 拋物線無漸近線 ) 1. 不相交 ( 聯立方程式無解, 代入消去法, 為一元二次方程式 ; < 0). 恰一交點 ( 相切 : 直線非平行對稱軸, 代入消去法, 為一元二次方程式 ; = 0 ) ( 非切線 : 直線平行對稱軸 ) 3. 兩交點 ( 聯立方程式為兩解, 代入消去法, 為一元二次方程式 ; > 0 ) 例題 = 0 範例 1: 空間中一直線 L : = t z = t,t R 繞 z 軸旋轉, 形成一直圓錐面, 則下列平面與此直圓錐面 順伯的窩 二次曲線 [ 第 頁 / 共 7 頁 ]
https://sites.google.com/site/hshmath 高中數學講義 5 痕跡圖形為何? (1) z = 0 () z (3) z = 3 () z = 3 (5) z = 3 ( 解 :)L 與 Z 軸夾角 Ω = 5 ; 平面 E 與 Z 軸夾角 θ 則 θ 1 = 0,E 1 過錐頂點 截交一點 θ = 0,E 無過錐頂點 截交一圓 sinθ 3 = sinω,e 3 //L 截交一拋物線 sinθ = 5 > sinω 截交一橢圓 sinθ 5 5 < sinω 截交雙曲線 演練 1a : 若實係數二元二次多項式 f(,) = A BC DEF, 當 f(,) 可分解成兩個一次式的乘積時, f(,) = 0 的圖形可能是 (1) 一直線 () 兩平行直線 (3) 兩相交直線 () 一點 (5) 雙曲線 1,,3 演練 1b : 若實係數二元二次多項式 f(,) = A BC DEF, 當 f(,) 不能分解成兩個一次式的乘積時, f(,) = 0 的圖形可能是 (1) 橢圓 () 拋物線 (3) 雙曲線 () 一點 (5) 空集合 1,,3,,5 範例 : 方程式 a de f = 0 試判別下列條件下所表示的圖形 : 1. e 0. e = 0 且 d af = 0 3. e = 0 且 d af > 0. e = 0 且 d af < 0 演練 a : 判別下列方程式所表示的圖形 : 1. = 0. = 0 3. ( ) ( 1) = 1 範例 3: 求焦點 F(1,1), 準線 L : = 5 的拋物線方程式? 演練 3a : 設點 F(0,3), 直線 L :, 求通過 F 點且與直線 L 相切圓之圓心軌跡方程式? 演練 3b : 求焦點 F(0,), 準線 L : = 的拋物線方程式? 演練 3c : 求焦點 F(,0), 準線 L : = 的拋物線方程式? 演練 3d : 求焦點 F(0, π), 準線 L : = π 的拋物線方程式? 演練 3e : 求焦點 F(3,), 準線 L : = 的拋物線方程式? 拋物線一鉛直線兩鉛直線 拋物線一點拋物線 ( 1) = 8( 3) = ( ) = 16 6 = π ( ) ( 1 ) 範例 : 求拋物線 = 16 的頂點, 焦點, 準線與正焦弦長? 順伯的窩 二次曲線 [ 第 5 頁 / 共 7 頁 ]
6 高中數學講義拋物線 ( 解 :)V(0,0),F(,0),L : =, c 6 演練 a : 求拋物線 = 1 的頂點, 焦點, 準線與正焦弦長? ( 解 :)V(0,0),F(0, 3),L : = 3, c 演練 b : 求拋物線 = 1 1 的焦點與準線方程式? (0, 3); = 3 演練 c : 求拋物線 6 5 = 0 的開口方向 頂點坐標 焦點坐標 準線方程式與正焦弦長? ( 解 :)V( 3,1),F( 3,0),L : =, c =, 開口向下 演練 d : 求拋物線 8 31 = 0 的開口方向 頂點坐標 焦點坐標 準線方程式與正焦弦長? ( 解 :)V(,1),F(,1),L : = 6, c = 8, 開口向右 演練 e : 求拋物線 = 0 的頂點坐標 焦點坐標 準線方程式與正焦弦長? ( 解 :)V(, 1),F(,0),L : =, c = 範例 5: 一拋物線的頂點為 V(,3), 焦點 F(,), 試求此拋物線方程式? 演練 5a : 拋物線的頂點為 (0,0), 焦點 F(3,0), 試求此拋物線方程式? 演練 5b : 一拋物線的頂點為 (0,0), 對稱軸為 軸, 且拋物線過點 ( 1,), 試求此拋物線方程式? ( ) = ( 3) = 8 演練 5c : 一拋物線的頂點為 (,1), 已知其對稱軸為水平方向, 且拋物線過點 ( 3,5), 試求此拋物線方程式? ( 1) = 16() 演練 5d : 一拋物線的頂點為 ( 1,), 其對稱軸為鉛直線, 且此拋物線過點 ( 3,1), 試求此拋物線方程式? (1) = ( ) 演練 5e : 拋物線的對稱軸為水平直線, 且此拋物線過點 (0,0),( 1,),( 1, ), 試求此拋物線方程式? ( 0) = ( 演練 5f : 拋物線的準線平行 軸, 且此拋物線過點 (0, ),(1,1),(3,1), 試求此拋物線方程式? ( ) = ( ) 範例 6: 拋物線 5 0 上點 P 到直線 L : 31 = 0 的最短距離為? 並求此點 P 坐 d 0 10 標?,P( 7,10) 演練 6a : 若直線 1 = 0 與拋物線 1 = 0 相交於 A,B 兩點, 求 AB 長為何? 5 演練 6b : 拋物線有鉛直對稱軸且經過點 (5,), 並在點 (, 3) 有最小值, 求此拋物線? ( ) ( 3) 演練 6c : 求拋物線 = 3 上點 P 到直線 L : = 5 的最短距離為? 並求此點 P 坐標? d = 7,P(1, 11 ) 演練 6d : 一直線斜率為 1 經過原點 (0,0) 為頂點, 開口向上的拋物線之焦點, 且與拋物線一相交點的 坐標 1 slope= 為, 如圖示 求此拋物線方程式? = 15 focus 0 順伯的窩 二次曲線 [ 第 6 頁 / 共 7 頁 ]
https://sites.google.com/site/hshmath 高中數學講義 7 建立拋物線模型 範例 7: 碟形衛星天線形狀為拋物線的旋轉體, 已知此碟形天線寬為 D = 8 呎, 碟形天線與頂點的深為 d = 3 d D 呎, 求碟形天線的焦距? 呎 演練 7a : 碟形衛星天線其截面圖形為拋物線, 已知此碟形天線的拋物面焦距為 呎, 若此碟形天線寬為 15 呎, 求此碟形天線與頂點的深度為? 呎 演練 7b : 汽車頭燈的碟形燈具截面圖為拋物線, 已知此碟形燈具的寬為 6 吋且碟形燈具與頂點的深度為 1 吋, 求 此燈具拋物面的焦距為? 吋 演練 7c : 舊金山大橋 ( 如圖 ) 為拋物線形鋼索主纜線橫跨於兩橋墩之間, 已知兩橋墩間的距離為 00 呎, 兩側橋墩離橋面高為 500 呎, 拋物線主纜線離橋面的最低高度為 10 呎, 求離橋中央 300 呎位置主鋼索纜線離 0 橋面的高為多少呎? 演練 7d : 一拱橋橫跨於寬為 10 呎的河流上, 若橫跨橋墩為拋物線造型, 已知拋物線拱橋的頂點 ( 橋面中央點 ) 離河面 50 呎, 求離拱橋頂點 ( 中央 )30 呎時拱橋離河面多少呎? 3 5 6 5 10 ft 500 ft 10 ft 50 ft 00 ft 60 ft 演練 7e : 一吊橋以拋物線形鋼索主纜線橫跨於兩橋墩之間, 已知兩橋墩間的距離為 00 呎, 橋墩高為 50 呎, 拋物線主纜線離橋面的最低高度為 10 呎, 若橋面上每間隔 0 呎在拋物線主鋼索必須用鋼索纜線垂直連 10,11.6,16.,.,35.6,50 接橋面, 在兩橋墩間由中央往橋墩方向, 分別求這些垂直鋼索線的長度? 習題 1-1 拋物線 1. 試判別下列方程式所表示的圖形 : (a) 010 50 = 0 (b) 15 = 0 (c) 3 6 (8 3)(8 33) 5 = 0 (d) 1 30 0 5 = 0. 求下列的拋物線方程式 : (a) 焦點為 F(3,0), 準線為 3 = 0 (b) 頂點為 (0,0), 準線為 3 = 0 (c) 頂點為 (1,1), 焦點為 (,1) 順伯的窩 二次曲線 [ 第 7 頁 / 共 7 頁 ]
8 高中數學講義拋物線 (d) 頂點 ( 3,), 軸 3 = 0, 過點 (1,) (e) 焦點為 (3, ), 準線平行 軸, 正焦弦長為 16 3. 求拋物線 6 的頂點坐標 焦點坐標與準線方程式?. 求拋物線 8 7 = 0 的頂點坐標 焦點坐標與準線方程式? 5. 求拋物線 = 1 1 3 3 的頂點坐標 焦點坐標與準線方程式? 6. 在拋物線 上, 找一點 P, 使得 P 與其交點的距離等於 15 7. 求通過點 (0,5), 且與 ( 1) = (1) 共焦點, 共對稱軸的拋物線方程式? 8. 關於方程式 3 1 10 = (1) ( ) 所代表的錐線圖形 Γ, 下列何為真? (1) Γ 為拋物線 () (1, ) 為 Γ 的焦點 (3) 3 1 = 0 為 Γ 的漸近線 () 3 7 = 0 為對稱軸 (5) (3,1) 為 Γ 的頂點. 拋物線有鉛直對稱軸且經過點 (5,), 並在點 (,3) 有最大值, 求此拋物線? 10. 一拋物線的頂點為 V(,3), 焦點 F(0,3), 試求此拋物線方程式? ( 3) = 8() 11. 一拋物線的頂點為 (1,1), 焦點為 (,3), 則其方程式為? 1. 一拋物線的頂點在 軸上, 軸為 =, 而焦點在直線 = 7 上, 求其方程式? 13. 求拋物線 = 與直線 3 = 0 的交點坐標? 1. 求過點 (5,0) 而與拋物線 = 相切的切線方程式? 15. 求拋物線 = () 與直線 L : = 的交點坐標? 16. 求拋物線 = 與直線 L : = 的交點坐標? 17. 拋物線 10 11 = 0 與 軸相交於 A,B 兩點, 則 AB 長為何? 18. 求拋物線 7 = 0 的頂點坐標與正焦弦長? 1. 一天花板為拋物線造型的大廳, 已知以通過最高點的鉛直線為對稱軸, 現測量得知大廳地板寬 6 公尺, 天 3 花板距地板公尺高處其兩側寬為 5 公尺, 求此天花板的最高處的高? 15 ft 5 ft 0. 一高架公路橫跨於寬為 5 呎的平面道路上, 若橫跨橋墩為拋物線造型 ( 如圖 ), 已知拋物線拱橋的頂點 ( 拱橋最高點 ) 離平面道路高 15 呎, 現拱橋一位置離平面道路 10 呎高, 求此處距拱橋頂點水平距離多少呎? 順伯的窩 二次曲線 [ 第 8 頁 / 共 7 頁 ]
https://sites.google.com/site/hshmath 高中數學講義 1. 拋物線造型的鋼拱建跨於一立體道路上, 已知鋼拱寬為 80 公尺, 正中央的高度為 0 公尺, 求距離中央 30 公尺處的鋼柱高度為何?? 80 ft 1 600 ft 150 ft. 一座橋為拋物線形鋼索主纜線橫跨於兩橋墩之間, 已知兩橋墩間的距離為 600 呎, 兩側橋墩離橋面高為 80 呎, 拋物線主纜線在橋中央與橋面連接, 求離橋中央 150 呎位置主鋼索纜線離橋面的高為多少呎? 3. 碟形衛星天線形狀為拋物線的旋轉體, 已知此碟形天線寬為 1 呎, 碟形天線與頂點的深為 呎, 求碟形天線的拋物面焦距為? 呎. 碟形衛星天線形狀為拋物線的旋轉體, 已知此碟形天線寬為 18 呎, 碟形天線與頂點的深為 6 呎, 求碟形天線的拋物面焦距為? 呎 5. 一拱橋橫跨於寬為 10 呎的河流上, 若橫跨橋墩為拋物線造型, 已知拋物線拱橋的頂點 ( 橋面中央點 ) 離河面 5 呎, 求離拱橋頂點 ( 中央 )30 呎時拱橋離河面多少呎? 6. 一太陽灶其造型為拋物線的旋轉體, 利用太陽光的反射線聚焦在焦點上, 把置物架食物加熱 ( 如圖 ) 已知 Sun s ras 0' 此灶寬 0 尺, 深 6 尺, 求此灶置物架離底部多高? 7. 已知點 P 在拋物線 Γ : 上, 且點 P 與焦點 F 的距離為, 求點 P 坐標? 習題 1-1 1. 1. 拋物線. 兩平行線 3. 不存在. 一直線 a. b. c. ( 1) = ( 1) d. (3) = 8( ) e. ( 3) 6( 6),( 3) = 16( ) 3. V(0,0),F(0,3),L : = 3. V( 1, 1),F(1, 1),L : = 3 5. V(,),F(, 1),L : = 5 6. P(1,1) 或 P(1, 1) 7. ( 1) = 8(),( 1) = 8( ) 8. 1,. ( 3) = ( ) 11. 38 61 = 0 1. ( ) 13. (8,),(1/, 1/) 1. = ( 5), 8( 5) 15. (,),(,0) 16. (,),( 1,1) 17. 1 6' 18. V( 1,); c = ) 1. 0. 1. 5 11 5 3 6 35. 0 3.. 7 8 5. 75 6. 3 00 公尺 公尺 7. (6,6 ),(6, 6 ) 順伯的窩 二次曲線 [ 第 頁 / 共 7 頁 ]
10 高中數學講義橢圓 1. 橢圓 橢圓的定義 : 平面上動點 P 到二定點 F 1,F 的距離和為定值 a, (a > F 1 F = c) 則 P 點的軌跡所形成的曲線為橢圓 定點 F 1,F 為橢圓焦點 橢圓的各要素 : 橢圓上任一點 P 與兩焦點連成的線段 PF 1,PF 稱為焦半徑 連接兩焦點與橢圓的相交點線段稱為長軸 長軸線段的中點 ( 或兩焦點的中點 ) 稱為橢圓的中心 過中心點且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓兩交點的線段稱為橢圓的短軸 長短軸與橢圓的焦點都稱為橢圓的頂點 PF 1 PF = a ; 兩焦點 F 1 ( 1, 1 ),F (, ), 橢圓長軸長 a, 兩焦點距離 F 1 F = c,b = a c,e = c a 橢圓的數學式 : ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) = a 1. 若 PF 1 PF = a > FF, 則動點 P 的軌跡為橢圓. 若 PF 1 PF = a = FF, 則動點 P 在 FF 線段上 3. 若 PF 1 PF = a < FF, 則動點 P 為 橢圓的方程式 : 中心點為原點, 長軸在 軸上的橢圓 : ( c) (c) = a 1. 移項 PF 1 =a PF 左右型 :. 取平方, 移項 3. 取平方再整理 a b,(a > b > 0,a = b c ) 中心點為原點, 長軸在 軸上的橢圓 : ( c) ( c) = a 1. 移項 PF 1 =a PF 上下型 :. 取平方, 移項 3. 取平方再整理 b a,(a > b > 0,a = b c ) 橢圓的平移與伸縮 : F (h c,k) O (h,k) 1 (hc,k) F 1 (0,c) F 1 (h,k c) O (h,k) F ( c,0) O F 1 (c,0) 橢圓的標準式 : 平移 (h,k) 單位後, 可得 O F (0, c) 左右型 :Γ : ( h) a 上下型 :Γ : ( h) b F (h,k c) ( k) b ( k) a 將橢圓 a b 的圖形以原點為中心伸縮 r 倍, 可得橢圓 (ar) (br) 的圖形 O 順伯的窩 二次曲線 [ 第 10 頁 / 共 7 頁 ]
https://sites.google.com/site/hshmath 高中數學講義 11 圖 : 橢圓標準式及與圓的關係 表 3: 橢圓的幾何性質 橢圓方程式中心焦點坐標頂點坐標長軸方程式短軸方程式正焦弦長 左右型 : 上下型 : ( h) a ( h) b ( k) b (h,k) (h±c,k) (h±a,k),(h,k ±b) k = 0 h = 0 b a ( k) a (h,k) (h,k ±c) (h,k ±a),(h±b,k) h = 0 k = 0 b a 橢圓的參數式 : ( h) a 角 ( k) b = hacosθ = k bsinθ, 0 θ < π ; 此 θ 夾角非 OP 的水平夾 若橢圓上一點 P(acosθ,bsinθ) 則 OP 與水平軸夾角 α tanα = a b tanθ ( h) 若 ( k) = hbcosθ b a, 0 θ < π = k asinθ 焦半徑 PF : ( 以太陽為焦點的行星橢圓軌道的遠日點及近日點 ) ma PF = ac ;min PF = a c 最短焦弦長就是正焦弦長 = b a 橢圓內接正方形面積為 a b a b ; 內接矩形最大面積為 ab, 周長為 a b 橢圓與直線的關係 : 順伯的窩 二次曲線 [ 第 11 頁 / 共 7 頁 ]
1 高中數學講義 橢圓 1. 不相交 ( 聯立方程式無解, 代入消去法, 為一元二次方程式 ; < 0). 恰一交點 ( 相切 : 代入消去法, 為一元二次方程式 ; = 0) 3. 兩交點 ( 聯立方程式為兩解, 代入消去法, 為一元二次方程式 ; > 0) 例題 範例 1: 求橢圓 16 1 的頂點, 焦點坐標 正焦弦長 焦距及對稱軸方程式? ( 解 :) 長軸頂點 V(±3,0), 短軸頂點 V (0,±1), 焦點 F(±,0), 正焦弦長 = 0, = 0 3, 焦距, 對稱軸 求橢圓 5 的頂點, 焦點坐標 正焦弦長及對稱軸方程式? ( 解 :) 長軸頂點 (0,5),(0, 5), 短軸頂點 (3,0),( 3,0), 焦點 (0,),(0, ), 正焦弦長 0, = 0 18 5, 對稱軸 = 演練 1a : 求橢圓 = 36 的中心, 頂點, 焦點坐標 正焦弦長及對稱軸方程式? ( 解 :) 中心 C(0,0), 長軸頂點 V(±3,0), 短軸頂點 V (0,±), 焦點 F(± 5,0), 正焦弦長 8 3, 對稱軸 : = 0, = 0 () 演練 1b : 求橢圓 ( 3) 的中心, 頂點, 焦點坐標 正焦弦長及對稱軸方程式? 5 ( 解 :) 中心 (,3), 長軸頂點 (,8),(, ), 短軸頂點 ( 7,3),( 1,3), 焦點 (, 7),(, 1), 18 正焦弦長 5, 對稱軸 : = 0, 3 = 0 演練 1c : 求橢圓 036 100 = 0 的中心 頂點 焦點坐標 焦距與長短軸半徑長? ( 解 :) 中心 (5, ), 長軸頂點 (5 ± 3, ), 短軸頂點 (5, ± ), 焦點 (5 ± 5, ), 焦距 5,a = 3,b = 演練 1d : 求橢圓 16 3 36 = 0 的中心 頂點 焦點坐標 焦距與長短軸半徑長? ( 解 :) 中心 C( 1,), 長軸頂點 V( 1,6),( 1, ), 短軸頂點 ( 1±3,), 焦點 ( 1,± 7), 焦距 7,a =,b = 3 範例 : 求焦點為 (,0),(,0), 長軸長為 10 的橢圓方程式? 5 求方程式 ( 1) ( ) ( 1) ( ) = 6 圖形的中心 頂點 焦點坐標 焦距與長短軸半徑長? ( 解 :) 中心 C(1,0), 長軸頂點 V(1±3,0), 短軸頂點 (1,± 5), 焦點 (1±,0), 焦距,a = 3,b = 5 演練 a : 一橢圓以 (0,0) 為中心, 軸為其一對稱軸且經過點 (,0),(1, 3 ), 求此橢圓方程式? 3 演練 b : 一橢圓以 (, 3) 為中心, 長軸平行 軸且長為 8, 短軸長為, 求此橢圓方程式? () ( 3) 1 16 順伯的窩 二次曲線 [ 第 1 頁 / 共 7 頁 ]
https://sites.google.com/site/hshmath 高中數學講義 13 演練 c : 已知橢圓的兩頂點 (1,3),(11,3) 且經過點 (6,0),(6,6), 求此橢圓方程式? ( 6) 5 演練 d : 橢圓以 (, ) 為中心, 長軸一頂點 (8, ), 短軸一頂點 (, 7), 求此橢圓方程式? 並求此橢圓焦點坐標? ( ) ( ) ;(7, ),( 3, ) 36 演練 e : 橢圓的兩焦點 (1,0),( 1,0), 長軸半徑 a =, 求此橢圓方程式? 演練 f : 已知橢圓的中心 (, 7) 且與兩坐標軸均相切, 求此橢圓方程式? 演練 g : 已知橢圓的兩頂點 (7,3),( 3,3) 及焦點 (6,3), 求此橢圓方程式? 16 15 ( ) 16 ( ) 5 ( 3) ( 7) ( 3) 範例 3: 求橢圓 5 上一點 P 與兩焦點 F,F 所形成的 PFF 的最大面積? 演練 3a : 從橢圓 Γ 的兩焦點分別作垂直於長軸的直線, 交橢圓於四點 已知連此四點得一個邊長為 的正方形, 1 5 則 Γ 的長軸長為? 演練 3b : 一拱橋橫跨於寬為 0 公尺的河流上, 若橫跨橋墩為半橢圓造型, 已知半橢圓拱橋的頂點 ( 橋面中央點 ) 離河面 6 公尺, 求離河岸 公尺的河面距離橢圓拱橋的高多少公尺? 演練 3c : 一半橢圓形隧道 ( 如圖 ), 最寬處為 60 呎, 縱高 0 呎, 求離隧道邊 1 呎處路面的高為多少呎? 1 36 10 3 0 ft 60 ft 0 m 10 ft 6 m 100 ft? 50 ft 演練 3d : 一半橢圓形拱橋 ( 如圖 ), 河面寬為 0 公尺, 中央河面離拱橋高 6 公尺, 求離岸邊 5 公尺處河面離拱橋 3 3 高為多少公尺? 演練 3e : 一運動場地為橢圓形 ( 如圖 ) 最長處為 100 呎, 最寬處為 50 呎, 求離最長處端點 10 呎處的寬為多少呎? 30 範例 : 求直線 1 = 0 被橢圓 16 所截出的線段長? { 演練 a : 求兩橢圓 7 的相交點坐標? = 演練 b : 求直線 = 0 與橢圓 16 相交所截出的線段長? 演練 c : 求直線 = 1 與橢圓 1 交點個數? 17 5 (,±3),(,±3) 10 個 ;(1,3),( 5 3, 7 3 ) 範例 5: 1. 求橢圓 上一點 P 與直線 L : 15 = 0 的最短距離? 順伯的窩 二次曲線 [ 第 13 頁 / 共 7 頁 ] 5
1 高中數學講義橢圓 1. 已知坐標平面上一動點 P 到點 (1,0) 的距離等於它到直線 L : = 0 之距離的, 求動點 P 所形成的軌跡方程式? 3 演練 5a : 已知橢圓 = (3,) 與直線 L : 3 相切, 求切點坐標? 演練 5b : 求通過定點 A(,0), 且與圓 C : () = 6 相切之所有圓的圓心 P 所形成軌跡方程式? ( 解 :) 橢圓 ;PAPO = 8; 16 1 演練 5c : 一梯長 呎斜靠在一垂直牆面上, 現梯子上距梯腳與梯子頂端為 1 : 的一點 P, 若梯子滑動時梯腳沿著地面滑動, 梯腳另一端沿著牆面滑動 ( 如圖 ), 求當梯子滑動時 P 點軌跡在何種曲線圖形上? b a c a 36 習題 1- 橢圓 1. 求滿足下列條件的橢圓方程式? (a) 中心為 (3,5), 長軸平行 軸且長為 1, 短軸長為 8 (b) 長軸上的頂點為 (0,1),(0,1), 焦點為 (0,),(0,0) (c) 中心為原點, 軸為坐標軸, 且過 (,3),( 1,) 兩點 (d) 兩焦點為 (3,1),( 1,1), 長軸長為 5 的橢圓?. 求橢圓 16 13 = 0 的頂點與焦點坐標? 3. 求橢圓 8 = 0 的中心 長短軸的頂點與焦點坐標?. 求與 3 10 有相同的焦點且長軸長為 10 的橢圓方程式? 5. 已知橢圓的中心 (1,) 且長軸平行 軸, 經過點 (1,),(5,), 求此橢圓方程式? 6. 已知橢圓的中心 (1, 1) 及一焦點 (1, 1 5 5), 且焦距與長軸半徑比值為 3, 求此橢圓方程式? 7. 已知橢圓長軸上兩頂點 ( 11,5),(7,5) 且短軸兩頂點 (,),(,1), 求此橢圓方程式? 8. 關於橢圓 Γ : ( 1) ( ) (1) ( ) = 6, 下列何者為真? (1) (0,0) 是 Γ 的中心 () (1,),( 1, ) 為 Γ 的焦點 (3) Γ 的短軸為 () Γ 對稱於直線 = (5) Γ 對稱於 (1,),( 1, ) 兩點的連線 順伯的窩 二次曲線 [ 第 1 頁 / 共 7 頁 ]
https://sites.google.com/site/hshmath 高中數學講義 15. 一半橢圓形隧道 ( 如圖 ), 最寬處為 30 呎, 縱高 10 呎, 求離隧道中央 1 呎處路面的高為多少呎? 30 10 10. 火星繞太陽的軌道是以太陽為焦點的橢圓, 而且火星軌道上之近日點與遠日點和太陽的距離比為 5 : 6, 求橢圓軌道之長短軸比? 11. 點 P 在橢圓 Γ : 5 36 上, 且 P 到一焦點 F 1 的距離為 7, 則點 P 到另一焦點 F 的距離為何? 1. 求直線 與橢圓 = 6 交點個數? 13. 求過點 P(10,5) 至橢圓 : 80 之切線方程式有兩條, 試求兩切點坐標及兩切線方程式? 1. 一動點 P 到 ( 3,0) 的距離等於它到直線 6 = 0 的距離一半, 求動點 P 所成圖形的方程式? 15. 設圓 C 過點 B( 1,0) 且與圓 C : (1) ( ) = 相切, 又圓 C 的圓心 P 所形成的圖形為何? 其方程式為何? 16. 已知三角形 ABC 的周長為 16 且 B,C 為兩定點, 其 BC = 6, 求頂點 A 的軌跡方程式? 17. 將橢圓 Γ : 16 以原點為中心伸縮 3 倍, 所得的新圖形 Γ 1 方程式為何? 若將 Γ 上每一點沿 方向伸縮 倍, 沿 方向伸縮 3 倍, 所得的新圖形 Γ 方程式為何? 習題 1-1a. ( 3) 36 1b. ( 11) 1 100 1c. 55 7 55 3 1d. ( 1) 5 ( 5) 16 ( 1) 1. 頂點 ( 3, 1),( 1, 1), (,1),(,3); 焦點 (, 1 3),(, 1 3). 18 5 5. 6. 7. ( 1) 16 ( 1) () 81 8. 1,,3,5. 6 ( ) ( 1) ( 5) 5 1. 個 ;(, 1),( 3, 5 3 ) 13. (1,3),(6,6); = 15, = 30 1. 7 15. 橢圓 16. (1) 5/ (1) / 5 16 3. 中心 (1, ), 頂點 (1, ± ),(1±1, ), 焦點 (1, ± 3) 10. 11 : 10 11. 5 17. Γ 1 : 81 1 ; 圓 Γ : 1.3 雙曲線 雙曲線的定義 : 平面上動點 P 到兩定點 F 1,F 之距離差的絕對值為定值 a, 即 PF PF = a; (a < FF = c) 則 P 點所形成的軌跡稱為雙曲線 兩定點 F 1,F 稱為雙曲線的焦點, 線段 F 1 F 的中點稱為 順伯的窩 二次曲線 [ 第 15 頁 / 共 7 頁 ]
16 高中數學講義雙曲線 此雙曲線的中心 雙曲線的數學式 : ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) = a a < FF = c,p 點軌跡為 : 雙曲線若 a = FF = c,p 點軌跡為 : 兩射線 a > FF = c,p 點軌跡為 : 雙曲線的各要素 : 雙曲線上任一點 P 與兩焦點的線段 PF 1,PF 稱為 P 的焦半徑 過兩焦點的直線為雙曲線的貫軸線 過中心點且與貫軸垂直的直線稱為雙曲線的共軛軸線 貫軸與雙曲線的交點稱為雙曲線的頂點 雙曲線的方程式 : c = a b ; a,b 無絕對大小關係 中心點為原點, 貫軸在 軸上 : ( c) (c) = a 1. 去絕對值, 移項 PF 1 =PF ±a 左右型 :. 取平方, 移項 3. 再取平方, 整理 a b, (c = a b ) 中心點為原點, 貫軸在 軸上 : ( c) ( c) = a 1. 去絕對值, 移項 PF 1 =PF ±a 上下型 :. 取平方, 移項 3. 再取平方, 整理 b a = 1, (c = a b ) Transverse ais (h, k) F Transverse ais F 1 V 1 V F (h, k) V V 1 F 1 ( h) ( k) (a) 1 a b ( k) ( h) (b) 1 a b 漸近線的意義 : 當雙曲線上的動點 P(,) 逐漸遠離中心點時, 點 P 就逐漸趨近直線 L 1 : = b a 或 L : = b a 也就是說雙曲線向四個象限往外伸展時, 雙曲線與此兩條直線就會任意的接近 ( 不相交 ) 亦即 L 1,L 為此雙曲線的漸近線則雙曲線上任意一點 P(,) 會滿足 d(p,l 1 ) d(p,l ) = k, 其中 k = a b a b 為定值 雙曲線的平移與伸縮 : 順伯的窩 二次曲線 [ 第 16 頁 / 共 7 頁 ]
https://sites.google.com/site/hshmath 高中數學講義 17 O (h,k) Γ Γ O (h,k) Γ Γ 漸近線 Γ Γ Γ O O O 將雙曲線 a b 的圖形以原點為中心伸縮 r 倍, 可得雙曲線 (ar) (br) 的圖形 將雙曲線 a b 的圖形以原點為中心伸縮 r 倍, 可得雙曲線 (ar) (br) 的圖形 左右型 : ( h) 雙曲線的標準式 : 曲線平移 (h,k) 單位後, 可得 a ( k) 上下型 : a 雙曲線的伸縮 ( k) b ( h) b c = a b ;a,b 無絕對大小關係, 正焦弦長為 b a, 最短焦弦長就是正焦弦長 漸近線 表 : 雙曲線的幾何性質 ( h) a ( k) a 雙曲線方程式中心焦點 F,F 坐標頂點 V 1,V 坐標貫軸 T 方程式共軛軸方程式漸近線 L 1,L 左右型 : ( k) b (h,k) (h±c,k) (h±a,k) k = 0 h = 0 b( h)±a( k) = 0 上下型 : ( h) b (h,k) (h,k ±c) (h,k ±a) h = 0 k = 0 b( k)±a( h) = 0 雙曲線方程式與漸近線 : 雙曲線上點 P(,) 到兩漸近線 L 1 : a 1 b 1 c 1 = 0,L : a b c = 0 的距離乘積為一常數故 Γ : (a 1 b 1 c 1 ) (a b c ) = K 等軸雙曲線 : 貫軸與共軛軸長相等的雙曲線 此時兩漸近線互相垂直 Γ : ( h) ( k) 共軛雙曲線 : a b 互為共軛雙曲線 Γ ( k) : b ( h) a 順伯的窩 二次曲線 [ 第 17 頁 / 共 7 頁 ]
18 高中數學講義雙曲線 Γ 漸近線 Γ (h,k) Γ 與 Γ 為共軛雙曲線 1. 雙曲線 Γ 之貫軸是 Γ 的共軛軸 Γ 之共軛軸是 Γ 的貫軸. 有共同的中心點 (h,k) 及漸近線 b( h)±a( k) = 0 3. Γ,Γ 之四個焦點共圓 ( 圓心為對稱中心 ) 雙曲線的參數式 : ( h) ( k) a b { = hasecθ, 0 θ < π = k btanθ 雙曲線與直線的關係 : 1. 不相交 ( 聯立方程式無解, 代入消去法, 為一元二次方程式 ; < 0). 恰一交點 ( 代入消去法, 為一元二次方程式 ; = 0 相切 : 此直線不與漸近線平行 交一點未必是切線 ) 3. 兩交點 ( 聯立方程式為兩解, 代入消去法, 為一元二次方程式 ; > 0) 由直線斜率來判斷與雙曲線的關係 : 1. 過中心點的直線且斜率介於兩漸近線之間與雙曲線交兩點或不相交. 與漸近線平行的直線和雙曲線必相交一點 3. 點 P(,) 到兩直線距離乘積若為一定值 a b a b, 則點 P 軌跡是以此兩直線為漸近線的雙曲線 順伯的窩 二次曲線 [ 第 18 頁 / 共 7 頁 ]
https://sites.google.com/site/hshmath 高中數學講義 1 例題 範例 1: 求雙曲線 Γ : 16 的中心 頂點 焦點坐標 漸近線方程式 貫軸 共軛軸長及正焦弦長? ( 解 :) 中心 (0,0), 頂點 (0±,0), 焦點 (0±5,0), 漸近線 3± = 0, 貫軸長 8, 共軛軸長 6, 正焦弦長 求雙曲線 Γ : ( 1) 焦弦長? ( ) = 1 的中心 頂點 焦點坐標 漸近線方程式 貫軸 共軛軸長及正 ( 解 :) 中心 (1,), 頂點 (1,),(1,0), 焦點 (1, 13),(1, 13), 漸近線 3 = 0,3 8 = 0, 貫軸長, 共軛軸長 6, 正焦弦長 演練 1a : 求雙曲線 16 = 1 的中心 頂點 焦點坐標 漸近線方程式與貫軸 共軛軸長? ( 解 :) 中心 (0,0), 頂點 (0,0±3), 焦點 (0,0±5), 漸近線 3± = 0, 貫軸長 6, 共軛軸長 8 演練 1b : 求雙曲線 短焦弦長? ( ) 36 ( ) 5 的中心 頂點 焦點坐標 漸近線方程式 貫軸 共軛軸長及最 ( 解 :) 中心 (, ), 頂點 (,),(, 10), 焦點 (, ± 61), 漸近線 5()±6( ) = 0, 貫軸長 1, 共軛軸長 10, 最短焦弦長 5 3 演練 1c : 求雙曲線 5 0 55 = 0 的中心 頂點 焦點坐標 漸近線方程式 貫軸 共軛軸長及正焦弦長? ( 解 :) 中心 (3, 5), 頂點 (3±, 5), 焦點 (3± 13, 5), 漸近線 3( 3)±( 5) = 0, 貫軸長, 共軛軸長 6, 正焦弦長 演練 1d : 已知雙曲線的中心 (1, ) 及貫軸長 10 且平行 軸, 共軛軸長 求此雙曲線方程式? ( 1) ( ) 5 範例 : 已知一雙曲線的兩焦點為 (,),(,), 貫軸長為, 求此雙曲線的方程式? (1) ( ) 5 演練 a : 已知雙曲線的中心 (3,7), 一頂點 (3,3) 及一焦點 (3,), 求此雙曲線方程式? ( 3) ( 7) = 1 16 演練 b : 已知雙曲線的兩頂點 (3,),(3,0) 及共軛軸長 6, 求此雙曲線方程式? ( 3) ( ) = 1 36 演練 c : 已知雙曲線的兩焦點 ( 3,1),(7,1) 及貫軸長 8, 求此雙曲線方程式? ( ) ( 1) 16 演練 d : 等軸雙曲線的兩焦點 (0,6),(0, 6), 求此雙曲線方程式? 演練 e : 雙曲線的兩焦點為 (0, 5),(0,5), 共軛軸長為 6, 求此雙曲線的方程式? 18 18 16 = 1 順伯的窩 二次曲線 [ 第 1 頁 / 共 7 頁 ]
0 高中數學講義雙曲線 演練 f : 雙曲線的兩頂點為 (3,),(13,), 其共軛雙曲線的兩頂點為 (8,),(8,0), 求此雙曲線的方程式? 範例 3: 雙曲線方程式與漸近線 : ( 8) 5 ( 1. 若雙曲線與 5 16 有相同漸近線, 且通過點 (5,8), 求其方程式? 並求此雙曲線上點 P 到兩漸近線的距離乘積? ( 解 :) 75 8 = 1;d(P,L 1)d(P,L ) = a b 00 a b 1. 求漸近線為 =, =, 且通過點 (3,8) 的雙曲線方程式? 並求焦點到一漸近線的距離? ( 解 :) 8 7 ;d(f,l) = b = 7 演練 3a : 已知雙曲線的中心 (,) 及一頂點 (,5), 及一漸近線 3 =, 求此雙曲線方程式? ( ) ( ) = 1 16 演練 3b : 已知雙曲線兩頂點 (0,3)(0, 3), 及兩漸近線 =, =, 求此雙曲線方程式? 演練 3c : 已知雙曲線一頂點 (0, ), 及兩漸近線 =, =, 求此雙曲線方程式? 16 16 演練 3d : 已知雙曲線貫軸平行 軸, 及兩漸近線 3 7 = 0,3 5 = 0, 且通過點 (,), 求此雙 ( ) ( 1) 曲線方程式? 3 7 演練 3e : 求雙曲線 516 7 = 0 的漸近線? 並求右支葉雙曲線焦點到其中之一漸近線的距離? 3 15 = 0,3 5 = 0;d(F,L) = b = 6 範例 : 由雙曲線的定義解問題 : 1. 求雙曲線 Γ : ( ) () = 的 (A) 焦點 (B) 中心 (C) 貫軸長與共軛軸長 (D) 漸近線方程式 ( 解 :)(A) (,0),(,0) (B)(0,0) (C) a =,b = 3 (D) 3 = 0, 3 = 0. 已知點 P 在以 F 1 (8,0) 與 F (,0) 為焦點的雙曲線上, 且 PF 1 0,PF = 6, 則下列有關此雙曲線的敘述哪些是正確的?(1) 中心為 (5,0) () 貫軸長為 (3) 共軛軸長為 5 () 點 P 在 1,,3,,5 雙曲線的左支 (5) 兩頂點的距離為 3. 一動點 P 到點 (1,0) 的距離等於它到直線 L : = 0 的距離的 倍, 求動點 P 所成圖形的方程 ( 5) 式? 1 演練 a : 求通過定點 A(6,0), 且與圓 C : 6 相切之所有圓的圓心 P 所形成的軌跡方程式? 順伯的窩 二次曲線 [ 第 0 頁 / 共 7 頁 ]
https://sites.google.com/site/hshmath 高中數學講義 1 ( 解 :) 雙曲線 ; PA PO = ; ( 3) 5 演練 b : 直線海岸上相距 00 哩的兩觀測站 A,B 若海面上遠方一漁船始終保持與兩觀測站距離差 100 哩往海岸行駛, 750 哩 1. 經一段時間發現漁船在 B 觀測站正前方海面上, 求此時漁船與 B 的距離? 150 哩. 若漁船案此路徑往海岸靠岸時與較近的觀測站距離為多少公尺? ( 解 :) 行駛軌跡 500 37500 ;a = 50,b = 50 15,c = 00 m 演練 c : 美術館有一古代石柱建築, 剖面圖為雙曲線 ( 如圖 ), 若石柱中間 ( 頸部 ) 為最夾窄處, 其平面圖可用方 程式 0.5 表示之 已知柱高為 公尺, 求石柱最粗的直徑為多少公尺? 演練 d : 有一雙曲線造型的冷卻塔, 其最狹窄的頸部直徑為 8 公尺, 離基底座高 5 公尺, 且基底的直徑為 8 10 8 5 公尺, 若此冷卻塔高為 0 公尺, 求冷卻塔最高處的直徑為多少公尺? 範例 5: 討論雙曲線 = 與直線 L : = 1 的相交情形? 11 3 交兩點 ( 1,0),(3,) 演練 5a : 一架飛機飛航路徑為雙曲線, 若飛航路線用方程式 = 8 表示, 城市坐標為 (3,0), 求此飛機 Miles (, ) 與城市的最近距離為多少哩? 7; = 3 mi Station Station 1 演練 5b : 東西方向的直線海岸上相距 00 哩的兩雷達站, 東方海面上一船始終保持與海岸線相距 80 哩, 由東往 西直線行駛, 此船向兩雷達站傳訊息, 測得與兩雷達站距離相差 160 哩, 求此船與東邊的雷達站位置 為何? 100 東 3 哩, 北 80 哩海面上 順伯的窩 二次曲線 [ 第 1 頁 / 共 7 頁 ]
高中數學講義雙曲線 演練 5c : 求直線 = 3 與雙曲線 = 的相交情形? 演練 5d : 求直線 = 與雙曲線 圓錐曲線綜合題 36 的相交情形? ( 3,0),(5,) 不相交 範例 6: 試判別下列方程式所表示的圖形 : 1. 1 = 0. = 0 3. 7 = 0. 5 8 5 = 0 5. 3 3 = 0 圓 雙曲線 橢圓 一點 兩相交直線 演練 6a : 平面上兩點 F 1,F 滿足 F 1 F =, 設 d 為一實數 令 Γ 表平面上滿足 PF 1 PF = d 的所有 P 點所成的圖形, 又令 C 為平面上以 F 1 為圓心,6 為半徑的圓, 請問下列哪些選項是正確的? (1) 當 d = 0 時, Γ 為直線 () 當 d 時, Γ 為雙曲線 (3) 當 d = 時, Γ 與圓 C 交於兩點 () 當 1,,5 d = 時, Γ 與圓 C 交於四點 (5) 當 d = 8 時, Γ 不存在 演練 6b : 坐標平面上考慮兩點 Q 1 (1,0),Q ( 1,0), 在下列各方程式的圖形中, 請選出其上至少有一點 P 滿 足內積 PQ 1 PQ < 0 的選項? (1) () = 1 (3) () (5) 1,3, 演練 6c : 判別下列方程式所表示的圖形 : 1. = 1. 6 6 = 0 3. 5 150 = 0. 16 = 6 5. = 6. 16 = 1 演練 6d : 判別符合下列條件的軌跡圖形 : 1. ( 1) ( ) = 3 5 5. ( 1) ( ) = [(1) ( ) ] 3. ( 1) ( ) ( 1) ( ) = 6. ( 1) ( ) ( 1) ( ) = 拋物線 圓 圓 橢圓 拋物線 雙曲線 拋物線 圓 橢圓 線段 順伯的窩 二次曲線 [ 第 頁 / 共 7 頁 ]
https://sites.google.com/site/hshmath 高中數學講義 3 5. ( 1) ( ) ( 1) ( ) = 6. ( 1) ( ) ( 1) ( ) = 演練 6e : 依下列圖形回答問題 : 兩射線 雙曲線一支 17 16 15 1 13 1 11 10 8 7 6 5 3 1 0 1 1 3 5 6 7 8 3 5 1 11 10 1 13 1 15 1 15 13 1 11 10 6 7 7 6 5 3 1 15 13 1 1 3 5 6 1 13 15 1 7 8 10 11 1 8 7 6 5 3 1 1110 1. 左圖 : 曲線上的點為以 (0,) 為圓心半徑為 r 的同心圓 C r 與水平線 = k 的交點, 問圖中的交點為何種軌跡圖形? 拋物線 ; ( 0) ( ) = 0 ;c i. 觀察水平線 = 0 與同心圓 C 的交點, 與同心圓 C 3 的兩交點及 = 與同心圓 C 的兩交點, 這幾個交點會在何種曲線圖形上? 拋物線 ; ( 0) ( ) = ;c =. 圖中 : 曲線上的點為以 O 為圓心, 半徑為 r 的同心圓 C r 與以 O 為圓心, 半徑為 r 的同心圓橢圓 ;a 3,c 0 C r 的相交點, 問圖中的交點為何種軌跡圖形? 長軸長? 焦距? i. 觀察同心圓 C 8 與同心圓 C 6 的兩交點,C 與 C 5 的兩交點及 C 10 與 C 的兩交點, 這幾橢圓 ;a,c 0 個交點會在何種曲線圖形上? 長軸長? 焦距? ii. 觀察同心圓 C r 與同心圓 C r 的是否有交點, 其中 r r =, 說明其原因? 無 ;PO PO = < OO 0 3. 圖右 : 曲線上的點為以 O 為圓心, 半徑為 r 的同心圓 C r 與以 O 為圓心, 半徑為 r 的同心圓雙曲線 ;a = 7,c 0 C r 的相交點, 問圖中的交點為何種軌跡圖形? 長軸長? 焦距? i. 觀察同心圓 C 與同心圓 C 3 的兩交點,C 10 與 C 的兩交點及 C 11 與 C 5 的兩交點, 這幾雙曲線 ;a = 6,c 0 個交點會在何種曲線圖形上? 長軸長? 焦距? 演練 6f : 依下列圖形回答問題 : ii. 觀察同心圓 C r 與同心圓 C r 的是否有交點, 其中 r r 1, 說明其原因? 無 ; PO PO 1 > OO 0 1. 一弦長 a 兩端固定於 F 和 A 點, 其中 P,A 之間的弦繃緊緊靠 T 型木板丁字尺, A 為固定於丁字尺的一端, 丁字尺另一端沿直桿 L 滑動 ; 當丁字尺滑動時在 P 點為 T 形木板滑動到右邊的鉛筆所描繪出的曲線 問 : 動點 P 的軌跡圖形為何? 若 L 為 軸, 且 PF//L 時 PF =, 拋物線 ; = 8 則 P 點圖形 Γ 為哪一方程式的部分圖形? 順伯的窩 二次曲線 [ 第 3 頁 / 共 7 頁 ]
高中數學講義雙曲線 F A P a A P L Pivot point F 1 F. 圖中 : 比木條桿短的弦長兩端為定點, 且 A 在木桿的另一端 P 點為 F 和 A 之間的可動點且與 A 點間的弦繃緊緊靠木桿, 然後木桿圍繞 F 1 為樞紐逆時針旋轉 若已知木條長為 10,F 和 A 為兩端點的弦長為 6, 當木條桿平放時 PF, 問 : 動點 P 的軌跡圖形為何? 若 F 和 F 1 雙曲線 ; 在 軸上且兩點的中點為原點, 則 P 點圖形 Γ 為哪一方程式的部分圖形? 5 演練 6g : 設圓之方程式為 =, 直線方程式 L : = (1) 試求與直線相切且與圓外切的圓圓心 P 軌跡方程式? ( 解 :)PO = d(p,l); ( 3) () 試求與直線相切且與圓內切的圓圓心 P 軌跡方程式? ( 解 :)PO = d(p,l); = ( 1) 演練 6h : 設兩圓 C 1 : ( 1),C : (1) 6, 今有一動圓與 C 1 外切 且與 C 相切, 求此動圓圓心 P 之軌跡方程式? ( 解 :) PO 1 PO = r r 1 = 5; 5 1 演練 6i : 設兩圓 C 1 : ( ),C : () =, 則與兩圓之一內切且與另一圓外切之圓的圓心 P 軌跡方程式為何? ( 解 :) PO 1 PO = 3; 7 範例 7: 圓錐曲線綜合題 : 1. 下列圓錐曲線何者未對稱 軸? (1) 3 = 0 () 1 = 0 (3) 6 6 = 0 () 1,,3 3 = 0. 由圖形判別圓 6 與拋物線 = 的交點個數? 3. 由圖形判別圓 3 與橢圓 = 5 的交點個數?. 由圖形判別圓 與雙曲線 3 的交點個數? 5. 當 為下列何值時, 會使得 8 的值為最大?(1) ()π (3)log 10() 個 個 ;(3,±),( 3,±) 不相交 演練 7a : 美國聖路易斯大拱門是一個不銹鋼鏈, 為紀念美國西進運動而設立, 位於密西西比河河畔, 是世界上最高的拱形建築, 西半球最高的紀念碑式建築 大拱門高 630 英呎, 基底寬 630 英尺 有人說此大拱門的拱形為拋物線的形狀, 為驗證此說是否正確, 我們將大拱門建立平面坐標, 發現若將頂端視為拋物線頂點, 測得在頂端下方 360 英尺的拱門寬為 50 英呎, 依此可建立拋物線拱門的模型方程式, 因此若大拱 順伯的窩 二次曲線 [ 第 頁 / 共 7 頁 ]
https://sites.google.com/site/hshmath 高中數學講義 5 門為拋物線形其底部的寬應為? 英尺 你認為大拱門不銹鋼鏈的形狀為拋物線嗎? 70 7; 不全為拋物線形 演練 7b : 汽車的頭燈燈具造型為拋物線的旋轉體, 利用燈泡在焦點處發光, 反射至拋物線形燈具將反射光投射 出前方 ( 如圖 ) 已知此燈具寬 1 吋, 深 8 吋, 求此燈具焦點離頂點多遠? 8 吋 1 in. 8 in. 演練 7c : 橢圓的輔助圓 (ancillar circle) 圓心為橢圓的中心, 半徑為橢圓短軸半徑 ( 如圖 ) 此圓亦為橢圓的最大內接圓 若橢圓 Γ : 6, 求此橢圓的輔助圓圓 C 方程式? 已知點 (s,t) 在圓 C 上, 證明 : 點 (s,t) 在橢圓 Γ 上? = ancillar circle ellipse 演練 7d : 森林火災受風的影響, 有人用兩個半橢圓形來預測火災區域 ( 如圖 : 引自 Predicting Wind-Driven Wild Land Fire Size and Shape, Hal E. Anderson, Research Paper INT-305,U.S. Department of Agriculture, Forest Service, Februar 183) 若兩半橢圓形逆風處較小區域方程式 10000 表示, 順風處區域用 50000 10000 表示之, 求火場的長與寬有多少碼? North (, ) 0000 700;00 (0, 0) ards Wind direction ards B ( 60, 0) ( a, o) (a, o) 1 mile 580 feet East A (60, 0) 演練 7e : A B 兩人相距 580 呎, 設 B 在 A 的正西方, 已知一閃電打雷發生在 A 的正北方, 當 A 聽到雷聲後 1 秒 B 才聽到雷聲, 求此次雷擊處距 A 多遠?( 聲音速度為每秒 1100 呎 ) 11 呎 = b a ; 550 6667100 演練 7f : 求直線 = 5 與圓 = 50 的交點個數? 演練 7g : 求直線 = 3 與拋物線 = 的交點個數? 個 ;( 1,7),(5, 5) 個 ;( 1,),( 3, ) 順伯的窩 二次曲線 [ 第 5 頁 / 共 7 頁 ]
6 高中數學講義雙曲線 演練 7h : 求圓 6 與拋物線 = 5 的交點個數? 不相交 演練 7i : 求拋物線 = 1 與雙曲線 3 = 11 的相交點個數? 個 ;(1,),( 1,) 演練 7j : 求拋物線 = 0 與橢圓 5 的交點個數? 個 ;(± 3,3) 演練 7k : 求橢圓 5 = 與雙曲線 3 = 1 的相交點個數? 個 ;(1,),(1, ),( 1,),( 1, ) 演練 7l : 求橢圓 5 = 5 與圓 5 的相交點個數? { 3 演練 7m : 求橢圓與雙曲線 = 76 的相交點坐標? = 演練 7n : 由圖形判別圓 6 與拋物線 = 的交點個數? 3 個 (5,±1),( 5,±1) 3 個 習題 1-3 雙曲線 1. 求滿足下列條件的雙曲線方程式? (a) 頂點為 (,0),(,0), 焦點為 (6,0),( 6,0) (b) 中心為原點, 一個焦點為 (0, 13), 一個頂點為 (0,1) (c) 一焦點為 (3,8), 共軛軸在 = 3 上, 且共軛軸長為 8 (d) 中心為 (3,), 貫軸半徑 3, 且平行 X 軸, 其共軛軸半徑. 求雙曲線 1 3 30 111 = 0 的中心 頂點 焦點坐標 貫軸 共軛軸方程式與漸近線方程式? 3. 求雙曲線 6 5 0 6 = 0 的中心 頂點 焦點坐標 貫軸 共軛軸方程式與漸近線斜率?. 求雙曲線 6 0 的中心 頂點 焦點坐標 漸近線方程式與貫軸 共軛軸長? 5. 已知雙曲線的兩頂點 (±5,0), 及兩漸近線 = ±, 求此雙曲線方程式? 6. 雙曲線 Γ : ( 5) (5) = 8 求 (A) 焦點 (B) 中心 (C) 貫軸長與共軛軸長 (D) 對稱軸方程式 7. P 為雙曲線 Γ : 16 上的一點, 若 F 1,F 為此雙曲線上的兩焦點, 且 PF 1 : PF : 3 則 F 1 PF 的周長為何? 8. 求與雙曲線 Γ : 16 有相同漸近線, 且通過點 (8,3) 的雙曲線方程式?. 求漸近線為 3 = 0,3 1 = 0, 且通過點 (6,) 的雙曲線方程式? 10. 二次方程式 Γ : 16 36 56 = 0 為何種圖形? 並求其焦點坐標? 11. 判別方程式 5 100 115 = 0 的圖形? 1. 已知一雙曲線的漸近線為 5 3 = 0,53 = 0 並過點 (5, ), 試求此雙曲線方程式? 順伯的窩 二次曲線 [ 第 6 頁 / 共 7 頁 ]
https://sites.google.com/site/hshmath 高中數學講義 7 13. 已知雙曲線兩頂點 (5,0)( 5,0), 及兩漸近線 =, =, 求此雙曲線方程式? 1. 已知雙曲線的中心 ( 3,) 及一焦點 (,), 及一漸近線 3 6 = 0, 求此雙曲線方程式? 15. 求 1816 7 = 0 的正焦弦長? 16. 求雙曲線 136 = 0 的共軛雙曲線? 17. 雙曲線 Γ : = 81 中, 一焦點到某一條漸近線之距離為何? 18. 求過點 (3,0) 且與圓 (3) 6 相切之所有圓的圓心軌跡方程式? 1. 雙曲線 Γ : () ( 1) ( ) ( 3) = 6 求 (A) 焦點 (B) 中心 (C) 貫軸長與共軛軸長 (D) 正焦弦長 (E) 對稱軸方程式 0. 由圖形判別或求出下列圖形的交點個數? (a) 求直線 7 = 5 與圓 = 5 的交點個數? (b) 求兩橢圓 = 與 3 5 3 的交點個數? (c) 求圓 = 與拋物線 = 3 的交點個數? 1. 雙曲線造型的冷卻塔, 其最狹窄的頸部直徑為 0 公尺, 離基底座高 0 5 公尺, 且基底的直徑為 60 公尺, 若此冷卻塔最高處的直徑為 50 公尺, 求冷卻塔高為多少公尺? 習題 1-3 1a. 16 0 1b. 1c. 1d. 1 5 ( 3) 16 ( 3) ( 3) ( ) = 1. 中心 (0,5), 頂點 (± 3,5), 焦點 (± 15,5), 貫軸 : = 5, 共軛軸 : = 0, 漸近線 = ±5 3. 中心 (, ), 頂點 (, ± 6), 焦點 (, ± 11), 貫軸 : =, 共軛軸 : =, 漸近線 m = 6 5. 中心 ( 3,0), 頂點 ( 3,0 ± 1 3 ), 10 焦點 ( 3,0 ± ), 漸近線 (3)± = 0, 貫軸長 3, 共軛軸長 5. 5 100 6. (A) (5,0),( 5,0) (B) (0,0) (C) a = 8,b = 6 (D) 貫軸 : = 0, 共軛軸 : = 0 7. a =,b = 3,s = 6 8. Γ : 8 7. ( ) 16 ( ) 10. 雙曲線 ;(± 3, ) 11. 雙曲線 1. 13. 1. ( ) 5 5 (3) ( ) 5 ( ) 16 ] 15. 3 5 16. 136 = 0 17. 18. 5 1. (A) (,1),(, 3) (B) ( 1, 1) (C)6, (D) 8/3 (E) 35 = 0,3 1 = 0 0a. 個 ;(,3),(3,) 0b. 個 ;(1,± ),( 1,± ) 0c. 不相交 1. 300 5... 教用版附答案... 順伯的窩 - End - [ 第 7 頁 / 共 7 頁 ]