摘要 目標 : 記錄自己教學參考用的基本重點與補充重點, 還有課外知識. 目前的目標讀者 : 敝人 在下 小弟 不才 我自己 XD, 囧. 內容很少, 而且很不完整, 偶爾穿插出現少數的題目, 目前內容尚在慢慢增加中. L A TEX 語法練習中, 所以排版不甚好看, 請見諒. :p

瑋岳的數學筆記 編著 : 陳瑋岳 最後編譯時間 : August 8, 010

摘要 目標 : 記錄自己教學參考用的基本重點與補充重點, 還有課外知識. 目前的目標讀者 : 敝人 在下 小弟 不才 我自己 XD, 囧. 內容很少, 而且很不完整, 偶爾穿插出現少數的題目, 目前內容尚在慢慢增加中. L A TEX 語法練習中, 所以排版不甚好看, 請見諒. :p

目錄 1 預備知識 4 邏輯與集合 5.1 集合................................................. 5. 邏輯................................................. 8.3 函數................................................. 9 3 數與坐標系 11 3.1 整數................................................. 11 3.1.1 在課堂之外........................................ 16 3. 有理數與實數........................................... 17 3.3 平面坐標與直線方程式...................................... 19 3.4 複數與複數平面.......................................... 3 4 數列與級數 30 4.1 等差數列與等比數列, 等差級數與等比級數.......................... 30 4. 無窮等比級數........................................... 35 4.3 數學歸納法與遞迴關係...................................... 37 5 多項式 39 5.1 多項式的基本概念......................................... 39 5.1.1 在課堂之外........................................ 4 5. 餘式定理與因式定理....................................... 43 5.3 最高公因式與最低公倍式.................................... 44 5.4 多項函數.............................................. 45 5.5 多項方程式............................................. 47 5.6 多項不等式............................................. 49 6 指數與對數函數 5 6.1 指數................................................. 5 6. 指數函數及其圖形......................................... 54 6.3 對數................................................. 55 6.4 對數函數及其圖形......................................... 56 6.5 查表法與內插法.......................................... 58 6.5.1 課堂之外......................................... 59 7 三角函數 60 7.1 銳角三角函數........................................... 60 7. 三角函數的基本關係....................................... 6 7.3 簡易測量與三角函數值表.................................... 63 7.4 廣義角的三角函數......................................... 64 1

7.5 正弦定理與餘弦定理....................................... 67 7.5.1 在課堂之外........................................ 7 7.6 基本三角測量........................................... 73 7.7 三角函數的圖形.......................................... 73 7.8 和角公式.............................................. 78 7.9 倍角公式與半角公式....................................... 80 7.10 和差化積 積化和差........................................ 8 7.10.1 在課堂之外........................................ 84 7.11 正弦與餘弦函數的疊合...................................... 85 7.1 反三角函數............................................. 86 7.13 複數的極式............................................. 87 7.13.1 在課堂之外........................................ 90 8 平面向量 9 8.1 有向線段與向量.......................................... 9 8. 向量的基本應用.......................................... 94 8..1 在課堂之外........................................ 96 8.3 平面向量的坐標表示法...................................... 97 8.4 平面向量的內積.......................................... 98 9 空間向量與空間幾何 103 9.1 空間概念.............................................. 103 9. 空間坐標系............................................. 106 9.3 空間向量的坐標表示法...................................... 106 9.4 空間中的平面........................................... 108 9.5 空間中的直線........................................... 110 9.6 一次方程組 ( 與行列式 )...................................... 11 10 圓與球面 118 10.1 圓的方程式............................................. 118 10. 圓與直線的關係.......................................... 119 10.3 球面方程式............................................. 11 10.4 球面與平面的關係......................................... 11 11 圓錐曲線 1 11.1 圓錐截痕.............................................. 1 11. 拋物線................................................ 1 11..1 拋物線考古題....................................... 15 11.3 橢圓................................................. 16 11.4 雙曲線................................................ 16 11.5 圓錐曲線的切線與光學性質................................... 18 11.5.1 圓錐曲線的切線..................................... 18 11.5. 圓錐曲線的光學性質.................................. 19 1 排列組合 13 1.1 加法原理與乘法原理....................................... 13 1. 排列................................................. 13 1.3 組合................................................. 133 1.4 二項式定理............................................. 138 13 機率與統計一 140

14 機率與統計二 143 15 坐標的旋轉與平移 144 15.1 平移................................................. 144 15. 旋轉................................................. 144 15.3 二元二次方程式的平移與旋轉.................................. 145 16 矩陣 146 17 不等式 148 17.1 絕對不等式............................................. 148 17. 條件不等式............................................. 151 17.3 線性規劃.............................................. 151 18 微積分 153 19 線性代數 154 0 其他 155 3

第 1 章預備知識 要點 1.1 ( 數學名詞 ) 常見數學符號 : 所有 任意 或 且 包含於 包含 屬於 交集 聯集 存在! 存在且唯一, s.t. (such that) 使得 蘊含 imply 連加, 讀作 sigma 連乘, 讀作 pi 若且唯若若且唯若 當且僅當 充分且必要條件, 反之亦然 ( vise versa), 這些皆為同義詞. 要點 1. ( 乘法公式 ) (x + y + z) = x + y + z + (x y + yz + zx), (a 1 + a + + a n ) = (a1 + a + + a n) + a i a j 1 i<j n, x 3 + y 3 = (x + y) 3 3x y(x + y) = (x + y)(x x y + y ), x 3 y 3 = (x y) 3 3x y(x y) = (x y)(x + x y + y ), x 3 + y 3 + z 3 3x yz = (x + y + z)(x + y + z x y yz zx). 4

第 章邏輯與集合 待補上 : 文氏圖 合成函數. 集合.1 要點.1 ( 集合與元素 ) 集合 : 以 {...} 表示, 中間圍住特定物件, 在大括弧內的物件稱之為 元素. 集合通常以大寫字母表示, 元素通常以小寫字母表示, 並以 a S 表示 a 為集合 S 內的元素, 以 a S 表示 a 不為集合 S 內的元素, 集合內的元素不考慮排列順序及重複次數. 集合的表示法有 : 列舉法 描述法. 常用的集合 : N: 所有正整數所成的集合. Z: 所有整數所成的集合. Q: 所有有理數所成的集合. R: 所有實數所成的集合. C: 所有複數所成的集合. 5

要點. ( 區間 ) 設 a, b R, a b, 則定義 開區間 : 1. (a, b) = {x R a < x < b}. (, b) = {x R x < b}, 3. (a, ) = {x R a < x}. 閉區間 : [a, b] = {x R a x b}. 半開半閉區間 : 1. (a, b] = {x R a < x b},. [a, b) = {x R a x < b}, 3. (, b] = {x R x b}, 4. [a, ) = {x R a x}. 要點.3 ( 子集合 ) 子集 : 設 A, B 為兩集合, 且 A 中的任一元素都屬於 B, 則稱 A 為 B 的子集, 記作 A B 或 B A, 讀作 A 包含於 B 或 B 包含 A. 若存在有至少一元素 a A, 但 a B, 則 A 不是 B 的子集, 記作 A / B. 集合的相等 : 設 A, B 兩集合的元素完全相同 ( 不考慮元素的排列順序及重複次數 ), 則稱 A, B 為相等的集合, 記作 A = B. 此等價於 A B 且 B A. 空集合 : 不含任何元素的集合稱為空集合, 記作 ϕ 或 { }. 空集合為任何集合的子集合. 冪集合 : 集合 A 的所有子集所成集合稱為 A 的冪集合, 以 A 表之. 真子集 : 設 A, B 為兩集合,A B, 若存在有一元素 b B 且 b A, 則稱 A 為 B 的真子集, 記作 A B. 顯然子集 : 對任意集合 A, 顯然有 A A 且 ϕ A, 故 ϕ 與 A 稱為集合 A 的顯然子集. 6

要點.4 ( 集合的運算 ) 交集 :A B = {x x A x B}. 聯集 :A B = {x x A x B}. 宇集 : 所討論對象的全體所成的集合, 通常以 U 表示. 補集 ( 餘集 ):A = A = A c = {x U x A}. 差集 :A B = {x x A x B} = A B. 元素個數 : 設 A 為集合, 則以 n(a) 或是 A 表示 A 集合內元素的個數. 常用性質 : 分配律 : A (B C) = (A B) (A C) 且 A (B C) = (A B) (A C). 迪摩根律 : (A B) = A B 且 (A B) = A B. 排容原理 : n(a B) = n(a) + n(b) n(a B). n(a B) = n(a) n(a B). n( A ) = n(a). Note: 可以使用文氏圖理解之. 要點.5 ( 高斯符號 ) 設 x R, [x] 表示不超過 x 的最大整數值, 稱為高斯符號. x 1 < [x] x < [x + 1] 設 n, m N, 則在 1 至 n 的正整數中, m 的倍數有 [ n m ] 個. 練習.1 (91 年北一女數學科競試 ) 設 [x] 表示不大於 x 的最大整數值 ( 高斯符號 ). 對任意正整數 n, 定義 S n = [ n 1 ]+[n ]+ +[n n ], 1. 試求 S 00 S 001 之值.. 證明 S N N 1. 解答 : 1. 因為 00 = 7 11 13, 所以 00 的正因數有 (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 16 個. 若 k 為 00 的正因數, 則 [ 001 k ] 恰多 1. 00 k 是整數, 故 [ 001 k ] = [00 1 k k ] = [00 k ] 1, 亦即 [ 00 k ] 比 若 1 < k < 00 且 k 不為 00 的正因數, 則存在整數 q, r 使得 00 = qk + r, 其中 0 < r < k 7

0 r 1 < k 1, 所以 001 = qk + (r 1), 故 [ 00 k ] = q = [001 k ], 亦即 [ 00 k ] 與 [ 001 k ] 相等. 由以上兩點, 可得 S 00 S 001 = 16.. 對任意正整數 n, 若 n, 則 n 至少有兩個正因數 1 與 n, 所以同上小題的討論, 可得 S n S n 1. 因此 S N = (S N S N 1 ) + (S N 1 S N ) + + (S S 1 ) + S 1 N 1. 邏輯. 要點.6 ( 命題 ) 敘述 : 可以判定對錯的語句. 命題 : 由兩個可以判斷真 ( 正確 ) 或偽 ( 錯誤 ) 的敘述所組成的複合敘述就稱為命題, 我們常見的命題是以 若 P, 則 Q 的形式寫出 ( 稱為蘊涵式命題 ), 其中 P, Q 為兩敘述, 記作 P Q, 且稱 P 為假設 ( 前提 ), Q 為結論. 若命題 P Q 為真, 則用符號 P Q 表示, 讀作 P 蘊涵 Q. 判斷命題真偽的方法 : 舉反例 ( 命題為偽 ) 直接證法 ( 命題為真 ) 反證法 ( 命題為真 ). 要點.7 ( 真值表 ) p q p q p q p q q p p q T T T T T T T T F F T F F F F T F T T T T F F F F T T T Note: p q, q p 和 p q 三者皆等價. 要點.8 ( 命題 ) 給定一命題 P Q, 可演生出以下三命題 : 逆命題 : 即命題 Q P. 轉命題 否命題 : 即命題 P Q. 逆轉命題 否逆命題 對偶命題 : 即命題 Q P. 等價命題 : 具有相同真偽值的命題. 任何命題與其否逆命題互為等價命題, 記作 P Q Q P. 8

要點.9 ( 命題的結合 ) 合取 : P Q, 讀作 P 且 Q, 當 P, Q 兩命題皆為真時, 合取命題才為真, 其餘為偽. 析取 : P Q, 讀作 P 或 Q, 當 P, Q 兩命題至少有一為真時, 折取命題即為真, 其餘為偽. 迪摩根律 : (P Q) ( P) ( Q) 且 (P Q) ( P) ( Q) 要點.10 設 P Q, 則稱 P 為 Q 的充分條件, 稱 Q 為 P 的必要條件. 設 P Q, 則稱 P, Q 互為對方的充要條件. 讀作 若且唯若 P 則 Q. 函數.3 要點.11 ( 函數的定義 ) f X Y 為函數, 若且唯若, 對任意 x X 恰 ( 存在且唯一 ) 有一個 y Y, 使得 f x y, 亦可表為 f (x) = y. 此集合 X 稱為函數 f 的定義域 (domain), 集合 Y 稱為函數 f 的對應域 (co-domain). 定義集合 R( f ) = {y Y x Xs.t. f (x) = y} = f (X), 稱 R( f ) 為 f 的值域 (range); 對任意集合 S X, 定義 f (S) = {y Y x Ss.t. f (x) = y}, 稱 f (S) 為 S 集合經函數映射之後的像 (image); 對任意集合 T Y, 定義 f 1 (T) = {x X f (x) T}, 稱 f 1 (T) 為 T 集合關於函數映射的前像 (pre-image). 函數是一種介於集合元素與集合元素之間的對應關係. 練習. 已知函數 f N N 且 f () =, f (mn) = f (m) f (n), f (m) > f (n) m > n, 試求 f (00) =? ( 解題提示 : 可以證明 f (k) = k k N) 要點.1 ( 單調函數 ) 設 f 是定義在實數系的子集合 (a, b) 區間上的實函數, 若對於 (a, b) 區間上的任意實數 x 1, x 恆有 x 1 < x f (x 1 ) f (x ), 則稱 f (x) 為遞增函數. x 1 < x f (x 1 ) f (x ), 則稱 f (x) 為遞減函數. x 1 < x f (x 1 ) < f (x ), 則稱 f (x) 為嚴格遞增函數. x 1 < x f (x 1 ) > f (x ), 則稱 f (x) 為嚴格遞減函數. Note: 遞增 遞減 嚴格遞增或嚴格遞減的函數, 皆稱為單調函數. 9

要點.13 ( 奇函數與偶函數 ) 設 f 是定義在實數系的子集合上的函數, 1. 若函數 f 滿足 f ( x) = f (x), 則稱 f 為奇函數. 若 f 為奇函數, 則 y = f (x) 的圖形會對稱於原點.. 若函數 f 滿足 f ( x) = f (x), 則稱 f 為偶函數. 若 f 為偶函數, 則 y = f (x) 的圖形會對稱於 y 軸. Note: 奇函數的典型例子 : f (x) = x 3. 偶函數的典型例子 : f (x) = x. 要點.14 ( 函數圖形的凹向性 ) 設 a, b R, a < b, f R R, y = f (x), 且 f 為連續函數, 則下列為互為等價條件, 1. y = f (x) 函數圖形在 (a, b) 區間開口凹項上 ;. 對任意 c, d, R 且 a < c d < b, 任意 m, n R + 皆滿足 f ( ( 中點函數值 < 中線長 ;) nc + md n f (c) + m f (d) ) < m + n m + n 3. 對任意 c, d R 且 a < c d < b, 滿足 f ( c + d f (c) + f (d) ) < ( 中點函數值 < 中線長 ;) 4. 對任意 c, d, R 且 a < c d < b, 滿足 f (λc + (1 λ)d) < λ f (c) + (1 λ) f (d), 0 < λ < 1; 5. f (x) > 0, x (a, b). 將上列式子的不等號方向改變, 則為凹向下的定義. 10

第 3 章數與坐標系 整數 3.1 待補上 : 中國剩餘定理, 最大公因數表現定理及通解之證明, 尤拉法 秦九韶求一術. complete residue system, reduced residue system, 連分數 (continued fraction), quadratic residue.. 整數對於加 減 乘法皆有封閉性, 對於加 乘法有交換律與結合律, 0 是加法單位元素, 1 是乘法單位元素. 要點 3.1 ( 整數的離散性 ) 若 x, y Z 且 x y, 則 x y 1. 要點 3. ( 除法原理 ) 若 a, b, q, r Z, (b 0), 且 a = bq + r, 其中 0 r < b, 則稱 a 為被除數, 稱 b 為除數, 稱 q 為商數, 稱 r 為餘數. 所有整數被非零整數 b 除, 恰有 b 種餘數, 且此餘數為 {0, 1,,..., b 1} 當中之一元素. 整數被 除, 恰為奇數 (k + 1) 或是偶數 (k) 之一種. 練習 3.1 Note: 被除數 = 除數 商數 + 餘數. 求 100 的個位數字為何? 答 : 6. 要點 3.3 ( 因數與倍數 ) 設 a, b Z, (b 0), 若存在 q Z 使得 a = bq, 則稱 a 被 b 整除, 且 b 為 a 之因數, 且 a 為 b 之 倍數, 記作 b a. 1 為任意整數之因數,0 為任意整數之倍數. 正負號改變之後, 因 倍數關係不會改變. 11

要點 3.4 ( 因數的性質 ) 設 a, b, c, m, n Z, 則 1 a, a 0, a a. a b, b c a c. a b, a c a mb ± nc. ( mb ± nc 稱做 b 與 c 的線性組合.) 若 a bc 且 (a, b) = 1, 則 a c. 若 p 為質數, 則 p ab p a 或 p b.( 延伸 : p 為質數, 則 p a p a.) 要點 3.5 ( 倍數的判別 ) 的倍數 : 個位數字為偶數. n 的倍數 : 末尾 n 位數為 n 的倍數. 5 的倍數 : 個位數字為 0 或 5. 5 n 的倍數 : 尾 n 位數為 5 n 的倍數. 3 的倍數 : 所有數字和為 3 的倍數. 9 的倍數 : 所有數字和為 9 的倍數. 11 的倍數 : 奇數位數字和 偶數位數字和 為 11 的倍數. 7, 11, 13 的倍數 : 末位起, 每三位為一節, 奇數節和 偶數節和 為 7, 11, 13 的倍數. ( 因為 7 11 13 = 1001.) k 個連續整數乘積 : 必為 k! 之倍數.( 其中 k! = 1 3 k.) 要點 3.6 ( 同餘的定義 ) 設 a, b, n 皆為整數, 且 n 0, 若 a, b 除以 n 的餘數相同, 則稱 a, b 被 n 除之後會 同餘, 記作 a b (mod n). ( 英文讀作 : a is congruent to b modulo n) Note: a b (mod n) n (a b) 1

要點 3.7 ( 同餘的性質 ) 若 a, b, c, d, n, p Z, m N, n 0 且 a b (mod n), 且 c d (mod n), 則 a(± )c b(± )d (mod n) a m b m (mod n) 若 p n, 則 a b (mod p). 考題 3.1 (63 年聯招 ) 設 m, n 為任意正整數, 且 m > n, 令 x = m n, y = 3mn, z = m + n, 例如 m =, n = 1, 則 x = 3, y = 4, z = 5, 而下列各敘述成立, 今問其中哪些敘述在一般情形恆成立? (A) x < y (B) x + y > z (C) x, y 中必有一數為 4 的倍數 (D) x, y 中必有一數為 3 的倍數 (E) x, y, z 中必有一數為 5 的倍數. 答 :B,C,D,E 要點 3.8 ( 質數 ) 設 n N, n > 1, 若 n 除了 1 與 n 兩個正因數之外, 沒有其他的正因數, 則稱 n 為質數. 設 n N, n > 1, 若 n 非質數, 則稱 n 為合數. 1 既非質數, 亦非合成數. 質數中, 除了 為偶數以外, 其餘皆為奇數. 質數有無窮多個. 要點 3.9 ( 質數檢驗法 ) 設 n N, 若 n 為合數, 則 n 必有 n 的質因數. 設 n N, 欲判斷 n 是否為質數, 只需檢驗 n 的質數中, 是否有 n 的因數即可. 練習 3. ( 歐基里德定理 ) 證明 : 質數有無窮多個. ( 提示 : 矛盾證法.) 要點 3.10 ( 標準分解式 ) 設 n N, n > 1, 則必存在唯一的表示法 n = p α 1 1 p α pαr r, 其中,r N 且 p 1 < p < < p r 為相異質數,α 1, α,, α r N, 並稱此表示法為 n 的標準分解式. 13

要點 3.11 ( 標準分解式相關性質 ) 設 n N, n > 1, 且 n = p α 1 1 p α pαr r 為標準分解式, 則 n 的正因數必形如 p β 1 1 p β pβr r, 其中 β i 為整數, 且 0 β i α i, i = 1,,, r. n 的所有正因數個數有 (α 1 + 1)(α + 1) (α r + 1) 個. n 的所有因數個數為正因數個數的兩倍. n 的所有正因數和為 (1 + p 1 + p 1 + + p α 1 1 )(1 + p + p + + p α ) (1 + p r + p r + + p αr r ). n 的所有因數和為 0. n 的所有正因數乘積為 n n 的所有正因數倒數和為 正因數個數. 正因數和. n n 的正因數中, 為完全 k 次方的數字共有 ([ α 1 k ]+1) ([ α k ]+1) ([ α r k ]+1) 個. α 1 k n 的正因數中, 為完全 k 次方的所有數字和為 (1 + p1 k + p k k 1 + + p1 )(1 + p k + p k + + α k α r k k p ) (1 + pr k + p k k r + + pr ). 在 1 至 n 中, 與 n 互質的數有 n(1 1 p 1 )(1 1 p ) (1 1 p r ) 個. n 在 1 至 n 中, 與 n 互質的數之和為 (1 至 n 中, 與 n 互質的數的個數 ). 要點 3.1 ( 尤拉的 ϕ(n) 函數 ) 設 n N, 且 n = p α 1 1 p α pαr r 為標準分解式, 則由 1 至 n 中, 與 n 互質的自然數的個數為 ϕ(n) = n (1 1 p 1 ) (1 1 p ) (1 1 p r ). 可由機率觀點解讀, 方便記憶. 14

要點 3.13 ( 最大公因數與最小公倍數 ) 已知 a, b 為整數, 則 a 與 b 的所有共同因數中, 最大者稱為最大公因數 (g.c.d.), 以 (a, b) 表示之, a 與 b 的所有共同正公倍數中, 最小者稱為最小公倍數 (l.c.m.), 以 [a, b] 表示之, 設 d Z, 若 d a 且 d b, 則 d (a, b), 設 k Z, 若 a k 且 b k, 則 [a, b] k, 若 (a, b) = 1, 則稱 a 與 b 互質, 若 (a, b) = d, 則存在有兩整數 h, k, 使得 a = dh, b = dk, (h, k) = 1 且 [a, b] = dhk, ab = (a, b)[a, b], 若 (a, b) = 1, 則 (a ± b, ab) = 1 且 (a n, b n ) = 1, n N. 設 n N, 已知 a 1, a,..., a n Z, 則 a 1, a,..., a n 的所有共同因數中, 最大者稱為 a 1, a,..., a n 的最大公因數 (g.c.d.), 以 (a 1, a,..., a n ) 表示之, a 1, a,..., a n 的所有共同正公倍數中, 最小者稱為 a 1, a,..., a n 的最小公倍數 (l.c.m.), 以 [a 1, a,..., a n ] 表示之, 若 (a 1, a,..., a n ) = 1, 則稱 a 1, a,..., a n 互質, 若 (a 1, a,..., a n ) = ((a 1, a,..., a n 1 ), a n ). 註 : (a, b), [a, b] 皆為正數 ;(a, b, c)[a, b, c] 不見得等於 abc, 除非 a, b, c 兩兩互質. 要點 3.14 ( 輾轉相除法 歐基里德演算法 的原理 ) 若 a, b, q, r Z, (b 0), 且 a = bq + r, 其中 0 r < b, 則 (a, b) = (b, r). 亦即, 被除數與除數的最大公因數 等於 除數與餘數的最大公因數. ( 廣義版 ) 若 a, b Z, (a, b 0), 則對任意整數 n 皆滿足 (a, b) = (a bn, b) = (a, b an). 要點 3.15 ( 最大公因數的表現定理 ) 設 a, b Z, 則整係數二元一次不定方程式 ax + by = (a, b) 可由輾轉相除法找到, 至少一組整 x = x x = x 0 0 ± bt 數解 ( 稱為特殊解 ) ( 又名 Bézout s lemma), 且一般解 ( 稱為通解 ) 為 (a, b) y = y 0 y = y 0 at, (a, b) 其中 t Z. 另外, 找特殊解的方式還有尤拉法與秦九韶大衍求一術. 要點 3.16 整係數二元一次不定方程式 ax + by = c 有整數解的充要條件為 (a, b) c. 15

要點 3.17 ( 階乘 ) 設 n 為非負整數, 則定義 n! = 1, 若 n = 0; n (n 1)!, 若 n N. 設 n 為非負整數, 且的標準分解式為 p α 1 1 p α n! pαr r 則 α i = [ n ] + [ n ] + [ n ] + p i p i p 3 i 其中 [ ] 為高斯符號. n! 乘開之後, 末尾共有 [ n 5 ] + [ n 5 ] + [ n 5 3 ] + 個連續的零. 要點 3.18 ( 鴿巢原理, 抽屜原理 ) 設 n N, 若有 n + 1 隻鴿子飛回 n 個鴿巢裡, 則至少有一個鴿巢住有 隻以上的鴿子. 設 m, n N m > n, 若有 m 隻鴿子飛回 n 個鴿巢裡, 則至少有一個鴿巢住有不少於 條件進位法取整數值 ) 的鴿子. m n 隻 ( 無 3.1.1 在課堂之外 要點 3.19 (Fermat 小定理 ) 設 p 為質數, n 為任意正整數且 p / n, 則 n p 1 1 (mod p). 要點 3.0 (Euler 對於 Fermat 小定理的推廣 ) 設 a, n 皆為正整數, 且兩者的最大公因數 (a, n) = 1, 則 n ϕ(a) 1 (mod a). Note: 其中 ϕ(a) 是 Euler phi function, 表示小於 a 且與 a 互質的正整數個數. 要點 3.1 (Fermat 大定理, Fermat 最後定理 (Fermat s last theorem)) 設 n 為正整數, 且 n 3, 則方程式 x n + y n = z n, 沒有 (x, y, z) 的正整數解. Note: Fermat 大定理於 1637 年, 被原職律師的業餘數學家 Pierre de Fermat 寫在書底, 但是直 到 1995 年才被 Princeton 大學教授 Andrew Wiles 證明完畢. 16

要點 3. (Fermat Number) 設 n 為非負整數, 則定義 F n = n +1, 並稱此數為費馬數 ( Fermat number). F 0, F 1, F, F 3, F 4 皆為質數, 但是 F 5 = 3 + 1 = 4, 94, 967, 97 = 641 6, 700, 417 並非質數. ( Fermat 曾 猜測 所有費馬 數皆為質數 ). 跟 Fermat number 有關的定理 : 1. 設 n 為非負整數, 如果 n + 1 為質數, 則 n = 0 或者 n = k (k N).. 設 n 為正整數, 則 正 n 邊形可以尺歸作圖 的充分且必要條件是 n = k p 1 p p s, 其中 k, s 是非負整數, 且 p 1, p,, p s 是相異的費馬數的質數. 要點 3.3 (Wilson 定理 ) 設 p 為質數, 則 (p 1)! 1 (mod p). 要點 3.4 ( 孿生質數 (Twin Primes)) 若 p 1, p 皆為質數, 且滿足 p p 1 =, 則稱 p 1, p 為孿生質數 (twin primes). 例如 : (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (9, 31), (41, 43) 都是孿生質數. Note: 是否有無限多組孿生質數, 仍然是尚未被證明的猜想. 有理數與實數 3. 要點 3.5 ( 有理數的定義 ) 設 a R, 若 a = q p, 其中 p, q Z, p 0, (p, q) = 1, 稱 a 為有理數, 記作 a Q. 不是有理數的實 數, 稱為無理數. 有理數包含有整數 有限小數及無限循環小數. 無理數為無限不循環小數, 包含有不盡根號數與超越數. 要點 3.6 ( 反證法, 矛盾證題法 ) 欲證明 P Q, 則先假設 Q 不成立, 進而逐步推論而得 P 亦不會成立 ( 產生矛盾現象 ). 故 P 成立時, Q 不可能不成立. 此證題法稱為反證法, 或稱矛盾證題法. 矛盾證題法的原理是利用 p q 與 q p 等價. 要點 3.7 給定單位長, 對任意整數 m, n (n 0) 可經由尺規作圖而得 作圖得 ab. 要點 3.8 有理數系對於 +,,, 有封閉性. 若 M 表示可以尺規做圖的數所成的集合, 則 1 M 且 M 對於 +,,,, m n. 對任意給定長度 a, b, 可以尺規 有封閉性. 17

要點 3.9 ( 分點公式 ) 若 a, b R, a < b, 在 a, b 之間且與 a, b 距離比為 m n 的點坐標為 na + mb m + n. 要點 3.30 ( 阿基米德性質 ) 若 a, b R 且 a > 0, 則存在 n N 使得 n a > b. 要點 3.31 ( 實數的稠密性 ) 任兩個相異的有理數之間, 必存在有其他的有理數. 同理, 任兩個相異的無理數之間, 必存在有其他的無理數. 實數的稠密性 : 任兩個相異的實數之間, 必存在有其他的實數. 要點 3.3 要點 3.33 設 a, b Q, 若 a + b = 0, 則 a = b = 0. 設 a, b, c, d Q, 若 a + b = c + d, 則 a = c 且 b = d. 設 a, b Q, ω / Q, 若 a + bω = 0, 則 a = b = 0. 設 a, b, c, d Q, ω / Q, 若 a + bω = c + dω, 則 a = c 且 b = d. 若 a 為有限小數, 將 a 化為最簡分數之後, 分母只有, 5 的質因數. 要點 3.34 ( 算幾不等式 ) 設 a, b R +, 則 當算幾不等式 = 成立時 a = b. 設 n N 且 a 1, a,..., a n R +, 則 a + b ab, a 1 + a + + a n n a 1 a a n, 當算幾不等式 = 成立時 a 1 = a = = a n. 要點 3.35 ( 數線上的絕對值 ) 設 a R, 則 a, 若 a 0; a = a = a, 若 a < 0, 且 a = a. 設 a, b R, 則 a b 表示數線上 a, b 兩點間的距離. 18

要點 3.36 ( 絕對值不等式 ) 設 a, b R, a < b, 則 a x b" x a + b b a, x a x b" x a + b b a. 上兩式要用圖形去看才會快 : x 到中點距離 小於或等於半徑, 以及 x 到中點距離 大於或等於半徑. 要點 3.37 ( 三角不等式 ) 設 a, b R, 則 a b a b a + b. 三角形任兩邊和大於第三邊, 任兩邊差小於第三邊. 要點 3.38 ( 雙重根號的化簡 ) 設 p q 0, 則 (p + q) ± p q = p ± q. 要點 3.39 設 n N 且 a 1, a,..., a n R, 則 f (x) = x a 1 + x a + + x a n 的最小值, 發生在當 x 為 a 1, a,..., a n 由小排到大的中位數時. ( 註 : 若 n 為偶數, 則 x 在最接近中位數的兩數的區間內的任何值, f (x) 都有相等的最小值.) f (x) = (x a 1 ) + (x a ) + + (x a n ) 的最小值, 發生在當 x 為 a 1, a,..., a n 的算術 a 平均數 1 + a + + a n 時. n 平面坐標與直線方程式 3.3 19

要點 3.40 設 A(x 1, y 1 ), B(x, y ), 則 AB 的中點為 AB = A + B = ( x 1 + x (x x 1 ) + (y y 1 )., y 1 + y ). 在 AB 上, 且與 A, B 兩點距離比為 m n 的點坐標為 na + mb m + n = (nx 1 + mx m + n, ny 1 + my m + n ) A(x 1, y 1 ) B(x, y ) x x 1 y y 1 若 x 1 x, 則 AB 之斜率為 斜率的特性 y y 1 x x 1.( 鉛錘線無斜率.) 斜率的定義 斜率為正 : 直線由左下至右上傾斜, 斜率為負 : 直線由左上至右下傾斜, 斜率為零 : 直線為水平線, 無斜率 : 直線為鉛錘線, 斜率的絕對值 : 斜率的絕對值越大, 則直線越陡. 要點 3.41 ( 平行與垂直直線之斜率 ) 若直線 L 1, L 的斜率分別為 m 1, m, 則 L1 與 L 平行或重合 m 1 = m, L1 與 L 垂直 m 1 m = 1. 已知直線 L ax + by + c = 0, 則 與 L 平行之直線方程式可以設為 ax + by + k = 0 (k R), 與 L 垂直之直線方程式可以設為 bx ay + k = 0 (k R). 0

要點 3.4 ( 直線方程式 ) 點斜式 : 通過 (x 0, y 0 ) 且斜率為 m 之直線方程式為 : (y y 0 ) = m(x x 0 ), 兩點式 : 通過相異兩點 (x 1, y 1 ), (x, y ) 之直線方程式為 : (y y 0 ) = y y 1 x x 1 (x x 0 ) ( 其中 x1 x,) 截距式 : x 截距為 a, y 截距為 b (ab 0), 的直線方程式為 : x a + y b = 1, 斜截式 : 斜率為 m, y 截距為 b 的直線方程式為 : y = mx + b 一般式 : 形如 ax + by + c = 0 ( 其中 a, b 不全為 0) 之方程式為直線. 若 b 0, 則此直線斜率為 a b. 高二之後更應該知道 : ax + by + c = 0 直線的法向量為 (a, b), 方向向量為 ( b, a) 或 (b, a), 法向量為 (a, b), 且過點 (x 0, y 0 ) 的直線方程式為 a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0, 法向量為 (a, b), 且過點 (x 0, y 0 ) 的直線參數方程式為 (x, y) = (x 0, y 0 ) + (a, b)t, t R, 亦即 x = x 0 + at, t R. y = y 0 + bt, 要點 3.43 ( 二元一次聯立方程式的解與幾何意義 ) 二元一次聯立方程式 : a 1 x + b 1 y = c 1 a x + b y = c 表示兩直線的幾何意義與解的關係如下 : 重合 : 平行 : a 1 a = b 1 b = c 1 c, 無限多組解, a 1 a = b 1 b c 1 c, 無解, 恰交於一點 : a 1 a b 1 b, 唯一一組解. ( 以上如有遇到分母為零情形, 則另外討論之.) 要點 3.44 ( 直線系 ) 通過 L 1 a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 L a x + b y + c = 0 交點的所有直線可以設為 ( 以下三種任選一種 ) k(a 1 x + b 1 y + c 1 ) + l(a x + b y + c ) = 0, 其中 k, l R, k + l 0, k(a 1 x + b 1 y + c 1 ) + (a x + b y + c ) = 0 a x + b y + c = 0, 其中 k R, (a 1 x + b 1 y + c 1 ) + l(a x + b y + c ) = 0 a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, 其中 l R. 1

要點 3.45 ( 對稱點與投影點 ) 直角坐標平面上, 有一點 P(x 0, y 0 ), 直線 L ax + by + c = 0, 則 1. P 對 L 之投影點為 P (x 0 + at, y 0 + bt),. P 對 L 之投影點為 P (x 0 + at, y 0 + bt), ax 3. P 到 L 之距離為 0 + by 0 + c, a + b 其中 t = ax 0 + by 0 + c a + b. 要點 3.46 ( 對稱斜率為 ±1 之直線 ) 平面上, 點 (x 0, y 0 ) 對於直線 x ± y + k = 0 的對稱點坐標為 ( y 0 k, x 0 k). 平面上, 曲線 Γ f (x, y) = 0 對於直線 x ± y + k = 0 的對稱圖形方程式為 f ( y k, x k) = 0. 要點 3.47 ( 對稱坐標軸或原點 ) 平面上, 點 (x 0, y 0 ) 對於 x 軸的對稱點坐標為 (x 0, y 0 ). y 軸的對稱點坐標為 ( x 0, y 0 ). 原點 (0, 0) 的對稱點坐標為 ( x 0, y 0 ). 平面上, 曲線 Γ f (x, y) = 0 對於 x 軸的對稱圖形方程式為 f (x, y) = 0. y 軸的對稱圖形方程式為 f ( x, y) = 0. 原點 (0, 0) 的對稱圖形方程式為 f ( x, y) = 0. 要點 3.48 ( 平面上, 內心 重心 外心 垂心的求法 ) 設 ABC 的 A, B, C 對邊長分別為 a, b, c, 則 ABC 的內心 重心 外心 垂心定義如下 : 內心 : 三條內角平分線的交點, 內心到三點邊等距離, 內心為三角形內切圓的圓心, aa + bb + cc 內心坐標為. a + b + c 重心 : 三條中線的交點, 重心坐標為 A + B + C. 3 外心 : 三邊中垂線的交點, 外心到三頂點等距離, 外心為三角形外接圓的圓心 垂心 : 過三頂點的高的交點. 一個三角形的外心 重心 垂心必會共線, 此直線稱為尤拉線.

要點 3.49 ( 解析證題法 ) 將幾何圖形放在直角坐標平面, 並將幾何圖形坐標化的證題法, 稱為解析證題法. 要點 3.50 ( 求 PA + PB 最小值, RA RB 最大值 ) 直角坐標平面上有一直線 L, 與不在 L 上的相異兩點 A, B, 在 L 上求點 P, R, T 使得 PA + PB 有最小值的方法 ( 利用三角形任兩邊之和大於第三邊 ): 若 A, B 在 L 的同側, 作 A 對於直線 L 的對稱點 A, 連接 AB 交 L 於 P, 此點即為所求. 若 A, B 在 L 的異側, 連接 RA RB 有最大值的方法 ( 利用三角形任兩邊之差小於第三邊 ): 若 A, B 在 L 的同側, 連接 AB 交 L 於 R, 此點即為所求. 若 A, B 在 L 的異側, 作 A 對於直線 L 的對稱點 A, 則連接求. TA + TB 有最小值的方法 ( 利用三角形中線定理 ): A B 交 L 於 P, 此點即為所求. A B 交 L 於 R, 此點即為所 若 A, B 在 L 的同側, 作 AB 中點 M, 作 M 在 L 上的投影點 T, 此點即為所求. 若 A, B 在 L 的異側, 作 A 對於直線 L 的對稱點 A, 作 A B 中點 M, 作 M 在 L 上的投影點 T, 此點即為所求. ( 或是直接作 AB 中點 M, 作 M 在 L 上的投影點 T, 此點亦為所求, 此兩方法求出的都是相同的一點.) 要點 3.51 ( 測量師公式, 坐標凸多邊形面積公式 ) 設凸 n 邊形之頂點坐標逆時針方向繞一圈分別為 P 1 (x 1, y 1 ), P (x, y ),, P n (x n, y n ), 則此凸 n 邊形的面積為 1 x 1 x x n x 1 y 1 y y n y 1 註 : 順時針方向, 則為面積數值的相反數. 複數與複數平面 3.4 要點 3.5 ( 複數的定義 ) 定義 i = 1, 亦即 i = 1, 且對於任意 b R, b > 0, 規定 b = bi. 設 a, b R, 形如 a + bi 的數稱為複數, 則 a 稱為此複數的實部, 記作 Re(a + bi) = a, 且 b 稱為此複數的虛部, 記作 Im(a + bi) = b, 實部為零的數稱為純虛數. a bi 稱為 a + bi 的共軛複數, 記作 a + bi = a bi. 要點 3.53 (i 的性質 ) 設 k Z, 則 i 4k = 1, i 4k+1 = i, i 4k+ = 1, i 4k+3 = i 且 1+i+i +i 3 = 0 i 4k +i 4k+1 +i 4k+ +i 4k+3 = 0. 3

要點 3.54 ( 複數的基本運算 ) 已知 a, b, c, d R, 則定義 相等 a + bi = c + di a = c 且 b = d, 相加 (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, 相減 (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i, 相乘 (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i, 相除 a + bi c + di = ac + bd c + d bc ad + c + d i. 要點 3.55 ( 共軛複數的性質 ) 設 z, z 1, z C, 則 (z) = z, z 1 ± z = z 1 ± z, z 1 z = z 1 z, ( z 1 z ) = (z 1) (z ), z n = (z) n, 實數的共軛複數仍為本身 : z = z z R, 純虛數的共軛複數為其相反數 : z = z z = bi, b R. 註 : 共軛可以穿透加減乘除. 要點 3.56 ( 實數的性質 ) 實數 : 可以畫在數線上的數. 實數與數線上的點有一對一的對應關係. 實數的性質 : 乘法及加法的運算性質 : 結合律 交換律 消去律 分配律, 運算的單位元素 運算的反元素. 次序性質 : 三一律 遞移律 等量加法律 乘法律 平方恆為正. 實數具有完備性 ( 最大 最小元素的存在性 ). 要點 3.57 ( 有 i 的複數就不能比大小 ) 有 i 的複數就不能比大小, 複數沒有三一律 ( 若定義 i > 0, i = 0, i < 0 皆會產生矛盾 ), 所以複數無法畫在實數線上, 也因此才會建立高斯平面 複數平面. 4

要點 3.58 ( 複數平面 ) 設 a, b R, 將 z = a + bi 畫在直角坐標平面 (a, b) 的位置上, 稱橫軸為實軸, 縱軸為虛軸. 此平面稱為複數平面, 亦稱為高斯平面. 虛軸 b z = a + bi O a 實軸 要點 3.59 ( 複數的絕對值 ) 設 a, b R, 定義 a + bi = a + b, 表示 a + bi 在複數平面上與原點 0 + 0i 的距離. 設 a, b, c, d R, 且 z 1 = a + bi, z = c + di, 則 z 1 z = (a c) + (b d), 表示在複數平面上 z 1 到 z 之間的距離. 要點 3.60 ( 複數絕對值的性質 ) 設 z, z 1, z C, 則 z = z, z = z z, z 1 z = z 1 z, z 1 z = z 1 z, z 1 z z 1 + z z 1 + z ( 三角不等式 ), z n = z n, z = 0 z = 0. 練習 3.3 (a + b) (b + c) (c + a) 設 a, b, c 為複數, 且滿足 a = b = c = 1, 試證明 abc ( 證明提示 : 利用 z = 1 z = 1 z 以及 z = z z R.) 為實數. 5

練習 3.4 設 z C, 若 z = 1, 證明 : 1.. 1 + z 1 + z = z. 1 1 + z + 1 1 + z = 1. 要點 3.61 ( 根式的乘或除 ) 設 a, b R, 則 a b = ab, 若 a < 0 且 b < 0; ab, 其他. a = b a b, 若 a > 0 且 b < 0; a b, 其他. 要點 3.6 ( 複數的平方根, 快速解法 ) 設 p q 0, 則 (p q) + p qi 的平方根 = ± ( p + qi), (p q) p qi 的平方根 = ± ( p qi). ( 註 : 高二之後, 若遇到三次方根以上, 就用隸美弗定理解之.) 練習 3.5 ( 求複數的平方根 ) 求 8 + 6i 的平方根? 答 : 3 + i 或 3 i. 練習 3.6 求 (1 + i) 0 之值. 答 : 所求 = (i) 10 = 104. ( 提示 : (1 ± i) = ±i) 6

要點 3.63 ( 一元二次方程式 ) 設 a, b, c R, a 0, 則實係數一元二次方程式 ax + bx + c = 0 的解為 令 D = b 4ac, 稱為方程式的判別式, D > 0 方程式有兩相異實根. D = 0 方程式有兩相等實根 ( 重根 ). D < 0 方程式有兩共軛虛根. x = b ± b 4ac, a 設 a, b, c C, a 0, 則一元二次方程式 ax + bx + c = 0 的解為 x = b ± (b 4ac 的平方根 ). a 要點 3.64 實係數多項方程式, 虛根成共軛對出現. 一元二次有理 ( 整 ) 係數多項方程式, 無理根成對 ( 有理化因子對 ) 出現. 一元高次有理 ( 整 ) 係數方程式, 若有一無理根 a + b c (a, b, c Q, b 0), 則必有另一無理根 a b c. 一元高次有理 ( 整 ) 係數多項方程式, 無理根不見得會成有理化因子對出現, 例如 : x 3 = 的三個 3 3 1 + 3i 1 3i 根為, ( ), 3 ( ). 7

要點 3.65 ( 根與係數關係式, 韋達定理, Viète s formulas) 設 a, b, c C, a 0, 且 ax + bx + c = 0 有兩根 α, β, 則 α + β = b a 且 αβ = c a. 此外, 還有 根的意義 : aα + bα + c = 0 且 aβ + bβ + c = 0, 由根創造方程式 : a(x α)(x β) = ax + bx + c. 根與係數關係式亦可推廣到高次方程式 : 設 a 0, a 1, a,..., a n C, a n 0, 且 a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 = 0 有 n 個根 ω 1, ω, ω 3,..., ω n, 則 ω 1 + ω + ω 3 + + ω n = a n 1 a n, (ω 1, ω, ω 3,..., ω n 任取兩數相乘之和 ) = a n a n, (ω 1, ω, ω 3,..., ω n 任取三數相乘之和 ) = a n 3 a n, (ω 1, ω, ω 3,..., ω n 任取 n 1 數相乘之和 ) = ( 1) n 1 a 1 a n, 根的意義 a n ω n i + a n a ω n i 1 + + a 1 ω i + a 0 = 0 i = 1... n, ω 1 ω ω 3 ω n = ( 1) n a 0 a n. 由根創造方程式 a n (x ω 1 )(x ω )(x ω 3 ) (x ω n ) = a n x n + a n a x n 1 + + a 1 x + a 0. 要點 3.66 ( 滾雪球公式 ) 設 ax + bx + c = 0 (a 0) 的兩根為 α, β, 且定義 f (n) = α n + β n ( n N), 則對任意自然數 n, 下式恆成立 a f (n + 1) + b f (n) + c f (n 1) = 0. 8

要點 3.67 若實係數一元二次方程式 f (x) = ax + bx + c = 0, 有兩根 α, β, 則 方程式有兩正根 判別式 0 且 α + β > 0, αβ > 0. 方程式有兩負根 判別式 0 且 α + β < 0, αβ > 0. 方程式有一正根一負根 判別式 > 0 且 αβ < 0. 方程式兩根皆大於常數 k 判別式 0 且 (α k) + (β k) > 0, (α k)(β k) > 0. 方程式兩根皆小於常數 k 判別式 0 且 (α k) + (β k) < 0, (α k)(β k) > 0. 常數 k 介於方程式兩根之間 判別式 > 0 且 (α k)(β k) < 0. ( 方程式的圖形觀點 ) 方程式兩根皆大於常數 k 判別式 0 且 α + β > k, a f (k) > 0. ( 方程式的圖形觀點 ) 方程式兩根皆小於常數 k 判別式 0 且 α + β < k, a f (k) > 0. ( 方程式的圖形觀點 ) 常數 k 介於方程式兩根之間 判別式 > 0 且 a f (k) < 0. 若有理係數一元二次方程式 ax + bx + c = 0, 有有理根 判別式 0 且判別式為完全平方數. 要點 3.68 (1 的三次方虛根 ω) 令 ω = 1 + 3i, 則 ω = 1 3i, 1 + ω + ω = 0, ω 3 = 1. ω 與 ω 互為對方的共軛複數. ω, ω 為方程式 x + x + 1 = 0 的兩根.1, ω, ω 為方程式 x 3 = 1 的三根. (x ω)(x ω ) = x + x + 1. 練習 3.7 設 ω 為 1 的立方虛根, 則 1. 證明 :(a + bω) (a + bω ) = a ab + b.. 若 a, b 為實數, 且 1 ω + 3ω + 4 = aω + b, 求 a, b. 答案 :1. 略.. a = 3, b = 1 3. 9

第 4 章數列與級數 待補上 : generating fucntion. 等差數列與等比數列, 等差級數與等比級數 4.1 要點 4.1 ( 數列與級數 ) 練習 4.1 定義 有限數列 < a k > n k=1 =< a 1, a, a 3,..., a n >, 無窮數列 < a k > k=1 =< a 1, a, a 3,... >, 有限級數 無窮級數 n k=1 k=1 a n = a 1 + a + a 3 + + a n, a n = a 1 + a + a 3 +. 設 S n 表示數列 < a k > 前 n 項的和, 則 a n = S 1, 若 n = 1; S n S n 1, 若 n. 設有一數列 < a k > 滿足 a 1 + a + 3a 3 + + na n = n(n + 1)(n + ), 試求 a n 之值. 答 : a n = 3(n + 1) n 1. 練習 4. ( 分群數列 ) 要點 4. 有一數列 1,,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6,..., 試求此數列第 00 項之值為何? 答 : 0. ( 提示 : 分群, 觀察, 估計.) 設 a, b, c 為三個大於一的自然數, 自所有自然數中 1,, 3,..., 去除 a, b, c 的倍數, 形成新的數列, 此數列以 ϕ([a, b, c]) 個數字為分群單位, 且各群被 [a, b, c] 所除的餘數相同.. 30

練習 4.3 正整數中, 把, 3, 5 倍數去掉後成為新數列, 試求第 100 項之值為何? 答 : 1 8 + 13 = 109. ( 提示 30k, 30k + 1, 30k +, 30k + 3,...30k + 14 去掉, 3, 5 的倍數之後, 剩下八個, 故每八個一群.) 要點 4.3 ( 的性質 ) 設 c R, n N, 則 n k=1 n k=1 n k=1 c = n 個 c + c + + c = nc, (a k + b k ) = (a 1 + b 1 ) + (a + b ) + + (a n + b n ), = (a 1 + a + + a n ) + (b 1 + b + + b n ) = (a k b k ) = (a 1 b 1 ) + (a b ) + + (a n b n ), n k=1 = (a 1 + a + + a n ) (b 1 + b + + b n ) = ca k = (ca 1 + ca + ca 3 + + ca n ) = c(a 1 + a + a 3 + + a n ) = c n k=1 a k. n k=1 n k=1 a k + a k n k=1 n k=1 b k, b k, 31

要點 4.4 ( 常用的 的公式 ) 設 c R, n N, 則 n k=1 n k=1 n k=1 n k = 1 + + 3 + + n = k=1 n k=1 n k=1 k(k + 1) 1 k(k + 1)(k + ) 1 3 k(k + 1) (k + m 1) 1 m n k=1 n k=1 k = 1 + + 3 + + n = k 3 = 1 3 + 3 + 3 3 + + n 3 = ( = = = 1 k(k + c) = 1 c 1 k(k + 1)(k + ) = 1 n k=1 1 k + c + k = 1 c n(n + 1)(n + ), 1 3 n(n + 1), n(n + 1)(n + )(n + 3), 1 3 4 n(n + 1)(n + 1), 6 n(n + 1) ), n(n + 1) (n + m 1)(n + m), 1 m (m + 1) n k=1 n ( 1 k 1 k + c ) ( 分項對消法 ), 1 ( k(k + 1) 1 (k + 1)(k + ) ) ( 分項對消法 ), k=1 n k=1 ( k + c k) ( 分項對消法.) 註 : 等差 等比 型的題目, 利用錯位相減法. 的意義為 累加. 練習 4.4 ( 錯位相減法典型考題 ) 練習 4.5 設 x 1, 化簡 1 + x + 3x + 4x 3 + + nx n 1 之值. 1 x 答 : n (1 x) nxn 1 x.( 本題亦可用微分法求值.) 試求 : 0 n=3 答 : 531 760. 1 提示 : n(n + a) = 1 a ( 1 n 1 n + a ) 1 (n )n =? 3

要點 4.5 設 < a k > 為等差數列 (A.P., 算數數列 ), 且公差為 d, 此數列前 n 項之和為 S n, 則 a n = a 1 + (n 1)d, 其中 n N. S n = n(a 1 + a n ) = n(a 1 + (n 1)d) = n a n+1, 其中 n N. 練習 4.6 設 m, n N, m n, 則 d = a m a n m n. 設 < a k > 為等比數列 (G.P., 幾何數列 ), 且公比為 r, 此數列前 n 項之和為 S n, 則 a n = a 1 r n 1, 其中 n N. S n = na, 若 r = 1; a 1 (1 r n ) = a 1(r n 1), 1 r r 1 若 r 1, 其中 n N. 設數列 < a n >, 若滿足 < 1 a n > 為等差數列, 則 < a n > 稱為調和數列 (H.P.). 設 a, b, c 為三質數, a < b < c 且 a, b, c 為公差為 8 的等差數列, 試求有序數組 (a, b, c) 之值. 答 : (3, 11, 19). ( 提示 : 設此三數為 a, a + 8, a + 16, 則此三數被 3 除的餘數有 0, 1,, 故三數中必有 3 的倍數, 且三數皆為質數, 故 a = 3.) 練習 4.7 設滿足 1 < a < b < c 的四個數 1, a, b, c, 其中兩兩之和形成的 6 個數互不相同, 若此 6 個數由小到大排列後構成等差數列, 且此 6 個數的總和為 01, 是求有序數組 (a, b, c) 之值. 答 : (a, b, c) = (15,, 9) 或 (10, 19, 7). ( 提示 : 此等差數列為 1+ a, 1+b, 1+ c, a +b, a + c, b + c 或是 1 + a, 1 + b, a + b, 1 + c, a + c, b + c ) 要點 4.6 ( 合併兩等差數列 ) 設有 A, B 二等差數列, 若 A 的公差 d 1 且 B 的公差 d, 則當以 A, B 中相同項形成的新數列時, 即以 d 1, d 的最小公倍數為公差的新等差數列, 且觀察第一個相同項即為新數列的首項. 33

要點 4.7 ( 等差中項, 等比中項, 調和中項 ) 若 a, b, c 三數形成等差數列, 則 b 稱為等差中項, 且 b = a + c b = a + c. 若 a, b, c 三數形成等比數列, 則 b 稱為等比中項, 且 b = ac b = ± ac. 若 a, b, c 三數形成調和數列, 則 b 稱為調和中項, 且 b = 1 a + 1 c b = ac a + c. 設 a.b > 0, 且 A, G, H 分別為 a, b 之等差 等比 調和中項, 若 G > 0, 則 A G H. G = A H. 要點 4.8 ( 利率計算 ) 要點 4.9 設 P 為本金, r 為利率, n 為期數, 則 單利計算 : 本利和 = P(1 + nr). 複利計算 : 本利和 = P(1 + r) n. r 年利率 1 分為 10%, 月利率 1 分為 1%. 若年利率為 r, 按月複利, 則月利率為 1. 註 : 借還款問題 : 善用 零存整付. 若 S n 表示某等差 ( 等比 ) 數列的前 n 項和, 則 S n, S n S n, S 3n S n, S 4n S 3n,... 亦成等差 ( 等 比 ) 數列. 要點 4.10 若三數成等差, 則可設此三數為 a d, a, a + d. 若三數成等比, 則可設此三數為 a r, a, ar 或設 a, ar, ar. 要點 4.11 若 < a n >, < b n > 皆為等差數列, 且 A n, B n 分別表示此兩數列前 n 項之和, 則 A n B n = a n+1 b n+1. a n b n = A n 1 B n 1. 註 :A n B n = n(a 1 + a n ) n(b 1 + b n ) = n (a 1 至 a n 數列的中間項 ) n (b 1 至 b n 數列的中間項 ) 34

無窮等比級數 4. 待補 : 夾擠定理, 數列收斂的比較檢驗法,ratio test, root test. 要點 4.1 ( 數列的極限 ) 設數列 < a n >, 當 n 趨近於無窮大時, a n 會趨近於固定的數字 α, 則稱 < a n > 為收斂數列, 稱 α 為數列 < a n > 的極限值, 記作 lim n a n = α. 若 < a n > 不是收斂數列, 則稱 < a n > 為發散數列. 要點 4.13 1 lim x n = 0. 若 r < 1, 則 lim x r n = 0. 要點 4.14 ( 判斷數列的收斂 ) 設 < a n > 為無窮等比數列, 且首項為 a, 公比為 r, 則 若 1 < r 1, 則數列收斂, 且 lim a n = lim ar n 1 = n n 若 r > 1 或 r 1, 則數列發散. a, 若 r = 1; 0, 若 1 < r < 1. 要點 4.15 ( 極限的特性 ) 設 < a n >, < b n > 為兩收斂數列, 且已知 lim n a n = α, lim n b n = β, 其中 α, β, c R, 則 lim n (ca n ) = cα = c lim n a n. lim n (a n ± b n ) = α ± β = lim n a n ± lim n b n. lim n a n b n = α β = lim n a n lim n b n. n a n a n lim = α lim n b n β = lim n b n, 其中 β 0. 要點 4.16 ( 有理多項式的極限 ) 設 f (x) = a m x m + a m 1 x m 1 + + a 1 x + a 0, g(x) = b n x n + b n 1 x n 1 + + b 1 x + b 0, m, n N 其中 a 0, a 1,..., a m, b 0, b 1,..., b n R 且 a m, b n 0, 則 lim x f (x) g(x) = 不存在, 若 m > n; a n b m, 若 m = n; 0, 若 m < n. 35

要點 4.17 ( 判斷級數的收斂 ) 練習 4.8 設 n=1 a n 為無窮等比級數, 且首項為 a, 公比為 r, 則 若 1 < r < 1, 則級數收斂, 且 若 r 1 或 r 1, 則級數發散. 註 : n=1 a n = lim m ( m n=1 a n ) n=1 a n = 設 a = 1, b = π, c = 3, 且 x n = αan 之 ). 答 :β + γ. 練習 4.9 練習 4.10 a 1 r. 試求 0.9 + 0.099 + 0.00999 + 0.0009999 + 之值. 答 : 100 99. 1 + a + βbn n 1 + b + γcn n 1 + c, 則試求 lim x n n 之值 ( 以 α, β, γ 表示 n 已知等腰三角形 ABC 之兩腰長分別為 6, 6, 4, 自兩腰取 1 之等分點 D, E( 此二點接較靠近頂點 ), 自底邊取中點 F, 然後對等腰三角形 DEF, 如上自兩腰與底邊的線段比例取節點形成新的三角形, 如上持續作無窮多個三角形, 求所有三角形面積之總和? ( 解答提示 : 雖然三角形之間不是相似形, 不過面積依然成比例, 利用三角形扣去三角落的面積, 可的內部三角形面積佔外部的面積比例的 (1 1 9 1 6 1 6 ), 再用無窮等比級數可求得所有面積和.) 要點 4.18 ( 相似幾何圖形的解法 ) 相似幾何圖形, 求無窮多個面積和的解法 : 找出相似邊的比例 面積比 = 邊長平方比 再首項利用, 求全部面積和. 1 公比計算點 邊 堆垛個數 : 利用階差數列, 找出規律. 要點 4.19 設一無窮等比級數首項為 a, 公比為 r ( 1 < r < 1), 前 n 項和為 S n, 無窮多項和為 S, 則 S S n = arn 1 r. 要點 4.0 循環小數化為分數 : 0.abc de f gh = abcde f gh abc 9999000 = 全部 不循環的部分有循環寫 9, 沒循環寫 0 36

數學歸納法與遞迴關係 4.3 要點 4.1 ( 數學歸納法的原理 ) 若要證明 對任意自然數 n, f (n) 皆成立, 則只需證明 1. 當 n = 1 時, 驗證 f (1) 會成立.. 假設當 n = k (k N) 時, f (k) 會成立, 則當 n = k + 1 時, 推導至 f (k + 1) 也會成立. 則對任意自然數 n, f (n) 皆成立. 要點 4. ( 遞迴數列的求法 ) 求數列關係可以利用 1. 利用階差數列, 令 b 0 = a 1, b n = a n+1 a n n 1. 若 a n = a n 1 + f (n), 利用累加法. 3. 若 a n = a n 1 f (n), 利用連乘法. 4. 若 a n = pa n 1 + q, 變形成 (a n α) = p(a n 1 α) ( 比較常數項求出 α ), 再利用連乘法. 5. 若 a n = pa n 1 + qa n 且 p + q = 1, 則可由 a n a n 1 = q(a n 1 a n ), 再利用階差數列, 或是連乘法. 6. 若 a n = pa n 1 + qa n, 利用特徵方程式 x px q = 0 得兩實根 α, β 則 (a) 若 α β, 則可令 a n = Aα n + Bβ n, 再由 a 0, a 1 解出 A, B. (b) 若 α = β, 則可令 a n = Aα n + nbα n, 再由 a 0, a 1 解出 A, B. ( 可由生成函數的觀點看此法, 或由滾雪球公式證明之.) 7. 若 a n+1 = pa n + q ra n + s 且 p q r s, r 0, 則先求出 x = px + q rx + s (a) 若 α β, 則 < a n β a n α > 為等比數列. (b) 若 α = β, 則 < 1 a n α > 為等差數列. 的解 α, β, a n+1 = pa n + qb n 8. 若 b n+1 = ra n + sb n 之值, 而後求出 a n, b n., 則令 < a n + kb n > 為等比數列, 將聯立方程式帶入, 可解出 k 與公比 9. 利用生成函數. 37

要點 4.3 ( 費波納契 (Fibonacci) 數列與盧卡斯 (Lucas) 數列 ) 若數列 < a n > 滿足 a 1 = 1, a =, a n = a n 1 + a n n 3, 則稱為費波納契 (Fibonacci) 數列. 若數列 < a n > 滿足 a 1 =, a = 1, a n = a n 1 + a n n 3, 則稱為盧卡斯 (Lucas) 數列. 練習 4.11 ( 費波納契 (Fibonacci) 數列的一般項 ) 練習 4.1 已知數列定義為 a 0 = a 1 = 1,a n = a n 1 + a n n, 試証此數列之一般項為 a n = 1 (( 1 + 5 5 n ) ( 1 n 5 ) ), n N. 證明提示 : 除了可以透過遞迴數列 ( 生成函數 ) 求法, 亦可以用數學歸納法証明之. 已知濃度分別為 a 1 = 10%, b 1 = 0% 的溶液各 100 毫升, 分別自兩溶液取出 10 毫升, 然後放入對方容器中, 得濃度為 a, b, 延續此步驟 n 1 次得 a n, b n, 試求 a n, b n =? 答 :a n = 15 5 ( 1 5 )n 1. 提示 : 分點公式可得 a n, b n, 兩者終將向 15% 靠攏. 或另解, 可先求 a n, b n 之遞迴關係式. 練習 4.13 試求級數和 1 1! +! + 3 3! +... + n n! =? 答 :(n + 1)! 1. 提示 :k k! = (k + 1 1) k! = (k + 1)! k! 38

第 5 章多項式 多項式的基本概念 5.1 待補上 : 綜合除法, 牛頓逼近法 逐次漏項法 ( 詳細版 ) 泰勒展開式 ( 補充 ). 要點 5.1 經由文字符號 ( 變數 ) x, y, z,... 與數字的加 減 乘法運算而得的式子, 稱為多項式. 文字符號 ( 變數 ) 稱為 元. 例如 : x + x +1 ( 一元二次多項式 ), 5 3x +6y ( 二元一次多項式 ), x y +6x y + ( 二元三次多項式 ),x y + yz + zx ( 三元二次齊次多項式 ). 設 n 為非負整數, 令 f (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, 其中 a n, a n 1,..., a 1, a 0 為常數, 且 a n 0, 則 a n, a n 1,..., a 1, a 0 稱為 係數,a n x n, a n 1 x n 1,..., a 1 x, a 0 稱為 項. 定義 deg f (x) = n, 稱為此多項式的 次數. a n 稱為 領導係數, 或是 首項係數.a 0 稱為 常數項. 若 n = 0 且 a 0 0, 則 f (x) 稱為 零次多項式. 若 n = 0 且 a 0 = 0, 則 f (x) 稱為 零多項式. 零次多項式以及零多項式, 皆稱為 常數多項式. 多項式的次方又稱為 冪. 多項式依照 x 的次方由高至低, 將各項排列, 稱為 降冪排列. 多項式依照 x 的次方由低至高, 將各項排列, 稱為 升冪排列. 若多項式 f (x) 的係數皆為整數, 則稱 f (x) 為整係數多項式, 記作 f (x) Z[x]. 同理, 若 f (x) 的係數皆為有理數 ( 或是實數, 複數 ), 則 f (x) 稱為有理係數 ( 或是實係數, 複係數 ) 多項式, 記作 f (x) Q[x] ( 或是 f (x) R[x], f (x) C[x]). 要點 5. ( 多項式的相等 ) 設有兩多項式 f (x), g(x), 若 f (x) = g(x) 恆成立, 則 f (x) 與 g(x) 有相同的次數, 且各同次項 對應係數相等. 39

要點 5.3 ( 零多項式定理與多項式的恆等定理 ) 設有多項式 f (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 為次數不超過 n 次或次數不存在的零多項式, 若 f (x) = 0 有超過 n 個以上的相異根, 則 f (x) = 0 恆成立, 亦即, f (x) 為零多項式. 設有兩多項式 f (x) 與 g(x) 皆為次數不超過 n 次或次數不存在的零多項式, 若 f (x) = g(x) 有超過 n 個以上的相異根, 則 f (x) = g(x) 恆成立, 亦即, f (x) 與 g(x) 為相同的多項式. 要點 5.4 (Lagrange 插值法 ) 若 f (x) 為二次多項式, 且存在三個相異數 x 0, x 1, x 使得 f (x 0 ) = a, f (x 1 ) = b, f (x ) = c, 則 f (x) = a (x x 1) (x x ) (x 0 x 1 ) (x 0 x ) + b (x x 0) (x x ) (x 1 x 0 ) (x 1 x ) + c (x x 0) (x x 1 ) (x x 0 ) (x x 1 ). 若 f (x) 為 n 次多項式, 且存在 n+1 個相異數 x 0, x 1,..., x n+1 使得 f (x 0 ) = a, f (x 1 ) = b,..., f (x n+1 ) = c, 則 a n (x x k ) k=1 f (x) = n + (x 0 x k ) k=1 b (x x 0 ) n (x x k ) k= (x 1 x 0 ) n (x 1 x k ) k= + + (x x k ) k=1. n 1 (x n x k ) k=1 c n 1 要點 5.5 ( 縮小版的 Lagrange 插值法及逐次漏項法 ) 對任意的相異實數 a, b, c, 所有的 a x + a 1 x + a 0 恆可以表示成 l(x a)(x b) + m(x b)(x c) + n(x a)(x c), 或是 l(x a)(x b) + m(x a) + n, 其中 l, m, n R. 註 : 上兩式皆可以推廣到 n 次方程式. 要點 5.6 已知 a R, a 0, n N, 則 1. f (x) 為 n 次多項式 f (x + a) f (x) 為 n 1 次多項式 ;. f (x) 為 n 次多項式 f (x ) 為 n 次多項式. 設 f (x) 與 g(x) 皆為非零多項式, 且 f (x) + g(x) 0, 則 deg ( f (x) + g(x)) max{deg f (x), deg g(x)} deg ( f (x) g(x)) = deg f (x) + deg g(x) 40

要點 5.7 設 n N 且 f (x) 為 n 次多項式函數, 若已知 f (x), f (x + a),, f (x + na) 的函數值, 利用 f (x + a) f (x) 會降次的特性, 可以將 f (x) 經由 n 次差分, 降為常數函數, 利用階差數列的技巧, 可求得 f (x + ka) (k Z) 的函數值. Note: 如此速算, 會比用 Lagrange 插值法來的快. 要點 5.8 (Babbage 定理 ) 設 f (x) 為多項式, 且 a 為任意實數, d 為非零實數,, 則 1. 若 f (x) 為常數多項式, 則 f (a + d) f (a) = 0.. 若 deg f (x) = 1, 則 f (a + d) f (a + d) + f (a) = 0. 3. 若 deg f (x) =, 則 f (a + 3d) 3 f (a + d) + 3 f (a + d) f (a) = 0. 4. 若 deg f (x) = 3, 則 f (a + 4d) 4 f (a + 3d) + 6 f (a + d) 4 f (a + d) + f (a) = 0. 5. 若 deg f (x) = n 1, 則 C n 0 f (a + nd) C n 1 f (a + (n 1)d) + + ( 1) n 1 C n n 1 f (a + d) + ( 1) n C n n f (a) = 0. Note: 善用差分方程式, 解題速度才會快. 要點 5.9 ( 多項式的加法 減法 乘法與除法 ) 舉例教學 : 多項式的加 減 乘法, 用觀察法 ( 分配律及同次項合併 ) 分離係數法. 長除法與綜合除法. 綜合除法對於除式領導係數不為 1 的情形, 或是除式為二次以上的情形. 連續使用綜合除法, 將 x 的多項式, 改變為 (ax + b) 的多項式. 練習 5.1 設 a, b, c, d, p, q, r, s R 且 f (x) = 8x 3 + 4x 16x + 5 = a(x 1) 3 + b(x 1) + c(x 1) + d = p(x+1) 3 +q(x+1) +r(x+1)+s, 求有序數組 (a, b, c, d, p, q, r, s) 之值? 求 f (0.999) 及 f ( 0.499) 到小數點以下第三位 ( 第四位四捨五入 ). 答 :(a, b, c, d, p, q, r, s) = (8, 8, 16, 1, 1,, 7, 13),0.984, 1.986. 要點 5.10 ( 除法原理 ) 被除式 = 除式 商式 + 餘式 等價於 被除式除式 其中,deg( 餘式 ) < deg( 除式 ) 或是餘式 = 0. 善用 逐次漏項法 來假設餘式. = 商式 + 餘式除式 41

練習 5. 若 n 1 次多項式 f (x) 滿足 f (a i ) = a n i i = 1,,..., n, 試証 : f (x) = x n (x a 1 )(x a ) (x a n ). 提示 : 利用多項式的粧等定理, 或是利用因式定理 ( 令 g(x) = f (x) x n, 由 g(a i ) = 0 i = 1,,..., n 可得 (x a i ) g(a i ) i = 1,,..., n) 且利用比較首項係數, 即可得証. 要點 5.11 ( 多項式的係數 ) 設 n 為非負整數, 且多項式 f (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, 則 f (x) 的常數項 a 0 = f (0) f (x) 的所有係數和 a 0 + a 1 + a + a 3 + + a n 1 + a n = f (1), a 0 a 1 + a a 3 + + ( 1) n 1 a n 1 + ( 1) n a n = f ( 1), f (x) 的偶次項係數和 a 0 + a + a 4 + = f (x) 的奇次項係數和 a 1 + a 3 + a 5 + = f (1) + f ( 1), f (1) f ( 1), a 0 a + a 4 = f (i) 的實部, a 1 a 3 + a 5 = f (i) 的虛部, a 0 + a 3 + a 6 + = f (ω) 中的常數, a 1 + a 4 + a 7 + = f (ω) 中 ω 的係數, a + a 5 + a 8 + = f (ω) 中 ω 的係數,. 練習 5.3 P(x) = x 6 1x 5 + 45x 4 1x 3 + 1x x 3, Q(x) = x 4 1x 3 + 44x 4, 已知 Q(x) = 0 之 四根為 a, b, c, d, 求 P(a) + P(b) + P(c) + P(d) 之值為何? 答 :336. 提示 : 先求 P(x) Q(x) 之餘式 R(x) = x x + 1, 再求 R(a) + R(b) + R(c) + R(d). 5.1.1 在課堂之外 4

要點 5.1 ( 三次方程式的判別式 ) 設 p, q, r R, 若 a, b, c 是 f (x) = x 3 px + qx r = 0 的三根, 則此多項式的判別式 f = {(a b)(b c)(c a)} = p q 4p 3 r + 18pqr 4q 3 7r, 且 1. f 0 f (x) = 0 有三實根.. f < 0 f (x) = 0 有一實根及兩共軛虛根. Note: 1. 設 p, q R, 若 a, b, c 是 f (x) = x 3 + px + q = 0 的三根, 則此多項式的判別式 f = {(a b)(b c)(c a)} = 4p 3 7q. ). 參考資料 : 許志農教授的算術講義第 35 單元. ( 網址 : http://math.ntnu.edu.tw/ maco/arith.htm 要點 5.13 ( 泰勒展開式 ) 設 n N, 已知 f (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, 則對任意實數 a, f (x) = n k=0 由泰勒展開式可知, f (k) (a) (x a) k k! = f (a) + f (a) 1! f (x) 有 (x a) 的因式 f (a) = 0, (x a) + f (a)! f (x) 有 (x a) 的因式 f (a) = 0 且 f (a) = 0. (x a) + + f (n) (a) (x a) n. n! 餘式定理與因式定理 5. 待補 : 高斯引理 ( 代數學的版本 ), 艾森斯坦判別法 要點 5.14 ( 餘式定理與因式定理 ) 設 a, b R, a 0, f (x) 為多項式, 則 f (x) 除以 ax b 之餘式為 b a. f (x) 有整係數一次因式 ax b f ( b a ) = 0 練習 5.4 設 f (x) 為五次多項式, 且 f (1) = 1, f () = 4, f (3) = 9, f (4) = 16, f (5) = 5, f (6) = 156, 試求 f (0) 之值. 答 : 84. 提示 : 令 h(x) = f (x) x. 43

要點 5.15 ( 廣義餘式定理 ) 設 f (x) 為多項式, 則 f (x) 除以 a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 (a n 0) 之餘式為 f (x) 中 x n 以 1 a n (a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 ) 重複帶入之結果. 原理 : 想想高次綜合除法的運算過程吧. 練習 5.5 設 f (x) = x 1 + x 9 3x 6 + 4x 5, 求 f (x) 除以 (1) x 1 () x 3 + 1 (4) x 5 1 (5) x x + 1 之各別餘式. 答 : x 3, 4x 8, x 4 + 5x 3x 5, 4x 1 練習 5.6 設 f (x) = x 3 3x 4 + 3x 14, 求 f (x) 除以 (1) x + x + 1 () x 3 x + x 1 (3) x 4 x 3 + x x + 1 之各別餘式. 答 : 4x 9, 3x 4, x. 要點 5.16 ( 牛頓定理, 整係數多項式的整係數一次因式檢驗法 ) 設 n 次整系數多項式 f (x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x +a 0, 若 f (x) 有整系數一次因式 (ax b), 其中 a N, b Z, (a, b) = 1, 則 a a n, b a 0. 高斯引理 : 對於任意整數 m, am b f (m) a b f (1), a + b f ( 1) 最高公因式與最低公倍式 5.3 待補 : 轉轉相除法求 H.C.F. 要點 5.17 ( 最高公因式與最低公倍式 ) 1. f (x) 與 g(x) 的 最高公因式 : f (x) 與 g(x) 的共同的因式當中, 次方數最大的多項式, 記作 HCF.. f (x) 與 g(x) 的 最低公倍式 : f (x) 與 g(x) 的共同的倍式當中, 次方數最小的多項式, 記作 LCM. 3. 設 f (x) 與 g(x) 的 HCF 與 LCM 分別為 d(x), m(x), 則 f (x)g(x) = k (d(x)m(x)), 其中 k 為任何非零的常數. 4. 差異為非零常數倍的多項式, 並不影響因倍式的關係. 5. 互質的多項式 : 若兩多項式 f (x) 與 g(x) 的最高公因式恰為非零常數, 則稱 f (x) 與 g(x) 互質. 44

要點 5.18 ( 因式 倍式的關係 ) 設 f (x), g(x), d(x) 皆為多項式, 則 1. 若 d(x) f (x) 且 f (x) g(x), 則 d(x) g(x).. 若 d(x) f (x) 且 d(x) g(x), 則對任意多項式 m(x) 與 n(x), 恆有 d(x) f (x)m(x)±g(x)n(x) 成立. 善用 : 削頭去尾法, 找最高公因式. 練習 5.7 ( 削頭去尾法 ) 若 f (x) = x 3 + ax + 11x + 6, g(x) = x 3 + bx + 14x + 8 的為高公因式為二次式, 試求 a, b 之值. 答 : a = 6, b = 7. 要點 5.19 ( 輾轉相除法的原理 ) 設 f (x), g(x) 為兩多項式, 且 f (x) 除以 g(x) 的商式為 Q(x), 餘式為 r(x), 則 f (x) = g(x)q(x) + r(x), 且 f (x) 與 g(x) 的 HCF = g(x) 與 r(x) 的 HCF. 多項函數 5.4 要點 5.0 ( 函數 ) 若給定 x 值, 則 y 值唯一確定, 則可稱 y 為 x 的函數, 記作 y = f (x) 或是 f x y, 其中 x 稱為 自變數, y 稱為 應變數. 若 y = f (x) 為 x 的函數, 則 1. 若 f (x) 為多項式, 則稱 f (x) 為 多項式函數 或 多項函數.. 若 f (x) 為 n 次多項式, 亦可稱 f 為 n 次函數. 3. 若 f (x) 為常數多項式, 亦可稱為 f 常數函數. 4. 若 f (x) = ax + b, 其中 a, b R, 則函數圖形為一直線, 且 f 稱為線性函數. 要點 5.1 ( 函數的圖形 ) 描繪所有 (x, f (x)) 的點, 形成的圖形稱為 函數 f 或 y = f (x) 的圖形. 若 y = f (x) 為 x 的函數, 則對任意的 x = a 直線, 與 y = f (x) 的圖形至多交於一點. ( 判斷是否為函數圖形 : 鉛筆法.) 45

要點 5. ( 平移與伸縮 ) 直角坐標平面上, 將 f (x, y) = 0 的圖形, 沿 x 軸方向平行移動 a 單位, 沿 y 軸方向平行移動 b 單位, 則平移後的圖形新方程式為 f (x a, y b) = 0. 直角坐標平面上, 將 f (x, y) = 0 的圖形, 平行 x 軸方向伸縮為原來的 a 倍, 平行 y 軸方向伸縮為原來的 b 倍, 則平移後的圖形新方程式為 f ( x a, y b ) = 0. 要點 5.3 ( 拋物線的頂點與對稱軸 ) 二次函數 y = ax + bx + c 經配方可以表示成 y = a (x + b a ) + 1. 圖形為拋物線.. 頂點為 ( b 4ac b, ). a 4a 3. 對稱軸為 x = b a. 4ac b, 4a 要點 5.4 直角坐標平面上, 二次函數 y = ax + bx + c, 判斷係數正負號, 1. a 正負 : 看拋物線開口上下 ; a 愈大, 則開口愈小.. b 正負 : 看 (0, c) 之切線斜率正負值 ; 或看對稱軸 x = b 所在位置, 判定 a 與 b 同號或異號. a 3. c 正負 : 看 y 截距之正負值 ; 4. b 4ac 正負 : 看拋物線與 x 軸相交情形 ( 無交點 相切 或是交於相異兩點 ); 5. a + b + c 正負 : 看拋物線與 x = 1 直線交點之 y 坐標正負值 ; 6. a b + c 正負 : 看拋物線與 x = 1 直線交點之 y 坐標正負值 ; 7. 4a + b + c 正負 : 看拋物線與 x = 直線交點之 y 坐標正負值. Note: 拋物線 y = ax + bx + c 之頂點為 ( b 4ac b, ). a 4a 要點 5.5 ( 二次函數與 x 軸的交點 ) 二次函數 y = ax + bx + c 與 x 軸 (y = 0) 的相交情形, 相交於兩點 b 4ac > 0 相切於一點 b 4ac = 0 沒有交點 b 4ac < 0 46

要點 5.6 ( 二次函數恆正 恆負 恆非負 恆非正的充要條件 ) 二次函數 y = ax + bx + c > 0 恆成立 ( 恆正, 正定性 ) a > 0 b 4ac < 0 ( 拋物線開口向上且與 x 軸無交點.) 二次函數 y = ax + bx + c < 0 恆成立 ( 恆負 ) a < 0 b 4ac < 0 ( 拋物線開口向下且與 x 軸無交點.) 二次函數 y = ax + bx + c 0 恆成立 ( 恆非負 ) a > 0 b 4ac 0 ( 拋物線開口向上且與 x 軸無交點或相切.) 二次函數 y = ax + bx + c 0 恆成立 ( 恆非正 ) a < 0 b 4ac 0 ( 拋物線開口向上且與 x 軸無交點或相切.) 註 :1. 如果題目沒有說明是 二次函數, 則須討論是否有可能 a = 0.. y = ax + bx + c 圖形恆在 y = k 上方 ax + bx + (c k) > 0 恆成立. 要點 5.7 ( 最小平方法 找算術平均數 ) 設 n N 且二次函數 y = f (x) = (x a 1 ) + (x a ) + + (x a n ), 則當 x = a 1 + a + + a n 時, y 有最小值 f ( a 1 + a + + a n ) = a1 +a n n + +a n (a 1 + a + + a n ) n 為最小值. 練習 5.8 設 y = (x 1) + (x ) + 3(x 3) + + 100(x 100), 則當 x 為何時, y 會有最小值. 答 : 67. 要點 5.8 ( 絕對值函數的折線圖 找中位數 ) 設 n N, 二次函數 y = f (x) = x a 1 + x a + + x a n 且 a 1 a a n, 則當 x 為 a 1, a,, a n 的中位數 時, y 有最小值. 註 : 若 n 為偶數, 則 x 為介在最中間兩數之間的任一數值, 都會有相同的最小 y 值. 練習 5.9 ( 柯西不等式 ) 利用多項式的恆正 恆負, 證明柯西不等式 : 已知 a 1, a,..., a n, b 1, b,..., b n 皆為實數, 則 (a 1 + a + + a n)(b 1 + b + + b n) (a 1 b 1 + a b + + a n b n ), 且當等號成立時, 存在 k R 使得 k(a 1, a,..., a n ) = (b 1, b,..., b n ). 多項方程式 5.5 待補 : 勘根定理 ( 利用迷你綜合除法, 勘正根時, 勘到全部同號, 堪負根時, 勘到正負交錯, 則停止.) 牛頓法求近似值 額外補充均值定理. 要點 5.9 ( 方程式的根 ) 若 f (x) 為 n 次多項式, 則 f (x) = 0 稱為 n 次多項 ( 式 ) 方程式, f (x) = 0 之 解, 亦稱為 根. 47

要點 5.30 ( 代數基本定理 ) 設 n 為自然數, 對於任何一個複數係數 n 次多項式方程式, 在複數系中恆有解. 推廣 : 設 n 為自然數, 對於任何一個複數係數 n 次多項式方程式, 恰有 n 個複數根 ( 重根要重複 計算次數 ). 要點 5.31 ( 多項方程式的公式解 ) 多項式方程式的公式解 : 利用多項式方程式的係數做 +,,, 以及開二次方根, 用以表示此方 程式的根. 對於任意的一次多項式方程式 ax + b = 0 的公式解 : x = b a. 對於任意的二次多項式方程式 ax + bx + c = 0 的公式解 : x = b ± b 4ac. a 對於任意的五次 ( 含 ) 以上的多項式方程式, 並不存在公式解. 要點 5.3 ( 實係數方程式虛根成對出現 ) 設 f (x) 是實係數多項式, 若 f (x) = 0 有複數根 z 0, 則 z 0 也會是 f (x) = 0 的根. Note: 設 f (x) 是實係數多項式, 則 f (z) = f (z). 要點 5.33 ( 二次無理根成對出現 ) 設 f (x) 是有理係數多項式, 若 f (x) = 0 有無理數根 a + b c (a, b, c Q), 則 a b c 也會是 f (x) = 0 的根. 要點 5.34 ( 倒數方程式 ) 設 n 次實係數多項式方程式 a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 = 0, 若方程式係數左右對稱 ( 亦即, 1 將 x 以帶入之後, 有相同方程式 ), 則稱此方程式為倒數方程式. x 解倒數方程式 : 若 n 為偶數, 則同除以 x n, 再解方程式 ( 令 t = x ± 1 x, 則 x + 1 x = t ). 若 n 為奇數, 則提出 (x + 1) 或 (x 1), 再解剩下的 n 1 次倒數方程式. 考題 5.1 已知 x 4 1x 5 = 0 有兩根之和為, 試求方程式的所有根. 答 :1 ±, 1 ± i. 提示 : 由根與係數, 可知另兩根和為, 令 x 4 1x 5 = (x + x + a)(x x + b) 左右比較係數, 可求出 a, b. 48

要點 5.35 ( 勘根定理 ) 設 f (x) 是連續函數, a, b 為兩個相異實數, 若 f (a) f (b) < 0, 則必存在 c 介於 a, b 之間, 使得 f (c) = 0. 重要性質 : 1. 若 f (a) f (b) < 0, 則 f (x) = 0 在 a, b 之間有奇數個根 ( 重根要重複計算 ); 若 f (a) f (b) > 0, 則 f (x) = 0 在 a, b 之間有偶數個根 ( 重根要重複計算 ).. 利用縮小版綜合除法時, 正根勘到 係數全同號, 負根勘到 係數正負交錯, 則停止. 練習 5.10 設 f (x) = x 3 + ax + bx + c 為整係數多項式, 且 f (x) = 0 的三根皆為有理數, 若 f ( ) < 0, f ( 6) > 0, f (π) < 0, f ( 3) > 0, 求 a, b, c 之值. 答 : a = 9, b = 6, c = 4. ( 提示 : 利用整係數一次因次檢驗法, 可得三根皆為整數. 再由勘根定理, 可得三根為, 3, 4, 所以 f (x) = (x )(x 3)(x 4).) 要點 5.36 ( 中間值定理 ) 設 f (x) 是連續函數, a, b 為兩個相異實數, 若 m 是介在 f (a) 與 f (b) 之間的任一實數, 則必存在 c 介於 a, b 之間, 使得 f (c) = m. 多項不等式 5.6 49

要點 5.37 ( 一次與二次多項式不等式 ) 設 a, b, c 皆為實數, 三一律 : a > b, a < b, a = b 恰有其中一個成立. 遞移律 : 若 a > b 且 b > c, 則 a > c. 等量加法律 : 若 a > b, 則 a + c > b + c. 乘法律 : 若 a > b, 且 1. 若 c > 0, 則 ac > bc.. 若 c < 0, 則 ac < bc. 設實係數多項式函數 f (x) = ax + bx + c, a > 0, 若 f (x) = 0 之兩根為 α, β 且 α < β, 則 f (x) = a(x α)(x β) < 0 α < x < β, f (x) = a(x α)(x β) 0 α x β, f (x) = a(x α)(x β) > 0 x < α 或 x > β, f (x) = a(x α)(x β) 0 x α 或 x β. Note: 1. 此法, 或若遇到重根, 亦可以用函數圖形的觀點解之.. 若 f (x) = 0 無實根, 則 f (x) 恆正或恆負. 3. 若首項係數為負, 則不等號左右可以先同乘以 1. 要點 5.38 ( 有重根的高次不等式 ) 若高次不等式經因式分解之後有重根, 則 代數法 圖形法 1. 若為奇數次方, 則直接降為 1 次方.. 若為偶數次方, 則直接拿掉, 並且另外討論零根. 1. 若為奇數次方, 則圖形直接穿過 x 軸.. 若為偶數次方, 則圖形在該點與 x 軸恰相切. 50

要點 5.39 ( 分式不等式與根式不等式 ) 設 A, B 為兩多項式, 則 A B > 0 AB > 0 A B 0 AB 0 B 0 A < B A 0 B > 0 A < B A > B A 0 (B < 0 (B 0 A > B )) 51

第 6 章指數與對數函數 指數 6.1 要點 6.1 ( 正整數指數的定義與指數律 ) 對任意實數 a, 正整數 n, 定義 Note: 0 0 無意義. ( 指數律 ) 對任意實數 a, b, 正整數 m, n, 則 1. a n a m = a n+m,. (a n ) m = a nm, 3. a n b n = (ab) n. a n = a a a. n 次 要點 6. ( 整數指數的定義與指數律 ) 對任意實數 a, a 0, 整數 n, 定義 ( 指數律 ) 對任意非零實數 a, b, 整數 m, n, 則 1. a n a m = a n+m,. (a n ) m = a nm, 3. a n b n = (ab) n. a 0 = 1, a n = 1 a n. 5

要點 6.3 ( 有理數指數的定義與指數律 ) 對任意實數 a, a > 0, 正整數 n, 整數 m, 定義 a 1 n = n a, a m n = ( n a) m = n a m. ( 指數律 ) 對任意正實數 a, b, 有理數 m, n, 則 1. a n a m = a n+m,. (a n ) m = a nm, 3. a n b n = (ab) n. 要點 6.4 ( 實數指數的定義與指數律 ) 對任意實數 a, a > 0, 實數 r, 定義 a r = lim n a rn, 其中,< r n > 數列為有理數數列, 且滿足 lim n r n = r. ( 指數律 ) 對任意正實數 a, b, 實數 m, n, 則 1. a n a m = a n+m,. (a n ) m = a nm, 3. a n b n = (ab) n. 要點 6.5 練習 6.1 練習 6. 對任意非零實數 a, 恆有 1 1 + a + 1 = 1. 1 + a 1 設 a > 0, x R, 已知 a x + a x = t, 則 1. 證明 : t,. 將 a x + a x, a 3x + a 3x, a x a x 以 t 表示. 答 : 1. 略. a x + a x = t, a 3x + a 3x = t 3 3t, a x a x = ± t 4. 解方程式 (4 x + 4 x ) 5( x + x ) + 6 = 0. 答 : x = 0. 53

練習 6.3 已知 x 0, 解方程式 x x x = (x x) x. 答 : x = 1 或 x = 9 4. ( 提示 : 考慮是否 x = 0, 1, 1, 若 x 0, 1, 1, 則 x a = x b a = b.) 練習 6.4 若 α, β 為 3 x 3 x+ + 3 3 = 0 之兩根, 求 α + β 之值. 答 : x = 3. 練習 6.5 設 m R, 若 3 x (m + 3)3 x (m 1) = 0 有兩相異實根, 求 m 之範圍. 答 : 0 < m < 1 ( 提示 : 令 t = 3 x, 則 t 的一元二次方程式有兩相異正根 判別式 > 0, 兩根之積 > 0, 兩根之和 > 0.) 練習 6.6 練習 6.7 設 ABC 的三邊長分別為 a, b, c, 且 7 a + 7 b + 7 c = 3 a+b+c+1, 則 ABC 為何種三角形? 答 : 正三角形. ( 提示 : 利用算幾不等式.) 設 a, x, y 皆為實數, 且 x + y = a, x y = 1, x + y = 3, 求 a 之值. 1 答 :. 33 指數函數及其圖形 6. 待補 : 指數函數的圖形 54

要點 6.6 ( 指數函數, 及其圖形 ) 設 a > 0, a 1, x R, 則稱 y = f (x) = a x 是 以 a 為底數的指數函數. 若 a > 1, 則 1. 圖形恆在 x 軸上方,. 必通過 (0, 1), 3. f (x) 為增函數, 亦即對任意實數 α, β, α > β f (α) > f (β), 4. 開口凹向上, 5. 漸近線 x 軸, 6. f (x) 為一對一函數, 亦即對任意實數 α, β, f (α) = f (β) α = β. 若 0 < a < 1, 則 1. 圖形恆在 x 軸上方,. 必通過 (0, 1), 3. f (x) 為減函數, 亦即對任意實數 α, β, α > β f (α) < f (β), 4. 開口凹向上, 5. 漸近線 x 軸, 6. f (x) 為一對一函數, 亦即對任意實數 α, β, f (α) = f (β) α = β. Note: 指數函數圖形的升降都超快. 要點 6.7 ( 半衰期 ) 半衰期 : 某種特定物質的物理量經過長時間之後, 降低到剩下原來的一半所需要的時間. 對數 6.3 要點 6.8 ( 對數的定義 ) 設 a > 0, a 1, x > 0, y R, 若 a y = x, 則定義 y = log a x, 其中 a 稱為 底數, b 稱為 真數, y 稱為 當 b 以 a 為底數時的對數值. Note: 1. 魚鉤法記憶.. 對數符號有意義 底數 > 0, 底數 1, 真數 > 0. 55

要點 6.9 ( 對數的性質 ) 設 a > 0, a 1 且 x, y 皆為正實數, 則 1. log a a = 1,. log a 1 = 0, 3. log a x y = log a x + log a y, 4. log a x y = log a x log a y, 5. log a x t = t log a x, 其中 t 為任意實數, 6. ( 換底公式 ) log a x = log b x log b a, 其中 b 為任意正實數, 且 b 1, 7. log a x = 1 log x a, 其中 x 1, 8. log a s x t = t s log a x, 其中 s, t 為任意實數, 且 s 0, 9. a log a b = b, 10. ( 蹺蹺板公式 ) x log a y = y log a x, 11. ( 連鎖公式 ) log a b log b c log c d log d e = log a e, 其中 a, b, c, d, e 皆滿足為底數的條件. 練習 6.8 若 log x 1 ( 3x + 11x 6) 有意義, 求 x 的範圍. 答 : 3 < x < 1 或 1 < x < 3. 練習 6.9 練習 6.10 已知 (log 10 x) log 10 x + 8 = 0 之兩根為 α, β, 求 αβ 之值. 答 : 100. 解方程式 x log 10 x = 100x, 求 x 之值. 1 答 : 100 或 10. 對數函數及其圖形 6.4 待補 : 函數的圖形. 56

要點 6.10 ( 對數函數, 及其圖形 ) 設 a > 0, a 1, x > 0, 則稱 y = f (x) = log a x 是 以 a 為底數的對數函數. 若 a > 1, 則 1. 圖形恆在 y 軸右方,. 必通過 (1, 0), 3. f (x) 為增函數, 亦即對任意實數 α, β, α > β f (α) > f (β), 4. 開口凹向下, 5. 漸近線 y 軸, 6. f (x) 為一對一函數, 亦即對任意實數 α, β, f (α) = f (β) α = β. 若 0 < a < 1, 則 1. 圖形恆在 y 軸右方,. 必通過 (1, 0), 3. f (x) 為減函數, 亦即對任意實數 α, β, α > β f (α) < f (β), 4. 開口凹向上, 5. 漸近線 y 軸, 6. f (x) 為一對一函數, 亦即對任意實數 α, β, f (α) = f (β) α = β. 要點 6.11 ( 對稱圖形 ) 設 a > 0, a 1, 則 y = a x 與 y = ( 1 a ) x 的函數圖形對稱於 y 軸. y = log a x 與 y = log 1 a x 的函數圖形對稱於 x 軸. y = a x 與 y = log a x 的函數圖形對稱於 y = x 直線. 練習 6.11 ( 剝殼法 ) 練習 6.1 若 log 10 log 3 log 1 log x 有意義, 求 x 的範圍. 答 : 1 < x <. 若 1 < x < 100, 求 y = f (x) = x 1 log 1 0x 的最大值與最小值. 答 : 最大值為 10 1 4, 最小值為 10. 57

練習 6.13 求下列各方程式的實根個數, 1. x 1 = log x.. x = log x + 1 答 : 1. 3 個 ;. 個. ( 提示 : 第二個方程式可以先改寫成 x 1 = log x.) 查表法與內插法 6.5 待補 : 對數表與查表法, 內插法. 要點 6.1 ( 常用對數與自然對數 ) 以 10 為底的對數, 稱為常用對數, 底數可以省略不寫, 如 log = log 10. 以無理數 e =.7188... 為底數的對數, 稱為自然對數, 可以簡寫為 ln, 如 ln = log e. 要點 6.13 (1 至 10 的常用對數值 ) 若 log = 0.3010, log 3 = 0.4771, log 7 = 0.8451, 則 log 1 = 0, log 4 = log = 0.600, log 5 = 1 log = 0.6990, log 6 = log + log 3 = 0.7781, log 8 = 3 log = 0.9030, log 9 = log 3 = 0.954, log 10 = 1. 要點 6.14 ( 首數與尾數 ) 設 a > 0, 則存在正實數 b 與整數 n, 滿足 0 b < 1, 使得 a = b 10 n, 此種表示法稱為 a 的科學記號 ( 或科學符號 ) 表示法, 此時 log a = n + log b, 其中 n 稱為 log a 的首數, log b (0 log b < 1) 稱為 log a 的尾數. Note: 首數必為整數, 而尾數必為 正小數或 0. 58

要點 6.15 ( 首數與尾數的公用 ) 要點 6.16 設 a > 0, 且 log a 的首數為 n, 尾數為 log b, 則 1. 若 n 0, 則 a 的整數部分為 n + 1 位數, 且最高位數字為 [b]. ( 最高位數字 亦稱為 首位數字.). 若 n < 0, 則 a 在小數點之後第 ( n) 個數字開始不是 0, 且小數點之後第一個不是 0 的數字是 [b]. Note: [b] 為 b 的高斯符號, 也就是不超過 b 的最大整數. 設 x, y 皆為正實數, 1. 若 log x 與 log y 尾數相等, 則 log x log y 為整數.. 若 log x 與 log y 尾數和為 1, 則 log x + log y 為整數. 6.5.1 課堂之外 要點 6.17 ( 自然對數的底數 ) 定義 e = lim (1 + 1 n n n ), 則稱 e 為 自然對數的底數, 並且稱 以 e 為底數的對數函數 為 自然對數, 並以 ln x = log e x 表示. e 的性質有 e = 1 + 1 1! + 1! + 1 3! + = 1 n=0 n!, 亦有書籍將此當作是 e 的定義. d dx ex = e x 且 1 x dx = ln x + c, 其中 c 為常數. 對任意實數 θ, 定義 e iθ = cos θ + i sin θ, 且 e iπ + 1 = 0 ( 尤拉公式 ). 59

第 7 章三角函數 待補上 : 已知三角形三高求面積的題目, 三角函數定義的 S,C,T 記憶法, 六角形記憶法 四賤客互換 萬能公式 廣義角與狹義角的快速切換公式. cos θ, sin θ 連乘 連加 ( 角度成公差 ) 公式. 銳角三角函數 7.1 待補 : 三角函數與單位圓上線段的關係. 要點 7.1 ( 銳角三角函數的定義 ) 設 ABC 的 C = 90, 則定義 sin A = A 的對邊斜邊 cos A = A 的鄰邊斜邊 = A 的正弦函數值, = A 的餘弦函數值, tan A = A 的對邊 = A 的正切函數值, A 的鄰邊 cot A = A 的鄰邊 = A 的餘切函數值, A 的對邊 sec A = 斜邊 = A 的正割函數值, A 的鄰邊 csc A = 斜邊 = A 的餘割函數值. A 的對邊 Note: 對任意角度 θ 與任意正整數 n, 定義 sin n θ = (sin θ) n, 其餘三角函數亦同理定義之. 要點 7. ( 求半角的方法 ) C θ D θ A θ B 已知 θ 的任何一個三角函數值, 要求 θ BAC = θ 且 AC = AD, 則 BDC = θ. 的六個三角函數值, 可藉由如上圖, 做出直角 ABC, 使得 60

要點 7.3 ( 三角函數與在單位圓上的線段 ) C D A E O θ B F 如圖為以原點為圓心的單位圓, 則 sin θ = AB, cos θ = OB, tan θ = EF, cot θ = CD, sec θ = OE, csc θ = OD. 要點 7.4 ( 斜率與斜角 ) 直角坐標平面上, 若有一直線 L ax + by + c = 0 交正向 x 軸的夾角為 α ( 斜角 ), 則 tan α = L 的斜率 = a b. 要點 7.5 ( 特殊角的三角函數值 ) 15 6 4 30 1 sin cos tan cot sec csc 6 + 3 + 3 6 6 + 4 3 1 3 3 3 45 1 1 1 1 3 60 6 + 75 4 1 6 4 3 1 3 + 3 3 3 6 + 6 61

要點 7.6 ( 大小關係式 ) 設 θ 為銳角 ( 0 < θ < 90 ), 則 0 < sin θ < 1, 0 < cos θ < 1 且 sec θ > 1, csc θ > 1. sin θ, tan θ, sec θ 皆為遞增函數, 且 sin θ < tan θ < sec θ. cos θ, cot θ, csc θ 皆為遞減函數, 且 cos θ < cot θ < csc θ. 正餘函數的比較, 若 0 < θ < 45, 則 正函數 小於 餘函數, 即 sin θ < cos θ, tan θ < cot θ, sec θ < csc θ. 若 θ = 90, 則 正函數 等於 餘函數, 即 sin θ = cos θ, tan θ = cot θ, sec θ = csc θ. 若 45 < θ < 90, 則 正函數 大於 餘函數, 即 sin θ > cos θ, tan θ > cot θ, sec θ > csc θ. Note: 注意六個三角函數, 在以圓點為圓心的單位圓, 由圓心往第一象限所做的三角形的對應線段長. 三角函數的基本關係 7. 要點 7.7 ( 倒數關係式 ) 設 θ 為銳角, 則 sin θ csc θ = 1, cos θ sec θ = 1, tan θ cot θ = 1. 要點 7.8 ( 商數關係式 ) 設 θ 為銳角, 則 tan θ = sin θ cos θ, cot θ = cos θ sin θ. Note: 六角形的任一頂點, 都等於與之相鄰兩頂點的乘積. 要點 7.9 ( 平方關係式 ) 設 θ 為銳角, 則 sin θ + cos θ = 1, tan θ +1 = sec θ, 1 + cot θ = csc θ. 6

要點 7.10 ( 餘角關係式 ) 設 θ 為銳角, 則 sin (90 θ) = cos θ, cos (90 θ) = sin θ, tan (90 θ) = cot θ, cot (90 θ) = tan θ, sec (90 θ) = csc θ, csc (90 θ) = sec θ. 練習 7.1 設 θ 為銳角, 若 sin θ + cos θ =, 試求 sin θ 之值. 答 : 4 5. 要點 7.11 設 θ 為銳角, 則 sin θ ± cos θ, sin θ cos θ 與 tan θ + cot θ 三者可以互相轉換, 關係如下 (sin θ ± cos θ) = 1 ± sin θ cos θ. tan θ + cot θ = 1 sin θ cos θ. 練習 7. 已知 θ 為銳角, 對任意正整數 n, 定義 f (n) = cos n θ+sin n θ, 試証 : 對任何大於 的正整數 n 皆會成立. f (n) f (n + ) f (n ) = cos θ sin θ, 簡易測量與三角函數值表 7.3 要點 7.1 ( 邊角關係式 ) 設 ABC 的 C = 90, 則 1. 若斜邊為 l, 則 A 的對邊為 l sin A, A 的鄰邊為 l cos A.. 若 A 的鄰邊為 l, 則 A 的對邊為 l tan A, 斜邊為 l sec A. 3. 若 A 的對邊為 l, 則 A 的鄰邊為 l cot A, 斜邊為 l csc A. 要點 7.13 ( 度 分 秒 ) 1 = 60, 1 = 60. 63

要點 7.14 ( 簡易三角測量 ) 視線 : 觀測者與觀測目標之連線. 鉛垂線 : 物體與地心之連線. 水平線 : 與鉛垂線垂直之直線. 俯角 : 由水平線往下移至視線之夾角. 仰角 : 由水平線往上移至視線之夾角. 斜角 : 平面上的直線與正向 x 軸的夾角. 坡度 : 即為斜率, 若平面上的直線之斜角為 θ, 則斜率為 tan θ. 方位 : 北 30 東, 即為由正北方偏東方 30 之視線. 東北, 即為正東邊與正北邊的角平分線. 東北東, 即為 東北 與正東邊的角平分線. 要點 7.15 ( 查三角函數值的表 ) 查詢三角函數值表時, 上方欄位 跟 左方欄位 相搭配, 左方欄位由上至下時, 角度由小至大. 下方欄位 跟 右方欄位 相搭配, 右方欄位由下至上時, 角度由小至大. 要點 7.16 ( 內插法 ) 欲使用內插法求三角函數直的近似值時, 先列出最接近角度的三角函數值, 然後比例, 找出 角度差距的比值 與 函數值差距的比值. 廣義角的三角函數 7.4 待補 : 象限角的三角函數值, 與圖解. 要點 7.17 ( 廣義角 ) 由始邊旋選至終邊, 逆時針為正, 順時針為負, 如此定義的有方向性的 有向角, 稱為 廣義角. 以正向 x 軸為始邊, 以原點為頂點的角, 稱為 標準位置角. 終邊位在象限軸上的標準位置角, 稱為 象限角. 終邊位在第一象限的角, 稱為第一象限角. ( 第二 三 四象限角, 亦同理定義之.) 64

要點 7.18 ( 同界角 ) 同界角 : 任兩角度如果相差的度數是 360 的整數倍數, 則稱為同界角. 兩同界角如果始邊及頂點重合, 則終邊亦會重合. α, β 為同界角 α β = 360 n, 其中 n 為整數. 最小正同界角 : 介在 0 ( 不含 ) 至 360 之間的同界角. 最大負同界角 : 介在 360 至 0 ( 不含 ) 之間的同界角. 要點 7.19 ( 廣義角的三角函數值 ) 設 θ 為標準位置角, 且在 θ 的終邊上任取異於原點的一點 P(x, y), 令 OP = r = x + y, 則定義 θ 的六個三角函數值如下 : sin A = y r, cos A = x r, tan A = y x, cot A = x y, sec A = r x, csc A = r y. O r = x +y θ x P(x, y) y Note: 1. 如果有分母為 0 的情形, 則該定義無意義.. 狹義角時所學到的三角函數關係式, 在廣 義角亦成立. 3. 同界角的三角函數值必相同. 65

要點 7.0 ( 廣義三角函數值的正負 ) 設 θ 為標準位置角, 若 θ 為第一象限角, 則 θ 的六個三角函數值皆正. 若 θ 為第二象限角, 則 sin θ, csc θ 為正, 其餘為負. 若 θ 為第三象限角, 則 tan θ, cot θ 為正, 其餘為負. 若 θ 為第四象限角, 則 cos θ, sec θ 為正, 其餘為負. 要點 7.1 ( 廣義三角函數值的範圍 ) 設 θ 為標準位置角, 則 sin θ 1 且 cos θ 1. tan θ R 且 cot θ R. sec θ 1 且 csc θ 1. 要點 7. ( 廣義角化狹義角的快速換算公式 ) 設 θ 為銳角,n 為整數,F 為某三角函數,coF 為 F 正餘互換之後的三角函數名稱, 則 F(90 n ± θ) = ± F(θ), 若 n 為偶數. cof(θ), 若 n 為奇數. 其中, 換算之後函數外的 ± 依照 F 在 90 n ± θ 所在象限時的正負值而定. Note: 1. 就算 θ 不是狹義角, 上述換算公式換算的結果, 依然會成立.. 最常用到 sin(180 θ) = sin θ, cos(180 θ) = cos θ. 66

要點 7.3 ( 三角函數的奇函數與偶函數 ) 設 θ 為標準位置角, 則 sin θ, tan θ, cot θ, csc θ 為奇函數, 亦即 sin( θ) = sin θ, tan( θ) = tan θ, cot( θ) = cot θ, csc( θ) = csc θ. cos θ, sec θ 為偶函數, 亦即 cos( θ) = cos θ, sec( θ) = sec θ. 正弦定理與餘弦定理 7.5 要點 7.4 ( 三角形面積之基本公式 ) 在 ABC 中, 已知 A, B, C 對邊分別為 a, b, c, 則 ABC 面積 = 1 ab sin C = 1 bc sin A = 1 ac sin B. 要點 7.5 ( 正弦定理 ) 在 ABC 中, 已知 A, B, C 對邊分別為 a, b, c, 且外接圓半徑為 R, 則 亦可寫成 a sin A = b sin B = c sin C = R. a = R sin A, b = R sin B, c = R sin C. 或是 a b c = sin A sin B sin C. 要點 7.6 ( 由四邊形對角線 夾角, 求面積 ) 在四邊形 ABCD 中, 已知兩對角線 AC 與 BD 夾角為 θ, 則 1 四邊形 ABCD 面積 = AC BD sin θ. 67

要點 7.7 ( 三角形面積之內切圓與外接圓半徑公式 ) 在 ABC 中, 已知 A, B, C 對邊分別為 a, b, c, h a, h b, h c 分別為 a, b, c 邊上之高, 令 s = a + b + c, 外接圓半徑為 R, 內切圓半徑為 r, 則 且 ABC 面積 = abc 4R = sr = R sin Asin B sin C, 1 r = 1 + 1 + 1, h a h b h c h a h b h c = 1 a 1 b 1 c tan A = r s a, tan B = r s b, tan C = r s c. 要點 7.8 ( 三角形面積之旁切圓半徑公式 ) 在 ABC 中, 已知 A, B, C 對邊分別為 a, b, c, 且 r a, r b, r c 分別為 a, b, c 三邊外側對應之傍切圓的半徑, 令 s = a + b + c, 則 ABC 面積 = r a (s a) = r b (s b) = r c (s c). 要點 7.9 ( 投影定理 ) 在 ABC 中, A, B, C 對邊分別為 a, b, c, 則 a = b cos C + c cos B, b = a cos C + c cos A, c = a cos B + b cos A. 練習 7.3 在 ABC 中, A, B, C 對邊分別為 a, b, c, 試證明 a(b + c ) cos A + b(c + a ) cos B + c(a + b ) cos C = 3abc. 證明提示 : 利用投影定理. 68

要點 7.30 ( 餘弦定理 ) 在 ABC 中, A, B, C 對邊分別為 a, b, c, 則 或可改寫成 a = b + c bc cos A, b = a + c ac cos B, c = a + b ab cos C. cos A = b + c a, bc cos B = a + c b, ac cos C = a + b c. ab 要點 7.31 ( 三角形形狀判斷 ) 在 ABC 中, 已知三邊長分別為 a, b, c, 且最大邊長為 a, 則 a > b + c ABC 為鈍角三角形. a = b + c ABC 為直角三角形. a < b + c ABC 為銳角三角形. 要點 7.3 ( 三角形的中線定裡與平行四邊形定理 ) 在 ABC 中, 已知 AD 為中線, 則 AB + AC = (AD + BD ). 在平行四邊形中, 已知兩相臨邊長為 x, y 對角線長為 a, b, 則 a + b = (x + y ), 即 對角線的平方和 等於 四邊的平方和. 69

要點 7.33 ( 斯圖爾特定理 (Stewart s theorem)) 在 ABC 中, 若 D 是 BC 上一點, 且 BD = p, DC = q, AB = c, AC = b, 則 AD = b p + c q p + q pq. 練習 7.4 證明提示 : 使用餘弦定理. ABC 中, 已知 D 為 BC 邊上的點, 且 AB = BD = 3, AC = 7, CD = 5, 試求 AD 長. 答 : 3. ( 解題提示 : 利用餘弦定理及 ABD 與 ABC 的 cos B 值會相等.) 要點 7.34 ( 三角形的內分比性質與外分比性質 ) 在 ABC 中, 已知 AD 為 A 內角角平分線, AE 為 A 外角角平分線, 則 1.. AB AC = DB DC, AB AC = EB EC. 要點 7.35 ( 三角形內角平分線速算法一 ) 在 ABC 中, D 為 BC 上一點, 且 AD 平分 A, 則 AD = AB AC DB DC. 70

要點 7.36 ( 三角形內角平分線速算法二 ) 在 ABC 中, D 為 BC 上一點, 且 AD 平分 A, 則利用 ABC 面積 = ABD 面積 + ADC 面積 1 AB AC sin A = 1 AB AD sin A + 1 AD AC sin A 利用正弦函數的倍角公式, 即可求得 AD = AB AC AB + AC cos A. 要點 7.37 ( 三角形外角平分線速算法一 ) 在 ABC 中, E 為 BC 上一點, 且 AE 平分 A 的外角, 則 AE = EB EC AB AC. 要點 7.38 ( 三角形外角平分線速算法二 ) 在 ABC 中, D 為 BC 上一點, 且 AD 平分 A, 則利用 ABC 面積 = ABE 面積 ACE 面積 1 AB AC sin A = 1 AB AE sin (90 + A ) 1 AE AC sin (90 A ) 利用正弦函數的倍角公式, 即可求得 AD = 要點 7.39 ( 三角形面積公式之海龍 (Heron) 公式 ) AB AC AB AC sin A. 在 ABC 中, 已知三邊長分別為 a, b, c, 令 s = a + b + c, 則 ABC 面積 = s(s a)(s b)(s c). 要點 7.40 設正 ABC 的內部有一點 P, 且 P 到 ABC 的三頂點距分別為 a, b, c, 則 ABC 面積 = 1 ( 3 4 (a + b + c ) + 3 s(s a)(s b)(s c)), 其中 s = a + b + c. ( 證明提示 : 把 PAB, PBC, PAC 各別以 A, B, C 三點為中心, 同方向旋轉至正 ABC 外面, 且與正 ABC 的三邊重合, 形成一個特大號六邊形, 則此六邊形面積為 ABC 面積的兩倍, 且是由三個邊長分別為 a, b, c 的正三角形, 與三個三邊長為 a, b, c 的全等三角形所形成, 再利用海龍公式可求出六邊形面積.) 71

要點 7.41 ( 托勒密定理 ) 要點 7.4 設四邊形 ABCD 內接於一圓上, 則 亦即, 對角線乘積 = 兩對邊乘積之和. AC BD = AB CD + BC AD. Note: 對平面上的任意四邊形 ABCD, 恆有 AC BD AB CD + BC AD. 若 a 1 x + b 1 y + c 1 z = 0 a x + b y + c z = 0, 則 x y z = b 1 c 1 b c c 1 a 1 c a a 1 b 1 a b. 要點 7.43 ( 圓內接四邊形, 求對角線長 ) 圓內接四邊形, 已知四邊長, 要求對角線長時, 可利用對角互補的特性, 分列兩個餘弦函數值, 解 聯立方程式. 要點 7.44 ( 三角形給三中線長, 求面積 ) 已知 ABC 三中線長分別為 m a, m b, m c, 且令 m = m a + m b + m c, 則 ABC 面積 = 4 3 m (m ma ) (m m b ) (m m c ). 證明提示 : 延長重心到任一邊上中點的距離, 做出以三中線的 海龍公式求出該三角形面積, 再放大三倍即為所求. ( 圖形待補 ) 要點 7.45 ( 三角形給三高長, 求面積 ) 證. 倍線段長為三邊的三角形, 利用 3 已知 ABC 三高長分別為 h a, h b, h c, 且令 ABC 面積為 S, 則 1 S = ( 1 + 1 + 1 ) ( 1 + 1 + 1 ) ( 1 1 + 1 ) ( 1 + 1 1 ). h a h b h c h a h b h c h a h b h c h a h b h c 證明提示 : 利用 S = 1 ah a = 1 bh b = 1 ch c a = S h a, b = S h b, c = S h c, 再帶入海龍公式, 即可得 7.5.1 在課堂之外 7

要點 7.46 ( 圓內接四邊形對角線長公式 ) 設四邊形 ABCD 內接於一圓上, 且四邊長 AB, BC, CD, DA 長分別為 a, b, c, d, 則 (ab + cd) (ac + bd) 對角線 BD 長 =. ad + bc 證明提示 : 利用 cos DAB = cos BCD 及餘弦定理. 要點 7.47 ( 圓內接四邊形面積公式, 婆羅摩笈多公式 (Brahmagupta s formula)) 設四邊形 ABCD 內接於一圓上, 且四邊長依序為 a, b, c, d, 令 s = a + b + c + d, 則 四邊形 ABC 面積 = (s a)(s b)(s c)(s d). 要點 7.48 ( 任意的四邊形面積公式, 推廣的婆羅摩笈多公式 ) 推廣的婆羅摩笈多公式, 對任意的四邊形面積如下, (s a)(s b)(s c)(s d) abcd cos θ, 其中 θ 是四邊形的一組對角和的一半. (s a)(s b)(s c)(s d) 1 4 (ac + bd + pq)(ac + bd pq), 其中 p, q 是四邊形的兩條對角線長. 要點 7.49 (Pick 公式 ) 若 ABC 的三個頂點都是格子點, 且 ABC 內部格子點總數目為 I, 三邊上格子點的數目為 S, 則 ABC 面積 = I + 1 S 1. 基本三角測量 7.6 要點 7.50 ( 畫圖與解題技巧 ) 若題目敘述中有出現 仰角 俯角, 且同時出現方位, 則圖形為立體圖, 畫圖時, 先將三個軸的方向畫出來, 然後將題目切割成眾多小三角形, 再找邊角關係, 會較容易解題. 若有直角三角形可用畢氏定理, 或是特殊角度的三角形可用邊長比例, 其他則用正弦定理與餘弦定理處理. 三角函數的圖形 7.7 變 ). 待補 : 三角函數的圖形 週期函數, 最小正週期, 三角函數的圖形, 圖形的伸縮與平移 ( 與週期的改 73

要點 7.51 ( 弧度的定義 ) 設扇形之圓心角為 θ, 半徑為 r, 弧長為 s, 則 θ( 弧度 ) = s r. π( 弧度 ) = 180 且 1( 弧度 ) = ( 180 π ) 且 1 = ( π 180 ) ( 弧度 ). 1 0.01745( 弧度 ) 且 1( 弧度 ) 57 17 45 57.958. 要點 7.5 ( 扇形面積公式 ) 設扇形之圓心角為 θ ( 弧度 ), 半徑為 r, 弧長為 s, 則扇形面積 = 1 r θ = 1 sr. 要點 7.53 ( 週期函數 ) 對於函數 f (x), 若存在實數 p > 0, 使得 f (x + p) = f (x) 恆成立, 則稱 f (x) 為 週期函數, 並稱 p 為 f (x) 的 週期. Note: 對於三角函數, 常簡稱其 最小正週期 為三角函數的 週期. 74

要點 7.54 ( 正弦與餘弦函數的圖形 ) 正弦函數 y = sin x, 週期 : π, 且函數值的範圍 : 1 sin x 1, 振幅 : 1. 餘弦函數 y = cos x, 週期 : π, 且函數值的範圍 : 1 cos x 1, 振幅 : 1. Note: 振幅的定義為 函數最大值 函數最小值. 75

要點 7.55 ( 正切與餘切函數的圖形 ) 正切函數 y = tan x, 週期 π, 且當 x = π + π k (k Z) 時,tan x 不存在, 且函數值的範圍 : tan x R. 餘切函數 y = cot x, 週期 π, 且當 x = π k (k Z) 時,cot x 不存在, 且函數值的範圍 : cot x R. 76

要點 7.56 ( 正割與餘割函數的圖形 ) 正割函數 y = sec x, 週期 π, 且當 x = π + π k (k Z) 時,sec x 不存在, 且函數值的範圍 : sec x 1 或 sec x 1. 餘割函數 y = csc x, 週期 π, 且當 x = π k (k Z) 時,csc x 不存在, 且函數值的範圍 : csc x 1 或 csc x 1. 77

要點 7.57 ( 圖形的伸縮與平移 ) 若方程式 y = f (x) 的圖形為 Γ 1, 將 Γ 1 平行 x 軸方向, 移動 k 單位, 所得新圖形 Γ 的新方程式為 y = f (x) + k. 將 Γ 1 平行 y 軸方向, 移動 h 單位, 所得新圖形 Γ 3 的新方程式為 y = f (x h). 將 Γ 1 平行 y 軸方向, 以 x 軸為中心, 伸縮為原來長度 a 單位, 所得新圖形 Γ 4 的新方程式為 y = a f (x). 將 Γ 1 平行 x 軸方向, 以 y 軸為中心, 伸縮為原來長度 b 單位, 所得新圖形 Γ 5 的新方程式為 y = f ( x b ). Note: 週期函數若經 上下平移 左右平移 上下伸縮 皆不影響週期, 唯有 左右伸縮 會影響週期. 和角公式 7.8 要點 7.58 ( 正弦與餘弦函數的和角公式 ) 設 α, β 為實數, 則 sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, sin (α β) = sin α cos β cos α sin β, cos (α + β) = cos α cos β sin α sin β, cos (α β) = cos α cos β + sin α sin β. 要點 7.59 ( 正弦與餘弦函數的平方差公式 ) 設 α, β 為實數, 則 sin (α + β) sin (α β) = sin α sin β = cos β cos α, cos (α + β) cos (α β) = cos α sin β = cos β sin α. 78

要點 7.60 ( 正切與餘切函數的和角公式 ) 設 α, β 為實數, 則 tan (α + β) = tan (α β) = cot (α + β) = cot (α β) = tan α + tan β 1 tan α tan β, tan α tan β 1 + tan α tan β, cot α cot β 1 cot β + cot α, cot α cot β + 1 cot β cot α. Note: 1. tan 角度相加 ( 減 ), 則分子相加 ( 減 ), 分母異號.. cot 公式, 對於 tan 公式, 剛好上下顛 倒, 左右交換. 要點 7.61 在 ABC 中, 三內角分別為 A, B, C, 則 tan A + tan B + tan C = tan Atan B tan C, cot Acot B + cot B cot C + cot C cot A = 1, cot A + cot B + cot C = cot A cot B cot C, tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = 1. Note: 將上式的充分條件改成 A + B + C = k π (k Z) 亦可. 要點 7.6 若 α + β = π 4, 則 (1 + tan α) (1 + tan β) =. Note: 將上式的充分條件改成 α + β = π 4 + k π (k Z) 亦可. 練習 7.5 練習 7.6 試求 (1 + tan 1 ) (1 + tan ) (1 + tan 3 ) (1 + tan 45 ) 之值. 答 : 3. 設 tan α, tan β 為 x +9x 4 = 0 的兩根, 試求 sin (α+β)+9 sin(α+β) cos(α+β) 4 cos (α+β) 的值. 答 : 4. 79

要點 7.63 ( 兩直線的交角 ) 平面上, 相交於一點的兩直線 L 1, L 斜角分別為 α, β, 斜率分別為 m 1, m, 且兩直線交角為 θ, 則 m 1 = tan α, m = tan β. tan θ = ± m 1 m 1 + m 1 m. 若 L 1 逆時針旋轉 θ 角可與 L 重合, 則 tan θ = m 1 m 1 + m 1 m. Note: 若 ax + bx y + cy + dx + e y + f = 0 表示相交的兩直線, 且交角為 θ, 則 b 4ac tan θ = ±. a + c 倍角公式與半角公式 7.9 要點 7.64 ( 二倍角公式 ) 設 θ 為實數, 則 sin θ = sin θ cos θ = tan θ 1 + tan θ, cos θ = cos θ sin θ = cos θ 1 = 1 sin θ = 1 tan θ 1 + tan θ, tan θ tan θ = 1 tan θ. 要點 7.65 ( 三倍角公式 ) 設 θ 為實數, 則 sin 3θ = 3 sin θ 4 sin 3 θ, cos 3θ = 4 cos 3 θ 3 cos θ. Note: 記憶用諧音 : 1. 三上富士山上.. 塊三 = 四塊三減三塊 ( 台語發音 ) 額外補充 : tan 3θ = 3 tan θ tan3 θ. 1 3 tan θ 練習 7.7 試求 sin 18 之值. 答 : sin 18 = 1 + 5 4 ( 提示 : 除了使用倍角公式, 亦可畫圖直接證明.) 80

要點 7.66 sin(60 θ) sin θ sin(60 + θ) = 1 sin 3θ 4 cos(60 θ) cos θ cos(60 + θ) = 1 cos 3θ 4 tan(60 θ) tan θ tan(60 + θ) = tan 3θ 要點 7.67 ( 半角公式 ) 設 θ 為實數, 則 sin θ cos θ tan θ θ 其中 ± 依照所在的該三角函數正負而定. Note: 降次, 則角度倍增. 要點 7.68 設 θ 為實數, 則 1 cos θ = ±, 1 + cos θ = ±, 1 cos θ = ± 1 + cos θ sin θ = 1 + cos θ = 1 cos θ = sin θ 1 + sin θ = sin θ + cos θ, 1 sin θ = sin θ cos θ, 1 + cos θ = cos θ, 1 cos θ = sin θ. 1 + sin θ cos θ 1 + sin θ + cos θ. 要點 7.69 設 θ 為實數,n 為正整數, 則 sin π n = cos π n = + + + + + + + ( 其中分子有 n 1 個 ), ( 其中分子有 n 1 個 ). 81

要點 7.70 在 ABC 中, A, B, C 對邊分別為 a, b, c, 令 s = a + b + c sin A (s b)(s c) =, bc cos A s(s a) =, bc tan A = (s b)(s c). s(s a), 則 練習 7.8 考題 7.1 證明提示 : 利用半角公式及餘弦定理. 設 0 < x < π, 試求 (cos x + 1) sin x 的最大值為何? 答 : 3 3 4. 提示 : 半角公式加上算幾不等式. 空間中, 有三球面兩兩外切, 且三球的半徑分別為 4, 9, 16, 已知有兩相異平面為三球之公切面, 若此兩公切面所夾銳角為 θ, 試求 cos θ. 答 :cos θ = 67 5. ( 解題提示 : 先考慮三個球心所構成的三角形邊長為 13, 0, 5, 用海龍公式可求出三角形面積, 球心到切平面的投影點的三角形邊長 ( 外公切線長 ) 分別為 4 9, 4 16, 9 16, 亦即 1, 16, 4, 且由海龍公式可求得投影後的三角形面積, 投影後三角形面積 = cos θ 原三角形面積, 可求得 cos θ, 再用倍角公式可得 cos θ.) 要點 7.71 設 O 為原點, 且直線 L ax + by + c = 0 與圓 C x + y = r 交於 A, B 兩點, 且以正向 x 軸為始邊旋轉到 OA, OB 為終邊的的有向角分別為 α, β, 則 tan ( α + β ) = 自 O 往 L 所作垂線的斜率 = b a. 和差化積 積化和差 7.10 8

要點 7.7 ( 積化和差 ) 對任意實數 α, β, 恆有 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α β), cos α sin β = sin (α + β) sin (α β), cos α cos β = cos (α + β) + cos (α β), sin α sin β = cos (α + β) cos (α β). 要點 7.73 ( 和差化積 ) 對任意實數 α, β, 恆有 sin α + sin β = sin ( α + β sin α sin β = cos ( α + β cos α + cos β = cos ( α + β cos α cos β = sin ( α + β ) cos ( α β ), ) sin ( α β ), ) cos ( α β ), ) sin ( α β ). 練習 7.9 設 a, b, A, B 皆為實數,b 0, 若 sin A + sin B = a 且 cos A + cos B = b, 試求 (1) cos (A B), () tan ( A + B ), (3) sin (A + B), (4) cos (A + B), (5) tan (A + B). 解答 : (1) a + b 1, () a b, (3) 要點 7.74 sin, cos 連加或連乘的題目, 解題技巧 : ab a + b, (4) b a a + b, (5) ab b a. 遇到 cos 連乘, 且角度 倍增, 則同乘 n sin θ, 再利用 sin 的倍角公式解之. 公差 遇到 sin 或 cos 連加, 角度成等差, 則同乘 sin ( ), 再利用積化和差解之. 要點 7.75 對於任意角度 θ, cos θ + cos (θ + 10 ) + cos (θ + 40 ) = 0, sin θ + sin (θ + 10 ) + sin (θ + 40 ) = 0. Note: 善用靜力平衡的觀念來解釋. 83

要點 7.76 ( 正切定理 ) 在 ABC 中, A, B, C 對邊分別為 a, b, c, 則 A B a b tan a + b = tan A + B, b c b + c = c a tan c + a = tan B C tan B + C C A tan C + A,. 要點 7.77 在 ABC 中, 三內角分別為 A, B, C, 則 sin A + sin B + sin C = 4 cos A cos B cos C, sin A + sin B + sin C = 4 sin Asin B sin C, cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin A sin B sin C, cos A + cos B + cos C = 1 4 cos Acos B cos C. 練習 7.10 在銳角 ABC 中, 已知 sin (A + B) = 3 5, sin (A B) = 1 5, 設 AB = 3, 且 AB 邊上的高為 CD, 求 CD 長. 答 : + 6. ( 提示 : CD = 3 (cot A + cot B), 其中 cot A+ cot B = cos A sin A + cos B sin B 可得 sin Asin B, 帶回即可得 CD.) 練習 7.11 = sin (A + B) sin Asin B, 利用積化和差, 已知四邊形 ABCD 內皆於以 AB 為直徑的圓且 AD + BC = 9, AC + BD = 18, AC 與 BD 的銳夾角為 θ, 求 sin θ 之值. 答 : 4 5. ( 提示 : 令 ABD = α, CAB = β, 則 tan α + β 之值, 再用萬能公式, 可得 sin θ = sin (α + β) 之值.) AD + BC AC + BD = 9 sin α + sin β 18 cos α + cos β = 1, 再用和差化積, 可得 7.10.1 在課堂之外 84

要點 7.78 對任意實數 α, β, 恆有 tan α tan β = cot α cot β = tan α cot β = tan α + tan β cot α + cot β cot α + cot β tan α + tan β tan α + cot β α cot β = tan cot α + tan β cot α tan β. = tan α tan β cot α cot β, = cot α cot β tan α tan β, 要點 7.79 對任意實數 α, β, γ, 恆有 sin α sin β sin γ = 1 ( sin (α + β + γ) + sin ( α + β + γ) + sin (α β + γ) + sin (α + β γ)), 4 cos α cos β cos γ = 1 (cos (α + β + γ) + cos ( α + β + γ) + cos (α β + γ) + cos (α + β γ)), 4 sin α sin β cos γ = 1 ( cos (α + β + γ) + cos ( α + β + γ) + cos (α β + γ) cos (α + β γ)). 4 正弦與餘弦函數的疊合 7.11 待補 : 疊合之後的圖形. 要點 7.80 ( 正弦與餘弦函數的疊合 ) 設 a, b 為非零實數,θ 為任意實數, 則 y = a cos θ + b sin θ = a a + b ( a + b cos θ + b sin θ) a + b = a + b sin (θ + α) = a + b cos (θ + β) 其中 α = tan 1 a b, β = tan 1 b a. 要點 7.81 ( 正弦與餘弦函數疊合後的值域 ) 設 a, b 為非零實數,θ 為任意實數, 則 a + b a cos θ + b sin θ a + b 85

要點 7.8 設 x 為實數, 如果令 t = sin x + cos x, 則 1. sin x cos x = t 1,. tan x + cot x = 1 sin x cos x = t 1, 且 t = sin x + cos x = sin (x + π 4 ) 有範圍限制 : t. Note: 1. 設 a, b, c 為實數, 則形如 f (x) = a (sin x + cos x) + b sin x cos x + c 的函數, 可以利用上 列的變數變換, 找出函數的最大值與最小值.. 凡有變數變換, 皆要注意變數的範圍是否有所改變. 要點 7.83 設 a, b, c, d 皆為實數, 則 f (x) = a sin x + b sin x cos x + c cos x + d 要求極值, 可以利用倍角公 1 cos x sin x 1 + cos x 式降次, 變成 f (x) = a + b + c + d, 經整理成 Asin x + B cos x + C, 再經由疊合, 可求得極值. 練習 7.1 練習 7.13 設 f (x) = 3 cos x sin x + sin x cos x, 求 f (x) 的最大值與最小值. 答 : 1 + 5 與 1 5. 已知 f (x) = (1 + sin x) (1 + cos x), 1. 若 x R, 試求 f (x) 的最大值與最小值.. 若 π 4 x π, 試求 f (x) 的最大值與最小值. 答 : 1. 最大值 : 3 + ; 最小值 : 0.. 最大值 : 3 + ; 最小值 :. ( 解題提示 : 令 t = cos x + sin x, 則 sin x cos x 可以 t 表示, 且 t 有範圍限制. ) 練習 7.14 求 y = 1 3 cos x + sin x 的最大值與最小值. 答 : + 10 3 與 10. 3 練習 7.15 求 3 cos 10 1 sin 10 之值. 答 : 4. 反三角函數 7.1 要點 7.84 定義反正弦函數 sin 1 x = y 為滿足條件 1 x 1 且 π y π 且 sin y = x 的函數. 86

要點 7.85 定義反正餘函數 cos 1 x = y 為滿足條件 1 x 1 且 0 y π 且 cos y = x 的函數. 要點 7.86 定義反正切函數 tan 1 x = y 為滿足條件 x R 且 π < y < π 且 tan y = x 的函數. 要點 7.87 ( 反三角函數的性質 ) 設 x 為滿足各反三角函數定義的實數, 則 sin 1 ( x ) = sin 1 x, tan 1 ( x ) = tan 1 x, cos 1 ( x ) = π cos 1 x. 要點 7.88 ( 解三角方程 ) 解三角方程式, 求角度的時候, 如果答案要以反三角函數表示, 必須要注意該三角函數在一個週期內的解, 及其同界角, 都是解答. ( 先求特殊解, 再求通解 ) 複數的極式 7.13 待補 : 尤拉公式,e iθ 的定義. 要點 7.89 ( 複數的極式 ) 設複數平面上一點 P z = x + yi (x, y R) 為非零複數, 且 O 為原點, 則 z = z ( x z + y z i) = z (cos θ + i sin θ), 其中 z = x + y 稱為 z 的向徑, θ 為 由正向 x 軸為始邊旋轉到 OP 為終邊的有向角, 稱為 z 的幅角, 記作 θ = arg(z), 如果 0 θ < π, 則稱為 z 的主幅角, 記作 θ = Arg(z). 練習 7.16 Note: 0 = 0(cos θ + i sin θ), θ R, 0 沒有主幅角. 設複數 z 滿足 z 1 = z 且 Arg ( z 1 z ) = π 3, 試求 z 的值. i 解答 :. 3 87

要點 7.90 ( 複數極式的乘法與除法 ) 設 z 1, z 為兩複數, 且化為極式為 z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ), z = r (cos θ + i sin θ ), 則 z 1 z = r 1 r (cos (θ 1 + θ ) + i sin (θ 1 + θ )). z 1 z = r 1 r (cos (θ 1 θ ) + i sin (θ 1 θ )), 其中 z 0. 1 z 1 = 1 r 1 (cos ( θ 1 ) + i sin ( θ 1 )), 其中 z 1 0. 要點 7.91 ( 複數乘法的幾何意義 ) 設 z 1, z 為兩複數, 且化為極式為 z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ), z = r (cos θ + i sin θ ), 若 z 1 在複數平面上的對應點為 P, 且 Q 點對應複數為 z 1 z = r 1 r (cos (θ 1 + θ ) + i sin (θ 1 + θ )), 則表示將 OP 伸縮 z 倍, 再以 O 為圓心旋轉 θ 角, 即可得 P 點坐標. 複數平面上, 對於任異於原點 O 的兩點 A(z 1 ), B(z ), 則 為 AOB 或其同界角. 練習 7.17 Note: 用複數乘法, 可以作平面上點坐標的旋轉. z 1 z 的主幅角即為 AOB, z 1 的幅角即 z 設 α, β 為兩複數, 滿足 β αβ + 4α = 0 且 α beta = 3, 求 0, α, β 在複數平面上所代表的點, 所形成之三角形的面積值. 答 : 3. ( 提示 : 先由 ( β α ) ( β α ) + 4 = 0 β α = 1 ± 3i = (cos (±60 ) + i sin (±60 )), 令 α = r, β = r, 利用 α, β 主幅角相差 ±60, α β = 3, 及餘弦定理, 可得 r, 即可得三角形面積為 1 r r sin 60. ) 要點 7.9 ( 隸美弗定理 ) 設 z 為複數, 且化為極式為 z = r(cos θ + i sin θ), r > 0, 則 z n = r n (cos nθ + i sin nθ), n N. Note: 1. 複數 n 次方, 則長度 n 次方, 且角度 n 倍.. 當 n 為 0, 負整數, 有理數, 甚至實數時, 隸 美弗定理也成立, 其中實數次方數的證明可用有理數數列逼近之. 要點 7.93 ( z = 1 的性質 ) 設 z 為複數, 若 z = 1, 則 1.. 1 + z 1 + z = z. 1 1 + z + 1 1 + z = 1. 88

要點 7.94 設 z 為複數, 且滿足 z + 1 z = cos θ, 則 1. z n + 1 = cos nθ. zn. z n 1 = ±i sin nθ. zn Note: 可解得 z = cos θ ± i sin θ. 要點 7.95 (1 的 n 次方根 ) 設 z 為複數, 解 z n = 1 可得 1 的 n 個 n 次方根為 z k = cos kπ kπ + i sin n n = (cos π n + i sin π k n ) 其中,k = 0, 1,,, n 1. 此 n 個根畫在複數平面上, 即為以原點為圓心, 以 1 為半徑的內接正 n 邊形的 n 個頂點 ( 恰有一頂點通過 1 + 0i). Note: 1. 通常令 ω = cos π n + i sin π n, 只要滿足 gcd(k, n) = 1 的 ω k 皆稱為 1 的 n 次本原根 ( 所有根 的生成元 ).. 只要 k 屬於 modulo n 的完全剩餘系 (complete residue system), 則 z k 所成的解集合皆相同. 要點 7.96 ( 複數的 n 次方根 ) 設 z, a 為複數, 解 z n = a 時, 先將 a 化成極式 a = r (cos θ + i sin θ), 其中 r = a, θ = arg(a), 則 a 的 n 個 n 次方根為 z k = = n r (cos θ + kπ n + i sin θ + kπ ) n n r (cos θ n + i sin θ n ) (cos π n + i sin π n ) k 其中,k = 0, 1,,, n 1. 此 n 個根畫在複數平面上, 即為以原點為圓心, 以 θ 邊形的 n 個頂點 ( 旋轉角度的正 n 邊形 ). n Note: n r 為半徑的內接正 n 1. 通常令 α 0 = n r (cos θ n + i sin θ n ) ( 特殊解 ) 且 ω = cos π n + i sin π n, 則 z k = α 0 ω k. 只要 k 是屬於 modulo n 的完全剩餘系 (complete residue system), 則 z k 所成的解集合皆相同. 89

要點 7.97 (1 的 n 次方根的性質 ) 令 ω = cos π n + i sin π n, 則 1. ω 為 z n = 1 的複數根, 亦即 ω n = 1.. ω, ω,, ω n 1 為 1 + x + x + + x n 1 = 0 的根. 3. (x ω) (x ω ) (x ω n 1 ) = 1 + x + x + + x n 1. 4. 1 + ω + ω + + ω n 1 = 0. 5. 對於任意整數 k 恆有 ω k + ω k+1 + ω k+ + + ω k+n 1 = 0. 6. (1 ω) (1 ω ) (1 ω n 1 ) = n. 要點 7.98 ( 極坐標 ) 設 P (x, y) 為直角坐標平面上一點, 且 O 為原點, 令 OP = r, 以正向 x 軸為始邊且以 OP 為終邊的有向角為 θ, 則 其中 [r, θ] 稱為 P 點的 極坐標. 要點 7.99 P (x, y) = P (r cos θ, r sin θ) = P [r, θ], 若平面上有兩點極坐標分別為 P[r 1, θ 1 ], Q[r, θ ], 且 O 為原點, 則 1. PQ = r 1 + r r 1r cos (θ 1 θ ).. ABC 面積 = 1 r 1r sin ( θ 1 θ ). Note: 第一點利用餘弦定理, 第二點利用三角形面積公式, 即可得證. 7.13.1 在課堂之外 要點 7.100 (sin, cos 連乘式的公式速解 ) 設 n 為正整數, 則 π sin n + 1 sin π n + 1 sin 3π n + 1 sin nπ n + 1 π cos n + 1 cos π n + 1 cos 3π n + 1 cos nπ n + 1 sin π π sin n n cos π π cos n n 3π (n 1)π sin sin n n 3π (n 1)π cos cos n n = = = = n + 1, n 1, n n, n 1 n. n 1 90

證明 : Step 1. 令 ω = cos π n + 1 + i sin π n + 1, 則 (x ω)(x ω ) (x ω n ) = xn+1 1 x 1 將 x = 1 代入上式, 並取絕對值, 可得 = x n + x n 1 + + x + 1. 其中, 對任意正整數 k = 1 n, 1 ω k = 1 cos kπ kπ i sin n + 1 n + 1 = sin kπ n + 1 sin (1 ω)(1 ω ) (1 ω n ) = n + 1. kπ n + 1 i cos = sin kπ kπ n + 1 = sin i sin kπ n + 1 kπ n + 1. n + 1 cos kπ n + 1 故, π sin n + 1 sin π n + 1 sin 3π nπ sin n + 1 n + 1 π ( sin n + 1 sin π n + 1 sin 3π sin nπ n + 1 n + 1 ) π sin n + 1 sin π n + 1 sin 3π sin nπ n + 1 n + 1 π sin n + 1 sin π n + 1 sin 3π n + 1 sin nπ n + 1 Step. 將 Step 1. 證明中, 改以 x = 1 代入, 後續同理化減, 可得 = n + 1 = n + 1 = n + 1 n + 1 =. n Step 3. cos π n + 1 cos π n + 1 cos 3π n + 1 cos nπ n + 1 = 1. n 將 Step 1. 證明中, 改以 ω = cos π π + i sin 開始, 後續 x = 1 帶入, 同理化減, 可得 n n 且由 cos π π cos n n sin π π sin n n = sin ( π π n ) sin (π π (n 1)π = sin sin n n = n 1 3π (n 1)π sin sin n n 3π (n 1)π cos cos n n n ) sin (π 3π (n )π n sin = n n 1 n ) sin (π (n 3)π sin π n n (n 1)π ) n 91

第 8 章平面向量 待補上 : 西瓦定理 孟氏定理 迪沙格定理 費馬點 尤拉線 九點圓 尤拉定理 (V +F = E+) 幾何學相關知識 有向面積 重心規範坐標 重心坐標 ( 面積坐標 ), 坐標化解題法, 斜坐標表示法, i, j, k. 有向線段與向量 8.1 要點 8.1 ( 向量 ) 定義 AB 表示由起始點 A 至終點 B 所形成的向量, 且向量大小 AB = AB. 若兩向量大小相等且方向相同, 亦即經平移之後, 兩向量的始端與終端會重合, 則稱兩向量相等. 若起始點與終點重合, 則稱為 零向量, 記做 0, 例如對任意點 A, B, AA = BB = 0. Note: 1. AB = B A.. 向量與其所在位置無關, 只有跟它的大小及方向有關. 3. 向量可以任意平移. 4. 習慣上, 常以小寫字母表示向量的名稱, 以大寫字母表示坐標點的名稱. 要點 8. ( 向量加減法 ) 向量加法, 1. 平行四邊形法 : 始端相合. 平行四邊形 ABCD 中, AB + AD = AC.. 三角形法 : 頭尾相接. AB + BC = AC. 3. 對任意點 O, 恆有 向量減法, 對任意點 O 恆有, 1.. AB = AO BO. AB = OB OA. 其它特形, AB = AO + OB. 1. 對任意點 P 1, P,, P n, 恆有. 3. AB + 0 = 0 + AB = AB. AB = AP1 + P 1 P + + P n B. AB = BA, 且 AB + ( AB) = AB + BA = 0 9

要點 8.3 ( 向量的係數積 ) 對於任意非零向量 a 與任意實數 r, 則有 1. 若 r > 0, 則 r a 與 a 方向相同, r a 長度為 a 的 r 倍.. 若 r < 0, 則 r a 與 a 方向相反, r a 長度為 a 的 r 倍. 3. 若 r = 0, 則 r a = 0. Note: r a a. 對於任意兩非零向量 a, b 與任意實數 r, s, 恆有 1. 分配律 : r ( a + b ) = r a + b. 分配律 : (r + s) a = r a + s a 3. 結合律 : r (s a ) = rs ( a ) = s (r a ) 要點 8.4 ( 向量的內積 ) 設 a, b 為兩非零向量, 若 a, b 兩向量經平移至起始端相合之後, 夾角為 θ (0 θ 180 ), 則定義 a b = a b cos θ, 稱為 a, b 兩向量的 內積. 定義 : 零向量與任意向量的內積皆為 0. Note: 1. 向量求夾角時, 一定要先讓始端相合, 且夾角取介在 0 到 180 之間者.. 若兩向量夾鈍角, 則內積為負 ; 夾銳角, 則內積為正 ; 夾直角, 則內積為零. 內積的性質 : 對於任意向量 a, b, c, 與任意實數 r, s, 恆有 1.. 3. a b = b a. ( 交換律 ) a ( b + c ) = a b + a c. ( 分配律 ) a a = a. 4. (r a ) b = a (r b ) = r ( a b ) 5. r a + s b = r a + rs a b + s b. 6. a + b + c = a + b + c + ( a b + b c + c a ). 7. ( a + b ) ( a b ) = a b. 93

要點 8.5 ( 向量的平行與垂直 ) 設 a, b 為兩非零向量, 且 a, b 兩向量的夾角為 θ (0 θ 180 ), 1. 若 θ = 90, 則稱 a 與 b 垂直, 記作 a b.. 若 θ = 0 或 θ = 180 ( 亦即, 方向恰相同或相反 ), 則稱 a 與 b 平行, 記作 a b. 定義 : 零向量 0 沒有方向, 且零向量 0 與任意向量皆平行, 也與任意向量都垂直. (Note: 零向量與任何向量都是共線向量.) 對於任意兩向量 a 與 b, 1. 垂直的性質 : a b a b = 0.. 平行的性質 : a b 存在實數 r, 使得 a = r b. 向量的基本應用 8. 待補 : 單位向量 投影量 投影 要點 8.6 ( 向量的線性組合 ) 成 設平面上有不平行的兩向量 u, v, 則 1. 對任意 α, β R,α u + β v = 0, 若且唯若 α = β = 0.. 對該平面上任一向量 w, 恰 ( 存在且唯一 ) 有一組 (α, β) R, 使得 w = α u + β v. 設 O, A, B 為不共線的相異三點, 則對於 O, A, B 所在平面上的任意點 C, OC 必可唯一地表示 OA 與 OB 的線性組合, 亦即存在有唯一的一對實數 x 與 y, 使得 OC = xoa + yob. 要點 8.7 ( 分點公式 ) 設 O 為任意動點, P 為 AB 上的一點, 且 AP BP = m n, 則 若 P 為 AB 的內分點, 亦即 A P B, 則 若 P 為 AB 的外分點, 且 A B P, 則 若 P 為 AB 的外分點, 且 P A B, 則 OP = OP = OP = n m OA + OB. m + n m + n n m OA + OB. m n m n n m OA + OB. m + n m + n Note: 最後的兩個外分點公式, 其實是相同的, 可以只敘述一個就好. 94

要點 8.8 ( 共線定理 ) 1. 設 A, B, P 為三相異點, 則 A, B, P 三點共線 存在有非零實數 t, 使得 AP = tab.. 設 O, A, B 為不共線的相異三點, P 為任意點, 則 P, A, B 三點共線 存在有兩實數 α, β, 滿 足 α + β = 1, 使得 OP = αoa + βob. 要點 8.9 ( 重心的性質 ) 設 ABC 的重心為 G, O 為任意點, 則 1.. 3. 1 AG = 3 ( AB + AC). 1 OG = 3 ( OA + OB + OC). GA + GB + GC = 0. 要點 8.10 ( 內心的性質 ) 設 ABC 的內心為 I, O 為任意點, 且 BC = a, CA = b, AB = c, 則 1.. 1 AI = a + b + c (b AB + c AC). 1 OI = a + b + c (a OA + b OB + c OC). 3. a IA + b IB + c IC = 0. 要點 8.11 ( 外心的性質 ) 設 ABC 的外心為 O, 且 BC = a, CA = b, AB = c, 則 1.. Note: 其它 1 AO AB = AB = 1 c. 1 AO AC = AC = 1 b. 要點 8.1 ( 垂心的性質 ) BO, CO 與 ABC 邊長所形成向量的內積, 皆同理可得之. 設 ABC 的垂心為 H, 且 BC = a, CA = b, AB = c, 則 Note: 其它 Ah AB = AH AC = AB AC = 1 (b + c a ). BH, CH 與 ABC 邊長所形成向量的內積, 皆同理可得之. 95

要點 8.13 設平面上有不平行的兩向量 u, v, 且 r, s 為兩非零實數, 令 u, v 所形成的三角形面積為 S, 且 r u, s v 所形成的三角形面積為 S, 則 S S = rs. 要點 8.14 已知平面上有 ABC 與三角形內部的一點 P, 則 l PA + m PB + n PC = 0 (l, m, n > 0) PAB PBC PAC = n l m. 推廣版 : 已知平面上有任意點 P 與 ABC, 且滿足 l PA + m PB + n PC = 0, 則 1. PAB PBC PAC = n l m. l + m + n 0( 可証喔!) 且對於任意點 O 皆可得 l OA + m OB + n OC OP = l + m + n 要點 8.15 ( 三角形的五個心 ) 設 ABC 的內心為 I, 重心為 G, 外心為 O, 垂心為 H, A, B, C 的傍心分別為 I a, I b, I c, 則 1. GA + GB + GC = 0. a IA + b IB + c IC = 0 3. sin A IA + sin B IB + sin C IC = 0 4. sin A OA + sin B OB + sin C OC = 0 5. tan A HA + tan B HB + tan C HC = 0 6. a I a A + b I a B + c I a C = 0 ( 同理, I b, I c 的式子可類推 ) 7. sin A I a A + sin B I a B + sin C I a C = 0 ( 同理, I b, I c 的式子可類推 ) 8..1 在課堂之外 待補 : 更多幾何學的知識 要點 8.16 ( 孟式定理 ) 若有一直線截 ABC 三邊之延長線 AB, BC, CA 分別於 D, E, F 三點, 則 AD DB BE EC CF FA = 1. Note: 孟式定理 亦有被翻譯為 梅內勞斯 (Menelaus) 定理 96

要點 8.17 ( 孟式定理的逆定理 ) 線. 在 ABC 中, D, E, F 三點分在 AD AB, BC, CA 上, 若已知 DB BE EC CF FA = 1, 則 D, E, F 三點必共 要點 8.18 ( 西瓦定理 ) 在 ABC 中, 設 D, E, F 分別為 AB, BC, CA 上的點, 且 D, E, F 均非 ABC 的頂點, 若 AE, CD, BF 三線共點, 則 AD DB BE EC CF FA = 1. Note: 西瓦 (Ceva) 定理 亦有被翻譯為 帥式定理. 要點 8.19 ( 西瓦定理的逆定理 ) 在 ABC 中, D, E, F 三點分在 AB, BC, CA 上, 且至少有一點在 ABC 的邊上, 若已知 BE EC CF FA = 1, 且 AE, CD, BF 中任兩線都有相交, 則 AE, CD, BF 三線必共點. AD DB 平面向量的坐標表示法 8.3 要點 8.0 ( 平面向量的坐標表示法 ) 對於坐標平面上的任何向量 v, 經平移後, 變成以原點 O 為起始點, 以 P 為終點, 若 P 點坐標為 (a, b), 則定義 v = OP = (a, b), 並稱 a, b 分別為 v 的 x 分量與 y 分量, 且 v = OP = a + b. 設直角坐標平面上有兩點 P (x 1, y 1 ), Q (x, y ), 則定義 PQ = (x x 1, y y 1 ), 且 PQ = (x x 1 ) + (y y 1 ). 設兩向量 a = (x1, y 1 ), b = (x, y ) 且 r 為實數, 則 a = b x 1 = x 且 y 1 = y. a = ( x 1, y 1 ). r a = (rx 1, r y 1 ). a + b = (x 1 + x, y 1 + y ). a b = (x 1 x, y 1 y ). 要點 8.1 ( 向量坐標化的解題方式 ) 對於空間或平面向量之問題, 可以適當的將其坐標化, 然後轉化為空間或平面坐標的問題. 97

要點 8. ( 直角坐標與斜坐標 ) 直角坐標平面上, 任意向量 u = (x, y) 可以唯一的表示為兩不平行單位向量 i = (1, 0), j = (0, 1) 的線性組合, 亦即 u = x i + y j. 平面上, 任意向量皆可唯一的表示為兩不平行向量的線性組合. 善用此點, 可以利用斜坐標快速解題. 要點 8.3 ( 向量的方向角 ) 在坐標平面上, 若向量 v 的長度為 r, 且 v 與正向 x 軸夾角為 θ (0 θ 360 ), 則 v = (r cos θ, r sin θ), 且稱 θ 為 v 的方向角. 要點 8.4 ( 向量的平行 ) 設坐標平面上有兩向量 a = (x1, y 1 ), b = (x, y ), 則 a b 存在實數 t, 使得 a = t b x 1 y = x y 1.( 亦即, x 1 x = y 1 y.) Note: 在學完下節 ( 平面向量的內積 ) 之後, 更會知道, a b a b = 0 x 1 x + y 1 y = 0. 要點 8.5 ( 平面坐標的分點公式 ) 在坐標平面上, 設有任意兩點 A(x 1, y 1 ), B (x, y ), 若 P AB 且 AP PB = m n, 則 P 點坐標 為 ( nx 1 + mx m + n, ny 1 + my m + n ). 要點 8.6 ( 直線的參數式 ) 已知在坐標平面上, 有一直線 L 通過定點 A(x 0, y 0 ), 且與非零向量 v = (a, b) 平行, 設 P (x, y) 為 L 上的任意動點, 則 P L AP v x = x 0 + at, y = y 0 + bt, (t 為實數 ). 此稱為直線 L 的 參數式, 其中 t 稱為 參數, 且 v 稱為此直線的 方向向量. Note: 直線的參數式表示法, 並非唯一的. 平面向量的內積 8.4 待補 : 點到線的距離公式, 點到線的對稱點 投影點公式, 角平分線公式, 三角形的內心求法. 98

要點 8.7 ( 平面向量坐標表示法的內積 ) 設兩向量 a = (x1, y 1 ) 與 b = (x, y ), 兩向量夾角為 θ, 其中 0 θ π, 則 a b = a b cos θ = x1 x + y 1 y. 要點 8.8 ( 向量的平行與垂直 ) 設 a = (x1, y 1 ) 與 b = (x, y ) 皆非零向量, 則 1.. a b 存在實數 t, 使得 a = t b x1 y = x y 1 ( 亦即 a b a b = 0 x1 x + y 1 y = 0. x 1 x = y 1 y ). 要點 8.9 ( 直線的法向量與方向向量 ) 設 a, b, c 皆為實數, 且 L ax + by + c = 0 為平面上的直線, 則 1. L 的法向量為 (a, b) 且方向向量為 ( b, a).. 若 b 0, 則 L 的斜率為 a b. 若已知直線 L 的斜率為 m, 則 L 的方向向量為 (1, m), L 的法向量為 ( m, 1). 若已知直線 L 的斜角 ( 與正向 x 軸夾角 ) 為 θ, 則 L 的斜率為 tan θ. Note: 法向量與方向向量並非唯一, 伸縮之後亦是. 要點 8.30 ( 兩直線的交角 ) 平面上, 相交於一點的兩直線 L 1, L 交角為 α, 則 若 L 1, L 兩直線斜率分別為 m 1, m 則 tan α = ± m 1 m 1 + m 1 m 若 L 1, L 兩直線法向量分別為 a = (a1, b 1 ), b = (a, b ), 則 a b cos α = ± a b a 1 a + b 1 b = ±. a 1 + b1 a + b Note: 若 ax + bx y + cy + dx + e y + f = 0 表示相交的兩直線, 且交角為 θ, 則 b 4ac tan θ = ±. a + c 99

練習 8.1 已知有一梯形 ABCD, 其中 AB CD, 且有兩點 M, N 各別在 AD, BC 線段上, 且滿足 BF FC = m n, 則 要點 8.31 ( 面積公式 ) 設 a = (x1, y 1 ) 且 b = (x, y ), 則 n AB + m CD EF = n + m. 由 a 與 b 所張的三角形面積 = 1 a b ( a b ) AE ED = = 1 x 1 y 1 x y Note: 學到空間坐標之後更會學到, 由 a 與 b 所張的三角形面積 = 1 a b = 1 a b. 練習 8. 1 在 ABC 中, 已知 AB BC = α, BC CA = β, CA AB = γ, 試求證 ABC 的面積為 αβ + βγ + γα. 要點 8.3 ( 單位向量 ) 長度為 1 的向量稱為單位向量. 對任意非零向量 a, 實數 m, 則 1. 與 a 同方向之單位向量為 a a.. 與 a a 反方向之單位向量為 a. 3. 與 a 同方向且長度為 m 的向量為 m a a. 要點 8.33 ( 正射影 ) 設 a 與 b 為兩個不平行的向量, 且兩向量的夾角為 θ, 則定義 b 在 a 上的正射影 = ( b 在 a 方向的投影量 ) a 方向的單位向量 = ( a b cos θ) a = a b a a. 100

要點 8.34 ( 平面上, 點到直線的距離公式 ) 設坐標平面上有點 P(x, y) 及直線 L ax + by + c = 0, 則 P 到 L 的距離 = d(p, L) = ax 0 + by 0 + c a + b. 要點 8.35 ( 平面上, 點到直線的對稱點與投影點公式 ) 設坐標平面上有點 P(x, y) 及直線 L ax + by + c = 0, 則 1. P 對 L 的投影點為 (x 0 + at, y 0 + bt).. P 對 L 的對稱點為 (x 0 + at, y 0 + bt). 其中, t = (ax 0 + by 0 + c) a + b. 要點 8.36 ( 平面上, 兩平行線的距離公式 ) 設坐標平面上有兩平行直線 L 1 ax + by + c 1 = 0 與 L ax + by + c = 0, 則 L 1 與 L 的距離為 d(l 1, L ) = c 1 c a + b. 要點 8.37 設直角坐標平面上有一直線 L ax + by + c = 0, 其中 a, b R 且 a + b 0, 則平面被直線 L 分成兩個區域, 分別為 ax + by + c > 0 與 ax + by + c < 0 的兩個區域. a > 0: ax + by + c > 0 為直線劃分的右半平面, ax + by + c < 0 為直線劃分的左半平面. b > 0: ax + by + c > 0 為直線劃分的上半平面, ax + by + c < 0 為直線劃分的下半平面. 要點 8.38 設直角坐標平面上有曲線, 曲線方程式為 Γ f (x, y) = 0, 則平面被曲線 Γ 分成兩個區域, 分別為 f (x, y) > 0 與 f (x, y) < 0 的兩個區域. 若點 A(x 1, y 1 ) 與點 B(x, y ) 在曲線 Γ 的異側, 則 f (x 1, y 1 ) f (x, y ) < 0. 若點 A(x 1, y 1 ) 與點 B(x, y ) 在曲線 Γ 的同側, 則 f (x 1, y 1 ) f (x, y ) > 0. 101

要點 8.39 ( 求角平分線 ) 平面上, 兩相交直線 L 1 a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, L a x + b y + c = 0 之交角的兩條角平分線為 a 1 x + b 1 y + c 1 a 1 + b 1 = a x + b y + c. a + b 1. 求三直線相交三角形的內心與旁心時, 可以利用上列方程式, 內 ( 外 ) 角的角平分線.. 求出 L 1, L 之兩角平分線 M 1, M 後, 判斷 M 1, M 為銳 ( 鈍 ) 角之角平分線可以利用下列三個方法其中之一 : (a) 取 L 1 或 L 上異於交點之任一點 P, 由 d(p, M 1 ), d(p, M ) 之大小比較, 判斷為銳 ( 鈍 ) 角角平分線 ; (b) 利用法向量, 求夾角的 cos 之正負判斷 ; (c) 看圖形, 畫去絕對值之後的同異號區. 要點 8.40 ( 柯西不等式 ) 設 a = (a1, a ) 與 b = (b1, b ) 為兩向量, 則 1. a b a b, 且當 = 成立時, a b.. (a1 + a) (b1 + b) (a 1 b 1 + a b ), 且當 = 成立時,a 1 a = b 1 b. 10

第 9 章空間向量與空間幾何 待補上 : 空間中點到線 面的距離, 兩歪斜線的距離, 對稱點及投影點公式. 平面的參數式. 待補 : 方向餘弦, 向量外積與右手則 空間概念 9.1 要點 9.1 ( 基本概念 ) 二維 : 稱為平面, 有兩個方向. 三維 : 稱為空間, 有三個方向. 要點 9. ( 決定直線的條件 ) 在空間中, 相異兩點恰可決定唯一的一條直線. 要點 9.3 ( 決定平面的條件 ) 在空間中, 下列條件, 恰可以決定唯一的一個平面, 1. 不共線的相異三定點.. 一直線與線外的一定點. 3. 相交於一點的兩條直線. 4. 兩條相互平行的直線. 要點 9.4 ( 空間中, 兩直線的關係 ) 空間中, 兩直線的關係, 可能有下列四種 : 1. 重合.. 平行. 3. 相交於一點. 4. 歪斜 ( 不平行且不相交 ). 103

要點 9.5 ( 空間中, 兩平面的關係 ) 空間中, 兩平面的關係, 可能有下列三種 : 1. 重合.. 平行. 3. 交於一直線. 要點 9.6 ( 空間中, 直線與平面的關係 ) 空間中, 直線與平面的關係, 可能有下列三種 : 1. 直線落在平面上.. 直線平行平面. 3. 直線與平面恰交於一點. 要點 9.7 ( 直線的垂直線 ) 設空間中有一直線 L 與一點 P, 則 1. 若 P 在 L 上, 則有無限多條直線通過 P 且垂直 L.. 若 P 不在 L 上, 則有唯一的一條直線恰通過 P, 且與 L 垂直. 要點 9.8 ( 直線與平面的垂直關係 ) 設空間中有一平面 E 與一直線 L, 且 L 與 E 恰交於一點 P, 若 L 垂直於至少兩條通過 P 且在平面 E 上的直線, 則稱 L 與 E 垂直, 記作 L E. 要點 9.9 ( 稜線 二面角 ) 設空間中有兩相異平面 E 1 與 E, 且 E 1 與 E 交於一直線 L, 則 L 稱為 E 1 與 E 的稜線, 自 L 上任取一點 P, 往 E 1 與 E 上各取通過 P 點的兩直線 L 1 與 L, 則 L 1 與 L 的交角, 即稱為 E 1 與 E 平面的二面角. Note: 求二面角時, 常用餘弦定理, 或平面法向量的內積. 若兩平面的二面角為 90 時, 則稱兩平面互相垂直. 要點 9.10 ( 三垂線定理 ) 設空間中有一直線 PQ 垂直平面 E 於 Q 點, 且 L 為平面 E 上的直線, L 不通過 Q 點, 自 Q 往 L 作垂線, 垂足為 R, 則 PR L. Note: 若 PQ E 成立, 則 QR L PR L. 要點 9.11 ( 錐形體的體積 ) 設柱形體的地面積為 A, 高為 h, 則柱形體體積為 Ah. 1 設錐形體的底面積為 A, 高為 h, 則錐形體體積為 3 Ah. 104

要點 9.1 ( 正四面體的性質 ) 由四個正三角形所組成的四面體, 稱為 正四面體. 設正四面體的稜長為 a, 則 6 1. 此正四面體的高 h = 3 a.. 此正四面體的體積 = 1 a3. 3. 設此正四面體任兩面所夾的二面角為 θ, 則 cos θ = 1 3. 4. 此正四面體的內切球半徑 r = h 4. 5. 此正四面體的外接球半徑 R = 3h 4. 6. 不相鄰兩面的垂直距離 = a. 由八個正三角形所組成的八面體, 稱為 正八面體. 設正八面體的稜長為 a, 則 1. 此正八面體的體積 = 3 a3.. 設此正八面相鄰的兩面夾角為 θ, 則 cos θ = 1 3. 練習 9.1 有一個四面體, 四個面都是全等的三角形, 三角形的邊長為 a, b, c, 求四面體體積. ( a + b 答 + c ) (a b + c ) (a + b c ) : 1 ( 提示 : 利用長方體削掉四個角落, 即可得到所求的四面體, x + y = a 設此長方體的長 寬 高分別為 x, y, z, 則由 y + z = b, 可以解得 x, y, z, 故所求四面體的體 積 = x yz 4 x yz 6 = 1 3 x yz. ) 練習 9. z + x = c 將長方形紙 ABCD 沿對角線 AC 折起, 使得 ABC 與 ADC 兩個三角形所在的平面夾角為 θ, 且 AB = a, BC = b, (1) 若 θ = 90, 求 BD 長. () 對於任意角度 θ (0 < θ < 180 ), 求 BD 長. a4 + b 解答 : (1) 4 a + b. () a4 + b 4 a b cos θ. ( 解題提示 : () 利用餘弦定理. ) a + b 要點 9.13 ( 投影後的長度與面積 ) 設空間中有兩直線 L, M 的夾角為 θ, 在 L 上有兩相異點 A, B, 且 A, B 在 M 上的投影點為 P, Q, 則 PQ = AB cos θ. 設空間中有兩平面 E, F 的夾角為 θ, 在 E 上有一封閉區域 R, 且 R 在 F 上的投影區域為 S, 則 S 的面積 = R 的面積 cos θ. 105

空間坐標系 9. 要點 9.14 ( 空間中的直角坐標系 ) 自空間中任一點 O, 作三條兩兩互相垂直的直線, 取適當長為單位長, 按右手則, 分出正向 x 軸 y 軸 z 軸, 此為空間中的直角坐標系, 其中 O 稱為原點. 由 x 軸與 y 軸所形成的平面稱為 x y 平面, 由 y 軸與 z 軸所形成的平面稱為 yz 平面, 由 z 軸與 x 軸所形成的平面稱為 zx 平面. 由 x y 平面 yz 平面 zx 平面, 將空間切割為八塊區域, 稱為八個 卦限, 其中三個坐標皆為正數的是第一卦限, 其餘沒有特別區分的編號. 若空間中一點 P, 在 x 軸 y 軸 z 軸垂足的坐標分別為 a, b, c, 則定義 P 點坐標為 (a, b, c). 要點 9.15 ( 空間中的兩點距離公式 ) 設空間中的兩點 A(x 1, y 1, z 1 ) 與 B (x, y, z ), 則 1. A 與 B 兩點距離 AB = (x 1 x ) + (y 1 y ) + (z 1 z ).. A 與 B 兩點的中點為 A + B = ( x 1 + x, y 1 + y, z 1 + z ) 要點 9.16 設空間中一點 P(a, b, c), 則 1. P 到 x y 平面 yz 平面 zx 平面的投影點分別為 (a, b, 0) (0, b, c) (a, 0, c).. P 到 x y 平面 yz 平面 zx 平面的距離分別為 c a b. 3. P 到 x 軸 y 軸 z 軸的投影點分別為 (a, 0, 0) (0, b, 0) (0, 0, c). 4. P 到 x 軸 y 軸 z 軸的距離分別為 b + c a + c a + b. 5. P 到 x y 平面 yz 平面 zx 平面的對稱點分別為 (a, b, c) ( a, b, c) (a, b, c). 6. P 到 x 軸 y 軸 z 軸的對稱點分別為 (a, b, c) ( a, b, c) ( a, b, c). 空間向量的坐標表示法 9.3 106

要點 9.17 ( 空間向量的坐標表示法 ) 對於空間坐標中的任何向量 v, 經平移後, 變成以原點 O (0, 0, 0) 為起始點, 以 P 為終點, 若 P 點坐標為 (a, b, c), 則定義 v = OP = (a, b, c), 並稱 a, b, c 分別為 v 的 x 分量 y 分量與 z 分量, 且其長度為 v = OP = a + b + c. 設空間坐標中有兩點 P (x 1, y 1, z 1 ), Q (x, y, z ), 則定義 PQ = (x x 1, y y 1, z z 1 ), 且 PQ = (x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ). 設兩向量 a = (x1, y 1, z 1 ), b = (x, y, z ) 且 r 為實數, 則定義 a = b x 1 = x 且 y 1 = y 且 z 1 = z. a = ( x 1, y 1, z 1 ). r a = (rx 1, r y 1, rz 1 ). a + b = (x 1 + x, y 1 + y, z 1 + z ). a b = (x 1 x, y 1 y, z 1 z ). 要點 9.18 ( 空間向量的方向角與方向餘弦 ) 在空間坐標中, 設 O 為原點, 若向量 OA = (a, b, c) 與正向 x, y, z 軸夾角分別為 α, β, γ (0 α, β, γ 180 ), 則 1. α, β, γ 稱為. OA OA 為 OA 的方向角. a = ( a + b + c, OA 方向的單位向量. 3. cos α, cos β, cos γ 稱為 b a + b + c, OA 的方向餘弦. 4. cos α + cos β + cos γ = 1 且 sin α + sin β + sin γ =. c ) = (cos α, cos β, cos γ) a + b + c 要點 9.19 ( 空間向量的內積 ) 設空間坐標中有兩向量 a = (x1, y 1, z 1 ), b = (x, y, z ) 的夾角為 θ (0 θ 180 ), 則定義 a 與 b 的內積 a b = a b cos θ = x 1 x + y 1 y + z 1 z. 107

要點 9.0 ( 空間向量的平行與垂直 ) 設空間坐標中有兩向量 a = (x1, y 1, z 1 ), b = (x, y, z ), 則定義平行 a b 存在實數 t, 使得 a = t b x 1 x = y 1 y = z 1 z. 定義垂直 a b a b = 0 x 1 x + y 1 y + z 1 z = 0. 要點 9.1 ( 空間坐標的分點公式 ) 在空間坐標中, 設有任意兩點 A(x 1, y 1, z 1 ), B (x, y, z ), 若 P AB 且 AP PB = m n, 則 P 點坐標為 ( nx 1 + mx m + n, ny 1 + my m + n, nz 1 + mz m + n ). 要點 9. ( 柯西不等式 ) 設空間坐標中兩向量 a = (x1, y 1, z 1 ) 與 b = (x, y, z ), 則 1. a b a b, 且當 = 成立時, a b.. (x 1 + y 1 + z 1 ) (x + y + z ) (x 1 x + y 1 y + z 1 z ), 且當 = 成立時, x 1 x = y 1 y = z 1 z. 空間中的平面 9.4 要點 9.3 ( 空間中, 平面的法向量 ) 在空間坐標中, 如果直線 L 與平面 E 垂直, 則稱 L 是 E 的法線, 稱 L 的方向向量為 E 的法向量. 要點 9.4 ( 平面方程式 ( 點向式 )) 在空間坐標中, 設平面 E 過定點 P (x 0, y 0, z 0 ), 且平面 E 的法向量為 n = (a, b, c), 則平面 E 的方程式為 a (x x 0 ) + b (y y 0 ) + c (z z 0 ) = 0. 經移項後, 可得平面的一般式為 ax + by + cz + d = 0. Note: x, y, z 項的係數 n = (a, b, c) 即為平面的法向量. 108

要點 9.5 ( 平面方程式 ( 截距式 )) 練習 9.3 在空間坐標中, 設平面 E 的 x, y, z 截距分別為 a, b, c ( 其中 abc 0), 則平面 E 的方程式為 x a + y b + z c = 1. Note: x 截距就是圖形與 x 軸交點的 x 坐標. y, z 截距的定義亦同理類推之. 設平面 E 的 x, y, z 截距分別為 a, b, c (abc 0), 且 E 到原點的距離為 d, 證明 要點 9.6 ( 兩平面的夾角 ) 設兩平面 E 1 與 E 的法向量量分別為 n1 與 n, 且 E 1 與 E 的銳夾角為 θ, 則 n1 n cos θ = n 1. n 1 a + 1 b + 1 c = 1 d. 要點 9.7 ( 點到平面的距離公式 ) 在空間坐標中, 設有一平面 E ax + by + cz + d = 0 與平面外一定點 P (x 0, y 0, z 0 ), 則點到平面的距離 d (P, E) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a + b + c. 要點 9.8 ( 兩平行平面的距離公式 ) 在空間坐標中, 設有兩互相平行的平面 E 1 ax + by + cz + d 1 = 0 與 E ax + by + cz + d = 0, 則此兩平行平面之間的距離 d 1 d d (E 1, E ) = a + b + c. 要點 9.9 ( 角平分面的方程式 ) 在空間坐標中, 設有相交於一直線的兩平面 E 1 a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 = 0 與 E a x+b y+c z+d = 0, 則此兩平面的角平分面為 a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 a 1 + b 1 + c 1 = ± a x + b y + c z + d a + b +. c Note: 求出 E 1, E 之兩角平分面 M 1, M 後, 判斷 M 1, M 為銳 ( 鈍 ) 角之角平分面可以利用下列 兩個方法其中之一 : 1. 取 E 1 或 E 平面上異於交線之任一點 P, 由 d(p, M 1 ), d(p, M ) 之大小比較, 判斷為銳 ( 鈍 ) 角角平分面.. 利用法向量, 求夾角的 cos 之正負判斷. 109

要點 9.30 ( 空間中, 點對平面的對稱點與投影點公式 ) 在空間坐標中, 設有一平面 E ax + by + cz + d = 0 與平面外一定點 P (x 0, y 0, z 0 ), 則則 1. P 對 L 的投影點為 (x 0 + at, y 0 + bt, z 0 + ct).. P 對 L 的對稱點為 (x 0 + at, y 0 + bt, z 0 + ct). 其中, t = (ax 0 + by 0 + cz 0 + d) a + b + c. Note: 不需刻意去記住, 會推導比較重要. 要點 9.31 ( 空間中的畢氏定理 ) 空間中, 設平面 E 與三坐標軸交於 A, B, C 三點, 且 O 為原點, 則 ABC 面積 = OAB 面積 + OBC 面積 + OAC 面積. 要點 9.3 ( 平面族 ) 設兩平面 E 1 a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 與 E a x + b y + c z + d = 0 交於一直線, 則通過 E 1 與 E 共同交線的所有平面可以設為 ( 以下三種任選一種 ) k(a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 ) + l(a x + b y + c z + d ) = 0, 其中 k, l R, k + l 0, k(a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 ) + (a x + b y + c z + d ) = 0 a x + b y + c z + d = 0, 其中 k R, (a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 ) + l(a x + b y + c z + d ) = 0 a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0, 其中 l R. Note: 直線系或平面族當中的 系 (system) 或 族 (family) 皆表示集合的意思, 是為具有特定性質的曲線所成的集合. ( 一般而言, 集合的集合, 稱為 系 或 族.) 空間中的直線 9.5 要點 9.33 ( 直線的參數式 ) 已知在空間坐標中, 有一直線 L 通過定點 A(x 0, y 0, z 0 ), 且與非零向量 v = (a, b, c) 平行, 設 P (x, y, z) 為 L 上的任意動點, 則 P L AP v x = x 0 + at y = y 0 + bt, (t 為實數 ). z = z 0 + ct 此稱為直線 L 的 參數式, 其中 t 稱為 參數, 且 v 稱為此直線的 方向向量. Note: 直線的參數式表示法, 並非唯一的. 110

要點 9.34 ( 直線的對稱比例式 ) 已知在空間坐標中, 有一直線 L 通過定點 A(x 0, y 0, z 0 ), 且與非零向量 v = (a, b, c) 平行, 設 P (x, y, z) 為 L 上的任意動點, 則直線方程式為 其中 abc 0. x x 0 a = y y 0 b Note: 此稱為直線的對稱比例式, 並非唯一的表示法. 要點 9.35 ( 直線的兩面式 ) = z z 0, c 已知在空間坐標中, 兩平面 E 1 a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 與 E a x + b y + c z + d = 0 恰相交於一直線 L, 則 L 的直線方程式為 a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a x + b y + c z + d = 0. Note: 1. 此稱為直線的兩面式, 並非唯一的表示法.. 兩面式, 比例式, 參數式, 要會互相轉換. 3. 直線的兩面式搭配平面族, 方便找出包含此直線的特定平面. 要點 9.36 ( 空間中, 點到直線的距離公式 ) 設空間中有一直線 L 通過定點 Q (x 0, y 0, z 0 ), 且直線的方向向量 v = (a, b, c), 則 L 外部一點 P (α, β, γ) 到 L 的距離為 d (P, L) = PQ v v β y 0 γ z 0 b c = γ z 0 α x 0 + c a a + b + c + α x 0 β y 0 a b 另一種算法為, d (P, L) = PQ ( PQ 在 v 上的投影長 ) = PQ PQ v v Note: 1. 外積 ( ) 在下一節有介紹.. 除了用此法, 還可以用參數式搭配最小距離 ( 配方法 ), 或 是垂直 ( 內積 = 0), 求出點到線的距離, 以及垂足 ( 投影點 ). 111

要點 9.37 ( 空間中, 兩歪斜線之間的距離 ) 在空間中, 設 L 1 與 L 為一組歪斜線 ( 不平行且不相交 ), P, Q 分別為 L 1, L 上的點, 且滿足 PQ L 1 與 PQ L, 則稱 PQ 為 L 1 與 L 的公垂線, 且 PQ 為 L 1 與 L 的距離. 在空間中, 設 L 1 與 L 為一組歪斜線 ( 不平行且不相交 ), 則恰存在一組平面 E 1 與 E, 使得 E 1 包含 L 1, E 包含 L, 且 E 1 E, 並且可得 d (E 1, E ) 即為兩歪斜線 L 1 與 L 之距離. 在空間中, 設 L 1 與 L 為一組歪斜線 ( 不平行且不相交 ), 設 P, Q 分別為 L 1, L 上的點, 且滿足 d (P, L ) 與 d (Q, L 1 ) 皆有最小值, 則 PQ 為 L 1 與 L 的公垂線, 且 PQ 即為 L 1 與 L 的距離. 一次方程組 ( 與行列式 ) 9.6 要點 9.38 ( 二階行列式 ) 定義二階行列式, a b = ad bc. c d Note: 直的為 行 (column), 橫的為 列 (row). 要點 9.39 ( 兩向量所圍平行四邊形的面積 ) 積. 設兩不平行向量 u = (a, b) 與 v = (c, d), 則以 u 與 v 為兩鄰邊所圍的平行四邊形面積為 u v = Note: 1. 先算完行列式, 再取絕對值.. 讀作 wedge, 表示兩向量所圍區域, 取絕對值表示求面 要點 9.40 ( 行列式的性質 ) 行列式具有下列的性質 1. 行列互換, 其值不變.. 任兩行 ( 或列 ) 互換, 其值異號. 3. 任一行 ( 或列 ), 可以提出相同的數. 4. 任兩行 ( 或列 ) 成比例, 其值為 0. 5. 任一行 ( 或列 ), 可以乘以常數倍再加到另外一行 ( 或列 ), 其值不變. 6. 可以沿任一行 ( 或列 ), 分裂成兩個行列式相加. 7. 可以透過矩陣的乘法, 將行列式表示成兩個行列式的相乘. a c b d. 11

要點 9.41 ( 克拉瑪公式 (Cramer s rule) ) 則 對於二元一次聯立方程式 a 1 x + b 1 y = c 1 a x + b y = c, 令 = x = x y = y a 1 b 1 a b, x = c 1 b 1 c b, y = a 1 c 1 a c, 1. 若 0, 則方程組有唯一一組解 (x, y) = ( x, y ). ( 相容方程組, 兩直線恰交於一點.). 若 = 0 且 x + y 0, 則方程式無解. ( 矛盾方程組, 兩直線互相平行, 無交點.) 3. 若 = x = y = 0, 則方程式有無限多組解. ( 相依方程組, 兩直線重合, 有無限多個交點.) Note: 克拉瑪公式, 亦有翻譯為 克萊姆法則. 要點 9.4 ( 三元一次齊次方程組, 求比例 ) a 1 x + b 1 y + c 1 z = 0 對於三元一次聯立方程式 a x + b y + c z = 0, 則 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 1 x y z = b c c a a b Note: 方便的記憶方法是, 把 x, y, z 的係數分兩列各寫兩遍, 再扣掉頭尾兩行求行列式. 要點 9.43 ( 外積的定義 ) 設空間中兩向量 a = (a1, a, a 3 ) 與 b = (b1, b, b 3 ), 則定義 a 與 b 的外積為 a b = a a 3 b b 3, a 3 a 1 b 3 b 1, a 1 a b 1 b. Note: 1. a b 讀作 a cross b.. ( a b ) a 且 ( a b ) b. 3. a b 的方向依 右手則. 4. 設 a 與 b 夾角為 θ, 則 a b 的長度 a b = a b sin θ = a 與 b 所形成的平行四邊形面積. 113

要點 9.44 ( 係數矩陣與增廣矩陣 ) 對於聯立方程組 為增廣矩陣. Note: a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a x + b y + c z = d a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3, 稱 a 1 b 1 c 1 a b c a 3 b 3 c 3 為此方程組之係數矩陣, 稱 a 1 b 1 c 1 d 1 a b c d a 3 b 3 c 3 d 3 1. 直行 橫列.. 若某矩陣 A 共有 m 行且有 n 列, 則通常記作 A = [a i, j ] m n, 其中 m n 稱為此矩陣的 維度 (dimension), 且當中的第 i 行 第 j 列位置的元素 a i, j 稱為第 (i, j) 元. 3. 若某矩陣的行數與列數相同, 則稱為 方陣 (square matrix). 要點 9.45 ( 基本列運算與基本矩陣 ) 解多元一次方程式時, 相當於對其增廣矩陣進行一連串的基本列運算, 而可以進行的基本列運 算如下三種, 1. 將讓兩列互換.. 將任一列乘上非零常數. 3. 將任一列乘以常數之後的值, 加至另外一列之中. Note: 1. 解方程式是作 列 運算, 不可以作 行 運算.. 帶學完矩陣之後, 將會學到 對任何矩陣 作基本列運算, 即是對其乘上基本矩陣. 要點 9.46 ( 高斯消去法, 高斯 喬登消去法 ) 解方程式的方法, 有 1. 高斯消去法 (Gaussian elimination): 將增廣矩陣透過一連串的基本列運算, 使之變為上三角矩陣 ( 左下區塊的元素都為 0, 亦為梯陣 ).. 高斯 喬登消去法 (Gauss Jordan elimination): 將增廣矩陣透過一連串的基本列運算, 使其對於每一列的第一個不為零的元素而言, 所在的行之中, 恰只有該元素不為零. 要點 9.47 ( 三階行列式 ) 三階行列式的直接展開 a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 = a 11 a a 33 + a 13 a 1 a 3 + a 1 a 3 a 31 a 31 a 3 a 33 a 13 a a 31 a 11 a 3 a 3 a 1 a 1 a 33. 114

要點 9.48 ( 三角形的面積, 三點共線, 給兩點求直線方程式 ) 在坐標平面上, 設 A(x 1, y 1 ), B (x, y ), C (x 3, y 3 ), 則 ABC 的面積為 1 x 1 y 1 1 x y 1 x 3 y 3 1 亦即, 1 x x 1 y y 1. x 3 x 1 y 3 y 1 在坐標平面上, 設 A(x 1, y 1 ), B (x, y ), C (x 3, y 3 ), 且 A, B, C 三點共線, 則 x 1 y 1 1 x y 1 x 3 y 3 1 = 0 亦即, x x 1 y y 1 = 0. x 3 x 1 y 3 y 1 在坐標平面上, 設 A(x 1, y 1 ), B (x, y ), 則 AB 方程式為 亦即, x 1 y 1 1 x y 1 = 0 x y 1 x x 1 y y 1 = 0. x x 1 y y 1 要點 9.49 ( 三線共點 ) 在坐標平面上, 設 L 1 a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, L a x + b y + c = 0, L 3 a 3 x + b 3 y + c 3 = 0 兩兩不平 行亦不重合, 則 L 1, L, L 3 三線共點, 若且唯若 a 1 b 1 c 1 a b c = 0. a 3 b 3 c 3 115

要點 9.50 ( 平行六面體體積與四面體體積 ) 在空間坐標中有 O, A, B, C 四點, 設 OA = (x1, y 1, z 1 ), OB = (x, y, z ), OC = (x 3, y 3, z 3 ), 則 OA, OB, OC 所形成的平行六面體體積為 x 1 y 1 z 1 x y z. x 3 y 3 z 3 Note: 四面體 OABC 的體積 = 1 6 平行六面體體積. 要點 9.51 ( 四點共面, 給三點求平面方程式 ) 在空間坐標中有 A, B, C, D 四點, 設 A(x 1, y 1, z 1 ), B (x, y, z ), C (x 3, y 3, z 3 ), D (x 4, y 4, z 4 ), 則 A, B, C, D 四線共面, 若且唯若 x x 1 y y 1 z z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 = 0. x 4 x 1 y 4 y 1 z 4 z 1 在空間坐標中有不共線的 A, B, C 相異三點, 設 A(x 1, y 1, z 1 ), B (x, y, z ), C (x 3, y 3, z 3 ), 則 A, B, C 三點所在平面方程式為 x x 1 y y 1 z z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 = 0. x x 1 y y 1 z z 1 練習 9.4 已知 ABC, AB = 5, 其外接圓半徑為 10, 求 1 cos C cos B cos C 1 cos A cos B cos A 1 之值. 答 : 1 8. 解答 : 設 ABC 之 A, B, C 對應邊分別為 a, b, c, 外接圓半徑為 R, 則由正弦定理, 可得 c sin C 將所求行列式的第 1,, 3 列分別提出 = R sin C = c R = 1 4. 1 a, 1 b, 1 可得 c 1 abc a a cos C a cos B b cos C b b cos A c cos B c cos A c, 116

將上式第 1, 列加至第 3 列可得 1 abc a a cos C a cos B b cos C b b cos A (b cos C + c cos B) a (a cos C + c cos A) b (a cos B + b cos A) + c, 利用投影定理, 可得 沿第三列展開, 可得 將第 1, 列分別提出 a, b, 可得 1 abc a a cos C a cos B b cos C b b cos A c abc 0 0 c a b cos C a cos C b,, abc abc 1 cos C cos C 1 = (1 cos C) = sin C = 1 8. 練習 9.5 已知 ABC, 證明 1 cos C cos B cos C 1 cos A = 0 提示 : 利用投影定理. cos B cos A 1 117

第 10 章圓與球面 待補 : 根軸, 還有當兩圓外離 內離時, 根軸意義為何, 極線, 切割線性值, 切線速算法. 圓的方程式 10.1 要點 10.1 ( 圓的定義 ) 在平面上, 給定一定點 O, 與一線段長 r, 蒐集所有與 O 距離恰為 r 的動點 P, 則 P 所在的軌跡稱為 圓, 且稱 O 為圓心, 稱 r 為半徑. 要點 10. ( 圓的標準式 ) r. 在坐標平面上, 有一圓 C 之圓心為 O(h, k), 半徑為 r, 則此圓的方程式為 (x h) + (y k) = 要點 10.3 ( 圓的一般式 ) 在坐標平面上, 二元二次方程式 C x +y +dx+dy+ f = 0 經配方後, 可得 (x + d ) +(y + e ) = d + e 4 f, 其中 d + e 4 f 稱為圓的判別式. 4 1. 若 d + e 4 f > 0, 則圖形為一圓, 圓心為 ( d, e ), d + e 半徑為 4 f.. 若 d + e 4 f > 0, 則圖形為一點 ( 退化的圓, 亦稱為點圓 ), 點坐標為 ( d, e ). 3. 若 d + e 4 f > 0, 則無圖形 ( 退化到消失的圓, 亦稱為虛圓 ). 要點 10.4 ( 圓的直徑式 ) 在坐標平面上, 給定 A(x 1, y 1 ) 與 B (x, y ), 則以 A B 為直徑兩端點的圓方程式為 (x x 1 ) (x x ) + (y y 1 ) (y y ) = 0. 118

要點 10.5 ( 圓的參數式 ) 設 r 為正實數, 在平面上的有一圓, 1. 若圓方程式為 x + y = r, 則圓上之任意動點可設為 (x, y) = (r cos θ, r sin θ), 其中 0 θ < π.. 若圓方程式為 (x h) +(y k) = r, 則圓上之任意動點可設為 (x, y) = (h + r cos θ, k + r sin θ), 其中 0 θ < π. 要點 10.6 ( 阿波羅尼斯圓 ) 設 A, B 為平面上相異兩點, k 為正實數, 若 P 為平面上滿足 PA PB = 1 k 的任異動點, 則蒐集所有動點 P 所形成的圖形為 1. 若 k = 1, 則圖形為 AB 的中垂線.. 若 k 1, 則圖形為一圓, 稱為 阿波羅尼斯圓. 要點 10.7 ( 點與圓的關係 ) 設 f (x, y) = x + y + dx + e y + f 且 f (x, y) = 0 的圖形為一圓, 圓心 O (h, k), 半徑 r > 0, 對於平面上任意一點 P (x 0, y 0 ) 與圓的關係如下, 1. P 在圓外 OP > r f (x 0, y 0 ) > 0.. P 在圓上 OP = r f (x 0, y 0 ) = 0. 3. P 在圓內 OP < r f (x 0, y 0 ) < 0. Note: 將 f (x, y) 配方後可得 f (x, y) = (x h) + (y k) r, 得 f (x 0, y 0 ) = OP r. 要點 10.8 ( 點到圓的最長距離與最短距離 ) 設平面上有一圓 C, 圓心為 O, 半徑為 r, 則對平面上任一點 P, 1. 若 P 在圓外, 則 P 到圓 C 上動點的最長距離為 OP +r, P 到圓 C 上動點的最短距離為 OP r.. 若 P 在圓上, 則 P 到圓 C 上動點的最長距離為 r, P 到圓 C 上動點的最短距離為 0. 3. 若 P 在圓內, 則 P 到圓 C 上動點的最長距離為 OP +r, P 到圓 C 上動點的最短距離為 r OP. 圓與直線的關係 10. 待補 : 圓切線方程式的求法 119

要點 10.9 ( 圓與直線的關係 ) 平面上有一圓 C, 圓心為 O, 半徑為 r, 且有一直線 L ax + by + c = 0, 令 d(o, L) 表示 O 到 L 的距離 (distance), 則 1. d(o, L) > r 圓 C 與直線 L 相離 L 帶入 C 求解時, 無實數根 ( 判別式 < 0).. d(o, L) = r 圓 C 與直線 L 相切 L 帶入 C 求解時, 有重根 ( 判別式 = 0). 3. d(o, L) < r 圓 C 與直線 L 相割 L 帶入 C 求解時, 有兩相異實根 ( 判別式 > 0). 要點 10.10 ( 圓上的點與直線的最長距離 最短距離 ) 平面上有一圓 C, 圓心為 O, 半徑為 r, 且有一直線 L, 令 d(o, L) 表示 O 到 L 的距離 (distance), 1. 若 C 與 L 相離, 則圓 C 上動點到 L 的最長距離為 d(o, L) + r, 最短距離為 d(o, L) r.. 若 C 與 L 相切, 則圓 C 上動點到 L 的最長距離為 r, 最短距離為 0. 3. 若 C 與 L 相割, 則圓 C 上動點到 L 的最長距離為 d(o, L) + r, 最短距離為 0. 要點 10.11 ( 圓系 ( 退化版 )) 平面上, 有一圓與直線 ax + by + c = 0 切於點 (x 0, y 0 ), 則可設此圓方程式為 (x x 0 ) + (y y 0 ) + k(ax + by + c) = 0, k R. 空間中, 有一球面與平面 ax + by + cz + d = 0 切於點 (x 0, y 0, z 0 ), 則可設此球面方程式為 (x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ) + k(ax + by + cz + d) = 0, k R. 要點 10.1 ( 切線段長 ) 設圓 C x + y +dx + e y + f = 0, 配方之後為 (x h) +(y k) r = 0, 自圓外一點 P(x 0, y 0 ) 往圓作兩切線, 則切線段長 = x0 + y 0 + dx 0 + ey 0 + f = (x 0 h) + (y 0 k) r. 要點 10.13 ( 切割線定理 ) 設圓 C x + y + dx + e y + f = 0 及圓外部的一點 P(x 0, y 0 ), 自 P 往圓作切線, 切點為 Q, 自 P 往圓作割線, 與圓的兩交點為 A, B, 則 PQ = PA PB = x 0 + y 0 + dx 0 + ey 0 + f. 要點 10.14 ( 相交弦定理 ) 設圓 C x + y + dx + e y + f = 0 及圓內部的一點 P(x 0, y 0 ), 自 P 往圓兩弦, 一弦的兩端點為 A, B, 另一弦的兩端點為 C, D, 則 PA PB = PC PD = (x 0 + y 0 + dx 0 + ey 0 + f ). 要點 10.15 ( 圓冪定理 ) 設圓 C x + y + dx + e y + f = 0 及不在圓上的一點 P(x 0, y 0 ), 自 P 做任意一條直線, 交圓於 A, B 兩點, 則 PA PB = x 0 + y 0 + dx 0 + ey 0 + f. Note: 圓冪定理, 即為切割線定理與相交弦定理的綜合. 10

要點 10.16 ( 過定點, 求圓的切線方程式 ) 1. 已知圓 C 的圓心 O 與半徑 r, 要求過定點 P(x 0, y 0 ) 且與圓 C 相切之切線 L, 可以假設 L 的斜率為 m, 再利用 d(o, L) = r, 求得切線之斜率 m.. 設 P(x 0, y 0 ) 為圓 x + y + dx + ey + f = 0 上的一點, 則過 P 且與圓相切的切線方程式為 x 0 x + y 0 y + d x 0 + x + e y 0 + y + f = 0. 3. 設 P(x 0, y 0 ) 為圓 (x h) + (y k) = r 上的一點, 則過 P 且與圓相切的切線方程式為 (x 0 h)(x h) + (y 0 k)(y k) = r. 球面方程式 10.3 球面與平面的關係 10.4 11

第 11 章圓錐曲線 待補上 : 已知中點求中點弦方程式 ( 及弦長 ) 的多種求法, 二次曲線的半徑, 已知斜率求平行弦中點必過方程式, 利用 Dandelin 球導出拋物線 橢圓 雙曲線的定義. 過二次曲線上定點 (x 0, y 0 ) 的切線方程式 極限, 二次曲線族 ( 系 ). 圓錐截痕 11.1 要點 11.1 ( 圓錐 ) 設兩直線 L 與 M 交於點 V, 且夾角為 θ (0 < θ < 90 ), 將 L 維持固定角 θ, 並繞 M 旋轉一圈, 此時 L 所掃出的曲面稱為 圓錐面, 且 V 稱為 頂點, θ 稱為半頂角, 固定直線 M 稱為 中心軸, 動直線 L 稱為 母線. 要點 11. ( 圓錐截痕 ) 設空間中有平面 E 與圓錐 Γ, 若 Γ 的半頂角為 θ, 且 E 與 Γ 中心軸的銳夾角為 ϕ, 1. 若 θ = ϕ, 則 E 與 Γ 的截痕為拋物線或一直線.. 若 θ < ϕ, 則 E 與 Γ 的截痕為橢圓 圓或一點. 3. 若 θ > ϕ, 則 E 與 Γ 的截痕為雙曲線 或相交於一點的兩直線. Note: 圓 橢圓 雙曲線 拋物線 皆稱為 圓錐曲線, 簡稱 錐線 ; 一點 一直線 相交於一點的 兩直線 皆稱為 退化的圓錐曲線. 拋物線 11. 1

要點 11.3 ( 拋物線的定義 ) 平面上, 有直線 L ax + by + c = 0 與直線 L 外一定點 F(x 0, y 0 ), 定義 Γ = {P(x, y) d(p, F) = d(p, L)} 則 Γ 的圖形稱為拋物線, 且稱 L 為此拋物線的 準線, 稱 F 為此拋物線的 焦點, 且此拋物線方程式為 (x x 0 ) + (y y 0 ) ax + by + c =. a + b 要點 11.4 Note: d(p, L) 表示 P 到 L 的距離. 令 c R, 拋物線 Γ y = 4cx 的所有切線中, 以 m 為斜率的切線方程式為 y = mx + c m ; 拋物線 Γ (y k) = 4c(x h) 的所有切線中, 以 m 為斜率的切線方程式為 (y k) = m(x h) + c m ; 拋物 線 Γ (x h) = 4c(y k) 的所有切線中, 以 m 為斜率的切線方程式為 (y k) = m(x h) cm ; 拋物線 Γ x = 4cy 的所有切線中, 以 m 為斜率的切線方程式為 y = mx cm. 練習 11.1 已知拋物線方程式 y = 4cx, c R +, 此拋物線頂點為 O(0, 0), 拋物線上有兩動點 A, B 滿足 AOB = 90, 則 AB 恆通過定點 (4c, 0), 且 AB 中點軌跡為拋物線, AOB 面積最小值為? 證明提示 : 令兩個參數式, 再利用 OA OB = 0. 13

要點 11.5 已知拋物線 Γ y = 4cx, c > 0, 且 F 為焦點,V 為頂點,AB 為一焦弦, 設 A(ct, ct) = (x 1, y 1 ), B (ck, ck) = (x, y ), 其中 t, k 為實數, 試證 : 1. tk = 1.. x 1 x = c 且 y 1 y = 4c. 3. AB = c (t k) = c (t + 1 t ). 4. VAB 面積 = c t k = c t + 1 t. 證明 : 1. 由 F (c, 0), A(ct, ct), B (ck, ck) 可得 因為 A, F, B 三點共線, 所以 同時約掉非零的 c, (k t), 再化簡, 即可得 FA = (ct c, ct), AB = (ck ct, ck ct) (ct c) ct = (ck ct ) (ck ct) tk = 1.. x 1 x = ct ck = c (tk) = c 14

且 y 1 y = (ct) (ck) = 4c (tk) = 4c. 3. AB = AF + FB = A 到準線的距離 + B 到準線的距離 = (x 1 + c) + (x + c) = (ct + c) + (ck + c) = c (t + k + ) = c (t + k tk) = c(t k) = c(t + 1 t ). 4. 要點 11.6 設拋物線方程式為 y = 4cx, VAB 面積 = 1 VA = 1 VB ct ct ck ck = c tk(t k) = c ( 1) (t k) = c t k = c t + 1 t. 過拋物線頂點 O, 做兩條互相垂直的弦 OA 與 OB, 則 AB 必過定點 (4c, 0). 過拋物線上之一點 P(x 0, y 0 ), 做兩條互相垂直的弦 PA 與 PB, 則 AB 必過定點 (x 0 + 4c, y 0 ). 過拋物線上之一點 P(x 0, y 0 ), 做兩條弦 PA 與 PB, 且兩弦斜率相乘為 m, 則 AB 必過定點 (x 0 4c m, y 0). 練習 11. 設 A, B 在拋物線 y = 8x 上,O 表原點, 且 OA OB, 試求 O 在 AB 上之投影點 P 之軌跡方程式. 答 : (x 4) + y = 16. ( 提示 : 先證明到 AB 必通過 C(8, 0), 再由 OP CP, 可以發現 P 是在以 OC 為直徑的圓上.) 11..1 拋物線考古題 考題 11.1 (9 年學測 ) 設 A(1, 0) 與 B(b, 0) 為坐標平面上的兩點, 其中 b > 1. 若拋物線 Γ y = 4cx 上有一點 P 使得 ABP 為正三角形, 則 b =? 答案 :5. 15

橢圓 11.3 要點 11.7 已知橢圓方程式 3 4 ab. x a + y b = 1, a, b R+, 則此橢圓面積為 πab, 橢圓內接三角型最大面積為 練習 11.3 已知橢圓方程式 O, 則 x a + y b = 1, a, b R+, 自橢圓上一動點 P 做切線與 x, y 軸交點 A, B, 原點為 1. AB 最小值為 a + b,. AOB 面積最大值為 ab 4. 練習 11.4 x 已知橢圓方程式 a + y b = 1, a, b R+ 及橢圓兩頂點 A(a, 0), B(0, b), 橢圓上有動點 P, 則 APB 面積最大值為? 提示 : 令參數式, 利用工程師面積公式. 練習 11.5 x 已知橢圓方程式 a + y b = 1, a, b R+, 某直線斜率為 m 且與橢圓交於 A, B 兩點, 試証 : 當 AB 有最大值時, 此直線通過橢圓的中心點. 練習 11.6 平面上, 有兩內離的圓 C 1, C 圓心 O 1, O 半徑 r 1, r, 則與 C 1, C 同時相切的圓之圓心軌跡為一橢圓, 此橢圓焦點為 O 1, O, 長軸長為 r 1 + r. ( 退化之後 ) 平面上, 有一圓 C 1, 其圓心 O 1 半徑 r 1, 且圓內有一定點 O, 則過 O 且與 C 1 相切的圓之圓心軌跡為一橢圓, 此橢圓焦點為 O 1, O, 長軸長為 r 1. 雙曲線 11.4 16

要點 11.8 已知雙曲線 Γ 與 Γ 為互為共軛雙曲線, 且 Γ 為其漸近線, 設直線 L 交 Γ 於 P, Q 兩點, 直線 L 交 Γ 於 R, S 兩點, 直線 L 交 Γ 於 M, N 兩點, 則 1. PQ, RS, MN 有相同中點 ;. PR = QS, PM = QN. 證明提示 : 解聯立方程式 {L, Γ}, {L, Γ }, {L, Γ } 時, 由根與係數關係式 ( 韋達定理, Viète s formulas ), 可知 P, Q, 兩點之 x 坐標之和 = R, S, 兩點之 x 坐標之和 = M, N, 兩點之 x 坐標之和, 故 PQ, RS, MN 三者中點的 x 坐標相同, 又因為 P, Q, R, S, M, N 皆在 L 直線上, 故 PQ, RS, MN 有相同中點. 要點 11.9 已知橢圓 Γ 兩焦點為 F 1, F 及 Γ 之某切線 L 之方程式, 則 F 對 L 對稱可得 F, Γ 之長軸長 = F 1 F. 已知雙曲線 Γ 之兩焦點為 F 1, F 及 Γ 之某切線 L 之方程式, 則 F 對 L 對稱可得 F, Γ 之貫軸長 = F 1 F. 練習 11.7 平面上, 有兩外離的圓 C 1, C 圓心 O 1, O 半徑 r 1, r, 則 1. 與 C 1, C 同時外切或是同時內切的圓之圓心軌跡為一雙曲線, 此雙曲線焦點為 O 1, O, 貫軸長為 r 1 r ;. 與 C 1, C 之一圓外切且另一圓內切的圓之圓心軌跡為一雙曲線, 此雙曲線焦點為 O 1, O, 貫軸長為 r 1 + r. 練習 11.8 雙曲線上上任一點 P, 試証該 P 至此雙曲線兩漸近線距離之乘積為定值. 雙曲線上任一點 P, 由 P 做此雙曲線之切線, 試証該切線與兩漸近線所圍面積為定值. 雙曲線上上任一點 P, 由 P 做此雙曲線兩漸近線之平行線, 試証該兩平行線與兩漸近線所圍平行四邊形面積為定值. 考題 11. (96 年中一中 ) 已知平面上有兩相異定點 B, C 及一動點 A, 且 tan B tan C = k, 試由 k 之值討論 A 點軌跡的圖形. y 解題提示 : 另 B(0, 0), C(l, 0), A(x, y), 則 y = x tan B = (l x) tan C, 因此可得 x y l x = tan B tan C = k, 化減之後再討論, 可得圖形可能為圓 橢圓 拋物線 或是一直線. 考題 11.3 (96 年中一中 ) 1. 已知平面上有三相異定點 A(a, 1 a ), B(b, 1 b ), C(c, 1 c ), 試証 ABC 的垂心 H 之軌跡為雙曲線. 1 證明提示 : 利用 AH BC = 0, BH AC = 0, 可以解出 H( abc, abc), 是故 H 軌跡方程式為 x y = 17

練習 11.9 平面上有三點 A(1, 5), B(3, ), C(, 4), 已知 ABC 內之有一動點 P(x, y), 試求 x y 之最大值? 解題提示 : 利用線性規劃的觀念加上雙曲線 x y = k, 是故要求 x y = k 與 AB 相切時之 k 點坐標, 因此解聯立方程式 ( y 代入消去 ), 利用 x 之判別式 = 0, 可以求出 k, 此即所求. 練習 11.10 ( 二次曲線系, 漂亮例題 ) 有一等軸雙曲線過四點 A( 1, ), B(0, 4), C(, 1), D(4, 1), 試求此等軸雙曲線方程式. 解題提示 : 先求出 AB, CD, AD, BC 的四個直線方程式, 利用通過此四點的兩個退化的二次曲線 Γ 1 AB CD = 0, Γ AD BC = 0, 則令過四點之二次曲線為 Γ 1 + kγ = 0, 利用等軸雙曲線與坐標變換不變量,A + C = 0, 求出 k = 5 7, 代回二次曲線, 即可求得. 圓錐曲線的切線與光學性質 11.5 待補 : 切線的定義, 微分法 ( 及隱函數的微分法 ) 求切線, 中點弦, 圓錐曲線的半徑. 11.5.1 圓錐曲線的切線 要點 11.10 令 p, q R, 二次曲線 Γ y = mx ± pm + q. x p + y q = 1, 則 Γ 的切線中, 以 m 為斜率的切線 L 方程式可表為 要點 11.11 令 p, q R, 二次曲線 Γ x p + y q = 1, 則 Γ 的互相垂直的兩切線的交點必落在圓 x + y = p + q 上. 證明提示 : 設兩垂直切線斜率為 m, 1 m, 再利用切線公式. 要點 11.1 ( 換一半公式 ) 設圓錐曲線 Γ Ax + Bx y + Cy + Dx + Ey + F = 0 上有一點 P(x 0, y 0 ), 則自 P 作 Γ 的切線, 則切線方程式為 A(x 0 x) + B ( x 0y + y 0 x ) + C (y 0 y) + D ( x 0 + x ) + E ( y 0 + y ) + F = 0. Note: 如上用換一半公式所得的方程式稱為 Polar, 極線 或 極軸, 而 P 稱為 Pole 或 極點, 1. 若 P 是在圓錐曲線上, 則所求得的是以 P 為切點的切線方程式.. 若 P 是在圓錐曲線外部, 則所求得的是自 P 向 Γ 所作切線的切點弦方程式. 3. 若 P 是在圓錐曲線外部, 則所求得是曲線外某條平行 以 P 為中點的弦 的平行直線方程式. 18

11.5. 圓錐曲線的光學性質 要點 11.13 ( 拋物線的光學性質 ) 則 練習 11.11 要點 11.14 設拋物線 Γ 的焦點為 F, 且 Γ 上任取一點 P, 自 P 作切線 L, 且自 P 作平行於對稱軸的直線 M, L 與焦半徑 PF 的夾角, 會等於 L 與 M 的夾角. 若 F 對於切線 L 的對稱點為 Q, 則 Q 會落在準線上, 且 Q 恰為 P 在準線上的投影點. 若有一光源自焦點 F 射出, 經拋物線反射之後, 會沿平行拋物線對稱軸的直線方向射出. Note: 拋物線的焦點對拋物線任一切線的對稱點, 必在準線上. 一拋物線焦點為 (, ), 有兩切線 x + y = 0, x y = 0, 試問拋物線方程式與切點? 解題提示 : 由焦點至兩切線作對稱點, 過兩對稱點的方程式即為準線方程式. 設線段 PQ 為拋物線 Γ 的焦弦 ( 過焦點的弦 ), 且 F 與 L 分別為 Γ 的焦點與準線, 自 P, Q 分別向 L 作垂線, 垂足分別為 M, N, 若 R 為 MN 的中點, 則 1. PR QR.. RF PQ. 3. RF = PM RN. 4. RP 與 RQ 皆為 Γ 的切線, 且 P, Q 皆為切點. Note: 拋物線之兩互相垂直的切線的交點必在準線上 ; 準線上任一點對拋物線所做的兩切線必 互相垂直, 且兩切點的連線必為焦弦. 過拋物線焦弦兩端點的切線必互相垂直. 練習 11.1 拋物線 y = x 外一點 P 作兩條拋物線的切線, 令兩切線銳夾角為 α, 且 tan α = 4, 求 P 點的軌 跡方程式. 解答 : 設 P(x 0, y 0 ) 且令過 P 且與拋物線相切的兩條切線斜率分別為 m 1, m. 對於拋物線 y = x, 其斜率為 m 的切線方程式為 y = mx 1 4 m. 所以, 通過 P 的切線方程式為 y 0 = mx 0 1 4 m, 其中 m 的兩根為 m 1 與 m, 化簡可得 由根與係數關係式, 可以得到 m 4mx 0 + 4y 0 = 0. m 1 + m = 4x 0 且 m 1 m = 4y 0 19

利用 (m 1 m ) = (m 1 + m ) 4m 1 m, 可得 m 1 m = 4 x0 y 0. 且由 tan α = m 1 m 4 = 4 x 0 y 0 1 + m 1 m 1 + 4y 0 化簡, 可得 x 0 16y 0 9y 0 1 = 0., 亦即 P(x, y) 的軌跡方程式為 x 16y 9y 1 = 0. Note: 相同的方法可以用來證明 1. 設拋物線方程式為 x = 4cy, 則此拋物線任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡為準線, 即軌跡方程式為 y = c.. 設橢圓方程式為 a + b. 3. 設雙曲線方程式為 a b. 要點 11.15 ( 有心錐線與無心錐線 ) x a + y b = 1, 則此橢圓任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡方程式為 x + y = x a y b = 1, 則此橢圓任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡方程式為 x + y = 橢圓與雙曲線有對稱中心點, 故稱為 有心錐線. 拋物線無對稱中心點, 故稱為 無心錐線. 要點 11.16 ( 有心錐線的光學性質 ) 設 Γ 為有心錐線 ( 橢圓或雙曲線 ), 且 Γ 的兩焦點為 F 1, F, 自 Γ 上任取一點 P, 自 P 作 Γ 的切線 L, 則兩條焦半徑 PF 1, PF 會與 L 夾等角. 要點 11.17 ( 橢圓的光學性質應用 ) 設橢圓 Γ 的半長軸長為 a, 半短軸長為 b, 兩焦點為 F 1, F, 橢圓上任取一點 P, 自 P 作 Γ 的切線 L, 自 F 1, F 作 L 的垂線, 設垂足分別為 H 1, H, 令 F 1 PF = θ, 則 1. PF 1 PF = b 1 + cos θ = b sec θ.. PF 1 F 面積 = b tan θ. 3. F 1 H 1 F H = b. 4. 梯形 F 1 H 1 H F 的面積 = a sin θ. 5. 當 P 繞行整個橢圓, 則 H 1 與 H 皆在以橢圓中心點為圓心, 以 a 為半徑的圓上. 6. 若 F 1 對於 L 的對稱點為 F 1, 則 F 1 F = a. 130

要點 11.18 ( 雙曲線的光學性質應用 ) 設雙曲線 Γ 的半貫軸長為 a, 半共軛軸長為 b, 兩焦點為 F 1, F, 雙曲線上任取一點 P, 自 P 作 Γ 的切線 L, 自 F 1, F 作 L 的垂線, 設垂足分別為 H 1, H, 令 F 1 PF = θ, 則 1. PF 1 PF = b 1 cos θ = b csc θ.. PF 1 F 面積 = b cot θ = 1 ab sin θ. 3. F 1 H 1 F H = b. 4. 梯形 F 1 H 1 H F 的面積 = a sin θ. 5. 當 P 繞行整個雙曲線, 則 H 1 與 H 皆在以雙曲線中心點為圓心, 以 a 為半徑的圓上. 6. 若 F 1 對於 L 的對稱點為 F 1, 則 F 1 F = a. 131

第 1 章排列組合 待補上 : 鋸齒狀走捷徑 ( 開票一路領先 售票無障礙 ) 勝率問題 立體相鄰塗異色問題 ( 恰用若干色問題 ) 環狀排列 ( 有 無循環節 ) 項圈排列 ( 有無循環節 可否對稱 ), 換鈔問題的付款方式與多少種款額. 正因數個數. 加法原理與乘法原理 1.1 要點 1.1 ( 樹狀圖 ) 將所有可能性, 按樹枝狀逐一條列出所有的可能性, 每一個節點都是一個不重複的可能狀態, 用以輔助解題的方法. Note: 即為窮舉法. 要點 1. ( 加法原理 ) 完成某事件的方法有 k 類可以選擇, 其中第一類方法有 m 1 種, 第二類方法有 m 種,..., 第 k 類的方法有 m k 種, 則完成此事件的方法共有 m 1 + m + + m k 種不同的方法可以選擇. Note: 上述的方法與方法之間, 是有互斥性的, 只要擇一即可. keyword: 或. 要點 1.3 ( 乘法原理 ) 完成某事件的方法可以分成 k 個步驟, 其中第一個步驟有 m 1 種方法可以選擇, 第二個步驟有 m 種方法可以選擇,..., 第 k 個步驟有 m k 種方法可以選擇, 則完成此事件的方法共有 m 1 m m k 種不同的方法可以選擇. Note: 若跳過任一步驟, 皆無法完成此事件. keyword: 且. 排列 1. 要點 1.4 ( 完全相異物的全取排列 ) 將 n 個不同的東西, 全取排成一列, 其排列方法數共有 n! = n(n 1)(n ) 1 種. Note: 定義 0! = 1. 13

要點 1.5 ( 完全相異物的直線排列 ) 種. 將 n 個不同的東西, 選取 k 個排成一列 (k n), 其排列方法數共有 要點 1.6 ( 全錯排 ) P n k = n(n 1)(n ) (n k + 1) = k 個括弧 n! (n k)! 設 n N, 將 1,, 3,..., n 對應至 a 1, a, a 3,..., a n, 各數字不重複使用, 且滿足 (a 1 1)(a )(a 3 3) (a n n) 0, 則其對應方法數有 n! ( 1 0! 1 1! + 1! 1 3! + ( 1)n 1 n! ) 要點 1.7 ( 環狀相鄰塗異色問題 ) 以 k 種顏色塗一有 n 節的環狀區域, 顏色可重複使用, 且不一定要全部用完, 相鄰區域塗異色, 若塗法有 a n 種, 則遞迴關係式為 a 1 = k, a = k(k 1), a n = k(k 1) n 1 a n 1, n 3, 且 a n = (k 1) n + ( 1) n (k 1) 證明提示 :k(k 1) n 1 塗法, 最後兩個區域可能同色或異色, 相對應到就是 a n 1, a n 其中一種. 再利用遞迴關係式加上用等比級數公式就可以得出結果. 練習 1.1 A, B, C, D 四個人完傳接球遊戲, 由 A 開始請問傳七次回到 A 的方法有幾種? 答 :546. 提示 : 假設傳球一定是要傳給其他人的話, 則跟 A A 相鄰塗異色的方法相同, 環狀七格用四色塗且某位置限定為 A 色 = (37 + 3( 1) 7 ) = 546 4 練習 1. 數線上 A, B, C 三點坐標分別是 1, 0, 1, 某一質點由 B 點出發, 每經過一秒只能留在原處, 或往左右移動一單位, 且規定只能在 A, B, C 三點間移動, 經過六秒後, 請問此質點會停留於 B 之移動方法共有幾種? 經過六秒後, 此質點仍然停留在 B 點之機率為何? 答 :(1) 99 ;() 99 39. 提示 : 令 t 秒後, 此質點會停留在 A, B, C 的方法數分別為 a t, b t, c t, 則 a 0 = 0, b 0 = 1, c 0 = 0, 且利用遞迴關係式 a t = a t 1 + b t 1, b t = a t 1 + b t 1 + c t 1, c t = b t 1 + c t 1, 可求 99 得 a 6 = c 6 = 70, b 6 = 99, 故經過六秒後, 質點仍停留在 B 點之機率為 70 + 99 + 70 = 99 39 組合 1.3 133

要點 1.8 ( 完全相異物的分組與分堆 ) 1. 將 n 件不同的物品分成若 k 組, 第一組有 r 1 件, 第二組有 r 件,, 第 k 組有 r k 件, 其中 r 1 + r + + r k = n, 則其分法有 Cr n 1 C n r 1 r C n r 1 r r k 1 n! r k = r 1!r! r k!. 若將 n 件不同的的物品分成 k 堆, 其中有 t 1 堆個數相同, 另 t 堆個數也相同 ( 與前者不同 ),, Cr n 1 C n r 1 r 另 t m 堆個數相同 ( 與前者皆不同 ), 則分堆的方法數為 1 t 1!t! t m!. C n r 1 r r k 1 r k t 1!t! t m! = n! r 1!r! r k! 要點 1.9 ( 重複組合 ) 設 n, k 為正整數, 則 1. 將 k 顆相同的球, 投入 n 個不同的箱子, 投完之後, 各箱子球數的分佈情形有 H n k 種.. n 元一次不定方程式 x 1 + x + + x n = k 的非負整數解 (x 1, x,..., x n ) 共有 H n k 組. 3. 有 n 種不同的東西, 每種至少有 k 個, 自這 n 種東西裡面取出 k 個出來, 取出來的結果有 H n k 種. 其中, H n k = (n + k 1)! Cn+k 1 k = k! (n 1)!. Note: k 顆相同球, 放入 n 個不同箱子, 視為 k 顆球與 n 1 個隔板的排列. 要點 1.10 ( 凸 n 邊形內部的三角形個數 ) 已知有一凸 n 邊形 (n 6), 任三條對角線皆不共點, 則在此凸 n 邊形內部, 以邊長及對角線所形成的三角形個數為 C n 3 + 4C n 4 + 5C n 5 + C n 6. 證明提示 : 三角形頂點皆恰為凸 n 邊形頂點的有 C n 3 個, 三角形頂點恰有兩個頂點為凸 n 邊形頂點的有 4C n 4 個 ( 以四邊形為最小單位 ), 三角形頂點恰有一個頂點為凸 n 邊形頂點的有 5C n 5 個 ( 以五邊形為最小單位 ), 三角形頂點皆不為凸 n 邊形頂點的有 C n 6 個 ( 以六邊形為最小單位 ). 要點 1.11 ( 圓周上相異 n 所成的弦, 將圓內部分割成多少區域 ) 圓周上有相異 n 個點, 任取兩點連成一弦, 則這些弦最多可將此圓內部分割成 C n + C4 n + 1 個區域. 證明提示 : 若這 n 個相異點的連線均不相交, 則可把圓分割成 C n + 1 個區域, 但實際上每 4 個點可多決定一交點, 而每多 1 個交點就多出 1 個區域, 故為圓周上相異 n 個點最多可以決定 C n +C4 n +1 個區域. 134

要點 1.1 設 n, m 為正整數, 在 1 至 n 中選取不連續 ( 不相鄰 ) 的 m 個數字, 則取法有 Cm n m+1 種. 已知圓周上有 k 1, k,, k n 共 n 個相異點, 若要從中選出不相鄰的 m 個點, 則取法有 Cm n m+1 Cm n m 1 種. 證明提示 : 此與環狀排列不同, 因為各點皆有名稱, 先將 k 1, k,, k n 放一直線, 選出不連續 m 個的方法數 選出不連續 m 個, 且頭尾必取的方法數 練習 1.3 凸 n 邊形中, 任意取三頂點所形成的三角形中, 與此凸 n 邊形有恰兩公共邊的三角形有幾個? 與此凸 n 邊形恰有一公共邊的三角形有幾個? 與此凸 n 邊形沒有公共邊的三角形有幾個? 答 :(1) n ;() n(n 4) ;(3) C3 n n(n 4)(n 5) n n(n 4) =. 6 練習 1.4 練習 1.5 矩形 m n 條街道, 由左下至右上走捷徑, 恰轉 1,,3,4 次彎的走法有幾種? 答 :, (m ) + (n ), (m )(n ), H 3 m 3H n + H m H 3 n 3. 五支相同的鉛筆 四支相同的原子筆, 分給三位小朋友, 每人至少得一支筆的分法有幾種? 每人至少得一支鉛筆與一支原子筆的分法有幾種? 答 :H 3 5H 3 4 C 3 1 H 5H 4 + C 3 H 1 5H 1 4, H 3 H 3 1. 五支相同的鉛筆 四支不同的原子筆, 分給三位小朋友, 每人至少得一支筆的分法有幾種? 每人至少得一支鉛筆與一支原子筆的分法有幾種? 答 :H 3 53 4 C 3 1 H 5 4 + C 3 H 1 51 4, H 3 (3 4 C 3 1 4 + C 3 1 4 ). 練習 1.6 試求 1. x + y + x = 0 共有幾組整數解?. x + y + z + u = 15 的正整數解有幾組? 答 :(1) 160.);() 133. 提示 :1. 討論恰有多少個 0 根. 討論 u 的可能性. 考題 1.1 (84 年學測 ) 每次用 0 根相同的火柴棒圍成一個三角形, 共可圍出多少個不全等的三角形? 答 :8. 提示 : 設三角形三邊為 a, b, c, 且滿足 0 a b c 0 以及 a + b + c = 0, a + b > c, 條列 (a, b, c) 組數. 考題 1. ( 中一中 80 年 ) 同一平面上有相異曲線及直線, 共有四條直線 三個圓 兩個橢圓 三個拋物線 三個雙曲線, 這些圖形最多有多少個交點? 答 :C1 4 C1 3 + C1 3 C1 8 4 + C1 4 C1 8 + C1 4 + C 3 + C4 8 = 308. 提示 : 共有 4 條直線 3 個圓 8 個非退化二次曲線. 135

考題 1.3 ( 中一中 80 年 ) 在坐標平面上, 由 A( 3, ) 出發, 沿方格的邊取捷徑走到 B(5, ), 必經過第二象限的走法有多少種? 答 :75. 提示 : 由 A 至 B 走捷徑, 必恰經過一個 x + y = 0 直線上的格子點, 故必經第二象限者, 必恰經過 ( 1, 1) 或 (, ) 其中之一. 考題 1.4 ( 中一中 80 年 ) 有八人排隊買票, 票價每張 50 元, 若這八人中有五人身上帶有 50 元硬幣, 其餘三人只帶有 100 元鈔票, 今每人限購一張, 則在售票員不備零錢的條件下, 能將票順利售完, 且不發生找錢困難的售票方法有多少種? 答 :8. 提示 : 鋸齒狀走捷徑問題, 同開票一路領先, 任走扣除對稱禁忌之線的走法. 考題 1.5 ( 中一中期中考 ) 四顆紅球 四顆黑球 四顆白球排成一列, 紅球不排前四位, 黑球不排中間四位, 白球不排後四位, 請問排列方法數有幾種? 答 :(C 4 0) 3 + (C 4 1 ) 3 + (C 4 ) 3 + (C 4 3) 3 + (C 4 4) 3 考題 1.6 ( 中一中 8 年 ) 有前後兩排座位, 每排各有四個相連的位置, 甲 乙 丙 丁 戊共五人入坐, 則 (1) 有多少種坐法? () 甲乙兩人不左右相鄰的坐法有多少種? 答 :(1) P 8 5 = 670 ;() P 8 5 C 6 1! P 6 3 = 580. 考題 1.7 ( 中一中 8 年 ) 將八件相同的物品全部分給甲 乙 丙三人, 三人中, 其中一人至少得一件, 一人至少得二件, 一人至少得三件, 請問分法有多少種? 答 :18. 解答提示 : 由大至小先分堆 8 = 5 + + 1 = 4 + 3 + 1 = 4 + + = 3 + 3 + 1, 再分給人分法有 3! + 3! + 3!! + 3!! = 18; 另解, 先每人各分一件, 剩下 任意 分扣去 全分給同一人 的情況,H5 3 C1 3 H5 1 = 18. 考題 1.8 ( 中一中 8 年 ) A, B, C, D, E 五對夫婦共十人, 圍一圓桌聚餐, 若只考慮彼此的相關位置, 則恰有三對各夫婦相 鄰, 另兩對各不相鄰的作法有多少種? 答 :6880. 提示 :C 5 3 ( 7! 7 3 C 1 6! 6 4 + C 5! 5 5 ) 考題 1.9 ( 中一中 8 年 ) 從 5 個 A 6 個 B 7 個 C 8 個 D 共 6 個字母中, 任意取出 5 個, 則 (1) 有多少組? () 若恰含有 3 種字母的有多少組? (3) 將第一小題所選取的 5 個字母排成一列的排列數有多少種? 答 :(1) H 4 5 = 56 ;() C 4 3H 3 5 3 = 4 ;(3) 4 5 = 104. 136

考題 1.10 ( 中一中 8 年 ) 有一正八邊形, 以其八個頂點為頂點的三角形中, 試問 (1) 銳角三角形有幾個? () 與此正八邊形無公共邊的有幾個? 答 :(1) 8. () 16. 提示 :1. 任取 直角三角形個數 鈍角三角形個數 = C 8 3 C 4 1 6 C 8 1 (1 + ).. 任取 恰有一公共邊的三角形個數 恰有兩公共邊的三角形個數. 考題 1.11 ( 中一中 8 年 ) 數列 (1), (, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10),..., (37, 38,..., 45) 共 9 個括弧 45 個數字, 從其中任取兩個數字, 且此兩個數字不在同一括弧內的取法有多少種? 答 :870. 提示 : 法一 :C 45 (C + C 3 + + C) 9 = C 45 C3 10 法二 :1 至 9 任兩數字積之和 = (1 + + + 9) (1 + + + 9 ) 練習 1.7 求 1 3 C 0 1 + 3 C 0 + 3 3 C 0 3 + + 0 3 C 0 0 之值? 答 : 900 17. 解法一 : 設 n N, n 3, 考慮 n k=1 k 3 C n n k = {k (k 1) (k ) + 3k (k 1) + k} C n k k=1 n = k (k 1) (k ) C n n k + 3 k (k 1) C n n k + = k=1 n k=3 k=1 k (k 1) (k ) C n n k + 3 k (k 1) C n n k + k=3 k= k= kc n k k=1 kc n k k=1 n = n (n 1) (n ) C n 3 n k 3 + 3n (n 1) (k + 1) kc n n k + n = n (n 1) (n ) n 3 + 3n (n 1) n + n n 1 = {n (n 1) (n ) + 6n (n 1) + 4n} n 3 = (n 3 + 3n ) n 3 所以, n = 0 帶入, 可得 900 17 即為所求. 解法二 : 設 n N, 考慮 兩邊同時對 x 微分得 兩邊同時乘上 x 可得 (1 + x) n = 1 + C n 1 x + C n x + + C n nx n, n (1 + x) n 1 = C n 1 + C n x + 3C n 3 x + + nc n nx n 1, n (1 + x) n 1 x = C n 1 x + C n x + 3C n 3 x 3 + + nc n nx n, 137 k=1 C n 1 k 1

兩邊同時對 x 微分得 n (1 + x) n 1 + n(n 1) (1 + x) n x = C1 n + C n x + 3 C3 n x + + n Cnx n n 1, 兩邊同時乘上 x 可得 n (1 + x) n 1 x + n(n 1) (1 + x) n x = C1 n x + C n x + 3 C3 n x 3 + + n Cnx n n, 兩邊同時對 x 微分得 n (1 + x) n 1 + n(n 1) (1 + x) n x + n(n 1) (1 + x) n x + n(n 1)(n ) (1 + x) n 3 x = C1 n + 3 C n x + 3 3 C3 n x + + n 3 Cnx n n 1, x = 1 帶入, 可得 n n 1 + n(n 1) n x + n(n 1) n + n(n 1)(n ) n 3 = C1 n + 3 C n + 3 3 C3 n + + n 3 Cn, n 亦即 (n 3 + 3n ) n 3 = C1 n + 3 C n + 3 3 C3 n + + n 3 Cn, n n = 0 帶入, 可得 900 17 即為所求. 二項式定理 1.4 待補 : 多項式定理 要點 1.13 ( 二項式定理 ) 要點 1.14 設 n 為任意正整數, x, y 為滿足加法交換律的任意數, 則 (x + y) n = C n 0 x n + C n 1 x n 1 y + C n x n y + + C n n 1x y n 1 + C n n y n = C n nx n + C n n 1x n 1 y + C n n x n y + + C n 1 x y n 1 + C n 0 y n = n r=1 C n r x n r y r. Note: (x + y) n 的展開式, 經同類項合併之後, 共有 n + 1 項, 且第 r + 1 項 ( 一般項 ) 為 C n r x n r y r. 設 n 為任意正整數, x 為任意數, 則 (1 + x) n = C n 0 + C n 1 x + C n x + + C n n 1x n 1 + C n nx n, n = C n 0 + C n 1 + C n + + C n n 1 + C n n, 0 = C n 0 C n 1 + C n + ( 1) n 1 C n n 1 + ( 1) n C n n. Note: 上列的第二式, 可以給予組合解釋, 比較容易理解與記憶. 138

練習 1.8 已知 n N, ( + 3) n = a n + b n 3, 其中 a n, b n Q, 試證明 : 1. a n+1 = a n + 3b n, b n+1 = a n + b n. ( 3) n = a n b n 3 3. a n 3b n = 1 a n 4. lim = 3 n b n 要點 1.15 ( 多項式定理 ( 以三項式為例 )) 設 n 為任意正整數, x, y, z 為滿足加法交換律的任意數, 則 (x + y + z) n = p + q + r = n p, q, r 為非負整數 n! p!q!r! x p y q z r. 139

第 13 章機率與統計一 平均數 離差 變異數 標準差 要點 13.1 ( 古典機率的定義 ) 設集合 S 為某試驗的樣本空間, 且每個樣本點的出現機會均等, 若集合 A 為 S 的子集合, 則稱 A 為 事件, 且定義事件 A 發生的機率 P(A) = n(a) n(s). 若 S 為樣本空間, 且 A, B 為 S 的事件, 則 1. 集合 S 稱為 全事件, 集合 ϕ 稱為 空事件, 集合 A 稱為 A 的 餘事件. 聯集 A B 稱為 A 與 B 的 和事件, 交集 A B 稱為 A 與 B 的 積事件. 3. 若 A B = ϕ, 則稱 A 與 B 為 互斥事件, 且 P(A B) = P(A) + P(B). 4. 若 A 1, A,, A n 兩兩皆為互斥事件, 且 A 1 A A n = S, 則稱集合 {A 1, A,, A n } 為 S 的一個 分割 (partition), 且 P(A 1 ) + P(A ) + + P(A n ) = 1. 定義 : 成功的優勝率 = 成功的機率. 失敗的機率 140

考題 13.1 ( 中一中 96 年社會組 ) 羽球名人邀請賽共有 16 位選手參加, 以目前狀況而言, 沒有人能擊敗馬來西亞的選手李宗偉, 而中國的選手林丹則僅次於李宗偉, 若比賽選手隨機抽籤決定賽程 ( 如下圖 ) 並採用單淘汰賽, 求林丹得到亞軍的機率. 答 : 8 15. ( 提示 : 樣本空間 : 所有人任選, 除以 15 個分支對稱的情況. 林單恰得亞軍的事件 : 李宗偉先選完 後, 林單再選另一個大分支, 其他人繼續排列在剩下的 14 個位置, 並且除以 15 個分支對稱的情況. 16 8 14! 所求 = 15.) 16! 15 要點 13. ( 機率的性質 ) 設集合 S 為某試驗的樣本空間, 且 A, B 皆為 S 的事件, 則 1. 0 P(A) 1,. P(S) = 1, P(ϕ) = 0, 3. P(A) = 1 P(A), 4. 排容原理 : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 5. 機率的單調性 : 若 A B, 則 P(A) P(B). 6. 狄摩根律 : P(A B) = P(A B) 且 P(A B) = P(A B). 練習 13.1 設袋中有 m 顆球, 分別標上編號 1,, 3,, m, 從中取出 n (n N, n m) 顆球, 將取出的 n 顆球由小至大排列, 若此排列中的排第 k 顆的編號為 T, 試求 T 的期望值. 答 : T 的期望值為 k ( m + 1 n + 1 ). ( 解題提示 : 先排 n 球 ( 被取中的 n 球 ) 成一列, 則有 n + 1 個空隙, 此時將未被取中 m n 個球 平均分布給這 n + 1 個空隙, 則平均每個空隙有 m n n + 1 連帶取光 k 個空隙的球, 故 T 的期望值為 k + k m n n + 1 = k (1 + m n n + 1 ). 顆球, 由左而右取至第 k 個被選取的球, 則會 141

練習 13. = C3 C 5 若一袋中有五顆球, 三顆為 號球, 兩顆為 3 號球, 今從袋中任取兩個球, 若取出兩顆球點數相同放回, 再繼續取, 直到取出不同號碼的兩顆球即停止, 試求取出點數的期望值為何? 答 : 8 解答 : 取到, 3 號的兩顆球的機率 = C3 1 C 1 C 5 = 3 10. = 6 10 ; 取到兩個 號的機率 = C C 5 = 1 10 ; 取到兩個 3 號的機率 設取球數的期望值為 E(x), 則 E(x) = ( + 3 + 0) 6 1 3 + ( + + E(x)) + (3 + 3 + E(x)) 10 10 10, 其中, + 3 + 0 當中的 + 3 是此次取球的號碼和, 而 +0 是接下來取球的號碼和 ( 接下來遊戲停止, 就不用取球啦 ); + + E(x) 當中的 + 是此次取球的號碼和, 而 +E(x) 是接下來取球的號碼和的期望值 ; 3 + 3 + E(x) 當中的 3 + 3 是此次取球的號碼和, 而 +E(x) 是接下來取球的號碼和的期望值. 故, 可解得 E(x) = 8. 14

第 14 章機率與統計二 條件機率與貝氏定理, 獨立事件, 變異係數 相關係數 最小平方法與最適合直線 143

第 15 章坐標的旋轉與平移 平移 15.1 要點 15.1 ( 移點 ) 在 x y 坐標平面上, 將點 P(x, y) 沿向量 v = (h, k) 方向移動, 則經平移後的新點坐標 P 為 (x + h, y + k). 要點 15. ( 移圖 ) 在 x y 坐標平面上, 將 f (x, y) = 0 之圖形, 沿向量 v = (h, k) 方向移動, 則新圖形之方程式為 f (x h, y k) = 0. 要點 15.3 ( 移軸 ) 設 x y 坐標平面, 經坐標軸平移後, 以 O (h, k) 為新原點, 若 P 點對原坐標系之坐標為 (x, y), 且 P 點對新坐標系之坐標為 (x, y ), 則 x = x h y = y k. 旋轉 15. 要點 15.4 ( 轉點 ) 在坐標平面上, 以原點為 O 中心, 將 P(x, y) 點逆時針方向旋轉 θ 角, 轉至點 P (x, y ), 可得關係式 x + y i = (x + yi)(cos θ + i sin θ) = (x cos θ y sin θ) + i(x sin θ + y cos θ), 亦即, x y = cos θ sin θ sin θ cos θ x y 144

要點 15.5 ( 轉軸 ) 在坐標平面上, 以原點為 O 中心, 若 P(x, y), 經坐標軸逆時針方向旋轉 θ 角, 得新坐標 P (x, y ), 可得關係式 x y = cos θ sin θ x sin θ cos θ y 二元二次方程式的平移與旋轉 15.3 145

第 16 章矩陣 待補 : 零矩陣, 上三角矩陣, LU 分解, 對角化矩陣, 轉置矩陣, 方陣, 單位矩陣, 基本矩陣 ( 基本列運算的對應矩陣 ), det(ab) = det Adet B, 馬可夫鏈, 轉移矩陣. 旋轉矩陣, 鏡射矩陣, 推移矩陣. 線性變換. 要點 16.1 ( 反矩陣的定義 ) 設 A 為 n 階方陣, 若存在另一 n 階方陣 B 滿足 AB = BA = I n, 則稱 B 為 A 的 反矩陣 ( 或 逆矩陣 ), 並且將 A 的反矩陣 (B) 記作 A 1, 且稱 A 可逆矩陣. 若 A, B 皆為可逆矩陣, 且 AB 存在, 則 (AB) 1 = B 1 A 1. Note: 判斷 A 是否可逆的條件 : A 為可逆, 若且唯若 det A 0. 要點 16. ( 二階反矩陣求法的快速公式 ) 設 a, b, c, d 皆為實數, 且 A = a c b d, 若 det A 0, 則 A 1 1 = d det A c b a 要點 16.3 ( 反矩陣的求法 ) 方法一 : 設 A 為 n 階的可逆矩陣, 則可以利用 [A I n ] 經過矩陣的列運算之後, 化簡到 [I n A 1 ]. 方法二 : 設 A 為 n 階的可逆矩陣, 則 定義 A 中去掉第 i 行及第 j 列後的方陣為 A i j, 稱為 A 的子方陣. 定義 c i j = ( 1) i+j det A i j, 稱為 A 的餘因子 (cofactor). 定義 Ad j(a) = [c i j ] T, 稱為 A 的伴隨矩陣. 則 A 1 = Ad j(a) det A. 146

要點 16.4 ( 旋轉矩陣 ) 設坐標平面上有點 P(x, y), 將 P 以原點為中心逆時針旋轉 θ 角, 變成點 P (x, y ), 則 其中, cos θ sin θ 要點 16.5 ( 鏡射矩陣 ) sin θ cos θ x y 稱為 旋轉矩陣. = cos θ sin θ sin θ x, cos θ y 設坐標平面上有點 P(x, y) 即聽過原點的直線 L, 若 L 與正向 x 軸夾 θ 角 ( 即直線斜率為 tan θ ), 將 P 對 L 鏡射後, 變成點 P (x, y ), 則 x y = cos θ sin θ sin θ x, cos θ y 其中, cos θ sin θ 稱為 鏡射矩陣. sin θ cos θ Note: 先將 P 對 x 軸作對稱, 再以原點為中心逆時針旋轉 θ 角, 就相當於對過原點且斜角為 θ 的直線作鏡射. 147

第 17 章不等式 算機不等式 柯西不等式 錯排不等式 三角不等式 二次函數恆正 ( 恆負 ) 或限定範圍恆正 ( 恆負 ) 線性規劃 三角函數的不等式 反三角不等式 廣義柯西不等式. Jensen 不等式. key: 看到不等號, 則想想等號成立的條件. 絕對不等式 17.1 算幾不等式 要點 17.1 ( 算幾不等式 ) 已知 a 1, a,..., a n 皆為非負的實數, 則 a 1 + a + + a n n n a 1 a a n, 且當等號成立時,a 1 = a = = a n. 練習 17.1 證明算幾不等式. 利用數學歸納法, 當 n = 時, a 1 + a a 1 a = ( a 1 a ) 0, 且等號成立時, 若且唯若 a1 = a a 1 = a 設當 n = k (k, k N) 時, a 1 + a + + a k k a 1 a a k 成立, 且等號成立時 a 1 = a = = a k. k 則當 n = k + 1 時, 令 d = a 1 + a + + a k+1, 則 k + 1 k 1 個 d = (a a 1 + a + + a k+1 ) + d + d + + d 1 +a + +a k k + a k+1+d+ +d k = k a1 + a + + a k a k+1 + d + + d k a1 a a k k a k+1 d k k k 1 = k a 1 a a k+1 d k 1 上式左右同時平方 ( 並同除 d k 1 ), 可得 d k+1 a 1 a a k+1 d k+1 a1 a a k+1, 且等號成立條件為 a 1 = a = = a k a k+1 = d 亦即 a 1 = a = = a k = a k+1. 148

練習 17. 練習 17.3 設 n 為自然數, 證明 :( n + 1 ) n n!. 已知 0 < a, b, c, d < π, 試證明 : 1.. 3. sin ( a + b (sin a + sin b) ) sin ( a + b + c + d (sin a + sin b + sin c + sin d) ) 4 4 sin ( a + b + c (sin a + sin b + sin c) ) 3 3 證明 : 1. sin a + sin b = sin ( a + b ) cos ( a b ) sin ( a + b ) 1 (sin a + sin b) sin ( a + b ) 以下, 模仿算幾不等式的証明法,. sin ( a + b + c + d a+b ) = sin ( 4 sin a+sin b + sin c+sin d = + c+d ) sin a + sin b + sin c + sin d 4 a+b c+d sin ( ) + sin ( ) 3. 令 d = a + b + c, 則 3d = a + b + c a + b + c + d = 4d a + b + c + d 3 4 由 sin ( a + b + c + d sin a + sin b + sin c + sin d ) 4 4 可得 得證. sin (d) sin a + sin b + sin c + sin d 4 4 sin (d) sin a + sin b + sin c + sin d 3 sin (d) sin a + sin b + sin c sin (d) sin a + sin b + sin c 3 sin ( a + b + c sin a + sin b + sin c ). 3 3 149 = d

柯西不等式 要點 17. ( 柯西不等式 ) 已知 a 1, a,..., a n, b 1, b,..., b n 皆為實數, 則 (a 1 + a + + a n)(b 1 + b + + b n) (a 1 b 1 + a b + + a n b n ), 且當等號成立時, 存在 k R 使得 k(a 1, a,..., a n ) = (b 1, b,..., b n ). 練習 17.4 證明柯西不等式. 若 a 1, a,..., a n 全為零, 則不等式顯然恆成立, 以下假設 a 1, a,..., a n 不全為零, 令 f (x) = (a 1 x b1) + (a x b) + + (a n x bn), 則 f (x) 0 恆成立, 故 f (x) 的判別式 0 恆成立, 可得 (a 1 b 1 + a b + + a n b n ) 4(a 1 + a + + a n)(b 1 + b + + b n) 0, (a 1 + a + + a n)(b 1 + b + + b n) (a 1 b 1 + a b + + a n b n ), 且等號成立時, 存在 k R 使得 f (k) = 0 a 1 k b 1 = a k b = = a n k b n k(a 1, a,..., a n ) = (b 1, b,..., b n ). 練習 17.5 已知 n N, a 1, a, a 3,..., a n R +, 且滿足 = 0, 亦即 a 1 + a + a 3 + + a n = 96, a 1 + a 3 + a 3 + + a n = 144, a 3 1 + a 3 + a 3 3 + + a 3 n = 16. 試求 n =? 答 :64. 提示 : 法一 : 利用科西不等式 ; 法二 : 利用 ; 法三 : 利用觀察法. 要點 17.3 ( 柯西不等式的推廣式 ) 設 a 1, a, b 1, b, c 1, c 皆為非負實數, 則 (a 3 1 + a 3 )(b 3 1 + b 3 )(c 3 1 + c 3 ) (a 1 b 1 c 1 + a b c ) 3, 證明 : 令 A = a 3 1 + a 3, B = b 3 1 + b 3, C = c 3 1 + c 3, 由算幾不等式可得 a1 3 A + b3 1 B + c3 1 C 3 a 3 A + b3 B + c3 C 3 3 a 3 1 b3 1 c3 1 ABC 3 a 3 b3 c3 ABC 150

上兩式相加, 可得 當等號成立時, a3 1 A = b3 1 B = c3 1 C 要點 17.4 ( 廣義柯西不等式 ) a1 3+a3 A + b3 1 +b3 B + c3 1 +c3 C 3 a 1b 1 c 1 + a b c 3 ABC 3 3 a 1b 1 c 1 + a b c 3 ABC 3 ABC a1 b 1 c 1 + a b c ABC (a 1 b 1 c 1 + a b c ) 3 (a 3 1 + a 3 )(b 3 1 + b 3 )(c 3 1 + c 3 ) (a 1 b 1 c 1 + a b c ) 3 對任意非負實數 a i j ( 1 i n, 1 j m), 恆有 且 a 3 A = b3 B = c3 C, 亦即 a 1 b 1 c 1 = a b c (a n 11 + a n 1 + + a n 1m) (a n 1 + a n + + a n m) (a n n1 + a n n + + a n nm) ((a 11 a 1 a n1 ) + (a 1 a a n ) + + (a 1m a m a nm )) n. 且當等號成立時, 若且唯若 (a 11, a 1, a 1m ) = k 1 (a 1, a,, a m ) = = k n 1 (a n1, a n,, a nm ), 其中 k 1, k,, k n 1 R. Note: 1. 當 n 為偶數時, 就可以把條件放寬到 a i j 為任意實數 ( 利用三角不等式 ).. 此不等式亦 有人稱為 Hölder 不等式, 或有大陸書籍稱作 矩陣不等式. 條件不等式 17. 高次不等式 分式不等式 根式不等式 線性規劃 17.3 考題 17.1 ( 聯考題 ) 在 x y 坐標平面上, 試繪出 {(x, y) x y 11 x 6 } 之圖形, 並求其面積. 答 : 85. 151

要點 17.5 (Erdös-Mordell 不等式 ) 設 P 為 ABC 中任意一點, 過 P 點對三邊 BC, CA, AB 作垂線, 垂足分別為 D, E, F, 則 PA + PB + PC > (PD + PE + PF). 練習 17.6 證明 : 試證明 Erdös-Mordell 不等式. 如上圖, DPE = 180 C = A + B, 利用餘弦定理及和角公式, 可得 DE = PD + PE PD PE cos(a + B) = (PD sin B + PE sin A) + (PD cos B PE cos A) PD sin B + PE sin A. 由於 P, D, C, E 四點共圓, 且 PC 為 CDE 之外接圓直徑, 由正弦定理, 可知 同理, PC = DE sin C PD sin B + PE sin A sin C 故, 由上三式及算幾不等式, 可得 證畢. PA PB PE sin C + PF sin B sin A PF sin A + PD sin C sin B PA + PB + PC PD ( sin B sin C + sin C A ) + PE (sin sin B sin C + sin C B ) + PF (sin sin A sin A + sin A sin B ) (PD + PE + PF). 15

第 18 章微積分 待補 :epslon-delta 定義式, Green 定理, Lagrange multiplier method,gradient 梯度及其題目, 多變數的極大極小值判別法, 考 GRE subject test 會用到的基礎知識. 考題 18.1 (97 北縣教甄聯招 ) 設方程式 x 4 + 4x 3 4x 16x + 1 = 0 的四個根為 α 1, α, α 3 與 α 4, 試求下列方程式的解 1 x α 1 + 1 x α + 1 x α 3 + 1 x α 4 = 0. 答 :x = 1, 1 ± 5. ( 提示 : 令 f (x) = x 4 + 4x 3 4x 16x + 1, 則將所求通分, 即為 所以本題要求使得 f (x) = 0 的 x. ) f (x) f (x) = 0, 153

第 19 章線性代數 待補 :vector space, (bi-)linear transformation, change of basis. 154

第 0 章其他 待補 : 反演. 圖論. 四元數, 高等數學的東西. 萬丈高樓平地起, 千里之行始於足下. 零碎的時間, 足以完成偉大的事業. 人的潛力是無限的. 思潔學長在 PTT 的名片檔 : 會解很多題目的, 是個稱職的學生 ; 能將各題目解釋清楚, 並教會別人的, 才是專業的老師. 愛麗絲走到一條叉路, 不知道自己該往那裡去? 旁邊剛好有一隻貓咪. 愛麗絲 : 請問我該走那條路? 貓咪 : 請問你要去那裡? 愛麗絲 : 我不在乎我要去那裡? 貓咪 : 既然你不在乎你要去那裡, 你何必在乎你要走那條路? 155