我對兩道指考考題的看法 高雄市私立道明中學 呂英聰老師 今天 (2006 / 10 / 27) 心血來潮, 看到擺在辦公室桌上新出爐的 翰林數學天地 第 22 期, 翻開看了一下目錄, 首先就讀了陳明峰老師寫的 兩道指考考題的解法 一方面很佩服他鍥而不捨, 要求嚴謹的精神, 或許我的硬底子不夠, 一直沒有察覺可以那樣把它們硬是給做出來 ; 另一方面, 年輕時念書 教書的那種活力 熱情, 一時之間好像又在身體裡面燃燒了起來 本來像我這樣已經退休了的準老人似乎應該就此一了百了, 學佛打坐, 雲遊四海, 探尋生命的終極意義去了 ; 可是凡人畢竟是凡人, 最後讀到 考試和教學真是兩回事, 心裡頭忽然百感交集, 三十年來教學的點點滴滴, 彷彿又一幕幕地浮現眼前 想想或許也該對這兩道考題以及考試 教學, 提出個人的一點粗淺看法 在理想的情況下, 考試與教學可以是兩回事 ( 我知道很多人會說考試是教學的成果檢驗, 但那得看你指的是什麼性質的考試 ), 不應該彼此過分遷就, 本來它們就都應該有很大的揮灑與自主空間 ( 只要能激發想像力 ); 不幸的是這個現實世界大半是不理想的, 尤其是在臺灣這個 ( 其實是任何一個 ) 短視 功利的社會裡, 考試與教學就不可能是兩回事而是一回事, 考試絕對嚴重影響教學, 教學只是為了要應付考試, 而且幾乎就是填鴨式的特技教學 ; 除非我們當老師的吃了熊心豹子膽, 否則莫不全力以赴地將學生的想像力消磨殆盡 因此從開始教書的那一年起 ( 那時我在三度空間揮灑自如 ), 你的理想就開始質變, 熱情漸漸地轉變成心中的一把熊熊怒火, 有時也就難免有一點神經質 ( 那時我總覺得好像活在二度空間 ); 不知道又過了幾年, 醫生告訴你說你得了憂鬱症 ( 那時我的夢境都是一維的, 常常夢見我變成一點, 焦慮地在 x 軸上爬來爬去 ) 直到有一天, 你赫然驚覺, 一直以來你錯得多麼離譜! 誰叫你用數學歸納法去證明 n 個集合的排容原理? 誰叫你花一整節課的時間去證明 ( 說明 ) 三個空間向量外積再內積就等於一個三階行列式的值, 而這個值正好就是這三個空間向量所張成的平行六面體體積? 錯 錯 錯! 所有這些都是你的錯! 這種東西只要花三分鐘叫他們背下來就好了, 反正考試根本不可能考這麼長的證明 ( 一切都是考試惹的禍!) 然後同一觀念, 性質類似的題目讓他們一口氣做二十題, 一直做到他們見到題目就反射為止 ; 這時你非常訝異地發現奇妙的事 : 他們的考試成績 ( 分數 分數, 一切誤謬都假你之名 ) 竟然比以前還要好 從此你的憂鬱症不藥而癒 ( 這時我發現我回到未來, 在四度空間漂泊, 四周隱約傳來那再熟悉不過的年輕靈魂的 281 數學天地
讀者迴響 蒼老聲音,Bob Dylan 正吟唱著他那首著名的 Blowing in the Wind ), 只不過你的理想不見了 熱情不見了, 活力也不見了 經過了十幾二十年的折騰, 你總算活了下來 ; 環顧四周, 這個世界好像就少了一個人, 多了一具木乃伊 這兩道引起爭論的指考題是 : 91 年指考數學甲多重選擇題第 4 題 : 平面上有以坐標原點為中心的兩個橢圓, 已知這兩個橢圓的長軸長度相等, 短軸長度也相等, 並且兩橢圓相交於四個點 今將此四點以坐標原點為中心, 反時鐘順序依次連成一個四邊形, 請問下列哪些敘述為真? 1 該四邊形一定是正方形 2 該四邊形不可能是長與寬不等的長方形 3 該四邊形一定是平行四邊形 4 該四邊形一定是菱形 94 年指考數學甲多重選擇題第 9 題 : 有一條拋物線位於坐標平面之上半面 ( 即其 y 坐標 30), 並與 x_ 軸 直線 y=x-1 直線 y=-x-1 相切 下列敘述何者正確 : 1 此拋物線的對稱軸必為 y_ 軸 2 若此拋物線對稱軸為 y_ 軸, 則其焦距為 1( 註 : 拋物線的焦距為焦點到頂點的距離 ) 3 此拋物線的頂點必在 x_ 軸上 4 有不只一條拋物線滿足此條件 任何時候, 從事任何工作, 具有想像力永遠是一個優勢, 有些人是天賦的, 有些人則是慢慢訓練培養而來的 我一直都認為教數學的老師們, 有一項很重要的任務, 就是要激發學生的想像力 因此在數學中, 作猜測 有直覺是不是很重要? 一般人可能不懂為什麼數學需要猜測, 有些時候還要靠直覺? 但是科班出身的我們心裡清楚的很, 所謂很重要是指在做學問 ( 數學 ) 的過程中, 它們是不是具有舉足輕重的地位? 過去我們學數學的時候, 或做問題的某個中途, 都曾有過直覺, 有過猜測的經驗吧? 現在回頭想想, 那個直覺不知道是怎麼冒出來的, 而那個猜測 ( 或靈感 ) 簡直就是神來之筆 數學作為科學之母當然必須要求嚴謹, 但是嚴謹是在此之後的事 我的意思是 : 當一切大致搞定就緒之後的那個形式工作才真正必須嚴謹, 但是過程呢? 那麼在考試中, 猜測 直覺是不是很重要?( 這是個笨問題, 當然很重要! 否則為什麼他每 次都猜對, 我每次都猜錯 ) 如果看上面那兩道考題, 顯然猜測 直覺還是很重要 ( 因為據我所知這兩題的嚴格解答過程好像都不簡單, 因此我只能假設命題者就是要考猜測 直覺 ) 其實真正 數學天地 129
的問題是 : 作為國家級的考試, 考學生猜測 直覺是否妥當? 這個問題大家可能就有很多不同的看法, 所以很值得討論 我個人認為值得考, 畢竟整份考卷只有那麼一題是這樣考的, 所占的比例不是很高 至於這兩道題是不是好的猜測 直覺 ( 想像力 ) 考題, 那又是另外一個問題, 不是我可以簡單論斷的 現在要談談我對這兩道考題的看法 既然各式各樣的考試領導各式各樣神乎其技的教學, 現在大考這樣考, 所以我們是不是偶爾也該激發激發學生的想像力, 培養他們的直覺, 訓練他們如 何作猜測? 只有最好 最挑剔的學生, 我們才再教他最嚴謹的處理方法 ( 但即使是最挑剔的學生如果失去直覺的培養, 猜測的訓練, 缺乏想像力, 那也會是很可惜的事 ; 甚至, 他就不可能是太好的 ) 所以教育真不是一件簡單的事, 不管怎麼做, 都很難治好你的病痛 第 1 題其實不很容易有直覺, 理由是我們很難徒手畫出相當程度的準確圖 不過第 1 個選項一定不對, 因為隨便畫幾個圖, 四個交點連起來, 怎麼看都不像一定會是個正方形 ; 第 4 個選項看來是對的, 當然圖要畫相當的準確 ( 然後就是考驗你能否做出準確的猜測了 ) 在這個基礎上, 第 3 個選項也就對了 ; 至於第 2 個選項, 因為又是菱形又是矩形必定就是正方形, 因此也是對的 所以整個問題的關鍵就在學生有沒有菱形的直覺, 能否做出這樣的猜測 老實說, 對多數的考生而言, 這就真的要看運氣了 我提出我的看 ( 證 ) 法 : 如圖 1,G 1 是躺著的橢圓, 將 G 1 以原點為中心逆時鐘旋轉 2q( 可以假設 01<q2451) 得到 G 2,G 1 與 G 2 的四個交點依序為 A B C D 現在反過來把 G 2 順時鐘旋轉回到 G 1, 想像一下 G 2 上的 A 點也跟著轉回來, 因此會是 G 1 在第四象限上的某一點, 而且,qAOA8=2q,#OA=#OA8, 這是第一個關鍵想 法 第二個關鍵是 :A 跟 A8 有什麼關係? 現在比較有直 圖 1 覺了 : 它們對稱 x 軸! 這是對的 理由如下 : 以 O 為圓心,#OA 為半徑畫圓 ( 如圖 2), 則這個圓與橢圓 G 1 恰有四個交點 ( 在四個象限各有唯一的交點 ), 第一象限就是 A, 第四象限就是 A8( 因為 #OA =#OA8) 假設 A 關於 x 軸的對稱點為 P, 則 #OP = #OA (=#OA8) 可是在第四象限這種點是唯一的, 所以 A8=P, 於是我們證明了 A 與 A8 對 稱 x 軸 圖 2 301 數學天地
讀者迴響 回到圖 1, 故 qaov 1=q, 同理 qboh 1=q #OC 與 x 軸負向 #OD 與 y 軸負向的夾角都是 q c #OC 與 #BD 互相垂直平分 ( 平分當然是因為橢圓的對稱性 )c ABCD 為菱形 這個菱形如果要變成矩形, 必然是正方形, 因此 #OA =#OB, 可是剛剛才證過在第二象限會滿足 #OP =#OA 的點 P 也只可能是 A 關於 y 軸的對稱點 也就是說 : 正方形時 A B 是對稱 y 軸的, 這就得到 q=451, 表示旋轉 901 時 ABCD 才會是正方形 第 2 題其實是比較好猜測的, 第 2 個選項, 稍具程度的學生都可以做出來, 設拋物線方程式為 x 2 =4cy, 將 y=rx-1 代入, 消去 y 得到 x 2 r4cx+4c=0, 解判別式 16c 2-16c=0 得 c=1 (c=0 不合 ), 故焦距為 1 是對的 ( 或者學生如果知道拋物線互相垂直的兩切線交點在其準線上, 就馬上知道焦距為 1( 註 1) 其他 3 個選項其實是同一個問題, 學生能不能想像將剛剛那個拋物線稍微傾斜 ( 應該要會這樣想像, 因為選項中就強烈的這樣暗示, 而且不歪的拋物線就只有這麼一個 :x 2 =4y 根據拋物線的軸對稱性, 不歪的拋物線, 其對稱軸若不是 y 軸, 是不可能同時與 y=x-1 y=-x-1 相切的 ; 因此如果還有其他拋物線會滿足所給的條件就必定是歪的 ), 然後跟三條直線還是相切? 感覺上這多半不行 ( 行也沒關係, 你就猜對這一題了, 但實際上是不行 ( 註 2))! 但是我們可以讓它只跟 y=x-1 y=-x-1 相切 ( 這一定辦得到 ), 而跟 x 軸不相切 現在需要關鍵的想像力, 如果它還在 x 軸上方 ( 與 x 軸不相交的意思 ) 或交兩點 ( 實際上是不會交兩點 ), 我們是不是可以把這個拋物線變瘦或變胖, 讓它稍微移下來或移上去與 x 軸相切? 直覺告訴我這顯然是可行的, 因此第 13 選項都是錯的, 第 4 選項當然就對了 我知道這樣講有人不滿意, 但我也只是就考試當時的實際情境論考題的解 ( 猜測 ) 法 我提出我的看 ( 證 ) 法 : 先畫兩條互相垂直的直線 L 1 L 2, 令其交點為 C, 再作它們的一條分角線當做 y 軸 ( 如右圖 ), 取一條開口朝上, 對稱軸為 y 軸的拋物線, 然後讓頂點沿 y 軸緩緩平移而下, 直到它卡住 ( 相切的意思 )L 1 L 2 為止 現在過 C 點作一條垂直 y 軸的直線往上平移, 直到它碰到拋物線為止 ( 這時它會切拋物線於頂點 ), 將此線取為 x 軸,C 點坐標取為 (0,-1), 則 L 1 的方程式就是 y=x-1,l 2 的方程式就是 y=-x-1, 而這條拋物線的方程式就是 x 2=4y 數學天地 131
現在提高這條拋物線並稍微傾斜它, 再讓它平移而下卡住 L 1 L 2, 它一定有一條水平切線 L:y=k( 切點一定不是拋物線的頂點, 因為過頂點的切線必定垂直對稱軸 ),k 一定大於 0 接下來我們只要先平移坐標軸, 保留 y 軸 令 L 為 x 軸, 則 L 1 L 2 的方程式會變成 y=x- (k+1) y=-x-(k+1); 接著做 x 軸 y 軸的等比例伸縮 ( 即 x=(k+1)x,y=(k+1) Y), 則 L 1 L2 的方程式又會變成 Y=X-1 Y=-X-1, 於是我們等於變回原來的坐標系 ( 意思是 : 在經過兩次變換後的新坐標系中, 我們的三條切線方程式又回到原來的 x 軸 y=x-1 y=-x-1), 此時拋物線的方程式當然會改變 ( 它會變瘦一點, 也就是焦距小於 1( 註 3), 但它在新坐標系下仍舊是歪的 ( 註 4), 因此這條拋物線的方程式一定不是 x 2 =4y, 於是我們就證明了有一條歪的拋物線與 x 軸 y=x-1 y=-x-1 相切 實際上這樣的拋物線是有無限多條的 ( 註 5) 還有一個問題, 伸縮是否保持相切? 答案是對的 ( 註 6) 我認為這兩道考題我們可以像上面所講的那樣教學生, 這是一個相當難得的機會, 他們會學到如何看待一個問題, 思考如何下手, 如何感覺, 如何想像, 如何做合理的推測 這樣學生可以真正的學到處理數學問題的態度與方法, 最重要的 : 這樣很容易激發他們的想像力, 我們做老師的不一定要固守制式 ( 所謂正規 ) 的教法 ( 通常正規的教法就是缺乏創造力的教法 ), 教學絕對不是只有解題 解題 解題, 從各種不同的角度看問題, 對他們 ( 甚至是對我們 ) 都是有益無害的 最後, 關於第 1 題, 我們把命題定為 : 若平面上有以坐標原點為中心的兩個橢圓, 已知這兩個橢圓的長軸長度相等, 短軸長度也相等, 並且兩橢圓相交於四個點 今將此四點以坐標原點為中心, 反時鐘順序依次連成一個四邊形 ; 則這個四邊形必為菱形, 而且只有當兩個橢圓的長軸互相垂直時, 菱形才會變成正方形 關於第 2 題, 我們把命題定為 : 若拋物線位於坐標平面之上半面 ( 即其 y 坐標 30), 並與 x_ 軸 直線 y=x-1 直線 y=-x-1 相切 ; 則這種拋物線有無限多條, 其中不歪的只有一條 : x 2 =4y 我沒有用傳統的方式寫證明是因為有些時候數學的表達被過度精簡 ; 想想我們以前念書時讀過的天書, 嚴謹是夠嚴謹, 但是過度精鍊的數學語言, 其結果就是讀者痛苦萬分, 搞不懂為什麼要這樣做? 最重要的 : 想法是怎麼來的, 也都沒有交代 我不想那樣, 所以才寫成這樣 至於在第 2 題被批評得體無完膚之時, 我並不認為它有那麼差 ( 除了選項的同質性太高以外 ), 至少它可以治病保身, 延年益壽, 找回年輕時的熱情 活力 還有最重要的 理想 F 321 數學天地
讀者迴響 附註 1 令拋物線方程式為 x 2 =4cy, 則斜率為 m - 1 m 的切線方程式分別為 : y=mx-cm 2,y=- 1 m x- c m 2 c y=mx-cm2,m 2 y=-mx-c 解交點 : 兩式相加得 (m 2 +1)y=-c(m 2 +1)c y=-c, 此即準線, 這就表示兩互相垂直 切線的交點在準線上 反過來也成立 2 保留拋物線 x 2 =4y, 現在對它作兩條互相垂直的切線,L 18:y=mx-m 2, L 28:y=- 1 m x- 1 m 2, 其中 m>0,mπ1; 這表示如果把 L 18 L 28 想像成 L 1 L 2, 則拋物線 x 2 =4y 就是擺歪而與 L 1 L 2 相切的拋物線 L 18 L 28 的交點為 D(m- 1 m,-1), 作 L 18 L 28 的一條角平分線 ( 要選對 ) L:(m-1)x-(m+1)y-(m 2 + 1 m )=0(L 就相當於原來的準線 :y=-1), 現在作拋物線 x 2 =4y 平行於 L 的切線 L8:y=( m-1 m-1 )x-( m+1 m+1 )2, (m 2 +1) 2 則 L 與 L8 的距離 d= m(m+1)a2s(sms 2 S+S1) c d2 = (m 2 +1) 3 2m 2 (m+1), 2 我們要證明的就是 d>1 令 f(m)=(m 2 +1) 3-2m 2 (m+1) 2 =m 6 +m 4-4m 3 +m 2 +1 =m 3 (m 3 + 1 m 3+m+ 1 m -4), 只需證明 f(m)> 0 就表示 d 2 >1 c d>1 因為 m 3 >0, 故只需證明 m 3 + 1 m 3+m+ 1 m -4>0 即可 最後令 g(m)=m 3 + 1 m 3+m+ 1 m -4, 並作變換 t=m+ 1 m >2, 則 g(m)=h(t)=t 3-2t-4,t >2 c h8(t)=3t 2-2>0 c h(t) 為遞增函數, 又 h(2)=0, 故在 t>2( 即 m>0,mπ1) 時,h(t)>0 這就表示 L 與 L 1 的距離超過 1, 也就是實際上傾斜這條焦距為 1 的拋物線 x 2 =4y, 並讓它跟 L 1:y=x-1 與 L 2:y=-x-1 相切時, 它不會與 x 軸相切, 也不會與 x 軸交兩點, 它會 數學天地 133
整個卡在 x 軸上方 ( 這個證明有點長, 希望有更簡單的純幾何證明 ) 因此拋物線必須變瘦 一點 ( 那個等比例伸縮就會使它變瘦 ), 也就是焦距要比 1 小, 開口要小一點, 才有可能與 x 軸相切 3 同註 2 以上的論述, 不影響我們對該命題的證明 4 假設這條歪的拋物線其對稱軸為 ax+by+c=0, 平移後方程式會變成 ax+by+d=0; 等比例 伸縮後方程式會變成 ax+by+e=0, 它的斜率始終不變 ; 因此在新坐標系下, 這條拋物線仍 舊是歪的 5 根據 [3], 我們做不同程度的傾斜一定產生不同的拋物線 6 假設原系統的切點為 P0(x 0,y 0), 切線為 L0:(y-y 0)=m(x-x 0) 如果我們做 x=ax,y=by 的伸縮, 則 P 0(x 0,y 0) 變成 P1( x0 a, y0 b ), L 0:(y-y 0)=m(x-x 0) 變成 L 1:bY-b( y0 x0 )=m(ax-a b a ), 即 L 1:Y- y0 b =am x0 (Xb a ) 我們只需證明斜率會由 m 變成 am b 即可 m=lim y-y 0 x-x 0 c lim y Y-( 0 b ) x-( x0 a ) = a b lim by-b( y0 b ) ax-a( x0 a ) = a b lim y-y 0 x-x 0 = am b 341 數學天地