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1 高 中 数 学 教 师 备 课 联 盟 ( 群 刊 ) 4503

2 卷 首 语 教 师 要 做 师, 不 要 做 匠 叶 澜 创 新 现 在 是 一 个 非 常 流 行 的 名 词, 什 么 人 都 可 以 说, 哪 里 都 在 这 么 说. 对 于 教 育 来 讲, 创 新 创 造 创 生, 其 实 都 跟 人 的 生 命 有 关. 人 作 为 一 个 生 命 体, 要 生 存, 要 发 展, 就 必 须 处 在 一 个 不 断 的 创 新 过 程 中. 创 新 是 一 个 人 内 在 的 潜 能, 而 不 是 外 在 的 要 求. 现 在, 对 于 教 育, 对 于 教 师 而 言, 激 发 内 在 的 创 新 潜 能, 显 得 尤 其 重 要. 当 前 社 会 上 存 在 一 种 误 区, 认 为 教 师 只 是 一 个 教 书 匠, 只 要 把 别 人 的 东 西 讲 给 孩 子 们 听, 会 管 住 孩 子, 就 是 一 个 好 教 师. 他 们 仅 仅 把 教 育 看 成 是 一 种 传 递. 但 在 今 天, 我 们 必 须 改 变 教 育 是 以 知 识 传 递 为 主 的 传 统 观 点. 教 育 实 际 上 是 充 满 着 创 造 的 事 业. 如 果 一 个 教 师, 自 身 不 懂 教 育 创 造, 怎 么 能 把 人 类 的 知 识 转 化 成 学 生 的? 怎 么 能 把 自 己 的 教 学 内 容 激 活, 最 后 又 转 化 成 学 生 内 在 的 生 命 成 长? 世 界 上 还 有 比 这 种 转 化 更 难 的 事 吗? 在 课 堂 上, 如 果 我 们 按 照 知 识 的 现 成 内 容, 按 预 先 设 定 的 方 式 来 教 的 话, 那 么 课 堂 就 会 变 成 一 个 死 板 的 程 序 的 机 器. 教 育, 是 面 对 有 生 命 的 事 业, 它 永 远 不 可 能 被 机 器 所 代 替. 因 为 课 堂 是 活 的, 不 同 的 学 生 有 着 不 同 的 问 题 不 同 的 背 景 不 同 的 兴 奋 点, 面 对 同 一 对 象 或 事 件, 学 生 会 有 各 种 各 样 的 反 应. 如 果 教 师 能 够 把 教 学 的 重 心 放 下 去, 让 孩 子 把 自 己 的 想 法 自 己 的 理 解 自 己 的 感 受 表 达 出 来, 那 么 教 师 在 课 堂 上 干 什 么 呢? 他 要 捕 捉 这 些 信 息, 梳 理 这 些 信 息, 并 形 成 新 的 教 学 推 进 点. 整 个 课 堂, 教 师 要 不 断 地 接 受 新 的 信 息, 特 别 是 来 自 孩 子 们 的 信 息, 接 受 智 慧 的 各 种 挑 战. 只 有 在 这 样 的 过 程 中, 教 师 才 有 教 育 的 尊 严 和 快 乐, 才 有 成 功 的 感 觉, 他 走 进 课 堂 和 走 出 课 堂 的 感 觉 是 不 一 样 的. 然 而, 现 在 很 多 人 仅 仅 把 教 育 看 成 是 一 种 传 递, 看 不 到 或 不 承 认 教 师 劳 动 的 创 造 本 质 对 人 的 精 神 生 命 发 展 的 促 进 丰 富 和 创 生. 在 这 样 的 背 景 下, 教 育 的 价 值 被 异 化. 现 在 教 育 规 划 纲 要 呼 唤 创 新, 就 是 要 把 创 新 这 个 核 心 词 还 给 教 育 本 身, 还 给 教 师 的 劳 动. 让 教 师 在 教 育 过 程 中 享 受 智 慧 的 挑 战, 享 受 创 造 的 欢 乐 ; 让 孩 子 享 受 成 长 的 欢 乐. 这 样 的 课 堂 才 是 人 的 课 堂, 而 不 是 物 的 课 堂. 这 样 的 教 师 才 不 是 匠, 而 是 名 副 其 实 的 师. 更 进 一 步 而 言, 创 新 其 实 应 该 渗 透 在 教 师 日 常 的 教 育 教 学 实 践 中, 而 不 是 简 单 地 把 它 作 为 一 节 课, 作 为 一 种 活 动, 以 创 造 技 能 技 巧 的 培 养 为 主. 用 培 养 技 能 技 巧 的 方 式 去 培 养 创 新 人 才 不 行. 创 新 人 才 需 要 思 想 的 自 由 个 性 的 独 立, 以 及 对 探 索 始 终 不 倦 的 兴 趣. 在 教 师 的 日 常 教 学 实 践 中, 只 有 营 造 这 样 的 环 境, 创 新 人 才 才 会 迸 发 出 他 的 创 造 活 力.( 作 者 为 华 东 师 范 大 学 终 身 教 授, 中 国 教 育 学 会 副 会 长.) ii

3 备 课 参 考 群 刊 目 录 创 刊 号 (00) 案 例 分 析 3 群 号 :4503 名 誉 主 编 : 方 肇 飞 HPM 视 角 下 的 数 学 教 学 设 计 何 睦 5 回 归 课 本 好 处 多 深 入 探 究 更 精 彩 彭 治 立 主 编 : 吕 增 锋 副 主 编 : 宫 前 长 编 委 :( 排 名 不 分 先 后 ) 刘 琼 冷 世 平 何 睦 张 宇 黄 超 李 友 兵 蔡 玉 书 郑 良 罗 扬 排 版 : 张 勇 解 题 研 究 3 3 情 境 激 发 兴 趣 探 究 驱 动 思 维 合 作 共 同 提 高 王 海 燕 7 九 招 破 解 不 等 式 恒 成 立 问 题 冷 世 平 4 利 用 柯 西 不 等 式 证 明 竞 赛 中 的 不 等 式 蔡 玉 书 30 两 角 和 公 式 中 的 合 则 必 分, 分 则 必 合 刘 必 炜 33 一 道 高 考 练 习 题 的 解 法 探 究 罗 扬 38 由 课 本 例 题 谈 一 类 解 不 等 式 最 值 模 型 刘 祥 云 40 圆 锥 曲 线 切 线 的 又 一 个 优 美 性 质 许 雪 岗 扫 码 加 群 教 学 故 事 4 4 有 效 提 问, 促 进 思 考 刘 琼 44 我 们 应 教 给 学 生 什 么 王 萌 磊 iii

4 课 题 研 究 三 类 生 数 学 学 习 心 理 问 题 的 探 索 与 对 策 顾 建 伟 50 三 自 主 教 学 模 式 的 实 践 和 研 究 吕 增 锋 备 课 参 考 群 刊 创 刊 号 (00) 谈 学 论 教 60 群 号 : 局 部 探 究 在 数 学 常 态 教 学 中 的 实 践 与 思 考 李 友 兵, 雷 冬 安 68 高 考 数 学 题 的 文 化 特 征 王 伦 79 浅 析 如 何 在 教 学 中 构 建 高 效 的 认 知 结 构 周 鹏 8 六 备 三 讲 一 析 郑 志 景 微 课 探 索 教 育 云 平 台 : 开 启 高 中 数 学 教 育 新 篇 章 方 肇 飞, 李 民 88 微 课 制 作 容 易, 课 堂 翻 转 不 易, 且 做 且 思 考 刘 铁 智 名 誉 主 编 : 方 肇 飞 主 编 : 吕 增 锋 副 主 编 : 宫 前 长 编 委 :( 排 名 不 分 先 后 ) 刘 琼 冷 世 平 何 睦 张 宇 黄 超 李 友 兵 蔡 玉 书 郑 良 罗 扬 排 版 : 张 勇 写 作 秘 籍 9 9 写 论 文 要 追 求 一 菜 多 吃 吕 增 锋 扫 码 加 群 技 术 整 合 9 93 巧 用 手 机 玩 转 算 法 教 学 张 斐, 李 海 玲 iv

5 HPM 视 角 下 的 数 学 教 学 设 计 案 例 分 析 HPM 视 角 下 的 数 学 教 学 设 计 ---- 以 等 比 数 列 的 前 项 和 为 例 何 睦 ( 江 苏 省 张 家 港 市 常 青 藤 实 验 中 学 5600) 摘 要 : 自 数 学 史 与 数 学 教 学 关 系 国 际 研 究 小 组 ( Iteratioal Study Group o the Relatios betwee History ad Pedagogy of Mathematics, 简 称 HPM) 成 立 以 来, 数 学 史 与 数 学 教 育 研 究 就 成 为 了 数 学 教 育 研 究 的 重 要 内 容 之 一. 在 国 内, 华 东 师 范 大 学 数 学 系 汪 晓 勤 教 授 等 一 批 学 者 一 直 致 力 于 HPM 的 研 究, 以 论 文 和 专 著 等 多 种 形 式 传 播 了 基 于 HPM 视 角 进 行 数 学 教 学 的 过 程 原 则, 展 示 了 基 于 HPM 视 角 的 数 学 教 学 的 魅 力, 有 力 的 推 动 了 中 国 数 学 教 育 的 发 展. 笔 者 就 试 着 基 于 HPM 视 角 对 等 比 数 列 的 前 项 和 进 行 了 一 次 有 力 的 探 索 和 尝 试. HPM 视 角 下 的 数 学 教 学 设 计 的 原 理 与 过 程. 历 史 发 生 教 学 原 理 历 史 发 生 教 学 原 理 ( Historical - geetic-pricipal) 是 HPM 视 角 下 数 学 教 学 设 计 的 主 要 理 论 依 据. 发 生 教 学 法 是 一 种 借 鉴 历 史 呈 现 知 识 的 自 然 发 生 过 程, 这 里 所 指 的 自 然 发 生 过 程 不 是 历 史 过 程 的 还 原, 而 是 历 史 知 识 的 重 构.. 数 学 教 学 要 经 历 数 学 的 再 创 造 过 程 数 学 的 再 创 造 过 程 是 实 践 历 史 发 生 教 学 原 理 的 重 要 途 径. 荷 兰 著 名 数 学 教 育 家 弗 赖 登 塔 尔 认 为 数 学 学 习 主 要 是 进 行 再 创 造, 只 有 让 学 生 经 历 了 知 识 的 再 创 造 过 程, 才 能 将 知 识 以 它 最 初 被 发 现 时 的 样 子 表 现 出 来, 才 能 将 数 学 冰 冷 的 美 丽 转 变 成 火 热 的 思 考. 数 学 有 三 种 形 态 : 自 然 形 态 学 术 形 态 和 教 育 形 态. 爱 因 斯 坦 曾 说 : 科 学 结 论 几 乎 是 以 完 美 形 式 出 现 在 读 者 面 前 的, 读 者 体 会 不 到 探 索 和 发 现 的 喜 悦, 感 觉 不 到 思 想 形 成 的 深 度 过 程, 也 很 难 达 到 清 楚 解 释 全 部 的 情 况. 波 利 亚 说 过 : 教 一 门 学 科 分 支 时, 我 们 应 该 让 儿 童 重 演 人 类 心 理 演 进 的 重 大 步 骤. 当 然, 我 们 不 应 该 让 他 重 复 过 去 的 一 千 零 一 个 错 误, 而 只 是 重 复 重 大 步 骤. 因 此, 数 学 教 学 的 任 务 是 要 通 过 发 生 教 学 原 理 的 方 法 按 照 知 识 的 创 造 过 程 引 导 和 帮 助 学 生 进 行 这 种 再 创 造 的 工 作, 而 不 是 把 现 成 的 知 识 灌 输 给 学 生. 历 史 等 比 数 列 前 项 求 和 公 式 的 等 比 数 列 求 和 问 题 源 于 古 代 的 一 些 实 际 问 题. 数 学 史 上, 等 比 数 列 或 许 比 等 差 数 列 出 现 得 更 早. 约 在 公 元 前 3000 年, 巴 比 伦 人 就 已 经 总 结 出 等 比 数 列,,, 3, 9 的 求 和 公 式 : ; 在 古 埃 及 的 莱 因 德 纸 草 上, 我 们 见 到 这 样 一 张 表 :

6 案 例 分 析 80 房 屋 7 题. 560 猫 老 鼠 麦 穗 40 容 积 6807 总 数 9607 经 过 研 究 可 知, 古 埃 及 人 已 经 总 结 出 等 比 数 列 7, 7, 7 3,, 7, 的 前 3 项 和 S 的 递 推 关 系 S ( ) 7 ; 直 到 今 天, 英 国 童 S 谣 还 有 类 似 的 问 题 : 我 赴 圣 地 伊 夫 斯, 路 遇 一 男 携 七 妻 ; 一 妻 各 把 七 袋 负, 一 袋 各 装 七 猫 咪 ; 猫 咪 生 子 数 又 七, 几 多 同 去 伊 夫 斯? 5 7 世 纪 的 俄 国 数 学 家 手 稿 中 也 有 同 样 性 质 的 问 题 : 有 40 个 城 市, 每 个 城 市 有 40 条 街 道, 每 条 街 道 有 40 座 房 子, 每 座 房 子 里 有 40 根 柱 子, 每 根 柱 子 有 40 个 圆 环, 每 个 圆 环 上 有 40 匹 马, 每 匹 马 上 坐 着 40 个 人, 每 个 人 手 中 拿 着 40 根 马 鞭, 统 统 算 在 一 起 共 有 多 少? 可 见, 古 今 中 外 的 数 学 史 上 常 有 很 多 共 同 的 思 考, 这 就 是 历 史 的 相 似 性. 教 学 设 计 3 等 比 数 列 前 项 求 和 公 式 的 基 于 HPM 视 角 下 数 学 教 学 设 计 的 原 理 与 过 程 以 及 等 比 数 列 求 和 公 式 的 历 史 相 似 性, 设 计 如 下 : 入 3. 等 比 数 列 前 项 求 和 公 式 的 引 () 展 示 等 比 数 列 求 和 公 式 的 历 史 ( 古 埃 及 纸 草 问 题 英 国 童 谣 俄 国 手 稿 ), 以 历 史 数 学 问 题 引 出 本 节 课 要 探 索 的 问 () 以 俄 国 手 稿 问 题 进 行 重 点 分 析, 引 导 学 生 思 考 以 下 问 题 : 问 题 : 如 果 把 问 题 改 成 有 40 个 城 市, 每 个 城 市 有 条 街 道, 每 条 街 道 有 座 房 子, 每 座 房 子 里 有 根 柱 子, 每 根 柱 子 有 个 圆 环, 每 个 圆 环 上 有 匹 马, 每 匹 马 上 坐 着 个 人, 每 个 人 手 中 拿 着 根 马 鞭, 统 统 算 在 一 起 共 有 多 少? 问 题 : 上 述 问 题 是 每 项 都 是 40 的 等 差 数 列, 同 样 可 以 看 做 是 公 比 是 的 等 比 数 列, 这 个 和 我 们 很 快 就 能 求 出, 而 通 过 上 节 课 的 学 习, 我 们 知 道 手 稿 中 的 问 题 实 质 上 是 一 组 公 比 为 40 的 等 比 数 列, 那 么 它 们 的 和 怎 么 求 呢? 更 一 般 的, 我 们 能 否 像 研 究 等 差 数 列 前 项 和 那 样, 研 究 这 个 等 比 数 列 任 意 前 项 的 和 呢? 设 计 说 明 () 让 学 生 通 过 历 史 数 学 问 题, 感 知 公 比 不 为 的 等 比 数 列 的 求 和 问 题 源 于 古 代 的 一 些 实 际 问 题 ;() 通 过 问 题 的 创 设, 为 等 比 数 列 求 和 分 q 和 q 进 行 分 类 讨 论 埋 下 伏 笔, 直 击 学 生 的 易 错 点. 现 想 方 法. 3. 等 比 数 列 前 项 求 和 公 式 的 发 利 用 问 题 串 的 形 式, 引 导 学 生 思 考 : 问 题 3: 回 忆 等 比 数 列 通 项 公 式 的 猜 问 题 4: 当 时 我 们 经 历 从 特 殊 到 一 般 的 数 学 思 想 方 法, 通 过 观 察 a, a, a 3, a 的 特 点 归 纳 出 a 4 的 一 般 形 式, 你 能 否 类 比 这 个 从 特 殊 到 一 般 的 方 法 猜 想 数 列 a 的 前 项 和 S? 引 导 学 生 写 出

7 HPM 视 角 下 的 数 学 教 学 设 计 S, S 的 表 达 式. S, S3, 即 s a s a 4 a a q aq a( s a a a a a q a q 3 3 a q q ( ) s a a a a a a q a q a q 3 a q q q ( 3 ) 问 题 5: 当 q 时, 随 着 的 增 大 s 的 形 式 愈 加 复 杂, 能 否 用 简 洁 的 形 式 来 表 示 s 呢? 引 导 学 生 利 用 恒 等 式 3 ( q)( q q q ) q S, S, S S 进 行 等 价 变 形 : 对 3, 4 3 a( q q )( q) a( q ) s3 q q 问 题 6: s, ss4 是 否 有 同 样 变 形? 式 : s 明 s s s 4 a q q q q q 3 ( )( ) a q 4 ( q ) a( q)( q) a( q ) q q a q ( ) q. 问 题 7: 当 q 时, 给 出 你 的 猜 想. 猜 想 得 等 比 数 列 的 前 项 求 和 公 a q ( ) q ( q ). 3.3 等 比 数 列 前 项 求 和 公 式 的 证 问 题 8: 猜 想 是 数 学 发 现 的 重 要 途 径, ) 那 么 怎 么 严 格 证 明 我 们 猜 想 的 公 式 呢? s s 引 导 学 生 分 析 : 欲 证 a ( q ) q qs ( q ) a( q )( q ) 成 立, 只 需 证 明 写 出 s 与 qs 两 式 相 减 即 得 公 式 成 立. 故 等 比 数 列 前 项 和 公 式 为 s a, q a(q ), q q. 设 计 说 明 通 过 归 纳 猜 想 证 明 这 一 数 学 活 动, 首 先 重 视 了 数 学 思 想 方 法 在 数 学 教 学 中 的 渗 透, 其 次 让 学 生 经 历 了 知 识 的 再 创 造 过 程, 有 效 突 破 了 技 巧 性 强 的 难 点. S qs 问 题 9: 由 前 面 证 明 过 程 的 分 析 这 一 思 路 正 是 用 等 比 数 列 的 重 要 性 质, 出 现 众 多 公 共 项, 我 们 把 这 种 方 法 叫 错 位 相 减 法. 那 么 s s q s 果? 请 学 生 尝 试. s q 与 是 否 可 以 起 到 同 样 的 化 简 效 问 题 0: 可 见, 乘 以, q 都 能 起 q 到 化 简 效 果, 但 是 比 较 一 下, 哪 种 处 理 起 来 更 简 洁? 体 现 思 维 的 批 判 性, 择 优 选 取, 揭 示 化 简 本 质. 为 学 生 熟 练 掌 握 错 位 相 减 法 打 下 基 础. 问 题 : 对 于 公 比 不 为 的 等 比 数 列 的 前 项 求 和, 有 没 有 其 他 的 证 明 方 法? 先 引 导 学 生 思 考, 然 后 给 出 历 史 上 较 3

8 案 例 分 析 为 经 典 的 证 明 方 法 : 埃 及 人 的 证 明 方 法 : S a a q a q a q s a q( a a a ) a qs a q( S a), 故 a q S a q ( ) a, q a ( q ), q q. 欧 几 里 得 几 何 原 本 的 证 明 方 法 : 设 有 等 比 数 列 a, a, a3, a, a 的 公 比 q, 则 可 得 a a3 a q, a a a 由 分 比 定 律 : a a a a a a a a a 3. 再 由 合 比 定 律, 我 们 有 a a a a q, 故 a a a S s 用 a, q a(q ), q q. 3.4 等 比 数 列 前 项 求 和 公 式 的 应 例 :( 历 史 典 故 : 棋 盘 上 的 麦 粒 ) 国 际 象 棋 棋 盘 是 正 四 方 形, 黑 白 相 间 共 64 格, 传 说 在 很 久 以 前, 古 印 度 舍 罕 王 在 宫 廷 单 调 的 生 活 苦 恼 中, 发 现 了 也 就 是 现 今 的 国 际 象 棋 如 此 的 有 趣 和 奥 妙 之 后, 决 定 要 重 赏 发 明 人 宰 相 西 萨 班 达 依 尔, 让 他 随 意 选 择 奖 品, 宰 相 要 求 的 赏 赐 是 : 在 棋 盘 的 第 一 格 内 赏 他 一 粒 麦 子, 第 二 格 内 赏 他 两 粒 麦 子, 第 三 格 四 粒 麦 子 以 此 类 推 每 一 格 上 的 麦 子 数 都 是 前 一 格 的 两 倍, 国 王 一 听, 几 粒 麦 子, 加 起 来 也 不 过 一 小 袋, 他 就 答 应 了 宰 相 的 要 求. 实 际 国 王 能 满 足 宰 相 的 要 求 吗? 求 S ; k 例 : 在 等 比 数 列 a 中, () 已 知 a 4, q, 求 S 0; () 已 知 a, ak 43, q 3, 7 63 (3) S 3, S6, 求 a. 设 计 说 明 由 () 让 学 生 推 导 另 一 组 求 和 公 式 s a, q a a q, 并, q q 指 出 在 等 比 数 列 中, 等 比 数 列 的 基 本 量 是 a 和 q. 等 比 数 列 的 五 个 量 a, a, q,, S, 知 道 其 中 任 意 三 个, 就 能 求 出 另 外 两 个 ;(3) 的 设 置 直 击 易 错 点, 考 察 分 类 讨 论 思 想 的 应 用. 汪 晓 勤 教 授 在 文 [3] 中 指 出 : 一 百 多 年 后 的 今 天, 克 莱 因 所 说 的 障 碍 依 然 存 在, HPM 不 过 是 少 数 人 的 爱 好. 的 确,HPM 在 中 学 也 仅 仅 是 刚 刚 生 根, 而 要 发 芽 开 花 结 果, 我 们 仍 需 要 进 行 不 断 的 探 索 和 努 力, 拿 汪 教 授 的 话 来 说, 我 们 需 要 一 个 志 同 道 合 不 断 进 取 的 HPM 团 队. 我 也 愿 意 加 入 他 们 的 行 列, 为 中 国 的 基 础 教 育 数 学 课 程 改 革 献 上 自 己 的 绵 薄 之 力. 我 们 期 望 中 国 的 HPM 教 育 能 逐 渐 步 入 国 际 轨 道, 并 走 在 世 界 的 前 列, 让 我 们 一 起 期 待 中 国 HPM 教 育 万 紫 千 红 的 春 天! 参 考 文 献 : [] 汪 晓 勤, 王 苗, 邹 佳 晨. HPM 视 角 4

9 下 的 数 学 教 学 设 计 : 以 椭 圆 为 例 [J]. 数 学 教 育 学 报,0,0(5): 0-3 [] 蒲 淑 萍, 汪 晓 勤. 弗 赖 登 塔 尔 的 HPM 思 想 及 其 教 学 启 示 [J]. 数 学 教 育 学 报, 0,0(6): 0-4 学 史 [M]. 北 京 : 科 学 出 版 社,00:86-95 [5] 王 林 全, 谭 国 华. 高 中 新 课 程 必 修 课 的 教 与 学 : 数 学 [M]. 北 京 : 北 京 大 学 出 版 社,006:30-3 [3] 汪 晓 勤.HPM 的 若 干 研 究 与 展 望 [J]. 中 学 数 学 月 刊,0,:-5 [4] 汪 晓 勤, 韩 祥 临. 中 学 数 学 中 的 数 回 归 课 本 好 处 多 深 入 探 究 更 精 彩 以 一 道 课 本 习 题 为 背 景 的 三 角 函 数 ( 高 三 ) 复 习 课 评 析 彭 治 立 (?) 教 学 目 的. 让 学 生 在 高 三 复 习 中 以 课 本 为 纲, 立 足 课 本, 挖 掘 课 本 隐 含 知 识, 培 养 学 生 的 探 究 能 力, 剖 析 课 本 习 题, 培 养 学 生 解 决 问 题 的 能 力.. 运 用 转 化 与 化 归 思 想 数 形 结 合 等 思 想 将 一 些 类 似 的 三 角 函 数 问 题 以 及 与 之 有 关 联 的 数 学 问 题 转 化 为 熟 悉 的 易 于 解 决 的 基 本 问 题..3 培 养 学 生 在 变 化 中 创 新 在 比 较 中 创 新 在 批 判 中 创 新 的 能 力, 努 力 拓 展 学 生 的 思 维 空 间. 设 计 思 想 高 中 数 学 课 程 标 准 指 出 : 有 效 的 数 学 学 习 活 动 不 能 单 纯 地 依 赖 模 仿 与 记 忆, 动 手 实 践 与 自 主 探 索 与 合 作 交 流 是 学 生 学 习 数 学 的 重 要 方 式, 转 变 学 生 的 学 习 方 式, 激 发 学 生 的 学 习 积 极 性, 让 学 生 乐 于 参 与 探 索 性 和 创 造 性 的 学 习 活 动 中 来, 这 是 新 课 程 数 学 教 学 的 基 本 要 求. 高 中 数 学 课 程 标 准 还 明 确 提 出 了 提 高 学 生 的 知 识 与 技 能 重 视 学 生 的 学 习 过 程 与 方 法, 培 养 学 生 的 情 感 态 度 价 值 观 的 三 维 目 标. 为 此, 结 合 本 节 课 的 教 学 内 容, 教 学 中 注 重 过 程 方 法, 注 重 引 导 学 生 自 觉 思 考 与 探 讨, 不 断 提 出 问 题 研 究 问 题, 并 解 决 问 题. 重 视 在 师 生 生 生 互 动 交 流 的 过 程 中 渗 透 情 感 态 度 与 价 值 观. 3 教 学 片 段 3. 导 言 纵 观 近 几 年 来 的 新 课 程 高 考 数 学 试 题, 多 数 试 题 源 于 课 本, 即 使 是 综 合 题 也 是 课 本 习 题 的 组 合 加 工 和 拓 展, 充 分 体 现 教 材 的 基 础 作 用, 教 材 中 许 多 习 题 蕴 含 着 重 要 的 数 学 思 想 方 法 和 思 想 精 髓. 对 课 本 上 的 习 题 不 仅 只 孤 立 的 对 待, 要 抓 重 点, 并 且 从 各 个 方 面 精 心 挖 掘 其 潜 力, 使 课 本 每 一 个 习 题 的 作 用 发 挥 到 极 致, 以 达 到 最 佳 的 教 育 效 果. 下 面 我 们 以 课 本 中 的 一 道 习 题 为 例, 仅 做 抛 砖 引 玉, 供 各 位 同 仁 商 榷. 5

10 案 例 分 析 3. 呈 现 问 题 题 目 ( 人 教 A 版 必 修 数 学 4 P 59 B 组 第 3 题 ) 如 图, 点 p 是 半 径 为 r cm 的 砂 轮 边 缘 上 的 一 个 质 点, 它 从 初 始 位 置 P 0 开 始, 按 逆 时 针 方 向 以 角 速 度 ωrad/s 做 圆 周 运 动. 求 点 P 的 纵 坐 标 y 关 于 时 间 t 的 函 数 关 系, 并 求 点 P 的 运 动 周 期. 路. 教 师 指 导 学 生 审 题, 请 学 生 谈 解 题 思 学 生 甲 : 借 助 角 的 终 边 与 单 位 圆 交 于 点 P (x,y ) 来 表 示, 如 图,r 或 r< P y ωt o P φ 0 图 x +φ) = y r ( 以 下 略 ). 教 师 肯 定 了 学 生 们 能 从 不 同 角 度 出 发, 积 极 探 索, 用 好 教 材 提 供 的 解 法. 点 评 : 首 先 引 导 学 生 从 多 角 度 思 考 问 题, 寻 找 不 同 的 解 题 思 路, 在 此 基 础 上, 运 用 了 三 角 函 数 的 单 位 圆 定 义 法 和 传 统 教 材 定 义 法, 学 生 甲 用 的 是 课 本 介 绍 的 常 规 解 法, 学 生 乙 用 的 是 补 充 解 法. 这 种 做 法, 既 训 练 了 学 生 的 思 维 创 新, 又 加 深 了 学 生 对 两 种 定 义 的 理 解. 教 师 : 刚 才 两 位 同 学 让 大 家 深 刻 理 解 了 题 目 的 内 涵, 那 么 你 们 能 否 结 合 教 材 和 资 料, 将 这 道 题 目 稍 作 改 变, 编 出 类 似 的 三 角 函 数 问 题 来 考 考 其 他 的 同 学 呢? y P P y P P 3.3 思 索 问 题, 提 出 新 问 题 教 师 : 将 班 上 的 学 生 分 成 3 大 组, 每 人 先 各 自 独 立 提 出 问 题, 再 在 M 图 r r, 过 点 P(x,y) P (x,y ) 分 别 作 X 轴 <的 垂 线 PM PM, 垂 足 分 别 为 M M, 则 ΔOMP ΔOM P, o x M M o si(ωt+φ) = y r = y, x 小 组 里 讨 论, 然 后 每 小 组 筛 选 出 有 代 表 性 的 问 题 在 班 里 交 流 和 介 绍. 第 一 组 展 示 问 题 -: 如 图 3, 点 p 是 半 径 为 cm 的 砂 轮 边 缘 上 的 一 个 质 点, 它 从 初 始 位 置 P 0 开 始, 按 逆 时 y P t o P 0 x y=r si(ωt+φ), 即 t [0,+ ), 针 方 向 以 角 速 度 rad/s 做 圆 图 3 T= π ω. 学 生 乙 : 运 用 任 意 角 的 三 角 函 数 定 周 运 动. 求 点 P 的 纵 坐 标 y 关 于 时 间 t 的 函 数 关. 义, 很 快 就 能 求 出 结 果, 如 图,si(ωt 6

11 问 题 -: 如 图 4, 点 p 是 半 径 为 回 归 课 本 好 处 多 深 入 探 究 更 精 彩 y 位 置 P 0 (, P cm 的 砂 轮 边 缘 上 的 一 个 质 点, 它 从 初 始 位 置 P 0 开 始, 按 逆 时 针 方 向 P P 0 y t o x ) 开 始, o 按 逆 时 针 方 向 以 角 速 度 图 5 rad/s 做 圆 周 P 运 动. 求 点 P 到 x 轴 距 离 d 关 于 时 间 t 的 0 x 以 角 速 度 rad/s 做 圆 周 运 动. 求 点 P 的 纵 坐 标 y 关 于 时 间 t 的 函 数 关. 图 4 学 生 A : 问 题 - 和 问 题 - 是 将 原 问 题 放 到 单 位 圆 中, 很 容 易 知 道 这 两 道 问 题 的 结 果 分 别 是 :y=sit 和 y=si(t + π )=cost,t [0,+ ), 这 样 得 到 正 弦 函 数 和 余 弦 函 数, 借 助 单 位 圆 这 个 有 力 的 拐 杖, 将 正 弦 线 和 余 弦 线 竖 了 起 来, 同 时 能 说 明 余 弦 函 数 的 初 始 位 置 与 正 弦 函 函 数 图 象 大 致 为 ( ). d o A d o 4 C π t π π π t 学 生 A : 由 P 0 (, ) 得 P 0 OX d 3o 4 B d o 4 D t t π 数 的 初 始 位 置 相 差 个 单 位, 即 余 弦 函 数 = π 4, 应 用 原 问 题 的 结 论 知 : d= y = π 的 图 像 是 由 正 弦 函 数 的 图 像 向 右 平 移 得 到 的, 以 及 正 弦 函 数 和 余 弦 函 数 的 实 际 问 题 来 源. 教 师 : 上 述 两 问 题 的 变 式 是 原 问 题 的 特 殊 情 况, 能 够 结 合 正 弦 函 数 余 弦 函 数 的 图 像 的 作 法 过 程 进 行 变 式, 对 所 学 知 识 融 会 贯 通, 运 用 自 如, 这 种 做 法 非 常 好. 点 评 : 通 过 问 题 - 和 问 题 - 的 变 式 解 答, 使 学 生 深 刻 理 解 正 弦 函 数 和 余 弦 函 数 物 理 实 际 意 义, 以 及 正 弦 函 数 和 余 弦 函 数 之 间 的 关 系, 这 种 思 维 方 式 也 使 教 si(t- π 4 ). 故 选 C. 教 师 : 问 题 -3 的 变 式 非 常 好, 与 00 年 全 国 高 考 题 很 接 近, 考 查 了 我 们 掌 握 三 角 函 数 的 定 义 图 象 性 质 以 及 识 图 用 图 的 综 合 能 力. 点 评 : 教 师 不 仅 要 引 导 学 生 一 题 多 解 的 方 法, 而 且 能 够 引 导 学 生 自 己 独 立 思 考 以 及 查 阅 自 己 手 上 的 资 料, 能 够 编 出 类 似 的 新 题, 一 题 多 变, 养 成 发 散 思 维 的 好 习 惯, 达 到 举 一 反 三 的 学 习 效 果. 师 受 益 匪 浅. 问 题 -3: 如 图 5, 点 p 是 半 径 为 cm 的 砂 轮 边 缘 上 的 一 个 质 点, 它 从 初 始 7

12 案 例 分 析 P o 问 题 -4: 如 图 6, 点 p 是 半 径 为 y 图 6 P 0 x 它 们 都 从 初 始 位 置 P 0 开 始, 按 逆 时 针 方 向 分 别 以 角 速 度 π 30 rad/m π 360 rad/m 做 匀 速 P y P o P 图 7 0 x cm 的 砂 轮 边 缘 上 的 一 个 质 点, 它 从 初 始 位 置 P 0 (, 3 ) 开 始, 按 逆 时 针 方 向 以 π 角 速 度 6 rad/s 做 匀 速 圆 周 运 动. 则 当 0 t 时, 求 动 点 P 的 纵 坐 标 y 关 于 时 间 t( 单 位 : 秒 ) 的 函 数 的 单 调 递 增 区 间 是 ( ). A. [0,] B. [,7] C.[7,] D. [0,] 和 [7,] 学 生 A 3 : 由 P 0 (, 3 ) 得 P 0 OX = π 3, 应 用 原 问 题 的 结 论 知 :y=si( π 6 t + π 3 ), 再 根 据 课 本 介 绍 的 求 三 角 函 数 的 单 调 递 增 区 间 的 方 法 求 的, 选 D. 教 师 : 问 题 -4 的 变 式 很 精 彩, 与 00 年 安 徽 高 考 理 科 题 很 类 似, 考 查 了 我 们 掌 握 三 角 函 数 的 定 义 三 角 函 数 的 运 用 求 三 角 函 数 的 单 调 区 间 以 及 集 合 间 的 运 算 等 综 合 能 力. 点 评 : 教 师 要 及 时 鼓 励 学 生 能 够 积 极 参 与 思 考 提 问 解 答, 营 造 了 良 好 的 活 跃 的 课 堂 学 习 氛 围, 促 进 了 师 生 生 生 互 动 交 流 的 过 程 中, 拉 近 了 师 生 生 生 之 间 的 情 感 距 离. 问 题 -5: 如 图 7, 点 P P 是 半 径 为 cm 的 砂 轮 边 缘 上 的 两 个 动 质 点, 圆 周 运 动, 则 在 4h 内, 动 质 点 P P 的 重 合 次 数 关 于 时 间 t( 单 位 : 分 ) 的 函 数 关 系 式, 并 画 出 其 图 像, 然 后 求 出 重 合 的 总 次 数. 学 生 A 4 : 两 动 点 P P 每 重 合 一 次, 旋 转 角 度 就 相 差 π 的 整 数 倍, 则 ( π 30 - π 360 )t=π, 即 t= 70, 又 4h=440mi, 即.( 作 图 略 ) 学 生 A 5 : 我 可 以 转 化 为 三 角 函 数 问 题 来 解 答, 应 用 原 问 题 的 结 论 得 :cos π 30 t = cos π 360 t( 以 下 略 ). 还 可 以 进 一 步 求 出 动 点 P P 重 合 时 的 坐 标. 学 生 A 6 : 还 可 以 用 数 形 结 合 来 完 成, 作 出 y= cos π 30 t 和 y= cos π 360 t 在 [0, 440] 图 像 ( 以 下 略 ). 教 师 : 问 题 -5 的 变 式 有 特 点, 能 在 变 化 中 创 新 在 比 较 中 创 新, 由 一 个 动 点 发 散 到 两 个 动 点, 这 种 创 新 精 神 值 得 我 们 学 习, 请 问 你 们 是 如 何 想 到 的? 没 等 我 的 话 说 完, 第 一 组 的 学 生 们 都 把 课 本 拿 出 来, 一 名 学 生 站 起 来. 学 生 A 7 : 我 们 受 到 课 本 P 0 B 组 第 题 的 启 发, 同 时 我 们 教 室 挂 的 钟 也 是 类 似 8

13 回 归 课 本 好 处 多 深 入 探 究 更 精 彩 问 题, 还 可 以 构 造 出 三 个 动 点 P P P 3 重 合 的 相 关 问 题 等. 第 二 组 展 示 问 题 -: 如 图 8, 点 p 是 半 径 为 r cm 的 砂 轮 边 缘 上 的 一 个 质 点, 它 从 初 始 位 置 P 0 开 始, 按 逆 时 针 方 向 以 角 速 度 ω rad/s 做 圆 周 运 动. 关 系. 求 点 P 的 纵 坐 标 y 关 于 时 间 t 的 函 数 学 生 B : 我 们 这 题 是 将 原 问 题 中 的 砂 轮 向 上 平 移 到 与 X 轴 相 切, 初 始 位 置 P 0 在 与 X 轴 平 行 的 在 线 上, y=r siωt +r. 教 师 : 问 题 - 的 变 式 很 大 胆, 能 从 两 方 面 进 行 变 式, 挑 战 了 自 己 提 出 问 题 解 决 问 题 的 能 力, 开 阔 了 我 们 的 数 学 思 维. 点 评 : 学 生 自 主 学 习 活 动, 发 挥 新 教 材 素 质 教 育 功 能. 注 重 培 养 学 生 良 好 的 学 习 方 式, 这 样 有 利 于 学 生 自 主 学 习 能 力 提 问, 真 正 从 被 动 接 受 老 师 的 提 问 中 解 脱 出 来., 启 发 学 生 的 思 维 活 动. y P O m P 0 0 图 9. m 问 题 -: 如 图 59, 点 p 是 半 径 为 m 的 大 风 车 边 缘 上 的 m 一 个 质 点, 它 从 离 地 面 0.5m 的 最 低 点 P 0 开 始, 按 逆 时 针 P y O o 图 8 P 0 x π 方 向 以 角 速 度 6 rad/s 旋 转. () 求 点 P 离 地 面 的 距 离 y 关 于 时 间 t 的 函 数 关 系 式,() 从 P 0 起 9 秒 后, 点 P 与 地 面 的 距 离 是 多 少?(3) 当 点 P 第 一 次 距 地 面.5m 时, 用 了 多 少 时 间? (4) 当 点 P 第 4 次 距 地 面.5m 时, 用 了 多 少 时 间? 学 生 B : 以 风 车 最 低 点 为 原 点, 水 平 的 地 面 为 x 轴, 过 圆 心 的 竖 线 为 y 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系, 则 由 上 题 结 论 知,y=si( π 6 t-π )+.5 () 令 t=9, 得 y=si( π 6 9-π ) +.5=.5, (3) 令 y=.5, 得 si( π 6 t-π )+.5=.5, 又 t [0,], 所 以 t=( 秒 ), (4) 点 P 第 次 距 地 面.5m 时 用 了 -=0, 点 P 第 4 次 距 地 面.5m 时 t=+ 0=( 秒 ). O 教 师 : 问 题 - 的 变 式 很 精 彩, 将 我 们 平 时 遇 到 的 摩 天 轮 中 的 数 学 问 题 融 入 此 题, 但 它 的 原 型 以 课 本 习 题 为 背 景, 但 对 学 生 的 基 础 和 能 力 有 更 高 的 要 求. y P o 图 0 0 P x 9

14 案 例 分 析 点 评 : 通 过 学 生 观 察 生 活, 联 系 实 际, 命 制 有 创 意 的 试 题, 利 用 纯 数 学 的 方 法 来 解 决 生 活 中 的 时 间 问 题, 让 数 学 成 为 我 们 生 活 中 工 具. 问 题 -3: 如 图, 点 P 是 半 径 为 4m 的 水 轮 边 缘 上 的 一 个 质 点, 从 水 中 浮 现 时 ( 图 中 点 P 0 ) 开 始 计 时, 水 轮 圆 心 O 距 离 水 面 m, 水 轮 按 逆 时 π 针 方 向 以 角 速 度 5 rad/s 做 匀 速 圆 周 运 动. () 求 点 P 离 水 面 的 距 离 y 关 于 时 间 P O 图 P 0 (3) 由 y=4si( π 5 t-π 6 )+ + 3 得 t [0, 5 4 ] [5 4,5], 5 在 水 轮 转 动 的 一 圈 内, 有 4 + (5-5 4 )=5 的 时 间 点 P 距 水 面 的 距 离 不 超 过 + 3. (4) 将 第 () 问 写 成 :y=rsi(ω t-φ)+b. 如 果 雨 季 河 水 上 涨 或 旱 季 河 流 水 量 减 少 时, 将 造 成 圆 心 O 与 水 面 的 距 离 的 改 变, 上 式 中 的 b 发 生 变 化, 同 时 φ 也 发 生 变 化, 河 水 上 涨,b φ 减 小, 水 面 回 落 b φ 增 大 ; 若 水 车 转 速 加 快 或 减 慢,ω 也 发 生 变 化. t 的 函 数 关 系 式 ; 时 间? ()) 点 P 第 一 次 到 达 最 高 点 要 多 长 (3) 在 水 轮 转 动 的 一 圈 内, 有 多 长 时 间 点 P 距 水 面 的 距 离 不 超 过 + 3? (4) 讨 论 : 如 果 雨 季 河 水 上 涨 或 旱 季 河 流 水 量 减 少 时, 所 求 得 的 函 数 解 析 式 中 的 参 数 会 发 生 哪 些 变 化? 若 水 车 转 速 加 快 或 减 慢, 函 数 解 析 式 中 的 参 数 又 会 受 到 怎 样 的 影 响? 学 生 B 3 : 以 圆 心 O 为 原 点, 过 圆 心 的 竖 线 为 y 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系, 则 由 问 题 - 的 结 论 知,y=4si( π 5 t-π 6 ) +. () 令 y=4si( π 5 t-π 6 )+=6, 又 t [0,5], t=5s O O 图 3 问 题 -4: 如 图 3, 点 p 是 半 径 为 r cm 的 y 砂 轮 边 缘 上 的 P 一 个 质 o 点, 它 从 初 始 位 P x - P 图 置 O 开 始, 按 顺 时 针 方 向 以 角 速 度 ωrad/s 做 圆 周 运 动. 求 点 P 的 坐 标 (x,y) 关 于 时 间 t 的 函 数 关 系. 学 生 B 4 : 以 砂 轮 最 低 点 O 为 原 点, 水 平 的 地 面 为 x 轴, 过 圆 心 O 的 竖 线 为 y 轴 建 立 平 面 直 0 0

15 回 归 课 本 好 处 多 深 入 探 究 更 精 彩 角 坐 标 系, 经 过 时 间 t 秒, 砂 轮 上 的 点 P 0 运 动 到 点 P, 圆 心 移 到 C 的 位 置, 则 PCA=ωt 作 PB Ox,PD CA, 点 P 的 坐 标 x 与 y 分 别 为 : x=ob=oa-ba=ap-pd=rωt- rsiωt, y=bp=ca-cd=r-rcosωt y 学 生 C : 在 单 位 圆 中, 弧 长 等 于 所 对 圆 心 角 的 弧 度 数, 弦 P 0 P 所 对 圆 心 角 为 θ, 则 l=θ, d = si θ =sil (0 θ π), 作 图 略. 问 题 3-: 如 图 6, 半 径 为 的 M 切 直 线 AB 于 O 点, 射 线 OC 从 OA 出 发 绕 着 O 点 顺 时 针 方 向 旋 转 到 OB, 旋 转 过 程 中,OC 交 图 4 教 师 : 本 题 来 源 于 生 活, 在 生 活 中 经 常 遇 到 这 种 砂 轮 边 缘 在 地 上 滚 的 情 况, 通 过 该 题 终 于 知 道 了 砂 轮 边 缘 上 质 点 运 动 情 况. 第 三 组 展 示 问 题 3-: 如 图 5, 点 P 0 是 单 位 圆 上 的 一 定 点, 动 点 P 从 点 P 0 出 发 在 圆 上 按 逆 时 针 方 向 旋 转 一 周, 点 P 所 旋 转 过 的 P 0 P 的 长 为 l, 弦 P 0 P 的 长 为 d, 则 画 出 函 数 d=f(l) 的 大 致 图 象. o O C P ω D t B A x M 于 P, 记 PMO=x, 弓 形 po 的 面 积 S=f(x), 则 画 出 函 数 S=f(x) 的 大 致 图 象. P M x A O B 图 6 学 生 C : 图 象 的 分 界 点 为 x=π,x [0,π], 弓 形 po 的 面 积 S =x-six; x [π,π],s=4π -[(π-x) -si(π-x)]= x-six, 作 图 略. 问 题 3-3: 某 时 钟 的 秒 针 端 点 A 到 中 心 点 O 的 距 离 为 5cm, 秒 针 均 匀 地 绕 点 O 旋 转. 当 时 间 t=0 时, P y d l 点 A 与 钟 面 上 标 的 点 B 重 合, 将 A B 两 点 的 距 离 d 表 示 成 t 的 函 数, 则 d=, 其 中 t [0,60]. o x P π 学 生 C 3 : 经 过 t s 秒 针 转 了 30 t rad, 图 5 0 由 图 知,d=0si π 60 t. 问 题 3-4: 若 圆 x +y =R (R>0)

16 至 少 能 盖 住 f(x)= 30si πx 的 一 个 最 大 R 值 和 一 个 最 小 值 点, 则 R 的 取 值 范 围 是. 学 生 C 4 : 函 数 f(x) 距 圆 心 最 近 的 最 大 值 和 最 小 值 点 为 (± R, 30), R 即 R [6,+ ). R+30 教 师 : 这 组 问 题 很 有 代 表 性, 贴 近 高 考 的 命 题 的 趋 势, 主 要 围 绕 圆 内 的 弧 弦 长 弓 形 面 积 圆 的 面 积 等 动 态 问 题 考 查, 充 分 展 现 了 集 体 的 智 慧 和 自 学 的 能 力, 凸 显 了 学 生 大 胆 的 创 新 精 神 和 变 通 的 思 维 能 力. O B 图 7 点 评 : 在 小 组 讨 论 过 程 中, 从 不 同 角 度 进 行 观 察 联 想 提 出 好 的 问 题, 有 首 唐 诗 说 得 好 近 看 成 岭 侧 成 峰, 远 见 高 低 各 不 同,, 诗 的 哲 理 性 不 正 说 明 了 观 察 的 重 要 性 吗? 4 剖 析 5 A 4. 课 堂 探 究 式 教 学 的 一 般 模 式 本 案 例 的 教 学 流 程 如 下 : 4. 学 生 成 为 主 角 由 于 课 堂 上 学 生 的 活 动 主 要 是 讨 论 探 索 与 交 流, 课 堂 上 始 终 洋 溢 着 民 主 活 跃 的 气 氛, 学 生 因 不 同 的 见 解 而 讨 论, 因 此 他 们 提 出 说 明 和 维 护 各 自 的 观 点 倾 听 理 解 支 持 或 反 驳 别 人 的 意 见. 4.3 教 师 成 为 配 角 教 师 是 学 生 学 习 数 学 的 组 织 者 引 导 者 合 作 者 共 同 研 究 者, 鼓 励 学 生 主 动 完 成 探 索 过 程, 及 时 肯 定 学 生 的 表 现, 鼓 励 创 新, 哪 怕 是 微 小 的 进 步 或 幼 稚 的 想 法 你, 也 给 予 热 情 的 赞 扬, 教 师 和 学 生 平 等 地 进 行 交 流 与 讨 论, 创 造 民 主 和 谐 的 学 习 氛 围, 促 进 教 学 相 长, 建 立 新 型 的 师 生 关 系. 4.4 学 生 有 成 就 感 学 生 亲 身 体 验 了 自 己 发 现 问 题 提 出 问 题 解 决 问 题 的 实 践, 学 会 观 察 分 析 概 括 提 炼 不 断 取 得 创 新 成 果. 4.5 教 师 面 临 新 的 挑 战 x 在 教 学 过 程 中, 学 生 由 学 答 者 转 变 为 学 问 者, 而 学 生 提 出 的 问 题 及 解 决 的 途 径 有 可 能 是 教 师 始 料 未 及 的, 教 师 只 有 具 备 较 厚 实 的 业 务 知 识 与 专 业 涵 养, 多 掌 握 一 些 横 向 交 叉 学 科 知 识, 才 能 应 付 自 如, 这 对 教 师 的 素 质 和 能 力 提 出 了 更 高 的 要 求. 教 师 提 供 原 问 题 个 人 提 出 问 题 讨 论 交 流 修 改 提 出 的 问 题 个 人 探 究 问 题 集 体 交 流 讨 论 问 题 的 解 决 形 成 定 论 展 示 问 题

17 情 境 激 发 兴 趣 探 究 驱 动 思 维 合 作 共 同 提 高 解 题 研 究 情 境 激 发 兴 趣 探 究 驱 动 思 维 合 作 共 同 提 高 二 项 式 定 理 教 学 有 感 王 海 燕 ( 东 莞 市 第 七 高 级 中 学 ) 回 顾 之 前 所 上 的 二 项 式 定 理 第 一 课 时 的 公 开 课 的 构 思 及 打 磨 的 过 程, 收 获 良 多, 特 阐 述 如 下. 在 构 思 时, 主 要 存 在 如 下 几 个 问 题 : 如 何 引 入? 是 开 门 见 山 还 是 情 境 引 入? 如 何 得 到 二 项 式 系 数 的 规 律? 是 让 学 生 经 历 观 察 的 失 败, 从 失 败 中 寻 找 新 的 思 路? 还 是 放 手 让 学 生 探 究 还 是 教 师 引 导? 如 何 引 导? 如 何 证 明 二 项 式 定 理? 是 教 师 引 导 学 生 证 明 定 理, 还 是 让 学 生 看 书 自 学 提 炼 总 结? 针 对 上 述 问 题, 经 反 复 的 琢 磨, 我 在 教 学 中 做 了 如 下 处 理, 不 当 之 处, 敬 请 批 评 指 正. 教 学 过 程 简 述 情 境 引 入 ( 展 示 牛 顿 的 图 片 ) 师 : 这 是 谁? 生 : 牛 顿. 师 : 是 的, 他 就 是 伟 大 的 科 学 家 牛 顿, 他 不 仅 是 一 位 伟 大 的 物 理 学 家, 还 是 一 位 伟 大 的 数 学 家, 他 在 数 学 上 的 第 一 个 发 现 就 是 我 们 今 天 要 研 究 的 课 题. 现 在 就 让 我 们 沿 着 伟 人 的 足 迹 重 温 他 的 探 究 发 现 之 路.664 年 冬, 牛 顿 在 研 读 沃 利 斯 博 士 的 无 穷 算 术 中 的 a b a ab b, a b a 3a b 3ab b 时, 引 发 了 一 些 思 考 : ( ab)? 本 节 课 我 们 通 过 学 习, 要 解 决 的 就 是 这 样 一 个 问 题. 新 课 讲 授 a b 环 节 : 研 究 a b 问 题 : 请 你 观 察 的 展 开 式 的 展 开 式 并 思 考 : 展 开 式 中 各 种 类 型 的 项 是 如 何 得 到 的? 展 开 式 中 各 项 的 系 数 是 如 何 确 定 的? 利 用 多 项 式 乘 法 法 则, 可 以 得 到 a b 的 展 开 式 为 : a b ( a b)( a b) a a ab b a bb a ab b a b 从 上 述 过 程 可 以 看 到, 是 两 个 ( a b) 相 乘, 根 据 多 项 式 乘 法 法 则, 每 个 ( a b) 在 相 乘 时 都 有 两 种 选 择, 选 a 或 选 b, 而 且 每 个 ( a b) 中 的 a 或 b 都 选 定 后, 才 能 得 到 展 开 式 的 一 项. 从 而, 根 据 分 步 计 数 原 理, 在 合 并 同 类 项 之 前, a b 的 展 开 式 共 有 项, 而 k k 且 每 一 项 都 是 a b ( k 0,, ) 的 形 式. 整 理 合 并 同 类 项 后, 各 项 系 数 特 征 又 k k 如 何 呢? 经 观 察 发 现 a b ( k 0,, ) 4 ( ab)? 00 ( ab)? k 的 系 数 可 以 表 示 为 C. 3

18 解 题 研 究 环 节 : 对 比 观 察 a b, 3 的 展 开 式, 猜 想 a b 4, a b 式 对 比 a b, 观 察 3 a b 的 展 开 a b 的 展 开 式, 并 把 展 开 式 中 的 系 数 改 写 为 组 合 数 形 式. 结 合 a b, 3 a b 构 特 征, 猜 想 4 a b 的 展 开 式 的 结 的 展 开 式 中 可 能 出 现 的 项 和 各 项 系 数.( 学 生 用 组 合 数 形 式 写 出 以 上 几 个 展 开 式 ) 猜 想 a b 项 和 各 项 系 数 : 的 展 开 式 中 可 能 出 现 的 ( a b) C a C a b 0 C a k k k b C b N * ( ) 这 就 是 今 天 我 们 要 研 究 的 内 容 二 项 式 定 理. 环 节 3: 证 明 二 项 式 定 理 ( 通 过 学 生 阅 读 教 材 第 30 页 的 内 容, 自 行 归 纳 提 炼.) 证 明 :( a b) 是 个 ( a b) 相 乘, 每 个 ( a b) 在 相 乘 时, 有 两 种 选 择, 选 a 或 选 b, 由 分 步 计 数 原 理 可 知 展 开 式 共 有 项 ( 包 括 同 类 项 ), 其 中 每 一 项 都 是 k k a b ( k 0,, ) k k a b, 它 是 由 k 个 ( a b) 的 形 式, 对 于 每 一 项 选 了 b,-k 个 ( a b) 选 了 a 得 到 的, 它 出 现 的 次 数 相 当 于 从 个 ( a b) 中 取 k 个 b 的 组 合 数 k C, 将 它 们 合 并 同 类 项, 就 得 二 项 展 开 式, 这 就 是 二 项 式 定 理. 二 项 式 定 理 的 再 认 识 : 二 项 式 定 理 的 公 式 特 征 ( 由 学 生 归 纳, 让 学 生 熟 悉 公 式 ). () 项 数 : 共 有 项. () 次 数 : 字 母 a 按 降 幂 排 列, 次 数 由 递 减 到 0 ; 字 母 b 按 升 幂 排 列, 次 数 由 0 递 增 到. 0 (3) 各 项 的 次 数 都 等 于. ( 4 ) 二 项 式 系 数 : 依 次 为 C, C, C,, C,, C, 这 里 C k C k k ( k 0,,, ) 称 为 二 项 式 系 数. a ( 5 ) 二 项 展 开 式 的 通 项 : 式 中 的 k b k 叫 做 二 项 展 开 式 的 通 项. 用 T k 表 示. 即 通 项 为 展 开 式 的 第 k 项 : T C a b k k k k 例 题 讲 解 例. 写 出 下 列 二 项 式 的 展 开 式 :() ( a b) () 少? 例. 求 ( ( x) 6 x ) 的 展 开 式. 变 式 : 展 开 式 的 第 3 项 的 系 数 是 多 变 式 : 展 开 式 的 第 3 项 的 二 项 式 系 数 是 多 少? 项?,,3,4 变 式 3: 你 能 否 直 接 求 出 展 开 式 的 第 3 x (3) 巩 固 提 升 : 教 材 第 30 页 练 习 : 课 堂 小 结 教 学 过 程 反 思. 关 于 引 入 情 境 激 发 兴 趣 二 项 式 定 理 作 为 排 列 组 合 原 理 的 直 接 应 用, 如 何 引 入 课 题 是 本 课 的 第 一 个 问 题. 现 行 的 引 入 方 式 有 如 下 几 种 :. 开 门 见 山 : 本 节 课 我 们 研 究 的 是 ( ab)? 的 问 题.. 创 设 情 境 : 今 天 是 星 期 三, 那 么 4

19 情 境 激 发 兴 趣 探 究 驱 动 思 维 合 作 共 同 提 高 8 天 后 是 星 期 几? 8 37 天 后 呢? 3. 创 设 情 a b, 境 : 牛 顿 阅 读 无 穷 算 术 中 的 a b 3 时 引 发 思 考, 并 研 究 发 现 a b 展 开 式 的 系 数 关 系. 这 几 种 引 入 方 式 各 有 优 势, 我 在 第 一 次 教 学 时 选 择 直 入 主 题, 学 生 感 到 突 兀. 这 样 的 操 作 不 能 引 起 学 生 的 共 鸣, 有 掐 断 学 生 思 维 源 头 之 嫌, 虽 然 后 面 讲 得 很 精 彩, 但 因 开 始 就 没 有 得 到 很 好 的 回 应, 整 堂 课 感 觉 沉 闷, 学 生 只 是 机 械 的 跟 着 老 师 的 思 路 走, 教 学 效 果 不 佳. 因 此 在 这 次 备 课 时 我 优 先 选 择 情 境 引 入, 此 时 我 又 在,3 两 种 引 入 下 徘 徊. 第 种 引 入 从 日 常 生 活 出 发, 较 易 引 发 学 生 的 兴 趣, 8 7, 为 什 么 我 37 但 从 数 学 角 度 说 37 们 一 定 要 这 样 拆 分? , 可 以 判 断 到 8 天 后 是 星 期 四 ; 8 37 天 后 是 星 期 几 我 借 助 于 计 算 器 同 样 可 以 这 样 处 理, 为 什 么 非 要 研 究 a b 的 展 开 式? 第 3 种 引 入 是 从 名 人 出 发 : 众 所 周 知, 牛 顿 是 伟 大 的 物 理 学 家, 但 我 在 介 绍 时 特 别 提 出, 他 还 是 数 学 家, 引 发 学 生 的 认 知 冲 突. 从 学 生 感 兴 趣 的 话 题 入 手, 有 利 于 激 发 学 生 的 学 习 兴 趣, 提 高 课 堂 的 有 效 性. 基 于 这 一 点 考 虑, 我 最 终 决 定 用 第 3 种 方 式 引 入. 维. 关 于 二 项 式 系 数 探 究 驱 动 思 学 生 的 思 考 总 是 先 具 体 后 抽 象, 先 特 殊 后 一 般, 但 他 们 很 难 直 接 通 过 观 察 a b (,, 3 4) 展 开 式 二 项 式 系 数 特 征 归 纳 得 出 二 项 式 系 数 的 一 般 规 律. 要 不 要 让 学 生 经 历 观 察 的 失 败, 从 失 败 中 寻 找 新 的 思 路? 是 放 手 让 学 生 探 究 还 是 教 师 引 导? 如 何 引 导? 这 是 教 学 中 存 在 的 一 大 困 难. a b a ab b, 根 据 a b a 3a b 3ab b a b a 4a b 6a b 4ab b 学 生 通 过 观 察, 可 以 猜 到 a b 展 开 式 的 一 些 特 征, 但 这 些 系 数 如 何 得 到? 为 什 么 要 表 示 为 组 合 数 形 式? 从 学 生 的 认 知 去 解 释 还 是 有 一 定 的 难 度. 因 此 我 们 需 要 想 办 法 让 学 生 可 以 通 过 已 经 掌 握 的 知 识 来 归 纳 得 出 二 项 式 系 数 的 一 般 规 律. 在 这 里 我 思 考 过 几 种 处 理 方 案 : 方 案 一 : 通 过 观 察 a a )( b ) ( b 和 a a )( b b )( c ) 的 展 开 式, ( c 借 助 于 多 项 式 的 乘 法, 找 准 项 的 构 成, 项 数, 即 : 每 个 括 号 内 任 取 一 个 字 母 相 乘 构 成 了 展 开 式 中 的 每 一 项. 进 而 研 究 a b a b 3 的 展 开 式, 发 现 其 系 数 恰 好 是 C ; 然 后 把 特 殊 问 题 一 般 化, 猜 想 k a b 的 展 开 式. 方 案 二 : 师 : 4 个 容 器 中 有 红 白 小 球 各 个, 每 次 从 4 个 容 器 中 取 出 个 球, 有 什 么 样 的 取 法? 各 种 取 法 有 多 少 种? 生 : 取 法 及 取 法 种 数 有 : 都 不 取 白 球 ( 全 4 取 红 球 ): C 0 (= C 4 4 ); 取 个 白 球 ( 白 3 红 ): 红 ): 红 ): C 4 ( = C 3 4 ) ; 取 个 白 球 ( 白 C 4 ( = C 4 ) ; 取 3 个 白 球 (3 白 3 C 4 (= C 4 ); 取 4 个 白 球 ( 不 取 红 5

20 解 题 研 究 4 球 ): C 4 (= C 4 0 ) 如 果 我 们 把 红 球 标 记 为 a 白 球 标 记 为 a b b, 则 4 数 分 别 为? 的 展 开 式 可 以 写 为? 各 项 系 方 案 三 : 从 教 材 出 发, 直 接 借 用 教 材 的 研 究 过 程 : a b 利 用 多 项 式 乘 法 法 则, 可 以 得 到 的 展 开 式 为 : a b ( a b)( a b) a a ab b a bb a ab b a b 从 上 述 过 程 可 以 看 到, 是 两 个 ( a b) 相 乘, 根 据 多 项 式 乘 法 法 则, 每 个 ( a b) 在 相 乘 时 都 有 两 种 选 择, 选 a 或 选 b, 而 且 每 个 ( a b) 中 的 a 或 b 都 选 定 后, 才 能 得 到 展 开 式 的 一 项. 从 而, 根 据 分 步 计 数 原 理, 在 合 并 同 类 项 之 前, a b 每 一 项 都 是 的 展 开 式 共 有 项, 而 且 k k a b k ( 0,, ) 的 形 式. 整 理 合 并 同 类 项 后, 各 项 系 数 特 征 又 k k 如 何? 经 观 察 发 现 a b ( k 0,, ) 的 k 系 数 可 以 表 示 为 C. 这 三 种 方 案 都 很 不 错, 如 果 讲 解 到 位, 都 可 以 突 破 这 个 难 点, 但 一 节 课 只 有 40 分 钟, 我 们 需 要 在 有 限 的 时 间 里 保 质 保 量 的 完 成 教 学 任 务, 如 果 每 个 地 方 都 花 太 多 时 间 在 引 导 上, 肯 定 得 不 偿 失, 因 此, 在 这 里 的 处 理 上 我 现 在 第 三 种 方 案, 从 教 材 出 发, 从 最 基 础 的 a b 的 展 开 式 开 始, 只 要 把 它 研 究 透 彻, 就 可 以 在 最 短 的 时 间 内 突 破 难 点, 达 成 教 学 期 望. 而 且 从 a b a ab b 开 始 探 究, 更 利 于 驱 动 思 维. 3.3 关 于 定 理 的 理 解 合 作 交 流, 深 化 认 识, 共 同 提 高 二 项 式 定 理 的 证 明 过 程 从 本 质 上 来 说, 就 是 二 项 式 定 理 发 现 过 程 的 重 复, 是 教 师 引 导 学 生 证 明 定 理, 还 是 让 学 生 看 书 自 学 提 炼 总 结? 通 过 仿 照 3 a b, ( a b) 的 展 开 4 式, 学 生 类 比 得 出 ( a b),( a b) 的 展 开 式, 他 们 已 经 对 ( a b ) 的 展 开 式 有 了 一 定 的 认 识. 因 此 对 于 二 项 式 定 理 的 证 明 我 采 用 说 理 的 方 法, 从 计 数 原 理 的 角 度 对 展 开 过 程 进 行 分 析, 概 括 出 项 的 形 式, 用 组 合 知 识 分 析 展 开 式 中 具 有 同 一 形 式 的 项 的 个 数, 从 而 得 出 用 组 合 数 表 示 的 展 开 式. 对 二 项 式 定 理 理 解 上, 通 过 学 生 合 作 交 流, 共 同 讨 论, 思 考 并 回 答 以 下 问 题 : 问 题 : 二 项 式 定 理 的 项 数 指 数 系 数 的 特 点 是 什 么? 问 题 : 二 项 展 开 式 的 结 构 特 征 是 什 么? 哪 一 项 最 具 有 代 表 性? 由 此, 学 生 得 出 二 项 式 定 理 二 项 展 开 式 二 项 式 系 数 项 的 系 数 二 项 展 开 式 的 通 项 等 概 念, 这 样 通 过 自 主 学 习, 合 作 交 流 突 破 本 课 的 重 点, 实 现 共 同 提 高 的 目 的. 本 课 属 于 探 究 课, 教 学 时 要 协 调 好 教 师 与 学 生 的 关 系. 这 种 课 重 在 学 生 探 究, 要 充 分 发 挥 学 生 的 自 主 性 能 动 性 和 创 造 性, 培 养 学 生 的 发 现 提 出 解 决 问 题 的 能 力, 课 堂 上 要 给 学 生 足 够 的 时 间 和 空 间, 引 导 和 帮 助 学 生 独 立 发 现 和 提 出 问 题 ; 同 6

21 时 还 要 强 调 学 生 之 间 的 合 作 与 交 流. 在 教 学 中, 采 用 问 题 探 究 的 教 学 模 式, 把 整 个 课 堂 分 为 呈 现 问 题 探 索 规 律 总 结 规 律 应 用 规 律 四 个 阶 段. 让 学 生 体 会 研 究 问 题 的 方 式 方 法, 培 养 学 生 观 察 分 析 概 括 的 能 力, 以 及 化 归 意 识 与 方 法 迁 移 的 能 力, 体 会 从 特 殊 到 一 般 的 思 维 方 式, 个 别 差 异? 如 何 更 好 地 把 握 好 引 导 的 时 机 和 度? 如 何 合 理 的 选 取 例 题 与 练 习? 因 此 需 要 更 好 把 握 教 材, 在 实 践 中 不 断 摸 索, 多 学 习, 多 反 思, 确 保 课 堂 的 有 效 性 和 高 效 性. 参 考 文 献 : [] 人 民 教 育 出 版 社 数 学 室 编 著. 普 通 高 中 课 让 学 生 体 验 定 理 的 发 现 和 创 造 历 程. 同 时 程 标 准 实 验 教 科 书 数 学 选 修 -3. 北 遵 循 学 生 的 认 识 规 律, 由 特 殊 到 一 般, 由 京 : 人 民 教 育 出 版 社,009,4 感 性 到 理 性. 重 视 学 生 的 参 与 过 程, 问 题 [] 陈 鸿 儒. 高 中 数 学 探 究 式 教 学 体 验. 教 育 引 导, 师 生 互 动. 重 在 培 养 学 生 观 察 问 题, 研 究,00,6 [3] 童 晟. 试 验 发 现 归 纳 探 究 二 项 式 发 现 问 题, 归 纳 推 理 问 题 的 能 力, 从 而 形 定 理 的 教 学 案 例. 数 学 教 学 通 讯,004, 成 自 主 探 究 的 学 习 习 惯. 在 教 学 中 用 情 境 0 激 发 兴 趣, 以 探 究 驱 动 思 维, 通 过 师 生 合 [4] 原 瑞. 主 动 探 索 使 二 项 式 定 理 的 学 习 更 生 作 生 生 合 作 共 同 提 高, 圆 满 完 成 教 学 任 动 务, 也 为 以 后 探 究 课 的 研 究 提 供 一 定 的 理 [5] 杨 作 义. 在 探 究 中 感 悟 在 交 流 中 提 高 论 依 据. 当 然 我 在 教 学 中 还 存 在 许 多 有 待 二 项 式 定 理 的 课 堂 教 学 实 践 与 思 考 提 高 和 反 思 的 问 题, 如 : 如 何 更 好 地 关 照 九 招 破 解 不 等 式 恒 成 立 问 题 冷 世 平 ( 绵 阳 东 辰 国 际 学 校 ) 不 等 式 恒 成 立 问 题 求 解 的 基 本 思 路 是 : 根 据 已 知 条 件 将 恒 成 立 问 题 向 基 本 类 型 转 化, 正 确 选 用 构 造 函 数 法 变 量 分 离 法 数 形 结 合 法 等 解 题 方 法 求 解. 解 题 过 程 本 身 渗 透 着 换 元 化 归 数 形 结 合 函 数 与 方 程 等 思 想 方 法, 有 利 于 考 查 学 生 的 综 合 解 题 能 力, 在 培 养 思 维 的 灵 活 性 创 造 性 等 方 面 起 到 了 重 要 的 作 用, 因 此 也 成 为 历 年 各 地 高 考 的 一 个 热 点 内 容. 解 决 恒 成 立 问 题 主 要 有 以 下 几 种 方 法, 供 各 位 同 行 参 考. 反 客 为 主 法 此 方 法 又 称 为 改 变 主 元 法. 有 一 些 数 学 题, 题 中 涉 及 到 若 干 个 量, 其 中 有 常 量, 也 有 变 量, 学 生 在 解 答 时, 由 于 思 维 定 势, 不 太 习 惯 把 其 中 的 常 量 暂 视 为 变 量, 把 其 中 的 变 量 暂 视 为 常 量 的 做 法, 结 果 导 致 求 解 过 程 异 常 复 杂 甚 至 难 以 解 出. 其 实, 常 量 与 变 量 是 相 对 的, 是 辩 证 统 一 的 关 系, 根 据 需 要 可 以 将 它 们 的 地 位 调 换, 即 反 客 为 主, 改 变 主 元, 常 常 使 许 多 难 题 巧 妙 获 解. 例. 对 于 满 足 p 的 所 有 实 数 p, 求 使 不 等 式 x px p x 恒 成 立 的 x 的 取 值 范 围. 7

22 解 题 研 究 分 析 在 不 等 式 中 出 现 了 两 个 字 母 : x 及 p, 关 键 在 于 该 把 哪 个 字 母 看 成 是 一 个 变 量, 另 一 个 作 为 常 数. 显 然 可 将 p 视 作 自 变 量, 则 上 述 问 题 即 可 转 化 为 在, 内 关 于 p 的 一 次 函 数 大 于 0 恒 成 立 的 问 题. 解 析 不 等 式 即 ( x ) p x x 0, 设 f ( p) ( x ) p x x, 则 f( p ) 在 f ( ) 0, 上 恒 大 于 0, 故 有, 即 f () 0 x x x x 3., 从 而 解 得 x 或 点 评 在 不 等 式 中 出 现 了 两 个 字 母 : x 及 p, 而 我 们 都 习 惯 把 x 看 成 是 一 个 变 量,p 作 为 常 数. 本 题 转 换 视 角, 可 将 p 视 作 自 变 量, 则 上 述 问 题 即 可 转 化 为 在, 内 关 于 p 的 一 次 函 数 大 于 0 恒 成 立 的 问 题. 此 类 题 本 质 上 是 利 用 了 一 次 函 数 在 闭 区 间 上 的 图 象 是 一 条 线 段, 故 只 需 保 证 该 线 段 两 端 点 均 在 x 轴 上 方 ( 或 下 方 ) 即 可. 总 结 给 定 一 次 函 数 f ( x) ax b( a 0), 若 y f ( x) 在 m, 内 恒 有 f( x) 0, 则 根 据 函 数 的 图 象 ( 直 a 0 线 ) 可 得 上 述 结 论 等 价 于 ⑴ 或 f( m) 0 f( m) 0. f( ) 0 单 调 性 法 利 用 函 数 单 调 性 解 题 是 历 年 高 考 的 重 点 和 难 点. 如 何 攻 克 这 个 难 点 呢? 一 个 词 : 去 壳. 利 用 函 数 单 调 性 解 不 等 式 的 关 键 就 是 : 准 确 判 断 出 函 数 单 调 性, 成 功 去 掉 f 这 层 外 壳, 把 关 于 因 变 量 之 间 的 不 等 关 系 转 化 为 关 于 自 变 量 之 间 的 不 等 关 系, 然 后 解 关 于 x 的 简 单 不 等 式 即 可. 例. 定 义 在 R 上 的 函 数 f( x ) 既 是 奇 函 数, 又 是 减 函 数, 且 当 0, 时, 有 f (cos msi ) f ( m ) 0 恒 成 立, 求 实 数 m 的 取 值 范 围. 解 析 由 f (cos msi ) f ( m ) 0 得 到 f (cos msi ) f ( m ), 因 为 f( x ) 为 奇 函 数, 故 有 f (cos msi ) f (m ) 恒 成 立, 又 因 为 f( x ) 为 R 减 函 数, 从 而 有 对 0, 恒 cos msi m 成 立, 设 si tt, (0,), 则 t mt m 0对 于 t (0,) 恒 成 立, 再 设 函 数 g( t) t mt m, 对 称 轴 为 t m. a 0 f( m) 0 ⑵, 亦 可 合 并 成 ; 同 f( ) 0 f( ) 0 理, 若 在 m, 内 恒 有 f( x) 0, 则 有 8

23 九 招 破 解 不 等 式 恒 成 立 问 题 综 上 所 述, 实 数 m 的 取 值 范 围 为 m. 点 评 此 题 属 于 含 参 数 二 次 函 数 的 轴 动 区 间 定 的 问 题, 对 轴 与 区 间 的 位 置 进 行 分 类 讨 论. 对 于 二 次 函 数 在 R 上 恒 成 立 当 tm 0 时, 函 数 y g() t 在 t (0,) 上 单 调 递 增, g( t) mi g(0) m 0, 即 m, 又 m 0, m 0 ; 问 题 常 采 用 判 别 式 法, 而 对 于 二 次 函 数 在 某 一 区 间 上 恒 成 立 问 题 往 往 转 化 为 求 函 数 在 此 区 间 上 的 最 值 问 题. 3 变 量 分 离 法 若 在 等 式 或 不 等 式 中 出 现 两 个 变 量, 其 中 一 个 变 量 的 范 围 已 知, 另 一 个 变 量 的 范 围 为 所 求, 且 容 易 通 过 恒 等 变 形 将 两 个 变 量 分 别 置 于 等 号 或 不 等 号 的 两 边, 则 可 将 恒 成 立 问 题 转 化 成 函 数 的 最 值 问 题 求 解. 例 3. 已 知 函 数 当 t m 0,, 即 0m 时, g t g t m m, 即 ( ) mi ( ) 0 m m m 0,, 又 m 0,, 0 m ; x x a f ( x), x[, ), 若 对 任 意 x x[, ), f ( x) 0 恒 成 立, 试 求 实 数 a 的 取 值 范 围. 分 析 此 题 可 经 过 等 价 转 化 为 在 区 间 [, ) 上 x x a 0恒 成 立, 再 将 转 化 后 的 不 等 式 分 离 参 数 得 g( a) h( x) 恒 成 立, 再 求 得 hx ( ) 得 最 大 值 h ( x ), max 由 g( a) h( x) max 可 得 实 数 a 的 取 值 范 围. 解 析 在 区 间 [, ) 上, f( x) 0 恒 成 立 x x a 0在 区 间 [, ) 上 恒 3 当 tm 时, 函 数 y g() t 在 t (0,) 上 单 调 递 增, g( t) g() m m 0 恒 mi 成 立, m. 成 立, 要 使 x x a 0恒 成 立, 只 需 a x x x ( ) 恒 成 立, 由 二 次 函 数 的 性 质 可 得 ( x ) 3, 故 只 需 9

24 解 题 研 究 a 3, 故 所 示 实 数 a 的 取 值 范 围 为 a 3. 例 3. 已 知 二 次 函 数 f ( x) ax x( ar, a 0), 若 x[0,] 时, 总 有 f( x), 试 求 实 数 a 的 取 值 范 围. 恒 成 立 ; 解 析 当 x 0 时, 有 f (0) 0 当 x 0 时, ax x, 即 ax x ax, 分 离 参 数 可 得 x a x x, 令 t, x (0,] x, a ( ) x x t (, ], 即 当 t (, ] 时 恒 有 a t t a t t ( ) mi, 当 t (, ] 时, ( t t) 0,[ ( t t)], 即 a 0 a 范 围 为 [,0). max, 又 因 为 a 0, 故 实 数 a 的 取 值 点 评 将 所 求 变 量 与 其 他 变 量 分 离 开, 通 过 研 究 式 中 另 外 一 个 变 量 的 已 知 范 围 来 确 定 所 求 变 量 的 范 围. 若 所 求 变 量 为 a, 则 根 据 a f ( x) 恒 成 立 a f ( x) max ; a f ( x) 恒 成 立 a f ( x) mi. 此 题 一 般 性 解 法 是 利 用 根 的 分 布 对 ax x 进 行 讨 论, 其 解 题 过 程 复 杂 性 显 而 易 见, 而 将 参 数 从 恒 成 立 不 等 式 中 分 离 出 来, 可 以 避 免 较 为 复 杂 的 讨 论. 例 4. 已 知 当 x R时, 不 等 式 a cos x 5 4si x 5a 4 恒 成 立, 求 实 数 a 的 取 值 范 围. 分 析 在 不 等 式 中 含 有 两 个 变 量 a 及 x, 其 中 x 的 范 围 已 知, 另 一 变 量 a 的 范 围 即 为 所 求, 故 可 考 虑 将 a 及 x 分 离. 解 析 原 不 等 式 等 价 于 4si x cos x 5a 4 5 a, 要 使 上 式 恒 成 立, 只 需 5a 4 5 a大 于 4si x cos x的 最 大 值, 故 上 述 问 题 转 化 成 求 f ( x) 4si x cosx 的 最 值 问 题., 即 5a 4 a, 上 式 等 价 于 a 0 5a 4 0 5a 4 ( a ) 4 a 8. 5 a 0 或, 解 得 5a 4 0 点 评 注 意 到 题 目 中 出 现 了 si x 及 cosx, 而 cos x si x, 故 若 把 si x 换 元 成 t, 则 可 把 原 不 等 式 转 化 成 关 于 t 的 二 次 函 数 类 型. 总 结 含 参 数 不 等 式 分 离 后 的 形 式 因 题 因 分 法 而 异, 因 此 解 决 含 参 数 不 等 式 恒 成 立 的 问 题 需 把 握 住 以 下 一 般 性 结 论 : f ( x) g( a) 恒 成 立 f ( x) g( a) ; f ( x) g( a) max 恒 成 立 f ( x) g( a) ; max 3 f ( x) g( a) 恒 成 立 f ( x) g( a) ;4 f ( x) g( a) mi 恒 成 立 0

25 九 招 破 解 不 等 式 恒 成 立 问 题 f ( x) g( a). mi 4 数 形 结 合 法 某 些 含 参 不 等 式 恒 成 立 问 题, 我 们 在 解 题 过 程 中, 可 以 把 不 等 式 进 行 合 理 的 变 形 后, 将 不 等 式 两 端 的 式 子 分 别 看 作 两 个 函 数, 且 正 确 作 出 两 个 函 数 的 图 象, 然 后 通 过 观 察 两 图 象 ( 特 别 是 交 点 时 ) 的 位 置 关 系, 列 出 关 于 参 数 的 不 等 式, 以 达 到 求 解 的 目 的. 恒 成 立, 令 y y 4 x 在 区 间 4, 显 然 函 数 x 0,4 上 是 单 调 递 减 函 4 数, 故 ymi 0, 故 a 的 取 值 范 围 4 就 是 a 0. 例 4 当 x (,) 时, 不 等 式 ( x ) log a x恒 成 立, 求 a 的 取 值 范 围. 例 3 设 x [0,4], 若 不 等 式 x(4 x) ax 恒 成 立, 求 a 的 取 值 范 围. 分 析 若 将 不 等 号 两 边 分 别 设 成 两 个 函 数, 则 左 边 为 二 次 函 数, 图 象 是 抛 物 线, 右 边 为 常 见 的 对 数 函 数 的 图 象, 故 可 解 析 设 y x(4 x), 则 ( x ) y 4( y 0), 它 表 示 的 是 以 (,0) 为 圆 心, 为 半 径 的 上 半 圆 ( 如 图 所 示 ), 设 y ax, 它 的 几 何 意 义 是 一 条 经 过 原 点, 斜 率 为 a 的 直 线, 将 两 者 图 像 画 在 同 一 坐 标 系 下, 根 据 不 等 式 x(4 x) ax 的 几 何 意 义, 要 使 得 半 圆 恒 在 直 线 l 的 上 方 ( 包 括 相 交 ), 当 且 仅 当 a 0 时 才 成 立, 所 以 a 的 取 值 范 围 就 是 a 0. 点 评 此 题 还 可 以 利 用 变 量 分 离 法 求 解, 略 解 如 下 : 当 x 0 时, 不 等 式 显 示 恒 成 立 ; 当 x 0,4 时, 不 等 式 x(4 x) ax 恒 成 立 等 价 于 4 a x 以 通 过 图 象 求 解. 解 析 设 y ( x ), y log a x, 则 y 的 图 象 为 如 图 所 示 的 抛 物 线, 要 使 对 一 切 x(,), y y恒 成 立, 显 然 a, 并 且 必 须 也 只 需 当 x 时 y 的 函 数 值 大 于 等 于 y 的 函 数 值. 故 loga, 从 而 可 得 a. a 点 评 我 国 著 名 数 学 家 华 罗 庚 曾 说 过 : 数 缺 形 时 少 直 观, 形 少 数 时 难 入 微 ; 数 形 结 合 百 般 好, 隔 离 分 家 万 事 休, 作 为 一 种 数 学 思 想 方 法, 数 形 结 合 包 括 两 个 方 面 : 第 一 种 情 形 是 以 数 解 形, 而 第 二 种 情 形 是 以 形 助 数. 本 题 是 数 形 结 合 思 想 中 的 形 中 觅 数, 数 上 构 形 的 充 分 体 现, 由 表 达 式 结 构 特 征, 能 让 我

26 解 题 研 究 们 联 系 到 用 其 几 何 意 义 去 处 理. 5 构 造 向 量 法 向 量 是 数 形 结 合 的 重 要 工 具, 对 于 形 式 结 构 比 较 复 杂 的 不 等 式 恒 成 立 问 题, 可 以 巧 妙 的 构 造 向 量, 使 数 学 问 题 增 添 新 的 活 力 且 简 单 易 解. 例 5. 若 不 等 式 x 5 x 5x 0 a 对 于 任 意 的 x R恒 成 立, 求 实 数 a 的 取 值 范 围. 分 析 由 题 目 的 结 构 形 式 可 联 想 到 平 面 向 量, 于 是 令 B'(0, 5), 显 然 BC ' 5即 为 所 求, 故 实 数 a 的 取 值 范 围 是 a 5. 6 构 造 函 数 法 根 据 题 目 中 所 给 的 含 参 不 等 式 的 结 构 特 征, 构 造 适 当 的 函 数, 并 利 用 函 数 的 性 质 来 求 参 数 的 范 围. 例 6. 若 函 数 f ( x) ( a ) x ( a ) x 的 定 a 义 域 为 R, 求 实 数 a 的 取 值 范 围. 分 析 该 题 就 转 化 为 被 开 方 数 m ( x, 5), ( 5 x, 5), 由 向 量 的 模 之 间 的 关 系 m m 5, 求 得 实 数 a 的 取 值 范 围. 解 析 令 u x x x x x 5 ( 5 ) 5, m ( x, 5), ( 5 x, 5) m( 5, 5),, m x x m 5, ( 5 ) 5, 5, 当 a 0时, u x 5 x 5x 0 m m 5 故 实 数 a 的 取 值 范 围 是 a 5. 总 结 本 题 还 可 以 根 据 结 构 联 想 到 两 点 间 的 距 离 公 式, 将 不 等 式 左 边 看 作 函 数 y x x x ( x 0) (0 5) ( x 5) (0 5), 所 求 问 题 转 化 为 平 面 上 一 个 动 点 Ax (,0) ( a ) x ( a ) x 0 在 R 上 恒 成 a 立 问 题, 并 且 注 意 对 二 次 项 系 数 的 讨 论. 解 析 依 题 意, 当 x R时, ( a ) x ( a ) x 0 恒 成 立, a a 0 当 a 0时, 有 a 0, 解 得 a, 此 时 ( a ) x ( a ) x 0, a a a 0 a a ( a ) 4( a ) 0 a 0a 9 0, 解 得 a 9., 即 有 综 上 所 述, f( x ) 的 定 义 域 为 R 时, 实 数 a 的 取 值 范 围 为 [,9]. 7 集 合 思 想 法 集 合 是 高 中 数 学 的 理 论 基 础, 贯 穿 于 到 两 定 点 B(0, 5), C ( 5, 5) 的 距 离 之 和 的 最 小 值, 易 求 出 点 B 关 于 原 点 对 称 的 点 整 个 高 中 数 学 的 始 终, 其 中 所 包 含 的 子 集 思 想 和 补 集 思 想 在 高 中 数 学 解 题 中 应 用 十 分 广 泛, 在 不 等 式 恒 成 立 问 题 中 巧 妙 利 用

27 九 招 破 解 不 等 式 恒 成 立 问 题 这 两 种 解 题 思 想, 能 达 到 意 想 不 到 的 效 果. 5 例 7. 已 知 x a时, 不 等 式 x 5 4恒 成 立, 求 实 数 a 的 取 值 范 围. 5 分 析 若 记 x a 的 解 集 是 5 A, x 5 4 的 解 集 是 B, 则 x a 成 立 时 x 5 4成 立, 则 应 有 A B, 根 据 子 集 的 知 识 可 求 得 a 的 取 值 范 围. 5 解 析 由 x a, 可 得 5 5 a x a, 由 x 5 4, 可 得 3 x 或 x 3. 记 5 5 A ( a, a), B ( 3, ) (,3), 则 5 5 A B, 3 a a 或 5 5 a a 3, 从 而 解 得 0 a. 点 评 不 等 式 在 集 合 A 中 恒 成 立 等 价 于 集 合 A 是 不 等 式 解 集 B 的 子 集, 通 过 研 究 集 合 间 的 关 系 便 可 求 出 参 数 的 取 值 范 围. 8 绝 对 值 几 何 意 义 法 在 不 等 式 中, 常 会 遇 到 含 有 绝 对 值 的 不 等 式 求 解 问 题, 处 理 这 类 问 题 的 关 键 在 于 如 何 去 掉 绝 对 值 符 号, 将 问 题 转 化 为 不 含 绝 对 值 符 号 的 常 规 问 题 来 解 决, 这 是 解 含 绝 对 值 不 等 式 问 题 的 一 般 解 法, 下 面 来 探 求 这 类 问 题 的 另 一 种 解 法 利 用 实 数 绝 对 值 的 几 何 意 义 来 求 解. 例 8. x R时, 关 于 x 的 不 等 式 x x 3 a 恒 成 立, 求 实 数 a 的 取 值 范 围. 分 析 由 x x 3 a 恒 成 立, 即 x x 3 的 最 小 值 大 于 a, 再 由 绝 对 值 得 几 何 意 义 知 x x 3 的 最 小 值 是 4, 故 可 求 得 a 的 取 值 范 围. 解 析 x x 3 a 恒 成 立, 即 x x 3 的 最 小 值 大 于 a, 又 x x 3 表 示 数 轴 上 点 x 到 两 点 和 3 的 距 离 之 和, 当 3 x 时, 这 个 距 离 和 最 小 且 等 于 4, 故 实 数 a 的 取 值 范 围 是 a 4. 点 评 对 于 一 些 绝 对 值 内 为 关 于 x 的 一 次 式 的 不 等 式, 我 们 常 可 以 根 据 绝 对 值 的 基 本 性 质, 采 用 等 价 转 化 法 或 零 点 分 段 脱 去 绝 对 值 符 号, 将 问 题 转 化 为 不 含 绝 对 值 符 号 的 常 规 问 题 来 求 解, 另 外 也 可 以 根 据 绝 对 值 的 几 何 意 义 用 数 形 结 合 的 方 法 直 观 快 速 准 确 地 求 解 这 类 含 有 绝 对 值 的 不 等 式. 9 三 角 代 换 法 根 据 题 目 的 特 点, 选 取 恰 当 的 三 角 代 换, 能 达 到 化 难 为 易, 化 繁 为 简 的 目 的, 它 是 解 不 等 式 问 题 中 常 用 的 方 法. 例 9. 当 P( m, ) 为 圆 x ( y) 上 任 意 一 点 时, 不 等 式 m c 0 恒 成 立, 则 c 的 取 值 范 围 是 ( ) A. c B. c Cc. Dc. 3

28 解 题 研 究 解 析 设 x cos, y si, 则 x y c si( ) c 0 恒 4 成 立, 即 c si( ), 设 4 f ( ) si( ), 只 要 4 c f( ) max, 故 得 c. 点 评 三 角 代 换 的 特 点 是 将 原 来 两 个 变 元 xy, 问 题 转 化 为 关 于 一 个 变 元 的 问 题, 通 过 换 元 达 到 减 元 的 目 的, 在 使 用 三 角 代 换 时, 一 定 要 注 意 新 变 量 与 原 变 量 间 的 取 值 范 围 是 否 一 致. 此 题 还 可 以 利 用 数 形 结 合 方 法 求 解, 略 解 如 下 : 由 m c 0, 可 以 看 作 是 点 P( m, ) 在 直 线 x y c 0 的 右 侧, 而 点 P( m, ) 在 圆 x 相 当 于 是 x ( y) 上, 实 质 ( y) 在 直 线 的 右 侧 并 与 它 相 离 或 相 切, 0 c 0 0 c c. 不 等 式 恒 成 立 的 题 型 和 解 法 还 有 很 多, 只 要 我 们 充 分 利 用 所 给 定 的 函 数 的 特 点 和 性 质, 具 体 问 题 具 体 分 析, 选 择 恰 当 简 便 的 方 法, 但 不 管 用 哪 种 方 法, 其 核 心 思 想 还 是 等 价 转 化, 抓 住 了 这 点, 才 能 以 不 变 应 万 变, 才 能 使 问 题 获 得 顺 利 解 决, 只 有 这 样 才 能 真 正 提 高 学 生 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力, 当 然 这 需 要 我 们 在 实 际 工 作 中 不 断 的 去 领 悟 体 会 和, 这 样 自 己 的 业 务 能 力 才 能 声 速 得 以 提 高. 利 用 柯 西 不 等 式 证 明 竞 赛 中 的 不 等 式 蔡 玉 书 ( 江 苏 省 苏 州 市 第 一 中 学 5006) 柯 西 不 等 式 也 是 一 个 重 要 的 不 等 式, 它 结 构 对 称, 近 年 来, 在 国 内 外 的 数 学 竞 赛 题 中, 越 来 越 多 地 出 现 与 之 有 关 的 题 目, 灵 活 而 巧 妙 地 应 用 柯 西 不 等 式, 往 往 使 一 些 难 题 迎 刃 而 解, 甚 至 收 到 出 奇 制 胜 事 半 功 倍 的 效 果. 柯 西 不 等 式 设 a,a,,a ;b,b,,b 是 两 组 实 数, 则 有 ak bk akbk k k k ( ). 其 中 等 号 成 立 当 且 仅 当 a a a =b b b 时. 常 数 的 巧 拆 这 是 柯 西 不 等 式 的 常 用 技 巧. 在 柯 西 不 等 式 中 把 变 量 b b b 都 取 为, 得 到 一 个 不 等 式 (a + a + + a ) (a + a + + a ). 这 个 不 等 式 的 应 用 广 泛, 它 实 际 上 就 是 将 常 数 拆 成 + + +, 这 一 技 巧 是 应 该 掌 握 的. 例. 设 x,x,,x 为 任 意 实 数, 证 明 : x +x + x +x + x + +x < IMO 预 选 题 ) x +x + x 证 明 : 由 柯 西 不 等 式, 得 [ x +x + x +x + x + +. ( 第 4 届 + + x +x + x ] x [( ) + + +x +x ( x +x + x ) + + 4

29 利 用 柯 西 不 等 式 证 明 竞 赛 中 的 不 等 式 x ( +x + x + +x ) ]. 对 k, 有 ( +x + x + +x ) k x k (+x + x + +x k ) x k (+x +x + +x k )(+x +x + +x k ) +x +x - + +x k- +x +x + +x k. x 对 于 k=, 有 ( +x ) x =- +x x +x. 所 以 ( +x ) x +( +x + x ) + x x k +( +x + x + +x ) - x +x +x + +x, 从 而 [ +x + x +x + x + + +x + x + +x ] x x x <, 故 +x + +x + x + + x +x + x + +x <. 由 上 述 证 明 过 程 可 以 得 到 : 设 x, x,,x 为 任 意 实 数, 且 x + x + + x x =, 则 + +x +x x x +x + x + +x < 鲜 数 学 奥 林 匹 克 试 题 ) 项 的 巧 拆 x.(005 年 朝 柯 西 不 等 式 的 项 数 的 选 取 是 证 题 的 一 个 关 键, 这 需 要 我 们 将 一 些 项 巧 妙 地 拆 开, 为 运 用 柯 西 不 等 式 创 造 条 件. 例 已 知 a,b,c,x,y,z 是 正 实 数, 且 x+ (xy+yz+zx)(ab+bc+ca) a+b+c. (00 年 乌 克 兰 数 学 奥 林 匹 克 试 题 ) 证 明 由 柯 西 不 等 式 得 ax+by+cz+ (xy+yz+zx)(ab+bc+ca) x +y +z a +b +c + (xy+yz+zx) (ab+bc+ca) x +y +z +(xy+yz+zx) a +b +c +(ab+bc+ca)=(x+y+z)(a +b+c)= a+b+c. 本 题 连 续 两 次 利 用 柯 西 不 等 式, 第 一 次 对 两 组 数 (a,b,c) 和 (x,y,z); 第 二 次 对 两 组 数 ( x +y +z, (xy+yz+zx) ) 和 ( a +b +c, (ab+bc+ca)). 3 位 置 的 巧 换 柯 西 不 等 式 中 诸 量 a,a,,a ;b,b,,b 具 有 广 泛 的 选 择 性, 任 两 个 元 素 a i,a j 的 交 换, 可 得 到 不 同 的 不 等 式, 需 要 灵 活 应 用. 例 3 设 x, x,, x 是 正 数, 且 证 :( i= x i)( i= +x i ) (006 年 国 家 集 训 队 考 试 题 ) 证 明 由 柯 西 不 等 式 得 x + + x +x +x 3 + +x 从 而 + i= x i=, 求 x + x + -, x + x + + x +x (+-x )(x + -) = (+x ) +-x - + (+x ), y + z =, 证 明 :ax + by + cz + 5

30 解 题 研 究 同 理 +-x - + (+x ), x + x + + x +x x + x + + x +x 将 不 等 式 6 代 入 3 得 i= +. 所 以, ( +-x i - + (+x i ) i= 7 x i)( i= +x i ) x - + (+x ). 将 上 面 个 不 等 式 相 加 得 ( ) +x i i= +-x i - + (+x i ). 又 由 柯 西 不 等 式 得 i= +-x i - + (+x i ) i= i=+x i x i)( i= 4 项 的 巧 添 有 时 求 最 值 或 证 明 不 等 式 不 能 直 接 应 用 柯 西 不 等 式, 添 加 适 当 的 常 数 项 或 和 为 常 数 的 各 项, 就 可 运 用 柯 西 不 等 式. 例 4 设 a b c d 是 正 实 数, 满 足 ab+cd=, 点 P i (x i,y i )(i=,,3,4) 是 以 原 点 为 圆 心 的 单 位 圆 上 的 四 个 点. 求 证 :(ay +by +cy 3 +dy 4 ) +(ax 4 +bx 3 +cx +dx ) ( a +b +d ab +c cd ). (003 年 中 国 数 学 奥 林 匹 克 试 题 ) 证 明 :(ay +by +cy 3 +dy 4 ) +(ax 4 +bx 3 +cx +dx ) (ay +by +cy 3 +dy 4 ) +(ax 4 +bx 3, 4 +. 由 柯 西 不 等 式 得 Σ (+x i=+x i ) i i= 又 i= x i =, 所 以, 5 由 不 等 式 5 得 +- + Σ +x i i= = i= +x i +cx +dx ) +(ax -bx +cx 3 -dx 4 ) +(ay 4 -by 3 +cy -dy ) =( ab ay +by ab cd cy 3+dy 4 cd ) +( ab ax 4+bx 3 ab cd cx +dx cd ) +( ab ax -bx ab cd cx 3-dx 4 cd ) +( ab ay 4-by 3 ab cd cy -dy cd ) (ab+cd)[( ay +by ab ( cy 3+dy 4 cd ) ]+(ab+cd)[( ax 4+bx 3 ab ( cx +dx cd ) ]+ (ab+cd)[( ax -bx ab ) + ) + ) + 6

31 利 用 柯 西 不 等 式 证 明 竞 赛 中 的 不 等 式 ( cx 3-dx 4 cd ) ]+(ab+cd)[( ay 4-by 3 ab ) + ( cy -dy cd ) ]= a +b +ab(y y -x x ) + ab c +d +cd(y 3 y 4 -x 3 x 4 ) + cd a +b +ab(x 3 x 4 -y 3 y 4 ) + ab c +d +cd(x x -y y ) =( a +b cd ab + c +d cd ). 的 关 键. 5 元 素 的 巧 选 选 择 恰 当 的 元 素 是 利 用 柯 西 不 等 式 例 5. 已 知 a,b,c 是 非 负 数, 证 明 :a + b + c b -bc+c c -ca+a + c -ca+a a -ab+b + a -ab+b b -bc+c.(000 年 越 南 数 学 奥 林 匹 克 试 题 ) 证 明 : 由 柯 西 不 等 式 得 (b -bc+c )(c -ca+a )=[(c- b ) b ][(c- a ) a ] [(c- b )(c-a )+3 4 ab]. ab. 所 以, b -bc+c c -ca+a (c- b )(c-a )+3 4 同 理, c -ca+a a -ab+b (ac )(c-b )+3 4 bc, bc, a -ab+b b -bc+c (b- a )(b-c )+3 4 三 个 不 等 式 相 加 得 b -bc+c c -ca+a + c -ca+a a -ab+b + a -ab+b b -bc+c a +b +c. 6 因 式 的 巧 嵌 由 于 柯 西 不 等 式 有 三 个 因 式, 而 大 多 数 题 中 只 有 一 个 或 两 个 因 式, 为 应 用 柯 西 不 等 式, 需 要 巧 妙 地 嵌 上 一 个 因 式, 此 因 式 嵌 入 后 的 目 的 是 为 了 出 现 题 中 的 因 式, 而 往 往 嵌 上 的 因 式 的 和 是 定 值, 再 出 现 的 因 式 a k b k 也 是 定 值, 或 者 可 以 放 缩. a 3 例 6. 已 知 a,b,c 都 是 正 数, 证 明 : b3 c3 (a+b) 3 + (b+c) 3 + (c+a) (005 年 越 南 数 学 奥 林 匹 克 试 题 ) 证 明 : 由 柯 西 不 等 式 得 a 3 b3 [ (a+b) 3 + (b+c) 3 + (c+a) 3 ] [a(a+b) 3 +b(b+c) 3 +c(c+a) 3 ] (a +b +c ). 下 面 证 明 8(a +b +c ) 3[a(a+b) 3 +b(b+c) 3 +c(c+a) 3 ]. 即 证 5(a 4 +b 4 +c 4 )+7(a b +b c + c a ) 9(a 3 b + b 3 c + c 3 a) + 3(ab 3 + bc 3 + ca 3 ). 因 为 4a 4 +b 4 +7a b -9a 3 b-3ab 3 =a 4 -a b +b 4 +3a 4-9a 3 b +9a b -3ab 3 =(a -b ) +3a(a-b) 3 = (a-b) (4a -ab+b ) 0, 所 以 4a 4 +b 4 +7a b 9a 3 b+3ab 3, 同 理, 4b 4 +c 4 +7b c 9b 3 c+3bc 3, 4b 4 +c 4 +7b c 9b 3 c+3bc 3, c3 将 这 三 个 不 等 式 相 加 得 5(a 4 +b 4 + c 4 )+7(a b +b c +c a ) 9(a 3 b+b 3 c+c 3 a) +3(ab 3 +bc 3 +ca 3 ). 7 待 定 参 数 的 巧 设 为 了 创 造 条 件 应 用 柯 西 不 等 式, 我 们 常 引 进 待 定 参 数, 其 值 的 确 定 由 题 设 或 由 等 号 成 立 的 充 要 条 件 共 同 确 定. 7

32 解 题 研 究 3 例 8 设 x 5, 证 明 不 等 式 x+ + x x< 9..(003 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 试 题 ) 证 明 : 由 柯 西 不 等 式 得 ( x-3+ x++ 5-3x) (λ +λ +λ 3 )(μ (x+) +μ (x-3)+μ 3 (5-x)). 其 中 λ,λ,λ 3,μ,μ,μ 3 为 待 定 常 数. 取 λ =, λ =, λ 3 = 3 4,μ =,μ =,μ 3 =4 得 ( x x x) 3 ( ( x ) x 3 5 x) 3 ( )[( x ) (x 3) 4(5 x)] 所 以 x x 3 5 3x 9 这 里 我 们 证 明 了 5 x x 3 5 3x 9, 4 用 几 何 画 板 演 示 可 以 知 道 此 结 果 比 函 数 y x x 3 5 3x 实 际 最 大 值 仅 有 万 分 之 二 的 误 差. 8 局 部 的 巧 用 有 些 不 等 式 的 证 明 需 要 对 局 部 使 用 柯 西 不 等 式 多 次, 从 而 简 化 运 算, 通 过 对 局 部 的 控 制 达 到 对 整 体 的 控 制. 例 8 设 a,b,c 是 正 数, 证 明 : ab 3a+4b+5c + bc 3b+4c+5a + ca 3c+4a+5b (a+b+c).(006 年 保 加 利 亚 国 家 集 训 队 试 题 ) 证 明 由 柯 西 不 等 式 得 [(a+b)+(a +c)+3(b+c)]( a+b + a+c + 3 b+c ) ( 3 b+c ), 所 以 3a+4b+5c 36 ( a+b + a+c + 3ab b+c ), 同 理, ab 3a+4b+5c 36 ( ab a+b + ab a+c + bc 3b+4c+5a 36 ( bc b+c + bc a+b + 3bc a+c ), ca 3c+4a+5b 36 ( ca a+c + ca b+c + 3ca a+b ), 将 最 后 的 3 写 成 + 得 ab 3a+4b+5c + bc 3b+4c+5a + ca 3c+4a+5b 36 ( ab a+b + bc b+c + ca a+c )+ 36 ( ab b+c + bc a+c + ca a+b )+ 8 ( ab a+c + bc a+c )+ 8 ( ab b+c + ca b+c )+ 8 ( ca a+b + bc a+b ) 36 ( ab a+b + bc b+c + ca a+c )+ 36 ( ab b+c + bc a+c + ca a+b )+ 8 (a+b+c) = 36 (a(b+c) a+b +b(c+a) b+c +c(a+b) a+c )+ 8 (a+b+c). c. 下 面 证 明 a(b+c) a+b +b(c+a) b+c +c(a+b) a+c a+b+ a(b+c) a+b +b(c+a) b+c +c(a+b) a+c a+b+c a(a+c)(b+c) +b (a+b)(a+c) +c(b+ c)(a+b) (a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a) 5abc(a+b+c)+(a 3 b+b 3 c+c 3 a)+ (a b +b c +c a ) 4abc(a + b + c) + (a 3 b + b 3 c + c 3 a) + (ab 3 +bc 3 +ca 3 ) +(a b +b c +c a ) abc(a + b + c) ab 3 + bc 3 + ca 3 ++3) =36. 8

33 利 用 柯 西 不 等 式 证 明 竞 赛 中 的 不 等 式 b c +c a +a b a+b+c. 由 柯 西 不 等 式 得 ( b c +c a +a b )(c+a+b) (a+b+c). b 即 c +c a +a b a+b+c. 从 而 ab 3a+4b+5c + ca 3c+4a+5b (a+b+c). 9 变 量 代 换 的 巧 引 bc 3b+4c+5a + 为 了 应 用 柯 西 不 等 式, 我 们 可 引 进 适 当 的 变 量 代 换. 例 9 已 知 x,y,z 是 正 数, 求 证 : y z+x + z x+y 塞 尔 维 亚 数 学 奥 林 匹 克 试 题 ) 证 明 令 a = x x+y+z, c = 不 等 式 化 为 证 明 a b+c + x y+z + 3 (x+y+z).(005 年 x x+y+z, b = x x+y+z. 则 a+b+c=. 原 b c+a + 由 柯 西 不 等 式 得 c a+b 3 a b+c + c a+b = a a b+c + b b c+a + c c a+b (a+b+c) a b+c+b c+a+c a+b a b+c+b c+a+c a+b. 再 由 柯 西 不 等 式 得 b c+a + = a b+c+b c+a+c a+b = a ab+ca+ b bc+ab+ c ca+bc (ab+bc+ca), a+b+c ab+ca+bc+ab+ca+bc = 而 ab+bc+ca 3 (a+b+c) = 3, 所 以, (ab+bc+ca) 3, a b+c+b c+a+c a+b 3. 0 项 的 巧 裂 为 了 吻 合 题 中 的 某 些 常 数, 有 意 将 因 式 中 的 项 分 裂 分 组. 这 种 技 巧 性 之 妙, 实 在 读 后 令 人 回 味 无 穷. 例 0. 设 a,a,,a 是 正 数, mi{a,a,,a }=a,max{a,a,,a }= a, 证 明 不 等 式 : a + +a (a +a + +a ) + (a -a ).(99 年 陕 西 省 数 学 奥 林 匹 克 夏 令 营 试 题 ) 证 明 : 因 为 a,a,,a 是 正 数, 所 以 由 柯 西 不 等 式 得 [( a +a ) +( a +a ) +a 3 +a 4 + +a ] =(+++ +)[( a +a +a 3 +a 4 + +a ] ) +( a +a [( a +a )+( a +a )+a 3 + +a ]. 所 以, ( a +a ) ) +( a +a ) +a 3 +a a (a +a + +a ). 两 端 同 时 加 上 (a -a ) 得 a +a + +a (a +a + +a ) + (a -a ). 与 其 他 不 等 式 的 联 用 有 些 不 等 式 的 证 明 除 了 需 要 对 柯 西 不 9

34 解 题 研 究 等 式 反 复 使 用 多 次 外, 还 需 要 和 均 值 不 等 式 Schur 不 等 式 等 其 他 重 要 的 不 等 式 联 合 使 用, 但 这 些 不 等 式 的 使 用 必 须 注 意 等 号 成 立 的 条 件 不 能 前 后 矛 盾, 必 须 相 互 一 致. 例 设 正 数 a, b, c, x, y, z 满 足 cy +bz=a;az+cx=b;bx+ay=c. 求 函 数 f(x, y, z) = x y z +x + +y + 的 最 小 +z 值. (005 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 加 试 题 ) 解 由 条 件 得 x = b +c -a, y = bc a +c -b, z = a +b -c ac ab + y = 于 是 +x = (b+c-a)(a+b+c), bc (a+c-b)(a+b+c) ac (a+b-c)(a+b+c), ab 故 f(x, y, z)=, + z = x +x + y +y + z +z = (b +c -a ) bc(b+c-a)(a+b+c) + (a +c -b ) ac(a+c-b)(a+b+c) + (a +b -c ) ab(a +b-c)(a+b+c) 在 柯 西 不 等 式 ( x + x + x 3 )(y y y y +y + 3 y 3 ) (x +x +x 3 ) 中, 令 x = b +c -a, x = a +c -b, x 3 = a +b -c, y = bc(b+c-a), y =ac(a +c-b), y 3 =ab(a +b-c), 得 f(x, y, z) (a +b +c ) (a+b+c)(b c+bc +a c+ac +a b+ab -3abc) 下 面 证 明 即 a 4 +b 4 +c 4 a 3 b+a 3 c+b 3 a+b 3 c+ c 3 a+c 3 b-abc(a+b+c), 即 a (a-b)(a-c)+b (b-a)(b-c)+ c (c-a)(c-a) 0, 这 是 著 名 的 Schur 不 等 式. 两 角 和 公 式 中 的 合 则 必 分, 分 则 必 合 --- 例 谈 两 角 和 与 差 的 正 切 公 式 在 处 理 两 角 的 拆 分 方 面 的 优 势 刘 必 炜 ( 福 建 省 福 州 市 连 江 县 QQ:904395) 日 常 教 学 实 践 中, 教 师 在 遇 到 与 正 切 公 式 相 关 的 运 算 问 题 时, 通 常 跟 学 生 强 调 化 切 为 弦 的 方 法, 即 根 据 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式, 将 正 切 公 式 转 化 为 学 生 们 较 为 熟 悉 且 经 常 应 用 的 正 余 弦 问 题 进 行 运 算 求 解, 这 在 一 定 程 度 上 导 致 我 们 忽 视 了 对 正 切 公 式 在 灵 活 应 用 方 面 的 尝 试 与 探 讨. 本 文 主 要 针 对 两 角 和 与 差 的 正 切 公 式 在 处 理 两 角 分 分 合 合 方 面 的 优 越 性 做 些 初 步 阐 述, 欢 迎 读 者 批 评 指 正. 与 韦 达 定 理 的 巧 妙 融 合 例 题 ( 人 教 A 版 必 修 四, 习 题 3., A 组 题 0) 已 知 ta, ta 是 方 程 x 3x 7 0 的 两 个 实 数 根, 求 ta 的 值. 解 答 依 题 意, 由 根 与 系 数 的 关 系 30

35 两 角 和 公 式 中 的 合 则 必 分, 分 则 必 合 3 可 知 : t a t a =, 7 ta ta ; 则 ta ta ta = =. ta ta 3 评 析 这 是 一 道 常 规 题, 结 合 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 ( 韦 达 定 理 ), 考 查 两 角 和 的 正 切 公 式 的 应 用 及 运 算 求 解 能 力. 又 如 :0 年 重 庆 卷 理 科 第 5 题 就 是 将 本 题 中 的 数 字 更 改 下 而 命 成 的. 将 两 角 化 整 为 零, 直 取 所 求 方 向 例 题 (03 年 全 国 Ⅱ 卷 理 科, 第 5 题 ) 设 为 第 二 象 限 角, 若 ta =, 4 则 si cos =. 解 法 由 两 角 和 的 正 切 公 式 : ta ta ta = 4 =, 解 4 ta ta 4 得 : ta = 根 据 同 角 基 本 关 系 式 知 : 3 si ta, 且 si cos, cos 3 又 为 第 二 象 限 角 ; 0 0 si, cos ; 因 此 : si cos =. 0 解 法 由 两 角 和 的 正 切 公 式 : ta ta ta = 4 =, 解 4 ta ta 4 得 : ta =, 则 3 sisi cos cos si cos sicos tata = ta 5 又 为 第 二 象 限 角, 3 k 4 si cos 0, 0 因 此 : si cos =. 0 ta = 3 k, 评 析 该 题 涉 及 的 知 识 点 : 两 角 和 的 正 切 公 式, 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 ; 要 求 考 生 能 根 据 所 给 的 公 式 进 行 变 形, 考 查 了 逻 辑 思 维 能 力 和 转 化 思 想. 以 上 两 种 解 法, 孰 优 熟 劣, 只 要 根 据 计 算 量 已 经 不 言 而 喻 矣. 例 题 3 (0 年 江 苏 卷, 第 5 题 ) 在 ABC 中, 已 知 AB AC 3 BA BC. () 求 证 : ta B 3ta A; () 5 若 cos C, 求 A 的 值. 5 5 解 答 ( ) 略 ;() 因 为 cos C, C, 所 以 sic 5 tac, 于 是 C ta A B, 从 而 ta =, 化 简 得 t a B A, 亦 即 3

36 解 题 研 究 ta A ta B, ta A ta B 解 得 : 4 ta A 由 题 () 可 得 :, 3ta A ta A 或 ta A 3 ; 因 为 cosa 0, 所 以 ta A ; 因 此 A. 4 评 析 一 般 情 况 下, 解 答 题 的 两 小 题 之 间 会 有 相 关 性, 由 第 小 题 的 证 明 结 论 知, 第 小 题 的 解 题 思 路 就 自 然 而 然 地 会 往 正 切 公 式 方 向 靠 拢, 先 将 A,B 两 角 拆 开, 再 转 化 为 所 要 求 的 角 进 行 运 算. 3 巧 设 两 直 角 边 关 系, 统 一 三 个 角 间 的 关 系 在 某 些 情 况 下, 需 要 将 两 角 独 立 分 开 计 算, 并 且 又 涉 及 到 直 角 三 角 形 中 边 角 关 系 时, 正 切 公 式 的 优 越 性 就 能 充 分 体 现 出 来 了. 例 题 4:( 03 年 浙 江 卷 理 科, 第 6 题 ) 在 ABC 中, C 90, M 是 BC 的 中 点, 若 si BAM si BAC. 3, 则 解 答 令 AC, 设 BC t, 则 在 ABC 中, BC t ta A t 错 误! AC 未 定 义 书 签, 由 si BAM 可 得 : 3 ta BAM 4, 其 中 BAC BAM MAC, 则 ta A ta BAM MAC = ta BAM ta MAC ta BAM ta MAC = 4 t t 联 立 方 程 和, 解 得 t ; 则 BC, AB 3, 因 此 si BAC BC BA 评 析 本 题 的 关 键 点 : 根 据 已 知 条 件, 求 出 ABC 中 任 意 两 边 的 关 系, 即 可 求 得 si A 的 值. 既 然 是 填 空 题, 因 此 可 利 用 特 殊 值 减 少 未 知 数 与 计 算 量, 同 时 也 有 利 于 两 角 和 的 正 切 公 式 在 三 个 三 角 形 中 的 综 合 应 用! 列 举 该 题 的 目 的 在 于 说 明 正 切 公 式 在 处 理 两 角 分 离 与 合 并 方 面 的 优 越 性, 至 于 其 它 解 法 无 关 乎 正 切 公 式, 本 文 就 不 赘 述 了. 结 束 语 : 两 角 和 与 差, 配 凑 来 转 化, 分 分 与 合 合, 巧 思 得 妙 解. 不 妨 想 起 正 切 公 式! 一 道 高 考 练 习 题 的 解 法 探 究 罗 扬 ( 重 庆 市 长 寿 中 学 校 ) 数 学 是 辩 证 的 辅 助 工 具 和 表 达 形 式 ( 恩 格 斯 语 ). 数 学 中 充 满 着 矛 盾, 也 含 着 极 其 丰 富 的 辩 证 因 素. 在 数 学 解 题 中, 若 能 运 用 辩 证 的 观 点 分 析 矛 盾, 揭 示 联 系, 3

37 一 道 高 考 练 习 题 的 解 法 探 究 把 握 事 物 发 展 变 化 的 规 律, 进 而 恰 当 合 理 地 进 行 思 维 转 换, 常 常 能 化 繁 为 简, 化 难 为 易, 为 解 题 带 来 新 的 生 机, 甚 至 使 问 题 绝 处 逢 生, 柳 暗 花 明. 这 对 激 活 学 生 的 思 维 优 化 思 维 品 质 和 培 养 学 生 的 创 新 意 识 及 辩 证 唯 物 主 义 的 观 点 都 是 极 为 重 要 的 有 效 途 径. 笔 者 从 事 教 育 数 学 行 业 不 到 3 年, 养 成 了 一 个 习 惯 : 在 习 题 课 之 前, 不 会 提 前 将 所 要 求 讲 的 习 题 精 心 做 一 遍, 而 是 直 接 拿 到 课 堂 上 去 讲. 而 这 个 习 惯 不 为 其 他 人 所 认 同, 甚 至 被 领 导 认 为 是 偷 懒 不 备 课, 但 笔 者 坚 信 是 正 确 的. 因 为 笔 者 始 终 坚 信 这 样 可 以 给 学 生 讲 自 己 在 分 析 一 道 题 时 从 哪 里 入 手, 联 系 哪 些 问 题 知 识 点 的 第 一 感 觉, 这 一 定 是 学 生 所 需 要 的. 后 来 在 马 明 老 师 的 中 学 数 学 教 学 四 十 年 回 顾 中 的 认 识 教 学 板 块 看 到 一 句 这 样 的 话 就 讲 老 师 您 是 怎 样 从 困 境 中 挣 脱 出 来 的, 才 突 然 觉 得 自 己 不 就 是 一 直 在 做 这 种 事 情 吗? 笔 者 认 为 如 果 提 前 做 了 习 题, 那 么 在 讲 解 的 时 候 就 将 老 师 在 做 题 时 的 自 身 的 思 维 过 程 中 失 败 的 部 分 隐 瞒 了, 对 学 生 来 说, 最 有 意 义 和 最 有 启 发 的 东 西 被 老 师 无 形 抽 掉 了, 学 生 看 不 到 你 是 怎 样 从 困 境 中 挣 脱 出 来 的. 所 以 笔 者 一 直 坚 持 着 这 个 习 惯, 虽 然 有 些 时 候 碰 到 自 己 一 时 无 法 解 决 的 题 目 挂 在 讲 台 上, 丢 了 面 子, 但 是 这 样 持 续 下 去, 收 获 颇 多, 尤 其 是 从 学 生 那 得 到 的 收 获, 可 谓 是 惊 喜 一 阵 阵 袭 来. 下 面 笔 者 就 自 身 亲 身 经 历 来 谈 一 堂 习 题 课 的 教 学. 问 题 : 关 于 x 的 方 程 ax x 0 至 少 有 一 个 正 的 实 根, 则 a 的 取 值 范 围 是 A. a 0 B. a 0 C. a 0 或 a 0 D. a 这 道 题 是 我 校 高 三 模 拟 考 试 试 卷 中 的 第 7 题, 难 度 中 等, 对 于 实 验 班 的 学 生 基 本 上 都 可 以 解 决, 并 且 据 笔 者 调 查,70% 做 对 的 学 生 都 是 用 特 殊 值 法 来 进 行 解 决 的, 而 考 后 用 常 规 方 法 去 重 新 解 决 该 题 的 学 生 少 之 又 少. 那 么 我 们 首 先 来 看 下 特 殊 值 法 的 解 法. 解 法 : 特 殊 值 法 : 令 a 0, 则 方 程 变 成 x 0, 解 得 方 程 为 x, 满 足 题 设, 所 以 可 以 排 除 B, C 两 个 选 项, 再 看 A, D 中 的 答 案, 令 a, 方 程 可 以 变 为 x x 0, 解 得 方 程 为 x, 满 足 题 设, 排 除 A 选 项, 选 D. 但 是 这 道 题 单 单 只 用 特 殊 值 法 解 决, 不 仅 仅 是 没 有 弄 明 白 这 道 题 的 真 正 用 意 以 及 考 查 的 知 识 板 块, 还 会 给 学 生 带 来 一 种 做 对 了 就 可 以 了 的 消 极 思 想, 对 学 生 的 数 学 能 力 以 及 数 学 素 养 的 培 养 起 不 到 一 丁 点 的 作 用. 因 此 我 们 需 要 去 寻 找 一 般 方 法 来 对 其 进 行 解 决. 当 笔 者 在 课 堂 上 讲 到 这 一 点 的 时 候, 要 求 学 生 给 出 自 己 的 想 法 的 时 候. 很 多 学 生 都 能 说 出 一 种 方 法 : 一 元 二 次 函 数 实 根 分 布 问 题. 那 么 下 面 我 们 就 要 一 元 二 次 函 数 的 实 根 分 布 来 解 决 该 题. 解 法 : 一 元 二 次 函 数 的 实 根 分 布 : 若 从 正 面 来 进 行 考 虑, 分 析 如 下 : 当 a 0, 则 解 得 方 程 为 x, 满 足 题 设. 当 a 0 时, 要 求 ax x 0 至 少 有 一 个 正 的 实 根, 就 会 有 多 种 情 况 : 两 个 正 33

38 解 题 研 究 根 ; 个 正 根 个 负 根 ;3 一 个 正 根, 一 个 零 根. 另 外 由 于 a 的 正 负 问 题 没 有 确 定, 那 么 这 个 一 元 二 次 函 数 f x ax x 的 开 口 方 向 没 有 确 定, 那 么 以 上 3 种 情 况 就 会 变 成 6 种. 当 笔 者 在 班 上 讲 解 该 方 法 引 导 到 这 里 的 时 候, 学 生 的 畏 难 情 绪 来 了 : 这 么 复 杂, 用 特 殊 值 法 就 可 以 解 决 了 嘛! 但 是 被 笔 者 一 句 话 给 打 落 下 去 : 这 道 题 万 一 出 在 填 空 题 或 者 大 题 的 时 候, 你 还 能 用 特 殊 值 法 去 解 决 吗? 然 后 笔 者 继 续 引 导 学 生 进 行 思 考 : 既 然 这 种 方 法 这 么 复 杂, 那 么 我 们 可 不 可 以 通 过 这 个 函 数 的 特 征 来 去 掉 几 种 情 形 的 讨 论, 让 其 变 得 简 单 化? 笔 者 叫 学 生 将 以 上 六 种 情 况 分 别 画 出 : a 0 0 6: 0 a 0 a, 解 出 a 0 综 合 最 开 始 证 明 的 a 0 的 情 形, 就 可 以 得 出 a 的 范 围 为 a. 这 个 题 本 身 到 这 里 就 可 以 结 束 了, 但 若 教 师 在 讲 解 到 这 个 地 方 就 结 束 了, 就 浪 费 了 一 份 非 常 好 的 提 升 学 生 数 学 能 力 和 素 养 的 材 料. 大 多 数 老 师 都 认 同 数 学 教 学 上 的 一 个 教 法 :, 而 去 否 定 0 的 题 海 教 法, 但 是 就 是 不 知 道 怎 么 在 自 己 的 课 堂 上 来 真 正 地 正 常 实 施. 其 实 很 简 单, 就 是 引 发 学 生 兴 趣, 提 高 学 生 y 3 对 数 学 的 兴 趣, 让 他 们 能 自 主 地 去 想. 做 到 这, 笔 者 给 学 生 们 搭 了 一 个 梯 子, 恰 到 好 处 的 梯 子, 问 : 刚 才 我 们 是 从 正 面 O 然 后 让 学 生 对 着 这 图 进 行 简 短 的 思 考, 学 生 发 现 在 这 个 函 数 中 的 常 数 项 确 定 了 很 多 信 息 : f 0, 函 数 f x 与 y 轴 的 交 点 要 在 y 轴 的 负 半 轴, 函 数 f x 0 没 有 零 根. 根 据 这 些 情 形 可 以 将 以 上 的 345 四 种 情 形 排 除, 只 剩 下 和 6. 那 么 这 个 情 况 的 讨 论 就 变 得 简 单 多 了. 下 面 对 比 着 和 6 的 图 像 来 对 其 来 进 行 讨 论 : a 0 0 : f 0, 解 出 a 0 x 的 情 况 去 进 行 求 解 的, 那 么 对 于 这 个 题 目 中 所 出 现 的 至 少, 我 们 凭 自 己 多 年 的 解 题 经 验 应 该 还 能 找 到 一 种 方 法. 下 面 学 生 马 上 就 提 出 了 从 反 面 考 虑, 至 少 一 个 正 根 的 反 面 就 是 没 有 正 根, 笔 者 要 求 学 生 自 己 按 照 这 个 思 路 自 己 在 位 置 上 进 行 解 决. 四 处 巡 查, 让 学 生 提 出 自 己 对 这 种 方 法 的 看 法, 学 生 们 都 有 一 个 直 观 想 法 : 这 种 方 法 虽 然 是 另 外 一 种 方 法, 但 是 和 正 面 去 思 考 这 个 题 目 的 方 法 是 换 汤 不 换 药, 同 样 要 考 虑 到 f 0 加 上 两 种 情 况 : 两 负 根, 没 有 根 ; 计 算 上 并 不 比 上 一 种 方 法 简 单 多 少. 而 笔 者 就 是 想 让 学 生 将 此 矛 盾 暴 露 出 来, 随 即 就 问 : 那 么 我 们 还 可 以 选 择 用 什 34

39 一 道 高 考 练 习 题 的 解 法 探 究 么 更 加 简 便 的 方 法 来 解 决 该 题 目 呢? 大 家 可 以 自 己 思 考 思 考. 学 生 们 在 下 面 冥 思 苦 想 了 几 分 钟, 还 是 没 想 到 什 么 方 法, 其 实 原 因 很 简 单, 就 是 刚 刚 用 了 两 次 一 元 二 次 函 数 的 实 根 分 布 问 题 去 解 决 该 题, 现 在 要 求 学 生 跳 出 这 种 方 法, 用 其 他 方 法 来 解 决, 是 比 较 困 难 的. 必 须 在 这 种 情 况 下 给 他 们 搭 一 个 思 维 上 的 桥, 所 以 笔 者 就 问 了 : 同 学 们 刚 才 所 做 的 是 从 实 根 分 布 上 面 来 考 虑, 而 实 根 分 布 说 难 不 难, 其 实 就 是 一 个 画 图 确 定 其 形 状 的 过 程, 而 我 们 考 虑 题 目 的 时 候 可 以 从 某 些 字 眼 出 发 去 考 虑, 对 于 至 少 我 们 刚 才 考 虑 了, 就 得 到 了 一 种 反 面 思 考 的 方 法, 那 么 我 们 还 可 以 从 这 个 题 目 的 哪 一 个 字 眼 出 发 来 考 虑 呢? 笔 者 将 题 目 重 新 读 了 一 次, 在 有 一 个 正 的 实 根 上 加 重 了 读 音, 学 生 发 现 了. 但 依 旧 是 感 觉 自 己 到 了 球 门 口, 差 的 就 是 临 门 一 脚. 笔 者 在 黑 板 上 写 了 如 下 几 个 字, 用 箭 头 进 行 了 联 系 : 实 根 解 交 点 然 后 笔 者 将 ax bx c 0 有 两 个 实 根 这 个 熟 悉 的 问 题 抛 出, 问 学 生 们 能 想 到 什 么. 学 生 们 答 案 众 多, 笔 者 让 学 生 f x ax x 与 x 轴 至 少 有 一 个 以 上 的 交 点, 并 且 交 点 的 横 坐 标 必 须 要 大 于 0. 但 学 生 立 马 就 提 出 了 自 己 的 看 法 : 这 个 不 就 是 刚 才 说 的 实 根 分 布 问 题 吗? 笔 者 肯 定 了 他 们 的 想 法, 但 是 又 说 ax g x bx c0 ax 难 道 就 只 能 看 成 bx c 与 x 轴 有 两 个 交 点 吗? 不 能 够 有 其 他 看 法 吗? 比 如 说 ax bx c 有 两 个 解, 有 两 个 交 点, 或 者 说 f x ax 的 图 像 与 gx bx c 的 图 像 有 两 个 交 点. 下 面 马 上 就 有 学 生 说 了 : 这 不 是 我 们 以 前 做 过 的 几 解 问 题 看 图 像 交 点 吗? 在 此, 笔 者 继 续 引 导 学 生 去 考 虑 原 题. ax 学 生 都 能 将 原 题 改 写 成 与 gx x 在 x 0 上 至 少 有 一 个 以 上 的 交 点, 然 后 画 图 解 决. 这 便 是 解 法 3. 解 法 3: 数 形 结 合 : f x 与 g x 的 图 像 如 下, 但 是 f x 的 图 像 有 三 种 类 型 : a 0, a 0, a 0. y a>0 f x 根 据 画 出 的 箭 头 来 整 理 思 考. 实 根 : a 0, 0. O (0,) (,) x 解 : 求 根 公 式 交 点 : gx ax bx c 与 x 轴 有 a<0 y=-x 两 个 交 点. 那 么 再 回 顾 原 题, 笔 者 对 题 设 进 行 了 改 写 : 关 于 x 的 方 程 ax x 0 至 少 有 一 个 正 的 实 根, 可 以 看 作 在 图 中 的 表 达 就 是 在 y 轴 右 侧 的 图 像 以 及 x 的 正 半 轴, 而 由 图 可 以 清 晰 的 得 到 当 a 0时, 是 满 足 题 设 条 件 的, 但 是 当 a 0 时, 要 考 虑 两 种 情 形, 一 个 35

40 解 题 研 究 交 点 和 两 个 交 点, 同 时 要 求 考 虑 到 初 中 所 学 的 知 识 y ax,a 越 大, 开 口 越 小,a 越 小, 开 口 越 大, 因 此 考 虑 到 临 界 状 态 也 就 是 f x 与 g x 相 切 的 时 候, 也 就 是 下 图 : y y=ax(a<0) y = x - (x>0) y=ax(a>0) ax x 0 的 情 况 下, 0, 这 个 时 候 a, 由 图 像 可 以 知 道, 当 开 口 越 大 的 时 候, 交 点 个 数 就 变 成 了 两 个, 因 此 a 0, 综 上 所 述, a. 当 这 道 题 在 大 家 的 思 考 下 用 这 种 方 法 来 解 决 的 时 候, 学 生 发 现 了 数 学 的 美, 更 加 积 极 的 去 探 讨 这 个 题 的 更 加 简 便 方 法. 笔 者 反 问 学 生 这 种 解 法 的 优 点 是 避 免 了 讨 论, 最 大 的 难 点 就 是 初 中 所 学 的 知 识 y ax, a 越 大, 开 口 越 小, a 越 小, 开 口 越 大. 但 是 我 们 应 该 可 以 找 到 更 佳 的 方 法 来 避 免 这 个 难 点 出 现, 因 此 笔 者 也 在 此 时 给 予 学 生 莫 大 的 表 扬 和 鼓 励, 让 他 们 的 思 维 更 加 扩 展 化. 下 面 就 是 班 上 一 名 数 学 成 绩 比 较 差 的 学 生 甲 和 两 名 数 学 成 绩 优 秀 的 学 生 乙 丙 对 此 题 一 步 一 步 剖 析 得 到 的 三 种 解 法. 这 三 种 解 法 都 是 建 立 在 解 法 3 上, 但 是 比 解 法 3 更 加 简 单, 更 加 容 易 理 解 一 些. 合 ) 解 法 4 在 解 法 3 上 的 扩 展 ( 数 形 结 学 生 甲 独 立 思 考 不 久 提 出 : 可 以 从 y = - O 这 样 做 的 好 处 是, 很 容 易 在 上 图 中 的 发 现, 相 切 时 是 一 个 交 点, 当 a 大 于 这 个 临 界 点 的 时 候, 就 会 有 两 个 交 点, 避 免 了 解 法 3 中 的 难 点 出 现. 当 这 道 题 刚 刚 解 决 完 的 时 候, 学 生 甲 又 提 出 了 一 个 想 法, 说 对 于 他 刚 才 说 的 解 x 法 中 也 有 一 个 难 点, g x x 的 图 像 的 画 法 要 注 意 到 将 y 整 体 图 像 向 下 移 x 个 单 位 才 行, 但 是 他 提 出 了 将 上 式 可 以 变 成 ax, 从 而 将 原 题 变 成 x f x ax 与 gx 在 x 0 上 至 x 少 有 一 个 以 上 的 交 点, 而 这 样 的 好 处 是 g x 的 图 像 更 加 容 易 画, 而 f x 的 图 像 由 于 是 过 一 个 定 点 0,, 也 可 以 简 单 画 出 如 下 : ax x 入 手, 变 形 为 ax, x 随 即 就 将 原 题 改 写 成 f x ax 与 y y = ax + (a>0) g x 在 x 0 上 至 少 有 一 个 以 上 x y = (,0) y= x 的 交 点, 这 个 时 候 只 需 要 来 考 虑 这 样 一 条 过 原 点 的 直 线 的 斜 率 与 0 的 大 小 关 系, 如 O x y = ax + (a>0) 36

41 一 道 高 考 练 习 题 的 解 法 探 究 这 样 更 加 直 观 的 得 到 我 们 所 需 要 的 答 案. 对 该 同 学 的 想 法, 笔 者 给 予 了 充 分 的 肯 定 与 表 扬, 正 准 备 来 对 该 题 的 这 种 解 法 进 行 整 理 的 时 候, 学 生 乙 站 起 来 了, 说 他 在 学 生 甲 的 启 发 下 有 一 种 更 好 的 方 法. 笔 者 立 马 上 学 生 甲 进 行 了 他 的 思 路 整 理. 这 就 是 解 法 5. 解 法 5: 在 解 法 4 上 的 进 一 步 扩 展 ( 数 形 结 合 ) 学 生 乙 提 出 既 然 学 生 甲 可 以 将 一 个 x 除 过 去, 进 行 变 形, 他 将 x 都 除 过 去, 可 x 以 变 成 a, 这 样 就 可 以 看 做 x f x a 与 gx x 在 x 0 上 至 x 少 有 一 个 以 上 的 交 点, 这 样 的 好 处 就 是 将 f x 画 成 了 一 系 列 平 行 x 轴 的 直 线. 但 是 在 这 个 时 候 笔 者 反 问 了 学 生 乙 g x 的 图 像 怎 么 画 呢, 学 生 乙 稍 微 停 顿 了 下, 就 说, 可 以 求 导, 然 后 根 据 其 单 调 性 的 区 间 画 出 大 致 图 像, 笔 者 肯 定 了 他 的 想 法, 说 求 导 可 以, 但 是 那 样 就 更 加 复 杂 了. 他 立 马 又 提 出 一 种 让 人 感 到 无 比 惊 叹 的 画 法 : 将 g x x, 令 t, x x x x 由 于 x 0, 所 以 0, t 因 此 g x 幻 成 t t tt 0 的 图 像 可 以 变 g 的 图 像, 如 下 : y 很 直 观 明 了 的 就 可 以 得 到 a 的 范 围 是 a. 笔 者 到 此 不 仅 为 学 生 的 投 入 感 觉 到 欣 慰 和 欣 喜, 还 为 学 生 乙 的 数 学 思 维 之 快 感 到 非 常 震 惊. 由 于 下 课 时 间 快 到 了, 笔 者 准 备 对 这 道 题 目 进 行 总 结 的 时 候, 学 生 丙 在 观 察 学 生 乙 在 黑 板 上 的 图 像 画 法, 又 想 到 了 另 外 一 种 解 法, 这 种 解 法 是 从 函 数 的 思 想 上 对 该 题 进 行 的. 这 种 解 法 可 以 称 作 为 在 解 法 5 上 的 扩 展. 域 法 ) 解 法 6: 在 解 法 5 上 的 进 一 步 扩 展 ( 值 学 生 丙 说 和 解 法 5 一 样, 但 是 不 是 画 图 像 来 解, 而 是 从 学 生 乙 得 到 的 a x x x 0 想 到 这 个 时 候 的 a 不 x x 就 可 以 看 成 y x 0 x 吗? 于 是 就 有 y x x 的 值 域, 所 以 x a x, 而 x 0, 所 以 立 马 就 可 以 得 到 a. 笔 者 还 正 沉 浸 在 学 生 乙 的 数 学 思 维 的 迅 速 之 下, 就 又 被 学 生 丙 的 数 学 思 维 之 宽 度 所 震 撼. 这 个 时 候 铃 声 响 起 了, 笔 者 对 以 上 几 位 同 学 的 想 法 和 解 法 都 给 予 了 一 定 的 肯 定 评 价, 尤 其 是 最 开 始 提 出 解 法 的 学 生 甲. 对 于 学 生 丙 与 乙, 笔 者 也 给 予 了 表 扬 与 赞 赏. 这 节 习 题 课 的 教 学 无 疑 是 比 较 成 功 O y = a y = - x y = a 的, 不 仅 带 动 了 学 生 的 数 学 思 维, 还 对 学 生 的 数 学 素 养 上 的 培 养 起 到 了 一 定 的 促 进 作 用. 而 这 节 课 的 成 功 归 结 于 习 题 课 前 的 不 预 设, 没 有 将 学 生 带 入 老 师 的 预 设 中, 37

42 解 题 研 究 而 是 实 实 在 在 的 将 课 堂 交 给 学 生, 让 学 生 师 在 这 堂 课 中 只 起 到 了 指 导 者 和 引 导 者 的 整 堂 课 都 处 于 一 种 学 习 探 究 的 亢 奋 中, 教 成 立 : 例 题 的 引 入 作 用, 完 全 符 合 新 课 改 的 要 求. 由 课 本 例 题 谈 一 类 解 不 等 式 最 值 模 型 苏 教 版 必 修 5 基 本 不 等 式 的 证 明 例 设 a,b 为 正 数, 证 明 下 列 不 等 式 b a () ; () a a b a 对 于 这 两 个 不 等 式 的 证 明 都 是 直 接 使 用 基 本 不 等 式 可 得, 属 于 难 度 较 低 的 习 题, 但 凡 在 考 试 中 出 现 基 本 不 等 式 的 问 题 都 是 属 于 多 元 变 量 的 最 值 问 题, 难 度 较 大, 甚 至 部 分 学 生 感 到 无 法 下 手, 这 与 考 试 大 纲 中 基 本 不 等 式 的 C 级 要 求 是 一 致 的. 我 们 能 否 将 多 元 变 量 的 最 值 问 题 转 化 为 例 的 两 种 形 式 呢? 从 而 利 用 例 作 为 模 型 来 解 题 呢? 模 型 的 探 索 对 这 道 例 题 我 们 总 结 以 下 三 个 特 点 : 两 个 部 分 均 为 倒 数 关 系, 即 两 数 的 积 为 定 值 ; 两 式 中 a, b 的 范 围 可 以 扩 大, 第 ( ) 题 中 的 a 也 可 以 为 负 数, 此 时 a ( a) ( ), 第 () a a 题 中 的 a, b 符 号 可 以 相 同 也 可 以 不 同, 不 同 的 情 况 参 照 第 () 题 中 a 为 负 数 的 情 况 ; 3 第 () 题 中 含 有 两 个 变 量, 而 在 第 () 题 中 只 有 一 个 变 量. 根 据 上 面 的 总 结, 可 以 概 括 积 为 定 值 的 两 个 模 型 : 模 型 : ma 形 式, 该 形 式 中 a 刘 祥 云 ( 江 苏 省 宝 应 中 学 ) a 0, m, 为 非 零 常 数 b a 模 型 : m 形 式, 该 形 a b 式 中 ab 0, m, 为 非 零 常 数 3 模 型 的 应 用 能 用 模 型 求 解 的 多 元 函 数 值 域 问 题, 都 是 通 过 换 元 的 方 式 达 到 最 终 的 结 果, 但 是 换 元 的 方 式 也 是 多 种 多 样 的. 对 于 选 择 模 型 还 是 模 型 主 要 看 换 元 后 的 未 知 量 的 个 数, 只 有 一 个 未 知 量 选 用 模 型, 换 元 后 有 两 个 未 知 量 选 用 模 型. 下 面 我 们 从 具 体 的 实 例 来 说 明 一 下 怎 样 结 合 换 元 来 选 用 模 型 : 例 若 a 0, b0, 且, 则 a b 的 最 小 值 为 ab b 模 型 选 择 模 型 解 析 由 等 式 可 知 : a b ab a b b, 有 bb a, 则 b a a b 3 b b 3, b 时 取 等 号 3, 当 评 注 本 题 采 用 了 线 性 换 元, 用 b 来 表 示 a, 但 在 解 题 过 程 中 不 能 用 a 表 示 b 时, 因 为 b 的 最 高 次 数 是 二 次 的, 也 就 是 说 要 解 含 有 字 母 a 二 次 方 程, 不 好 求 解, 38

43 由 课 本 例 题 谈 一 类 解 不 等 式 最 值 模 型 所 以 在 线 性 换 元 的 过 程 中 需 要 看 清 还 那 个 变 量 会 更 加 有 利 于 解 决 问 题, 通 常 是 选 择 最 高 次 数 比 较 低 的. 例 若 x 0 最 小 值 为. 模 型 选 择 模 型, 则 x 的 x 解 析 由 x x x x 得, 令 t x 0, x t 由 基 x t 本 不 等 式 得 t, 当 且 仅 当 t t, 即 t, 即 t, 此 时 x 0 时 t 取 等 号, 所 以 x 的 最 小 值 为. x 评 注 本 题 采 用 配 凑 换 元, 根 据 题 目 的 特 点 换 掉 配 凑 的 整 体 即 可, 而 配 凑 的 整 体 主 要 看 题 目 中 的 分 母, 或 者 题 意 中 的 一 个 符 号 已 定 的 整 体. 但 是 也 要 注 意 等 式 的 条 件 是 否 能 够 成 立, 比 如 函 数 y y x 3, 换 元 时 配 凑 分 母 变 成 x x 的 形 式, 但 是 此 时 x 不 能 使 用 基 本 不 等 式, 因 为 等 号 时 取 不 到 的. 例 3 已 知 x, y 是 正 实 数, 且 x y, 则 的 最 小 值 是 x y 模 型 选 择 模 型 解 析 设 x cos,y si (0 ), 则 ta 3 x y cos si ta, 当 t a, 此 时 x, y 时 取 等 号. 模 型 选 择 模 型 解 析 由 y x ( x y)( ) 3 3, 当 x y x y x, y 时 取 等 号 评 注 本 题 解 析 采 用 三 角 换 元, 利 用 三 角 恒 等 变 换 将 表 达 式 化 成 模 型 的 形 式. 在 三 角 换 元 要 注 意 角 的 范 围, 从 而 要 判 断 等 号 能 够 成 立. 而 解 析 中 使 用 了 等 价 变 形, 使 得 表 达 式 变 成 模 型 的 形 式, 这 种 变 换 过 程 主 要 根 据 常 数 的 使 用, 而 这 类 问 题 只 要 抓 住 常 数 即 可, 若 本 题 中 x y a( a 0) 时, 那 此 时 的 常 数 就 是 x y a 解 析. x y s t x y, 即 有, 解 题 过 程 同 a 例 4 设 x, y 是 正 实 数, 且 x y, 则 的 最 小 值 是 x y 模 型 选 择 模 型 解 析 令 x s, y t, 则 4, 所 以 x y ( s ) ( t ) 4 x y s t s t 4 4t s ( s t)( ) (5 ) (5 4) 4 s t 4 s t 4 4 当 x, y 时 取 等 号 3 3 评 注 本 题 采 用 了 整 体 换 元, 将 分 母 整 体 换 掉, 再 利 用 常 数 化 简 成 模 型 的 39

44 解 题 研 究 形 式. 该 类 换 元 方 式 要 抓 住 分 母, 如 果 分 母 之 和 是 一 个 定 值, 就 可 以 用 整 体 换 元. 例 5 已 知 函 数 f ( x) 3x a 与 函 数 g( x) 3x a 在 区 间 ( b, c) 上 都 有 零 a ab ac 4bc 点, 则 的 最 小 值 为 b bc c 模 型 选 择 模 型 解 析 由 题 意 知 : 3b a 0 3b a 0 ;, 将 两 组 对 应 式 3c a 0 3c a 0 b a 0 子 相 加 得 c a 0 令 x ( b a) 0, y c a 0, 原 评 注 本 题 是 采 用 相 加 换 元 的 方 式, 即 根 据 两 个 不 等 式 相 加, 得 到 符 号 确 定 的 两 个 部 分. 该 题 中 的 未 知 量 较 多, 肯 定 是 要 换 元, 而 换 哪 部 分 是 本 题 的 难 点, 所 以 解 题 过 程 中 相 加 换 元 是 一 种 重 要 的 手 段. 综 上, 当 积 为 定 值, 求 最 值 问 题 是 试 题 中 较 为 常 见 的 问 题, 只 不 过 命 题 者 通 过 增 加 未 知 量 改 变 结 构 分 数 变 形 等 手 段 将 问 题 的 本 质 隐 藏 起 来. 如 果 通 过 上 面 的 分 析, 读 者 能 够 掌 握 好 模 型 和 模 型 的 选 择, 且 能 够 运 用 一 定 换 元 方 法, 那 本 文 的 目 的 就 达 到 了. 式 = 4xy 4xy 4. ( x y) x y xy x y y x 圆 锥 曲 线 切 线 的 又 一 个 优 美 性 质 笔 者 受 文 中 005 年 高 考 江 西 卷 压 轴 题 的 解 法 和 文 中 圆 锥 曲 线 的 一 组 统 许 雪 岗 ( 江 苏 省 宜 兴 市 徐 舍 中 学 44) B ( x, y), 则 抛 物 线 在 点 A 处 的 切 线 PA 的 方 程 是 y y p x ). ( x 一 定 理 的 启 发, 经 过 思 考 发 现 了 圆 锥 曲 线 切 线 的 又 一 个 优 美 性 质, 下 面 将 其 尊 荣 展 示 给 大 家, 共 同 欣 赏. 性 质 设 抛 物 线 C : y px ( p 0 ), T (t 0, ) ( t 0 ) 是 x 轴 上 的 定 点,P 是 直 线 x t 上 异 于 ( t,0) 的 任 意 一 点, 若 过 点 P 的 直 线 PA, PB 分 别 与 抛 物 线 相 切 于 A, B 两 点, 则 直 线 AB 过 点 T, 且 k AB p kpt. t 证 明 设 P( t, m), m 0, A x, y ), ( 又 因 为 直 线 PA 经 过 点 P. 所 以 my p( t ). x 同 理 可 得 my p t ). 由 此 知 直 线 ( x AB 的 方 程 为 p pt my p( t x) 即 y x. m m 因 为 T (t,0) 的 坐 标 满 足 直 线 AB 的 方 程. 所 以 直 线 AB 过 点 T, k AB p 0 m p kpt. m t ( t) t 且 40

45 圆 锥 曲 线 切 线 的 又 一 个 优 美 性 质 理. 说 明 : 当 t p 时 性 质 即 为 文 定 当 曲 线 C 为 椭 圆 或 双 曲 线 时 有 如 下 两 个 性 质 : 性 质 设 椭 圆 x y C : ( a b 0), T(t,0) a b ( t a, t 0) 是 x 轴 上 的 定 点, P 是 a a 直 线 x 上 异 于 (,0) 的 任 意 一 点, t t 若 过 点 P 的 直 线 PA, PB 分 别 与 椭 圆 相 切 于 A, B 两 点, 则 直 线 AB 过 点 T, 且 k AB b kpt. t a a 证 明 设 P (, m), m 0, t A x, y ), B x, y ), 则 椭 圆 在 点 A 处 ( ( xx y y 的 切 线 PA 的 方 程 是. b a 又 因 为 直 线 PA 经 过 点 P, 所 以 x ym t b x. 同 理 可 得 t y m b. x 由 此 知 直 线 AB 的 方 程 为 my t b b b 即 y x. 因 为 T (t,0) 的 坐 标 满 mt m 足 直 线 AB 的 方 程. 所 以 直 线 AB 过 点, k b 0 m b k. mt a t a t t 且 AB PT 理. 说 明 : 当 t c 性 质 3 设 双 曲 线 时 性 质 即 为 文 定 x y C : ( a 0, b 0), T(t,0) a b ( t a ) 是 x 轴 上 的 定 点, P 是 直 线 a a x 上 异 于 (,0) 的 任 意 一 点, 若 过 t t 点 P 的 直 线 PA, PB 分 别 与 双 曲 线 相 切 于 A, B 两 点, 则 直 线 AB 过 点 T, 且 k AB b kpt. a t a 证 明 设 P (, m), m 0, t A x, y ), B x, y ), 则 椭 圆 在 点 A 处 ( ( xx y y 的 切 线 PA 的 方 程 是. b a 又 因 为 直 线 PA 经 过 点 P, 所 以 x ym x ym. 同 理 可 得. b t t b x t 由 此 知 直 线 my b AB 的 方 程 为 b b, 即 y x. mt m 因 为 T (t,0) 的 坐 标 满 足 直 线 AB 的 方 程, 所 以 直 线 AB 过 点 T, 且 k AB k 理 3. PT b 0 m mt a t t 说 明 : 当 t c b a t 时 性 质 3 即 为 文 定 参 考 文 献 : 苏 立 标. 透 视 高 考 试 题 中 的 抛 物 线 切 点 弦 性 质 问 题. 中 学 数 学 教 学,008.4 徐 国 军. 也 谈 圆 锥 曲 线 的 一 组 统 一 定 理. 中 学 数 学 研 究, 邹 生 书. 圆 锥 曲 线 切 线 的 一 个 优 美 性 质. 中 小 学 数 学 ( 高 中 ),

46 教 学 故 事 教 学 故 事 有 效 提 问, 促 进 思 考 刘 琼 ( 深 圳 市 光 明 新 区 公 常 路 8 号, 广 东, 深 圳 5807) 数 学 课 堂 中, 教 师 的 任 务 就 是 观 察 学 生, 并 在 必 要 的 时 候 帮 助 学 生. 这 个 任 务 说 起 来 容 易, 但 是 做 起 来 却 是 比 较 难 的. 首 先 就 是 观 察 学 生, 很 多 教 师 不 知 道 从 哪 些 方 面 观 察 学 生, 或 者 根 本 就 只 顾 教 学 不 关 注 学 生, 或 者 被 孩 子 们 的 捣 乱 折 腾 得 无 暇 顾 及 观 察 学 生 这 个 任 务. 所 以 我 们 的 教 学 就 一 直 处 于 对 学 生 不 了 解 的 状 态 下 教 学, 也 就 无 所 谓 考 虑 学 情 了. 说 的 严 重 一 点 就 是 我 们 是 在 没 有 调 查 任 何 实 际 情 况 的 前 提 下 进 行 教 学 的, 所 以 总 是 做 了 很 多 无 用 功. 其 次 就 是 如 何 在 适 当 的 时 候 帮 助 学 生. 这 个 任 务 需 要 在 观 察 学 生 的 基 础 上 进 叠 在 线 段 AD 上 的 点 记 为 M, 并 且 MF CF. () 证 明 :CF 平 面 MDF ; () 求 三 棱 锥 M CDE 的 体 积. 师 : 题 目 中 要 证 明 的 是 什 么?( 此 处 引 导 学 生 关 注 题 目 中 的 目 标, 也 就 是 要 求 的 未 知 量 ) 生 : 这 是 很 明 显 的, 就 在 题 目 的 最 后, 证 明 CF 平 面 MDF. 在 此 处, 很 多 学 生 都 会 知 道 到 题 目 的 最 后 面 寻 找. 优 等 生 和 后 进 生 的 差 别 就 在 于 优 等 生 会 联 想 到 这 就 是 线 垂 直 面 的 证 明 过 程, 他 们 会 在 脑 海 里 迅 速 搜 索 类 似 的 题 行. 在 数 学 课 堂 中, 我 们 给 予 孩 子 们 的 帮 助 一 般 包 括 : 直 接 提 醒 和 利 用 提 问 间 接 来 促 使 孩 子 自 己 思 考. 直 接 提 醒 是 任 何 教 师 都 会 的 一 种 教 学 手 段, 而 数 学 老 师 本 该 最 擅 长 提 问, 但 是 在 实 际 的 课 堂 中 总 是 存 在 这 个 各 种 各 样 的 问 题, 所 以 我 们 对 问 题 的 提 出 有 时 候 未 免 就 是 有 效 的. 如 何 做 到 提 出 的 问 题 有 效 严 谨 而 且 不 着 痕 迹 地 促 使 孩 子 进 行 思 考? 这 是 我 们 教 师 的 最 终 目 标 : 让 孩 子 学 会 独 立 思 考 问 题 : 如 图, 四 边 形 ABCD 为 矩 形,PD 平 面 ABCD, AB, BC PC, 作 如 右 图 折 叠, 折 痕 EF DC, 其 中 点 EF, 分 别 在 线 段 PD, PC 上, 沿 EF 折 叠 后 点 P 目, 看 看 以 往 做 题 的 经 验 是 否 对 自 己 有 帮 助. 后 进 生 则 在 思 考 线 垂 直 面? 课 本 上 都 直 接 告 诉 我 们 线 垂 直 面 条 件, 这 里 没 有 条 件, 怎 么 证? 学 生 似 乎 就 此 被 难 住 了, 然 后 不 愿 意 继 续 下 面 的 思 考. 师 : 题 目 中 的 条 件 是 什 么? 生 : 四 边 形 ABCD 为 矩 形, PD 平 面 ABCD, AB, BC PC, 作 如 图 3 折 叠, 折 痕 EF DC, 其 中 点 EF, 分 别 在 线 段 PD, PC 上, 沿 EF 折 叠 后 点 P 叠 在 线 段 AD 上 的 点 记 为 M, 并 且 MF 4

47 有 效 提 问, 促 进 思 考 CF. 学 生 似 乎 很 简 单 的 就 可 以 把 条 件 找 出 来, 但 是 教 师 观 察 学 生 时 会 发 现, 优 等 生 和 后 进 生 的 区 别 : 优 等 生 会 一 边 读 条 件, 一 边 在 简 图 上 写 写 画 画, 做 一 些 标 识, 甚 至 边 读 题, 一 边 思 考 这 些 条 件 会 带 来 哪 些 新 的 条 件, 以 利 于 达 到 题 目 的 目 标. 后 进 生 就 没 有, 虽 然 看 起 来 后 进 生 也 在 皱 着 眉 头 思 索, 但 是 他 们 的 记 忆 被 卡 住 了, 他 不 知 道 这 些 条 件 哪 些 对 解 题 是 有 用, 哪 些 是 没 用 的, 更 别 提 还 要 在 目 标 和 条 件 之 间 建 立 联 系, 通 过 原 有 条 件 推 出 新 的 有 利 达 到 目 标 的 条 件. 此 时 后 进 生 的 信 心 有 点 动 摇, 甚 至 不 相 信 书 上 所 讲 解 的 例 题 是 否 有 用, 那 些 曾 今 记 住 的 公 式 定 理 似 乎 模 糊 不 清. 师 : 你 能 用 一 些 简 单 的 符 号 在 图 中 把 题 目 中 的 条 件 表 示 出 来 吗? 动 手 试 一 试, 看 有 没 有 新 的 发 现. 接 下 来 是 学 生 动 手 过 程. 此 时 教 师 会 更 多 的 关 注 后 进 生. 由 于 思 考 的 缓 慢, 后 进 生 动 作 也 比 优 等 生 缓 慢. 在 动 笔 的 过 程 中, 后 进 生 思 考 哪 些 条 件 有 用 好 像 有 些 进 展 了. 但 还 是 缺 少 一 些 直 接 的 条 件. 缺 少 什 么 呢? 先 来 看 看 直 接 条 件 有 哪 些 吧? 只 有 MF CF. 其 他 的 都 是 间 接 条 件. 师 : 以 前 我 们 做 过 类 似 的 题 目 吗? 证 明 线 垂 直 面, 而 且 只 有 一 个 直 接 条 件. 较 多 的 学 生 会 想 到 利 用 学 过 的 定 理, 但 是 后 进 生 可 能 最 多 记 住 了 定 义 : 要 垂 直 平 面 内 的 任 意 一 条 直 线, 这 条 直 线 才 叫 做 垂 直 了 这 个 平 面. 事 实 上, 后 进 生 怎 么 都 想 不 起 如 何 证 明 这 样 一 句 话. 师 : 见 过 同 样 的 题 目 以 一 种 不 同 的 形 式 出 现 吗? 如 果 只 是 改 变 了 一 下 形 式, 这 样 的 题 目 最 好 办, 按 照 以 前 那 道 题 的 方 法 去 做 吧. 优 等 生 一 般 有 了 这 个 提 示, 很 快 就 会 发 现 只 需 要 证 明 一 个 附 带 的 前 提 条 件 就 可 以 达 到 目 标 : 证 明 DM CF, 或 者 DF CF 后 进 生 往 往 在 解 答 这 个 附 带 性 前 提 条 件 的 时 候 就 卡 壳 了. 这 个 时 候, 让 我 们 学 一 学 一 句 话 : 知 难 而 退 让 学 生 退 回 到 最 初 的 位 置 : 寻 找 和 观 察 未 知 量! 并 尽 一 切 可 能 想 出 一 道 自 己 熟 悉 的 具 有 相 同 未 知 量 或 者 相 似 未 知 量 的 题 目. 如 果 恰 好 有 道 题 和 题 目 有 关, 而 且 以 前 解 答 过, 不 管 是 教 师 还 是 学 生 会 在 瞬 间 闪 过 一 个 问 题 : 能 利 用 它 吗? 能 利 用 它 的 结 论 还 是 照 搬 解 题 方 法? 最 坏 的 结 果 就 是 要 用 上 它, 还 得 添 上 某 些 辅 助 性 的 条 件, 而 这 个 辅 助 性 的 条 件, 是 否 能 从 现 有 条 件 中 推 论 得 出? 师 : 重 新 读 一 读 这 道 题, 用 不 同 的 方 式 来 解 释 这 道 题 的 已 知 数 据, 或 者 用 其 他 合 适 的 数 据 来 确 定 未 知 量? 看 看 有 什 么 新 的 发 现, 能 否 从 现 有 的 题 目 中 再 得 到 一 点 儿 有 用 的 东 西, 也 许 就 柳 暗 花 明 又 一 村 了. 好 吧, 换 成 了 新 的 已 知 数 据 和 未 知 量, 我 们 似 乎 还 是 一 无 所 获, 怎 么 办? 让 我 们 进 入 下 一 个 问 题 : 你 用 上 了 所 有 的 已 知 数 据 了 吗? 所 有 关 键 概 念 是 否 考 虑 到 了? 通 常 到 这 里, 这 道 题 目 已 经 相 当 有 难 度. 也 许 是 我 们 疏 忽 了 某 个 概 念 或 者 小 细 节. 让 我 们 回 到 最 原 始 的 定 义 上 去 吧. 让 我 们 从 最 原 始 的 地 方 开 始 梳 理 整 道 题 目 是 如 何 发 生 变 化 的? 请 你 仔 细 检 查 每 一 个 变 43

48 教 学 故 事 化 的 步 骤, 你 能 清 晰 地 看 到 这 个 步 骤 是 正 确 的 吗? 还 是 有 点 模 糊 不 清, 仅 仅 只 是 你 的 猜 测? 你 能 证 明 它 是 正 确 的 吗? 在 这 里 最 常 见 的 错 误 是 检 查 每 个 结 果 时 粗 心, 没 有 耐 心. 根 本 不 检 查 结 果 更 是 屡 见 不 鲜. 细 心 加 坚 持 也 许 让 你 找 到 问 题 的 症 结 所 在 这 就 是 思 考 的 过 程. 这 无 数 次 的 相 同 问 题 后 面, 隐 藏 的 是 我 们 数 学 逻 辑 推 理 思 维 发 展 的 核 心, 利 用 这 些 问 题 串, 我 们 一 次 有 一 次 的 问 着 自 己, 我 们 也 就 一 次 又 一 次 让 自 己 学 会 思 考, 直 到 我 们 能 够 独 立 思 考. 也 就 是 我 们 的 最 终 目 标. 了. 估 计 离 成 功 解 答 这 道 题 不 远 了. 我 们 应 教 给 学 生 什 么 王 萌 磊 ( 山 东 省 莱 阳 市 第 四 中 学 wml9697@63.com) 在 和 学 生 聊 天 时, 说 到 学 校 的 饭 食, 有 一 个 学 生 的 比 喻 让 我 揪 心 : 进 了 高 中 等 于 判 了 三 年 有 期 徒 刑. 监 狱 的 食 堂, 你 们 见 识 过? 没 有. 那 监 狱 的 生 活, 你 们 看 见 过? 没 有. 尽 管 我 也 不 知 监 狱 的 生 活, 但 我 想 不 会 有 你 们 这 样 轻 松 自 在. 现 在 的 学 生 有 很 多 是 独 生 子 女, 真 可 谓 吃 好 的 穿 好 的, 学 校 的 食 堂 可 能 不 尽 如 他 们 之 意, 但 是 从 另 一 个 方 面 也 反 映 了 现 在 的 学 生 吃 不 得 一 点 苦, 抗 挫 折 能 力 较 差. 不 过 我 想 : 饭 菜 可 能 只 是 一 个 导 火 索, 而 与 这 根 导 火 索 相 连 的 才 是 极 其 重 要 的, 那 就 是 学 校 的 教 育. 孩 子 从 3 岁 左 右 就 走 进 了 学 校, 尽 管 在 幼 儿 园 里 主 要 是 玩 耍, 但 是 也 不 能 随 性 而 为, 仍 然 受 一 些 条 条 框 框 所 束 缚, 致 使 周 末 休 息 后 有 一 些 孩 子 不 愿 再 上 学 ; 到 了 学 前 班 或 大 班, 老 师 们 就 开 始 把 孩 子 往 小 学 的 方 向 引 领, 这 不 仅 表 现 在 知 识 上, 也 表 现 在 要 求 上, 这 时 候 的 孩 子 就 逐 渐 演 变 成 一 个 规 规 矩 矩 的 小 学 生. 当 孩 子 七 八 岁 时, 就 正 式 成 了 一 名 学 生, 从 此 开 始 了 漫 长 的 学 习 生 涯. 踏 进 校 园, 孩 子 最 初 的 感 受 是 新 鲜 好 奇, 课 本 从 幼 儿 园 的 图 画 过 渡 到 图 画 与 文 字 的 结 合, 再 到 单 纯 的 文 字, 课 堂 上 老 师 的 讲 课 方 式 也 是 新 颖 的, 然 而 随 着 时 间 的 推 移, 新 鲜 感 逐 渐 消 失, 随 之 而 来 的 是 艰 苦 的 求 学. 尽 管 素 质 教 育 已 经 全 面 铺 开, 和 谐 高 效 已 成 为 广 大 教 师 的 追 求, 教 师 的 授 课 方 式 也 由 单 一 的 讲 授 为 多 种 方 法 的 结 合, 校 本 课 程 的 研 发 实 行 为 一 些 学 生 提 供 了 展 示 自 我 的 舞 台, 使 学 生 的 精 力 得 到 了 充 分 的 发 挥, 但 是 我 们 应 教 给 学 生 什 么? 很 值 得 我 们 深 思. 教 育 教 育, 既 教 书 又 育 人. 的 确, 我 们 教 给 了 学 生 一 定 的 文 化 知 识, 让 他 们 去 撬 开 大 学 的 门, 同 时 或 多 或 少 地 进 行 了 如 何 做 人 的 熏 陶. 但 是 那 些 文 化 知 识 又 有 多 少 是 他 们 踏 上 社 会 所 需 要 的 呢? 我 认 为, 学 生 们 踏 上 社 会 所 需 要 的 首 先 是 自 己 学 习 的 能 力. 踏 上 社 会, 一 切 都 是 陌 生 的, 一 切 都 需 要 从 头 学 起, 光 靠 书 本 知 识 是 应 付 不 了 这 多 变 的 社 会. 时 代 在 变 化, 社 会 所 需 要 的 知 识 与 技 能 也 在 改 变, 学 生 所 具 有 的 能 力 也 应 随 应 时 代, 不 能 光 44

49 三 类 生 数 学 学 习 心 理 问 题 的 探 索 与 对 策 守 着 那 点 书 本 知 识, 这 就 需 要 学 生 必 须 具 备 自 我 学 习 的 能 力. 有 了 这 个 能 力, 才 能 抓 住 一 切 可 利 用 的 资 源 和 机 会 充 实 自 己, 完 善 自 我, 才 能 不 被 社 会 所 淘 汰. 所 以 我 们 在 教 书 的 同 时 一 要 培 养 学 生 自 我 学 习 的 意 识, 让 学 生 明 白 学 习 是 终 身 的 事 情, 人 的 一 生 时 时 处 处 都 要 学 习, 不 学 习 就 无 法 在 社 会 立 足 ; 二 要 注 重 自 我 学 习 能 力 的 培 养, 给 学 生 机 会, 给 学 生 舞 台, 学 生 自 己 能 解 决 的 我 们 绝 不 包 办, 学 生 不 能 解 决 的 为 学 生 搭 建 一 定 的 脚 手 架 后 也 要 尽 量 放 手, 要 敢 于 相 信 学 生. 其 次, 学 生 踏 上 社 会 所 需 要 的 是 抗 挫 折 能 力. 人 的 一 生 不 可 能 是 一 帆 风 顺 的, 路 上 有 许 多 坎 坷 荆 棘, 是 需 要 勇 气 的. 第 一 要 让 学 生 有 健 全 的 心 理, 不 偏 激, 这 样 想 问 题 时 就 不 会 钻 牛 角, 处 理 问 题 也 不 会 固 执, 听 不 进 别 人 的 劝 告. 第 二 要 培 养 学 生 不 怕 输 的 精 神, 失 败 是 成 功 之 母, 要 看 谁 笑 到 最 后, 要 让 学 生 明 白 只 有 输 的 教 学 提 出 了 较 高 的 要 求, 课 堂 上 的 和 谐 是 必 不 可 少 的, 这 里 的 和 谐 既 包 含 师 生 生 生 之 间 的 包 容, 也 包 含 着 师 生 生 生 之 间 争 斗 ( 这 里 的 争 斗 指 的 是 一 些 小 摩 擦, 最 后 能 皆 大 欢 喜 ), 因 此 我 们 和 学 生 谈 话 交 流 时 要 有 一 定 的 技 巧, 在 课 堂 上 我 们 的 评 价 要 多 赏 识 学 生, 尽 力 创 建 一 个 温 馨 的 班 集 体. 最 后, 我 们 还 需 要 培 养 学 生 合 作 交 流 的 意 识. 俗 语 说 得 好 独 木 难 成 林, 一 个 人 的 智 慧 和 能 力 毕 竟 是 有 限 的, 但 要 是 能 团 结 别 人 的 力 量, 就 能 够 取 得 更 大 的 成 功. 在 这 个 竞 争 的 社 会, 任 何 一 项 成 功 都 离 不 开 合 作, 要 想 有 所 作 为 就 需 要 与 人 交 流 打 交 道, 只 有 能 与 别 人 相 互 帮 助 相 互 督 促, 整 体 能 力 才 能 得 到 很 大 的 提 升, 真 可 谓 合 作 就 是 力 量. 在 课 堂 上 我 们 要 多 为 学 生 提 供 合 作 交 流 的 机 会, 让 学 生 在 合 作 中 相 互 了 解 相 互 尊 重, 学 会 交 往, 在 交 流 中 思 维 碰 撞, 共 同 分 享 成 功 的 快 乐. 得 起 才 可 能 有 站 起 来 的 勇 气. 这 就 给 我 们 课 题 研 究 三 类 生 数 学 学 习 心 理 问 题 的 探 索 与 对 策 顾 建 伟 ( 浙 江 湖 州 练 市 中 学 3303) 摘 要 : 从 近 几 年 高 考 数 学 来 看, 试 题 的 显 著 特 点 是 一 方 面 突 出 考 查 考 生 的 学 科 素 质 和 能 力 素 质, 另 一 方 面 在 很 大 程 度 上 也 注 重 对 考 生 心 理 素 质 的 考 查. 对 三 类 高 职 专 科 生 而 言, 平 时 主 功 语 数 英 三 门 主 课, 可 以 说 其 压 力 不 亚 于 其 他 考 生, 所 以 在 教 学 过 程 中 我 们 应 注 重 其 心 理 素 质 方 面 的 训 练 与 培 养. 通 过 调 查 研 究 了 解 了 农 村 普 通 中 学 高 三 三 类 学 生 数 学 教 与 学 现 状, 探 索 了 高 三 三 类 学 生 学 习 数 学 现 状 并 提 出 相 应 的 分 析 与 对 策. 关 键 词 : 三 类 生 数 学 学 习 心 理 新 高 考 方 案 的 目 的 是 分 类 测 试 分 批 选 拔, 全 面 考 核 综 合 评 价, 对 于 选 报 三 45

50 课 题 研 究 类 学 校 的 学 生 来 说 能 起 到 减 负 的 作 用. 其 中 三 类 高 职 专 科 班 级 的 学 生 的 学 习 负 担 大 大 减 轻, 但 是, 量 变 是 否 能 产 生 质 变? 时 倍 是 否 = 功 倍? 在 实 际 的 操 作 过 程 中, 三 类 班 相 当 一 部 分 学 生 对 突 然 的 减 负 不 能 适 应, 各 种 心 理 问 题 纷 纷 产 生, 其 语 数 英 三 门 功 课 的 成 绩 也 随 之 呈 急 剧 下 降 的 趋 势, 因 此 三 类 生 的 学 习 心 理 问 题 不 得 不 引 起 我 们 的 重 视. 笔 者 任 教 高 三 三 类 专 科 班 的 数 学, 发 现 三 类 专 科 班 的 学 生 自 信 心 明 显 不 足, 甚 至 自 暴 自 弃, 特 别 是 在 数 学 学 习 方 面 表 现 尤 为 突 出. 可 以 说 有 相 当 一 部 分 同 学 的 学 习 心 态 发 生 了 很 大 的 变 化, 有 放 弃 学 习 的 心 理 和 行 动, 上 课 打 瞌 睡 开 小 差, 晚 自 习 睡 觉 看 小 说, 作 业 不 及 时 上 交 等 违 纪 现 象 时 有 发 生, 学 习 积 极 性 呈 现 整 体 下 降 的 趋 势. 三 类 生 数 学 学 习 心 理 问 题 分 析 他 们 同 是 平 行 班 的 学 生, 接 受 了 多 种 挑 战, 过 五 关 斩 六 将 后, 一 批 精 英 进 了 一 类 班. 而 他 们 中 的 一 部 分, 被 淘 汰 沦 为 三 类 生. 这 对 于 三 类 生 来 说 是 一 个 转 折 点, 而 他 们 又 不 得 不 去 面 对, 因 此 他 们 的 内 心 世 界 是 极 其 复 杂 的, 也 会 出 现 许 多 心 理 问 题.. 自 卑 心 理 由 雄 心 壮 志 的 高 一 新 生 沦 为 三 类 生, 这 个 落 差 太 大 了. 这 种 滋 味 真 是 无 法 用 言 语 来 形 容 的. 然 而, 现 实 终 究 是 现 实, 是 残 酷 的. 于 是 乎, 他 们 像 泄 气 的 皮 球. 好 多 学 生, 用 放 大 镜 看 别 人 的 优 点, 以 致 看 不 到 自 己 的 长 处, 长 他 人 之 气 灭 自 己 威 风. 整 个 人 处 于 情 绪 颓 废 之 状, 心 理 严 重 失 落. 状 态 不 佳, 成 绩 下 降, 恶 性 循 环.. 厌 倦 心 理 数 学 学 科 中 的 公 式 定 理 较 多, 在 教 材 中 大 部 分 都 得 到 了 严 谨 的 证 明. 部 分 学 生 在 学 习 过 程 中 只 是 消 极 的 记 结 论, 而 厌 倦 了 分 析 思 考 及 其 证 明 的 思 维 方 法, 忽 视 其 在 解 题 中 的 作 用..3 考 试 焦 虑 心 理 高 考, 人 生 的 第 二 个 转 折 点. 一 卷 定 终 身, 给 家 长 和 学 生 很 大 的 压 力. 担 心 考 试 时 间 来 不 及, 担 心 因 自 己 马 虎 而 丢 了 不 该 丢 的 分, 担 心 自 己 又 一 次 失 败 有 的 学 生 平 时 上 课 解 题 能 力 还 不 错, 可 是 一 到 考 试, 屡 战 屡 败, 这 着 实 令 人 忧 心 忡 忡!.4 惰 性 心 理 俗 话 说 : 越 玩 越 懒, 越 吃 越 嘴 馋. 学 习 亦 是 如 此, 需 要 毅 力 和 恒 心. 今 天 信 誓 旦 旦, 全 力 以 赴, 然 明 天 或 是 几 天 之 后 得 过 且 过. 学 生 自 控 性 较 差, 三 分 钟 热 度 效 应 反 反 复 复. 学 生 的 心 理 波 动 过 于 频 繁, 致 使 成 绩 总 是 徘 徊 不 前. 这 些 心 理 问 题, 不 同 程 度 地 影 响 制 约 阻 碍 着 学 生 学 习 数 学 数 学 的 积 极 性. 好 多 三 类 生 在 课 堂 上 心 不 在 焉, 有 时 碍 于 班 主 任 的 面 子, 才 佯 听. 三 类 班 学 生 对 数 学 的 学 习 缺 乏 信 心 和 毅 力, 大 多 学 生 数 学 基 础 薄 弱, 知 识 结 构 不 系 统, 上 课 似 懂 非 懂, 不 求 甚 解. 由 于 数 学 的 抽 象 性 使 得 学 生 学 习 数 学 始 终 存 在 着 一 定 的 难 度, 学 生 对 于 数 学 常 常 存 有 一 种 畏 惧 的 心 理, 在 学 习 上 甚 至 有 些 抵 触 情 绪, 同 时 学 习 上 的 漏 洞 较 多, 忽 视 对 基 础 知 识 的 学 习 与 记 忆. 又 因 为 数 学 是 概 括 性 的 和 抽 象 的, 使 数 学 学 习 和 数 学 应 用 之 间 形 成 了 一 条 难 以 逾 越 的 鸿 沟, 致 使 学 生 们 虽 学 了 很 多 知 识 却 不 知 如 何 运 用, 学 生 很 少 感 受 到 对 数 学 自 我 需 要 的 意 识. 46

51 三 类 生 数 学 学 习 心 理 问 题 的 探 索 与 对 策 影 响 三 类 生 数 学 学 习 心 理 的 因 素. 学 生 个 体 因 素 第 一 环 境 的 变 化. 之 前 是 平 行 班, 大 家 像 是 在 同 一 起 跑 线 上. 过 五 关 斩 六 将 后, 他 们 逐 渐 被 分 离, 三 类 生. 他 们 进 了 三 类 班, 降 低 了 人 生 目 标. 这 个 新 环 境, 让 他 们 心 理 受 创. 也 有 个 别, 最 终 放 弃 一 切, 整 天 与 手 机 网 络 为 伍. 第 二 学 习 恐 惧 感 强 势. 一 般 而 言, 新 事 物 或 新 现 象 对 人 们 充 满 诱 惑 感. 面 对 高 一 的 新 环 境 新 老 师 新 同 学, 学 生 会 有 强 烈 的 好 奇 心. 因 此, 他 们 的 求 知 欲 比 较 强. 可 是, 随 着 教 学 内 容 的 变 化 竞 争 的 激 烈, 他 们 无 法 紧 随 教 学 步 伐, 力 不 从 心, 无 所 适 从, 最 终 成 为 学 习 队 伍 中 的 落 伍 者. 于 是 乎, 他 们 惧 怕 考 试, 惧 怕 失 败. 第 三 学 习 方 法 滞 后. 高 中 数 学 教 材 内 涵 丰 富, 教 学 要 求 高, 课 时 紧 张, 教 学 进 度 快, 试 题 类 型 繁 多, 试 题 难 度 加 大, 系 统 性 和 逻 辑 性 比 较 强, 好 多 女 孩 子 理 解 掌 握 起 来 比 较 难. 部 分 学 生 中 考 成 绩 0 分 左 右, 可 在 高 三 综 合 考 试 中 频 频 给 老 师 意 外,60 分 左 右 的 比 比 皆 是. 这 就 需 要 学 生 要 有 股 钻 劲, 寻 找 不 同 于 初 中 数 学 学 习 方 法. 第 四 不 能 正 确 自 我 评 价. 学 生 在 数 学 学 习 过 程 中 往 往 会 有 意 无 意 地 对 自 己 学 习 的 主 客 观 条 件 作 出 评 价, 进 而 决 定 自 己 的 学 习 目 标 和 行 动. 三 类 生 的 自 我 评 价 比 较 消 极, 将 考 试 成 功 归 因 于 试 题 容 易, 将 考 试 失 败 归 因 于 一 些 不 可 控 的 外 因. 缺 乏 迎 难 而 上 的 勇 气, 丧 失 学 习 兴 趣.. 家 长 因 素 第 一 家 长 对 子 女 期 望 过 高. 一 定 要 考 上 本 科, 选 个 好 点 的 专 业, 以 后 找 份 好 工 作. 眼 前 不 用 做 任 何 家 务, 但 是 必 须 学 习. 只 要 孩 子 学 习, 家 长 可 以 答 应 任 何 条 件 买 手 机 抑 电 脑, 抑 或 游 玩. 第 二 家 长 与 孩 子 缺 乏 交 流. 好 多 学 生 是 寄 宿 生, 一 个 星 期 回 家 一 次. 家 长 亦 可 忙 于 自 己 的 事 业, 无 暇 顾 及 孩 子. 家 长 想 自 己 为 孩 子 提 供 了 比 自 己 学 生 时 代 优 越 得 多 的 生 活 学 习 条 件, 孩 子 好 好 学 习 是 理 所 当 然 的. 哪 知 道, 这 是 个 误 区. 孩 子 在 生 活 学 习 中 碰 到 的 困 难 时, 得 不 到 家 长 的 帮 助 与 支 持, 孩 子 会 很 失 落. 家 长 亦 没 有 很 好 地 了 解 孩 子 的 现 状, 乃 至 老 师 去 家 访 或 要 求 家 长 来 学 校 沟 通 时 才 认 识 到 问 题 的 严 重 性. 第 三 家 长 的 负 面 效 应. 上 梁 不 正, 下 梁 歪! 家 长 好 吃 懒 做, 贪 图 享 受, 毫 无 斗 志, 那 孩 子 在 潜 移 默 化 中 也 会 视 学 习 是 件 苦 差 事. 得 过 且 过, 做 一 天 和 尚 撞 一 天 钟, 厌 学 情 绪 逐 渐 加 强. 再 如 单 亲 家 庭, 孩 子 不 能 正 常 享 受 父 母 的 爱, 孩 子 的 思 想 性 格 会 有 不 同 程 度 的 变 化, 可 能 会 出 现 两 个 极 端..3 教 师 因 素 第 一 教 师 的 教 育 教 学 方 法 欠 妥. 高 中 生 有 自 己 的 思 维 方 式, 个 性 张 扬. 教 师 若 采 取 传 统 的 讲 授 模 式, 学 生 接 受 率 不 高, 可 能 还 会 让 学 生 滋 长 抵 触 情 绪. 第 二 教 师 对 三 类 生 缺 乏 关 爱. 三 类 生 中 的 一 部 分 学 生, 数 学 成 绩 在 50 分 以 下, 他 们 没 了 学 习 动 力. 好 多 题 目 讲 了 再 讲, 他 们 也 还 是 不 能 理 解. 故, 教 师 会 失 去 讲 解 的 耐 心, 任 其 自 然. 久 而 久 之, 师 生 情 感 淡 之 又 淡, 负 效 应 就 出 来 了. 由 此 可 见, 导 致 三 类 生 在 数 学 学 习 中 产 生 一 系 列 心 理 问 题 的 因 素 : 一 方 面 是 三 类 班 47

52 课 题 研 究 学 生 的 消 极 心 理, 缺 乏 自 信. 三 类 班 学 生 很 多 是 应 试 教 育 的 失 败 者, 缺 乏 正 确 的 认 识 和 足 够 的 心 理 准 备 再 加 之 数 学 长 期 的 角 色 地 位, 使 他 们 认 为 自 己 被 筛 下 的 原 因 主 要 是 数 学, 为 求 得 心 理 平 衡, 他 们 有 意 无 意 地 厌 恶 与 逃 避 数 学. 在 应 试 教 育 中, 三 类 班 的 大 多 数 学 生, 在 初 中 阶 段 由 于 数 学 成 绩 差 不 受 重 视, 弱 点 与 不 足 一 次 次 暴 露, 而 又 丝 毫 得 不 到 改 正 的 机 会, 而 师 生 关 系 的 疏 远 使 他 们 对 数 学 完 全 失 去 了 兴 趣. 在 这 一 群 体 中 缺 少 优 秀 带 头 人 物, 缺 少 比 学 赶 帮 超 的 氛 围, 大 多 数 学 生 都 报 着 不 思 进 取 冒 尖 的 从 众 心 理. 另 一 方 面 是 环 境 的 变 化 导 致 其 心 态 的 转 变. 高 一 高 二 时 的 平 行 班, 所 有 同 学 的 眼 光 与 目 标 基 本 在 同 一 起 跑 线 上, 经 过 两 年 的 训 练 和 测 试, 他 们 逐 渐 落 后 于 他 人, 心 理 上 受 到 重 创, 以 至 于 不 得 不 降 低 自 己 的 高 考 人 生 目 标, 只 能 把 高 考 目 标 定 位 于 三 类 专 科, 但 是 人 类 本 能 的 不 甘 落 后 的 心 理 使 得 这 些 三 类 生 不 想 服 输, 所 以 他 们 会 时 而 不 时 的 进 行 心 理 的 斗 争, 导 致 行 为 的 反 复 无 常, 当 原 本 脆 弱 的 心 理 多 次 受 到 打 击 时, 多 数 人 最 终 可 能 放 弃 希 望, 对 自 己 的 要 求 也 逐 渐 减 小 以 至 于 最 终 归 零. 总 之, 三 类 班 学 生 数 学 学 习 心 理 问 题 的 形 成 原 因 是 十 分 复 杂 的, 既 有 教 师 家 长 社 会 方 面 的 因 素, 也 有 三 类 生 自 身 的 因 素. 学 习 心 理 问 题 的 形 成 和 一 切 事 物 的 发 展 规 律 一 样, 有 一 个 从 量 变 到 质 变 的 演 变 过 程. 在 数 学 学 习 中, 它 以 学 生 生 理 心 理 素 质 以 及 原 有 数 学 素 养 为 基 础, 通 过 数 学 学 习 过 程 中 的 学 习 差 异 呈 现 出 来, 这 种 差 异 既 对 学 生 自 身 数 学 发 展 水 平 产 生 作 用, 又 形 成 学 生 之 间 的 心 理 差 异. 形 成 的 主 要 原 因 有 : 其 一, 由 于 三 类 生 数 学 成 绩 的 普 遍 低 下, 导 致 自 信 心 丧 失, 自 馁 心 理 萌 生, 自 卑 感 增 强, 对 数 学 学 习 畏 惧, 心 理 上 产 生 障 碍, 从 而 加 重 了 成 绩 的 下 滑 和 对 数 学 学 习 的 畏 难 情 绪, 失 去 对 数 学 学 习 的 兴 趣, 导 致 了 自 卑 消 极 惰 性 等 敏 感 心 理 特 征 的 出 现, 严 重 阻 碍 了 正 常 的 数 学 学 习. 其 二, 由 于 经 常 得 不 到 教 师 家 长 的 赞 扬 和 肯 定, 致 使 自 尊 需 要 难 以 满 足, 产 生 烦 恼 紧 张 等 心 理 挫 折. 3 三 类 生 数 学 学 习 心 理 问 题 的 对 策 在 教 学 中, 首 先 教 师 要 从 心 理 上 做 到 以 学 生 为 本, 分 层 教 学 : 对 于 优 等 生, 我 们 主 要 帮 助 他 们 构 建 和 谐 的 平 淡 的 心 理, 帮 助 他 们 减 轻 心 理 的 过 重 的 压 力 并 作 好 模 范 榜 样 的 作 用, 要 求 他 们 做 一 个 全 面 发 展, 身 心 健 康, 人 格 完 美 的 人 ; 对 于 中 类 生, 我 们 要 多 给 他 们 一 些 成 功 的 体 验. 比 如 : 生 活 中 多 给 他 们 一 些 鼓 励 课 堂 中 提 高 提 问 的 成 功 率 活 动 中 各 尽 其 才 等. 这 样 就 可 以 激 发 他 们 的 斗 志, 培 养 他 们 的 自 信 心, 使 他 们 的 心 理 直 线 变 成 一 条 慢 慢 抛 起 的 折 线, 最 终 达 到 中 转 优 的 目 的 ; 对 于 学 困 生, 他 们 往 往 比 较 自 卑, 具 有 逆 反 等 心 理, 所 以 我 们 要 以 调 整 他 们 的 心 理, 由 被 动 学 习 转 主 动 学 习, 使 他 们 形 成 健 康 的 数 学 学 习 心 理, 在 态 度 上 从 要 我 学 习 向 我 要 学 习 转 变.. 尊 重 架 起 心 灵 相 通 的 桥 梁 为 师 者, 只 有 尊 重 学 生, 以 情 感 人, 将 心 比 心, 才 能 建 立 良 好 的 师 生 关 系, 在 教 学 过 程 中 要 把 爱 生 的 情 感 投 射 到 学 生 心 里. () 微 笑 面 对 学 生. 在 教 学 中 教 师 提 出 问 题 时, 随 之 对 三 类 生 投 去 一 个 充 满 信 任 48

53 的 亲 切 的 目 光, 一 张 和 蔼 的 笑 脸 会 在 他 们 心 中 掀 起 波 涛, 老 师 心 中 有 三 类 生, 三 类 生 心 中 才 会 有 老 师. 在 作 业 辅 导 时, 若 遇 三 类 生 完 成 作 业 吃 力 的, 要 给 他 以 充 满 信 任 鼓 励 的 眼 神 善 意 的 微 笑, 使 其 在 积 极 情 感 驱 使 下 有 战 胜 困 难 的 决 心. () 鼓 励 三 类 生. 对 学 生 要 经 常 予 以 鼓 励, 使 其 获 得 前 进 的 动 力 ; 三 类 生 更 是 如 此. 如 对 三 类 生 作 业 的 批 改, 不 能 简 单 的 划, 而 应 对 他 们 的 作 业 细 心 阅 读 捕 捉 闪 光 点, 寻 找 鼓 励 因 素. 如 加 注 批 语 : 有 进 步 望 保 持, 如 此 长 足 进 步, 收 获 定 会 丰 厚 等. (3) 信 任. 只 有 教 师 先 信 任 学 生, 学 生 才 会 信 任 自 己 的 老 师.. 兴 趣 激 励 三 类 生 的 内 驱 力 爱 因 斯 坦 说 过 : 兴 趣 是 最 好 的 老 师, 真 正 有 价 值 的 东 西, 并 非 仅 仅 从 责 任 感 开 始, 而 是 从 人 对 客 观 事 物 的 爱 与 兴 趣 中 产 生. 三 类 生 之 所 以 差, 关 键 是 对 学 习 缺 乏 兴 趣, 并 不 是 什 么 兴 趣 都 没 有, 因 此 要 善 于 帮 助 三 类 生, 将 其 它 兴 趣 转 移 到 学 习 中. 这 种 转 移 是 缓 慢 的, 同 时 又 必 须 融 汇 在 教 学 中. 教 师 通 过 趣 味 教 学, 直 观 教 学 及 精 湛 的 教 学 水 平 调 动 三 类 生 的 学 习 兴 趣, 使 他 们 积 极 参 与 教 学 活 动, 逐 渐 形 成 在 学 习 中 的 注 意 兴 趣 不 断 加 深, 他 们 又 会 对 现 有 知 识 和 本 领 感 到 不 满 足. 就 会 自 然 产 生 强 烈 的 学 习 愿 望 和 要 求, 从 而 形 成 良 性 循 环, 达 到 转 化 三 类 生 的 目 的..3 成 功 促 进 三 类 生 转 化 的 催 化 剂 由 于 三 类 生 在 学 习 方 面 不 及 优 生, 很 难 体 会 到 优 生 在 成 功 时 的 喜 悦 心 情. 这 就 要 有 意 识 的 创 造 机 会, 让 三 类 生 通 过 努 力 获 得 成 功. 如 在 课 堂 上 提 问, 三 类 生 能 回 答 的, 应 尽 量 把 机 会 给 予 他 们. 若 答 不 上, 应 尽 量 耐 心 启 发. 又 如 作 业 中 若 有 意 外 的 解 题 思 路, 虽 不 成 熟 甚 或 是 错 误 的, 也 应 及 时 做 出 赞 赏, 并 鼓 励 他 通 过 自 身 努 力 解 决 问 题, 获 得 成 功, 从 而 体 会 到 获 得 成 功 产 生 的 喜 悦 心 情. 长 期 如 此, 三 类 生 会 逐 步 树 立 自 强 自 信 和 积 极 向 上 的 健 康 心 理. 三 类 生 并 不 是 学 不 好 数 学, 而 是 因 为 学 习 意 志 学 习 情 感 思 维 障 碍 考 试 等 各 方 面 的 原 因 造 成 了 他 们 的 学 习 困 难, 我 们 要 为 三 类 生 创 设 安 全 和 谐 的 数 学 课 堂 氛 围, 给 他 们 思 考 的 时 间 和 发 现 的 空 间, 给 他 们 展 现 自 我 的 机 会, 引 导 他 们 多 做 自 我 反 思 和 总 结, 努 力 培 养 他 们 学 习 数 学 的 兴 趣, 只 有 这 样 才 能 真 正 提 高 三 类 生 的 学 习 兴 趣, 才 能 充 分 发 挥 他 们 的 潜 能. 力 和 持 久 性. 在 这 个 过 程 中 教 师 要 善 于 发 现 三 类 生 的 闪 光 点 及 智 慧 的 火 花, 及 时 给 予 鼓 励, 使 其 尝 到 学 习 中 产 生 的 喜 悦. 随 着 学 习 三 自 主 教 学 模 式 的 实 践 和 研 究 吕 增 锋 ( 浙 江 省 象 山 县 第 二 中 学 ) 课 堂 教 学 改 革 是 新 课 程 改 革 永 恒 的 主 题, 高 效 课 堂 教 学 模 式 是 课 堂 教 学 改 革 永 恒 49

54 课 题 研 究 的 追 求. 一 直 以 来, 我 国 对 于 课 堂 教 学 改 革 的 呼 声 从 没 间 断 过, 对 于 课 堂 教 学 模 式 的 探 索 从 没 终 止 过. 期 间 涌 现 出 了 许 许 多 多 行 之 有 效, 别 具 特 色 的 课 堂 教 学 模 式, 如, 江 苏 洋 思 的 先 学 后 教, 当 堂 训 练 山 东 昌 乐 的 7 高 效 课 堂 杜 郎 口 的 三 三 六 自 主 学 习 模 式 等. 有 了 成 功 的 范 例 和 模 式, 有 了 可 以 借 鉴 的 经 验 和 教 训, 越 来 越 多 的 学 校 和 地 区 加 入 到 了 课 堂 教 学 改 革 的 行 列. 但 我 们 知 道 教 学 模 式 的 改 革 是 一 个 复 杂 的 系 统 工 程, 期 间 要 经 历 重 重 困 难 和 艰 辛, 只 有 通 过 不 断 的 探 索 和 创 新, 才 能 到 达 成 功 的 彼 岸. 这 也 就 不 难 解 释 为 什 么 有 相 当 数 量 的 学 校 和 地 区 的 课 堂 教 学 改 革 要 么 不 见 成 效 要 么 中 途 夭 折. 现 在 本 人 就 代 表 我 校, 介 绍 一 下 我 们 的 三 自 主 教 学 模 式 的 探 索 历 程. 创 设 以 人 为 本 的 管 理 环 境, 敢 于 放 手 一 搏 我 校 的 课 堂 教 学 模 式 改 革 源 于 几 个 老 师 的 大 胆 尝 试. 我 校 是 一 所 有 着 60 多 年 办 学 历 史 的 学 校, 经 过 一 代 又 一 代 二 中 人 的 薪 火 相 传, 学 校 砥 砺 出 立 德 立 功 立 言 的 校 训, 并 在 上 世 纪 80 年 代 90 年 代 创 造 了 辉 煌 的 教 学 成 绩. 但 随 着 社 会 的 发 展 及 全 县 教 育 格 局 的 改 变, 又 由 于 地 理 位 置 等 诸 多 条 件 的 限 制, 昔 日 的 辉 煌 已 不 复 存 在, 生 源 质 量 逐 年 下 降, 在 县 三 所 公 立 普 通 高 中 处 于 三 流 水 平, 学 校 教 学 质 量 也 是 每 况 愈 下.006 年, 高 一 宁 波 市 联 考 成 绩 公 布, 我 校 的 各 学 科 成 绩 非 常 落 后, 其 中 数 学 成 绩 出 现 了 历 年 以 来 的 新 低. 为 了 改 变 数 学 教 学 的 颓 势, 我 校 高 一 数 学 备 课 组 的 5 位 老 师 经 过 协 商 后, 开 始 尝 试 一 种 新 的 教 法 先 学 后 教. 即 学 生 课 前 先 预 习, 教 师 课 内 再 做 有 针 对 性 的 讲 解. 经 过 两 年 的 摸 索 实 践, 数 学 成 绩 稳 步 上 升, 最 终 在 009 年 的 高 考 中 取 得 了 优 异 的 成 绩. 我 们 见 到 最 多 的 是 自 上 而 下 的 带 有 强 制 命 令 的 教 学 改 革, 而 这 种 自 下 而 上 源 于 教 师 内 心 的 教 学 改 革 却 不 多 见, 这 也 是 我 校 此 次 教 学 改 革 的 一 大 亮 点, 这 与 我 校 以 人 为 本 的 管 理 环 境 是 分 不 开 的. 很 多 学 校 在 教 学 管 理 上 追 求 严 格 在 教 学 方 法 上 追 求 统 一, 在 教 学 评 价 上 追 求 标 准, 当 然 这 对 于 教 学 质 量 的 提 升 是 有 效 的, 但 过 于 苛 刻 的 规 章 制 度, 无 形 中 束 缚 了 教 师 的 手 脚, 扼 杀 了 教 师 教 学 创 新 的 欲 望. 试 想 一 下 在 这 样 的 环 境 下 有 几 个 教 师 敢 于 尝 试 新 的 教 法 学 法, 敢 于 承 担 教 学 改 革 的 风 险. 而 以 人 为 本 是 我 校 一 直 以 来 的 办 学 理 念, 在 相 对 宽 松 的 教 学 环 境 中, 教 师 敢 于 尝 试 新 事 物, 敢 于 放 手 一 搏 是 我 校 教 师 的 优 点, 这 5 位 教 师 教 学 改 革 的 成 功 正 是 这 一 优 点 结 出 的 果 实. 因 此 只 有 创 设 以 人 为 本 的 管 理 环 境, 教 师 的 潜 能 才 能 得 到 最 大 限 度 的 发 挥, 才 能 为 教 学 改 革 提 供 持 久 的 动 力. 提 炼 本 土 特 色 的 教 学 经 验, 领 会 核 心 精 神 高 一 数 学 备 课 组 在 尝 试 课 堂 教 学 模 式 改 革, 并 取 得 了 显 著 的 效 果 的 案 例 马 上 引 起 了 学 校 领 导 层 的 关 注, 他 们 这 次 大 胆 的 尝 试 使 我 们 看 到 了 改 变 我 校 落 后 教 学 现 状 的 希 望, 于 是 对 他 们 的 教 学 改 革 的 动 机 和 经 历 进 行 了 详 细 的 调 查 和 研 究. 实 际 上, 他 们 改 革 的 动 机 很 单 纯, 就 是 寄 希 望 改 变 学 与 教 的 顺 序, 从 而 能 够 使 数 学 成 绩 落 后 的 现 状 有 所 改 观. 他 们 的 改 革 经 历 很 离 奇, 从 来 没 有 到 过 哪 所 学 校 学 习 和 考 察 过, 也 没 有 系 统 的 50

55 三 自 主 教 学 模 式 的 实 践 和 研 究 接 触 过 先 学 后 教 的 理 论 和 操 作 流 程, 有 的 只 是 少 得 可 怜 的 几 张 文 本 资 料 和 对 先 学 后 教 理 论 的 自 我 理 解. 于 是, 坚 定 信 念, 大 胆 尝 试, 逐 渐 摸 索, 竟 然 闯 出 了 一 条 成 功 之 路.. 开 展 理 论 研 究, 确 立 本 土 化 的 教 学 模 式 有 了 成 功 的 先 例, 使 我 们 更 加 坚 定 信 心. 于 是 我 们 依 据 教 学 理 论, 结 合 我 校 的 实 际 情 况, 组 织 专 家 和 我 校 的 骨 干 教 师 对 先 学 后 教 的 教 学 理 念 和 教 学 流 程 开 展 深 入 的 研 究, 从 而 对 对 先 学 后 教 这 一 教 学 模 式 的 有 了 更 深 一 步 的 认 识. 我 们 把 它 总 结 为 三 变 三 不 变. () 形 式 可 变, 教 学 理 念 不 变 不 论 是 杜 郎 口 的 三 三 六 还 是 昌 乐 的 7, 从 本 质 上 讲 它 们 都 属 于 先 学 后 教 这 一 教 学 模 式 的 范 畴, 或 者 说 是 先 学 后 教 这 一 教 学 模 式 的 衍 生 ; 尽 管 它 们 的 操 作 流 程 存 在 着 些 许 差 异, 但 它 们 所 遵 循 的 教 学 理 念 却 是 一 致 的, 都 是 教 为 了 不 教, 都 是 在 教 学 中 充 分 发 挥 学 生 的 主 体 性, 让 学 生 成 为 学 习 的 主 人. 因 此 我 们 在 教 学 改 革 中, 应 该 更 加 关 注 理 念, 而 不 必 拘 泥 于 具 体 的 操 作 流 程, 更 不 能 生 搬 硬 套 其 它 学 校 的 成 功 模 式, 而 是 在 遵 循 教 学 理 念 的 基 础 上, 探 索 一 套 适 合 自 己 学 校 的 模 式. () 学 案 可 变, 导 学 功 能 不 变 学 案 是 这 一 先 进 教 学 模 式 的 灵 魂. 它 的 主 要 功 能 就 是 指 导 学 生 开 展 自 主 学 习, 指 导 教 师 开 展 有 针 对 性 的 教 学. 但 学 案 的 设 计 深 受 师 资 力 量 生 源 水 平 学 科 特 点 等 因 素 的 影 响, 因 此 不 同 学 校 的 学 案 有 着 明 显 的 差 异, 它 们 的 框 架 结 构 容 量 难 度 等 都 会 有 所 不 同, 不 同 学 科 学 案 的 侧 重 点 也 不 一 样. 但 是 它 们 都 有 一 个 共 同 的 特 点, 就 是 适 应 自 己 所 倡 导 的 教 学 模 式, 适 合 自 己 学 校 的 学 生. 因 此 切 忌 为 图 省 事 照 抄 其 它 学 校 的 学 案, 而 是 要 根 据 自 学 校 的 实 际 情 况, 因 地 制 宜, 设 计 适 合 本 校 学 生 的 学 案. 但 无 论 学 案 怎 么 变, 它 的 设 计 思 想 框 架 结 构 容 量 难 度 都 要 为 导 学 所 服 务 的 功 能 不 变. (3) 环 节 可 变, 坚 持 落 实 不 变 课 前 预 习 课 内 讨 论 交 流 学 生 展 示 教 师 点 评 当 场 检 测 课 后 辅 导 小 组 合 作 等 是 先 学 后 教 教 学 模 式 所 具 备 的 教 学 环 节. 当 然 在 具 体 实 施 过 程 中 不 同 的 学 校 会 根 据 自 身 的 特 点 进 行 灵 活 的 选 择, 从 而 也 就 衍 生 出 了 许 多 独 具 特 色 的 教 学 模 式. 但 教 学 环 节 不 管 如 何 变, 坚 持 不 变, 即 在 实 施 过 程 中 遇 到 困 难 和 阻 挠, 要 想 办 法 解 决, 而 不 能 半 途 而 废 ; 还 有 落 实 不 变, 即 要 建 立 相 应 的 保 障 机 制, 把 各 个 教 学 环 节 落 实 到 实 处. 经 过 上 述 的 研 究 和 提 炼, 结 合 我 校 的 实 际 情 况, 我 们 提 出 了 具 有 本 土 化 特 色 的 三 自 主 教 学 模 式. 三 自 主 即 课 前 自 主 预 习 课 内 自 主 探 讨 交 流 课 后 自 主 练 习. 三 自 主 模 式 是 指 学 生 学 习 过 程 中 的 三 个 环 节 : 课 前 预 习 环 节 让 学 生 自 主 预 习, 完 成 学 案 中 的 问 题 和 练 习 题 ; 课 内 自 主 探 讨 交 流 环 节 是 指 在 学 生 完 成 学 案 的 基 础 上, 师 生 探 讨 交 流, 教 师 进 行 有 针 对 性 的 讲 授 ; 然 后 完 成 课 内 过 关 练 习, 教 师 当 场 组 织 校 对 答 案, 及 时 反 馈 课 堂 教 学 效 果 ; 课 后 自 主 练 习 环 节 是 在 完 成 课 堂 教 学 任 务 后, 学 生 自 主 完 成 教 师 精 心 设 计 的 课 外 提 高 训 练. 三 自 主 模 式 始 终 遵 循 学 生 自 主 学 习 这 一 课 堂 教 学 原 则, 使 学 生 有 效 完 成 双 基 的 落 实, 养 成 学 生 5

56 课 题 研 究 良 好 的 自 学 习 惯 和 提 高 学 生 的 自 主 能 力, 最 终 达 成 培 养 学 生 分 析 问 题 解 决 问 题 的 能 力 和 总 结 反 思 能 力 的 目 的. 自 此, 拉 开 了 我 校 三 自 主 课 堂 教 学 改 革 的 序 幕.. 解 读 教 学 理 念, 形 成 本 土 化 的 角 色 认 知 教 学 改 革 要 起 步, 理 念 转 变 需 先 行. 由 于 长 期 受 传 统 教 学 观 念 的 影 响, 教 师 的 教 学 观 及 学 生 的 学 习 观 比 较 落 后, 课 堂 上 还 是 沿 袭 教 师 讲, 学 生 听 教 师 演 示, 学 生 模 仿 的 套 路. 学 生 的 主 体 地 位 被 忽 视, 师 生 的 交 流 互 动 被 弱 化. 落 后 的 理 念 严 重 的 制 约 着 教 学 改 革 与 创 新. 新 课 改 要 求 教 师 由 单 一 知 识 传 授 者 向 学 生 学 习 的 组 织 者 合 作 者 促 进 者 等 多 重 角 色 转 变, 从 而 最 终 实 现 课 堂 还 给 学 生, 让 学 生 成 为 真 正 的 学 习 主 人. 我 们 认 为 这 样 的 转 变 不 仅 是 非 常 必 须, 而 且 是 迫 在 眉 睫. 但 如 何 转 变 呢? 怎 样 才 能 让 教 师 成 为 学 生 学 习 的 组 织 者 合 作 者 促 进 者 呢? 长 期 以 来, 我 校 一 直 遵 循 着 传 统 的 教 学 套 路 和 方 法, 教 师 不 可 谓 不 辛 苦, 不 可 谓 不 敬 业. 我 们 都 知 道 这 样 一 个 结 论 : 教 师 的 投 入 和 产 出 和 生 源 的 质 量 有 着 非 常 大 的 关 系. 在 生 源 好 的 学 校, 投 入 和 回 报 基 本 上 成 正 比 ; 而 在 生 源 差 的 学 校, 教 师 是 投 入 多 回 报 少. 具 体 表 现 在, 生 源 好 的 学 校, 教 师 讲 上 一 遍, 基 本 上 所 有 的 学 生 都 掌 握 了 ; 而 生 源 差 的 学 校, 有 的 时 候 教 师 即 使 讲 上 几 十 遍, 学 生 依 旧 不 知 道. 于 是, 我 们 把 教 学 质 量 的 提 升 都 归 结 为 生 源 的 因 素, 争 取 到 好 的 生 源 是 我 们 每 个 学 校 的 终 极 理 想. 但 根 据 中 国 教 育 的 现 状, 每 个 学 校 都 有 好 生 源 这 是 不 可 能 的. 我 们 也 知 道, 所 谓 的 生 源 差 并 不 是 指 学 生 智 商 低, 而 是 学 生 的 基 础 知 识 水 平 差, 更 是 表 现 的 在 学 习 习 惯 和 学 习 方 法 上 差. 学 习 被 动 是 差 生 的 共 性, 通 俗 的 讲 就 是 懒. 长 期 以 来 我 们 希 望 通 过 教 师 的 勤 奋 而 改 变 学 生 懒 的 习 惯, 但 这 个 做 法 现 在 看 来 是 非 常 的 乏 力 的. 教 师 在 课 上 讲 解 的 头 头 是 道, 板 演 的 工 工 整 整, 但 下 面 学 生 置 若 罔 闻 我 行 我 素 的 现 象 在 课 堂 上 却 比 比 皆 是. 由 此 可 见, 教 师 的 勤 是 很 难 换 来 学 生 的 勤 的. 相 反, 有 时 候 教 师 的 勤 反 而 助 长 了 学 生 的 懒. 俗 话 说 的 好, 娘 勤 儿 女 懒, 陶 行 知 先 生 就 曾 在 教 育 与 科 学 方 法 一 文 中 指 出 : 现 在 的 教 育 有 两 种 如 一 个 新 学 生 坐 在 洋 车 上, 叫 车 夫 拉 着 拼 命 跑 几 十 里 路, 结 果 自 然 是 学 生 逸 车 夫 苦, 但 让 学 生 自 己 再 回 来 恐 怕 还 是 不 能 ; 如 一 去 不 坐 车, 不 认 识 路 就 问 警 察, 自 然 是 辛 苦 一 点 儿, 但 走 到 回 来 时, 包 管 还 能 回 来. 第 一 种 情 况 车 夫 很 累, 但 学 生 恐 怕 还 是 不 认 路, 也 就 是 说 他 没 有 学 到 东 西 ; 第 二 种 情 况 学 生 虽 然 累, 但 真 正 学 到 了 东 西. 这 也 就 是 教 师 的 勤 劳 对 学 生 来 说 未 必 是 好 事. 在 学 习 上 事 事 包 办, 尽 管 学 生 学 的 轻 松, 但 无 形 中 使 学 生 变 得 懒 惰. 因 此, 经 过 对 课 程 标 准 和 我 校 课 堂 教 学 的 现 状 的 深 入 研 究, 结 合 三 自 主 教 学 模 式 的 要 求, 我 们 提 出 了 教 师 要 学 会 偷 懒 的 观 点. 一 提 到 懒 给 人 的 第 一 印 象 就 不 好, 它 更 不 应 该 出 现 已 教 书 育 人 为 己 任 的 教 师 身 上. 但 此 懒 非 彼 懒, 这 里 的 懒 不 是 指 教 师 对 自 己 的 工 作 表 现 出 懒 散 或 懈 怠, 而 是 指 教 师 的 教 学 理 念 把 课 堂 还 给 学 生, 让 学 生 成 为 学 习 的 主 人 的 新 课 程 5

57 三 自 主 教 学 模 式 的 实 践 和 研 究 理 念. 正 如 我 们 三 自 主 模 式 所 倡 导 的 那 样, 能 让 学 生 做 的 就 让 学 生 做, 能 让 学 生 讲 的 就 让 学 生 讲, 充 分 发 挥 学 生 学 习 的 主 动 性. 偷 懒 的 教 师 只 从 旁 协 助, 于 可 望 而 不 可 之 处 搭 桥 铺 路, 于 琐 屑 繁 复 时 提 纲 挈 领, 对 百 思 不 得 其 解 者 醍 醐 灌 顶, 发 现 浅 尝 辄 止 者 巧 妙 质 疑. 教 师 的 懒 促 使 教 师 从 单 一 知 识 传 授 者 转 变 成 了 学 生 学 习 的 合 作 者 组 织 者 促 进 者 等 多 种 角 色, 促 使 学 生 的 学 习 方 式 也 从 单 纯 的 接 受 记 忆 与 模 仿 转 变 动 手 实 践 自 主 探 索 与 合 作 交 流 等 多 种 学 习 方 式. 因 此 教 师 的 懒 实 现 了 教 师 和 学 生 的 双 赢. 3 制 定 阶 段 化 的 课 题 方 案, 完 善 教 学 细 节 自 从 三 自 主 教 学 模 式 的 实 践 和 研 究 被 立 项 为 市 级 课 题 后, 我 们 以 数 学 组 为 基 点, 通 过 以 点 带 面 的 方 式, 正 式 制 定 阶 段 化 的 三 自 主 教 学 模 式 的 实 施 方 案. 整 个 方 案 分 三 个 阶 段 进 行 : 第 一 阶 段 试 点 推 广 阶 段.009 学 年 第 二 学 期, 以 数 学 组 为 试 点, 其 它 有 条 件 的 备 课 组 同 时 参 与. 规 范 三 自 主 教 学 模 式 操 作 程 序, 全 程 跟 踪. 第 二 阶 段 选 组 推 广 实 施 阶 段.00 学 年 第 一 学 期, 制 定 三 自 主 教 学 模 式 大 面 积 推 广 实 施 方 案, 召 开 全 校 各 个 层 面 人 员 推 广 动 员 大 会, 启 动 三 自 主 教 学 模 式 推 广 实 验, 通 过 观 摩 课 学 生 座 谈 教 学 质 量 分 析 等 手 段, 改 进 和 完 善 该 模 式. 充 分 挖 掘 校 园 网 的 资 源 和 优 势, 各 教 研 组 依 托 教 师 的 个 人 博 客 平 台 开 展 网 络 教 研, 通 过 教 学 反 思 网 络 评 课 等 形 式 进 行 三 自 主 教 学 经 验 交 流 活 动. 第 三 阶 段 大 面 积 推 广 实 施 阶 段.00 学 年 第 二 学 期, 全 方 位 多 层 面 的 实 施 推 广. 加 强 交 流 与 研 讨, 对 推 广 研 究 进 程 成 果 典 型 事 例 出 现 的 问 题 及 原 因 等 进 行 全 方 位 的 反 馈 总 结 分 析, 集 体 讨 论, 提 出 修 订 意 见. 第 四 阶 段 巩 固 创 新 阶 段 0 学 年 第 一 学 期, 组 织 教 师 撰 写 三 自 主 教 学 论 文 案 例. 各 教 研 组 结 合 本 学 科 的 特 点, 编 写 完 成 适 合 二 中 学 生 的 学 案, 形 成 具 有 本 组 特 色 的 三 自 主 教 学 模 式. 同 时 整 理 出 版 三 自 主 学 案, 建 立 具 有 二 中 特 色 的 校 本 教 材 体 系. 三 自 主 教 学 模 式 阶 段 化 推 进, 与 之 相 匹 配 的 具 体 措 施 和 方 法 也 是 分 阶 段 进 行 的. 3. 分 阶 段 的 外 出 学 习 激 发 热 情, 树 立 信 心 我 们 在 三 自 主 实 施 的 每 个 阶 段 都 组 织 教 师 外 出 考 察, 向 教 学 改 革 成 功 的 学 校 取 经 学 习, 为 三 自 主 教 学 改 革 提 供 宝 贵 的 经 验 和 思 路. 而 且 每 个 阶 段 外 出 学 习 的 对 象 和 目 的 都 有 所 侧 重, 前 两 个 阶 段 主 要 组 织 高 一 高 二 的 学 科 教 师 外 出, 主 要 目 的 是 感 受 课 堂 教 学 改 革 的 魅 力, 了 解 其 它 学 校 的 课 改 历 程 ; 后 面 两 个 阶 段 主 要 组 织 骨 干 教 师 外 出, 目 的 是 用 理 性 的 眼 光 审 视 课 改 精 神, 博 采 众 长, 为 我 所 用. 通 过 分 阶 段 的 组 织 教 师 外 出 学 习, 激 发 教 师 参 与 教 学 改 革 的 热 情, 使 教 师 树 立 教 学 改 革 的 信 心. 3. 分 阶 段 的 指 导 帮 助 集 中 力 量, 逐 个 突 破 成 立 三 自 主 课 堂 教 学 指 导 小 组, 加 强 对 各 备 课 组 的 听 课, 规 范 各 备 课 组 的 操 作 53

58 课 题 研 究 流 程 是 我 们 推 广 三 自 主 教 学 的 主 要 方 式. 但 由 于 需 要 指 导 的 学 科 和 教 师 众 多, 于 是 我 们 采 取 集 中 优 势, 逐 个 突 破 的 策 略. 比 如, 我 们 先 重 点 加 强 对 语 文 教 研 组 物 理 教 研 组 的 指 导, 跟 踪 听 课, 连 续 听 课, 直 至 它 们 的 三 自 主 教 学 进 入 正 轨, 然 后 在 集 中 力 量 规 范 其 它 备 课 组, 由 点 到 面 逐 步 使 各 备 课 组 形 成 具 有 本 学 科 特 色 的 三 自 主 教 学 流 程. 3.3 分 阶 段 的 达 标 认 证 促 进 发 展, 趋 向 成 熟 随 着 教 学 改 革 的 深 入, 我 们 逐 步 出 台 了 三 自 主 学 案 标 准 三 自 主 课 堂 教 学 常 规 三 自 主 课 堂 教 学 能 力 考 核 细 则 等 规 章 制 度. 为 了 使 各 学 科 的 三 自 主 教 学 走 向 规 范, 形 成 特 色, 我 们 引 入 了 认 证 制 度, 对 于 达 标 的 教 师 和 教 研 组 颁 发 三 自 主 教 学 达 标 证 书. 认 证 的 结 果 直 接 和 教 师 的 个 人 和 教 研 组 的 考 核 挂 钩. 当 然 认 证 的 过 程 是 分 阶 段 进 行 的. 第 一 阶 段 主 要 是 教 学 流 程 的 达 标 认 证 ; 第 二 阶 段 是 学 案 的 达 标 认 证 ; 第 三 阶 段 是 作 业 批 改 的 达 标 认 证 ; 第 四 阶 段 是 课 后 辅 导 的 达 标 认 证. 通 过 一 系 列 的 达 标 认 证, 使 得 我 们 的 三 自 主 教 学 改 革 快 速 走 向 成 熟. 4 搭 建 形 式 多 样 的 交 流 平 台, 凸 显 辐 射 效 应 没 有 交 流, 就 无 从 提 高. 教 学 改 革 更 离 不 开 教 师 间 的 相 互 交 流, 相 互 探 讨, 从 而 达 成 共 识, 形 成 模 式. 我 们 一 直 大 力 提 倡 教 师 间 的 交 流 师 生 间 的 交 流 学 科 间 的 教 学, 除 了 传 统 意 义 上 的 听 评 课 等 教 研 活 动 外, 我 们 想 方 设 法 为 教 师 搭 建 各 种 交 流 平 台. 4. 搭 建 网 络 平 台 依 托 我 校 完 善 的 校 园 网 络, 课 题 组 大 力 推 广 网 络 教 研 新 模 式, 建 立 了 一 批 三 自 主 专 题 博 客. 如 : 三 自 主 一 百 问 专 题 博 客, 专 门 探 讨 三 自 主 实 施 过 程 中 的 困 惑 和 疑 问 ; 还 有 三 自 主 教 研 组 博 客, 专 门 记 录 各 学 科 三 自 主 实 施 情 况, 要 求 各 备 课 组 把 有 关 三 自 主 的 学 案 教 研 活 动 记 录 教 学 反 思 等 资 料 上 传 网 络, 围 绕 三 自 主 教 学 模 式 开 展 网 络 教 研. 通 过 网 络 平 台 为 教 师 之 间 提 供 了 更 为 快 捷 交 流 沟 通 方 式, 也 为 教 学 改 革 的 实 施 提 供 详 实 的 第 一 手 材 料. 4. 搭 建 展 示 平 台 我 校 历 来 都 有 把 学 期 初 的 第 一 个 月 作 为 常 规 管 理 月 的 传 统, 在 这 个 月 里, 各 教 研 组 纷 纷 开 展 听 评 课 等 教 研 活 动. 自 从 三 自 主 教 学 改 革 以 来, 我 们 就 把 开 学 初 的 第 一 个 月 作 为 三 自 主 教 学 展 示 月, 每 个 教 研 组 开 设 三 自 主 展 示 课, 邀 请 专 家 和 兄 弟 学 校 的 教 师 进 行 观 摩, 大 家 共 同 探 讨 三 自 主 教 学 的 内 涵, 为 三 自 主 教 学 模 式 的 发 展 出 谋 划 策 ; 学 校 也 组 织 专 人 进 行 课 堂 录 像, 收 集 各 种 文 字 图 片 视 频 资 料, 建 立 三 自 主 资 源 库. 学 校 每 学 期 都 举 办 三 自 主 教 学 评 比, 评 选 三 自 主 教 学 之 星. 同 时 举 办 立 三 小 先 生 说 题 比 赛, 旨 在 激 发 学 生 学 习 的 热 情, 改 变 学 习 现 有 的 学 习 方 式, 创 建 积 极 主 动 的 学 习 氛 围, 为 三 自 主 教 学 模 式 的 改 革 提 供 广 泛 的 学 生 基 础. 5 三 自 主 教 学 改 革 的 收 获 我 校 三 自 主 教 学 模 式 的 改 革 至 今 已 近 两 个 年 头, 已 经 取 得 了 阶 段 性 的 成 果. 5. 改 变 了 学 生 的 学 习 方 式, 提 升 学 生 的 自 学 能 力 54

59 通 过 三 自 主 模 式 的 实 施, 充 分 调 动 了 学 生 的 积 极 性, 最 大 限 度 的 发 挥 了 学 生 学 习 的 主 动 性. 学 生 经 历 了 从 学 会 到 想 学 会 学 的 质 的 转 变, 改 变 了 原 来 的 被 动 接 受 式 的 学 习 发 方 式, 形 成 了 自 主 学 习 的 好 习 惯. 学 生 的 自 学 能 力 得 到 巨 大 提 升, 这 对 于 他 们 一 生 都 将 是 非 常 有 意 义 的. 尤 其 是 很 多 学 生 进 入 大 学 后, 纷 纷 表 示 对 这 种 教 学 模 式 高 度 认 可, 认 为 对 他 们 今 后 的 人 生 起 到 了 重 要 的 作 用. 5. 转 变 了 教 师 的 教 学 方 式, 促 进 了 教 师 专 业 化 成 长 如 果 没 有 广 大 教 师 素 质 的 提 高, 那 么 提 高 素 质 教 育 的 质 量 是 很 难 保 证 的. 通 过 实 施 新 的 教 学 模 式, 我 校 教 师 业 务 素 质 教 育 素 养 和 教 学 能 力 等 有 了 较 大 的 提 高. () 教 学 理 念 的 转 变 研 究 初 期 不 少 教 师 的 教 学 仅 仅 停 留 教 师 讲 学 生 听 的 阶 段, 片 面 的 认 为 老 师 讲 的 越 多 学 生 学 的 越 好, 而 学 生 的 学 习 方 式 就 是 被 动 的 接 受 教 师 所 讲 授 的 知 识. 研 究 后 期 的 调 查 我 们 则 可 喜 地 看 到 不 少 教 师 基 本 形 成 了 以 学 生 发 展 为 本 的 教 育 理 念, 重 视 学 生 的 主 体 地 位. 三 自 主 教 学 模 式 改 变 了 教 师 传 统 的 授 课 方 法, 教 师 将 不 再 只 是 知 识 技 能 的 传 授 者 和 灌 输 者, 而 是 学 生 知 识 技 能 发 展 的 促 进 者 引 导 者 合 作 者. () 课 堂 驾 驭 能 力 的 提 高 课 堂 驾 奴 的 能 力 主 要 是 掌 握 一 种 平 衡, 维 持 重 视 学 生 的 意 见 与 不 偏 离 教 学 目 标 之 间 的 动 态 平 衡. 三 自 主 教 学 模 式 充 分 重 视 学 生 的 主 体 地 位, 放 手 让 学 生 成 为 课 堂 的 主 人, 但 这 些 也 对 教 师 驾 驭 课 堂 的 能 力 提 出 了 重 大 的 考 验. 通 过 三 自 主 模 式 的 教 学 实 践, 很 多 老 师 具 备 较 强 驾 奴 课 堂 能 力. 每 个 学 生 都 被 老 师 充 分 关 注, 课 堂 上 学 生 可 以 畅 所 欲 言, 他 们 的 观 点 得 到 老 师 的 重 视 ; 遇 到 疑 问, 师 生 共 同 探 讨. 5.3 改 善 了 我 校 落 后 教 学 面 貌, 教 学 成 绩 显 著 提 高 实 施 三 自 主 教 学 改 革 后, 我 校 的 课 堂 效 率 明 显 提 升, 教 学 进 度 稳 步 跟 进. 在 此 之 前, 课 堂 教 学 的 进 度 通 常 落 后 于 兄 弟 学 校, 每 到 市 县 组 织 的 统 一 考 试, 最 令 我 们 发 愁 的 不 是 考 试 成 绩, 而 是 课 有 没 有 时 间 上 完. 而 现 在, 我 们 根 本 不 用 担 心 这 一 问 题, 我 们 的 教 学 进 度 都 能 和 兄 弟 学 校 持 平, 各 学 科 有 充 分 的 时 间 进 行 复 习 回 顾. 同 时 考 试 成 绩 进 步 明 显, 尤 其 是 在 历 次 的 统 一 考 试 中, 我 们 的 各 科 成 绩 均 超 过 同 一 层 次 的 学 校. 今 年 的 高 三 市 统 一 考 试, 我 们 的 文 综 成 绩 甚 至 超 越 比 我 们 高 一 层 次 的 学 校, 英 语 数 学 等 学 科 的 成 绩 与 县 平 均 分 的 差 距 显 著 缩 小, 学 生 的 落 后 面 显 著 减 少. 总 之, 课 堂 教 学 改 革 的 内 涵 是 非 常 丰 富 的, 关 于 它 的 话 题 也 是 仁 者 见 仁 智 者 见 智. 以 上 只 是 我 校 在 教 学 改 革 中 的 点 滴 收 获 和 感 悟, 以 供 广 大 同 仁 参 考. 新 课 改 高 一 学 生 数 学 学 习 问 题 的 研 究 与 对 策 朱 春 萍 ( 浙 江 湖 州 练 市 中 学 3303) 摘 要 : 学 生 从 初 中 到 高 中 不 仅 有 一 个 教 学 内 容 衔 接 问 题, 而 且 还 就 有 一 个 学 习 55

60 课 题 研 究 方 式 如 何 调 适 的 问 题, 数 学 学 科 尤 其 如 此. 高 一 是 数 学 学 习 的 一 个 关 键 时 期, 不 少 学 生 在 初 中 是 学 校 的 佼 佼 者, 在 经 过 一 段 的 学 习 后, 学 习 成 绩 大 幅 度 下 降, 甚 至 过 去 的 尖 子 生 渐 渐 沦 为 数 学 后 进 生. 少 数 学 生 对 数 学 学 习 失 去 信 心, 甚 至 害 怕 数 学, 讨 厌 数 学, 直 至 放 弃 数 学. 这 部 分 学 生 厌 恶 数 学 成 绩 下 降 的 原 因 何 在? 又 有 何 对 策? 关 键 词 : 原 因 分 析 思 想 方 法 技 巧 数 学 是 人 类 文 化 的 重 要 组 成 部 分, 已 成 为 公 民 所 必 须 具 备 的 一 种 基 本 素 质. 数 学 在 形 成 人 类 理 性 思 维 的 过 程 中 发 挥 着 独 特 的 不 可 替 代 的 作 用. 作 为 衡 量 一 个 人 能 力 的 重 要 学 科, 从 小 学 到 高 中 绝 大 多 数 同 学 对 它 情 有 独 钟, 投 入 了 大 量 的 时 间 与 精 力. 但 每 一 届 初 中 毕 业 生 中, 总 有 一 部 分 以 比 较 高 的 数 学 成 绩 进 入 高 中 的 学 生, 在 经 过 一 段 的 学 习 后, 学 习 成 绩 大 幅 度 下 降, 甚 至 过 去 的 尖 子 生 渐 渐 沦 为 数 学 后 进 生. 少 数 学 生 对 数 学 学 习 失 去 信 心, 甚 至 害 怕 数 学, 讨 厌 数 学, 直 至 放 弃 数 学. 这 部 分 学 生 厌 恶 数 学 成 绩 下 降 的 原 因 何 在? 又 有 何 对 策? 为 了 较 全 面 地 了 解 和 考 察 初 中 生 升 入 高 一 年 级 后 学 生 数 学 成 绩 突 变 的 情 况, 并 对 初 高 中 数 学 教 学 如 何 应 对 高 一 学 生 学 习 水 平 下 降 的 策 略, 促 进 学 生 有 效 持 久 的 发 展, 对 我 校 05 届 高 一 学 生 学 习 数 学 的 情 况 进 行 了 调 查. 发 放 的 调 查 问 卷 分 两 个 部 分 :. 调 查 高 一 学 生 的 非 智 力 因 素 发 展 情 况 和 对 学 习 成 绩 的 影 响, 包 括 数 学 学 习 习 惯 学 习 方 法 学 习 兴 趣 意 志 品 质 等.. 调 查 与 调 查 与 数 学 学 习 水 平 直 接 相 关 的 智 能 因 素, 包 括 初 中 升 学 考 数 学 成 绩, 初 中 阶 段 的 学 习 方 法 与 高 一 时 的 学 习 方 法 及 其 差 异, 高 一 数 学 最 明 显 的 知 识 和 疑 难 问 题, 初 中 数 学 教 学 上 的 不 同 等. 在 高 一 教 师 的 配 合 下, 放 了 500 份 调 查 问 卷, 回 收 了 487 份, 进 行 了 数 据 分 析, 并 对 高 一 5 位 任 课 老 师 进 行 了 走 访, 主 要 在 初 高 中 教 材 的 内 容 和 编 排 特 点 初 高 中 学 生 的 学 法, 教 师 的 教 法 初 中 数 学 教 学 该 如 何 关 注 学 生 的 可 持 续 发 展 和 初 中 数 学 怎 样 主 动 地 与 高 一 数 学 接 轨 等 问 题 进 行 了 访 谈. 调 查 结 果 发 现 : 表 一 中 考 成 绩 与 高 一 第 一 学 期 期 末 成 绩 的 比 较 平 均 分 / 总 选 项 优 秀 率 合 格 率 低 分 率 分 中 考 成 绩 期 末 成 绩 表 二 初 高 中 期 间 数 学 学 习 兴 趣 的 变 化 选 很 喜 欢 数 学 较 喜 欢 数 学 一 般 不 喜 欢 数 学 项 初 中 高 一 表 三 初 高 中 数 学 学 习 的 方 式 选 项 记 忆 知 模 仿 解 请 教 师 独 立 思 考 问 题 识 题 生 初 中 高 一 由 表 一 数 据 可 以 看 出 : 高 一 学 生 的 第 一 学 期 考 试 成 绩 与 中 考 成 绩 相 比, 有 明 显 的 下 降, 学 习 成 绩 分 化 比 初 中 更 加 严 重, 整 体 学 习 成 绩 呈 下 滑 态 势, 合 格 率 呈 现 出 极 大 的 差 异, 低 分 学 生 的 人 数 有 较 大 幅 度 的 增 加, 优 秀 率 波 动 情 况 更 是 让 人 吃 惊, 据 高 一 数 学 教 师 反 映, 所 谓 初 中 数 学 成 绩 优 异 的 学 生 尤 其 56

61 新 课 改 高 一 学 生 数 学 学 习 问 题 的 研 究 与 对 策 是 女 学 生 的 成 绩 普 遍 下 降, 这 是 不 争 的 事 实. 初 中 阶 段, 数 学 学 习 的 解 题 的 套 路 较 强, 而 高 一 数 学 却 更 注 重 于 能 力 和 思 维 上 的 要 求. 对 我 校 毕 业 生 的 跟 踪 调 查 情 况 来 看, 他 们 对 高 一 数 学 存 有 恐 惧 感, 他 们 说 平 常 数 学 成 绩 测 试 使 他 们 心 理 上 感 到 明 显 的 挫 败, 与 初 中 数 学 成 绩 形 成 极 大 的 反 差, 背 着 沉 重 的 心 理 包 袱, 他 们 屡 战 屡 败 屡 败 屡 战, 从 而 挫 伤 了 他 们 学 好 数 学 的 信 心. 表 二 告 诉 我 们 一 个 必 须 面 对 的 事 实 : 高 一 学 生 热 爱 数 学 的 人 较 初 中 阶 段 进 一 步 减 少. 初 中 时 很 喜 欢 数 学 或 较 喜 欢 数 学 的 学 生 占 64%, 而 高 一 只 占 44%. 心 理 学 研 究 表 明 : 推 动 学 生 进 行 学 习 的 内 部 动 力 是 学 习 动 机, 而 兴 趣 是 构 建 学 习 动 机 中 的 最 现 实 最 活 跃 的 成 份. 不 少 高 一 学 生 视 数 学 为 苦 役, 从 而 在 数 学 学 习 情 感 学 习 态 度 上 延 长 了 初 高 中 接 轨 的 矫 正 期. 因 此, 要 想 方 设 法 让 学 生 积 极 参 与 数 学 学 习 活 动, 产 生 对 数 学 强 烈 的 好 奇 心 与 求 知 欲. 学 习 兴 趣 的 减 弱 与 学 习 成 绩 下 降 呈 正 相 关, 让 学 生 多 一 些 成 功 的 经 验, 少 一 些 失 败 的 沮 丧. 从 表 三 中 可 见 高 一 学 生 对 数 学 基 本 知 识 和 基 本 技 能 的 掌 握 上, 仍 与 初 中 阶 段 一 样 进 行 简 单 的 知 识 识 记 和 典 型 例 题 的 模 仿, 这 种 惯 性 的 学 习 方 法 在 高 一 阶 段 依 然 占 据 学 习 方 法 的 主 导 地 位, 高 一 学 生 由 于 年 龄 特 征 更 愿 意 把 问 题 藏 在 心 里 面, 而 碍 于 面 子 不 愿 把 问 题 暴 露 在 老 师 和 同 学 面 前, 但 他 们 独 立 思 考 问 题 和 探 索 问 题 的 能 力 却 是 有 限 的, 还 跟 不 上 学 习 层 次 的 提 高. 综 上 所 述, 结 合 长 期 的 观 察 研 究 和 比 较 高 初 中 数 学 的 教 与 学, 造 成 高 一 学 生 数 学 学 习 成 绩 下 降 的 主 要 原 因 有 以 下 几 个 方 面 :. 初 高 中 教 材 的 变 化 影 响 由 于 实 行 九 年 制 义 务 教 育 和 倡 导 全 面 提 高 学 生 素 质, 现 行 初 中 数 学 教 材 在 内 容 上 进 行 了 较 大 幅 度 的 调 整, 难 度 深 度 和 广 度 大 大 降 低 了, 且 目 前 初 中 教 材 叙 述 方 法 比 较 简 单, 内 容 通 俗 具 体, 偏 重 于 实 数 集 内 的 运 算, 题 型 少 而 且 简 单, 直 观 性 趣 味 性 强, 结 论 容 易 记 忆, 对 于 不 少 定 理 没 有 严 格 的 论 证 或 以 公 理 形 式 直 接 导 出, 从 而 避 免 了 证 明. 另 外, 初 中 教 材 坡 度 小, 直 观 性 强, 对 于 每 个 概 念 都 配 备 大 量 的 习 题 和 练 习 ; 加 之 升 学 压 力, 教 师 多 采 用 反 复 训 练, 机 械 重 复 的 方 法, 让 学 生 熟 悉 每 一 道 题 的 求 解 而 不 是 理 解. 但 高 一 教 材 一 开 始 就 给 出 了 一 个 全 新 的 概 念 : 集 合 映 射 等 近 代 数 学 知 识 ; 接 下 来 是 抽 象 性 更 强 的 集 合 运 算 问 题 函 数 的 性 质 及 其 应 用, 提 高 了 一 个 层 次. 而 紧 接 着 的 三 角 函 数 向 量 知 识 对 学 生 的 观 察 分 析 判 断 和 推 理 能 力 提 出 了 更 高 的 要 求. 这 样 初 中 教 材 就 体 现 了 浅 少 易 的 特 点, 但 却 加 重 了 高 一 数 学 的 份 量. 相 对 而 言, 高 中 数 学 一 开 始, 概 念 抽 象, 定 理 严 谨, 逻 辑 性 强, 教 材 叙 述 比 较 严 谨 规 范, 抽 象 思 维 和 空 间 想 象 明 显 提 高, 知 识 难 度 加 大, 且 习 题 类 型 多, 解 题 技 巧 灵 活 多 变, 计 算 繁 冗 复 杂, 体 现 了 起 点 高 难 度 大 容 量 多 的 特 点. 尽 管 近 年 来 高 中 教 材 有 所 改 动, 但 从 一 定 意 义 上 讲, 调 整 后 的 教 材 不 仅 没 有 缩 小 初 高 中 教 材 内 容 的 难 度 差 距, 反 而 更 加 增 大 了, 并 且 由 于 高 考 的 存 在 和 影 响, 教 师 在 教 学 过 程 中 并 不 敢 降 低 难 度. 因 此, 不 可 避 免 地 造 成 学 生 不 适 应 高 中 数 学 学 习, 而 影 响 成 绩 的 提 高. 所 以 要 及 时 采 取 补 救 措 施, 解 决 初 高 中 知 识 能 力 的 衔 接 问 题. 57

62 课 题 研 究. 教 法 的 变 法 影 响 初 中 数 学 教 学 内 容 少, 知 识 难 度 不 大, 教 学 要 求 较 低, 因 而 教 学 进 度 较 慢, 对 于 某 些 重 点 难 点, 教 师 可 以 有 充 裕 的 时 间 反 复 讲 解 多 次 演 练, 从 而 各 个 击 破. 但 是 进 入 高 中 以 来, 教 学 教 材 内 涵 丰 富, 教 学 要 求 高, 教 学 进 度 快, 知 识 信 息 广 泛, 题 目 难 度 加 深, 知 识 的 重 点 和 难 点 也 不 可 能 象 初 中 那 样 通 过 反 复 强 调 来 排 难 释 疑. 且 高 中 教 学 往 往 通 过 设 导 设 问 设 陷 设 变, 启 发 引 导, 开 拓 思 路, 然 后 由 学 生 自 己 思 考 去 解 答, 比 较 注 意 知 识 的 发 生 过 程, 倾 重 对 学 生 思 想 方 法 的 渗 透 和 思 维 品 质 的 培 养. 这 使 得 刚 入 高 中 的 学 生 不 容 易 适 应 这 种 教 学 方 法. 听 课 时 就 存 在 思 维 障 碍, 不 容 易 跟 上 教 师 的 思 维, 从 而 产 生 学 习 障 碍, 影 响 数 学 的 学 习. 3. 学 生 自 身 的 影 响 我 国 现 行 学 制 的 高 一 学 生 一 般 是 6 岁, 在 生 理 上, 正 处 在 青 春 时 期, 而 在 心 理 上, 也 发 生 了 微 妙 的 变 化. 与 初 中 生 相 比, 多 数 高 中 生 表 现 为 上 课 不 爱 举 手 发 言, 课 内 讨 论 气 氛 不 够 热 烈, 有 时 点 名 回 答 问 题 也 不 够 直 爽, 与 教 师 的 日 常 交 往 渐 有 隔 阂 感, 即 使 同 学 之 间 朝 夕 相 处, 也 不 大 愿 意 公 开 自 己 的 心 事. 心 理 学 上 把 这 种 青 年 初 期 最 显 著 的 心 理 特 征 称 为 闭 锁 性. 高 一 学 生 心 理 上 产 生 的 闭 锁 性, 给 教 学 带 来 很 大 的 障 碍, 表 现 在 学 生 课 堂 上 启 而 不 发, 呼 而 不 应. 4. 学 习 方 法 技 巧 的 影 响 高 一 学 生 在 初 中 学 习 过 程 中 形 成 了 固 定 的 学 习 习 惯 和 学 习 方 法 : 他 们 上 课 注 意 听 讲, 满 足 于 老 师 布 置 的 作 业. 但 只 是 满 足 于 课 堂 上 听, 没 有 养 成 做 笔 记 的 习 惯 ; 或 者 上 课 忙 于 记 笔 记, 对 老 师 要 上 课 的 内 容 不 了 解, 没 听 到 门 道. 没 有 真 正 理 解 所 学 内 容. 课 后 又 不 能 及 时 巩 固 总 结 寻 找 知 识 间 的 联 系, 只 是 赶 做 作 业, 乱 套 题 型, 对 概 念 法 则 公 式 定 理 一 知 半 解, 机 械 模 仿. 与 初 中 数 学 学 习 的 理 念 不 同, 在 初 中, 教 师 讲 得 细, 类 型 归 纳 得 全, 反 复 练 习, 学 生 满 足 于 你 讲 我 听 你 放 我 录, 缺 乏 学 习 主 动 性. 高 中 数 学 多 强 调 数 学 思 想 和 方 法, 注 重 举 一 反 三 和 严 格 的 逻 辑 推 理 论 证, 注 重 学 生 的 思 维 能 力 和 自 主 学 习 的 培 养, 这 让 很 多 高 一 新 生 很 不 适 应. 高 一 学 生 在 初 中 学 习 过 程 中, 遇 到 难 题 寻 求 解 决 的 办 法 总 是 希 望 老 师 讲 解 整 个 过 程, 缺 乏 自 主 学 习 的 习 惯 和 能 力. 他 们 之 所 以 暂 时 学 习 成 绩 下 降, 并 不 是 因 为 智 力 有 缺 陷, 而 是 没 有 适 应 高 中 数 学 学 习 的 良 好 学 习 方 法 和 习 惯, 缺 乏 顽 强 的 意 志 和 毅 力. 因 而, 高 中 数 学 学 习 要 求 学 生 变 被 动 为 主 动, 勤 于 思 考, 善 于 归 纳. 而 高 一 的 新 生 往 往 沿 用 初 中 的 学 习 习 惯 和 方 法, 一 时 不 能 适 应, 及 至 发 现, 已 落 后 于 人! 所 以 要 加 强 对 学 生 数 学 思 维 能 力 的 训 练. 5. 教 师 的 影 响 教 师 是 和 学 生 接 触 最 为 密 切 的 群 体 之 一, 他 们 的 言 行 对 学 生 的 心 理 学 习 兴 趣 有 着 不 可 估 量 的 影 响. 高 一 的 老 师 多 是 高 三 循 环 下 来 或 刚 参 加 工 作 的 年 轻 教 师. 高 三 循 环 下 来 的 老 教 师, 他 们 往 往 眼 界 过 高, 教 学 过 程 中 有 意 无 意 之 间 用 高 三 复 习 时 的 难 度 要 求 高 一 新 生 ; 刚 参 加 工 作 的 年 轻 教 师 又 对 教 材 教 法 不 熟 悉 往 往 抓 不 住 重 点 难 点. 教 师 教 学 中 常 常 过 分 强 调 : 本 节 内 容 是 高 中 数 学 学 习 的 难 点 重 点, 一 旦 学 不 好 便 会 如 何 如 何 的 言 论. 以 期 望 引 起 学 生 的 重 视, 孰 不 知 这 反 而 加 大 了 学 生 的 心 理 负 担, 使 学 生 产 58

63 新 课 改 高 一 学 生 数 学 学 习 问 题 的 研 究 与 对 策 生 严 重 的 畏 难 情 绪, 打 击 了 学 生 学 习 数 学 的 兴 趣. 倘 若 学 不 好 便 会 使 学 生 对 自 己 的 能 力 产 生 怀 疑. 又 如 部 分 老 师 在 讲 解 习 题 时 往 往 对 之 点 评, 有 时 会 说 : 这 题 很 简 单, 我 想 同 学 们 能 解 决. 而 在 学 生 问 问 题 时 又 说 这 么 容 易 的 题 怎 么 能 不 会, 此 时, 即 使 老 师 能 坐 下 来 讲 解, 大 多 数 学 生 无 论 懂 与 不 懂 也 只 有 点 头 的 份 儿, 以 后 更 不 要 说 再 去 问 老 师 习 题 了. 教 师 在 作 业 的 批 改 和 课 堂 的 提 问 以 及 课 下 的 辅 导 等 方 面 的 一 言 一 行, 都 有 可 能 刺 痛 一 个 学 生 学 习 数 学 的 上 进 心. 针 对 上 述 问 题, 我 认 为 要 想 大 面 积 提 高 高 一 数 学 成 绩, 应 采 取 如 下 措 施 :. 弃 重 求 轻, 培 养 兴 趣 学 生 数 学 能 力 的 下 降, 环 境 因 素 及 心 理 因 素 均 不 容 忽 视. 目 前 社 会 家 庭 学 校 对 学 生 的 期 望 值 普 遍 过 高. 在 高 中 相 互 激 烈 的 学 习 竞 争 中, 很 多 心 理 承 受 能 力 较 差 的 同 学 在 初 中 的 数 学 学 习 中 所 拥 有 的 荣 誉 感 成 功 感 与 优 势 感 消 失 殆 尽, 加 上 数 学 学 科 难 度 大, 因 此 导 致 她 们 的 数 学 学 习 兴 趣 淡 化, 能 力 下 降. 因 此, 教 师 要 多 关 心 他 们 的 思 想 和 学 习, 经 常 同 他 们 平 等 交 谈, 了 解 其 思 想 上 学 习 上 存 在 的 问 题, 帮 助 其 分 析 原 因, 制 定 学 习 计 划, 清 除 紧 张 心 理, 鼓 励 他 们 敢 问 会 问, 激 发 其 学 习 兴 趣. 同 时, 要 求 家 长 能 以 积 极 态 度 对 待 他 们 的 数 学 学 习, 要 多 鼓 励 少 指 责, 帮 助 他 们 弃 掉 沉 重 的 思 想 包 袱, 帮 助 她 们 树 立 学 好 数 学 的 信 心, 轻 松 愉 快 地 投 入 到 数 学 学 习 中 ;. 注 重 初 高 中 数 学 思 想 方 法 教 学 的 过 渡, 指 导 学 生 改 进 学 习 方 法 如 果 说 初 中 数 学 内 容 的 简 单 性 决 定 了 数 学 思 想 方 法 的 单 纯 性, 那 么 高 中 数 学 的 复 杂 性 就 需 要 教 师 更 加 注 重 数 学 思 想 方 法 的 教 学, 培 养 学 生 良 好 的 数 学 思 维 品 质, 注 意 加 强 化 归 思 想 方 法 的 训 练, 培 养 学 生 的 联 想 转 化 能 力, 指 导 他 们 学 会 利 用 等 价 转 换 类 比 化 归 等 数 学 思 想, 将 问 题 转 化 为 若 干 基 础 问 题, 把 一 个 复 杂 陌 生 的 问 题 转 化 为 简 单 熟 知 的 问 题 加 以 解 决. 其 次, 重 视 知 识, 培 养 逻 辑 思 维 能 力. 在 教 学 中 不 仅 要 指 导 学 生 掌 握 好 各 章 节 基 础 知 识, 还 要 让 学 生 学 会 归 纳 整 理, 有 针 对 地 指 导 听 课, 强 化 双 基 训 练, 提 倡 学 生 进 行 章 节 总 结, 把 知 识 串 成 线, 真 正 做 到 由 薄 到 厚 由 厚 到 薄. 期 中 期 末 都 要 召 开 学 习 方 法 交 流 会, 让 好 的 学 习 方 法 成 为 全 体 学 生 的 共 同 财 富. 3. 注 重 优 化 教 师 的 教 学 方 法, 使 之 更 有 利 于 高 中 数 学 的 学 习 首 先, 要 增 强 教 学 的 趣 味 性 直 观 性. 处 理 教 学 内 容 时 多 举 实 例, 多 用 教 具 演 示, 借 助 多 媒 体 辅 助 教 学, 帮 助 学 生 逐 步 增 强 空 间 想 象 能 力 ; 加 强 定 义 概 念 之 间 的 类 比, 逐 步 提 高 学 生 对 教 材 理 解 的 深 刻 性 ; 对 易 混 淆 的 概 念 ( 定 理 ) 对 比 学 习 ; 对 公 式 定 理 各 字 母 的 含 义 适 用 范 围 特 例 等 作 补 充 说 明 等 来 帮 助 学 习, 这 些 学 习 方 法 必 须 在 教 师 的 指 导 和 帮 助 下, 由 学 生 亲 身 实 践 后, 才 能 成 为 学 生 自 身 的 学 习 方 法 和 习 惯, 对 于 知 识 的 结 构 性 整 体 性 和 问 题 的 归 类 方 法 的 选 用 要 为 学 生 作 好 充 分 的 引 导. 如 为 了 说 明 φ 与 {φ} 的 区 别, 可 以 类 比 空 箱 子 放 入 空 房 子, 房 子 不 空. 把 个 人 与 集 体, 小 集 体 与 大 集 体 之 间 关 系 的 相 对 性, 联 系 到 数 学 中 元 素 与 集 合, 集 合 与 集 合 之 间 关 系 的 相 对 性, 可 以 使 抽 象 的 教 材 活 起 来, 同 时 使 学 生 逐 步 接 受 科 学 性 和 逻 辑 性 都 较 强 的 高 中 教 材. 其 59

64 次, 要 突 出 学 生 地 位 的 主 体 性. 在 课 堂 教 学 中 多 让 学 生 参 与, 给 学 生 充 分 的 时 间 思 考, 给 学 生 讨 论 发 言 的 机 会, 加 之 教 师 适 时 点 拔, 让 学 生 多 感 受 多 体 验, 使 学 生 想 学 能 学 会 学. 在 时 间 许 可 的 情 况 下, 采 用 分 组 讨 论 的 方 式, 甚 至 于 上 黑 板 的 方 式, 让 学 生 暴 露 思 维 中 的 错 误 观 点, 教 师 再 加 以 纠 正, 这 样 更 有 利 于 知 识 的 掌 握. 授 人 以 鱼, 不 如 授 人 以 渔, 清 楚 了 成 绩 下 降 的 原 因, 又 明 确 了 改 进 的 措 施, 通 过 师 生 的 共 同 努 力, 我 相 信 大 家 的 成 绩 定 会 取 得 进 步. 参 考 文 献 :. 吴 前 进. 高 一 数 学 成 绩 下 降 的 原 因 及 对 策. 中 学 生 数 理 化 ( 高 中 版 学 研 版 ) 0 年 第 期.. 卜 以 楼. 数 学 教 学 的 根 本 之 所 在. 数 学 通 报,03 年 月 3. 数 学 学 科 教 学 指 导 意 见 009 版. 浙 江 教 育 出 版 社,009 年 0 月 4. 张 林 森. 浅 谈 高 中 数 学 试 卷 讲 评 课 的 有 效 性. 数 学 通 报,0 年 月 谈 学 论 教 局 部 探 究 在 数 学 常 态 教 学 中 的 实 践 与 思 考 李 友 兵 ( 温 岭 市 技 工 学 校 ) 雷 冬 安 ( 温 岭 市 松 门 中 学 ) 摘 要 : 探 究 已 随 着 新 课 改 的 逐 步 开 展 也 深 入 了 人 心. 对 局 部 探 究 的 研 究, 针 对 不 同 的 数 学 课 型, 如 何 进 行 有 重 点 有 选 择 的 精 选 某 些 探 究 元 素, 在 教 师 的 设 计 引 导 下, 让 学 生 经 历 探 究 合 作 学 习 的 过 程, 有 效 地 促 进 学 生 数 学 认 知 结 构 的 发 展, 为 学 生 数 学 能 力 的 锻 炼 与 提 升 创 造 良 好 的 环 境, 并 指 导 学 生 更 有 效 地 进 行 探 究 学 习. 关 键 词 : 局 部 探 究 探 究 源 常 态 化 面 对 现 实 的 反 思 随 着 新 课 程 的 逐 步 深 入, 努 力 去 改 变 学 生 被 动 地 学 习 方 式 之 同 时, 如 何 改 变 我 们 的 课 堂 教 学 方 式, 促 进 学 生 学 习 方 式 的 改 变? 教 师 们 努 力 在 思 考 探 索 着 探 究 式 学 习 方 式. 课 堂 教 学 需 要 什 么 样 的 探 究? 如 何 才 能 让 探 究 活 动 常 态 化 呢? 局 部 探 究 是 指 在 全 程 探 究 式 教 学 要 义 指 导 下 的 一 种 有 重 点 有 选 择 的 探 究 探 究 元 素, 它 并 不 要 求 学 生 整 堂 课 自 始 至 终 都 进 行 探 究. 旨 在 帮 助 学 生 更 好 地 把 握 理 解 一 节 课 中 的 核 心 概 念 或 基 本 方 法 或 化 解 一 堂 课 的 难 点, 凸 显 探 究 的 要 义, 养 成 探 究 的 意 识. 根 据 探 究 源 的 特 点, 将 局 部 探 究 的 探 究 类 型 方 向 要 素 及 目 标 汇 总 如 下 ( 具 体 见 表 ). 如 何 有 效 地 落 实 以 人 为 本 的 教 育 理 念, 60

65 局 部 探 究 在 数 学 常 态 教 学 中 的 实 践 与 思 考 探 究 方 向 类 型 要 素 及 目 标 表 类 型 探 究 方 向 探 究 要 素 探 究 目 标 类 型 Ⅰ 探 究 数 学 概 念 形 成 的 再 创 造... 过 程.. 探 寻 概 念 背 景, 明 确 概 念 发 生 意 义 ; 探 寻 概 念 条 件, 理 解 概 念 形 成 价 值 ; 3 探 寻 概 念 发 展, 了 解 概 念 关 联 含 义. 概 念 之 规 定 的 合 理 性, 语 言 之 表 述 的 科 学 性, 3 理 解 之 准 确 的 规 范 性. 探 究 数 学 命 题 探 寻 命 题 的 产 生 背 景 ; 命 题 的 价 值 意 义 ; 类 型 Ⅱ 的 产 生 或 变 化 探 寻 命 题 的 条 件 或 结 构 特 征 ; 命 题 的 逻 辑 结 构 ; 再 创 造 过 程... 3 探 寻 命 题 的 变 化 或 联 系. 3 命 题 的 变 式 方 向. 探 寻 例 题 ( 或 习 题 ) 的 横 向 联 系, 知 识 的 嵌 入 特 点 ; 探 究 数 学 例 题 获 取 知 识 间 的 交 汇 方 式 ; 命 题 的 变 式 因 素 ; 类 型 Ⅲ 与 习 题 变 式 与 推 广 的 再 创 造... 过 程.. 探 寻 例 题 ( 或 习 题 ) 的 纵 向 联 系, 获 取 命 题 变 式 的 深 入 特 点 ; 3 探 寻 例 题 ( 或 习 题 ) 的 方 法 价 值, 获 取 思 维 的 开 放 视 角. 3 命 题 的 破 解 特 点 ; 4 思 维 的 形 成 过 程. 数 学 概 念 是 思 维 的 最 基 本 单 位, 也 是 数 学 思 想 形 成 的 火 种, 而 数 学 命 题 是 思 维 的 诺 亚 方 舟, 承 载 着 数 学 太 多 的 灵 气, 还 有 那 繁 花 似 锦 的 例 习 题, 更 是 思 维 的 魂 的 梦 乡, 演 绎 着 数 学 思 想 方 法 以 及 数 学 的 理 性 思 维. 课 堂 教 学 活 动 一 切 都 要 围 绕 着 探 究 而 展 开, 完 全 能 进 行 局 部 探 究, 并 努 力 让 局 部 探 究 成 为 课 堂 教 学 的 一 种 常 态 下 的 教 育 教 学 行 为, 而 绝 不 是 一 种 课 改 下 的 时 尚. 本 文 结 合 自 己 平 时 的 教 学 实 践 谈 谈 一 些 具 体 的 做 法. 局 部 探 究 之 内 涵. 探 究 元 素 的 选 择 所 谓 探 究 源 即 问 题 的 探 究 因 素. 而 探 究 源 的 选 择 关 系 到 一 节 课 探 究 的 实 效 性, 由 于 时 间 条 件 等 限 制, 我 们 不 可 能 整 堂 课 自 始 至 终 都 让 学 生 进 行 探 究, 那 么 如 何 将 探 究 具 体 落 实 到 一 节 课 中 呢? 通 过 实 践 与 研 究, 我 们 发 现 一 堂 课 中 往 往 选 择 某 个 概 念 某 个 例 题 等 进 行 有 重 点 有 选 择 性 的 局 部 式 探 究, 效 果 会 更 显 著. 但 无 论 是 概 念 的 处 理, 还 是 例 题 的 选 择, 都 以 问 题 的 载 体 让 学 生 去 探 究 不 失 为 一 种 好 方 法 好 手 段. 如 何 以 问 题 设 计 为 中 心, 如 何 让 设 计 的 问 题 处 于 学 生 思 维 水 平 的 最 近 发 展 区, 让 设 计 的 问 题 来 带 动 学 生 进 行 思 维 引 领 学 生 探 究, 这 样 才 能 真 正 启 动 探 究 之 门, 让 学 生 乐 于 去 探 究 主 动 去 探 究, 扬 探 究 之 风. 教 师 必 须 要 明 确 自 己 在 此 过 程 中 的 作 用, 教 师 不 仅 只 是 问 题 的 提 供 者 设 计 者, 还 是 应 是 讨 论 学 习 的 引 导 者 组 织 者. 教 师 应 立 足 于 具 体 学 生 的 发 展 角 度, 真 正 还 课 堂 于 学 生, 还 问 题 的 探 索 权 于 学 生, 使 学 生 养 成 主 动 参 与 乐 于 探 究 勤 于 动 手 交 流 合 作 的 学 习 6

66 谈 学 论 教 方 式. 通 过 课 堂 教 学 得 知, 课 堂 教 学 的 局 部 探 究 模 式 可 以 从 两 个 大 的 方 面 进 行 思 考 探 索 与 选 择 局 部 探 究 的 探 究 源, 坚 持 不 懈 的 努 力, 一 定 会 收 获 我 们 预 期 效 果. 具 体 见 下 面 探 究 源 关 联 图.. 探 究 元 素 的 确 立 有 了 探 究 源 后, 但 并 不 是 所 有 都 用 作 上 课 探 究 的 素 材, 通 过 研 究, 我 们 认 为 可 以 从 以 下 几 点 对 探 究 源 进 行 把 握 与 确 认 : 所 选 择 探 究 的 情 境 或 问 题 应 是 学 生 感 兴 趣 的, 能 激 发 学 生 的 积 极 思 维. 从 学 生 目 前 的 兴 奋 点 引 出 要 探 究 的 问 题, 教 师 要 了 解 学 生 学 生 的 生 活 学 生 的 心 思, 把 探 究 问 题 的 设 计 与 学 生 生 活 中 关 注 的 热 点 话 题 或 素 材 结 合 起 来, 从 学 生 的 兴 奋 点 引 出 知 识 的 学 习 与 问 题 的 探 究. 3 所 选 择 的 内 容 应 是 课 标 中 所 突 出 的 核 心 知 识 主 干 知 识, 需 要 多 次 螺 旋 上 升 才 能 达 到 的 知 识 点. 4 关 心 学 生 自 己 的 问 题, 允 许 学 生 直 接 探 究 他 们 自 己 提 出 的 问 题. 每 个 学 生 对 待 周 围 的 事 物 有 着 自 己 的 思 路 和 兴 趣, 所 以 探 究 的 设 计 应 首 先 关 注 学 生 自 己 感 兴 趣 的 问 题, 要 注 意 了 解 学 生 关 注 和 感 兴 趣 的 问 题 是 什 么. 5 密 切 联 系 学 生 的 生 活, 设 计 探 究 活 动, 联 系 学 生 的 生 活 设 计 探 究 问 题, 使 学 生 感 到 所 开 展 的 探 究 活 动 与 自 己 的 生 活 密 切 相 关, 容 易 调 动 起 他 们 参 与 的 主 动 积 极 性. 6 抓 住 学 生 身 边 即 时 发 生 的 现 象 或 事 情, 设 计 探 究 活 动. 学 生 身 边 经 常 发 生 一 些 有 趣 的 小 事, 出 现 一 些 有 趣 的 现 象, 抓 住 学 生 生 活 中 刚 刚 发 生 的 一 些 事 情 或 现 象, 引 导 学 生 深 入 探 究. 3 局 部 探 究 的 教 学 实 施 指 导 实 施 的 总 体 指 导 要 点 : 教 师 方 面 要 求 做 到 : 引 发 冲 突 引 导 探 究 适 时 点 拔 ; 学 生 方 面 要 求 做 到 : 主 动 投 入 自 主 探 究 质 疑 反 思. 通 过 实 践, 局 部 探 究 可 以 按 课 型 进 行 实 施 分 类 指 导, 在 高 一 高 二 中 有 重 点 地 选 择 了 对 概 念 课 与 公 式 定 理 与 法 则 课 的 研 6

67 局 部 探 究 在 数 学 常 态 教 学 中 的 实 践 与 思 考 究, 在 高 三 重 点 选 择 了 复 习 课 的 研 究. () 高 一 高 二 教 学 中 局 部 探 究 的 实 施 指 导 概 念 是 思 维 的 细 胞, 是 感 性 认 识 飞 跃 到 理 性 认 识 的 结 果. 一 般 要 经 过 分 析 综 合 比 较 抽 象 概 括 等 思 维 的 逻 辑 加 工, 需 依 据 数 学 思 想 方 法 的 指 导. 因 而 概 念 教 学 应 当 完 整 地 体 现 这 一 过 程, 引 导 学 生 揭 示 隐 藏 于 概 念 之 中 的 思 维 内 核. 概 念 课 的 指 导 方 向 : 展 现 数 学 核 心 概 念 的 内 涵 来 龙 去 脉, 让 学 习 者 感 知 : 知 识 的 发 生 与 发 展, 了 解 定 义 的 合 理 性 和 必 要 性 ; 用 准 确 的 数 学 语 言 来 描 述 数 学 概 念, 让 学 习 者 理 解 数 学 抽 象 化 思 维 的 特 点 与 本 质 ;3 多 角 度 展 示 数 学 概 念, 教 师 要 准 确 预 测 学 习 者 对 概 念 理 解 上 的 困 难, 学 会 用 他 山 之 石 可 以 攻 玉 的 办 法, 让 学 习 者 便 于 类 比 同 化 新 概 念, 揭 示 隐 藏 于 之 中 的 思 维 内 核 ;4 关 注 核 心 概 念 的 多 次 反 复 螺 旋 上 升 的 前 后 呼 应, 譬 如 可 以 让 学 生 在 变 式 和 比 较 中 活 化 思 维. 以 下 是 人 教 必 修 一 中 函 数 单 调 性 ( 案 例 ) 教 学 中 开 展 局 部 探 究 的 片 断 摘 录 : 探 究 过 程, 贵 在 自 我 建 构 现 场 教 师 以 f ( x) x 为 例 先 请 同 学 们 思 考 : 大 家 能 否 借 用 函 数 解 析 式 f ( x) x 来 刻 划 : 随 着 x 的 增 大, 相 应 的 f(x) 也 随 着 增 大 这 种 现 象? 师 分 析 : 增 大 这 种 现 象 实 际 上 是 两 个 数 或 式 比 较 大 小! 从 而 逐 步 引 导 学 生 翻 译 成 较 为 直 观 的 符 号 语 言 : 取 两 个 x,x, 且 x <x 时 有 x. x 发 现 : x f x ),x f ( ), 从 ( x 而 可 以 进 一 步 翻 译 成 : 取 两 个 x,x, 且 x <x 时, 有 f x ) f ( ) ; ( x 质 疑 : 大 家 觉 得 这 种 翻 译 等 价 了 吗? 大 家 再 仔 细 想 一 想?( 此 时 热 热 闹 闹 的 教 室 顿 时 恢 复 了 特 别 平 静 的 秩 序! 好 像 警 示 着 黎 明 的 曙 光 即 将 到 来! 接 着 以 前 后 桌 为 单 位 的 小 组 就 又 七 嘴 八 舌 的 讨 论 起 来, 但 讨 论 了 些 许 时 间, 学 生 好 像 并 没 有 得 出 目 标 ; 此 时 教 师 顺 手 在 黑 板 上 画 了 如 右 边 所 示 的 一 个 图 形 加 以 提 示, 请 同 学 们 再 思 考 这 个 问 题!) 发 现 : 图 形 必 须 是 全 部 上 升 的!( 此 时 已 经 离 结 果 好 像 非 常 接 近 了! 也 蕴 育 着 春 天 即 将 到 来!) 学 生 并 指 出 研 究 的 范 围 是 针 对 定 义 域 内 的 某 个 区 间 而 言 的! f y f (x) ( x ) x x 图 3 f ( x ) 发 现 3: 不 管 x,x 这 么 取, 只 要 当 x <x 时, 都 有 f x ) f ( ) ; x ( x 质 疑 : 不 管 x,x 这 么 取 这 是 什 么 意 识? 大 家 能 用 简 洁 的 几 个 字 来 代 替 吗? ( 在 此 教 师 有 意 识 得 让 学 生 知 道, 我 们 得 到 语 言 ). 的 概 念 定 理 的 表 述 等 都 应 是 最 简 练 的! 最 朴 素 的!) 从 而 得 出 比 较 易 理 解 易 接 受 的 符 号 语 言 ( 形 式 化 的 质 疑 : 当 解 析 式 为 f ( x) x 时, 其 图 63

68 谈 学 论 教 象 这 种 现 象 是 否 也 可 以 这 样 描 述 呢?( 通 过 师 生 的 努 力, 从 而 进 一 步 抽 象 出 与 具 体 的 函 数 解 析 式 无 关 的 增 函 数 的 定 义, 并 且 共 同 阅 读 书 本 P 3 的 标 准 定 义.) 质 疑 : 随 着 x 的 增 大, 相 应 的 f (x) 也 公 式 定 理 与 法 则 课 的 指 导 方 向 : 揭 示 公 式 定 理 的 来 龙 去 脉, 揭 示 其 推 导 论 证 中 所 用 的 有 代 表 性 的 数 学 思 想 思 维 方 法 与 典 型 的 数 学 技 能 技 巧 ; 交 待 清 楚 定 理 公 式 适 用 的 范 围 及 成 立 的 特 定 条 件 ;3 随 着 减 小 这 种 现 象, 大 家 能 否 仿 照 上 述 的 研 究 方 法 类 比 地 翻 译 成 符 号 语 y f (x) f ( x ) f x ) ( 让 学 生 准 确 地 掌 握 命 题 的 条 件 部 分 与 结 论 部 分, 了 解 公 式 定 理 中 诸 条 件 的 性 质 与 作 用, 掌 握 公 式 变 形 的 各 种 形 式 ;4 解 决 好 对 公 式 法 则 与 定 理 等 数 学 原 理 从 文 字 到 数 式 言?( 此 时 的 学 生 完 全 有 能 力 来 探 究 出 x x 图 4 x 之 间 的 互 译. 以 下 是 人 教 必 修 四 中.. 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 ( 案 例 ) 教 学 这 个 概 念, 这 也 是 类 比 教 学 探 究 性 学 习 的 中 开 展 局 部 探 究 的 片 断 摘 录 : 需 要, 教 师 是 到 该 放 手 让 学 生 学 会 自 我 迁 移 自 我 检 验 的 时 候 了!) 形 式 化 是 数 学 的 基 本 特 征 之 一. 在 数 学 学 习 中, 学 习 形 式 化 的 表 达 是 一 项 基 本 要 求, 但 不 能 只 限 于 形 式 化 的 表 达, 应 注 重 揭 示 数 学 的 本 质, 否 则 会 将 生 动 活 泼 的 数 学 思 维 活 动 淹 没 在 形 式 化 的 海 洋 里. 单 调 性 定 义 探 究 原 本, 贵 在 自 我 发 现 现 场 如 右 图 所 示, 请 你 在 图 中 画 出 表 示 三 角 函 数 的 对 应 线 段, 并 从 图 中 的 线 段 关 系..., 研 究 发 现 对 同 一 个 角... 的 三 角 函 数 之 间, 都 有 什 么 关 系? 请 将 你 的 发 现 写 在 下 面 横 线 上 :. 从 定 性 的 描 述 到 定 量 的 表 示, 是 对 知 识 意 义 建 构 的 过 程. 数 学 上 每 一 个 概 念 的 获 得, 结 论 的 形 成 都 要 有 一 个 过 程, 这 个 过 程 的 再 设 计 体 现 了 教 师 创 造 性 的 劳 动, 是 一 个 用 教 y P O A(,0) x 材 教 的 教 学 行 为 的 体 现 ; 在 这 个 过 程 中, 教 师 紧 紧 抓 住 了 探 究 源 增 大 减 小 这 两 个 关 键 词, 不 断 地 启 发 学 生, 引 导 他 们 去 自 主 探 究, 使 学 生 体 会 其 中 所 蕴 含 的 思 想 方 法, 从 而 更 好 地 理 解 和 把 握 单 调 性 的 本 质 所 在. 在 定 理 性 质 法 则 公 式 规 律 等 的 教 学 中 要 引 导 学 生 积 极 参 与 这 些 结 论 的 探 索 发 现 推 导 的 过 程, 不 断 在 数 学 思 想 方 法 指 导 下, 弄 清 每 个 结 论 的 因 果 关 系, 最 后 再 引 导 学 生 归 纳 得 出 结 论. ( 这 里 的 探 究 活 动, 因 教 学 预 设 问 题 的 开 放 性 和 可 操 作 性, 特 别 是 思 维 环 境 的 精 心 策 划 : 图 文 并 茂, 动 思 兼 备, 学 生 的 思 维 极 易 被 自 我... 激 活..., 组 织 者 只 需 营 造 一 点. 即 时... 交 流.. 的 氛 围, 探 究 活 动 便 可 在 积 极 地 思 维 活 动 下, 自 然 层 层 递 进. 这 一 种 探 究, 过 程 充 满 思 维 活 力! 真 正 地 探 究, 必 须 是 充 满 思 维 力 的 探 究.) 学 生 经 过 阅 读 探 究 与 思 考 问 题, 大 约 分 钟 左 右, 学 生 开 始 试 探 性 地 给 出 了 第 一 组 探 究 成 果 : 64

69 局 部 探 究 在 数 学 常 态 教 学 中 的 实 践 与 思 考 第 一 组 : 当 k 时, si 0, cos ; 当 k / 4 时, ta ; 教 师 不 动 声 色 地 让 大 家 再 看 图, 如 何 理 解 它 的 正 确 性, 并 轻 描 淡 写 地 说 谁 还 有? 于 是, 第 二 组 探 究 成 果 出 炉 : 第 二 组 : 由 勾 股 定 理 得 : cos si ; 由 角 平 分 线 y x 知 : 当 k / 4 时, cos si, 并 声 si 称 可 推 : ta :( 此 刻, 大 概 cos 教 师 觉 得 时 间 还 充 裕, 用 目 光 继 续 鼓 励 着, 于 是, 学 生 又 潮 水 般 报 出 了 第 三 组 ) 第 三 组 : si ; cos si ;3si ta,4 cos si ;5si, 理 由 : 弧 > 边 ;6 ta, 理 由 : 大 角 对 大 边. 成 果 显 示 :() 合 理 的 探 究 时 间 = 探 究 的 含 金 量 = 思 维 的 含 金 量 ;( ) 活 用 教 材, 要 站 在 学 科 知 识 整 体 内 在 联 系 的 高 度, 思 考 学 生 如 何 学. 上 述 第 一 组 与 第 二 组 结 果 呈 现 方 式 的 变 化, 第 三 组 所 得 结 论 的 深 入 : 相 等 关 系 不 等 关 系. 知 识 是 明 确 的, 能 力 是 模 糊 的, 但 它 使 学 生 真 实 地 经 历 了 探 究 式 学 习, 丰 富 了 数 学 探 究 经 验, 获 得 了 数 学 发 现 的 成 就 感, 学 习 情 趣 盎 然 兴 趣 倍 增. 这 预 设 源 于 教 材 P 8 探 究 与 图.-8 的 的 思 考. 所 以, 知 识 是 载 体, 探 究 之 风, 才 是 培 养 数 学 素 养 之 原 本! 实 施 有 效 探 究, 真 可 谓 你 给 学 生 一 点 时 间, 学 生 给 你 一 片 惊 喜! () 高 三 教 学 中 局 部 探 究 的 实 施 指 导 复 习 课 是 学 生 认 知 结 构 的 重 新 组 织, 是 在 整 体 知 识 背 景 下 对 所 学 知 识 的 重 新 组 织 和 构 建, 它 通 过 对 照 比 较, 寻 找 联 系, 将 原 来 彼 此 分 散 的 彼 此 分 割 开 来 的 知 识 联 系 成 一 个 统 一 的 整 体, 从 而 帮 助 学 生 在 头 脑 中 将 知 识 竖 成 线, 横 成 片, 或 由 点 构 成 线, 由 线 构 成 面, 从 而 形 成 由 点 线 面 筑 成 的 立 体 式 的 知 识 结 构 网 络. 复 习 课 的 指 导 方 向 : 在 设 计 源 头 把 握 好 教 师 主 导, 学 生 主 体 的 度, 且 主 导 淡 退 主 体 凸 进 ; 研 究 学 情 在 先, 解 读 标 准 在 后, 研 读 教 材 中 有 些 什 么? 最 后 再 问 教 什 么?3 精 选 内 容 ( 或 问 题 ), 关 注 错 误 分 析, 探 究 思 考 互 动, 以 题 带 题 ;4 理 顺 复 习 课 三 要 素 脉 络 思 路 方 法 ; 联 系 拓 展 ; 反 思 提 炼, 设 计 出 详 略 策 略, 过 渡 语 言. 以 下 是 高 三 数 学 复 习 课 圆 锥 曲 线 与 方 程 复 习 () ( 案 例 3) 教 学 中 开 展 局 部 探 究 的 片 断 摘 录 : 探 究 能 力, 贵 在 提 升 数 学 素 养, 以 学 生 发 展 为 目 的 现 场 师 : 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 的 离 心 率 的 区 别 是 什 么? 它 们 有 一 种 统 一 的 说 法, 你 知 否? 生 : 一 个 小 于 一 个 大 于 一 个 等 于, 表 达 式 相 同, 反 映 地 都 是 相 应 曲 线 的 形 状. 生 : 还 有 动 点 轨 迹 在 说 法 也 有 一 致 性, 书 上 P 47 例 6 与 P 59 例 5 为 证 : 它 们 可 统 一 成 平 面 上 一 动 点 到 定 点 的 距 离 与 到 定 直 线 的 距 离 之 比, 而 这 个 比 值 就 是 离 心 率. 老 师 说 了 : 这 叫 从 量 变 到 质 变! 师 : 不 错, 我 说 过, 这 个 统 一 其 实 就 是 它 们 的 统 一 定 义, 那 么 这 个 统 一 定 义 与 它 们 的 原 始 定 义 有 关 联 吗? 大 家 能 搞 清 楚 吗? 然 后, 学 生 以 小 组 的 形 式 开 展 探 究, 经 65

70 谈 学 论 教 历 从 椭 圆 双 曲 线 的 原 始 定 义 挖 掘 发 现 它 俩 与 抛 物 线 的 统 一 定 义, 从 而 厘 清 知 识 脉 络, 达 到 让 学 生 知 其 然, 知 其 所 以 然! 4 局 部 探 究 的 价 值 局 部 探 究 实 际 上 也 是 一 种 做 数 学 的 过 程, 也 是 一 个 创 造 过 程, 在 探 究 过 程 中, 包 含 着 学 生 对 学 习 的 感 受, 学 生 按 照 一 定 的 思 路 和 方 法 进 行 探 究, 通 过 直 观 观 察 和 逻 辑 推 理 得 到 结 果, 很 容 易 获 得 对 数 学 的 良 好 情 感, 从 而 萌 发 创 造 激 情. 因 此, 通 过 这 种 有 重 点 的 局 部 探 究 的 研 究, 我 们 发 现 了 它 所 特 有 的 一 些 价 值 : 搭 建 了 数 学 模 块 的 整 合 与 知 识 网 络 的 构 建 的 平 台 发 现 了 螺 旋 上 升 轨 迹 的 检 验 一 个 有 效 手 段 局 部 探 究 的 价 值 培 养 了 学 生 提 出 问 题 分 析 问 题 与 解 决 问 题 等 自 主 能 力 达 成 了 三 维 目 标 的 教 学, 提 高 了 学 生 的 学 习 兴 趣 与 学 习 的 积 极 性 () 搭 建 了 数 学 模 块 的 整 合 与 知 识 网 络 的 构 建 的 平 台 新 课 程 教 学 中 应 注 意 沟 通 各 部 分 内 容 之 间 的 联 系, 通 过 类 比 联 想 知 识 的 迁 移 和 应 用 等 方 式, 使 学 生 体 会 知 识 之 间 的 有 机 联 系, 感 受 数 学 的 整 体 性, 进 一 步 理 解 数 学 的 本 质, 提 高 解 决 问 题 的 能 力. 例 如, 教 学 中 要 注 意 函 数 方 程 不 等 式 的 联 系 ; 向 量 与 三 角 恒 等 变 形 向 量 与 几 何 向 量 与 代 数 的 联 系 ; 数 与 形 的 联 系 ; 算 法 思 想 在 有 关 内 容 中 的 渗 透 在 不 同 内 容 中 的 应 用 等 只 能 通 过 多 次 的 局 部 探 究 才 能 真 正 得 以 落 实, 才 能 逐 步 地 提 高 学 生 对 数 学 的 整 体 认 识. () 发 现 了 螺 旋 上 升 轨 迹 检 验 的 一 个 有 效 手 段 螺 旋 式 课 程 是 指 在 不 同 学 习 阶 段 重 复 呈 现 特 定 的 学 科 内 容, 同 时 利 用 学 生 日 益 增 长 的 心 理 的 成 熟 性, 使 学 科 内 容 不 断 拓 展 与 加 深 螺 旋 式 上 升. 哪 些 内 容 适 宜 于 组 合 成 一 个 螺 旋, 每 两 个 螺 旋 之 间 的 时 间 跨 度 以 多 长 时 间 为 宜, 怎 样 衔 接, 螺 旋 上 升 又 如 何 具 体 操 作 等 问 题 都 是 老 师 们 在 教 学 实 践 中 所 要 面 对 和 解 决 的 问 题. 通 过 课 堂 局 部 探 究 能 更 好 地 实 现 螺 旋 结 构 的 上 升. (3) 培 养 了 学 生 提 出 问 题 分 析 问 题 与 解 决 问 题 等 自 主 能 力 提 问 能 力 是 学 生 创 新 能 力 的 标 志. 教 师 在 局 部 探 究 中 可 以 逐 步 引 导 学 生 提 出 疑 问, 让 学 生 经 过 注 意 困 惑 思 考 提 问 释 疑 等 心 理 阶 段, 激 发 学 生 多 问. 如 : 为 什 么? 你 是 怎 样 想 的? 为 什 么 要 这 样 做? 你 的 理 由 是 什 么? ( 可 让 学 生 了 解 知 识 发 生 过 程 ) 你 还 有 别 的 办 法 吗? ( 求 异 思 维 ) 3 你 有 更 快 捷 的 方 法 吗? ( 联 想 发 散 创 造 ) 66

71 高 考 数 学 题 的 文 化 特 征 4 你 自 己 认 为 哪 些 正 确, 哪 些 有 问 题? ( 自 我 调 节, 自 我 纠 正 ) 5 与 另 一 题 比 较, 有 什 么 相 同 之 处? 有 什 么 不 同 之 处? ( 对 比 与 联 系 ) 6 如 果 要 这 样 的 话, 要 怎 样 改 动? ( 假 设 想 象 ) 7 你 能 总 结 这 类 题 的 做 法 吗? ( 抽 象 概 括 ) (4) 达 成 了 三 维 目 标 的 教 学, 提 高 了 学 生 的 学 习 兴 趣 与 学 习 的 积 极 性 局 部 探 究, 能 满 足 学 生 的 好 奇 心, 使 他 们 获 得 巨 大 的 满 足 感 兴 奋 感 和 自 信 心, 焕 发 出 内 在 的 生 命 活 力 ; 通 过 局 部 探 究, 能 使 学 生 经 历 一 个 自 主 建 构 知 识 的 过 程, 获 得 真 正 属 于 自 己 认 知 结 构 真 正 有 意 义 的 和 有 效 力 的 活 知 识 ; 通 过 局 部 探 究, 能 使 学 生 的 思 维 受 到 最 好 的 锻 炼, 是 培 养 能 力 的 必 由 之 路 ; 通 过 局 部 探 究, 模 拟 了 科 学 家 的 科 学 探 究 过 程, 在 科 学 方 法 的 运 用 中 掌 握 了 科 学 方 法 ; 通 过 局 部 探 究, 学 生 经 历 了 挫 折 与 失 败 成 功 与 兴 奋, 其 中 的 许 多 感 受 和 体 验, 促 进 了 学 生 对 科 学 本 质 的 认 识, 感 悟 到 科 学 精 神 科 学 态 度 的 意 义 和 价 值 之 所 在 ; 通 过 感 态 度 与 价 值 观 方 面 的 素 养. 因 此, 局 部 探 究 不 仅 能 促 进 三 维 目 标 中 每 一 个 方 面 的 达 成, 而 且 是 联 系 这 三 个 方 面 的 纽 带, 使 它 们 彼 此 渗 透, 相 互 融 合, 相 互 促 进, 统 一 于 学 生 的 成 长 和 发 展 之 中. 参 考 文 献 : 叶 尧 城. 高 中 数 学 课 程 标 准 教 师 读 本 [M], 武 汉 : 华 中 师 范 大 学 出 版 社,003.9 严 士 健, 张 奠 宙, 王 尚 志. 走 进 新 课 程 丛 书 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 ( 实 验 ) 解 读 [M]. 南 京 : 江 苏 教 育 出 版 社, 陈 永 明. 评 议 数 学 课 [M], 上 海 : 上 海 科 技 教 育 出 版 社, 季 素 月. 给 数 学 教 师 的 0 条 建 议 [M]. 南 京 : 南 京 师 范 大 学 出 版 社,005 5 虞 涛. 从 课 本 到 高 考 数 学 研 究 性 学 习 [M], 上 海 : 华 东 师 范 大 学 出 版 社, 傅 道 春 编 著. 新 课 程 中 教 师 行 为 的 变 化 [M]. 北 京 : 首 都 师 范 大 学 出 版 社 00, 第 一 版. 7 孔 凡 哲 曾 峥 编 著. 数 学 学 习 心 理 学 [M]. 北 京 : 北 京 大 学 出 版 社 009,3, 第 一 版. 局 部 探 究, 使 学 生 经 历 合 作 与 交 流, 学 会 相 互 接 纳 赞 赏 分 享 互 助 等 等, 提 升 了 情 高 考 数 学 题 的 文 化 特 征 王 伦 ( 杭 州 市 余 杭 区 杭 州 二 中 树 兰 实 验 学 校 300) 摘 要 : 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 多 次 谈 及 数 学 文 化, 普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 材 也 在 不 同 的 数 学 模 块, 以 阅 读 材 料 引 言 旁 注 等 形 式 展 示 数 学 文 化 的 内 容 和 特 点. 作 为 教 育 教 学 的 检 测 和 评 价 的 重 要 手 段 考 试, 如 何 体 现 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 提 出 的 数 学 文 化 方 面 的 要 求, 如 何 反 应 数 学 是 人 类 文 明 的 重 要 组 成 部 分 的 呢? 本 文 就 最 近 几 年 的 全 国 各 地 高 考 数 学 题 作 了 初 步 的 研 究. 关 键 词 : 数 学 文 化 数 学 方 法 公 理 化 方 法 数 学 是 人 类 文 明 的 重 要 组 成 部 分. 毋 庸 置 疑, 在 文 字 没 有 出 现 之 前, 远 古 人 类 67

72 谈 学 论 教 就 对 客 观 世 界 的 数 量 形 状 等 已 经 是 耳 熟 能 详 的 了. 他 们 制 造 的 简 单 劳 动 工 具 搭 建 的 简 陋 栖 息 处 所 制 作 的 实 用 生 活 器 皿, 甚 至 创 作 的 原 始 审 美 装 饰 品, 都 是 数 学 知 识 的 积 累 与 运 用. 人 类 社 会 的 进 步, 总 会 伴 随 有 数 学 的 车 辙, 同 时 也 离 不 开 数 学 马 车 的 牵 引 和 带 动. 从 小 学 到 高 中 的 学 习 过 程 中, 数 学 的 学 习 一 直 没 有 中 止 过, 也 是 对 人 类 几 千 年 积 累 的 数 学 知 识 的 学 习 与 感 悟 的 过 程. 考 试, 是 教 育 教 学 的 阶 段 性 反 馈 与 评 价 的 一 种 方 式. 高 考, 更 是 对 年 来 数 学 学 习 的 一 次 盛 大 检 阅, 也 是 莘 莘 学 子 进 入 高 等 学 府 的 第 一 次 检 查 和 考 验. 数 学 文 化, 就 是 从 文 化 这 一 角 度 来 关 注 数 学, 强 调 数 学 的 文 化 价 值. 狭 义 来 说, 是 指 数 学 的 思 想 精 神 方 法 观 点 语 言, 以 及 它 们 的 形 成 和 发 展 ; 广 义 来 说, 数 学 文 化 还 涵 盖 着 数 学 家 数 学 史 数 学 美 数 学 教 育 数 学 发 展 中 的 人 文 成 分 以 及 数 学 与 各 种 文 化 的 关 系. 数 学 文 化 作 为 一 种 存 在 的 文 化 形 式, 必 然 具 有 文 化 的 一 些 特 性. 本 文 从 数 学 文 化 的 角 度 来 审 视 高 考 数 学 试 题, 以 文 化 的 视 角 分 析 高 考 数 学 试 题 的 特 征. 数 学 文 化 的 历 史 数 学 文 化 展 示 了 数 学 极 富 魅 力 的 一 面, 不 是 数 学 课 上 的 定 理 公 式 计 算 和 题 海, 而 是 数 学 的 思 想 精 神 和 方 法. 数 学 文 化 需 要 用 美 学 的 眼 光 来 看 待 数 学 ; 数 学 在 各 个 社 会 各 个 领 域 发 挥 着 重 要 作 用. 当 我 们 走 进 数 学 史 的 长 河, 去 追 随 数 学 家 的 足 迹 ; 可 以 体 会 到 数 学 中 浓 郁 的 人 文 主 义 精 神 ; 知 道 曾 深 刻 影 响 人 类 社 会 发 展 进 程 的 三 次 数 学 危 机, 希 尔 伯 特 的 3 个 问 题 等 等. 数 学 的 进 步 史, 也 是 人 类 文 明 发 展 史. 数 学 在 不 同 时 期, 都 发 挥 着 巨 大 的 社 会 推 动 作 用. 因 此, 对 学 生 进 行 数 学 史 的 教 育 教 学, 就 显 得 重 要, 也 很 必 要. 考 试, 作 为 教 学 的 重 要 促 进 手 段, 应 该 义 不 容 辞 的 担 负 起 数 学 史 宣 扬 和 普 及 的 重 要 角 色. 新 课 程 改 革 中, 已 把 情 感 价 值 观 作 为 数 学 教 学 目 标 的 维 度 之 一. 考 试 如 何 适 应 这 种 教 学 模 式? 高 考 试 题 已 经 做 出 了 有 益 的 尝 试. 例.009 年 湖 北 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ) 0. 古 希 腊 人 常 用 小 石 子 在 沙 滩 上 摆 成 各 种 形 状 来 研 究 数. 比 如 : 他 们 研 究 过 图 中 的,3,6,0,, 由 于 这 些 数 能 够 表 示 成 三 角 形, 将 其 称 为 三 角 形 数 ; 类 似 的, 称 图 中 的,4,9,6, 这 样 的 数 为 正 方 形 数. 下 列 数 中 既 是 三 角 形 数 又 是 正 方 形 数 的 是 ( ) (A)89 (B)04 (C)5 (D)378 68

73 高 考 数 学 题 的 文 化 特 征 在 解 答 试 题 的 同 时, 仿 佛 看 到 古 希 腊 的 哲 人, 在 海 边 时 而 低 下 头 来 摆 弄 身 边 的 石 子 ; 时 而 把 深 邃 的 眼 光 投 向 无 垠 的 天 际, 思 考 着. 例.00 年 湖 北 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ) 4. 投 掷 一 枚 均 匀 硬 币 和 一 枚 均 匀 骰 子 各 一 次, 记 硬 币 正 面 向 上 为 事 件 A, 骰 子 向 上 的 点 数 是 3 为 事 件 B, 则 事 件 A,B 中 至 少 有 一 件 发 生 的 概 率 是 ( ) (A) 5 (C) 7 (B) (D) 3 4 骰 子, 在 一 般 人 的 眼 中, 不 过 是 一 种 赌 具. 殊 不 知, 就 是 在 两 个 赌 徒 的 闹 剧 赌 金 风 波 中, 由 于 有 了 数 学 家 的 参 与, 使 得 闹 剧 给 人 类 留 下 了 一 份 意 想 不 到 的 丰 厚 礼 物 概 率 论 的 诞 生, 直 接 催 生 了 一 个 新 型 的 产 业 保 险 业. 当 我 们 在 考 场 上 重 新 玩 味 骰 子 的 时 候, 她 就 不 再 是 赌 具, 而 是 数 学 的 实 验 工 具. 她 还 暗 示 着 : 在 司 空 见 惯 的 行 为 中, 如 果 有 意 识 的 将 数 学 参 合 进 去, 或 许 就 有 重 大 的 收 获 等 着 你. 例 3.00 年 湖 北 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ) 7. 如 图, 在 半 径 为 r 的 园 内 作 内 接 正 六 边 形, 再 作 正 六 边 形 的 内 切 圆, 又 在 此 内 切 圆 内 作 内 接 正 六 边 形, 如 此 无 限 继 续 下 去, 设 s 为 前 个 圆 的 面 积 之 和, 则 lim ( ) (A) s = r (B) 8 3 (C)4 (D)6 r r r 这 个 图, 既 有 中 国 魏 晋 时 期 杰 出 的 数 学 家 刘 徽 于 公 元 63 年 创 立 了 割 圆 术, 也 有 古 希 腊 的 安 提 芬 (Atipho BC) 最 早 表 述 的 穷 竭 法, 两 种 法 术 都 蕴 含 了 极 限 理 论. 一 个 简 单 熟 悉 的 图 形, 代 表 了 中 西 文 化 的 融 合 ; 一 道 题, 追 踪 再 现 了 数 学 进 步 的 历 程. 例 4,0 年 湖 北 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ). 九 章 算 术 竹 九 节 问 题 : 现 有 一 根 9 节 的 竹 子, 自 上 而 下 各 节 的 容 积 成 等 差 数 列, 上 面 4 节 的 容 积 共 3 升, 下 面 3 节 的 容 积 共 4 升, 则 第 5 节 的 容 积 为 升. 九 章 算 术 是 中 国 古 代 数 学 经 典 著 作. 它 的 出 现, 既 是 先 秦 至 汉 代 数 学 成 就 的 一 个 总 汇, 更 是 古 代 中 国 数 学 体 系 确 立 与 数 学 特 点 形 成 的 核 心 标 志. 作 者 不 详, 但 从 诸 方 面 因 素 考 察, 估 计 并 非 一 时 一 人 之 作, 而 是 经 过 多 人 之 手, 历 经 长 期 修 订, 最 终 成 于 公 元 世 纪 之 时. 全 书 按 内 容 统 为 九 章 : 方 田 ( 收 38 题 ); 粟 米 ( 收 46 题 ); 衰 分 ( 收 0 题 ); 少 广 ( 收 4 题 ); 商 功 ( 收 8 题 ); 均 输 ( 收 8 题 ); 盈 不 足 ( 收 0 题 ); 方 程 ( 收 8 题 ); 勾 股 ( 收 4 题 ), 共 46 题. 九 章 算 术 对 于 数 学 科 学 的 贡 献, 并 不 只 限 于 这 些 具 体 的 内 容, 更 为 重 要 的 是, 它 奠 定 了 古 代 中 国 数 学 体 系 的 二 大 特 色 : 一 是 注 重 实 际 的 传 统 ; 二 是 高 度 的 计 算 能 力. 奠 定 了 体 系 的 中 国 传 统 数 学, 便 69

74 谈 学 论 教 一 飞 冲 天, 凌 绝 巅 峰. 事 实 上 在 十 三 世 纪 以 前, 中 国 的 数 学 在 世 界 文 明 史 上 写 下 了 辉 煌 一 页. 通 过 对 试 题 解 答, 重 温 了 中 华 民 族 曾 经 的 璀 璨 与 强 大, 激 发 学 生 的 民 族 自 豪 感. 激 励 考 生 在 新 世 纪 的 征 程 上, 为 中 华 民 族 的 伟 大 复 兴 而 勇 挑 重 担. 以 上 不 同 的 试 题, 展 示 了 中 外 数 学 不 同 时 期 的 成 就. 每 个 民 族 都 有 自 己 的 文 化, 也 就 一 定 有 属 于 这 个 文 化 的 数 学. 古 希 腊 的 数 学 和 中 国 传 统 数 学 都 有 辉 煌 的 成 就 优 秀 的 传 统. 但 是, 它 们 之 间 有 着 明 显 的 差 异. 古 希 腊 和 古 代 中 国 的 不 同 政 治 文 明 孕 育 了 不 同 的 数 学. 古 希 腊 是 奴 隶 制 国 家. 当 时 希 腊 的 雅 典 城 邦 实 行 奴 隶 主 的 民 主 政 治 ( 广 大 奴 隶 不 能 享 受 这 种 民 主 ). 男 性 奴 隶 主 的 全 体 大 会 选 举 执 政 官, 对 一 些 战 争 财 政 大 事 实 行 民 主 表 决. 这 种 政 治 文 明 包 含 着 某 些 合 理 的 因 素. 奴 隶 主 之 间 讲 民 主, 往 往 需 要 用 理 由 说 服 对 方, 使 学 术 上 的 辩 论 风 气 浓 厚. 为 了 证 明 自 己 坚 持 的 是 真 理, 也 就 需 要 证 明. 先 设 一 些 人 人 皆 同 意 的 公 理, 规 定 一 些 名 词 的 意 义, 然 后 把 要 陈 述 的 命 题, 演 绎 为 公 理 的 逻 辑 推 论. 欧 氏 的 几 何 原 本 正 是 在 这 样 的 背 景 下 产 生 的. 中 国 在 春 秋 战 国 时 期 也 有 百 家 争 鸣 的 学 术 风 气, 但 是 没 有 实 行 古 希 腊 统 治 者 之 间 的 民 主 政 治, 而 是 实 行 君 王 统 治 制 度. 春 秋 战 国 时 期, 也 是 知 识 分 子 自 由 表 达 见 解 的 黄 金 年 代. 当 时 的 思 想 家 和 数 学 家, 主 要 目 标 是 帮 助 君 王 统 治 臣 民 管 理 国 家. 因 此, 中 国 的 古 代 数 学, 多 半 以 管 理 数 学 的 形 式 出 现, 目 的 是 为 了 丈 量 田 亩 兴 修 水 利 分 配 劳 力 计 算 税 收 运 输 粮 食 等 国 家 管 理 的 实 用 目 标. 理 性 探 讨 在 这 里 退 居 其 次. 因 此, 从 文 化 意 义 上 看, 中 国 数 学 可 以 说 是 管 理 数 学 和 木 匠 数 学, 存 在 的 形 式 则 是 官 方 的 文 书. 古 希 腊 的 文 化 时 尚, 是 追 求 精 神 上 享 受, 以 获 得 对 大 自 然 的 理 解 为 最 高 目 标. 因 此, 对 顶 角 相 等 这 样 的 命 题, 在 几 何 原 本 里 列 入 命 题 5, 借 助 公 理 3( 等 量 减 等 量, 其 差 相 等 ) 给 予 证 明. 在 中 国 的 数 学 文 化 里, 不 可 能 给 这 样 的 直 观 命 题 留 下 位 置. 同 样, 中 国 数 学 强 调 实 用 的 管 理 数 学, 却 在 算 法 上 得 到 了 长 足 的 发 展. 负 数 的 运 用 解 方 程 的 开 根 法, 以 及 杨 辉 ( 贾 宪 ) 三 角 祖 冲 之 的 圆 周 率 计 算 天 元 术 那 样 的 精 致 计 算 课 题, 也 只 能 在 中 国 诞 生, 而 为 古 希 腊 文 明 所 忽 视. 我 们 应 当 充 分 重 视 中 国 传 统 数 学 中 的 实 用 与 算 法 的 传 统, 同 时 又 必 须 吸 收 人 类 一 切 有 益 的 数 学 文 化 创 造, 包 括 古 希 腊 的 文 化 传 统. 当 进 入 世 纪 的 时 候, 我 们 作 为 地 球 村 的 村 民, 一 定 要 溶 入 世 界 数 学 文 化, 将 民 族 性 和 世 界 性 有 机 地 结 合 起 来. 数 学 是 生 产 力 数 学 在 人 类 文 明 中 一 直 是 一 种 主 要 的 文 化 力 量. 它 不 仅 在 科 学 推 理 中 具 有 重 要 的 价 值, 在 科 学 研 究 中 起 着 核 心 的 作 用, 在 工 程 设 计 中 必 不 可 少 ; 而 且, 数 学 决 定 了 大 部 分 哲 学 思 想 的 内 容 和 研 究 方 法, 摧 毁 和 构 造 了 诸 多 宗 教 教 义, 为 政 治 学 和 经 济 学 提 供 了 依 据, 塑 造 了 众 多 流 派 的 绘 画 音 乐 建 筑 和 文 学 风 格, 创 立 了 逻 辑 学. 数 学 为 我 们 回 答 人 与 宇 宙 的 根 本 关 系 的 问 题 提 供 了 最 好 70

75 高 考 数 学 题 的 文 化 特 征 的 答 案. 作 为 理 性 的 化 身, 数 学 已 经 渗 透 到 以 前 由 权 威 习 惯 风 俗 所 统 治 的 领 域, 并 取 而 代 之, 成 为 其 思 想 和 行 动 的 指 南. 数 学 是 人 类 文 化 的 重 要 组 成 部 分, 是 人 类 社 会 进 步 的 产 物, 也 是 推 动 社 会 发 展 的 动 力 之 一. 整 个 人 类 文 明 的 历 史 就 像 长 江 的 波 浪 一 样, 一 浪 高 过 一 浪, 滚 滚 向 前. 科 学 巨 人 们 站 在 时 代 的 潮 头, 以 他 们 的 勇 气 智 慧 和 勤 奋 把 人 类 的 文 明 从 一 个 高 潮 推 向 另 一 个 高 潮. 整 个 文 明 进 程 大 致 可 以 分 为 三 个 鲜 明 的 层 次 : () 以 锄 头 为 代 表 的 农 耕 文 明 ; () 以 大 机 器 流 水 线 作 业 为 代 表 的 工 业 文 明 ; (3) 以 计 算 机 为 代 表 的 信 息 文 明. 数 学 在 这 三 个 文 明 中 都 是 深 层 次 的 动 力. 其 作 用 一 次 比 一 次 明 显. A.00 B.000 C.0 D.000 电 子 计 算 机 的 诞 生, 是 人 类 科 技 进 步 的 重 要 里 程 碑. 可 以 毫 不 掩 饰 的 说, 这 座 丰 碑 上 写 满 了 数 学 符 号. 没 有 二 进 制 没 有 布 尔 代 数, 就 不 可 能 有 计 算 机. 例 年 湖 北 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ) 3. 如 图, 卫 星 和 地 面 之 间 的 电 视 信 号 沿 直 线 传 播, 电 视 信 号 能 够 传 送 到 达 的 地 面 区 域, 称 为 这 个 卫 星 的 覆 盖 区 域. 为 了 转 播 008 年 北 京 奥 运 会, 我 国 发 射 了 中 星 九 号 广 播 电 视 直 播 卫 星, 它 离 地 球 表 面 的 距 离 约 为 36000km. 已 知 地 球 半 径 约 为 6400km, 则 中 星 九 号 覆 盖 区 域 内 的 任 意 两 点 的 球 面 距 离 从 农 耕 文 明 向 工 业 文 明 的 跃 进, 很 大 程 度 上, 取 决 于 常 量 数 学 向 变 量 数 学 的 飞 跃 ; 的 最 大 值 约 为 余 弦 的 符 号 ). km.( 结 果 中 保 留 反 从 工 业 文 明 向 信 息 文 明 的 迈 进, 更 是 数 学 从 理 论 到 生 产 力 的 嬗 变. 例 年 陕 西 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ) 随 着 信 息 技 术 的 发 展, 无 线 通 讯 已 把 天 涯 化 作 咫 尺. 无 线 通 讯 为 信 息 高 速 公 路 拓 展 了 广 阔 的 空 间.. 为 提 高 信 息 在 传 输 中 的 抗 干 扰 能 力, 通 常 在 原 信 息 中 按 一 定 规 则 加 入 相 关 数 据 组 成 传 输 信 息. 设 定 原 信 息 为 例 7.0 年 安 徽 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ) 0. 工 作 人 员 需 进 入 核 电 站 完 成 某 项 具 有 高 a0aa a, i {0},( i 0,,), 传 输 信 息 为 辐 射 危 险 的 任 务, 每 次 只 派 一 个 人 进 去, 且 h0a0 aa h, 其 中 每 个 人 只 派 一 次, 工 作 时 间 不 超 过 0 分 钟, 如 果 有 一 个 人 0 分 钟 内 不 能 完 成 任 务 则 撤 h0, a0 a, 运 算 规 h则 h0 a 出, 再 派 下 一 个 人. 现 在 一 共 只 有 甲 乙 为 : 00 0, 0, 0, 丙 三 个 人 可 派, 他 们 各 自 能 完 成 任 务 的 概 率 0, 例 如 原 信 息 为, 则 传 输 信 息 分 别 p, p, p 假 设 p, p, p 互 不 相 等, 为 0. 传 输 信 息 在 传 输 过 程 中 受 到 干 扰 可 能 导 致 接 收 信 息 出 错, 则 下 列 接 收 信 息 一 且 假 定 各 人 能 否 完 成 任 务 的 事 件 相 互 独 立. (Ⅰ) 如 果 按 甲 在 先, 乙 次 之, 丙 最 后 定 有 误 的 是 ( ) 的 顺 序 派 人, 求 任 务 能 被 完 成 的 概 率. 若 改 7

76 谈 学 论 教 变 三 个 人 被 派 出 的 先 后 顺 序, 任 务 能 被 完 成 C.4 D.4 的 概 率 是 否 发 生 变 化? (Ⅱ) 若 按 某 指 定 顺 序 派 人, 这 三 个 人 各 自 能 完 成 任 务 的 概 率 依 次 为 q, q, q, 其 中 q, q, q 是 p, p, p 的 一 个 排 列, 求 所 需 派 出 人 员 数 目 X 的 分 布 列 和 均 值 ( 数 字 期 望 ) EX ; (Ⅲ) 假 定 p p p, 试 分 析 以 怎 样 的 先 后 顺 序 派 出 人 员, 可 使 所 需 派 出 的 人 员 数 目 的 均 值 ( 数 字 期 望 ) 达 到 最 小. 人 类 社 会 的 飞 速 发 展, 对 能 源 的 需 求 越 来 越 紧 迫. 不 可 再 生 资 源, 总 有 一 天 会 枯 竭. 和 平 合 理 利 用 核 能, 越 来 越 成 为 社 会 关 注 的 焦 点. 例 年 湖 北 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ) 0. 如 图 所 示, 嫦 娥 一 号 探 月 卫 星 沿 地 月 转 移 轨 道 飞 向 月 球, 在 月 球 附 近 一 点 P 轨 进 入 以 月 球 球 心 F 为 一 个 焦 点 的 椭 圆 轨 道 I 绕 月 飞 行, 之 后 卫 星 在 P 点 第 二 次 变 轨 进 入 仍 以 F 为 一 个 焦 点 的 椭 圆 轨 道 Ⅱ 绕 月 飞 行, 最 终 卫 星 在 P 点 第 三 次 变 轨 进 入 以 F 为 圆 心 的 圆 形 轨 道 Ⅲ 绕 月 飞 行, 若 用 c 和 c 分 别 表 示 椭 轨 道 Ⅰ 和 Ⅱ 的 焦 距, 用 a 和 a 分 别 表 示 椭 圆 轨 道 Ⅰ 和 Ⅱ 的 长 轴 的 长, 给 出 下 列 式 子 : 序 号 是 a +c =a +c ; a -c =a -c ; 3c a >a c ; 4 3 c c < c a. 其 中 正 确 式 子 的 A.3 B.3 载 人 航 天, 实 现 人 类 千 百 年 来 飞 天 的 梦 想. 当 人 们 通 过 现 场 直 播, 观 看 到 火 箭 卫 星 航 天 器 腾 空 而 起 的 刹 那, 为 人 类 的 智 慧 和 科 学 技 术 发 出 由 衷 赞 叹 时, 往 往 忘 记 了 幕 后 的 英 雄 数 学 ; 当 火 箭 喷 射 出 强 烈 的 火 焰, 推 动 火 箭 带 着 卫 星 航 天 器 奔 向 太 空 的 同 时, 请 不 要 忽 略 了 基 础 数 学. 高 考 试 题 所 精 选 的 电 子 计 算 机 无 线 通 讯 技 术 核 能 的 利 用 载 人 航 空 航 天 等 领 域, 都 是 当 今 世 界 最 尖 端 的 科 学 技 术 标 志. 数 学 是 对 这 些 技 术 的 最 强 有 力 的 支 撑. 试 题 的 字 里 行 间 无 不 透 射 着 数 学 的 无 穷 魅 力 与 动 力. 王 国 维 在 人 间 词 话 中 说 : 诗 人 对 宇 宙 人 生, 须 入 乎 其 内, 又 须 出 乎 其 外. 入 乎 其 内, 故 能 写 之. 出 乎 其 外, 故 能 观 之. 入 乎 其 内, 故 有 生 气. 出 乎 其 外, 故 有 高 致. 只 知 入 乎 其 内, 那 是 见 木 不 见 林, 常 常 会 迷 失 方 向. 所 以 还 要 辅 助 以 出 乎 其 外, 站 出 来 作 高 瞻 远 瞩. 不 站 出 来, 就 不 知 道 数 学 的 根 在 何 处, 不 知 道 自 己 研 究 的 最 终 目 的 与 最 终 方 向 是 什 么 ; 不 站 出 来, 就 看 不 到 数 学 与 别 的 学 科 的 密 切 联 系 与 相 互 影 响 ; 不 站 出 来, 就 看 不 到 数 学 对 人 类 文 明 的 巨 大 贡 献. 当 然, 我 们 不 仅 要 识 到, 现 代 科 学 技 术 是 一 组 不 同 技 术 模 块 的 链 条, 一 个 环 节 失 误, 可 以 导 致 这 个 技 术 的 瘫 痪 ; 更 要 意 识 到, 科 学 技 术 是 一 把 双 刃 剑, 如 何 趋 利 避 害, 是 人 类 未 来 首 要 思 考 的 出 发 点. 可 持 续 发 展 和 谐 发 展 成 为 当 今 社 会 主 要 解 决 的 议 题. 3 数 学 改 变 了 世 界 观 世 界 观 人 们 对 世 界 的 总 的 根 本 的 看 法. 世 界 观 并 不 是 一 成 不 变 的. 相 反, 世 界 观 总 是 在 数 学 进 步 的 同 时, 从 感 性 到 理 性 ; 7

77 高 考 数 学 题 的 文 化 特 征 从 浅 显 到 丰 富 ; 从 谬 误 到 科 学. 3. 数 学 成 果 改 变 人 类 对 客 观 世 界 的 认 识 毕 达 哥 拉 斯 学 派 毕 达 哥 拉 斯 公 元 前 580 年 左 右 生 于 萨 摩 斯 ( 今 希 腊 东 部 小 岛 ). 企 图 用 数 来 解 释 一 切, 不 仅 仅 认 为 万 物 都 包 含 数, 而 且 有 万 物 都 是 数 的 理 念. 当 然, 他 们 所 说 的 数 不 是 我 们 现 在 所 接 受 的 实 数, 而 是 整 数, 充 其 量 也 只 能 算 作 是 正 有 理 数 ( 可 公 度 的 数 ). 然 而, 就 在 这 个 学 派 里, 一 个 睿 智 者, 发 现 了 无 理 数 : 边 长 为 的 正 方 形 的 对 角 线 长, 就 是 一 个 不 可 公 度 的 数. 导 致 了 人 类 对 数 的 认 识 范 围 扩 大 到 实 数 的 范 畴. 这 也 许 是 第 一 次 在 人 类 对 客 观 世 界 的 认 识 中 打 上 数 学 的 烙 印. 数 学 是 研 究 现 实 世 界 中 的 数 量 关 系 与 空 间 形 式 的 一 门 科 学. 由 于 实 际 的 需 要, 数 学 在 古 代 就 产 生 了, 现 在 已 发 展 成 一 个 分 支 众 多 的 庞 大 系 统. 数 学 与 其 他 科 学 一 样, 反 映 了 客 观 世 界 的 规 律, 并 成 为 理 解 自 然 改 造 自 然 的 有 力 武 器. 例 9.0 年 全 国 高 考 数 学 试 卷 Ⅱ( 理 ). 函 数 y x( x 0) 的 反 函 数 为 x (A) y ( x R) 4 x (B) y ( x 0) 4 (C) y 4x ( x R) (D) y 4 x ( x 0) 本 题 考 察 的 是 简 单 的 二 次 函 数. 然 而, 人 类 对 二 次 函 数 及 其 作 用 的 认 识 过 程 是 漫 长 曲 折 的. 众 所 周 知, 亚 里 士 多 德 ( 前 384 前 3 年 ), 古 希 腊 斯 吉 塔 拉 人, 世 界 古 代 史 上 最 伟 大 的 哲 学 家 科 学 家 和 教 育 家 之 一. 他 曾 犯 下 了 的 经 典 错 误 较 重 物 体 的 下 坠 速 度 会 比 较 轻 物 体 的 快. 因 其 地 位 和 名 望, 一 直 没 有 人 怀 疑. 直 到 中 世 纪 的 物 理 学 家 伽 利 略, 才 被 否 定. 伽 利 略 知 道, 自 由 落 体 运 动 的 规 律 服 从 最 简 单 的 二 次 函 数 s gt, 其 运 动 速 度 v s' gt(g 为 常 量 ), 与 物 体 的 质 量 无 关, 只 与 运 动 的 时 间 成 正 比. 于 是 出 现 了 比 萨 斜 塔 验 证 两 个 铁 球 同 时 着 地 著 名 实 验. 自 由 落 体 运 动 规 律 函 数, 在 人 类 对 客 观 世 界 的 认 识 进 程 中, 带 来 的 冲 击 和 震 撼, 并 决 非 这 个 简 洁 的 二 次 函 数 那 样 简 单. 时 至 今 日, 关 于 数 学 在 科 学 中 的 位 置, 出 现 了 分 歧. 过 去 把 科 学 分 为 自 然 科 学 社 会 科 学 两 个 大 的 类 别, 数 学 是 自 然 科 学 里 的 成 员 之 一, 数 理 化 天 地 生 都 隶 属 自 然 科 学. 然 而, 现 在 越 来 越 多 人 的 人 认 为, 自 然 科 学 是 以 研 究 物 质 的 某 一 运 动 形 态 为 特 征 的, 如 物 理 化 学 等 都 各 有 自 己 的 运 动 形 态 作 为 研 究 对 象 ; 而 数 学 是 忽 略 了 物 质 的 具 体 形 态 和 属 性, 纯 粹 从 数 量 关 系 和 空 间 形 式 的 角 度 来 研 究 现 实 世 界 的, 从 而 与 理 化 生 等 不 属 于 同 一 层 次, 不 是 自 然 科 学 的 一 种, 而 更 接 近 于 研 究 思 维 规 律 的 哲 学, 具 有 超 越 具 体 科 学 和 普 遍 适 用 的 特 征, 具 有 公 共 基 础 的 地 位. 所 以, 现 在 有 些 著 名 学 者 大 胆 地 把 科 学 分 为 自 然 科 学 哲 学 社 会 科 学 和 数 学 科 学 三 大 类. 3. 公 理 化 指 引 着 科 学 研 究 的 道 路 根 据 统 一 论 对 数 学 本 质 的 揭 示, 数 学 是 研 究 各 种 空 间 体 系 的 科 学 理 论. 不 管 是 什 么 73

78 谈 学 论 教 数 学 理 论, 它 都 有 着 固 定 的 空 间 模 式 几 何 学 是 这 样, 代 数 学 也 是 这 样. 当 然, 这 个 空 间 并 不 是 我 们 生 活 在 其 中 的 空 间, 而 是 各 种 不 同 的 数 学 模 型. 我 们 所 生 活 的 空 间 是 个 现 实 的 空 间, 而 科 学 理 论 中 的 空 间 是 一 些 抽 象 的 空 间, 是 由 数 学 理 论 所 界 定 的. 我 们 每 一 个 人 都 生 活 在 同 一 个 现 实 空 间 中, 但 却 生 活 在 不 同 的 理 论 空 间 中, 而 这 正 是 构 成 不 同 的 人 文 环 境 的 原 因. 不 管 是 对 自 然 界 还 是 对 社 会 的 各 个 方 面, 比 如 对 宇 宙 对 政 治 对 经 济 对 文 化 等 领 域, 我 们 每 个 人 都 有 不 同 的 理 解, 而 空 间 就 是 由 这 些 理 解 构 成 的. 所 以 说, 数 学 能 够 揭 示 真 理, 但 它 揭 示 的 是 一 种 主 观 真 理. 例 0,0 年 广 东 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ) 8. 设 S 是 整 数 集 T 的 非 空 子 集, 如 果 a, bs 有 a bs, 则 称 S 关 于 数 的 乘 法 是 封 闭 的. 若 T,V 是 Z 的 两 个 不 相 交 的 非 空 子 集,T V = Z 且 a, b, ct 有 a bct ; x, y, z V 有 x y z V, 则 下 列 结 论 恒 成 立 的 是 ( ) (A)T,V 中 至 少 有 一 个 关 于 乘 法 封 闭 (B)T,V 中 至 多 有 一 个 关 于 乘 法 封 闭 (C)T,V 中 有 且 只 有 一 个 关 于 乘 法 封 闭 (D)T,V 中 每 一 个 关 于 乘 法 都 封 闭 所 谓 公 理 本 意 是 指 人 们 公 认 的 无 需 证 明 的 道 理. 正 因 为 如 此, 欧 几 里 得 的 几 何 学 一 度 被 认 为 是 绝 对 真 理. 在 其 影 响 下, 科 学 研 究 取 得 了 丰 硕 的 成 果 : 其 一, 牛 顿 称 著 名 的 三 定 律 为 公 理 或 运 动 定 律. 从 三 定 律 和 万 有 引 力 定 律 出 发, 建 立 了 他 的 力 学 体 系. 他 的 自 然 哲 学 的 数 学 原 理 具 有 欧 几 里 得 式 的 结 构. 其 二, 相 对 论 的 诞 生 是 另 一 个 光 辉 的 例 子. 相 对 论 的 公 理 只 有 两 条 :() 相 对 性 原 理, 任 何 自 然 定 律 对 于 一 切 直 线 运 动 的 观 测 系 统 都 有 相 同 的 形 式 ;() 光 速 不 变 原 理, 对 于 一 切 惯 性 系, 光 在 真 空 中 都 以 确 定 的 速 度 传 播. 爱 因 斯 坦 就 是 在 这 两 条 公 理 的 基 础 上 建 立 了 他 的 相 对 论. 但 非 欧 几 何 的 出 现 改 变 了 人 们 关 于 公 理 的 观 念, 特 别 是, 面 对 以 互 为 否 定 的 命 题 为 前 提 建 立 的 不 同 公 理 体 系, 数 学 家 们 开 始 困 惑 了 : 数 学 能 够 揭 示 真 理 吗? 科 学 真 理 包 括 主 观 真 理 和 客 观 真 理. 所 谓 客 观 真 理 当 然 是 关 于 客 体 的, 没 有 对 客 体 的 科 学 认 识, 就 谈 不 上 客 观 真 理. 对 客 体 的 科 学 认 识 包 括 定 性 认 识 和 定 量 认 识, 所 谓 定 性 认 识 是 自 然 哲 学 的 任 务, 而 定 量 认 识 则 是 数 学 的 任 务. 所 以 说, 自 然 科 学 就 是 自 然 哲 学 加 数 学. 牛 顿 把 他 的 物 理 体 系 叫 做 自 然 哲 学 的 数 学 原 理, 大 概 就 是 这 个 原 因 吧. 同 样, 社 会 科 学 就 是 社 会 哲 学 加 数 学. 从 这 点 来 看, 今 天 我 们 称 为 社 会 科 学 的 许 多 理 论, 它 们 并 未 应 用 数 学 或 对 数 学 的 应 用 还 很 幼 稚, 这 种 理 论 实 际 上 还 没 有 进 入 科 学 阶 段, 还 只 能 被 叫 做 社 会 哲 学. 而 且 现 在 有 越 来 越 多 的 人 接 受 了 : 一 门 科 学 的 先 进 程 度, 就 看 她 与 数 学 结 合 的 程 度 ; 或 者 说, 数 学 工 具 在 这 门 学 科 中 运 用 的 熟 练 程 度. 3.3 数 学 思 维 改 变 人 们 行 为 方 式 数 学 是 思 维 的 体 操. 数 学 在 形 成 人 类 理 性 思 维 和 促 进 个 人 智 力 发 展 的 过 程 中 发 挥 着 独 特 的 不 可 替 代 的 作 用. 数 学 知 识 是 人 类 文 化 的 重 要 组 成 部 分, 数 学 素 质 是 公 民 所 必 须 具 备 的 一 种 基 本 素 质. 有 数 无 形 少 直 观, 有 形 无 数 难 入 微 74

79 高 考 数 学 题 的 文 化 特 征 的 数 形 结 合 的 方 法, 已 被 人 们 广 泛 应 用 于 学 习 科 研 等 工 作 中. 正 难 则 反 条 条 道 路 通 罗 马 的 迂 回 解 决 问 题 的 方 式 方 法 更 于 3 时 ) 都 分 别 一 次 成 等 差 数 列, 若 顶 点 A,B,C 处 的 三 个 数 互 不 相 同 且 和 为, 记 所 有 顶 点 上 的 数 之 和 为 f(), 则 有 f()=,f(3) 是 运 用 娴 熟. 但 是 数 学 中 的 假 设 验 证 结 论 的 科 学 探 究 的 解 决 问 题 的 方 式, 却 鲜 为 人 知. 例,0 年 广 东 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ) =,,f()= 6. 甲 乙 两 队 进 行 排 球 决 赛. 现 在 的 情 形 是 甲 队 只 要 再 赢 一 局 就 获 冠 军, 乙 队 需 要 再 赢 两 局 才 能 得 冠 军. 若 两 队 胜 每 局 的 概 率 相 同, 则 甲 队 获 得 冠 军 的 概 率 为 ( ) (A) (C) 3 (B) 3 5 (D) 3 4 这 个 题 目 的 设 计, 是 典 型 的 古 典 赌 金 风 波 问 题, 注 入 现 代 生 活 的 气 息. 只 要 熟 悉 赌 金 风 波 问 题 解 决 过 程 : 假 设 再 赛 两 局, 经 过 简 单 的 排 列 组 合, 就 知 道 甲 对 获 胜 的 概 率 为 悦 本 题 的 解 答 就 会 变 得 轻 松 愉 事 实 上, 赌 金 风 波 问 题 的 解 决, 经 过 帕 斯 卡 长 时 间 探 索 与 研 究, 并 且 与 费 尔 马 通 过 书 信 的 交 流 与 探 讨, 直 到 他 把 相 关 的 研 究 成 果 写 成 著 作 论 赌 博 中 的 计 算, 这 个 问 题 才 算 尘 埃 落 定. 其 解 决 问 题 的 方 法 也 被 后 人 奉 为 经 典. 例.009 年 湖 南 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ) 5 将 正 ABC 分 割 成 (, N) 个 全 等 的 小 正 三 角 形 ( 图, 图 3 分 别 给 出 了 =,3 的 情 形 ), 在 每 个 三 角 形 的 顶 点 各 放 置 一 个 数, 使 位 于 ABC 的 三 遍 及 平 行 于 某 边 的 任 一 直 线 上 的 数 ( 当 数 的 个 数 不 少 解 决 这 一 问 题 的 关 键 在 于 题 目 中 给 出 顶 点 A,B,C 处 的 三 个 数 互 不 相 同. 在 这 里, 如 果 提 出 : 为 什 么 要 限 定 三 个 数 互 不 相 同? 如 果 没 有 这 一 限 制, 假 设 它 们 是 相 同 的, 会 出 现 什 么 样 的 结 果? 显 然, 如 果 它 们 相 同, 各 个 三 角 形 顶 点 上 的 数 值 变 得 相 同, 剩 下 的 问 题 就 是 数 数 三 角 形 顶 点 的 个 数 了, 多 么 轻 松. 这 种 反 其 道 而 行 之 的 独 特 解 决 问 题 的 方 式, 收 到 了 意 想 不 到 的 效 果. 从 否 定 中 寻 求 肯 定 的 结 果, 自 己 设 问, 自 己 作 答 的 解 决 方 式, 是 科 学 探 索 的 道 路 上, 不 可 或 缺 的 重 要 方 式 之 一. 一 个 人 的 学 历 教 育 中, 从 小 学 一 年 级 到 高 中 毕 业, 一 般 要 学 年 的 数 学 课 程, 但 许 多 人 并 未 因 为 学 的 时 间 长 就 掌 握 了 数 学 的 精 髓. 日 本 学 者 米 山 国 藏 说, 在 学 校 学 的 数 学 知 识, 毕 业 后 若 没 什 么 机 会 去 用, 不 到 一 两 年, 很 快 就 忘 掉 了. 然 而, 不 管 他 们 从 事 什 么 工 作, 唯 有 深 深 铭 刻 在 头 脑 中 的 数 学 的 精 神 数 学 的 思 维 方 法 研 究 方 法 推 理 方 法 和 看 问 题 的 着 眼 点 等, 却 随 时 随 地 发 生 作 用, 使 他 们 终 身 受 益. 这 段 话 说 得 很 中 肯, 涉 及 到 数 学 的 精 髓, 也 涉 及 到 人 的 数 学 素 养. 4 数 学 改 变 了 人 类 的 审 美 意 识 75

80 谈 学 论 教 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 提 出 : 数 学 是 人 类 文 化 的 重 要 组 成 部 分. 数 学 课 程 应 适 当 反 映 数 学 的 历 史 应 用 和 发 展 趋 势, 数 学 对 推 动 社 会 发 展 的 作 用, 数 学 的 社 会 需 求, 社 会 发 展 对 数 学 发 展 的 推 动 作 用, 数 学 科 学 的 思 想 体 系, 数 学 的 美 学 价 值, 数 学 家 的 创 新 精 神. 数 学 课 程 应 帮 助 学 生 了 解 数 学 在 人 类 文 明 发 展 中 的 作 用, 逐 步 形 成 正 确 的 数 学 观. 数 学 的 美 学 价 值 不 仅 仅 在 于 她 的 对 称 美 简 洁 美 统 一 美 ; 还 在 于 数 学 知 识 能 给 人 审 美 观 的 改 变, 以 及 对 美 的 含 义 的 丰 富. 知 例 年 江 苏 高 考 数 学 试 卷 0. 已 5 a, 函 数 f ( x) 若 实 数, x a, m 满 足 f ( m) f ( ) m, 的 大 小 关 系 为., 则 我 们 知 道 a 0.68, 命 题 者 没 有 直 接 使 用 0.68, 而 是 使 用 了 a 5 这 样 一 个 非 常 重 要 的 常 数 黄 金 分 割 比. 其 用 意 不 言 而 喻. 黄 金 分 割 Golde Sectio 是 一 种 数 学 上 的 比 例 关 系. 黄 金 分 割 具 有 严 格 的 比 例 性 艺 术 性 和 谐 性, 蕴 藏 着 丰 富 的 美 学 价 值. 高 雅 的 艺 术 殿 堂 里, 自 然 也 留 下 了 黄 金 数 的 足 迹. 音 乐 家 们 认 为 弦 乐 器 的 琴 马 放 在 琴 弦 的 0.68 处, 能 使 琴 声 更 加 柔 和 甜 美 ; 二 胡 演 奏 中, 千 金 分 弦 的 比 符 合 0.68 时, 奏 出 来 的 音 调 最 和 谐 最 悦 耳. 黄 金 矩 形 (Golde Rectabgle) 的 长 宽 之 比 为 黄 金 分 割 率, 换 言 之, 矩 形 的 长 边 为 短 边.68 倍. 黄 金 分 割 率 和 黄 金 矩 形 能 够 给 画 面 带 来 美 感, 令 人 愉 悦. 在 很 多 艺 术 品 以 及 大 自 然 中 都 能 找 到 它. 希 腊 雅 典 的 巴 特 农 神 庙 就 是 一 个 很 好 的 例 子, 达 芬 奇 的 维 特 鲁 威 人 符 合 黄 金 矩 形. 蒙 娜 丽 莎 中 蒙 娜 丽 莎 的 脸 也 遵 从 黄 金 比 例, 最 后 的 晚 餐 同 样 也 应 用 了 该 比 例 布 局. 画 家 们 发 现, 按 0.68: 来 设 计 腿 长 与 身 高 的 比 例, 画 出 的 人 体 身 材 最 优 美, 而 现 今 的 女 性, 腰 身 以 下 的 长 度 平 均 只 占 身 高 的 0.58, 因 此 古 希 腊 维 纳 斯 女 神 塑 像 及 太 阳 神 阿 波 罗 的 形 象 都 通 过 故 意 延 长 双 腿, 使 之 与 身 高 的 比 值 为 0.68, 从 而 创 造 艺 术 美. 难 怪 许 多 姑 娘 都 愿 意 穿 上 高 跟 鞋, 而 芭 蕾 舞 演 员 则 在 翩 翩 起 舞 时, 不 时 地 踮 起 脚 尖. 结 束 语 上 下 五 千 年 的 文 明, 数 学 形 影 不 离. 学 习 数 学, 除 了 学 数 学 知 识, 更 要 悟 数 学 的 内 涵 与 精 髓. 数 学 文 化 的 积 淀, 不 是 一 场 两 个 小 时 的 考 试 就 能 完 成 的 ; 数 学 素 养 的 形 成, 不 是 答 好 一 份 试 卷 就 可 以 实 现 了. 数 学 文 化 应 该 贯 穿 于 整 个 数 学 教 育 教 学 过 程 中, 不 断 地 循 序 渐 进 潜 移 默 化 地 领 悟 领 悟 数 学 的 内 涵, 用 数 学 的 眼 光 观 察, 构 造 数 学 模 型, 学 习 数 学 的 语 言 图 表 符 号 表 示, 进 行 数 学 交 流 等 ; 通 过 理 性 思 维, 培 养 严 谨 素 质, 追 求 创 新 精 神, 欣 赏 数 学 之 美. 高 考 试 题 的 选 拔 性, 决 定 了 数 学 文 化 在 试 卷 中 处 于 次 要 地 位. 我 们 不 期 望 整 张 数 学 试 卷 满 是 数 学 文 化 的 展 示. 只 要 数 学 文 化 点 缀 在 白 纸 黑 字 间, 熠 熠 发 光, 就 感 到 兴 奋 和 欣 慰 了. 76

81 浅 析 如 何 在 教 学 中 构 建 高 效 的 认 知 结 构 诚 然, 当 前 中 国 数 学 教 育 界, 常 常 有 数 学 = 逻 辑 的 观 念 : 学 生 们 把 数 学 看 作 一 堆 绝 对 真 理 的 总 集, 或 者 是 一 种 符 号 的 游 戏 ; 数 学 教 学 遵 循 记 忆 事 实 -- 运 用 算 法 -- 执 行 记 忆 得 来 的 公 式 -- 算 出 答 案 的 模 式. 这 样 的 教 育 现 状, 正 如 一 位 智 者 所 说, 一 个 充 满 活 力 的 数 学 美 女, 只 剩 下 一 副 X 光 照 片 上 的 骨 架 了! 但 是, 我 们 坚 信 : 数 学 学 习 中, 数 学 知 识 有 了 文 化 背 景, 学 起 来 更 具 有 韵 味 ; 数 学 教 学 中, 有 了 数 学 文 化 的 参 与, 教 学 活 动 更 具 有 人 文 气 息 ; 数 学 考 试 中, 由 于 数 学 文 化 的 渗 透, 枯 燥 的 数 字 便 具 有 了 灵 气. 参 考 文 献 : 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 研 制 工 作 组 丁 石 荪 张 祖 贵 : 数 学 与 教 育 湖 南 教 育 出 版 社,989 年 版 克 莱 因 : 数 学 与 文 化 北 京 大 学 出 版 社, 990 年 版 齐 民 友 : 数 学 与 文 化 湖 南 教 育 出 版 社,99 年 版 张 乃 达 : 数 学 思 维 教 育 学 江 苏 教 育 出 版 社, 99 年 版 郑 金 洲 : 教 育 文 化 学, 北 京 人 民 教 育 出 版 社 000 年 版 郑 毓 信 等 数 学 文 化 学 四 川 教 育 出 版 社 004 版 齐 民 友 数 学 的 过 去 现 在 和 未 来, 中 国 青 年 出 版 社 98 年 版 钱 彦 生 现 代 教 育 科 研 论 坛 00 年 第 期 王 立 桃 数 学 文 化 顾 沛 从 南 开 的 数 学 文 化 课 看 素 质 教 育 008 年 湖 北 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ) 008 年 陕 西 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ) 009 年 湖 北 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ) 009 年 江 苏 高 考 数 学 试 卷 009 年 湖 南 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ) 00 年 湖 北 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ) 0 年 广 东 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ) 0 年 全 国 高 考 数 学 试 卷 Ⅱ( 理 ) 0 年 安 徽 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ) 0 年 湖 北 高 考 数 学 试 卷 ( 理 ) 浅 析 如 何 在 教 学 中 构 建 高 效 的 认 知 结 构 周 鹏 ( 东 莞 第 七 高 级 中 学 ) 摘 要 : 数 学, 作 为 一 门 思 维 逻 辑 性 较 强 的 学 科, 知 识 的 认 知 结 构 构 建 至 关 重 要, 如 何 在 教 学 中 构 建 稳 定 的 完 善 的 认 知 结 构, 是 实 现 高 效 学 习 的 关 键, 本 文 通 过 对 文 献 和 作 者 实 践 操 作 经 验 进 行 研 究, 提 出 了 构 建 高 效 认 知 结 构 的 教 学 策 略. 关 键 词 : 认 知 结 构 ; 发 展 中 知 识 ; 转 化 策 略 ; 能 力 培 养 ; 数 学 作 文 引 言 现 代 学 习 理 论 认 为, 学 习 的 过 程 就 是 认 知 的 过 程, 包 括 认 知 结 构 的 形 成 变 化 和 完 善 的 过 程. 是 否 能 够 建 立 完 善 系 统 的 认 知 结 构 是 决 定 学 生 学 习 效 果 的 关 键 因 素. 数 学, 作 为 一 门 思 维 逻 辑 性 较 强 的 学 科, 知 识 的 认 知 结 构 尤 为 重 要. 皮 亚 杰 的 图 式 发 展 把 认 知 结 构 内 化 为 一 种 图 式, 我 国 的 李 士 琦 认 为 数 学 认 知 结 构 是 由 节 点 和 连 线 组 成 的 复 杂 的 网 络, 包 括 横 向 的 平 面 关 系 和 纵 向 的 层 次 关 系, 认 为 可 以 将 数 学 的 认 知 结 构 内 化 为 一 定 的 网 络 模 型, 这 种 模 型 不 是 一 成 不 变 77

82 谈 学 论 教 的, 随 着 学 生 知 识 的 形 成 过 程 在 不 断 的 重 组 完 善. 数 学 认 知 结 构 更 加 注 重 这 种 逻 辑 性 关 联 性 较 强 的 网 络 模 型, 学 生 在 学 习 数 学 的 过 程 中 就 是 要 不 停 的 强 化 完 善 自 己 的 认 知 结 构, 根 据 前 苏 联 教 育 家 维 果 茨 基 提 出 的 最 近 发 展 区 理 论, 可 以 将 学 生 的 认 知 结 构 分 成 已 高 中 阶 段 主 要 是 一 个 不 断 的 将 新 知 识 转 化 为 发 展 中 的 知 识 将 发 展 中 的 知 识 转 化 成 已 有 知 识 的 过 程, 中 间 穿 插 着 建 立 思 维 技 能 知 识 的 认 知 结 构 模 型 的 过 程, 如 何 在 我 们 的 课 堂 中 构 建 高 效 认 知 结 构, 是 我 们 实 现 高 效 课 堂 模 式 的 一 个 重 要 方 面. 我 们 可 以 构 建 一 个 简 单 的 学 习 模 型 有 知 识 发 展 中 的 知 识 和 新 知 识 三 部 分. 已 有 知 识 从 初 中 升 高 中 后, 数 学 型 呈 现 出 知 识 展 现 过 程 的 高 密 度 性 和 高 强 度 性 学 习 过 程 中 的 高 思 维 量 练 习 过 程 中 知 识 高 融 合 性, 这 就 要 求 我 们 课 堂 教 学 体 现 出 高 效 性, 在 课 堂 教 学 中 尽 最 大 可 能 帮 助 学 生 建 立 自 己 的 较 为 完 善 的 数 学 认 知 结 构. 构 建 认 知 结 构 的 教 学 策 略. 新 知 识 的 转 化 过 程 根 据 信 息 加 工 心 理 学 的 观 点, 数 学 认 知 结 构, 就 是 经 过 学 习 者 对 外 显 知 识 的 感 知 理 解 内 化 进 而 形 成 贮 存 在 自 己 尝 试 记 忆 中 的 相 互 联 系 的 陈 述 性 知 识 程 序 性 知 识 和 过 程 性 知 识 组 成 的 结 构. 建 立 模 高 中 数 学 中, 新 课 的 讲 授 平 均 用 时 ~ 课 时 ( 每 课 时 约 40 分 钟 ), 每 周 新 课 4~5 课 时, 给 予 学 生 的 接 受 掌 握 时 间 仅 有 ~ 天, 在 这 么 短 的 时 间 内 如 何 将 新 知 识 理 解 内 化, 是 学 生 学 好 数 学 的 关 键, 优 秀 学 生 接 受 能 力 强, 可 以 在 很 短 时 间 内 形 成 自 己 的 知 识 框 架, 中 等 生 也 基 本 能 跟 得 上, 后 进 生 则 就 要 掌 握 的 慢 一 点, 长 时 间 下 去, 好 则 更 好, 差 则 更 差, 所 以 会 出 现 数 学 成 绩 的 参 差 不 一, 问 题 主 要 出 在 建 立 模 型 的 过 程 上, 因 为 发 展 中 知 识 建 立 模 学 生 数 学 学 型 习 能 力 的 不 同, 例 如 数 学 阅 读 能 力 计 算 能 力 迁 移 能 力 演 绎 推 理 能 力 问 题 解 决 能 力 等 不 同, 所 以 部 分 学 生 不 能 构 建 高 效 的 认 知 结 构. 新 知 识.. 数 学 阅 读 能 力 培 养 好 多 学 生, 阅 读 的 时 候 都 是 粗 略 的 看 一 下, 将 课 本 中 的 黑 体 字 部 分 划 出 来, 而 没 有 深 入 的 去 理 解, 不 会 阅 读 就 不 会 学, 作 为 老 师 首 先 要 在 课 堂 上 有 意 识 的 培 养 学 生 的 自 学 阅 读 能 力, 一 开 始 就 将 问 题 抛 给 学 生, 让 学 生 带 着 问 题 去 阅 读 课 文, 问 题 的 种 类 有 很 多, 一 种 是 概 念 性 的 问 题? 例 如, 高 中 数 学 人 教 版 必 修 三 第 二 章. 用 样 本 估 计 总 体 中, 什 么 是 频 数 频 率? 这 些 可 以 直 接 从 课 文 中 得 到 的 答 案 ; 还 有 一 种 是 理 解 性 的 问 题, 如 高 中 数 学 人 教 版 必 修 三 第 二 章.3 变 量 间 的 相 关 关 系 中, 什 么 是 相 关 关 系, 相 关 关 系 和 函 数 关 系 有 什 么 区 别? 就 需 要 学 生 通 过 阅 读 从 文 字 中 概 括 出 来 ; 一 种 是 应 用 型 问 题, 譬 如 根 据 你 对 相 关 关 系 和 函 数 关 系 的 理 解, 可 以 举 例 说 明. 当 然, 并 不 是 所 有 的 章 节 都 需 要 阅 读, 像 文 字 较 多 的 必 修 三 中 的 统 计 和 概 率 的 章 节 就 比 较 适 合, 但 对 非 常 78

83 浅 析 如 何 在 教 学 中 构 建 高 效 的 认 知 结 构 抽 象 或 者 是 严 格 推 理 的 章 节 效 果 就 不 太 明 显... 演 绎 推 理 能 力 的 培 养 我 们 都 知 道 数 学 中 公 式 定 理 等 都 不 是 通 过 死 记 硬 背 来 掌 握 的, 而 是 通 过 公 式 的 推 导, 公 式 的 应 用 逐 渐 掌 握 的, 根 据 学 生 对 公 式 的 掌 握 情 况 来 看, 只 有 少 部 分 同 学 能 够 一 次 性 的 记 住 公 式 的 推 导, 就 二 倍 角 公 式 si si cos, cos cos si cos si, 余 弦 的 二 倍 角 公 式 学 完 后 还 是 有 人 记 不 住, 让 学 生 自 己 的 推 导 的 时 候, 也 是 速 度 较 慢, 过 一 段 时 间, 就 忘 记 了 余 弦 的 后 面 两 个 等 式, 尤 其 是 在 用 到 二 倍 角 公 式 的 逆 公 式 si sicos cos cos cos si 的 时 候 经 常 混 淆 或 记 不 住, 这 个 时 候, 如 果 学 生 对 推 导 过 程 比 较 熟 悉 的 话, 可 以 用 较 短 的 时 间 将 公 式 推 导 出 来, 而 不 会 出 错, 所 以 公 式 的 推 导 一 定 要 强 化 训 练, 这 样 不 仅 可 以 帮 助 学 生 记 忆 公 式, 还 能 够 锻 炼 学 生 的 思 维...3 问 题 解 决 能 力 的 培 养 所 学 的 公 式 定 理 不 仅 要 能 够 记 住, 还 要 会 运 用, 这 就 需 要 在 问 题 解 决 中 熟 练 掌 握. 波 利 亚 做 的 比 较 成 功, 他 提 出 解 决 问 题 的 四 个 步 骤 : 第 一, 必 须 弄 清 楚 问 题 ; 第 二, 找 出 已 知 数 与 未 知 数 之 间 的 练 习, 如 果 找 不 出 直 接 的 联 系, 你 可 能 不 得 不 考 虑 辅 助 问 题, 你 应 该 最 终 得 出 一 个 求 解 的 计 划 ; 第 三, 实 现 你 的 计 划 ; 第 四, 回 顾, 检 验 并 看 是 否 有 其 他 方 法, 是 否 可 以 将 结 果 或 方 法 用 于 其 他 问 题. 如 果 一 直 坚 持 这 样 做, 不 仅 锻 炼 思 维, 还 会 养 成 反 思 及 举 一 反 三 的 能 力. 学 习 新 知 识 的 过 程, 就 是 将 新 知 识 内 化 进 自 己 的 认 知 结 构, 刚 开 始 这 种 认 知 结 构 还 比 较 薄 弱, 知 识 与 知 识 之 间 的 联 系 不 紧 密, 如 果 不 加 以 强 化 则 很 容 易 造 成 知 识 链 的 断 裂, 学 习 效 果 会 大 大 折 扣, 而 且, 因 为 数 学 的 因 果 关 系, 还 会 影 响 到 后 续 知 识 的 学 习, 所 以 如 何 将 这 些 正 在 发 展 中 的 知 识 转 化 为 已 有 知 识 就 非 常 重 要.. 发 展 中 知 识 的 转 化 策 略.. 加 深 概 念 的 理 解 初 学 新 知 识 的 时 候, 对 概 念 的 讲 解 的 深 度 不 够, 对 概 念 的 理 解 基 本 比 较 浅 显, 这 时 候 会 影 响 学 生 认 知 结 构 的 建 立, 通 常 的 做 法 是 根 据 概 念, 设 计 相 应 的 题 型, 强 化 训 练, 概 念 是 一 切 问 题 的 基 础, 就 像 英 语 中 的 单 词 一 样, 概 念 不 清, 如 何 去 做 题. 在 概 念 中 也 有 难 易 之 分, 简 单 的 稍 作 训 练 就 可 以 解 决, 比 较 难 的 概 念, 即 使 几 天 都 不 能 理 解 透 彻, 例 如 三 角 函 数 的 性 质, 若 求 ysi( x ) 3 的 最 值 单 调 区 间 就 比 较 简 单 ; 若 求 y si( x ), x 0, 的 最 值 单 调 区 3 间 就 会 稍 微 难 点 ; 再 求 3 y si x cos x, x 0, 的 最 值 单 调 区 间 更 难 一 些 ; 求 x x x y 3 si cos cos, x 0, 的 最 值 单 调 区 间 难 度 再 次 增 加 ; 从 上 面 的 例 子 我 们 可 以 看 出, 有 些 概 念 的 理 解 不 是 一 日 之 功, 需 要 不 断 的 融 合 新 的 知 识, 但 是 万 79

84 谈 学 论 教 变 不 离 其 宗... 变 式 教 学 变 式 教 学, 可 以 让 学 生 看 到 概 念 的 灵 活 运 用, 所 有 的 题 目 都 是 围 绕 着 知 识 点 来 转, 只 是 变 了 一 个 形 式, 是 知 识 的 不 同 角 度 多 方 位 的 解 读 和 训 练, 是 检 测 认 知 结 构 是 否 牢 固 的 试 金 石, 如 果 对 简 单 的 变 式 不 能 够 熟 练 的 解 决, 则 说 明 认 知 结 构 需 要 巩 固...3 有 计 划 的 强 化 教 学 通 过 对 学 生 知 识 理 解 和 做 题 情 况 的 观 察, 可 以 发 现, 学 生 掌 握 一 个 概 念 学 会 一 种 方 法 建 立 一 种 思 维 模 式 比 较 有 难 度, 持 久 性 有 效 性 不 够 好, 往 往 花 费 很 多 的 时 间, 做 很 多 的 题 目 都 没 有 效 果, 究 其 原 因, 我 认 为 是 经 过 时 间 的 磨 练, 学 生 的 认 知 结 构 由 于 没 有 完 全 掌 握 而 逐 渐 开 始 弱 化, 大 家 通 常 的 做 法 就 是 一 贯 的 循 环 教 学, 总 结 来 看, 分 大 循 环 和 小 循 环, 根 据 记 忆 曲 线, 当 天 学 习 的 新 知 识, 晚 上 开 始 通 过 做 题 强 化 遍, 第 二 天 课 上 讲 解 遍, 第 3 天 晚 上 在 适 当 加 深 难 度 或 者 变 式 再 强 化 遍 ; 最 后 通 过 周 末 作 业 强 化 最 后 遍, 一 般 7 天 4 次 为 一 个 小 循 环, 还 可 以 根 据 知 识 的 难 度 适 当 增 加 训 练, 对 于 一 些 重 点 题 型, 应 该 重 点 照 顾 ; 所 谓 的 大 循 环 就 是 在 当 前 的 训 练 中 加 入 一 定 量 的 前 面 学 过 的 所 有 的 知 识, 重 点 题 型 增 加 出 现 的 次 数 ; 只 有 通 过 这 种 不 间 断 的 强 化 训 练, 才 能 够 让 发 展 中 的 知 识 逐 步 转 化 为 已 有 知 识, 加 强 认 知 结 构 的 坚 固 程 度, 不 至 于 出 现 断 裂, 是 对 概 念 公 式 定 理 等 的 写 作. 主 要 围 绕 概 念 是 什 么? 公 式 定 理 是 如 何 证 明 的? 他 们 有 什 么 特 点? 有 什 么 样 的 推 论? 这 些 概 念 公 式 定 理 推 论 在 做 题 中 如 何 应 用, 举 例 说 明?; 一 种 是 对 例 题 习 题 的 写 作. 题 目 需 要 用 到 哪 些 知 识 点? 你 是 如 何 去 分 析 这 道 题 目, 与 正 确 的 分 析 有 什 么 区 别? 解 题 的 规 范 步 骤 如 何 书 写? 哪 些 地 方 是 自 己 的 易 错 点, 如 何 去 处 理? 是 否 做 过 类 似 题 目? 等 问 题. 通 过 数 学 作 文 的 书 写, 可 以 加 深 学 生 对 概 念 公 式 定 理 的 理 解, 反 思 解 决 问 题 需 要 注 意 的 各 类 问 题, 理 清 做 题 思 路. 3 总 结 总 而 言 之, 在 新 知 识 转 化 成 发 展 中 的 知 识, 发 展 中 的 知 识 转 化 成 已 有 知 识 的 过 程 中, 所 做 的 所 有 工 作 都 是 在 加 强 认 知 结 构 的 稳 定 性, 使 学 生 的 认 知 结 构 完 善 有 条 理, 提 高 学 习 的 效 率, 在 今 后 的 工 作 中, 因 为 国 内 对 于 问 题 解 决 和 数 学 作 文 的 研 究 不 是 很 多, 这 两 种 教 学 方 式 的 研 究 将 是 笔 者 研 究 的 重 点. 参 考 文 献 : [] 鲍 建 生, 周 超. 数 学 学 习 的 心 理 基 础 与 过 程 [M]. 上 海 : 上 海 出 版 社,009,0. [] 李 兴 贵. 新 课 程 数 学 阅 读 教 学 新 论 [M]. 四 川 : 四 川 大 学 出 版 社,006,0. [3] 喻 平. 数 学 教 学 心 理 学 [M]. 北 京 : 北 京 师 范 大 学 出 版 社,00,. 影 响 逻 辑 推 理 能 力..4 做 中 学, 学 会 写 数 学 作 文 让 学 生 在 数 学 背 景 下 进 行 写 作, 区 别 于 语 文 英 语 作 文, 数 学 作 文 则 文 字 简 洁 逻 辑 性 更 强, 更 有 针 对 性, 分 两 种 情 况, 一 种 80

85 六 备 三 讲 一 析 六 备 三 讲 一 析 数 学 试 卷 讲 评 课 有 效 教 学 模 式 郑 志 景 ( 福 建 漳 州 外 国 语 学 校 ) 试 卷 讲 评 课 是 一 种 常 见 的 课 型, 其 根 本 目 的 是 纠 正 学 生 答 题 中 的 错 误 分 析 解 题 错 误 原 因, 巩 固 已 学 知 识, 培 养 学 生 综 合 解 题 能 力. 目 前 在 我 们 的 数 学 教 学 中, 许 多 教 师 往 往 重 结 果, 轻 讲 评, 就 题 论 题, 讲 的 口 干 舌 燥 ; 学 生 更 是 重 分 数, 轻 分 析, 抄 写 答 案, 听 的 枯 燥 乏 味 ; 师 生 只 纠 错, 而 不 究 错, 教 学 效 果 自 然 大 打 折 扣. 如 何 让 讲 评 课 真 正 发 挥 它 的 作 用 是 摆 在 广 大 一 线 教 师 面 前 的 一 项 重 要 课 题. 有 备 而 来, 数 据 说 话 奥 苏 贝 尔 指 出 : 影 响 学 生 的 唯 一 重 要 的 因 素, 就 是 学 习 者 已 知 道 了 什 么, 要 探 明 这 点, 并 应 据 此 进 行 教 学. 因 此, 试 卷 讲 评 课 讲 评 之 前 教 师 应 精 心 准 备, 做 到 心 中 有 数. 因 此, 课 前 非 常 有 必 要 对 考 试 的 反 馈 信 息 的 进 行 统 计 和 分 析.. 备 好 双 向 细 目 表 这 个 环 节 在 试 卷 命 题 过 程 中 即 可 完 成, 将 要 考 查 的 知 识 点 难 易 度 等 信 息 用 双 向 细 目 表 的 形 式 编 制 出 来, 即 可 以 使 命 题 工 作 避 免 盲 目 性 提 高 命 题 质 量, 又 方 便 在 讲 评 中 对 试 题 进 行 知 识 串 接.. 备 好 各 题 得 分 率 借 助 excel 表 格, 得 到 各 题 的 平 均 分 及 得 分 率. 通 过 得 分 率, 教 师 可 以 很 清 楚 地 知 道 每 道 题 目 学 生 的 掌 握 程 度, 以 了 解 学 生 在 知 识 和 能 力 上 的 缺 陷 及 教 师 在 教 学 中 存 在 的 问 题. 一 般 情 况 下, 教 师 应 对 得 分 率 低 于 70% 的 题 目 进 行 认 真 分 析, 重 点 讲 评, 适 当 变 式 ; 而 得 分 率 高 于 70% 的 题 目 则 由 学 生 自 已 解 决, 或 进 行 拓 展 训 练..3 备 好 学 生 试 卷 上 的 思 路 精 选 学 生 试 卷 中 能 体 现 出 学 生 思 维 混 乱 有 代 表 性 的 解 答, 特 别 是 同 法 不 同 分 的 解 答, 通 过 多 媒 体 设 备, 真 实 的 呈 现 在 课 堂 上. 引 导 学 生 积 极 主 动 地 参 与 到 纠 错 过 程 中, 看 懂 别 人 的 错 误, 也 是 一 种 进 步. 而 选 择 填 空 题 卷 面 上 没 法 体 现 学 生 的 错 误 思 路, 则 需 要 教 师 与 不 同 层 次 学 生 交 谈, 这 不 仅 是 交 谈 更 是 交 心..4 备 好 变 式 题 讲 评 的 目 的 是 引 导 学 生 对 知 识 的 缺 漏 进 行 弥 补, 实 现 对 重 点 题 型 与 解 题 思 想 的 总 结 提 炼, 从 而 提 升 学 生 实 际 分 析 与 解 决 问 题 的 能 力. 因 此, 变 式 拓 展 触 类 旁 通 发 散 思 维 形 成 能 力 是 讲 评 课 的 重 要 追 求. 如 何 变 式? 可 以 借 鉴 其 他 教 师 总 结 的 成 果 : 对 习 题 的 提 问 方 式 和 题 型 进 行 改 变 ( 改 一 改 ); 对 习 题 所 含 的 知 识 内 容 扩 大 使 用 范 围 ( 扩 一 扩 ); 从 某 一 原 题 衍 生 出 许 多 新 题 目 ( 变 一 变 ); 也 可 把 某 一 数 据 用 其 它 数 据 代 替 ( 代 一 代 ); 把 习 题 因 果 关 系 倒 过 来 ( 反 一 反 ); 把 几 个 题 目 组 合 在 一 起 或 把 某 一 题 目 分 析 为 几 个 小 题 ( 合 一 合, 分 一 分 ) 等. 如 : 原 题 : 求 过 点 P(0,) 且 与 抛 物 线 y =x 只 有 一 个 公 共 点 的 直 线 方 程. 变 式 :() 直 线 y kx 与 抛 物 线 y x只 有 一 个 公 共 点, 则 k. 8

86 谈 学 论 教 x 变 式 :() 直 线 y kx 与 双 曲 线 y 只 有 一 个 公 共 点, 则 k. x y 9 4 变 式 :( 3 ) 直 线 y x m与 椭 圆 为. 有 公 共 点 时, m 的 取 值 范 围 (4) 按 数 学 思 想 进 行 归 类 ;.6 备 好 讲 评 课 的 作 业 对 于 试 卷 讲 评 课, 学 生 的 注 意 力 会 比 平 常 的 课 堂 更 为 集 中, 教 师 可 利 用 学 生 的 重 视 度, 扩 大 战 果, 有 针 对 性 的 布 置 一 定 量 的 作 业, 不 少 教 师 的 做 法 就 是 将 错 题 重 做. 根 据 学 生 喜 新 厌 旧 的 特 性, 教 师 应 题 目 呈 现 ( 无 奇 不 有 的 错 误 ) 正 确 解 答 知 识 梳 理 题 型 归 类 f x x 3x 3 的 零 点 所 在 的 区 间 是 ( ) 例 : 函 数 3 A.,0 B. 0, C., D.,3 看 到 三 次 函 数, 思 路 固 定, 先 求 导, b 3 x,0, 错 选 A. a f x 6x 3, 想 到 对 称 轴 解 : 把,0,,,3 分 别 代 入, 可 得 f 8, f 0 3, f, f 9, f 3 58 其 中 f 0 3, f, 满 足 f f 解 析 : 此 题 考 查 零 点 存 在 性 定 理 若 f a f b 0, 则 在 区 间, 若 f a f b 0, 则 在 区 间, 某 某 书, 某 某 页, 某 某 题 0 0, 故 选 B. ab 上 有 零 点, 零 点 个 数 ; ab 上 可 能 有 零 点, 零 点 个 数 0 ; 在 作 业 布 置 上 花 些 心 思 : 可 找 同 类 型 的 题 目.5 备 好 题 目 归 类 如 果 把 同 类 的 相 近 的 题 目 前 后 合 并, 分 模 块 进 行 系 统 讲 评, 变 分 散 为 集 中, 就 能 保 持 知 识 的 一 致 性 有 利 于 学 生 思 维 的 连 续 性, 从 而 深 化 学 生 对 知 识 的 理 解, 并 较 好 地 完 善 认 知 结 构. 通 过 归 类 点 评, 既 可 变 多 为 少, 控 制 课 堂 容 量, 还 可 以 教 会 学 生 从 不 同 的 角 度 寻 找 错 误 的 根 源. () 按 知 识 点 归 类, 把 试 卷 上 同 一 知 识 点 的 题 目 归 在 一 起 进 行 分 析 讲 评 ; () 按 解 题 方 法 归 类, 把 试 卷 中 涉 及 同 一 解 题 方 法 归 在 一 起 进 行 分 析 讲 评 ; (3) 将 技 巧 性 较 强 的 进 行 归 类 ; 让 学 生 再 次 操 练, 或 对 某 些 试 题 进 行 多 角 度 的 改 造, 使 旧 容 变 新 貌. 讲 解 适 度, 有 的 放 矢. 讲 进 步, 正 性 强 化 采 用 心 理 学 中 的 正 性 强 化 法 : 每 当 学 生 出 现 所 期 望 的 学 习 心 理 与 目 标 行 为, 或 者 在 一 种 符 合 要 求 的 良 好 学 习 行 为 或 学 习 心 理 之 后, 采 取 奖 励 办 法, 立 刻 强 化, 以 增 强 此 种 行 为 出 现 的 频 率. 不 仅 仅 表 扬 成 绩 优 秀 及 提 高 幅 度 较 大 的 学 生, 教 师 还 应 从 成 绩 暂 不 理 想 的 学 生 中 捕 捉 其 新 颖 的 思 路 或 独 到 的 见 解, 通 过 正 面 肯 定, 能 激 发 学 生 的 好 学 因 子, 主 动 学 习. 8

87 六 备 三 讲 一 析. 讲 通 法, 介 绍 巧 法 数 学 是 一 门 思 维 的 学 科, 巧 法 虽 然 能 够 让 学 生 听 起 来 有 一 种 大 呼 过 瘾 的 感 觉, 但 实 际 上 在 解 答 过 程 中 是 很 难 思 考 到 的, 而 且 整 份 试 卷 中 能 用 巧 法 的 毕 竟 只 是 少 数 题 目, 只 有 对 基 础 知 识 基 本 方 法 基 本 技 能 的 重 视, 才 能 提 升 解 题 速 度, 才 能 更 好 的 将 基 础 知 识 进 行 融 会 贯 通, 才 能 掌 握 巧 法 的 来 龙 去 脉. 3.3 讲 包 装, 拆 解 难 题 对 于 所 谓 的 难 题, 教 师 如 果 仅 凭 自 己 的 经 验, 用 告 诉 式 的 讲 评 方 式 将 解 法 直 接 呈 现 给 学 生, 则 很 难 内 化 为 学 生 的 思 维 方 式. 对 于 难 题, 学 生 经 常 说 : 题 目 看 不 懂, 其 实 它 只 是 精 心 包 装 后 的 常 规 题, 这 就 需 要 教 师 通 过 有 效 引 导, 渗 透 化 归 思 想, 通 过 设 置 问 题 串 的 形 式, 让 学 生 自 己 动 手 一 层 一 层 地 把 难 题 拆 掉. 要 处 理 好 这 一 问 题, 教 师 可 以 设 置 一 些 引 导 性 的 问 题 : () 本 题 中, 有 哪 些 关 键 词? 你 能 否 说 出 它 的 定 义? () 有 没 有 隐 藏 条 件? 请 找 出 来 (3) 直 觉 告 诉 你, 可 能 用 什 么 方 法 来 解 答? 我 们 还 缺 什 么 条 件? (4) 由 已 知 条 件, 能 否 推 出 我 们 需 要 的 条 件? 启 发 学 生 通 过 类 比 化 归 等 方 法, 从 陌 生 到 熟 悉, 从 熟 悉 中 衍 生 出 问 题 所 需 要 的 隐 性 条 件 进 行 解 题, 特 别 要 重 视 解 题 直 觉 的 培 养. 3 学 生 自 析, 案 情 回 放 当 学 生 拿 到 试 卷 以 后, 第 一 关 心 的 当 然 是 分 数. 然 而 大 部 分 学 生 都 只 是 看 一 看 分 数, 就 将 试 卷 束 之 高 阁, 或 者 是 看 一 下 自 己 所 犯 的 错 误, 发 出 我 看 错 题 了 我 计 算 错 了 等 感 叹, 就 没 有 后 话 了. 因 此, 教 师 应 该 引 导 学 生 弱 化 对 分 数 的 追 求, 深 入 分 析 考 试 后 所 暴 露 出 来 的 问 题, 关 注 知 识 的 得 失 和 能 力 的 提 高, 整 理 纠 错 本 :. 错 误 呈 现 : 要 将 错 误 的 解 答 详 细 具 体 地 呈 现 出 来 ;. 正 确 解 答 : 写 清 解 题 思 路 或 解 题 过 程, 若 有 一 题 多 解, 可 将 喜 欢 的 解 法 附 上 ; 3. 知 识 梳 理 : 将 此 类 型 题 的 解 题 方 法 进 行 总 结, 或 将 此 题 涉 及 的 概 念 和 知 识 点 进 行 梳 理 ; 4. 题 型 归 类 : 在 平 常 的 学 习 中, 有 意 识 地 将 同 类 型 题, 归 纳 进 来, 只 需 标 注 题 目 的 来 源 即 可. 纠 错 本 以 基 础 题 或 中 档 题 为 主, 尽 量 不 整 理 难 题, 少 点 空 大 泛 的 忏 悔, 多 点 实 实 在 在 的 知 识 梳 理, 让 每 个 错 题 都 充 满 价 值, 在 下 次 考 试 中 允 许 犯 新 错, 不 要 一 错 再 错. 数 学 试 卷 讲 评 课 表 面 上 看 只 是 一 节 课, 但 是 实 际 上 却 是 课 前 课 内 课 后 共 同 作 用 的 结 果. 课 前 课 内 课 外, 环 环 相 扣, 相 辅 相 成 就 构 成 了 试 卷 讲 评 课 的 有 效 教 学 模 式. 参 考 文 献 : [] 张 忠 慧. 讲 评 课 研 究 述 评. 江 苏 教 育 研 究.0(05) [] 陈 刚. 高 三 数 学 试 卷 讲 评 课 八 要. 才 智. 009(0) [3] 陈 浩. 除 弊 增 效, 优 化 讲 评. 中 国 教 育 研 究 论 丛.007(09) 83

88 微 课 探 索 微 课 探 索 教 育 云 平 台 : 开 启 高 中 数 学 教 育 新 篇 章 以 北 大 天 云 课 堂 为 例 方 肇 飞 ( 江 西 省 新 建 县 第 二 中 学 江 西 南 昌 33000); 李 民 ( 广 州 未 名 中 智 教 育 科 技 有 限 公 司, 广 东 广 州 50450) 摘 要 : 当 前 中 小 学 一 些 学 科, 特 别 是 高 中 数 学, 令 部 分 同 学 望 而 却 步. 在 不 断 推 动 的 教 育 改 革 和 微 课 程 建 设 的 关 键 时 刻, 我 们 要 打 破 陈 旧 的 教 育 观 念, 借 力 信 息 技 术, 推 动 自 主 学 习 合 作 探 究 和 创 新 高 效 课 堂 的 前 进. 关 键 词 : 教 育 云 课 程 改 革 个 性 化 智 慧 化 自 主 化 何 谓 教 育 云? 云 计 算 在 教 育 领 域 中 的 迁 移 称 之 为 教 育 云, 是 未 来 教 育 信 息 化 的 基 础 架 构, 包 括 了 教 育 信 息 化 所 必 须 的 一 切 硬 件 计 算 资 源, 这 些 资 源 经 虚 拟 化 之 后, 向 教 育 机 构 教 育 从 业 人 员 和 学 员 提 供 一 个 良 好 的 平 台, 该 平 台 的 作 用 就 是 为 教 育 领 域 提 供 云 服 务. 今 天 我 们 重 点 要 提 的, 是 云 计 算 辅 助 教 学. 它 构 建 个 性 化 教 学 的 信 息 化 环 境, 支 持 教 师 的 有 效 教 学 和 学 生 的 主 动 学 习, 促 进 学 生 高 级 思 维 能 力 和 群 体 智 慧 发 展, 提 高 教 育 质 量. 作 为 教 育 部 中 国 微 课 大 赛 的 顾 问 和 专 家 评 委, 笔 者 最 早 参 与 开 发 了 系 列 高 中 数 学 微 课 程, 植 入 了 由 北 大 未 名 集 团 建 设 的 教 育 云 平 台, 简 称 天 云 课 堂. 天 云 课 堂 依 据 中 小 学 教 育 的 特 点 和 规 律, 以 微 课 库 进 行 微 课 推 送 为 亮 点, 辅 以 科 学 的 教 学 管 理 体 系. 笔 者 希 望 通 过 新 的 方 式, 来 激 发 学 生 学 习 数 学 的 热 情. 下 面, 笔 者 结 合 天 云 课 堂 谈 谈 教 育 云 平 台 为 高 中 数 学 教 育 带 来 的 巨 大 变 革. 个 性 化 的 班 级 管 理 个 性 化, 顾 名 思 义, 就 是 非 一 般 大 众 化 的 东 西. 在 大 众 化 的 基 础 上 增 加 独 特 另 类 拥 有 自 己 特 质 的 需 要, 独 具 一 格, 别 开 生 面 的 一 种 说 法. 打 造 一 种 与 众 不 同 的 效 果. 个 性 化 教 育 理 念 倡 导 以 人 为 本 因 材 施 教, 与 素 质 教 育 相 辅 相 成 的 科 学 教 育 观 念, 其 主 旨 在 于 培 养 学 生 的 自 主 学 习 能 力 及 考 试 能 力. 而 个 性 化 的 教 育 亟 需 个 性 化 的 管 理. 数 学 教 师 在 天 云 课 堂 可 以 创 建 我 的 班 级, 进 行 个 性 化 管 理. 比 如, 建 设 各 数 学 学 习 小 组 撰 写 班 级 日 志 上 传 日 常 生 活 相 册 发 布 最 新 : 通 知, 提 醒 今 日 课 表 和 网 络 数 学 作 业 等. 每 个 组 长 可 以 为 本 组 私 人 订 制 用 户 界 面, 建 立 网 络 家 园. 比 如, 发 布 小 组 近 期 目 标 和 口 号, 上 传 个 人 和 小 组 活 动 照 片, 记 录 青 春 历 程, 展 现 多 彩 生 活. 每 个 学 生 可 以 自 由 查 看 通 知 作 业, 进 入 学 习 小 组 留 言. 个 性 化 的 教 学 管 理 方 式, 能 让 学 生 以 游 戏 心 态 学 习 数 学, 摆 脱 数 学 枯 燥 无 味 的 观 念. 智 慧 化 的 备 课 平 台 智 慧 备 课 是 指 通 过 利 用 云 计 算 虚 拟 化 和 互 联 网 等 新 技 术 来 改 变 学 科 教 师 教 研 员 和 区 域 学 生 相 互 交 互 的 方 式, 将 教 学 实 践 教 学 理 念 学 法 学 情 及 其 他 教 育 资 源 进 84

89 教 育 云 平 台 : 开 启 高 中 数 学 教 育 新 篇 章 行 整 合, 以 提 高 应 用 交 互 的 明 确 性 灵 活 性 和 响 应 速 度, 从 而 实 现 智 慧 化 备 课. 备 课 平 台 有 三 库 : 我 的 资 源 库 微 课 库 云 题 库, 我 的 资 源 库 是 DIY 打 造 的 精 品 资 源, 数 学 教 师 可 把 自 己 精 心 挑 选 设 计 的 一 些 微 课 ( 或 专 题 微 课 ) 试 卷 题 目 课 件 教 案 和 导 学 案 等 以 视 频 WORD PPT PDF 等 格 式 上 传 保 存. 学 生 同 样 可 以 把 自 己 学 习 所 得 的 宝 贵 资 源 保 存. 微 课 库 则 是 云 平 上 则 有 着 一 些 精 品 数 学 微 课 程. 我 们 完 全 可 以 从 中 搜 索 出 相 关 的 微 课, 直 接 用 或 是 下 载 后 进 行 视 频 编 辑 修 改 后 再 使 用, 实 现 全 国 资 源 共 享 的 功 效. 学 生 可 以 直 接 观 看 相 关 微 课, 在 微 课 后 还 附 有 配 套 过 关 测 验, 以 达 到 知 识 与 技 能 并 存 的 目 标. 云 题 库 则 是 一 个 庞 大 的 包 含 数 学 试 题 编 辑 录 入 试 卷 导 入 知 识 点 分 类 单 元 章 节 测 试 真 题 模 拟 测 试 功 能 的 智 能 体 系, 老 师 可 以 随 时 录 入 自 己 收 集 好 的 试 题, 导 入 已 命 制 好 的 准 备 给 学 生 使 用 的 预 习 随 堂 练 复 习 用 的 试 卷, 也 可 以 在 线 组 卷. 学 生 在 线 测 试 后, 将 会 即 时 提 供 全 面 的 反 馈 信 息. 而 这 将 在 后 面 第 四 部 分 重 点 论 述. 在 备 课 中 心, 数 学 教 师 可 个 人 或 集 体 备 课. 个 人 备 课 时, 选 择 好 备 课 教 材 和 章 节, 拟 定 备 课 方 案 名 称, 平 台 将 备 课 分 为 三 个 流 程 : 课 前 预 习 课 堂 教 学 课 后 作 业. 我 们 可 以 在 这 三 个 流 程 中 添 加 微 课 导 学 案 教 案 课 件 试 题 等. 按 照 课 程 改 革 三 维 目 标 设 置 高 效 课 堂 的 基 本 元 素. 这 些 教 学 资 源 可 以 是 我 们 事 先 准 备 好 的, 也 可 以 是 备 课 时 引 用 一 些 系 统 推 荐 资 源. 资 源 共 享 提 倡 团 队 合 作 的 时 代, 我 们 要 利 用 好 集 体 备 课 的 功 能. 线 上 或 线 下 组 织 好 一 批 老 师, 创 建 一 个 备 课 小 组, 我 们 可 以 把 自 己 备 案 方 案 提 交 给 小 组 进 行 讨 论, 进 行 审 核 修 改 最 终 通 过. 这 还 将 有 利 于 学 校 内 以 老 带 新 大 网 络 时 代 跨 区 域 的 校 校 联 合 师 师 合 作, 充 分 发 挥 每 一 位 老 师 的 经 验 和 特 长. 3 自 主 化 的 学 习 模 式 自 主 化 学 习 是 与 传 统 的 接 受 式 学 习 相 对 应 的 一 种 现 代 化 学 习 方 式. 它 以 学 生 作 为 学 习 的 主 体, 通 过 学 生 独 立 的 分 析 探 索 实 践 质 疑 创 造 等 方 法 来 实 现 学 习 目 标, 培 养 出 交 流 与 合 作 能 力. 符 合 新 课 程 改 革 精 神, 努 力 改 变 过 去 过 于 强 调 接 受 式 学 习 的 倾 向. 高 中 数 学 教 育, 特 别 需 要 学 生 自 主 学 习, 培 养 数 学 思 维 和 能 力. 点 击 上 进 课 堂, 选 择 好 上 课 班 级 电 子 教 材 和 备 课 方 案 后, 老 师 将 引 导 学 生 进 入 在 线 网 络 交 互 课 堂. 在 上 课 期 间, 老 师 可 以 给 学 生 自 主 时 间, 学 生 自 己 用 平 板 电 脑 进 行 预 习, 阅 读 课 本 导 学 案 作 出 思 考 和 运 算, 可 根 据 个 人 情 况 反 复 观 看 微 课. 如 果 个 人 或 小 组 有 疑 问, 可 通 过 学 生 提 问 方 式 向 老 师 及 时 反 馈 或 求 助, 老 师 根 据 情 况 进 行 即 时 回 复 或 在 课 评 时 控 制 学 生 屏 幕, 进 行 全 班 的 讲 解 点 评. 课 堂 上 老 师 将 重 心 放 在 组 织 引 导 学 生 进 行 成 果 展 示 问 题 讨 论 协 同 作 业 等. 若 有 学 生 因 故 缺 席, 可 在 家 学 习, 还 可 调 看 老 师 课 堂 的 录 相. 从 教 材 到 教 案, 从 课 件 到 导 学 案, 从 提 问 到 随 堂 测 试, 与 传 统 教 学 手 段 相 比, 老 师 回 归 了 主 导, 学 生 成 了 主 体 ; 老 师 课 堂 新 意 迭 出, 学 生 思 维 无 限. 老 师 精 心 设 计 的 教 学 资 源 和 平 台 舒 适 的 功 能 体 验, 丰 富 了 师 生 教 与 学 方 式, 提 升 了 互 动 交 流 的 深 度, 不 失 为 一 种 好 课 堂. 依 照 培 养 学 生 自 主 学 习 能 力 的 要 求, 老 85

90 微 课 探 索 师 可 以 进 入 作 业 中 心, 精 心 布 置 当 天 或 近 期 的 数 学 作 业. 学 生 可 在 线 测 试, 这 样, 师 生 便 可 进 行 学 情 跟 踪, 分 析 个 人 或 全 体 学 生 的 一 个 平 日 学 习 和 阶 段 内 学 识 和 思 维 发 展 状 况, 并 根 据 反 馈 情 况, 由 老 师 或 系 统 进 一 步 推 送 各 种 学 习 资 源 和 在 线 测 试, 以 达 到 一 个 预 期 的 目 标. 譬 如, 通 过 在 线 测 试, 笔 者 发 现 某 同 学 在 立 体 几 何 计 算 空 间 角 这 一 节 的 得 分 不 高, 于 是 按 照 知 识 点 在 云 题 库 内 输 入 更 多 的 相 关 试 题, 通 过 布 置 作 业 形 式 或 由 系 统 自 动 推 荐 给 学 生 进 行 再 测 试, 从 而 实 现 有 效 落 实. 学 生 进 入 自 主 测 评, 通 过 个 人 诊 断 查 看 各 科 成 绩 走 势, 认 真 分 析 学 习 报 表, 了 解 诊 断 测 试 对 比 微 课 学 习 分 析 作 业 情 况 和 学 习 跟 踪 列 表. 这 样, 学 生 可 以 根 据 情 况, 选 择 进 行 知 识 点 或 单 元 测 试. 从 多 方 面 多 角 度, 多 维 度 来 进 行 自 我 分 析 和 自 我 调 控. 可 以 说, 这 在 传 统 教 学 中 很 难 寻 得 踪 迹 的. 传 统 教 学 中 教 师 通 过 单 一 的 作 业 和 测 试 来 获 取 来 自 学 生 的 反 馈, 往 往 不 及 时, 甚 至 由 于 简 单 的 批 改 操 作 造 成 信 息 采 集 的 疏 漏, 不 能 得 到 有 效 的 反 馈, 错 失 学 生 的 教 育 发 展 良 机. 云 平 台 无 形 中 提 高 了 学 生 的 综 合 素 质, 这 些, 是 传 统 教 媒 介 形 式 上 无 限 的 领 域. 云 平 台 中 的 总 结 反 思, 可 以 记 录 老 师 和 学 生 彼 此 关 于 数 学 的 教 与 学 的 感 悟 与 思 考, 进 行 一 种 心 灵 深 处 的 智 慧 交 流. 我 的 问 答, 可 以 进 行 师 生 生 生 的 在 线 互 动, 学 生 把 问 题 和 困 惑 提 出 来, 由 在 线 的 老 师 和 同 学 及 时 给 予 帮 助 解 答, 通 过 我 要 问 我 来 答 当 回 小 老 师 这 些 快 乐 学 习 的 过 程, 从 而 实 现 由 要 我 学 向 我 要 学 转 变. 我 的 信 箱, 更 是 有 利 于 那 些 孤 僻 不 善 交 际 的 学 生 与 教 师 之 家 能 够 进 行 直 接 的 交 流. 当 然, 云 平 台 中 的 交 流 不 仅 仅 是 与 自 己 班 级 的 老 师 同 学 交 流, 更 是 可 以 走 出 去, 与 其 他 学 校 的 名 师 同 学 交 流. 也 就 是 说 云 平 台 上 的 交 流 是 没 有 界 限 的, 是 无 限 的, 这 恰 恰 也 是 传 统 教 学 最 缺 乏 的. 当 前, 我 国 正 在 致 力 于 建 设 学 习 型 社 会, 学 习 型 社 会 的 核 心 内 涵 是 全 民 学 习, 终 身 学 习. 教 育 云 平 台 以 其 独 特 的 优 势 推 动 了 班 级 管 理 模 式 教 学 模 式 学 习 模 式 交 流 模 式 的 变 革, 为 高 中 数 学 的 困 境 带 来 出 路, 为 学 习 型 社 会 的 建 设 贡 献 了 强 大 的 力 量, 从 而 为 我 国 的 教 育 开 辟 了 一 个 新 的 篇 章. 学 几 乎 无 法 实 现 的. 4 无 限 化 的 交 流 空 间 教 育 的 功 能, 是 在 真 诚 的 交 流 沟 通 中 才 能 充 分 发 挥 出 来 的. 成 功 的 数 学 教 育, 更 离 不 开 师 生 的 真 诚 交 流. 数 学 教 师 要 推 动 无 限 化 的 交 流, 不 让 交 流 渠 道 受 到 约 束, 不 让 教 育 受 到 羁 绊. 我 们 可 以 开 发 一 个 交 流 时 空 参 考 文 献 :. 教 育 部. 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 [M]. 北 京 : 人 民 教 育 出 版 社,003:4. 高 尚 德. 微 课 : 课 堂 翻 转 的 支 点 [J]. 上 海 教 育.03(5):

91 微 课 制 作 容 易, 课 堂 翻 转 不 易, 且 做 且 思 考 微 课 制 作 容 易, 课 堂 翻 转 不 易, 且 做 且 思 考 刘 铁 智 ( 浙 江 省 象 山 县 第 二 中 学 3573) 微 课, 又 名 微 课 程, 是 相 对 常 规 课 来 说 的 一 种 微 小 的 课 程, 用 以 讲 授 单 一 知 识 点 或 突 破 某 个 教 学 问 题. 它 是 在 008 年, 由 美 国 新 墨 西 哥 州 圣 胡 安 学 院 的 高 级 教 学 设 计 师 学 院 在 线 服 务 经 理 戴 维 彭 罗 斯 首 先 提 出, 后 经 美 国 人 萨 尔 曼 可 汗 建 立 的 可 汗 学 院 微 课 学 习 网 站 的 推 广, 微 课 迅 速 风 靡 全 球. 在 我 国, 微 课 的 概 念 是 由 佛 山 市 教 育 局 的 胡 铁 生 在 00 年 率 先 提 出 来 的. 在 胡 铁 生 看 来, 微 课 是 按 照 新 课 程 标 准 及 教 学 实 践 要 求, 以 教 学 视 频 为 主 要 载 体, 反 映 教 师 在 课 堂 教 学 过 程 中 针 对 某 个 知 识 点 或 教 学 环 节 而 开 展 教 与 学 活 动 的 各 种 教 学 资 源 有 机 组 合 []. 随 后, 微 课 在 神 州 大 地 迅 速 走 红, 全 国 性 的 微 课 制 作 比 赛 也 如 火 如 荼 的 举 行, 大 大 小 小 的 各 类 微 课 学 习 网 站 也 陆 续 隆 重 登 场, 颇 有 地 无 分 南 北, 人 无 分 老 幼, 皆 言 微 课 之 态 势. 微 课 制 作 在 技 术 上 不 成 问 题 微 课 之 所 以 能 够 如 此 迅 速 发 展, 一 方 面 固 然 跟 其 适 应 网 络 时 代 学 习 的 独 特 优 势 有 关, 比 如, 让 学 习 者 可 以 不 受 时 空 与 环 境 限 制, 随 时 随 地 进 行 碎 片 式 学 习 ; 满 足 学 习 者 个 性 化 需 求, 调 动 他 们 学 习 的 积 极 性 ; 有 利 于 个 性 化 知 识 体 系 的 构 建 等 []. 但 还 有 一 个 不 容 忽 视 的 原 因 就 是 微 课 的 制 作 并 不 存 在 着 技 术 上 壁 垒, 在 网 络 时 代, 其 实 人 人 都 可 以 做 微 课.. 对 硬 件 和 软 件 的 需 求 简 单 就 拿 全 球 最 具 影 响 力 的 可 汗 学 院 来 说, 除 了 必 备 的 电 脑 外, 萨 尔 曼 可 汗 用 5 美 元 的 罗 技 耳 麦 00 美 元 的 桌 面 录 像 软 件 CamtasiaRecorder 80 美 元 的 手 写 板 以 及 免 费 绘 图 软 件 SmoothDraw, 录 制 了 超 过 3500 个 微 课 视 频 [3]. 在 国 内, 制 作 微 课 视 频 对 硬 件 的 需 求 似 乎 更 加 简 单, 手 写 板 基 本 可 以 省 去, 因 为 多 数 微 课 视 频 是 由 PPT 转 录 而 成. 软 件 的 运 用 也 不 是 什 么 难 事, 一 般 经 过 短 暂 的 学 习 后, 这 些 屏 幕 录 像 软 件 绘 图 软 件 均 可 以 熟 练 掌 握.. 视 频 制 作 流 程 简 单 微 课 的 制 作 有 很 多 种 类 型 : 摄 制 型 微 课 录 屏 式 微 课 3 软 件 合 成 式 微 课 4 混 合 式 微 课 等. 录 屏 式 微 课 是 比 较 方 便 快 捷 成 本 低 使 用 普 遍 的 一 种 制 作 方 法. 录 屏 式 微 课 主 要 以 PPT 作 为 讲 解 载 体, 所 以 表 现 力 和 可 操 作 性 非 常 强. 录 屏 式 微 课 的 制 作 和 研 究 可 以 说 是 今 后 微 课 发 展 的 一 个 主 要 方 向. 下 面 我 们 就 着 重 来 了 解 一 下 录 屏 式 微 课 的 制 作 步 骤. 录 屏 式 微 课 的 制 作 分 六 大 步, 分 别 是 : 选 题 教 案 撰 写 课 件 制 作 录 制 后 期 制 作 反 思 [4]. 这 六 步 中, 除 了 录 制 后 期 制 作 这 两 步 是 常 规 教 学 中 所 没 有 的, 其 余 步 骤 跟 常 规 教 学 中 的 没 有 本 质 的 区 别. 因 此, 对 于 广 大 教 师 来 说, 真 正 从 零 开 始 学 习 的 就 只 是 录 制 和 后 期 制 作, 而 这 两 个 步 骤 其 实 就 是 屏 幕 录 像 软 件 的 应 用 过 程, 并 不 会 存 在 着 太 多 的 障 碍..3 视 频 发 布 推 广 简 单 微 课 视 频 制 作 好 后, 一 般 都 要 上 传 到 网 上 供 学 习 者 使 用. 在 互 联 网 上, 有 数 量 众 多 的 免 费 视 频 发 布 网 站, 比 如, 优 酷 56 网 87

92 微 课 探 索 土 豆 等. 在 这 些 网 站 上, 发 布 者 可 以 制 作 属 于 自 己 的 视 频 网 页, 发 个 链 接 就 可 以 和 公 众 分 享 微 课 视 频. 并 且 有 些 有 条 件 的 地 区 和 学 校 纷 纷 打 造 属 于 自 己 的 微 课 制 作 和 学 习 网 站, 这 为 微 课 的 发 布 和 推 广 又 提 供 了 更 为 专 业 的 平 台. 正 是 基 于 微 课 制 作 的 低 门 槛, 00 年 月, 在 佛 山 市 教 育 局 启 动 了 首 届 中 小 学 新 课 程 优 秀 微 课 征 集 评 审 活 动 中, 全 市 就 征 集 到 700 多 节 优 质 规 范 的 教 师 微 课 参 赛 作 品 ;0 年 9 月, 在 教 育 部 教 育 管 理 信 息 中 心 举 办 的 第 四 届 全 国 中 小 学 教 学 中 的 互 联 网 应 用 优 秀 教 学 案 例 评 选 活 动 中, 截 止 03 年 6 月 0 日, 参 赛 的 作 品 已 经 累 积 303 节, 参 赛 地 区 包 括 山 东 广 东 江 西 江 苏 辽 宁 等 5 个 省. [5] 制 作 微 课 的 浪 潮 正 在 席 卷 整 个 教 育 领 域. 微 课 的 应 用 是 个 大 问 题 微 课 建 设 的 目 的 在 于 交 流 与 应 用, 其 价 值 在 共 享 应 用 中 方 能 体 现. 纵 观 国 内 外 微 课 资 源 在 教 学 上 的 应 用 情 况, 国 外 已 将 微 课 融 入 日 常 教 学 中, 供 学 生 进 行 自 主 预 习 复 习, 并 取 得 一 定 成 效, 而 国 内 微 课 在 该 方 面 的 应 用 研 究 极 少, 学 生 对 微 课 资 源 的 应 用 情 况 和 学 习 体 验 的 调 查 几 乎 是 空 白. 在 教 师 的 微 课 资 源 的 使 用 情 况 的 调 查 中, 仅 3% 左 右 的 教 师 会 经 常 去 点 播 或 查 看 自 己 的 微 课,35% 左 右 的 教 师 会 去 经 常 点 播 或 查 看 他 人 的 微 课, 而 经 常 去 下 载 他 人 微 课 的 教 师 为 7.5%, 评 论 他 人 微 课 的 仅 为 % 左 右, 在 自 己 课 堂 教 学 中 主 动 运 用 微 课 的 比 例 也 很 少, 仅 为 6%. [5] 教 师 对 于 微 课 的 使 用 率 尚 是 如 此 低 下, 学 生 的 就 更 加 不 容 乐 观. 一 方 面 微 课 视 频 源 源 不 断 地 流 向 互 联 网, 另 一 方 面 却 鲜 有 人 问 津, 这 背 后 到 底 有 何 隐 情?. 理 念 跟 得 上? 当 今 教 育 发 展 日 新 月 异, 各 种 先 进 教 育 理 论, 教 学 模 式 也 是 层 出 不 穷. 微 课 是 信 息 技 术 和 教 育 发 展 的 共 同 产 物, 它 其 实 遵 循 的 是 学 生 自 主 学 习 的 理 念. 在 欧 美 一 些 发 达 国 家, 有 问 题 让 学 生 查 资 料 查 网 络 早 已 是 教 学 常 态, 自 主 学 习 网 络 学 习 始 终 贯 穿 于 学 生 整 个 学 习 过 程. 但 对 于 当 前 我 国 很 多 地 区 和 教 师 来 说, 自 主 学 习 还 只 是 一 句 口 号, 教 师 唱 主 角, 学 生 当 听 众 的 教 学 模 式 依 旧 根 深 蒂 固, 从 而 直 接 导 致 两 个 的 后 果. 一 是 教 师 不 敢 让 学 生 自 主, 担 心 一 旦 自 主, 课 堂 可 能 就 会 出 现 无 法 收 拾 的 局 面 ; 二 是 学 生 不 习 惯 自 主, 担 心 一 旦 自 主, 自 己 就 会 不 知 所 措. 总 而 言 之, 目 前 学 生 自 主 学 习 的 意 识 是 薄 弱 的, 甚 至 缺 失 的. 至 此, 我 们 也 就 明 白 了 为 什 么 网 络 上 有 这 么 丰 富 的 微 课 资 源, 教 师 很 少 理 会, 学 生 更 是 不 感 兴 趣. 也 就 是 说, 教 学 理 念 的 滞 后 直 接 影 响 微 课 的 使 用.. 时 间 去 哪 了? 微 课 诞 生 的 初 衷 就 是 为 了 满 足 学 习 者 碎 片 化 个 性 化 移 动 化 学 习 的 需 要. 何 为 碎 片 化? 就 是 把 生 活 中 的 碎 片 时 间 拼 凑 起 来 进 行 学 习, 利 用 一 切 可 以 利 用 的 空 余 时 间 ; 何 为 个 性 化? 就 是 自 由 选 择 自 己 所 需 的 课 程, 自 由 控 制 学 习 的 时 间, 想 学 什 么 就 学 什 么, 想 学 到 哪 就 学 到 哪 ; 何 为 移 动 化? 随 时 随 地 的 进 行 学 习, 走 到 哪, 就 在 哪 学 习. 显 然, 实 现 这 三 化 必 须 满 足 两 个 前 提, 一 是 学 习 者 有 一 定 自 由 支 配 的 时 间, 二 是 学 习 者 有 一 定 的 自 由 空 间. 根 据 各 地 教 育 部 门 的 规 定, 一 般 中 小 学 生 在 校 时 间 不 得 88

93 微 课 制 作 容 易, 课 堂 翻 转 不 易, 且 做 且 思 考 超 过 6 8 个 小 时. 但 事 实 是 这 个 规 定 并 未 得 到 严 格 执 行, 中 小 学 生 实 际 在 校 时 间 到 底 多 长, 笔 者 找 不 到 权 威 的 数 据, 中 小 学 生 的 实 际 在 校 时 间 基 本 上 是 笔 糊 涂 账. 笔 者 不 甘 心, 在 一 个 000 人 的 全 国 高 中 教 师 数 学 QQ 群 上 发 起 调 查,90% 以 上 的 教 师 反 映 学 生 在 校 时 间 远 远 超 出 政 策 规 定 的 时 间. 早 上 7:30 左 右 上 课 到 晚 上 9:00 左 右 夜 自 习 结 束, 遵 循 这 样 作 息 时 间 的 高 中 教 师 超 过 80%, 也 就 是 说 高 中 生 在 校 时 间 超 过 小 时 的 是 普 遍 现 象. 不 仅 如 此, 超 过 70% 的 学 校 在 周 末 双 休 日 还 要 组 织 全 校 性 的 补 课, 在 寒 暑 假 进 行 全 校 性 集 体 补 课 也 不 在 少 数. 由 此 可 见, 高 中 生 不 仅 平 时 没 有 支 配 时 间, 在 周 末 寒 暑 假 照 样 没 有. 高 中 如 此, 义 务 教 育 段 呢? 笔 者 没 有 经 过 调 查, 或 许 情 况 比 高 中 乐 观 点. 但 中 小 学 生 在 校 时 间 过 长, 却 是 不 争 的 事 实. 学 校 占 去 了 学 生 大 量 的 时 间, 当 然 也 挤 走 了 学 生 的 自 由 空 间, 学 生 疲 于 在 校 进 行 紧 张 的 课 堂 学 习, 哪 有 多 余 时 间 利 用 微 课 平 台 进 行 三 化 学 习. 当 然, 也 有 人 提 出 可 以 利 用 在 校 时 间 开 展 微 课 学 习. 很 多 教 师 习 惯 采 用 在 课 堂 上 统 一 播 放 视 频, 学 生 集 中 观 看 的 微 课 学 习 方 式. 这 样 的 做 法 是 有 问 题 的. 一 是 学 生 学 习 能 力 有 差 异, 如 何 保 证 每 个 学 生 在 相 同 的 时 间 内 掌 握 视 频 中 的 内 容? 二 是 微 课 的 个 性 化 学 习 功 能 如 何 体 现? 三 是 教 师 能 够 直 接 面 对 学 生 开 展 正 常 教 学, 为 何 偏 偏 大 费 周 章 把 教 学 内 容 录 制 成 视 频 给 学 生 观 看, 这 岂 不 是 多 此 一 举? 这 样 的 做 法 是 对 微 课 功 能 认 识 的 偏 差, 是 把 微 课 当 作 课 件 来 用. 其 实, 微 课 的 未 来 应 该 在 网 络, 微 课 的 学 习 应 该 在 课 外. 3 几 点 建 议 在 国 外, 较 为 成 功 的 模 式 是 将 微 课 应 用 于 翻 转 课 堂 这 个 教 育 改 革 项 目 中, 并 已 取 得 了 较 为 明 显 的 效 果. 所 谓 翻 转 课 堂 则 把 教 学 发 生 地 点 调 换, 让 学 生 先 在 课 前 自 习, 而 正 式 上 课 时 间 教 师 专 门 负 责 答 疑 解 惑, 帮 助 学 生 完 成 知 识 内 化. 微 课 在 这 里 的 作 用 就 是 代 替 教 师 帮 助 学 生 在 自 习 中 完 成 知 识 传 授 过 程. 不 仅 两 个 过 程 的 时 间 地 点 发 生 了 翻 转, 教 师 的 角 色 也 由 原 来 知 识 传 授 转 向 辅 助 学 生 知 识 内 化 转 变 [6]. 其 中, 影 响 最 大 的 就 是 要 数 可 汗 学 院 教 学 模 式. 比 如, 在 美 国 某 些 学 校 可 汗 课 程 已 经 改 变 了 学 生 以 前 的 学 习 方 式, 现 在 学 生 回 家 不 用 再 做 功 课, 通 过 可 汗 课 程 进 行 自 主 学 习, 正 常 的 上 学 时 间 做 练 习. 已 经 实 现 了 把 学 习 重 点 从 学 校 转 移 到 家 里, 从 课 中 转 移 到 课 后, 从 听 老 师 讲 到 自 己 独 立 学 习 的 转 变, 课 堂 上 对 自 己 学 习 中 遇 到 的 问 题 有 老 师 或 其 他 懂 得 同 学 代 为 解 答 由 此 可 见, 翻 转 课 堂 为 微 课 应 用 开 辟 一 片 广 阔 的 天 地, 微 课 的 教 育 价 值 也 能 够 在 翻 转 课 堂 中 得 到 最 大 限 度 的 体 现. 因 此, 我 们 可 以 预 言 : 翻 转 课 堂 是 微 课 的 必 然 趋 势. 但 基 于 教 学 理 念 学 习 时 间 等 因 素 的 制 约, 我 们 的 课 堂 迟 迟 没 有 翻 转 的 迹 象. 课 堂 若 不 翻 转, 微 课 也 就 丧 失 了 继 续 前 进 的 动 力. 那 么 有 什 么 办 法 让 课 堂 得 以 翻 转 呢? 根 据 上 述 分 析, 笔 者 提 出 了 以 下 几 点 建 议 : 3. 转 变 教 育 主 管 部 门 的 理 念 江 山 易 改, 本 性 难 移, 理 念 的 问 题 最 难 改 变, 但 并 不 是 无 法 改 变. 延 续 千 年 的 多 子 多 福 的 传 统 观 念 都 败 在 了 计 划 生 育 的 政 策 下, 何 况 是 教 学 理 念. 但 转 变 的 89

94 着 力 点 应 该 是 先 从 教 育 主 管 部 门 入 手, 先 转 变 他 们 的 理 念, 让 他 们 认 识 到 学 生 自 主 学 习 的 重 要 性, 感 受 到 微 课 对 于 学 生 发 展 的 重 要 作 用, 从 而 出 台 相 关 的 政 策 规 定, 为 微 课 的 发 展 保 驾 护 航. 领 导 的 理 念 变 了, 评 价 的 方 式 变 了, 下 面 的 教 师 也 就 不 得 不 改 变 自 己 的 理 念. 3. 设 定 微 课 学 习 时 间 微 课 的 学 习 最 好 是 在 课 外. 一 方 面, 教 育 主 管 部 门 应 该 严 格 落 实 学 生 在 校 时 间 的 规 定, 把 课 余 时 间 自 由 空 间 还 给 学 生 ; 另 一 方 面, 也 可 以 尝 试 让 学 生 在 校 内 进 行 微 课 学 习, 比 如, 在 一 天 中 抽 出 一 个 时 间 段 不 上 脑 或 者 移 动 设 备, 提 供 网 络 服 务. 3.3 创 建 优 秀 微 课 资 源 国 外 有 可 汗 学 院, 我 们 有 能 够 和 它 平 分 秋 色 的 微 课 学 习 网 站 吗? 酒 香 不 怕 巷 子 深, 高 质 量 的 微 课 资 源 能 够 让 学 习 者 流 连 忘 返. 因 此, 制 作 一 批 具 有 个 性 化 的 微 课 视 频 资 源, 打 造 一 批 精 品 微 课 学 习 网 站 培 养 一 批 具 有 影 响 力 的 微 课 名 师 就 显 得 非 常 迫 切. 微 课 制 作 容 易, 课 堂 翻 转 不 易, 这 是 目 前 微 课 发 展 面 临 是 现 实 问 题, 也 是 无 法 回 避. 只 有 解 决 了 微 课 的 应 用 问 题, 微 课 的 未 来 才 会 更 加 美 好. 课, 专 门 让 学 生 进 行 微 课 学 习, 并 且 提 供 电 90

95 写 论 文 要 追 求 一 菜 多 吃 写 作 秘 籍 写 论 文 要 追 求 一 菜 多 吃 吕 增 锋 ( 浙 江 省 象 山 县 第 二 中 学 ) 北 京 烤 鸭 因 其 吃 法 讲 究 而 驰 名 中 外. 鸭 胸 脯 外 面 皮 最 厚 实, 最 酥 脆, 片 下 来, 直 接 蘸 着 白 糖 吃 ; 其 余 地 方 的 皮 和 肉, 片 下 来 后, 用 面 皮 一 包, 裹 上 大 葱 丝, 蘸 甜 面 酱 吃 ; 剩 下 的 鸭 骨 架, 也 不 能 浪 费, 和 其 它 食 材 一 起 煲 汤 喝. 三 种 吃 法, 三 种 味 道, 实 现 了 鸭 子 的 食 用 价 值 的 最 大 化, 这 才 是 饮 食 文 化 的 最 高 境 界 一 菜 多 吃. 我 想, 其 实 我 们 写 论 文 也 一 样, 费 尽 心 机 找 到 了 一 点 素 材, 如 果 只 写 了 一 篇 文 章 就 扔 在 一 边, 岂 不 太 可 惜. 很 多 老 师 抱 怨, 素 材 没 有, 下 笔 无 言. 发 掘 素 材 确 实 重 要, 但 更 重 要 的 是 如 何 充 分 利 用 素 材. 在 素 材 利 用 方 面 要 努 力 追 求 一 菜 多 吃, 比 如, 可 以 换 不 同 的 文 体 写 同 一 素 材 的 文 章 换 不 同 角 度 写 同 一 素 材 的 文 章. 有 一 次 到 其 它 学 校 去 听 课, 上 课 的 内 容 是 立 体 几 何 空 间 角. 我 们 知 道, 在 高 中 立 体 几 何 被 分 成 了 两 部 分, 一 部 分 是 必 修 中, 介 绍 用 几 何 法 求 空 间 角 ; 第 二 部 分 是 在 选 修 - 中, 介 绍 用 空 间 向 量 求 空 间 角. 前 一 部 分 是 后 一 部 分 的 基 础, 后 一 部 分 是 前 一 问 题 的 思 考, 我 就 着 手 写 论 文 了. 一 开 始 写 了 一 篇 名 为 成 也 向 量, 败 也 向 量 向 量 法 提 前 介 入 立 体 几 何 教 学 引 发 的 思 考 ( 发 表 于 中 学 数 学 教 学 参 考 ) 的 教 学 案 例, 直 接 展 现 了 对 上 面 两 个 问 题 的 担 忧 ; 后 来 又 想 了 一 下, 文 章 光 有 担 忧 显 然 力 度 不 够, 这 种 提 前 介 入 的 方 法 应 该 是 不 可 取 的, 所 以 应 该 直 接 表 明 立 场, 于 是 例 谈 向 量 法 解 立 体 几 何 教 学 的 误 区 ( 发 表 于 中 学 数 学 ) 出 炉 了 ; 立 场 表 明 了, 问 题 发 现 了, 但 应 该 如 何 解 决 呢? 后 来 又 有 了 一 篇 例 谈 向 量 法 解 立 体 几 何 的 三 大 歪 招 ( 发 表 于 中 学 数 学 研 究 ). 这 三 篇 文 章 都 基 于 对 同 一 个 素 材 思 考, 文 中 的 实 例 基 本 相 同, 但 写 作 的 角 度 和 表 达 的 观 点 都 是 不 同 的. 当 然, 要 实 现 论 文 写 作 的 一 菜 多 吃 并 非 一 定 套 用 上 述 写 作 思 路 不 可, 其 实 还 有 很 多 途 径 可 以 实 现. 比 如, 写 作 时 可 以 从 宏 观 到 微 观 由 粗 到 细 逐 层 展 开. 世 上 无 难 事, 只 怕 有 心 人. 部 分 的 研 修. 不 过, 在 听 课 中, 我 发 现 那 个 学 校 的 老 师 已 经 在 传 授 向 量 法 求 空 间 角 了, 要 知 道 那 些 还 是 高 一 的 学 生. 由 此, 引 发 了 我 的 思 考 : 能 否 在 高 一 教 授 向 量 法? 若 教 授 了 会 出 现 了 什 么 样 的 后 果? 基 于 对 这 两 个 9

96 技 术 整 合 技 术 整 合 巧 用 手 机 玩 转 算 法 教 学 以 循 环 语 句 的 手 机 教 学 为 例 张 斐 ( 东 莞 第 六 高 级 中 学 ) 李 海 玲 ( 东 莞 第 六 高 级 中 学 ) 摘 要 : 随 着 智 能 手 机 的 普 及, 我 们 的 教 学 也 可 以 紧 跟 时 代 步 伐, 利 用 手 机 进 行 算 法 语 句 的 教 学. 本 文 从 技 术 和 操 作 两 个 层 面 对 如 何 利 用 智 能 手 机 进 行 循 环 语 句 的 教 学 给 出 了 具 体 的 范 例 并 提 出 了 自 己 的 思 考. 关 键 词 : 算 法 手 机 循 环 语 句 adriod 安 卓 系 统 的 VB 设 计 缘 起 算 法 不 仅 是 数 学 及 其 应 用 的 重 要 组 成 部 分, 也 是 计 算 机 科 学 的 重 要 基 础. 了 解 算 法 知 识 及 其 思 想 成 为 现 代 社 会 每 一 个 公 民 所 应 具 备 的 基 本 素 养. 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 ( 实 验 ) 要 求 我 们 的 学 生 经 历 将 具 体 问 题 的 程 序 转 化 为 程 序 语 句 的 过 程, 理 解 几 种 基 本 算 法 语 句 输 入 语 句 输 出 语 句 赋 值 语 句 条 件 语 句 循 环 语 句, 进 一 步 体 会 算 法 的 基 本 思 想, 在 条 件 如 许 的 学 校, 使 其 能 在 计 算 机 上 实 现. 算 法 的 基 本 思 想 是 探 求 解 决 问 题 的 步 骤, 并 且 将 步 骤 用 程 序 化 的 语 言 加 以 表 述, 它 可 以 很 好 的 培 养 学 生 的 逻 辑 思 维 能 力. 新 课 程 标 准 发 布 0 年 来, 科 学 ( 计 算 机 ) 技 术 发 生 了 翻 天 覆 地 的 变 化, 智 能 手 机 成 为 不 少 学 生 的 生 活 用 品, 如 何 让 学 生 在 手 机 上 也 能 玩 转 我 们 的 算 法 教 学, 使 之 更 贴 近 学 生 的 生 活, 提 高 学 生 学 习 的 兴 趣, 可 以 成 为 我 们 思 考 的 一 个 重 要 课 题. 理 念 设 计 学 生 在 学 完 基 本 的 算 法 语 句 以 后, 大 多 数 老 师 为 了 节 省 时 间, 只 是 简 单 在 教 室 的 投 影 仪 上 演 示 一 下, 根 本 没 有 时 间 安 排 上 机 来 实 践. 我 们 老 师 就 感 叹, 如 果 在 教 室 里 每 位 同 学 都 有 一 部 电 脑 就 好 了. 一 次 偶 然 的 机 会, 笔 者 萌 生 了 一 个 想 法 : 能 不 能 利 用 手 机 进 行 算 法 语 言 的 教 学 呢? 因 为 目 前 智 能 手 机 在 学 生 中 很 普 及, 基 本 上 是 adriod 操 作 系 统 或 ios 系 统. 这 些 手 机 已 经 可 以 代 替 计 算 机 的 部 分 功 能. 下 面 我 们 只 需 要 在 这 个 智 能 手 机 上 安 装 相 关 的 软 件, 相 关 的 算 法 语 句 就 可 以 在 学 生 手 中 的 手 机 来 实 现. 同 时 考 虑 到 学 校 的 教 室 仅 仅 是 一 个 电 脑 投 影 仪, 如 果 能 把 手 机 在 投 影 仪 上 展 示 出 来, 就 更 加 完 美 了, 经 过 资 料 查 找 和 实 践 探 9

97 巧 用 手 机 玩 转 算 法 教 学 索, 发 现 了 解 决 这 个 问 题 的 方 法. 3 问 题 解 决 3. adroid 手 机 模 拟 且 上 网 问 题 基 于 这 样 的 考 虑, 在 教 室 里 安 装 的 adriod 手 机 能 够 真 正 的 和 学 生 手 机 一 模 一 样. 并 且 在 投 影 仪 上 来 实 现 这 个 问 题. 可 以 通 过 以 下 几 个 步 骤 : 通 过 网 站 下 载 锐 合 X3 互 动 体 验 系 统, 下 载 地 址 为 : 直 接 打 开 下 载 好 的 exe 文 件 安 装, 安 装 完 成 后 会 提 示 安 装 互 动 体 验 系 统 运 行 环 境 (java rutime), 保 持 勾 选, 安 装 之. 打 开 手 机 在 开 始 菜 单 中 找 到 锐 合 X3 互 动 体 验 系 统 程 序 组, 打 开. 锐 合 X3 互 动 体 验 系 统 - 选 择 Virtual devices - 选 择 RayhovX3 - 点 击 Start... - 点 击 Lauch. 这 个 时 候, 手 机 界 面 就 可 以 打 开, 并 且 能 够 通 过 电 脑 上 网. 如 图 所 示 在 模 拟 机 上 安 装 基 于 adroid 操 作 系 统 的 算 法 软 件. 到 相 关 网 站 上 下 载 安 卓 的 vb, 下 载 完 成 以 后 运 行 安 装 到 模 拟 机 上. 如 图 所 示 : 3 在 模 拟 机 上, 打 开 adriod 手 机 模 拟 器 上 安 卓 的 vb 第 一 次 启 动 的 时 候, 有 点 慢, 要 耐 心 等 待. 老 师 把 安 卓 的 vb 放 到 桌 面 上, 双 击, 我 们 就 可 以 发 现 在 adriod 手 机 模 拟 器 上 出 现 了 安 卓 的 vb 程 序. 如 图 3 所 示 : 图 () 图 (3) 在 上 课 之 前, 教 师 在 教 室 的 电 脑 上 做 好 如 下 铺 垫, 学 生 安 装 好 相 关 的 安 卓 的 vb, 我 们 就 可 以 进 行 这 堂 课 教 学 设 计 了. 4 教 学 过 程 4. 快 乐 回 顾 创 设 问 题 情 境 试 求 自 然 数 的 和 问 题 : 我 们 前 面 所 学 的 四 种 语 句 能 否 解 决 这 个 问 题? 我 们 先 回 顾 一 下 前 面 学 的 四 种 语 句 的 一 般 格 式 和 功 能 是 什 么? 输 入 语 句 INPUT 提 示 内 容 ; 变 量 输 出 语 句 PRINT 提 示 内 容 ; 表 达 式 93

98 技 术 整 合 3 赋 值 语 句 变 量 = 表 达 式 下 面 请 同 学 们 拿 出 手 机 来, 打 开 安 卓 的 vb, 来 尝 试 解 决 这 个 问 题 : 教 师 在 投 影 的 模 拟 机 上 输 入, 边 输 入 边 提 示, 如 果 这 样 一 直 输 入 下 去 是 不 是 太 浪 费 时 间 了, 前 面 我 们 学 过 一 种 结 构, 叫 循 环 结 构, 循 环 结 构 是 不 是 也 对 应 着 循 环 语 句 呢? 我 们 知 道, 在 实 际 问 题 中 会 遇 到 许 多 有 规 律 的 重 复 运 算, 或 者 在 程 序 中 需 要 对 某 些 语 句 进 行 重 复 执 行, 这 样 就 需 要 用 到 循 环 语 句 进 行 控 制. 图 (4) 生 活 中, 有 时 需 要 重 复 做 一 些 事 情, 从 完 成 这 类 事 情 的 过 程 中, 可 以 找 出 三 个 关 键 的 地 方, 即 从 什 么 地 方 开 始 反 复 做 什 么 和 在 什 么 条 件 下 结 束. 在 构 造 循 环 结 构 时, 也 必 须 保 证 完 成 下 面 的 事 情 : 循 环 前, 初 始 化 变 量 的 值. 确 定 循 环 体, 循 环 体 就 是 在 循 环 结 构 中 反 复 执 行 的 操 作 步 骤.3 设 置 循 环 终 止 条 件. 教 师 引 导 说 其 实 循 环 结 构 分 成 两 种, 一 种 是 当 型, 先 判 断 后 循 环. 做 个 恰 当 的 比 喻 是 : 先 开 关 后 放 水 ; 另 一 种 直 到 型, 先 循 环 后 判 断. 也 做 个 比 喻 是 先 放 一 次 水, 再 开 关. 通 过 这 些 形 象 的 比 喻 让 学 生 重 点 理 解, 当 型 是 条 件 满 足 时, 才 进 入 到 循 环 体. 而 直 到 型 是 先 循 环, 当 条 件 是 题 目 的 否 定 时, 才 进 入 到 循 环 体. 例 设 计 一 个 计 算 3 00 的 算 法 并 写 出 相 应 的 框 图. 当 型 开 始 i 直 到 型 开 始 i S 0 S 0 i i S S i S S i i i i 00? No 输 出 Yes i 00? Yes 输 出 No S 结 束 结 S 束 复 习 的 时 候 通 过 提 问 的 方 式 强 调 重 点, 学 生 通 过 对 比, 发 现 差 异. 94

99 巧 用 手 机 玩 转 算 法 教 学 [ 探 究 ] 找 出 当 型 和 直 到 型 的 区 别 () 当 型 : 先 判 断 条 件, 再 执 行 循 环 体 ; 直 到 型 :. () 当 型 和 直 到 型 的 条 件. (3) 当 型 : 满 足 条 件 时 执 行 循 环 体 ; 直 到 型 :. 总 结 : 当 型 循 环 结 构 的 特 点 是 当 满 足 条 件 时 就 循 环 ; 直 到 型 循 环 结 高 的 特 点 是 直 到 满 足 条 件 时 退 出. 4. 翻 译 设 计 目 的 : 计 算 机 如 何 来 工 作, 必 须 转 化 为 计 算 机 能 够 识 别 的 语 言, 下 面 我 们 将 算 法 语 言 转 化 为 计 算 机 能 够 识 别 的 语 言. 我 们 分 别 看 一 下 当 型 和 直 到 型 循 环 如 何 来 翻 译 成 能 在 手 机 上 运 行 的 程 序 呢? 当 型 结 构 的 特 点 是 : 当 条 件 满 足 时, 进 入 循 环 体, 当 条 件 不 满 足 的 时 候, 退 出 循 环 体. 我 们 简 单 用 英 语 来 翻 译 一 下 :While the coditio is ture, do the loop body. While the coditio is ot ture, ed the loop body. 我 们 能 够 让 计 算 机 识 别, 我 们 取 while P 成 立, 程 序 要 结 束, 我 们 可 以 用 while ed 来 表 示. WHILE 条 件 循 环 体 满 足 条 件? No Yes 循 环 体 当 型 循 环 语 句 WEND (while ed) 引 导 学 生 采 用 类 似 的 方 法 引 导 学 生 将 直 到 型 翻 译 成 计 算 机 能 够 识 别 的 语 言. 满 足 条 件? Yes 循 环 体 No DO ( 做 ) 循 环 体 直 到 型 循 环 语 句 LOOP UNTIL 条 4.3 运 行 语 句 例 把 例 的 直 到 型 循 环 框 图 转 化 为 程 序. 件 教 师 将 直 到 型 语 句 写 在 直 到 型 结 构 旁 边, 并 连 线, 告 诉 学 生, 这 就 是 直 到 型 循 环 语 95

100 技 术 整 合 句. 通 过 这 样 的 训 练, 使 学 生 意 识 到 程 序 和 框 图 是 一 一 对 应 的, 写 程 序 只 需 把 框 图 翻 译 成 相 应 的 语 句 即 可. 而 且 对 循 环 语 句 有 了 一 个 大 体 的 印 象, 进 而 可 以 培 养 学 生 的 观 察 能 力 和 对 比 能 力. 解 : 程 序 框 图 程 序 语 言 开 始 i S 0 循 环 结 构 Do S=s+i I=i+ S S i 循 环 体 Loop uitil i i i>00 PRINT S i 00? Yes 输 出 S 结 束 No END i= S=0 解 释 计 算 机 如 何 执 行 当 型 语 句 当 计 算 机 遇 到 do-loop uitil 语 句 时, 先 进 行 一 次 循 环, 然 后 判 断 是 否 符 合 条 件 ; 符 合, 就 执 行 循 环 体 ; 然 后 再 检 查 条 件, 如 果 仍 然 符 合, 再 次 执 行 循 环 体, 这 个 过 程 反 复 进 行, 直 到 某 一 次 条 件 不 符 合 为 止. 这 时 计 算 机 将 不 执 行 循 环 体, 直 接 跳 到 循 环 体 之 后, 执 行 后 面 的 语 句. 3 直 到 性 语 句 的 标 志 符 号 根 据 心 理 学 原 理, 系 统 化 的 知 识 便 于 学 生 理 解 和 记 忆, 也 利 于 及 时 提 取 出 来 加 以 利 用. 因 此, 学 生 找 出 直 到 型 循 环 语 句 以 后, 应 通 过 观 察, 明 确 其 结 构 特 征, 并 在 适 当 的 时 候 总 结 出 它 的 一 般 形 式. 方 式 : 观 察 循 环 语 句, 回 答 问 题, 找 出 循 环 语 句 的 结 构 特 点. [ 探 究 ] 比 较 程 序 框 图 和 程 序 语 句, 回 答 下 列 问 题 : () 循 环 结 构 和 哪 一 段 语 句 对 应? 当 型 循 环 语 句 以 什 么 开 始, 以 什 么 结 束? () 判 断 框 中 的 循 环 条 件 在 循 环 语 句 中 处 于 什 么 位 置? (3) 循 环 结 构 中 的 循 环 体 在 当 型 循 环 语 句 中 处 于 什 么 位 置? 96

101 巧 用 手 机 玩 转 算 法 教 学 (4) 程 序 中 每 一 条 语 句 被 执 行 了 多 少 次? 4.4 追 踪 语 句 影 响 程 序 结 果 的 三 要 素 是 初 始 值 循 环 条 件 和 循 环 体. 要 想 透 彻 理 解 程 序, 必 须 从 变 量 的 变 化 入 手, 分 析 清 楚 每 圈 变 量 是 如 何 变 化 的. 为 了 突 破 这 个 难 点, 教 师 设 计 了 这 个 直 观 形 象 的 填 表 题. 操 作 方 法 : 学 生 独 立 填 表, 同 桌 讨 论, 然 后 让 一 位 同 学 到 黑 板 前 填 表. 其 他 同 学 给 与 评 价. 第 圈 累 加 变 量 s = s + i = + 计 数 变 量 i = i + = + 第 圈 = + = + 第 3 圈 = + = + 第 4 圈 = + = + 第 5 圈 = + = + 第 6 圈 = + = + 第 = + = + [ 思 考 ] 00 计 数 变 量 和 累 加 变 量 的 作 用. 圈 学 生 通 过 填 表, 化 抽 象 的 字 母 为 形 象 的 数 字, 清 楚 了 程 序 每 一 步 中 的 每 一 个 变 量 是 怎 样 变 化 的, 从 而 能 比 较 深 刻 的 理 解 程 序. 这 正 是 程 序 运 行 的 本 质 所 在. 分 析 完 之 后, 再 及 时 总 结 出 每 个 变 量 的 作 用, 由 感 性 性 认 识 上 升 为 理 性 认 识, 从 整 体 上 把 握 程 序, 从 而 更 深 刻 的 认 识 程 序. 此 时, 老 师 让 学 生 拿 出 手 机, 利 用 智 能 手 机 中 的 软 件 安 卓 的 VB 让 学 生 自 己 体 会, 老 师 在 黑 板 上 自 己 输 入. 然 后 按 分 步 按 钮, 让 学 生 体 会 并 追 踪 循 环 语 句 的 变 化 特 征. 97

102 技 术 整 合 如 图 所 示 4.5 变 式 训 练 通 过 变 式 训 练, 可 以 使 学 生 更 深 刻 的 理 解 循 环 语 句, 同 时 提 高 学 生 的 思 维 品 质. () 初 始 值 对 程 序 的 影 响 操 作 方 法 : 在 程 中 把 初 始 值 改 为 i=,s=0, 猜 想 结 果 如 何, 并 运 行 程 序 验 证. 学 生 先 猜 想, 利 用 下 图 手 机 进 行 验 证. () 循 环 条 件 对 程 序 的 影 响, 在 程 中 把 把 循 环 条 件 改 为 i>0 猜 想 结 果 如 何, 并 运 行 程 序, (3) 在 程 序 中 把 循 环 体 改 为 i=i+, 猜 想 结 果 如 何, 并 运 行 程 序, 加 以 验 证. (4) 为 了 求 的 值, 怎 样 改 写 程 序? 98