ok315 三角測量

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上宁
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1 ok5 三角測量 ok5 三角測量主題一三角測量. 測量名詞 : 物體與地心的連線稱作鉛直線. 而和鉛直線垂直的線都稱為水平線, 視線與水平線所形成的夾角, 分別稱作仰角與俯角.. 方位 : 如右圖所示 : P 點位於 O 點的北 0 東方位. Q 點位於 O 點的北 75 西方位. R 點位於 O 點的南 45 東 ( 或東南 ) 方位.. () 若是直角三角形, 則利用三角函數的定義或畢氏定理解題. () 若非直角三角形, 則利用正弦定理或餘弦定理解題. 例題某人於 A 點測得山頂的仰角為 0, 由 A 點往此山前行 0 公尺至 B 點, 再測得山頂的仰角為 45, 此山頂的高度為多少公尺? Ans: 公尺依題意, 繪製如圖, 設 CD x, ACD 中, x tan0 AC, 所以 AC x, x BCD 中, tan45 BC, 所以 BC x, 因為 AB AC BC 0, 即 0 x 60 x x 0 故山頂的高度為公尺., 高中數學虛擬教室

() 若非直角三角形, 則利用正弦定理或餘弦定理解題. 例題某人於 A 點測得山頂的仰角為 0, 由 A 點往此山前行 0 公尺至 B 點, 再測得山頂的仰角為 45, 此山頂的高度為多少公尺?

2 ok5 三角測量類題某人測量一古塔的塔頂仰角為 0, 他再向塔前進 60 公尺後, 測得塔頂之仰角為 60, 求塔高. Ans: 0 公尺依題意, 繪製如圖, 設 CD x, x ACD 中, tan0 AC, 所以 AC x, x BCD 中, tan60 BC, 所以因為 AB AC BC 60, 即 x x x 60 x 0, 故古塔的高度為 0 公尺. BC x, 例題在一大廈的某一層窗口, 測得對街某大樓樓頂的仰角為 0, 樓底的俯角為 5, 設窗口與地面的距離為 50 公尺, 求此大樓的高度註 : tan5. Ans: 公尺如圖, ABC 中, AB tan5 BC, 所以 BC 50 50, ADE 中, AE BC 50 DE AE tan0, CD , 故此大樓高度為公尺. 高中數學虛擬教室

3 ok5 三角測量類題由塔底觀察某山頂, 測得仰角 60, 又在塔頂觀察測得仰角為 45, 若塔高為 40 公尺, 求山高. Ans: 60 0 ( 公尺 ) 如圖, ADE 45, 設 DE AE x. ABC 中, AB 40 x tan60 BC x 40 x x 40 x 0 故山高為 ( 公尺 ). 例題根據氣象局發布的颱風消息, 颱風目前的中心位置在鵝鑾鼻正南方 00 公里處, 以每小時 50 公里的速度朝北 0 西等速直線前進, 暴風半徑為 50 公里. 如果此颱風的速度方向及暴風半徑都不變, 那麼鵝鑾鼻在暴風圈內前後共計多少小時? Ans:8 小時如右圖. 當暴風中心位於 B 處時, 鵝鑾鼻恰好落入暴風圈內 ; 當暴風中心位於 C 處時, 鵝鑾鼻恰好離開暴風圈. 因為 OAD 0, 所以 OD 50 又因為 ODB 為直角三角形, 所以 BD 因為 OCB 為等腰三角形, 所以 CD BD. 故 BC 高中數學虛擬教室

例題根據氣象局發布的颱風消息, 颱風目前的中心位置在鵝鑾鼻正南方 00 公里處, 以每小時 50 公里的速度朝北 0 西等速直線前進, 暴風半徑為 50 公里.

4 4 ok5 三角測量由題意知, 暴風以每小時 50 公里的速度前進, 400 因此暴風由 B 至 C 共需花費 8 50 小時. 即鵝鑾鼻在暴風圈內前後共 8 小時. 類題根據氣象報告, 在鵝鑾鼻東南方 400 公里的海面上有一個颱風, 暴風半徑 50 公里, 正以每小時 50 公里的速率朝西 5 北的方向前進, 若風速風向及暴風半徑都不改變, 則鵝鑾鼻在幾小時後開始進入暴風圈? Ans: 4 ( 小時 ) 如右圖. 設颱風中心在 B 點時, O 點 ( 鵝鑾鼻 ) 開始進入暴風圈. OAC 0 OC 00, AC 00 BC AB 所求 4 ( 小時 ). 50 例題 4 A, B 為河兩岸邊兩點, 不能直接丈量, 今在 C 點測得 AC 50公尺, BC 0 公尺, 且 ACB 0, 試求 A, B 兩點的距離. Ans:70 公尺依題意, 繪製如圖, AB cos AB 70, 高中數學虛擬教室

時後開始進入暴風圈? Ans: 4 ( 小時 ) 如右圖. 設颱風中心在 B 點時, O 點 ( 鵝鑾鼻 ) 開始進入暴風圈. OAC 0 OC 00, AC 00 BC 50 00 50 AB 00 50 00 50 所求 4 ( 小時 ).

5 ok5 三角測量 5 故 A B 兩點的距離為 70 公尺. 類題 4- 平面上有 A, B, C 三點. 已知 B, C 之間的距離是 00 公尺, B, A 之間的距離是 500 公尺, ACB 60. 請問 A, C 之間距離最接近哪一個選項? () 500 公尺. () 600 公尺. () 700 公尺. (4) 800 公尺. Ans:() 設 AC x. 利用餘弦定理得知, 00 x 500 cos60 00 x 00x x 0000, 即 x x 00x , 解得 ( 負不合 ) 因為 5, 所以 x 故選 (). 類題 4- 如右圖, 欲測量 A, B 兩點的距離, 由於 A, B 兩點之間有湖泊阻礙, 於是在 A 點這邊找一點 C, 測得 AC 600 公尺, CAB 45, BCA 0, 試求 AB 之長. Ans: 00 6 ( 公尺 ) ABC AB 由正弦定理知 sin05 sin 0 高中數學虛擬教室

利用餘弦定理得知, 00 x 500 cos60 00 x 00x x 0000, 即 x x 00x 0000 0, 解得 00 00 4 0000 00 0000 0000 00 00 ( 負不合 ) 因為 5, 所以 x 00 00 5 600. 故選 ().

6 6 ok5 三角測量 sin 0 00 AB sin ( 公尺 ). 例題 5 一塔高 0 公尺, 樹 A 在塔的正西方, 樹 B 在塔的西 0 南. 小明從塔的頂端測得樹 A 底部的俯角為 45, 樹 B 底部的俯角為 60, 求兩樹的距離. Ans: 40 公尺如右圖. 自塔頂 C 測得 A,B 的俯角分別為 45,60, 即自 A,B 測得塔頂 C 的仰角分別為 45,60. 因此, OA OC 0, OB OC 40. 在 OAB 中, 利用餘弦定理可得 AB cos 得 AB 40. 故兩樹的距離為 40 公尺. 類題 5 地面上 A B 二點相距 0 公尺, 今測得一屋頂 C 之仰角分別為 0, 45, 且由 C 測得 A B 二點之視角 ( 即為 5, 求屋高. Ans: 4 5 公尺設屋高 CD x, AC x, BC x ABC 中, ACB ) 高中數學虛擬教室

自塔頂 C 測得 A,B 的俯角分別為 45,60, 即自 A,B 測得塔頂 C 的仰角分別為 45,60. 因此, OA OC 0, OB OC 40.

7 ok5 三角測量 7 AB AC BC AC BC cos5 x x x x 0 x 4 5, 故屋高為 4 5 公尺. 例題 6 自地面上 A, B, C 三點, 分別測得空中一汽球的仰角皆為 60, 若 ACB 0, AB 50公尺, 求此汽球的高度. Ans: 50 公尺如右圖. 假設汽球 D 的高度為 h 公尺. 因為自 A,B,C 測得汽球 D 的仰角皆為 60, h 所以 OA OB OC. 因此,O 為 ABC 的外心, 且外接圓半徑為 h. AB h 在 ABC 中, sinc, 即 50 h h 50. 因此, 汽球的高度為 50 公尺. 類題 6 自地面上 A, B, C 三點, 分別測得一山頂之仰角皆為 0, 已知 BC 40公尺, BAC 60, 求此山之高度. Ans:80 公尺設山高 DO x公尺, 因為自 A,B,C 測得山頂 D 的仰角皆為 0, 高中數學虛擬教室

假設汽球 D 的高度為 h 公尺. 因為自 A,B,C 測得汽球 D 的仰角皆為 60, h 所以 OA OB OC. 因此,O 為 ABC 的外心, 且外接圓半徑為 h.

8 8 ok5 三角測量所以 OA OB OC x. 因此,O 為 ABC 的外心, 且外接圓半徑為 x. BC 在 ABC 中, x sin A, 即 40 x x 80. 因此, 山的高度為 80 公尺. 例題 7 一船在湖面上直線前進, 若船的行進方向與飯店不共線, 且起初測得湖邊飯店頂的仰角為 0, 前進 0 公尺後測得飯店頂的仰角為 45, 再前進 0 公尺後測得飯店頂的仰角為 60, 求飯店的高度. Ans: 0 5 公尺如右圖. 假設湖邊飯店的高度為 h 公尺. 自 A,B,C 測得湖邊飯店頂 P 的仰角分別為 0,45,60. 因此, OA OP h, OB OP h, h OC OP. h 0 h 在 OBC 中, cosc h 0 00 h 40 h. h 50 h 在 OAC 中, cosc h h 00 h. 高中數學虛擬教室

後測得飯店頂的仰角為 60, 求飯店的高度. Ans: 0 5 公尺如右圖. 假設湖邊飯店的高度為 h 公尺. 自 A,B,C 測得湖邊飯店頂 P 的仰角分別為 0,45,60.

9 ok5 三角測量 9 00 h h 因此 40 h 00 h, 5 00 h h h 0 5. 推得故飯店高度為 0 5 公尺. 類題 7 一直線上三點 C, D, E 測得山頂仰角分別為 0, 45, 60 ( 但 C, D, E 三點與山頂的垂足不共線 ), 若 CD 600 公尺, ED 400公尺, 則山高為多少公尺? Ans: 00 5 公尺設山高 PQ h公尺, 則 CQ h, DQ h, EQ h, CDQ 中, cosc h 600 h h 600, CEQ 中, cosc h 000 h h 000, 因此 h h h h h 600 h000 h 故山高為 00 5 公尺. 例題 8 由地面上三點 A, B, C 測得遠處一座山的仰角分別為 0, 45, 60, 已知 A, B, C 三點共線 ( 但與山頂垂足不共線 ), 且 AB BC 00 公尺, 試求此座山的高度. Ans: 50 6 公尺高中數學虛擬教室

Ans: 00 5 公尺設山高 PQ h公尺, 則 CQ h, DQ h, EQ h, CDQ 中, cosc h 600 h h 600, CEQ 中, cosc h 000 h h 000, 因此 h h h h 600 000 h 600 h000 h 00 5.

10 0 ok5 三角測量依題意作圖如右, 設山高為 PQ h 公尺則 AQ h, BQ h, CQ h. 在 QAC 中,B 為 AC 中點, 由三角形中線定理 AQ CQ BQ AB h h h 00 h 5000 h 50 6 所以山高是 50 6 公尺. 類題 8 P, Q, R 為一條筆直公路上的三點, 且 PQ QR 0 公尺, 設公路旁有一大型廣告看板, 今一人駕車行駛在公路上由 P, Q, R 觀測看板的頂端所得之仰角分別為 0, 45, 60, 求廣告看板的高度. Ans: 0 6 公尺依題意作圖如右, 設看板的高度 AB x 公尺則 BP x, BQ x, BR x. 在 BPR 中,Q 為 PR 中點, 由三角形中線定理得 BP BR BQ PQ x x x 0 x 600 x 0 6, 高中數學虛擬教室

類題 8 P, Q, R 為一條筆直公路上的三點, 且 PQ QR 0 公尺, 設公路旁有一大型廣告看板, 今一人駕車行駛在公路上由 P, Q, R 觀測看板的頂端

11 ok5 三角測量故廣告看板的高度為 0 6 公尺. 主題二三角函數值的求法. 三角函數值表 : 函數類別在上下, 角度在左右. 角度 sin cos tan 700' ' 0' ' 0' ' 0' ' 40' ' 50' ' 800' ' cos sin tan 角度 () 查 0 到 45 時, 角度看左邊 ( 由上而下增加 ), 函數看上方. 例如 : cos () 查 45 到 90 時, 角度看右邊 ( 由下而上增加 ), 函數看下方. 例如 : sin 內插法 : 將三角函數圖形視為直線, 利用相似三角形的概念求近似值. 高中數學虛擬教室

78.80 500' cos sin tan 角度 () 查 0 到 45 時, 角度看左邊 ( 由上而下增加 ), 函數看上方. 例如 : cos7 0 0.795.

12 ok5 三角測量例題 9 已知 sin , sin , 求 sin 47 的值. Ans:0.759 將與 sin 列表如下 : sin sin47 k k 推得 k 得 sin 類題 9 已知 cos , cos , 求 cos8 之值.( 四捨五入取小數點後四位數字 ) Ans: 將與 cos 列表如下 : sin cos8 k k 推得 k 得 cos 例題 0 欲測量某大樓之高度, 在大樓頂端插有一長為 5 公尺的旗杆, 從地面上一點測得旗杆頂的仰角為 5, 測得樓頂仰角為 0, 求此大樓的高度.( 四捨五入至小數第一位 ) 高中數學虛擬教室

7858 將與 cos 列表如下 : sin 80 0.786 8 cos8 k 0 80 0.7844 0.008 k 推得 k 0.0006. 0.008 0 得 cos8 0.786 0.0006 0.78584 0.7858. 例題 0 欲測量某大樓之高度, 在大樓頂端插有一長為 5 公尺的旗杆, 從地面上一點測得旗杆頂的仰角為 5, 測得樓頂仰角為 0, 求此大樓的高度.

13 ok5 三角測量 Ans:.5 公尺作圖如右, 設樓高 CD x, BAC 5 0 5, ABC , 在 ACB 中, 由正弦定理知 : AC 5 sin55 sin5, 查表得 sin , sin , 故 AC 46.97, CD ACsin 大樓的高度約為.5 公尺. 類題 0- 一條上坡的人行步道長 00 公尺, 坡度為. 為了方便老年人爬坡, 欲重修此步道, 若將坡度定為 0, 新步道應規劃長多少公尺?( 答案四捨五入到整數位 ) Ans:0 公尺設 AB h, 查表得 sin 0.079, sin0 0.76, ABC 中, h 00sin 0.79, ABD 中, AB sin0 AD, 即 AD, 0.79 AD ( 公尺 ) 類題 0- 有一艘郵輪往正東方向航行, 在北 5 東發現燈塔 A, 在北 60 東發現燈塔 B. 郵輪繼續航行 0 公里後, 再測得燈塔 A 在北 0 西, 燈塔 B 在正北方. 求燈塔 A 與 B 的距離. 高中數學虛擬教室

( 答案四捨五入到整數位 ) Ans:0 公尺設 AB h, 查表得 sin 0.079, sin0 0.76, ABC 中, h 00sin 0.79, ABD 中, AB sin0 AD, 即 0.79 0.76 AD, 0.79 AD 9.76 0 ( 公尺 ). 0.76 類題 0- 有一艘郵輪往正東方向航行, 在北 5 東發現燈塔 A, 在北 60 東發現燈塔 B.

14 4 ok5 三角測量 Ans: 5 0 公里如右圖所示, 由題意知 APB 45, BPQ 0, BQA 0, AQP 60. 在 APQ 中, 利用正弦定理得 PA PQ sin60 sin45 PA 0 0 PA. 0 在 BPQ 中, PB 0. cos0 在 PAB 中, AB PA PB PA PBcos APB, 0 0 得 AB 得 AB , 故燈塔 A 與 B 的距離為 5 0 公里. 類題 0- 如圖所示, P 與 Q 是相距 00 公尺的兩個觀測站, 欲測得對岸 A 與 B 兩點間的距離. 今在 P 點測得 APB 60, BPQ 0, 又在 Q 點測得 AQP 60, BQA 60. 求 A 與 B 兩點的距離. Ans: 00 ( 公尺 ) 如圖所示, 在 BQP 中, 因為 PQB PQA BQA 0, 且 BPQ 0, 故 PBQ 0. 即 BPQ 為等腰三角形 PQ QB 00 高中數學虛擬教室

類題 0- 如圖所示, P 與 Q 是相距 00 公尺的兩個觀測站, 欲測得對岸 A 與 B 兩點間的距離.

15 ok5 三角測量 5 在 AQP 中, APQ APB BPQ 90, 且 PQA 60, 所以 AQ , 在 AQB 中, 由餘弦定理得 AB AQ BQ AQ BQ cos 故 A 與 B 兩點的距離為 ( 公尺 ). 高中數學虛擬教室

400 00 400 00 60000 40000 80000 0000 故 A 與 B 兩點的距

16 6 ok5 三角測量 ok5ex. 某人隔河測一山高, 在 A 點觀測山時, 山的方位為東 60 北, 山頂的仰角為 45, 某人自 A 點向東行 600 公尺到達 B 點, 山的方位變成在西 60 北, 求山高. Ans:600 公尺如右圖, D ABC 為正三角形, 故 AC = AB =600, C 在 ACD 中, ACD=90, 故得 CD = AC tan45=600( 公尺 ). 45 A B. 小明發現正北方仰角 60 處有一架飛機, 且此架飛機正保持 000 公尺的高度, 等速朝東方飛行, 經過 0 秒後再測得飛機的仰角只有 45, 問飛機的速度每秒多少公尺? Ans: 00 公尺在 ABD 中, BAD=60, ABD=90, 故 AB =000 在 ACE 中, EAC=45, ACE=90, 故 AC =000 D 000 E 在 ABC 中, ABC=90, AB + BC = AC BC =(000 ) DE = BC =000, B A C 000 故每秒為 0 00 公尺高中數學虛擬教室

小明發現正北方仰角 60 處有一架飛機, 且此架飛機正保持 000 公尺的高度, 等速朝東方飛行, 經過 0 秒後再測得飛機的仰角只有 45, 問飛機的速度每秒多少公尺?

17 ok5 三角測量 7. 一漁船在湖上等速直線前進, 已知上午 9 時 50 分, 漁船在觀測點 O 的北 70 西方向, 離 O 點 500 公尺處, 上午 0 時 0 分則在觀測點 O 的北 50 東, 離 O 點 00 公尺處, 求此漁船每分鐘航行的速度. Ans:5 公尺如右圖, 利用餘弦定理 AB =(500) +(00) cos0 =00 [5+9-0( ) =00 49 故 AB =700( 公尺 ), 共走了 0 分鐘, 每分鐘走 =5 公尺 A B j -4 - O - 4. 有一神像佇立於平臺上, 此神站立於一朵大蓮花上. 已知此神身長為 4 公尺. 今在平地上一處測得平臺頂神的腳底神的頭頂的仰角分別為 45, 60 和 75, 求平臺的高度. Ans: 公尺設平臺的高度 AB = OA =x, 則 AC =x tan60= x, AD =x tan75= AC + CD = x D (+ )x= x+4 x= 備註 tan75=+. O C B A 高中數學虛擬教室

度. Ans:5 公尺如右圖, 利用餘弦定理 AB =(500) +(00) -50000cos0 =00 [5+9-0( ) =00 49 故 AB =700( 公尺 ), 共走了 0 分鐘, 每分鐘走 700 0 =5 公尺 A B 500 00 70 50 j -4 - O -

18 8 ok5 三角測量 5. 已知 tan , tan , 若 tan 0.4, 且為銳角, 求. Ans: 5 利用線性插植法 : x x= =5, 即 =5. 備註 tan0= tan0= atand(0.4)= 自塔的正東方 A 點測得塔頂仰角 0, 而在塔的東 0 南 B 點測得塔頂仰角 45. 已知 A 與 B 相距 60 公尺, 求塔高. Ans:60 公尺如圖, 設塔高 h 公尺, 在 ACD 中, AC = h, D 在 BCD 中, BC =h, 在 ABC 中, 利用餘弦定理 : ( h) +h - h hcos0=60 4h - h =60 h =60 C 0 45 B 0 60 A h=60. 高中數學虛擬教室

19 ok5 三角測量 9 7. 在某一地點測量山頂上高塔的塔頂與塔底, 各得仰角為 45 與 0, 又向山走近 90 公尺後, 測得塔頂的仰角為 75, 求山高. Ans: 45 5 公尺設山高 h 公尺, 塔高 y 公尺, 則在 ACD 中, AC = h, E 在 ACE 中, AC = CE =h+y, 得 ( -)h=y, D 在 BCE 中,tan75= CE BC, h+y= CE = BC tan75 A B C h+y=( h-90)(+ ) h+( -)h=(+ )( h-90) ( +-- +)h=90(+ ) h= 90( ) 90( )( ) 5( ) 某人於山麓測得山頂的仰角為 45, 由此山麓循 0 斜坡上行 00 公尺, 再測得山頂的仰角為 60, 試求山高. Ans: 50 公尺如圖, 設山高 CE =h, 在 ACE 中, AC = CE =h, E BF =00 sin0=00 =50, AF =00c.cos0=00 =50, 在 BDE 中, A F 60 B C D tan60= DE BD h 50 = h 50 高中數學虛擬教室

h+y=( h-90)(+ ) h+( -)h=(+ )( h-90) ( +-- +)h=90(+ ) h= 90( ) 90( )( ) 5( ). 9 8.

20 0 ok5 三角測量 h-50=h-50 h= 00 50( ). 9. 一飛機在跑道上機場以固定的仰角及速度離開地面向西爬升. 某人站在飛機起飛處正西方 700 公尺的地面上觀測. 飛機起飛 5 秒後, 正好經過此人正上方. 再過 5 秒後, 此人測得飛機的仰角為 60, 問 : 此飛機每秒飛行多少公尺? 大考中心 Ans: 70 7 公尺如圖,C 為 BD 的中點, AE = AB =700, 得 DE =700 tan60=700, 在 BDE 中, 利用商高定理得 D C BD = 400 (700 ) 700 7, E 60 A 700 B BD 中, 飛機共飛行 0 秒, 此飛機每秒飛行公尺 0. 某人在 O 點測量到遠處有一物作等速直線運動. 開始時該物位置在 P 點, 一分鐘後在 Q 點, 且 POQ 90. 再過一分鐘後, 該物位置在 R 點, 且 QOR 0. 求 tan OPQ 的值. Ans: R 如圖, 設 PQ QR =x, OPQ=, 則 ORQ=60-, OQ =x sin. 在 OPR 中, 利用正弦定理 : x OQ sin 0 sin(60 ) x Q 0 O x P 高中數學虛擬教室

大考中心 Ans: 70 7 公尺如圖,C 為 BD 的中點, AE = AB =700, 得 DE =700 tan60=700, 在 BDE 中, 利用商高定理得 D C BD = 400 (700 ) 700 7, E 60 A 700 B BD 中, 飛機共飛行 0 秒, 700 7 此飛機每秒飛

21 ok5 三角測量 x xsin sin 0 sin(60 ) sin sin(60 ) sin=( sin= cos- sin) cos tan=.. 海上有 A, B 二燈塔. B 位在 A 的正北公里處. 一船在 O 點望見 A, B 分別在北 60 東北 45 東的方向. 此船依北 0 西的方向等速航行 0 分鐘後, 到達 P 點, 已知 P 點在 B 點的正西方, 求此船每小時航行多少公里. 大考中心 Ans: 6 6 公里如圖, 在 OAB 中, 利用正弦定理 : sin5 OB sin0 P 60 B 得 OB = sin0 4, sin5 6 6 在 OBP 中, 利用正弦定理 : 75 O 5 0 A OB OP sin60 sin OP. 6 此段距離航行 0 分鐘, 故每小時航行 6( +) 公里高中數學虛擬教室

6-1-1極限的概念

6-1-1極限的概念選修數學 (I-4 多項式函數的極限與導數 - 導數與切線斜率定義. f ( 在的導數 : f ( h 對實函數 f ( 若極限存在 h h 則稱 f ( 在點可微分而此極限值稱為 f ( 在的導數以 f ( 表示 f ( f ( 函數 f ( 在的導數也可以表成 f ( 註 : 為了