序：

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1 序 言 当 接 到 燕 姿 老 师 的 序 言 邀 请 时, 还 是 有 点 受 宠 若 惊 的, 虽 说 这 套 书 是 我 一 点 点 看 着 燕 姿 老 师 编 写 的, 也 知 道 它 的 妙 用 及 优 势 但 是 如 何 写 点 推 荐 的 东 西 还 是 有 些 愁 人, 毕 竟 感 觉 大 家 不 怎 么 看 序 言, 而 且 我 不 太 擅 长 忽 悠 思 来 想 去 莫 不 如 写 写 关 于 奥 数 及 升 学 的 东 西, 谈 谈 经 验, 或 许 会 给 在 这 条 道 路 上 迷 失 的 家 长 一 些 建 议 大 家 都 知 道, 全 国 各 大 城 市 将 奥 数 和 升 学 挂 钩 已 经 不 是 一 天 两 天 了 很 多 家 长 逼 迫 自 己 孩 子 学 习 奥 数 其 实 只 是 为 了 升 学, 并 不 考 虑 自 己 孩 子 适 不 适 合, 喜 不 喜 欢, 将 来 有 没 有 用 那 作 为 一 个 教 育 工 作 者, 我 一 定 要 自 己 先 弄 明 白 一 件 事 情, 为 什 么 要 学 习 奥 数? 可 能 很 多 家 长 心 中 已 经 有 答 案 了, 问 过 了 这 么 多 家 长 和 老 师, 简 单 总 结 一 下, 无 非 是 以 下 几 个 理 由 功 利 一 点 的 是 为 了 升 学, 提 高 学 校 内 的 学 习 成 绩, 为 了 孩 子 初 中 高 中 数 学 及 理 科 学 习 做 铺 垫 不 得 不 说 这 些 家 长 还 是 很 有 远 见 的, 在 中 国 现 有 的 教 育 国 情 中 这 些 家 长 的 做 法 亦 无 可 厚 非 甚 至 很 多 孩 子 回 过 头 来 会 感 谢 家 长 当 初 逼 迫 自 己 学 习 了 奥 数 那 么 不 太 功 利 的 答 案 就 是 可 以 启 迪 孩 子 的 思 维 习 惯, 培 养 孩 子 对 理 科 的 学 习 兴 趣, 开 发 智 商 这 些 想 法 也 都 很 好, 奥 数 也 确 实 能 够 达 到 这 些 目 的 我 不 对 这 些 家 长 的 看 法 做 评 价, 那 么 我 认 为 为 什 么 要 学 习 奥 数? 首 先 奥 数 是 什 么? 通 俗 一 点 来 讲 就 是 很 深 奥 的 数 学 知 识 既 然 深 奥 就 必 然 会 让 人 感 觉 难, 其 实 在 中 国 普 遍 浮 躁 的 社 会 中, 说 自 己 有 兴 趣 很 简 单, 但 是 如 果 一 旦 与 困 难 沾 了 边 就 会 遭 受 非 议 问 题 随 之 而 来, 有 人 就 会 问 : 为 什 么 让 孩 子 接 受 这 么 难 的 东 西? 显 然 是 不 合 理 的 那 么 我 首 先 解 释 一 下 什 么 人 适 合 学 习 奥 数 其 实 奥 数 并 不 适 合 每 一 个 孩 子 学 习, 他 只 适 合 一 少 批 有 数 学 天 赋 的 人, 通 俗 来 讲 就 是 非 常 聪 明 的 孩 子, 学 校 吃 不 饱, 可 以 到 外 面 学 习 一 点 奥 数 但 是 因 为 学 校 有 选 人 的 需 求, 而 学 习 奥 数 的 孩 子 恰 好 又 是 我 们 常 说 的 好 学 生 自 然 的, 奥 数 就 跟 各 个 学 校 的 升 学 挂 上 了 勾 而 导 致 很 多 不 太 适 合 学 习 它 的 孩 子 也 要 额 外 来 学 习 适 合 学 习 奥 数 的 孩 子, 自 然 会 受 到 很 多 的 裨 益 比 如 开 发 思 维, 培 养 数 学 兴 趣, 养 成 逻 辑 思 维 能 力, 做 事 做 人 都 会 变 得 不 一 样 而 不 适 合 的 孩 子 往 往 会 变

2 得 厌 学, 甚 至 畏 惧 学 习 那 么 我 们 作 为 一 个 教 育 工 作 者 不 能 一 棒 打 死 说 你 孩 子 不 适 合 学 习 奥 数, 就 不 教, 拒 之 门 外, 毕 竟 大 家 的 需 求 也 是 能 够 理 解 如 果 我 们 能 够 做 出 一 套 书, 将 内 容 分 层 次, 看 清 楚 学 习 奥 数 的 目 的 和 动 因 那 么 其 实 也 可 以 解 决 广 大 家 长 和 学 子 的 问 题 适 合 学 习 奥 数 的, 我 们 就 讲 的 难 一 点, 深 入 一 点, 透 彻 一 点, 功 利 性 弱 一 点 可 以 讲 讲 数 学 故 事, 讲 讲 数 学 历 史 及 这 种 思 维 方 法 的 发 展 及 应 用 而 不 太 适 合 学 校 奥 数 又 为 了 升 学 不 得 不 学 习 的 孩 子 我 们 就 讲 的 针 对 性 强 一 点, 简 单 一 点, 更 容 易 接 受 一 点, 功 利 性 强 一 点 我 们 会 多 讲 讲 这 道 题 的 用 法, 他 的 体 系 是 什 么, 学 校 会 怎 么 考, 哪 些 地 方 喜 欢 考, 会 有 什 么 变 化 难 度 因 人 而 异, 按 阶 梯 把 知 识 点 讲 清 楚, 讲 透 彻 而 这 本 书 恰 好 做 到 了 些 最 终, 给 大 家 一 个 建 议, 学 习 数 学 是 要 成 体 系 的, 并 不 是 今 天 学 一 点, 明 天 学 一 道 就 可 以 说 掌 握 好 了 所 以 体 系 这 个 东 西 很 重 要, 适 合 你 的 需 求 的 体 系 更 重 要 另 外 都 说 万 事 开 头 难, 其 实 要 我 来 看, 万 事 开 头 易, 坚 持 下 来 才 难, 所 有 东 西 都 是 做 了 一 点 才 会 发 现 还 有 这 样 或 那 样 想 象 不 到 的 困 难 那 么 对 于 使 用 这 本 书 的 小 同 学, 我 的 建 议 就 只 有 一 个 : 这 本 书 是 有 体 系 的, 学 会 利 用 它, 坚 持 下 去, 才 会 有 成 绩! 最 后 预 祝 每 一 个 学 习 这 本 书 的 小 同 学 都 能 学 有 所 成! 奥 数 资 深 教 师 : 刘 宗 师

3 第 一 讲 平 面 几 何 问 题 1 第 二 讲 数 论 问 题 17 第 三 讲 立 体 几 何 33 第 四 讲 逻 辑 与 组 合 计 数 47 第 五 讲 高 斯 函 数 及 应 用 问 题 63 第 六 讲 组 合 最 值 问 题 77

4 第 一 讲 分 百 及 工 程 问 题

5 第 一 讲 平 面 几 何 问 题 课 堂 笔 记 模 块 一 角 度 问 题 模 块 二 周 长 问 题 模 块 三 面 积 问 题 模 块 一 角 度 问 题 BF 在 ABC 中, AB=AC, CAB 80. 若 BD. 求 : A EDF 的 度 数. D, E, F 分 别 在 边 BC, AC, AB 上, CE CD, F E B D C 下 图 中 如 图 所 示, 已 知 A 40 E F., B 60, C 60, D 45 ; H 35, G 42 则 A H G B F C D E 第 1 讲 平 面 几 何 问 题 1

6 课 堂 笔 记 模 块 二 周 长 问 题 下 图 是 一 个 边 长 为 6 厘 米 的 正 五 边 形, 分 别 以 正 五 边 形 的 顶 点 为 圆 心, 以 6 厘 米 长 为 半 径 画 弧 在 正 五 边 形 内 围 城 一 个 曲 边 五 边 形, 求 图 中 阴 影 曲 边 五 边 形 的 周 长 ( 取 3.14 ) A B A 1 B 1 E 1 E C 1 D 1 C D 如 图, ABCDEFGH 是 一 个 正 八 边 形, 边 长 为 3 厘 米, 分 别 以 各 顶 点 为 圆 心, 以 3 厘 米 长 为 半 径 画 弧, 在 正 八 边 形 中 围 成 了 一 个 曲 边 八 边 形, 求 这 个 阴 影 的 曲 边 八 边 形 的 周 长.( 取 3.14 ). H A G B F C D E 2 六 年 级 寒 假 集 训 队

7 模 块 三 面 积 问 题 课 堂 笔 记 如 图 所 示, 在 四 边 形 ABCD 中, 作 线 段 EA, EB, EC, ED. 有 AB EC, BC 13 厘 米, 从 内 部 的 点 E 向 其 顶 点 A B C 分 别 EB CD 外, 四 边 形 BCDE 的 面 积 为 30 平 方 厘 米. 求 DE 的 长 度. A, ABE ECD 45, AED 90. 另 E D B C 三 角 形 ABC 中, 线 段 AR, BQ 分 别 是 BC, AC 边 上 的 中 线, 且 BQ 与 AR 互 相 垂 直, 如 图 所 示, 已 知 AC=8, BC=6. 请 问 A AB BC CA 等 于 多 少? B Q R C 第 1 讲 平 面 几 何 问 题 3

8 课 堂 笔 记 如 图, DCB 45 积 是 多 少? ED 垂 直 于 等 腰 梯 形 ABCD 的 上 底 AD, 并 交 BC 于 F, AE 平 行 于 BD, 且 三 角 形 ABD 和 三 角 形 EDC 的 面 积 分 别 为 75, 45, 那 么 三 角 形 AED 的 面 E, A D B F C 如 图, 三 角 形 ABC 中, D E F G H I 是 各 边 长 的 三 等 分 点, 请 回 答 下 列 问 题 : ⑴ 若 DO=10, 则 OF= ; ⑵ 若 OX=2, 则 AH= ; ⑶ 若 PX=4, 则 BI=. 4 六 年 级 寒 假 集 训 队

9 如 图, 三 角 形 ABC 的 面 积 为 1, D, E 分 别 为 AB, AC 的 四 等 分 点. F, G 是 BC 边 上 的 三 等 分 点. 请 问 : 三 角 形 DEF 的 面 积 是 多 少? 三 角 形 DOE 的 面 积 是 多 少? 课 堂 笔 记 A D E O B F G C 如 图, 在 三 角 形 ABC 中, IF 和 BC 平 行, GD 和 AB 平 行, HE 和 AC 平 行. 已 知 AG : GF : FC 5: 2 : 4, 那 么 AH : HI : IB 和 BD : DE : EC 分 别 是 多 少? I A H O G F B D E C 第 1 讲 平 面 几 何 问 题 5

10 课 堂 笔 记 小 学 平 面 几 何 模 型 包 含 有 直 线 型 模 型 和 曲 线 型 模 型 其 中 直 线 型 模 型 包 含 有 等 积 模 型 一 半 模 型 鸟 头 模 型 蝴 蝶 模 型 ( 包 含 风 筝 模 型 ) 燕 尾 模 型 这 五 种 基 本 模 型 ; 曲 线 形 模 型 包 含 有 圆 形, 扇 形 以 及 弯 角, 弓 形 及 谷 子 等 而 华 杯 赛 决 赛 里 面 考 试 的 几 何 题 目 大 多 是 这 几 种 模 型 的 组 合 图 形, 例 如 等 高 与 燕 尾 ; 等 高 与 鸟 头 ; 蝴 蝶 与 燕 尾 等 的 组 合, 而 这 些 组 合 需 要 同 学 们 根 据 每 种 模 型 的 特 点 去 拆 分 出 或 者 是 做 辅 助 线 画 出 除 了 这 几 种 模 型 的 综 合 之 外, 解 决 平 面 几 何 问 题 的 时 候 我 们 还 有 一 下 方 法 会 经 常 被 用 到 : 割 补 法, 平 移 旋 转 对 称 法, 容 斥 法 6 六 年 级 寒 假 集 训 队

11 课 后 反 思 度 数. 如 图, 在 ABC 中, D 是 BC 上 的 点, AD BD AC, BAC 69, 求 BAD 的 下 图 三 角 形 ABC 是 等 腰 三 角 形, AB=AC, BAC=120. 三 角 形 ADE 是 正 三 角 形, 点 D 在 BC 边 上, 是 多 少? BD : DC 2:3 A. 当 三 角 形 ABC 的 面 积 是 50 平 方 厘 米 时, 三 角 形 ADE 的 面 积 B D E C 第 1 讲 平 面 几 何 问 题 7

12 课 堂 笔 记 BC 12 如 图 所 示, 多 边 形, ED DF 13, ABCFDE 中, AE CF ABC BCF FDE EAB 90, 求 多 边 形 ABCFDE 的 面 积., AB 8, A E D F B C 如 图, 三 角 形 DOE 的 面 积 为 1, D, E 分 别 为 AB, AC 的 中 点. F, G 是 BC 边 上 的 三 等 分 点. 请 问 : 三 角 形 ABC 的 面 积 是 多 少? A D E O B F G C 8 六 年 级 寒 假 集 训 队

13 如 图, P 是 三 角 形 ABC 内 一 点, DE 平 行 于 AB, FG 平 行 于 BC, HI 平 行 于 CA, 四 边 形 AIPD 的 面 积 是 12, 四 边 形 PGCH 的 面 积 是 15, 四 边 形 BEPF 的 面 积 是 20, 请 问 : 三 角 形 ABC 的 面 积 是 多 少? 课 后 反 思 F B A I 12 D G 20 P 15 E H C 在 图 中, ABCD 是 平 行 四 边 形, AM=MB, DN=CN, BE=EF=FC, 四 边 形 EFGH 的 面 积 是 1, 求 平 行 四 边 形 ABCD 的 面 积. A D M N B E F C 第 1 讲 平 面 几 何 问 题 9

14 课 堂 笔 记 如 右 图, 三 角 形 ABC 中, AD=2BD, AD=EC, BC=18. 三 角 形 AFC 的 面 积 和 四 边 形 DBEF 的 面 积 相 等. 那 么 AB 的 长 度 是 多 少? A D B F E C 如 图, 长 方 形 ABCD 的 面 积 是 56 平 方 厘 米. B(- -;)=3cm, DF=2cm. 请 你 回 答 : 三 角 形 AEF 的 面 积 是 多 少? 10 六 年 级 寒 假 集 训 队

15 小 升 初 模 块 训 练 小 刚 和 叔 叔 一 起 搬 运 很 多 箱 水 果, 第 一 次 运 了 全 部 的 来 的 恰 好 是 没 运 来 的 5 7. 问 还 有 多 少 箱 水 果 没 有 运 来? 3 8, 第 二 次 运 了 50 箱, 这 时 已 运 课 后 反 思 甲 乙 两 校 参 加 数 学 竞 赛 的 人 数 之 比 是 7:8, 获 奖 的 人 数 之 比 是 2:3, 两 校 各 有 320 人 未 获 奖, 那 么 两 校 参 赛 的 学 生 共 有 人. 将 一 堆 糖 果 全 部 分 给 甲 乙 丙 三 个 小 朋 友. 原 计 划 甲 乙 丙 三 人 所 得 的 糖 果 数 比 为 5:4:3. 实 际 上, 甲 乙 丙 三 人 所 得 糖 果 数 的 比 为 7:6:5, 其 中 有 一 位 小 朋 友 比 原 计 划 多 了 15 块 糖 果. 那 么 这 位 小 朋 友 是 ( 填 甲 乙 或 丙 ), 他 实 际 所 得 的 糖 果 数 为 块. 第 1 讲 平 面 几 何 问 题 11

16 课 后 反 思 某 学 校 入 学 考 试, 参 加 的 男 生 与 女 生 人 数 之 比 是 4:3. 结 果 录 取 91 人, 其 中 男 生 与 女 生 的 人 数 之 比 是 8:5. 未 被 录 取 的 学 生 中, 男 生 与 女 生 的 人 数 之 比 是 3:4. 问 报 考 的 共 有 多 少 人? 康 师 傅 加 工 一 批 零 件, 加 工 了 720 个 之 后, 他 的 工 作 效 率 提 高 了 20%, 结 果 提 前 4 天 完 成 任 务 ; 如 果 康 师 傅 从 一 开 始 就 把 工 作 效 率 提 高 12.5%, 那 么 也 可 以 提 前 4 天 完 成 任 务, 问 : 这 批 零 件 共 有 多 少 个? 小 高 从 家 去 学 校, 平 时 总 是 7:50 到 校. 有 一 天 他 起 晚 了, 结 果 晚 出 发 了 10 分 钟. 为 了 不 1 至 于 迟 到, 他 将 速 度 提 高 了 5, 跑 步 前 往 学 校, 最 后 在 7:55 到 校. 请 问 : 小 高 这 天 是 几 点 出 发 的? 12 六 年 级 寒 假 集 训 队

17 搬 运 一 个 仓 库 的 货 物, 甲 需 要 10 小 时, 乙 需 要 12 小 时, 丙 需 要 15 小 时. 有 同 样 的 仓 库 A 和 B, 甲 在 A 仓 库, 乙 在 B 仓 库 同 时 开 始 搬 运 货 物, 丙 开 始 帮 甲 搬 运, 中 途 又 转 向 帮 乙 搬 运, 最 后 同 时 搬 完 两 个 仓 库 的 货 物. 丙 帮 助 甲 乙 各 搬 运 了 几 个 小 时? 课 后 反 思 甲 乙 丙 三 人 做 一 件 工 作, 原 计 划 按 甲 乙 丙 的 顺 序 每 人 一 天 轮 流 去 做, 恰 好 整 数 天 做 完, 若 按 乙 丙 甲 的 顺 序 轮 流 去 做, 则 比 计 划 多 用 半 天 ; 若 按 丙 甲 乙 的 顺 序 轮 流 去 做, 则 也 比 计 划 多 用 半 天. 已 知 甲 单 独 做 完 这 件 工 作 要 10 天, 且 这 三 个 人 的 工 作 效 率 各 不 相 同, 那 么 这 项 工 作 由 甲 乙 丙 三 人 一 起 做, 要 用 多 少 天 才 能 完 成? 一 项 工 程, 乙 单 独 做 要 17 天 完 成. 如 果 第 一 天 甲 做, 第 二 天 乙 做, 这 样 交 替 轮 流 做, 那 么 恰 好 用 整 天 数 完 成 ; 如 果 第 一 天 乙 做, 第 二 天 甲 做, 这 样 交 替 轮 流 做, 那 么 比 上 次 轮 流 的 做 法 多 用 半 天 完 工. 问 : 甲 单 独 做 需 要 几 天? 第 1 讲 平 面 几 何 问 题 13

18 课 后 反 思 计 算 下 列 各 题 : ⑴ ⑵ ⑶ 六 年 级 寒 假 集 训 队

19 ⑷ 课 后 反 思 ⑸ ⑹ 第 1 讲 平 面 几 何 问 题 15

20 课 后 反 思 第 二 讲 数 论 问 题 16 六 年 级 寒 假 集 训 队

21 第 二 讲 数 论 问 题 课 堂 笔 记 模 块 一 位 置 原 理 模 块 二 综 合 应 用 模 块 一 位 置 原 理 abcd, abc, ab, a 依 次 表 示 四 位 数 三 位 数 两 位 数 及 一 位 数, 且 满 足 abcd abc ab a = 1787, 则 这 四 位 数 abcd = 或. 如 果 一 个 自 然 数 的 各 个 数 码 之 积 加 上 各 个 数 码 之 和, 正 好 等 于 这 个 自 然 数, 我 们 就 称 这 个 自 然 数 为 巧 数 例 如, 99 就 是 一 个 巧 数, 因 为 9 9+(9+9)=99 可 以 证 明, 所 有 的 巧 数 都 是 两 位 数 请 你 写 出 所 有 的 巧 数 第 2 讲 数 论 问 题 17

22 课 堂 笔 记 少? 现 有 三 个 自 然 数, 它 们 的 和 是 1111, 这 样 的 三 个 自 然 数 的 公 约 数 中, 最 大 的 可 以 是 多 若 n 为 小 于 30 的 自 然 数, 求 代 数 式 3n+5 和 5n+6 的 值 有 大 于 1 的 公 因 数 的 所 有 的 n 的 值. 18 六 年 级 寒 假 集 训 队

23 值. 若 n 为 小 于 30 的 自 然 数, 求 代 数 式 5n+9 和 7n+6 的 值 有 大 于 1 的 公 因 数 的 所 有 的 n 的 课 堂 笔 记 在 1 到 50 中, 找 到 所 有 的 正 整 数 n, 使 得 2 n 1能 被 7 整 除. 第 2 讲 数 论 问 题 19

24 课 堂 笔 记 模 块 二 对 任 意 的 自 然 数 n, 证 明 n n n n A 能 被 1897 整 除. 2 倍, 甲 乙 丙 三 数 分 别 为 603, 939, 393. 某 数 A 除 甲 数 所 得 余 数 是 A 除 乙 数 所 得 余 数 的 A 除 乙 数 所 得 余 数 是 A 除 丙 数 所 得 余 数 的 2 倍. 求 A 等 于 多 少? 值. 已 知 60, 154, 200 被 某 自 然 数 除 所 得 的 余 数 分 别 是 a 1, 2 a, 3 a 1, 求 该 自 然 数 的 20 六 年 级 寒 假 集 训 队

25 课 堂 笔 记 1. 整 除 约 数 倍 数 整 除 的 常 用 性 质 : (1) 若 c b,b a, 则 c a, (2) 若 c a,c b, 则 对 于 任 意 整 数 m,n, 有 c ma+nb, (3) 若 a,b 为 正 整 数, 且 a b,b a, 则 a=b, (4) 若 b a,m 0, 则 mb ma. 2. 奇 数 偶 数 奇 偶 分 析 关 于 奇 偶 性 的 常 用 结 论 : (1) 奇 数 不 等 于 偶 数 ; (2) 奇 数 ± 奇 数 = 偶 数, 偶 数 ± 偶 数 = 偶 数, 奇 数 ± 偶 数 = 奇 数 ; (3) 奇 数 个 奇 数 的 和 为 奇 数, 偶 数 个 奇 数 的 和 为 偶 数, 任 意 多 个 偶 数 的 和 为 偶 数 ; (4) 奇 数 奇 数 = 奇 数, 偶 数 整 数 = 偶 数 ; (5) 整 数 的 乘 方 与 它 本 身 同 奇 偶 ; (6) 两 数 之 和 与 它 们 的 差 同 奇 偶 ; (7) 奇 数 的 平 方 除 以 8 的 余 数 为 质 数 合 数 质 因 数 分 解 算 数 基 本 定 理 : 任 一 大 于 1 的 整 数 a 都 可 以 分 解 为 质 因 数 的 乘 积, 如 果 不 计 因 数 的 次 序, 则 这 种 分 解 是 唯 一 的, 即 : a p p p, 0 i 1,2, s s i, s, 其 中 s a 的 正 约 数 个 数 为 1 p p 1 2 p s, 其 正 约 数 的 和 为 是 质 数. 1 2 p p p 1 p p p p p s 2 s p 4. 最 大 公 约 数 最 小 公 倍 数 互 质 设 a 1, a2,, an 是 n 个 整 数, 若 d 是 这 些 整 数 中 每 一 个 的 约 数 ( 倍 数 ), 则 称 d 是 这 n 个 整 数 的 公 约 数 ( 公 倍 数 ). 不 全 为 零 的 a, a2,, 1 a n s s (n 2) 的 一 切 公 约 数 ( 正 公 倍 数 ) 中 的 最 大 ( 小 ) 数 d 叫 做 这 n 个 整 数 的 最 大 公 约 数 ( 最 小 公 倍 数 ), 记 作 (a 1, a2,, a n ). a, a2,, 1 a n 如 果 两 个 整 数 的 最 大 公 约 数 是 1, 则 称 这 两 个 数 互 质. 第 2 讲 数 论 问 题 21

26 课 堂 笔 记 常 用 结 论 : 设 a,b 是 不 同 为 0 的 整 数, 则 对 任 意 整 数 k 有 (1)(a,b)=(a,b+ka); (2)(ka,kb)=k(a,b), 其 中 k 为 正 整 数 ; (3) 若 (a,b)=1, 则 (ka,b)=(k,b); (4) 若 (a,c)=1 且 c ab, 则 c b; (5) 若 (b,c)=1 且 b a,c a, 则 bc a; (6) 若 ab>0, 则 (a,b)[a,b]=ab; (7) 若 (a,b)=d, 则 a a d, b 1 b1d (8) 若 [a,b]=m, 则 m aa 1 bb1, 且 b 1 a ; 1, 1, 且 b 1 a. 1, 1 裴 蜀 定 理 : 设 a,b 为 整 数, 则 存 在 整 数 x,y 使 ax+by=(a,b), 特 别 地,(a,b)=1 当 且 仅 当 存 在 整 数 x,y, 使 ax+by=1. 5. 带 余 除 法 同 余 若 a,b 是 正 整 数, 则 有 且 仅 有 一 对 整 数 q,r 使 得 a=bq+r(0 r<b) 成 立, 其 中 q 和 r 分 别 称 为 b 除 a 的 商 和 余 数. 定 义 : 若 a,b 是 整 数, 如 果 a,b 用 正 整 数 m 除 所 得 的 余 数 相 同, 则 称 a 与 b 对 于 模 m 同 余, 记 作 a bmod m a / b modm 由 定 义 知, a b mod m 同 余 的 常 用 性 质 : 若 (1) 当 且 仅 当 m, a b mod m a1 b1 mod 2 2 a a b b 2 mod m (2) 对 任 意 整 数 k 有 (3). a a 1 2 b b 完 全 平 方 数 mod m ka 1., 则, 否 则 称 a,b 模 m 不 同 余, 记 作 m a b kb mod m 若 a 是 整 数, 则 称 a² 为 完 全 平 方 数. 完 全 平 方 数 的 常 用 性 质 : (1) 完 全 平 方 数 的 末 位 只 能 是 0,1,4,5,6,9. 1 (2) 两 个 相 邻 的 完 全 平 方 数 之 间 的 所 有 整 数 都 不 是 完 全 平 方 数. (3) 互 质 两 数 之 积 为 完 全 平 方 数, 则 这 两 个 数 都 是 完 全 平 方 数. 7. 进 制 转 化 k 进 制 数 转 化 为 十 进 制 数 : A 0 a a a a a k a. k. a k n n1 n n1 1 0 n n 1 1 a k 十 进 制 数 转 化 为 k 进 制 数 : 除 k 取 余 法.. 22 六 年 级 寒 假 集 训 队

27 课 堂 笔 记 若 r 是 3157, 4142, 5324 被 d 除 的 余 数, 这 里 d 是 大 于 1 的 整 数, 求 dr 的 值. 两 数 之 和 为 667, 他 们 的 最 小 公 倍 数 除 以 最 大 公 因 数 所 得 的 商 等 于 120. 求 这 两 个 数. 若 n 为 小 于 50 的 自 然 数, 求 使 代 数 式 4n 5和 7n 6的 值 有 大 于 1 的 公 因 数 的 所 有 的 n 的 值. 第 2 讲 数 论 问 题 23

28 课 后 反 思 的 数. 一 个 自 然 数 在 1000 和 1200 之 间, 且 被 3 除 余 1, 被 5 除 余 2, 被 7 除 余 3, 求 符 合 条 件 一 个 数 除 以 的 余 数 分 别 是 , 求 符 合 条 件 的 最 小 的 数. 若 2836, 4582, 5164, 6522 四 个 自 然 数 都 被 同 一 个 自 然 数 相 除, 所 得 余 数 相 同 且 为 两 位 数, 除 数 和 余 数 的 和 为. 24 六 年 级 寒 假 集 训 队

29 小 升 初 模 块 训 练 把 浓 度 为 20% 的 糖 水 和 30% 的 糖 水 混 合 在 一 起, 想 配 成 浓 度 为 24% 的 糖 水, 可 是 一 不 小 心 把 比 例 弄 反 了, 请 问 配 错 了 的 糖 水 浓 度 是. 课 后 反 思 甲 瓶 中 酒 精 的 浓 度 为 70%, 乙 瓶 中 酒 精 浓 度 为 60%, 两 瓶 酒 精 混 合 后 的 浓 度 是 66%. 如 果 两 瓶 酒 精 各 用 去 5 升 后 再 混 合, 则 混 合 后 的 浓 度 是 66.25%. 问 原 来 甲 乙 两 瓶 酒 精 分 别 有 多 少 升? 甲 容 器 中 有 纯 酒 精 11 升, 乙 容 器 中 有 水 15 升, 第 一 次 将 甲 容 器 中 的 一 部 分 纯 酒 精 倒 入 乙 容 器, 使 酒 精 与 水 混 合. 第 二 次 将 乙 容 器 中 的 混 合 液 倒 入 甲 容 器. 这 样 甲 容 器 中 纯 酒 精 含 量 为 62.5%, 乙 容 器 中 纯 酒 精 的 含 量 为 40%. 那 么 第 二 次 从 乙 容 器 中 倒 入 甲 容 器 的 混 合 液 是 多 少 升? 第 2 讲 数 论 问 题 25

30 课 后 反 思 一 杯 盐 水, 第 一 次 加 入 一 定 量 的 水 后, 盐 水 的 含 盐 百 分 比 变 为 15%; 第 二 次 又 加 入 同 样 多 的 水, 盐 水 的 含 盐 百 分 比 变 为 12%; 第 三 次 再 加 入 同 样 多 的 水, 盐 水 的 含 盐 百 分 比 将 变 为 多 少? 商 店 以 每 件 50 元 的 价 格 购 进 一 批 衬 衫, 售 价 为 70 元, 当 卖 到 只 剩 下 7 件 的 时 候, 商 店 以 原 售 价 的 八 折 售 出, 最 后 商 店 一 共 获 利 702 元, 那 么 商 店 一 共 进 了 多 少 件 衬 衫? 某 种 商 品 的 进 价 为 800 元, 出 售 时 标 价 为 1200 元. 后 来 由 于 该 商 品 积 压, 商 店 准 备 打 折 出 售, 但 要 保 证 利 润 率 不 低 于 5%, 最 多 可 以 打 折. 26 六 年 级 寒 假 集 训 队

31 甲 乙 两 种 商 品 成 本 共 200 元. 商 品 甲 按 30% 的 利 润 定 价, 商 品 乙 按 20% 的 利 润 定 价. 后 来 两 种 商 品 都 按 定 价 的 九 折 销 售, 结 果 仍 获 得 利 润 27.7 元. 问 甲 种 商 品 的 成 本 是 多 少 元? 课 后 反 思 小 敏 香 水 店 以 每 瓶 130 元 购 进 一 批 香 水, 售 价 是 148 元, 卖 到 还 剩 5 瓶 时, 除 去 购 进 这 批 香 水 的 全 部 开 销 外 获 利 880 元. 问 这 批 香 水 共 有 多 少 瓶? 书 店 以 每 本 10.8 元 的 价 格 购 进 某 种 图 书, 每 本 售 价 16.8 元, 卖 到 还 剩 10 本 时, 除 了 收 回 全 部 成 本 外, 还 获 利 504 元. 这 个 书 店 购 进 该 种 图 书 多 少 本? 第 2 讲 数 论 问 题 27

32 课 后 反 思 计 算 下 面 各 题 : ⑴ ⑵ ⑶ 六 年 级 寒 假 集 训 队

33 ⑷ 课 后 反 思 ⑸ 1 4x ⑹ x 1.2 第 2 讲 数 论 问 题 29

34 课 后 反 思 第 三 讲 立 体 几 何 30 六 年 级 寒 假 集 训 队

35 第 三 讲 立 体 几 何 课 堂 笔 记 模 块 一 基 础 立 体 几 何 问 题 模 块 二 三 视 图 问 题 模 块 三 综 合 类 问 题 模 块 一 基 础 立 体 几 何 问 题 一 个 透 明 的 封 闭 盛 水 容 器, 由 一 个 圆 柱 体 和 一 个 圆 锥 体 组 成, 圆 柱 体 的 底 面 直 径 和 高 都 是 12 厘 米. 其 内 有 一 些 水, 正 放 时 水 面 离 容 器 顶 11 厘 米, 倒 放 时 水 面 离 顶 部 5 厘 米, 那 么 这 个 容 器 的 容 积 是 多 少 立 方 厘 米?( π 3) 11cm 5cm 第 3 讲 立 体 几 何 31

36 模 块 二 三 视 图 课 堂 笔 记 小 明 在 桌 面 上 摆 了 一 些 大 小 一 样 的 正 方 体 木 块, 摆 完 后 从 正 面 看 如 左 下 图, 从 侧 面 看 如 下 图, 那 么 他 最 多 用 了 块 木 块, 最 少 用 了 块 木 块 如 下 图, 用 若 干 块 单 位 正 方 体 积 木 堆 成 一 个 立 体, 小 明 正 确 地 画 出 了 这 个 立 体 的 正 视 图 俯 视 图 和 侧 视 图, 问 : 所 堆 的 立 体 的 体 积 至 少 是 多 少? 正 视 图 俯 视 图 侧 视 图 32 六 年 级 寒 假 集 训 队

37 下 图 给 出 了 一 个 立 方 体 图 形 的 正 视 图 左 视 图 俯 视 图, 图 中 尺 寸 单 位 为 厘 米 则 立 体 图 形 的 体 积 为 ( ) 立 方 厘 米 课 堂 笔 记 已 知 某 个 几 何 体 的 三 视 图 如 下, 根 据 图 中 标 示 的 尺 寸 ( 单 位 : 厘 米 ), 计 算 出 这 个 几 何 体 的 体 积 正 视 图 左 视 图 俯 视 图 第 3 讲 立 体 几 何 33

38 模 块 三 水 中 浸 物 问 题 课 堂 笔 记 一 个 正 方 体 容 器, 容 器 内 部 边 长 为 24 厘 米, 存 有 若 干 水, 水 深 17.2 厘 米, 现 将 一 些 碎 铁 块 放 入 容 器 中, 铁 块 沉 入 水 底, 水 面 上 升 2.5 厘 米, 如 果 将 这 些 铁 块 铸 成 一 个 和 容 器 等 高 的 实 心 圆 柱, 重 新 放 入 池 中, 则 水 面 升 高 几 厘 米? 如 图, 有 一 个 棱 长 为 10 厘 米 的 正 方 体 铁 块, 现 已 在 每 两 个 对 面 的 中 央 钻 一 个 边 长 为 4 厘 米 的 正 方 形 孔 ( 边 平 行 于 正 方 体 的 棱 ), 且 穿 透. 另 有 一 长 方 体 容 器, 从 内 部 量, 长 宽 高 分 别 为 15 厘 米 12 厘 米 9 厘 米, 内 部 有 水, 水 深 3 厘 米. 若 将 正 方 体 铁 块 平 放 入 长 方 体 容 器 中, 则 铁 块 在 水 下 部 分 的 体 积 为 立 方 厘 米. 34 六 年 级 寒 假 集 训 队

39 模 块 三 综 合 类 问 题 课 堂 笔 记 把 1 个 棱 长 是 3 厘 米 的 正 方 体 分 割 成 若 干 个 小 的 正 方 体, 这 些 小 正 方 体 的 棱 长 必 须 是 整 厘 米 数. 如 果 这 些 小 正 方 体 的 体 积 不 要 求 都 相 等, 那 么 最 少 可 分 割 成 个 小 正 方 体. 有 甲 乙 丙 3 种 大 小 的 正 方 体 木 块, 棱 长 比 是 1: 2 : 3. 如 果 用 这 三 种 正 方 体 拼 成 尽 量 小 的 一 个 正 方 体, 且 每 种 都 至 少 用 一 个, 则 最 少 需 要 这 三 种 正 方 体 共 多 少? 第 3 讲 立 体 几 何 35

40 课 堂 笔 记 如 图, 把 正 方 体 用 两 个 与 它 的 底 面 平 行 的 平 面 切 开, 分 成 三 个 长 方 体. 这 三 个 长 方 体 的 表 面 积 比 是 3: 4:5 时 比 : : :., 用 最 简 单 的 整 数 比 表 示 这 三 个 长 方 体 的 体 积 下 图 中, 左 图 是 正 方 形 的 边 长 为 4, 右 图 中 是 正 方 形 对 角 线 长 度 为 6. 如 果 按 照 图 中 所 示 的 方 式 旋 转, 那 么 得 到 的 两 个 旋 转 体 的 体 积 之 比 是 多 少? 36 六 年 级 寒 假 集 训 队

41 如 图, ABCD 是 矩 形, BC 6cm, AB 10cm, 对 角 线 AC BD 相 交 O. E F 分 别 是 AD 与 BC 的 中 点, 图 中 的 阴 影 部 分 以 EF 为 轴 旋 转 一 周, 则 白 色 部 分 扫 出 的 立 体 图 形 的 体 积 是 多 少 立 方 厘 米?( π 取 3) A E D 课 堂 笔 记 O B F C 第 3 讲 立 体 几 何 37

42 课 堂 笔 记 一 立 体 几 何 基 本 公 式 名 称 图 形 表 面 积 公 式 体 积 公 式 长 方 体 表 面 积 =2( 长 宽 + 长 高 + 宽 高 ) 体 积 = 长 宽 高 正 方 体 表 面 积 =6 棱 长 棱 长 体 积 = 棱 长 棱 长 棱 长 圆 柱 r h 底 面 半 径 为 r, 高 位 h 2 表 面 积 = 2r 2rh 2 体 积 = rh 圆 锥 r h 底 面 半 径 为 r, 高 位 h, 母 线 l 表 面 积 = r 2 rl 体 积 = rh 二 立 体 几 何 相 关 题 型 1 不 规 则 图 形 表 面 积 问 题 ; 2 不 规 则 图 形 体 积 问 题 ; 3 水 中 浸 物 问 题 三 不 规 则 形 体 的 体 积 常 用 方 法 : 1 化 虚 为 实 法 ; 2 切 片 转 化 法 ; 3 先 补 后 去 法 ; 4 实 际 操 作 法 ; 5 画 图 建 模 法. 38 六 年 级 寒 假 集 训 队

43 课 后 反 思 有 黑 白 两 种 颜 色 的 正 方 体 积 木, 把 它 摆 成 右 图 所 示 的 形 状, 已 知 相 邻 ( 有 公 共 面 ) 的 积 木 颜 色 不 同, 标 A 的 为 黑 色, 图 中 共 有 黑 色 积 木 多 少 块? A 小 明 用 若 干 个 大 小 相 同 的 正 方 体 木 块 堆 成 一 个 几 何 体, 这 个 几 何 体 从 正 面 看 如 下 图 左, 从 上 面 看 如 下 图 右. 那 么 这 个 几 何 体 至 少 用 了 块 木 块. 一 个 圆 柱 形 玻 璃 杯 内 盛 有 水, 水 面 高 2.5 厘 米, 玻 璃 杯 内 侧 的 底 面 积 是 72 平 方 厘 米. 在 这 个 杯 中 放 进 棱 长 6 厘 米 的 正 方 体 铁 块 后, 水 面 没 有 淹 没 铁 块. 这 时 水 面 高 多 少 厘 米? 第 3 讲 立 体 几 何 39

44 课 后 反 思 有 甲 乙 两 只 圆 柱 形 玻 璃 杯, 其 内 直 径 依 次 是 10 厘 米 20 厘 米, 杯 中 盛 有 适 量 的 水. 甲 杯 中 沉 没 着 一 铁 块, 当 取 出 此 铁 块 后, 甲 杯 中 的 水 位 下 降 了 2 厘 米 ; 然 后 将 铁 块 沉 没 于 乙 杯, 且 乙 杯 中 的 水 未 外 溢. 问 : 这 时 乙 杯 中 的 水 位 上 升 了 多 少 厘 米? 如 图, 厚 度 为 0.25 毫 米 的 铜 版 纸 被 卷 成 一 个 空 心 圆 柱 ( 纸 卷 得 很 紧, 没 有 空 隙 ), 它 的 外 直 径 是 180 厘 米, 内 直 径 是 50 厘 米. 这 卷 铜 版 纸 的 总 长 是 多 少 米? 如 图, ABCD 是 矩 形, BC 6cm, AB 10cm, 对 角 线 AC BD 相 交 O. 图 中 的 阴 影 部 分 以 CD 为 轴 旋 转 一 周, 则 阴 影 部 分 扫 出 的 立 体 的 体 积 是 多 少 立 方 厘 米? A D O B C 40 六 年 级 寒 假 集 训 队

45 小 升 初 模 块 训 练 ⑴ 各 位 数 字 均 取 自 1,2,3,4,5( 可 重 复 选 取 ), 并 且 任 意 相 邻 两 位 数 字 ( 大 减 小 ) 的 差 都 是 1 的 四 位 数 共 有 个. 课 后 反 思 ⑵ 在 不 大 于 1000 的 自 然 数 中, 不 能 被 中 任 何 一 个 整 除 的 数 共 有 个. 如 果 在 一 个 平 面 上 画 出 4 条 直 线, 最 多 可 以 把 平 面 分 成 几 个 部 分? 如 果 画 20 条 直 线, 最 多 可 以 分 成 几 个 部 分? 第 3 讲 立 体 几 何 41

46 课 后 反 思 将 一 个 三 角 形 各 边 七 等 分 后 再 连 接 相 应 的 线 段 得 到 下 图, 问 图 中 共 有 多 少 个 三 角 形? 如 下 图, 从 A 到 B, 有 条 不 同 的 路 线.( 不 能 重 复 经 过 同 一 个 点 ) C A O B D 七 个 同 学 照 相, 分 别 求 出 在 下 列 条 件 下 有 多 少 种 站 法 : ⑴ 七 个 人 排 成 一 排, 张 明 站 在 最 左 边, 有 多 少 种 站 法? ⑵ 七 个 人 排 成 一 排, 某 两 个 同 学 不 能 站 在 边 上 有 多 少 种 站 法? ⑶ 张 明 和 李 强 至 少 有 一 人 站 在 边 上, 有 多 少 种 站 法? ⑷ 张 明 和 李 强 必 须 相 邻, 有 多 少 站 法? ⑸ 张 明 李 强 文 华 赵 悦 四 人 任 意 两 人 都 不 相 邻, 有 多 少 种 站 法? 42 六 年 级 寒 假 集 训 队

47 已 知 ab c 能 被 792 整 除, 求 abc,, 的 值. 课 后 反 思 一 个 四 位 整 数. 在 它 的 某 位 数 字 前 面 加 上 一 个 小 数 点, 再 和 这 个 四 位 数 相 加, 得 数 是 求 这 个 四 位 数. 数. 已 知 两 个 自 然 数 的 差 为 4, 它 们 的 最 大 公 因 数 与 最 小 公 倍 数 的 积 为 252, 求 这 两 个 自 然 第 3 讲 立 体 几 何 43

48 课 后 反 思 甲 乙 丙 三 数 分 别 为 某 数 A 除 甲 数 所 得 的 余 数 是 A 除 以 乙 数 所 得 余 数 的 2 倍, A 除 以 乙 数 所 得 的 余 数 是 A 除 丙 数 所 得 余 数 的 2 倍. 求 A 等 于 多 少? 计 算 下 列 各 题 : ⑴ ⑵ 六 年 级 寒 假 集 训 队

49 ⑶ 课 后 反 思 ⑷ PQ, 表 示 数, PQ P Q 表 示, 求 ⑸[A] 表 示 自 然 数 A 的 约 数 的 个 数. 例 如 4 有 1,2,4 三 个 约 数, 可 以 表 示 成 [4]=3. 计 算 : ([18] [22]) [7]= ⑹ x x 4 3 3x 2x1 2 第 3 讲 立 体 几 何 45

50 课 后 反 思 第 四 讲 逻 辑 与 组 合 计 数 46 六 年 级 寒 假 集 训 队

51 第 四 讲 逻 辑 与 组 合 计 数 课 堂 笔 记 模 块 一 逻 辑 推 理 模 块 二 组 合 计 数 模 块 三 容 斥 原 理 模 块 一 逻 辑 推 理 在 期 末 考 试 前, 学 生 W X Y Z 分 别 预 测 他 们 的 成 绩 是 A B C 或 D, 评 分 标 准 是 A 比 B 是 D. 到 B. 好, B 比 C 好, C 比 D 好. W 说 : 我 们 的 成 绩 都 将 不 相 同. 若 我 的 成 绩 得 A X 说 : 若 Y 的 成 绩 得 C Y 说 : 若 X 的 成 绩 不 是 得 到 A Z 说 : 若 Y 的 成 绩 得 到 A, 则 Y 将 得 D., 则 W 将 得 D.W 的 成 绩 将 比 Z 好., 则 W 将 得 C. 若 我 的 成 绩 得 到 B, 则 Z 的 成 绩 将 不, 则 我 将 得 到 B. 若 X 的 成 绩 不 是 得 到 B, 则 我 也 将 不 会 得 当 期 末 考 试 的 成 绩 公 布, 每 位 学 生 所 得 到 的 成 绩 都 完 全 符 合 他 们 的 预 测. 请 问 这 四 位 学 生 的 成 绩 分 别 是 什 么? 第 4 讲 逻 辑 与 组 合 计 数 47

52 课 堂 笔 记 春 季 开 学 后, 有 不 少 同 学 都 把 部 分 压 岁 钱 捐 给 山 区 的 贫 困 学 生 ; 事 后, 甲 乙 丙 丁 4 位 同 学 有 如 下 的 对 话 : 甲 : 丙 丁 之 中 至 少 有 1 人 捐 了 款. 乙 : 丁 甲 之 中 至 多 有 1 人 捐 了 款. 丙 : 你 们 3 人 中 至 少 有 2 人 捐 了 款. 丁 : 你 们 3 人 中 至 多 有 2 人 捐 了 款. 已 知 这 4 位 同 学 说 的 都 是 真 话, 且 其 中 恰 好 有 2 位 同 学 捐 了 款, 那 么, 是 哪 2 位 同 学 捐 了 款? 模 块 二 组 合 计 数 某 城 市 在 中 心 广 场 建 造 一 个 花 圃, 花 圃 分 为 6 个 部 分 ( 如 图 ), 现 要 栽 种 4 种 不 同 颜 色 的 花, 每 部 分 栽 种 一 种 且 相 邻 部 分 不 能 栽 种 同 样 颜 色 的 花, 不 同 的 栽 种 方 法 有 多 少 种? 48 六 年 级 寒 假 集 训 队

53 从 1 到 8 中 选 出 三 个 数, 要 求 这 三 个 数 两 两 不 相 邻, 有 多 少 种 选 择 方 法? 课 堂 笔 记 甲 射 击 员 在 练 习 射 击, 前 方 有 三 种 不 同 类 型 的 气 球, 共 3 串, 有 一 串 是 红 气 球 3 个, 有 一 串 是 黄 气 球 2 个, 有 一 串 是 绿 气 球 4 个, 而 且 每 次 射 击 必 须 射 最 下 面 的 气 球, 问 有 多 少 种 不 同 的 射 法? 红 黄 绿 第 4 讲 逻 辑 与 组 合 计 数 49

54 课 堂 笔 记 设 ABCDEF 为 正 六 边 形, 一 只 青 蛙 开 始 在 顶 点 A 处, 它 每 次 可 随 意 地 跳 到 相 邻 两 顶 点 之 一. 若 在 5 次 之 内 跳 到 D 点, 则 停 止 跳 动 ; 若 5 次 之 内 不 能 到 达 D 点, 则 跳 完 5 次 也 停 止 跳 动, 那 么 这 只 青 蛙 从 开 始 到 停 止, 可 能 出 现 的 不 同 跳 法 共 种 一 个 七 位 数 的 7 个 数 字 是 1,2,3,4,5,6 和 7, 且 偶 数 位 的 数 字 等 于 相 邻 两 个 数 字 的 差 ( 大 减 小 ), 这 样 的 七 位 数 共 有 多 少 个? 50 六 年 级 寒 假 集 训 队

55 一 次 数 学 竞 赛 中, 参 赛 各 队 每 题 的 得 分 只 有 0 分, 3 分 和 5 分 三 种 可 能. 比 赛 结 束 时, 有 三 个 队 的 总 得 分 之 和 为 32 分. 若 任 何 一 个 队 的 总 得 分 都 可 能 达 到 32 分, 那 么 这 三 个 队 的 总 得 分 共 有 多 少 种 不 同 的 情 况? 课 堂 笔 记 对 于 155 个 装 有 红 黄 蓝 三 种 颜 色 球 的 盒 子, 有 三 种 分 类 方 法 : 对 于 每 种 颜 色, 将 该 颜 色 的 球 数 目 相 同 的 盒 子 归 为 一 类. 若 从 1 到 30 之 间 所 有 的 自 然 数 都 是 某 种 分 类 中 一 类 的 盒 子 数, 那 么, (1) 三 种 分 类 的 类 数 之 和 是 多 少? (2) 说 明 : 可 以 找 到 三 个 盒 子, 其 中 至 少 有 两 种 颜 色 的 球, 它 们 的 数 目 分 别 相 同. 第 4 讲 逻 辑 与 组 合 计 数 51

56 课 堂 笔 记 模 块 一 逻 辑 推 理 逻 辑 推 理 的 方 法 主 要 不 是 依 靠 数 学 概 念 法 则 公 式 进 行 运 算, 而 是 根 据 条 件 和 结 论 之 间 的 逻 辑 关 系 进 行 合 理 的 推 理, 做 到 正 确 的 判 断, 最 终 找 到 问 题 的 答 案 逻 辑 推 理 问 题 的 条 件 一 般 说 来 都 具 有 一 定 的 隐 蔽 性 和 迷 惑 性, 并 且 没 有 一 定 的 解 题 模 式 因 此, 要 正 确 解 决 这 类 问 题, 不 仅 需 要 始 终 保 持 灵 活 的 头 脑, 更 需 要 遵 循 逻 辑 思 维 的 基 本 规 律, 最 主 要 的 方 法 有 两 种 :1 假 设 法 2 列 表 法 模 块 二 组 合 计 数 一 加 法 原 理 和 乘 法 原 理 加 法 原 理 : 如 果 完 成 一 件 任 务 有 n 类 方 法, 在 第 一 类 方 法 中 有 m 1 种 不 同 的 方 法, 在 第 二 类 方 法 中 有 m 2 种 不 同 的 方 法, 在 第 一 类 方 法 中 有 法, 则 完 成 这 件 任 务 共 有 : m m m 种 不 同 的 方 法 1 2 n m n 种 不 同 的 方 乘 法 原 理 : 如 果 完 成 一 件 任 务 需 要 分 成 n 个 步 骤 进 行, 做 第 1 步 有 m 1 种 方 法, 不 管 第 1 步 用 哪 一 种 方 法, 第 2 步 总 有 m 2 种 方 法, 不 管 前 面 n-1 步 用 哪 一 种 方 法, 第 n 步 总 有 同 的 方 法 二 排 列 组 合 m n 种 方 法, 那 么 完 成 这 件 任 务 共 有 m m m 种 不 1 2 n 排 列 : 一 般 地, 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 r 个 不 同 元 素 的 无 重 复 排 列 的 方 法 数 叫 排 列 数, 记 为 r P n, P n ( n 1) ( n r 1) r n n 我 们 记 n! 表 示 n 的 阶 乘, 即 n!= 组 合 : 一 般 的, 从 n 个 不 同 元 素 中 任 取 r 个 不 同 元 素, 不 考 虑 取 出 元 素 的 顺 序 并 成 一 组, 这 类 任 务 叫 做 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 r 个 不 同 元 素 的 无 重 复 组 合 组 合 与 排 列 的 区 别 在 于 取 出 元 素 是 否 考 虑 它 们 的 位 置 或 顺 序 符 号 r C n 表 示 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 r 个 不 同 元 素 的 无 重 复 组 合 数 C r n n! r!( n r)! 52 六 年 级 寒 假 集 训 队

57 课 后 反 思 有 8 本 不 同 的 书, 其 中 数 学 书 3 本, 外 语 书 2 本, 其 它 学 科 书 3 本 若 将 这 些 书 排 成 一 列 放 在 书 架 上, 让 数 学 书 排 在 一 起, 外 语 书 也 恰 好 排 在 一 起 的 排 法 共 有 多 少 种? 在 一 张 节 目 单 中 原 有 6 个 节 目, 若 保 持 这 些 节 目 相 对 顺 序 不 变, 再 添 加 进 去 3 个 节 目, 则 所 有 不 同 的 添 加 方 法 共 有 多 少 种? 从 1 到 100 的 自 然 数 中 ⑴ 不 能 被 6 和 10 整 除 的 数 有 多 少 个? ⑵ 至 少 能 被 2, 3, 5 中 一 个 数 整 除 的 数 有 多 少 个? 第 4 讲 逻 辑 与 组 合 计 数 53

58 课 后 反 思 有 11 名 外 语 翻 译 人 员, 其 中 5 名 是 英 语 翻 译 员, 4 名 是 日 语 翻 译 员, 另 外 两 名 英 语 日 语 都 精 通. 从 中 找 出 8 人, 使 他 们 组 成 两 个 翻 译 小 组, 其 中 4 人 翻 译 英 文, 另 4 人 翻 译 日 文, 这 两 个 小 组 能 同 时 工 作. 问 这 样 的 分 配 名 单 共 可 以 开 出 多 少 张? 在 10 名 学 生 中, 有 5 人 会 装 电 脑, 有 3 人 会 安 装 音 响 设 备, 其 余 2 人 既 会 安 装 电 脑, 又 会 安 装 音 响 设 备, 今 选 派 由 6 人 组 成 的 安 装 小 组, 组 内 安 装 电 脑 要 3 人, 安 装 音 响 设 备 要 3 人, 共 有 多 少 种 不 同 的 选 人 方 案? 在 一 个 正 六 边 形 的 6 个 区 域 栽 种 观 赏 植 物, 如 右 图, 要 求 同 一 块 中 种 同 一 种 植 物, 相 邻 的 两 块 种 不 同 的 植 物. 现 有 四 种 不 同 的 植 物 可 供 选 择, 则 有 种 栽 种 方 案 ; 若 要 求 四 种 不 同 的 植 物 全 部 栽 种, 则 有 种 栽 种 方 案. 54 六 年 级 寒 假 集 训 队

59 小 升 初 模 块 训 练 课 后 反 思 小 张 与 小 王 分 别 从 甲 乙 两 村 同 时 出 发, 在 两 村 之 间 往 返 行 走 ( 到 达 另 一 村 后 就 马 上 返 回 ), 他 们 在 离 甲 村 3.5 千 米 处 第 一 次 相 遇, 在 离 乙 村 2 千 米 处 第 二 次 相 遇. 问 他 们 两 人 第 五 次 相 遇 的 地 点 离 乙 村 多 远 ( 相 遇 指 迎 面 相 遇 )? A B 两 地 相 距 7200 米, 甲 乙 分 别 从 A, B 两 地 同 时 出 发, 结 果 在 距 B 地 2400 米 处 相 遇. 如 果 乙 的 速 度 提 高 到 原 来 的 3 倍, 那 么 两 人 可 提 前 10 分 钟 相 遇, 则 甲 的 速 度 是 每 分 钟 行 多 少 米? 第 4 讲 逻 辑 与 组 合 计 数 55

60 课 后 反 思 一 辆 汽 车 从 甲 地 开 往 乙 地, 如 果 车 速 提 高 20% 可 以 提 前 1 小 时 到 达. 如 果 按 原 速 行 驶 一 段 距 离 后, 再 将 速 度 提 高 30%, 也 可 以 提 前 1 小 时 到 达, 那 么 按 原 速 行 驶 了 全 部 路 程 的 几 分 之 几? 甲 乙 两 车 分 别 从 A B 两 地 同 时 出 发, 相 向 而 行. 出 发 时, 甲 乙 的 速 度 之 比 是 5 : 4, 相 遇 后 甲 的 速 度 减 少 20%, 乙 的 速 度 增 加 20%. 这 样 当 甲 到 达 B 地 时, 乙 离 A 地 还 有 10 千 米. 那 么 A B 两 地 相 距 多 少 千 米? 56 六 年 级 寒 假 集 训 队

61 猎 狗 追 赶 前 方 15 米 处 的 野 兔. 猎 狗 跑 3 步 的 时 间 野 兔 跑 5 步, 猎 狗 跑 4 步 的 距 离 野 兔 要 跑 7 步. 猎 狗 至 少 跑 出 多 少 米 才 能 追 上 野 兔? 课 后 反 思 龟 兔 赛 跑, 全 程 6 千 米, 兔 子 每 小 时 跑 15 千 米, 乌 龟 每 小 时 跑 3 千 米, 乌 龟 不 停 的 跑, 但 兔 子 边 跑 边 玩, 它 先 跑 1 分 钟 后 玩 20 分 钟, 又 跑 2 分 钟 后 玩 20 分 钟, 再 跑 3 分 钟 后 玩 20 分 钟 问 它 们 谁 胜 利 了? 胜 利 者 到 终 点 时, 另 一 个 距 离 终 点 还 有 多 远? 第 4 讲 逻 辑 与 组 合 计 数 57

62 课 后 反 思 甲 乙 两 人 同 时 从 A 地 出 发, 以 相 同 的 速 度 向 B 地 前 进 甲 每 行 5 分 钟 休 息 2 分 钟 ; 乙 每 行 210 米 休 息 3 分 钟 甲 出 发 后 50 分 钟 到 达 B 地, 乙 到 达 B 地 比 甲 迟 了 10 分 钟 已 知 两 人 最 后 一 次 的 休 息 地 点 相 距 70 米, 两 人 的 速 度 是 每 分 钟 行 多 少 米? 甲 乙 两 班 学 生 到 离 校 39 千 米 的 博 物 馆 参 观, 但 只 有 一 辆 汽 车, 一 次 只 能 乘 坐 一 个 班 的 学 生. 为 了 尽 快 到 达 博 物 馆, 两 个 班 商 定, 由 甲 班 先 坐 车, 乙 班 先 步 行, 同 时 出 发, 甲 班 学 生 在 途 中 某 地 下 车 后 步 行 去 博 物 馆, 汽 车 则 从 某 地 立 即 返 回 去 接 在 途 中 步 行 的 乙 班 学 生. 如 果 甲 乙 两 班 学 生 步 行 速 度 相 同, 汽 车 速 度 是 他 们 步 行 速 度 的 10 倍, 那 么 汽 车 应 在 距 博 物 馆 多 少 千 米 处 返 回 接 乙 班 学 生, 才 能 使 两 班 同 时 到 达 博 物 馆? 58 六 年 级 寒 假 集 训 队

63 某 人 沿 公 路 前 进, 迎 面 来 了 一 辆 汽 车, 他 问 司 机 : 后 面 有 骑 自 行 车 的 人 吗? 司 机 回 答 : 10 分 钟 前 我 超 过 一 个 骑 自 行 车 的 人. 这 人 继 续 走 了 10 分 钟, 遇 到 了 这 个 骑 自 行 车 的 人. 如 果 自 行 车 的 速 度 是 人 步 行 速 度 的 3 倍, 那 么, 汽 车 速 度 是 人 步 行 速 度 的 多 少 倍? 课 后 反 思 计 算 : x x1 ⑴ 1 ⑵ 第 4 讲 逻 辑 与 组 合 计 数 59

64 课 后 反 思 ⑶ 已 知 : =1, 那 么 =. 1 6 ⑷ ⑸ 六 年 级 寒 假 集 训 队

65 ⑹ 课 后 反 思 第 4 讲 逻 辑 与 组 合 计 数 61

66 课 后 反 思 第 五 讲 高 斯 函 数 及 应 用 问 题 62 六 年 级 寒 假 集 训 队

67 第 五 讲 高 斯 函 数 及 应 用 问 题 课 堂 笔 记 模 块 一 高 斯 函 数 模 块 二 高 斯 方 程 模 块 三 高 斯 方 程 组 模 块 一 高 斯 函 数 用 [ a ] 表 示 不 超 过 a 的 最 大 整 数, 则 [ a] [ a ] 是 多 少? 在 数 列 [ ],[ ],[ ],,[ ] 中 有 多 少 个 不 同 的 数? 第 5 讲 高 斯 函 数 及 应 用 问 题 63

68 模 块 二 高 斯 方 程 课 堂 笔 记 解 方 程 :[x] + 2 x =10 解 方 程 : 5 6x [ ] 8 = 15x 7 5 求 方 程 x x x x x 的 正 整 数 解. 64 六 年 级 寒 假 集 训 队

69 模 块 三 高 斯 方 程 组 课 堂 笔 记 求 方 程 组 13 3x y 2 7 2x y 3 的 解, 其 中 [x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数. 模 块 三 立 体 几 何 设 x, y 满 足 方 程 组 y2 x x 2 y 3, 则 [ ] 等 于 多 少? x y 第 5 讲 高 斯 函 数 及 应 用 问 题 65

70 课 堂 笔 记 求 方 程 组 x 3 y 2x x 3 y 0.6 的 解 66 六 年 级 寒 假 集 训 队

71 课 堂 笔 记 高 斯 函 数 这 一 讲 介 绍 重 要 的 数 论 函 数 定 义 : 对 任 意 实 数 义 { } [ ] x, [ x] x x x 为 x 的 小 数 部 分. y [x], 称 为 高 斯 函 数, 又 称 取 整 函 数. 是 不 超 过 x 的 最 大 整 数, 称 例 如 :[4.5] 4,[ 2.8] 3,{3.2} 0.2,{ 1.2} 0.8. 由 上 述 定 义 可 见 : 对 任 意 实 数 由 [x] ⑴ 对 任 意 实 数 {x} 的 定 义 不 难 得 到 如 下 性 质 : x x x x, 都 有 [ ] { } x x x, x 1 [ x] x ; x, 都 有 [ ] [ ] 1 [x] 为 x 的 整 数 部 分. 定, 且 0 { } 1 x ⑵ 若 [] x n, 则 n x n 1. 特 别 的, 当 n 0 时, 即 若 [ ] 0, 则 0 1 ; x x ⑶ 对 任 意 实 数 x 和 整 数 n 有 1[ ] [ ] x n x n,{ } { } nx n x x n x n ;2[ ] [ ] ⑷ 对 任 意 实 数 x 和 y 有 1 若 [ x] [ y], 则 x y 1 ; 2 [ x] [ y] [ x y] [ x] [ y] 1 高 斯 方 程 方 程 中 含 有 高 斯 函 数 的 定 义 [ ] { } [x] 的 称 之 为 高 斯 方 程, 而 求 高 斯 方 程 最 常 规 的 手 段 就 是 利 用 x x x 思 路 : 先 定 范 围, 后 定 值 ) 高 斯 方 程 组, 且 0 { x } 1 先 确 定 [x] 再 代 回 方 程 即 可 ( 核 心 由 几 个 高 斯 方 程 组 成 的 方 程 组 称 为 高 斯 方 程 组, 高 斯 方 程 组 有 很 多 解 法, 本 节 课 主 要 要 介 绍 以 下 几 种 解 法 : ⑴ 定 义 法 : ⑵ 性 质 法 : ⑶ 分 类 讨 论 第 5 讲 高 斯 函 数 及 应 用 问 题 67

72 z 课 后 反 思 若 设 [ ] 5 x,[ y] 3,[ z] 1, 则 [ ] x y z 可 以 取 值 的 个 数 是 ( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 解 方 程 :2 x - [x] =4 解 方 程 : 3 4x [ ] 6 = 12 x 六 年 级 寒 假 集 训 队

73 求 方 程 组 2x y 9 2, 3 x [ y] 8 3 的 解, 其 中 [x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数. 课 后 反 思 求 方 程 组 [ ] 4[ ] [2 ], x y x { x} 4[ y] 0.8 的 解 求 满 足 等 式 n n n n 且 n 2016 的 正 整 数 n 的 个 数. 第 5 讲 高 斯 函 数 及 应 用 问 题 69

74 z 课 后 反 思 小 升 初 模 块 训 练 如 图, 三 角 形 ABC 中, DC=2BD, CE=3AE, 三 角 形 ADE 的 面 积 是 20 平 方 厘 米, 三 角 形 ABC 的 面 积 是 多 少? A E B D C 如 图, 大 长 方 形 由 面 积 是 12 平 方 厘 米 24 平 方 厘 米 36 平 方 厘 米 48 平 方 厘 米 的 四 个 小 长 方 形 组 合 而 成. 求 阴 影 部 分 的 面 积. 12cm 2 36cm 2 24cm 2 48cm 2 70 六 年 级 寒 假 集 训 队

75 如 图, 三 角 形 ABC 的 面 积 为 1, D E F 分 别 是 三 条 边 上 的 三 等 分 点, 求 阴 影 三 角 形 的 面 积. 课 后 反 思 如 图 所 示, 正 方 形 ABCD 边 长 为 6 厘 米, AE= 1 3 AC, CF= 1 3 BC, 求 阴 影 面 积. A D E B F C 第 5 讲 高 斯 函 数 及 应 用 问 题 71

76 z 课 后 反 思 如 图 所 示, 正 方 形 ABCD 的 面 积 为 1.E F 分 别 是 BC 和 DC 的 中 点, DE 与 BF 交 于 M 点, DE 与 AF 交 于 N 点, 那 么 阴 影 三 角 形 MFN 的 面 积 为 多 少? 如 图, 有 8 个 半 径 为 1 厘 米 的 小 圆, 用 它 们 的 圆 周 的 一 部 分 连 成 一 个 花 瓣 图 形, 图 中 的 黑 点 是 这 些 圆 的 圆 心. 则 花 瓣 图 形 的 面 积 是 多 少 平 方 厘 米? ( π 取 3) 草 场 上 有 一 个 长 20 米 宽 10 米 的 关 闭 着 的 羊 圈, 在 羊 圈 的 一 角 用 长 30 米 的 绳 子 拴 着 一 只 羊 ( 如 图 ). 问 : 这 只 羊 能 够 活 动 的 范 围 有 多 大? 72 六 年 级 寒 假 集 训 队

77 下 图 左 边 正 方 形 的 边 长 为 8, 右 边 正 方 形 对 角 线 长 度 为 12. 如 果 按 照 图 中 的 方 式 旋 转, 那 么 得 到 的 两 个 旋 转 体 的 体 积 之 比 是 多 少? 课 后 反 思 如 图 一 个 底 面 长 30 分 米, 宽 10 分 米, 高 12 分 米 的 长 方 体 水 池, 存 有 3 4 池 水, 请 问 : ⑴ 将 一 个 高 1 1 分 米, 体 积 330 立 方 分 米 的 圆 柱 放 入 池 中, 水 面 的 高 度 变 为 多 少 分 米? ⑵ 如 果 再 放 入 一 个 同 样 的 圆 柱, 水 面 高 度 又 变 成 了 多 少 分 米? ⑶ 如 果 再 放 入 一 个 同 样 的 圆 柱, 水 面 高 度 又 变 成 了 多 少 分 米? 第 5 讲 高 斯 函 数 及 应 用 问 题 73

78 z 课 后 反 思 计 算 : 1 ⑴ 一 个 数 的 40% 比 18 的 多 2, 求 这 个 数 3 ⑵ ⑶ 六 年 级 寒 假 集 训 队

79 ⑷ 有 这 样 一 串 数 : 1 第 407 个 分 数 是 多 少? ,,,,,,,,,, 课 后 反 思 2 从 1 2 开 始, 前 407 个 分 数 的 和 是 多 少? ⑸ 已 知 和 分 别 表 示 两 个 自 然 数, 并 且 37, 则 =, = b 5 ⑹ 若 a 和 b 均 为 自 然 数, ab 19, 且, 则 a = b =. 7 a 8 第 5 讲 高 斯 函 数 及 应 用 问 题 75

80 z 课 后 反 思 第 六 讲 组 合 最 值 问 题 76 六 年 级 寒 假 集 训 队

81 第 六 讲 组 合 最 值 问 题 课 堂 笔 记 模 块 一 抽 屉 原 理 模 块 二 组 合 最 值 问 题 模 块 一 抽 屉 原 理 从 1, 2, 3,, 99, 100 这 100 个 数 中 任 意 选 出 51 个 数. 证 明 : (1) 在 这 51 个 数 中, 一 定 有 两 个 数 互 质 ; (2) 在 这 51 个 数 中, 一 定 有 两 个 数 的 差 等 于 50; (3) 在 这 51 个 数 中, 一 定 存 在 9 个 数, 它 们 的 最 大 公 约 数 大 于 1. 第 6 讲 组 合 最 值 问 题 77

82 课 堂 笔 记 圆 周 上 有 2000 个 点, 在 其 上 任 意 地 标 上 0,1,2,,1999 ( 每 一 点 只 标 一 个 数, 不 同 的 点 标 上 不 同 的 数 ). 证 明 必 然 存 在 一 点, 与 它 紧 相 邻 的 两 个 点 和 这 点 上 所 标 的 三 个 数 之 和 不 小 于 2999 模 块 二 组 合 最 值 从 1, 2,, 205 共 205 个 正 整 数 中, 最 多 能 取 出 多 少 个 数, 使 得 对 于 取 出 来 的 数 中 的 任 意 三 个 数 a, b, c( a b c), 均 有 ab c. 78 六 年 级 寒 假 集 训 队

83 由 9 名 裁 判 员 给 参 加 健 美 比 赛 的 12 名 运 动 员 评 分. 每 名 裁 判 员 对 他 认 为 的 第 1 名 运 动 员 给 1 分, 第 2 名 运 动 员 给 2 分, 第 12 名 运 动 员 给 12 分. 最 后 评 分 结 果 显 示 : 每 名 运 动 员 所 得 的 九 个 分 数 中 高 低 分 之 差 均 不 大 于 3. 设 各 运 动 员 的 得 分 总 和 分 别 为 且 c c c 求 c 1 的 最 大 值. c, c c , 课 堂 笔 记 设 x, x x1 x2 x50 x 是 正 整 数, 且 的 最 大 值 是 多 少? x x x 若 x x x , 则 第 6 讲 组 合 最 值 问 题 79

84 课 堂 笔 记 从 1, 2,, 中 任 选 k 个 数, 使 得 所 选 的 k 个 数 中 一 定 可 以 找 到 能 构 成 三 角 形 边 长 的 三 个 数 ( 要 求 互 不 相 等 ). 试 问 : 满 足 条 件 的 k 的 最 小 值 是 多 少? 设 x, x x1 x2 x 值. x 是 整 数, 且 满 足 下 列 条 件 : 一 1, x x x x n 2( n =1, 2,, 2 006),. 求 x x x 的 最 小 值 和 最 大 80 六 年 级 寒 假 集 训 队

85 课 堂 笔 记 模 块 一 抽 屉 原 理 抽 屉 原 理 有 两 条 : ⑴ 如 果 把 n+1 个 元 素 放 到 n 个 抽 屉 里, 那 么 至 少 有 一 个 抽 屉 里 含 有 2 个 或 2 个 以 上 的 元 素 ⑵ 如 果 把 m n 个 元 素 放 到 n 个 抽 屉 里, 那 么 至 少 有 一 个 抽 屉 里 含 有 m+1 个 或 更 多 个 元 素 利 用 抽 屉 原 理 解 题 时 要 注 意 区 分 哪 些 是 抽 屉? 哪 些 是 元 素? 然 后 按 以 下 步 骤 解 答 :a 构 造 抽 屉, 指 出 元 素 b 把 元 素 放 入 ( 或 取 出 ) 抽 屉 c 说 明 理 由, 得 出 结 论 模 块 二 组 合 最 值 问 题 在 数 学 竞 赛 中, 经 常 有 一 些 与 组 合 问 题 相 关 的 整 数 最 值 问 题, 简 称 组 合 最 值. 此 类 问 题 常 以 整 数 不 等 式 抽 屉 原 理 数 论 等 对 象 为 背 景, 求 满 足 某 些 约 束 条 件 的 极 大 值 或 极 小 值 解 决 此 类 问 题 时, 要 针 具 体 问 题, 细 心 观 察, 选 用 灵 活 的 策 略 与 方 法 ( 如 构 造 法 分 类 讨 论 正 难 则 反 极 端 原 理 等 ). 大 体 思 路 一 般 都 是 先 定 范 围, 再 定 值. ⑴ 构 造 ⑵ 分 类 讨 论 ⑶ 极 端 原 理 第 6 讲 组 合 最 值 问 题 81

86 课 后 反 思 有 49 个 小 孩, 每 人 胸 前 有 一 个 号 码, 号 码 从 1 到 49 各 不 相 同. 现 在 请 你 挑 选 若 干 个 小 孩, 排 成 一 个 圆 圈, 使 任 何 相 邻 两 个 小 孩 的 号 码 数 的 乘 积 小 于 100, 那 么 你 最 多 能 挑 选 出 多 少 个 孩 子? 7 4 如 果 成 立, 则 与 中 可 以 填 入 的 非 零 自 然 数 之 和 最 大 为 82 六 年 级 寒 假 集 训 队

87 如 右 图, 三 个 圆 交 出 七 个 部 分. 将 证 书 1~7 分 别 填 到 七 个 部 分 中, 使 得 每 个 圆 内 得 四 个 数 字 的 和 都 相 等, 那 么 和 的 最 大 值 是. 课 后 反 思 从 连 续 自 然 数 1,2,3,,2014 中 取 出 n 个 数, 使 这 n 个 数 满 足 : 任 意 取 其 中 两 个 数, 不 会 有 一 个 数 是 另 外 一 个 数 的 7 倍. 试 求 n 的 最 大 值, 并 说 明 理 由. 第 6 讲 组 合 最 值 问 题 83

88 课 后 反 思 (1) 设 x x x 取 值 7 或 一 7, 且 满 足 1, 2 n x1 x2 x n 0 (2) x1 2x2 nx n 试 确 定 n 的 最 小 值. ; 84 六 年 级 寒 假 集 训 队

89 小 升 初 模 块 训 练 课 后 反 思 徐 王 陈 赵 四 位 师 傅 分 别 是 工 厂 的 木 工 车 工 电 工 和 钳 工, 他 们 都 是 象 棋 迷 ⑴ 电 工 只 和 车 工 下 棋 ; ⑵ 王 陈 两 位 师 傅 经 常 与 木 工 下 棋 ; ⑶ 徐 师 傅 与 电 工 下 棋 互 有 胜 负 ; ⑷ 陈 师 傅 比 钳 工 下 得 好 问 : 徐 王 陈 赵 四 位 师 傅 各 从 事 什 么 工 种? 四 个 小 朋 友 A B C 和 D 在 院 子 里 踢 足 球, 一 阵 响 声, 惊 动 了 正 在 读 书 的 陆 老 师, 陆 老 师 跑 出 来 查 看, 发 现 一 块 窗 户 玻 璃 被 打 破 了 陆 老 师 问 : 是 谁 打 破 了 玻 璃? A 说 : 是 B 无 意 打 破 的 B 说 : 是 D 打 破 的 D 说 : B 说 谎 C 说 : 反 正 不 是 我 打 破 的 如 果 只 有 一 个 孩 子 说 了 实 话, 那 么 这 个 孩 子 是 谁? 是 谁 打 破 了 玻 璃? 八 一 队 北 京 队 江 苏 队 山 东 队 广 东 队 五 队 进 行 象 棋 友 谊 赛, 每 两 个 队 都 要 赛 一 场, 一 个 月 过 后, 八 一 队 赛 了 4 场, 北 京 队 赛 了 3 场, 江 苏 队 赛 了 2 场, 山 东 队 赛 了 1 场. 那 么 广 东 队 赛 了 几 场? 第 6 讲 组 合 最 值 问 题 85

90 课 后 反 思 五 个 足 球 队 进 行 循 环 比 赛, 即 每 两 个 队 之 间 都 要 赛 一 场. 每 场 比 赛 胜 者 得 2 分 负 者 得 0 分 打 平 两 队 各 得 1 分. 比 赛 结 果 各 队 得 分 互 不 相 同. 已 知 :⑴ 第 1 名 的 队 没 有 平 过 ; ⑵ 第 2 名 的 队 没 有 负 过 ; ⑶ 第 4 名 的 队 没 有 胜 过. 问 全 部 比 赛 共 打 平 了 场. 100 个 苹 果 最 多 分 给 多 少 个 学 生, 能 保 证 至 少 有 一 个 学 生 所 拥 有 的 苹 果 数 不 少 于 12 个. 一 次 测 验 共 有 10 道 问 答 题, 每 题 的 评 分 标 准 是 : 回 答 完 全 正 确, 得 5 分 ; 回 答 不 完 全 正 确, 得 3 分, 回 答 完 全 错 误 或 不 回 答, 得 0 分. 至 少 有 多 少 人 参 加 这 次 测 验, 才 能 保 证 至 少 有 3 人 的 得 分 相 同. 86 六 年 级 寒 假 集 训 队

91 要 把 61 个 乒 乓 球 分 装 在 若 干 个 乒 乓 球 盒 中, 每 个 盒 子 最 多 可 以 装 5 个 乒 乓 球, 问 : 至 少 有 多 少 个 盒 子 中 的 乒 乓 球 数 目 相 同? 课 后 反 思 一 支 勘 探 队 在 五 个 山 头 A B C D E 设 立 了 基 地, 人 数 如 图 所 示. 为 使 各 基 地 人 数 相 同, 如 何 调 动 最 方 便?( 调 动 时 不 考 虑 路 程 远 近 ) A B E C D 用 10 尺 长 的 竹 竿 做 原 材 料, 来 截 取 3 尺 4 尺 长 的 甲 乙 两 种 短 竹 竿 各 100 根, 至 少 要 用 去 原 材 料 几 根? 怎 么 截 法 最 合 算? 第 6 讲 组 合 最 值 问 题 87

92 课 后 反 思 计 算 : ⑴ % 8 x ⑵ 规 定 a b ab, b a 则 2 53 的 值 为. ⑶ 2x5 3 x ⑷ 六 年 级 寒 假 集 训 队

93 ⑸ 课 后 反 思 ⑹ 9 除 以 1.8 的 商, 加 上 1.8, 所 得 和 的 25% 是 多 少? 第 6 讲 组 合 最 值 问 题 89