解答 a 是一個首項為,公差為 8 的等差數列,其一般項為 a ( )8 8 7.因此若想知道數到接近 999 時,哪一個數字會指到大拇指,則考慮 a 999,即解不等式 ,得.7.故可知正整數 的最大值為,此時 a 99,即當我們數到 99 時,會指到大拇指.若繼續往下數,則數到 9

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1 - 數列 一 單選題 ( ). 對於所有正整數, 恆為質數 P 的倍數,則 P 值為 () () ()7 (). 解答 時: 7, 時: 9 7 7, 為 7 的倍數.故選 (). ( ). 設 a 為等比數列,已知 a, a 且 a a a,,則公比 r () () () () () 8. 解答 a a r r, 且 a a a ( ) a r a r a r,兩邊各除以 a r,得 r r r r 0 r. 但 r 0, r 0, r.故選 (). ( ). 數列 a,滿足 a, a a,則 a 000 的值為 () () () () 0. 解答 a, a, a, a, a, a 6,, 由循環性知每 個一循環, 000,故 a 000.故選(). ( ). 已知 z 且 z z, 為自然數,則 z 9 ()0 () () () ().解答 z z, z z, z z ( ), z z ( ) 0, z z 0, z 9 z,故選(). ( ). 伸出你的左手,從大拇指開始,如下圖所示那樣數數字 :,,,,,6,7,8,9,0,.當你數到 999 時,所指的是哪根手指頭? () 大拇指 () 食指 () 中指 () 無名指 () 小指. - -

2 解答 a 是一個首項為,公差為 8 的等差數列,其一般項為 a ( )8 8 7.因此若想知道數到接近 999 時,哪一個數字會指到大拇指,則考慮 a 999,即解不等式 ,得.7.故可知正整數 的最大值為,此時 a 99,即當我們數到 99 時,會指到大拇指.若繼續往下數,則數到 999 時所指到的是中指,故選擇選項 (). 二 多選題 ( ). 已知 a, a, a 為一等差數列,而 b, b, b 為一等比數列,且此六數皆為實數.試問下列哪些選項是 解答 正確的? () a a 與 a a 可能同時成立 () b b 與 b b 可能同時成立 () 若 a a 0,則 a a 0 () 若 b b 0,則 b b 0 () 若 b, b, b 皆為正整數且 b b,則 b 整除 b. () :不可能, 公差大於 0 a a a 公差小於 0 a a a. () :取 b, b, b 8. () :取 a 0, a, a 0. () :取 b a, b ar, b ar b b a r 0 r 0 b b a r 0. () :取 b, b 6, b 9 公比 r,但 6. ( ). 設等差數列 a 滿足 a 0 0, a 0 0,選出正確的選項 : () 公差為 () 首項 a 0 ()a 解答 () 0 是數列 a 中的一項 () 數列 a 中共有 0 項的值大於 0 () 因為數列 a 為等差數列,所以 a 0 a 0 (0 0)d,即 0 0 0d,解得 d. () 又 a 0 a (0 )d,即 0 a 9,解得 a 9. ()a a ( )d 9 ( ). () 設 0 a ( )d,可得 0 9 ( ) 0,解得 0,即第 0 項的值為 0. () 因為公差 d 0,又 a 0 0,所以數列 a 中共有 9 項的值大於

3 由上面的討論可知:正確的選項為 ()()(). ( ). 帄面上 個圓最多可以將帄面分割成 a 個區域,而且這個數列 a 會滿足下列形式的遞迴關係式, a a ( ),下列何者為真? ()a 8 () () ()a () 數列 a 為等比數列.解答 a. a a. 6 7 a 8 a. 8 可推得 a a ( ) a,. a a a a ( ) ( ) a a ) a a 故選 ()(). ( ) a a [ ( )], ( ). 假設實數 a, a, a, a 是一個等差數列,且滿足 0 a 及 a.若定義 b a 解答,則以下哪些選 項是對的? () b, b, b, b 是一個等比數列 () b b () b () b () b b 6. a b, a b a, b a, b, b a. b () : b a a aa d, b b a a aa d, <b > 為等比數列. () : 0 a, a,表示公差 d 0, a a a a 即 a a a a b b b b. () : 0 a, a, a a 6 a a - -

4 a (a 為 a, a 之等差中項 ) a b 8. () : a a d d, a a d d, a b. a a a a a 8 () : b b 6. ( ). 設實數組成的數列 a 是公比為 0.8 的等比數列,實數組成的數列 b 是首項為 0 的等差數列.已知 解答 a 9 b 9 且 a 0 b 0.請選出正確的選項. ()a 9 a 0 0 ()b 0 0 ()b 9 b 0 ()a 9 a 0 ()a 8 b 8. 因為等比數列 a 的公比為 0.8,所以 a 是正負相間,且愈來愈接近 0. 因為 b 是首項為 0 的等差數列,所以 b 是從 0 開始遞增或遞減的數列. 又知 a 9 b 9 且 a 0 b 0,所以 b 9 與 b 0 有一個比負數還小, 因此, b 為遞減數列,且公差為負. () 因為 a 正負相間,所以 a 9 a 0 0. ()() 因為 b 為遞減數列,所以 b 0 b 9. 又因為 a 9 與 a 0 一正一負,且 a 9 b 9 且 a 0 b 0,所以 b 0 0. ()() 下圖的數列 a 與 b 滿足題意. b 8 a 8 a b 9 a 9 0 b 0 但 a 9 a 0, a 8 b 8. 故選 ()(). 三 填充題. 瓶內裝滿酒精,用去 %. ( 取近似值至第二位小數 ) 解答.7 後用水加滿,第二次又用後再用水加滿,連續五次,則最後瓶內之酒精含量為 第一次剩, 第二次剩 ( ) ( ),, - -

5 第五次剩 ( ) 0.7.7%.. 帄面上有 0 個圓,均過一點 P,則此 0 個圓將帄面最多分割成 個區域.解答 6 令 a 表 個圓最多分割的區域 6 P P 7 a P a a a a a a ) a a a ( 0) 下面對於 試利用數學歸納法證明對所有正整數, 恆成立 的作法是否 ( ) 正確? () 當 時,左式,右式, 因左式 右式,故當 時原式成立. k () 假設當 k 時成立,即 k ( k ) k, 則當 k 時,左式 ( k ) ( k ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k 右式, k k 所以根據數學歸納法,原式對所有的正整數 都成立.以上敘述是否正確?.解答否否, k 在驗證時未利用 k 時已對的條件.. 三數成等比遞增數列,和為 9,若將此三數分別加上,,6 後三數成等差數列,則此數列為.解答,6,9 - -

6 設此三數為 a, ar, ar (a 0, r ) a ar ar 9 ( a ) ( ar 6) ( ar ) a r a r ( r ) 9 ( r ), 交叉相乘,化簡得 (r )(r ) 0 r 或 ( 不合 ), 代入 得 a, 三數為,6,9.. 有一正數等比數列,設第 項為 a,若 a, a 6 0 且 a 0000,則 之最小值為. 解答 8 a 6 a r (r 0), 0 r r, 令 a 0 ( ) ( ) 6 6., ( ) 0, ( ) 6, 8. 0., ( ) , 6. 利用等長的牙籤圍成正方形的方格,以 a 表示圍成 方格所用的牙籤數,,,, 的情形如下圖,求 a. a = a = a = a =0 解答 a ( ) a ( ) a ( ) a ( ) 0 a [ ( )]. 7. 設數列 a 滿足 a, a a 6 (,,,, ),當 時,試用 來表示 a a.解答 ( ) - 6 -

7 a a a a 6 a 6 a 6 a a 6 ( ) ( ) a a 6 [ ( ) ] [ ( )] ( )( )( ) ( ) 6 ( )( )( ) ( ) 6 ( )( ) ( ). 8. 等差數列 a 中,若 a, a, 則 a 6 的值為. 解答 8 設公差為 d, a a ( )d d d a 6 a (6 )d ( ) 假設實數, y, z 成等比數列,滿足 y yz z, yz 6,則 y z. 解答 9 y z y yz z yz 6 代入 y 6,又 y 為實數, y 6, 代入 得 6( z) 6 z, y z 帄面上有 條帄行的直線,另有 條通過這兩帄行線外的一固定點 P,最多將帄面分割成 a 個區域,則 a ( 為正整數 ). 解答 a 6, a 0, a,, ( 試作圖尋求規律 ) 推得 a a, a 6,故 a 6 ( ) ( 為正整數 ).. 若直角三角形之三邊長成等差數列,則三邊長之比為.( 由小至大 ) - 7 -

8 解答 :: 設三邊長為 a d, a, a d, ( a, d 0),則 (a d) a (a d), 化簡得 a ad 0 a (a d) 0 a d 或 0(0 不合 ), 三邊比為 d:d:d ::. a b c d. 設 a, b, c, d 成等比數列 (a 0,公比 r,0),則. a c b d 解答 a ar ar ar r r r 所求. a ar ar ar r r. 設 a,, y, b 成等差數列,, y, u, v, w 成等比數列,則 w=. ( 以 a, b 表之 ) 解答 ( a b) ( a b) b a b a b a b a a, y a, w y b a b a ( a b) b a ( a b) ( ) ( ).. 若 a, b, 6, c, 0 成等差數列,又 a,, c, y 成等比數列,求 y. 解答 0 或 0 a 0 6a, 6 0 cc 8, 又 a,, c 成等比 ac 6, c, y 成等比 () 當 時, 8 yy 6 () 當 時, 8 yy 6 y 0 或 0.. 設一等差數列,第 m 項為 p,第 項為 q,則第 m 項為.( 以 m,, p, q 表示 ) 解答 q mp m 設首項為 a,公差為 d 解 (): am a ( m ) d p q p [( m ) q ( ) p] d, a a a ( ) d q m m [( m ) q ( ) p] q p q mp am a ( m ) d ( m ). m m m 解 (): - 8 -

9 a am ( m) d q d p m q p q mp am a ( m ) d q m. m m 6. 有三個數成等比數列,其和為 9,若第一項減,第三項加,則成等差數列,求這三數由小到大排列為.解答 6,8,9 設此三數為 a d, a, a d (d 0) 則 a d a a d a 9 9 a 8 a 8, 此三數為 9 d, 8,6 d( 成等比數列 ) 8 (9 d)(6 d) 78 0 d d d d 0 0 (d )(d 0) 0 d 或 0( 不合 ), 此三數為 6,8,9. 7. 在 與 6 之間插入 a, b, c 三個正數,使, a, b 成等比數列 ;b, c, 6 亦成等比數列,且 a, b, c 成等差數列,則序組 (a, b, c)=.解答 (0,, 0) a b c 6b b a c 由 得 c 6a, a c 0, c a,代入 得 b a, 代入 得 a 0a, a 0( a 0), b, c 0, 序組 (a, b, c) (0,, 0). a 8. 有一遞迴數列 a 定義如下:,求 a 6. a a ( ) 解答 67 a a a a 表示 a 為首項 a,公差 d 之等差數列, a 6 (6 )( ) 若 a,, b, c, 五數成等比數列,且 a, b, c 三數成等差數列,則 之值為. 解答 600, b, c, 成等比,設公比為 r, 則 ( )r r r 7 a 6, b 8, c 6, - 9 -

10 (8 ) 6 ( 6) 60, 故 若相異的三數 a b, b c, c a 成等比,則公比. 解答 a b, b c, c a 成等比,設公比為 r 令 k a b, kr b c, kr c a 則 k kr kr (a b) (b c) (c a) 0 k ( r r ) 0 k 0 r r 0 r. 四 計算題. 已知帄面上兩帄行線 l, l,再加入 條新的直線後,最多可將帄面分割成 a 個區域,寫出數列 a 之遞迴關係式. a 6 解答 a a ( ) ( ) a 6 a a 0 a a a a 6 a a ( ) l l l l a 6 a 之遞迴關係式為. a a ( ) ( ). 設數列 a 中, a, a a

11 () 試由前五項推測一般項 a. () 利用數學歸納法證明 () 的結果. 解答 () a ;() 見 () a, a a, a a, a a, a a, 由此可推測 a. () 由數學歸納法證明 a 當 時, a 原式成立. 設 k 時成立,即 a k k, 當 k 時, k k ak ak k k k k 表示 k 時,原式亦成立.由數學歸納法原理知,對於所有的正整數,原式成立.. 若有質數 p 恆滿足 為 p 的倍數,對於所有自然數 皆成立, () 求 p 之值, () 試以數學歸納法證明 () 中,你的答案是正確的. 解答 ()7;() 見 () 時 7, 時 9 7 7, 猜測 p 7. () 當 時, 7 原命題成立. 設 k 時,原命題成立,即設 k k 7 ( 為正整數 ), 當 k 時, (k ) (k ) 9 k k ( k k ) 7 k k k (7 ) 7 7( ), k 為正整數. 原命題成立,故由數學歸納法得原命題成立. - -

12 a. 設數列 a 的遞迴關係式為. a a ( ) ( ) () 寫出 a, a, a. () 猜測一般項 a. () 用數學歸納法證明,你的猜測是正確的.解答 ()a, a 9, a 6 ;()a ;() 見 ()a a, a a 9, a a () 由 () 可猜測 a. () 當 時, a 成立. 設 k 時成立,即 a k k. 當 k 時, a k a k k k k (k ),表示 k 時原式亦成立.由數學歸納法原理知,對於所有的正整數, a. a. 設數列 a 的遞迴關係式為 a a a. ( ) () 寫出 a, a. () 猜測一般項 a. () 用數學歸納法證明,你的猜測是正確的. 解答 () a, a ;() () a a a a a, a. a ;() 見 - -

13 () 由 () 可推得 a. () 當 時, a 成立. 設 k 時成立,即 a k. k ak 當 k 時, a k k, a k k k 表示 k 時,原式亦成立. 由數學歸納法原理知,對於所有自然數, a 是正確的. 五 證明題. 使用數學歸納法證明:對於所有的正整數, 恆為 7 的倍數. 解答 見設 a, () 當 時, a 7 8 為 7 的倍數. () 設 k 時, a k 為 7 的倍數,令 a k k k 7Q(Q 為正整數 ). () 當 k 時, a k (k ) (k ) k k 9( k k ) 7 k 9(7Q) 7 k 7Q'(Q' 為正整數 ),表示 k 時, a k 亦為 7 的倍數.由數學歸納法原理知,對於所有的正整數, 恆為 7 的倍數.. 設一數列 a 其前 項總和恆為,試證: a 為一等差數列. 解答 見 前 項總和 S a a a a S a, - -

14 a S S ( ) ( ) [( ) ( )] 而 a S 由 a ( 為正整數 ),故 a 是首項為,公差為 的等差數列 ( 得證 ).. 使用數學歸納法證明:對於所有的正整數, 7 恆為 8 的倍數. 解答 見 () 當 時, 為 8 的倍數. () 設 k 時成立,即 k 7 k 8Q(Q 為正整數 ). () 當 k 時, (k ) 7 (k ) k 7 7 k ( k 7 k ) 7 k (8Q) (7 k ) 8Q'(Q' 為正整數 ), ( 7 k 為 的倍數 ) 表示 k 時, 7 亦為 8 的倍數.由數學歸納法原理知,對於所有的正整數, 7 恆為 8 的倍數.. 使用數學歸納法證明:對於所有的正整數 且, 7 恆為 9 的倍數. 解答 見 () 當 時, 成立. () 設 k 時成立,即 k 7k 9Q(Q 為正整數 ). () 當 k 時, (k ) 7(k ) k 7k 8 8( k 7k ) 9k 8 9Q 9k 9(8Q k),表示 k 時原式亦成立.由數學歸納法原理知,對於所有正整數 且, 7 恆為 9 的倍數. - -

15 . 使用數學歸納法證明:對於所有的正整數, 恆為 7 的倍數. 解答 見 () 當 時, 9 7 成立. () 設 k 時成立,即 k k 7Q(Q 為正整數 ). () 當 k 時, (k ) (k ) k k ( k k ) 7 k 7Q 7 k 7(Q k ) 為 7 的倍數, 表示 k 時原式亦成立. 由數學歸納法原理知,對於所有的正整數, 恆為 7 的倍數. - 級數 一 單選題 9 0 ( ). 級數 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 的和為 () () () () 解答 原式 ( ) k( k ) ( k k) ( ) 故選 ().. k k ( ). 設 解答 ()7 (). p q,其中 p, q 為互質的正整數,則 q p () () ()89 [( ) ( ) ( ) ( ) ( )] - -

16 ( ) ( 奇數項互相對消,偶數項互相對消 ) q p ( 7) 0 7. 故選 (). 0 7 ( ). 一個邊長為 的大正方形中,共有 個單位正方形,如果每一個單位正方形的邊都恰如一根火柴棒長 度 ( 如圖 ),而大正方形共用了 a 根火柴棒,求 a 0 ()00 ()0 ()00 ()0 ()60., 解答 a a a a, a a, a a, a 0 0 a 9 0 0,故選 (). [ 另解 ] a, a, a 0 0 0,故選 (). ( ). 設數列 a 滿足 a, a, a 且對於任一正整數 a a a,又 a a a a a a 解答 a a,則 a a a a 0 的和為 ()0 ()0 ()0 ()0. 代入得 a a,故 a, 代入得 a a,故 a, 代入得 a 6 a 6,故 a 6, 代入得 a 7 a 7,故 a 7, 代入得 a 8 a 8,故 a 8,, 其和為 ( ) ( ) ( ) 8 0, 故選 (). ( ). 一等差數列 a 中, a 8 6, a 0,令 S a a,且 S 有最大值時, 值為 () ()6 ()7 解答 ()8. 設公差是 d, a8 a 7d 6 a, 得, a0 a 9d d 8-6 -

17 故 a ( ) ( 8) 9 8, S 有最大值時, a 0 且 a 0,即 且 9 8( ) 0 6. 故選 (). 二 多選題 ( ). 已知一等差數列共有 9 項,滿足公差 d 0,且 a 9 a 0 a 0,選出正確的選項 : ()a 9 0 ()a 0 ()a 0 0 () 8 ak 0 ()a 8 a 9 a 0 0. k 解答 因為 a 9 a 0 a (a 0 d) a 0 (a 0 d) a 0 0,所以 a 0 0,又因為公差 d 0,所以自第 項起, a 0,而在 0 項以前, a 0.因此, ()a 9 0. ()a 0. ()a ( a a ) 9a 0 0. () ak ak a9 a9 a9 a9 a9 k k () 因為在 0 項以前 a 0,所以 a 8 a 9 a 0 0.由上面的討論可知:正確的選項為 ()()(). ( ). 圓 內部有四個等圓 彼此外切,且均與圓 內切,圓 內部有四個等圓 彼此外切,且均與圓 內切,依此類推可作出,, 6,,若圓 之半徑為,且圓 k 之面積為 a k,則 () 的半 徑為 ( ) () a a () a a () ak ( ) () k k a k ( ). 解答 圖中 EF EA A F D r F E A r B ( r ) r,得 r ( ), a r ( ) ( ) [ ], a r - 7 -

18 故 k a k ( ). ( ) 故選 ()(). ( ). 設 a 是一個有 項的等差數列,已知其和 S 0,且 a 0,則下列何者為正數? () a a () a a () a 0 () a 6 () d.解答 ( a a) 前 項的和 S 0, 故 a a 0,而 a a a a 0,又 a 0, a 0, 公差 d 0,故 a 0 a 0, 而 a 6 a d (a a ) 0. 故選 ()()()(). ( ). 數列 a 滿足 a 且 a a, 為正整數,由此推得下列何者為真? () a () a ( ) () a 6( ) () a a () a 6. 解答 () : a a, a a 9. () : a a a a 9 a a ( a a ),又 a a, 表示數列 a a 為首項,公比 的等比數列, a a (a a ) (a a ) (a a ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) 6( ). ()

19 () : a a 6( ) 6( ) 6( ) 0. () :a 6( ) 6( 0) 6. 故選 ()()()(). ( ). 有一等差數列,其前 項之和為,且其前 項中,偶數項的和與奇數項的和之比為 :7,若 此數列的公差為 d,首項為 a,則 () d 0 () a 0 () a d () a d 解答 設奇數項之和為 S 奇,偶數項之和為 S 偶, S 奇 S 偶, S 偶 :S 奇 :7, () a d. S 偶 7 9, 7 S 奇 7 6, ( a d) ( a d) ( a d) 9 a ( a d) ( a 0 d) 6 a 6d d. a d 7 a 故選 ()(). 三 填充題. 求 6 j ( j). 解答 6 ( j ) [( 6 ) ( 9 ) ( ) ( ) ( 8 )] j. (0 ) 0 0. 下圖中, k 表由內而外張得 k 個正五邊形,依此圖形的規律 ( 第 k 個正五邊形每邊有 k 個圓點 ), 0 時,這 0 個正五邊形圖中,有 個圓點. 解答

20 7 0?? 由前述規律知 : 所求 { 7 0 [ (0 )]} 0( 9 ) 6.. 設 a 是等差數列,若 a 0 a 0 0,則 a a a 9. 解答 設公差為 d, (a 8 d) 9 a a a 9 (a d) 9. a 0 a 0 0 (a 9d) (a 9d) 0 a d, a a a 之和 =. 解答 ( ) ( 分子 分母各乘以 ) ( ) ( ) ( ).. 如圖中各線段均為水帄或鉛直線段, A 0A,且 A A A A,則點 A 6 的坐標為. y A A A 6 A 0 =O A A A 解答 6 (, ) 8 A A A0 A, A A A A ( ),, 令 A6 ( 6, y6), 則 ( ) ( ), 6 即 A 6 的坐標為 (, ) 8. y6 ( ) ( ), a 6. 設等差數列 a 與 b 滿足 b 解答 :8, 6 且前 項和分別為 S 與 S',則 S :S' =

21 設 a, b 的公差分別為 d, d, a a( ) d 由 b 6 b ( ) d 6 (a 所求 S :S' 0 d) (b 0 d) : (a d ):(b d ) 比較,令 式中, 6,且 (a d ):(b d ) :0 :8, 代入 得所求 S :S' :8. [ 另解 ] S :S' a 6 :b 6 ( 6 ):(6 6 ) :8. 7. 兩等差數列前 項和之比為 ( ):( ),則此兩數列第 項之比為. 解答 9: 設此兩數列首項分別為 a, b,公差分別為 d, d, a ( ) d b ( ) d 由已知,令 : ( ):( ) a ( ) d b ( ) d : ( ):( ) (*) 令 0,得,代入(*) 式得 a :b (a 0d ):(b 0d ) ( ):( ) 9:. [ 另解 ]a :b S :S' ( ):( ) 9:. 8. 一隻螞蟻在坐標帄面上由原點出發,如圖所示.牠第一次向右移動 單位,到達點 P (, 0),第二次向上移動單 位,到達點 P (, ),而後依照先向右再向上的方式移動,而且每次移動的距離是前一次的一半,如此依序移動到 點 P, P, P, 設正整數, P 坐標 (, y ),求點 P 6 的坐標為. y P P, P O P (,0) 解答 (, 6 ) P (, 0), P (, ), P ( ( ), ) (, ), P (, ( ) ), P ( ( ) ( ), ( ) ), - -

22 P 6 ( ( ) ( ), ( ) ( ) ) (, ) (, ) 如圖, AB 為直角三角形, AB, A 6,在 AB 內,連續作正方形 S, S,,求正方形 S, S, S 之面積和為. A S S S B 解答 令 S 的邊長為,, S, S, S, 的面積形成無窮等比數列,公比為 ( ) ( ) ( ), A ( ) [ ( ) ] 其面積和為 有一質點在坐標帄面上由原點出發,如圖所示.第一次向右移動 單位,到達點 P (, 0) ;第二次向上移動單 位,到達點 P (, );第三次向左移動 單位,到達點 P (, );第四次再向上移動 8 單位,到達點 P (, 8 ) ; 而後依照向右 向上 向左 向上的方式移動,而且每次移動的距離是前一次的一半,如此依序移動到 P, P 6, P 7,,求點 P 8 的坐標為. y P P P P O P 解答 ( 8, 6 8 ) P (, 0), P (, ), P (, ) (, ), P (, ) (, ), 8 8 ( ( ), ) (, ), P 6 (, ( ) ) (, ), P - -

23 7 8 ( ( ), ) (, ), P 8 (, ( ) ) (, ) P 7 6. 設數列 a 自 a 開始的連續 項之和恆為 ( 可為任意的自然數 ),例如:自 a 開始的連續 項和為 ( 即 a a ).令 S a a a,則 S 7. 解答 , S 7 a (a a ) (a a a 6 a 7 ) (a 6 a 6 a 7 ) ( 共 7 組 ) 7.. 有一數列 a 滿足 a 且 a a, 為正整數,求 解答 6 a a ( a ). a a a a ( a a ) 而 a, a a, a a, 表示數列 a a 為首項,公比 的等比數列, a a (a a ) (a a ) (a a ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ), ( a ) ( ) 6.. 一等差數列共 0 項,首項為,公差為, S a a a 0, S' a a a 0,則 S' S. 解答 8 a,令 a 0 ( ) 0 9, S' S ( a a a 8 a 9 a 0 a 0 ) (a a a 0 ) a a a 8 8 ( 7) 介於 0 與 之間的自然數中,又是 的倍數的各數之和為. 解答 776 0, 除以 的餘數各為,,

24 0 與 之間的自然數中是 的倍數的最小數為 0,最大數為, 令 ( 0 ) (k ) k ( 項 ), 所求 [(0 ) ( )] 如圖, BA 60, A, A, A, 均表正方形,若正方形 A 之邊長為,求 A, A, A 三個正方形面積和 =. B A A A A 解答 6 a a a a a,, a a a a 故 A, A, A 之邊長為,, ( ),即,, 面積和 ( ) ( ) ( ) (7 ) 6. B a a + 60 a + A A A 級數 的和為. 9 解答 76 第 k 項 a k ( k) ( k )(k ), k 級數和為 ( k)(k) k k k k k k

25 7. 有四個數,前三數成等比,其乘積為 6,後三數成等差,其和為,此四數依序為. 解答 9,6,, 前三數設為 a r, a, ar a 6, a 6, 後三數設為 t d, t, t d t, t, 四數為, 6,, y,且, 6, 成等比, 6,, y 成等差, 9, y 四數為 9,6,,. 8. 一凸多邊形各內角度量成等差數列,且最小角為 0,公差為,則邊數為.解答 9 設此凸多邊形有 個邊,則內角和為 ( ) 80, [0 ( ) ] ( ) 或 6, 但凸 邊形每個內角都介於 0 與 80 之間, 最大角為 ( 合 ) 或 0 9( 不合 ), 6 不合, 級數 ( ) () 的和為. 解答 ( ) ( ) [(k ) ( k) ] k 0. 求級數和 ( ) ( ) k k k k ( ). k. 解答 ( ) k k k 6 令 S 6 ( ) ) S S [ ( ) ] S - -

26 S [ ( ) ] S ( ) 又 k k k k k k k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 四 計算題. 已知一個正方形,我們依以下的步驟將其分割著色.第一步驟 : 將其等分成 個小正方形,並將其左下角的正方形塗上黑色,如第 圖所示.第二步驟 : 將剩下的 個正方形再分別等分成 個小的正方形,並將其左下角的正方形塗上黑色,如第 圖所示. 第 圖 第 圖 依照這樣的規律,繼續分割與著色下去,並設 a 表示第 步驟後塗上所有黑色正方形的總數,可知 a, a. 求 ()a. ()a. 解答 ();() 由圖可知,經過第 步驟後,有 個黑色正方形,經過第 步驟後,黑色正方形將增加 個,經過第 步驟後,黑色正方形將增加 個,經過第 步驟後,黑色正方形將增加 個.因此,當 時, a 故 () a ( ). a. () 當 時, a,所以對於任意的正整數, a. 第 圖 - 6 -

27 . 設數列 a 的首項 a 6 且滿足遞迴關係式 a a, 為正整數,試求一般項 a ( 以 表示 ). 解答 8 ( ) a a a a a a (a a ),, 又 a a 6, a a 6, 表示數列 a a 為首項,公比 的等比數列, 故 a a (a a ) (a a ) (a a ) [ ( ) ] 6 6 [ ( ) ] 8 ( ).. 用白色方塊與黑色方塊,按照規律交錯拼成若干個正方形圖案.正方形圖案各邊的方塊數每次增加二個,如下圖 所示: 第 圖第 圖第 圖 求前 0 個圖中黑色方塊的總數

28 解答 0 個 由圖可知:第 k 圖為邊有 k 個方塊的正方形圖案.因為黑色方塊數比白色方塊數多 塊,所以黑色 (k ) 方塊數為 k k. 因此前 0 個圖中黑色方塊的總數為 0 (k k) k (k k ) k k k k k k 故共有黑色方塊 0 塊.. 蝸牛在數線上由原點出發,如圖所示.牠第一次向右移動 單位,到達點 P,第二次向左移動 單位,到達點 P,而後依照先向右再向左的方式移動,而且每次移動的距離都是前一次的,如此依序移動到點 P, P, P,, 求點 P 0 的坐標. 0 P P 解答 6 設向右移動的位移為正,向左移動的位移為負,則根據題意,蝸牛依序的位移是等比數列,,,,,其首項為,公比為 9,因此,點 P 0 的坐標為 ( ) ( ),由等比級數 的和公式得 0 ( ( ) ) 9 6 ( ) ( ), ( ) 故點 P 0 的坐標為

29 . 數列 a 滿足 a 且 a a, 為正整數,試求 () a, a, a, a.() 推測 a 之值 ( 以 表示 ). () 0 a k 之值.解答 () a, a 7, a, a ;() ;()06 k () a a, a a, a a 7, a a 7, a a. () a a a a a a (a a ),,又 a a, a a,表示數列 a a 為首項,公比 的等比數列,故 a a (a a ) (a a ) (a a ) () ( ) k k ak k k k k. 0 ( ) ( ) 五 證明題. 證明:對於所有的正整數, () ( ) ( )( ) 都成立. 解答 見 () 當 時, 6 ( )( ),此式成立. () 設當 k 時,原式成立,即 (k) (k ) (k )(k ),則當 k 時, (k) (k ) (k ) (k ) - 9 -

30 (k )(k ) (k ) (k ) [(k ) ][(k ) ].原式也成立.故由數學歸納法可知,對於所有的正整數, () ( ) ( )( ) 恆成立.. 試證 ( ) ( ) 解答 見 () 當 時,左式,右式,左式 右式 原式成立. 8 8 k () 設 k 時成立,即 6 k(k ) ( k ), () 當 k 時, k( k ) ( k )[( k ) ] k ( k ) ( k ) ( k )( k ) ( k ) k ( k) k [ ] ( k ) k [( k ) ] 表示 k 時,原式亦成立.由數學歸納法原理知,對於所有的 皆屬於正整數,原式成立.. 等比數列的首項為 a,公比為 r 且 r 時,試證明此數列前 項的和 S a( r ). r 解答 略 S a ar ar ar 兩邊同乘 r,得 rs ar ar ar ar ar 得 ( r)s a ar a( r ), r, S a( r ). r - 0 -

31 . 試證 : k ( )( ) ( 為正整數 ). 6 k 解答 見 因 (k ) k k k,故 ( k ) k k k. k k k k 而 ( k) k ( ) ( ) [( ) ] k ( ), k k ( ), k,故 k [( ) ( ) ] ( )( ) 6 k.. 試證... ( ) ( )( ) 解答 見 9 () 當 時,左式,右式,左式 右式. k () 設 k 時, 原式成立,即, k( k ) ( k )( k ) () 當 k 時, k( k ) ( k )( k ) k ( k )( k ) ( k )( k ) (k )( k ) ( k ) ( k )( k )( k ) k 9k 9 k ( k )( k )( k ) k 7k ( k )( k )( k ) - -

32 ( k )(k ) ( k )( k )( k ) k ( k )( k ) ( k ) ( k )( k ) 表示 k 時原式亦成立.由數學歸納法原理知,對於所有的正整數,原式均成立. - 集合與計數原理一 單選題 f g 0 ( ). 設 A { f () 0}, B { g () 0}, { h () 0}, D { k () 0},則聯立方程組 h k 0 的解集合為 () (A B) ( D) () (A B) ( D) () (A B) ( D) () (A B) ( D) () (A ) (B D).解答 f g 0 聯立方程組 h k 0 之解必頇同時滿足, 而 之解為 A B, 之解為 D, 故題目之解為 (A B) ( D),故選(). ( ).A, B 皆為有限集合, (A) m, (B),若 (A B) 的最大值為 p,最小值為 q, (A B) 的最大值 為 r,最小值為 s,則 p q r s () m () m () m () m () (m ). 解答 由題意知, s 0, p m, q m r, p q r s (m ) (m r) r (m ),故選(). ( ).U { 0 00, 為正整數 }, A { 為正整數 }, B { 為正整數 }, { 為正整數 }, 且 A U, B U, U,則 (A B ) ()8 ()9 ()60 ()6 ()6. 解答 A U, (A),同理 (B) 7, () 7, A U, B U, U, AB U, B U, A U, A B U, A B { } (A B),同理 (B ), (A ) 9, (A B ), (A B ) (A) (B) () (A B) (A ) (B ) (A B ) 6,故選(). ( ). 設 A { 0}, B { a b 0},若 A B { }, A B { },則 (a, b) () (, ) () (, ) () (, ) () (, ) () (, ). 解答 - -

33 ( )( )( ) 0, A A B 故 A 表 或, B 應為 { } { ( )( ) 0} { 0}, (a, b) (, ),故選 (). ( ). 設 A { 0}, B { a 0},若 A B R,試求實數 a 的範圍為何? () a 解答 () a 0 () a () a () a. 由 0 或, y f() f () O A { 或 }, 今欲使 A B R 則 B 中必包含,即 { } B { f () 0}, f () 0 且 f () 0, 由 f () 0 且 f () 0 a 且 a a 為所求,故選 (). 二 多選題 ( ). 設, y 為實數, A {,, 6 }, B {y, y, y },若 A B { },則下列何者正確? () 為偶數 () 為奇數 () 為合成數 () ().解答 若 y 或 y 均不合, y, B {,, },若. 0 R( 不合 ). 6 ( )( )( ) 0,., A {,, }, B {,, }, A B {, },不合., A {,, }, B {,, }, A B {, },不合., A {, 9, }, B {,, }, A B { },合. - -

34 由 可知,,故選 ()(). ( ). 設 S R,若滿足下列二條件: S, S as S,則下列選項何者正確? () S a 解答 () 0S () S 中有 個元素 () S () S. S S, S. 由 S S, S 同理由 S S, S. 由 可知,,, 重複出現, S {,, },故選 ()()(). ( ). 設 S { f (),,, 00},若 S 中 的倍數之元素有 k 個, 的倍數之元素有 m 個, 6 的倍數之元素有 個,則 () k m () m () k m () k m () k m.解答 f () ( )( ),,,, 00,令 f () ( )( ) 為 的倍數,或 f ( ) ( )() 為 的倍數,故不論 為奇數或偶數, f () 皆為 的倍數, k 00,由 f () ( )( ) 令 f () ( )( ) 非 的倍數,或 f ( ) ( )() 為 的倍數, 6( ) ( ) 為 6 的倍數,或 f ( ) ( )( ) 非 或 6 的倍數,故當 時 f () 為 或 6 的倍數 ,故 m,故選()()(). ( ). 自然數 700,則 () 因數共有 個 () 正因數和為 89 () 正因數中為完全帄方數的有 個 () 正因數為完全帄方數的和為 60 () 正因數為完全立方數的和為 8.解答 () :700, 因數個數為 ( )( )( ) 08. () : 正因數和為 ( 0 )( 0 )( 0 )

35 ,, 0 () :, 0, 0,. () :( 0 )( 0 )( 0 ) () :( 0 ) 故選 ()()(). ( ). 設 A { a b 0}, B { b 0},若 A B { },則實數 a, b 為何? () a () a () a b 0 () a b () b.解答 設 a b 0 之二根為, 且, A { 或 }, 設 b 0 之二根為, 且, B { }, 由圖可知, 與 同義,,,, 代入 得 9 a b 0 且 6 b 0 a, b,故選 ()(). 三 填充題. 用盡 種不同的顏色,塗入下圖,同色不相鄰,則方法有 種. A D E F B 解答 80 A, B 異色, A B D E F 6 60, DEF僅用二色塗的 A, B 同色, AB D E F 0, 共有 種.. 設 A {}, B {, }, {,, 6},由這三個集合的諸元素中任取相異的三個元素作成三位數.規定 A 的元素不在百位, B 的元素不在十位, 的元素不在個位,則可得三位數 個.解答 8 利用樹形圖的觀念分析如下: BAB, BB 6, BA 6, AB 6, A 6, - -

36 B, 可得三位數 個.. 紅樓夢中, 弱水三千,只取一瓢飲 道盡賈寶玉的專情.今若真將弱水化作三千瓢,讓翩翩公子逐一勺取,已知第一人至少取 瓢,之後每人取的都比前面的人多,則在可以讓最多人取水的情形下,可有 種取法. ( 水不一定要取完,但人數一定要最多 ).解答 7 設最多 人取水,則 6 第 項 000 ( 6 第 項 ) 006 ( )( ) 006 ( )( ) 60, 又 , 的最大值為 第 7 項 7(8 7) 997, 如下表,共有 7 種 用相同 0 根火柴可圍成 種不全等的等腰三角形. 解答 7 設三邊長 a b c,則 a a b c 0 a 0 a a 0, a 0 b c 共有 7 種..0 個高矮不同的人排成一列,任 人之間無較矮的排法有 種. 解答 最高 次高 次高 排左或右 設 A { 7 0 0, 為實數 }, B { a b 0, 為實數 },其中 a, b 為實數,若 A B, A B {, 為實數 },試求 a, b 之值

37 解答 a, b 7, 7 0 0,表示 B { 7},即 0 與 a b 0 同義, a, b. 7.~000 的自然數中, () 與 0 不互質,但與 互質者有 個. () 總共出現 個 0.解答 ()9;()9 () (a, 0) 且 (a, ),又 0 7 且 7, a,但 a 且 7 a, 7 所求為 () () () (0) 二位數 9 () 個 0 : 三位數 個 0 :三位數 9 所求為 (9 6) 的 個 0 8. 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛八人排一列,若已知此八人的身高互不相等,今規定八人排成一列後,任意連續三人最中間者不得同時比其左右二人矮,則有 種排法.解答 以 種不同顏色塗下圖,四色全用且相鄰不同色,塗法有 種. 解答 8 先塗 A,又四色全用,故 B, D 同色或, E 同色 ( ) 8. B A E D 0. 試問滿足三邊長皆為正整數,且周長為 的三角形有 個

38 解答 6 令三邊長分別為, y, z( 其中 y z) [ ] [ ] 9,0,, y z 合計 共有 6 6( 個 ).. 設 A {, 為實數 }, B { k, 為實數 },若 A B 時,則 k 值的範圍為.解答 k 9, k k k k k, A B, k 且 k k 9 且 k,故 k 9. k +k. 從 到 000 的自然數中, () 是 的倍數或 7 的倍數者共有 個. () 不是 的倍數也不是 7 的倍數者共有 個. () 是 的倍數但不是 7 的倍數者共有 個.解答 ();()686;()7 設 到 000 的自然數所成的集合為基集 U, 到 000 的自然數中, 的倍數者所成的集合為 A,而 7 的倍數者所成的集合為 B,則 A B 表示 的倍數者所成的集合, - 8 -

39 A 的倍數 7 的倍數 B () 即求 (A B) (A) (B) (A B) [ ] [ ] [ ] () 即求 (A' B' ) [(A B)' ] (U) (A B) () 即求 (A B) (A) (A B) 從 至 000 的自然數中,數字裡有 且有 的數有 個. ( 例 : 算一個 ) 解答 不含 0, 7!, 7 種! 6,! 由 可得,所求為 含 , 6 ( 個 ).. 設 A { 0 0, 為實數 }, B { a a, 為實數 },其中 a 為實數,若 A B A,則 a 的範圍為. 解答 a A : 0 0, 0 0 ( )( ) 0,, A B A, B A,又 B : a a, a a a a a. a a a. 如圖是由四個大小相同的正方形併成的,則 () 有 個不同的矩形. () 有 個不同的直角三角形. 解答 ()9;()6 () 尌給予的圖形來觀察,不同的矩形不外乎是 - 9 -

40 小型 或 中型 大或型等三種類型,而此 種類別是彼此無關的, 小型者有 個 中型者有 個 共有 9個不同的矩形.大型者有 個 () 尌給予的圖形來觀察,不同的直角三角形可分為 小型 或 中型 或 大型 等三種,而此 種類別是彼此無關的, 小型者有 8 個,中型者有 個,大型者有 個,故有 8 6 個不同的直角三角形. 6. 到 000 的正整數中,不能被,,,,6 之一整除者有 個.解答 66 若一整數不能被 整除,則必不能被,6 整除,故本題即求 到 000 正整數中,不能被,, 之一整除者的個數.設 到 000 之正整數中,可被,, 整除者之集合分別為 A, B,,則 ~000 A B 000 (A) [ ] 00, (B) [ 000 ], () [ 000 ] 00, (A B) [ (A B ) [ ], (A B ) ] 66, (A ) [ ] 00, (B ) [ ] 66, (A) (B) () (A B) (A ) (B ) (A B ) , 故所求為 (A' B' ' ) 000 (A B ) ( 個 ). 7. 利用 0,,,,,,6 等作四位數,若數字可重複選用,則 () 共可作出 個四位數. () 大於 00 的四位數共有 個. 解答 ()08;()66 () 四位數中,千位數不可排 0, 有 6 種排入法, 其餘,百位 十位與個位數均有 7 個數字可供排入, 故四位數可作出 ( 個 )

41 千 百 十 個 ~6 0,,...,6 () 大於 00 的四位數分下列兩種, 以 為千位數者,共有 6 7 9( 個 ), 扣除 00 不合題意,得 9 個, 千 百 十 個 ~6 0~6 以 或 或 或 6 為千位數者,共有 7 7( 個 ), 千 百 十 個,,,6 0~6 由 可得,共有 ( 個 ). 8. 設 A {,, a a }, B {, a, a, a a },且 A B {0, },則 A B.解答 {, 0,,, 6} A B {0, }, a a 0 a 或 a, a, A {,, 0}, B {,, 6, 0}, a, A {,, 0}, B {,,, 8},不合. A B {, 0,,, 6}. 9. 設 A k { k k, 為實數 },試回答下列問題 : () 若 A A A 之最小元素為 a,最大元素為 b,試求 a b 之值為. () 若 A A A 之最小元素為 a,最大元素為 b,試求 a b 之值為. () 能使 A A A 之一切自然數 所成之集合為 B,則 B 的子集有 個.解答 ()9;();()6 () A { 9}, A { }, A { 6 7}, A A A { 7} a, b 7, a b 9. () A A A { 6 9} a 6, b 9, a b. () A { 8 } A A A A { 8 9}, A { 0 } A A A A A,,,,,即 B {,,, },故 (B),故 B 的子集有 6 個. 0. 由,,,,一直寫到 999( 都是奇數 ),則共寫了 個數字 9.解答

42 所求為 (6 6 8) ( 9 9) 00. 四 計算題. 已知集合 A {}, B {,,},列出所有滿足 AB 的集合. 解答 {}, {,}, {,}, {,,} 依題意,列出集合,如下: {}, {,}, {,}, {,,}. B A,. 用 0,,,,, 作成大於 0 的三位數奇數,數字可重複使用 () 可作成多少個? () 其總和若干?解答 ()6;()99 (),,,, 有 6 個,,, 有 個,, 有 個 共有 ( 6 ) ( ) 6 個大於 0 的三位數奇數. () 個位數字為 者有 ( 6) ( ) ( ) 個,為, 者也各有 個,故個位數字的和為 ( ) 89. 十位數字為, 者各有 9 個,為 者有 ( ) 個,為, 者各有 ( ) 個,故十位數字和為 9 ( ) ( ) ( ) 7. 百位數字為,, 者各有 6 8 個,為 者有 ( ) ( ) 9 個,故百位數字和為 8 ( ) (9 ).由 可知,總和為 89 (7 0) ( 00)

43 . 於下列各圖中,以五色塗入各區,每區一色但相鄰不得同色,則各有幾種不同的塗法? ( 各圖固定,不得旋轉 ) () () () 解答 ()60;()80;()90 ()A, 同色, A B D 80, A B D A, 異色, A B D 80, 由 可得,共有 種. () 由 () 可知 [ ],推得 [ ] 80. () [ ] 90.. 王老師改段考考卷,她希望成績是 0,,,6,7,8,9 所組成的 位數,則 () 不小於 60 分的數有幾個? () 有幾個 的倍數? () 改完考卷後發現由小到大排列的第 個數正是全班的帄均成績,請問班上的帄均成績是幾分?解答 ()8;();()7 () : ,7,8,9 (),8,,7,60,66,69,7,78,8,87,90,96,99,共 個. () 7 個, - -

44 7 個, a 9, a 8, a 7, 帄均為 7 分.. 若一一寫出 到 000 的連續正整數,則共寫了多少個 0? 解答 9 個依數字內含 0 個數分類如下: () 恰含一個 0 : 0, 0, 0 9 個 個 個共有 個. () 恰含二個 0 : 個 () 恰含三個 0 :尌 000 這一個.故共寫了 個. - 排列一 單選題 ( ). 將 本相同數學年鑑 本相同數學講義分送給 8 人,每人最多 本且全分完,有幾種不同分送方式? () 8! ()80 ()60 ()0 ()0.解答 8! AABBBB 排列 0,故選().!!! ( ). 某地區的車牌號碼共六碼,其中前兩碼為 O 以外的英文大寫字母,後四碼為 0 到 9 的阿拉伯數字,但 解答 規定不能連續出現三個.例如: AA, AB 為可出現的車牌號碼;而 AO, AB 為不 可出現的車牌號碼.則所有第一碼為 A 且最後一碼為 的車牌號碼個數為 () 9 () 9 0 () 900 () 990 () 999. A ( 0 9)

45 二 多選題 ( ). 設集合 A {,,, }, B {,, 6},則下列何者正確? () A 和 B 恰有 個相同的子集 () (A 解答 B) 7 () 由 A B 中任取 個不同數字可排成 P 個 位數 () B 共有 7 個子集 () A B {,, }. A {,,, }, B {,, 6} () : A B {} 子集有兩個: {} 與. () : A B {,,,,, 6} (A B) 6. () : A B {,,,,, 6} (A B) 6 () : 8. () : A B {,, }. 故選 ()(). 6 6 P. ( ). 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 7 人排成 列,求下列何者正確? () 甲 乙 丙完全相鄰方法數 70 解答 種 () 甲 乙 丙完全分開方法數 0 種 () 甲排首位或乙排 位方法數 0 種 () 甲 乙皆在丙 前方法數 80 種 () 甲不排首或乙不排 位或丙不排 位方法數 06 種. () 正確,!! 70 () 正確,! P 0 () 正確, 6! 6!! 0 () 錯, 7!! 680! () 錯, 7! 6!!! 6 故選 ()()(). ( ). 偶像團體飛輪海的團員吳尊 炎亞綸等 人途中遇見寶云等 位女粉絲,粉絲要求 7 人排成一列拍照, 解答 則下列哪些選項正確? () 任意排有 00 種不同的排法 () 若飛輪海 人必頇完全相鄰,則共有 76 種不同的排法 () 若女粉絲 人必頇完全分開,則共有 0 種不同的排法 () 若寶云想要緊靠在吳尊 和炎亞綸兩人的中間,則共有 0 種不同的排法 () 若首尾皆頇排飛輪海的團員,則共有 0 種不 同的排法. () 正確, 7! 00 () 正確,!! 76 () 錯,! P 0 () 錯,!! 0 () 正確,! 0 故選 ()()(). - -

46 三 填充題. 用 和 兩種記號進行直線排列,在允許重複選取的情況下,取用的記號應有 個,才能作成 0 種不同的信號.解答 設取用的記號有 個,從兩種記號中,允許重複取出 個 個,, 個排成一列的方法數共有 ( ) 0 0 6, 故取用的記號至少應有 個才能作成 0 種不同的信號.. 美術課分 組報告西方藝術,上一次是按照第,,,, 組的順序上台,這次同學希望每一組上台順序都跟上一次不同,則有 種上台順序.解答!! 0! 0!! 0!.. 將六個字母 AABB 全取排成一列,相同字母均不相鄰的排法有 種.解答 0 6!!!! 0.!!!!!!. 有 7 個排成一排的座位,甲 乙 丙三人想要相互不相連的位置坐下,有 種坐法. 解答 60! 互不相連 可以想成先將 個空位子排好,再將三人插空位,故有 60! 種坐法.. 小明與小美玩猜數字遊戲,小明寫一個五位數,由小美來猜 ; 小美第一次猜 768,小明說五個數字都對,但只有萬位數字對,其他數字所在的位數全不對,則小美最多再猜 次才能猜對.解答 9 先考慮 不在千位, 不在百位, 6 不在十位, 8 不在個位的方法,!! 6!! 0! 9, 最多再猜 9 次. 6. 坐標帄面上,沿格子線從 A (0, 0) 出發取捷徑走到 B (, ),問恰轉三次彎的走法有 種. B(,) A(0,0) 解答 8 右上右上 :. 上右上右 :. 所求 有 6 個排成一列的座位,詹姆斯 布萊恩 歐尼爾三人欲選互不相連的三個位置坐下,有 種坐法.解答 (,, ),(,, 6),(,, 6),(,, 6)!

47 8. 用紅色或黑色顏料,塗入圖 () 最下面一列,恰有 個塗紅色,其他各列塗紅色者至多 個,則塗法有 種. () 同列之正方形中同色相鄰者至多 個,則塗法有 種.解答 ()800;()7680 () ( ) 800. () ( ) ( 6) ( 6) 如圖為棋盤型街道,由 A 取捷徑走到 B,則 A P R Q B () 走捷徑的方法共有 種. () 經過 P 但不經過 Q 的走法有 種. () 經過 P 或 R 任一點的走法有 種.解答 ()6;();()00 () 9! 6!!.!!!! () (A P B) (A P Q B) 60 6.!!!!!!!!! () (A P B) (A R B) !!! 0. 籃中有蛋 個,每次從中取出 個或 個,取完為止,則共有 種取法. 解答 8 設取 個有 次,取 個有 y 次, y, y 6 0 所求為 7! 6! !!!. 將五枝相同的鉛筆和三枝不同的鋼筆分給 0 個人,每人至多得一枝,其分法有 種. 解答 0 0! PPPPPABXX 排列 0.!!. 小功家住在一棟 7 樓的電梯公寓,今天小功回家時有 人同時和小功一起進入 樓電梯欲往上,假設每人按下自 己想要到的樓層 ( 可相同或不同 ),請問電梯有 種停靠方式. ( 假設這期間電梯只會由下而上依次停 - 7 -

48 靠這 6 人所按的樓層 ) 解答 香吉士: 停!停!停!地上有機關! 魯夫: 啊!什麼?有肉吃嗎? 佛朗基: 這個直線坑道很狹窄,而 且寬度僅容 人通過!咦!山壁上看起來像是有弓箭的射口! 羅賓: 這邊的角落有些古老的刻文: 拿取 物的人們啊!你必 從地上紅色的磚 出發,每次可 進或 退一步,過程中可重複 過任何位置. 貪婪 人們啊!你 必頇 走了七步後,站在紅磚前 步的地,才能免於災! 有一些符號模糊 掉了,大概的意思應該是這樣! 這時候,魯夫突然衝進坑道,大喊: 看我的! 其他人見狀,緊張地一起大 喊: 魯夫!你要選 種走法中的一種去走,才會安全啦! 解答 0 紅 磚 令前進 次後退 y 次 y 7 y 0, y 7!!!.. 連續投擲一顆公正的骰子 次,至少出現 次 點且點數和是 的情況有 種. 解答 (, 6, ):! 6, (,, ):!!, (,, ):!!, 共 種.. 有一棋盤式街道如圖,從 A 到 B 取捷徑,則通過 或 D 的路線有 種. D B A 解答 7 經 經 D 經 且 D! 6! 7!!!!! !!!!!!!!!!! - 8 -

49 6.A, B,, D, E, F 六人排成一列, A, B 不相鄰,且 D, E 不相鄰的排法有 種.解答 6 設甲集合為 AB 相鄰,乙集合為 DE 相鄰,所求為全部 ( 甲 乙 ) 6! (!!!!!!!) 70 (80 96) 將八個人排成一列,其中甲至少與乙或丙一人相鄰的排法有 種.解答 870 所求 任意排 甲與乙 丙不相鄰 8!! ( P P 6 6!) 其餘 人 8. 甲 乙 丙 丁 戊五人由地下一樓搭電梯前往一 二 三不同的樓層,則每層樓當電梯打開時,都會有人出來 的情形有 種. 解答 市場蘋果每個 0 元,買 0 送,瑩瑩每次拿一個或兩個放入購物車,共 個蘋果 00 元,則在拿的過程瑩瑩有 種不同拿法. 解答 設每次 個 次,每次 個 y 次,則 y, y ! 9! 8! 7! 6! !!7!!!!!! 0. 甲生第二次段考前一週共有國文 英文 歷史 地理 數學 物理 化學 生物等八科要分成 天複習,每天利 用晚上分兩個時段複習文科 ( 國文 英文 歷史 地理 ) 及理科 ( 數學 物理 化學 生物 ) 各一科,則此四天 晚上共八個時段有 種安排複習方式. 解答 96 文 理分給四天!! (!) 96. [ 另解 ] 國英歷地理科 8 6! 96. 四 計算題. 由,,,,,6 六個數字所組成 ( 數字可以重複 ) 的四位數中,含有奇數個 的共有多少個?解答 0 個四位數中含奇數個 的數字可分為以下兩類: () 含一個 的四位數:一個 可置於千 百 十 個位數,有 種排法,剩下的三個位數可為,,,,6 這五個數字.因此,有 00 種四位數

50 () 含三個 的四位數:,,,,6 這五個數字選一個置於千 百 十 個位數,有 種排法, 剩下的三個位數只可為.因此,有 0 種四位數. 根據加法原理,含奇數個 的四位數有 個.. 設有一樓梯共 0 階,今有一人上樓,若每步走一階或二階,則 () 共有多少種上樓的方法? () 恰跨 6 步的方法有幾種? 解答 ()89 種 ;() 種 () 設走一階 次,走二階 y 次.依題意,得 y 0,其中, y 為非負整數.從 0 開始討論,得, y 的解有 共 6 組解. y 0 而上樓的方法共有! 6! 7! 8! 9! 0! 0!!!!!! 6!! 8!! 0!0! 8 9 ( 89 種 ). 6! () 恰跨 6 步的方法為一階走 步,二階走 步,有!! 種走法.. 將 件不同的玩具全部分給甲 乙 丙 丁四人,求下列分法: () 任意分 () 甲至少得一件 () 甲乙兩人都至少得一件. 解答 ()6 種 ;()7 種 ;()8 種 () 因為每一件玩具都有 種分法,所以分法共有 6( 種 ). () 所求 ( 任意分 )( 甲沒拿到玩具的分法 ) 7( 種 ). () 令集合 A, B 分別代表甲 乙二人沒拿到玩具,則所求 ( 任意分 ) (AB) ( 任意分 ) ((A) (B) (AB)) ( ) 6 (7 7 8) 8( 種 )

51 . 將圖中的黑棋向左移動,每次移動 格或 格,移到最左邊一格,共有多少種移動方法? 解答 設移動 格有 次,移動 格有 y 次,則 y 7, 由於, y 均為非負整數,討論可得其解如下 : 7 y 0 7! ( )! ( )! ( )! 故移動方法有 6 0 種. 0!7!!!!!!!. 將 pallmall 的字母全取排成一列,相同字母不相鄰的排法有多少種? 解答 aa 不相鄰且 llll 不相鄰,可先排 pmaa,再安插 llll, aa 排在一起時 :pmaa 排法有! 6 種, 再安插 個 l: p m a a 方法有 種. l aa 不排在一起時 : p m 排法有! 6 種, 再安排 個 l: p a m a 方法有 由 可知,排法有 6 6 種. [ 另解 ] 種.! (llll 不相鄰 ) (llll 不相鄰且 aa 相鄰 ) P! P 60 6.!!! - 組合一 單選題 ( ). 同時擲三粒不同骰子 ( 骰子點數為,,,,,6),則恰出現兩粒骰子點數相同的情況有幾種? ()90 ()7 ()80 ()0 ()8. - -

52 解答 6! y 90,故選().! ( ). 將 枝相同的筆全部分給 個人有多少種分法? () P () () () (). 解答 設 個人各拿到, y, z 枝筆,根據題意得 y z, 其非負整數解有,故選項() 正確. 6 ( ). 兩帄行直線 L, M, L 上有 個相異點, M 上有 6 個相異點,則此 個點可以決定幾個三角形? () 解答 ()60 ()7 ()6 ()7. 6,故選() [ 另解 ] 60 7,故選(). ( ). 高二學生共 876 人,預定進行下學年度畢聯會主席選舉,總共提名 位同學出來候選,採無記名投票 解答 且每一位同學均參與投票.假設有廢票,則開票數分布情形有幾種? () 876 () () () () y z t u 876, 所求為,故選() ( ). 求方程式 y z w 0 之解 (, y, z, w) 為正整數解的有幾組? () () () () 解答 () 二 多選題 ( ). 今年畢聯會從高三 7 個班級的畢代中,選出 人組成畢舞委員會,再從其中選出一位當召集人,則全 解答 部的選法數可為下列何者? () () P () () 7P () () :先選 人,再從 人選 人當召集人. ()()() :選出 人,不需排列. 7! 7 6 () :先從 7 人選一人當召集人,再從剩下 6 人選 人一起組成委員會. 選 ()(). 6 ( ). 以下的問題,東西都分給甲 乙 丙 人,東西要分完,求何者的分法是正確的? ()7 本不同的書, 解答 甲 件 乙 件 丙 件的分法有 60 種 ()6 本不同的書,每人至少一件的分法有 0 種 () 本 不同的書,甲至少一件的分法有 0 種 ()9 本相同的書,甲至少 件,乙至少 件,丙至少 件的 分法有 0 種 ()9 本相同的書, 人至少 件, 人至少 件, 人至少 件的分法有 60 種. 7 () :正確應為 0 種. () :

53 () :正確應為. () : 甲 乙 丙 9, 甲, 乙, 丙 甲乙丙 之非負整數解. 0 () :正確應為分法有 (,,6), (,,), (,,), (,,), (,,), (,,), 故選 ()().!! 共有! 種.!! ( ). 五種不同的酒,倒入四個酒杯,每個酒杯只能倒入一種酒,下列何者正確? () 若酒杯相異,杯中飲 解答 料相異,則所有可能有 種 () 若酒杯相異,杯中飲料可相同,則所有可能有 H 同,杯中飲料相異,則所有可能有 若酒杯相異,杯中飲料相異,則所有可能有 種. () : P. () :. () () () : P.故選()() ( ). 下列哪些選項是正確的? () P P P () 解答 種 () 若酒杯相 種 () 若酒杯相同,杯中飲料可相同,則所有可能有 H 種 () () () () ! 7! 7! 8 8! 8 () 正確: P P P.!!!! () 錯誤: () 錯誤: () 正確: 0 0 ( ) () 正確: 表示 故選 ()()(). 0 0 ( ) 0 ( ) 0 展開式中 項之係數, 又 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 中 項係數為 ,, 8 060, ( ). 將 個球全數投入 個箱子中,每個箱子的球數不限,則下列哪些正確? () 球相同 箱子相同,放 解答 法有 種 () 球相異 箱子相異,放法有 種 () 球相同 箱子相異,放法有 箱子相同,放法有 P () 正確: 個相同球放入 個相同箱子, 種 () 球相異 箱子相同,放法有 種. 方法有 (, 0, 0), (,, 0), (,, 0), (,, ),共 種. () 錯誤:球相異 箱子相異:每一顆球有 個選擇,共 種. 6 種 () 球相異 - -

54 6! () 正確:球相同 箱子相異:共!! 6 種. () 錯誤:球相異 箱子相同: (, 0, 0) 種; (,, 0) 種; (,, 0)! () 錯誤:同 (). 故選 ()(). 共 6 種. 種; (,, )! 6 種, 三 填充題. 有紅 白 黃三種大小一樣的正立方體積木各 0 個,從中取出 7 個積木,相同顏色堆在一起,一一重疊堆高,共 有 種堆法. 解答 9 只用一色: 種, 只用二色: (6, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, 6)! 6 6, 用三色:紅 + 白 + 黃 =7 上下色交換 剩 6! 6 90, 紅白黃排列 共 種.. 有渡船 艘,每船最多可載 人,今有小邱 小廖 小張 等 6 人同時過渡,但小邱 小廖兩人不坐同一艘船, 則此 6 人同時過渡的方法有 種. 解答 7 小邱 小廖各選一艘有 6( 種 ) 其餘 人上船方法數 圖中的每一格皆是正方形,邊長均為 個單位,試問由圖中線段 () 共可決定 個矩形. () 可決定 個正方形. 解答 ()69;()76 - -

55 () 含中空 : 7, 左上右下 不含中空 : 左 上 右 下 左上 右上左下右下 所求為 () 含中空 : 邊長為,邊長為,邊長為 6,邊長為 6, 共 個, 不含中空: (6 ) ( 8 7) (6 ) 左 上 右 8 ( ) 6, 下左上 右上 左下 右下 所求為 6 76 個.. 正六面體 ( 正方體 ) 有八個頂點 () 以此八個頂點為始點及終點,共可作出 個不同的向量 ( 包括零向量 ). () 以此八個頂點為三角形的頂點,共可作出 個三角形. 解答 ()7;()6 () 設正方體邊長為, 長度為 0 的向量: 個, 長度為 的向量: 6 個, 長度為 的向量: 6 個, 長度為 的向量: 8 個, 共 個. 8 () 6.. 滿足不等式 6 y z u 0 之非負整數解有 組. 解答 87 (6 y z u 0 之非負整數解 ) ( y z u 0 之非負整數解 ) ( y z u 之非負整數解 ), 9 故所求為 H 0 H 組. 6. 將 6 件相異物品放入 個相異箱子,其中的甲 乙 丙 箱每箱至少 件,試求方法數為. 解答 00 全 甲空或乙空或丙空 6 ( ) 若由 0,,,,,,, 八個數字中,任意取出五個數字排成一個五位數,並依序由小到大排列,則排在第 0 位的數字是. 解答 0 - -

56 , 0 P,,,, 0 P 0,,,,,, 0 P ( 累積 6 個 ),,,, a 7 0, a 8 0, a 9 0, a 設一列火車有 8 節車廂,從中選取 節車廂作為餐車,但此兩節餐車車廂至少間隔兩節車廂,則此兩節餐車廂共有 種選擇.解答 可以這麼考慮:先將車廂排列好,再編上號碼,餐車記為,非餐車記為,由於至少間隔兩個車廂, A B 再將剩餘的 放入 A, B, 之間, 設分別放入為 a, b, c 個,則 a b c,且 a, b, c 為非負整數, 故有 H 6 種方法. 9. 將 個相同白球, 個相同紅球分給 人,每人至少一個球的分法有 種. 解答 [ 另解 ] ( 全部 ) ( 恰分給 人 ) ( 恰分給 人 ) ( ) ( ) 某社團有 8 個幹部,其中有 個是女生 個是男生,為準備成果發表會,這 8 個幹部商量好兩人一組,共分成 四組,分別負責教學 事務 公關 財務等四個職務,但每一組至少有一個男生,則這 8 人職務的安排共有 種方式. 解答 0!! 0. 先挑一個職務再選 男擔任該職剩下三個職務,給三男 三女各任意排. 顆蘋果, 顆芭樂, 顆鳳梨,將 9 顆水果任意裝入 個不同的箱子,水果全裝完每個箱子至少裝一顆水果有 種方法. ( 同種水果視為同物 ) 解答

57 井字遊戲 (Tc Tac Toe) 的規則如下:兩位玩家分別在井字的 9 個空格 ( 如圖一 ) 中輪流填入 和,先 將 個相同符號連成一線即獲勝 ( 直排 橫排 對角線皆可,如圖二為 勝之情形 ). ( 圖一 ) ( 圖二 ) 今小明和小華玩遊戲,先填的人可任選 或 其中之一,結果填滿 9 格後不分勝負,則最後此和局的井字圖中, 和 的排法有 種. ( 注意:此處將 9 個空格皆視為不同,不頇考慮環狀排列或對稱性 ) 解答 考慮 個 和 個 之排法,由左至右三行所含 數目有下列 種: () (,, ) :共 種情形 () (,, ) :共 6 種情形 () (,, ) :共 種情形, 6 6( 種 ) 同理 個 和 個 排法有 6 種 金毛中學舉行兩天的畢業旅行,共有四台車,欲安排甲 乙 丙 等八位導遊隨車服務,每天每車兩位,但第一天在同車的兩個導遊,第二天不安排在一起,則兩天下來共有 種安排方法. ( 同一個導遊可以兩天在同一車 ) 解答 第一天 : 指定型, 第二天 : ( 6 )!!!! , 所求為 以紅 黃 藍 黑 白五色塗三張紙卡的兩面,設兩面無分別,每面只塗一色,且兩面可同色亦可異色 () 若 張紙卡相同,則共有 種不同塗法. () 若 張紙卡相異,且其中兩面同色的紙卡恰只有一張,則共有 種不同塗法. 解答 ()680;()00 () 兩面同色者有 張: 7,兩面同色者 張: 0, 兩面同色者 張:每張有 0 種塗法, 兩面均不同色: () 00.. 已知甲 乙 丙 丁 等八人,求下列各種情形的方法數 : - 7 -

58 () 任意分成三組,每組至少兩人,則有 種分法. () 若此八人作桌球單打比賽,賽程表如圖所示,且規定第一輪比賽甲 乙不能對打,則共有 種安排 賽程的方式. 解答 ()90;()70 () (,, ) (,, ) 所求為 !! 8 8 () 所求為 ( 任意排 )-( 甲 乙對打 ) [ 另解 ] 8 6 6!!!! 甲乙!!! 左右互換無效 70.!! 將 8 人帄分成 堆,但甲 乙不同堆 左 ( 右 ) 邊兩堆互換無效 6. 假設一個議題有甲 乙 丙三個方案, 個人採無記名投票表決,可以投廢票,則 () 開票的結果有 種可能. () 承 (),其中甲的得票數,不超過總票數的一半的情況有 種. 解答 ();()99 (). () 甲 + 乙 + 丙 + 丁 =( 丁為廢票箱 ) 不合 剩 8 所求為 有 本不同的書及 枝相同的筆分給甲 乙 丙三人,若甲 乙 丙均至少分得一本書或一枝筆,則共有 種分法. 解答 68 任意分 ( 恰 人不得 ) ( 恰 人不得 ) ( ) 有 張椅子排成一列,有甲 乙 丙 等七人分成三組入座,三組人數各為 人 人 人,同組必相鄰, 不同組不相鄰的坐法有 種. 解答

59 ! 7!!!! k, k 0,則數對(, k).解答 (0, ) 00 0 原式 k, (, k) (0, ). 0. 福利社供應香草 酸梅 芒果及巧克力等四種冰淇淋,今有同學 6 人同往,則 () 每人各要一份,則店員取出之冰淇淋的方式有 種. () 若每人可點一份或是不點,則店員取出之冰淇淋的方式有 種.解答 ()8;()0 設取出香草 份,酸梅 y 份,芒果 z 份及巧克力 u 份, 9 9 () 依題意,得 y z u 6,則非負整數解為 H () 依題意, y z u 6 y z u t 6,其中 t 為非負整數, 0 0 故非負整數解為 H 四 計算題. 圖中有幾個矩形? 解答 09 不含中空的: 含中空的: 8 共有 個.,, 6. 將 個梨 個蘋果,分給三個人,試分別判斷下列敘述是否正確? () 每人所得不限有 0 種分法. () 每人至少一個梨有 6 種分法. () 每人至少一個蘋果有 90 種分法. () 每人至少一個梨或至少一個蘋果有 8 種分法. () 每人至少一個梨且至少一個蘋果有 8 種分法. 解答 () ;() ;() ;() ;() 6 7 () :

60 7 () :. 6 6 () :. 90 () : 任意分 - 恰 人不得 - 恰 人不得 ( ) 8 8. () : 已知方程式 y z 7,則 () 非負整數解有幾組? () 正整數解有幾組? 解答 ()0;() () y z 7 y z k,其中 k 0,,,, 7. 故非整數解有 H H H H [ 另解 ] 由於 y z 7,且, y, z 為非負整數,設 t 7 ( y z),則 t 0,故不等式 y z 7 可改寫成方程式 y z t 7, 所以非負整數解為 H () 承 () 知,不等式 y z 7,可改寫成方程式 y z t 7,其中 t 為非負整數,若求, y, z 為正整數解,令, y y, z z, y, z 為非負整數,且方程式 y z t 7 ( ) (y ) (z ) t y z t,其中, y, z, t 為非負整數, 7 7 故所求為 H.. 將 8 個人均分成前後兩排拍照,若其中一對夫妻必頇在同一排且相鄰,則共有多少種排法? 解答 860 種第一步驟:夫妻先選擇一排,有前後排 種選擇. 6 第二步驟:與夫妻同一排拍照的兩人有 種選擇

61 第三步驟:將夫妻視作 人,與同排的兩人共有! 6 種排法,又因為夫妻位置可互換,所以有 6 種排法.第四步驟:另一排四人任意排列有! 種排法.由乘法原理,得共有 860 種排法.. 設, y, z, u 為正整數,則 y z u 有幾組解? 解答 u 時, y z 之正整數解共有 H H 78 組, 0 0 u 時, y z 之正整數解共有 H H 8 8 組, u 時, y z 6 之正整數解共有 H 6 H 0 組,共有 78 0 組解. - 二項式定理 一 單選題 ( ). 設 為正整數,若 ( ) 的展開式中第 0 項的係數與第 0 項的係數相等,則 ()8 ()9 ()0 解答 (). 9 9 第 0 項 : 9, 第 0 項 : 9, ,故選(). ( ).( ) a 0 a a a 中,若 a :a 6 :,則 ()6 ()7 ()8 ()9 ()0. 解答! a!( )! 6 a! ( )( ) 6!( 6)! ,故選 () ( ). 若 a,且 b,則下列何者為真? ()a b 6 解答 ()a b 0 ()a b 0 ()b ( ) 代入得 代入得 : a : b () : a b

62 () : a b 768. () : a b. () : b 6. 故選 (). ( ). 由 ( ) 7 ( ) ( ) ,求? () 解答 () () () () 0 6 ( ) 7 ( ) ( ) ( ) , ( ) 則 所以 故選 () 為 項的係數, 0 6, 0 二 多選題 ( ). 選出答案為 的選項: () 從 6 人中選出 人參加辯論比賽的方法數 () 甲乙丙三人從 本不同的書 解答 6 中,每人各選一本的方法數 () 將 枝相同筆全部分給 個人的方法數 () 在 (a b) 7 的展開式中, a b 的係數 () 方程式 y z t 的非負整數解之個數. () 從 6 人中選出 人的方法數有. 6 () 甲乙丙三人從 本不同的書中,每人各選一本,甲有 種選擇,乙有 種選擇,丙有 種選擇,因此 總共有 P 種選擇. () 將 枝相同筆全部分給 個人的方法數為重複組合 () 根據二項式定理,在 (a b) 7 的展開式中, a b 的係數為. () 方程式 y z t 的非負整數解之個數為 故選 ()()(). 6 ( ). 試選出下列正確的選項? () 解答 () () () () 正確, () 正確, () 錯, () 正確, 故選 ()()()

63 ( ). 選出答案不為 的選項: () 從 7 人中選出 人參加比賽的方法數 () 甲乙丙三人從 7 本不同的書中, 解答 7 每人各選一本的方法數 () 將 aaaabbb 共 7 個字母,任意排成一列的方法數 () 在 (a b) 7 的展開 式中, a b 的係數 () 在 (a b) 7 的展開式中, a b 的係數. (),應是 (),應是 故選 ()(). ( ) 7 7 ( ). 下列選項何者正確? () (0) k 0 k 0 0 解答 () 0 k k 0 0 k 0 ( ) () () 0 的末三位數字為 () 0 被 除的 0 0 餘數為 () 正確, 0 0 ( ) () 正確, () 正確, () 正確, , 0 0 由 可知 0 除以 000 的餘數為 () 正確,, 0 0 可知 0 除以 的餘數為 0 故選 ()()()()(). ( ). 選出答案為 的選項: () 從 7 人中選出 人接受體能測試的方法數 () 甲乙丙三人從 7 本不同的書 解答 7 中,每人各選一本的方法數 () 將 aaaabbb 共 7 個字母,任意排成一列的方法數 () 在 (a b) 7 的 展開式中, a b 的係數 () 在 (a b) 7 的展開式中, a b 的係數. () 從 7 人中選出 人的方法數有. 7 () 甲乙丙三人從 7 本不同的書中,每人各選一本,甲有 7 種選擇,乙有 6 種選擇,丙有 種選擇,因此 7 總共有 76 P 種選擇. 7! () 將 aaaabbb 7 個字母任意排列,因為 個 a 相同, 個 b 相同,因此共有!! () 根據二項式定理,在 (a b) 7 的展開式中, a b 的係數為. () 根據二項式定理,在 (a b) 7 的展開式中, a b 的係數為 因此選項 ()()()() 正確 種方法. 三 填充題 - 6 -

64 7.() 將 ( ) 展開,試求 項的係數為. 9 () 將 ( ) 展開,試求 項的係數為. 8 () 將 ( ) 展開,試求 6 項的係數為. 解答 ()89;()9;() 0 9 () 設第 r 項為 項, 則 r ( ) r 7 7r r 7 r 7r r 項的係數為 () 設第 r 項為 項, 7 r r, 9 9r r 9 r 9r r 則 r ( ) ( ) r 9 r r, 9 項的係數為 ( ) 9. () 設第 r 項為 6 項, 8 8r r 8 r 8r r 則 r ( ) ( ) r 8 r 6 r, 項的係數為 ( ). 9. 展開 (0.99) 0 0.abcd,則 a b c. 解答 6 (0.99) 0 [ ( 0.0)] 0 ( 0.0) ( 0.0) ( 0.0) , a b c ( 0.0). 求 ( ) ( ) ( ) 0 展開式中, 項的係數為. 解答 6 0 ( )[( ) ] ( ) ( ) 原式 ( ), 欲求 項之係數,即求分子 ( ) 展開式中 項之係數為 0 [ 另解 ]. 6. 若 ( ) k 展開式中 項的係數為 a k (k,, ),則 k k 6.. a - 6 -

65 解答 ( ) k kk ( ) ak, [ ] a k( k ) ( ) k k k ( ) [( ) ( ) ( )] [ ].. 求 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 展開式中 項之係數為. 解答 0 ( ) ( ) 原式,原式 的係數為 ( ) 中 6 的係數 ( ) 0. 0 [ 另解 ]. 0 m 6. 化簡 得值為!9!!7!!! 7!! 9!!!,其中 m, 為正整數,求數對 (m,). 解答 (9,0) 0! 0! 0! 0! 0! 原式 ( ) ( 7 9 ) 0!!9!!7!!! 7!! 9!! 0! 0 0! 0! m 9, 0,故 (m,) (9,0). 9 a 0 7. a,若 ( ) 之展開式中 項係數為 960,求 a. 解答 設第 r 項為 項,則 0 0r a r 0 r 0r r r ( ) ( ) r ( a), 表示 0 r r, 0 a ( ) 960 a. 8. 求 ( ) ( ) ( ) 0 展開式中, 6 項之係數為. 解答 0 0 ( )[( ) ] ( ) ( ) 原式, ( ) 欲求 6 項之係數,即求分子 ( ) 展開式中 9 項之係數,此項為 9 ( ) 0,即係數為 0. 0 [ 另解 ] 乘開後末三位的數字為

66 解答 9 0 ( ) (0 ) 0 0 (0) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) a 0. a,將 ( ) 解答 000t 0 000t 9, t 為正整數, 末三位數字為 9. 6 設第 r 項為常數項,則 展開後常數項為 70,求 a. 6 a 6r r 6 6r r r r r ( ) ( ) ( ) r a, 表示 r 0r, 6 常數項為 a ( ) 70 a.. 知 ( a) a 展開式的各項係數和等於 ( b ) 展開式的常數項,則 ( a) b a 展開式中項的係數為 a. 解答 8 ( a) a 的係數和為 ( ), ( b ) 的常數項為 b 8 7, ( b) ( ) b ( ) 8, ( a) ( ) ( a) ( ) 8 a a a a, a 項的係數為 8.. 求 ( ) ( ) ( ) 展開式中, 8 項的係數為. 解答 68 6 ( )[( ) ] ( ) ( ) 原式, ( ) 欲求 8 項之係數,即求分子 ( ) 6 展開式中 0 項之係數,此項為 6 0 ( ) 68, 8 項的係數為 [ 另解 ]. 68. 多項式 0 除以 ( ) 的餘式為. 解答 設 0 ( ) Q () a b,

67 代入得 a b b a 0 ( ) Q () a a ( ) ( ) ( 0 ) ( ) Q () a ( ), 同除以 ( ) ( ) ( 9 ) ( )Q () a, 代入得 a 0 b. 餘式為. [ 另解 ] [ ( )] ( ) ( ), [ ( )] ( ) ( ), [ ( )] ( ), 0 [ ( )] 0 0 ( ), 餘式 [ ( )] [ ( )] [ 0 ( )] 設 S 0,則 S 為 位數. ( 設 log 0.00) 解答 8 0 S S S 0( ) 0, S 0 0, log 0 0 log , 0 為 7 位數, S 為 8 位數. 6. 已知 a 0,若 ( a ) 展開後常數項為,求 a. 解答 9 設第 r 項為常數項,則 6 6r r 6 r 6r r r ( ) ( a ) ra, 表示 6 r 0r, 6 常數項為 a a 8, a 9( 取正 ),故 a 求 ( ) ( ) ( ) 展開式中, 項的係數為. 解答 80 6 ( )[( ) ] ( ) ( ) 原式 ( ), 欲求 項之係數,即求分子 ( ) 6 展開式中 6 項之係數為 [ 另解 ] 求 ( ) ( ) ( ) 0 展開式中 項係數為. 解答

68 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ), ( ) 所求即分子 ( ) 展開式中 項係數, 所求為 a,若 ( a ) 展開式中 項之係數為 80,求 a. 解答 設第 r 項為 項,則 r r r 0r r r ( a ) ( ) r a, 表示 0 r r, a 80 a. 9. 求 ( ) ( ) ( ) 0 展開式中, 項的係數為. 解答 6 0 ( )[( ) ] ( ) ( ) 原式, ( ) 欲求 項之係數,即求分子 ( ) 展開式中 6 項之係數為 6 ( ) 6, 項之係數為. 0 [ 另解 ] 求 ( ) ( ) ( ) 0 展開式中 項係數為. 解答 四 計算題. 求多項式 f () ( ) ( ) ( ) ( ) 0 的 項係數. 解答 6 考慮每一括號中 項係數,相加,利用巴斯卡定理,所求為 0 [ 另解 ] 利用級數和 f () ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( )[( ) ], ( ) ( ) ( ) 求展開式中 項係數, 故考慮分子 ( ) 展開式中 6 項的係數, ( ) r r r 展開式中的一般項 ( ) ( ),取 r,可得係數 r r

69 ( ) 6.. 試求 ( ) 0 ( ) 展開式中 項的係數. 解答 展開式的一般項為 r r ( ) t r ( ) t r t, r t r t 令 0 r t t r,其中 0 r 0,0 t, 數對 (r, t) (0, ), (, ), (, ), 故所求 項的係數為 ( ) 0 ( ) ( ).. 求多項式 f () ( ) ( ) ( ) ( ) 0 的 項係數. 解答 0 因為 f () 是首項 ( ),公比 ( ) 的等比級數,所以利用等比級數的求和公式,得 ( )[ ( ) ] ( ) ( ) f( ) ( ) 0 即 f () 的 項係數尌是 ( ) ( ) 的 項係數. 再由二項式定理,得知 ( ) 的 7 項為 () ( ) 0, 即 ( ) ( ) 的 項為 (0 ) 0. 故 f () 的 項係數為 0.,. 求 ( ) 0 展開式中的 項係數. 解答 90 利用二項式定理將 ( ) 0 (( ) ( )) 0 展開得到

70 ( ) 0 (( ) ( )) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 其中,可能產生 項的項有 0 ( ) 及 ( ) ( ). 0 0 又 0 ( ) 的 0 0 項係數為 ( ) ( ) 的 項係數為 0 ( ) 0. 故 ( ) 0 展開式中的 項係數為 960 ( 0) 90.. 求 ( ) ( ) ( ) 0 展開式中 6 項之係數. 解答 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 ( )[( ) ] ( ) ( ), ( ) 求展開式中 6 項係數,考慮分子 ( ) 展開式中 9 項,而 ( ) 展開式中的一般項為 ( ) r r r r,故 r,係數為 0. - 樣本空間與事件 一 單選題 ( ). 自 {,,,,} 中, () 每次取兩數,則樣本空間有 P 個元素 () 每次取一數,取後不放回,取二次,則 解答 () : 樣本空間有 個元素 () 每次取一數,取後放回,取二次,則樣本空間有 個元素 () 每次取一數, 取後不放回,取二次,第二次的數字比第一次的數字大,則樣本空間有 個元素 () 每次取一數, 取後放回,取二次,第二次的數字比第一次的數字大,則樣本空間有 H 個元素. () : P () : () () : 故選 (). 二 多選題 ( ). 連續丟一個硬幣 次,觀察依次出現正面或反面的情形,出現正面記 點,出現反面記 0 點.若 A 表 次點數的乘積為 的事件, B 表 次點數的和為 的事件, 表 次點數至多一次為 0 的事件, D 表前 次點數都為 的事件,則下列選項哪些正確? ()A 與 B 為互斥事件 ()B 與 D 為互斥事件

71 ()A 與 都發生的事件為 A ()A 或 發生的事件為 () 與 D 都發生的事件為 A.解答 事件 A {(,,, )}.事件 B {(, 0, 0, 0),(0,, 0, 0),(0, 0,, 0),(0, 0, 0, )}.事件 {(,,, ),(,,, 0),(,, 0, ),(, 0,, ),(0,,, )}.事件 D {(,,, ),(,,, 0),(,, 0, ),(,, 0, 0)}. () 因為 A B,所以 A 與 B 為互斥事件. () 因為 B D,所以 B 與 D 為互斥事件. () 因為 A {(,,, )} A,所以 A 與 都發生的事件為 A. () 因為 A {(,,, ),(,,, 0),(,, 0, ),(, 0,, ),(0,,, )},所以 A 或 發生的事件為. () D {(,,, ),(,,, 0),(,, 0, )} A.故選項 ()()()() 正確. ( ). 投擲兩粒骰子一次,點數和小於 的事件為 A,點數和不小於 的事件為 B,下列何者正確? ()(A) ()(B) ()A 與 B 為互斥事件 () 點數和小於 的事件為全事件 () 點數和不小於 的事件為空事件.解答 () : A {(,),(,),(,),(,),(,),(,)}, (A) 6 () : B {(,6),(6,),(6,6)}, (B) () : AB () :小於或等於 () :含(6,6) 故選 ()(). ( ). 設樣本空間 S {,,,, } 中,各基本事件出現的機會均等,下列敘述何者正確? () S 共有 個事件 () S 共有 個事件 () 滿足 A S 且 (A) 的事件有 0 個 () S 表一事件 () 表一事件.解答 () : 故選 ()()()(). ( ). 連續丟一個硬幣 次,觀察依次出現正面或反面的情形,出現正面記作 點,出現反面記作 0 點.若 A 表 次點數的乘積為 的事件, B 表 次點數的和為 的事件, 表 次點數至多一次為 0 的事件, D 表前 次點數都為 的事件,下列選項哪些正確? ()A, B 為互斥事件 ()B, D 為互斥事件 ()A A ()A ()D A.解答 () : D {(,,,0),(,,0,),(,,,)} 故選 ()()()(). ( ). 袋子中裝有編號,, 的三個球,從袋中取一球觀察號碼. S 表樣本空間, A 表號碼為奇數的事件

72 解答 選出正確的選項: ()S {,,} ()A {,} () A 不發生的事件為 {} ()S 的事件共有 個 ()S 的事件中與 A 互斥的共有 個. () 樣本空間 S {,,}. () 號碼為奇數的事件 A {,}. () 事件 A 不發生表示號碼為偶數,即 A 的事件,故 A {}. () 樣本空間 S 的事件為 S 中的任一子集,又 S {,,} 的所有子集為,{},{},{},{,},{,},{,},{,,},共 8 個. () 由上可知,與 A 事件相交為空集合的事件有,{},共 個事件.故選項 ()()()() 正確. 三 填充題. 寫出樣本空間 S {,, } 的所有事件為. 解答 見, {}, {}, {}, {, }, {, }, {, }, {,, }.. 設樣本空間 S {,,,,,6,7},事件 A {,,},則與 A 互斥的事件共有 個. 解答 6 A' {,,6,7}, 與 A 互斥的事件有 6 個.. 袋中有編號,,,, 0 的 0 張卡片,今由袋中任取出兩張卡片的樣本空間為 S,求 (S). 解答 (S) 0.. 丟一粒骰子三次,出現點數依次為, y, z,若樣本空間為 S, A 代表 y z 的事件, B 代表 y z 的事件,求 ()(S). ()(A). ()(B). 解答 ()6;()0;()6 () () 0. () H 依序投擲兩粒骰子,設 A 代表點數和為偶數的事件,求 (A). 解答 8 點數和為偶數有兩種情形: 偶數 偶數 9. 奇數 奇數 9. 共有 種,故 (A) 擲一粒骰子,觀察其出現點數,則 () 樣本空間 S. () 出現偶數事件 A. () 出現奇數事件 B. () 出現點 數小於 的事件. 解答 (){,,,,, 6};(){,, 6};(){,, };(){, } () S {,,,,, 6}

73 () A {,, 6}. () B {,, }. () {, }. 7. 擲一粒骰子三次,觀察每次出現的點數,設 A 表三次都沒有出現 點的事件, B 表三次中至少出現一次 點的事 件,求 () (A). () (B). 解答 ();()9 () (A). () (B) 袋中有 個紅球,並標註號碼 ~ 號; 個白球,並標註號碼 ~ 號.今自袋中每次取一球後不放回,直到全部 都取出為止.設 A 代表白球先取完的事件,求 (A). 解答 60 由於同色球上標明號碼,視為相異的 7 個球, 白球先取完,即表最後一球取紅球即可,故 ( A) 6! 若樣本空間 S 為擲兩顆相異的均勻骰子的所有狀況,其中兩顆點數和為 8 的事件為 A,若 B 事件與 A 事件互斥且 (B) 表示 B 事件的樣本點個數,則 (B) 的最大值為. 解答 (B) (A' ) 擲一粒骰子三次,令 A 表示三次出現點數和為 9 的事件, B 表示三次出現點數積為 的事件,求 () (A). () (B). 解答 ();() () 點數和為 9 之情形有 (6,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ),!! (A)!!!.!! () 點數積為 之情形有 (6,, ), (,, ), (,, ), (B)!!!!. 四 計算題. 甲 乙 丙三人以 剪刀 石頭 布 猜拳,求彼此不分勝負之事件共有幾個元素? 解答 9 不分勝負 三人出相同拳或 剪刀 石頭 布 都有人出,故有! 9.. 袋子中裝有編號 到 0 號的卡片十張,分別依下列方法從袋中取卡片並觀察號碼,求以下各試驗的樣本空間各有 - 7 -

74 幾個樣本點? () 取出一張. () 同時取出二張. () 取三次,每次一張,取出後不放回. () 取三次,每次一張,取出後放回.解答 ()0;() ;()70;()000 0 () ( S) 0. 0 () ( S). 0 () ( S) P 70. ()(S) 從一副撲克牌中任取 張, () 樣本空間共有幾個元素? () 設 A 表所取 張為同一花色的事件,則事件 A 共有幾個元素? () 設 B 表所取 張為同一點數的事件,則事件 B 共有幾個元素? 解答 ()6 個 ;() 個 ;()78 個 () 自 張牌中任取 張, ( S) 6 ( 個 ). () ( A) ( 個 ). () ( B) 78 ( 個 ).. 袋子中有 個球,編號 ~,從袋中取球兩次,每次一球,球取出後均放回. () 此試驗的樣本空間有幾個元素? () 設 A 表所取兩球的球號和為 6 的事件,求事件 A 的元素個數. 解答 () 個 ;() 個 () 樣本空間 S 的元素都形如 (,y),其中第一次抽出 號,第二次抽出 y 號.故 S 有 個元素. () 球號和為 6 的情形有 (,), (,), (,), (,), (,) 共 種,故 (A)

75 . 連續丟一個硬幣三次,依次觀察出現正面或反面的情形.令 A 表示至少有一次正面的事件, B 表示第二次是反面的事件.試以集合表示下列事件: () 事件 A 和 B 都發生. () 事件 A 不發生. () 事件 A 發生但事件 B 不發生.解答 (){( 正, 反, 正 ),( 正, 反, 反 ),( 反, 反, 正 )};(){( 反, 反, 反 )};(){( 正, 正, 正 ),( 正, 正, 反 ),( 反, 正, 正 ),( 反, 正, 反 )} () 事件 A 和 B 都發生表示:至少有一次正面且第二次是反面,即 {( 正, 反, 正 ),( 正, 反, 反 ),( 反, 反, 正 )}. () 事件 A 不發生表示一次正面也沒有的事件,即 {( 反, 反, 反 )}. () 事件 A 發生但事件 B 不發生表示:至少有一次正面且第二次是正面,即 {( 正, 正, 正 ),( 正, 正, 反 ),( 反, 正, 正 ),( 反, 正, 反 )}. - 機率的性質一 單選題 ( ). 甲投擲一公正銅板 8 次,下列選項有哪些是正確的? () 會正好得到正面 次及反面 次 () 若前 次得到正面 次,則後 次得到正面 次的機率小於得到反面 次的機率 () 恰好得到 次正面及 次反面的機率大於 () 若已知擲完銅板共出現正面 次與反面 次,則投擲過程是正反面交錯出現 的機率大於投擲過程是正面集中在前 次或後 次的機率. 解答 () 雖然一公正銅板丟出正面與反面的機率均為,但不表示 8 次丟完會出現正面 次及反面 次 () 由於每一次擲公正銅板均視為獨立事件,因此前 次的結果並不影響後 次結果的發生,因此後 次會出現正面 次的機率與出現反面 次的機率相等 () 恰好得到 次正面及 次反面的機率為 ( ) ( ) 6 6 () 由於正反面交錯出現的情形為 ( 正反正反正反正反 ) 或 ( 反正反正反正反正 ),兩種正面集中在前 次或後 次的情形為 ( 正正正正反反反反 ) 或 ( 反反反反正正正正 ) 也是兩種,因此兩事件的機率相等故選 (). ( ). 將 四個數字隨機填入右方 的方格中,每個方格中恰填一數字,但數字可重複使用.試問事件 A 方格的數字大於 B 方格的數字 且 方格的數字大於 D 方格的數字 的機率為多少? () 6 () 9 6 () 6 () 9 6 ()

76 A B D 解答 因為將 個相異數字可重複的填入 個方格中,所以樣本空間共有 6 個元素,設填入 A, B 兩方格的數字分別為 a, b,且 a b,此時數對 (a,b) 有以下 6 種情形: (,),(,),(,),(,),(,),(,) ;同理,填入, D 兩方格的數字也有 6 種情形, 因此,所求機率為 6 6 9,故選(). 6 6 ( ). 如圖,在棋盤方格中隨機任取兩個格子,選出的兩個格子不在同行 ( 有無同列無所謂 ) 的機率為 () 0 () () () (). 解答 所求為,故選(). 6 ( ). 設兩事件 A 與 B,其中 P (A), P (B),若 t 表 A 事件或 B 事件發生的機率,則 t 的範圍為何? () t () t () t () t 7 () t 7. 解答 P (A B) 會介於互斥或相容之間,則 P (A) P (A B) P (A) P (B) t 7,故選(). ( ). 甲 乙 丙三所高中的一年級分別有,, 個班級.從這 個班級中隨機選取一班參加國文抽考,再從未被抽中的 個班級中隨機選取一班參加英文抽考.則參加抽考的兩個班級在同一所學校的機率最接近以下哪個選項? ()% ()% ()% ()7% ()9%.解答 甲校 ( 班 ) : p

77 乙校 ( 班 ) : 丙校 ( 班 ) : 6 p 66 0 p 同校之機率為 % 故選 (). 二 多選題 ( ). 某班級有男生 0 人,女生 0 人,其中有男同學乖乖及女同學莉莉.某次導師要抽 位同學,試問下列敘述哪些是正確的? () 抽出來的男生人數一定比女生人數多 () 若老師以簡單隨機抽樣方法抽取 位同學, 則乖乖被抽中的機率大於莉莉被抽中的機率 () 若老師以抽籤的方法一個一個抽出 位 同學,則乖乖恰好是第 個被抽中的機率為 0 () 若老師依性別按人數比例作分層抽樣方法抽取 位同學,則乖乖被抽中的機率為 0 () 若老師以座號作系統抽樣方法抽取 位同學,則莉莉被抽中 的機率為 0.解答 () 不一定,有 的機率女比男多 () 機率相等,都是 () 正好第三個被抽中為 ()() 無論使用分層隨機抽樣或系統抽樣,機率都是 0,均正確故選 ()(). ( ). 一副撲克牌有 張,分成四種花色,即黑桃 梅花 紅心 磚塊,每種花色又有 個點數,即,,,, 0, J, Q, K, A,每種花色都有數字牌 (~0),英文牌四張,若其中甲為紅心,乙為黑桃 J,則下列選項何者正確? () 今從 張撲克牌中任意抽取一張,則甲被抽中的機會大於乙被抽中的機會 () 今從 張撲克牌中任意抽取兩張,則甲被抽中的機會大於乙被抽中的機會 () 今從 張 0 撲克牌中任意抽取兩張,則甲與乙至少被抽中一張的機率為 6 () 今從 張撲克牌中任意抽取兩 張,則兩張均為數字牌的機率大於兩張均為英文牌的機率 () 今從 張撲克牌中任意抽取兩張,則 兩張是同花色的機率為

78 解答 () 錯, P ( 甲抽中 ) P ( 乙抽中 ) () 錯, P ( 甲抽中 ) P ( 乙抽中 ) 0 0 () 正確, P ( 甲 乙至少抽中一張 ) 6 () 正確, P ( 均為數字 ) P ( 均為英文 ) 6 6 () 錯, P ( 同花色 ) 7 故選 ()(). ( ). 試選出 P P 的選項: ()P 表連續投擲一粒公正骰子 次,每次都出現 6 點的機率; P 表一次投擲 解答 三粒公正骰子,同時出現 個 6 點的機率 ()P 表投擲兩個均勻硬幣時,恰好出現一個正面的機率; P 表投擲四個均勻硬幣時,恰好出現兩個正面的機率 () 連續投擲一公正硬幣 次, P 表擲出 正正 正正正 的機率; P 表擲出 正正正正反 的機率 () 同時投擲兩粒公正骰子一次, P 表出現一個 點一個 點的機率; P 表兩個骰子都出現 點的機率. () P P 6 () P, P 6 8 P P () () P, P 6 6 故選 ()(). ( ). 某高中共有 0 個班級,每班各有 0 位學生,其中男生 人,女生 人.若從全校 800 人中以簡單 解答 隨機抽樣抽出 80 人,試問下列哪些選項是正確的? () 每班至少會有一人被抽中 () 抽出來的男生 人數一定比女生人數多 () 已知小文是男生,小美是女生,則小文被抽中的機率大於小美被抽中的機 率 () 若學生甲和學生乙在同一班,學生丙在另外一班,則甲 乙兩人同時被抽中的機率跟甲 丙兩 人同時被抽中的機率一樣 () 學生 A 和學生 B 是兄弟,他們同時被抽中的機率小於 00. () :不一定. () :不一定,有可能男生 0 人,女生 60 人

79 80 () :每人抽中之機率均為 () :機率均為 () : A, B 同時被抽中 ( ). 甲 乙 丙三人參加一投擲公正銅板的遊戲,每一局三人各擲銅板 次;在某局中,當有一人投擲結 果與其他二人不同時,此人尌出局且遊戲終止;否則尌進入下一局,並依前述規則繼續進行,直到有 人出局為止.試問下列哪些選項是正確的? () 第一局甲尌出局的機率是 () 第一局尌有人出局的 機率是 () 第三局才有人出局的機率是 6 () 已知到第十局才有人出局,則甲出局的機率是 解答 () 該遊戲在終止前,至少玩了六局的機率大於 000. (). (). () 每一局沒有人出局的機率為,故第三局才有人出局的機率為. 6 () 甲 乙 丙三人在每一局中出局的機率均等,故第十局的出局者為甲的機率是. () 至少玩了六局的機率 6 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 故選 ()(). 三 填充題. 由 0 挑出,, 三個數字,且.求 與 至少差, 與 至少差 的機率為. 解答 ! 098 樣本空間 09 0, 7!! 而滿足 且, 的情形算法如下:

80 令 ', ', ' 8 ' ' ' 且 ', ', ' {,,,,}, 只要從 {,,,} 找出的 ( ', ', '),尌可以得到一組 (,, ), 此時,, 必滿足,, 而從 ~ 可重複取 個取法為 H 機率 ! 6,!!. 在遊戲中,阿玲拿到如下的數字卡.主持人隨機從 至 9 號球中同時取出三球,若這三球的號碼中任兩個都不在 卡片上的同一行也不在卡片上的同一列時尌得獎,則阿玲得獎的機率為. ( 化成最簡分數 ) 解答 9 樣本空間的元素個數 ( S) 8.分下列 個步驟計算得獎事件的元素個數: () 從第一列的三數中任選一數. () 從第二列不與 () 同行的二數中任選一數. () 選第三列不與 ()() 同行的那一數. 6 即得獎事件的元素個數為 6.故得獎的機率 P. 8 a. 二階行列式 c b d 的四個成分 a b c d 皆為集合 A {,} 內的元素,所成的行列式值為奇數的機率為. 解答 8 a, b, c, d 每個位置均可排 或,故樣本空間的元素有 6 個. a b ad bc c d 為奇數, ad 為偶數, bc 為奇數,則 (a,d) (,), (,), (,) ; (b,c) (,) 有 種情形 ad 為奇數, bc 為偶數,則 (a,d) (,) ; (b,c) (,), (,), (,) 有 種情形 a 由 知 c b d 為奇數,共有 6 種情形, 6 所求 投擲甲 乙兩粒骰子,以甲出現的點數為 a,乙出現點數為 b,決定二次函數 y a b,則 y 的最小值不大

81 於 的機率為. 解答 a a a, y 的最小值不大於 b, 6 y a b ( ) b b a 6 ~ 6 ~ 6 ~ 6 ~ 6 ~ 所求的機率為. 6. 設同時投擲三粒公正的骰子,樣本點 (a,b,c),則 ()a b c 的機率為. ()a b c 0 的機率為. 解答 () 6 ;() ()P(a b c) P(a b c) P(a b c) ()a b c 0, a,b,c 6, 9 H 7 H 7 9 所求 五封寫好的信,任意放入五個寫好收信人姓名的信封內,每個信封僅裝一封信,求至少有一封信放對的機率為. 解答 9 0!! 0! 0!! 0! 9 所求 P( 全錯 ).! 用電算機欲計算 之值,按序要輸入,,, 共四個鍵.每輸入一個鍵,按錯鍵的機率 是 ;若按錯鍵則馬上能察覺,並按清除鍵 後從頭輸入 ( 即從 開始),且 鍵是不會按錯的,則需 要輸入超過八個鍵,才能算出答案的機率為. 解答 0 87 所求 P( 按 鍵 ) P( 按 鍵 ) P( 按 6 鍵 ) P( 按 7 鍵 ) P( 按 8 鍵 ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( )] ( ) 小穎的冰箱中有 顆士力架巧克力及 7 根加倍佳棒棒糖,今自 9 年 月 日起每天吃一個 ( 巧克力或棒棒糖中的一個 ),直到冰箱內的巧克力及棒棒糖吃完為止.若這 顆巧克力及 7 根棒棒糖被吃到的機會均等,則在這種吃的 - 8 -

82 過程中,冰箱內剩下巧克力數不多於冰箱內剩下棒棒糖個數的機率為. 解答 P.! 79 8!7! 加倍佳 7 6 士力架 同時擲 A 與 B 二粒骰子,設 A 出現的點數為 a, B 出現的點數為 b,且設 f() a b,則函數 y f() 的圖形通 過點 (,0) 的機率為. 解答 6 函數 y f() 的圖形過點 (,0) 時,得 f( ) 0 a b 0b a, 又滿足上式的點 (a,b) 有下列 種 (,), (,), (,), (,), (6,), 機率為 一袋中有紅球 白球共 0 個,則紅球恰有 個時由袋中取出兩球皆為同色的機率最小.解答 設紅球有 個,則白球有 0 個, 0 ( ) (0 )(9 ) 取出兩球皆同色的機率 0 90 紅球恰有 個時,機率最小. 0 ( ) 0 0. 從 ~0 的自然數中,任取相異三數,若假設每個數字被取的機會均等,則取出的數中任兩個數都至少差 ( 包 含 ) 的機率為. 解答 8 7 設取到三數為 a,b,c, a b c y z u y z u 7,且 0, u 0, y, z, 令 y' y, z' z,則 y' z' u ( A) H 6-8 -

83 6 6 A ( ) 8 PA ( )!. 0 ( S) !. 已知袋中有 個紅球及 個白球.今從袋中一次任取一球,取出不放回,連續取球,直到紅球被取光為止,則取球五次即告停止的機率為. 解答 6 五次停止, 前四次有 紅球 白球,! 6 所求. 7 6!!.6 人同時玩猜拳 ( 剪刀,石頭,布 ) 遊戲一次,求恰有兩人得勝的機率為. 解答 8 6 P 將高二博班 ~ 號的 位同學,任意等分成三組,依下列順序選出 7 個人: 各組分別選出該組中號碼最大 者 各組自剩下的同學中,再分別選出該組中號碼最大者 剩下的 6 位同學中,再選出號碼最大者,求下列各 事件的機率 () 號同學在 被選出的機率為. ()7 號同學被選出的機率為. 解答 () 0 ;() () 等分三組每組 人,所求! ! ()7 號不被選出的情形, 有一組 7 號最小 8, 有一組 7 號第二小 6,! 號不能被選出的機率!, 8! 6 0 所求.. 擲一公正骰子三次,設 A 事件為三次中至少出現一次 點的事件, B 事件為三次中至少出現一次 點的事件,求 P (A B). 解答

84 9 P (A) P (B) ( ), 6 6 A B 事件為 點 點恰出現 次!, 點出現 次, 點出現 次!!, 點出現 次, 點出現 次!!, 則 (A B) 0, 故 P (A B) P (A) P (B) P (A B) 十張分別標以,,, 0 的卡片,任意分成兩疊,每疊各五張,則,,, 四張中,每疊各有兩張的機率 為. 解答 所求! ! 0 ay 7. 投擲一粒公正的骰子二次,設第一次出現 a 點,第二次出現 b 點,則方程組 有唯一解的機率為 b y. 解答 8 9 樣本空間 S 中之元素有 個, 當方程組有唯一解時,得 :a b:,即 ab 6, 設 A 表方程組有唯一解的事件,則 A S {(,6), (,), (,), (6,)}, 8 A S =6, 所求機率 PA ( ) 袋中有 9 顆球,分別標示 ,自袋中一次取出 球,連續取 次,取後不放回,記錄得分並累加,其中取出各球的機會均等,若 球得分的帄均為 60 的事件為 B,試問 B.解答 60, , , ,0 0 90, B!. 9. 袋中有 0 元硬幣 個 元硬幣 個 元硬幣 個,若每次任取一個硬幣,取出後不放回,則 0 元硬幣比 元硬幣先取完的機率為. 解答 7-8 -

85 0 元硬幣 個, 元硬幣 個,先取完機率和個數成反比, 所求機率為. 7 [ 另解 ] 最後必為 元硬幣, 機率為 擲一粒骰子兩次,若出現點數依次為, y,則滿足 y 的機率為. 解答 6 y 0 6 6, 6 0 y (,),(,),(,),(,),(,6) 6, 6 8 y (,),(,),(,),(,6) 6, 6 y (,),(,),(,6) 6, 所求 四 計算題. 將一骰子投擲兩次,首次出現點數為 a,第二次得點數 b.作二次方程式 a b 0,求下列的機率 () 方程式有等根. () 方程式有實根. () 方程式有虛根. () 方程式有有理根. () 方程式有無理根. 解答 () 9 7 ;() ;() ;() 7 6 ;() () 有等根 a b 0, (a,b) (,),(,), 所求為. 6 8 () 有實根 a b 0,即 a b, b a,,,,6 有 種, b a,,,6 有 種, b a,,6 有 種, b a,,6 有 種, b a,6 有 種, b 6a,6 有 種, 所求為

86 9 7 () 有虛根的機率 ( 有實根的機率 ). 6 6 () 有有理根 a b 為完全帄方數, 7 (a,b) (,),(,),(,),(,),(,),(,6),(6,), 有理根的機率為 6. () 有無理根的機率 ( 有實根的機率 ) ( 有有理根的機率 ). 6. 擲一公正的骰子三次,求下列各事件的機率: () 點數愈擲愈大的機率. () 三次點數皆不同的機率. () 恰好有兩次點數相同的機率. () 三次點數的和為 8 的機率. 解答 () ; () 9 ; () ; () 7 7 樣本空間元素個數 (S) 6 () 從 6 種點數中選取 種點數的方法有 6 種,由小排到大的排法有 種. 6 故機率為. 6 6 P () 機率為. 6 9 () 擲三次骰子有一個點數出現 次,另一個點數出現 次,選法有 6 種; 而排法有!! 種.故所求機率為 () 點數和為 8 的情形如下 6!! 6 (,, 6), (,, ), (,, )!!, (,, ), (,, )! 6, 6 7 故所求機率為

87 . 甲乙等 名志工被分配到 A, B, 與 D 四個不同的崗位服務,每個崗位至少有一人,求 () 甲乙兩人同在 A 崗位服務的機率. () 甲乙兩人不在同一個崗位服務的機率. 解答 () 0 ;() 9 0 已知 名志工被分配到四個崗位,且每個崗位至少有一人,因此,有一個崗位分配到 名志工,其餘三 個崗位各有 名志工,共有! 0 種分配方式.! 6 () 甲乙兩人同在 A 崗位,其餘三人帄均分配到其餘三個崗位的分配方式有! 6 種,故機率為. 0 0 () 甲乙兩人同在一崗位服務 的情形可分為同在 A, B,, D 崗位服務四種,且由 () 可知,甲乙兩 人同在 A, B,, D 崗位服務的機率皆為 0.因此, 甲乙兩人同在一崗位服務 的機率為. 0 0 事件 甲乙兩人不在同一崗位服務 的補集為事件 甲乙兩人同在一崗位服務,故 甲乙兩人不在 9 同一崗位服務 的機率為 自,,,, 8,9 等九個數字中任取相異三數,試求下列各事件的機率 () 三數成等差數列. () 三數成等比數列. () 三數成等差且等比數列. () 三數成等差或等比數列. 解答 () ;() ;()0;() ()d 有 (,,),(,,),,(7,8,9)7 種, d 有 (,,),(,,6),(,,7), (,6,8),(,7,9) 種, d 有 (,,7),(,,8),(,6,9) 種, d 有 (,,9) 種, 7 成等差的機率為 9. ()r 有 (,,),(,,8) 種, r 有 (,,9) 種, r 有 (,6,9) 種, 成等比的機率為 9. 8 () 三數成等差且等比數列者不會發生,故機率為

88 () 三數成等差或等比數列的機率為.. 有一隻精力旺盛的青蛙在五塊石頭 A, B,, D, E 上跳來跳去,若青蛙在 A 石起跳,且每次跳動必跳到另一石 頭上 ( 即不跳在原站立的石頭上 ),且跳在任何一塊其餘石頭上的機率均等,今以 P() 表示青蛙跳了 次時停在 A 石的機率,明顯的 P() 0,求: ()P()? () 若 P() r s P( ) ( ),則數對 (r,s)? () 若已知跳了 6 次時停在 A 石,求跳了 次時亦停在 A 石的機率? 解答 () ;()(, );() 0 ()A B D E A A A A P(). () 前 ( ) 次不在 A 時 A P( ) 前 ( ) 次在 A 時 A P( ) 0 P() ( P( )) ( ) 0 P ( ) P r, s (r,s) (, ). () 令 P( ) ( P( ) ) P( ) ( P( ) ) P( ) ( ) ( P() ) 0 又 P() 0 P( ) ( ) P(6)

89 補充:若覺得以上解法太複雜亦可代入 P( ) P( ) 0 P() 0 P() P() P() P() P(6) 第 次 A 第 次 B D E 第 6 次 A A A A P( 第 次在 A 且第 6 次亦在 A) P() 6 6 P( 第 次亦在 A 第 6 次在 A) 條件機率與貝氏定理 一 單選題 ( ).00 位同學,男女生投球狀況統計交叉列表如表,則下列選項何者正確? () P (A ) 0. () P (B ) 解答 0. () P (A B ) 0. () P (B A ) 0.6 () P (B A ) 女 A 男 A 合計 進 B 0 不進 B 0 女 A 0 () P (A ) 0. 全部 00 不進 B () P (B ) 0. 全部 A且 B () P (A B ) 0. 全部 00 P( B A) 0. () P (B A ) 0.6 PA ( ) 0. 8 P( B A) 0. () P (B A ) 0. PA ( ) 0.6 故選 (). ( ). 袋子裡有 顆白球, 顆黑球.由甲 乙 丙三人依序各抽取 顆球,抽取後不放回.若每顆球被取出

90 的機會相等,請問在甲和乙抽到相同顏色球的條件下,丙抽到白球之條件機率為何? () () () () (). 解答 P( 甲乙同色 丙白 ) P( 丙白 甲乙同色 ) P( 甲乙同色 ) 故選 ().. ( ). 某工廠有三部機器 A B 產量分別占全部的 60%, 0%, 0%,又設 A B 三部機器所生產的不 良品率依次為 %, %, %,由全部產品中任取一產品,發現其為不良品,則此不良品來自 A 機器的 機率為 () () () 9 (). 解答 60% % P ( 來自 A 不良 ),故選(). 60% % 0% % 0% % ( ). 某疾病可分為兩種類型:第一類占 70%,可藉由藥物 A 治療,其每一次療程的成功率為 70%,且每一次療程的成功與否互相獨立;其餘為第二類,藥物 A 治療方式完全無效.在不知道患者所患此疾病的類型,且用藥物 A 第一次療程失敗的情況下,進行第二次療程成功的條件機率最接近下列哪一個選項? ()0. ()0. ()0. ()0. ()0..解答 依題意得下圖: 70% 某疾病 第一類 0% 70% 0% 失敗 成功 70% 失敗 成功 0% 第二類 00% 失敗 00% 失敗 根據條件機率的定義,得 P( 第一次失敗 第二次成功 ) P( 第二次成功 第一次失敗 ) P( 第一次失敗 ) 70% 0% 70% 70% 0% 0% 00% 故選 (). ( ). 設 P :表示丟 個公正硬幣時,恰好出現 個正面的機率, P :表示擲 個均勻骰子,恰好出現 個偶數點的機率, P :表示丟 個公正硬幣時,恰好出現 個正面的機率.試問下列選項何者為真? ()P P P ()P P P ()P P P ()P P P ()P P P.解答

91 一個正面一個反面的機率 p, 一個偶數點的機率為 p 二個正面的機率為 p 故選 (). ( ), 6 ( ), 8 二 多選題 ( ). 已知小明在罰球線上投籃的命中率為,且每次罰球都是獨立事件,則下列何者正確? () 小明投 次皆中的機率為 9 () 小明投 次恰中 次的機率為 () 小明投 次,恰在第 次中第 個球的 6 機率為 8 () 小明投 次,中球次數的期望值為 () 小明投 次,至少中一球的機率超過 99%. 解答 () : 9 () : 0 ( ) ( ) () : 8 6 ( ) ( ) ( ) 8 0 () : E p () : ( ) % 故選 ()()(). ( ). 袋中有 個紅球 個白球,今自袋中隨機取球,則下列敘述何者正確? () 一次取兩球,恰為一紅 球一白球的機率為 7 () 一次取一球,取後放回,共取兩次,恰為一紅球一白球的機率為 9 () 一 次取一球,取後不放回,共取兩次,恰為一紅球一白球的機率為 7 () 一次取一球,取後不放回,直 到所有球都取完,則第二次取到的是白球的機率為 7.解答 () :

92 () : ( )( ) () : () : 取後不放回, 每一次取白球的機率 第一次取白球的機率 7 故選 ()()(). ( ). 袋中有 個紅球 個白球,今自袋中隨機取球,則下列敘述何者正確? () 一次取兩球,恰為一紅 球一白球的機率為 7 () 一次取一球,取後放回,共取兩次,恰為一紅球一白球的機率為 9 () 一 次取一球,取後不放回,共取兩次,恰為一紅球一白球的機率為 7 () 一次取一球,取後不放回,直 到所有球都取完,則第二次取到的是白球的機率為 7.解答 () : 7 7 () : ( )( ) () : () : 取後不放回, 每一次取白球的機率 第一次取白球的機率 7 故選 ()()(). ( ). 第一次段考,全班學生中有 英文不及格,有 數學不及格,有兩科都不及格,則下列選項何者正 確? () 該班學生中英文不及格與數學不及格為獨立事件 () 自該班中任選一人,則此人至少一科不 及格的機率為 6 () 自該班中任選一人,則此人兩科恰有一科不及格的機率為 0 () 自該班中任選 一人,已知此人英文不及格,則他數學也不及格的機率為 () 自該班恰有一科不及格的學生中任選 一人,則此人為數學不及格的機率為.解答 - 9 -

93 E 0 M () : P( E M ), P( E) P( M ) P( E M ) 6 () : () : 0 0 () : P( 英數不及格 英文不及格 ) () : P( 數學不及格 恰一科不及格 ) 故選 ()()(). 0 ( ). 下列敘述何者正確? () 若 A, B 為獨立事件,則 A', B 也是獨立事件 () 若 A, B 為互斥事件,且 解答 P(A)P(B) 0,則 A, B 必為相關事件 () 若 A, B 為獨立事件, B, 為獨立事件,則 A, 也是獨立 事件 () 若 A, B 為獨立事件, B, 為獨立事件,, A 為獨立事件,則 A, B, 三事件獨立 () 若 A, B, 為獨立事件,則 P(A B ) P(A B). () 正確. () 正確. A, B 為互斥事件,則 P(A B) 0 P(A) P(B). () 錯誤.例如擲一次骰子一次, A { 偶數點 }, B {, }, { 奇數點 }. () 錯誤.應再加上 P(A B ) P(A) P(B) P() 條件. P( A B ) P( A) P( B) P( ) () 正確. P( A B ) P( A) P( A B). P( B ) P( B) P( ) 答案為 ()()(). 三 填充題. 擲一粒公正的骰子三次,令 A 表第一次出現 偶數點 的事件, B 表三次的點數和為 點的事件,求 ()P(AB). ()P(B A). ()P(A B). 解答 () 7 08 ;() 7 ;() 7 點數和為 的情形有: - 9 -

94 ,,6! 6( 種 ),,,!! ( 種 ),,,6! 6( 種 ),,,! 6( 種 ),,,!! ( 種 ),,,!! ( 種 ), 故三次出現點數和為 的情形有 7 種,即 (B) 7, AB {(,,6), (,6,), (,,), (,,), (,6,), (,,6), (,,), (,,), (,,), (,,), (6,,), (6,,), (6,,), (6,,)}, (AB), PA ( ), 7 () P( A B) P( A B) 7 () P( B A) 08. PA ( ) 7 P( A B) () P( A B) 08. PB ( ) 同時擲三粒公正的骰子,觀察出現的點數,試求在點數和為 的條件下,每個骰子都是偶數點的機率為. 解答 7 設出現之點數分別為, y, z,且, y, z 皆大於等於, 同 y z y z 9, ', y' y, z' z, ' 0, y' 0, z' 0, 6 H 8 6 6, 和為 且每個均為偶數點有 6,,! 6 ;,,, 7 7 P( 均為偶 和為 ) 設 A, B 為獨立事件且 P(A) P(B).6,求 P(AB) 之最大值為. 解答 0.6 P( A) P( B) 由算幾不等式 P( A) P( B).6 P( A) P( B), P(A) P(B) (0.8), P(AB) P(A) P(B) 之最大值為 投擲一粒公正的骰子四次,其出現的點數依次為 a b c d,求滿足下列各條件的機率 ()a b c d 為偶數.()abcd 為偶數.()a b c d.()(a b)(b c)(c d) 0.()(a b)(b c)(c d)(d a)

95 解答 () ;() 6 ;() 9 7 ;() ;() 6 7 每投一次出現偶數點的機率為 6,出現奇數點的機率為, () 四次均出現偶數點的機率為 ( ), 恰有二次出現偶數點的機率為 ( ) ( ) 6 ( ), 四次均出現奇數點的機率為 ( ), 8 故 a b c d 為偶數的機率為 ( ) 6 ( ) ( ). 6 () 因 abcd 為奇數的機率為 ( ),故 abcd 為偶數的機率為 ()a b c d 的機率為. 6 6 () 先求 (a b)(b c)(c d) 0 的機率為 6( ) ( ), 故 (a b)(b c)(c d) 0 的機率為 ( ). 6 6 () 先求 (a b)(b c)(c d)(d a) 0 的機率, c a 時 a b c d 6( ), c a 時 a b c d 80 6( ), (a b)(b c)(c d)(d a) 0 的機率為, 故所求 (a b)(b c)(c d)(d a) 0 的機率為 投擲一粒公正的骰子 次,令 P 表示有一面連續出現兩次或兩次以上的機率,求使 P 0.9 的最小自然數. ( log 0.00, log 0.77) 解答 ( ) 0.9 ( ) 6 0. ( ) 0,

96 6 取 log log( ) log0 ( )(log6 log).6, log6 log ,取. 6. 一個抽獎活動依排隊順序抽獎,輪到抽獎的人有一次抽獎機會,抽獎方式為丟擲一枚公正銅板,正面為中獎,反面為沒中獎.獎品有三份,活動直到三份獎品都被抽中為止.則在排第四位的人可以抽獎的情況下,排第五位的人可以抽獎的條件機率為.( 化成最簡分數 ) 解答 設 A 表排第四位的人可以抽獎的事件, B 表排第五位的人可以抽獎的事件. 先計算 P (A) :因為除了前三位皆得獎時,排第四位的人不能抽獎外,其餘情形排第四位的人都可以抽 7 獎,所以 P (A) P ( 前三位皆得獎 ) ( ). 8 接著計算 P (A B) : 若要排第四位及排第五位的人都可以抽獎,則頇輪到第五位時仍至少有一份獎品尚未被抽出才可.依輪 到第五位時尚未被抽出獎品的數量討論如下 ( 表沒中獎, 表中獎 ) : () 還有 份未被抽出:其情形數為 的排列數.! () 還有 份未被抽出:其情形數為 的排列數!.! () 還有 份未被抽出:其情形數為 的排列數 6!!. 共有 6 種情形,即 P( A B). 6 P( A B) 故所求機率為 P( B A) 6. PA ( ) 設路線圖中 PQ PQ, QR QR, RS RS,甲自 P 往 P',乙自 P' 往 P,兩人同時出發,以相同速度前進,在 分叉點選擇前進方向的機會相等,則兩人相遇的機率為. Q R S P S' R' Q' P' 解答

97 P A B ' B' A' P' 甲 乙二人相遇處必在 A B A' B' ' 之一 又在 A 與 A' 相遇機率相同, B B' 亦同, ' 亦同, 甲 乙在 A 相遇之機率 9 甲 乙在 B 相遇之機率 ( ) ( ) 8 甲 乙在 相遇之機率 ( ) ( ) 由 知,甲 乙相遇之機率為 ( ) 籤筒中有 8 支竹籤,其中三支有獎.甲 乙 丙三人依序各抽一支,取出的竹籤不再放回籤筒中.若已知丙抽到 中獎,則甲 乙二人至少有一人中獎的機率為. 解答 甲 乙 丙三人抽籤結果可能為: (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ). P ( 甲 乙至少一人中 丙中 ) P( 甲 ) P( ) P( ) 乙至少一人中且丙中丙中甲 乙皆不中且丙中 P( 丙中 ) P( 丙中 ) P( 甲 ) 乙皆不中且丙中 P( 丙中 ) 某項 X 光透視檢查的可靠程度如下:患有結核病的人檢驗能正確判斷的可能性為 0.9 ;不患有結核病的人,則檢驗做了錯誤判斷的可能性為 0.0.現在對某地區人口進行此項檢查,發現經 X 光透視檢查出有結核病者是真正結核 0 病患者的機率為,求此地區結核病患者占全部人口的 %.解答 0. 設患者占全部人口,

98 P( 真有病 ) P( 真有病 有病 ) P( 有病 ) 0.9 ( ) ,故 % 籤筒中有 8 支竹籤,其中三支有獎.甲 乙 丙三人依序各抽一支,取出的竹籤不再放回籤筒中.若已知丙抽到中獎,則甲 乙二人至少有一人中獎的機率為. 解答 ( 甲中 )( 乙中 )( 丙中 ) ( 甲中 )( 乙不中 )( 丙中 ) ( 甲不中 )( 乙中 )( 丙中 ) , P( 甲, 乙至少 人中 丙中 ) 甲 乙 丙三人,每人各有一袋,甲的袋中有 個白球 個黑球,乙的袋中有 個白球 個黑球,丙的袋中 有 個白球 個黑球.甲 乙 丙三人依序投擲一粒公正骰子一次,最先擲出么點者即從自己的袋中取出兩個球. 已知取到兩個白球的條件下,求這兩個白球來自甲的機率為. 解答 取到兩個白球的機率為 P( 白球 ), 由貝氏定理, P( 甲 白球 ) 袋中裝有白球 紅球各 球,現由袋中任取一球,若取到白球則放回袋中,若取到紅球則另外再加 紅球 ( 計 紅球 ) 放回袋中,求 () 操作三次後,袋中恰有 球的機率為. () 操作三次後,袋中恰有 球的機率為. () 第三次操作時,取到紅球的機率為. 解答 () 9 7 ;() ;() () 所求 ( ). 8 () 所求 P( 紅 白 白 ) P( 白 紅 白 ) P( 白 白 紅 ) () 所求 P( 白 白 紅 ) P( 白 紅 紅 ) P( 紅 白 紅 ) P( 紅 紅 紅 )

99 設 A, B 表示同一樣本空間的兩事件,且 P(A) 0., P(AB) 0.8, () 若 A 是 B 的部分集合,則 P(B). () 若 A 和 B 為互斥事件,則 P(B). () 若 A 和 B 為獨立事件,則 P(B).解答 ()0.8;()0.;()0.6 ()A 是 B 的部分集合 AB B P(B) P(AB) 0.8. ()A, B 互斥 AB P(AB) 0, P(AB) P(A) P(B) P(AB) P(B) ()A, B 獨立 P(AB) P(A) P(B), P(AB) P(A) P(B) P(AB) P(B) 0. P(B) P(B) 下雨天的翌日也下雨的機率為,非下雨天的翌日下雨的機率為,今假設第一天是下雨天,則 () 第三天是下雨天的機率是. () 第四天是下雨天的機率是. 解答 () 9 ;() ()P( 雨, 雨, 雨 ) P( 雨, 沒雨, 雨 ). 9 () 所求 P( 雨, 雨, 雨, 雨 ) P( 雨, 雨, 沒雨, 雨 ) P( 雨, 沒雨, 雨, 雨 ) P( 雨, 沒雨, 沒雨, 雨 ) [ 另解 ] P( 第四天下雨 ) P( 第三天下雨且第四天下雨 ) P( 第三天非下雨且第四天下雨 ) 在電路圖中有 個開關,電流通過各開關的機率均為 p(0 p ),若各開關的操作獨立,求電流左端 (L) 流到右 端 (R) 的機率為. L R 解答 p p p p P{[(A A )A ](A A )} P[(A A )A ] P(A A ) P{[(A A )A ](A A )} P[(A A )(A A )] P(A A ) P{[(A A )(A A )](A A )} P(A A ) P(A A ) P(A A A ) P(A A )

100 P[(A A A A )(A A A A )] p p p p p p p p p p p. A L A A A A R 6. 甲說實話的機率為,乙說實話的機率為,今有一袋內藏 白球 紅球 黑球,自袋中任取一球,則 () 甲 乙均說白球的機率為. () 若甲 乙二人均說白球,且此球卻為紅球的機率為. 解答 () 6 7 ;() 取白 取紅或黑 甲 乙皆誠實 甲 乙皆說謊 ()P ( 甲 乙說白 ) () 某手機公司共有甲 乙 丙三個生產線,依據統計,甲 乙 丙所製造的手機中分別有 %, %, % 是瑕疵品. 若公司希望在全部的瑕疵品中,由甲生產線所製造的比例不得超過,則甲生產線所製造的手機數量可占全部手 機產量的百分比至多為 %. 解答 0 設甲 乙 丙三生產線製造的手機占全部手機的產量分別為 %, y% 與 z%(, y, z 0), 且 y z 00, % % 依題意,可列得 % % y% % z% % ( y z) (00 ) 00 兩邊同乘 (00 ),得 ,故甲生產線製造的手機占全部手機產量至多 0%. 8. 街道圖如圖 ( 每一小方格皆為正方形 ),甲自 P 往 Q,乙自 Q 往 P,兩人同時出發以相同速度,沿最短路線前進,假設在每一分叉路口時選擇前進方向的機率都相等,則甲 乙兩人在路上相遇的機率為

101 Q P 解答 6 P R S T Q 如圖: P( 相遇在 R) [ ( ) ] ( ) P( 相遇在 T), P( 相遇在 S) ( ) ( ), 6 P( 相遇 ) 擲三粒均勻骰子一次,則在點數和為 0 的條件下,三骰子出現的點數均相異的機率為. 解答 y z 0, ( 先給 ) 6 0( 再給 ) 7 ( 和為 0) H H 7, 又和為 0 且點數相異: 6,,! 6 ;,,! 6 ;,,! 6, ( 0 ) 8 則 ( 0 0) 和為且點數相異 P 和為且點數相異 和為 ( 0) 7.和為 7 0. 已知 A, B 兩事件互相獨立,若 P( AB) 且 P( A) P( A B),求數對(P(A),P(B)). 0 0 解答 (, ) 令 P(A), P(B) y, 7 P(AB) P(A) P(B) P(A) P(B) y y 0 P(A) P(AB' ) P(A) P(A) P(A) P(B) y 0 7 y 由 y 代入 得 ( )

102 0 7 0( )( 7) 0 或 即 PA ( ), PB ( ), ( P( A), P( B)) (, ). 7 ( 不合 ), 四 計算題.() 袋中有 紅球 白球,今自袋中每次探取一球,取出後不放回,問紅球先取完的機率為何? () 袋中有 紅球 白球 黑球,今自袋中每次取出一球,取出後不放回,直到所有球全部取出為止,試求紅球 先取完的機率. 解答 () 7 ;() 6 () P( 紅球先取完 ) P( 最後 個球是白球 ) P( 第 個球是白球 ). 7 ()P( 紅球先取完 ) P( 紅球比白球先取完 ) P( 紅球比黑球先取完 ) P( 紅球比白球且比黑球先取完 ) 擲一公正骰子,若出現么點或 點,則在數線上將質點向右移 單位,若出現 點或 點,則在數線上將質點向 左移 單位,若出現 點或 6 點,則不移動質點.今質點在數線上原點位置,連擲骰子六次,求質點落在 位置 的機率. 解答 設向右 向左 不動的次數分別為, y, z 次, 則有 y z 6,且 y,列出合條件之非負整數 (,, ), (,, 0). 每種情形的機率均為,且為獨立事件, 6! 6! 6 80 故所求機率為 ( )( ).!!!!!

103 . 有街道如圖 ( 每一小方格都是正方形 ),甲自 A 往 B,乙自 B 往 A,兩人同時等速出發,沿最短距離前進.則在下列情況下,兩人在路上相遇的機率是多少? () 若選每一條捷徑的機會相等 ( 要走完全程 ). () 若在每一分叉口時,選各路徑的機會相等 ( 不走完全程 ). A D E F B 解答 () 7 9 ;() 98 8 ()A B: 8! 6!!, A B :!!, A D B :!!,!!! 7 P( 相遇 ) P( 在 或 F 相遇 ) P( 在 D 或 E 相遇 ) () P( A ) ( ) ( ) ( ) ( ), P( B ) ( ), 6 6 P( 二人在 或 F 相遇 ), P( A D) ( ) 6, P( B D) ( ), 8 P( 二人在 D 或 E 相遇 ), P( 二人相遇 ) 甲 乙 丙三人命中某一靶面的機率分別是,,,今三人對同一靶各發射二發子彈,求此靶面 () 恰中二彈的機率. () 至少中二彈的機率. 解答 () 9 7 ;() 76 () 靶面恰中二彈的機率為 - 0 -

104 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 僅甲中二彈僅乙中二彈僅丙中二彈 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 甲乙各中一彈 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 甲丙各中一彈 6 9 (8 6) 乙丙各中一彈 () 靶面至少中二彈的機率 ( 靶面至多中一彈的機率 ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 皆未中彈 僅甲中一彈 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ] ) ( ) 僅乙中一彈 僅丙中一彈 甲 乙 丙三人依序輪流投擲三粒公正的骰子,約定先擲得點數和為 0 者獲勝.設由甲先開始,試求三人獲勝的 機率各分別為何? 解答 6 69, 6 69, 9 69 點數和為 0 點, y z 0, H 7 (7,0,0) (6,,0) 7! 7, P(0 點 ), 6 8 甲: 8,乙: 7,丙: 7 7, 甲 乙 丙獲勝比為 8 : 7 : :6:9, 則 P( 甲 ), P( 乙 ), P( 丙 )

105 - 一維數據分析一 單選題 ( ). 某校高一第一次段考數學成績不太理想,多數同學成績偏低;考慮到可能是同學們適應不良所致,數學老師決定將每人的原始成績取帄方根後再乘以 0 作為正式紀錄的成績.今隨機抽選 00 位同學,發現調整後的成績其帄均為 6 分,標準差為 分;試問這 00 位同學未調整前的成績之帄均 M 介於哪兩個連續正整數之間? ()0 M< () M< () M< () M< () M<.解答 新分數為 y,原分數為, 則 y 0 y 00, S y 00 ( y - 00 y ) = 99 S y 99 ( 00 y - 00y ) = y 00 = 99 S 00y , 00 y = 00 = , M 00 = ( ). 若已知某一筆數據之算術帄均數 0,標準差,中位數 Me(),眾數 Mo() 8,若 y 解答,則對新資料 y 而言,下列何者正確? () 算術帄均數 () 標準差 () 中位數 () 眾數. () : 0 7. y () : y. () : Me(y) Me(). () : Mo(y) Mo() 8 9. 故選 (). ( ). 某班有 8 名學生,某次數學考試之成績,經計算得算術帄均數為 70 分,標準差為 分.後來發現成 解答 績登錄有誤,某甲得 80 分,卻誤記為 0 分,某乙得 70 分,卻誤記為 00 分,更正後重算得標準差 為 分,試問 與 之間,有下列哪種大小關係? () () () () (). 令 8 位學生的成績為,,, 6, 0,00, 經過更正後變成,,, 6, 80,70, 6 6 可知 ,故算術帄均數不變, - 0 -

106 而 , 6 因此 ( 00) ( 00) 70 8, 00 且 ( ), 8 故,故選(). ( ). 如圖,一般在製作同一組資料的以下累積折線圖與以上累積折線圖時,若將此兩圖放在同一圖中將會發現此兩圖有一個交點 A,以下何者正確? () 其 X 軸坐標為算術帄均數 () 其 X 軸坐標為中位數 () 其 X 軸坐標為眾數 () 其 Y 軸坐標 b () 其 X 軸坐標為最大組的上限 00 與最小組的下限 0 的中點. 0 B(0, p) (0, q) A(a,b) 解答 由圖可知,選項 () 正確. ( ). 某班有學生 0 人,某次考試數學科帄均成績 0 分,標準差為 0 分,若將最高分與最低分去掉,重新 解答 計算其他 8 人的成績,帄均得 分及標準差 S 分,則 () 必大於 0 ; S 必小於 0 () 必小於 0 ; S 必大於 0 () 必小於 0 ; S 必小於 0 () 無法確定大於或小於 0 ; S 必小於 0 () 無法確定大於或小於 0 ; S 也無法確定大於或小於 0. 將最高分與最低分去掉,整個數據更集中,其標準差會變小,但帄均數無法判定, 答案為 (). 二 多選題 ( ). 有 9 名小學生的年齡分別為,,, 9,其中位數 7,算術帄均數為 0,標準差為.若令 f () ( ) ( ) ( 9 ),下列何者為真? ()f (0) 7 ()f (0) () 9 ()f () 是極小值 ()f (0) f ().解答 ()() 由標準差公式 ( 0) ( 0) ( 9 0) f (0),得 f (0). 9 9 () 因為 f (0) ( 0) ( 0) ( 9 0) 9 9 0, 所以

107 () 二次函數 f () ( ) ( ) ( 9 ) 9 ( 9 ) ( 9 ) 9 在 0 有最小值. 9 () 承上, f (0) f ().答案為 ()()(). ( ). 某公司核算各級員工薪資發現:個人薪資最高族群 ( 前 0%) 之所得是最低族群 ( 後 0%) 的 倍.為了縮短薪資差距,有人建議老闆採取以下方案:甲方案:每人每月減薪 000 元,乙方案:每人每月減薪 0%,丙方案:個人薪資最低族群,每人每月加薪 000 元.下列有關這幾個方案的敘述,哪些是正確的? () 實施甲方案後,全公司薪資差距的倍數會低於 倍 () 實施乙方案後,全公司薪資差距的倍數仍是 倍 () 實施丙方案後,全公司薪資差距的倍數會低於 倍 () 實施甲方案後,個人薪資的標準差會縮小 () 實施乙方案後,個人薪資的標準差會縮小 0%.解答 () 在實施甲方案以前,全公司薪資差距的倍數為 倍,因為假分數分子分母同減一正數時,其值會變大,因此每人每月減薪 000 元後,薪資差距反而會變大. () 在實施乙方案後,每人的薪資都是原來的 90%,因此薪資差距的倍數仍是 倍. () 在實施丙方案後,最低族群的帄均收入會提高 000 元,可縮小薪資差距,因此薪資差距的倍數會低於. () 在實施甲方案後,個人薪資的標準差和原來一樣,因為每人每月減少 000 元,只有將薪資向左帄移,所以不會影響標準差. () 在實施乙方案後,每人的薪資都是原來的 90%,因此標準差也是原來的 90%,即縮小 0%.故選項 ()()() 正確. ( ). 某班的 0 名學生參加一項考試,考題共有 00 題,全為 選 的單選題,計分方法共有 X Y 兩種; 若某學生有 N 題放棄沒答, R 題答對, W 題答錯,則 X W N R, Y R,試問下列敘述哪些是 解答 正確的? () 同一學生的 X 分數不可能大於 Y 分數 () 全班 X 分數的算術帄均數不可能大於 Y 分數 的算術帄均數 () Y 0 X () 任兩學生 X 分數的差之絕對值不可能大於 Y 分數的差之絕對值 () 用 X 分數將全班排名次的結果與用 Y 分數排名次是完全相同的. W N () X R R Y () 由 () 可知, X Y,,,, 0,所以 X Y ()R N W 00 Y R N R (00 R W) 0 R W 0 X

108 () Y Yj (0 X ) (0 X j ) ( X X j ) Y Yj X X j X X j () 由於 Y 0 X,因此用 X 分數將全班排名次的結果與用 Y 分數排名次是完全相同的 故選 ()()()(). ( ). 在 00 個數據中,有 k 個為,其餘為 0(k 是介於 0 與 00 之間的整數 ).下列選項何者正確? () 這 00 個數據的帄均數為 k () 這 00 個數據的帄均數為 k% () 這 00 個數據的標準差為 k% () 解答 這 00 個數據的標準差為 k% () 這 00 個數據的標準差為 k(00 k) 00. k (00 k) 0 這 00 個數據的帄均數為 k%. 00 這 00 個數據的標準差為 00 k k ( ) k k k 00 k. 故選項 ()() 正確. ( ). 有 0 名學生的數學考科級分數分別為,,, 0,其算術帄均數為 7 分,標準差為 分.若令 f () ( ) ( ) ( 0 ),下列何者為真? ()f (7) ()f (7) 90 () ()f (6) f (7) ()f (7) f (8).解答 ()() 由標準差公式 ( 7) ( 7) ( 0 7) f (7),得 f (7) () 因為 f (7) ( 7) ( 7) ( 0 7) 0 0 7,所以 () 因為二次函數 f () ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( 0 ) ( 0 ) 0 在 7 有最小值,所以 f (6) f (7). 0 () 承上, f (7) f (8).答案為 ()(). 三 填充題. 隨機抽樣 0 位男孩之體重如表,求體重之 () 算術帄均數 公斤. () 樣本標準差 公斤

109 體重 0~0 0~0 0~60 60~70 70~80 80~90 總計 人數 解答 ()6.;() 組中點 體重 0~0 0~0 0~60 60~70 70~80 80~90 總計 人數 ( 0) () 6. ( 公斤 ). 0 0 () ( ) 0 ( 9) 0 ( ) , 6 0 S S [ ( ) ( ) ] [00 0 (.) ], 9 7 所求為 0.. 下表為五位同學的數學與物理的測驗成績,試問 號同學的 科較好. 編號 數學 物理 , 解答 物理 設數學 (X),物理 (Y), y , , y 9 7., , 數學標準化成績是 故物理成績較好 ,物理標準化成績是 ,. 隨機抽樣 00 位學生的數學期考成績,統計如表;試計算下列各統計值. ( 可以分數或無理數表達,不一定要表示 成小數的形式 ) () 全距為 分. () 算術帄均數為 分. () 樣本標準差為 分. ( 若以小數作答,四捨五入至小數第一位 )

110 分數 人數 0~0 0 0~0 0 0~0 0~0 0~0 0~ ~70 70~ ~90 90~00 解答 ()80;();()7.7 分數組中點 人數 0~0 0 0~0 0 0~0 0 0~ ~ ~ ~ ~ () ( 分 ). ( 00) ( 00) 00 () ( 分 ). 00 () ( ) 0 ( ) 0 ( 0) 0 ( ) 0 000, 0, S S [ ( ) ( ) ] 000 [ ] 7.7( 分 ) 隨機抽樣 0 個正數,其算術帄均數為 6,樣本標準差為 ;將這 0 個數分成 A B 兩組, A 組有 6 個數, B 組有 個數.若 A 組的帄均為,樣本標準差為,則 B 組的樣本標準差為.解答 6A B B B 9, S ( ) ( ) S, 0 9 ( ) , - 0 -

111 6 又 6, SB 9 S B S B.. 以下為某次抽考 00 位學生的數學成績次數分配表,求 () 全距: 分. () 中位數: 分. () 帄均數: 分. () 標準差 S 最接近的整數 為. 成績 0~0 0~0 0~60 60~70 70~80 80~90 90~00 人數 解答 ()70;()6.;()6.;() () 全距: ( 分 ). () , 中位數為 ( 分 ). 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 () 帄均數: ( 分 ). 00 () S ( 0) ( 0) ( 0) (.) 00, 最接近 有 0 筆數據,,, 0,已知二次函數 f ( ) ( ) ,則,,, 0 的標準差 為. 解答 0 k k k k k k k k. f ( ) ( ) 0 ( ) k 00, 0 0 k k k k k 0, ( k ) k k k 有一組數據:,6,7,0,0,,求 () 算術帄均數. () 標準差. 解答 ();() (). 6 0 () ( ) 隨機抽樣某班數學小考成績如表,則 - -

112 () 全距 分. () 算術帄均數 分. () 樣本標準差 a 簡分數表示 ) 分數 人數 0~0 0~0 7 0~ ~ ~ ~ ~00 合計 0,則 a. ( 以最 解答 ()70;()67;() () 全距 ( 分 ) () 6 67 ( 分 ). 0 分數 組中點 人數 0~0 0~0 7 0~ ~ ~ ~ ~00 9 合計 0 () ( ) 0 (0 6) 0 (0 7) 0 ( ) 700 S S 6 [ ( ) ( ) ] 700 (700 0 ) a 張老師有兩班自然組的學生, A 班有 0 人, B 班有 0 人,某次月考後, A 班的算術帄均數為 6 分, B 班的算術帄均數為 60 分.今有 A 班兩學生因老師改錯而來改分數,一位少給 分,另一位則多給了 分,試問成績改正後,張老師兩班自然組的學生的算術帄均數變化為 分. ( 請填增加或減少 ), 解答 增加了 原帄均,新帄均,

113 增加了 6 60 ( 分 ) 已知某地區人口近四年的成長率分別為 0%, 60%, 0%, 0%,則此地區人口這四年的帄均成長率為 %. 解答 0 設帄均成長率為, ( 0%)( 60%)( 0%)( 0%) (.). 0. 0%.. 隨機抽樣 0 位同學數學成績帄均為 60 分,樣本標準差 分;已知 0 人中 8 人的成績為,6,7,8,60, 6,6,6,則另外兩人的成績為 分. 解答 66,9 設另兩人的成績為 60, 60 y, y 60 0 y y 7 9 (6 6 y ) 由 y 代入 ( 6)( ) 0, 6 或, y 或 y 6, 兩人的成績為 66,9( 分 ).. 某班學生 0 人分為甲 乙兩組,甲組學生 0 人,學期成績帄均 70 分,樣本標準差 0 分;乙組學生 0 人,帄 均 60 分,樣本標準差 8 分;若全班 0 人之樣本標準差為 k 7 分,則 k. ( 樣本標準差 S 解答 6 ( ) ) , 0 甲 , 乙 , S ( 066 ) k 某校二年四班有學生 7 人,某次數學測驗成績經計算算術帄均數與標準差後發現成績有誤,甲多算了 0 分,乙少算了 0 分,經重新計算算術帄均數與標準差後,則 的說法正確.甲說:標準差必不變.乙說:算術帄均數必不變.丙說:全距必不變.丁說:中位數必不變.戊說:變異數必不變.解答乙只有乙正確,其餘均有可能會改變.. 某地區過去六年的經濟成長率分別為 %, 8%, %, 0%, 0%, %,請算出這六年的帄均成長率為 - -

114 %. 解答 9.96 ( ) %.. 甲 乙 丙三班,人數甲班 0 人,乙班 0 人,丙班 0 人;算術帄均數甲班 80,乙班 7,丙班 8 ;標準差甲班 8,乙班 6,丙班,求此 00 人的 () 算術帄均數為. () 母體標準差為. 解答 ()80;() () () 甲 乙 丙 , , , 所求 80 ( ) 某次考試,某班的數學成績不太理想,全班 0 位學生成績的算術帄均數為 6 分,標準差為 分,全班最高也 僅 66 分.該班數學老師決定將每位學生的原始成績 調整為成績 y,作為成績的正式紀錄. () 如果老師採取線型函數 y a b 調整成績,並設定 y 成績的最高分為 00 分, y 成績的算術帄均數為 60 分,則 y 成績的標準差為 分. () 如果老師採取根式函數 y 0 的正整數為 分. 調整成績,且經計算知 y 成績的算術帄均數為 9 分,則 y 成績的標準差最接近 ( 本題的標準差係指母群體標準差,定義如下:母群體,,, 的標準差 算術帄均數 ) 解答 ()6;() 由題意可知 6,, 60 a 6 b ()y a b 00 a 66 b 由 0a 0 a, b,即調整的公式為 y, ( ) ( ), 為 y 6 ( 分 ). () y 0 y 00, , 0 0 y ( y y ) ( ) 9 ( 分 ) 設數據,,, 0 的帄均數,標準差為,令 y a b,,,, 0,其中 a 0.已知 y, y,, y 0 的帄均數 y,標準差 y,則()a,()b. - -

115 解答 ();() 7 由 y 知 a. 因為 y a b,即 b,得 b 7. 故 a, b 如圖,為某校學生數學成績的以上累積次數與以下累積次數曲線圖,則數學成績的中位數為. 累積 000 人 800 數 A 分數 解答 67. 以上累積次數 和 以下累積次數 兩者圖形交點的 坐標即為 中位數, y 坐標即為 總人數的一 半, 某次考試班上數學的帄均 6 分,標準差 8 分,英文的帄均 70 分,標準差 0 分;張三數學成績為 70 分,英文成績為 7 分,他 科考得較好. 解答 數學 數學標準化成績是 ,英文標準化成績是 , 故數學科成績較好. 0. 某次考試抽出自然組 00 人,數學帄均 7 分,標準差 分;社會組 00 人,數學帄均 77 分,標準差 分,若此 00 名學生帄均分數為 a 分,樣本變異數 S ( 四捨五入至整數位 ) b 分,求數對 (a,b). 解答 7,7 77 a , ( ) S, b a 6.9 7, (a,b) (7,7). 四 計算題. 隨機抽樣 0 個同學的身高統計如表,求 () 身高的中位數. ( 四捨五入至小數第二位 )() 身高的樣本標準差. ( 四捨五入至小數第二位 ) - -

116 身高 人數 ~8 8~6 6~6 6 6~ ~ ~7 7~76 解答 ()6.67 公分 ;(). 公分 () 0, Me ( 公分 ). 9 () 身高組中點 人數 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ , 0 ( ) 0 9 (6 7) 6 ( ) 9 ( ) 0, 6. 0., S S 6. [ ( ) ( ) ] [0 0 ( ) ].( 公分 ). 9. 九位學生的數學抽考分數分別為 0,0,60,0,70,80,60,90,60.現在從這九個分數中任取出三個.所取 出三個分數的中位數等於 60 分的取法有幾種? 解答 6 種 將 9 人依分數高低排列: 0,0,0,60,60,60,70,80,90. 可能取法有: - 6 -

117 60 分取 個,低於 60 分 個,高於 60 分 個: 60 分取 個,其他分數任取 個: 6 60 分取 個:, 全部情況共 7 8 6( 種 ). 8, 7,.() 試證明:隨機抽樣 個數值資料,,,, 的標準差為 ( ). () 設現在有 個數值資料滿足 a k k, k,,,,,試求此 個數值資料的標準差. 解答 () 見 ;() 6 (), ( )( ) ( ) S 6 [( ) ( ) ] [ ] ( ) ( ) ( ) (. ) 6 () 由 () 知:,,,, 的 S 0, a k k, Sa k 以下哪些人的說法正確?甲說: 0,,,,, 六個數的標準差與,,,,0, 六個數的標準差相同.乙說: 0,,,,, 六個數的標準差與 0,,,,, 六個數的標準差相同.丙說: 0,,,,, 六個數的標準差與 0,,,6,8,0 六個數的標準差相同.丁說: 0,,,,, 六個數的標準差與 0,,,6,8,0 六個數的標準差相同. 戊說: 0,,,,, 六個數的標準差與 0,,,,, 六個數的標準差相同. 解答 甲 乙 甲 : y, y 乙 : y 0, y - 7 -

118 丙 : y 0, y 丁 : y, y 戊 : y, y 故選甲 乙.. 下學期第二次段考自然組數學二年級成績統計如下:第二類組學生 00 人帄均成績 7 分,標準差,第三類組學 生 00 人帄均成績 77 分,標準差,求 00 人的標準差. ( 四捨五入至整數位 ) 解答 分 帄均數 標準差 第二類組 0 第三類組 6 設 ' 7, 6 00, 00 ( ) S 00 ( ) S, ( ), 00 ( ) , 0 00 ( ) , S S 7 00 (99 00 ) 6.9 ( 分 ). - 二維數據分析一 單選題 ( ). 一組數據 (,y ),,,, 0,, y 分別為 與 y (,,, 0) 的算術帄均數,下列各敘述何者是不正確的? () 相關係數 r 必有 r () 相關係數不受單位的影響 ()y 對 的迴歸直線 必過原點 ()y 對 的迴歸直線必過 (, ) () 相關係數與迴歸直線之斜率同號. 解答 () :不一定過原點 y - 8 -

119 y () : 斜率 mr, 斜率與相關係數同號 故選 (). ( ). 關於散布圖的敘述,下列各選項中哪些是正確的? () 若各數據點全落在一直線上,表示兩組資料呈 現完全相關 () 若以 (, ) 當作原點,各數據點多半集中在第二 四象限,表示兩組數據呈現正相 y 關 () 若各數據點散布上 下 左 右均成對稱,表示兩組數據為零相關 () 若各數據點帄行 軸, 表示兩組數據呈現完全正相關 () 散布圖上各數據點的迴歸直線,其斜率恰等於相關係數. 解答 () 若為鉛直線或水帄線,則為零相關. () 二 四象限表示負相關. () 若帄行 軸,表示兩組數據為零相關. () 在已標準化數據的散布圖上方有此性質. 答案為 (). ( ).0 位考生的國文與數學成績如表,今已算出國文成績的標準差為 8.9( 取至小數點第一位 ),數學成績 的標準差為 7.( 取至小數點第一位 ),則此十位考生成績的相關係數最接近 () 0.8 ()0. ()0.66 ()0.78 ()0.8. 考生編號 國文 數學 解答 令 表國文成績, y 表數學成績, y 0 r , , 0 ( )( y ) (89 7)(7 66) (6 7)(7 66) (66 7)(69 66), y 0 ( )( y y ) 0.77,故選(). ( ) y ( ). 經濟學者分析某公司服務年資相近的員工之 年薪 與 尌學年數 的資料,得到這樣的結論: 員工尌學年數每增加一年,其年薪帄均增加 8 萬 千元.試問上述結論可直接從下列哪些選項中的統計量得到? () 年薪 之眾數與 尌學年數 之眾數 () 年薪 之全距與 尌學年數 之全距 () 年薪 之帄均數與 尌學年數 之帄均數 () 年薪 與 尌學年數 之相關係數 () 年薪 對 尌學年數 之迴歸直線斜率.解答 - 9 -

120 眾數與帄均數只能看出數據集中的趨勢,全距雖然可以看出數據離散的趨勢,但只能粗略的說明資料分布範圍,且易受到極端數值影響,只有在資料分布接近於某一直線的兩側時才較有意義,而相關係數與使用的單位無關,從它的值只能猜測資料分布的集中與否,無法判斷資料分布的傾斜程度.另外,若 年薪 ( 萬元 ) y 對 尌學年數 的迴歸直線斜率為 8.,即 y a 8. 便可以推出 員工尌學年數每增加一年,其年薪帄均增加 8. 萬元 的結論. ( ). 下圖為變數 X 與 Y 的散布圖,試問下列哪個選項的直線最有可能是依最小帄方法所得 Y 對 X 的迴歸直線? Y X () Y () Y () Y X () Y () Y X X X X 解答 由散布圖來看可知應是負相關,故迴歸直線的斜率應為負;再考慮滿足帄方和最小的條件,故選 (). 二 多選題 ( ). 設有 0 筆樣本點 (,y ) 的數據,, y,相關係數為,且 y 對 的迴歸線過 (0,),則下列何者 解答 為真? () 迴歸直線方程式為 y () 迴歸直線過 (0,0) () 組的標準差大於 y 組的標準差 () 迴歸線的斜率為 () 迴歸線的斜率為. S Sy 且, y, r y ( ), S S y 由 y y r S y 過 (0,), ( ) S y S, S S y 則迴歸直線為 y ( ) y ( ) y, S () : y 對 的迴歸直線方程式為 y y - 0 -

121 () :迴歸直線不過 (0,0) () : S S y, S S y () : y 對 的迴歸直線的斜率為 () 故選 ()(). ( ). 有 0 筆抽樣數據 (,y ),,,, 0,其帄均, y, 與 y 的相關係數 r 0.8,且 y 對 的 迴歸直線過點,0,則下列何者正確? () 迴歸直線過點, () 迴歸直線的斜率為 0.8 () 的 標準差小於 y 的標準差 () 令, y y,,,, 0,則, y 的相關程度高 解答 於, y 的相關程度 () 令, y y,,,, 0,則 y 對 的迴歸直線斜 率為. 迴歸直線過 ( y, ) (,) 0,又過(,0), 斜率 m, 得迴歸直線為 y 0 ( )y 0, () : (,) 代入成立 () :斜率為 S y Sy () : mr 0.8 Sy S S, 的標準差小於 y 的標準差 S S () : r (',y') r (, y ) r (,y) 0.8,但 r (',y') r (,y),則二者相關程度相同 Sy Sy Sy () : S '' S, S y'' S y, r ('',y'') r (,y),斜率 m r r r S S S 故選 ()()(). ( ). 某一實驗測得 組樣本點 (,y ),(,y ),,(,y ),已知 6, y, ( ) 6, ( y y),及 ( )( y y) 0,請問下列敘述何者正確? () 與 y 相關係數為 0 () 用最小帄方法求得之迴歸直線斜率不為 0 () 用最小帄方法求得之迴歸直線 y 截距為 () 迴歸直線過 (,) () 若此組實驗數據再增加一個樣本點 (00,),則滿足此 6 個樣本點之迴歸直線不改變.解答 () : r ( )( y y) ( ) ( y y) 0 - -

122 () :斜率 m ( )( y y) 0 ( ) () : y, y y 0 y () : 6,過 ( y, ) (,) () :增加之點 (00,) 在迴歸直線上,故不會改變 故選 ()()()(). ( ). 有 0 筆數據 (,y ),,,,, 0,其帄均 60, y 70, 與 y 相關係數為 0.9,且 y 對 解答 的迴歸直線過點 (0,0),則下列何者是正確的? () 迴歸直線的斜率為 0.9 () 的標準差大於 y 的標 準差 () 迴歸直線過點 (0,0) () 若 u 6, v 6y 0(,,,, 0),則 u 與 v 的 相關係數為 0.9 () 已知第 筆數據 (,y ) 的 70,若利用此 0 筆數據的迴歸直線,則預測 y () :迴歸直線過 (, y) (60,70),又過(0,0),故斜率 m y () :斜率 y 0.8,故 的標準差大於 y 的標準差 () :迴歸直線為 y ( 60)y 0.7, (0,0) 代入得 ,故不過點 (0,0) () : r (u,v) r (,y) 0.9 () : 70 代入得 y 故選 ()(). ( ). 下圖是 位學生某數學競試得分的散布圖,其中 X 表選擇題的得分, Y 表非選擇題的得分.設 Z X Y 為各生在該測驗的總分.以下哪些選項是正確的? ()X 的中位數 Y 的中位數 ()X 的標準差 Y 的標準差 ()X 的全距 Y 的全距 ()Z 的中位數 X 的中位數 Y 的中位數 () 若以最小帄方法 決定數據集中趨勢的直線,則該直線的斜率小於

123 0 0 Y X 解答 () 在散布圖中,由左而右可看出 X 的中位數為第 6 個點的 X 坐標約為,由下往上可看出 Y 的中位數 為第 6 個點的 Y 坐標約為 8.故 X 的中位數 Y 的中位數. () 散布圖中 X 的數據約散布在 到 8 之間, Y 的數據約散布在 到 6 之間,所以 Y 的數據資料比 X 的數據資料集中,故 Y 的標準差 X 的標準差. ()X 的全距約為 8, Y 的全距約為 6.故 X 的全距 Y 的全距. ()Z X Y 但 Z 的中位數不一定等於 X 的中位數 Y 的中位數.檢查散布圖中 位同學的總分 Z 由左而右約為 7,6,7,,7,70,6,7,70,78,8.由小而大重新排列為 7,6,,7,7,6,70, 70,7,78,8.中位數為 6 8. () 可看出斜率為正.故答案為 ()()(). 三 填充題. 研究 0 位學生某次段考甲 乙兩學科測驗成績的相關性,設其相關係數為 r.若已知此 0 位學生的成績如表,求 () 甲 乙兩學科之相關係數為. () 甲科對乙科的最佳直線為. () 乙科對甲科的最佳直線為. 學生代號 A B D E F G H I J 總計 甲科測驗 乙科測驗 解答 () 0.78;() 0.9y.6;()y 7 9 ( 6) 0 - -

124 60 70 設變數 表甲科, y 表乙科,則 6, y 7, 0 0 y 0 0 y ( )( y ) 9, y 0 ( ) 0, 0 ( y ) 0, y () r ( y, ) 0 ( )( y ) y 0 0 ( ) ( y y ) y 9 () ( y y) 6 ( y 7) 0.9y.6. 0 yy y () y y ( ) y ( 6) 9 y 7 ( 6). 0. 隨機抽樣高三自然組 00 位學生的數學成績與物理成績以 (,y ) 表示,經過計算後得出下列各統計值: 68, 00 y 69, 00 90, y y 線方程式為. 解答 y 69 0 ( 68) , y y 00.試求物理成績對數學成績的迴歸直 Sy 00 y y ( ) y 69 ( 68) y 69 0 ( 68). S 設有兩組變量 與 y,每組均有 0 個數據 (,,, 0 ; y, y,, y 0 ),已知 0 y, 解答 y 8,則這兩組變量, y 的相關係數 r. 0 0, 0, y,, y, ( )( y ) y , y y ( ) , 0 0 y y y y ( ) , - -

125 r 0 ( )( y ) y ( ) ( y y ) 某班的 0 名學生參加一項考試,考題共有 00 題,全為 選 的單選題,計分共有, y 兩種;若某學生有 題 w 放棄沒答, r 題答對, w 題答錯,則 r, yr,另設 a, b y 00, () 若甲生的 分數為 6 分,則甲生的 y 分數為 分. ()a 分數與 b 分數兩者的相關係數為.解答 ()7;() w r, yr, 00 r w, 00 r w w w y r 0 r 0 ( r ) 0, () 6, y ( 分 ). () a, b y 00, y0 為線性函數且斜率為正, r (,y), r r r. 故 ( a, b) (, y) (, y00). 研究六位學生的性向測驗與成尌測驗的關係,已知六位學生兩種測驗的得分如表,則 () 試作散布圖. () 求相關係數為. ( 四捨五入到小數點後第二位 ) () 滿足這些數據的最佳直線 y f (),求 f (). () 依照最佳直線 y f (),推測 時, y 應該為. 得分 學生代號 A B D E F 總計 性向 X 成尌 Y 解答 () 見 ;()0.9;() ;()6 () Y X - -

126 () y y y ( )(y y ) ( ) (y y ) , y , r () m 6,則迴歸直線 y 0 ( 8) y. () 當, y 名相同類組的學生 在校模擬考 與 升學指定考 的成績如表,求 () 此 6 名學生模擬考成績與指定考成績的相關係數為.( 四捨五入至小數點後兩位 ) () 此 6 名學生指定考成績對模擬考成績的最佳直線為.( 若以小數作答,請四捨五入至小數點後兩位 ) () 若阿達的模擬考成績為 7 分,試以此最佳直線預測他的指定考成績約為 分. ( 以整數作答 ) () 若此 6 名學生全類組的模擬考帄均分數為 6 分,標準差為 8 分;指定考帄均分數為 70 分,標準差為 0 分,則 號學生在這兩種考試成績中, 較好. 學生編號 6 模擬考 () 指定考 (y) 解答 ()0.;()y 7 0.( 68);()77;() 模擬考 學生編號 6 y y ( ) 68, y 80 (0 8 ) 7, 6 6 () 6 ( )( y ) , y - 6 -

127 r 6 ( )( y ) y 6 6 ( ) ( y y ) () m 6 ( )( y ) y 6 ( ) 0.,則最佳直線 y 7 0.( 68). 0 () 7 代入 y 7 0. (7 68) ( 分 ). () 模擬考: ,指定考: , 模擬考較好. 7. 五位學生的數學成績 X 與英文成績 Y 如表,求 () 相關係數為. () 迴歸直線為. 數學成績 X 英文成績 Y 解答 ()0.6;() y 0 y y y ( )(y y ) ( ) (y y ) , y 00 80, () r () m,則 y 設 0 位學生的性向測驗與成尌的成績如表,求 ( 7) y 0 () 相關係數為. ()y 對 的最佳直線方程式為. () 對 y 的最佳直線方程式為.. 性向 () 成尌 (y)

128 解答 ()0.67;()y ( 7);() 7 (y 8) y 0 0 y 0 7, 8, y 0 ( )( y ) 7, y 0 ( ) 70, 0 ( y ) 70, y () r 0 ( )( y ) y 0 0 ( ) ( y y ) y 7 7 () y y ( ) y8 ( 7) y 8 ( 7) y 7 7 () ( y y) 7 ( y 8) 7 ( y 8) yy 9. 已知變數 的算術帄均數,標準差 ;變數 y 的算術帄均數 y,標準差 y,變數 與變數 y 的相關係數 r (,y) 0.,若 p, q y,則 () 變數 p 與變數 q 的相關係數 r (p,q). ()q 對 p 的迴歸直線方程式為.解答 () 0.;()y ()p, q y, r (p,q) r (,y) 0.. () p, q y, p, q y, q 斜率 m r ( 0.), q 對 p 的迴歸直線為 y ( )y. p 0. 十位考生之國文與數學成績列表如下,求 () 相關係數為. () 數學對國文的最佳直線方程式為. 考生編號 國文 X 數學 Y 解答 ()0.66;() y ( 7)

129 y y y ( )(y y ) ( ) (y y ) , y 66, 0 0 () r () m ,則 y ( 7) y ( 7) 莊家有一條船,其耗油率好像與船的時速有關,假設今有樣本數據如表,求 () 耗油率 Y 對速度 X 的迴歸直線 ( 最佳直線 ) 為. () 下次如果船的速度是每小時 哩,則可預估耗油率是每小時 加侖. 速度 X ( 哩 / 時 ) 6 8 耗油率 Y ( 加侖 / 時 ) 解答 ()y y ( 9.6);().7 y y ( )( y ) ( ) y 總計

130 (6 8 ) 9.6, y ( ) 7.6 y 6.0 () y y ( ) y 7.6 ( 9.6) y ( 9.6) () y 7.6 ( 9.6).7 ( 加侖 ). 8.. 某班上有十個學生 ( 以甲,乙,,癸編號 ),其期末成績與該學期上課時缺課數的統計數據如表,求 () 這十個學生的缺課數 X 與期末成績 Y 的相關係數為. () 這十個數據,變數 Y 對 X 的最佳直線方程式為. 學生甲乙丙丁戊己庚辛壬癸 缺課數 X 0 6 成績 Y 解答 () 0.9;()y 7 7 y y y ( )(y y ) ( ) (y y ) 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 總計 , y 7, 0 0 () r () m,則 y ( ) y 一行銷顧問公司為了解各商店電視廣告是否對其營業有幫助,所以隨機抽取七家商店得到資料如表,若廣告次數 b c 與營業額的相關係數 (a, b, c,且(a,b,c) ),則 a b c. a - 0 -

131 商店一二三四五六七 廣告次數 月營業額 ( 萬元 ) 解答 9 令 表廣告次數, y 表月營業額, 7 7, 7 y 8 6 6, 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8, ( y ) y ( ) (8 ) ( ) (6 ) ( ) ( ) (6 ) 7 ( )( y ) ( )( ) ( )(8 ) ( )( ) ( )(6 ) y 7 ( )( ) ( )( ) ( )(6 ) 7, ( )( y y ) r, ( ) ( y ) y a 66, b 7, c,故 a b c 9.. 某肥皂場廠商推出一種新產品,在上市前以不同的單價 X( 單位:十元 ) 調查市場的需求量 Y( 單位:萬盒 ).調查結果如表,求 ()X 和 Y 的相關係數為. () 求 Y 對 X 的迴歸直線 ( 最佳直線 ) 方程式為. () 若單價定為 0 元,試預估市場的需求量有 萬盒. X Y 解答 () ;() y 8 ;() , y , :,,0,,, y y :,,0,,, () r ( )( y ) y ( ) ( y y ). - -

132 ( )( y y) 8 () 斜率 m, 0 ( ) 則迴歸直線為 y0 ( 0) y 8. () ( 以十元為單位 ),代入得 y 8 6 ( 萬盒 ).. 班上 個人某次國文考試含測驗題與作文,設全班測驗題與作文分數的算術帄均分別為 60, y,標準 差分別為 0, y,今每個人合併自己這兩部分的分數為國文成績,其標準差為,則原來兩種分數的相關 係數為. 解答 0.7 令 z y 60, σ 0, σ y y y (0 60 ), ( ) z ( ) y y y y 60 又 z 7 z ( 7 ) (0 60 ) y ( ) y 87 r XY y y y 6. 隨機抽樣某位同學在上學期的五次帄時測驗中,複習功課的時數 與測驗成績 y 如表,則 () 此兩組數據的相關係數為. ( 四捨五入求至小數點後第二位 ) ()y 對 的迴歸直線方程式為. ( 小時 ) 6 7 y ( 分 ) 解答 ()0.97;()y

133 y y y ( )( y y) ( ) ( y y) , y 68, S 0, S y 680, () r ( )( y y) ( ) ( y y) Sy 80 () y y ( ) 68 ( ) y 8 8. S 0 7. 某市的成人關於身高及體重的數據如表,求 () 身高與體重的相關係數為. () 體重對身高的迴歸直線為. 身高 ( 公分 )X 體重 ( 公斤 )Y 解答 ()0.99;() y 7 0 y y y ( )(y y ) ( ) (y y ) , y 00 60, () r () m 0 7,則 y ( 70) y

134 8. 設有 筆資料如表,若 Y 對 X 之迴歸直線為 y,則數對(a,b). X Y a b 解答 (,) ab7, y y y y ( ) y y, 表示 y y 代入 得 a b :,,,, y y :, a, b,, ( )( y y) a b 斜率 m a b ( ) 解 得 a, b,(a,b) (,). 9. 高三某次英文與國文競試後,抽出 0 位同學,他們的成績 (,y ),,,, 0, (, y 分別表示第 位同學 的英文與國文成績 ),整理得下面的數據: 0 y 89800, 0 00, 0 y 000, , () 計算這 0 位同學英文成績與國文成績的相關係數為. () 求出 Y( 國文成績 ) 對 X( 英文成績 ) 的最佳直線的方程式為. () 若張三是這 0 位同學其中之一,他的國文成績為 90 分,則英文成績大約為 分. 0 y 06, 解答 () ;()y 60;()7 () 0 70, y , 0 y S , 9 S y , r. ( ) ( ) () 最佳直線的斜率為 900, 所求為 y80 ( 70) y 60. () 令 y 90 代入 高二學生中抽出 0 位學生,統計他們某次段考自然學科與數學科成績,得數據如表,求 - -

135 () 這十位同學自然學科與數學科成績的相關係數為. () 最適合這十位同學的數學科成績 Y 與自然學科成績 X 的直線方程式為. 自然學科成績 (X ) 數學科成績 (Y ) 解答 ()0.8;()y 8 ( 68) 07 y y y ( ) ( y y) ( )( y y) X 的算術帄均數 68, Y 的算術帄均數 y 8. ()X 與 Y 的相關係數 r 0 ( )( y y) 0 0 ( ) ( y y) Sy () y y ( ) 8 ( 68). S 07 四 計算題. 抽樣多種不同份量的毒藥,對一組 隻老鼠實驗的結果,觀察如表,求 () 配合該數據最適當的直線方程式. () 對服用 7 毫克毒藥的 隻老鼠估計其死亡數. 分量 ( 毫克 ) 死亡數 y( 隻 ) 解答 ()y ( );() 約 隻 - -

136 () y , 8 y : 7,,,,,,,7, y : 8, 6,,, , 9 8, 7 8, 79 8, , ( ) 68, 8 Sy 6 87 ( )( y y ) 6,斜率 m, S 故最佳直線方程式為 y ( ) () 7 代入得 y (7 ).9,故約 隻 在某地區隨機抽出 0 個婦女為一樣本,調查其年齡 ( 歲 ) 與膽固醇濃度 y( 克 / 升 ) 如表一, y 表一 由這些數據計算得到結果如表二,求年齡與膽固醇濃度的迴歸式.帄均數 0 ( ) ( y y) 6 變異數 6 0. 相關係數 0. 表二 解答 y ( ) 0 相關係數 r 0 ( )( y y) 0 0 ( ) ( y y)

137 0 ( )( y y) 又 S 0. 0 ( )( y y) , 0000, S ( )( y y) 00, Sy 00 m, S y 故 y 對 之最佳直線為 y y m( ) [ 另解 ] y ( ) y ( ). 0 0 S S y yy 6 m r r 0. S S ,又, y, 則所求為 y ( ) y ( ) 下表為兩組數據的統計表,則 () 請畫出散布圖. () 求出迴歸直線方程式. X Y 解答 () 見 ;() y () Y 0 X () - 7 -

138 y y y ( )(y y ) ( ) , 6 y 又 m,故迴歸直線為 y 0, 6 ( ) y.. 位同學參加學測的數學與自然科成績如表,其中 X 為數學考科級分, Y 為自然考科級分 () 繪出此數據的散布圖. () 考試之後發現,考生戊在考自然時因腹痛提早交卷而影響其成績,若將戊的成績排除不計,則其餘 位同學的 X 與 Y 的相關係數為何? () 甲 乙 丙 丁四位考生的 Y 對 X 的迴歸直線方程式為何? () 若戊生未發生意外狀況,則依此迴歸關係,預測其自然科成績應為多少級分? 考生 甲 乙 丙 丁 戊 數學級分 ( X) 9 7 自然級分 ( Y) 解答 () 見 ;()0.8;()y 0.8 ;() () y () 9 7 0, y 8 0, - 8 -

139 :,,,, y y :,,,, r ( )( y ) 9 6 y ( ) ( y y ) 0.8. ( )( y y) 6 () 斜率 m 0.8,則迴歸直線方程式為 y 0.8( 0)y ( ) ()y 某公司新進 位業務員,在上班前先做職前測驗後再給予職前訓練再予測驗,測驗成績如表所示,已知, 0,試求 y () 訓練前後成績的相關係數. () 這 對成績 Y 對 X 的最佳直線方程式. 職員編號 訓練前成績 (X) 訓練後成績 (Y) 解答 ()0.69;()y

140 y y y ( ) ( )( ) y y y ( y ) () 由上表可得 X 與 Y 兩變數的相關係數 r ( )( y ) y ( ) ( y y ) y 89 () y y ( ) y 0 ( ) y... 6 五 證明題. 對 個成對的一組對象,調查得兩個變量, y 各有 個值,作成相關程度散布圖,若這 個點恰好落在一直線上,而且這直線的斜率為正,也尌是說,具有 y a b, a 0 的性質.試證:這兩變量, y 的相關係數 r.( 順便提一下:當 a 0 時,會有 r,但是不必證明它 ) 解答見 y a b, y a b, - 0 -

141 r ( )( y ) ( )[ a b ( a b)] y ( ) ( y y ) ( ) [ a b ( a b)] a ( ) ( ) a ( ) a, a a ()a 0, r. a a ()a 0, r. a - -