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桥立车
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1 TFSH 05 數學第四冊第二章排列組合 P m! m!! m m! m! H m m m y r r y r r0 a p a q a 九十六學年度第二學期座號 : 姓名 : cplee8tcfsh-4--/

2 - 計數原理一加法原理 :( 或 )( 互斥 ) BA A A k, 且 A,A, A k 為兩兩互斥的集合, 則 (B)(A )(A ) (A k ) (B) 表集合 B 的元素個數 A,A,,A k 稱為集合 B 的一個分割 (Partitios) E. 從甲地到乙地, 走公路有 6 條路線, 走海路有條路線, 利用航空有 4 條路線, 其餘沒有其他路線, 則從甲地到乙地共有幾條路線可到達?As:. 補集 : ()(A )(U)-(A) ()(A B )((A B) )(U)-(A B) (DeMorga). 差集 :(A-B)(A)-(A B) E.A{ N, 0 6 },B{ 0k,k Z}, 則 (A-B)?As:900 二排容原理 : ()(A B)(A)(B)-(A B) ()(A B )(A)(B)()-(A B)-(B )-( A)(A B ) ()(A A A t ) t i A i A i A j A i A j A k t A i A j A t i j i j k. 加法原理 : 上式中, 因為互斥, 所以交集均為空集合 E. 從 000 到的自然數中, 既不是平方數, 也不是立方數者有多少個? As: E4. 自然數若干個, 其中的倍數有 5 個,6 的倍數有個, 或的倍數有 60 個, 則其中的倍數有幾個?As: E5. 某班人數 60 人, 在一次抽考英文數學化學的考試中, 英文及格的有 4 人, 數學及格的有 9 人, 化學及格的有 4 人 ; 英文數學兩科不及格的有 4 人, 數學化學兩科不及格的有人, 英文化學兩科不及格的有人, 有兩科或兩科以上不及格的人數為 0 人, 則 :() 三科都不及格的有幾人?() 至少有一科不及格的有幾人?() 三科都及格的人數有幾人? As:9,9, E6. 有一首流行歌曲姊姊妹妹站起來, 其中一段歌詞是十個男人, 七個傻, 八個呆, 九個壞, 根據這段歌詞, 請問這十個男人中 : () 又傻又呆的男人, 最少? 位, 最多? 位 As:5,7 () 又傻又呆又壞的男人, 最少? 位, 最多? 位 As:4,7 cplee8tcfsh-4--/

3 . 歐拉公式 : 到中, 為 p 倍, 而非 q 倍的數, p,q, 個數 : p,q 整除 : ( p )(- q ) p,q 不整除 : ( p )(- q ) 展開後, 各別取高斯符號 [] E7. 比 4 小且與 4 互質的正整數有幾個?As:0 E8. 由到 00 的自然數中, 可被整除, 但不被,5 整除者共有幾個?As:4 三乘法原理 :( 且 )( 並存 ). 若一試驗包含 k 個步驟, 第一個步驟有種方法可供選擇, 對於第一個步驟的每一種方法, 第二個步驟都有種方法可供選擇, 對於前二個步驟的每一種方法, 第三個步驟都有種方法可供選擇, 依法類推, 則完成此試驗可能的選擇共有 N k ( 種 ) E9. 一樹有莖, 每莖分幹, 每幹生 4 枝, 每枝開一花, 問此樹共有多少花? As:4 E0. 某人有相異的帽子三頂, 領帶二條, 上衣三件, 皮帶二條, 褲子三件, 皮鞋二雙, 且外出時必穿戴整齊, 每樣均帶, 求外出時的穿法有幾種?As:6 E.(abcd)(efg)(yzuv) 之展開式中共有幾項?As:60 E.() 元幣個,0 元幣個,50 元幣個,00 元幣張, 可付出多少種不同款額?As:95 () 若改為元幣 6 個,0 元幣個,50 元幣 4 個,00 元幣張, 則可付出多少種不同款額?As:5. 樹形圖 E. 四面體 ABD, 由 A 至 B 沿稜走, 路程中頂點不重覆, 共有幾種走法? As:5 E4.A,B 兩隊比賽籃球, 無平手, 規定 A 勝三局 A 贏,B 勝二局 B 贏, 試求此比賽之所有可能情形有幾種?As:0 E5. 牆上有一寬公寸, 長 9 公寸的空白長方形, 現有許多紅色及綠色的長方形磁磚, 而紅磁磚寬公寸, 長公寸 ; 綠磁磚寬公寸, 長 6 公寸, 若用這些磁磚填滿牆上的長方形, 則可填出幾種不同圖形?As:9 cplee8tcfsh-4--/

4 . 積集合 : () 若 A,B 為兩集合, 且 (A),(B), 則 A,B 的積集合為 A B{(a,b) a A,b B}, 且 (A B)(A) (B) ()A B {(a,b,c) a A,b B,c },(A B )(A)(B)() ()A {(a,a,,a ) a i A, i,,------,},(a )[(A)] E6. 設 A{,,},B{a,b}, 求 A B?As: {(,a),(,b),(,a),(,b),(,a),(,b)} 四其他 :. 塗色問題 E7. 五種不同的顏色塗右圖, 相鄰著異色, 共有多少種不同的塗法?As:0 E8. 以 5 種不同顏色塗在右圖各區, 但相鄰得異色, 顏色可重複使用, 則共有幾種塗法? As: E9. 五種不同的顏色塗右圖, 相鄰著異色, 共有多少種不同的塗法?As:5 4. 街道問題 E0. 如圖所示橫街條, 直街 5 條所組成之社區, 現由 A 到 B, 若途中走過之路段不得重複, 則有幾種不同的路線?As:6 A B E. 如圖街道, 某甲欲由 A 走到 B, 不許走方向, 且走過的路不能再走, 問有幾種走法? 其中不經 Q 的走法有幾種? As:00;5 A Q B E. 如圖, 由 A 走到 B 的捷徑走法, () 有幾種?() 經過 P 點者有幾種? As:9,5 A P B E. 三位數中, 百位數與個位數之差的絕對值為的數共有幾個?As:50 E4. 設 a67500, 則 ()a 的正因數有多少個?()a 之正因數中為 9 的倍數, 但不為 5 的倍數者有多少個? 其和為何?As:60;,5 cplee8tcfsh-4--4/

5 E5. 從寫到 000 的自然數中, 總共? 個自然數含有, 又一共寫了? 個 (0) 從到 000 與從 0~999 () 至少一個, 反面作法, (.) 恰一個恰二個恰三個 (.) 個位十位百位 (.) 均分 As:7;00 E6. 自甲市到乙市有 9 條路, 其中條是甲向乙單行道, 條是乙向甲單行道, 某人開一汽車作甲乙市往返, 去回不走同路走法有幾種?As:8 E7. 丌枻與美眉來到自助餐店吃晚餐, 今日餐廳提供道魚 4 道肉 5 道蔬菜 ;() 美眉為了瘦身, 只點一道, 方法幾種?() 丌枻為了營養均衡, 魚肉蔬菜各點一道, 方法幾種?As:,60 E8. 某房子有五個門可供進出, 甲乙由不同門進入, 且由不同門出來, 且各人進去與出來之門不同, 則其法有多少種?As:60 E9. 有一百貨公司佔一二樓, 而上下樓除有 4 個電梯外, 無其他樓梯可用今有警察及小偷各一人, 同時由一樓搭不同的電梯上二樓, 過一段時間後, 又同時搭不同的電梯下樓, 且每人上下樓所搭的電梯亦相異, 則他們上下樓之方法有幾種? As:84 E0. 長方體中, 互為歪斜線的稜線共有幾對? As:4 E. 有一條鐵路, 沿線有 8 個大站,8 個小站, 若規定大站與大站間用綠色車票, 小站與小站間用黃色車票, 大站與小站間用藍色車票, 則鐵路局應準備綠黃藍色單程車票各幾種?As:56;06;88 E. 有一十字路口, 規定不得迴轉及南北向不可左轉, 則此路口有幾種車流動向? As:0 E. 計程車牌號規格為 **-###( 其中 ** 依序由英文字母 AA 編至 ZZ,### 依序由正整數 00 編至 999), 牌號順序如下 :AA-00 AA-00 AA-999 AB- 00 AB-00 AB-999 A-00 AZ-999 BA-00 BB-00, 請問計程車車牌由 PJ-888 至 QA-666 的車共有? 輛 As:676 E4. 有一房間共有五個門, 甲乙丙三人由不同的門進入及出去, 且自己不可由相同的門進出, 則進出一次共有幾種方法?As:90 cplee8tcfsh-4--5/

6 E5. 愛心彩卷自號到號共張, 老張買了一張, 開獎結果與第一特獎 456 號, 只有一個數字相異, 則老張那張彩卷有幾種可能號碼? As:54 E6. 如圖, 自 A 到 B 規定只能走,, 三個方向, 求下列各有幾種走法? ()A 到 B ()A 到 B 但不經過 P ()A 到 B 但不經過 Q (4)A 到 B 不經過 P 且不經過 Q (5)A 到 B 但必經過 P (6)A 到 B 但必經過 Q (7)A 到 B 但必經過 P 且必經過 Q (8)A 到 B 但必經過 P 且不經過 Q As:40,05,7,0,5,68,9,4 A P Q B E7. 從 00 到 000 的自然數中, 是的倍數或 5 的倍數者共有多少個?As:4 E8. 從至 00 的自然數中滿足下列條件的有幾個? () 的倍數但不為的倍數 ()5 的倍數但不為, 的倍數 ()7 的倍數但不為,,5 的倍數 As:50,40,80 E9. 三位數中與互質的共有幾個?As:55 E40. 從到 00 的自然數中,() 是 4 的倍數或是 6 的倍數的有幾個?() 不是 4 的倍數也不是 6 的倍數的有多少個?As:,67 E4. 從到 000 的自然數中, 是 ()4 的倍數或 6 的倍數或 9 的倍數的共有幾個? () 是 4 的倍數或 6 的倍數, 但不是 9 的倍數的有幾個?() 不是 4 或不是 6 或不是 9 的倍數的有幾個?As:89,78,97 E4. 將 50 元紙幣一張兌換成元或 5 元或 0 元之法有? 種 As:6 E4. 將 000 元換成 500 元,00 元,50 元且規定 00 元至少要一張, 則有? 種換法 As:5 E44. 一元硬幣個,5 元硬幣 4 個,0 元硬幣 5 個, 則 () 若至少取出一個, 則有幾種不同的取法?() 可配出多少種不同的款項?As:9,59 cplee8tcfsh-4--6/

7 E45. 從到 985 的自然數中,() 數字中有 0 的數, 共有幾個?() 從,, 寫到 985, 共需寫幾個 0?As:596,865 E46. 某人寫了一張含所有四位數在內的數表, 則他一共寫了多少個 "6"?As: 700 E 的正因數有? 個, 所有正因數的總和為? 完全平方之正因數的有? 個, 完全平方之正因數的總和為? 正因數中為的倍數者有? 個, 若為 5400 的正因數, 且 (,99), 則的個數為?As:48,8600,8,00,8, E48. 今有甲乙丙三門大砲, 每砲各發射 00 發砲彈, 甲砲每一分鐘發射一發, 乙砲每兩分鐘發射一發, 丙砲每三分鐘發射一發三砲同時發射第一發砲彈, 問從開始發射到三砲全部發射完畢, 總共可以聽到幾響砲聲?As:99 E49. 某班 50 人參加第一次段考, 經統計知 : 數學及格有 5 人, 英文及格有 40 人, 國文及格有 45 人, 問 :() 數學及格且英文及格的最多有多少人? 最少有多少人? () 數學英文國文均及格的最多有多少人? 最少有多少人?As:5,5; 5,0 E50. 班上 60 位同學每人至少須參加 A B 三社團其中之一, 若參加 A 社團的有 4 人, 參加 B 社團的有 6 人, 參加社團的有 7 人, 三社團皆加入者有 8 人, 則 () 恰參加一社團者有人 () 恰參加二社團者有人 As:,9 E5. 甲乙兩人比賽網球, 規定第一個連勝兩場或先勝三場者贏得比賽, 試求比賽之所有情形有幾種?As:0 E5. 空間中,,y,z 坐標皆為整數, 且距原點 7 的點共有幾個?As:48 E5.T{,,,4,5,6},S{(A,B) A B T}, 則 (S)?As: 6 E54. 樓梯有 8 階, 某人上樓時或跨一階, 或二階, 或三階, 設其由地面至第級的方法數為 a, 且 a pa qa ra, 則序對 (p,q,r)?, 此人上 8 階的樓梯共有? 法 As:(,,),8 cplee8tcfsh-4--7/

8 - 排列 (Permutatio) 一直線排列 :. 完全相異物的直線排列 : () 定義 : 自個相異物中, 不可重複的取出 m 個, 排成一列, 稱為直線排列, 其方法數記為 P m m () 公式 : 取部分 : P ( )( ) LL( m ) m 全部取 : P! () 規定 :0! (4) 其中!... ( N) E55. 求 P P P 4! ( m)! 之值 As:0,6,04 E56.() 設 N, 若 P 0P 4P, 則 P?As: () 設 N, 若 6P P, 則 P?As:90 錯排 : 應用排容原理 E57. 甲乙丙丁戊 5 人排成一列, 求下列各情況之排列數 : () 甲不排首 As:96 () 甲不排首, 且乙不排第二位 As:78 () 甲不排首, 乙不排中, 丙不排尾 As:64 (4) 甲乙丙丁依次不在第一二三四位置 As:5 (5) 甲乙丙丁戊依次不在第一二三四五位置 As:44. 不盡相異物的直線排列 : () 個物品, 其中含有 k 種不同的種類, 而第類有 m 個, 第類有 m 個,------, 第 k 類有 m k ( 此處 m m...m k ),! 將此個物品全取作直線排列, 共有 m! m! Lm! 種不同的排法 () 若僅取一部份作直線排列, 則需討論取出物件的不同情形, 分別計算排列數想法 : 凡相關位置 ( 相對次序 ) 不變者視為同物整理 :. 全異物全取排列. 全異物不全取排列. 不全異物全取排列 4. 不全異物不全取排列 E58.a,a,a,b,b,c,c,d 等 8 個字母中, 任取 4 個的方法數為何? 任取 4 個排列的方法數為何?As:6;6 k cplee8tcfsh-4--8/

9 E59. 如圖, 棋盤形街道由 A 走到 B, 在下列情形各有幾種走法? () 取捷徑走法 () 取捷徑必經 P Q () 取捷徑不經 P 且不經 Q As:0;6;0 P Q B E60. 如圖, 取捷徑由 A 至 B, 有幾種走法? As:8 A B A E6. 由 A(-4,-) 取捷徑移到 B(,), 但每次均移動至格子點求下列情形的走法數 () 過原點,() 經第二象限,() 不經第四象限 As:50,8,4 想法 : 完全相鄰 :( 先綁著再對調 )( 插空第二式 ) 完全不相鄰 :( 先抽掉再插空隙 )( 插空第一式 )( 越插越少 ) 不完全相鄰 :( 全完全相鄰 ) ps.( 何時會越插越多?)( 插空第三式 ) E6. 將 5 男 5 女排成一列, 則男女相間的排列數有幾種?As:8800 E6. 甲乙丙三人在排成一列的八個座位中, 選出三個座位就坐,() 若選坐三個相鄰座位, 有幾種不同的坐法?() 若甲乙丙均不相鄰, 有幾種坐法?() 若甲與乙丙不相鄰, 有幾種坐法?(4) 若甲乙丙中恰有人相鄰, 則有幾種坐法?As: 6,0,80,80 E64. 甲乙丙丁 4 人排成一列, 則 () 規定甲一定在乙左方的排法有幾種?() 規定甲在乙之左方, 乙又在丙之左方的排法有幾種?() 規定甲在乙和丙之左方的排法有幾種?As:,4,8 E65. 忠孝仁愛信義和平八字全取排成一列, 但忠孝不許分開, 信義必須分開, 和必須排在平的左邊, 則有幾種排法?As:600 E66. 種瓜得瓜種豆得豆八字全取排列, 瓜豆不鄰, 有幾種排法?As:660 E67. 能被整除而又含有數字 6 之四位數共有幾個?As:056. 重複排列 : 種相異物任取 m 個作直線排列, 可重複選取, 排列數為 m 想法 : 具唯一性者, 有主動選擇權!( 主動者在上面 ) E68. 將 6 封不同的信任意投入 4 個不同的郵筒中, 方法共有幾種?As:4096 E69. 渡船艘, 每艘最多可載 5 人, 今有下列人數要同時安全過河, 問各有幾法? ()4 人 ()5 人 ()6 人 (4)7 人 As:8;4;76;4 cplee8tcfsh-4--9/

10 E70. 將 5 封不同的信件, 投入 4 個不同的郵筒 ( 分別稱為甲乙丙丁 ), 則甲乙丙三郵筒均至少一封的投法有幾種?As:90 註 : 不可分二階段, 舉錯誤示範二環狀排列 :( 僅考慮相對位置之排列法 ) 直排旋轉環排環排翻面鍊排 P. 個元素之環狀排列總數為! ( )! 直排數. 個元素中取 m 個 (m ) 之環狀排列總數環排邊數 P m m! m m! 想法 :. 轉動法 ( 用除法 );. 指定席 ( 其餘直排 ) E7. 設有甲乙丙等 8 人, 今選出 5 人作環狀排列,() 任意選取之排列數為何?() 必須含甲之排列數為何?As:44;840 E7. 爸爸媽媽哥哥與妹妹 4 人參加喜宴, 與其他客人坐滿一張個坐位的圓桌若 4 人坐位相鄰, 且哥哥妹妹夾坐於爸爸媽媽中間, 則共有幾種不同的坐法? As:680 E7. 甲乙丙等 8 人圍一圓桌而坐, 依下列條件分別求其坐法 :() 任意圍坐 () 甲乙兩人相鄰而坐 () 甲乙相鄰而坐, 但丙丁不相鄰 (4) 甲乙相鄰, 但丙丁要相對 (5) 甲乙丙相鄰且丙坐於甲乙之間 (6) 甲乙丙三人完全分開 As: 5040;440;960;9;40;440. 正 k 邊形桌排列 : 直排數個人, 取 km 個人坐正 k 邊形桌, 每邊坐 m 人 ( km), 其坐法 P km k k E74. 有一方桌, 每邊可坐人,()8 人入坐, 坐法若干?()0 人選 8 入坐, 坐法若干?As: 7!; P 長方形桌排列 : 個人, 取 r 個人坐長方形桌, 長邊坐 a 人, 短邊坐 b 人 ( rab), P r 其坐法直排數 / E75. 有 0 人圍一長方形桌而坐, 長邊人, 短邊人, 則坐法若干?As:5 9! E76.() 有 8 人圍坐若改坐一長方形桌, 長邊人, 短邊人, 則有幾種坐法?() 有 6 人圍坐一正三角形桌, 每邊人, 則有幾種坐法?As:060;40 5. 鍊狀排列 :( 環排數 /); 個不同物串成一項鍊, 串法有!! cplee8tcfsh-4--0/

11 E77. 將 5 粒不同顏色的珠子串成手鐲,() 共有幾種串法?() 其中黃白色一定要在一起, 不得隔離之串法有幾種?() 其中黃白二色相鄰, 但黃黑兩色分離之串法有幾種?As:;6;4 三著色問題. 平面著色 () 先決定各區域之相鄰區域數 () 從相鄰區域數最多者開始, 適當編定順序後, 再逐步塗之 () 當某步驟的塗法有兩種可能情形時, 須分同色異色加以討論 (4) 在平面上可旋轉時 : 視為環狀排列. 環狀著色 (k 色塗格, 鄰異色 ): 用 k 色塗格環形區域 ( 不可旋轉 ), 顏色可重複使用, 且相鄰區域異色的塗法有 a k k 種遞迴關係式 : a a k k 證明 : 考慮 k 色塗格直排, 顏色可重複使用, 且相鄰區域異色的塗法有 k k 種, 假設用 k 色塗環形區域格的方法數為 a 當第一格與第格異色時塗法為 a, 當第一格與第格同色時塗法為 a, 可得遞迴關係式 : a a k k 以,4,5,, 代入得 a a k( k ) a4 k( k ) 4 4 a5 k( k ) a k( k ) a a a 累加同乘 ( ) a a k( k ) 同乘 ( ) a a k( k ) 4 同乘 ( ) a a k( k ) 同乘 ( ) ( ) a 4 ( ) a ( ) k( k ) a a k k k k k k k k 4 k k a 0 a k k k k k k a k k E78.5 色環塗 6 格, 每格一色, 相鄰異色, 有幾種塗法?As: E79. 用 6 種不同的顏色塗下列可轉動的積木木板, 規定每塊均不同色, 則各有幾種方法?As:60,44,80. 立體著色 () 轉動法 : 直排翻轉數旋轉數 () 指定席 : 用指定破解翻轉與旋轉步驟 : 指定底面 ( 破解翻轉 ) 頂面指定側面種類 ( 破解旋轉 ) 其他面例 :6 色塗正 6 面體 5! 例 :0 色塗正 0 面體 9 6 7! 例 : 色塗 BulkBall 五底六底 6 9! 0 9! cplee8tcfsh-4--/

12 E80. 色塗正面體 (4,6,8,,0), 每面一色, 顏色不重複使用, 塗法有幾種? As: 4! 4, 6! 6 4, 8! 8,! 5, 0! 0 E8. 若圖形可翻轉, 用 0 種顏色, 塗下列圖形, 每面一色, 顏色不重複使用, 其塗法各有幾種?() 直四角錐 ( 底為正方形 ) () 正三角錐臺 ( 上下底部都是正三角形, 側面為全等之梯形 ) () 直圓柱 (4) 正立方體 (5) 正四面體 (6) 長方體 ( 上下底為正方形 ) (7) 長方體 ( 長寬高互異 ) As:7560;0080;60;600;40;8900;7800 E8. 設 P 4 4P 0P, 求?As:5 E8. 設 a,b,c,d,e 為,,,4,5 之一種排列, 求滿足下列條件之排列數 : ()(a-)(b-) 0 ()(a-)(b-)(c-) 0 ()(a-)(b-)(c-)(d-4)(e-5) 0As:As:78;64;44 E84. 有 5 封不同的信, 及寫好不同住址的 5 個信封, 將 5 封信任意放入這 5 個信封, 則恰有 4 封放錯的共有幾種? As:45 E85. 編號至 6 的六個球滾入至 6 的六個洞中, 每洞一球, 則 () 恰有一球號與洞號相同的情形有幾種?As:64 () 所有球號與洞號均不同的情形有幾種?As:65 E86. 如圖所示為一含有斜線之棋盤形街道今某人欲從 A 取最短捷徑走到 B, 共有幾種走法? As:0 B E87. 一街道如圖, () 若不規定必須走捷徑, 但只能往右, 往上或斜上而走, 則由 A 至 B 之法有幾種?As: () 若規定必須走捷徑, 則由 A 至 B 之法有幾種?As:0 A A B E88. 由 0 人中選出 5 人任意排成一列, 則排列數為何? 又其中甲必須參加, 則排列數為何?As:040,50 cplee8tcfsh-4--/

13 E89. 甲乙丙丁等 7 人排成一列, 則 () 甲不排首位的排列數為何?As:40 () 甲乙丙人不可分離的排列數為何?As:70 () 甲乙丙人須完全分離的排列數為何?As:440 (4) 甲乙相鄰, 丙丁不相鄰的排列數為何?As:960 (5) 甲乙丙人中恰有人相鄰的排列數為何?As:880 (6) 甲乙丙人中至少有人相鄰的排列數為何?As:600 (7) 甲乙丙人中至多有人相鄰的排列數為何?As:40 (8) 甲乙丙均不與丁相鄰的排列數為何?As:440 (9) 甲乙丙均排在偶數位的排列數為何?As:44 (0) 甲不排首, 乙不排尾的排列數為何?As:70 () 甲不排首, 乙不排中, 丙不排尾的排列數為何?As:6 () 甲乙之間恰有另二人的排列數為何?As:960 E90. 甲乙丙丁戊己六人排成一列, 則 () 甲不排首, 乙不排末的方法有幾種?() 甲乙丙不排首, 乙丙丁不排末的方法有幾種? As:504,68 E9. 有 4 個男生及個女生排成一列若要求男生必須排在一起, 女生亦須排在一起, 則排法有幾種? 若只要求男生必須排在一起, 則排法有幾種?As:88;576 E9.4 個女生及 5 個男生排成一列, 同性不相鄰, 排列方法有幾種?As:880 E9. 精益求精, 實事求是排成一列, 則同音不相鄰的排法有幾種? As:4440 E94. 由庭院深深深幾許七個字, 求下列各個排列數 :() 任意排列 () 三個深完全相鄰 () 三個深完全不相鄰 (4) 三個深不是完全相鄰 (5) 三個深恰有二個相鄰 (6) 三個深至少有二個相鄰 As:840,0,40,70,480,600 E95. 用 0,,,,4,5, 六個數字排成三位數, 但數字不許重複, 則 () 共有幾種排法?As:00 () 所有這些三位數的總和為何?As: 640 () 的倍數者有幾個?As:40 (4)4 的倍數者有幾個?As:4 (5)5 的倍數者有幾個?As:6 (6) 大於者有幾個?As:70 (7) 由小而大依次排列, 則第 0 個的三位數為何?As: E96. 將 0,,,,,, 全取排列, 可排出幾個七位數? 其中奇數有幾個? As:60;50 cplee8tcfsh-4--/

14 E97. 我為人人, 人人為我排成一列, 使同字不相鄰之排法共有種 As:4 E98. 此恨綿綿無絕期七個字重新排成一列, 則 () 恨綿綿三個字相關位置不變, 方法有? 種 () 無絕期三個字相關位置不變, 方法有? 種 As:840;40 E99.abscissa 八個字母排成一列, 求下列各排列數 :() 任意排列 () 三個 s 相鄰 ()a 為首,s 為尾 (4)b,c,i 的順序不變 (5) 二個 a 不相鄰, 三個 s 分開 (6)b c 不相鄰 As:60;60;60;560;960;50 E00.()baaa 一字中各字母排列之, 共有幾種排法?()mississippi 全取排列之法有多少?As:60;4650 E0. 由 Pallmall 8 個字母, 求下列各項之排列數 :() 全部排列 () 所有 l 均相鄰 () 所有 l 不全相鄰 (4) 所有 l 不相鄰 (5) 所有 l 均相間 (6)m 與 a 相鄰 (7) 同字母不相鄰 As:840;60;780;60;4;90;54 E0. 將 aabbcc 六個字母排成一列, 同字母不相鄰, 排法有幾?As:0 E0. 將 0,,,,,,,4 八個數字排成一排, 可作出幾個八位數? 其中偶數者有幾個?As:940;500 E04. 用,,,4,5 五個數字作成五位數, 數字不許重複, 且由小到大排列, 則 ()45 是第幾個數?() 第 40 個數為何?As:55;45 E05. 一個多重選擇題, 有 A,B,,D,E 五選項, 某同學用猜的, 則他有幾種選法 As: E06. 由 0,,,,4 中, 可重複, 選出三個數字, 排成三位數, 共有幾種排法? 其中為的倍數者有幾個?As:00; E07. 由,,,4,5,6 六個數字所組成 ( 數字可以重複 ) 的四位數中, 含有奇數個的共有幾個?As:50 E08. 有 5 件不同的獎品全分給甲乙丙三人, 每人可兼得, 則 () 任意分給之方法有幾種?As:4 () 其中甲未得之方法有幾種?As: () 其中甲至少得一件之方法有幾種?As: (4) 其中甲恰得一件之方法有幾種?As:80 (5) 甲乙二人每人均至少得一件之方法有幾種?As:80 (6) 每人至少得一件之方法有幾種?As:50 cplee8tcfsh-4--4/

15 E09. 甲乙丙等 8 人圍一圓桌而坐, 且甲恰與乙丙之一相鄰, 則有幾種坐法?As:400 E0. 甲乙丙等 8 人, 選出六人做環狀排列, 則下列各情形之方法數為?() 任意選取 ;() 甲必須參加 ;() 甲必須參加但乙不能參加 ;(4) 甲參加時乙不能參加, 甲不參加時丙不可以參加 As:60,50,70,840 E. 主人夫婦與賓客對夫婦共 8 人圍一圓桌, 依下列條件分別求其坐法 :() 任意圍坐 () 主人夫婦相鄰 () 主人夫婦相對 (4) 男女相間 (5) 男女相間且夫婦相鄰 (6) 夫婦相鄰 (7) 男女相間且夫婦不相鄰 (8) 男女相間且夫婦不全相鄰 (9) 每對夫婦相對而坐 (0) 每對夫婦相對而坐且男女相間 () 男女相間且至少一對夫婦相鄰 () 男生坐在一起, 女生坐在一起 As:5040;440;70;44;;96;;;48; 0;;576 E. 主人夫婦與賓客對夫婦共 6 人圍一長方形桌而坐, 長邊人, 短邊人, 則 () 共有幾種坐法?() 主人夫婦分坐短邊的坐法有幾種?() 主人夫婦相對而坐的坐法有幾種?(4) 主人夫婦在同一邊且相鄰的坐法有幾種?As:60;4;7;48 E. 紅黃白等 0 個不同色的珠子, 串成一項圈 ( 可翻轉 ), 試求 :() 紅黃白三色互不相鄰之串法有幾種?() 紅黃白三色中恰有兩色相鄰之串法有幾種? As:75600;9070 E4. 有一正三角柱, 即頂面與底面為兩全等正三角形, 側面為三全等矩形今欲從 7 種顏色中選取 5 種, 塗於此柱, 各面異色, 可得幾種不同的正三角柱?As: 40 E5. 一警報器, 長鳴一次秒, 短鳴一次秒, 而鳴放間隔秒, 則歷時 5 秒, 可放出多少種不同的訊號 ( 但恰於第 5 秒時鳴完 )?As:7 E6. 投一骰子 5 次, 設其出現的點數依次為 a,b,c,d,e, 則 () 滿足 (a b)(b c)(c d)(d e)0 的情形共有幾種? () 滿足 (a b)(b c)(c d)(d e)(e a)0 的情形共有幾種?As:406,4656 E7. 將 AAAAABBBBB 共 5 個字母排成一列, 若前五個位置不排 A, 中間五個位置不排 B, 後面五個位置不排, 則排法有幾種?As:5 E8. 八個身高互異的人直線排列, 若要求任一人之左右鄰不得同時高於自己, 試問有幾種排列方法?As:8 cplee8tcfsh-4--5/

16 - 組合 (ombiatio) 一不可重複之組合 :. 定義 : 自個不同物件中, 任取 r 件 ( 不重複 ) 而不計選出物的次序關係, 則其組合數為 r P r r!! r! r! r ( N,r Z,0 r ) r r r ( 分子由大乘到小共 r 個, 分母由小乘到大共 r 個, 分子分母數量相等 ) ( 組合數 vs. 巴斯卡三角形 ) E9. 若 8, 9, 0 成等差數列, 求之值?As:4or E0. P 4 84, 求之值? As:6or7 E. 從大樂透 ~49 之中選出 6 個不相鄰的號碼, 有幾種選擇?As: 44 6 E. 已知及 k 為正整數, 且 >k, 若 k : k : k ::, 則?As:4. 性質 : () r ( 其中,r N, r)( 左右對稱 ) r ( 從件相異物中取出 m 個之組合數與取出 -m 個之組合數相同 ) () y 或 y () 0 (4) P m m m! y (5) (,r N, r )( 巴斯卡定理 )( 左上右上下 ) r r r E.() 若, 則 ?() 若, 則 r?as:40;5or4 r r E4.() 若 m m () 若,m<5, 求數對 (,m) As:(00,),m<0, 求數對 (,m) As:(90,4). 幾何計數: () 平面上個相異點, 若無任三點共線, 則可決定條直線 () 平面上個相異點, 若無任三點共線, 則可決定個三角形 () 平面上個相異點, 若恰有 m 個點共線, 則可決定 m 條直線 (4) 平面上個相異點, 若恰有 m 個點共線, 則可決定 m 個三角形 (5) 平面上條相異直線, 若任三線不共點且兩兩不平行, 則共有個交點 (6) 平面上條相異直線, 若恰有 m 條直線平行, 則共有 m 個交點 (7) 平面上條相異直線, 若恰有 m 條直線交於一點, 則共有 m 個交點 cplee8tcfsh-4--6/

17 E5. 一平面上有 5 個相異點, 其中任三點不共線, 則 () 可決定幾條直線? () 以這些點為頂點的三角形共有幾個?As:0;0 E6. 一平面上有個相異點, 其中 A,B,,D 四點共線, 又 A,E,F,G,H 五點亦共線, 其餘任三點無共線者, 則此個點可決定幾條直線? 幾個三角形?( 以已知點為頂點 )As:5;06 E7. 平面上有條相異直線, 其中有 4 條直線共點, 另有 5 條直線兩兩互相平行, 其餘任三線不共點, 任二線不平行, 則 () 這些直線共有? 個交點 () 這些直線共可圍成? 個三角形 As:5;6 E8. 如圖, 每一小格均為正方形, 則 () 矩形有? 個 () 正方形有? 個 As:60;0 E9. 如圖, 每一小格均為正方形, 則 () 矩形有? 個 () 正方形有? 個 As:64;40 三分組與分堆問題 : 將相異物分給個人的原則 : 先組合, 再排列 E0. 將 9 件不同的玩具, 依下列各款分法若干? () 平分給甲乙丙三人 As: () 平分成三堆 As:80 9 6! () 平分給三人 As: (4) 分給甲 4 件, 乙件, 丙件 As: (5) 按 4 件件件分成三堆 As: (6) 按 4 件件件分給三人 As: ! 4 (7) 分給甲 4 件, 乙 4 件, 丙件 As: (8) 按 4 件 4 件件分成三堆 As:5 9 5! 4 4 (9) 分給三人, 其中人各得 4 件, 另人得件 As: !! 4 4 E. 將 8 件不同的物品全部分給甲乙丙三人, 求下列各分法若干? () 每人至少一件 As:5796 () 甲至少得件, 乙至少得件, 丙至少得件 As:68 () 其中一人至少得件, 一人至少得件, 另一人至少得件 As:568 cplee8tcfsh-4--7/

18 四重複組合 :. 從種相異物中 ( 每種都足夠多個 ), 任取 m 個 ( 可重複 ) 的組合法為 H m 種. 方程式... m(m N) 的非負整數解共有 H m 組. 定義 : H m m m ( 上異下同 )( 上種類下數量 )( 上加下減一 ) E. 將 5 種不同的酒, 倒入個酒杯中, 酒不能混合, 不得有空杯 () 酒杯不同, 且各杯之酒亦不同, 共有? 種倒法 As: P 5 () 酒杯不同, 且各杯之酒可相同, 共有? 種倒法 As:5 () 酒杯相同, 各杯之酒不同, 共有? 種倒法 As: 5 (4) 酒杯相同, 各杯之酒可相同, 共有? 種倒法 As: H 5 E. 求下列方程式的解有幾組 ()yz0 的非負整數解?As: ()yz0 的正整數解?As:7 ()yz0 的非負偶數解?As:66 (4)yzu 9 的正整數解有幾組?As:6 (5)yzu<9 的正整數解有幾組?As:70 (6)yz0,, y, z 的整數解有幾組?As:8 E4. 方程式 yzu 0 且,y,z,u N 的解共有幾組?As:06 E5. 方程式 yzu88 且,y,z,u N 的解共有幾組?As:560 方程式 yzu88 且,y,z,u Z 的解共有幾組?As: 560 E6. 在所有三位數 abc 中, 百位數字為 a, 十位數字為 b, 個位數字為 c, 則 () 滿足 a<b<c 者, 共有? 個 As:84 9 () 滿足 a>b>c 者, 共有? 個 As:0 0 () 滿足 a b c 者, 共有? 個 As:65 H 9 (4) 滿足 a b c 者, 共有? 個 As:9 H 0 (5) 滿足 a b>c 者, 共有? 個 As:65 E7. 有紅帽頂, 黃帽頂, 白帽 4 頂, 求 () 任取 4 頂有幾種顏色組合?() 由甲乙丙丁各取一頂戴在頭上, 四人再排成一列, 有幾種排法? As:, ! E8. 有 7 位科學家共同研究某計劃, 其中資料鎖在保險櫃中, 只有當超過半數的科學家在場才有辦法打開鎖 () 保險櫃上最少有幾個鎖?() 科學家每人最少要配幾把鑰匙? As:5( 7 ),0( 6 ) cplee8tcfsh-4--8/

19 E9.NBA 季後賽採七戰四勝制, 熱火贏湖人之賽場數有幾種可能?As: 7 4 E40. 將 5 顆球放入個箱子 ( 每箱最多可容 5 件 ), 若可有空箱, 則 () 球不同, 箱子不同的放法有? 種 As:4 () 球同, 箱子不同的放法有? 種 As: () 球同, 箱子同的放法有? 種 As:5 (4) 球不同, 箱子同的放法有? 種 As:4 E4. 五位數中, 數字自左而右減小者有? 個 As:5 E4. 由至 000 的自然數中, 各位數字和為 0 者共有幾個?As:6 E4. 自 {,,,4,5,6,7,8,9} 中, 任意取出 5 個數字 ( 可重複 ), 其積為 5 的倍數者, 共有幾個?As:495 E44. 自,,,4,------,0 中任取三個相異數, 則 () 其中兩個是偶數, 一個是奇數者有? 個 () 三數乘積為偶數者有? 個 () 三數乘積為 4 之倍數者有? 個 As:450;00;795 E45. 由到的自然數中, 任取三個數, 則下列各情況分別有幾種取法,() 和為奇數,() 乘積為偶數,() 三數能成等差,(4) 數字和為的倍數 As: 80,45,5,57 E46. 某拳擊比賽, 規定每位選手必須和所以其他選手各比賽一場, 賽程總計為 78 場, 則選手人數為? 人 As: E47. 碼頭停靠艘快艇, 今有 5 位乘客租借若干艘快艇出遊 () 其中有艘快艇各搭載位乘客, 另一艘有位乘客的搭乘情形有多少種?() 若每艘快艇限位乘客搭乘, 則有多少種搭乘情形?As:90;0 E48. 一湖岸有 A,B, 三船,A 船可容人,B 船可容人, 船可容人今有位大人, 位小孩欲分乘此三船, 每船未必均有人, 但小孩必須有大人陪同, 則有? 種搭乘方法 As:7 E49. 有 6 男 4 女共 0 名學生擔任本週值日生, 導師規定在本週 5 個上課日中, 每天兩名值日生, 且至少須有名男生, 試問本週安排值日生的方式共有幾種? As:400 E50. 欲將八位新生平均分發到甲乙丙丁四班, 共有幾種分法? As:50 cplee8tcfsh-4--9/

20 E5. 籃球人鬥牛賽, 共有甲乙丙丁戊己庚辛壬 9 人參加, 組成隊, 且甲乙兩人不在同一隊的組隊方法有多少?As:0 E5. 有學生 0 人, 住 A B 三間房, 若 A 房住 4 人,B 房住人, 房住人, 則其住法有幾種? 其中甲乙必住同房的住法有幾種?As:400;0 E5. 男女上一輛有 7 節車廂的火車, 則 () 男在同一車廂, 女在同一車廂, 有幾種選車廂的方法?() 恰好男女在一節車廂, 另男女在另一節車廂, 有幾種選車廂的方式?As:49,84 E54. 將八人任意分成三組, 每組至少有兩人, 則有種分法 As:490 E55. 將 5 枝相同的紅筆及 4 枝相同的藍筆全部分給甲乙丙三人, 每人不限得枝, 則 () 分法有幾?() 甲至少得枝, 分法有幾?() 每人至少得枝, 分法有幾? As:5;85;8 E56.() 將 5 個相同的玩具, 全部分給甲乙丙三人, 分法有幾?() 將相同的骰子粒一次擲出, 共可出現幾種不同的花色?As:;56 E57. 相同的蘋果 4 個及相同的梨子 6 個, () 分給甲乙兩人, 分法有幾?As:5 () 分給甲乙兩人, 每人至少得個, 分法有幾?As: () 分給甲乙丙三人, 分法有幾?As:40 (4) 分給甲乙丙三人, 每人至少得個, 分法有幾?As:8 E58. 一列火車從第一車到第十車共 0 節車廂要指定其中節車廂准許吸煙, 則共有幾種指定方法? 若更要求此節准許吸煙的車廂兩兩不相銜接, 則共有幾種指定方法?As:0;56 E59. 一副撲克牌共 5 張, 任取 5 張, 則 ()5 張皆同花的可能情形有幾種? ()TwoPairs 的情形有幾種?()FullHouse 的情形有幾種?As: 548,55,744 E60.6 個相異的球放於三個相異的箱子中, 每箱均可存放 6 球, 則 () 有幾種放法? () 若每箱至少有一球, 則有幾種放法 As:79,540 E6. 將 7 件相異物放入 5 個相同的箱子, 其中有兩個箱子各放件, 三個箱子各放件, 則有種放法?As:05 cplee8tcfsh-4--0/

21 4 E6.() 若 90, 則? ,y 0 () 設 As:9;, 則 y? E6. 若, 且 7 0 k 4 k m 4 r, 則 m?as:8 E64. 空間中, 立方體 ABD EFGH 的八個頂點共可決定幾個平面?As:0 E65. 有兩個凸多邊形, 共有 6 個邊及 4 條對角線, 則此兩凸多邊形的邊數各為何?As:7,9 E66. 圓周上有相異個點, 兩兩連成一弦, 這些弦的交點在圓內部者至多有幾個? As: 4 E67. 一圓周上有相異個點, 十二等分此圓, 則由此個點中,() 可造出直角三角形共? 個, 銳角三角形共? 個 () 可造出矩形有? 個, 正方形有? 個 As: 60,40,5, E68. 將 a,b,c,d,e,f 六人分成三組, 依下列各款分法若干? () 一組人, 一組人, 一組人 () 甲組人, 乙組人, 丙組人 () 等分為三組 (4) 等分為甲乙丙三組 As:60,60,5,90 E69.0 件相異物, 放入 A B 個箱子, 依下列各款放法若干? ()A4 件,B4 件, 件 () 二箱 4 件, 一箱件 As:50;9450 E70. 將 a,b,c,d,e,f 六人任意分成恰三組 ( 未必平分 ), 則其分法共有幾種? 其中 a,b 二人不在同一組的分法有幾種?As:90;65 E7. 有相同的白球個, 黑球 4 個, 紅球 6 個, 任意取出 5 個球, 共有幾種取法? As:7 E7. 用 45 一數中之七個數字取四個, 作成四位數,() 共有幾個?() 大於 5000 者有幾個?() 大於 400 者有幾個?As:70,4,58 cplee8tcfsh-4--/

22 -4 二項式定理一二項式定理設 N,,y R, 則. r r r y y y y y 0 ) ( r r r r y 0 展開式中 r r r y 稱為一般項. r r 0 ) ( E7.( y) 7 展開式中, 4 y 5 項的係數為何?As: 6048 E74. 在 ) (9 的展開式中,() 常數項 () 項的係數為何?As:495; 7 7 E75. 計算 0.98 的近似值至小數點後第三位 As:0.785 E76. 自然數的十位數字為何? 百位數字為何? 千位數字為何?As:,9, E77. 以 ( ) 除 0 ) (, 所得餘式為?As:0-0 E78. 求 ( )( ) ( ) 展開整理後項的係數 As: ( ) 6 E79. 在 ()()()...(0) 的展開式中, 8 項的係數為?As:0. 令,y, 則 0 4. 令, y, 則 0 ) ( 0 E ?As:0 E8. 若 4 80, 求值?As:8 E8. 試證 : E k k? 5 k k?as:5,0 6.!! )! ( ) ( ) ( ) ( 0 cplee8tcfsh-4--/

23 E84. 設 k, 且 >k, 則 k 之值為?As:49 二三項式定理 : 三項式 (yz) 展開式中的一般項為! p! q! r! p y q z r, 其中 p,q,r N 0, p q r (yz) 的展開式中共有 H 個不同的項, 且所有項的係數和為 E85. ( y 8 z) 展開式中, y z 的係數為 As:-50 E86. ( ) 6 展開式中, 常數項的係數為 As:60 E87. 展開 y z 0, 合併同類項後, 可得幾個次數為 4 的單項式? As:7 三多項式定理 : m! m p p p ( ) 展開式中的一般項為, p! p! p! 其中 p, p,, p N {0}, p p p m m ( ) 的展開式中共有 H m 個不同的項, 且所有項的係數和為 E88. 求 ( y z u 7 v) 展開式中, y z 的係數?As:0 m E89. 多項式 P( ) L 則 P() 和 Q() 的乘積中, 9 的係數為?As: 與 Q( ) 5 L 9, 0 0 E90. 在 ( ) 展開式中,() 常數項為 ;() 項的係數為?() 項係數為? As:60,80,0 E9. 求 ()() () 6() 6 的展開式中, 項的係數 As: 89 E9.( )( ) ( ) ( ) 0 展開整理後, 4 項的係數為何?As: 0 0 E9. 若 ( a ) 之展開式中, 4 項的係數為 660, 求 a 值 As: cplee8tcfsh-4--/

24 8 E94. 已知 ( k ) 展開式中, 7 項的係數為 89, 求 k 值 As: 5 E95. 設 a R, 若 ( a ) 的展開式中, 4 項的係數為 80, 則 As:0 項的係數為 E96.()() 依之降冪式展開後, 第 5 與項之係數相同, 求 () 設 N, 若 () 展開式中的 8, 9, 0 項係數依次成等差數列, 求 () 若 () 展開式中, 有連續三項的係數分別為 0,495,79, 求 As:44;4or; E97. 在 ( ) ( ) ( ) ( ) 的展開式中, 項的係數為 a, 0 09 則 ()a?()?as:, a 40 E98.() k 之展開式中, 項的係數為 P k,k,,4,---,, 求 () P k () () As: ( k P k k P ; ) ; k k E99. N, 若 (ab) 與 (ba) 的展開式中, 項的係數相同, 求 a As: E00.()()(5)...[(-)] 的展開式中, 項係數為?As: 6 E 的展開式中 7 項的係數為 As:984 E0. 求滿足 500 ( 已知 log0.00,log0.477)as:6 之最小正整數 E0. 多項式 ( ) 5 的展開式中, 6 項的係數為何?As: 90 E04. 0 的展開式為 a b c 0 中, 係數 a?b?c? As:a0,b4949,c- E05.[(a-b) -c] 5 展開式中,() 共有? 項 () 其中 a b c 項的係數為? As:6,-4400 cplee8tcfsh-4--4/

25 E06. 求的近似值至小數點後第四位 As:0.945 E07. 在的展式中, 為有理數的項共有? 項 As:6 E08. 試求 0 0 乘積的末尾連續有幾個 0?As: E09.() 求 8 除以 ( ) 之餘式?As:8 48 () 試求以 () 除 0 0 之餘式?As: E0. 求 8 除以 000 的餘數為何? As:48 E. 計算 :() 5 7 9?As:4096 () 4 5 6?As:4095 () 4 50?As:085 E. 化簡 () 0 As:4 () 0 4?As: () 0 5 As: (4) 5 8 As: E. 不等式 000< <000, 則?As: 0 E4. 若, 則?As:4 cplee8tcfsh-4--5/

26 -5 遞迴關係一遞迴關係式..是一種遞迴地定義一個數列的方程式如果數列 a 的一般項 a 可以用它的前幾項來表示的話, 就稱為遞迴數列例如... 等差數列,5,8,,4, 的第項為 a, 滿足遞迴關係式 : { a a a,. 等比數列,,9,7,8, 的第項為 a, 滿足遞迴關係式 : { a a a,. 數列 a, a,a 7,a 4,a 5, 的第項為 a, 滿足遞迴關係式 : { a a a, 4. 費波那契數列 (Fiboacci sequece) 或簡稱為費氏數列 F..,,,,5,8,,,4,55, 假設一對 ( 雌雄各一 ) 新生小兔, 經過一個月後就長成大兔子, 再一個月後會生出一對 ( 雌雄各一 ) 小兔子, 而且從此以後每個月都會生出一對 ( 雌雄各一 ) 小兔子假設每對小兔子的生長與生育過程都是這樣只生不死 ( 萬歲萬歲萬萬歲 ) 設 F 表示第個月時兔子的對數, 根據假設, 畫樹狀圖來協助我們瞭解, 以表示一對新生兔子, 表示一對大兔子由題意知, 從起, 第個月時的兔子可分為大兔子與新生小兔兩種每對大兔子都是從第個月留下來的, 因此第個月時的大兔子對數與第個月時的兔子對數相等而新生小兔的父母必須在第個月時就存在, 再者每次兔子的生育都是生一對因此, 第個月時的新生小兔的對數與第個月時的兔子對數相等從以上分析中, 不難看出數列 F 中隱含著以下的遞迴關係式 : { F F F F F, 二數列的一般項 a 的表示法.. 在費氏數列 F 中, 雖然由 F 的遞迴關係式 : { F F F F F, 我們可以逐一求出各項 F 的值, 但這個過程比較冗長不便, 例如 : 想知道 F 0 的值就必須先算出前 9 項的值如果想求 F 00, 那麼逐一遞迴的求法顯然不實用, 而且容易計算錯誤因此, 我們希望從遞迴關係式, 直接導出該數列的一般項 F 的表示法, 以便直接代入求出其值 cplee8tcfsh-4--6/

27 三階差數列..若 b a a, 則稱數列 b 是原數列 a a ) 一般項 a b a a b a a b a a b a a b b k k a a b b b a 四常見的遞迴數列型式 :. 累加型 : a a f. 累乘型 : a f a. 混合型 : a p a q,( 其中 p q 是常數 ) 4. 二階遞迴 : a p a q a,( 其中 p q 是常數 ) 題型. 觀察與歸納的階差數列, 則 E5. 已知一數列 a 定義為 a, a a 4 a,,,,, 則 () 求 a,a,a 4 () 觀察 () 的規則性, 並推測第項 a ( 以表示之 ) () 試以數學歸納法證明 () 的推測是否成立答 :, 5,4 7,a 解.. () a 4, a 4 5, a , () a () 當時 a, 等式成立設 k 時成立, 即 a k k k k 則 k 時 a k a k 4 a k k k k k 4 k 4 k k k k 由數學歸納法知 N, a 恆成立, 等式也成立 cplee8tcfsh-4--7/

28 E6. 某人爬樓梯時, 有時一步上一階, 有時一步上二階若 a 表示某人上階樓梯的方法數, 試求.. () a 的遞迴關係式及初始值 () 樓梯有 0 階, 某人上樓或跨一階或二階, 此人上樓共有多少種方法答 :() a a a, a, a () 89 解.. () 若某人第一步跨上一階, 則尚有階, 有 a 種方法若第一步跨上二階, 則尚有階, 有 a 種方法故其遞迴關係式為 a a a 且 a, a,,4,5,6, () a a a a7 a6 a5 8 a4 a a 5 a8 a7 a6 4 a5 a4 a 5 8 a9 a8 a a6 a5 a4 8 5 a0 a9 a 題型. 累加型 : a a f E7. 設一數列 <a >, 已知 a 且 a a ( ), N, 則 a? ( )( ) As: a 6 解.. a a a a a a ) a a ( ) ( ) 一般項 a a L L ( )( ) 6 題型. 累乘型 : a f a E8. 設一數列 <a >, 已知 a 且 a a, N, 則 a? 答 :a () 4 5 解..由 a a ; a a ; a 4 a ; ; a a 4 5 ( ) 相乘得 a a ( ), 而代入上式亦成立, 故 a (), N 題型 4. 混合型 : a p a q cplee8tcfsh-4--8/

29 E9. 數列 <a > 定義為 a,a a, N, 則 a? 5 答 : a 6 [ 法一 ] a a 且 a a a a ( a a ) 即 b b 階差數列 b 為公比 r 的等比數列, 7 5 其首項 b a a 5 故 [ ( ) ] a a b k 5[ ( ) ] 6 5( ) k [ 法二 ] 令 Alim 原式即 a 6 ( a 6 ) a 6 a 6 a 6 a 6 ) a 6 a 6 5 相乘對消得 a 6 ( a 6), 故 a 6 題型 5. 二階遞迴 : a p a q a 設原式為 a p a q a,,( 其中 p, q,a, a 是給定常數 ), 令 p, q,( 即, 是二次方程式 p q0 的兩根 ) 得 a a a { a a a a a a a a 分別以累乘型運算 { a a a a a a a a () () 得 a a a a a 可解出 a a a a a 謎之音 : 最好是有人想背這個公式啦! 謎之彬音 : 那... 改良一下 a h k 這樣有沒漂亮一點呀謎之音 : 挖勒! 還是不知道 h 與 k, 有啥用? 謎之彬音 : 挖勒,too! 啊是不會隨便代個 a, a 解 h,k 喔 ( 請看下面例題 [ 法二 ]) cplee8tcfsh-4--9/

30 E0. 設數列 a 滿足 { a,a 5 a 5a 6a,, 試求 [ 法一 ] 5 6 0,, { a a a a a a a a,( 計算恕略 ) 累乘後 { a a a a a a a a { a a a a 4 a [ 法二 ] 5 6 0,, 令 a h k, 當, { a h k a 4 h 9k5 { h k a a E. 設 F 是費波那契數列 : { F, F F F F,, 則 F? 解.. 0 5, 5 令 F h 5 k 5 h 當, {F 5 k 5 F h 5 k 5 {h 5 k 5 F h {F 5, F h 5 k 5 k 5 五高階遞迴 ( 課外補充 ). 重根二階遞迴 : 遞迴式 : a p a q a,( p 4q0 ) 若 p q0 有重根 β β, 則一般式 a h k 取該數列之前二項代入求出係數 h,k, 即可得 a 一般式. 三階遞迴數列 : 三異根 : 遞迴式 a p a q a r a 若 p q r0 之根為 α β γ, 則一般式 a g h k 二同一異根 : 遞迴式 a p a q a r a 若 p q r0 之根為 α β β, 則一般式 a g h k 三同根 : 遞迴式 a p a q a r a 若 p q r0 之根為 β β β, 則一般式 a g h k cplee8tcfsh-4--0/

31 E. 設數列 a 滿足 { a,a 4 a a a,, 試求 a?as: a E. 已知數列 a 滿足 a, 且 a a 4,,,, a () 求 a,a,a 4 () 觀察 () 的規則性, 並推測第項 a ( 以表示之 ) () 試以數學歸納法證明 () 的推測是否成立 As:,5,7 4,a E4. 設一數列 a, 已知 a 且 a,,,4,, 則 a a? As: a E5. 若 a, a, a, 依此規則, 寫出數列 a 之遞迴關係式, 並證明 N,a As: a a E6. 樓梯有 0 階, 某人上樓時或跨一階, 或二階, 或三階, 此人上樓共有多少種方法?As:74 E7. 設一數列 a, 已知 a 且 a a, N, 則 a? As: a 5 E8. 平面上有 0 個圓, 最多可將平面分成幾個區域 As:9 E9. 平面上有 0 個圓, 若此 0 個圓均過一點 P, 其餘沒有三圓共點, 則可將平面分成幾個區域 As:56 E0. 設一數列 a, 已知 a 且 a a, N, 則 a? As: a E. 數列 a 定義為 a, a a, N, 則 a? As: a cplee8tcfsh-4--/

32 E. 河內塔(Haoi Tower) 問題有 A,B, 三柱, 其中 A 柱上套著個大小不同的圓盤, 將其由小到大編號為,,, 若藉助 A,B, 三柱作橋樑, 且每次移動圓盤時都保持較大圓盤在下面, 較小圓盤放在上面的規定, 設 a 表示將個圓盤全部由 A 柱搬到柱所需的最少次數, 則.. () a 的遞迴關係式為?() a?as: { a a a,, a E. 設數列 a 滿足 { a,a 4 a a a,, 試求 a? As: a E4. 設一數列 a, 已知 a 且 a a 5( ), N, 則 a? As: a E5. 平面上條直線最多將平面分割成 As: a, a 5 6 a 個區域, 試求 a 及 a 5 之值 E6. 平面上有個相異圓, 最多有 a 個交點, 試求出數列 a 之遞迴關係式, 並求 a 之值 As: a a, a E7. 平面上有一個凸邊形 4, 任三條對角線在內部不交於一點, 令所有對角線之交點個數為 a, 求 () a 之遞迴關係式,() a 之值 As:() a a () a 4 E8. 設遞迴數列 a 的前 6 項為,5,,,5,5, 以後各項也遵循這個規律變化, 試求 :() a 的遞迴關係式 () 一般項 a 及 a 00 As:() a a () a,4950 E9. 設數列 a 的前 5 項為 5 5,,,,, L, 以後各項也遵循這個規律變化, 試求 : a 的遞迴關係式與一般項 a As: a a, 5 a 5 ( ) 8 5 E40. 設一數列 a, 已知 a 且 a ( ) a, N, 則 a?as: a! cplee8tcfsh-4--/

33 E4. 設 a 滿足 a 6, a a, N, 試求 a As: a ( )( 6) E4. 設 a 滿足遞迴關係式 : a 9, a a 5 4, N, 試求 a As: a 6 (0 5 9) E4. 設 a 4a, N, 且 a, 試求 a As: a 4 E44. 設 a 5, a a 4, N, 求 a 之值 As: a 4 E45. 數列 a 定義為 a, a a 0, N, 試求 a As: a ( ) E46. 數列 a 定義為 a, a a, N, 試求 a? As: a ( ) E47. 設 F 是費波那契數列 : F F, F F F ( ), 則 () F F F?() 前 500 項中有幾項是奇數 As:-,4 E48. 設數列 a 滿足 a,a 6, 且 a 4a 4a, N, 試求 As: a ( 6 5) a E49. 設數列 b 滿足 b 6,b 7, 且 b 6b 9b, N, 試求 b As: a ( 6 5) cplee8tcfsh-4--/

章節

試題求 ( )7 展開式中 8 的係數編碼 05 難易易出處康熹自命題解答 8 67 ( )7 7 7 7 ( ) 7 7 7 ( ) 7 7 7 3 ( ) 0 0 () 3 5 係數 7 5 ( ) 7 5 8 () 3 8 8 係數 7 ( )7 ( 3 ) 67 [a (b c) ] 6 展開式中 a 3 b c 係數? 0 編碼 055 難易易出處康熹自命題解答 300