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领睦步
9 years ago
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1 數學 2 Chapter 集合與計數原理學習目標 : 首先能理解基本的邏輯用語中, 或且與敘述的否定的意義,以及笛摩根定律,以便處理集合與集合的計數相關的問題.再者,能了解聯集交集補集差集積集與文氏圖的意義,以及集合之間的運算法則,並結合基本的計數原理,包括 : 窮舉法加法原理乘法原理取捨原理,來處理生活中常見的計數問題. 甲基本的邏輯用語在本章中, 我們的學習重點在於如何有效地處理計數問題, 也就是第 2 節中的排列組合問題在此之前我們將先介紹一些在處理計數問題時所用到的用語與概念, 但同學們或許會覺得有一點抽象, 這等到學到了第 2 節, 我們會讓你知道在這節中所介紹的抽象概念, 如何在處理實際問題時使用. 所以請先耐心學好這節的內容. 1. 何謂敘述? 在數學的語言中, 能判斷其對或錯的語句, 稱為敘述. ( 或命題 ) 例 :(1) 三角形的三個內角和為 180. (2) 正三角形都是等腰三角形. (3) 長方形都是正方形. 2. 與敘述 p 意思相反的敘述, 稱為 p 的否定敘述否定敘述. ( 或否定命題 ) 例 :(1) 若敘述 p 為 n 是偶數, 則 p 的否定敘述為 n 不是偶數. (2) 若敘述 q 為 n 3, 則 q 的否定敘述為 n< 3. 註 : 通常 p 的否定敘述會用符號 ~p 或 p 來表示. 3. 在數學中, 我們經常用使用或且來連接兩個敘述, 成為一個新的敘述. 例 :(1) 2 是偶數且 3 是奇數 (2) a= 0 或 b= 0 (3) n 是 2 的倍數且 n 是 3 的倍數 (4) x> 1且 x< 2 註 : 有些書本使用符號來代表或, 而用符號來代表且. 複合敘述 ( 或且 ) 例 1: 設正整數 n 10,已知 n 是 2 的倍數或 n 是 3 的倍數,試舉出所有可能的 n. 例 2: 設正整數 n 25,已知 n 除以 4 餘 1 且 n 是質數,試舉出所有可能的 n. 隨堂練習 : 設 n 是正整數,已知 n 是 8 的因數或 n 是 12 的因數,試舉出所有可能的 n. 隨堂練習 : 設正整數 n 50,已知 n 是平方數且 n 的個位數字為 6,試舉出所有可能的 n. 1

2 4. 如果使用或且來連接兩個敘述, 成為一個新的敘述, 那這個新的敘述的否定敘述為? 例 : 敘述 p 代表 n 是 2 的倍數, 敘述 q 代表 n 是 3 的倍數, 那麼 (1) p q 代表 (2) p q 代表 (3) p q 的否定敘述為 (4) p q 的否定敘述為例 : 設正整數 n 10,已知 n 不是 2 的倍數且 n 不是 3 的倍數,試舉出所有可能的 n. 例 : 若敘述 p 為 a= 0 或 b= 0, 則 p 的否定敘述為. 例 : 若敘述 p 為 x> 1且 x< 2, 則 p 的否定敘述為. 5. 笛摩根定律 ( De Morgan s law ) ~ ( p q) ~ p ~q ~ ( p q) ~ p ~q 複合敘述的否定敘述例 3: 設 X 是老師,下列哪些是 X 是男性且 X 教數學的否定敘述? (1) X 不是男性且 X 不教數學. (2) X 不是男性或 X 不教數學. (3) X 不是男性或 X 教英文. (4) X 是女性或 X 不教數學. 隨堂練習 : 設 x 是實數,下列哪些是 x< 0 或 x> 1 的否定敘述? (1) x 0 或 x 1. (2) x 0 且 x 1. (3) x 0 或 x 1. (4) x 0 且 x 1 習題 - 觀念題 :( ) 2. 敘述投籃 10 次至少投進 4 次的否定敘述為投籃 10 次至多投進 4 次. 習題 - 基礎題 :1. (1) 設 x 是實數,試寫出 x> 1 且 x< 3 的否定敘述. (2) 設 a, b 是實數,試寫出 a< 0 或 b 0 的否定敘述. 2

3 乙集合集合及其運算 1. 何謂集合? 何謂元素? 2. 如何表示一個集合? 例 : A= { 2, 4,6,8} B= { 1,3,5,7,9} { 2, 1 4, } A= x x= k k k為正整數 { 10 } B= x x是是於的正奇數集合的表示 2 問題 :(1) 利用列舉法表示集合 A= { x x = 9} (2) 利用描述法表示所有是於 100 且被 4 除餘 1 的正整數所組成的集合註 : 習慣上, 我們用符號 N 表示所有正整數正整數所成的集合 ; Z 表示所有整數整數所成的集合 ; Q 表示所有有理數有理數所成的集合 ; R 表示所有實數實數所成的集合 ; C 表示所有複數複數所成的集合 3 2 例 5: 設集合 S = { x R x + x 2x 2= 0},試寫出 S 的所有元素隋堂練習 : 設集合 S= { n Z n 是大於 30 的質數 },下列哪些元素屬於 S? (1) 21 (2) 29 (3) 41 (4) 91 (5) 若集合 A 中的每一個元素都屬於集合 B, 則稱 A 為 B 的部分集合部分集合. ( 或子集 ) 用符號 A B ( 讀作 A 包含於 B). 而 A 不包含於 B 時, 記為 A B. 例 :(1) { 1,2,3} { 1, 2,3, 4,5} (2) { 1,2,3} { 1, 2, 4,5} (3) { x 1< x< 3 } { x 1< x 4} (4) N Z Q R C 註 : 試問 A= { 1,2,3} 是否包含於 B { x 1 x 3, x } = 是正整數? 3

4 問題 : 設集合 A= { 1,2}, B= { 1, 2,3,6}, C { x x 6 } = 為的正因數, 選出正確的選項 : (1) A B (2) A C (3) B C (4) C B (5) B= C 4. 同時在集合 A 與集合 B 中的元素所構成的集合, 稱為 A 與 B 的交集, 以符號 A B 表示. 5. 在集合 A 中或是在集合 B 中的元素所構成的集合, 稱為 A 與 B 的聯集, 以符號 A B 表示. 例 :(1) 若 A= { 1, 2,3,4,5}, B= { 2,4,6,8}, 則 A B= { 2,4}, A B= { 1, 2,3, 4,5,6,8} (2) 若 S = { x 1< x< 3}, T { x 2 x 4} =, 則 S T =? S T =? 6. 在集合 A 中, 但不在集合 B 中的元素所組成的集合, 稱為 A 對 B 的差集. 以符號 A B 表示例 :(1) 若 A= { 1, 2,3,4,5}, { 2,4,6,8} B=, 則 A B =? B A =? 7. 條列式的定義有時不易理解, 在此我們引入文氏圖文氏圖 (Venn diagram), 提供較為視覺化的方式來幫助理解集合的包含交集聯集與差集 : 註 : 從圖形中, 我們可以看出當兩個集合間沒有包含於的關係時, 就產生了交集聯集與差集的概念 8. 試問 : 若 A { 1, 2,3 }, B { 4,5,6} = =, 則 A B =? 集合的包含交集聯集與差集例 6: 設集合 A= {1, 2, 3, 4}, B= {2, 4, 6, 8, 10},試求 A B, A B, A B, B A 隋堂練習 : 設集合 A= {1, 3}, B= {2, 4, 5, 6},試求 A B, A B, A B, B A 習題 - 基礎題 :3. 設 A 是所有 20 的正因數所組成的集合, B 是除以 3 餘 2,且不大於 20 的正偶數所組成的集合. (1) 試用列舉法寫出集合 A, B. (2) 試求 A B, A B, A B 及 B A 習題 - 觀念題 :( ) 3. 設 A, B 為集合,則 A B= ( A B) ( B A) 註 : 如果我們把集合彼此之間的交集聯集或差集當做是一種運算運算, 如同加法或乘法. 那麼三個集合如果用交集聯集或差集串在一起, 其中的意思是? 4

5 例 7: 設集合 A= {1, 2, 3, 4}, B= {1, 2, 4, 5, 6}, C= {2, 4, 5, 8},求 A B C 及 A B C 隋堂練習 : 設集合 P= { a, b, c, d, e}, Q= { c, d, e, f }, R= { f, g, h},求 P Q R 及 P Q R 9. 問題討論中, 所探討的集合們都是某個集合 U 的子集時, 則稱 U 為宇集. 舉例來說, 在前面 (P.2) 我們曾經提過一個問題 : 設正整數 n 10,已知 n 不是 2 的倍數且 n 不是 3 的倍數,試舉出所有可能的 n. 在這個問題中, 我們要探討的是在正整數 n 10 的這個集合中, 符合條件要求的 n 有幾個. 令 S = { x x是正整數, x 10}, A= { x 1 x 10, x是 2 的倍數 }, B= { x 1 x 10, x是 3 的倍數 } 則 S 就是宇集. 而在 S 中但不在 A 中的元素所構成的集合, 稱為 A 在 S 中的補集. 用符號 A ' 表示.( 或用 A ) 即 A' { x x S, x A} =. 所以在此題中, 題目所求就是在集合 A' B ' 中有幾個元素. 10. 笛摩根定律 ( De Morgan s law ) A' B ' = ( A B)' A' B ' = ( A B)' 問題 : 可以推廣到三個集合嗎? 11. 在本節稍後的排列組合問題中, 我們將焦點擺在集合元素的計數集合元素的計數, 也就是數一數集合中有幾個元素. 因此, 我們引入符號 A 來表示有限集合 A 中的元素個數. ( 有些書是用 n( A ) ) 例 : 若宇集 S = { x 1 x 100, x N }, A { x x S, x 4 } 則 A =, A' =. = 是的倍數, 集合的補集與笛摩根定律例 8: 令宇集 U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A= {1, 3, 5, 7}, B= {2, 3, 4, 5, 6},試寫出 A 及 B 隋堂練習 : 令宇集 U = { 春, 夏, 秋, 冬 }, S = { 春, 秋 },試寫出 S 及 U. 隋堂練習 :(1) 宇集 U 及集合 A, B 如右圖所示,試用藍筆標示 A, 紅筆標示 B,觀察 A 與 B 的重疊處 ( 即 A B ) 是否恰為 A B 的補集 ( A B ). (2) 宇集 U 及集合 A, B 如例 8,寫出 A B, 並檢驗 ( A B ) 是否為 A B. 習題 - 觀念題 :( ) 4. 設 A, B, C 為集合,則 ( A B C) = A B C 5

6 12. 最後, 我們介紹另一個集合的概念 : 積集合若 A= { abc,, }, { 1,2} 規定 A B B=, 我們定義一個集合的運算, 是一個新的集合, A B {( a,1),( b,1),( c,1),( a,2),( b,2),( c,2) } A B 稱為 A 與 B 的積集合. =, 積集合例 9: 設集合 S= { x, y}, T = {1, 2, 3, 4},試求 S T 及 T S 隋堂練習 : 設集合 A= {J, Q, K}, B= {,,, },試求 A B 及 B A 例 10: 設 A= {0, 1},試求 3 A 隋堂練習 : 設 S= { 上, 中, 下 },試求 S 2 丙基本計數原理接下來, 我們將進入本節中最重要的部份 : 計數問題的原理. 在處理計數問題時, 我們時常交互使用下列四項看似乎簡單的法則 : (1) 窮舉法與樹狀圖. (2) 加法原理. (3) 乘法原理. (4) 取捨原理.( 又稱排容原理或容斥原理, Principle of Inclusion-Exclusion) 在此我們用下面幾個問題來說明 : (1) 如果從 A 地到 B 地有三條路可走,B 地到 C 地有兩條路可走, 試問從 A 地經 B 地到 C 地, 有幾種不同的走法? (2) 是明要吃下午茶了, 他正在考慮要吃什麼, 如果吃蛋糕, 有巧克力草莓香草三種選擇 ; 如果吃肉包, 有燒肉與蔬菜兩種口味 ; 如果吃熱狗, 有起司麻辣原味三種, 是明正在減肥, 只能吃挑一種吃, 請問是明有幾種選擇? (3) A 城到 B 城之間有甲乙丙丁戊五城, 其間連結的道路如右圖所示今從 A 城出發走向 B 城, 要求每條道路都要經過而且只經過一次, 則總共有幾種走法? (4) 從 1~100 中, 共有幾個整數不被 2 也不被 3 整除? 6

7 在面對計數問題上, 我們時常使用到上述的四個原則, 我們將透過下面課本的例題中, 來做示範. 窮舉加法與乘法原理例 11: 設集合 S= { n N n 是是於 30 的質數 },求 S 隨堂練習 : 設集合 T = { n Z n 是是於 100 的平方數, 且 n 除以 5 餘 1},求 T 例 17: 設集合 A= { a1, a2, a3, a4}, B= { b1, b2, b3},求 A B. 隋堂練習 : 設甲地到乙地有 4 條路,乙地到丙地有 3 條路,問從甲地經乙地到丙地有幾條不同路線可走? 例 18: 是英有 3 件上衣, 4 件長褲, 2 雙鞋,那麼這三者之間的搭配有幾種? 隋堂練習 : 英文大寫字母 A, B, C,, Y, Z 共 26 個,若欲編製 3 字母的車牌 ( 如 ABC, AAB), 可以有多少種車牌? 例 19: 從 {1, 2, 3, 4, 5} 中取出兩個相異數字做成二位數,有多少不同的數? 隋堂練習 : 班上 40 位同學中,要選 1 人做班長,選另 1 人做副班長,可有多少種選擇? 在一般常見的計數問題中, 往往不是只用到單一原則來解決, 經常問題中需要乘法與加法一起使用. 加法原理的本質就是分類分類, 乘法原理的本質就是逐步思考逐步思考在不少排列組合的問題中, 我們會先用分類, 而每一類再分別求出來樹狀圖或窮舉法可以幫助我們更加確定答案, 並避免重複計數. 下面我們將上述的例題做些修改, 同學試著做看看 : (1) 如右圖所示, 從甲地到乙地有幾種走法? (2) 從 {0, 1, 2, 3, 4} 中取出兩個相異數字做成二位數,有多少不同的數? (3) 某公司生產多種款式的阿民公仔, 各種款式只是球帽球衣或球鞋顏色不同其中球帽共有黑灰紅藍四種顏色, 球衣有白綠藍三種顏色, 而球鞋有黑白灰三種顏色公司決定紅色的球帽不搭配灰色的鞋子, 而白色的球衣則必須搭配藍色的帽子, 至於其他顏色間的搭配就沒有限制在這些配色的要求之下, 最多可有幾種不同款式的阿民公仔? 96 學測 (4) 某地區的車牌號碼共六碼, 其中前兩碼為 O 以外的英文大寫字母, 後四碼為 0 到 9 的阿拉伯數字, 但規定不能連續出現三個 4 例如 :AA1234,AB4434 為可出現的車牌號碼 ; 而 AO1234,AB3444 為不可能出現的車牌號碼, 則所有第一碼為 A 且最後一碼為 4 的車牌號碼個數為 (A) (B) (C) (D) (E) 學測 7

8 (5) 從一個 10 人的俱樂部, 選出一位主任, 一位幹事和一位會計, 且均由不同出任, 如果 10 人中的甲君和乙君不能同時選上, 那麼共有種選法 88 社會隨堂練習 : 設有 8 粒牛奶糖,要分裝成 3 包 ( 每包至少 1 粒 ),有幾種分法? 例 12: 設三角形的周長為 15,且三邊長皆為整數,問其邊長的組成有多少種? 取捨原理例 14: 學校辦親師座談會,班上有 15 個同學的爸爸出席,有 20 個同學的媽媽出席,又其中有 5 個同學是爸爸媽媽聯袂出席,那麼請問 : (1) 出席親師會的家長共有幾人? (2) 有家長出席親師會的同學有幾人? 隨堂練習 : 在例 14 中, 爸爸出席親師會, 而媽媽沒來的同學有幾人? 例 15: 設 n 是不大於 100 的正整數,集合 A, B 如下 : A= { n n 是 2 的倍數 }, B= { n n 是 3 的倍數 }.求 (1) A B. (2) A B 隋堂練習 : 設 n 是不大於 100 的正整數,問 (1) 使 (2) 使 n 不是最簡分數的 n 有幾個? 15 n 是最簡分數的 n 有幾個? 15 習題 - 基礎題 :6. 不大於 100 的正整數中,試求 : (1) 4 的倍數或 6 的倍數者共有幾個? (2) 4 的倍數但不是 6 的倍數者共有幾個? (3) 不是 4 的倍數且不是 6 的倍數者共有幾個? 隋堂練習 : 某次考試,班上 45 人中,國文英文數學不及格者依序有 8,9,10 人,國英 ( 國文與英文 ) 英數數國不及格者依序有 4,5,6 人,三科都不及格者 2 人,問三科都及格者有多少人? 習題 - 基礎題 :8. 有學生 45 人參加某次體能測驗,該測驗分為 A, B, C 三項,通過 A, B, C 項者依序有 15,16,17 人,通過 AB 兩項, BC 兩項, CA 兩項者依序有 6,7,8 人,三項都通過者有 3 人,試求 : (1) 至少通過一項者有多少人? (2) 三項都沒通過者有多少人? 8

9 例 16: 從 1 到 1000 的所有整數中與 30 互質的有幾個? 習題 - 綜合題 : 從 1 到 100 的所有整數中,試求 : (1)2 的倍數或 3 的倍數但不是 6 的倍數者有幾個? (2)2,3,5 中之一的倍數者有幾個? (3)2 的倍數或 3 的倍數但不是 5 的倍數者有幾個? (4) 與 30 互質的有幾個? 習題 - 綜合題 : 右圖中,一大長方形等分成九個是長方形,試求 : (1) 包含 A( 紅色 ) 的長方形共有幾個? (2) 至少包含 A( 紅色 ) 的長方形或 B( 藍色 ) 的長方形共有幾個? 著色問題例 20: 設有 5 種顏色供選用,要在下列圖案中著色,每一區域使用一種顏色,顏色可重複使用, 但相鄰區域不得同色,圓形不可旋轉,問各有幾種著色方法? (1) (2) 隋堂練習 : 設有 5 種顏色供選用,在右圖中著色,每一區域使用一種顏色,顏色可重複使用, 但相鄰區域不得同色,圖形不可旋轉,問有幾種著色方法? 習題 - 基礎題 : 設有 5 種顏色可供選用,要在下列圖案中著色,但每一區域使用一種顏色,相鄰區域不得同色,圖形不可旋轉,問各有幾種著色方法? (1) (2) 問題 : 用五種不同顏色塗於右圖中, 五個空白區域, 相鄰的區域塗不同顏色, 則共有幾種塗法? 86 社會 9

10 除了前面 (P.6) 所述的四項原則外, 還有兩個常用的方法 : (1) 從是的數字看出規律 (2) 一對一對應原理我們用下面的例子來做說明 : 例 13: 有 10 個人參加網球單淘汰賽,每位選手只要輸一場就淘汰,每場比賽都要分出勝負,沒有和局,最後唯一沒有輸過的人,便是冠軍.那麼總共要比賽幾場,才能產生冠軍? 隨堂練習 : 有 51 個籃球隊參加單淘汰賽,問需要比賽幾場,才能產生冠軍? 問題 : (1) 試觀察下列兩個問題之間的對應關係 : 1 是英有 3 件上衣, 4 件長褲, 2 雙鞋,那麼這三者之間的搭配有幾種? 2 多項式 ( a+ b+ c)( x+ y+ z+ u)( p+ q) 展開式有幾項? (2) 正整數有幾個正因數? 2 所有正因數的總和為? 3 所有正因數的乘積為? (3) 試觀察下列兩個問題之間的對應關係 : 1 設有 4 種顏色供選用,要在右邊的圖案中著色,每一區域使用一種顏色,顏色可重複使用, 但相鄰區域不得同色,圓形不可旋轉,問各有幾種著色方法? 2 一家四口, 父母兄妹, 每人都會洗碗, 也會做飯, 但每餐飯, 做飯者不洗碗, 某假日午晚兩餐, 做飯者非同一人, 洗碗者也非同一人, 問有種情形練習 : (1) 在之中, 任取 2 個或 2 個以上的數相乘可以製照多少不同的積? (A) 20 (B) 22 (C) 24 (D) 26 (E) 30 4 (2) 正整數 10 所有正因數的乘積為? (3) 將正四角錐 S-ABCD 的每一個頂點著色, 使得相鄰的兩個頂點異色 ( 相鄰的兩個頂點, 即共用稜線的兩個頂點 ) 若只有 5 種顏色可使用, 試問共有幾種不同的著色方式? (4) 一隻青蛙 a, b, c, d, e, f 等六個相異點上跳動, 每次跳動落點異於跳點若此青蛙從 a 點開始起跳, 跳四次後, 仍回到 a 點, 則跳法數有幾種? 註 : 實際上在處理計數問題時, 要在題目計算中去使用一對一對應原理, 是相當有難度, 因為必須看出來所處理的問題之間存在的一對一對應關係!!! 10

11 在常見的計數問題中, 有下列所謂的捷徑問題, 在此補充 : (1) 下圖 (1) 有橫街 5 條, 縱街 4 條, 某人欲由 A 到 B 取捷徑 ( 最短路徑 ) 行走, 則共有幾種選擇方式? (2) 如下圖 (2), 某人欲走捷徑由 A 到 B, 但不可經過圖中的斜線施工區域, 則共有幾種走法? (3) 如下圖 (3), 某人欲走捷徑由 A 到 B, 但必須經過 P 點, 則共有幾種選擇方式? 圖 (1) 圖 (2) 圖 (3) 11

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Microsoft Word - 2-1éłƒå’‹é‡‘è¼¯è‹⁄è¨‹æŁ¸å”�ç’ƒ.docx 第二章排列組合 2 1 集合邏輯與計數原理 ( 甲 ) 邏輯簡介敘述的意義數學的語言裡, 可以判斷其為真或為偽的語句, 稱為敘述下列的語句都是敘述 : (1) 所有正整數都大於零, 此一敘述為真 (2) 平行四邊形的對角線互相平分, 此一敘述為真 (3) 平面上三角形的內角和為 360, 此一敘述為偽 (4) 3 是有理數, 此一敘述為偽 ( 練習 1) 試判斷下列各敘述是真或偽 : (1)