排列組合

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1 排列組合 C = C + C r r r A B 姓名 :

2 主題一加法原理 ( 互斥原理 ) : 排列組合. 設 A,B 為絕不可能同時發生之兩事件,A 發生之情形數有 (A) 種,B 發生之情形數有 (B) 種, 則 A,B 任一或至少有一種發生之情形數為 (A)+(B) 種. 在一般情形下, 若 A 發生之情形數有 (A) 種,B 發生之情形數有 (B) 種, 則 A,B 至少有一種發生之情形數為 ( A) + ( B) ( A B) 種 例. 設 為不大於 00 的自然數, 則能被 8 或 整除的 有 個 [ 7 ] 例. 由 至 00 的整數中, 與 互質者有 個 [ ] 6 例. 由 至 0 中, 不是平方數亦不是立方數的自然數有 個 [ ] 例. 設 S={(x,y) x + y 00, x, y Z }, 則 (S)= [ 00 ] 例 5. 到 000 全部之整數同時印刷時, 需用 個活字 [ 89 ] 例 6. 能滿足 x+y+z=0 之正整數有 組 [ ] [ 作業 ]. 在牆上有一寬 公寸 ; 長 9 公寸的空白長方形 若有許多紅色及綠色的長方形磁 磚, 紅磁磚寬 公寸 ; 長 公寸, 綠磁磚寬 公寸 ; 長 6 公寸 用這些磁磚填滿 此長方形, 則可填出 種不同圖形 [ 9 ]. 設 A={,,,},B={,,,,5},C={,,,,5,6}, 自 A, B,C 中分別任取一數, 則其和為奇數的方法有 種 [ 60 ]. 用盡 00 元購買面額為 5 元,0 元,0 元三種郵票, 求下列方法數 : () 任意購買. [ 6 ] () 每種郵票至少購買一張. [ 6 ]. 從 到 9876 的自然數中, 數字中有 0 的數共有 個 ; 如果從,,,... 一直寫到 9876, 共要寫 個 0 [598,867] 5. 從 到 000 的自然數中, 數字中有 的數共有 個 ; 如果從,,,... 一直寫到 000, 共要寫 個 [ 7, 00 ]

3 主題二乘法原理 ( 包容原理 ) :. 有 A,B 兩事件,A 發生之情形數為 (A) 種,B 發生之情形數為 (B) 種, 則 A, B 同時發生或依次完成之情形數為 (A) (B) 種. 加法原理與乘法原理之區別 : (a) 連續發生, 同時發生 用 乘 (b) 互斥, 只要發生一事 用 加 例.() (a+b)(x+y+z+u) 展開時共有個相異的項 [ 8 ] () (a+b)(l+m+)(x+y+z) 展開時共有個相異的項 [ 8 ] 例. x, y Z, x 7, y 9, 則點 (x,y) 共有個 [ ] A 例. 如右圖, 從 A 走至 B, 走過之路不能 再走, 則共有種走法 [ 0 ] B 類題. 如右圖, 從 A 走至 B, 走過之路不能再走, A B 其中南北街道有 + 條, 則共有種走法 [ ] 例. 自立方體之一頂點沿稜取捷徑到對頂點的方法有種 [ 6 ] 例 有個正因數, 有個正真因數, 一切正因數總和為. 0 正因數乘積為. [ 0, 8, 70, 60 ] 例 6. 設一自然數 = 6 9, 則此自然數 之正因數有個 [ 5 ]

4 例 7. 如右圖, 某人自 A 走至 B, 不可重複經過, 不可經過斜線區域, 且只能依向 上 下 右三個方向前進, 設走法共有 S 種, 則下列何者為真? [ A B D E ] (A) S 是 的倍數 B [ 作業 ] (B) S 是 的倍數 (C) S 是 7 的倍數 (D) S 之正因數有 8 個 (E) S 之一切正因數總和為 有個正因數, 一切正因數總和為. [, 70 ] A. 從 種報紙,5 種週刊, 種雜誌中, 分別各選取一種, 有法 [ 60 ]. 如右圖, 某人自 A 經 B 至 C, 不可重複經過 且只能向上 下 右三個方向前進, 則走法共有種 [ 60 ] B = 5 7 () 共有個正因數 [ 0 ] () 正因數中為完全平方數者有個 [ ] () 正因數中為完全立方數者有個 [ ] A C 5. N, < 000, 則滿足下列條件的 () 不是 且不是 5 的倍數, 共有個 [ 5 ] () 是, 或是 5, 或是 7 的倍數, 共有個 [ 5 ] () 是, 或是 5, 但不是 7 的倍數, 共有個 [ 00 ] 6. 今有 5 個不同的門, 甲乙兩人由不同的門進入, 不同的門出來, () 自己可以由相同的門進出, 有法 [ 00 ] () 自己不可以由相同的門進出, 有法 [ 60 ] 7. 今有 6 個不同的門, 甲乙兩人由不同的門進入, 不同的門出來, 且自己不可以 由相同的門進出, 有法 [ 60 ]

5 主題三排列與組合之區別. 排列 : () 由 個相異物中取 r 個作直線排列之方法有 P r 種 ( P () 由 個相異物中全取作直線排列之方法有 =! () 規定 0! =. 組合 : () 由 個相異物中取 r 個組成一組之方法有 C () C0 =, C =, C = C C = C + C r r, r r r P r 種 ( C r = r =! ( r)! )! r!( r)! ). 實例說明 : a, b, c, d, e 等 5 個不同物中, 每次取出 個做組合與排列 組合 排列 a,b,c abc, acb, bac, bca, cab, cba 組合與順序無關 排列與順序有關 比數 :! 總數 : 5 C = 0 5 P = 60 所以 C : P = :! P = C! 公式 : P = C r! r r 主題四 完全相異物 的直線排列. 定義 : 由 個相異物中, 不可重複的取出 r 個 ( r ), 排成一列, 稱為直線排 列 其方法數稱為直線排列數, 記為 Pr, Pr 或 P(,r )!. 公式 : () P(, r) = ( ) ( )... ( r + ) = ( r)! () P(, ) = ( ) ( )... ( r + )... =!. 適用情況 : () 0 r () 個事物必須完全相異 () 取出之 r 個事物涉及次序關係 排列 () 取法不可重複 (5) 自 個相異物中, 不可重複的 取出 r 個, 排成 一列 ( 必須有 取 與 排 的動作, 才能使用 P(,r ) )

6 5 5 例. 設 P = P P = 8P P = P,, m m k k +, 則 m,,k = [5,,7] 例. 男生 8 人, 女生 6 人, 欲排成相等人數的前後兩排, 且男女相間隔排列, 有排法 [ 8! 6! ] 例. a, b, c, d, e 五文字, 每次排列五字全用, 不能重複, 求下列各排法 : () 任意排列 [ 0 ] () a, e 必須相鄰 ( 相鄰 綁在一起 ) [ 8 ] () a, e 不得相鄰 ( 不相鄰 最後再放 --- 插空法 ) [ 7 ] ( 不相鄰 全部的排法減去相鄰的排法 ) () a, e 必須排於兩端 [ ] 例. 由 0,,,,,5 等六個數字, () 可作成 個數字各異的五位數 [ 600 ] () 其中有 個偶數 [ ] () 其中有 個奇數 [ 88 ] 例 5. 數字全用, 但不重複, 由 <,,5,7,9> 五數字組成循環節之純循環小數, 例如 , 共有個, 其總和為. [ 0,66. 6 ] 類題 : 數字全用, 但不重複, () 由,,5,7 作成之一切四位數的總和為. [ 9988 ] () 由 0,,,,6 作成之一切五位數的總和為. [ 6997 ] 例 6. 數字不重複, 由 0,,,, 作成之五位數, 依小而大順序排列時, 第 0 個數為, 又其中大於 000 的數共有個 [ 0, 60 ] 類題 : 承上題,() 第 75 個數為. () 第 87 個數為.[0,0] 例 7. 字母全用, 但不重複, 由 a,b,c,d,e 五個字母依字典方式排列, 則 cdbae 為第個, 又第 70 個為. [ 6, cebda ] 5

7 例 8. 由,,,,5,6,7,8,9 等九個數字, 作成之數字互異且可被 整除 的三位數有個 [ 80 ] 例 9. 有 A,B,C,D,E,F 等六家, 除 B,C 外, 其餘任兩家均有直路相通, 今 由 A 出發, 訪問其他五家, 再返回 A, 每家不得重複訪問, 則走法共 有種 [ 7 ] 當排列有限制時 : 個人排成一列, () 甲 必須 排首位 先排甲 ( )! () 甲 不得 排首位 全部 - 甲排首! - (-)! () 甲不排首位, 乙不排次位 全部 - 甲排首 - 乙排次 +( 甲排首且乙排次 ) 全部 -[ (A) + (B)- (A B) ]!-[ (-)! + (-)!-(-)! ]!-(-)!+ (-)! () 甲不排首位, 乙不排次位, 丙不排第三位 ( 利用集合圖形 ) =! - [ (-)!+(-)!+(-)! -(-)!-(-)!-(-)! +(-)! ] =! -(-)! + (-)! - (-)! 注意係數與正負號 -- 似曾相識 (5) k 人受限制 -- 參考 [ 排容原理 ] 取捨原理 ( 又稱排容原理 ) 人中有 k 人受限制時 k k k k k (! C ( )! + C ( )! C ( )! ( ) C ( k)! ) 係數為帕斯卡三角形 ( 楊輝三角形 ) 之係數, 且正負號相間 例如 : () 7 人中, 人受限制時 7! 6! () 7 人中, 人受限制時 7! C 6! + C 5! () 7 人中, 人受限制時 7! C 6! + C 5! C! () 7 人中, 人受限制時 7! C 6! + C 5! C! + C! k 例 0. 7 人排成一列, 規定甲不排首, 乙不排中, 丙不排末, 則排法有 種 [ 6 ] 例. 袋中有,,, 號碼之球各一, 每次取一球, 取後不放回, 至取完為止, 則每次取出之球號碼與取球之次數不同之情形共有種 [ 9 ] 6

8 類題. 有五對夫妻共舞, 夫皆不與妻為舞伴之情形共有種 [ ] 類題. 6 人排成一列, 規定乙必須排第三位, 甲不能排首位, 戊己不能排末 位, 則排法有種 [ 60 ] 主題五 不完全相異物 的直線排列 個事物中, 有一種 p 個相同物, 另有一種 q 個相同物, 另有一種 r 個相同物, 其餘均相異, 則此 個事物排成一列, 稱為不完全相異物的直線排列! ( p + q + r ) 其方法數 = p! q! r! 例. 用 7 個字 0,,,,,, 可作成個七位整數 [ 60 ] 例. 將下列各自排成一列, 各有幾法? 9! () Teessee [!!! ]! () Mississippi [!!! ] () 庭院深深深幾許 [ 7!! ] 7! () 到黃昏點點滴滴 [!! ] (5) 風聲雨聲讀書聲 [ 7!! ] 例. 將 庭院深深深幾許 重新排列 () 共有 法 [ 80 ] () 三個 深 字不完全連在一起, 有 法 [ 70 ] () 三個 深 字完全不連在一起, 有 法 [ 0 ] () 三個 深 字至少有兩個相鄰, 有 法 [ 600 ] (5) 三個 深 字恰有兩個相鄰, 有 法 [ 80 ] 7

9 例. 用警報器吹鳴信號, 分 秒與 秒兩種, 每鳴一次間隔 秒, 今有 5 秒鐘 之時間, 則可作種不同之信號 [ 7 ] 相關位置 ( 相對次序 ) 不變者 視為同物 例 5. 此恨綿綿無絕期 七字重新排列, () 恨綿綿 三個字其相關位置不變, 有法 [ 7!! () 無絕期 三個字其相關位置不變, 有 法 7! [!! ] 類題. factorig 一字中, 重新排列, () 母音順序不變, 有法 [ 9!! () 子音順序不變, 有法 [ 9! 6! () 母音順序不變, 子音順序不變, 有 法 9! [ 6!! ] 類題. 忠孝仁愛信義和平 重新排列, 忠孝 不許分開, 信義 必須 分開, 和 排在 平 的左邊, 有法 [ 600 ] 例 6. 將一元幣 枚, 五角幣 枚, 分給若干人, ( 每人至多得一枚 ) () 5 人, 有 法 5! [!! ] () 6 人, 有 法 6! [!! ] () 7 人, 有 法 7! [!!! ] () 00 人, 有 法 00! [ 95!!! 類題. 鋼筆 枝, 毛筆 枝, 原子筆 枝, 分給 人, 每人至多得一枝,! 有法 [!!!! ] 8

10 例 7. 如圖, 取捷徑而走, () 由 A 至 B 有法 [ 0! 6!! ] B () 由 A 經 P 至 B 有 法! 6! [!!!! P Q () 由 A 不經 P 至 B 有 法 [ 0 ] () 由 A 不經 P,Q 至 B 有 法 [ 80 ] A 例 8. 我為人人, 人人為我 () 全取排成一列, 有 法 [ 0 ] () 全取排成一列, 相同文字不分離, 有 法 [! ] () 全取排成一列, 相同文字不相鄰, 有 法 [ ] B 例 9. 如圖, 取捷徑而走, 由 A 至 B 有 法 [ 8 ] 類題. 下列各圖, 取捷徑而走, 由 A 至 B, 各有 法 [,0,8 ] B B A B A 主題六重複排列 A A 自 種相異物中, 可重複的, 每次取出 r 個, 排成一列, 稱為重複排列 r 其排列數為 特別注意 : 底數與指數不要顛倒!! 口訣 : 肚量大者為底數 說明 :() 一個郵筒可同時容納多封信, 但一封信既投一筒就無法再投二筒, 所以郵筒肚量大. () 一種酒可同時倒給多個杯子, 但一個杯子只能裝一種酒, 所以酒的肚量大. 注意 自 個相異物中取出 r 個 與 自 種相異物中取出 r 個 意義不同 ; 前者所取 r 物皆相異, 而後者則不盡然 9

11 例. (), 兩個數字可重複使用, 可作成個二位數 [ ] () 0,, 三個數字可重複使用, 可作成個三位數 [8] 例. () 將 封不同的信投入 個不同郵筒, 有法 [ ] () 將 封不同的信投入 個不同郵筒, 有法 [ ] 例. 大小相同的紅黃藍白球各 0 個, 自其中任取 6 個, 排成一列, 6 5 有法, 若同色球不得相鄰, 有法, [, ] 例. () 用 0,,,,,5,6 等七個數字, 不可重複使用, 排成五位數, 有法, 排成五位數的偶數, 有法, [ 60, 60 ] () 用 0,,,,,5,6 等七個數字, 可重複使用, 排成五位數, 有法, 排成五位數的偶數, 有法, [ 6 7, 6 7 ] 重複的問題 : () 兼容性的重複 ( 得者可以再得 ) 考慮 給, 得 肚量大, 給 有 種選擇 () 排斥性的重複 ( 得者不可以再得 ) 考慮 得, 給 肚量大, 得 有 種選擇 口訣 : 肚量大者為底數 例 5. A,B,C 三件獎品, 頒給甲乙兩人, 每人可兼得, 則有法 [ ] 例 6. 五種不同的酒, 注入四個不同的酒杯, 每杯恰注入一種酒, 則有法 [ 5 ] 例 7. 渡船 艘, 每船最多可載 5 人, 今有下列人數要同時安全渡過, 各有幾法? () 人 () 5 人 () 6 人 () 7 人 [,,, C ] 6 類題. 渡船 艘, 每船最多可載 6 人, 今有 7 人要同時安全渡過, 有 [ 7 ] 法 0

12 例 8. 5 件不同的獎品, 分給 個兒童, 每童可兼得每件獎品, () 每童兼得每件獎品, 有法 [ ] () 甲童不得任一件獎品, 有 () 甲童至少得一件獎品, 有 () 甲童恰得一件獎品, 有 (5) 甲童至少得兩件獎品, 有 法 [ ] 法 5 5 [ ] 法 [ 5 ] 法 [ 5 5 ] 5 5 [ 作業 ]. 用 0,,,,,5,6,7,8,9 十個數字排成三位數, () 不可重複使用, 有法 [ 68 ] () 可重複使用, 有法 [ 900 ]. 有紅, 黃, 白, 綠之球各 8 個, 自其中每次任取 5 個, () 排法有種 [ ] () 若同色球不相鄰, 則排法有種 [ ] 5. 六件不同物, 分給甲, 乙, 丙, 丁四人 () 任意分, 每人可兼得, 有法 [ ] () 甲至少得一件, 乙恰得一件, 有 法 [ 66 ] () 甲至少得一件, 乙至少得二件, 有 法 [ 6 ] 6. 有四封不同之信, 投入五個郵筒, () 任意投, 有法 [ 5 ] () 甲郵筒至少投一封, 有 法 [ 69 ] () 甲, 乙郵筒均至少投一封, 有 法 [ 9 ] () 甲, 乙, 丙三郵筒均至少投一封, 有 法 [ 8 ] (5) 甲, 乙, 丙, 丁四郵筒均至少投一封, 有 法 [ ] 主題七環狀排列. 自 個相異物中, 每次取出 r 個, 作一圓形排列, 稱為環狀排列. 個相異物之環狀排列數為 (-)!

13 . 個相異物中取出 r 個之環狀排列數為 Pr (, ) r. 個相異物之環狀排列中 (a) 左繞與右繞有區別時 ( 不可翻轉 ) (-)! 法 ( )! (b) 左繞與右繞無區別時 ( 可翻轉 ) 法 ( 又稱項圈排列 ), 5. 正 k 邊形之桌形排列 : 自 人中任取 r 人圍坐一正 k 邊形桌, 每邊坐 m 人,( mk=r ) m P(, r) r r 個人之直線排列數即 : ( r 個人之環狀排列數 每邊之人數 ) 或 P (, r ) 邊數 k 或自 人中任取 r 人, 讓一人先坐有 m 法, 其餘的人坐有 ( r )! 法, 故總共有 C m ( r )! 法 6. 長方形桌之桌形排列 : r 自 人中任取 r 人圍坐一長方形桌, 兩個長邊都坐 p 人, 兩個短邊都坐 q 人, 直線排列數 7. 多邊形的坐法 : 旋轉數 8. 圓桌上的座位, 若已編號, 則視為直線排列 9. 環狀上已有元素排定位置, 則再排上去的視為直線排列 例. 雙親與 個子女圍一圓桌而坐, 有法, 若雙親必須相對而坐, 有法 [ 5!,! ] 例. 5 男 5 女, 圍一圓桌男女相間而坐, 有 法, [!5! ] 若男女分別圍成兩個同心圓, 有 法 [ (!5!) ] 類題. 0 人坐 圓桌, 每桌 0 人, 有 法 [ C( 0, 0 ) 9! 9! ] 注意請比較以上二題之不同處 例. 7 個不同色的珍珠, 用線串成項圈, 有法 [ 60 ] 例. A,B,C,... 等 8 人圍一圓桌而坐,A 恰與 B,C 之一相鄰, 有 法 [ 00 ]

14 例 5. 主人夫婦與賓客夫婦三對, 共 8 人圍一圓桌而坐, 求下列各方法數? () 任意坐 [ 7! ] () 主人夫婦相鄰 [ 6! ] () 主人夫婦相對而坐 [ 6! ] () 男女相間而坐 [!! ] (5) 男女相間且夫婦相鄰 [! ] (6) 夫婦相鄰 [! ] (7) 男女相間且夫婦不全相鄰 [ ] 重點整理 : 對夫婦圍一圓桌而坐, () 任意坐 (-)! () 夫婦必相鄰 ( )! () 男女相間而坐 (! )! () 男女相間且夫婦相鄰! (5) 夫婦相對而坐 ( ) ( )! (6) 夫婦相對, 同性不相鄰 (-)! (7) 男的坐在一起, 女的坐在一起!! (8) 男女相間且夫婦不相鄰 下列公式僅供參考, 不用背 ( )!! +!... + ( )!! 5! 例 6. () 人圍坐一正方形桌, 每邊坐 人, 有法 [! ] () 0 人中任選 8 人圍坐一正六邊形桌, 每邊坐 人, 0 有法 [ C 7! ] () 0 人圍坐一長方形桌, 長邊坐 人, 短邊坐 人, 有法 [ 5 9! ] 上下左右前後皆對稱 先固定其中一面, 計算之 ( 打破對稱, 變成環狀 ) 結果再除以 6 ( 因為六面對稱 ) 直線排列數滾動排列 : 立體圖形能自由旋轉並滾動 其排列數 = 旋轉數 滾動數 8 例 7. 有一正立方體, 在其六面分別刻上,,,,5,6 等六個數字, 有法 [ 0 ]

15 例 8. 以紅, 黃, 藍, 綠四色塗於一正四面體之四面, 每面塗一色, 不得重複, 有法 [ ] [ 作業 ]. 主人夫婦與賓客, 共 0 人圍一長方形桌而坐, 主人夫婦坐於主人位, 有法 [ 8! ]. 6 人圍一圓桌而坐, () 甲乙兩人相鄰而坐, 有 法 [ 8 ] () 甲乙兩人相對而坐, 有 法 [ ]. A,B,C,D,E,F 等 6 人圍一圓桌而坐, () A,B,C 任二人皆不相鄰, 有 法 [ ] () AB,CD,EF 相鄰, 有 法 [ 6 ] () A,B,C 不完全相鄰, 有 法 [ 8 ] () 六人改圍坐一正三角形桌子而坐, 每邊坐 人, 有 法 [ 0 ]. 八人圍一正方形桌而坐, 每邊 人, 有 法 [ 0080 ] 5. 有紅, 白, 黃,... 等不同顏色之珠子六粒串成一項圈, () 任意串, 有 法 [ 60 ] () 紅, 白不相鄰, 有 法 [ 6 ] () 紅, 白相對, 有 法 [ ] 6. 九人中, 甲乙丙三人坐在一正三角形的三頂點上 ( 每頂點一人 ), 其餘六人坐在三邊上每邊二人, 有法 [ 0 ] 7. 人圍坐下列各形狀之桌子, 每邊所坐人數相同, 則坐法若干? () 正三角形桌 [! ]

16 () 正方形桌 [! ] () 正六角形桌 [ 6! ] () 長方形桌, 長邊四人, 短邊二人 [! ] 8. 0 個不同色的珠子串成項圈, 其中紅白藍 色串在一起, 有種串法. 主題八樹形圖!7! [ = 50 ] 樹形圖是一種像樹枝的圖形, 用來列舉一連串事件發生之可能情況, 通常由左而右逐層分類, 複雜情況都可明顯化 例. A,B 兩隊比賽籃球, 先贏兩局者勝, 比賽沒有和局, 則比賽之所有可能發生情形有種? [ 6 ] 例. A,B 兩隊比賽網球, 第一個先贏三局或連贏兩局者勝, 比賽沒有和局, 則比賽之所有可能發生情形有種? [ 0 ] 作業. A,B 兩棒球隊舉行 7 場比賽, 先贏 場者勝, 比賽沒有和局, 如今已賽 場, A 隊一勝二負, 則往後比賽有情形, 才能決定勝負? 其中 A 隊獲勝的情形有種? [ 0, ] 主題九兌鈔問題小額鈔票的和可抵上大額鈔票時 全化為小鈔 例. 下列鈔票可付幾種不同款額? () 一元 張, 五元 張, 十元 張 [ ] () 一元 6 張, 五元 張, 十元 張 [ ] () 五角 張, 一元 張, 五元 張, 十元 張 [ 9 ] 例. 將百元券一張, 兌成 5 元券,0 元券,50 元券, 兌法有種 [ 8 ] 5

17 作業. 砝碼 g,g,5g,0g,0g 重的各一個, 可稱出 [ 或 8 ] 種重量 作業. 一元 6 張, 五元 張, 十元 張, 五十元 張, 一百元 張, 可付出種不同款額? [ 9 ] 主題十著色問題 平面著色 :. 相鄰最多之區域先塗. 分類討論. 平面上可轉動 視為環狀排列 空間著色 : 空間上可滾動 視為滾動排列 立體圖形能自由旋轉並滾動 滾動排列 實例說明 : 以 0 種不同顏色, 去塗下列各立體圖形之表面, 每面一色, 不得重複 : () 正立方體 C( 0, 6) 5! 從 0 種不同顏色中任選 6 種顏色有 C(0,6) 個方法, 接著因為正立方體每面均相同, 而且每個顏色均要用, 故任取一色去塗任一面, 只有一個方法, 如此可破壞它的滾動, 接著選一色去塗對面有 5 個方法, 剩下的四個面則是環狀排列, 因此有! 個方法 () 正三角柱 C( 0, 5) C( 5, )! 從 0 種不同顏色中任選 5 種顏色有 C(0,5) 個方法, 接著任選兩色有 C(5,) 個方法去塗上下底, 為了避免項圈排列故塗法只有一種, 剩下的三個面則是環狀排列, 因此有! 個方法 () 長方體 C( 0, 6) 5! 實例說明 : 以 8 種不同顏色, 去塗一正八面體之各面, 每面一色, 不得重複, 其方法數 = 7 C( 6, )!! 實例說明 : 以 5 種不同顏色塗之, 相鄰異色 ( 右圖 ), 其方法數 = 5 6

18 例. 以 5 種不同顏色塗下列各圖, 相鄰異色, 各有幾法? 例. 以 5 種不同顏色塗下列各圖, 顏色可重複使用, 相鄰異色, 各有幾法? D E C A B 例. 以 0 種不同顏色塗下列各對稱圖形 ( 可旋轉 ), 顏色不得重複使用, 各有幾法? 主題十一幾何圖形之個數 例. 右圖中, () 有種不同大小的三角形 [ 8 ] () 各種三角形合併計算, 共有個三角形 [ 68 ] 主題十二組合公式 定義 : 自 個相異物中, 每次不可重複的取出 r 個為一組 ( r ), 同一組內的事物若不計其前後順序, 就叫做 中取 r 的組合, 所有組合的總數稱為組合數, 記 為 C r 7

19 組合公式的應用 :. 個相異物, 分兩堆 與 分給甲乙兩人 () 分兩堆, 每堆至少一個 = ( ) ( ) C + C + C C = = () 分給甲, 乙兩人, 每人至少一個 = C + C + C C = 注意 : (a) 甲 個, 乙 個 與 甲 個, 乙 個 是不一樣的 (b) ( 分給甲乙兩人 ) = ( 分兩堆 ). 不定方程式的整數解之個數 : x+ x + x xm =,, m N m () 不為負的整數解有 H m + = C m () 正整數解有 H ( m ) m. 長方形與平行四邊形的組合 m () 若 m 條垂直線, 條水平線可構成 C C 個不同的長方形 m () 兩組平形線, 一組有 m 條, 一組有 條, 可構成 C C 個平行四邊形 () 若有些直線不完全者, 必須扣除某些長方形. 直線個數的求法 : 設有 個相異點原理 : 相異兩點決定一直線 基本公式 : () 任三點均不共線, 則可決定 C 條直線 () 若有 m 點共線 ( m ), 則可決定 C C 口訣 : 先扣再補 m + 條直線 5. 三角形個數的求法 : 設有 個相異點原理 : 不共線的三點決定一個三角形 基本公式 : () 任三點均不共線, 則可決定 C 個三角形 m () 若有 m 點共線 ( m ), 則可決定 C C 個三角形 口訣 : 只扣不補 6. 平面個數的求法 : 設空間中有 個相異點原理 : 不共線的三點決定一個平面 基本公式 : () 任四點均不共面, 則可決定 C 個平面 () 若有 m 點共面 ( m ), 則可決定 C C m + 個平面 8

20 7. 凸多邊形對角線個數的求法原理 : 所有相異兩點所決定的直線 - 邊數 = 對角線個數 ( ) 基本公式 : C = 8. 凸多邊形之頂點所決定之三角形個數的求法 原理 : 三個頂點決定一個三角形 [ 作業 ]. a. 若 C = 則 = [ ] b. 若 C = C 則 = [ ] c. 若 C 8 = C5 則 = [ ] + d. 若 C = C 則 = [ 0 ]. 若 Ck : Ck : Ck + = : : 5 求, k 之值 [ 6, 7 ]. (a). 試利用 C k 為整數的性質, 證明 連續的 k 個自然數 ( 或整數 ) 的連乘積必可為 k! 整除. (b). 設 Z 5 + 為 0 的倍數., 證明 ( ). (a). 何謂 Pascal's theorem ( 巴斯卡定理 )? 試證明之. (b). 試證 Ck = Ck + Ck + Ck (c). 試證 Ck = Ck + Ck + Ck (d). 若 C 0 + C + C + C C = 90 則 = [ 9 ] 設 a C k + k + =, b= C, 則 a+b = k = k = 0 00 (A) C (B) C (C) C (D) C (E) C [ B ] (a). 6 條平行線與另 條平行線相交時, 可形成 個平行四邊形. [ 90 ] (b). m 條平行線與另 條平行線相交時可形成 個平形四邊形. m( m )( ) [ ] 9

21 7. 凸 邊形 ( ) 有條對角線. [ ( ) ] 8. 圓周上有相異 0 點, 由其中任取三點可作成個三角形. [ 0 ] 9. 圓內接正 邊形, 其 個頂點與圓心共 + 點中可決定直線幾條, 可決定三角形幾個. Sol: () 當 為正奇數時, () 當 為正偶數時, 0. 如圖, 棋盤目形排列 0 點 (a). 連接這些點可得幾條直線 (b). 連接不在一直線上之三點可得幾個三角形 類題 : 集合 ( ) {,,,, } S = x y x y N x y 5 中的 5 個點 (x, y), 可決定斜率 為負的直線條.. 樓梯 8 階上樓時每步可跨一階或二階, 則有種上樓法. [ ]. 某人有五封不同的信及五個不同的信封, 今將五封信任意分別裝入五個信封, ( 每封信裝入一個信封 ), 試求下列各問的方法數 : (a). 恰有 封裝錯 (b). 恰有 封裝錯 (c). 恰有 封裝錯 (d). 五封信全部裝錯 錯列排列 ( 與位置有關 ) 五人中, 甲不坐首位, 乙不坐第二位, 丙不坐第三 位, ( 恰有三人坐錯 ) 5! C! + C! C! 錯列組合 ( 與位置無關 ) 例如 : 拿帽子, 拿名片, 裝信封五封信中, 恰有三封裝錯, () 五封中先選出三封裝錯的 C 5 組合 () 三封錯的再去排列! C! + C! C 0! 排列 [ 作業 ] 0

22 . 到 00 的自然數中, 任取二相異數, 求下列各組合數 : () 二數乘積為 之倍數 [ C C =79 ] () 二數乘積為 之倍數 [ 75 ]. 一列火車, 從第一車到第十車共 0 節車廂, 要指定其中 節車廂准許抽煙, 則 共有種方法 若要求此 節准許抽煙的車廂兩兩不相鄰, 則共有種方法 [ 0, 56 ]. 求下列各式的 及 m 值 () C = C0, 則 =, C = [, 58 ] () C 0 5 = C m + 6, 則 m =, C = [ 9, 8 ]. 過正方形的各邊 等分點作各邊的平行線, ( + ) ( + )( + ) [, ] 6 則能構成 個矩形, 個正方形. 5. 今有五對夫婦任意配對, () 沒有一對配成對之情形有 種 [ ] () 至少有一對配成對之情形有 種 [ 76 ] m 6. 封不同的信裝到 個不同的信封, () 至少有一封裝對之情形有 種 () 沒有一封裝對之情形有 種 7. 圍棋盤上有 9 條橫線及 9 條縱線, 任意取二條橫線及縱線可圍成一矩形, 共可圍成矩形 [ 9 ] 8. 平面上有 0 個相異點, 其中有 5 點共線, 其餘任三點均不共線, 則共有條直線, 個三角形 [ 6, 0 ] 主題十三不完全相異物之部分取法的組合數與排列數 說明 : 不盡相異物非全取的組合數與排列數 分組討論

23 . 某校有棒球選手 9 人, 籃球選手 5 人. (a). 由其中任選 人當委員, 有法. [ 6 ] (b). 又若棒球選手或籃球選手都要有人當委員, 有法. [ 70 ]. a,a,a,b,b,c,c,d 等 8 個字母中, 任取出 個方法數為.[ 6 ]. (). 由 Sophomore 一字中每次取 個字母作 () 組合 () 排列其方法數分別有幾? [, 9 ] (). 由 mississippi 字母中每次取 個字母作 () 組合 () 排列其方法數分別有幾? [,76 ] 類題. 由 mathematical 一字中, 每次取出 個字母的組合數為, 排列數為, [, 8 ] 類題. 由 attetio 一字中, 每次取出 5 個字母的組合數為, 排列數為, [, 50 ]. 記有數字之卡片 張, 所記數字如下表, 其中取出 張排成 位數時可作成多 少種. [ 96 ] 所記數字 計 張 數 主題十四分組組合. 將 個相異物分成兩組, 一組 m 個, 一組 k 個 (=m+k) m (a). m k 時, 有 C C 法 (b). m=k 時, 有! C m m k C m k 法. 將 個相異物分成三組一組 p 個, 一組 q 個, 另一組 r 個 p p q (a). p q r時, 有 C C C 法 p q r (b). p = q r時, 有! C C p C p q p q r 法 (c).p=q=r 時, 有! C C p C p p q q r 法

24 () 將 件相異物分給 A,B,C 三人, A 得 p 件, B 得 q 件, C 得 r 件, p p q 先給 A, 再給 B, 後給 C, 得 C C C ( = p+ q+ r) () 在 () 中, 若 A,B,C 三人中, 一人得 p 件, 一人得 q 件, 一人得 r 件, p p 先指定 A 得 p 件, B 得 q 件, C 得 r 件, 再排列之! C C C q! () 將 件相異物分成三組, 一組 p 件, 一組 q 件, 另一組 r 件 (a). p,q,r 互異時, 有 C C p p p p q q C r q r p q r (b). p = q r 時, 有! C C p C p p q q r 法 (c). p=q=r 時, 有! C C p C p q p q r 法. 將 a,b,c,d,e,f 等 6 人分為三組如下 : (a) 一組 人, 一組 人, 一組 人, 有 ˍˍˍˍ 法 [ 60 ] (b) 甲組 人, 乙組 人, 丙組 人, 有 ˍˍˍˍ 法 [ 60 ] (c) 等分為三組有 ˍˍ 法, 等分為甲, 乙, 丙三組, 有 ˍˍ 法 [5, 90 ]. 將 9 個相異物分予甲, 乙, 丙三人, 求下列方法數 (a) 甲得 物, 乙得 物, 丙得 物有 ˍˍˍˍ 法 [ 60 ] (b) 一人得 物, 一人得 物, 另一人得 物有 ˍˍˍˍ 法 [ 7560 ] (c) 每人各得 物有 ˍˍˍˍ 法 [680] (d) 甲 乙各得 物, 丙得 5 物有 ˍˍˍ 法, 有兩人各得 物, 另一人得 5 物 有 ˍˍˍ 法 [ 756, 68 ]. 將 0 人分為 人, 人, 人共三組住入三相異房間, 其中甲 乙兩人需住同一室, 則住法有 ˍˍˍˍ 種 [ 60 ] [ 作業 ]. 有 6 件不同的獎品, 求下列各問 () 分給 人, 每人至少一件有 法 [ 50 ] () 分給 人, 每人至少一件有 法 [ 560 ] () 分給 5 人, 每人至少一件有 法 [ 800 ] () 分給 6 人, 每人至少一件有 法 [ 70 ]

25 . 8 件不同物, 分成 件, 件, 件共三組, 有法 [ 80 ]. 6 件不同物, 分給四人, 其中二人各得 件, 另二人各得 件, 有法 [ 080 ]. 8 件不同物, 分成 堆, 每堆之物件數如下, 求其方法數 : (),,, 分配 [ 05 ] (),,, 分配 [ 80 ] (),,, 分配 [ 80 ] (),,, 分配 [ 0 ] 5. 件不同玩具, 分給 A,B,C 三人 () A 得 件,B 得 件,C 得 5 件, 有 法 [ 770 ] () 一人得 件, 一人得 件, 一人得 5 件, 有 法 [ 660 ] () 一人得 5 件, 一人得 5 件, 一人得 件, 有 法 [ 9896 ] () 件不同玩具, 平分三堆, 有 法 ; 平分三人, 有 法 [ 5775, 650] 主題十五重複組合 Ⅰ. 定義 : 由 種相異物中, 可重複取出 r 個出來的方式, 稱為 中取 r 的重複 組合, 其方法數記為 H r 或 S r + r ( + r )! Ⅱ. 公式 : Hr = Cr = r!! ( ) 標準題型 : m 個相同物放入 個不同箱子 或 個人, 分 m 件相同物, 每人可兼得 () 先注意是否可重複 () 再注意相同物或相異物, 決定是重複排列或重複組合 () 肚量大者寫在右上角 例如 : 一個箱子可同時放入數封信, 所以箱子肚量大 ( 但一封信卻不能同時放入數個箱內 ) 注意 : 件相同物, 分給 m 個人, 每人至少一件, m H m ( 先每人分一件, 剩下 -m 件再分給 m 個人 ) 物品相同是組合的觀念, 可兼得 ( 亦即也可以沒有得到 ) 故為重複組合

26 標準題型 : x + x + x x =,, m N () 不為負的整數解有 H m m () 正整數解有 H ( m ) m 說明 : 自,,,..., 等 個數中, 可重複的取出 r 個 H r + r 相當於自 +r- 個相異數中, 不可重複的取出 r 個 C r m. x,y,z 三文字可作出 ˍˍˍˍ 個 次項,ˍˍˍˍ 個 次項, + + ˍˍˍˍ 個 次項 [ 6,0,5 ]. (a+ b+ c) 之展開式有 ˍˍˍˍ 個相異項 [ ] 類題 : ( a + b+ c d e) 之展開式有 ˍˍˍˍ 個相異項 [ 5 ] 類題 : ( x + x + x x m ) 之展開式有 ˍˍˍˍ 個相異項 [ ] m H. 滿足 x+y+z=6 的非負整數解有 ˍˍˍˍ 組 [ 5 ]. 滿足 x+y+z+u=8 之正整數解有 ˍˍˍˍ 組 [ 680 ] 整理 : x + y+ z+ u = 8 () 非負整數解有 H 組 8 件相同物, 任意分給 個人 8 () 正整數解有 H 組每人先分 個, 剩下 個再任意分配 () 皆不小於 的正整數解有 H 組每人先分 個, 剩下 0 個再任意分配 0 () x 不小於,y 不小於,z 不小於,u 不小於 5 的正整數解有 H 組 每人各分 個, 個 個,5 個, 剩下 個再任意分配 5. 滿足 x + y + z + u = 的正整數解有 ˍˍˍˍ 組解 [ 5 ] 6. 滿足 x + x + x + x + x 5 = 5 的正奇數解 ˍˍˍˍ 組 [ 00 ] 7. 滿足 x+y+z=5, x 5, y 6, z N 的正數解 (x,y,z) 有 ˍˍ 組 [ 6 ] 8. 同時擲 個 ( 不同的 ) 骰子, 其點數和為 點的情形有 ˍˍˍˍ 種 [ ] 5

27 9. (a) 5 本不同的書分給三位兒童, 每童可以兼得有 ˍˍˍˍ 法 [ ] (b) 5 本相同的書分給三位兒童, 每童可以兼得有 ˍˍˍˍ 法 [ ] 0. 5 種不同的酒注入 個酒杯, 每杯僅能注入一種酒, 當酒杯形狀完全 不一樣時有 ˍˍˍˍ 法, 酒杯形狀相同時有 ˍˍˍˍ 法 [ 65, 70 ] ). (x+ y+ z 5 展開式中有相異項 項, 其中 xyz 項之係數為 [,0]. 候選人 名, 選舉人 8 名, 於記名投票時有種不同的得票情形, 於無記名投票有種不同的得票情形. Sol: 有廢票時 :[ 8 5 5, H ]; 無廢票時 :[ 8, H ] 8 8. (A) 7 本不同的書分給 人 : () 每人可兼得, ( 7 本分完 ) 有 法. [87] () 每人恰得一本, 有 法. [0] () 每人至少一本, ( 7 本分完 ) 有 法. [806] (B) 7 本相同的書分給 人 : () 每人可兼得, ( 7 本分完 ) 有 法. [6] () 每人恰得一本, 有 法. [] () 每人至少一本, ( 7 本分完 ) 有 法. [5] 排列組合的四種類型 : 將 物 ( 相同或相異 ) 任意放入 m 個箱子 ( 相同或相異 ), 每箱均可放入 個物, 則因物與箱子的相同或相異, 會有下列四種情形 : () 物同箱同 :( 列出各類 ) 依數目來分配, 有系統的一一列出 m () 物同箱異 :( 列出各列再排列之 ) 或 ( 重複組合 H ) () 物異箱同 :( 分成 組 ) 先將件數相同的箱子視為相異, 最後再除以箱數的階乘 () 物異箱異 :( 分給 人 ) 重複排列 m. () 5 個不同的球, 任意分配到 個不同的箱子, 有 法. [ ] () 5 個相同的球, 任意分配到 個不同的箱子, 有 法. [ ] 6

28 () 5 個相同的球, 任意分配到 個相同的箱子, 有法. [ 5 ] () 5 個不同的球, 任意分配到 個相同的箱子, 有法. [ ] 5. x + y + z + u = 0, 求下列各組之整數解的個數 : (a) 非負之整數解 [ ] (b) 正整數解 (c) H 0 H 6 H 0 [ ] x >, y, z> 0, u [ ] 6. 不大於 0000 之自然數中 (a) 各位數和為 8 的有 個 [ 65 ] (b) 各位數和為 的有 個 [ 8 ] 7. 滿足 x, y, z N, [ x, y, z ] = 00 的有序三元組 (x,y,z) 共有 組 [59] [ 作業 ] 從 到 的自然數中, 數字和為 的數有個 [ H C H ]. () 7 件相異物, 放入 個相同的箱子, 各放 件, 件, 件, 有法 () 7 件相異物, 放入 個相同的箱子, 各放 件, 件, 件, 有法 () 9 件相異物, 放入 個相同的箱子, 各放 件, 件, 件,6 件, 有法 () 8 件相異物, 放入 5 個相同的箱子, 各放 件, 件, 件,0 件,0 件, 有法 (5) 7 件相異物, 放入 5 個相同的箱子, 各放 件, 件, 件, 件, 件, 有法 (6) 9 件相異物, 放入 個相同的箱子, 各放 件, 件, 件, 有法 [ 05, 05, 8, 80, 05, 80 ]. 7 件相異物, 放入 個相異的箱子, () 可以有空箱, 有 法 7 [ ] () 每箱至少一件, 有 法 [ 806 ] () 恰有一個空箱, 有 法 [ 78 ] 7

29 ). (a+ b+ c 7 之展開式有 ˍˍˍˍ 個相異項 [ 6 ] ) (x+ y+ z+u 8 之展開式有 ˍˍˍˍ 個相異項 [ 65 ] 5. 8 本相同的書,6 支相同的筆, 分給 人, () 任意分, 有法 [ 860 ] () 每人至少一本書, 有法 [ 90 ] () 每人至少一本書, 一支筆, 有法 [ 50 ] 6. 兩變數 x,y 的 次 ( 不必齊次 ) 多項式, 最多可含項 [ ( + )( + ) ] 7. x+y+z+u = () 非負整數解 () 正整數解 () 正奇數解 () 正偶數解 各有多少組 [ 55,65,5,0 ] 8. x+y+z = 99 () 非負整數解 () 正整數解 () 正奇數解 () 偶數解 各有多少組 [ 5050,75,5, 無解 ] 主題十六組合總數. p 個 a, q 個 b 從中取出一部份或全部之組合總數為 [( p + )( q + ) ]. p 個 a, q 個 b, r 個 c 從中取出一部份或全部之組合總數為 [ ( p + )( q + )( r + ) ]. 付款問題 : 小額鈔票之和可抵上大額鈔票時, 化大額為小額 (a) 諸單位皆不連續者 一般組合總數問題. (b) 諸單位數皆連續者 大鈔兌成小鈔. (c) 部分單位連續者 連續部份之大鈔兌成小鈔. [ 作業 ]. 一元 張, 五元 張, 十元 5 張, 則有種不同的付款方法, 又可付出種不同的款項. [ 7, 7 ]. 一元 7 張, 五元 張, 十元 張, 則有種不同的付款方法, 又可付出種不同的款項. [ 7, 5 ] 8

30 . 一元 張, 五元 張, 十元 張, 則有種不同的付款方法, 又可付出種不同的款項. [ 7, ]. 個蘋果, 5 個橘子, 隻香蕉 (a) 其中任取一部分或全部有 法. [ 89 ] (b) 將之全部分給甲, 乙兩童, 有法. [ HHH 5 ] (c) 將之全部分給甲, 乙兩童, 且每童至少得 個水果有 法.[ H H H ] 5 5. 一樓梯 級, 某人上樓, 一次跨一級或二級 (a) 求 = 9 時, 有種上樓法. [ 55 ] (b) 求 = 0 時, 有種上樓法. [ 89 ] 主題十七二項式定理 說明 : ( x+ 展式中 ) y () 各項係數為帕斯卡三角形之係數 () 共有 + 個不同項 () 每一項之指數和為, ( 稱為 x,y 之 次齊次式 ) Ⅰ. 基本公式 : N ( b) k k a+ = Ca + Ca b+ Ca b + Ca b Ca b C ab + Cb 0 < 共有 + 項 > 展式中的一般項, 即第 k + 項為 T = C a k k + b k k k Ⅱ. 變形公式 : N k ( + x) = C0 +Cx + Cx + Cx Cx k C x + Cx < 共有 + 項 > 展式中的一般項, 即第 k + 項為 Tk + = Ck x k ( + x) = C + C x+ C x + C x C kx Cx + Cx 0 k < 共有 + 項 > 展式中的一般項, 即第 k + 項為 T = C x k + k k 9

31 組合公式 :. C = C =. C = C. 若 C = C x=y 或 x+y= 0 k k x. 個連續正整數之積可被! 整除 k k + k + 5. C = C + C ( 巴斯卡定理 ) 推廣 : C + C + C C = C k k 6. 由二項式定理 ( ) k k k a+ b = Ca + Ca b+ Ca b + Ca b Ca b C ab + Cb y 0 k C = (a=b= 代入 ) = C + C + C = k = k = k C k = + (a) C C C (b) C C C (c) k C (d) k= ( ) + (e) Ck = ( ) (f) k= 0 k + ( ) (! ) +! ( C k ) = = C k= 0 k k k k + k +. 何謂二項式定理? 試以數學歸納法證明之.. 試求下列各式展開式中的一般項 : (a). ( x y). x (b). x 8 y +. x 展式中 x 7 項的係數為, 5 x x 項的係數為 [ 5, 796 ]. 設 x 6 ax 展開式中的常數項為 5, 試求 a 值. [, ] ( ) 之小數點後面第一位為 a, 第二位為 b, 第三位為 c, 第四位為 d, 則 (a,b,c,d) =. [ 9,0,, ] 0

32 6. 設 ( ) 0..abcd, 求 a, b, c, d 各為多少. [,6,8, ] 0 展開式中 x 6 7. 多項式 f( x) = ( + x) + ( + x) + ( + x) ( + x) 係數為 [ C 7 ] 8. ( ) 00 + 展開式中的有理項有個. [ 6 ] N,+ = a + b 其中 a, b N 9. 設 ( ) 試證 : (a) a+ = a + b, b+ = a + b (b) a b = ( ) 0. 設 ( + x) 展式中 x 項的係數為 a, 則 lim = a a a5 a. [ 6 ] 項. 設 N +, 且 x + 展式中 x 項的係數為 a x 則 a =, =. [ ( + ), ] = a ( ). 設多項式 x + x+ 以 x + x + 除之餘式為 px+q, 求 p, q 之值. 類題 : () ( x [ 0, ] + x + ) 以 x + x + 除之, 求餘式. [ ] () x 8 以 ( ). 設 a,b,c 為相異文字, a ( b c) x 除之, 求餘式. [ 8x 8x + ] [ ] 展開式中有項, 5 而 ab c 項的係數為. [ 8,80 ] 類題 : 設 a,b,c 為相異文字, [ a ( b ) ] + + 展開式中共有項, c 6 而 a b c 項的係數為. [70,00]

33 . 試利用二項式定理證明下列各式, 並記憶之. (a) C + C + C C = C C C C = 0 (b) ( ) (c) C0 + C + C ( 有意義的最後一項 ) = (d) C + C + C ( 有意義的最後一項 ) = (e) C + C + C C = ( ) (f) 利用 (e) 證明 C C C... C <! C + 5C + C C 之值. [ + ] (g) 利用 (e) 計算 ( ) (h) ( 0 ) ( ) 0 8 ( ) + ( C ) C + C + C +... = C C + C + C + C C =. [ ] 設 N, 自 + 個相異物中, 至少取出 + 個的方法數為. [ ] 7. 設 A= C0 C + C C ( 有意義的最後一項 ) B = C C + C C ( 有意義的最後一項 ) π 試證 : A = cos, B = π si 8. (a) 試證 ( ) C + C k = 0 + C + C + C C = k k= 0 (b) N 且 C + C C C C = 求 值. [ ] + 9. 試證 kc k = C + C + C C = ( + ) k= 0. 設 f(x) = (+x)(+x)(+x)...(+x) 展開式中, x 項係數為 A, x 項係數為 B, 所有各項係數總和為 C, 求 A,B,C. A= +, B = + +, C = +!] [ ( ) ( ) ( )( ) ( )

34 . 自 個正奇數,,5,7,..., - 中, 不重覆的任意取出 r 個, 作其乘 積, 並以 P r 表示所有乘積之和, 則 + P+ P P =. [! ] [ 作業 ] 7 5. (x y) 展開式中 xy 項的係數為 (). 5. x 展式中, x x 項係數為 (), 常數項為 (). ( ) 0. + x = a + a x + a x a x 中, 若 a : a 6 = : 則 = ().. ( x ) + ( x ) + ( x ) + + ( x )... 展式中 x 0 項的係數為 (5). 5. (x + )(x + )(x + )...(x + 0) 展式中 x 0 項的係數為 (6), x 9 項的係數為 (7), x 8 項的係數為 (8), ( + b) ( + ) 6. 設 ax 與 bx a 的展式中 x 項係數相等, 則 a = (9) 為 (0) 位數, 其個位數字為 (), 十位數字為 (), 百位數字為 (), 千位數字為 (). ( ) 之小數點後面第一位為 a, 第二位為 b, 第三位為 c, 第四位為 d, 則 (a,b,c,d) = (5). As. () 608 () 80 () 0 () 9 (5) 65 (6) (7) 55 (8) 0 (9) (0) 6 () () 5 () 6 () 5 (5) (9,0,,) 主題十八多項式定理 ( a b c... m) () pqr t N { }! = a b c p! q! r!... t! p q r t... m m,,,..., 0 () p + q + r t = () 展式中共有 H 項

35 ( ). a b+ c 7 展式中 ab c 項的係數為 [ 7560 ]. ( + x + x ) 展式中 x 6 5 項的係數為 [ 5 ] 6. x + + y + x y 展式中 xy 項的係數為 [ 00 ]. + x + x 0 展式中的常數項為 [5] ( ) 5. 展開 a + b+ c+ d + e 時 (A) 共有不同類型的項 種 (B) 只用同文字作成的項有 5 個 (C) 只用 個文字作成的項有 0 個 (D) 只用 個文字作成的項有 0 個 (E) 共有 0 項. 6. (x+ y+ z+ t 6 展開式中 ) [ A, B, D ] 6 (A) 係數之和為 (B) xyzt項的係數為 80 (C) 共有不同項 8 個 (D) 與 xyz 同型的項有 個 (E) 與 xy z同型的項有 個 [ABCDE] 7. (a+ b+ c 展式中 ) (A) 有 種不同類型的項 (B) 僅含一文字的項有 個 (C) 僅含二文字的項有 6 個 (D) 含三文字的項有 個 (E) 共有 項 [ A,B,D ] x 展開式中 x 5 項的係數為 [ 0 ] x x 綜合練習 :. 高矮不同之 人排成一列, 矮的不排在二較高者之間的排法有 種.. ASUWAYAMA 各字母排成一列, 四個 A 中, 二個相鄰, 另二個也相鄰, 但不全相鄰的排法有 種.. 7 個字母 a,b,c,d,e,f,g 排成一列,a,b 間至少有兩個字母的排法有 種.

36 . 從,,,,5,6 中取相異 個排成一個三位數, 不排在百位,, 不排在十位,,5,6 不排在個位的排法有 種. 5. 恰含三種非 0 數字之六位數 ( 如, 6666,.) 有 個. 6. 設 a,b,c,d,e 為,,,,5 之任一排列, 則使 (a-)(b-)(c-)(d-)(e-5) = 0 的排法有 種. 7. 把,,,,,,5,7,9 排成一列, 偶數不相鄰之排法有 種. 8. 階的樓梯, 一步跨一階或跨二階之上樓方法有 種. 9. 用 0,,,,,5,6,7 可重複取 個, 可排成 個四位數的偶數 個圍棋子排成二列, 上列有 白 7 黑, 下列有 5 白 5 黑, 白棋不可相對之排法有 種.. 渡船 艘, 每艘可載 6 人, 則 8 人之安全過渡法有 種.. 6 個不同的球放入 個不同的箱子, 恰有一空箱之放法有 種.. 甲乙丙等 8 人圍坐一圓桌, 甲恰與乙丙之一相鄰之排法有 種.. 用 0,,,,,5 排成數字相異之四位數, 其中 的倍數有 個. 5. 以 5 種顏色塗右圖五個區域, 顏色可重複使用, 但相鄰不同色之塗法有 種. 6. a,a,b,b,c,c 排成一列, 同文字不許相鄰之排法有 種. 7.,,,,,,,, 取四個可排成 個四位數. 8. 至 9999 之自然數中, 不含數字 0 的有 個. 9. 相異的二隻黃貓, 三隻白貓, 四隻黑貓排成一列, () 黃, 白, 黑各色貓各連在一起之排法有 種. () 任二隻黑貓不排在一起之排法有 種. () 四隻黑貓不完全連在一起之排法有 種. 0. 將 8 人等分為四組, 其中甲乙二人不在同一組之分法 種..() 自排成一列之 人中, 選出 人, 此 人均不相鄰之選法有 種. () 自排成一圓之 人中, 選出 人, 此 人均不相鄰之選法有 種.. 右圖, 正方形個數為. 矩形個數為.. 0,,,,,, 可排成 個七位數, 又取 個可排成 個四位數.. a,a,a,a,a,b,c,d,e 排成一列, () 任二個 a 皆不相鄰之排法有 種. () b,c,d,e 任二個字母皆不相鄰之排法有 種. 5

37 5. 在 8 8 之棋盤上, 取二個不在同行也不在同列之方格, 選法有 種. 6. 由高矮不同的 50 名學生中, 選出各含 0 人之 A,B 兩組, 使 A 組中最高之學生比 B 組中最矮之學生還矮, 選法有 種. 7. 將 0 件不同東西, 分為,,, 四組, 分法有 種. 8. 以一圓內接正 邊形之頂點為頂點之等腰三角形 ( 含正三角形 ) 有 個. 9. 從,,,,,,, 中取四個作四位數可得 個四位數, 其中 的倍數有 個. 0. 自然數從 寫到 989 共寫了 個 0.. 以圓內接正 0 邊形之頂點為頂點之 () 銳角三角形有 個. () 直角三角形有 個. () 鈍角三角形有 個.. 從 至 0 之自然數, 任取三相異數和為 之倍數之取法有 種 積為 之倍數之取法有 種. POSSESSION 一字之字母全取排成一列, P,E,I,N 要完全分開之排法有 種. 個 S 完全分開之排法有 種. 同文字不許相鄰之排法有 種.. 五對夫婦圍坐一圓桌 ( 僅考慮左右鄰之關係 ) () 男女間隔之坐法有 種, 夫婦相鄰之坐法有 種. () 男女間隔且夫婦相鄰之坐法有 種. () 夫婦相對而坐之方法有 種, 恰有二對夫婦相對而坐之方法有 種. 5. 由,,,,5 五個數字, 可重複取 個排成四位數, 其數字和為 6 之排法有 種. 6. 四位數 abcd, () 滿足 a b c d 的有 個,() 滿足 a+b+c+d= 的有 個. 7. () 7 件相同的東西分給 人, 每人至少一件之分法有 種. () 7 件不同的東西分給 人, 每人至少一件之分法有 種. 8. 三元六次齊次式最多有 項, 若非齊次式則最多有 項. 9. 將六個正號, 四個負號, 排成一列, 使其變號數為 的排法有 種. 0. 滿足 x + y + z =, x, y, z > 的整數解有 組.. 滿足 xyz = 00 之自然數 x,y,z 有 組. 6

38 . 由 到 之正整數中, 數字和為 7 的有 個. 數字和小於 7 的有 個. 數字和為 7 的有 個. 數字和小於 7 的有 個.. 至 0 之自然數中, 任取二相異數, 其和大於 5 之選法有 種.. 將 個相同的球, 放入 A,B,C 三箱中, 使任二箱之球數和比另一箱多, 放法有 種. 5. 六個球放入四個箱子, 求下列之放法 () 球相同, 箱子相同, 放法有 種. () 球不相同, 箱子相同, 放法有 種. () 球相同, 箱子不同, 放法有 種. () 球不相同, 箱子不同, 放法有 種. 6. 設集合 A = {,,,,5}, 集合 B = {,,5,6,7,8}, () 由 A 映至 B 的函數有 個. () 由 A 映至 B 的一對一函數有 個. () 由 B 映成 A 的函數有 個. () 由 A 映至 B 滿足若 x>y 則 f (x)>f (y) 的有 個. (5) 由 A 映至 B 滿足 f() + f() + f() + f() + f(5) = 0 的有 個. 7. 設集合 A = {, 0,,, }, 集合 B = {,,0,,,, }, 從 A 映至 B 的函數中 () 滿足 f ( x) = f ( x) 的有 個. () 滿足 f ( x) = f ( x) 的有 個. () 滿足若 x>y 則 f (x) f (y) 的有 個. 8. 三邊長為整數且周長為 0 之三角形有 個 ( 全等的算一個 ) 9. 有紅, 黃, 藍三種顏色之卡片各 5 張, 分別標以 A,B,C,D,E 由這 5 張 卡片中任選 5 張, 要三色俱備且標示文字互不相同之方法有 種. 50. 甲 乙 丙 丁 戊 己等 6 人排隊從 個不同的通道走出火車站, 每個通道 每次最多只能走一個人, 問共有種不同的方法. A 5. 右圖所示為一含有斜線的棋盤形街道圖, 今某人欲從 A 取捷徑走到 B, 共有 種走法. 7 B

39 5. 用六種不同顏色塗右圖中 五個空白區域, 相鄰的區域 塗不同顏色, 則共有種塗法. 5. 籃球 人鬥牛賽, 共有甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 9 人參加, 組成 隊, 且甲 乙兩人不在同一隊的組隊方法有多少種? 答 : 種 5. 從一個 0 人的俱樂部, 選出一位主任, 一位公關和一位會計, 且均由不同人出任, 如果 0 人中的甲君和乙君不能同時被選上, 那麼總共有種選法. 55. 古代的足球運動, 有一種計分法, 規定踢進一球得 6 分, 犯規後的罰踢, 進一球得 6 分 請問下列哪些得分數有可能在計分板上出現? () 6 () 8 () 8 () 0 (5) 有 6 男 女共 0 名學生擔任本週值日生, 導師規定在本週 5 個上課日中, 每天兩名值日生, 且至少須有 名男生, 試問本週安排值日生的方式共有種. 57. 某公司生產多種款式的 阿民 公仔, 各種款式只是球帽 球衣或球鞋顏色不同 其中球帽共有黑 灰 紅 藍四種顏色, 球衣有白 綠 藍三種顏色, 而球鞋有黑 白 灰三種顏色 公司決定紅色的球帽不搭配灰色的鞋子, 而白色的球衣則必須搭配藍色的帽子, 至於其他顏色間的搭配就沒有限制 在這些配色的要求之下, 最多可有 種不同款式的 阿民 公仔 排列組合答案 , 00, , , 9. 60, 95., C(50,0) , , 0, 60. 8, , 600, , 768, 8, 8, , 7. 0, , , 6, 5, , 87, 8, , 70, 800, 6, 65 7., 5, ()()(5)