2007 TRML思考賽

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1 TRML 思考賽 思考賽共 10 題, 每題 4 分 答題時必須寫明計算或證明過程, 為得到滿分, 答題方式必須合理, 層次清楚簡明 前面小題縱使未被證出, 也可被引用來解後面小題 ; 但反之後面小題的結果, 未正確證明之前, 不可用來解前面小題 繳交的答案紙每張至多一小題, 且必須在每張答案紙上方標明題號且依序排列 每張紙上只寫一面, 不要寫兩面 准考編號大會已直接印於答案紙上, 在繳交的答案時, 不可有任何其他方式表明隊的身份 在下面的第 1~7 題中, 我們所考慮平面上的長方形, 都是由邊長為 1 的單位正方形所拼成的 例如 : 一個長為 3 寬為 2 的長方形, 即是由 6 個單位正方形所拼成的 ( 請參見圖一 ). ( 圖一 ) 我們所謂長方形的對角線是如下面的 ( 圖二 ) 所示. ( 圖二 ) 我們所謂對角線 穿過 幾個單位正方形, 是指這一條對角線會從這些單位正方形的某一邊 ( 或一頂點 ) 穿入, 而從另一邊 ( 或另一頂點 ) 穿出來, 若對角線只經過某一頂點 ( 或某一邊 ) 的單位正方形不算穿過 ; 即對角線必須穿過這些單位正方形的內部 例如在圖一中的一條對角線會通過 4 個單位正方形 ; 而一個長為 2 寬為 2 的長方形, 它的一條對角線穿過了 2 個單位正方形 ( 請參閱圖三 ) ( 圖三 ) 1

2 1. (a) 平面上一個長為 4 寬為 5 的長方形, 它的一條對角線會穿過幾個單位正方形? (b) 平面上一個長為 4 寬為 6 的長方形, 它的一條對角線會穿過幾個單位正方形? 2. 平面上一個長為 寬為 的長方形, 若 互質, 則它的一條對角線會 穿過幾個單位正方形? 3. 平面上一個長為 寬為 的長方形, 它的一條對角線會穿過幾個單位正方形? 在下面的題目中, 我們所考慮在平面上一個長為 2 寬為 2 的長方形的正中間, 挖掉一個長為 2s 寬為 2t 的小長方形是如下面的 ( 圖四 ) 所示 ( 兩個長方形的中心點位置相同 ) ( 圖四 ) 4. 在平面上一個長為 2 寬為 2 的長方形的正中間, 挖掉一個長為 2s 寬為 2t 的小長方形 若 t = s, 則它的一條對角線會穿過幾個單位正方形? 5. (a) 在一個長為 12 寬為 14 的長方形的正中間, 挖掉一個長為 6 寬為 10 的小長方形, 它的一條對角線會穿過幾個單位正方形? (b) 在一個長為 12 寬為 18 的長方形的正中間, 挖掉一個長為 6 寬為 10 的小長方形, 它的一條對角線會穿過幾個單位正方形? 2

3 6. 平面上一個長為 2 寬為 2 的長方形的正中間, 挖掉一個長為 2s 寬為 2t 的單位長方形 如果 與 互質, 且 t > s, 它的一條對角線會穿過幾個 單位正方形? 7. 平面上一個長為 2 寬為 2 的長方形的正中間, 挖掉一個長為 2s 寬為 2t 的單位長方形 如果 與 不互質, 且 t > s, 它的一條對角線會穿過幾 個單位正方形? ( 注意 : 本題若完全答對, 可以多得 4 分 ) 在下面的第 8~10 題中, 我們所考慮空間中的長方體, 都是由邊長為 1 的單位正方體堆疊成的 例如 : 一個長為 3 寬為 2 高為 2 的長方體是由 12 個單位正方體堆疊成的 ( 請參見圖五 ) ( 圖五 ) 我們所謂的對角線是如下面的 ( 圖六 ) 所示 ( 圖六 ) 我們所謂對角線 穿過 幾個單位正方體, 是指這一條對角線會從這些單位正方體的某一面 ( 或某一頂點 ) 穿入, 而從另一面 ( 或另一頂點 ) 穿出來, 如果對角線只經過某單位正方體的頂點 ( 或某一面 ) 不算穿過 ; 即對角線必須穿過這些單位正方體的內部 8. (a) 空間中一個長為 2 寬為 3 高為 5 的長方體, 它的一條對角線會穿過幾個單位正方體? (b) 空間中一個長為 2 寬為 3 高為 4 的長方體, 它的一條對角線會穿過幾個單位正方體? 3

4 9. 空間中一個長為 寬為 高為 k 的長方體, 若 k 兩兩互質, 則它 的一條對角線會穿過幾個單位正方體? 10. 空間中一個長為 寬為 高為 k 的長方體, 它的一條對角線會穿過幾個單位正方體? 4

5 思考賽參考解答 1. (a) 平面上一個長為 4 寬為 5 的長方形, 它的一條對角線會穿過幾個單位正 方形? 參考解答 如圖所示, 會通過 8 個單位正方形 (b) 平面上一個長為 4 寬為 6 的長方形, 它的一條對角線會穿過幾個單位正方形? 參考解答 : 如圖所示, 會通過 8 個單位正方形 2. 平面上一個長為 寬為 的長方形, 若 互質, 則它的一條對角線會穿過幾個單位正方形? 參考解答 : 以長方形左下角的頂點為原點, 建立坐摽系. 由假設條件 互質, 若對角線會通過長方形內部的格子點 ( uv, ), 其中 1 u <, 1 v<, u 則 =, 此與 互質矛盾, 因而對角線不會通過任何格子點. 此時, 對 v 角線在水平方向會通過 個單位正方形, 在鉛直方向會通過 個單位正方形 ; 不過左下角的那一個單位正方形被重複計算. 因此在 ( =, ) 1的情形下, 對 角線總共穿過了 + 1個單位正方形. 5

6 3. 平面上一個長為 寬為 的長方形, 它的一條對角線會穿過幾個單位正方 形? 參考解答 : 以長方形左下角的頂點為原點, 建立坐摽系. 假設 = ku, = kv, 其中 ( uv=, ) 1的情形. 此時, 我們可考慮沿著對角線的 k 個 u v的長方形, 如圖所示. 由第 2 題可知, 對角線在每個 u v的長 方形中會穿過 u+ v 1個單位正方形, 因而在 的長方形中, 對角線總共穿過了 ku + kv k = + (, ) 個單位正方形. 4. 平面上一個長為 2 寬為 2 的長方形的正中間, 挖掉一個長為 2s 寬為 2t 的小長方形 若 t = s, 則它的一條對角線會穿過幾個單位正方形? 參考解答 : 以長方形的正中間為原點, 建立坐標系 由於圖形對稱於 x 軸, 對稱於 y 軸, 也對稱於原點, 所以對角線會通過原點 ; 我們僅需考慮對角線在第一象限 的大矩形, 挖掉左下角 s t的小矩形會穿過幾個單位正方形, 而原問題的對角線穿過單位正方形的個數是此時的 2 倍 在底下的第 4 至第 7 題中, 我們僅需考慮對角線在第一象限 的大矩形中, 挖掉左下角 s t的小矩形時會穿過幾個單位正方形 因為 t = s, 對角線的一部份會與左下角 s t的小矩形的對角線重和, 所 以我們只需要考慮在第一象限 的大矩形中 ( s) ( t) 的矩形中, 對角線會穿過幾個單位正方形 ( 如下圖 ) 此時, 在第一象限左上角 ( s) ( t) 的矩形中, 對角線會穿過 ( s) + ( t ) (( s),( t)) 個單位正方形, 因而 2 ( s) + ( t) (( s), ( t)) 個單位 原問題的一條對角線總共穿過了 ( ) 正方形 6

7 5. (a) 在一個長為 12 寬為 14 的長方形的正中間, 挖掉一個長為 6 寬為 10 的小長方形, 它的一條對角線會穿過幾個單位正方形? 參考解答 : 如前所述, 我們僅需考慮在一個 6 7的長方 形的左下角挖掉一個 3 5的小長方形 如圖所示, 此時對角 線在第一象限部分會穿過 6 個單位正方形 故原問題的對角 線會穿過 6 2 =12個單位正方形 (b) 在一個長為 12 寬為 18 的長方形的正中間, 挖掉一個長為 6 寬為 10 的小長方形, 它的一條對角線會穿過幾個單位正方形? 參考解答 : 如前所述, 我們僅需考慮在一個 6 9的長方形的左下角挖掉一個 3 5的小長方形 如圖所示, 此時對角線在第一象限部分會穿過 6 個單位正方形 故原問題的對角線會穿過 6 2= 12個單位正方形 6. 平面上一個長為 2 寬為 2 的長方形的正中間, 挖掉一個長為 2s 寬為 2t 的單位長方形 如果 與 互質, 且 t > s, 它的一條對角線會穿過幾個 單位正方形? 參考解答 : 因為 ( =, ) 1, 所以對角線不通過內部任何單位正方形的頂點 由於 t > s, 對角線與左下角 s t的小矩形 x = s 的邊相交 我們只需考慮 對角線在第一象限 的大矩形右上角 ( s) ( s ) 的矩形內, 穿過 了幾個單位正方形 此時, 對角線在第一象限穿過了 ( s) + ( s ) 1個 ( ) 1) 單位正方形, 因而原問題的對角線總共穿過了 2 ( s ( s ) 單位正方形 + 個 7

8 7. 平面上一個長為 2 寬為 2 的長方形的正中間, 挖掉一個長為 2s 寬為 2t 的單位長方形 如果 與 不互質, 且 t > s, 它的一條對角線會穿過幾 個單位正方形? ( 注意 : 本題若完全答對, 可以多得 4 分 ) 參考解答 : 因為 與 不互質, 不妨設存在正整數 k 使得 = ku = kv, 其中 ( uv=, ) 1; 此時對角線會通過自右上角向左下角延伸的每一個 u v矩形的對頂角, 如圖所示. (A) 如果 u/ ( s), 因為 t > s, 所以存在非負整數 r 使得 s k( s) ru < ( s) < ( r + 1) u ( 或 r = = u ) 在第一象限 的大矩形右上角的 ru rv 的矩形中, 對角線穿過了 ru ( + v 1) 個單位正方形 在接著的 ( s ru) ( t rv) 的矩形 ( 即此矩形的右上角與 ru rv 的矩形的左下角的頂點相同 ) 中, 對角線穿過了 ( s ru) + ( t rv) 1個單位正方形 ; 故對角線在第一象限 的大矩形挖掉左下角 s t的小矩形中, 共穿過了 + ( s+ t+ r+ 1) 個單位正方形 ; 因而原問題的一條對角線總共穿過了 2 + (s+ t+ r+1) 個單位正方形 ( ) (B) 若 v/ ( t) 且 u/ ( s), 則情況與 (A) 相同, 因而原問題的一條對角線總共穿過了 2 ( + ( s+ t+ r+1) ) 個單位正方形 若 v/ ( t), 但 u ( s)( 不妨設 s = ru, 其中 r N ), 則此時我們僅需考 慮在第一象限 的大矩形右上角 ru rv 的矩形中, 對角線穿過了幾個單位正方形 此時對角線在第一象限 的大矩形挖掉左下角 s t的小矩形中, 共穿過了 ru+ ( v 1) 個單位正方形 ; 因而原問題的一條對角線總共穿過 2 ru ( + v 1)) 個單位正方形 ( 8

9 8. (a) 空間中一個長為 2 寬為 3 高為 5 的長方體, 它的一條對角線會穿過幾 個單位正方體? (b) 空間中一個長為 2 寬為 3 高為 4 的長方體, 它的一條對角線會穿過幾 個單位正方體? 參考解答 :(a) 線會穿過 8 個單位正方體 (2,3) (3,5) (5,2) + (2,3,5) = 8 ; 如圖所示, 對角 (b) (2,3) (2,4) (3,4) + (2,3,4) = 6; 如圖所示, 對角線會穿過 6 個單位正方體 9. 空間中一個長為 寬為 高為 k 的長方體, 若 k 兩兩互質, 則它的一條對角線會穿過幾個單位正方體? 參考解答 : 對角線會穿過 + + k = + + k 2個小正方體. 10. 空間中一個長為 寬為 高為 k 的長方體, 它的一條對角線會穿過幾個單位小正方體? 參考解答 : 對角線會穿過 + + k (, ) (, k) (, k) + (,, k) 個小正方體. 9

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