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1 图 灵 数 学 统 计 学 丛 书 The Calculus Lifesaver:All the Tools You Need to Excel at Calculus 普 林 斯 顿 微 积 分 读 本 [ 美 ] Adrian Banher 著 杨 爽 赵 晓 婷 高 璞 译 北 京
2 图 书 在 版 编 目 (CIP) 数 据 普 林 斯 顿 微 积 分 读 本 / ( 美 ) 班 纳 (Banner, A.) 著 ; 杨 爽, 赵 晓 婷, 高 璞 译. 北 京 : 人 民 邮 电 出 版 社, ( 图 灵 数 学 统 计 学 丛 书 ) ISBN Ⅰ. 1 普 Ⅱ. 1 班 2 杨 3 赵 4 高 Ⅲ. 1 微 积 分 Ⅳ 中 国 版 本 图 书 馆 CIP 数 据 核 字 (2010) 第 号 内 容 提 要 本 书 阐 述 了 求 解 微 积 分 的 技 巧, 详 细 讲 解 了 微 积 分 基 础 极 限 连 续 微 分 导 数 的 应 用 积 分 无 穷 级 数 泰 勒 级 数 与 幂 级 数 等 内 容, 旨 在 教 会 读 者 如 何 思 考 问 题 从 而 找 到 解 题 所 需 的 知 识 点, 着 重 训 练 大 家 自 己 解 答 问 题 的 能 力. 本 书 适 用 于 大 学 低 年 级 学 生 高 中 高 年 级 学 生 想 学 习 微 积 分 的 数 学 爱 好 者 以 及 广 大 数 学 教 师. 即 可 作 为 教 材 习 题 集, 也 可 作 为 学 习 指 南, 同 时 还 有 利 于 教 师 备 课. 图 灵 数 学 统 计 学 丛 书 普 林 斯 顿 微 积 分 读 本 著 [ 美 ] Adrian Banner 译 杨 爽 赵 晓 婷 高 璞 责 任 编 辑 傅 志 红 执 行 编 辑 卢 秀 丽 毛 倩 倩 人 民 邮 电 出 版 社 出 版 发 行 北 京 市 崇 文 区 夕 照 寺 街 14 号 邮 编 电 子 函 件 315@ptpress.com.cn 网 址 : 北 京 ****** 印 刷 开 本 : /16 印 张 :42 字 数 :895 千 字 2010 年 8 月 第 1 版 印 数 : 册 2010 年 8 月 北 京 第 1 次 印 刷 著 作 权 合 同 登 记 号 图 字 : 号 ISBN 定 价 :95.00 元 读 者 服 务 热 线 :(010) 印 装 质 量 热 线 :(010) 反 盗 版 热 线 :(010)
3 Original edition, entitled The Calculus Lifesaver : All the Tools You Need to Excel at Calculus by Adrian Banner, ISBN: , published by Princeton University Press. Copyright 2007 by Princeton University Press. All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage and retrieval system, without permission in writing from Princeton University Press. Simplified Chinese translation copyright 2010 by Posts & Telecom Press..,. ( ).,.
4 ,.,,. Adrian Banner..,,,. Adrian Banner. Adrian Banner,,..... ; ; ; ( ) ; ;..,.,.,,,,,,,,,,.,
5 2!
6 ,.,,,.,,..,,,,.,,..,.,.,,,.,,.,.. A..,,..? adrian calclifesaver.com., (, )..,,.,.,,,.
7 2,,.,. ( ).,.,,,.,,,.....,.,,.,.,,.,..,.,,.,,,,,.,,.
8 3 ( ) [0, π/2] ( 7.1.5) (, / / ) ,
9 4 ( ) / , , , / 12.2, / 16.2( ) , B , , ( ) , , / 26
10 5 ( ) , ,.,
11 .,. Vickie Kearn Linny Schenck Lorraine Doneker,, Gerald Folland,., Ed Nelson Maria Klawe Christine Miranda Lior Braunstein Emily Sands Jamaal Clue Alison Ralph Marcher Thompson Ioannis Avramides Kristen Molloy Dave Uppal Nwanneka Onvekwusi Ellen Zuckerman Charles MacCluer Gary Slezak,. Eli Stein Simon Kochen Matthew Ferszt Cott Kenny. INTECH, Bob Fernholz Camm Maguire Marie D Albero Vassilios Papathanakos,. William Pender,..,, +C C., Freda Michael, Carly, Rena, Marianna Michael., Amy, ( ).
12 ASTC [0, 2π] x a x a x x x IVT
![2.1 ASTC............. 25 2.2.2 [0, 2π].................... 27 2.3................ 29 2.4.................... 32 3...................... 34 3.1................ 34 3.2................ 36 3.3................ 37 3.](/docs-images/42/23080960/images/page_12.jpg "4......... 38 3.5...................... 41 3.6.................... 43 3.7........... 45 4.......................... 47 4.1 x a......................... 47 4.2 x a........................... 50 4.3 x.")
13 ( ) e e e
14 : A 0/ A : ± / ± B1( ) B2(0 ± ) C(1 ±, )
15 y sin cos tan sec cot csc a 2 x x 2 + a x 2 a
16 ( ) ( ) P ( ) n ( ) ( ) ( ) p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n p
17 z n = w e z = w y
18 y P y H IVP A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B B B B B B B
19 1.,,.,.. ; ; ; ;, ;..,,. 1.1.,.,.. f (x) = x 2, f,., R,.,,., f 2 4 1/2 1/4, 1 1.,,. f (2) = 4, f 2 4., f, f (x) x., f (x), f., g (x) = x 2, ( ). f,,., f ( 1/2) = 1/4, g ( 1/2). g. g f, g f, g f.
20 2 1 f (x) = x 2, f( ),., h (x) = x, h., h ( ) = 4, h ( ) = 6, h ( ) = 0.,., h (2),, h ( ) = 4,,,, h., h ( )., Junkster. Junkster.,,,,. Junkster j (x) = Junkster x, j Junkster.., Junkster, ( ).,,...., ;.,.,.,.. f (x) = x 2, R,.,,.,., 2( 2) 2. g (x) = x 2,, g, R,.,. h (x) x, ,., ,.,., j (x) Junkster x,.,
21 , R, R ( ).,, {x : 2 x < 5}., 2 5, [a, b] a b, a b. [a, b] a x b x., [2, 5] 2 5 ( 2 5). ( , 2 5, 5/2 7 π. ) [a, b].,. (a, b) a b a b., x (a, b), a < x < b. (2, 5) (a, b). [a, b) a b a b ; (a, b] b, a.,.,. {x : 2 x < 5}, [2, 5). (a, ), a a ; [a, ), a. 3., ,. (, 1.1 g.),,.,
22 4 1. k (x) = x, R,. [0, ), 0.,., 3. 9 ), (1). (2) (,, ). (3). (, tan(90 ),. tan(90 ) = sin (90 ) cos (90 ) = 1 0,, tan(90 ),. f (x) = log 10 (x + 8) 26 2x, (x 2) (x + 19), f, f (x),. (26 2x),,. 26 2x 0. x 13., (x + 8),,. ( 0, 0.), x + 8 > 0, x > 8., 8 < x 13,, ( 8, 13]. 0, (x 2) 0 (x + 19) 0., x 2 x 19., x ( 8, 13], x , 2 ( 8, 13]. ( 8, 13] \ {2}, F, [ 2, 1],, F (x) = x 2. (,.), x, f (x) = x 2, F f, ( ). 1.1 g, F f.
23 1.1 5, F 2 1 ( 2 1),,., y. y, y, y. ;, y,. F y 0 4( 0 4), [0, 4];, 0 1( 0 1), [0, 1]., [0, 4]. F ,.. 12,,,.,.,, f (x, f (x)),, x f. x. x, (x, f (x)),, x x, f (x). x,., x,,. x., x., x, f (x),,., ;,,.,, 3, 1-2.
24 ,,., 3 3 ( ),. 3 3,,. x ( 3, 3). x, (x, 0),. f (x).,. x 2 + y 2 = 9,, y = 9 x 2, y = 9 x 2., [ 3, 3].,, (,.), 1-3, [ 3, 3], f. x; x f,, f (x).,, y, f y y, f x f (x) = y, y f.,, x f (x) = y. f x f (x) = y,., y, f (x) = y. f (x) = x 2 ( R), x 64., x 8 8., g (x) = x 3,, x, 4. g,, ( )., f, f y., x f (x) = y. y
25 1.2 7,,. y, x f (x) = y. f, f 1.. (1) f, f y, x f (x)=y.,., f 1. (2) f 1 f. (3) f 1 f. (4) f 1 (y) f(x) = y x., f (x) = y, f 1 (y) = x. f 1 f x, f y, y f 1, x. x f (x) = y,?, f y, x f (x) = y,. f y, x f (x) = y. (0, y), (x, y). x., x,.,,., y,.,,.,., 1-4 f (x) = x 3 g (x) = x
26 8 1 y = f (x), f., y = g (x), g. y = x 2 x, y, x = y x = y , f y = f (x), x. f (x) = x 3, y = x 3, x = 3 y., f 1 (y) = 3 y y, x,, f 1 (x) = 3 x., x,,.,,. y = x,.. f (x) = x 3, f f y = x,. f f ,,, y x. x,., x,. 1.1,.,,. g (x) = x 2, 1-6, 1-6. ( ) [0, ),,., [0, ) h, h (x) = x 2.., y = x 2 x.,
27 1.2 9 x = y x = y,, [0, ),, x = y., h 1 (y) = y.,, (, 0]., (, 0] j, j (x) = x 2,.,, 1-7 j 1 (y) = y, , g g (x) = x 2, (, ),, y = x, 1-8.,,., y = x f, f x, f 1 (f (x)) = x ;, f y, f ( f 1 (y) ) = y. (, f f 1, f 1 (y) f y,. ) f (x) = x 3, f f 1 (x) = 3 x, x, f 1 (f (x)) = 3 x 3 = x.,. x f, f 1 ; x., f ( f 1 (y) ) = ( 3 y ) 3., f 1 f, f f 1.,.,. g (x) = x 2,,. [0, ),, g h,. g 1 (x) = x. g ( g 1 (x) ), ( x) 2, x 0, x. (,. ), g 1 (g (x)), x 2, x., x = 2, x 2 = 4, x 2 = 4 = 2.,, g 1 (g (x)) = x.
28 g.,, g ( 2), 2 g. h, g,.,,,. f, f f 1, f y, f ( f 1 (y) ) = y; f 1 (f (x)) x;, f 1 (f (x)) = x x ,,. 1.3 g(x) = x 2 g, x, g(y) = y 2 g(x + 5) = (x + 5) 2., g(x + 5) = x + 5 2, x + 25 (x + 5) 2.,., f(x) f( ), x ( ),., h(x) = 3 x, h(x 2 + 6) = 3 x2 +6, x f(x) = cos(x 2 ) f. x, f(x) x,, f(x),, g(x) = x 2, h(x) = cos(x). f x, x g, g g h, h, g x. f, f(x) = h(g(x)), f = h g,, f g h., f g h, h g ( ), g.,.., g(x) = 2 x, h(x) = 5x 4, j(x) = 2x 1, f = g h j j, h, g, f(x) = g(h(j(x))) = g(h(2x 1)) = g(5(2x 1) 4 ) = 2 5(2x 1)4.,.,
29 f(x) = 1 tan(5 log 2 (x + 3)). f x, 3, g(x) = x + 3; 2, h(x) = log 2 (x); 5, j(x) = 5x;, k(x) = tan(x);, m(x) = 1/x.,, f(x) = m(k(j(h(g(x))))). f = m k j h g. f., h j n, n(x) = 5 log 2 (x), n = j h f = m k n g. ( j h), f, ( n), n(x) = 5 log 2 (x) x.,. f(x) = x 2 sin(x), f, x, f(x) x 2 sin(x)(, ),. g(x) = x 2, h(x) = sin(x), f(x) = g(x)h(x) f = gh. j = g h( ) j(x) = g(h(x)) = g(sin(x)) = (sin(x)) 2 j(x) = sin 2 (x). j x 2 sin(x), k = h g, k g h, k(x) = h(g(x)) = h(x 2 ) = sin(x 2 ). k.,,,. f g(x) = x a(a ),. h(x) = f(x a), y = h(x) y = f(x), y = h(x) a. a, (, 3 3 )., y = (x 1) 2 y = x 2, x 1 x. y = x 2 1,
30 12 1, y = (x+2) 2 y = x 2 2, (x+2) (x ( 2)). 1.4,. f(x) = x 2 f, ( 3) f( 9)., 3, f( 9).,,. x, f( x) = f(x)., x f, x. g(x) = x 4 h(x) = x 6., n (n ), j(x) = x n., f x f( x) = f(x), f. x, x., f(x)=x 3. ( 3) f( 27),, 3, 27,. f( x) = f(x)., n (n ), j(x) = x n., f x f( x) = f(x), f.,,,.,.,, x f(x) = 0( ).. f, x f( x) = f(x);, x f( x) = f(x),, 0 = 2f(x), f(x) = 0, x, f.,, 0, f(0) = 0. x, f f( x) = f(x). 0, f( 0) = f(0), 0 0, f(0) = f(0), 2f(0) = 0, f(0) = 0., f,.,.,,. f. f(x) = f( x), y = f(x) x x, x, y.,
31 1.4 13, y. y = x 2., f. f( x) = f(x), y = f(x) x x. (, f(x),.) , 180.,.,, ( 0,,. (,, )., y = x 3. f f(x) = log 5 (2x 6 6x 2 + 3), f x ( x) f( x), x,. f(x), f ; f( x), f ; f(x) f( x), f ( )., f( x) = log 5 (2( x) 6 6( x) 2 + 3) = log 5 (2x 6 6x 2 + 3), f(x), f. g(x) = 2x3 + x 3x h(x) = 2x3 + x 1 3x 2? + 5 g,, g( x) = 2( x)3 + ( x) 3( x) g( x) = 2x3 + x 3x 2 + 5, = 2x3 x 3x
32 14 1 g(x),,, g. h, h( x) = 2( x)3 + ( x) 1 3( x) = 2x3 x 1 3x h( x) = 2x3 + x + 1 3x ,, +1,, h..,, f g,, h, h(x) = f(x)g(x), h., h( x) = h(x). f g, f( x) = f(x), g( x) = g(x). h( x), h f g, h( x) = f( x)g( x), f g ( f(x))( g(x)),, f(x)g(x), h(x). ( ) h( x) = f( x)g( x) = ( f(x))( g(x)) = f(x)g(x) = h(x)., h( x) = h(x) h.,. 1.5 f(x) = mx + b m.,,, , m,. m,., m,. m ( ),. 0,,,,.,,.,., y. x = 0, y = m 0 + b = b., y b,
33 (0, b). x, y 0, x.,. b = 0, y = mx., x y., x = 1, y = m., y = mx (1, m)., y = 2x (1, 2), m = 0, y = b, (0, b) , y = 1 2 x 1., y 1, 1/2., x, y = 0 0= 1 x 1, x= ,.,.,. --, (x 0, y 0 ), m, y y 0 = m(x x 0 )., ( 2, 5), 3, y 5= 3(x ( 2)), y = 3x 1.,.,. (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ), y 2 y 1 x 2 x 1. ( 3, 4) (2, 6)., = ( 3) = 10 = 2. 5 ( 3, 4) 2, y 4 = 2(x ( 3)), y = 2x 2., (2, 6) 2, y ( 6) = 2(x 2), y = 2x 2.,,.
34 (1) x. 1 x x 2 x 3,,., f(x) = 5x 4 4x x 4 5 x x 2 x,, x 2 x. x n x n., x 4 x 3 x 2 x (, x I?,, x = x 1, 1 = x 0.) n( ). 4, 4 x. n p(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0, a n x n, a n 1 x n 1,, a 0 1. x n,., x 0 x , x..,. a n.,
35 x 4 4x , 5.,. 4, x 4 4x , n = 4, a n = 5. 2,. p(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0, p(x) = ax 2 + bx + c.. = b 2 4ac.. > 0, ; = 0,, ; < 0,. b ± b 2 4ac. 2a... 2x 2 3x (x 2 32 ) x+5. 1., x 3 2, 2 3 4, , 16 x x + 5 = x2 3 2 x , 9 (x 16, 3 ) 2. 4, x 2 3 ( 2 x + 5 = x x + 9 ) ( = x 3 ) , = 71. 2, 16
36 18 1 2x 2 3x + 10 = 2 (x 2 32 ) x + 5 = 2 ( ( x 3 4 ) ) ( = 2 x 3 ) ,., (2) p(x), p q,. q(x), p q., q(x) 1. 1/x n, n ,.. (3)., y = 2 x. y = b x (b > 1).., ;, y 1 ;, x., x, x,. ( 3,.) y = 2 x y = 2 x y, ,, y = ( ) x 1. 2 ( ) x 1 = 2
37 ( ) x 1 1/2 x = 2 x, x, 2 x, 1-18 y = 2 x ( ) 2 x 1 y =. y = b x (0 < b < 1). 2 y = 2 x,. 2 y = log 2 (x). y = x, y = log 2 (x) 1-19., 0. (0, + ),, y. log b (x) (b > 1)., (4),. (5) f(x) = x. { x x 0, x = x x < 0. 0 x., x y x y., x 1 3. x 1 3., , , x 1 3 [ 2, 4].
38 20 1 x = x 2., x 0, x 2 = x; x < 0, x2 = x,,. x 2 = x,,. x, x = x 2., x,..,, x, x, x., x, y = x x, y = x y = log 2 (x), ,..,.
39 2.,,,.,. ; ( 0 90 ); ;. 2.1., 2π 360.,, 1 2π.,, ,.,, 90 π/2., 180 π, 270 3π/2., 2-2
40 ,, = π 180., 5π/12, 5π 12 = π 180 5π/12 (180/π) (5π/12) = 75., 2-3, sin (θ) =,,. π 180.,,.,.,, θ, 2-3. cos (θ) =, θ,, 2-4., θ, θ.,,.,, tan (θ) =. 2-4 csc(x) = 1 sin(x), sec(x) = 1 cos(x) cot(x) = 1 tan(x).
41 ( ), 0, π/6, π/4, π/3, π/2.,, sin (π/3) tan (π/4),,,.,,. 0 sin 0 cos 1 tan 0 π π π tan (π/2)., π/2 (, 2.3 ).,,. (1) sin (π/3) (, 3/2. ) (2) 0 π/2, 3/2 (, π/3. ),.,,,.,,,,,. 2 3 π ( ) 0 π/2.,,.,., tan (π/2).,,. 0 2π(, 2π 360 )., sin (θ)( cos (θ) tan (θ)),, θ 0 π/2.,, ,
42 24 2, 1 4( ),.,,. ( ). θ.,, x. θ,,.., 2-2., π/2, y. π, x. 3π/2, y., 2π,, x. 0 2π., 0 2π., θ., 2-6., θ,.,, 2-6 x. x y ( x y ),, r., x y (, 2-6 )., r,., ( ), x y, r = x 2 + y 2. (, 2-7.) 2-7, sin(θ) = y r, cos(θ) = x r tan(θ) = y x. x, y r,, 2.1.,,,,., r = 1, (x, y) (, 1 ).
43 2.2 25,., sin (7π/6). 7π/6 7π/6 0, π/2, π, 3π/2, 2π., 7/6 1 3/2, 7π/6 π 3π/2., 2-8., 7π/6., r = 1, x., sin (θ) = y/r = y ( r = 1),, y.,, 7π/6 x ( π), π/6.., θ 2-8 θ x, 0 π., x 2, ,, r = 1, π/6. y = sin (π/6) = 1/2, x, y., y = 1/2. sin (θ) = y, sin (7π/6) = 1/2.,, x = cos (π/6) = 3/2., (x, y) y, x. cos (7π/6) = 3/2, (x, y) ( 3/2, 1/2 ) ASTC sin (7π/6) sin (π/6),, π/6 7π/6.,, x, y r.,, 7π/6, π/6; sin (7π/6) sin (π/6) sin (π/6),., y.,, y.,, x.
44 26 2 y/x, ( x y, ),.., 2-10 (I). (II), ;. (III), ;., (IV), ; , ASTC.. A,.,,., 7π/6,.,, sin (7π/6) 1/2 1/2,,. sin (7π/6) = 1/2. ASTC 0, π/2, π 3π/2,., ASTC, y = sin (x)( cos (x), tan (x)),. 2.3., ASTC, 0 2π (1),,,. (2) x y ( ),,, (2.3 ). (3), x ;. (4),.,. (5) ASTC.. cos (7π/4) tan (9π/13). cos (7π/4), 7/4 3/2 2,,
45 2.2 27, 2π( 0. ),, 2π 7π/4, (2π 7π/4), π/4., cos (7π/4) cos (π/4), cos (π/4) 1/ 2. ASTC,, cos (7π/4) = 1/ 2. tan (9π/13). 9/13 1/2 1, 9π/13, 2-12., π x, π 9π/13, π 9π/13, 4π/13., tan (9π/13) tan (4π/13)., 4π/13, tan (4π/13).., ASTC, 2-12,, tan (9π/13) = tan (4π/13)..,,., tan (4π/13),., tan(4π/13) = ,., tan (4π/13),,.,, ( ) tan(4π/13) = ,.,, [0, 2π], 2π 0.,, 2π, 0 2π., 2π..,, 450,,, 90,.., 90,,., ,., 5π/2 π/2. 9π/2 2π (
46 28 2 4π), π/2., π/2,., 9π/2 π/2., π/2 π 2, 5π 2, 9π 2, 13π 2, 17π 2,., 2π..,,..,, 270, 270 ( 3π/2).,,, , ,, 3π/2 π/2., ( )., π/2, 15π 2, 11π 2, 7π 2, 3π 2, π 2, 5π 2, 9π 2, 13π 2, 17π 2,. ;,,. {π/2 + 2πn}, n,.. sec (15π/4), cos (15π/4), sec (15π/4)., cos (15π/4). 15/4 2, 2., 15/4 2 = 7/4, 0 2,. π, cos (15π/4) cos (7π/4), 1/ 2., cos (15π/4) = 1/ 2., sec (15π/4) , sin ( 5π/6), 2π 5π/6 0 2π., 2π 5π/6 7π/6,, sin ( 5π/6) = sin (7π/6), 1/2., 2-13.,, π/6,.
47 ,,., y = sin (x). 0 2π , 0, π/2, π, 3π/2 2π. sin (x) 2π ( sin (x) x, 2π),,, , sin (3π/2) = 1 sin ( π) = 0., π/2 ;., 180,, sin (x) x.( 1.4.) y = cos (x) y = sin (x). x 0 2π, , cos (x) 2π,
48 30 2, , cos (π),, 1.,, y., cos (x) x., y = tan (x)., x π/2 π/2, 2-18.,., π, 2π., y = tan (x), , x π/2, y = tan (x) ( ).,, tan (x) x. y = sec (x), y = csc (x) y = cot (x),
49
50 32 2,,. sin (x), tan (x), cot (x) csc (x) x. cos (x) sin (x) x., x, sin ( x) = sin (x), tan ( x) = tan (x) cos ( x) = cos (x). 2.4.,, tan(x) = sin(x) cos(x), cos(x) cos(x) = sin(x). (,,,,.) ( ), cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1. x. ( 1, x, cos (x) sin (x).), cos 2 (x). 1 + tan 2 (x) = sec 2 (x).. sin 2 (x),, cot 2 (x) + 1 = csc 2 (x)..., co.. π/2( 90 )..,, ( π ) (x) = 2 x., sin(x) = cos ( π ) ( π ) 2 x, tan(x) = cot 2 x ( π ) sec(x) = csc 2 x.
51 2.4 33, ;,, co co sin sin, co co tan tan. ( π ) ( π ) cos(x) = sin 2 x, cot(x) = tan 2 x ( π ) csc(x) = sec 2 x.,.., sin(a + B) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) cos(a + B) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b).,, sin(a B) = sin(a) cos(b) cos(a) sin(b) cos(a B) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b). sin (A + B) cos (A + B), A = B = x,., sin (2x) = 2 sin (x) cos (x).,. cos (2x) = cos 2 (x) sin 2 (x);, sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 cos (2x) 2 cos 2 (x) sin 2 (x)( )., sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) cos(2x) = 2 cos 2 (x) 1 = 1 2 sin 2 (x)., sin (x) cos (x) sin (4x), 4x 2x,, sin (4x) = 2 sin (2x) cos (2x).,, sin(4x) = 2(2 sin(x) cos(x))(2 cos 2 (x) 1) = 8 sin(x) cos 3 (x) 4 sin(x) cos(x)., cos(4x) = 2 cos 2 (2x) 1 = 2(2 cos 2 (x) 1) 2 1 = 8 cos 4 (x) 8 cos 2 (x) + 1. ;,.,,.,.,.
52 3,.,.,,.., ; A., ;, ; ; ( ) f x, α. x α, α, f (x),.. f R\ {2}( 2 ), f (x) = x 1. f(x) = x 1 x , 2, f ( 4.1 )., f, 3-1., f (2) f (2) = 1,, 2 f. f (2)., x 2, f (x),., f (2.01) = 1.01, f (1.999) = , x 2, f (x) 1.
53 3.1 35, x 2, 1, 1., f (x) 1 ± , x ( x = 2, ). f (x) 1 ± , x,., ( 2)., A A.1., f(x) = 1. x 2, x 2, f (x) 1.,, x 2( 2), f (x) 1.. f(x) 1 x 2., x 2, f (x) 1( )., f., g, 3-2. g,, g (x) { x 1 x 2, g(x) = 3 x = g (x) g(2) x 2 x 2 g(x), 2,. x = 2, g f.,, g(2) = 3, g (x) = 1. x 2,, f(x) = 1, x 2 x, x 2, f(x) 1., x,., q 2, f(q) 1, f(q) = 1. q 2 f(b) = 1, f(z) = 1, f(α) = 1, b 2 z 2 α 2,!,
54 36 3 f(x) = 1, x 2, x., ( ) 2., ;,,.,. 3.2,., h (x) 3-3 x = 3, 3-3.,, h (3) = 2., x = 3,,. h (x), x,.,,, 3, 1., x = 3( ),. x = 3, x = 3,., h (x) x = 3 1.,,, x = 3, 2., h (x) x = 3 2. x = 3 ( x = 3 ). x 3 x 3 h(x) = 1 h(x) = , 3. 3,,, h(x), x 3, h (x) x = 3, h (x) x = 3.., x 3 3 x., 3.,, x 3 +, 3.
55 3.3 37,. x = a, x = a, (, )., f(x) = L f(x) = L x a x a + f(x) = L. x a., h,,. h(x) x 3 DNE. 3.3,.. f (x)=1/x f (x) x 0.,, f (x). 3-4, x x 0 + 0, f (x)., x 0, ;., x 0 + x =.,, x 0, f (x). 1 x 0 x =.,., g, g (x) = 1/x x = 0, x 0 1/x 2 =.
56 38 3, f x = a, f(x) f(x), x a + x a.,, g, g (x) = sin (1/x)., x. sin (x) x = π, 2π, 3π, 0,, sin (1/x) 1/x = π, 2π, 3π, 0., sin (1/x) x = 1 π, 1 2π, 1, 0. sin (1/x) x 3π., , 0,., x, sin (x) 1 1,, sin (1/x)., , x 0 + sin (1/x) x = , x = 0,.,,. x x = 0,.,, sin (1/x) (DNE). y = sin (1/x) x x = a A A.3.4.
57 ,, x,.,, x. f(x) = L x, x, f (x) L,. ( A A.3.3. ), f (x) = L x f y = L., x, f(x) = L, x x (, x ), f (x) L, L. y = f (x).,, f y = L f (x) = L. x f y = M f (x) = M. x, y = x 2, x, y., x x2 =.., sin (x), sin (x) ( x ) 1 1,,., ; sin (x) (DNE). A A.3.4. x f, f (x) = sin (1/x). x, x, 1/x 0. sin (0) = 0, sin (1/x) 0. x, sin (1/x) 0., sin(1/x) = 0. x, sin (1/x) y = 0. y = sin (1/x),. x < 0., f. ( ) ( 1 f( x) = sin = sin 1 ) ( ) 1 = sin = f(x). x x x,, sin (x) x, sin ( 1/x) sin (1/x)., A A.4.1!
58 40 3,, ( 1.4 ), y = sin (1/x), , x 0. x 0,,, x = 0.,, , ,,., ,, (, )., 0.,,. 0( 0),.,. 0, f(x) = L. x, x, f (x) L., f (x) L,, y = f (x) y = L, x., f, , f (10) L., x 100, f (x)
59 L,, 100., f (100) L,, 100., 200., ,,,,, ,., , ( ), ,. (,,., x.),, x.,., f(x) = L, f(x) = L f(x) = L. x 0 x 0 + x 0,, x 0, f (x) L. (, x,, x. ), x 0 f., ( 0 ),,.,., A A.1 A ,.,. 3.3 f (x) = 1/x, y = 0. 1 x x = 0 1 x x = 0., 3-10 y = tan 1 (x) ( y = arctan (x), ) 3-10
60 42 3 y = π/2, y = π/2,. x tan 1 (x) = π 2 x tan 1 (x) = π 2,, (, ).,., y = 2 x, ( 1.6 ). (, y = tan (x) )..,,.,., f (x) = sin (x) /x f,, x. sin (x) 1 1,, sin (x) /x y = 1/x y = 1/x., sin (x) /x sin (x), π, 2π, 3π,., y = 1/x y = 1/x.,,, sin(x) = 0. x x, y = f (x), x f
61 ,,.. 3.6,, f g h, x a, g h L,, x a, f L.., a x, g (x) f (x) h (x). f (x) ( )g (x) h (x)., g (x) = L h (x) = L., f (x) = L; x a x a x a x a,., f g h ; x a, f (x) L. ( A A.2.4. ), g (x) f (x) h (x) a,.,? ( ) 1 x sin? x 0 + x y = x sin (1/x) y = sin (1/x),, x y =x y = x x
62 44 3, x 0,,.,. g y = x, h y = x. x > 0, g (x) f (x) h (x). f (x) x = 0, x < 0. (, x,, x < 0, g (x) h (x),, ), x > 0, g(x) f(x) h(x)? ( 1/x) sin ( ) 1 1. x x,, x > 0, ( ) 1 x x sin x. x g (x) f (x) h (x)., g(x) = x 0 + x 0 +( x) = 0 h(x) = x = 0. x 0 + x 0 +, x 0 +, g (x) h (x) 0, f (x)., ( ) 1 x sin = 0. x 0 + x, x, ; 3.3, x 0 +, sin (1/x). sin(x) = 0. x x,,., x, g (x) f (x) h (x) ;, g (x) = L h (x) = L., f (x) = L. x x x.,, x, 1 sin (x) 1,, x > 0, x 1 x sin(x) 1 x x, x,, 1/x 1/x 0, sin (x) /x 0., 1 x x = 0 1 x x = 0,
63 sin(x) = 0. x x, a x g(x) f(x) h(x), g(x) = h(x) = L, f(x) = L. x a x a x a ;, a x. a ;, ( )x,. 3.7.,. (1) x = a. x = a x = a f (x). (, x a, f (x),., x a, f (x). ) (2) x = a. x = a x = a f (x)
64 46 3 (3) x = a.,,,.,,,. f (a) (4) x (5) x
65 4,.,., ;,,.,.,.,., x x a( a)., x a ; x a ; x ; x ( ) ; x / ;. 4.1 x a x a p(x) q(x),, p q, a. (, p (x) /q (x).) a x. 0,,., x 2 3x + 2 x 1 x 2? x = 1 ( x 2 3x + 2 ) / (x 2), ( 1) 2 3( 1) + 2 = = 2.,, 2. (,,, x = 1, ;,,
66 48 4,.), x 2 3x + 2, x 2 x 2, x = 2 ( ) / (2 2), 0/0..,,,,,.., x 2 3x + 2 (x 2) (x 1),, x 2 3x + 2 x 2 x 2 (x 2)(x 1) = x 2 x 2 = x 2 (x 1), x = 2 (x 1) ; 2 1, 1.. f g, f(x) = x2 3x + 2 x 2 g(x) = x 1 f(x) = x2 3x + 2 (x 2)(x 1) = = x 1 = g(x)? x 2 x 2, x = 2,, x 2 0,., f g 2 f, g. (, f, 3. ),,., f (x) g (x) x = 2, x = 2 f (x) g (x).,..,., a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 )., x 3 27 x 3 x 4 5x 3 + 6x 2. x = 3, 0/0( ).,. x 3 3 3,,. x 2, x 2 ( x 2 5x + 6 ). x 2 5x + 6
67 4.1 x a 49 ;,, x 3 x 3 27 x 4 5x 3 + 6x 2 = x 3 (x 3)(x 2 + 3x + 9) x 2. (x 3)(x 2) x = 3, (x 3).,, x 3 ;, (x 3)( 0),.,, x 3 x 3 27 x 4 5x 3 + 6x 2 = (x 3)(x 2 + 3x + 9) x 2 + 3x + 9 x 3 x 2 = (x 3)(x 2) x 3 x 2 (x 2) = (3 2) 0 0, ;, x.,., f, 4-1 x = a = , f (x) x = a.,,,., 2x 2 x 6 x 1 x(x 1) 3?, x = 1 5/0( ).,. f (x) = ( 2x 2 x 6 ) ( / x (x 1) 3), x 1., x = 1, ( 2x 2 x 6 ) 5,, a x,. x = 1, 1,.
68 50 4, a x,. (x 1) 3, x > 1, x < 1., ( (+) ( ),, ( ) ( ) = (+),. ) ( ) x > 1 : (+) (+) = ( ); x < 1 : ( ) (+) ( ) = (+)., x 1, f (x), x 1, f (x). ( )., 2x 2 x 6 x 1 x(x 1) 3, ( );, 2x 2 x 6 2x x 1 + x(x 1) 3 = 2 x 6 x 1 x(x 1) 3 =.,, 2x 2 x 6 x 1 x(x 1) 2. x 1,, x,, (x 1) 2, x 1 1,., ( ) x > 1 : (+) (+) = ( ); x < 1 : ( ) (+) (+) = ( )., x = 1, 2x 2 x 6 x 1 x(x 1) 2 =.,. 4.2 x a x x 5 x 5 x = 5, 0/0 ( ). x 2 9 (x 3) (x + 3),, 4., x ; x (,,., a b a + b,. ),
69 4.3 x 51 x2 9 4 x2 9 4 x = x 5 x 5 x 5 x 5 x , (a b) (a + b) = a 2 b 2, ( x 2 9 ) 2 4 2, x 2 25., x 2 25 x 5 (x 5)( x ). x 2 25 (x 5) (x + 5), (x 5)(x + 5) x 5 (x 5)( x ) = x + 5 x 5 x , x = 5, 10/8, 5/4.,,, 4.3 x,, x., p(x) x q(x), p q., x,., p,, x, p (x)., p (x) = 3x x 2 + 5x 7. p L (x) = 3x 3, p. x, p (x) p L (x)., p(x) x p L (x) = 1.,., p(x) p L (x) = 1, p (x) = p L (x). ( x ), x,., p(x) = p L(x)? x x,,.,, 1 p (x) p L (x). x, 1, 1.
70 52 4, ;,,, x, p (x) = 3x x 2 + 5x 7. x = 100., 3x 3 3, 1 000x x 500, 7., p (100) 7., p L (100) 3, p (100) p L (100).., 100., x , 3x ,, 1000x 2, ( ), 5x 5,. 7., p ( ), 3 ( 5 )., 3 3,,, 3., p ( ) 3, p L ( )?, x,., , x 3 x 2 x.. p(x) x p L (x) = 1.., x p(x) p L (x) = x 3x x 2 + 5x 7 3x 3 ( 3x 3 x 3x x2 3x 3 + 5x 3x 3 7 ) ( 3x 3 = x 3x + 5 3x 2 7 ) 3x 3.,.,, x, 1, 1 000/3x, 5/3x 2 7/3x 3,,., ;,.,. 1,,, (x + (1 x)). x, (x+ x (1 x)) = 1,, 1., (x) (1 x) (x) x (1 x).,, + ( ) = 1., x + ( ).
71 4.3 x 53 x, /3x. x, 1000 x 3x? 1 000/3., x 3 x., 1000/3. x,., ( A A.2.2 ) x 3 x = x x., (, )., 1/x = 0,, 1000/3 0. x 1000 x 3x = 0.,., n > 0, C, C x x n = 0, x, 5/3x 2 7/3x 3 0., 3x x 2 ( + 5x 7 x 3x 3 = x 3x + 5 3x 2 7 ) 3x 3 = = 1. x p(x) p(x) = 1 p (x) = 3x x 2 + 5x 7.,,,. p, p (x), p(x) p(x) (p(x) ).
72 54 4,,, p (x)., x, 1,., x 8x 4 x 7x 4 + 5x x 2 6?,., 8x 4 (, ), x 8x 4 8x 4 ( 8x 4 )., 7x 4,, 7x 4 + 5x x 2 6 7x 4 (7x 4 )., x x 8x 4 7x 4 + 5x x 2 6 = x, x 8x 4 8x 4 ( 8x 4 ) 7x 4 + 5x x x 4 (7x 4 ) 8x 4 7x 4,,. 1,,., 8/7,., 1,.,,, 1 8x x 4 x x x 2 6 7x 4. 7x 4 ;, x, C/x n 0( C, n > 0)., x 4, = = 8 7. x (x 4 + 3x 99)(2 x 5 ) (18x 7 + 9x 6 3x 2 1)(x + 1).
73 4.3 x 55, x 4, x 5, 18x 7 x.,,., (x 4 + 3x 99)(2 x 5 ) x (18x 7 + 9x 6 3x 2 1)(x + 1) ( x 4 ) ( ) + 3x 99 2 x x = 4 (x 4 5 ) x 5 ( x 5 ) ( x 18x 7 + 9x 6 3x 2 ) ( ) 1 x x 7 (18x 7 ) (x) ( x x 3 99 ) ( 2x ) x = x = ( x 3 18x x 7 ( )(0 + 1) ( )(1 + 0) x, (x 4 )( x 5 ) (18x 7 )(x), ) ( ) (x4 )( x 5 ) (18x 7 )(x) x x 18 = x x 18 =. x/18., x, x/18,,., ( 8/7) ( ).., 4., 4 5,,, 9., 7 1,, 8.,., 2x + 3 x x x + 3 x x 2 7 = x 2x + 3 (2x) x x 2 = 2x 7 x 2 (x 2 x ) 1 7 2x x 2 x 2 = x x = 0., 2, ( 1).,,, 0., x p(x) q(x)
74 56 4 p q, (1) p q,. (2) p q,. (3) p q, 0. ( x,, p(x) x q(x) ; 4.5. ),., ;,,. 4.4 x f, g h, 3 f(x) = x 3 + 4x 2 5x 2/3 + 1, g(x) = x 9 7x 2 + 2, h(x) = x 4 x x 2 2x + 3., n,.,.,.,,. (, )., x 16x x 2x 2 + 6x x 2,, 2x 2 + 6x + 1 2x 2 (2x 2 ). 16x 4 + 8, 16x 4., 4x 2., 4x 2 +3x. 4x 2,., 16x x 4x 2 (4x 2 ). 4x 2, 16x 4 16x x 16x x 2 = 4x 2 + 3x 16x 4 4x 2 = x 4,, + 3x 4x 2.
75 4.4 x x x. x, x,, = 1., 16x x 16x x x 2x 2 + 6x + 1 = 4x 2 (4x 2 ) x 2x 2 + 6x + 1 2x 2 (2x 2 ) 16x 4 +8 = 16x 4 + 3x x 2 x 2x 2 4x2 +6x+1 2x 2 = 16x x 4 x x 2 2x x = = 2.,,.,. 16x x 3 x 2x x + 1, 3x 3x 3., x, 16x x 2,, 3x 3., 16x x 3 3x 3 (3x 3 );, 3x 3, 9x 9.,, x 16x x 3 2x 2 + 6x x x 3 3x 3 (3x 3 ) 2x 2 + 6x + 1 2x 2 (2x 2 ) 16x x 6 + 3x3 3x 3 2x 2 3x3 +6x+1 2x 2 = x 2x = x = x 3x 2 =. 16 x x x + 1 2x 2 = x., 16x 4 ;, 4x 2 (3x)., (3x 3 )., 3x 2
76 58 4, 4x6 5x 5 2x 3 x 3? 27x6 + 8x,,., 4x 6 5x 5, x, 4x 6., 4x 6 5x 5 4x 6, 2x 3 ( x )., 2x 3,, 4.2., 4x6 5x 5 2x 3 4x6 5x x 3 = 5 2x 3 4x6 5x 27x6 + 8x x 3 5 2x 3 27x6 + 8x 4x6 5x 5 + 2x. 3, (a b) (a + b) = a 2 b 2 x x (4x 6 5x 5 ) (2x 3 ) x6 + 8x( 4x 6 5x 5 + 2x 3 )., 5x x6 + 8x( 4x 6 5x 5 + 2x 3 ). ;. 3 27x6 + 8x,, 27x 6, 3 27x6 + 8x x 6, 27x x6 + 8x 3 27x 6 (3x 2 ).,,, 3 27x 6 + 8x 27x 6 (3x 2 ) = x 5 (3x2 )., x, 1. 4x 6 5x 5 + 2x 3,., 4x 6 5x 5, 4x 6. 2x 3. 2x 3,, 2x 3 + 2x 3 4x 3.. 4x6 5x 5 + 2x 3 4x 3 (4x 3 ),, 4x 3, 16x 6 ; ( 4x 6 5x 5 16x 6 + 2x3 4x 3 ) (4x 3 ) = ( x ) (4x 3 ).
77 4.5 x 59, x, = = 1, ( ),., x 5x x6 + 8x( 4x 6 5x 5 + 2x 3 ).,, 5x ( ) 5 x 3 ( ). 27x6 + 8x 4x6 3 (3x 2 5x ) 5 + 2x 3 27x 6 4x 3 (4x 3 ) 5x 5, 3x 2 4x 3, 1 ( ) x 3 ( ) 5x5 27x6 + 8x 4x6 5x 3 5 2x 3 (3x 2 )(4x 3 ). 27x 6 4x 3, x 5,, 5/12.,. 4.5 x, x p(x) q(x),., p q.. x,., x, C, n, C/x n 0. ( ),., 4.3.1, x x 8x 4 7x 4 + 5x x 2 6 x (x 4 + 3x 99)(2 x 5 ) (18x 7 + 9x 6 3x 2 1)(x + 1).,, x,. x ; :
78 60 4 x x 8x 4 7x 4 + 5x x 2 6 = x = x x 8x 4 8x 4 ( 8x 4 ) 7x 4 + 5x x 2 6 7x 4 (7x 4 ) 1 8x x x 2 6 7x = 8 7., n, x, C/x n 0, x., ; (x 4 + 3x 99)(2 x 5 ) x (18x 7 + 9x 6 3x 2 1)(x + 1) ( x 4 ) ( ) + 3x 99 2 x x = 4 (x 4 5 ) x 5 ( x 5 ) ( x 18x 7 + 9x 6 3x 2 ) ( ) 1 x x 7 (18x 7 ) (x) x ( x 3 99 ) ( 2x ) x = x = ( x 3 18x x 7 ) ( ) (x4 )( x 5 ) (18x 7 )(x) x ( )( 0 + 1) ( )(1 + 0) x x 18 = x x 18 =.,, x x., x/18.,., x 2. x? x,., 2,, 2.,, x, x 2 = x. x,,. x 4x x 3 + 6x x 3,,? 4x 6 +8, 4x 6,, 4x x 6. 2x 3,! x,, x., 2x 3, 4x 6, 4x 6 2x 3.
79 x = x = 4x x 3 + 6x + 1 = 4x x 6 2x 3 + 6x + 1 2x 3 x ( 1) = x 6 4x x 6 2x 3 = x 4x 6 2x 3 + 6x + 1 2x 3 (2x 3 ) x x 2x x 3,., 4 x4 = x x. 2x 3 2x 3 4,., 4,., 3 x3 = x x(, ), x < 0, x4 = x 2!?,, x 2,, x 4,,! x < 0, n x = x m, x m, n m. 4.6,. x x 0 x., f (x) = x /x,., 0 f, 0, 0.,., x. x x,,, x, f (x) = 1., x, x = x,, x < 0, f (x) = x/x = 1., f (x) = x /x x > 0, f (x) = 1 x < 0, f (x) = 1. y = f (x) 4-2.
80 62 4,, x = 0, x x 0 x = 1, x x 0 + x = 1.,, : x 4-2 x 0 x DNE., x,. x + 2 x ( 2) x + 2.,, x x + 2 < 0. x 2 x < 2., x + 2 = x + 2,, x + 2 = (x + 2)., x > 2, x + 2 / (x + 2) 1; x < 2, 1., y = x + 2 / (x + 2) y = x /x 2, , 1( 1, ).
81 5,.. (,,,,,.,,.,,.,,., ; ; ; ;, ; ; ;. 5.1,.,. y = x 2, y = 1/x,., x = 0,., f (x) = 1/x,, x = 0, f.,., f x a. y = f (x), (a, f (a)).
82 64 5,, (a, f (a))., (x, f (x)) ( ) (a, f (a))., x a, f (x) f (a).,,,. x a f (x) = f (a), f x = a.,,., f x = a, f (a),, (a, f (a)),, (1) x a f (x) ( ). (2) x = a ; f (a) ( ). (3), f(x) = f(a). x a,, , x = a, ;, x = a. 2,,, ;, x = a,, x = a. 3,, x = a, ; x = a., 4, x = a, f (a),,, x = a., x = a ,, (a, b).,, f x = a x = b., f (x) = 1/x,, f (0, ), f (0). (, 0), ( 2, 3)
83 5.1 65, 0, f. [a, b]., 5-2 [a, b] ; [a, b]., x = a x = b x = a,, x = b,. ;., f [a, b], 5-2 (1) f (a, b) ; (2) f x = a ;, f (x) ( ), f (a), x a + ; (3) f x = b ;, f (x) ( ), f (b), x b.,,. /,, ,.,,., f (x) = 1 f, x, a., f(x) = f(a). x a x f (x) = 1, f (a) = 1,, 1 = 1. x a, x a., g (x) = x. g g(x) = g(a). x a g (x) = x g (a) = a, x = a. x a x a, x a, ;,, ( A A.4.1 ).,,
84 66 5., x = 0, 1/x, x.,. g (x) = x x, g, x 2 x. x, x ( x ).,,,,,,, ( )., ,. f, f (x) = x sin (1/x). 3.6 ( x > 0 )., x < 0, f., sin (x) x, ( ) 1 f( x) = ( x) sin = ( x) x ( sin ( )) 1 = x sin x ( ) 1 = f(x). x, f, y, f ( < x < 0.3 ). 5-3,. x,, x = 0, 1/x.,,,, x = 0, sin (1/x)., x sin (1/x) ( x ) x = 0, f., x = 0, f x = 0, ( ). g, ( ) 1 x sin x 0, g(x) = x 0, x = 0.
85 5.1 67, x = 0 ( g 0, f ), g (x) = f (x)., g, f x = 0. x = 0. g (0),., 3.6 ( ) 1 g(x) = x sin = 0. x 0 + x 0 + x ( ), 0. 0 ( ) 1 g(x) = x sin = 0. x 0 x 0 x g(x) = g(0) x 0 0., g x = 0,.,., 4. x 1 x 2 3x + 2, x 2 x = 1 2. x = 1, x = 1.., f (x) = ( x 2 3x + 2 ) / (x 2),,, 0, f., x = 2, f., f x = 1,, f, f(x) = f( 1). x 1 x 2 3x + 2 = ( 1)2 3( 1) + 2 = 2. x 1 x 2 ( 1) 2.,, , IVT. f [a, b]., f (a) < 0 f (b) > 0., y = f (x), (a, f (a)) x, (b, f (b)) x, 5-4.
86 , ( ),,, x a b. a b, a b ;., x a b. f [a, b], ; f, 5-5. x x., [a, b]. x x, ; f (a) > 0 f (b) < 0, f [a, b],, [a, b], x,. x f (c) = 0, 5-5 f [a, b],, f (a) < 0 f (b) > 0,, (a, b) c, f (c) = 0. f (a) > 0 f (b) < 0,. A A.4.2.,., p (x) = x 5 + x 4 + 3x + 1 x = 1 x = 2 x.,, p ( [1, 2]);, p (1) = 4 > 0 p (2) = 9 < 0. p (1) p (2), p [1, 2], (1, 2) c p (c) = 0. c p x.. x = cos (x),. y = x y = cos (x)., π/4 x..., x cos (x) = 0, x = cos(x).,, f (x) = x cos (x). c f (c) = 0. f (c) = 0, c cos (c) = 0, c = cos (c), x = cos (x), x = c.,. a b, f (a) f (b). ( ) π/4, a = 0 b = π/2. f (0) f (π/2).
87 5.1 69, f (0) = 0 cos (0) = 0 1 = 1,,, f (π/2) = π/2 cos (π/2) = π/2 0 = π/2,. f ( ),, (0, π/2) c f (c) = 0, x = cos (x).,, (0, π/2). (, π/4,.)., f (a) < 0 f (b) > 0( ),, (a, b) c f (c) = 0., M 0,., f [a, b] ; f (a) < M f (b) > M( ),, (a, b) c f (c) = M., f (x) = 3 x + x 2,, f (x) = 5 f ; 0 2, f (0) = 1 f (2) = ( ),, (0, 2) c f (c) = 5., f (x) = 5., g, g (x) = 3 x + x 2 5. f (x) = 5 c, c g (x) = 0. g (0) < 0 g (2) > 0,,, IVT., p,, c p (c) = 0. (., x 2 + 1, x.),, 4.3.,, p (x), a n x n,, x p(x) a n x n = 1 x p(x) a n x n = 1., x, p (x) a n x n ( 1).,,, 1. x., A, p (A) a n A n., B p (B) a n B n., a n A n a n B n. n,., a n > 0, a n B n a n A n. (
88 70 5 n n,,.), p(a) a n A n a n B n p(b)., p (A) p (B). p, ;, A B c, p (c) = 0., p,,, p, , f, [a, b]. (,.), (a, f (a)),,, (b, f (b)).,,,,.,, [a, b] f x = c, f (c) f [a, b]., x, f (c) f (x)., [a, b] [a, b].,., f x = c, f (c) f [a, b]., [a, b] x, f (c) f (x)., [a, b]., --, -- f [a, b], f [a, b]., [a, b] (, ), , x = c x = d., x = c x = a., x = b, x = c x = d. (, ).,,
89 ;, C, [a, b]., f, (a, b) , f [a, b],.,.,,.. (a, b)., x = c, x = b,. x = b,., b., b b., b, b b.,.,,.,,.,, (a, b), x = c x = d.. [a, b], ,..,, ,.,,.,,
90 72 5 =.., ( ) ( ).,.,,,,, 60 /.,,..,,.,, 10, 0.25.,, /., 10,. 90 /,,.,, ,.,,., ,., 0,, 1. 0., , 2 5., , 3.,,. = ( ) ( ). 2 5, 5 2 = , ( 1) 2 = 3.,,.,,.,. 2 11, 5, = 15,
91 , 0, 12.,,,,.,.,., =.,,,.,,. 0,.,,, 0,,,, ,,,,,,.. t., 2: 00p.m.,, 0., 2: 03p.m.,, t = 180., u t. v t u t u., u t.., t = u t + v t u. t u t,., t = u t v t u.,.., t, f (t)., f (t) = t. v t u u t f (u) f (t) v t u = =. u t u t, u t ( u t )., u t u t, t u, f (t) f (u),,
92 74 5 f (u) f (t) t =. u t u t,, u = t,, 0/0... h = u t., u t, h., u t, h 0., u = t + h, f (t + h) f (t) t =. h 0 h,.., 7,, t = 0., t 15t 2 + 7( 15 )., f (t) = 15t 2 + 7, t., t = h 0 f(t + h) f(t) h (15(t + h) 2 + 7) (15t 2 + 7) =. h 0 h, (t + h) 2 = t 2 + 2th + h 2,, 15t th + 15h t th + 15h 2 = = (30t + 15h). h 0 h h 0 h h 0, h,,., h = 0 t = h 0 (30t + 15h) = 30t., 0, 30 0 = 0 /., t = 1/2, 30 1/2 = 15 /., 30., t 30t,, 30 /., 30 /, , f (t) t. t, t u. y = f (t), (t, f (t)) (u, f (u)), 5-9.
93 f(u) f(t) =, u t v t u., t u, (t, f (t)) (u, f (u)).. u t,,, u t, (t, f (t)). u t,, (t, f (t)) , f x., (x, f (x)) y = f (x).,.,, (x, f (x))., 5-11 (x, f (x)), 5-11
94 76 5,., y = x, (0, 0),.,,, (x, f (x)),,,.,., (x, f (x)).,.,,. x( ) z, (z, f (z))., (x, f (x)) (z, f (z)), 5-13., 5-13 f(z) f(x) z x, z x, x,.,,, f(z) f(x) (x, f(x)) =. z x z x h = z x,,, z x, h 0, f(x + h) f(x) (x, f (x)) =. h 0 h, ,
95 , x., (x, f (x)) x. f, f., f x f.,, f (x) = h 0 f(x + h) f(x) h, f x. x,, x f,, f x..,, y = x., x f,, (x, f (x)),., f(t + h) f(t) t =. h 0 h, f (t) t. f (x), x t, v (t) t, v (t) = f (t).,.. f (x) = x 2, f (x) f f(x + h) f(x) (x + h) 2 x 2 (x) = = h 0 h h 0 h x 2 + 2xh + h 2 x 2 2xh + h 2 = = h 0 h h 0 h = h 0 (2x + h) = 2x., f (x) = x 2 f (x) = 2x., y = x 2 ( x, x 2) 2x., 5-15.
96 x = 1 2, f (x) = 2x. (2 1 2 ), x f (x), f (x + h)., y = f (x), x x + h,, f (x + h) y. h x,, x.,, x x. ( x x, ), x h, f (x) f f(x + x) f(x) (x) =. x 0 x,. (x, y), y = f (x)., x, x. y y, f ( x ).,,, x = x x y = y y. x = x + x, y = y y = f(x ) f(x) = f(x + x) f(x). f (x) f y (x) = x 0 x., x f (x) y., y = f (x) = x 2,, f (x) = 2x., x = 6.,, f (x) f (6) = 2 6 = 12., 6 2 = 36 6, , , , (6.01) , ,.
97 5.2 79,, f (x) y x, x 0., 6,. ( ) 2. x ,, y 12, ( ) , ,, 6,., 12 x = 6. x = 13, f (13), 2 13 = 26., 13 2 = 139; ( ) , , , ( ) , 13., f y (x) = x 0 x., x, y x., x. x, x, dx, x, y., dx dy ;,, y = f (x),, dy dx f (x)., y = x 2, dy dx = 2x., x2 y, f (x) = dy dx = d(x2 ) dx = d dx (x2 ) = 2x., 5.2.3,, t f (t) = 15t 2 + 7,, 30t. f (t), f (t) = 30t. p, p = 15t 2 + 7, dp = 30t., dt x y,., dy dy y x. y = f (x), dx dx f (x).,, dy y, x 0 dx x.,
98 ,, f., m b, f (x) = mx + b. f (x), y = f (x) (x, f (x))., y = mx + b m, y b.,,, x, f (x) m y = mx + b m. f f(x + h) f(x) (m(x + h) + b) (mx + b) (x) = = h 0 h h 0 h mh = h 0 h = m = m. h 0, x, f (x) = m.,., ( ; )., f, f (x) = b,, 0., x, f (x) = 0., f, f,,,.,, f.,, f (x) = x 2,, f (x) = 2x.,. g (x) = 2x, g (x). g, 2, g (x) = 2., f 2,, x, f (x) = 2. y = f (x),, dy dx f (x). y = f (x),, d2 y dx 2 f (x)., y = f (x) = x 2, f (x) = d2 y dx 2 = d2 (x 2 ) dx 2 = d2 dx 2 (x2 ) = 2. f (x) = x 2 ( x) 2. f f., f f, f (x), f (3) (x), d 3 y dx 3 d3 dx 3 (y).
99 f (3) (x),.,,,, f (4) (x) f (x).,, f (2) (x) f (x). f (1) (x) f (x),,, f (0) (x) f (x) ( )., n, f (n) (x) , f (x) = x., x = 0.,., f f(x + h) f(x) x + h x (x) = =. h 0 h h 0 h, x = 0,, 0 x f f(0 + h) f(0) 0 + h 0 h (0) = = = h 0 h h 0 h h 0 h., 4.6,., f (0), 0 f.,,,., 1, 1., f(x + h) f(x) h 0 + h f(x + h) f(x), h 0 h, (, h 0).,,,.,,,.,, f (x) = x,, x = 0 1, , 1 (, 1,, x > 0, f (x) = 1).,, 1 (, x < 0, f (x) = 1)., x = ,
100 82 5,.,,.,,, x,,,,,,.,,.,, ,.,,., f x,, x., 7, sin (x) x. x., ( ).,. f x, f(u) = f(x), u x, 5.1.1,,, h = u x,., u = x+h,, u x, h 0., f(x + h) = f(x). h 0,.,. f x ;, f (x),, f, f(x + h) f(x) h 0 h.,, f (x),,,,., f (x).., ( ) f(x + h) f(x) h. h 0 h,,
101 ( ) f(x + h) f(x) f(x + h) f(x) h = h = f (x) 0 = 0. h 0 h h 0 h h 0,. ( f (x),.), h ( ) f(x + h) f(x) h = (f(x + h) f(x)). h 0 h h 0, (f(x + h) f(x)) = 0. h 0, f (x), (, ) f(x + h) f(x) = 0. h 0, f (x), f(x + h) = f(x) h 0,.,.,,
102 6,.,.,., ; ; ; ; ; ;. 6.1, f (x) = 1/x x. f f(x + h) f(x) (x) =, h 0 h,, 1 f (x) = x + h 1 x. h 0 h, 0 h, 0., 0.,. f (x) = h 0 x (x + h) x(x + h) h h = h 0 hx(x + h). h,, h = 0, f 1 (x) = h 0 x(x + h) = 1 x(x) = 1 x 2.
103 d dx ( ) 1 = 1 x x , f (x) = x, 4.2. f f(x + h) f(x) x + h x (x) = =, h 0 h h 0 h 0. 0 x + h x x + h + x f (x + h) x (x) = = h 0 h x + h + x h 0 h( x + h + x) ;, x, h,, f (x) = h 0, h h( x + h + x) = h 0 d dx ( x) = 1 2 x. 1 x + h + x = 1 x + x = 1 2 x.,, f (x) = x + x 2,,, f f(x + h) f(x) ( x + h + (x + h) 2 ) ( x + x 2 ) (x) = =. h 0 h h 0 h,, f (x) = h 0 x + h x (x + h) 2 x 2 +. h h 0 h ; 1/2 x, x., f (x) = 1 2 x + 2x. x n x, n. f (x) = x n ; f f(x + h) f(x) (x + h) n x n (x) = =. h 0 h h 0 h (x + h) n. ;
104 86 6, (x + h) n = (x + h)(x + h) (x + h). n.,,,. x, n x,, x n. x,, (x + h) n = (x + h)(x + h) (x + h) = x n + h,. h, x,, h (n 1) x,,, hx n 1. h x ( h, x,, h, x, )., n h x,, n hx n 1. nhx n 1., h,, h 2., (x + h) n = (x + h)(x + h) (x + h) = x n + nhx n 1 + h 2 h 2 ( ) h 2, x h., (x + h) n = (x + h)(x + h) (x + h) = x n + nhx n 1 + h 2 ( )., f (x + h) n x n x n + nhx n 1 + h 2 ( ) x n (x) = =. h 0 h h 0 h x n,, h f nhx n 1 + h 2 ( ) (x) = = (nx n 1 + h ( )). h 0 h h 0 h 0, 0( ). nx n 1.,, n, d dx (xn ) = nx n 1, 9.5.1, a, d dx (xa ) = ax a 1,, 1.
105 6.2 ( ) 87., a = 0,, x a 1. 0x 1, ;, C, d (C) = 0. dx, a = 1,, x a x., 1x 0, 1., ; d (x) = 1. dx a = 2, x 2 x 2x 1, 2x.., a = 1, x 1 1 x 2., 1/x 1/x 2,,.,. a = 1 2, x1/2 x 1 2 x 1/2. ( ), x 1/2 x,.,,,, , 2 a = 1. 3 d dx (x1/3 ) = 1 3 x1/3 1 = 1 3 x 2/3. ( ), d dx ( 3 x) = x 2.,. x a x. 6.2 ( ).,,. f, f(x) = 3x7 + x 4 2x x 4/3 23x + 9 6x ,
106 88 6 ( ) x a f,., ;, f f (x). ( A A.6, ) 6.2.1,., x 2 2x,, 7x 2 7 2x, 14x. x 2 2x, 1., x a.,,,., 7x 2, 2, 7 14,, x 14x 1, 14x., 13x 4, 4 13, 52,, x 52x ,,., x 3x 5 2x x + 2?, 1/ x x 1/2,, 3x 5 2x 2 +7x 1/2 +2., 3x 5 15x 4., 2x 2 4x, 7x 1/2 7 2 x 3/2., 2 0, 2.,, +2., ( d 3x 5 2x ) + 2 = d dx x dx (3x5 2x 2 + 7x 1/2 + 2) = 15x 4 4x 7 2 x 3/2., x 3/2 x x, 15x 4 4x x x., x 5/2 x 2 x, x 7/2 x 3 x, ,., ( ),
107 6.2 ( ) 89 h(x) = (x 5 + 2x 1)(3x 8 2x 7 x 4 3x). f (x) = x 5 + 2x 1 g (x) = 3x 8 2x 7 x 4 3x. h f g. f g, f (x) = 5x g (x) = 24x 7 14x 6 4x 3 3., h,. h (x) ( 5x ) ( 24x 7 14x 6 4x 3 3 ). h (x),., f g ( g )., g f.,. ( 1) h(x) = f(x)g(x), h (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x)., h (x) = ( x 5 + 2x 1 ) ( 3x 8 2x 7 x 4 3x ), h f g,., f g f(x) = x 5 + 2x 1 g(x) = 3x 8 2x 7 x 4 3x f (x) = 5x g (x) = 24x 7 14x 6 4x 3 3.,., f (x) g (x), f (x) g (x),. h (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) = (5x 4 + 2)(3x 8 2x 7 x 4 3x) +(x 5 + 2x 1)(24x 7 14x 6 4x 3 3)., h...,, y = x, f (x)., y = ( x 3 + 2x ) (3x + x + 1), dy/dx, u = ( x 3 + 2x ) v = (3x + x + 1).,, u f (x), du/dx f (x); v g (x),,, ( 2) y = uv, dy dx = v du dx + u dv dx.
108 90 6 u = x 3 + 2x v = 3x + x + 1 du dx = 3x2 + 2 dv dx = x. dy dx = v du dx + u dv dx = (3x + ( x + 1)(3x 2 + 2) + (x 3 + 2x) ) 2. x, dy/dx. y = (x 2 + 1)(x 2 + 3x)(x 5 + 2x 4 + 7), ( ) y = uvw, dy dx = du dv dw vw + u w + uv dx dx dx., uvw,, d/dx. ( ),, u = x 2 + 1, v = x 2 + 3x w = x 5 + 2x 4 + 7,, y uvw. du/dx = 2x, dv/dx = 2x + 3 dw/dx = 5x 4 + 8x 3., dy dx = du dv dw vw + u w + uv dx dx dx = (2x)(x 2 + 3x)(x 5 + 2x 4 + 7) + (x 2 + 1)(2x + 3)(x 5 + 2x 4 + 7) +(x 2 + 1)(x 2 + 3x)(5x 4 + 8x 3 ). y,,,..,, x sin (x).., x, ,. h(x) = 2x3 3x + 1 x 5 8x x. f (x) = 2x 3 3x + 1 g (x) = x 5 8x 3 + 2,,
109 6.2 ( ) 91 h f g, h (x) = f (x) /g (x). ( 1) h(x) = f(x) g(x), h (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) (g(x)) 2.,,., f g f(x) = 2x 3 3x + 1 g(x) = x 5 8x f (x) = 6x 2 3 g (x) = 5x 4 24x 2., h (x) = f (x) /g (x), h (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) (g(x)) 2 = (6x2 3)(x 5 8x 3 + 2) (2x 3 3x + 1)(5x 4 24x 2 ) (x 5 8x 3 + 2) 2.,. y = 3x x 8 7, dy/dx,, u = 3x v = 2x 8 7, y = u/v. ( 2) y = u v, du dy v dx = dx u dv dx v 2., u = 3x v = 2x 8 7 du dx = 6x dv dx = 16x7. du dy v dx = dx u dv dx v 2 = (2x8 7)(6x) (3x 2 + 1)(16x 7 ) (2x 8 7) 2., ( ) h (x) = ( x ) 99, h (x). (
110 92 6, x , ).,., h f g,, g (x) = x 2 + 1, f (x) = x 99., x, g, x , f, ( x ) 99, h (x)., h (x) f (g (x)). ( 1.3.), ( 1) h(x) = f(g(x)), h (x) = f (g(x))g (x)..., g., f, g (x), x., f (x) = x 99, f (x) = 99x 98. g (x) = x 2 + 1, g (x) = 2x. 2x., f (x), x, x ( g (x))., f (g (x)) = f ( x ) = 99 ( x ) 98., h (x) = f (g(x))g (x) = 99(x 2 + 1) 98 (2x) = 198x(x 2 + 1) 98.,.. y = ( x ) 99 (, dy/dx. x ), u. y = u 99, u = x , ( 2),, y u, u x, dy dx = dy du du dx. y = u 99 u = x dy du = 99u98, du dx = 2x. dy dx = dy du du dx = 99u98 2x = 198xu 98., x u, dy/dx = 198 ( x ) 98,.. y = x 3 7x, dy/dx u = x 3 7x, y = u. y = u dy du = 1 2 u u = x 3 7x du dx = 3x2 7.
111 6.2 ( ) 93,, dy dx = dy du du dx = 1 2 u (3x2 7) = 3x2 7 2 u., u. u = x 3 7x, dy dx = 3x2 7 2 x 3 7x.,.., x, u;, u y., u x y.,., du., dy/du du/dx, ( ). ( ).,., y = ((x 3 10x) ) 8. dy/dx u = x 3 10x v = u , y = v 8., dy dx = dy dv du dv du dx., y v, v u, u x.,, y = v 8 v = u u = x 3 10x dy dv = 8v7, dv du = 9u8 du dx = 3x2 10. dy dx = dy dv du dv du dx = (8v7 )(9u 8 )(3x 2 10)., u v., u v dy dx = (8v7 )(9u 8 )(3x 2 10) = (8(u ) 7 )(9u 8 )(3x 2 10)., x 3 10x u, 8 9, dy dx = (8(u9 + 22) 7 )(9u 8 )(3x 2 10) = 72((x 3 10x) ) 7 (x 3 10x) 8 (3x 2 10).,., g h, h (x) = g (x),
112 94 6 g (5) = 4 g (5) = 7,, h (5). f (x) = x, h (x) = f (g (x)), h (x) = f (g (x)) g (x). f (x) = x, f (x) = 1/2 x;, x = 5, h (x) = f (g(x))g (x) = h (5) = 1 2 g(5) g (5). 1 2 g(x) g (x). g (5) = 4 g (5) = 7, h (5) = (7) = 7 4. j (x) = g ( x), g. j (25), j (x) = g (f (x)), f (x) = x. j (x) = g (f(x))f (x) = g ( 1 x) 2 x., x = 25, g (5) = 7, j (25) = g ( 1 25) 2 25 = g (5) 1 10 = f f(x) = 3x7 + x 4 2x x 4/3 23x + 9 6x 2. 4 f (x), f. ( ).,. y = f (x), dy/dx. y u = 3x 7 + x 4 2x x 4/3 23x + 9 v = 6x 2 4., du/dx dv/dx., 12x.. u = 3x 7 + x 4 2x x 4/3 23x + 9 v = 6x 2 4 du dx =??? dv dx = 12x. du/dx,., du/dx., u q = 3x 7 r, r r = x 4 2x x 4/3 23x q,
例題. y = x x = 0 y = x 0 li 0 li 0 li = y = x x = 0 = f x) x = a x = a 2
y = x x = 0 y 2 0 2 x Figure : y = x f x) x = a f x) x = a f a) dy dx x=a f a) x a f x) f a) x a f a + ) f a) f x) x = a f x) x = a y = x x = 0 例題. y = x x = 0 y = x 0 li 0 li 0 li = y = x x = 0 = f x)
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On Socialistic Society 论 社 会 主 义 社 会 中 文 版 Chinese Version 金 宁 Ning JIN Copyright 2009 by Ning JIN ( 金 宁 ). All right reserved. No part of this book may be used or reproduced, stored in a retrieval system,
數學教育學習領域
高 中 数 学 课 程 补 充 资 料 013/14 学 年 就 读 中 四 学 生 适 用 013 ( 空 白 页 ) 目 录 页 数 1. 概 论 1 1.1 背 景 1 1. 关 注 事 项 及 考 虑 因 素 1 1.3 短 期 方 案 摘 要 1 1.4 评 核 设 计 概 要. 修 订 后 的 高 中 数 学 课 程 学 习 内 容 3.1 修 订 后 的 必 修 部 分 学 习 内 容
這 是 醫 生 在 小 兒 的 初 步 診 斷 的 判 語 這 樣 的 一 段 話, 令 我 望 子 成 龍 的 美 夢 碎 了 醣 豆 豆 大 夢 想 十 一 年 前 的 資 訊 沒 有 今 天 的 發 達, 互 聯 網 還 是 一 個 很 奢 侈 的 東 西, 加 上 黏 多 醣 症 這 個 罕
這 是 醫 生 在 小 兒 的 初 步 診 斷 的 判 語 這 樣 的 一 段 話, 令 我 望 子 成 龍 的 美 夢 碎 了 醣 豆 豆 大 夢 想 十 一 年 前 的 資 訊 沒 有 今 天 的 發 達, 互 聯 網 還 是 一 個 很 奢 侈 的 東 西, 加 上 黏 多 醣 症 這 個 罕 有 的 遺 傳 病, 醫 生 對 於 它 的 認 識 也 不 太 深, 何 況 我 這 個 平 凡
怪物來敲門
怪物來敲門 午夜降臨 怪物現身 一如往常 康納在怪物出現時醒了過來 他做過惡夢 嗯 可不是 隨便一個惡夢 而是 那個惡夢 他近來常做那個惡夢 夢裡漆黑陰暗 狂風大作 有驚心的尖叫 聲 還有一雙怎麼努力都握不住的雙手 夢境的盡頭總是 走開 康納對著房內的黑暗低語 他試著將惡夢推開 不願讓它尾隨自己來到夢醒的真實世界 現在就走開 他瞄一眼媽媽之前放在他床邊的鬧鐘 12 07 午夜又過了 七分 這時間對於平常上學日來說已經很晚了
流離所愛(完結篇)
作 者 Catabell 筆 名 琉 璃, 有 著 ㆒ 切 兒 矛 盾 的 特 質 : 任 性 好 奇 懶 惰 聰 穎 驕 恣 ; 感 情 細 膩 甚 略 嫌 豐 富 倔 強 但 易 受 傷 害 喜 歡 孤 獨 卻 害 怕 寂 寞 我 行 我 素 但 依 賴 溫 柔 卻 又 剛 強 於 香 港 文 大 學 主 修 英 文,2000 畢 業, 現 職 編 輯, 但 決 以 談 戀 愛 為 終 身 職
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CIP ) / :,2006.2 ISBN 7-80702 - 113-6..........G.206 CIP (2006)080133 :8501168mm 1/ 32 : 120 :2000 2006 3 1 : 5000 ISBN 7-80702 - 113-6/ G206 : 348.00 (16 ) ,?, :,,,,,,,,,!,?,,,,,,?,, ,,,,,,,,,,,,,,,!,!,!
TangBeilee_EBOOK-29MAY12
成 功 企 业 的 销 售 和 营 销 秘 笈 唐 贝 利 2 唐 贝 利 2012 No part of this book may be reproduced in any form or by any electronic or mechanical means including information storage and retrieval systems, without permission
3.2 導 函 數 其 切 線 (tangent line) 為 通 過 P, 且 其 斜 率 為 m 的 直 線, 即 y = f(a) + m(x a) (3) 其 法 線 (normal line) 為 通 過 P 且 與 切 線 垂 直 的 直 線, 即 y = f(a) 1 (x a) m
第 3 章 微 分 (Differentiation) 目 錄 3.1 切 線................................... 25 3.2 導 函 數.................................. 26 3.3 微 分 公 式................................. 28 3.4 連 鎖 律..................................
标题
第八章 微积分的核心 导数与微分 内容提要:17 世纪初期,笛 卡 儿 提 出 变 量 和 函 数 的 概 念 由 此,客 观 世 界 的 运 动 变 化过程可以用数学来描述 稍后,牛顿和莱布尼兹基于直观的无穷小量,分别独立地建立 了微积分学 到了 19 世纪,柯西和维尔斯特 拉 斯 建 立 了 极 限 理 论,康 托 尔 等 建 立 了 严 格 的实数理论,使微积分学得以严密化 微积分是人类智慧的伟大结晶,极大地推动了数学
lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x),
2016 11 14 1 15 lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x), 0 0. 2 15 1 f(x) g(x) (1). lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0; (2). a g (x) f (x) (3). lim ( ). x a g (x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). 3 15
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微积分 授课讲义
2018 10 aiwanjun@sjtu.edu.cn 1201 / 18:00-20:20 213 14:00-17:00 I II Taylor : , n R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) R; x, x y ; δ( ) ; ; ; ; ; ( ) ; ( / ) ; ; Ů(P 1,δ) P 1 U(P 0,δ) P 0 Ω P 1: 1.1 ( ). Ω
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在 上 述 物 理 模 型 中 ( 三 隻 猴 子 的 重 量 都 一 樣 ), 考 慮 底 下 四 個 問 題 : () 當 三 股 力 量 處 於 平 衡 狀 態, 而 且 F 點 處 於 ABC 的 內 部 時, 利 用 力 的 向 量 和 為 零 的 觀 念, 求 角 度 AFB, BFC,
許 教 授 講 故 事 許 志 農 / 國 立 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 在 數 學 教 學 中, 有 這 樣 一 道 數 學 應 用 問 題 : 在 哪 裡 建 學 校, 可 使 附 近 的 三 個 村 子 A, 與 C 的 三 位 學 生 到 學 校 所 走 路 程 的 和 最 小? 此 問 題 實 質 為 : 給 平 面 上 A, B, C 三 點, 試 尋 求 一 點 F, 使 距
CIP / 005 ISBN X Ⅰ Ⅱ Ⅲ - - Ⅳ G CIP ISBN X/G http / /cbs pku edu cn pku edu
CIP / 005 ISBN 7-30-08496-X Ⅰ Ⅱ Ⅲ - - Ⅳ G634 603 CIP 004 353 ISBN 7-30-08496-X/G 380 0087 http / /cbs pku edu cn 67505 58874083 67656 xxjs@pup pku edu cn 675490 787 09 6 4 75 383 005 005 9 00 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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EuMath (/008 來 自 身 邊 的 四 個 小 問 題 胡 奕 偉 麗 水 學 院 數 學 系 這 是 一 組 來 自 筆 者 身 邊 的 問 題 問 題 平 凡, 問 題 簡 單, 問 題 3 略 見 抽 象, 問 題 4 則 源 遠 流 長, 被 稱 為 亞 里 斯 多 德 旋 輪 悖 論 平 凡 的 問 題 呼 喚 靈 活 的 思 維, 處 理 方 法 要 創 新 ; 貌 似 簡 單
初 啼 八 集 2006 至 2007 年 度 出 地 版 : 伯 特 利 中 學 址 : 元 朗 錦 繡 花 園 F 段 第 四 街 11 號 電 話 :2471 2622 傳 真 :2471 5171 製 作 : 同 理 心 創 念 有 限 公 司 出 版 日 期 :2007 年 7 月 序 初 啼, 是 由 本 校 中 文 科 和 活 力 組 合 辦 的 文 集, 提 供 給 學 生 發 表
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从 线 性 方 程 谈 起 ( 清 华 大 学 数 学 科 学 系 章 梅 荣 教 授 ) 烟 台 大 学 与 北 京 大 学 和 清 华 大 学 有 着 密 切 的 联 系, 我 在 北 大 读 书 时 的 不 少 同 学 朋 友 还 在 烟 台 大 学 工 作 我 应 邀 来 烟 台 大 学 作 这 个 演 讲, 受 到 了 朋 友 们 的 热 情 接 待, 我 感 到 非 常 高 兴, 也 深
我 的 宗 族 渊 源 和 我 的 生 平 周 仲 羲 著
我 的 宗 族 渊 源 和 我 的 生 平 周 仲 羲 著 穆 罕 默 德 欧 思 曼 周 仲 羲 著 My Life and Ancestry (Chinese) By Mohammad Osman Chou Chung Sai First Published in UK in 2011 Present edition (UK) : 2014 Islam International Publications
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99 年 度 行 車 便 不 99 年 11 30 年 度 99 年 12 10 車 便 不 年 年 1 車 便 車 車 2 力 便 省 力 降 便 度 降 離 3 CNS407454325433 不 便 不 不 來 數 來 良 不 力 1 歷 不 料 不 料 2 不 3 料 力 力 1 不 2 異 3 4 不 不 良 料 5 不 輪 連 力 連 力 不 良 不 不 不 不 1 量 數 1.2 1.5
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天津一中网校 同步教学 年级 高三 科目 数学 理 教师 贾鲁津 -6 年第一学期第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 第 页 -6 -6 : ; ; -6 : : y > -6 ε M : y y -6 C C C C C C [ ] [ ] ± ± g g g 6 -6 c c c [ ] c [ ] c [ ] c c N* c y iii y ] [ 7 -6 [
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图 书 在 版 编 目 (CIP) 数 据 临 床 肿 瘤 学 : 全 2 册 /( 美 ) 尼 德 胡 贝 尔 (Niederhuber,J.E.) 等 原 著 ; 孙 燕 译. -- 北 京 : 人 民 军 医 出 版 社, ISBN Ⅰ.1 临
Abeloff s Clinical Oncology 临 床 肿 瘤 学 ( 第 5 版 ) 原 著 者 John E. Niederhuber James O. Armitage James H. Doroshow Michael B. Kastan Joel E. Tepper 主 译 孙 燕 ( 下 卷 ) 图 书 在 版 编 目 (CIP) 数 据 临 床 肿 瘤 学 : 全 2 册 /(
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1 of 5 7/18/2010 2:35 PM 联 系 管 理 员 收 藏 本 站 中 国 科 学 院 自 然 科 学 史 研 究 所 首 页 期 刊 介 绍 创 刊 寄 语 编 委 成 员 往 期 下 载 论 坛 网 络 资 源 12th ICHSC [ 高 级 ] 现 在 位 置 : 首 页 > 期 刊 文 章 小 中 大 打 印 关 闭 窗 口 PDF 版 查 看 桃 李 不 言, 下 自
声 明 本 公 司 全 体 董 事 监 事 高 级 管 理 人 员 承 诺 股 票 发 行 方 案 不 存 在 虚 假 记 载 误 导 性 陈 述 或 重 大 遗 漏, 并 对 其 真 实 性 准 确 性 和 完 整 性 承 担 个 别 和 连 带 的 法 律 责 任 根 据 证 券 法 的 规 定
大 医 科 技 股 份 有 限 公 司 股 票 发 行 方 案 ( 修 订 ) ( 住 所 : 北 京 市 海 淀 区 苏 州 街 18 号 院 长 远 天 地 大 厦 4 号 楼 1707 室 ) 主 办 券 商 国 都 证 券 股 份 有 限 公 司 ( 住 所 : 北 京 市 东 城 区 东 直 门 南 大 街 3 号 国 华 投 资 大 厦 9 10 层 ) 二 〇 一 六 年 八 月 I
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写 作 概 说 青 萍 主 编 图 书 在 版 编 目 (CIP) 数 据 写 作 概 说 / 青 萍 主 编. 成 都 : 电 子 科 技 大 学 出 版 社,2004.9 ISBN 7-81094-641-2 Ⅰ 写... Ⅱ 青... Ⅲ. 汉 语 写 作 高 等 学 校 教 材 Ⅳ.H15 中 国 版 本 图 书 馆 CIP 数 据 核 字 (2004) 第 094721 号 写 作 概 说
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第 一 章 數 與 坐 標 系 大 學 聯 考 試 題 與 推 薦 甄 選 試 題 第 一 類 大 學 入 學 甄 試 試 題 評 量 1. 下 列 何 者 是 2 100 除 以 10 的 餘 數? (1) 0 (2) 2 (3) 4 (4) 6 (5) 8 88 年 2. 一 個 正 三 角 形 的 面 積 為 36, 今 截 去 三 個 角 ( 如 右 圖 ), 使 成 為 正 六 邊 形,
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9 考 研 数 学 试 题 详 解 与 评 析 水 木 艾 迪 考 研 辅 导 班 教 务 电 话 :6755\87885 9 年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 数 学 二 试 题 一 选 择 题 :~8 小 题 每 小 题 分 共 分 下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 把 所 选 项 前 的 字 母 填 在 题 后 的
d y dy P x Q x y 0. dx dx d d P x Q x C C 1y1 y dx dx d d P x Q x C 1y 1 dx dx d d P x Q x C y 0. dx dx d x 1dx F. ox1 dt dt d x1 1dx1 x 0 1 F 1 dt dt d x 1dx x 0 F dt dt d y 1dy y F 0 1 F1 y x1 x. dt
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95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 趨 勢 分 析 95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 解 析 大 公 開 4 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 趨 勢 分 析 1 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 解 析 大 公 開 13 發 行 人 : 李 枝 昌 執 行 編 輯 : 蔡 孟 秀 張 龍 慧 美 術 編 輯 : 蔡 雅 真 發 行 所 : 康 熹 文 化 事 業 股
虎克定律實驗 楊勝斐
虎 克 定 律 實 驗 楊 勝 斐 1. 目 地 : 測 試 彈 簧 的 虎 克 定 律, 並 從 彈 簧 作 簡 諧 運 動 的 特 性, 以 求 其 彈 性 係 數. 儀 器 : 彈 簧 一 條, 砝 碼 一 組, 虎 克 定 律 儀 一 組, 碼 錶 一 個, 米 尺 一 支 圖 1. 虎 克 定 律 儀 器 全 圖 與 零 件 圖 1 圖. 彈 簧 受 外 力 產 生 反 彈 力 與 變 形
标题
给 力 数 学 丛 书 主 编 王 国 江 陆 建 国 高 考 数 学 应 用 题 解 题 策 略 分 析 : 历 届 应 用 题 题 型 大 全 + 高 考 数 学 满 分 必 备 本 书 主 编 任 升 录 副 主 编 王 海 平 王 国 江 编 者 ( 排 名 不 分 选 后 ) 王 国 江 王 建 宏 王 海 平 任 升 录 曹 卯 林 彭 家 麒 薛 立 新 图 书 在 版 编 目 (CIP)
Microsoft Word - 中三選科指南 2014 subject
必 修 科 目 簡 介 < < < 1. 中 文 > > > 本 科 的 公 開 評 核 以 課 程 發 展 議 會 與 香 港 考 試 及 評 核 局 聯 合 編 訂 的 中 國 語 文 科 課 程 及 評 估 指 引 ( 中 四 至 中 六 ) 為 根 據 目 標 本 科 主 要 評 核 考 生 : (1) 讀 寫 聽 說 能 力 思 維 能 力 審 美 能 力 和 自 學 能 力 ; (2)
文憑試物理科校本評核樣本課業
香 港 中 學 文 憑 考 試 物 理 及 組 合 科 學 ( 物 理 ) 校 本 評 核 樣 本 作 業 ( 實 驗 及 探 究 研 習 ) 本 局 歡 迎 教 師 採 用 樣 本 作 業 作 教 育 及 研 究 等 非 牟 利 用 途, 但 請 列 明 出 處 香 港 考 試 及 評 核 局 保 留 版 權 2010 Hong Kong Examinations and Assessment Authority
證 明 : 令 φ(x f(x, ydy, 則 φ(x + x φ(x x f x (ξ, ydy f x (ξ, y f x (x, y dy f x (x, ydy f(x + x, y f(x, y d dy f x (x, ydy x f x (x, ydy, ξ ξ(y 介 於 x, x
微 分 與 積 分 的 交 換 積 分 設 f 在 [a, b] [, d] 上 連 續, 問 d dx f(x, y? f(x, ydy x 首 先 (1 式 兩 邊 必 須 有 意 義 f(x, ydy 必 須 對 x 可 導 若 f 及 x f(x, ydy 積 分 必 須 存 在 x f 在 [a, b] [, d] 上 連 續, 則 ( 及 (3 式 成 立, 下 面 的 定 理 告 訴
4. 5. 6. 17(1)(6)(e) 2
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2007 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 重 庆 卷 ) 文 综 试 卷 第 一 部 分 本 部 分 共 35 题, 每 题 4 分, 共 140 分 在 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中, 只 有 一 项 最 符 合 题 目 的 要 求 的 读 图 1, 回 答 1-3 题 1. 某 两 洲 面 积 之 和 与 某 大 洋 面 积 十 分 接 近, 它 们 是
最新监狱管理执法全书（二百零五）
.............................. I ........................... II ................................. III 1996 1994 5 16 1 2 1997 12 29 84 1996 1994 5 16
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2010 2010............... 1 1 2010...1 2 2010...5 3 2010...6 4 2010...7 5 2010...8 6 2010...9 7 2010 500...10 8 2010...20 9 2010...50 2010.........52 1 2010...52 2 2010...55 I 3 2010...56 4 2010...57 5
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编后记
鄂 新 登 字 01 号 图 书 在 版 编 目 渊 CIP 冤 数 据 五 峰 土 家 族 自 治 县 文 艺 丛 书 窑 土 家 族 研 究 / 尹 杰 主 编 要 武 汉 湖 北 人 民 出 版 社 袁 2004.10 ISBN7-216-04085-6 Ⅰ. 五 噎. Ⅱ. 五 噎. Ⅲ.1 文 艺 要 作 品 综 合 集 要 五 峰 土 家 族 自 治 县 2 文 学 理 论 要 研 究
基础班讲义
年 考 研 数 学 基 础 班 讲 义 高 等 数 学 第 一 章 函 数 极 限 连 续 一 函 数 函 数 的 概 念 : 函 数 的 性 态 : 单 调 性 奇 偶 性 周 期 性 有 界 性 有 界 性 : 定 义 : M >, I, M ; 复 合 函 数 与 反 函 数 函 数 的 复 合, 求 反 函 数 4 基 本 的 初 等 函 数 与 初 等 函 数 基 本 初 等 函 数 :
(i) (ii) 97/99/M
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封面
高 中 数 学 教 师 备 课 联 盟 ( 群 刊 ) 4503 卷 首 语 教 师 要 做 师, 不 要 做 匠 叶 澜 创 新 现 在 是 一 个 非 常 流 行 的 名 词, 什 么 人 都 可 以 说, 哪 里 都 在 这 么 说. 对 于 教 育 来 讲, 创 新 创 造 创 生, 其 实 都 跟 人 的 生 命 有 关. 人 作 为 一 个 生 命 体, 要 生 存, 要 发 展, 就
: ( ) : : / : ISBN 7-5017 - 6110-3/ F5112 : 5. 00 : 2006 2 1 CIP (2006) 039755
: ( ) : : / : ISBN 7-5017 - 6110-3/ F5112 : 5. 00 : 2006 2 1 CIP (2006) 039755 1 2 9 16 20 22 25 30 38 41 47 56 61 66 70 75 82 1 7 90 95 100 107 115 121 : 128 134 139 150 2 , 1,,,,,,, :, 2001 11 23,, 8,,,,
名人养生.doc
( 20 010010) 787 1092 1/32 498.50 4 980 2004 9 1 2004 9 1 1 1 000 ISBN 7-204-05940-9/R 019 1880.00 ( 20.00 ) I...1...3...4...6... 11...14...18...22...26...29...31...38...45...49...56...57...59...61...67
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( 20 010010) 787 1092 1/32 498.50 4 980 2004 9 1 2004 9 1 1 1 000 ISBN 7-204-05940-9/R 019 1880.00 ( 20.00 ) ...1...9...17...25...34...41...49...54...55...55...57...64...65...67...68...69...69...70...71
第 ９ 卷 江 南 大 学 学 报 人 文 社 会 科 学 版 Ｚ 第 ２ 期 掌握 是指在 表 层 知 识 教 学 过 程 中 学 生 对 表 层 知 识 的 掌 想 方法有所悟 有所体会 ５ 数学思想 方法教学是循环往 握 学生掌握 了 一 定 量 的 数 学 表 层 知 识 是 学 生 能 够
江南大学学报 人文社会科学版 第９卷 Ｚ第２期 ２０１０ 年 １２ 月 犑 狅狌 狉狀犪 犾狅 犳犑 犻 犪狀犵狀犪狀犝狀 犻 狏 犲 狉 狊 犻 狋 犎狌犿犪狀 犻 狋 犻 犲 狊牔 犛狅 犮 犻 犪 犾犛 犮 犻 犲狀犮 犲 狊 狔 Ｖｏ ｌ ９ Ｚ２ Ｄｅｃ ２０１０ 数学教学 初中数学教学研究 雍兴智 南部县四龙乡小学 四川 南部 ６３７３００ 不论我们选教什么 学 科 务 必 使 学 生
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26 13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 1 18 1. xy D D = {(x, y) y 2 x 4 y 2,y } x + y2 dxdy D 2 y O 4 x 2. xyz D D = {(x, y, z) x 1, y x 2, z 1, y+ z x} D 3. [, 1] [, 1] (, ) 2 f (1)
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/ : : : / : ISBN 7-81055 - 930-7 / F 313 : 5. 00 : 2006 4 1 CIP ( 2006) 045879 ;, ;, ( ), :,, :, ;, ; 1 , ; :,, :,,,??,? ;,?,??,? 2 ? ;,,,! ;, ;,, ;,,, : ;,, 3 ?,,,,,,, ;,, 4 , ;, ;!, ;,, 5 , :, :, - :?
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目 录 工 作 职 责 广 西 医 科 大 学 教 务 处 工 作 职 责 3 广 西 医 科 大 学 教 学 质 量 与 教 育 研 究 中 心 工 作 职 责 8 教 学 组 织 管 理 广 西 医 科 大 学 教 学 委 员 会 章 程 13 广 西 医 科 大 学 十 二 五 专 业 建 设 规 划 16 广 西 医 科 大 学 十 二 五 课 程 建 设 规 划 20 广 西 医 科 大
要改变我们的文化 仅说我们是维护生命运动倡导者是不够的 我们必须 解释为什么我们是维护生命运动的倡导者 这本书恰恰是极佳的资源 弗兰克 帕沃 为了生活 教会的教牧主席 全国维护生命宗教理事 会全国总监 一个深思熟虑且彻底的分析 为什么保护所有人的生命不仅是正确的 立场 而且也是我们作为一个社会唯一应
兰迪奥尔康对 维护生命 反对堕胎 立场的简洁而全面的介绍对无处不在 敞开心扉 却往往张口结舌 的维护生命运动倡导者来说 是一个非常 宝贵的资源 弗雷德 马太 格林 专栏作家 评论员 以及 真正的选择 倾听女性 寻找人工流产的替代方式 的作者 这本引人注目的书集粉碎了老一套的模式 这将有助于医治美国最紧迫的 内部冲突造成的创伤 但以理 拉品 走向传统 犹太人和基督徒的国家联盟 主席 作者和电台脱口秀主持人
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: ( ) ( ) : () ( ) ( ) ( CIP ) /,. - :,2004. 4 ISBN 7-81100 - 114-4... - -. G861. 1 CIP (2004) 020066 100084 8501168 1/ 32 6 2004 4 1 1 6000 ISBN 7-81100 - 114-4/ G105 13. 00 ( ) , 2002 8,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
新 法 评 述 1 关 于 移 动 游 戏 出 版 服 务 管 理 的 通 知 评 述 ( 作 者 : 陈 容 张 艳 冰 ) 2016 年 6 月 2 日, 国 家 新 闻 出 版 广 播 电 影 电 视 总 局 ( 以 下 简 称 广 电 总 局 ) 发 布 关 于 移 动 游 戏 出 版 服
2016 年 第 6 期 ( 总 第 111 期 ) 新 法 评 述 1 关 于 移 动 游 戏 出 版 服 务 管 理 的 通 知 评 述 2 汇 发 [2016]16 号 文 进 一 步 推 进 资 本 项 目 结 汇 管 理 的 改 革 3 婴 幼 儿 配 方 乳 粉 产 品 配 方 注 册 管 理 办 法 评 述 新 法 评 述 1 关 于 移 动 游 戏 出 版 服 务 管 理 的 通 知
数 学 高 分 的 展 望 一 管 理 类 联 考 分 析 第 一 篇 大 纲 解 析 篇 编 写 : 孙 华 明 1 综 合 能 力 考 试 时 间 :014 年 1 月 4 日 上 午 8:30~11:30 分 值 分 配 : 数 学 :75 分 逻 辑 :60 分 作 文 :65 分 ; 总
目 录 数 学 高 分 的 展 望... 1 第 一 篇 大 纲 解 析 篇... 1 一 管 理 类 联 考 分 析... 1 二 最 新 大 纲 解 析... 1 三 考 前 复 习 资 料 及 方 法... 第 二 篇 总 结 篇... 4 1 应 用 题 考 点 总 结 与 技 巧 归 纳... 4 代 数 模 块 题 型 归 纳 及 考 点 总 结... 9 3 数 列 模 块 题 型 归
一、單選題 (50題 每題1分 共50分)
國 立 基 隆 高 級 中 學 97 年 度 第 學 期 第 一 次 期 中 考 二 年 級 生 物 試 題 卷 請 用 電 腻 卡 作 答 命 題 教 師 : 周 以 欣 一 單 選 題 : 每 題 分 共 54 分 0. 從 左 側 頭 頸 胸 及 腹 部 下 肢 來 的 淋 巴 最 先 匯 入 下 列 何 處? (A) 胸 管 (B) 右 淋 巴 總 管 (C) 左 鎖 骨 下 靜 脈 (D)
32 數 學 傳 播 3 卷 3 期 民 95 年 9 月 對 於 微 分 運 算 來 講, 我 們 有 如 下 的 公 式 ( 寫 成 導 數 形 式, 假 設 函 數 都 是 可 微 的 ): (1) ( u(x) + v(x) ) = u (x) + v (x); (2) ( u(x) v(x
數 學 傳 播 3 卷 3 期, pp. 31-41 微 積 分 五 講 一 一 第 三 講 微 積 分 的 各 種 對 立 龔 昇 張 德 健 一. 微 分 與 積 分 的 公 式 及 定 理 的 對 應 在 上 一 講 中, 根 據 微 分 與 積 分 是 微 積 分 這 門 學 科 中 的 主 要 對 立 運 算 的 觀 點, 闡 述 了 微 積 分 這 門 學 科 的 內 容 是 由 三 部
1 10 L O G O 2 340 2 λ = 3 = 17. 10 = 17. 20 10 g g 2 1 M 2 r1 = ( ) M r 1 2 2 M 2 r1 2 1 2 g2 g1 g1 g1 M r 81 3 7 1 = ( ) = (. ) 6 1 2 1 6 F = f m M 2 ( 1) r F mg f m M 1 1 = 1 = 2 ( 2) R1 F
天主教永年高級中學綜合高中課程手冊目錄
天 主 教 永 年 高 級 中 學 綜 合 高 中 課 程 手 冊 目 錄 壹 學 校 背 景. 貳 教 育 理 念 與 教 育 目 標. 3 一 規 劃 理 念...3 二 教 育 目 標...3 參 畢 業 要 求. 5 一 總 學 分 數...5 二 必 選 修 學 分 數...5 三 必 須 參 加 活 動...9 四 成 績 評 量 方 式...9 肆 課 程 概 述.. 9 一 課 程
婴幼儿护理（四）.doc
I...1 &...6...10 5...15...18...21...25...27...29...33...37...38...39 9...40...48...53...57...57 3...58 II...60...61...62...67...70...71...71...72...75...79...80...81...85...86...87...88 20...89...93...94...96...98...99
6CO2 6H 2O C6H 2O6 6O2 = = n i= P X i n H X - P X logp X i= i n X X X P i P 0 i l n i n n P i= i H X = - p log P n i= i i i + H X - P X logp X dx - 2 2 2 2 3 2 4 2 d( Q) d( Q) > 0 = 0 di di d(
二O一四年大华府拖拉机游戏锦标赛规则
二 O 一 四 年 大 华 府 拖 拉 机 游 戏 锦 标 赛 规 则 第 一 章 总 则 1.1 该 规 则 为 华 盛 顿 地 区 拖 拉 机 游 戏 比 赛 专 用 规 则 为 了 保 证 比 赛 的 公 平 性 和 娱 乐 性, 请 牌 手 自 觉 遵 守 规 则 并 服 从 裁 判 组 裁 决 如 有 违 规, 轻 则 警 告 / 罚 分 / 降 级 ; 重 则 判 取 消 参 赛 资 格
International Council of Toy Industries’
ICTI 专 业 辅 导 老 师 : 古 爱 平 ICTI CARE Process Audit Protocol Handbook 国 际 玩 具 工 业 理 事 会 " 关 爱 " 程 序 审 核 规 章 手 册 2013 Edition Formulated by Translated by Published by ICTI CARE Foundation Asia Limited (ICFAL)
Microsoft Word - Sears Guidebook _Chinese_ _8.24.05_.doc
公 司 采 购 准 则 指 南 Sears Buying Policy Guidebook Version 2 1 2002 年 6 月 Sears 公 司 各 供 应 商 及 生 产 厂 家 : 2001 年 1 月,Sears 公 司 Roebuck 公 司 和 Sears 公 司 加 拿 大 公 司 修 订 了 Sears 公 司 采 购 准 则, 在 工 作 时 间 工 资 支 付 及 禁
(1) (2) (3) 1. (1) 2
0386 71.32% 14A 1 (1) (2) (3) 1. (1) 2 (a) (b) (i) (ii) (iii) 3 (iv) (a) (b) (c) (d) 6% 4 2013 3 26 [2013]624 10 5 2013 6 28 [2013]1246 2015 3 [2015]351 0.2 6 [2015]748 180C 7 * * 8 14A (2) 417,800,000
2005.doc ( 2) (x 1) x 20 8 x x 2 (k 1) x 6=0 2 k 21 8 O AB CD P AC DB 1 PAC PDB 2 AC DB S PAC =4 S PDB A O D C P B AB 0.
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i 概 率 统 计 讲 义 原 著 : 何 书 元 课 件 制 作 : 李 东 风 2015 年 秋 季 学 期 ii 目 录 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 3 1.1 试 验 与 事 件............................ 3 1.2 古 典 概 型 与 几 何 概 型....................... 7 1.2.1 古 典 概 型.........................
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(CIP) 1000 /. :, 2005 ISBN 7-5375 - 3326-1.... R169.1-44 R715.3-44 CIP (2005) 152955 / / 330 / 050061 / / / / / 880 1230 1/ 32 / 15 / / / / 370 2006 1
1000 (CIP) 1000 /. :, 2005 ISBN 7-5375 - 3326-1.... R169.1-44 R715.3-44 CIP (2005) 152955 / / 330 / 050061 / / / / / 880 1230 1/ 32 / 15 / / / / 370 2006 1 1 2006 1 1 24.80 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1000,,,,,,,,
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课 程 质 量 标 准 汇 编 ( 数 学 学 院 2010) 教 务 处 编 印 PDF 文 件 使 用 "pdffactory Pro" 试 用 版 本 创 建 www.fineprint.cn 目 录 高 等 代 数 方 法 选 讲 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 1 数 学 分 析 方 法 选 讲 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 7 数 学 分 析 课 程 简
2007 GRE Math-Sub Nov 3, 2007 Test time: 170 minutes
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身 边 的 化 学 康 娟 等 编 著 中 国 林 业 出 版 社 身 边 的 化 学 编 委 会 主 编 康 娟 编 委 赵 正 明 杜 建 成 陈 赞 孙 力 高 英 丽 张 洪 伟 陶 艺 军 孙 武 图 书 在 版 编 目 (CIP) 数 据 身 边 的 化 学 / 康 娟 等 主 编. 北 京 : 中 国 林 业 出 版 社,2002.4 ISBN 7-5038-3056-2 I. 身 II.
:,,,, ( CIP ) /,. :, ISBN CIP ( 2001) : : 127, : : : ht t p: / / www. nwpup. com : :
:,,,, ( CIP ) /,. :, 2001. 8 ISBN 7 5612 1363 8............. 0342 CIP ( 2001) 027392 : : 127, : 710072 : 029-8493844 : ht t p: / / www. nwpup. com : : 787mm1 092mm : 19. 75 : 480 : 2001 8 1 2001 8 1 :
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數 學 傳 播 35 卷 3 期, pp. 11-21 數 學 的 詩 篇 一 一 Fourier 分 析 林 琦 焜 深 入 研 究 大 自 然 是 所 有 數 學 發 現 最 富 饒 的 來 源, 不 僅 對 於 決 定 良 好 的 目 標 有 好 處, 也 有 助 於 排 除 含 糊 的 問 題 無 用 的 計 算 這 是 建 立 分 析 學 本 身 的 手 段, 也 協 助 我 們 發 現
精 神 與 自 然 : 楊 慈 湖 心 學 研 究 趙 燦 鵬 哲 學 博 士 嶺 南 大 學 二 零 零 五 年
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幻灯片 1
白 色 花 诗 集 人 民 文 学 出 版 社 1981 年 出 版 共 收 七 月 派 诗 人 阿 垅 鲁 藜 孙 钿 彭 燕 郊 方 然 冀 汸 钟 瑄 郑 思 曾 卓 杜 谷 绿 原 胡 征 芦 甸 徐 放 牛 汉 鲁 煤 化 铁 朱 健 朱 谷 怀 罗 洛 等 二 十 人 的 诗 作 一 百 十 九 首 集 名 出 自 阿 垅 未 入 选 的 一 首 诗 中 要 开 作 一 枝 白 色 花
产 业 截 至 2015 年 底, 立 恒 工 业 广 场 竣 工 厂 房 面 积 为 25.11 万 平 方 米, 其 中 已 销 售 面 积 15.30 万 平 方 米, 占 竣 工 厂 房 面 积 的 60.93%, 已 租 赁 面 积 9.73 万 平 方 米, 占 竣 工 厂 房 面 积
关 于 合 肥 工 投 工 业 科 技 发 展 有 限 公 司 面 向 合 格 投 资 者 公 开 发 行 公 司 债 券 上 市 预 审 核 反 馈 意 见 的 回 复 上 海 证 券 交 易 所 : 合 肥 工 投 工 业 科 技 发 展 有 限 公 司 ( 以 下 简 称 工 投 科 技 发 行 人 公 司 ) 及 海 通 证 券 股 份 有 限 公 司 ( 以 下 简 称 海 通 证 券 主
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目 錄 壹 緒 論... 2 貳 明 時 代 背 景 一 明 代 禮 教 之 於 女 性? 母 德 婦 德... 2 二 明 代 婦 女 之 於 士 人? 經 濟 支 柱... 4 參 歸 有 光 一 仕 途... 7 二 家 庭... 7 肆 歸 有 光 文 學 裡 的 女 性 比 較 一 < 項
淺 談 歸 有 光 的 女 性 側 寫 以 項 籍 軒 志 葬 寒 花 志 及 先 妣 事 略 世 美 堂 後 記 為 例 指 導 教 授 : 陳 慶 元 撰 寫 學 生 : 亷 千 儀 目 錄 壹 緒 論... 2 貳 明 時 代 背 景 一 明 代 禮 教 之 於 女 性? 母 德 婦 德... 2 二 明 代 婦 女 之 於 士 人? 經 濟 支 柱... 4 參 歸 有 光 一 仕 途...
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R C + C = C R = 1 N (R-1) (N-1) R (N-1) N 10 + 7 4913 3 2 3 10 300 1000 2 a Λ = 3913 3agΛ 3 10 7 = 210 2 2 b Λ 7 = 49 3a2 + 3ab + b 2 2 2 Λ 559 3913Λ ( 3a + 3ab + b ) b 3 4913 = 17 223 22 71 7 3 10
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