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质梁
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1 注意 : 允許學生個人非營利性的圖書館或公立學校合理使用本基金會網站所提供之各項試題及其解答可直接下載而不須申請重版系統地複製或大量重製這些資料的任何部分, 必須獲得財團法人臺北市九章數學教育基金會的授權許可申請此項授權請電郵 ccmp@seed.net.tw Notice: Individul students, nonprofit librries, or schools re permitted to mke fir use of the ppers nd its solutions. Republiction, systemtic copying, or multiple reproduction of ny prt of this mteril is permitted only under license from the Chiuchng Mthemtics Foundtion. Requests for such permission should be mde by e-miling Mr. Wen-Hsien SUN ccmp@seed.net.tw

2 009 亞洲城市青少年數學奧林匹亞參賽代表遴選初選 : : : : 第一部分 : 填充題, 每小題分, 共 60 分 ( ). 有一道計算題是將一個數乘以 09, 結果小明列直乘式時誤將被乘數的個位數乘以所得的值寫在從右邊算起第二位的下方, 而非第三位的下方, 因為他忽略了乘以 0 結果他所得的答案與正確答案相差了 080 請問原算式的被乘數是什麼? 參考解法若令被乘數為, 則由題意可知 09-9=080, 即 60=080, 故 =87 ANS:87. 有一位數學家到某明星學校參觀資優班, 校長介紹資優班時說 : 本校資優班恰好有的學生參加化學競賽恰好有的學生參加生物競賽恰好有的學生參加物理競賽恰好有的學生參加數學競賽當校長剛說完話 6 時, 數學家就說 : 那麼您們學校至少有位同學四項競賽都有參加請問該校資優班共有多少位學生? 參考解法由校長介紹中知有的學生參加化學競賽有知至少有 = 的學生參加這兩項競賽, 再加上得知有 7 理競賽, 故至少有 = 的學生參加這三項競賽, 再由有 60 加數學競賽可知至少有學生有 = 0 位學生 0 的學生參加生物競賽可得的學生參加物的學生參 6 7 = = 的學生參加四項競賽, 因此資優班 ANS:0 位

3 . 已知 x y z 為非 0 實數且 x = yz x = yz + zx + xy, 請問 x 的最小值為何? 參考解法 x = yz + zx + xy = x + x( y + z) x + x yz = x + x x x ( x ) x x x ( x ) x ( x ) 0 ( x + )( x ) 0 x 0 x ANS: x. 已知 x y z 為實數且 + y y = 0 + z z = 0 + x = 0 請問 x 之值為何? 參考解法令 x = X y = Y z = Z, 則可得 : x+ y x y y = = XY = 0 + z = y z = YZ = 0 z + x z x = = ZX = 0 x XYZ 故知 XYZ = = 0, 即 = X = = YZ ANS:. 將一個正立方體的二個面塗上紅色二個面塗上藍色二個面塗上綠色請問共有多少種不同的塗法?( 正立方體經旋轉翻轉後相同位置上的面所塗的顏色均相同, 則視為是相同的塗法 ) 參考解法 (i) 正立方體三對平行的面皆塗上相同的顏色時, 共有種塗法 ; (ii) 正立方體三對平行的面僅一對塗上相同的顏色時, 共有種塗法 ; (iii) 正立方體三對平行的面皆塗上不同的顏色時, 共有種塗法 ; 因此共 ++=6 種塗法 ANS:6 種 6. 請找出所有滿足以下條件且介於 00 與 000 之間的數 : (i) 可同時被與 7 整除 ; (ii) 數碼和為 ; (iii) 所有數碼的乘積為 8 參考解法因所求為三位數, 故將 8 分解為三個數碼的乘積之表示法有 : 其中滿足數碼和為的為 6 8, 故可能的數有 , 它們都是之倍數, 而當中為 7 之倍數只有 86 ANS: 86

4 7. A B 兩人的家相距公里 ( 如圖所示 ), 他們的朋友相約在下午 6:00 要在 A 的家裡烤肉,A 打電話向 B 借烤肉架, 並於下午 : 出門以每小時公里的速度朝 B 的家的方向行走, 而 B 則一個人抬著烤肉架於下午 :00 出門, 但卻走錯方向, 朝 C 的方向行走, 直到 A 在 C 點追上 B 時, 兩人才以每小時公里的速度折返, 兩人合力抬烤肉架而準時在下午 6:00 回到 A 的家請問 B 一個人抬烤肉架由 B 走到 C 的速度為每小時多少公里? A 的家公里 B 的家 C 點參考解法令 B 的家與 C 點的距離為 x 公里因 A 從出發到 C 點再回到 A 的家共花費小時, 故 + x + x + = A 從出發到 C 點共花費 7 小時, 故知其速度為 : x = 小時, 故 B 一個人抬烤肉架由 B 走到 C 共花費 7 8 = 7 因此 B 一個人抬烤肉架由 B 走到 C 的速度為 8 公里 / 小時 7 ANS: 8 公里 / 小時 7 8. 在 ABC 中,AB= D 為 BC 的中點 AE=EC 直線 ED 交 AB 的延長線於點 F 試求線段 BF 之長參考解法 C 連接 CF AD 因 D 為 BC 的中點, 故 BDF 的 E 面積與 CDF 的面積相等 ; 再由 AE=EC 可知 D ADF 的面積為 CDF 的面積的倍, 即 ADB 的面積為 BDF 的面積的倍 ; 因 A ADB 與 BDF 的面積比即為 AB:BF, 故 B BF= = F

5 參考解法 C 過 B 點作 AC 的平行線交 EF 於 G 點 E 可知 CDE BDG, 故 BG=CE, D 因此 AE:BG=: G 而在 AFE 中,AF:BF=AE:BG, A F B 故可得 AB:BF=:, 即 BF= = ANS: 9. 已知直角三角形的周長為 + 6, 斜邊上的中線長為求這個三角形的面積參考解法因斜邊上的中線長為, 故斜邊長度為 =, 即兩股長之和為 6 ; 令兩股長分別為 b, 則三角形的面積為 b 且 + b= 6 + b = =, 故 b = (( + b) ( + b )) = (6 ) = ANS: 0. 令 A B C D 分別在凸四邊形 ABCD 的四個邊 DA AB BC CD 的延長線上, 使得 A B C D 分別為 DA AB BC CD 的中點已知四邊形 ABCD 的面積為 0 cm, 請問四邊形 A B C D 的面積為多少 cm? 參考解法依題意, 可繪出圖形如下 : A A D D C B B C 作補助線 AC AD B C, 則可知 ACD ADD AA D 的面積相等以及 ABC BB C B CC 的面積相等 ; 作補助線 BD BA C D, 則可知 ABD ABA BB A 的面積相等以及 BCD CC D D DC 的面積相等 ; 故知四邊形 A B C D 的面積 = ACD+ ABC+ ABD+ BCD= 0 cm =600 cm ANS:600 cm

6 . 已知 L 7 = L, 且 L 之數碼和超過 00, 請問 L 之數碼和是多少? 參考解法因等式左右兩側皆為位數且乘數為 7, 故知 = = 7 8 或 9 (i) = 7 : 此時可得左式個位數為 9, 即 = 9 ; 此時可得左式十位數為 +=7, 即 0 = 7 ;, 以此類推, 可依序推得 : 9 = 8 = 0 7 = 6 = 8 = 8 = = = = 6 0 = = 8 = 7 7 = 6 = 9 = = = = 0 9 =, 即 L =,0,9,7,6,88,0,797, 此時數碼和為 96, 故不合 (ii) = 8 : 此時可得左式個位數為 6, 即 = 6 ; 此時可得左式十位數為 +=7, 即 0 = 7 ;, 以此類推, 可依序推得 : 9 = 8 = 6 7 = 6 = = 7 = 0 = = = 8 0 = 9 = 8 = 7 = 0 6 = = = 9 = = 9 8 =, 即 L =,9,0,89,8,07,6,768, 此時數碼和為 0 (iii) = 9: 此時可得左式個位數為, 即 = ; 此時可得左式十位數為 +6=7, 即 0 = 7 ;, 以此類推, 可依序推得 : 9 = 8 = 7 = 6 = 6 = = 9 = 6 = 8 = 0 0 = 6 = 8 = 8 7 = 7 6 = = = = 0 = 9 =, 即 L =,0,7,86,086,96,,79, 此時數碼和為 99, 故不合 ANS:0. 給定 n 個數 n, 從這 n 個數中每次取個數, 或者取幾個不同的數求和 ( 每次每個數只能取一次 ), 可以得到一個數, 將這些數從小到大依次排列起來, 它們是 9 0, 請問第 00 個數是什麼? 參考解法因所得之數列均為數個的冪次方之和, 且每一個的冪次方有可選與可不選這種可能, 故先考慮二進制之下 00 的表示法, 即 00=(0000), 6 所以第 00 個數為 = 98 ANS:98 第二部分 : 計算證明, 每題 0 分, 共 60 分 ( )

7 . 能否將 0 9 排在一圓圈上, 使得任兩個相鄰的數之差恰好是或? 若可, 請舉一例 ; 若否, 請證明參考解法可觀察出這五個數必不能相鄰, 即在這五個數之間必須插入其它五個數可發現此時 7 無法置入, 否則都違反題意, 故滿足題意的排列方式必不存在. 在梯形 ABCD 中,AD//BC, 它的內切圓分別切 AB BC CD DA 於點 K L M N 試證明 AK KB=CM MD 參考解法令內切圓圓心為 O 連接 OM OK OD OC OB OA 因 M K 為切點, 故 OM CD OK AB 且 A K B O N L D M C MCO= MCL MDO= MDN KAO= KAN KBO= KBL; 因 AD//BC, 故 MCL+ MDN=80 KAN + KBL =80, 即 MCO+ MDO=90 KAO + KBO =90, 所以 COD AOB 為直角 CM OM 三角形故可知 MCO~ MOD KBO~ KOA, 所以 = OM MD KB OK =, 即 CM MD=OM OM AK KB=OK OK 因 OM OK 皆為圓 OK AK O 的半徑, 故可得 AK KB=CM MD. A B C D E 為小於 000 的質數, 它們的各位數碼恰好包含 0~9 各一個, 且 A+B+C-D=E, 其中 E>A>B>C>D 試求 A B C D E 參考解法由等式的奇偶性可知 A B C D E 中至少有一數是偶數, 即 D=; 此時 A B C E 的個位數為 7 9 中的四個 (i) 若 A B C E 的個位數沒有, 則 A B C E 的個位數即為 7 9, 其中僅 E 的個位數為 9 時滿足題意因 A B C E 共有九個數碼, 若因 A B C 都為二位數,E 為三位數, 則 E<00,E 必須是 09, 但數碼已經用過, 故此情況不可能因 A B C E 至多為三位數且現仍有共個數碼未確定, 故可令 A = bc B = de E = fg9, 而 C= 或 7 此時可以得知 0 為 b 或 g () 若 b=0, 則 g=d, 矛盾 () 若 g=0, 則 b+d=0, f=+, 此時 b d f 為 6 8,b d 只能為 6, f 只能為 8, 矛盾

8 (ii) 若 A B C E 的個位數有, 則可得 C= 此時可知 A+B+=E 因 A B E 至多為三位數且現仍有 8 個數碼未確定, 故可令 A = bc B = de E = fgh 因此有 c+e+ 的個位數 =h 且 c e h 為 7 9 中的三個可算出其中僅 c e 為或而 h=7;c e 為或 9 而 h= 滿足 ; 其中 d f 不為 0,0 只可能為 b 或 g 若 b=0, 則 d=g 或 g=d+, 矛盾, 故 g=0 且 b+d=0 或 b+d+=0 () 當 b+d+=0, 此時 b d f 為 6 7 8, 沒有合適的值滿足 ; () 當 b+d=0, 此時 b d f 為 6 8 9,b d 只能為 6, 由此可知 =8 f=9 整理以上資訊可得 : () A=8 B=6 E=907, 其中 B 不為質數, 故不合 ; () A=8 B=6 E=907, 其中 A 不為質數, 故不合 ; () A=86 B= E=907, 其中 A 不為質數, 故不合 ; () A=86 B= E=907 因此 A=86 B= C= D= E=907 ANS:A=86 B= C= D= E=907

考查知识点肝气疏泄调畅气机的作用, 主要表现在以下几个方面 :(1) 促进血液与津液的运行输布 ;(2) 促进脾胃的运化功能和胆汁分泌排泄 ;(3) 调畅情志 ;(4) 促进男子排精

考查知识点肝气疏泄调畅气机的作用, 主要表现在以下几个方面 :(1) 促进血液与津液的运行输布 ;(2) 促进脾胃的运化功能和胆汁分泌排泄 ;(3) 调畅情志 ;(4) 促进男子排精 2015 年全国硕士研究生入学统一考试中医综合科目试题解析一 A 型题 :1~80 小题, 每小题 1.5 分, 共 120 分在每小题给出的 A B C D 四个选项中, 请选出一项最符合题目要求的 1. 提出阳常有余, 阴常不足观点的医家是 A 朱丹溪 B 刘完