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1 社 心 版 出 版中 学 出 cn 科 术 k. 技 boo 教.a 职 ww w

2 计算机视觉中的数学方法 M at he m atical M et h ods in Co m puter Vision 吴福朝著 国家自然科学基金项目 ( ) 国家 863 计划项目 (2006A A0Z6) 资助 北京

3 内容简介 本书由射影几何 矩阵与张量 模型估计 3 篇组成, 它们是三维计算机视觉所涉及的基本数学理论与方法 射影几何学是三维计算机视觉的数学基础, 本书着重介绍射影几何学及其在视觉中的应用, 主要内容包括 : 平面与空间射影几何, 摄像机几何, 两视点几何, 自标定技术和三维重构理论 矩阵与张量是描述和解决三维计算机视觉问题的必要数学工具, 本书着重介绍与视觉有关的矩阵和张量理论及其应用, 主要内容包括 : 矩阵分解, 矩阵分析, 张量代数, 运动与结构, 多视点张量 模型估计是三维计算机视觉的基本问题, 通常涉及变换或某种数学量的估计, 本书着重介绍与视觉估计有关的数学理论与方法, 主要内容包括 : 迭代优化理论, 参数估计理论, 视觉估计的代数方法 几何方法 鲁棒方法和贝叶斯方法 本书可作为大学高年级本科生 研究生的教材 相关领域的研究人员也可以参考 图书在版编目 (CIP) 数据 计算机视觉中的数学方法 / 吴福朝著. 北京 : 科学出版社,2008 ISBN 978 唱 7 唱 03 唱 唱 4 Ⅰ 畅计 Ⅱ 畅吴 Ⅲ 畅计算机视觉数学方法 Ⅳ 畅 TP302 畅 7 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2008) 第 号 责任编辑 : 王淑兰 / 责任校对 : 刘彦妮 责任印制 : 吕春珉 / 封面设计 : 三函设计 科学出版社出版北京东黄城根北街 6 号 邮政编码 :0077 http :// w w w.sciencep.co m 双青印刷厂印刷 科学出版社发行各地新华书店经销 2008 年 3 月第一版 2008 年 3 月第一次印刷 印数 : 倡 定价 :48 畅 00 元 开本 : /6 印张 :24 /8 字数 : ( 如有印装质量问题, 我社负责调换枙科印枛 ) 销售部电话 00 唱 编辑部电话 00 唱 版板所有, 侵权必究 举报电话 :00 唱 ;00 唱 ; 科学出版社职教技术出版中心

4 前 言 计算机视觉的研究目标是使计算机具有从二维图像认知三维现实环境的能力, 这种能力不仅使计算机能感知三维物体的结构与运动信息, 而且能对它们进行识别与理解 自 20 世纪 80 年代初形成的 Marr 计算框架, 以及随后发展的其他计算理论框架, 使得人们相信通过计算手段能实现从二维图像对三维现实世界的感知 为适应不同计算理论框架和增强计算机视觉系统鲁棒性的需要, 研究人员通过坚持不懈的努力, 引进了众多数学方法和相应的计算方法 这些数学方法涉及代数学 几何学 分析学 概率论以及众多应用数学分支, 这对初学者和从事多年研究的人员都感到非常困惑, 真的需要这么多复杂的数学来解决计算机视觉问题吗? 是数学的无能还是我们没有发现能解决计算机视觉问题的一种 好数学? 这正是计算机视觉的魅力所在, 它吸引着众多学者在该领域进行探索与研究 如果 计算能实现从二维图像对三维现实世界的感知 是正确的话, 则不论使用什么数学方法其目的都是为了做两件事情, 即为计算机视觉问题建立数学模型和模型估计与选择 在建立模型过程中, 需要反映计算机视觉的数学理论和需要描述模型的数学工具与方法 ; 在模型估计与选择中, 需要数学计算技术, 包括数值计算与统计计算 本书从以上提出的 3 个需要出发, 介绍三维计算机视觉所涉及的基本数学理论与方法 本书由以下 3 篇构成 : 第一篇 : 射影几何 它是三维计算机视觉的数学理论基础, 主要内容包括 : 平面与空间射影几何, 摄像机几何, 两视点几何, 自标定理论和三维重构 理论 第二篇 : 矩阵与张量 它是描述三维计算机视觉模型的基本数学工具, 同时也是模型估计线性算法的数学基础, 主要内容包括 : 矩阵分解, 矩阵分析, 张量代数, 运动与结构, 多视点张量 第三篇 : 模型估计 模型估计是三维计算机视觉的基本问题 本篇描述模型估计与选择的基本数学理论与方法, 主要内容包括 : 迭代优化理论, 参数估计理论, 视觉模型估计的代数方法 几何方法 鲁棒方法与统计方法, 以及模型选择的数学方法 上述 3 篇所涉及的数学内容是相对独立的, 但计算机视觉将它们组成一个有机的整体 本书是在作者为计算机视觉方向的研究生所开设的课程讲义基础上形成

5 ii 前 言 的, 目的是为初学者介绍三维计算机视觉中的基本数学理论 方法及其应用 通过阅读本书, 读者能提高分析 解决有关计算机视觉问题的数学能力, 为进入该领域前沿研究做准备 本书的出版得到国家自然科学基金项目 ( ) 和国家 863 计划项目 (2006AA0Z6) 资助, 特此致谢 本书写作过程中, 参考了有关书籍和文献 ( 见本书列出的参考文献 ), 在此向这些作者一并致谢 作者 于北京中关村 科学出版社职教技术出版中心

6 目 录 前言 第一篇射影几何 第 章平面射影几何 3 畅 射影平面 3 畅 畅 射影平面 3 畅 畅 2 叉积 4 畅 畅 3 交比 5 畅 2 二次曲线 7 畅 2 畅 矩阵表示 7 畅 2 畅 2 切点与切线 8 畅 2 畅 3 配极对应 9 畅 2 畅 4 对偶二次曲线 0 畅 2 畅 5 圆环点及其对偶 畅 3 二维射影变换 3 畅 3 畅 二维射影变换 3 畅 3 畅 2 直线与二次曲线的变换规则 5 畅 4 变换群与不变量 6 畅 4 畅 等距变换群 6 畅 4 畅 2 相似变换群 8 畅 4 畅 3 仿射变换群 9 畅 4 畅 4 射影变换群 2 第 2 章空间射影几何 24 2 畅 射影空间 24 2 畅 畅 空间点 24 2 畅 畅 2 空间平面 24 2 畅 畅 3 空间直线 26 2 畅 畅 4 共线平面束的交比 29 2 畅 2 三维射影变换 29 2 畅 2 畅 三维射影变换 29 2 畅 2 畅 2 平面与直线的变换规则 30 2 畅 3 二次曲面与变换规则 3 2 畅 3 畅 基本性质 3 2 畅 3 畅 2 二次曲面的对偶 32

7 iv 目 录 2 畅 3 畅 3 绝对二次曲线与绝对二次曲面 35 2 畅 4 变换群与不变量 37 2 畅 4 畅 仿射变换群 37 2 畅 4 畅 2 相似变换群 39 2 畅 4 畅 3 等距变换群 39 2 畅 4 畅 4 二次曲面的分类 4 2 畅 5 射影坐标系与射影坐标变换 43 第 3 章摄像机几何 46 3 畅 摄像机模型 46 3 畅 畅 摄像机模型 46 3 畅 畅 2 摄像机矩阵的元素 49 3 畅 畅 3 摄像机矩阵估计 5 3 畅 畅 4 欧氏空间与射影空间 52 3 畅 2 投影与反投影 53 3 畅 2 畅 空间点 53 3 畅 2 畅 2 空间直线 54 3 畅 2 畅 3 空间平面 56 3 畅 2 畅 4 二次曲线 57 3 畅 2 畅 5 二次曲面 58 3 畅 3 恢复平面景物的结构 59 3 畅 3 畅 仿射结构 59 3 畅 3 畅 2 相似结构 60 3 畅 3 畅 3 绝对欧氏结构 6 第 4 章两视点几何 63 4 畅 基本矩阵 63 4 畅 畅 极几何 63 4 畅 畅 2 基本矩阵 64 科学出版社职教技术出版中心 4 畅 畅 3 几何解释 67 4 畅 2 单应矩阵 68 4 畅 2 畅 单应矩阵 68 4 畅 2 畅 2 与基本矩阵的关系 7 4 畅 2 畅 3 不动点与不动线 7 4 畅 3 基本矩阵估计 73 4 畅 3 畅 8 唱点算法 73 4 畅 3 畅 2 最小点对应算法 74 4 畅 4 恢复摄像机矩阵 75 4 畅 4 畅 射影相关 75 4 畅 4 畅 2 射影意义下的摄像机矩阵 77

8 目 录 v 第 5 章自标定理论 79 5 畅 正交性与摄像机内参数 79 5 畅 畅 隐消点与隐消线 79 5 畅 畅 2 正交性与摄像机内参数 80 5 畅 2 圆环点与摄像机内参数 82 5 畅 2 畅 内参数的约束方程 82 5 畅 2 畅 2 确定圆环点的图像 82 5 畅 2 畅 3 圆环点与其正交方向 84 5 畅 3 平行性与摄像机内参数 85 5 畅 3 畅 平行四边形的不变量与射影 85 5 畅 3 畅 2 平行六面体的不变量与射影 87 5 畅 3 畅 3 摄像机内参数 89 5 畅 4 Kruppa 方程与摄像机内参数 92 5 畅 4 畅 Kruppa 方程 92 5 畅 4 畅 2 计算焦距 94 5 畅 5 绝对二次曲线与摄像机内参数 94 5 畅 5 畅 基本约束方程 94 5 畅 5 畅 2 变化内参数 95 5 畅 5 畅 3 恒定内参数 96 5 畅 5 畅 4 计算尺度因子 98 5 畅 6 绝对二次曲面与摄像机内参数 99 5 畅 6 畅 绝对二次曲面约束 99 5 畅 6 畅 2 自标定约束的等价性 0 第 6 章三维重构理论 04 6 畅 三角原理 04 6 畅 2 基本矩阵与射影重构 05 6 畅 3 无穷远平面与仿射重构 06 6 畅 4 绝对二次曲线与度量重构 08 6 畅 5 绝对二次曲面与度量重构 0 6 畅 6 分层重构的实例 2 6 畅 6 畅 仿射点对应 2 6 畅 6 畅 2 准仿射重构 3 6 畅 6 畅 3 仿射重构 4 6 畅 6 畅 4 度量重构 7 6 畅 7 多摄像机系统的标定 7 6 畅 7 畅 一维标定物 7 6 畅 7 畅 2 仿射摄像机矩阵 8 6 畅 7 畅 3 欧氏摄像机矩阵 9 6 畅 7 畅 4 捆绑调整 20

9 vi 目 录 第二篇矩阵与张量 第 7 章正交对角化 23 7 畅 内积空间与正交矩阵 23 7 畅 畅 内积空间 23 7 畅 畅 2 正交矩阵 23 7 畅 2 酉空间与酉矩阵 26 7 畅 2 畅 酉空间 26 7 畅 2 畅 2 酉矩阵 27 7 畅 3 正规矩阵 29 7 畅 3 畅 Schur 引理 29 7 畅 3 畅 2 正规矩阵 30 7 畅 3 畅 3 正交谱分解 33 7 畅 4 轭米特矩阵 35 7 畅 4 畅 特征值的极性 35 7 畅 4 畅 2 半正定轭米特矩阵 37 7 畅 5 反对称矩阵 39 第 8 章矩阵分解 42 8 畅 正交三角分解 42 8 畅 畅 Givens 方法 43 8 畅 畅 2 Householder 方法 44 8 畅 畅 3 内参数与外参数的分解 45 8 畅 2 Cholesky 分解 45 8 畅 3 奇异值分解 46 8 畅 3 畅 正交对角分解 47 8 畅 3 畅 2 奇异值分解 47 8 畅 3 畅 3 奇异值的极性 49 科学出版社职教技术出版中心 8 畅 3 畅 4 极分解 50 8 畅 4 最小二乘问题 50 8 畅 4 畅 满秩最小二乘问题 畅 4 畅 2 亏秩最小二乘问题 53 8 畅 4 畅 3 数值秩的确定 53 8 畅 4 畅 4 齐次最小二乘问题 54 8 畅 4 畅 5 约束齐次最小二乘问题 55 第 9 章矩阵分析 57 9 畅 向量与矩阵范数 57 9 畅 畅 向量范数 57 9 畅 畅 2 矩阵范数 60 9 畅 畅 3 矩阵条件数 64

10 目 录 vii 9 畅 2 矩阵级数与矩阵函数 66 9 畅 2 畅 矩阵序列 66 9 畅 2 畅 2 矩阵级数 68 9 畅 2 畅 3 矩阵函数 69 9 畅 3 矩阵导数 72 9 畅 3 畅 函数矩阵的导数 72 9 畅 3 畅 2 向量映射关于向量的导数 74 9 畅 3 畅 3 函数关于矩阵的导数 76 9 畅 3 畅 4 函数矩阵关于矩阵的导数 78 9 畅 4 矩阵直积 8 9 畅 4 畅 基本性质 8 9 畅 4 畅 2 特征值与特征向量 85 第 0 章张量代数 87 0 畅 张量概述 87 0 畅 畅 张量 87 0 畅 畅 2 张量运算 89 0 畅 2 张量积 9 0 畅 2 畅 线性映射 9 0 畅 2 畅 2 多重线性映射 94 0 畅 3 张量 98 0 畅 3 畅 张量与代数运算 98 0 畅 3 畅 2 对称与反对称张量 20 0 畅 4 外代数 畅 4 畅 外积 畅 4 畅 2 外代数 畅 4 畅 3 Plucker 唱 Grassmann 坐标 20 第 章运动与结构 23 畅 欧氏运动与结构 23 畅 畅 本质矩阵 23 畅 畅 2 欧氏运动 24 畅 畅 3 欧氏结构 26 畅 2 仿射运动与结构 27 畅 2 畅 仿射摄像机 27 畅 2 畅 2 仿射极几何 29 畅 2 畅 3 仿射运动与结构 22 畅 3 射影运动与结构 222 畅 3 畅 基本原理 223 畅 3 畅 2 射影深度 224 畅 3 畅 3 迭代分解 225

11 viii 目 录 第 2 章多视点张量 畅 双线性关系 畅 畅 基本矩阵的张量形式 畅 畅 2 极点的张量形式 畅 2 三线性关系 畅 2 畅 三点对应 畅 2 畅 2 点 线对应 畅 2 畅 3 三线性关系的独立数 畅 2 畅 4 恢复摄像机矩阵 畅 3 四线性关系 畅 3 畅 四线性关系 畅 3 畅 2 四线性约束的独立数 24 第三篇模型估计 第 3 章迭代优化 畅 最优性条件 畅 畅 最优性条件 畅 畅 2 迭代格式 畅 2 一维搜索 畅 2 畅 精确搜索 畅 2 畅 2 非精确搜索 25 3 畅 3 无约束优化 畅 3 畅 最速下降法 畅 3 畅 2 Newton 法 畅 3 畅 3 变度量法 畅 3 畅 4 共轭方向法 畅 3 畅 5 L 唱 M 方法 256 科学出版社职教技术出版中心 3 畅 4 约束优化 畅 4 畅 惩罚法 畅 4 畅 2 乘子法 第 4 章参数估计 畅 最大似然估计 畅 畅 基本概念 畅 畅 2 相合性与渐近正态性 畅 畅 3 混合模型 畅 2 贝叶斯估计 畅 2 畅 贝叶斯模型 畅 2 畅 2 无信息先验密度 27 4 畅 2 畅 3 共轭先验密度 274

12 目 录 ix 4 畅 2 畅 4 贝叶斯估计 畅 3 期望 / 最大化算法 畅 3 畅 EM 算法 畅 3 畅 2 收敛性与估计精度 畅 3 畅 3 EM 算法的推广 畅 4 混合模型的 E M 算法 畅 4 畅 一般混合模型 畅 4 畅 2 混合高斯模型 286 第 5 章代数方法 畅 估计问题概述 畅 畅 模型 畅 畅 2 模型参数化 29 5 畅 2 直接线性方法 畅 2 畅 线性计算框架 畅 2 畅 2 视觉估计问题 畅 3 因子化线性方法 畅 3 畅 因子化计算框架 畅 3 畅 2 视觉估计问题 畅 4 归一化线性方法 304 第 6 章几何方法 畅 几何方法 畅 畅 直线与二次曲线 畅 畅 2 几何距离最小化 畅 2 视觉估计问题 33 6 畅 2 畅 单应矩阵 33 6 畅 2 畅 2 基本矩阵 34 6 畅 2 畅 3 三焦张量 37 6 畅 2 畅 4 FOE 估计 38 6 畅 2 畅 5 三维重构 畅 3 最大似然方法 畅 3 畅 高斯分布 畅 3 畅 2 最大似然估计 畅 3 畅 3 残差与误差 畅 3 畅 4 参数的协方差 33 6 畅 3 畅 5 应用举例 334 第 7 章鲁棒方法 畅 RA NSAC 畅 畅 直线的 RANSAC 估计 畅 畅 2 RANSAC 339

13 x 目 录 7 畅 畅 3 基本矩阵 畅 畅 4 χ 2 m 分布 畅 2 M 唱估计 畅 3 最小中值估计 畅 4 鲁棒最大后验估计 畅 4 畅 鲁棒最大后验估计 畅 4 畅 2 似然项与先验项 畅 4 畅 3 最大化边缘后验 畅 4 畅 4 最大后验一致抽样算法 352 第 8 章模型选择 畅 似然比检验 畅 畅 基本运动模型 畅 畅 2 似然比检验 畅 2 AIC 与模型选择 畅 2 畅 AIC 标准 畅 2 畅 2 用 AIC 选择模型 36 8 畅 3 BIC 与模型选择 畅 3 畅 贝叶斯证据 畅 3 畅 2 BIC 标准 畅 3 畅 3 用 BIC 选择模型 畅 4 GRIC 与模型选择 畅 4 畅 鲁棒最小二乘模型的 GRIC 标准 畅 4 畅 2 用 GRIC 选择模型 369 参考文献 373 科学出版社职教技术出版中心

14 第一篇 射影几何 射影几何是三维计算机 视觉的数学基础

15 本篇提要 本篇内容分为两个部分 第一部分由第 2 章构成, 主要介绍射影几何理论, 这些理论不是射影几何所涉及的全部内容, 而是从事三维计算机视觉研究所必须掌握的几何知识 ; 第二部分由第 3 ~ 6 章构成, 主要论述射影几何在三维计算机视觉中的应用, 读者将会看到射影几何的重要作用 各章具体内容如下 : 第 章介绍平面射影几何 主要内容包括 : 点 线和二次曲线的齐次表示 ; 二次曲线与对偶二次曲线的性质 ; 二维射影变换与基本几何元素的射影变换规则 ; 二维射影变换群及其子群的不变量与不变性质 第 2 章介绍空间射影几何 主要内容包括 : 点 线 面和二次曲面的齐次表示, 二次曲面与对偶二次曲面的性质 ; 三维射影变换与基本几何元素的射影变换规则 ; 三维射影变换群及其子群的不变量与不变性质 第 3 章介绍摄像机几何 首先, 对摄像机进行数学建模 ; 然后, 应用前两章的射影几何知识, 给出空间基本几何元素的投影性质, 以及图像平面基本几何元素的反投影性质 这些投影与反投影性质, 是从图像恢复物体几何结构的基础, 尤其是绝对二次曲线与绝对二次曲面的投影性质 第 4 章介绍两视点几何 应用射影几何知识引进两幅图像的点 线关联 关系, 即所谓的极几何 基本矩阵是极几何的代数描述, 同时它也给出了射影意义下的摄像机矩阵 第 5 章介绍自标定理论 主要介绍正交性 圆环点 平行性 Kruppa 方 程 绝对二次曲线和绝对二次曲面与摄像机内参数的关系 所有自标定方法均来源于射影几何理论, 它们都归结为绝对二次曲线或绝对二次曲面的投影 性质 科学出版社职教技术出版中心 第 6 章介绍三维重构理论 三维重构是计算机视觉中的核心问题, 本章 应用射影几何知识建立三维重构理论 不需要图像以外的知识, 从图像就能获得射影重构 ; 对于仿射重构, 它与确定无穷远平面的射影坐标 确定无穷远 单应是相互等价的 ; 对于度量重构, 它与确定绝对二次曲线 确定绝对二次曲面和确定摄像机内参数是相互等价的

16 第 章平面射影几何 畅 射影平面 畅 畅 射影平面 畅齐次坐标在本章中, 除特别说明外, 均假定在平面上建立了欧氏坐标系 平面上的点可用二维有序数组 p ~ = ( x,y) T 来表示, 即该点的欧氏坐标 平面上的直线方程可以表示为 ax + by + c = 0 ( 畅 畅 ) 在方程 ( 畅 畅 ) 两边同乘以任一非零常数 t, 得到下述方程 axt + byt + ct = 0 ( 畅 畅 2) 方程 ( 畅 畅 ) 与方程 ( 畅 畅 2) 有相同的几何意义, 它们表示同一条直线 令 p = ( x t,yt,t) T,l = ( a,b,c) T 则方程 ( 畅 畅 2) 可写成 l T p = 0 ( 畅 畅 3) 其中 p 是变量, 表示直线上的点 ;l 是一个固定的向量, 代表该直线 一般地, p = ( xt,yt,t) T 称为点的齐次坐标,l = ( a,b,c) T 称为直线的齐次坐标 这里的 齐次 也可以这样理解, 在这种表示下直线方程 ( 畅 畅 3) 关于点或直线变量都是齐次的, 而方程 ( 畅 畅 ) 则是非齐次的 齐次坐标可以相差任意的非零常数因子, 即橙 s 0,p 和 q = sp 表示同一个点, 因为它们的非齐次坐标相等 p ~ = ( x/ t,y/ t) T = ( sx/ st,sy/ st) = q ~ 直线的齐次坐标也可以相差任意的非零常数因子, 因为方程 ( sl) T p = 0 与方程 ( 畅 畅 3) 确定同一条直线 2 畅射影平面齐次坐标为 p = ( x,y,0) T 的点称为无穷远点, 其中 x, y 至少有一个不为零 注意, 无穷远点没有欧氏坐标, 这是因为 x/0 =,y/0 = 至少有一个成立, 同时也可以看出为什么将它称为无穷远点 平面上所有无穷远点所构成的集合称为无穷远直线 由于所有无穷远点 p 都满足方程 0 x + 0 y + 0 = 0 ( 畅 畅 4) 所以, 无穷远直线的齐次坐标为 l = (0,0,) T 由欧氏平面与无穷远直线的并集所形成的扩展平面称为射影平面, 有时也称为二维射影空间

17 4 第一篇射影几何 畅 畅 2 叉积 畅三维向量的叉积 令 x = ( x,y,t ) T,x2 = ( x2,y2,t2 ) T 是两个三维向量, 它们的叉积定义为 x x2 = det i j k x y t x2 y2 t2 = det y y2 t t2, - det 叉积和反对称矩阵相关联 由向量 x = ( x,y,t) T, 按下述方式定义反对称矩阵 [ x] = 0 - t y t 0 - x - y x 0 称为由向量 x 所确定的反对称矩阵 矩阵 [ x] 具有下述性质 : 表达 ) 对任意非零向量 x, 有 rank([ x] ) = 2 ; 2) 对任意两个三维向量 x,x2, 有 x x2 = [ x ] x2 ; 3) x 是 [ x] 的右零空间, 同时也是左零空间, 即 [ x] x = 0,x T [ x] = 0 ; 4) 对任意三维向量 y, 有 y T [ x] y = 0 性质 ) 是明显的,3) 与 4) 可由性质 2) 导出, 下面验证性质 2) 令 x = ( x,y,t ) T,x2 = ( x2,y2,t2 ) T, 则 [ x ] x2 = 0 - t y t 0 - x - y x 0 x2 y2 t2 = - t y2 t x2 - y x2 x x2 t t2 + y t2 - x t2 + x y2,det = x x x2 y y2 x2 T ( 畅 畅 5) ( 畅 畅 6) 性质 2) 表明, 两个向量的叉积可以用其中一个向量的反对矩阵左乘另一个向量来 2 畅两点 两线的叉积 如果 p,p2 是射影平面上两点, 则 l = p p2 表示通过这两点的直线 这是因为, 对 直线 l 上的任一点, 它的齐次坐标可以表示为 p = s p + s2 p2, 根据反对称矩阵的性质 3) 和 4), 可以得到 l T p = 2 j = sj ([ p ] p2 ) T p j = 0 若三点 p,p2,p3 共线, 则必有 p T 2 [ p ] p3 = - ([ p ] p2 ) T p3 = 0 反之, 若 p T 2 [ p ] p3 = 0, 则三点 p,p2,p3 必共线 因此, 有下述命题 : 命题 畅 畅 ) 两点 p,p2 连线的坐标是 l = [ p ] p2 ;2) 三点 p,p2,p3 共线的充要 条件是 p T 2 [ p ] p3 = 0 对偶原理在射影平面内, 点和线是一对互为对偶元素 在包含 点 和 线 元素的 命题中, 如果该命题成立, 则将两个元素的角色互换, 对应的命题也成立 例如, 命题 畅 畅 有如下对偶命题 : 科学出版社职教技术出版中心

18 第 章平面射影几何 5 命题 畅 畅 2 ) 两线 l,l2 的交点的坐标是 p = [ l ] l2 ;2) 三线 l,l2,l3 共点的充要 条件是 l T 2 [ l ] l3 = 0 畅 畅 3 交比 畅共线点的交比 平面上的点有两个自由度, 用三维非零向量 ( 齐次坐标 ) 来表示 而直线上的点仅有 一个自由度, 因此, 直线上点的齐次坐标仅需要二维向量来表示 如何用二维向量来表示 直线上点, 就是所谓共线点的参数化问题 以表示为 给定直线 l 上两个不同点的齐次坐标 p ), p2, 则直线 l 上任何一个点 p 的坐标均可 p = up + vp2 ( 畅 畅 7) 这样, 利用直线 l 上两个点 p,p2, 直线 l 上所有点都可以用二维向量来表示 并称这个二维向量为直线 l 上点的参数化 p = ( u,v) T ( 畅 畅 8) 显然,p,p2 的参数化分别是 p = (,0) T,p 2 = (0,) T 这种参数化过程实际上是 建立直线坐标系的过程 直线上点的参数化不是唯一的, 不同的参数化对应不同的坐 标系 共线点的交比设 p,p2,p3,p4 是 4 个共线点, 它们在某种参数化下的齐次坐标分 别为 p j = ( uj,v j ) T,j =,2,3,4 定义 为该 4 点的交比 选择 ( p,p2 ;p3,p4 ) = det( p,p 3 ) det( p 2,p 3 ) det( p,p 4 ) det( p 2,p 4 ) ( 畅 畅 9) 下面证明, 共线点交比不依赖于点参数化的选择, 或者说不依赖于直线坐标系的 若点 p,p2,p3,p4 在两个给定点 q,q2 的参数化下的齐次坐标分别为 在另外两个给定点 q p j = ( uj,vj ) T,j =,2,3,4,q 2 的参数化下的齐次坐标分别为 p j = ( u j,v j ) T,j =,2,3,4 令点 q,q 2 在 q,q2 的参数化下齐次坐标分别为 q = (α,β ) T,q 2 = (α2,β2 ) T, 即 q = α q + β q2,q 2 = α2 q + β2 q2 记 H = α β α2 β2, 则 det( H) 0 否则,{(α,β ) T,( α2,β2 ) T } 必线性相关, 从而 q,q 2 表 示直线上的同一个点 于是 pj = u j q + v j q 2 = ( u j α + v j α2 )q + ( u j β + v j β2 )q2 所以 uj = u j α + v j α2, v j = u j β + v j β2 ) 给定齐次坐标 的意义是指已经给出了齐次坐标分量的具体数值, 在本书其他地方都遵循这个约定

19 6 第一篇射影几何 即 p j = H T p j 因此 det( p,p 3 ) det( p 2,p 3 ) det( p,p 4 ) det( p 2,p 4 ) = det( H T ( p,p 3 )) det( H T ( p 2,p 3 )) det( H T ( p,p 4 )) det( H T ( p 2,p 4 )) = det( p,p 3 ) det( p 2,p 3 ) det( p,p 4 ) det( p 2,p 4 ) 故 4 个共线点 p,p2,p3,p4 的交比不依赖于参数化的选择 根据交比不依赖于参数化选择的性质, 可以简化交比的计算 例如, 在 4 个共线点 p,p2,p3,p4 中, 将 p3, p4 在平面上的齐次坐标分别表示为 则有 于是 这是常用的交比计算公式 p3 = p + λ p2,p4 = p + λ2 p2 p = (,0) T,p 2 = (0,) T,p 3 = (,λ ),p 4 = (,λ2 ) T ( p,p2 ;p3,p4 ) = det( p,p 3 ) det( p 2,p 3 ) det( p,p 4 ) det( p 2,p 4 ) = λ λ2 ( 畅 畅 0) 若 ( p,p2 ;p3,p4 ) = -, 则称 p,p2 与 p3,p4 成调和共轭 例如, 通过圆心的直线交 圆上的两个点与圆心以及该直线上的无穷远点成调和共轭 2 畅共点直线的交比 平面上的直线有两个自由度, 用三维非零向量 ( 齐次坐标 ) 来表示 但是, 对于共点直 线束中的直线仅有一个自由度, 因此共点直线束中的直线可以用二维向量来表示 给定共点直线束 lλ 中两条不同直线的齐次坐标 l, l2, 则直线束 lλ 中任何一条直线 l 的坐标均可以表示为 l = al + bl2 这样, 利用直线束 lλ 中的两条直线, 直线束 lλ 中的所有直线 l 都可以用二维向量来表示 l = ( a,b) T 称这个二维向量为直线束 lλ 中直线 l 的参数化 共点直线的交比与定义共线点的交比一样, 也可以定义 4 条共点直线的交比 假 定 l, l2,l3,l4 是直线束 lλ 中的 4 条直线, 它们在某种参数化下的齐次坐标为 l j = ( aj, bj ) T, 定义 ( l,l2 ;l3,l4 ) = det( l,l 3 ) det( l 2,l 3 ) det( l,l 4 ) det( l 2,l 4 ) ( 畅 畅 ) 为该 4 直线的交比 与共线点的交比一样,4 条共点直线的交比也不依赖于直线束参数 化的选择 在实际应用中, 通常用下述方法来计算 4 条共点直线的交比 : 在 4 条共点直线 l,l2, l3,l4 中, 将 l3,l4 齐次坐标分别表示为 l3 = l + λ l2,l4 = l + λ2 l2, 则它们的交比为 科学出版社职教技术出版中心 ( l,l2 ;l3,l4 ) = λ λ2 ( 畅 畅 2)

20 第 章平面射影几何 7 命题 畅 畅 3 如果 4 条共 ( 有穷 ) 点直线 l,l2,l3,l4 的斜率分别为 k,k2,k3,k4, 则它们的交比为 ( l,l2 ;l3,l4 ) = k - k3 - k k4 k2 - k3 k2 - k4 ( 畅 畅 3) 证明假定直线 l,l2,l3,l4 共 ( 有穷 ) 点 p ~ = ( x0,y0 ) ), 则它们的齐次坐标分别为 l = ( - k,,k x0 - y0 ) T,l2 = ( - k2,,k2 x0 - y0 ) T l3 = ( - k3,,k3 x0 - y0 ) T,l4 = ( - k4,,k4 x0 - y0 ) T 以直线 l,l2 为基准, 对过点 p 的直线束进行参数化, 得到 所以 因此 l3 = k3 - k2 k3 - k l + k - k2 k - k2 l = (,0) T,l 2 = (0,) T,l 3 = l2,l4 = k3 - k2 k - k2 k4 - k2 k4 - k l + l2 k - k2 k - k2 k3 - k, k - k2 T,l 4 = k4 - k2 k - k2 k4 - k, k - k2 T ( l,l2 ;l3,l4 ) = det( l,l 3 ) det( l 2,l 3 ) det( l,l 4 ) det( l 2,l 4 ) = k3 - k k - k2 - - k3 k2 k - k2 k4 - k k - k2 - - k4 k2 k - k2 = - k k3 - k k4 k2 - k3 k2 - k4 证毕 关于 4 条共点直线的交比与 4 共线点的交比之间的关系, 有下述命题 : 命题 畅 畅 4 如果 4 条共点直线 l,l2,l3,l4 被任一直线 l 截于 4 点 p, p2,p3,p4, 则 ( l,l2 ;l3,l4 ) = ( p,p2 ;p3,p4 ) ( 畅 畅 4) 在 畅 3 节, 将会看到交比是射影变换的不变量 畅 2 二次曲线 畅 2 畅 矩阵表示 众所周知, 二次曲线的方程可表示为 ax 2 + by cx y + 2 dx + 2 ey + f = 0 写成矩阵形式, 有 a c d x ( x,y,) c b e y = 0 d e f a c d 令 C = c b e, 它是一个对称矩阵 点使用齐次坐标, 二次曲线的方程可表示为 d e f ) 以后用 p ~ 表示有穷点 p 的非齐次坐标

21 8 第一篇射影几何 称对称矩阵 C 是二次曲线的矩阵表示 p T Cp = 0 ( 畅 2 畅 ) 矩阵 C 虽然有 6 个不同的元素, 但由于方程 ( 畅 2 畅 ) 的齐次性, 所以仅有 5 个独立的 元素, 即起确定作用的是 5 个比值, 例如 :a/ f, b/ f, c/ f, d/ f, e/ f 因此, 二次曲线 C ) 有 5 个自由度 在一般情况下, 射影平面上的 5 个点唯一确定一条二次曲线, 并且可以 通过求解下述线性方程组得出 p T j Cp j = 0,j =,2,,5 ( 畅 2 畅 2) 二次曲线根据它的秩 ( 即 C 的秩 ) 是否满秩分为非退化与退化的两种情况 非退化 二次曲线称为正常二次曲线, 退化二次曲线或者是由两条直线所构成 (rank C = 2), 或者 由二条重合直线所构成 (rank C = ) 如果二次曲线 C 退化为两条直线 l 和 m, 则它的矩阵表示为 这是明显的 : 如果 p l, 则 l T p = p T l = 0, 因此,p T Cp = p T ( lm T m 时, 也有 p T Cp = 0 反之, 如果点 p 使得 p T Cp = 0, 则 C = lm T + ml T ( 畅 2 畅 3) 2( l T p)(m T p) = p T lm T p + p T ml T p = p T Cp = 0 + ml T ) p = 0 同理, 当 p 因此,l T p = 0 或者 m T p = 0, 即 p l 或者 p m 所以, 式 ( 畅 2 畅 3) 是退化二次曲线的矩阵 表示 畅 2 畅 2 切点与切线 假定 C 是一条非退化二次曲线, 下面讨论切点与切线的代数表示 令 p 是 C 上的任一点, 则 l = Cp 确定平面上的一条直线 下面证明直线 l 是 C 在点 p 处的切线 首先, 点 p 必在直线 l 上, 这是因为 l T p = ( Cp) T p = p T Cp = 0 如果能证明, 除点 p 外直线 l 与二次曲线 C 不再有另外的交点, 那么就证明了 l 是点 p 处的切线 反 证 : 若直线 l 还交 C 于另外一点 q, 则必有 q T Cq = 0,p T Cq = l T q = 0 将此式与 p T Cp = 0 结合起来, 可导致下述等式 :( sp + tq) T C( sp + tq) = 0 对任何标量 s,t 都成立, 这表明直线 l 在二次曲线 C 上, 与 C 非退化矛盾 假定 l 是非退化二次曲线 C 的任一条切线, 令切点为 p, 根据上面的讨论必有 l = Cp 因此, 切点是 p = C - l, 并且还可以得到 l T C - l = 0 如果直线 l 使得 l T C - l = 0, 则坐标为 p = C - l 的点一定在二次曲线 C 上, 这是因为 p T Cp = l T C - T CC - l = l T C - l = 0 由于 l = Cp, 所以直线 l 是二次曲线 C 的切线 总结上述讨论, 有下述命题 : 命题 畅 2 畅 ) 非退化二次曲线 C 在点 p 处切线为 l = Cp ;2) 若直线 l 是非退化二 次曲线 C 的切线, 则切点为 p = C - l ;3) 直线 l 为非退化二次曲线 C 的切线当仅当 l T C - l = 0 科学出版社职教技术出版中心 退化二次曲线是由两条直线 l 与 m 所构成, 它的矩阵表示为 C = lm T + ml T 如果直 线 l 与 m 相交 ( 包括交点在无穷远处的情况 ), 即二次曲线 C 的秩为 2, 则除交点外每一点 处的切线是该点所在的直线 如果直线 l 与 m 重合, 则每一点的切线是该直线本身 ) 平面上给定 5 个点, 如果任意 3 点不共线, 则这 5 个点唯一确定一条二次曲线

22 第 章平面射影几何 9 若点 p 在退化二次曲线 C 上, 例如在直线 l 上, 则必有 Cp = ( lm T + ml T ) p = (m T p) l, 这说明退化二次曲线 C 在点 p 处的切线坐标仍为 Cp, 即命题 畅 2 畅 () 对退化二次曲线 仍成立 过二次曲线外一点的两条切线 由初等几何知, 对于非退化二次曲线 C 外部任一点 p, 必存在两条切线 l 与 m 过点 p, 它们构成平面上的一条退化二次曲线 T, 如图 畅 2 畅 所示 现在, 希望由 C 和 p 给出退化二次曲线 T 的矩阵 表示, 对此有下述命题 : 命题 畅 2 畅 2 对于非退化二次曲线 C 外部任一 点 p, 过点 p 的两条切线 l 与 m 所构成的退化二次曲 线的矩阵表示是 T = [ p] C - [ p] ( 畅 2 畅 4) 证明设 q 是 T 上的任一点, 例如它是切线 l 上 的点, 则 l = [ p] q 于是 q T Tq = q T [ p] C - [ p] q = l T C - l = 0 图 畅 2 畅 过二次曲线外部一点 的两条切线 即 T 上的任一点 q 满足方程 q T Tq = 0 反之, 若点 q 满足方程 q T Tq = 0, 即 由命题 畅 2 畅 的 3), 坐标为 [ p] 线 m 上 故命题成立 证毕 畅 2 畅 3 配极对应 畅配极对应 q T [ p] C - [ p] q = 0 q 的直线是过点 p 的切线, 因此 q 在切线 l 上, 或者在切 给定一条二次曲线 C, 对平面上的任一点 p,l = Cp 确定了一条直线 直线 l 称为点 图 畅 2 畅 2 二次曲线的配极对应 ) l = Cp 交 C 于两个点 p 关于 C 的极线, 而点 p 称为直线 l 关于 C 的极点 如 果点 p 在 C 上, 则它关于 C 的极线是通过它的切线 l, 而切线 l 关于 C 的极点是切点 p 过点 p 的两条切线 的切点的连线 q q2 是点 p 的极线 l = Cp 如图 畅 2 畅 2 所示 由二次曲线所确定的这种点与直线之间的对应关 系称为二次曲线的配极对应 ( 变换 ) 可以证明, 非退化 二次曲线的配极对应是点与直线之间的一一对应 配 极对应, 也可以给出它的几何描述 命题 畅 2 畅 3 点 p 关于非退化二次曲线 C 的极线 ), 且 C 在这两个交点的切线交于点 p, 如图 畅 2 畅 2 所示 ) 可能是两个虚点或重点 如果是虚点, 则必为一对共轭虚点, 而一对共轭虚点确定一条 ( 实 ) 直线 ; 如果是重 点, 则极线是切线

23 0 第一篇射影几何 证明直线 l 与二次曲线 C 总交于二个点, 交点的坐标是方程组 { q T Cq = 0,l T q = 0} 的解 令 q 是一个交点, 则有 ( Cp) T q = 0 由矩阵 C 的对称性,p T Cq = 0, 这说明 p 必在 切线 Cq 上, 同理 p 也在另一个交点的切线上 证毕 2 畅共轭点 如果两点 p,q 使得 p T Cq = 0, 则称它们关于 C 互为共轭 不难看出, 点 p 关于 C 的 所有共轭点所构成的集合是点 p 关于 C 的极线 命题 畅 2 畅 4 若点 p,q 关于二次曲线 C 是一对共轭点, 直线 l = p q 交 C 于两点 r,r2, 如图 畅 2 畅 3 所示, 则 ( r,r2 ;p,q) = - 图 畅 2 畅 3 共轭点 p,q 证明以 p,q 为基点, 对直线 l = p q 上的点进 行参数化, 则 p = (,0) T,q = (0,) T 下面计算 r, r2 的参数化坐标 直线 l 上的任一点均可表示为 r = up + vq, 且点 p,q 是二次曲线 C 的一对共轭点, 所以 r T Cr = u 2 p T Cp + v 2 q T Cq 因此, 直线 l 与 C 的两个交点的坐标满足方程 :r T Cr = 0, 于是 由交比计算公式 ( 畅 畅 0), 得到 ( r,r2 ;p,q) = - 3 畅自极三角形 如果一个三角形的三个顶点都是其对边关于二 次曲线 C 的极点, 则称它为 C 的自极三角形 例如 : 二次曲线上的四点构成的完全四点形的对边三角形 是该二次曲线的自极三角形, 如图 畅 2 畅 4 所示 畅 2 畅 4 对偶二次曲线 前面所讨论的二次曲线被看作是由平面上的点 所构成的集合, 以点作为二次曲线的基本元素 平面 u 2 p T Cp + v 2 q T Cq = 0 不妨假定,u =, 则 r,r2 的参数化坐标必为 r,2 =, ± - pt Cp q T Cq T ( 畅 2 畅 5) 图 畅 2 畅 4 完全四点形 ABCD 的 对边三角形 XYZ 是该二次曲线 的自极三角形 上的点与直线构成一对互为对偶元素, 如果将二次曲线方程 p T Cp = 0 中的点元素换成线 倡元素, 矩阵 C 也换成对偶形式 C, 则得到线元素的二次方程 l T 倡 C 倡其中 C 是对称矩阵, 它是矩阵 C 的对偶 l = 0 ( 畅 2 畅 6) 倡方程 ( 畅 2 畅 6) 也表示射影平面内的一条二次曲线, 这条二次曲线 C 是由直线生成 的 由直线生成的二次曲线通常称为对偶二次曲线 在几何上, 对偶二次曲线是直线族 倡的包络, 即 C 的几何元素是二次曲线的切线, 如图 畅 2 畅 5 所示 科学出版社职教技术出版中心

24 第 章平面射影几何 图 畅 2 畅 5 二次曲线 ( 左 ) ; 对偶二次曲线 ( 右 ) 倡下面考虑 C 与 C 之间的代数关系 对于 C 上的任一点 p, 该点的切线为 l = Cp 由 于 C 是满秩的, 所以有 C - l = p, 又因切点必在切线上, 即 l T p = 0, 于是有 l T C - l = 0 因 倡此 C 倡倡 ( C ) = C - 倡倡 另外, 还可以证明 ( C ) 根据上面的讨论, 有下述命题 : = C 倡命题 畅 2 畅 5 非退化二次曲线 C 与其对偶 C = C 倡倡注意, 对于退化情况,( C ) 畅 2 畅 5 圆环点及其对偶 畅圆环点 无穷远直线 l 上的两个点 称为圆环点或绝对点 其中 i = 示为 C I = i 0,J = - i 0 倡之间的关系是 C = C -, 并且 ( 畅 2 畅 7) -, 所以它们是一对共轭虚点 圆环点的方程可以表 x 2 + y 2 = 0 t = 0 因此, 圆环点可以看作是射影平面上的一条 ( 退化 ) 二次曲线 注意, 在射影平面上圆环点 必须用两个方程来表示 如果限制在无穷远直线上, 即, 论域是无穷远直线而不是整个平 面, 则圆环点可由单个方程 x 2 + y 2 = 0 来表达, 它的矩阵表示是二阶单位矩阵 表示为 圆环点的命名来源于平面上任何圆与无穷远直线均交于 I,J 事实上, 圆的方程可 x 2 + y dxt + 2 eyt + f t = 0 而无穷远直线的方程是 t = 0 将这两个方程联立求解, 可以得到 x 2 + y 2 = 0 因此, 交点 的齐次坐标必为 I,J 现在, 可以解释为什么给定 3 个点能唯一确定一个圆, 因为圆总是 通过两个圆环点 所以,3 点确定一个圆与 5 个点才能确定一条二次曲线并不矛盾 2 畅圆环点的对偶 圆环点可以看作平面上的一条 ( 退化 ) 二次曲线, 它的方程是 x 2 + y 2 = 0 它的对偶

25 2 第一篇射影几何 倡二次曲线 C 称为圆环点的对偶, 可以表示为 倡 C = IJ T + JI T = ( 畅 2 畅 8) 倡对偶二次曲线 C 是由以圆环点 I,J 为中心的两个平行 ( 虚 ) 直线束所构成的, 两个平 行直线束的斜率分别为 i 和 - i 这两个直线束中的直线称为迷向直线 ( 或极小直线 ) 通过平面内任一有穷点, 存在两条迷向直线, 分别属于这两个直线束 命题 畅 2 畅 6 令 l = ( a,b,c ) T,l2 = ( a2,b2,c2 ) T 是两条非迷向直线, 它们之间的交 角记为 θ, 则 显然 cosθ = l T 倡 C l T 倡 C l2 l l T 2 C 倡 l2 证明这个命题的证明是容易的 根据欧氏几何, 有 l T 倡 C cosθ = a a2 + b b2 a 2 + b 2 a b 2 2 l2 = a a2 + b b2, l T 倡 C l = a 2 + b 2, l T 倡 2 C l2 = a b 2 2 所以, 式 ( 畅 2 畅 9) 成立 证毕 ( 畅 2 畅 9) ( 畅 2 畅 0) 倡命题 畅 2 畅 6 给出了对偶二次曲线 C 的度量性质, 其重要性在于它在一般射影空间中 倡仍成立 也就是说, 如果知道对偶二次曲线 C 在一般射影空间中的表示, 仍可以利用式 ( 畅 2 畅 9) 来计算两条直线之间的夹角, 而公式 ( 畅 2 畅 0) 仅适用于欧氏坐标系 如果两条直线中有一条是迷向直线 ( 或两条都是迷向直线 ), 则它们之间的夹角是不 定的 例如,l 是一条迷向直线, 则必有 l T 倡 C l = 0( 这是因为 l 通过一个圆环点 ), 于是 得到 cosθ = 倡 通常直线那样具有方向 3 畅 Laguerre 定理 /0 因此, 包含迷向直线的两条直线的夹角是不能确定的, 即迷向直线不像 命题 畅 2 畅 7(Laguerre) 设两条非迷向直线的夹角为 θ, 并且这两条直线与过它们交 点以 i,- i 为斜率的两条迷向直线所成的交比为 μ, 则必有 θ = 2 i ln μ ( 畅 2 畅 ) 证明设两条非迷向直线 l,l2 的斜率为 λ,λ2, 以 i,- i 为斜率的两条迷向直线为 m,m2, 则有 - λ 由于 tanθ = λ2 + λ λ2 e 2 iθ = μ 故 θ= 2 i ln μ 证毕 - λ λ2 μ = ( l,l2 ;m,m2 ) = - i λ λ2 - i + i + i λ λ2 + i = + λ λ2 λ2 - λ - i + λ λ2, 所以 μ = + itanθ - itanθ 又因 tanθ = i 科学出版社职教技术出版中心 e 2 iθ - e 2 iθ +, 即 e 2 iθ = + itanθ - itanθ, 因此,

26 第 章平面射影几何 3 拉格尔定理与命题 畅 2 畅 6 一样 ( 事实上, 它们是相互等价的 ), 也十分重要, 因为这个定理用交比射影概念表达了角度量概念, 形成了角度的射影解释, 从而将欧氏几何与射影几何联系起来 推论 畅 2 畅 两条非迷向直线相互垂直的充要条件是这两条直线与过交点以 i,- i 为斜率的两条迷向直线成调和共轭, 或等价地说, 两条非迷向直线相互垂直的充要条件是这两条直线上的无穷远点与两个圆环点成调和共轭 畅 3 畅 二维射影变换 畅 3 二维射影变换 射影变换是射影平面上的可逆齐次线性变换, 这个变换可由 3 3 的矩阵来描述 x h h2 h3 x x 2 = h2 h22 h23 x2 ( 畅 3 畅 ) x 3 或更简略地记为 x = Hx h3 h32 h33 x3 射影变换有时又称为单应, 而矩阵 H 称为射影变换矩阵或单应矩阵 由于变换是齐次的 ( 点使用了齐次坐标 ), 所以同一个射影变换矩阵 H 可以相差一个非零常数因子, 因此射影变换仅有 8 个自由度, 即射影变换矩阵可由它的元素所构成的 8 个比值所确定 例 畅 3 畅 投影中心不在物体平面上的中心投影是射影变换 ( 如图 畅 3 畅 所示 ) 中心投影将物体平面上的点投影到图像平面上得到像点, 像点是物体平面点和投影中心的连线与像平面的交点, 物体平面点到像点之间的变换是一个射影变换 物体平面上的无穷远点的像点是该无穷远点与投影中心的连线 ( 平行于物体平面 ) 与像平面的交点, 一般地该交点是像平面上的有穷点 ( 即该点在图像平面中的齐次坐标的第 3 个分量不为零 ) 物体平面上的无穷远线的像是通过投影中心且平行于物体平面的平面与像平面的交线, 一般地它是像平面上的一条有限直线 图 畅 3 畅 投影中心不在物体平面上的中心投影

27 4 第一篇射影几何 任何射影变换都将点变换到点, 并且保持点的共线性质, 因而将直线变为直线 射影变换将点变换到点的性质是由其定义所确定的 下面说明射影变换保持点的共线性 : 令 x,x2,x3 是 3 个共线点, 即 det( x,x2,x3 ) = 0, 经射影变换 H 后的三个点分别为 x,x 2, x 3, 于是 det( x,x 2,x 3 ) = det( H x,h x2,h x3 ) = det( H) det( x,x2,x3 ) = 0 因此, 三点 x,x 2,x 3 共线 任何射影变换的逆变换 ( 对应于单应矩阵的逆 ) 都是射影变换 任意两个的合成 ( 对应于两个单应矩阵的积 ) 也都是射影变换 ( 如图 畅 3 畅 2 所示 ), 因此射影变换的全体构成射影平面上的一个变换群 例 畅 3 畅 2 中心投影变换的合成是射影变换 如图 畅 3 畅 2 所示, 图中第一个中心投影变换是 H, 第二个中心投影变换是 G, 由这两个投影得到从第一个像平面到第二个相平面的变换是 F 由于 H,G 都是射影变换, 它们的逆变换是像点沿投影线反投到物体平面上的点, 对应的变换矩阵分别是 H,G 的逆矩阵, 因此逆变换也是射影变换 变换 F 是 H 的逆变换与变换 G 的合成, 它可以用 3 3 的可逆矩阵 G H - 来描述, 所以也是一个射影变换 但它不再是中心投影变换而是一般的射影变换 变换是 图 畅 3 畅 2 中心投影变换合成是一般的投影变换 如果被变换点 x 是欧氏坐标系下的齐次坐标, 则无穷远点 x = ( x,x2,0) T 的射影 x = Hx = ( h x + h2 x2,h2 x + h22 x2,h3 x + h32 x2 ) T 一般地,h3 x + h32 x2 0 这样, 无穷远点变换后的坐标不再有第 3 个分量为零的形式 事实上, 射影变换 ( 畅 3 畅 ) 等价于坐标基的变换, 变换后的坐标基称为射影坐标基 上述 观察等价于无穷远点在一般坐标基下, 第 3 个分量不为零 由于射影几何主要是讨论射 影变换群下的不变几何性质与不变量的理论, 这就是在研究射影性质时不使用无穷远点 术语而把无穷远点和非无穷远点同等对待的理由 但是无穷远点在计算机视觉中具有特 别重要的作用, 所以在本书中仍使用无穷远点的术语 满足式 ( 畅 3 畅 ) 的一对点 { x,x } 称为射影变换的一个点对应, 记为 x 吃 x 在一般情 况下,4 个点对应唯一确定一个二维射影变换 下述命题是更确切的陈述 命题 畅 3 畅 从 4 个点对应唯一确定二维射影变换的充要条件是 4 个点对应中任意 3 点不共线, 并且可以由下述公式计算这个射影变换 H = s4 ( x,x 2,x 3 )diag p p, p 2 p2, p 3 p3 ( x,x2,x3 ) - ( 畅 3 畅 2) 其中,( p,p2,p3 ) T = ( x,x2,x3 ) - x4,( p,p 2,p 3 ) T = ( x,x 2,x 3 ) - x 4 科学出版社职教技术出版中心

28 第 章平面射影几何 5 证明由于 xj 吃 x j ( j 4) 是 4 个点对应, 所以存在常数 sj ( j 4) 使得 sj x j = Hx j ( j 4) ( 畅 3 畅 3) 充分性 : 由式 ( 畅 3 畅 3), 可得到 H( x,x2,x3 ) = ( s x,s2 x 2,s3 x 3 ) = ( x,x 2,x 3 )diag( s,s2,s3 ) 于是 H = ( x,x 2,x 3 )diag( s,s2,s3 )( x,x2,x3 ) - ( 畅 3 畅 4) 由 x 4 = s4 Hx4, 得到 所以 令 ( x,x 2,x 3 )diag( s,s2,s3 )( x,x2,x3 ) - x4 = s4 x 4 diag( s,s2,s3 )( x,x2,x3 ) - x4 = s4 ( x,x 2,x 3 ) - x 4 p p p = ( x,x2,x3 ) - x4 = p2,p = ( x,x 2,x 3 ) - x 4 = p 2 则对任意的 j 必有 p j 0 否则, 例如,p = 0, 则有 p3 p 3 因此,3 点 x,x2,x3 共线, 矛盾 于是,sj = ( 畅 3 畅 2) x4 = p2 x2 + p3 x3 s4 p j p j j 3, 将它代入式 ( 畅 3 畅 4) 可得式 必要性 : 反证, 若存在 3 个共线点, 不妨假定 xj ( j 3) 是 3 个共线点, 则必有 于是 x3 = ax + bx2 Hx3 = ah x + bh x2 因此, 式 ( 畅 3 畅 3) 中至多有 3 个方程是独立的, 故不可能在相差一个常数因子的意义下确定单应矩阵 H 证毕 畅 3 畅 2 直线与二次曲线的变换规则 畅直线的变换规则射影变换 ( 畅 3 畅 ) 是由点的变换规则来定义的, 以后说射影变换 H 均是指满足点变换规则 ( 畅 3 畅 ) 的射影变换 下面讨论直线在射影变换 H 下变换规则 令 l 是平面上的一条直线,l 是经过射影变换 H 后的直线 由于橙 x l,x = Hx l, 所以 l T x = l T H x = 0 ( 畅 3 畅 5) 因此,l T = l T H, 即 l = H - T l 射影变换 H - T 称为变换 H 的对偶 于是, 直线的变换规则由点变换的对偶给出, 即有下述命题 命题 畅 3 畅 2 射影变换 H 对直线的变换规则, 由 H 的对偶所确定 l = H - T l ( 畅 3 畅 6) 满足式 ( 畅 3 畅 6) 的一对直线 { l,l } 称为射影变换 H 的一个线对应, 并记作 l 吃 l 与

29 6 第一篇射影几何 点对应一样, 一般地,4 个线对应唯一确定一个射影变换, 并且有类似于式 ( 畅 3 畅 2) 的计算 公式 2 畅二次曲线的变换规则 令 C 是平面上的一条二次曲线,C 是经过射影变换后的曲线 由于橙 x C,x = Hx C, 所以 x T Cx = x T H - T C H - x = 0 这样, 必有 C = H - T C H - 因此, 二次曲线 C 经过射影变换后仍是一条二次曲线 设 D 是一个可逆矩阵, 则称矩阵变换 Y = D X D T 为合同变换 因此, 射影变换 H 对二次曲线 的变换规则是对偶合同 命题 畅 3 畅 3 射影变换 H 对二次曲线的变换规则, 由对偶合同所确定 应用对偶原理, 有下述命题 C = H - T C H - ( 畅 3 畅 7) 倡命题 畅 3 畅 4 射影变换 H 关于对偶二次曲线 C 的变换规则, 由合同所确定倡倡 C = HC H T ( 畅 3 畅 8) 3 畅二次曲线的射影分类 二次曲线的射影分类是指二次曲线在射影变换下的等价类 二次曲线由对称矩阵 C 来表示, 根据第 7 章关于对称矩阵的特征分解理论, 不难证明对任意对称矩阵 C, 必存在 可逆矩阵 H 使得 H - T C H - = diag( s,s2,s3 ), 其中 sj = ±, 或 0 根据二次曲线的变换 规则, 任何二次曲线 C 都可以通过射影变换变为具有上述对角矩阵形式的二次曲线 因 此, 可以得到表 畅 3 畅 给出的二次曲线射影分类 表 畅 3 畅 ( 实 ) 二次曲线的射影分类 对角元素方程类型 (,,) x 2 + y 2 + t 2 = 0 无实点 ( 假二次曲线 ) (,,- ) x 2 + y 2 - t 2 = 0 圆 (,,0) x 2 + y 2 = 0 实点 (0,0,) (,-,0) x 2 - y 2 = 0 两条直线 (,0,0) x 2 = 0 二重直线 畅 4 变换群与不变量 平面上所有射影变换构成一个变换群, 通常称这个群为射影变换群 几何学的主要 内容是研究在各种变换群作用下的几何不变量 ( 包括不变几何性质 ), 本节主要讨论射影 变换群和各类子群以及相应的不变量 畅 4 畅 等距变换群 畅等距变换群 等距变换是指保持距离不变的变换, 其定义如下 科学出版社职教技术出版中心

30 第 章平面射影几何 7 x y = σcosθ - sinθ x0 σsinθ cosθ y0 0 0 其中,σ = ± 使用非齐次坐标, 上式可以写成下面的形式 ) 换 x y = σcosθ - sinθ σsinθ cosθ 由此可以看出, 等距变换是先作正交变, 然后再作平移变换所得到的变换 正交 变换与平移变换都保持距离不变, 因此等距变 换也保持距离不变 等距变换的逆变换仍是 一个等距变换, 两个等距变换的合成换也是一 个等距变换, 所以等距变换的全体构成一个变 换群, 称为等距变换群 正交变换 U 根据它的行列式是否等于 而分为旋转变换与反射变换 当 det (U) = 时, 是旋转变换 ;det(u) = - 时, 是反射变换 它们的几何意义是旋转变换不但保持两点的 距离不变, 而且还保持方向 ( 保向 ) 不变, 而反 射变换是一个逆向变换, 如图 畅 4 畅 所示 2 畅欧氏变换群 x x0 y + y0 x y ( x ~ = Ux ~ + x ~ 0 ) 图 畅 4 畅 保向变换与逆向变换 ( 畅 4 畅 ) (a) 保持点的顺序不变, 是一个保向变换 ;(b) 变换 后对应三点的顺序与原来反向, 是一个逆向变换 在等距变换 ( 畅 4 畅 ) 中, 如果矩阵 U 是一个旋转矩阵, 则这个等距变换称为欧氏变 换 不难验证欧氏变换的全体也构成一个变换群, 通常称它为欧氏变换群 ( 简称欧氏群 ) 欧氏变换群是距变换群的子群 欧氏群可以更简洁地表示为 x = H e x = R t 0 T x ( 畅 4 畅 2) 平面欧氏变换有 3 个自由度 ( 因为在平面上, 旋转有 个自由度, 平移有 2 个自由 度 ) 因此, 两个点对应可确定欧氏变换 值得注意的是, 矩阵 U 为反射的等距变换不能 构成等距变换群的子群, 因为两个这样变换的合成是一个欧氏变换 3 畅欧氏不变量 等距变换群的不变量主要有 : 两点的距离 两线的夹角 图形的面积等 由于欧氏群 是等距变换群的子群, 因此等距变换群的不变量也是欧氏不变量 下面给出一个在计算 机视觉中经常使用的欧氏不变性质 命题 畅 4 畅 欧氏变换保持圆环点不变, 因此也保持无穷远直线不变 反射等距变换将两个圆环点互换, 即反射等距变换只能保持两个圆环点的整体不变 当然, 它也是保持无穷远直线不变的 ) 正交变换见第 7 畅 节

31 8 第一篇射影几何 畅 4 畅 2 相似变换群 畅相似变换 相似变换是等距变换与均匀伸缩变换的合成变换, 所谓均匀伸缩变换是指下述变换 其中 s 是均匀伸缩因子 x y = s s 相似变换, 顾名思义, 它是保持图形相似的变换 在初等几何中, 相似分为旋转相似 ( 保向 ) 和对称相似 ( 逆向 ) 旋转相似是欧氏变换与均匀伸缩变换的合成, 而对称相似是 反射等距变换与均匀伸缩变换的合成 在计算机视觉中最关心的是旋转相似, 它可用下面的矩阵形式来表示 x y = s cosθ - s sinθ x0 s sinθ s cosθ y0 0 0 x y x y x = H s x = sr t 0 T x ( 畅 4 畅 3) 旋转相似变换有 4 个自由度, 因为它比欧氏变换多一个均匀伸缩因子 与欧氏变换 一样, 两个点对应也可以确定相似变换 相似变换的全体也构成一个变换群, 通常称为相 似变换群 旋转相似变换是相似变换群的子群, 而欧氏群又是旋转相似变换群的子群 非旋转相似变换不能构成相似变换群的子群 2 畅相似不变量 相似变换群的不变量有 : 两直线的夹角, 长度的比值, 面积的比值 这些性质是非常 容易验证的 下面的命题是非常重要的, 因为它在计算机视觉中扮演着非常重要的角色 命题 畅 4 畅 2 ) 射影变换保持圆环点不动的充要条件是它为相似变换 ;2) 射影变换 倡保持对偶二次曲线 C 不动的充要条件是它为相似变换 证明因为 s cosθ - s sinθ x 0 s sinθ s cosθ y0 0 0 i 0 = se iθ i 所以, 相似变换保持圆环点不变 类似地, 可以证明对另一个圆环点也保持不变 则必有 反之, 如果 H i 0 = a b x0 c d y0 e f i 0 = λ a + ib = λ,c + id = iλ,e - i f = 0 最后的等式表明 e = f = 0 令 λ = λ + iλ2, 则由前两个等式得到 a = λ,b = λ2,c = - λ2,d = λ 科学出版社职教技术出版中心 i 0 0 = I

32 第 章平面射影几何 9 令 s = λ 2 + λ 2 2, cosθ = λ, sinθ = - λ2 则有 λ 2 + λ 2 2 λ 2 + λ 2 2 H = 因此,H 是一个相似变换 a b x 0 c d y0 e f = s cosθ - s sinθ x0 s sinθ s cosθ y ) 可由对偶原理从 ) 直接得到, 因为相似变换 H 的对偶 H - T 仍是一个相似变换 畅 4 畅 3 仿射变换群 畅仿射变换 仿射变换定义为 x y = a b x0 c d y0 0 0 x y x = H a x = A t 0 T x ( 畅 4 畅 4) 其中 A 是一个 2 阶可逆矩阵 仿射变换有 6 个自由度,3 个不共线的点对应唯一确定仿 射变换 仿射变换的全体也构成一个变换群, 称为仿射变换群 相似变换群是它的 子群 2 畅仿射变换的分解 除平移变换外, 只需对矩阵 A 进行分解 对矩阵 A 作奇异值分解 (SVD 分解, 见 8 畅 4 节 ), 得到 A = UD V T, 其中 U,V 是正交矩阵,D 是对角元为正数的对角矩阵 D = sx 由此可以看出, 仿射变换是一个等距变换 V T 一个非均匀伸缩变换 D 以及另一个等距变 换 U 的合成, 因此它与相似变换的差别在于非均匀伸缩 仿射变换 ( 畅 4 畅 4) 是否保向, 根据行列式 det( A) 是否大于零来确定 为了看出这一 点, 将 A 写成 A = (U V T )(V D V T ),( V D V T ) 总是一个保向的变换 ( 不论 V 是否为旋转矩 阵 ),(U V T ) 是否保向是由它的行列式是否为 + ( 即是否为旋转矩阵 ) 来确定, 而行列式 det( A) 的符号与 (U V T ) 的符号是一致的 所有保向仿射变换是仿射变换群的子群, 而旋 转相似变换群又是它的子群 ) 仿射变换的另一种分解 对 A 作 QR 分解得到 A = U K, 其中 U 是一个正交阵,K 是一个对角元素均大于零的上三角阵 K = sx sy e sy ) 参考 8 畅 节

33 20 第一篇射影几何 再对 K 再作如下分解 K = sx sy D P, 于是, 仿射变换可以表示为 x y = U D P x y + x0 y0 e/ sx = 图 畅 4 畅 2 推移变换 P 位于 x 轴上的点保持不动, 不在 x 轴上的点 沿 x 轴平行移动 ( 在轴两侧, 移动方向相反 ) e/ sx 变换 P = 通常称为推移变换, 如图 畅 4 畅 2 所示 因此, 仿射变换 ( 除一个平移变换外 ) 是推移变换 非均匀伸缩变换和正交变换的合成 3 畅仿射不变量 () 仿射变换保持平行性不变不难验证, 仿射变换将无穷远点变换到无穷远点 所以, 仿射变换保持平行性不变, 也就是说平面上任何两条平行线 ( 或线段 ) 经过仿射变换后的两条直线 ( 或线段 ) 仍然是平行的 因此, 平行性是仿射变换的不变性质 (2) 仿射变换保持面积的比值不变不难验证, 若仿射变换将图形 G 变换到图形 G = H a G, 则 σ( G ) = σ( H a G ) = det( A) σ( G)(σ 代表面积 ), 这是因为, 仿射变换的 Jacobian 行列式为 det( A) 所以, 仿射变换保持面积的比值不变 (3) 仿射变换保持平行线段长度的比值不变 这一性质可由前两个性质导出, 请读者自己给出证明 此外, 在计算机视觉中经常用到的一个结论是下述命题 命题 畅 4 畅 3 射影变换 H 保持无穷远直线不动的充要条件是 H 为仿射变换 注意, 这里所说保持无穷远直线不动的意思是将无穷远点变换到无穷远点 ( 可能不是 同一点 ), 即将直线看作一个整体是保持不变的 A t 证明令 H = 0 T 可知 是仿射变换, 根据射影变换对直线的变换规则 ( 命题 畅 3 畅 6), l = H - T l = A - T 0 - t T A - T A a A a 反之, 若射影变换 H = 使得 b T b T 仿射变换 证毕 4 畅二次曲线的仿射分类 T 0 = 0 = 科学出版社职教技术出版中心 = l, 则必有 b = 0 因此,H 为 对于 ( 非退化 ) 二次曲线在欧氏变换下的分类 : 椭圆 抛物线与双曲线, 对仿射变换仍

34 第 章平面射影几何 2 然是有效的 由于椭圆与无穷远直线没有实交点 抛物线与无穷远直线相切, 即有两个接 融点 双曲线与无穷远直线有两个实交点, 而仿射变换保持无穷远直线不动且保持交点性 质不变 ( 实变实 虚变虚 ), 所以前面的性质是仿射不变的 因此, 二次曲线的仿射分类仍 然是 : 椭圆 抛物线与双曲线三类 畅 4 畅 4 射影变换群 射影变换与其他变换一样也可以写成分块矩阵的形式 x = Hx = A T 瓫 t k x ( 畅 4 畅 5) k = 0 当仅当这个射影变换将无穷远直线变换为通过坐标原点的直线, 因此在一般情 况下,k 0 当 k 0 时,H 可分解为下述形式 H = sr t/ k 0 T K 0 0 T I 0 其中,K 是行列式等于 且对角元素均大于零的上三角矩阵,R 是正交矩阵 显然,H p = I 0 T 瓫 变的仿射变换, 而 H s = H I 0 T 瓫 k k T 瓫 是改变无穷远直线的射影变换,H a = sr t/ k 0 T - = = A T 瓫 sr K k K 0 0 T 是相似变换 式 ( 畅 4 畅 6) 是不难证明的, 因为 t k t/ k 0 T T I 0 T - 瓫 / k / k = A - t 瓫 / k t/ k 0 T = sr t/ k 0 T K 0 0 T ( 畅 4 畅 6) 是保持面积比不 倒数第 2 个等式, 是利用 QR 分解并将分解中的上三角矩阵行列式归一化所得的结果 所以 H = sr t/ k 0 T K 0 0 T I 0 与仿射变换不同的是射影变换不再有保向与逆向之分, 这是因为一般的射影变换将 无穷远直线 l 变到一条有限直线 l T 瓫 k, 在平面上的两个有序图形, 如果被变换到直线 l 的 两侧, 则必存在一个图形与原来的图形反序, 而另一个图形与原来的同序 如图 畅 4 畅 3 所示 图 畅 4 畅 3 ( 非仿射的 ) 射影变换不是保向变换也不是逆向变换

35 22 第一篇射影几何 射影不变量 基本射影不变量是四共线点的交比 关于共线点的交比, 在 畅 畅 3 节已给出定义 如果直线 l 上 4 个点 x, x2,x3,x4 的齐 次坐标为 xj = ( x j,x2 j ) T, 则它们的交比是 ( x,x2 ;x3,x4 ) = det( x,x3 ) det( x,x4 ) det( x2,x3 ) det( x2,x4 ) ( 畅 4 畅 7) 4 点交比在一维射影变换下是不变的, 如图 畅 4 畅 4 所示 换句话说, 交比的定义不依赖于 直线 l 的坐标系的选择 图 畅 4 畅 4 与图中两个线束相交的所有直线 上的 4 个交点的交比均相等, 因为它们之间满 足一维射影变换 所谓一维射影变换, 在代数上与二维 射影变换类似, 是指线 l 上的可逆齐次线 性变换, 这个变换由 2 2 的矩阵 H 来 描述 x x 2 = h h2 h2 h22 显然,det ( x i, x j ) = det ( Hx i, Hx j ) = det( H)det( xi,xj ), 且 det( H) 在交比的比 值中自动消除, 因此一维射影变换保持交 比不变 如果 4 个点都是有穷点, 则可以 将它们第二个坐标归一化, 写成 xj = ( x j,) T, 则 det( xi,xj ) = xi - x j, 它表示两点之间的 有向距离 这样, 就可以通过有向距离来计算交比 在平面上, 任何二维射影变换 H 都可以诱导出直线的一维射影变换, 由此, 立即得到 平面射影变换保持交比不变的结论 下面提供了一种诱导一维射影变换方法 在直线 l 上取两个不同的点, 并给定齐次坐标 x,x2 令 x j = Hxj,j =,2, 如 畅 畅 3 节的线参数化 那样, 利用下式 x = ux + vx2 = ( x,x2 ) u v 定义点 x 和对应点 x 的齐次坐标分别为 因此,x = u x + v x 2 = ( x,x 2 ) u u v, u v, 于是 ( x,x 2 ) u v = x = Hx = H( x,x2 ) u v u v = ( x,x 2 ) + H( x,x2 ) u v = H u v H = ( x,x 2 ) + H( x,x2 ) 是一个二阶可逆矩阵 ( 这里矩阵的上标 + 表示矩阵的广义逆, 参考 8 畅 4 节 ), 且它对线 l 的作用与 H 对线 l 的作用是相同的 因此, 它是由 H 在线 l 上 诱导的一维射影变换 如果 4 个共线点是平面上的有穷点, 我们不需要通过线参数化, 再利用式 ( 畅 4 畅 7) 计 算交比 因为此时可以将点的第 3 个坐标归一化, 写成 xj = ( x j,y j,) T, 于是 x j ( y j ) 是沿 v x x2 科学出版社职教技术出版中心

36 第 章平面射影几何 23 y( x) 方向在轴 x( y) 上的投影, 如图 畅 4 畅 5 所示, 而投影变换 ( 直线到坐标轴的投影 ) 是一 维射影变换, 因此 4 点的交比与它们在各坐标轴上的投影点的交比相同 也就是说, 我们 可以通过非齐次坐标分量来计算平面上共线点的交比 图 畅 4 畅 5 平面上 4 个共线有穷点的交比 可以通过它的非齐次坐标分量来计算, 因为直线点到 坐标轴的投影是一维射影变换

37 第 2 章空间射影几何 2 畅 射影空间 2 畅 畅 空间点假定在空间建立了欧氏坐标系, 空间点的欧氏坐标记为 X ~ = ( x,y,z) T, 令 x x4 = x, x2 = y, x3 x4 x4 = z,x4 0 定义空间点的齐次坐标为 X = ( x,x2,x3,x4 ) T 当 s 0 时,sX 与 X 表示同一空间点的齐次坐标, 即空间点的齐次坐标可以相差一个非零常数因子 令 x4 0, 除 x = x2 = x3 = 0 外, 下述三式至少有一式成立 x = x x4,y = x2,z = x3 x4 x4 因此, 定义齐次坐标第 4 个分量 x4 = 0 的点为无穷远点 只要 x,x2,x3,x4 不同时为零,X = ( x,x2,x3,x4 ) T 就代表扩展空间 ( 包括所有无穷远点 ) 中的一个点, 反之扩展空间中的每一点都可以用不同时为零的 4 个数构成的齐次坐标 X = ( x,x2,x3,x4 ) T 来表示 x4 0 时代表有穷点 ( 非无穷远点 ),x4 = 0 时代表无穷 远点 称这样扩展的三维空间为三维射影空间 注意,(0,0,0,0) T 在三维射影空间中无定义, 即它不能作为三维射影空间中任何点 的齐次坐标 2 畅 畅 2 空间平面在三维射影空间中, 平面方程可以写成 其中 X = ( x,y,z,w) T π x + π2 y + π3 z + π4 w = 0 (2 畅 畅 ) 表示空间点的齐次坐标 称四维向量 π = ( π,π2,π3,π4 ) T 为该平 面的齐次坐标 显然, 方程 (2 畅 畅 ) 两边同乘以任意的非零常数仍表示该平面, 所以, 平 面的齐次坐标 π 仅依赖于三对独立的比值 { π π2 π3 π4 }, 也就是说, 平面在三维空间 中有 3 自由度 方程 (2 畅 畅 ) 可以写成更简洁的形式 如果 π = (0,0,0,) T, 则方程 (2 畅 畅 2) 的解集为 科学出版社职教技术出版中心 π T X = 0 (2 畅 畅 2) X = {( X ~ T,0) X ~ R 3 - {0}} 它是所有无穷远点所构成的集合 因此, 称平面 π = (0,0,0,) T 为 π 为无穷远平面, 并记 如果 π π, 则该平面上的有限点 X = ( X ~ T,) T 满足方程 n T X ~ + d = 0

38 第 2 章空间射影几何 25 其中 n = ( π,π2,π3 ) T,d = π4 d / n 是坐标原点到该平面的距离 不难看出, 它是 欧氏几何中的平面法式方程 该平面上的无穷远直线由下述方程给出 n T X ~ = π T X~ 0 = 0 即, 平面 π 法向量 n 是该平面上无穷远直线的表示 因此, 平面上的无穷远直线代表了该平面的法向 下述结论是明显的几何事实 : ) 两平面平行的充要条件是它们的交线为无穷远直线, 或者说它们有相同的方向 ; 2) 直线与直线 ( 平面 ) 平行的充要条件是它们相交于无穷远点 畅三点确定一平面 假定 Xj,j =,2,3 是平面 π 上的 3 个点, 则必有 X T X T 2 π = 0 (2 畅 畅 3) X T 3 如果 3 点 X,X2,X3 不共线 ( 通常称它们处于一般位置 ), 则方程 (2 畅 畅 3) 中系数矩阵的秩必为 3, 此时平面 π 是系数矩阵的一维 ( 右 ) 零空间的元素 ( 相差一个齐次因子 ), 因此一般位置上的 3 个点唯一确定一个平面 如果 3 点 X,X2,X3 共直线 L, 则系数矩阵的秩为 2, 因此系数矩阵有二维 ( 右 ) 零空间, 此时不能唯一确定平面 π 实际上, 通过直线 L 的所有平面都满足方程 (2 畅 畅 3), 即方程 (2 畅 畅 3) 确定了以直线 L 为轴的平面束 假定 3 点 X,X2,X3 处于一般位置, 令 X = ( x,y,z,w) T 是这 3 个点所确定的平面 π 上的任一点, 则 X 是 X,X2,X3 的线性组合, 即 det( X,X,X2,X3 ) = 0, 而 det( X,X,X2,X3 ) = xd234 - yd34 + zd24 - wd23 其中 dij k 是由矩阵 ( X,X2,X3 ) 的第 i, j, k 行所构成的行列式 所以,3 点 X,X2,X3 所确定的平面 π 的坐标为 π = ( d234, - d34,d24, - d23 ) T (2 畅 畅 4) 实际上, 它是方程 (2 畅 畅 3) 的非零解向量 如果 3 点 X,X2,X3 是有穷点, 则它的齐次坐标可以写成下面的形式 X = X ~,X2 = X ~ 2,X3 = X ~ 3 根据式 (2 畅 畅 4), 它们所确定的平面 π 坐标为 π = ( X ~ - X ~ 3 ) ( X ~ 2 - X ~ 3 ) - X ~ T 3 ( X ~ X ~ 2 ) (2 畅 畅 5) 这与欧氏几何中的结果是一致的, 例如, 平面 π 的法向量为 n = ( X ~ - X ~ 3 ) ( X ~ 2 - X ~ 3 ) 2 畅三平面确定一点 在空间中点与平面是对偶的, 而直线是自对偶的 对换式 (2 畅 畅 3) 中的点与面元素,

39 26 第一篇射影几何 得到 π T π T 2 X = 0 (2 畅 畅 6) π T 3 如果 3 个面 π,π2,π3 不共线 ( 此时称 3 个面处于一般位置 ), 则其系数矩阵的秩为 3, 此时点 X 是方程 (2 畅 畅 6) 系数矩阵的一维 ( 右 ) 零空间中的元素, 因而能被唯一确定 ( 相差一个齐次因子 ), 即一般位置上的 3 个平面能唯一确定一个点 ( 有可能是无穷远点 ) 如果 3 个面 π,π2,π3 共直线 L, 则方程 (2 畅 畅 6) 系数矩阵的秩为 2, 此时系数矩阵有二维 ( 右 ) 零空间, 因而不能唯一确定点 X, 实际上在直线 L 上的所有点都满足方程 (2 畅 畅 6) 如果 3 个面 π,π2,π3 处于一般位置, 就可以由系数矩阵的 3 阶子行列式来计算点 X, 其计算公式与 (2 畅 畅 4) 类似 3 畅平面点的参数化空间平面 π 上的点仅有两个自由度, 如果将空间平面 π 上的点 X 作为射影平面上的点, 则点 X 可以用三维向量 x 来表示, 三维向量 x 称为平面 π 上的点 X 的参数化表示 给定平面 π 上不共线三个点的齐次坐标 X,X2,X3, 则平面 π 上的任一点 X 可以表示成 α X = αx + βx2 + γx3 = X,X2,X3 β (2 畅 畅 7) γ 这样, 就得到了平面 π 上的点 X 的一种参数化表示 x = (α,β,γ) T, 有时也称它为平面点的 齐次坐标 显然, 平面点的参数化不是唯一的 2 畅 畅 3 空间直线 在三维空间中, 直线不像点 平面那样可以非常简单地用四维向量 ( 齐次坐标 ) 来表 示, 因为三维空间中的直线有 4 个自由度 下面介绍直线的几种表示方法 畅点表示 以点为基本几何元素来表示直线, 即将直线作为两个点的连线 假定 X,X2 是空间中两个不重合点, 令 W 是以这两个点的齐次坐标作为行所构成 2 4 矩阵 W = X T X T 2 于是, 有下述结论 : 科学出版社职教技术出版中心 α ) 点束 L = { X = W T (α,β) R 2 } 是连结两个空间点 X,X2 的直线 ( 通常, 简述 β 为矩阵 W 生成点束 L) ; 2) 矩阵 W 的二维右零空间是以直线 L 为轴的平面束 因为这个右零空间中的平面都通过空间点 X,X2, 所以连结这两点的直线 L 必在这些平面上 由直线 L 上的另外两点 X,X 2 所定义的 W 和 W 有相同的右零空间, 即它们生成同

40 第 2 章空间射影几何 27 一个点束 因此, 空间直线 L 可以由它上面的两个点所构成的矩阵 W 来表示 在这种表 示下, 连结两点的直线 L 也说成是直线 W 2 畅面表示 类似地, 也可以用平面作为基本几何元素来表示直线, 即将直线定义为两个平面 π, 倡 π2 的交, 它是直线的对偶表示 由不重合的平面 π,π2 定义一个 2 4 矩阵 W 下述结论是明显的 : 倡 T ) απ + βπ2 = W α 倡 W = π T π T 2 β,α,β R, 是以一条直线 L 为轴的平面束 ; 倡 2) W 的二维右零空间是一条直线 L 构成的空间点束 空间中的点 X 和直线 W 按下述方式定义了一个 3 4 矩阵 M = W X T 如果点 X 不在直线 W 上, 则 M 的右零空间是一维的, 这个零空间确定一个平面, 即 没有结合性质的点与直线确定一个平面, 或者不共线的三点确定一个平面 ; 如果点 X 在 直线 W 上, 则 M 的右零空间是二维的 倡空间中的直线 W 和平面 π 也定义了一个 3 4 矩阵 倡 M = 倡 W 倡倡如果直线 W 不在平面 π 上, 则 M 的右零空间是一维的, 并且这个零空间确定一个 倡倡倡点 X, 即直线 W 与平面 π 的交点 ; 直线 W 在平面 π 上, 则 M 的右零空间是二维的 π T 3 畅 Plucker 矩阵连结两点 A,B 的直线可由下述 Plucker 矩阵 L 表示 L = AB T - BA T (2 畅 畅 8) 它是一个 4 4 反对称矩阵 在平面上两点的连线可表示为 l = x y, 因此,L = AB T - BA T 是二维平面中直线的向量积表示在三维空间中的推广 连结 A,B 的直线是矩阵 L 的二维 ( 右 ) 零空间所确定的平面束的轴线 事实上, 如果 A,B π, 即,A T π = B T π = 0, 则必有 Lπ = ( B T π) A - ( A T π) B = 0 反之, 如果 Lπ = 0, 则有 (B T π)a - (A T π)b = 0, 由于 A,B 是两个不同点的齐次坐标, 所以必有 A T π = B T π = 0, 即 A,B π 因此, 连结 A,B 的直线是矩阵 L 的二维 ( 右 ) 零空间所确定的平面束的轴线 直线的 Plucker 矩阵 L 表示与选取该直线上点 A,B 无关 这是因为对于直线上任何一个异于 A,B 的点 C, 有 C = aa + bb, 从而得到 AC T - CA T = A( aa T + bb T ) - ( aa + bb)a T ) = b(ab T - BA T ) 从这里也可以看出, 空间直线有 4 个自由度 因为反对称矩阵 L 有 6 个非零元素, 但仅有

41 28 第一篇射影几何 5 个比率是有意义的, 另外 L 满足约束 det( L) = 0, 所以直线的自由度是 4 直线的对偶 Plucker 表示由两个平面 π,ξ 的交所确定 倡由于矩阵 L 与 L 在空间中表示同一条直线, 所以必有 倡 L 倡由此, 可推知矩阵 L 与 L 有下述关系 倡 L = πξ T - ξπ T (2 畅 畅 9) L = ( πξ T - ξπ T )(AB T - BA T ) = 0 倡倡倡倡倡倡 l2 l3 l4 l23 l42 l34 = l34 l42 l23 l4 l3 l2 (2 畅 畅 0) 关系规则非常简单 : 对偶和原来元素的下标总包含所有的数字 {,2,3,4}, 如果原来元素 的下标是 i j, 那么对偶元素的下标是 {,2,3,4} 中不包含 i j 的数, 例如 2 34 直线在 Plucker 矩阵的表示下, 有下述结论 : 倡 ) 如果点 X 不在直线 L 上, 则它们所确定的平面是 π = L 件是 X 在直线 L 上 ; 倡 X ; 而 L 2) 直线 L 和平面 π 交点是 X = Lπ ; 而 Lπ = 0 的充要条件是直线 L 在 π 上 ; X = 0 的充要条 3) 两 ( 或更多 ) 条线的性质, 可以由矩阵 M = ( L,L2, ) 的零空间推出 例如, 三线 L,L2,L3 共面的充要条件是 M T = ( L,L2,L3 ) T 有一维零空间 ) 4 畅 Plucker 坐标 Plucker 直线坐标是 4 4 反对称 Plucker 矩阵 L 的六个非零元素, 即 它是齐次六维向量, 因而是五维射影空间中的元素 由于 det L = 0, 并且不难计算 所以,Plucker 直线坐标满足下述方程 L = ( l2,l3,l4,l23,l42,l34 ) (2 畅 畅 ) det L = ( l2 l34 + l3 l42 + l4 l23 ) 2 l2 l34 + l3 l42 + l4 l23 = 0 (2 畅 畅 2) 反之, 如果向量 L 满足 (2 畅 畅 2), 则它对应于三维空间中的一条直线 方程 (2 畅 畅 2) 通常称为 Plucker 方程 不难验证 假定两直线 L,L 由于两直线 L,L 于是, 有下述结论 : 分别是点 A,B 和 A,B 的连线, 定义 (L L ) = l2 l 34 + l 2 l34 + l3 l 42 + l 3 l42 + l4 l 23 + l 4 l23 ( L L ) = det(a,b,a,b ) (2 畅 畅 3) 相交的充要条件是 4 点 A,B,A,B 共面, 即,det( A,B,A,B ) = 0 ) 两直线 L,L 相交 ( 即共面 ) 的充要条件是 (L L ) = 0 ; 2) 假定两线 L,L 分别是平面 π,ξ 和 π,ξ 的交线, 则 (L L ) = det( π,ξ,π,ξ ) ; 3) 如果 L 是两平面 π,ξ 的交线,L 是两点 A,B 的连线, 则 科学出版社职教技术出版中心 ) 参考 0 畅 4 畅 3 节, 在那里使用外积给出点 线 面坐标的统一表达, 即 Plucker 唱 G rass mann 坐标

42 第 2 章空间射影几何 29 2 畅 畅 4 共线平面束的交比 (L L ) = ( π T A)(ξ T B) - ( π T B)(ξ T A) (2 畅 畅 4) 由命题 畅 畅 3 知, 平面内 4 条共点直线所构成的直线束 { lj :j =,,4} 被任一条直线 所截, 得到四共线点 { xj :j =,,4}, 其交比等于该直线束的交比 设直线束的交点为 o, { xj :j =,,4} 分别为这四条直线上不同于 o 的点, 则四共点线的交比可由 M 迸 bius 公式 计算 ( l,l2 ;l3,l4 ) = 令 { Π j :j =,,4} 是 4 个共线平面所构成的 面束,Π5 是第 5 个平面, 它与平面束 { Π j :j =,, 4} 相截得到 4 条共点直线 { lj : j =,,4}, 如 图 2 畅 畅 所示 定义平面束的交比为 ( Π,Π2 ;Π3,Π4 ) = ( l,l2 ;l3,l4 ) det(o,x,x3 ) det(o,x,x4 ) det(o,x2,x3 ) det(o,x2,x4 ) (2 畅 畅 6) 由于平面束被不同平面相截得到线束的交比 均相等, 所以上述定义确实是有意义的 设 P,Q 是平面束轴线上的两个不同点, 令 Xj ( j =,2,3, 4) 为第 j 个平面不在轴线上的点, 则共线平面束 的交比也有类似的 M 迸 bius 计算公式 ( Π,Π2 ;Π3,Π4 ) = 图 2 畅 畅 共线四面的交比 det(p,q,x,x3 ) det( P,Q,X,X4 ) det(p,q,x2,x3 ) det( P,Q,X2,X4 ) (2 畅 畅 5) (2 畅 畅 7) 2 畅 2 三维射影变换 2 畅 2 畅 三维射影变换三维射影变换是射影空间上的可逆齐次线性变换, 由 4 4 的矩阵 H 来描述 X = HX (2 畅 2 畅 ) 矩阵 H 称为射影变换矩阵或单应矩阵 由于射影变换矩阵 H 可以相差任一非零常数因子, 因此它有 5 个自由度, 即射影变换矩阵由它的元素所构成的 5 个比值唯一确定 三维射影变换将空间上的点 ( 线 面 ) 变换到点 ( 线 面 ), 并且保持点的共线 ( 面 ) 性 线的共面性等性质 任何三维射影变换的逆变换都是三维射影变换 任意两个三维射影变换的合成 ( 对应于两个单应矩阵的积 ) 也都是三维射影变换 因此, 三维射影变换的全体构成三维射影空间上的变换群, 称它为三维射影变换群 5 点确定三维射影变换满足式 (2 畅 2 畅 ) 的点对 X 吃 X 称为射影变换 H 的一个点对应 给定点对应的齐次坐标, 由于式 (2 畅 2 畅 ) 是一个齐次等式, 即, 式 (2 畅 2 畅 ) 表示在相差一个常数意义下相等, 所

43 30 第一篇射影几何 以有 sx = 其中 s 为未知的非零齐次因子 消去上式中齐次因子 s, 可得到关于 H 的 3 个线性齐次 方程 因此, 在一般情况下,5 个点对应唯一确定一个三维射影变换 下述命题是更确切 的陈述 变换 HX 命题 2 畅 2 畅 如果 5 个点对应中任意 4 点不共面, 则它们唯一确定一个三维射影 由于两个三维射影变换的合成仍是一个射影变换, 因此为了证明此命题, 只需证明它 的下述特殊形式 : 设 X,X 2,,X 5 为三维射影空间中任意给定的 5 个点, 其中任何 4 个点不共面, 则 存在唯一的射影变换 H 将下述 5 个点 依次变为 X,X 2,,X 5 因此 于是 X = (,0,0,0) T,X2 = (0,,0,0) T,X3 = (0,0,,0) T X4 = (0,0,0,) T,X5 = (,,,) T 证明因为 sj X j = HX j,sj 0,j =,2,,5, 所以有 ( s X,s2 X 2,s3 X 3,s4 X 4 ) = H( X,X2,X3,X4 ) H = ( X,X 2,X 3,X 4 )diag( s,s2,s3,s4 )( X,X2,X3,X4 ) - = ( X,X 2,X 3,X 4 )diag( s,s2,s3,s4 ) s5 X 5 = ( X,X 2,X 3,X 4 )diag( s,s2,s3,s4 ) X5 = ( X,X 2,X 3,X 4 ) S 其中,S = ( s,s2,s3,s4 ) T 由于 X,X 2,,X 4 不共面, 所以 ( X,X 2,,X 4 ) 是可逆矩阵, 因此 于是 S = s5 ( X,X 2,X 3,X 4 ) - X 5 H = s5 ( X,X 2,X 3,X 4 )diag( X,X 2,X 3,X 4 ) - X 5 即 H 在相差一个常数因子的意义下有唯一解 证毕 2 畅 2 畅 2 平面与直线的变换规则 变换 H 的对偶是 H - T, 在空间中点与平面是一对互为对偶元素, 所以有下述命题 命题 2 畅 2 畅 2 射影变换 H 对平面的变换规则是 如果直线用 Plucker 矩阵表示, 则有下述变换规则 命题 2 畅 2 畅 3 射影变换 H 对直线 L 的变换规则是 其对偶形式是 π = H - T π (2 畅 2 畅 2) L = H L H T (2 畅 2 畅 3) 倡 L = H - T 倡 L 科学出版社职教技术出版中心 H - (2 畅 2 畅 4) 证明是容易的, 因为 L = HA( HB) T - HB( HA) T = H(AB T - BA T ) H T = H L H T

44 第 2 章空间射影几何 3 2 畅 3 二次曲面与变换规则 2 畅 3 畅 基本性质二次曲面由下述方程所定义 X T QX = 0 (2 畅 3 畅 ) 其中 Q 是 4 4 的对称矩阵 如果 Q 是降秩的, 则称它为退化二次曲面, 否则称为非退化二次曲面 为了陈述方便, 通常用 二次曲面 Q 来代替陈述 由对称矩阵 Q 所确定的二次曲面 图 2 畅 3 畅 给出了欧氏空间中的几种常见的二次曲面 图 2 畅 3 畅 欧氏空间中的几种常见曲面二次曲面的一些常用性质如下 : ) 二次曲面有 9 个自由度, 即由它的 0 个不同元素的比值所确定, 因此空间中 9 个点可确定一个二次曲面 ; 如果二次曲面是退化的, 则可用较少的点来确定

45 32 第一篇射影几何 2) 直线与二次曲面交于两个点 ( 可能是重点或虚点 ) ; 平面 π 与二次曲面 Q 的交是一 条二次曲线 3) 在一般情况下, 两个二次曲面的交是一条空间 4 次曲线 如果两个二次曲面都是 锥面, 则它们的交线由两条二次曲线所构成 4) 对于非退化二次曲面 Q 上的每一点 X 都存在切平面 π, 切平面的坐标由 π = QX 给出 ; 如果平面 π 是切平面, 则切点 X 的坐标由 X = Q - π 给出 锥面 Q 在顶点处不存在 切平面, 其他任何点 X 都存在切平面, 其的坐标也由 π = QX 给出 与非退化二次曲面不 同的是锥面同一条母线上的点有相同的切平面, 也就是说给定锥面的切平面不能唯一确 定它的切点 图 2 畅 3 畅 2 点 X 关于二次曲面的极平面是 过该点的锥与 Q 的切点所在的平面 π 2 畅 3 畅 2 二次曲面的对偶 5) 给定二次曲面 Q, 则 π = QX 确定了空间 点与平面的一个对应关系, 通常称为二次曲面 Q 的配极对应 如果二次曲面 Q 是非退化的, 则 它的配极对应是点与平面之间的一一对应 在 几何上, 如果点 X 在二次曲面 Q 上, 则它的极平 面是点 X 的切平面 ; 如果点 X 不在 ( 非退化 ) 二 次曲面 Q 上, 则点 X 的极平面是以 X 为顶点的 锥面与 Q 的切点所在的平面, 如图 2 畅 3 畅 2 所示 规则是 6) 在射影变换 X = HX 下, 二次曲面变换 Q = H - T Q H - (2 畅 3 畅 2) 空间曲面的对偶是指以该曲面的切平面为基本元素在对偶空间 ( 面空间 ) 中所构成的 曲面, 通常称对偶曲面 下面着重考虑二次曲面的对偶 在一般情况下, 二次曲面的对偶 倡仍为二次曲面 令 Q 是二次曲面, 它的对偶曲面记为 Q, 按照对偶曲面的定义它的基本 倡元素是 Q 的切平面, 也就是说它是 Q 的所有切平面所构成的平面集合, 而 Q 是 Q 中的 所有平面所形成的包络 在计算机视觉中, 二次曲面的对偶, 尤其锥面与空间二次曲线的 对偶是特别重要的 畅非退化二次曲面的对偶 考虑非退化二次曲面的对偶 令 Q 是一个非退化二次曲面, 即 det( Q) 0, 它在 ( 点 ) 空间的方程为 X T QX = 0 根据上面的定义, 它的对偶是它的所有切平面构成的集合, 下 面证明这个集合在对偶空间中也构成一个非退化二次曲面 任取 Q 的一个切平面 π, 切点为 X, 则必有 π = QX, 因此,Q - π = X 又因 X 在平面 π 上, 所以必有 π T X = 0 于是, 得到 π T Q - π = π T X = 0 因此, 对 Q 的任一切平面 π, 等式 π T Q - π = 0 成立 反之, 假定平面 π 满足方程 π T Q - π = 0, 下面证明平面 π 必为 Q 的切平 面 令 X = Q - π, 则必有 π = QX 为了证明 π 为 Q 的切平面, 现在只需证明点 X 在二次 曲面 Q 上 由于 X T QX = ( Q - π) T π = π T Q - T π = π T Q - π = 0, 其中倒数第二个等式利用了 Q 的对称性, 因此, 点 X 在二次曲面 Q 上 从上面的论证, 有下述命题 : 科学出版社职教技术出版中心

46 第 2 章空间射影几何 33 倡倡命题 2 畅 3 畅 非退化二次曲面 Q 的对偶 Q 仍是二次曲面, 并且 Q 倡倡注意, 非退化二次曲面与它的对偶互为对偶, 即,( Q ) = Q = Q - 2 畅锥面的对偶 倡令 Q 是锥面, 即 rank( Q) = 3, 它是一个退化二次曲面 下面考虑它的对偶 Q 于 rank( Q) = 3, 所以 Q 有一维零空间, 并且零空间的元素是锥面 Q 的顶点 V 的齐次坐 标, 即锥面 Q 的顶点 V 是方程 QV = 0 的非零解 现在考虑 Q 的切平面集合在对偶空间 中所构成的曲面形式 首先注意到 : 锥面 Q 在顶点 V 处不存在切平面 从代数上也可以 看出这一点, 由于顶点 V 使得 QV = 0, 且四维零向量不能作为任何平面的齐次坐标, 因此 锥面 Q 在顶点 V 处不存在切平面 参考图 2 畅 3 畅 3, 点 V 的对偶在对偶空间中表示一个 平面 V, 即在对偶空间中满足方 程 V T π = 0 的所有 点 π 的集合 锥面母线 L 上的点, 除顶点外, 都有相同的切平面 πl, 即母线 L 上所有点的对偶是同一 点 πl, 换话说, 母线 L 在对偶空间中被压缩成一个 点 πl 由于在点空间中平面 πl 过顶点 V, 所以在对偶空间中 点 πl 必在 平面 V 上 当母线 L 绕基线 C 运动时,πL 以, 锥面的对偶是一条平面曲线 由 在对偶空间中的轨迹是 平面 V 上的一条 点 曲线 所 图 2 畅 3 畅 3 锥面及其对偶 (a) 点空间中的锥面 ;(b) 锥面对偶在面空间 ( 对偶空间 ) 是一条二次曲线 下面证明这条曲线是二次曲线 令 X 是锥面 Q 上任一异于顶点 V 的点, 则它的切平 面为 π = QX 显然, 一个点 Y 在母线 VX 上, 当且仅当 QY = π 令 X = Q + 线 VX 上, 这是因为 QX = QQ + π = QQ + QX = QX = π 因此, 母线的参数方程为 X = V + sx 于是 π T Q + π = X T Q T (V + sx) = X T QX = 0 所以, 锥面的对偶由下述方程表示 π T Q + π = 0 V T π = 0 π, 则它必在母

47 34 第一篇射影几何 由于 rank( Q + ) = 3, 所以锥面的对偶 ( 在对偶空间中 ) 是一个锥面与平面的交线, 因此它是一条平面二次曲线 命题 2 畅 3 畅 2 锥面 Q 的对偶在对偶空间中是一条二次曲线, 这条二次曲线的支撑面是锥面顶点的对偶, 锥面 Q 的母线在对偶空间中被压缩为二次曲线上的一个点 锥面 Q 的对偶可以用下述方程来描述 π T Q + π = 0 (2 畅 3 畅 3) V T π = 0 3 畅空间二次曲线的对偶参考图 2 畅 3 畅 4, 令平面 π0 是二次曲线的支撑平面, 它的对偶在对偶空间中表示一个 点 π0 二次曲线上任一点 X 的切平面是以该点的切线为轴的一个平面束 ( 但不包括支撑平面 π0 ) 图 2 畅 3 畅 4 二次曲线及其对偶 (a) 点空间中的二次曲线 ;(b) 二次曲线的对偶在面空间 ( 对偶空间 ) 是锥面 令 π 是这个面束中的一个成员, 则这个平面束的参数方程为 π = π0 + sπ 在对偶空 间中, 它表示经过 点 π0 的一条直线 L( s) = π0 + sπ 当点 X 沿二次曲线运动时,L 在对 偶空间中的轨迹形成一个锥面 命题 2 畅 3 畅 3 二次曲线的对偶曲面是一个锥面, 二次曲线的支撑平面的对偶是这个 锥面的顶点, 二次曲线上的一个点在对偶空间中被扩展为锥面的一条母线, 二次曲线的切 线与锥面的母线构成一一对应关系 4 畅对偶二次曲面的变换规则 在 ( 点 ) 变换 X = HX 下, 应用平面的变换规则 π = H - T π, 立即得到对偶二次曲面 倡 Q 的变换规则 倡倡 Q = HQ H T (2 畅 3 畅 4) 倡注意, 由于锥面的对偶曲面 Q 是空间二次曲线, 它不能由单个矩阵来表示, 即它的 变换规则不能统一在上述公式中, 但可以由对偶锥面和平面的变换规则来联合表达 科学出版社职教技术出版中心

48 第 2 章空间射影几何 35 π T Q + π = 0 V T π = 0 2 畅 3 畅 3 绝对二次曲线与绝对二次曲面 π T H Q + H T π = 0 V T H T π = 0 畅绝对二次曲线 绝对二次曲线 Ω 是无穷远平面上的一条 ( 点 ) 二次曲线 在欧氏坐标系下 π = (0, 0,0,) T,Ω 是下述方程的解集 x 2 + x x 2 3 = 0 x 2 4 = 0 (2 畅 3 畅 5) 它是 π 上的一条虚二次曲线 在 Ω 上没有实点, 但是它具有二次曲线的共同性质, 如 : 切线 配极对应等等 环点 ; 下面, 不加证明地引进一些常用性质 : ) 无穷远直线交绝对二次曲线于两点, 这两个点是通过该无穷远线的平面的圆 2) 绝对二次曲线是空间中所有平面的圆环点所构成的集合, 因而任意一个圆与绝对 二次曲线相交于两个圆环点 ; 3) 任意一个球与无穷远平面的交是绝对二次曲线 ; 4) 如果绝对二次曲线在无穷远平面上的矩阵表示为 Ω ( 在欧氏坐标系下,Ω 是 3 阶单位矩阵 ), 则它的任一点 x 的切线为 l = Ω x, 反之若 l 是 Ω 的任一条切线, 则切 点为 x = Ω - l ; 5) 如果绝对二次曲线在无穷远平面上的矩阵表示为 Ω, 则 l = Ω x 确定了绝对 二次曲线的配极对应 ; 6) 空间两条正交直线的方向 ( 即两条正交直线 与无穷远平面的交点 ) 是绝对二次曲线的一对共轭 点, 如图 2 畅 3 畅 5 所示 三正交方向 ( 即三条两两正 交直线与无穷远平面的三个交点 ) 构成绝对二次曲 线的一个自极三角形 在一般三维射影空间中, 通过绝对二次曲线 Ω 可以度量两条直线的夹角, 确切地说, 我们有下 述命题 命题 2 畅 3 畅 4 在三维射影空间中, 令 d 和 d2 是两条直线与二次曲线 Ω 所在平面 π 的交点, 它 表示这两条直线在射影空间中的方向,Ω 是绝对二 次曲线在平面 π 上的矩阵表示 则两条直线交角 可以通过下述公式来计算 cosθ = ( d T Ω d2 ) ( d T Ω d )( d T 2 Ω d2 ) (2 畅 3 畅 6) 证明先验证欧氏空间的情形 : 在欧氏空间中 图 2 畅 3 畅 5 两正交方向构成绝对 二次曲线的一对共轭点 d,d 2 是空间中两条相互正交直线与无穷 远平面的交点, 则它们的连线是一条无穷远 直线 L 直线 L 交绝对二次曲线与两个点 I,J, 它们是以 L 为无穷远直线的空间平面 π 上的两个圆环点, 在平面 π 上通过无穷远 点 d,d 2 的两条直线必相互正交, 因此 d, d 2 与圆环点 I,J 调和共轭, 所以 d 2 必在 d 的极线上 故 d,d 2 是绝对二次曲线的一 对共轭点

49 36 第一篇射影几何 Ω 在无穷远平面上的矩阵表示为 Ω = I, 两条直线与无穷远平面的交点 D = ( d T,0) T, D2 = ( d T 2,0) T 在无穷远平面上的表示必为 d 和 d2, 它们是两条直线的欧氏方向 由欧氏 几何, 立即得到两直线的交角公式 cosθ = d T T d2 ( d T d )( d T 2 d2 ) = d Ω d2 因此, 公式 (2 畅 3 畅 6) 成立 下面证明一般情况 ( d T Ω d )( d T 2 Ω d2 ) 射影变换 H 可以将欧氏空间变换到一般射影空间, 并且射影变换将平面映射为平 面, 记无穷平面 π 被映射到平面 π, 则射影变换 H 必诱导出从平面 π 到平面 π 上的 一个二维射影变换 H ~ 3 3 于是, 根据二次曲线的变换规则, 绝对二次曲线 Ω 在平面 π 上的矩阵表示必为 Ω = H ~ - T 3 3 H ~ - 3 3, 且两直线的方向 d,d2 被变换到射影方向 d = H ~ 3 3 d,d 2 = H ~ 3 3 d2 因此 cosθ = 即公式 (2 畅 3 畅 6) ) 成立 证毕 d T H ~ - T 3 3 H ~ d 2 d T H ~ - T 3 3 H ~ d d T 2 H ~ - T 3 3 H ~ d 2 利用这个命题, 可以直接得到绝对二次曲线的基本性质 6) 2 畅绝对二次曲面 = d T Ω d 2 ( d T Ω d )( d T 2 Ω d 2 ) 绝对二次曲线 Ω 的对偶是三维空间中的退化对偶二次曲面, 称它为绝对二次曲面 倡倡倡并记为 Q 在几何上,Q 是所有与 Ω 相切的平面所构成的集合 在代数上,Q 可由秩 3 的 4 4 的齐次矩阵来表示, 在欧氏坐标系下它的表示为 倡 Q 倡平面 π 在 Q 上的充要条件是 π T Q 形式 (2 畅 3 畅 7) 后,π T 倡 Q 倡 = I 0 0 T 0 T π = 0 令平面的坐标为 π = ( 瓫 (2 畅 3 畅 7), k) T, 给定 Q 倡 的 T T π = 0 等价于瓫瓫 = 0 而瓫表示平面 π = ( 瓫, k) T 与无穷远平面的 T 交线, 该直线与绝对二次曲线相切的充要条件是瓫 二次曲线相切的平面所组成 I 瓫 = 0 因此,Q 倡倡通过式 (2 畅 3 畅 7), 可直接验证无穷远平面是 Q 的右零空间, 即 Q π = 0 倡 正好由这些与绝对 绝对二次曲面在射影坐标系下有 8 个自由度, 因为它是退化的对偶二次曲面 这 8 个自由度也是在一般射影坐标系下确定度量性质所要确定的自由度 倡命题 2 畅 3 畅 5 在射影空间中, 若绝对二次曲面的矩阵表示为 Q, 则两平面 π 和 π2 之间的夹角由下式给出 cosθ = π T 倡 Q π2 ( π T 倡 Q π )( π T 2 Q 倡 π2 ) (2 畅 3 畅 8) 特别地, 在欧氏空间中, 若两平面的坐标为 π = ( n T,d ) T,π2 = ( n T 2,d2 ) T, 则两平面 的夹角计算公式简化为 科学出版社职教技术出版中心 cosθ = n T n2 (n T n )(n T 2 n2 )

50 第 2 章空间射影几何 37 证明是容易的, 在欧氏空间中, 夹角公式直接由欧氏几何得到, 对于一般射影空间, 可 由射影变换关于对偶二次曲面的变换规则和平面的变换规则得到 关于绝对二次曲线和绝对二次曲面的一些更深刻的度量性质将在第 2 畅 4 节给出 3 畅代数表示的几何解释 由于无穷远平面的特殊性, 所以绝对二次曲线和绝对二次曲面也有很多特殊性质 在三维计算机视觉中, 尤其在摄像机自标定和三维重构理论中, 绝对二次曲线和绝对二次 曲面处于十分重要的地位 为了理解它们在欧氏坐标下的表示, 下面从另一个角度来 分析 首先, 考虑绝对二次曲线 令 Qr 是中心在原点半径 r 为的球面, 则它的矩阵表示为 Qr = diag(,,, - r 2 ) 即球面 Qr 上的点 X = ( x,y,z,w) T 满足方程 x r 2 + y r 2 + z r 2 = w 2 当 r 逐渐增大时, 球面 Qr 上的点就逐渐接近与无穷远平面 记 Q 是球面 Qr 在 r 时 的极限 当 r 时, 必有 w 0, 因此,Q 上的点 X = ( x,y,z,w) T 必是无穷远点, 且满 足方程 x 2 + y 2 + z 2 = 0 w = 0 这正是绝对二次曲线在欧氏坐标系下的方程, 所以可以将绝对二次曲线作为球面 Qr 在 r 时的极限 倡再考虑对偶二次曲面 Q 面的讨论可以将它看做球面 Qr 当 r 时, 必有 倡 Qr 倡 由于绝对二次曲面 Q 是绝对二次曲线的对偶, 所以从上 倡对偶 Q r 的极限 由于 Qr 的对偶可以表示成 倡 Qr = diag(,,, - / r 2 ) = diag(,,, - / r 2 倡 ) diag(,,,0) = Q 这样, 就得到了绝对二次曲面在欧氏坐标系下表示式 (2 畅 3 畅 7) 从这里也可以看出, 为什 倡么将绝对二次曲面记成 Q 倡, 而不是按习惯记成 Ω 2 畅 4 变换群与不变量 2 畅 4 畅 仿射变换群三维仿射变换是 A t X = H a X = 0 T X (2 畅 4 畅 ) 其中,A 是三阶可逆矩阵 三维仿射变换有 2 个自由度 所有三维仿射变换的全体构成一个变换群, 称为仿射群 也就是说, 仿射变换的逆变换也是仿射变换, 两个仿射变换的合成也是仿射变换

51 38 第一篇射影几何 仿射不变量 对于仿射不变量, 有下述结论 : ) 保持无穷远平面不变, 即将无穷远点变换到无穷远点 ; 2) 保持直线与直线 直线与平面以及平面与平面之间的平行性 ; 3) 保持物体的体积比 平行图形 ( 或在同一平面上的图形 ) 的面积比 平行线段 ( 或在 同一直线上的线段 ) 的长度比不变 性质 ) 与 2) 是明显的 下面证明 : 仿射变换保持体积比的不变性质 假定 V,V 2 是两个空间物体, 其体积分别为 v(v ),v( V2 ), 经过仿射变换 (2 畅 4 畅 ) 后的物体记为 V, V 2, 其体积分别为 v(v ),v(v 2 ) 将仿射变换 (2 畅 4 畅 ) 写成非齐次形式 则仿射变换的 Jacobian 行列式为 所以 因此 v(v j ) = 蹿 V j = J = det x y z = A x y z + 抄 ( x,y,z ) 抄 ( x,y,z) d x d y d z = 蹿 V j det( A) 蹿 V j t t2 t3 = det( A) 抄 ( x,y,z ) 抄 ( x,y,z) d xd yd z d xd yd z = det( A) v(v j ) v(v ) v(v 2 ) = v(v ) v(v 2 ) 平行图形面积比的不变性质可由体积比不变性质导出, 而平行线段长度比不变性质 可由面积比不变性质导出 请读者自己证明 命题 2 畅 4 畅 射影变换 H 保持无穷远平面不变的充要条件是 H 为仿射变换 证明仿射变换保持无穷远平面不变, 所以仅需证明必要性 为此, 将射影变换 H 写成分块形式 H = 假定 H 保持无穷远平面 π = (0 T,) T 不变 由平面的射影变换规则, 有 即 π A T b T = c d A c T A c T b d b d - T π 0 = 0 因此,c = 0,d =, 所以 H 是一个仿射变换 证毕 命题 2 畅 4 畅 表明, 保持无穷远平面不变是仿射变换的基本特征 科学出版社职教技术出版中心

52 第 2 章空间射影几何 39 2 畅 4 畅 2 相似变换群 相似变换由下述变换所定义 X = su t 0 T X (2 畅 4 畅 2) 其中,U 是三维正交矩阵,s 是相似比例因子 所有三维相似变换的全体构成一个变换 群, 通常称为相似变换群, 它是三维仿射群的子群 如果限制 U 是一个三维旋转矩阵, 则 上述变换称为旋转相似变换 旋转相似变换的全体构成相似变换群的子群 相似不变量 相似变换除了仿射不变量作为它的不变量之外, 最本质的不变性质是绝对二次曲线 与绝对二次曲面 ) 命题 2 畅 4 畅 2 射影变换 H 保持绝对二次曲线不变的充要条件是 H 为相似变换 证明相似变换为仿射变换, 所以 H 可以写成下述形式 H = A t 0 T 仿射变换将无穷远点变为无穷远点, 因此 H 限制在无穷远平面上的二维变换是 A 而绝对二次曲线 Ω 是无穷远平面上的二次曲线, 在无穷远平面上它的矩阵表示是 3 阶单 位矩阵 I, 因此 H 将 Ω 变为 Ω 的充要条件是 A - T I A - = si, 而 A - T I A - = si 等价于 s A T A = I,s A T A = I 等价于 A 是一个与正交矩阵相差常数倍的矩阵 所以, 射影变换 H 保持绝对二次曲线不变的充要条件是 H 为相似变换 证毕 下面的命题是命题 2 畅 4 畅 2 的对偶命题 倡命题 2 畅 4 畅 3 射影变换 H 保持绝对二次曲面 Q 不变的充要条件是 H 为相似变换 倡可以给出命题 2 畅 4 畅 3 的直接证明 : 因为 Q 是对偶二次曲面, 所以它的变换规则为式 倡 (2 畅 3 畅 4) 于是,Q 在变换 H 下不变的充要条件是 Q 令 H = A v T t k, 下述齐次等式 I 0 A t 0 T 0 = T 瓫 k I 0 0 T 0 A T t T 瓫 k 倡 倡 = H Q H T = A A T T 瓫 A T A 瓫 T 瓫瓫 成立的充要条件是瓫 = 0 且 A 与正交矩阵相差一个非零常数因子, 从而 H 是相似变换 2 畅 4 畅 3 等距变换群 等距变换由下式定义 X = U t 0 T X (2 畅 4 畅 3) 其中,U 是三维正交矩阵 所有三维等距变换的全体构成一个群, 通常称为等距变换群, ) 这里的保持绝对二次曲线不变, 是指整体不变性, 而不是说二次曲线上的每一点都保持不变

53 40 第一篇射影几何 它是三维相似群的子群 如果限制 U 是一个三维旋转矩阵, 则上述变换称为欧氏变换 欧氏变换的全体构成等距变换群的子群 等距变换群的重要不变量是保持物体形状和体 积不变 等距变换是特殊的相似变换, 它具有相似变换的一切特性, 如保持绝对二次曲线 和绝对二次曲面不变 下面给出关于欧氏变换的不动点性质 一个射影变换的不动点是指在这个变换下保 持不动的空间点 在代数上, 一个空间点 X 是射影变换 H 的不动点的充要条件是 X 为 H 的特征向量, 即 HX = X 注意, 这是一个齐次等式, 齐次因子是与特征向量 X 对应的 特征值 命题 2 畅 4 畅 4 ) 设 E 是一个欧氏变换, 则正交于旋转轴的平面上的两个圆环点是 E 的两个不动 点, 它们是 E 的两个互为共轭复特征向量 ; 旋转轴与无穷远平面的交点是 E 的另一个不 动点, 它是 E 的特征值 的特征向量 如果 E 为一般欧氏运动,E 仅有上述三个不动点 2) 如果平移向量在与旋转轴正交的平面上 ( 通常, 称为平面运动 ), 则 E 还存在另外 的不动点, 它是 E 的特征值 的另一个特征向量 在几何上, 空间旋转变换 R 有两个不变子空间, 一个是旋转轴构成 R 的一维不变子 空间, 其上的每一点在旋转变换 R 下是不动的 ; 另一个是与旋转轴正交且通过坐标原点 的平面, 它构成 R 的一个二维不变子空间 ( R 在这个不变子空间上不是点点不动的 ), 由 于 R 限制在这个平面上是一个二维旋转变换, 所以这个平面上的两个圆环点是保持不动 的 空间的平移变换是一个保持平行性的变换, 并且在无穷平面上保持点点不动 由于 欧氏变换 E 是先进行旋转 R 再作平移所构成的变换, 所以旋转轴上的无穷远点是它的一 个不动点, 与旋转轴正交平面上的两个圆环点也是它的不动点 如果平移向量在与旋转 轴正交的平面上, 除了这 3 个不动点外还有另一个的不动点, 这个不动点是由平移向量所 确定的 下面将给出这个命题的代数证明 令欧氏变换为 E = R t 0 T 考虑欧氏变换 E 的特征向量 由于 det( si4 4 - E) = ( s - )det( si3 3 - R), 所以 E 的特 征值必为 { e iθ,e - iθ,,}, 其中 θ 是 R 的旋转角 显然,E 有如下 3 个线性无关的特征向量 E = ( ir,0) T,E2 = ( 珋 ir,0) T,E3 = (a T R,0) T 其中,iR, 珋 ir 是 R 的共轭复特征值的特征向量, 所以 E,E2 在与旋转轴正交的平面 πe 上, 并且 πe 是 R 的不变子空间, 因此 E,E2 是平面 πe 上的两个无穷远点 由于 E 在 π E 上 的限制 E π E 是一个二维欧氏变换, 平面 πe 上的两个圆环点在变换 E π E 下保持不变, 于是 E,E2 必是平面 πe 上的两个圆环点 ar 是 R 的特征值 的特征向量, 它是 R 的旋转轴 方向, 所以 E3 是旋转轴与无穷远平面的交点 如果 E 对应于特征值 还有另外的特征向量 E4, 则 E4 必有形式 E4 = ( x T,) T 于 是, 从等式 R t 0 T x = x 科学出版社职教技术出版中心 可知 ( I - R) x = t, 所以 a T R t = a T R ( I - R) x = a T R x - ( R - ar ) T x = a T R x - a T R x = 0, 这表示平移

54 第 2 章空间射影几何 4 向量 t 在与旋转轴正交的平面 π E 上 ( 注意 : 这里使用了三维欧氏坐标 ) 反之, 若平移向量 t 在与旋转轴正交的平面 π E 上, 则 E 必有形如 E4 的特征向量 证毕 2 畅 4 畅 4 二次曲面的分类 畅度量分类在欧氏空间中, 二次曲面的一般方程为 φ( x) = ( x T,) Q x = Bx + 2c T x + l = 0 xt (2 畅 4 畅 4) 其中 Q = a d e g a d e d b f h,b = d b f e f c k e f c g h k l,c = ( g,h,k) T,x = ( x,y,z) T 由于 B 是对称矩阵, 所以存在旋转变换 y = Rx, 使 x T Bx 化为标准形 y T diag( d,d2,d3 ) y, 于是, 二次曲面 φ( x) 化为 φ( y) = y T diag( d,d2,d3 ) y + 2c T y + l = 0 (2 畅 4 畅 5) 欧氏变换不改变矩阵的秩, 通过 Q,B 的秩 行列式以及 B 的特征值的符号, 可得到二次曲 面的度量分类, 见表 2 畅 4 畅 注意, 度量分类是二次曲面的一种形状分类, 它不是欧氏变 换的等价性质, 即同一种类型的二次曲面不能通过欧氏变换相互转化 表 2 畅 4 畅 二次曲面的度量分类 rank B rank Q 曲面 有附加条件的细分类 椭球面,d,d 2,d 3 都有和 det A/det B 异号 3 4 有唯一中心的曲面 虚椭球面,d,d 2,d 3 都有和 det A/det B 同号 单叶双曲面,d,d 2,d 3 中仅有一个和 det A/det B 同号 双叶双曲面,d,d 2,d 3 中正好有两个和 det A/det B 同号 3 3 锥面 2 4 抛物面 2 3 中心为一条直线的柱面 2 2 相交二平面 4 不可能出现 3 抛物柱面 2 平行两平面 ( 实或虚 ) 二重合平面 退化锥面,d,d 2,d 3 同号非退化锥面,d,d 2,d 3 异号椭圆抛物面,d,d 2 同号双曲抛物面,d,d 2 异号双曲柱面,d,d 2 异号椭圆柱面 ( 实或虚 ),d,d 2 同号实的,d,d 2 异号虚的,d,d 2 同号 d 3 = 0

55 42 第一篇射影几何 2 畅仿射分类 在仿射空间 ( 斜坐标系 ) 内, 二次曲面一般方程为 其中 B 是三阶对称矩阵 其中 dj φ( x) = x T Bx + 2b T x + c = 0,B = ( aij )3 3,x = ( x,x2,x3 ) T (2 畅 4 畅 6) 存在满秩变换 ( 仿射变换 ) y = P - x, 使得二次曲面方程变为 φ( y) = y T diag( d,d2,d3 ) y + 2b T y + c = 0 (2 畅 4 畅 7) = 0,±, 但不全为零 再对它进行平移与伸缩变换 ( 它们都是仿射变换 ), 上述方 程可变为下述 7 个标准形之一, 见表 2 畅 4 畅 2 表 2 畅 4 畅 2 二次曲面的仿射分类 序号方程曲面 x 2 + x x = 0 虚椭球面 ( 虚曲面 ) 2 x 2 + x x = 0 椭球面 3 x 2 + x x = 0 双叶双曲面 4 x 2 + x x = 0 单叶双曲面 5 x 2 + x x 2 3 = 0 仅有一个实点的虚锥面 6 x 2 + x x 2 3 = 0 二次锥面 7 x 2 + x x 3 = 0 椭圆抛物面 8 x 2 - x x 3 = 0 双曲抛物面 9 x 2 + x = 0 虚柱面 0 x 2 + x = 0 椭圆柱面 x 2 - x = 0 双曲柱面 2 x 2 + x 2 = 0 抛物柱面 3 x 2 + x 2 2 = 0 交一实直线的二个虚面 4 x 2 - x 2 2 = 0 相交的二个平面 5 x 2 + = 0 一对平行虚面 6 x 2 - = 0 一对平行实面 7 x 2 = 0 二个重合的平面 3 畅射影分类 由于二次曲面的矩阵 Q 是对称的, 所以它可以分解为 Q = UD U T, 这里 U 是一个实正 交矩阵而 D 是一个实对角矩阵 通过对 U 的四列各自进行适当的伸缩, 可以将 Q 分解 成 Q = H - T D H - 科学出版社职教技术出版中心 这里 D 是对角元素取 0,, 或 - 的对角矩阵, 并且使 D 的零对角元 素出现在对角线的最后,+ 出现在最前面, 而 - 次之 ( 如表 2 畅 4 畅 3 所给的那种形式 ) 显然,H 是一个射影变换, 因此二次曲面 Q 通过射影变换 H 必 ( 射影 ) 等价于二次曲面

56 第 2 章空间射影几何 43 D 因此, 对角矩阵 D 的每一种形式代表了二次曲面的一种射影等价类, 见表 2 畅 4 畅 3 表 2 畅 4 畅 3 二次曲面的射影分类 Q 的秩 符号差 方程 曲面 4 4 x 2 + x x x 2 4 = 0 虚椭球面 ( 虚曲面 ) 4 2 x 2 + x x x 2 4 = 0 椭球面或双叶双曲面或椭圆抛物面 4 0 x 2 + x x x 2 4 = 0 单叶双曲面或双叶抛物面 3 3 x 2 + x x 2 3 = 0 虚锥面 3 x 2 + x x 2 3 = 0 实锥面或柱面 2 2 x 2 + x 2 2 = 0 一对虚平面 ( 虚曲面 ) 2 0 x 2 - x 2 2 = 0 一对实平面 x 2 = 0 二个重合的平面 注 : 符号差是指 D 的对角元素中 的个数与 - 个数的差 2 畅 5 射影坐标系与射影坐标变换 在前面各节中, 所使用的坐标系都是欧氏坐标系 本节将讨论一般射影坐标系以及 射影坐标系之间的变换 ( 射影坐标变换 ) 畅射影坐标系 这里不打算用纯几何的方法来建立射影坐标系, 而是从给定的欧氏齐次坐标系 σ 来 建立一般射影坐标系 设 A,B,C,D 是空间中的 4 个不共面的点, 它们在欧氏坐标系 σ 下的齐次坐标分别 为 X e,x e 2,X e 3,X e 4, 则对于空间任一点 P 的欧氏齐次坐标均可以表示成 X e = u X e + u2 X e 2 + u3 X e 3 + u4 X e 4 (2 畅 5 畅 ) 其中 uj 不全为零 这样, 任一点 P 有一个分量不全为零的四维有序数组 { uj } 与之对应 但是,{ uj } 还不能作为 P 点的新齐次坐标, 因为 uj 的比值 u u2 u3 u4 不能唯一确 定, 例如对欧氏坐标系下的齐次坐标 X e j 选择不同的齐次因子 s j, 则 uj 将变成 u j / sj, 且 u u2 u3 u4 ( u / s ) ( u2 / s2 ) ( u3 / s3 ) ( u4 / s4 ) 为了确定比值, 必须再加约束条件 设空间中的第五个点 E, 它在欧氏坐标系 σ 下的齐次 坐标记为 X e 5, 并且它与原来 4 点中的任何 3 个点都不共面, 因此存在 4 个都不全为零的 数 v,v2,v3,v4, 使得 令 X e j = v j X e j, 则式 (2 畅 5 畅 ) 可以写成 X e X e 5 = v X e + v2 X e 2 + v3 X e 3 + v4 X e 4 = x X e + x2 X e 2 + x3 X e 3 + x4 X e 4,( x j = uj / v j ) (2 畅 5 畅 2) 这样对于 { x j } 中的 4 个元素就有确定的比值, 即不依赖于 X e j ( j =,2,3,4) 的齐次因子 sj 的选择 因为对任意的 { sj }, 总有 x x2 x3 x4 = ( u / v ) ( u2 / v2 ) ( u3 / v3 ) ( u4 / v4 )

57 44 第一篇射影几何 = ( u s / v s ) ( u2 s2 / v2 s2 ) ( u3 s3 / v3 s3 ) ( u4 s4 / v4 s4 ) 于是, 对于每一个空间点 P 都有一个新的齐次坐标 ( x,x2,x3,x4 ) T 特别地,A,B,C,D E 的新齐次坐标分别为 图 2 畅 5 畅 射影坐标系的四面 形 { A,B,C,D} 与单位点 E X p = (,0,0,0) T,X p 2 = (0,,0,0) T,X p 3 = (0,0,,0) T X p 4 = (0,0,0,) T,X p 5 = (,,,) T 这样建立起来的坐标系称为射影坐标系, 并称 A,B,C,D 所 构成的四面形为射影坐标系的四面形 ;E 称为单位点 ;A,B, C,D,E 称为射影坐标系的基点, 如图 2 畅 5 畅 所示 不难看 出以欧氏坐标 ( 或仿射坐标 ) 为基础的齐次坐标系是一种特 殊的射影坐标系, 其坐标四面形的顶点是 3 个坐标轴的无穷 远点和坐标原点, 而单位点是非齐次坐标为 (,,) T 间点 值得说明的是以下几点 : 的空 ) 在以一般射影坐标系为基础的三维射影空间中, 无 穷远点 无穷远直线与无穷远平面在以欧氏坐标系 ( 或仿射坐标系 ) 为基础的代数形式都 消失了, 即不再有表示它们的那种 ( 欧氏坐标系中的 ) 特殊代数形式, 所有的几何元素的地 位都是同等的 2) 可以在一般射影坐标系下讨论平面的齐次坐标, 二次曲面, 射影变换等等 3) 在以一般射影坐标系为基础的三维射影空间中的射影变换不再有层次之分, 如相 似变换 仿射变换 欧氏变换等等 因此, 上节中关于射影变换的分层以及特殊变换的特 征, 都只是在以欧氏坐标系为基础的射影空间中才成立, 正如我们不能在仿射坐标系下讨 论欧氏变换一样 2 畅射影坐标变换 同一个空间点在两个不同射影坐标系中的射影坐标之间的变换, 是非常容易获得到 令 σx,σy 是两个一般射影坐标系,σe 是以欧氏坐标为基础的特殊射影坐标系, 点 P 在这三 个坐标系下的坐标分别为 X,Y,X e, 根据式 (2 畅 5 畅 2),σX σe,σy σe 的射影坐标变换分 别为 X e X e = x X e + x2 X e 2 + x3 X e 3 + x4 X e 4 = ( X e,x e 2,X e 3,X e 4 ) X = y Y e + y2 X e 2 + y3 Y e 3 + y4 Y e 4 = (Y e,y e 2,Y e 3,Y e 4 )Y 因此 Y = (Y e,y e 2,Y e 3,Y e 4 ) - ( X e,x e 2,X e 3,X e 4 ) X, 这样就证明了 σx σy 的射影坐标变换是一 个可逆的齐次线性变换 给定空间 5 个点, 其中任意 4 个点不共面, 如果已知它们在 σx, σy 的坐标为 X j,y j, 则由命题 2 畅 2 畅 就可以唯一确定这个可逆的齐次线性变换 科学出版社职教技术出版中心 可以看出射影坐标变换也具有射影变换的形式 射影坐标变换具有射影变换的形 式, 不是偶然的, 因为可以给射影变换以两种解释 第一种解释 : 射影变换是同一个坐标 系中空间点之间的变换, 坐标系没有发生变化, 图形发生变化, 不但位置发生了变化, 连整 个图形的形状也发生了变化 当然, 变换前 后的图形在同一个坐标系下的代数形式也发 生了变化 另一解释 : 射影变换是不同坐标系之间的变换, 图形不发生变化, 而是坐标系

58 第 2 章空间射影几何 45 发生变化, 这种变化使得同一个图形具有不同的代数形式 为区别前一种解释, 后一种解释的射影变换通常称为射影坐标变换 这两种对射影变换的解释没有本质上的差异, 只是观察的角度不同而已 前一种是立足于坐标系观察变换 ( 运动 ), 后一种是立足于变换 ( 运动 ) 观察坐标系

59 第 3 章摄像机几何 三维计算机视觉的主要任务是利用三维物体的二维图像所包含的信息, 获取三维物体的空间位置与形状等几何信息, 并在此基础上识别三维物体 图像上每一点的亮度与物体某个表面点的反射光的强度有关, 而图像点在图像平面上的位置仅与摄像机与空间物体的相对方位和摄像机的内部结构有关, 摄像机的内部结构是由摄像机的内部参数所决定的 为了描述摄像机的成像几何关系, 需要对摄像机进行数学建模 本章所介绍的摄像机模型是计算机视觉中广泛使用的针孔模型, 通常也称为线性模型 这种模型在数学上是三维空间到二维平面的中心投影, 由一个 3 4 矩阵来描述, 可以说这种模型是一个 ( 退化的 ) 射影变换, 因此通常又称它为射影摄像机 在本章, 利用前两章的射影几何知识, 给出摄像机关于空间点 直线 平面 二次曲线和二次曲面的投影性质, 以及图像平面点 直线与二次曲线的反投影性质 这些投影与反投影性质, 是从图像恢复物体三维几何结构的基础, 尤其是绝对二次曲线与绝对二次曲面的投影性质 从本章可以看出, 摄像机关于空间平面的投影是平面到平面的一个二维中心投影变换, 因此可以使用第一章所介绍的二维射影变换的知识从平面景物图像恢复它的几何结构 对于空间物体, 由于摄像机将三维物体表面投影到二维平面上, 是一个 ( 退化的 ) 射影变换, 因此不可能从三维物体的单幅图像恢复其三维结构 能否从多幅图像恢复物体的三维结构? 这是三维计算机视 觉中三维重构问题, 将在第 6 章讨论 3 畅 畅 摄像机模型 畅基本模型 3 畅 摄像机模型 摄像机的基本成像模型, 通常称为基本针孔模型, 由三维空间到平面的中心投影变换 所给出 令空间点 Oc 是投影中心, 它到平面 π 的距离为 f 空间点 Xc 在平面 π 上的投 影 ( 或像 )m 是以点 Oc 为端点并经过点 X c 的射线与平面 π 的交点, 如图 3 畅 畅 (a) 所示 平面 π 称为摄像机的像平面, 点 Oc 称为摄像机中心 ( 或光心 ),f 称为摄像机的焦距, 以点 Oc 为端点且垂直于像平面的射线称为光轴或主轴, 主轴与像平面的交点 p 称为摄像机的 主点 科学出版社职教技术出版中心 为了从代数上描述这种投影关系, 需要建立摄像机 ( 欧氏 ) 坐标系和图像平面 ( 欧氏 ) 坐标系 在图像平面上, 以主点 p 为像平面坐标系的坐标原点 o, 以水平线与铅直线分别为 x 轴和 y 轴, 建立图像坐标系 o 唱 x y 在空间中, 以摄像机中心 Oc 为摄像机坐标系的坐标原点, 以主轴为 zc 轴, 以平行于 x 轴且通过摄像机中心 Oc 的直线为 x c 轴, 以平行于 y 轴且通过摄像机中心 Oc 的直线为轴 y c, 建立摄像机坐标系 Oc - xc y c z c, 如图 3 畅 畅 (b) 所示 空间点 Xc 在摄像机坐标系中的欧氏坐标记为 X ~ c = ( xc,yc,zc) T, 它的像点 m 在图像

60 第 3 章摄像机几何 47 图 3 畅 畅 基本针孔模型 坐标系中的坐标记为 m ~ = ( x,y) T 根据三角形相似原理, 可推知空间点 Xc 与它的像点 m 满足下述关系 上式可表述为下述矩阵形式 zcm = f x c f y c zc x = y = = f x c z c f y c z c f f (3 畅 畅 ) Xc (3 畅 畅 2) 其中,Xc = ( xc,yc,zc,) T,m = ( x,y,) T, 分别为空间点和图像点的齐次坐标 它是从空 间到像平面的一个齐次线性变换 如果记 则这个齐次线性变换可表示为更简洁的形式 P = diag( f,f,)( I,0) (3 畅 畅 3) m = PX c (3 畅 畅 4) 其中, 矩阵 P 是一个 3 4 矩阵, 通常称它为摄像机矩阵 这就是基本成像模型的代数 表示 注意,(3 畅 畅 4) 是一个齐次等式, 表示在相差一个非零常数因子的意义下相等 2 畅主点偏离图像中心 在实际应用中, 事先不知道主点的确切位置, 通常都是以图像中心或者图像的左上角 作为图像坐标系的原点来建立图像坐标系的 ( 在本书中除特别说明外都是以图像中心作 为图像坐标系的原点 ), 在此坐标系下, 由于主点可能不是图像坐标系的原点, 因此摄像机 矩阵不再可能具有 (3 畅 畅 3) 的形式 若主点在上述坐标系下的坐标为 p = ( x0,y0,) T, 则摄像机的投影关系变为 zcm = 摄像机矩阵的形式为 P = K( I,0), 其中 f 0 x0 0 0 f y Xc = PX c (3 畅 畅 5)

61 48 第一篇射影几何 并称它为摄像机内参数矩阵 3 畅 CCD 摄像机 K = f 0 x0 0 f y0 0 0 (3 畅 畅 6) 用于计算机处理的图像通常都是用 CCD 摄像机所获取的数字图像, 或者是由模拟信 号摄像机获取的图像再经过特别设备进行数字离散化的数字图像 一般地,CCD 摄像机 内参数矩阵不具有式 (3 畅 畅 6) 的形式 为了得到 CCD 摄像机的模型, 必须刻划 CCD 摄像 机的数字离散化过程 假定 CCD 摄像机数字离散化后的像素是一个矩形, 矩形的长与宽分别为 dx,dy 设 图像点 ( x,y,) T 在离散化后的坐标为 ( u,v,) T, 则必有 u / dx 0 0 x v = 0 / dy 0 y (3 畅 畅 7) 0 0 如果离散化后的图像坐标仍用 m 表示, 则摄像机的投影关系可以写成 m = K( I,0) Xc = PX c (3 畅 畅 8) 其中 f x 0 u0 K = 0 f y v0 0 0 (3 畅 畅 9) 矩阵 K 称为 CCD 摄像机的内参数矩阵,f x = f/ dx,f y = f/ dy 称为 CCD 摄像机在 u 轴和 v 轴方向上的尺度因子,( u0,v0 ) T = ( x0 / dx,y0 / dy ) T 称为 CCD 摄像机的主点 由于制造工艺的限制, 一般情况下,CCD 摄像机数字离散化后的像素不是一个矩形而是一个平行四边形, 四边形的一边平行于 u 轴, 而另一边与 u 轴形成一个 θ 角 令平行 四边形两边长分别为 dx,dy, 图像点 ( x,y,) T 离散化后的坐标为 ( u,v,) T, 则必有 u v = 结合 (3 畅 畅 5) 式, 可得到 zc u v = / dx - ctanθ/ dx 0 0 sinθ/ dy f/ dx - fctanθ/ dx ( x0 - y0 ctanθ)/ dx 0 0 f sinθ/ dy y0 sinθ/ dy x 科学出版社职教技术出版中心 y Xc (3 畅 畅 0) 如果离散化后的图像坐标仍用 m 表示, 则上式可写成 m = K( I,0) Xc = PX c (3 畅 畅 ) 其中 K = f x s u0 0 f y v0 0 0 (3 畅 畅 2)

62 第 3 章摄像机几何 49 是摄像机内参数矩阵,f x = f/ dx,f y = f sinθ/ dy 称为一般 CCD 摄像机在 u 轴和 v 轴方向上的尺度因子,( u0,v0 ) T = (( x0 - y0 ctanθ)/ dx,y0 sinθ/ dy ) T 称为一般 CCD 摄像机的主点, 而 s = - fctanθ/ dx 称为一般 CCD 摄像机的畸变因子或倾斜因子 4 畅摄像机矩阵的一般形式上面所介绍的摄像机矩阵是在摄像机坐标系下的结果 由于摄像机的中心和主轴等事先都是未知的, 这个坐标系不能给出空间点的具体坐标值, 另外摄像机可安放在环境中的任何位置, 所以需要一个基准坐标系来描述空间点和摄像机的位置 这个基准坐标系通常称为世界坐标系 世界坐标系与摄像机坐标系之间的关系可以用旋转矩阵和平移向量来描述, 如图 3 畅 畅 2 所示 令空间点在世界坐标系与摄像机坐标系的坐标分别为 X = ( x,y,z,) T, Xc = ( xc,yc,zc,) T, 则它们之间的关系为 Xc = R - R C ~ 0 T X (3 畅 畅 3) 图 3 畅 畅 2 世界坐标系与摄像机坐标系之间的欧氏变换 其中,C ~ 表示摄像机中心在世界坐标系中的非齐次坐标, 即摄像机中心的齐次坐标为 C = (C ~ T,) T 以后, 点 X 的非齐次坐标总用 X ~ 来表示 将式 (3 畅 畅 3) 代入式 (3 畅 畅 ), 则有 m = K I,0 R - R C ~ 0 T 这样, 就得到摄像机矩阵的一般形式 X = KR( I, - C ~ ) X (3 畅 畅 4) P = KR( I, - C ~ ) (3 畅 畅 5) 矩阵 R( I,- C ~ ) 称为摄像机的外参数矩阵 有时, 也用 X ~ c = R X ~ + t 来描述世界坐标系与摄像机坐标系之间的关系, 此时摄像机矩阵为 P = K( R,t) (3 畅 畅 6) 其中,t = - R C ~ 摄像机矩阵是一个秩 3 的 3 4 矩阵, 因为它的前三列所构成的子矩阵是一个可逆矩阵 另外, 由于摄像机矩阵的齐次性, 所以它仅有 个独立元素 3 畅 畅 2 摄像机矩阵的元素本小节主要要讨论摄像机矩阵元素的几何意义

63 50 第一篇射影几何 畅摄像机中心 考虑摄像机中心在世界坐标系中的坐标 从下式 PC = KR( I, - C ~ ) C~ = KR(C~, - C ~ ) = 0 可知, 摄像机中心 C = (C ~ T,) T 是方程 PC = 0 的一个解 另一方面,P 仅有一维右零空间, 因为它的秩等于 3 于是, 摄像机中心的齐次坐标构成 P 的右零空间 在已知摄像机矩阵 P 的情况下, 可以通过求解方程 PX = 0 得到摄像机中心在世界坐标系中的坐标 事实上, 如果令 P = ( H,p4 ), 其中 H 为 P 的前三列所构成的 3 3 矩阵,p4 是 P 的第四个列向量, 则从方程 PX = 0 可得到摄像机中心在世界坐标系中的齐次坐标为 C = - H - p4 (3 畅 畅 7) 2 畅坐标原点与坐标轴方向 记摄像机矩阵为 P = ( p,p2,p3,p4 ), 其中 pj 为 P 的第 j 列向量 世界坐标系的原点坐标为 X = (0,0,0,) T, 所以它的图像点坐标为 s0 m0 = PX = ( p,p2,p3,p4 ) 即, 摄像机矩阵的第 4 列向量是世界坐标原点图像的齐次坐标 考虑世界坐标系 3 个坐 标轴方向的图像, 即 3 个坐标轴与无穷远平面交点的图像 显然,3 个坐标轴与无穷远平 面交点分别为 所以, 它们的图像坐标分别为 = p4 X =,0,0,0 T,Y = 0,,0,0 T,Z = 0,0,,0 T s m = PX = p,s2 m2 = PY = p2,s3 m3 = PZ = p3 因此, 摄像机矩阵的前 3 个列向量分别是世界坐标系 3 个坐标轴方向的图像点的齐次 坐标 3 畅主平面与轴平面 记摄像机矩阵为 P = () 主平面 p T p 2 T p 3 T T, 其中 p,p 2 T,p 3 T 分别为 P 的 3 个行向量 摄像机的坐标平面 Oc - xc y c, 即与像平面平行的坐标平面, 通常称为主平面 主平面 在世界坐标系中可用摄像机矩阵的第 3 行向量 p 3 T 来表示 因为主平面与像平面平行, 所以它们的交线是一条无穷远直线, 即主平面的像是像平面上的无穷远直线 令 X 为主 平面上的任一点, 则它在摄像机下的图像必为 科学出版社职教技术出版中心

64 第 3 章摄像机几何 5 u v 0 = PX = p T X p 2 T X p 3 T X 所以 p 3 T X = 0 于是, 主平面在世界坐标系中的坐标为摄像机矩阵的第 3 行 p 3 T (2) 轴平面 考虑由方程 p T X = 0 所确定的平面, 即在世界坐标系中坐标为 p T 的平面 它是图 像平面的 v 轴与摄像机中心所确定的平面, 通常称它为轴平面 令 X 为这个轴平面上的 任一点, 则它在摄像机下的图像必为 u v = PX = p T X p 2 T X p 3 T X = 0 p 2 T X p 3 T X 因此, 这个轴平面的图像点集合是 {(0,v,) T :v R}, 即像平面上的 v 轴 同理, 由 p 2 T X = 0 所确定的另一个轴平面是图像平面的 u 轴与摄像机中心所构成的 平面 轴平面与主平面的不同之处在于它依赖于图像坐标系的选择, 也就是说, 对于不同 的图像坐标系, 对应的轴平面是不同的 4 畅主轴与主点 () 主轴 主轴与主平面是正交的, 因此主轴必为主平面的法线 平面 π = ( π,π2,π3,π4 ) T 的 法线有两个方向 ( 正向与负向 ), 它们是 π = ± ( π,π2,π3 ) T, 在无穷远平面上它们表示同 一个点, 即, 法线与无穷远平面的交点 由于主平面是 p 3 T = ( p3,p32,p33,p34 ) T, 所以主 轴两个方向为 p 3 = ± ( p3,p32,p33 ) T 通常所讲的主轴方向是它的正方向, 即指向摄像 机前方的方向, 因摄像机矩阵可以相差一个常数因子, 所以 p 3 = ± p3,p32,p33 T 中的 正号并不代表主轴的正向 如果摄像机矩阵 P = ( H,p4 ) 与标准摄像机矩阵 K( R,t) 相差一个正常数, 必有 det( H) > 0, 否则 det( H) < 0 因此, 主轴的正向是瓫 = det( H)h 3 (3 畅 畅 8) 其中 h 3 T 是矩阵 H 的第 3 行向量 (2) 主点主点是主轴与像平面的交点, 由于主轴过摄像机中心, 因此主点必为主轴方向的图像点, 所以主点坐标为 p = P(h 3 T,0) T = Hh 3 (3 畅 畅 9) 3 畅 畅 3 摄像机矩阵估计在经典立体视觉中, 需要在欧氏坐标系下估计摄像机矩阵, 才能够完成立体视觉系统的标定 常用的方法是根据一些空间点在欧氏坐标系下的坐标与其图像坐标之间的对应关系, 建立摄像机矩阵的约束方程, 从而确定摄像机矩阵 在实践中, 为了得到一些空间点的欧氏坐标, 需要制作一个标定参考物, 在标定参考物上经过精确测量的特征点作为估计摄像机矩阵时所需要的空间点, 如图 3 畅 畅 3 所示

65 52 第一篇射影几何 图 3 畅 畅 3 用于求解摄像机矩阵的立方体 正交的 3 条棱作为世界坐标系的 3 个坐标轴, 各面上 直线交点的三维欧氏坐标已精确测定, 根据这些特征 点与其图像点的对应可以求解摄像机投影矩阵 记摄像机矩阵为 P = p T p 2 T p 3 T 其中 p j T 为矩阵 P 的第 j 行向量 令 Xj = ( x j,y j,z j,) T 是特征点在世界坐标系下的 坐标, 对应的图像点坐标为 mj = ( uj,v j,) T, 于是根椐摄像机的投影关系, 得到 sj m j = PX j = p T X j p 2 T X j p 3 T X j (3 畅 畅 20) 因此, 消去上式中的常数因子后, 可得到下述 方程 p 2 T X j - v j p 3 T X j = 0 p T X j - uj p 3 T X j = 0 vj p T X j - uj p 2 T X j = 0 (3 畅 畅 2) 在这个方程组中, 第三个方程可由前两个方程线性表示, 因此只有两个方程是线性独立 的 因此, 给定 N 6 个以上的特征点与其图像点的对应, 可线性求解摄像机矩阵 P 最小二乘解 当图像数据存在测量误差时, 方程组 (3 畅 畅 2) 一般不存在非零解 此时, 通常以它的 最小二乘解作为摄像机矩阵的估计 对每一个点对应, 记 A j = 0 X T j - v j X T j X T j 0 - uj X T j v j X T j - uj X T j 0 (3 畅 畅 22) 它是一个 3 2 的矩阵 A j 给定 n 个点对应, 得到 n 个形如这样的矩阵, 再将这 n 个矩 阵组合起来得到一个 3 n 2 的矩阵 A = ( A T,,A T N ) T, 对 A 作奇异值分解 (SVD),A = UD V T ), 则 V 的最后一个列向量 p = 瓫 2 是方程 Ap = 0 的最小二乘解 的形式就得到摄像机矩阵 P, 再将 p 写成矩阵 注 : 由于摄像机矩阵是齐次的, 所以我们只能在相差一个非零常数因子的意义下求 解, 即所得到的摄像机矩阵 P 与它的标准形式 K ( R,t) 相差一个非零常数因子 3 畅 畅 4 欧氏空间与射影空间 科学出版社职教技术出版中心 如果世界坐标系是一般射影坐标系, 摄像机矩阵又具有什么样的形式呢? 这是不难 回答的 因为摄像机坐标系和射影坐标系之间的变换仍然可以用 4 4 的齐次可逆矩阵 H 表示, 即 X = HX, 并且由三维射影空间到图像平面的映射仍然可以用一个秩为 3 的 3 ) 参考 8 畅 4 节

66 第 3 章摄像机几何 53 4 矩阵 P 表示 事实上, 对于最一般的情形, 摄像机模型可以被看作是从三维射影空间到二维射影平面的映射, 并且这个映射能够用下述矩阵的合成方式来表达 P = K H (3 畅 畅 23) A b ) 如果 H = 0 T, 其中 rank( A) = 3, 它表示三维空间的仿射变换, 式 (3 畅 畅 23) 变为 A b P = K (3 畅 畅 24) 0 T 它是世界坐标系为仿射坐标系的摄像机矩阵, 称它为仿射空间中的摄像机矩阵 sr t 2) 如果 H = 0 T, 其中 R 是旋转矩阵,s 为非零常数, 它表示三维空间的相似变换, 此时式 (3 畅 畅 23) 变为 sr t P = K (3 畅 畅 25) 0 T 它是世界坐标系为欧氏坐标系 ( 但度量单位为 s) 的摄像机矩阵, 称它为相似空间中的摄像机矩阵 R t 3) 如果 H = 0 T, 其中 R 是旋转矩阵, 它表示三维空间的欧氏变换, 此时式 (3 畅 畅 23) 变为 R t P = K (3 畅 畅 26) 0 T 它是世界坐标系为欧氏坐标系 ( 其度量是绝对度量 ) 的摄像机矩阵, 称它为欧氏空间中的摄像机矩阵, 即在以前各节所介绍的摄像机矩阵 4) 如果 H = ( I,0 ), 此时式 (3 畅 畅 23) 变成 P = K (3 畅 畅 27) 它是以摄像机坐标系为世界坐标系的摄像机矩阵 3 畅 2 投影与反投影 3 畅 2 畅 空间点 畅正向投影空间点 X 通过摄像机 P 被作用到图像平面的图像点 m = PX, 这种投影关系称为摄

67 54 第一篇射影几何 像机的正向投影, 简称为投影 在正向投影中, 无穷远点的投影是非常重要的, 这是因为从无穷远点的投影可以恢复景物的仿射结构 由于无穷远点的齐次坐标为 X = ( d T,0) T 其中 d 是三维向量, 它表示通过无穷远点 X 的直线方向, 所以在摄像机矩阵 P = ( H,p4 ) 的作用下, 无穷远点在像平面上的投影为 PX = ( H,p4 ) X = Hd (3 畅 2 畅 ) 因此, 无穷远点的投影仅与摄像机矩阵的前三列有关, 而与第 4 列无关 2 畅反向投影反向投影是针对图像平面的基本几何元素而言的, 图像平面点 m 的反投影是指在摄像机 P 的作用下具有像点 m 的所有空间点的集合, 即 图 3 畅 2 畅 图像点 m 的反投影是射线 lb lb = { X m = PX} 在几何上, 不难看出图像点 m 的反投影是从摄像机中心出发并通过图像点 m 的一条射线, 如图 3 畅 2 畅 所示 下面考虑图像点 m 的反投影 lb 在世界坐标系中的方程 这是非常重要的, 因为在三维计算机视觉中, 从多幅图像的对应点的反投影射线可以恢复空间点的三维坐标 由于两点确定一条直线, 所以, 如果能确定摄像机中心 C 和射线 lb 上另一点的空间坐标, 就可以得到射线 lb 在空间中的方程 根据式 (3 畅 畅 7), 摄像机中心 C 在世界坐标系的坐标为 - H - p4 C = 再考虑由图像点 m 和 P 的广义逆 P + = P T ( P P T ) - 所定义的另一空间点 P + lb 上的两个点 C 和 P + m 就得到 lb 的下述参数方程 m, 该空间点必在射线上 lb 上, 因为 P( P + m) = P P T ( P P T ) - m = m 于是, 根据 X( u) = u( P + m) + C (3 畅 2 畅 2) 另一种方法是通过射线 lb 上的无穷远点来确定它的参数方程 令 X = ( d T,0) T 是 这条射线上的无穷远点, 则 PX = m 因此, 根据式 (3 畅 2 畅 ),d = H - m 于是, 射线 lb 的 参数方程为 X( u) = u H - m 畅 2 畅 2 空间直线 畅正向投影 - H - p4 = 科学出版社职教技术出版中心 H - ( um - p4 ) (3 畅 2 畅 3) 由于空间直线 L 可由它上面的两个点唯一确定, 因此 L 的参数方程可以通过它上的两个点的坐标 X,X2 来表达 它在摄像机矩阵 P 的作用下, 必有 X( u) = X + ux2

68 第 3 章摄像机几何 55 m( u) = P( X + ux2 ) = PX + up X2 = m + um2 (3 畅 2 畅 4) 其中 m,m2 分别是 X,X2 的图像点 所以, 直线 L 的图像是连结这两个像点 m,m2 的 直线 因此, 空间直线在摄像机的作用下是像平面上的直线 利用空间直线的 Plucker 矩阵和 Plucker 坐标也可以表达空间直线的投影, 确切地 说, 我们有下述结论 : 命题 3 畅 2 畅 如果空间直线的 Plucker 矩阵为 L, 即 L = X X2 是 L 上的两个点, 则它的像直线 l 的坐标满足 : 所以 证毕 T T - X2 X, 其中 m,m2 [ l] = PL P T (3 畅 2 畅 5) 证明令 m,m2 分别是 X,X2 的图像点, 即 PX = m,px2 = m2 由于 l = m m2, [ l] = [m m2 ] = m m T 2 - m2 m T = PL P T 对于图像直线 l 的 Plucker 坐标, 也可以像空间点的投影那样由直线投影矩阵给出 由摄像机矩阵 P, 定义一个秩 3 的 3 6 矩阵 PL = p 2 p 3 p 3 p (3 畅 2 畅 6) p p 2 其中 p j T 为摄像机矩阵 P 的第 j 行向量,p i p j 是两平面 { p i,p j } 交线的 Plucker 坐标 由上节的讨论, 我们知道 p i,p j 是摄像机的两个轴平面,p 3 是摄像机的主平面 是 不难看出 所以 证毕 命题 3 畅 2 畅 2 如果空间直线使用 Plucker 坐标 L 表示, 则它在摄像机 P 下的像直线 l l = PL L = ( p 2 p 3 L) ( p 3 p L) ( p p 2 L) 证明记 X,X2 是 L 上的两个点, 其像点 PX = m,px2 = m2, 则 l = m m2 = ( PX ) ( PX2 ) = l = m m2 = 2 畅反向投影 ( p 2 T X )( p 3 T X2 ) - ( p 2 T X2 )( p 3 T X ) ( p 3 T X )( p T X2 ) - ( p 3 T X2 )( p T X ) ( p T X )( p 2 T X2 ) - ( p T X2 )( p 2 T X ) ( P i P j L) = ( p it X )( p j T X2 ) - ( p it X2 )( p j T X ) ( p 2 p 3 L) ( p 3 p L) ( p p 2 L) = PL L (3 畅 2 畅 7) 在几何上, 像平面上一条直线的反投影是空间中 通过摄像机中心的一张平面, 如图 3 畅 2 畅 2 所示 下面 图 3 畅 2 畅 2 图像直线 l 的 反投影平面是 π = P T l

69 56 第一篇射影几何 的命题是这一几何事实的代数描述 命题 3 畅 2 畅 3 在摄像机 P 下, 图像直线 l 的反投影是空间平面 π = P T l 证明令 X 是摄像机 P 将它投影到直线 l 上的任一空间点, 则必有 X T ( P T l) = l T ( PX) = 0 因此, 像直线 l 的反投影是空间平面 π = P T l 证毕 3 畅 2 畅 3 空间平面考虑摄像机关于空间平面 π 的投影 空间点 X 在摄像机 P 的作用下, 其图像点是 m = PX, 由于图像点 m 在图像平面的坐标仅依赖于图像坐标系的选择而与世界坐标系的选择无关 因此, 可以自由地选择世界坐标系 以空间平面 π 为世界坐标系的 O 唱 x y 平面, 如图 3 畅 2 畅 3 所示, 则平面 π 上点 X 的坐标为 X = ( x,y,0,) T, 因此 x x y m = PX = ( p,p2,p3,p4 ) = ( p,p2,p4 ) y 0 记 H = ( p,p2,p4 ),Xπ = x,y, T, 则上式可简写成 m = HX π (3 畅 2 畅 8) 图 3 畅 2 畅 3 单应变换 (a) 空间平面到图像平面的单应变换 H ;(b) 退化情况 : 摄像机中心在空间平面上 此时空 间平面的像是该平面与像平面的交线,rank( H) = 2 显然,rank( H) >, 这是因为摄像机矩阵是秩 3 的 rank( H) = 2 的充要条件是平面 π 通过摄像机中心 事实上,C = ( x,y,z,) T 为摄像机光心, 当且仅当 P C = 0 若 rank( H) = 2, 则 H 有一维右零空间, 于是存在 Cπ = x,y, T π 使得 P x,y,0, T = HCπ = 0, 因此平面 π 一定通过摄像机光心 反之, 若平面 π 通过摄像机光心, 则 H 有一 维右零空间, 于是 rank( H) = 2 科学出版社职教技术出版中心 当通过摄像机光心时, 平面 π 的投影是一条直线, 这条直线是平面 π 与像平面的交线 ; 当平面 π 不通过摄像机光心时, H 是一个秩 3 的矩阵, 因此它是从平面 π 到像平面二维射影变换, 而且是中心投影变换, 如图 3 畅 2 畅 3(a) 所示 以后, 在讨论平面投影时, 除特别说明外, 均假定该平面不通过摄像机光心 通常, 称矩阵 H 为平面 π 到像平面的单应矩阵, 或简称单应 由于单应矩阵是齐次的, 因此它有 8 个自由度

70 第 3 章摄像机几何 57 无穷远单应 假定无穷远点 X = ( x,y,z,0) T 的图像为 m, 则有 m = PX = ( p,p2,p3 ) X 其中 X = ( x,y,z) T 所以, 无穷远平面到像平面的单应, 简称无穷远单应, 可表示为 H = ( p,p2,p3 ) = KR (3 畅 2 畅 9) 式 (3 畅 2 畅 9) 同时也说明无穷远单应是摄像机矩阵前三列所构成的子矩阵 由此, 摄像机矩 阵可表示为 P = ( H,p4 ) 下述命题是明显的 倡命题 3 畅 2 畅 4 令 ω 3 畅 2 畅 4 二次曲线 = K K T, 则 H H T 倡 = ω (3 畅 2 畅 0) 畅正向投影 考虑空间中二次曲线在摄像机下的投影 二次曲线是平面曲线, 将二次曲线的支撑 平面记为 π, 如上节那样建立世界坐标系, 则摄像机对平面 π 的作用可由一个单应矩阵 H 来描述, 即 m = HX π 二次曲线可以用一个 3 3 对称矩阵 C 来表示, 即它的方程可写成 X T π CXπ = 0( Xπ = x,y, T π) 由于对任意 Xπ C, 其图像点 m = HX π, 所以 m T H - T C H - m = X T π CXπ = 0 (3 畅 2 畅 ) 因 Cm = H - T C H - 仍为一个 3 3 对称矩阵, 即它表示图像平面上的一条二次曲线, 所以 二次曲线的图像仍是二次曲线 命题 3 畅 2 畅 5 二次曲线 C 的图像仍是二次曲线 C m 如果二次曲线 C 的支撑平面到 像平面的单应矩阵为 H, 则有 Cm = H - T C H - (3 畅 2 畅 2) 绝对二次曲线的图像 (IAC) 绝对二次曲线 Ω 的支撑平面是无穷远平面 π, 可由 下述方程来描述 ( x, y, z) I( x, y, z) T = 0 (3 畅 2 畅 3) 它是 π 上一条虚二次曲线 下面考虑绝对二次曲线在摄像机下的像曲线 p2 令摄像机矩阵为 P = ( p,p2,p3,p4 ) 从式 (3 畅 2 畅 9), 无穷远单应矩阵为 H = ( p,,p3 ) 于是, 由命题 3 畅 2 畅 6,Ω 的图像是二次曲线 ω = H - T I H - 因 H = ( p,p2,p3 ) = K R, 所以 这样, 就得到了下述非常重要的命题 ω = K - T K - (3 畅 2 畅 4) 命题 3 畅 2 畅 6 绝对二次曲线在摄像机下的像曲线为 ω = K - T K - 绝对二次曲线的图像 (IAC) 与世界坐标系的选择无关 ( 或者说与摄像机位置无关 ), 仅与摄像机内参数有关 命题 3 畅 2 畅 7 是摄像机自标定的理论基础 2 畅反向投影 令 Cm 是图像平面上的二次曲线, 考虑它在摄像机 P 下的反投影 在几何上,Cm 的

71 58 第一篇射影几何 反投影是顶点在摄像机中心并通过二次曲线 C m 的锥面 Q, 它是退化的二次曲面 这一 结论的代数表述是下面的命题 命题 3 畅 2 畅 7 设摄像机矩阵为 P, 则二次曲线 Cm 的反投影 Q 为 Q = P T C m P (3 畅 2 畅 5) 证明图像点 m 在二次曲线 C m 上, 当且仅当 m T C mm = 0 由于空间点 X 的投影是 m = PX, 所以 X 被投影到二次曲线 C m 上当且仅当 X T P T C m PX = 0 由于对称矩阵 P T C m P 是秩 3 的, 所以二次曲线 Cm 的反投影是锥面 Q = P T C m P 证毕 3 畅 2 畅 5 二次曲面 二次曲面 Q 可用一个 4 4 的对称矩阵来表示, 它的方程为 X T QX = 0 当 rank( Q) = 4 时,Q 表示一个非退化的二次曲面 ; 当 rank ( Q) = 3 时,Q 是一个锥面 ; 当 rank( Q) = 2 时,Q 表示两张不重合的平面 ; 当 rank( Q) = 时,Q 表示两张重合的平面 在考虑摄像机对二次曲面的作用时, 一般假定 Q 是非退化的或是一个锥面 令 O 是空间中的一个点,Qc 是以 O 为顶点且与 Q 相切的所有射线组成的集合, 它是 一个以 O 为顶点的锥面, 通常称 Qc 为二次曲面 Q 的视锥面 锥面 Qc 与二次曲面 Q 相切 于一条二次曲线 Γ, 它是 Qc 中所有母线与 Q 的切点的集合, 如图 3 畅 2 畅 4 所示 称 Γ 是 Q 的一条轮廓线 显然,Q 的轮廓线 Γ 与视锥面的顶点有关 二次曲面的投影 在几何上, 二次曲面 Q 的轮廓 Γ 在图像平面上的投影 C 是顶点在摄像机光心的视锥 面与像平面的交线 二次曲面 Q 的图像是交线 C 所包含的区域, 如图 3 畅 2 畅 4 所示 通常 称 C 是二次曲面图像的轮廓线 因 Γ 是一条二次曲线, 所以 C 也是一条二次曲线 如果 二次曲面上没有纹理, 它的轮廓线 Γ 的图像 C 是唯一可以利用的图像信息 因此, 以后 称 C 是二次曲面 Q 的图像 在代数上, 有下述命题 图 3 畅 2 畅 4 二次曲面的投影 科学出版社职教技术出版中心 倡 C 倡命题 3 畅 2 畅 8 ) 令摄像机矩阵为 P, 二次曲面 Q 的对偶为 Q, 则有 倡 C 倡 = PQ, 它的图像 C 的对偶为 P T (3 畅 2 畅 6) 2) 二次曲面的轮廓线 Γ 所在的平面为 π Γ = QO, 其中 O 是摄像机的光心坐标 证明结论 2) 可从二次曲面对极关系推出, 因为摄像机的中心 O 关于二次曲面的极